ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಹೇಗೆ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ

ವಿಷಯದ ಕುರಿತು ಪಾಠ ಮತ್ತು ಪ್ರಸ್ತುತಿ: "ಸಂಖ್ಯೆ ಅನುಕ್ರಮಗಳು. ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿ"

ಹೆಚ್ಚುವರಿ ವಸ್ತುಗಳು
ಆತ್ಮೀಯ ಬಳಕೆದಾರರೇ, ನಿಮ್ಮ ಕಾಮೆಂಟ್‌ಗಳು, ವಿಮರ್ಶೆಗಳು, ಶುಭಾಶಯಗಳನ್ನು ಬಿಡಲು ಮರೆಯಬೇಡಿ! ಎಲ್ಲಾ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಆಂಟಿ-ವೈರಸ್ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ಮೂಲಕ ಪರಿಶೀಲಿಸಲಾಗಿದೆ.

9 ನೇ ತರಗತಿಯ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕಗಳಿಗಾಗಿ ಆನ್ಲೈನ್ ಸ್ಟೋರ್ "ಇಂಟೆಗ್ರಲ್" ನಲ್ಲಿ ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ನೆರವು
ಮಕರಿಚೆವಾ ಯು.ಎನ್. ಅಲಿಮೋವಾ Sh.A. ಮೊರ್ಡ್ಕೊವಿಚ್ ಎ.ಜಿ. ಮುರವಿನ ಜಿ.ಕೆ.

ಹಾಗಾದರೆ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿ ಎಂದರೇನು?

ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅನುಕ್ರಮವು ಪ್ರತಿ ಪದವು ಎರಡನೆಯದರಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗಿ ಹಿಂದಿನ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕೆಲವು ಸ್ಥಿರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯು ಪುನರಾವರ್ತಿತವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಪ್ರಗತಿಯಾಗಿದೆ.

ಮರುಕಳಿಸುವ ಫಾರ್ಮ್ ಅನ್ನು ಬರೆಯೋಣ: $a_(1)=a$; $a_(n)=a_(n-1)+d$, ಸಂಖ್ಯೆ d - ಪ್ರಗತಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸ. a ಮತ್ತು d ಕೆಲವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ. 1,4,7,10,13,16... $a=1, d=3$ ಜೊತೆಗೆ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿ.

ಉದಾಹರಣೆ. 3,0,-3,-6,-9... $a=3, d=-3$ ಜೊತೆಗೆ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿ.

ಉದಾಹರಣೆ. 5,5,5,5,5... $a=5, d=0$ ಜೊತೆಗೆ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿ.

ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯು ಏಕತಾನತೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: ಪ್ರಗತಿಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಅನುಕ್ರಮವು ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿದೆ, ಪ್ರಗತಿಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಅನುಕ್ರಮವು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿದೆ.

ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯು ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಸೀಮಿತ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

$a_(n)$ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ ಮತ್ತು ಅದು ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಇದನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು ರೂಢಿಯಾಗಿದೆ: $a_(1), a_(2), ..., a_(n), …$.

ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ n ನೇ ಅವಧಿಗೆ ಸೂತ್ರ

ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಹ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಬಹುದು. ಇದನ್ನು ಹೇಗೆ ಮಾಡಬೇಕೆಂದು ನೋಡೋಣ:
$a_(1)=a_(1)$.
$a_(2)=a_(1)+d$.
$a_(3)=a_(2)+d=a_(1)+d+d=a_(1)+2d$.
$a_(4)=a_(3)+d=a_(1)+3d$.
$a_(5)=a_(4)+d=a_(1)+4d$.
ನಾವು ಮಾದರಿಯನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಗಮನಿಸುತ್ತೇವೆ: $a_(n)=a_(1)+(n-1)d$.
ನಮ್ಮ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ n ನೇ ಪದದ ಸೂತ್ರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ನಮ್ಮ ಉದಾಹರಣೆಗಳಿಗೆ ಹಿಂತಿರುಗಿ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಉದಾಹರಣೆಗಾಗಿ ನಮ್ಮ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬರೆಯೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ. 1,4,7,10,13,16... ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿ, ಇದರಲ್ಲಿ a=1, d=3. $a_(n)=1+(n-1)3=3n-2$.

ಉದಾಹರಣೆ. 3,0,-3,-6,-9... ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ a=3, d=-3. $a_(n)=3+(n-1)(-3)=-3n+6$.

ಉದಾಹರಣೆ. ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ: $a_(1), a_(2), …, a_(n), …$.
a) $a_(1)=5$, $d=3$ ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ. $a_(23)$ ಹುಡುಕಿ.
ಬಿ) $a_(1)=4$, $d=5$, $a_(n)=109$ ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ. ಎನ್ ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ.
c) $d=-1$, $a_(22)=15$ ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ. $a_(1)$ ಹುಡುಕಿ.
d) $a_(1)=-3$, $a_(10)=24$ ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ. ಡಿ ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ.
ಪರಿಹಾರ.
a) $a_(23)=a_(1)+22d=5+66=71$.
ಬಿ) $a_(n)=a_(1)+(n-1)d=4+5(n-1)=5n-1=109$.
$5n=110=>n=22$.
c) $a_(22)=a_(1)+21d=a_(1)-21=15=> a_()1=36$.
d) $a_(10)=a_(1)+9d=-3+9d=24=>d=3$.

ಉದಾಹರಣೆ. ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಒಂಬತ್ತನೇ ಪದವನ್ನು ಎರಡನೇ ಪದದಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ, ಅಂಶವು 7 ಆಗಿ ಉಳಿಯುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಒಂಬತ್ತನೇ ಪದವನ್ನು ಐದನೇಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ, ಅಂಶವು 2 ಮತ್ತು ಉಳಿದವು 5. ಪ್ರಗತಿಯ ಮೂವತ್ತನೇ ಪದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
ಪರಿಹಾರ.
ನಮ್ಮ ಪ್ರಗತಿಯ ಸೂತ್ರಗಳು 2,5 ಮತ್ತು 9 ಅನ್ನು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಬರೆಯೋಣ.
$a_(2)=a_(1)+d$.
$a_(5)=a_(1)+4d$.
$a_(9)=a_(1)+8d$.
ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ:
$a_(9)=7a_(2)$.
$a_(9)=2a_(5)+5$.
ಅಥವಾ:
$a_(1)+8d=7(a_(1)+d)$.
$a_(1)+8d=2(a_(1)+4d)+5$.
ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ರಚಿಸೋಣ:
$\begin(cases)a_(1)+8d=7(a_(1)+d)\\a_(1)+8d=2(a_(1)+4d)+5\end(cases)$.
$\begin(cases)d=6a_(1)\\d=a_(1)+5\end(cases)$.
ಸಿಸ್ಟಮ್ ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿದ ನಂತರ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: $d=6, a_(1)=1$.
$a_(30)$ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ.
$a_(30)=a_(1)+29d=175$.

ಸೀಮಿತ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಮೊತ್ತ

ನಾವು ಸೀಮಿತ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಹೊಂದೋಣ. ಪ್ರಶ್ನೆ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ: ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಸದಸ್ಯರ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವೇ?
ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ.
ಸೀಮಿತ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ನೀಡೋಣ: $a_(1),a_(2),…a_(n-1),a_(n)$.
ನಾವು ಅದರ ನಿಯಮಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸೋಣ: $S_(n)=a_(1)+a_(2)+⋯+a_(n-1)+a_(n)$.
ಮೊತ್ತವು ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದರ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ನಮಗೆ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿ 1,2,3,4,5...100 ಅನ್ನು ನೀಡೋಣ.
ನಾವು ಅದರ ಸದಸ್ಯರ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಈ ರೀತಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸೋಣ:
$S_(n)=1+2+3+4+⋯+100=(1+100)+(2+99)+(3+98)+⋯+(50+51)=$
$=101+101+⋯+101=50*101=5050$.
ಆದರೆ ಯಾವುದೇ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಗೆ ಇದೇ ಸೂತ್ರವು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ:
$a_(3)+a_(n-2)=a_(2)+a_(n-1)=a_(1)+a_(n)$.
ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ನಮ್ಮ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬರೆಯೋಣ: $a_(k)+a_(n-k+1)=a_(1)+a_(n)$, ಅಲ್ಲಿ $k<1$.
ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಪದಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯೋಣ, ವಿಭಿನ್ನ ಕ್ರಮಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡು ಬಾರಿ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ:
$S_(n)=a_(1)+a_(2)+⋯+a_(n-1)+a_(n)$.
$S_(n)=a_(n)+a_(n-1)+⋯+a_(2)+a_(1)$.
ಈ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟಿಗೆ ಸೇರಿಸೋಣ:
$2S_(n)=(a_(1)+a_(n))+(a_(2)+a_(n-1))+⋯+(a_(n-1)+a_(2))+(a__ (n)+a_(1))$.
ನಮ್ಮ ಸಮಾನತೆಯ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ n ಪದಗಳಿವೆ, ಮತ್ತು ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ $a_(1)+a_(n)$ ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ.
ನಂತರ:
$S_(n)=\frac(n(a_(1)+a_(n)))(2)$.
ನಮ್ಮ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಸಹ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪುನಃ ಬರೆಯಬಹುದು: ಏಕೆಂದರೆ $a_(n)=a_(1)+(n-1)d$,
ನಂತರ $S_(n)=\frac(2a_(1)+d(n-1))(2)*n$.
ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಈ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಲು ಹೆಚ್ಚು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅದನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದು ಒಳ್ಳೆಯದು!

ಉದಾಹರಣೆ. ಸೀಮಿತ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ.
ಹುಡುಕಿ:
a) $s_(22), a_(1)=7, d=2$.
ಬಿ) ಡಿ, $a_(1)=9$, $s_(8)=144$.
ಪರಿಹಾರ.
ಎ) ಎರಡನೇ ಮೊತ್ತದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸೋಣ $S_(22)=\frac(2a_(1)+d(22-1))(2)*22=\frac(14+2(22-1))(2) *22 =$616.
b) ಈ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ನಾವು ಮೊದಲ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ: $S_(8)=\frac(8(a_(1)+a_(1)))(2)=4a_(1)+4a_(8)$.
$144=36+4a_(8)$.
$a_(8)=27$.
$a_(8)=a_(1)+7d=9+7d$.
$d=2\frac(4)(7)$.

ಉದಾಹರಣೆ. ಎಲ್ಲಾ ಬೆಸ ಎರಡು-ಅಂಕಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಹುಡುಕಿ.
ಪರಿಹಾರ.
ನಮ್ಮ ಪ್ರಗತಿಯ ನಿಯಮಗಳು: $a_(1)=11$, $a_(2)=13$, …, $a_(n)=99$.
ಪ್ರಗತಿಯ ಕೊನೆಯ ಅವಧಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:
$a_(n)=a_(1)+d(n-1)$.
$99=11+2(n-1)$.
$n=45$.
ಈಗ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ: $S_(45)=\frac(45(11+99))(2)=2475$.

ಉದಾಹರಣೆ. ಹುಡುಗರು ಪಾದಯಾತ್ರೆಗೆ ಹೋದರು. ಮೊದಲ ಗಂಟೆಯಲ್ಲಿ ಅವರು 500 ಮೀ ನಡೆದರು ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ, ನಂತರ ಅವರು ಮೊದಲ ಗಂಟೆಗಿಂತ 25 ಮೀಟರ್ ಕಡಿಮೆ ನಡೆಯಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದರು. 2975 ಮೀಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಕ್ರಮಿಸಲು ಅವರು ಎಷ್ಟು ಗಂಟೆಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ?
ಪರಿಹಾರ.
ಪ್ರತಿ ಗಂಟೆಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಯಾಣಿಸುವ ಮಾರ್ಗವನ್ನು ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು:
$a_(1)=500$, $a_(2)=475$, $a_(3)=450…$.
ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು $d=-25$ ಆಗಿದೆ.
2975 ಮೀಟರ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಕ್ರಮಿಸಿದ ದೂರವು ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ನಿಯಮಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ.
$S_(n)=2975$, ಇಲ್ಲಿ n ಎಂಬುದು ಪ್ರಯಾಣದಲ್ಲಿ ಕಳೆದ ಗಂಟೆಗಳು.
ನಂತರ:
$S_(n)=\frac(1000-25(n-1))(2)$, $n=2975$.
$1000n-25(n-1)n=$5950.
ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು 25 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ.
$40n-(n-1)n=$238.
$n^2-41n+238=0$.
$n_(1)=7$, $n_(2)=34$.
ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, $n=7$ ಅನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವುದು ಹೆಚ್ಚು ತಾರ್ಕಿಕವಾಗಿದೆ.
ಉತ್ತರ. ಹುಡುಗರು 7 ಗಂಟೆಗಳ ಕಾಲ ರಸ್ತೆಯಲ್ಲಿದ್ದರು.

ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ವಿಶಿಷ್ಟ ಗುಣಲಕ್ಷಣ

ಗೆಳೆಯರೇ, ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಪ್ರಗತಿಯ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಮೂರು ಸತತ ಪದಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ: $a_(n-1)$, $a_(n)$, $a_(n+1)$.
ಅದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ:
$a_(n-1)=a_(n)-d$.
$a_(n+1)=a_(n)+d$.
ನಮ್ಮ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟಿಗೆ ಸೇರಿಸೋಣ:
$a_(n-1)+a_(n+1)=2a_(n)$.
$a_(n)=\frac(a_(n-1)+a_(n+1))(2)$.

ಪ್ರಗತಿಯು ಸೀಮಿತವಾಗಿದ್ದರೆ, ಈ ಸಮಾನತೆಯು ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಕೊನೆಯ ಪದಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಎಲ್ಲಾ ಪದಗಳಿಗೂ ಇರುತ್ತದೆ.
ಅನುಕ್ರಮವು ಯಾವ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಮುಂಚಿತವಾಗಿ ತಿಳಿದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಆದರೆ ಅದು ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ: $a_(n)=\frac(a_(n-1)+a_(n+1))(2)$.
ನಂತರ ಇದು ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿ ಎಂದು ನಾವು ಸುರಕ್ಷಿತವಾಗಿ ಹೇಳಬಹುದು.

ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅನುಕ್ರಮವು ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯಾಗಿದ್ದು, ಈ ಪ್ರಗತಿಯ ಪ್ರತಿ ಸದಸ್ಯರು ನಮ್ಮ ಪ್ರಗತಿಯ ಎರಡು ನೆರೆಯ ಸದಸ್ಯರ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಸೀಮಿತ ಪ್ರಗತಿಗೆ ಈ ಸ್ಥಿತಿಯು ಪ್ರಗತಿಯ ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಕೊನೆಯ ಸದಸ್ಯರಿಗೆ ತೃಪ್ತಿ ಹೊಂದಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಮರೆಯಬೇಡಿ) .

ಉದಾಹರಣೆ. x ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ ಅಂದರೆ $3x+2$; $x-1$; $4x+3$ – ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಮೂರು ಸತತ ಪದಗಳು.
ಪರಿಹಾರ. ನಮ್ಮ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸೋಣ:
$x-1=\frac(3x+2+4x+3)(2)$.
$2x-2=7x+5$.
$-5x=7$.
$x=-1\frac(2)(5)=-1.4$.
ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ, ನಮ್ಮ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ: -2,2; -2.4; -2.6.
ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಇವುಗಳು ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ನಿಯಮಗಳು ಮತ್ತು $d=-0.2$.

ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಮಸ್ಯೆಗಳು

1. ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಇಪ್ಪತ್ತೊಂದನೇ ಪದವನ್ನು ಹುಡುಕಿ 38;30;22...
2. ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಹದಿನೈದನೇ ಪದವನ್ನು ಹುಡುಕಿ 10,21,32...
3. $a_(1)=7$, $d=8$ ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ. $a_(31)$ ಹುಡುಕಿ.
4. $a_(1)=8$, $d=-2$, $a_(n)=-54$ ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ. ಎನ್ ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ.
5. ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಮೊದಲ ಹದಿನೇಳು ಪದಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಹುಡುಕಿ 3;12;21....
6. x ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ ಅಂದರೆ $2x-1$; $3x+1$; $5x-7$ – ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಮೂರು ಸತತ ಪದಗಳು.

ಗಮನ!
ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಇವೆ
ವಿಶೇಷ ವಿಭಾಗ 555 ರಲ್ಲಿನ ವಸ್ತುಗಳು.
ತುಂಬಾ "ತುಂಬಾ ಅಲ್ಲ..." ಇರುವವರಿಗೆ
ಮತ್ತು "ತುಂಬಾ..." ಇರುವವರಿಗೆ)

ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸರಣಿಯಾಗಿದ್ದು, ಇದರಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅದೇ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಹಿಂದಿನದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಅಥವಾ ಕಡಿಮೆ).

ಈ ವಿಷಯವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಮತ್ತು ಗ್ರಹಿಸಲಾಗದಂತಿದೆ. ಅಕ್ಷರಗಳ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳು, ಪ್ರಗತಿಯ n ನೇ ಅವಧಿ, ಪ್ರಗತಿಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸ - ಇವೆಲ್ಲವೂ ಹೇಗಾದರೂ ಗೊಂದಲಮಯವಾಗಿದೆ, ಹೌದು ... ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಅರ್ಥವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲವೂ ತಕ್ಷಣವೇ ಉತ್ತಮಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.)

ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ.

ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯು ಅತ್ಯಂತ ಸರಳ ಮತ್ತು ಸ್ಪಷ್ಟ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯಾಗಿದೆ. ನಿಮಗೆ ಏನಾದರೂ ಸಂದೇಹವಿದೆಯೇ? ವ್ಯರ್ಥವಾಯಿತು.) ನೀವೇ ನೋಡಿ.

ನಾನು ಅಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸರಣಿಯನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇನೆ:

1, 2, 3, 4, 5, ...

ನೀವು ಈ ಸರಣಿಯನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದೇ? ಐದು ನಂತರ ಯಾವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮುಂದೆ ಬರುತ್ತವೆ? ಎಲ್ಲರೂ... ಉಹ್..., ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ, 6, 7, 8, 9, ಇತ್ಯಾದಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮುಂದೆ ಬರುತ್ತವೆ ಎಂದು ಎಲ್ಲರೂ ಅರಿತುಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ.

ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸಂಕೀರ್ಣಗೊಳಿಸೋಣ. ನಾನು ನಿಮಗೆ ಅಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸರಣಿಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತೇನೆ:

2, 5, 8, 11, 14, ...

ನೀವು ಮಾದರಿಯನ್ನು ಹಿಡಿಯಲು, ಸರಣಿಯನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಲು ಮತ್ತು ಹೆಸರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ ಏಳನೇಸಾಲು ಸಂಖ್ಯೆ?

ಈ ಸಂಖ್ಯೆ 20 ಎಂದು ನೀವು ಅರಿತುಕೊಂಡರೆ, ಅಭಿನಂದನೆಗಳು! ನಿಮಗೆ ಅನಿಸಿದ್ದು ಮಾತ್ರವಲ್ಲ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಪ್ರಮುಖ ಅಂಶಗಳು,ಆದರೆ ಅವುಗಳನ್ನು ವ್ಯವಹಾರದಲ್ಲಿ ಯಶಸ್ವಿಯಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗಿದೆ! ನೀವು ಅದನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡದಿದ್ದರೆ, ಮುಂದೆ ಓದಿ.

ಈಗ ನಾವು ಸಂವೇದನೆಗಳಿಂದ ಗಣಿತಕ್ಕೆ ಪ್ರಮುಖ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಭಾಷಾಂತರಿಸೋಣ.)

ಮೊದಲ ಪ್ರಮುಖ ಅಂಶ.

ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸರಣಿಯೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುತ್ತದೆ.ಇದು ಮೊದಲಿಗೆ ಗೊಂದಲಮಯವಾಗಿದೆ. ನಾವು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ಗ್ರಾಫ್ಗಳನ್ನು ಚಿತ್ರಿಸಲು ಮತ್ತು ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಬಳಸುತ್ತೇವೆ ... ಆದರೆ ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಸರಣಿಯನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತೇವೆ, ಸರಣಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುತ್ತೇವೆ ...

ಪರವಾಗಿಲ್ಲ. ಪ್ರಗತಿಗಳು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಹೊಸ ಶಾಖೆಯೊಂದಿಗೆ ಮೊದಲ ಪರಿಚಯವಾಗಿದೆ. ವಿಭಾಗವನ್ನು "ಸರಣಿ" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಸರಣಿಯೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಅದನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳಿ.)

ಎರಡನೇ ಪ್ರಮುಖ ಅಂಶ.

ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯಲ್ಲಿ, ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಹಿಂದಿನದಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಅದೇ ಮೊತ್ತದಿಂದ.

ಮೊದಲ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಈ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಒಂದಾಗಿದೆ. ನೀವು ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೂ, ಅದು ಹಿಂದಿನದಕ್ಕಿಂತ ಒಂದು ಹೆಚ್ಚು. ಎರಡನೆಯದರಲ್ಲಿ - ಮೂರು. ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಹಿಂದಿನದಕ್ಕಿಂತ ಮೂರು ಹೆಚ್ಚು. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಈ ಕ್ಷಣವೇ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಗ್ರಹಿಸಲು ಮತ್ತು ನಂತರದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ನಮಗೆ ಅವಕಾಶವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ.

ಮೂರನೇ ಪ್ರಮುಖ ಅಂಶ.

ಈ ಕ್ಷಣವು ಗಮನಾರ್ಹವಲ್ಲ, ಹೌದು ... ಆದರೆ ಇದು ತುಂಬಾ ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ ಅವನು: ಪ್ರತಿ ಪ್ರಗತಿ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅದರ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿದೆ.ಮೊದಲ ಸಂಖ್ಯೆ ಇದೆ, ಏಳನೆಯದು, ನಲವತ್ತೈದನೆಯದು, ಇತ್ಯಾದಿ. ನೀವು ಅವುಗಳನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಬೆರೆಸಿದರೆ, ಮಾದರಿಯು ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯೂ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಇನ್ನು ಉಳಿದಿರುವುದು ಕೇವಲ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸರಣಿ ಮಾತ್ರ.

ಅದು ಸಂಪೂರ್ಣ ವಿಷಯವಾಗಿದೆ.

ಸಹಜವಾಗಿ, ಹೊಸ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಹೊಸ ನಿಯಮಗಳು ಮತ್ತು ಪದನಾಮಗಳು ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ನೀವು ಅವರನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ನೀವು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನೀವು ಏನನ್ನಾದರೂ ನಿರ್ಧರಿಸಬೇಕು:

a 2 = 5, d = -2.5 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ (a n) ಮೊದಲ ಆರು ಪದಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

ಸ್ಪೂರ್ತಿದಾಯಕ?) ಅಕ್ಷರಗಳು, ಕೆಲವು ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳು ... ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯವು ಸರಳವಾಗಿರಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ನೀವು ನಿಯಮಗಳು ಮತ್ತು ಪದನಾಮಗಳ ಅರ್ಥವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಈಗ ನಾವು ಈ ವಿಷಯವನ್ನು ಕರಗತ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಹಿಂತಿರುಗುತ್ತೇವೆ.

ನಿಯಮಗಳು ಮತ್ತು ಪದನಾಮಗಳು.

ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಪ್ರತಿ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಹಿಂದಿನದಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸರಣಿಯಾಗಿದೆ ಅದೇ ಮೊತ್ತದಿಂದ.

ಈ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ . ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ವಿವರವಾಗಿ ನೋಡೋಣ.

ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸ.

ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸಯಾವುದೇ ಪ್ರಗತಿ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ ಹೆಚ್ಚುಹಿಂದಿನದು.

ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಅಂಶ. ದಯವಿಟ್ಟು ಪದಕ್ಕೆ ಗಮನ ಕೊಡಿ "ಹೆಚ್ಚು".ಗಣಿತದ ಪ್ರಕಾರ, ಇದರರ್ಥ ಪ್ರತಿ ಪ್ರಗತಿ ಸಂಖ್ಯೆ ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕಹಿಂದಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸ.

ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು, ಹೇಳೋಣ ಎರಡನೇಸರಣಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ನಿಮಗೆ ಅಗತ್ಯವಿದೆ ಪ್ರಥಮಸಂಖ್ಯೆ ಸೇರಿಸಿಇದು ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ. ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಕ್ಕಾಗಿ ಐದನೆಯದು- ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಅಗತ್ಯ ಸೇರಿಸಿಗೆ ನಾಲ್ಕನೇ,ಚೆನ್ನಾಗಿ, ಇತ್ಯಾದಿ.

ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸಇರಬಹುದು ಧನಾತ್ಮಕ,ನಂತರ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿ ಸಂಖ್ಯೆಯು ನಿಜವಾಗಿ ಹೊರಹೊಮ್ಮುತ್ತದೆ ಹಿಂದಿನದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು.ಈ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿದೆ.ಉದಾಹರಣೆಗೆ:

8; 13; 18; 23; 28; .....

ಇಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ, ಹಿಂದಿನದಕ್ಕೆ +5.

ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಇರಬಹುದು ಋಣಾತ್ಮಕ,ನಂತರ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಸಂಖ್ಯೆ ಇರುತ್ತದೆ ಹಿಂದಿನದಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ.ಈ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (ನೀವು ಅದನ್ನು ನಂಬುವುದಿಲ್ಲ!) ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ:

8; 3; -2; -7; -12; .....

ಇಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸಹ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕಹಿಂದಿನದಕ್ಕೆ, ಆದರೆ ಈಗಾಗಲೇ ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ, -5.

ಮೂಲಕ, ಪ್ರಗತಿಯೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವಾಗ, ಅದರ ಸ್ವಭಾವವನ್ನು ತಕ್ಷಣವೇ ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಇದು ತುಂಬಾ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ - ಅದು ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿದೆಯೇ ಅಥವಾ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿದೆಯೇ. ನಿರ್ಧಾರವನ್ನು ನ್ಯಾವಿಗೇಟ್ ಮಾಡಲು, ನಿಮ್ಮ ತಪ್ಪುಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಲು ಮತ್ತು ತಡವಾಗುವ ಮೊದಲು ಅವುಗಳನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸಲು ಇದು ಬಹಳಷ್ಟು ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ.

ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅಕ್ಷರದಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಡಿ.

ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಡಿ? ತುಂಬಾ ಸರಳ. ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಕಳೆಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕ ಹಿಂದಿನಸಂಖ್ಯೆ. ಕಳೆಯಿರಿ. ಮೂಲಕ, ವ್ಯವಕಲನದ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು "ವ್ಯತ್ಯಾಸ" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.)

ನಾವು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸೋಣ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಡಿಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಲು:

2, 5, 8, 11, 14, ...

ನಮಗೆ ಬೇಕಾದ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ ನಾವು ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 11. ನಾವು ಅದರಿಂದ ಕಳೆಯುತ್ತೇವೆ ಹಿಂದಿನ ಸಂಖ್ಯೆಆ. 8:

ಇದು ಸರಿಯಾದ ಉತ್ತರ. ಈ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಗೆ, ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಮೂರು.

ನೀವು ಅದನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು ಯಾವುದೇ ಪ್ರಗತಿ ಸಂಖ್ಯೆ,ಏಕೆಂದರೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರಗತಿಗಾಗಿ d-ಯಾವಾಗಲೂ ಒಂದೇ ರೀತಿ.ಕನಿಷ್ಠ ಎಲ್ಲೋ ಸಾಲಿನ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ, ಕನಿಷ್ಠ ಮಧ್ಯದಲ್ಲಿ, ಕನಿಷ್ಠ ಎಲ್ಲಿಯಾದರೂ. ನೀವು ಮೊದಲ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಮಾತ್ರ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಸರಳವಾಗಿ ಏಕೆಂದರೆ ಮೊದಲ ಸಂಖ್ಯೆ ಹಿಂದಿನದು ಇಲ್ಲ.)

ಮೂಲಕ, ಅದನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು d=3, ಈ ಪ್ರಗತಿಯ ಏಳನೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ತುಂಬಾ ಸರಳವಾಗಿದೆ. ಐದನೇ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ 3 ಅನ್ನು ಸೇರಿಸೋಣ - ನಾವು ಆರನೆಯದನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಅದು 17 ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಆರನೇ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಮೂರು ಸೇರಿಸೋಣ, ನಾವು ಏಳನೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ - ಇಪ್ಪತ್ತು.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸೋಣ ಡಿಅವರೋಹಣ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಗಾಗಿ:

8; 3; -2; -7; -12; .....

ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಿಸದೆ, ನಿರ್ಧರಿಸಲು ನಾನು ನಿಮಗೆ ನೆನಪಿಸುತ್ತೇನೆ ಡಿಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಅಗತ್ಯವಿದೆ ಹಿಂದಿನದನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಿ.ಯಾವುದೇ ಪ್ರಗತಿ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಆರಿಸಿ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ -7. ಅವರ ಹಿಂದಿನ ಸಂಖ್ಯೆ -2. ನಂತರ:

d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5

ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರಬಹುದು: ಪೂರ್ಣಾಂಕ, ಭಿನ್ನರಾಶಿ, ಅಭಾಗಲಬ್ಧ, ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆ.

ಇತರ ನಿಯಮಗಳು ಮತ್ತು ಪದನಾಮಗಳು.

ಸರಣಿಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಸದಸ್ಯ.

ಪ್ರಗತಿಯ ಪ್ರತಿ ಸದಸ್ಯ ತನ್ನದೇ ಆದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.ಯಾವುದೇ ತಂತ್ರಗಳಿಲ್ಲದೆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿವೆ. ಮೊದಲ, ಎರಡನೇ, ಮೂರನೇ, ನಾಲ್ಕನೇ, ಇತ್ಯಾದಿ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪ್ರಗತಿಯಲ್ಲಿ 2, 5, 8, 11, 14, ... ಎರಡು ಮೊದಲ ಪದ, ಐದು ಎರಡನೆಯದು, ಹನ್ನೊಂದು ನಾಲ್ಕನೆಯದು, ಸರಿ, ನೀವು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಂಡಿದ್ದೀರಿ...) ದಯವಿಟ್ಟು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಿ - ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಸ್ವತಃಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಯಾವುದೇ ಆಗಿರಬಹುದು, ಸಂಪೂರ್ಣ, ಭಾಗಶಃ, ಋಣಾತ್ಮಕ, ಯಾವುದೇ, ಆದರೆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ- ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ!

ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಬರೆಯುವುದು ಹೇಗೆ? ಯಾವ ತೊಂದರೆಯಿಲ್ಲ! ಸರಣಿಯಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅಕ್ಷರದಂತೆ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು, ಅಕ್ಷರವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎ. ಸದಸ್ಯರ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕೆಳಗಿನ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಸೂಚ್ಯಂಕದಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಾವು ಅಲ್ಪವಿರಾಮದಿಂದ (ಅಥವಾ ಅರ್ಧವಿರಾಮ ಚಿಹ್ನೆಗಳಿಂದ) ಬೇರ್ಪಡಿಸಿದ ಪದಗಳನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ:

a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, .....

a 1- ಇದು ಮೊದಲ ಸಂಖ್ಯೆ, a 3- ಮೂರನೇ, ಇತ್ಯಾದಿ. ಅಲಂಕಾರಿಕ ಏನೂ ಇಲ್ಲ. ಈ ಸರಣಿಯನ್ನು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದು: (ಎ ಎನ್).

ಪ್ರಗತಿಗಳು ಸಂಭವಿಸುತ್ತವೆ ಸೀಮಿತ ಮತ್ತು ಅನಂತ.

ಅಂತಿಮಪ್ರಗತಿಯು ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸದಸ್ಯರನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಐದು, ಮೂವತ್ತೆಂಟು, ಏನೇ ಇರಲಿ. ಆದರೆ ಇದು ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆ.

ಅನಂತಪ್ರಗತಿ - ನೀವು ಊಹಿಸಿದಂತೆ ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸದಸ್ಯರನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.)

ನೀವು ಈ ರೀತಿಯ ಸರಣಿಯ ಮೂಲಕ ಅಂತಿಮ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಬರೆಯಬಹುದು, ಎಲ್ಲಾ ನಿಯಮಗಳು ಮತ್ತು ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಡಾಟ್:

a 1, a 2, a 3, a 4, a 5.

ಅಥವಾ ಈ ರೀತಿಯಾಗಿ, ಅನೇಕ ಸದಸ್ಯರಿದ್ದರೆ:

a 1, a 2, ... a 14, a 15.

ಕಿರು ಪ್ರವೇಶದಲ್ಲಿ ನೀವು ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ ಸದಸ್ಯರ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸಬೇಕು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ (ಇಪ್ಪತ್ತು ಸದಸ್ಯರಿಗೆ), ಈ ರೀತಿ:

(a n), n = 20

ಈ ಪಾಠದಲ್ಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳಂತೆ, ಸಾಲಿನ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಎಲಿಪ್ಸಿಸ್ನಿಂದ ಅನಂತ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಗುರುತಿಸಬಹುದು.

ಈಗ ನೀವು ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು. ಕಾರ್ಯಗಳು ಸರಳವಾಗಿದ್ದು, ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಅರ್ಥವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ.

ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು.

ಮೇಲೆ ನೀಡಲಾದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವಿವರವಾಗಿ ನೋಡೋಣ:

1. 2 = 5, d = -2.5 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ (a n) ಮೊದಲ ಆರು ಪದಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

ನಾವು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಅರ್ಥವಾಗುವ ಭಾಷೆಗೆ ಅನುವಾದಿಸುತ್ತೇವೆ. ಅನಂತ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಈ ಪ್ರಗತಿಯ ಎರಡನೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ: a 2 = 5.ಪ್ರಗತಿಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ತಿಳಿದಿದೆ: d = -2.5.ಈ ಪ್ರಗತಿಯ ಮೊದಲ, ಮೂರನೇ, ನಾಲ್ಕನೇ, ಐದನೇ ಮತ್ತು ಆರನೇ ಪದಗಳನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು.

ಸ್ಪಷ್ಟತೆಗಾಗಿ, ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳ ಪ್ರಕಾರ ನಾನು ಸರಣಿಯನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇನೆ. ಮೊದಲ ಆರು ಪದಗಳು, ಅಲ್ಲಿ ಎರಡನೇ ಪದವು ಐದು:

a 1, 5, a 3, a 4, a 5, a 6,....

a 3 = a 2 + ಡಿ

ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ a 2 = 5ಮತ್ತು d = -2.5. ಮೈನಸ್ ಬಗ್ಗೆ ಮರೆಯಬೇಡಿ!

a 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

ಮೂರನೆಯ ಅವಧಿಯು ಎರಡನೆಯದಕ್ಕಿಂತ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ. ಎಲ್ಲವೂ ತಾರ್ಕಿಕವಾಗಿದೆ. ಸಂಖ್ಯೆಯು ಹಿಂದಿನದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿದ್ದರೆ ಋಣಾತ್ಮಕಮೌಲ್ಯ, ಅಂದರೆ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಹಿಂದಿನದಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿರುತ್ತದೆ. ಪ್ರಗತಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿದೆ. ಸರಿ, ಅದನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ.) ನಮ್ಮ ಸರಣಿಯ ನಾಲ್ಕನೇ ಅವಧಿಯನ್ನು ನಾವು ಎಣಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಒಂದು 4 = a 3 + ಡಿ

ಒಂದು 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

ಒಂದು 5 = ಒಂದು 4 + ಡಿ

ಒಂದು 5=0+(-2,5)= - 2,5

ಒಂದು 6 = ಒಂದು 5 + ಡಿ

ಒಂದು 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

ಆದ್ದರಿಂದ, ಮೂರನೇಯಿಂದ ಆರನೆಯವರೆಗಿನ ಪದಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗಿದೆ. ಫಲಿತಾಂಶವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸರಣಿಯಾಗಿದೆ:

a 1, 5, 2.5, 0, -2.5, -5, ....

ಮೊದಲ ಪದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಇದು ಉಳಿದಿದೆ a 1ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಎರಡನೇ ಪ್ರಕಾರ. ಇದು ಇನ್ನೊಂದು ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ, ಎಡಕ್ಕೆ ಒಂದು ಹೆಜ್ಜೆಯಾಗಿದೆ.) ಆದ್ದರಿಂದ, ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಡಿಗೆ ಸೇರಿಸಬಾರದು a 2, ಎ ತೆಗೆದುಕೊ:

a 1 = a 2 - ಡಿ

a 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

ಅಷ್ಟೇ. ನಿಯೋಜನೆ ಉತ್ತರ:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

ಹಾದುಹೋಗುವಾಗ, ನಾವು ಈ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ನಾನು ಗಮನಿಸಲು ಬಯಸುತ್ತೇನೆ ಮರುಕಳಿಸುವದಾರಿ. ಈ ಭಯಾನಕ ಪದವು ಪ್ರಗತಿಯ ಸದಸ್ಯರ ಹುಡುಕಾಟ ಮಾತ್ರ ಎಂದರ್ಥ ಹಿಂದಿನ (ಪಕ್ಕದ) ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪ್ರಕಾರ.ಕೆಳಗೆ ಪ್ರಗತಿಯೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡಲು ನಾವು ಇತರ ಮಾರ್ಗಗಳನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ.

ಈ ಸರಳ ಕಾರ್ಯದಿಂದ ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ತೀರ್ಮಾನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು.

ನೆನಪಿಡಿ:

ನಾವು ಕನಿಷ್ಟ ಒಂದು ಪದವನ್ನು ಮತ್ತು ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ, ಈ ಪ್ರಗತಿಯ ಯಾವುದೇ ಪದವನ್ನು ನಾವು ಕಾಣಬಹುದು.

ನಿನಗೆ ನೆನಪಿದೆಯಾ? ಈ ವಿಷಯದ ಬಗ್ಗೆ ಶಾಲಾ ಕೋರ್ಸ್‌ನ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಈ ಸರಳ ತೀರ್ಮಾನವು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಎಲ್ಲಾ ಕಾರ್ಯಗಳು ಮೂರು ಮುಖ್ಯ ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಸುತ್ತುತ್ತವೆ: ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಸದಸ್ಯ, ಪ್ರಗತಿಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸ, ಪ್ರಗತಿಯ ಸದಸ್ಯರ ಸಂಖ್ಯೆ.ಎಲ್ಲಾ.

ಸಹಜವಾಗಿ, ಎಲ್ಲಾ ಹಿಂದಿನ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ರದ್ದುಗೊಳಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ.) ಅಸಮಾನತೆಗಳು, ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ಇತರ ವಿಷಯಗಳು ಪ್ರಗತಿಗೆ ಲಗತ್ತಿಸಲಾಗಿದೆ. ಆದರೆ ಸ್ವತಃ ಪ್ರಗತಿಯ ಪ್ರಕಾರ- ಎಲ್ಲವೂ ಮೂರು ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಸುತ್ತ ಸುತ್ತುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ, ಈ ವಿಷಯದ ಕುರಿತು ಕೆಲವು ಜನಪ್ರಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ.

2. n=5, d = 0.4, ಮತ್ತು a 1 = 3.6 ಆಗಿದ್ದರೆ ಸೀಮಿತ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಸರಣಿಯಾಗಿ ಬರೆಯಿರಿ.

ಇಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲವೂ ಸರಳವಾಗಿದೆ. ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಈಗಾಗಲೇ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಸದಸ್ಯರನ್ನು ಹೇಗೆ ಎಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೀವು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಬೇಕು, ಅವುಗಳನ್ನು ಎಣಿಸಿ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ. ಕಾರ್ಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ಪದಗಳನ್ನು ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳದಂತೆ ಸಲಹೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ: "ಅಂತಿಮ" ಮತ್ತು " n=5". ಆದ್ದರಿಂದ ನೀವು ಮುಖದಲ್ಲಿ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನೀಲಿ ಬಣ್ಣಕ್ಕೆ ಬರುವವರೆಗೆ ಎಣಿಕೆ ಮಾಡಬಾರದು.) ಈ ಪ್ರಗತಿಯಲ್ಲಿ ಕೇವಲ 5 (ಐದು) ಸದಸ್ಯರಿದ್ದಾರೆ:

a 2 = a 1 + d = 3.6 + 0.4 = 4

a 3 = a 2 + d = 4 + 0.4 = 4.4

ಒಂದು 4 = a 3 + d = 4.4 + 0.4 = 4.8

ಒಂದು 5 = ಒಂದು 4 + d = 4.8 + 0.4 = 5.2

ಉತ್ತರವನ್ನು ಬರೆಯಲು ಇದು ಉಳಿದಿದೆ:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

ಇನ್ನೊಂದು ಕಾರ್ಯ:

3. ಸಂಖ್ಯೆ 7 ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ (a n) ಸದಸ್ಯ ಎಂದು ನಿರ್ಧರಿಸಿ a 1 = 4.1; d = 1.2.

ಹಾಂ... ಯಾರಿಗೆ ಗೊತ್ತು? ಏನನ್ನಾದರೂ ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು ಹೇಗೆ?

ಹೇಗೆ-ಹೇಗೆ... ಸರಣಿಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ ಮತ್ತು ಅಲ್ಲಿ ಏಳು ಇರುತ್ತದೆಯೇ ಅಥವಾ ಇಲ್ಲವೇ ಎಂಬುದನ್ನು ನೋಡಿ! ನಾವು ಎಣಿಸುತ್ತೇವೆ:

a 2 = a 1 + d = 4.1 + 1.2 = 5.3

a 3 = a 2 + d = 5.3 + 1.2 = 6.5

ಒಂದು 4 = a 3 + d = 6.5 + 1.2 = 7.7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

ಈಗ ನಾವು ಕೇವಲ ಏಳು ಎಂದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಗೋಚರಿಸುತ್ತದೆ ಜಾರಿದರು 6.5 ಮತ್ತು 7.7 ರ ನಡುವೆ! ಏಳು ನಮ್ಮ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ ಬರುವುದಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು, ಆದ್ದರಿಂದ, ಏಳು ನೀಡಿದ ಪ್ರಗತಿಯ ಸದಸ್ಯರಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ.

ಉತ್ತರ: ಇಲ್ಲ.

ಮತ್ತು GIA ಯ ನೈಜ ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿದ ಸಮಸ್ಯೆ ಇಲ್ಲಿದೆ:

4. ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಹಲವಾರು ಸತತ ಪದಗಳನ್ನು ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ:

...; 15; X; 9; 6; ...

ಅಂತ್ಯ ಮತ್ತು ಆರಂಭವಿಲ್ಲದೆ ಬರೆದ ಸರಣಿ ಇಲ್ಲಿದೆ. ಸದಸ್ಯರ ಸಂಖ್ಯೆ ಇಲ್ಲ, ವ್ಯತ್ಯಾಸವಿಲ್ಲ ಡಿ. ಪರವಾಗಿಲ್ಲ. ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಅರ್ಥವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಸಾಕು. ಏನು ಸಾಧ್ಯ ಎಂದು ನೋಡೋಣ ಮತ್ತು ನೋಡೋಣ ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಲುಈ ಸರಣಿಯಿಂದ? ಮೂರು ಮುಖ್ಯ ನಿಯತಾಂಕಗಳು ಯಾವುವು?

ಸದಸ್ಯರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು? ಇಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆ ಇಲ್ಲ.

ಆದರೆ ಮೂರು ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿವೆ ಮತ್ತು - ಗಮನ! - ಪದ "ಸ್ಥಿರ"ಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ. ಇದರರ್ಥ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಅಂತರವಿಲ್ಲದೆ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿವೆ. ಈ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಇಬ್ಬರು ಇದ್ದಾರೆಯೇ? ನೆರೆಯತಿಳಿದಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು? ಹೌದು ನನ್ನೊಂದಿಗಿದೆ! ಇವು 9 ಮತ್ತು 6. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು! ಆರರಿಂದ ಕಳೆಯಿರಿ ಹಿಂದಿನಸಂಖ್ಯೆ, ಅಂದರೆ. ಒಂಬತ್ತು:

ಕೇವಲ ಟ್ರೈಫಲ್ಸ್ ಉಳಿದಿವೆ. X ಗೆ ಹಿಂದಿನ ಸಂಖ್ಯೆ ಯಾವುದು? ಹದಿನೈದು. ಅಂದರೆ X ಅನ್ನು ಸರಳವಾದ ಸೇರ್ಪಡೆಯಿಂದ ಸುಲಭವಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು 15 ಕ್ಕೆ ಸೇರಿಸಿ:

ಅಷ್ಟೇ. ಉತ್ತರ: x=12

ಕೆಳಗಿನ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ನಾವೇ ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಗಮನಿಸಿ: ಈ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿಲ್ಲ. ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಅರ್ಥವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು.) ನಾವು ಕೇವಲ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಅಕ್ಷರಗಳ ಸರಣಿಯನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ, ಅದನ್ನು ನೋಡಿ ಮತ್ತು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ.

5. 5 = -3 ಆಗಿದ್ದರೆ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಮೊದಲ ಧನಾತ್ಮಕ ಪದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ; d = 1.1.

6. ಸಂಖ್ಯೆ 5.5 ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ (a n) ಸದಸ್ಯ ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ a 1 = 1.6; d = 1.3. ಈ ಪದದ ಸಂಖ್ಯೆ n ಅನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ.

7. ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯಲ್ಲಿ a 2 = 4 ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ; a 5 = 15.1. 3 ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

8. ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಹಲವಾರು ಸತತ ಪದಗಳನ್ನು ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ:

...; 15.6; X; 3.4; ...

x ಅಕ್ಷರದಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾದ ಪ್ರಗತಿಯ ಪದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

9. ರೈಲು ನಿಲ್ದಾಣದಿಂದ ಚಲಿಸಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿತು, ಪ್ರತಿ ನಿಮಿಷಕ್ಕೆ 30 ಮೀಟರ್ ವೇಗವನ್ನು ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಿಸಿತು. ಐದು ನಿಮಿಷಗಳಲ್ಲಿ ರೈಲಿನ ವೇಗ ಎಷ್ಟು? ನಿಮ್ಮ ಉತ್ತರವನ್ನು ಕಿಮೀ/ಗಂಟೆಯಲ್ಲಿ ನೀಡಿ.

10. ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯಲ್ಲಿ a 2 = 5 ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ; a 6 = -5. 1 ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಉತ್ತರಗಳು (ಅಸ್ತವ್ಯಸ್ತವಾಗಿದೆ): 7.7; 7.5; 9.5; 9; 0.3; 4.

ಎಲ್ಲವೂ ಕೆಲಸ ಮಾಡಿದೆಯೇ? ಅದ್ಭುತ! ಕೆಳಗಿನ ಪಾಠಗಳಲ್ಲಿ ನೀವು ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಉನ್ನತ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ ಕರಗತ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು.

ಎಲ್ಲವೂ ಕಾರ್ಯರೂಪಕ್ಕೆ ಬರಲಿಲ್ಲವೇ? ಯಾವ ತೊಂದರೆಯಿಲ್ಲ. ವಿಶೇಷ ವಿಭಾಗ 555 ರಲ್ಲಿ, ಈ ಎಲ್ಲಾ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ತುಂಡಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ.) ಮತ್ತು, ಸಹಜವಾಗಿ, ಸರಳವಾದ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ತಂತ್ರವನ್ನು ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅದು ತಕ್ಷಣವೇ ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ, ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ, ಒಂದು ನೋಟದಲ್ಲಿ ಎತ್ತಿ ತೋರಿಸುತ್ತದೆ!

ಮೂಲಕ, ರೈಲು ಪಝಲ್ನಲ್ಲಿ ಜನರು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಎಡವಿ ಬೀಳುವ ಎರಡು ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿವೆ. ಒಂದು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಪ್ರಗತಿಯ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ, ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿನ ಯಾವುದೇ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ. ಇದು ಒಂದರಿಂದ ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ಆಯಾಮಗಳ ಅನುವಾದವಾಗಿದೆ. ಈ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸಬೇಕು ಎಂಬುದನ್ನು ಇದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ.

ಈ ಪಾಠದಲ್ಲಿ ನಾವು ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಅರ್ಥ ಮತ್ತು ಅದರ ಮುಖ್ಯ ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ನೋಡಿದ್ದೇವೆ. ಈ ವಿಷಯದ ಬಹುತೇಕ ಎಲ್ಲಾ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಇದು ಸಾಕು. ಸೇರಿಸಿ ಡಿಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ, ಸರಣಿಯನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ, ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುವುದು.

ಈ ಪಾಠದಲ್ಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿರುವಂತೆ ಬೆರಳಿನ ಪರಿಹಾರವು ಒಂದು ಸಾಲಿನ ಚಿಕ್ಕ ತುಣುಕುಗಳಿಗೆ ಉತ್ತಮವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಸರಣಿಯು ಉದ್ದವಾಗಿದ್ದರೆ, ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು ಹೆಚ್ಚು ಜಟಿಲವಾಗುತ್ತವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಮಸ್ಯೆ 9 ರಲ್ಲಿ ಪ್ರಶ್ನೆಯಲ್ಲಿ ನಾವು ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತೇವೆ "ಐದು ನಿಮಿಷ"ಮೇಲೆ "ಮೂವತ್ತೈದು ನಿಮಿಷಗಳು"ಸಮಸ್ಯೆಯು ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ಉಲ್ಬಣಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.)

ಮತ್ತು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಸರಳವಾದ ಕಾರ್ಯಗಳು ಸಹ ಇವೆ, ಆದರೆ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಅಸಂಬದ್ಧವಾಗಿದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ:

ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು (a n) ನೀಡಲಾಗಿದೆ. 1 =3 ಮತ್ತು d=1/6 ಆಗಿದ್ದರೆ 121 ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಹಾಗಾದರೆ, ನಾವು 1/6 ಅನ್ನು ಹಲವು, ಹಲವು ಬಾರಿ ಸೇರಿಸಲಿದ್ದೇವೆಯೇ?! ನೀವೇ ಕೊಲ್ಲಬಹುದೇ!?

ನೀವು ಮಾಡಬಹುದು.) ನೀವು ಒಂದು ನಿಮಿಷದಲ್ಲಿ ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದಾದ ಸರಳ ಸೂತ್ರವನ್ನು ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ. ಈ ಸೂತ್ರವು ಮುಂದಿನ ಪಾಠದಲ್ಲಿದೆ. ಮತ್ತು ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಅಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ನಿಮಿಷದಲ್ಲಿ.)

ನೀವು ಈ ಸೈಟ್ ಅನ್ನು ಇಷ್ಟಪಟ್ಟರೆ...

ಅಂದಹಾಗೆ, ನಾನು ನಿಮಗಾಗಿ ಇನ್ನೂ ಒಂದೆರಡು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಸೈಟ್‌ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇನೆ.)

ನೀವು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದನ್ನು ಅಭ್ಯಾಸ ಮಾಡಬಹುದು ಮತ್ತು ನಿಮ್ಮ ಮಟ್ಟವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ತ್ವರಿತ ಪರಿಶೀಲನೆಯೊಂದಿಗೆ ಪರೀಕ್ಷೆ. ಕಲಿಯೋಣ - ಆಸಕ್ತಿಯಿಂದ!)

ನೀವು ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನಗಳೊಂದಿಗೆ ಪರಿಚಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅನುಕ್ರಮ $2$; $5$; $8$; $ಹನ್ನೊಂದು$; $14$... ಒಂದು ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಪ್ರತಿ ನಂತರದ ಅಂಶವು ಹಿಂದಿನ ಒಂದರಿಂದ ಮೂರರಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಮೂರನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಹಿಂದಿನದರಿಂದ ಪಡೆಯಬಹುದು):

ಈ ಪ್ರಗತಿಯಲ್ಲಿ, ವ್ಯತ್ಯಾಸ $d$ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ ($3$ ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ), ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಪ್ರತಿ ಮುಂದಿನ ಪದವು ಹಿಂದಿನದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿದೆ.

ಆದಾಗ್ಯೂ, $d$ ಸಹ ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯಲ್ಲಿ $16$; $10$; $4$; $-2$; $-8$... ಪ್ರಗತಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸ $d$ ಮೈನಸ್ ಆರಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಮತ್ತು ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಪ್ರತಿ ಮುಂದಿನ ಅಂಶವು ಹಿಂದಿನದಕ್ಕಿಂತ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಪ್ರಗತಿಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿದೆ.

ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಸಂಕೇತ

ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಸಣ್ಣ ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಅಕ್ಷರದಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸದಸ್ಯರು(ಅಥವಾ ಅಂಶಗಳು).

ಅವುಗಳನ್ನು ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯಂತೆ ಅದೇ ಅಕ್ಷರದಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿರುವ ಅಂಶದ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಸೂಚ್ಯಂಕದೊಂದಿಗೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿ $a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14...\right$\) ಅಂಶಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ $a_1=2$; $a_2=5$; $a_3=8$ ಮತ್ತು ಹೀಗೆ.

ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಪ್ರಗತಿಗಾಗಿ $a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14...\ಬಲ$\)

ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು

ತಾತ್ವಿಕವಾಗಿ, ಮೇಲೆ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಿದ ಮಾಹಿತಿಯು ಯಾವುದೇ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಈಗಾಗಲೇ ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ (OGE ನಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದವುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ).

ಉದಾಹರಣೆ (OGE). ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಷರತ್ತುಗಳಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗಿದೆ $b_1=7; d=4$. $b_5$ ಹುಡುಕಿ
ಪರಿಹಾರ:

ಉತ್ತರ: $b_5=23$

ಉದಾಹರಣೆ (OGE). ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಮೊದಲ ಮೂರು ಪದಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ: $62; 49; 36...$ ಈ ಪ್ರಗತಿಯ ಮೊದಲ ಋಣಾತ್ಮಕ ಪದದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ..
ಪರಿಹಾರ:

	ನಮಗೆ ಅನುಕ್ರಮದ ಮೊದಲ ಅಂಶಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿ ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ. ಅಂದರೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶವು ಅದರ ನೆರೆಹೊರೆಯವರಿಂದ ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮುಂದಿನ ಅಂಶದಿಂದ ಹಿಂದಿನದನ್ನು ಕಳೆಯುವುದರ ಮೂಲಕ ಯಾವುದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ: $d=49-62=-13$.
	ಈಗ ನಾವು ನಮ್ಮ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ನಮಗೆ ಅಗತ್ಯವಿರುವ (ಮೊದಲ ಋಣಾತ್ಮಕ) ಅಂಶಕ್ಕೆ ಮರುಸ್ಥಾಪಿಸಬಹುದು.
	ಸಿದ್ಧವಾಗಿದೆ. ನೀವು ಉತ್ತರವನ್ನು ಬರೆಯಬಹುದು.

ಉತ್ತರ: $-3$

ಉದಾಹರಣೆ (OGE). ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಹಲವಾರು ಸತತ ಅಂಶಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ: $...5; x; 10; 12.5...$ $x$ ಅಕ್ಷರದಿಂದ ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಿದ ಅಂಶದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
ಪರಿಹಾರ:

	$x$ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ಮುಂದಿನ ಅಂಶವು ಹಿಂದಿನದಕ್ಕಿಂತ ಎಷ್ಟು ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು, ಅಂದರೆ, ಪ್ರಗತಿಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸ. ತಿಳಿದಿರುವ ಎರಡು ನೆರೆಯ ಅಂಶಗಳಿಂದ ಅದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ: $d=12.5-10=2.5$.
	ಮತ್ತು ಈಗ ನಾವು ಹುಡುಕುತ್ತಿರುವುದನ್ನು ನಾವು ಸುಲಭವಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು: $x=5+2.5=7.5$.
	ಸಿದ್ಧವಾಗಿದೆ. ನೀವು ಉತ್ತರವನ್ನು ಬರೆಯಬಹುದು.

ಉತ್ತರ: $7,5$.

ಉದಾಹರಣೆ (OGE). ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಷರತ್ತುಗಳಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ: $a_1=-11$; $a_(n+1)=a_n+5$ ಈ ಪ್ರಗತಿಯ ಮೊದಲ ಆರು ಪದಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಹುಡುಕಿ.
ಪರಿಹಾರ:

ನಾವು ಪ್ರಗತಿಯ ಮೊದಲ ಆರು ಪದಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು. ಆದರೆ ಅವುಗಳ ಅರ್ಥಗಳು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ; ನಮಗೆ ಮೊದಲ ಅಂಶವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಮೊದಲು ನಮಗೆ ನೀಡಲಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಒಂದೊಂದಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ:

$n=1$; $a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6$
$n=2$; $a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1$
$n=3$; $a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4$
ಮತ್ತು ನಮಗೆ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಆರು ಅಂಶಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿದ ನಂತರ, ನಾವು ಅವುಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.

$S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=$
$=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9$

ಅಗತ್ಯ ಮೊತ್ತ ಪತ್ತೆಯಾಗಿದೆ.

ಉತ್ತರ: $S_6=9$.

ಉದಾಹರಣೆ (OGE). ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯಲ್ಲಿ $a_(12)=23$; $a_(16)=51$. ಈ ಪ್ರಗತಿಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
ಪರಿಹಾರ:

ಉತ್ತರ: $d=7$.

ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಗೆ ಪ್ರಮುಖ ಸೂತ್ರಗಳು

ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯಲ್ಲಿನ ಅನೇಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಮುಖ್ಯ ವಿಷಯವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ಸರಳವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು - ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸರಪಳಿಯಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಈ ಸರಪಳಿಯಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶವನ್ನು ಹಿಂದಿನದಕ್ಕೆ ಅದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ( ಪ್ರಗತಿಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸ).

ಆದಾಗ್ಯೂ, ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ "ಹೆಡ್-ಆನ್" ಅನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವಾಗ ಬಹಳ ಅನಾನುಕೂಲವಾದ ಸಂದರ್ಭಗಳಿವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೊದಲ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ನಾವು ಐದನೇ ಅಂಶ $b_5$, ಆದರೆ ಮುನ್ನೂರ ಎಂಬತ್ತಾರನೇ $b_(386)$ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು ಎಂದು ಊಹಿಸಿ. ನಾವು ನಾಲ್ಕು $385$ ಬಾರಿ ಸೇರಿಸಬೇಕೇ? ಅಥವಾ ಅಂತಿಮ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ನೀವು ಮೊದಲ ಎಪ್ಪತ್ತಮೂರು ಅಂಶಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು ಎಂದು ಊಹಿಸಿ. ನೀವು ಎಣಿಸಲು ಸುಸ್ತಾಗುತ್ತೀರಿ ...

ಆದ್ದರಿಂದ, ಅಂತಹ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಅವರು "ಹೆಡ್-ಆನ್" ವಿಷಯಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಗಾಗಿ ಪಡೆದ ವಿಶೇಷ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತಾರೆ. ಮತ್ತು ಮುಖ್ಯವಾದವುಗಳು ಪ್ರಗತಿಯ n ನೇ ಪದದ ಸೂತ್ರ ಮತ್ತು $n$ ಮೊದಲ ಪದಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸೂತ್ರವಾಗಿದೆ.

$n$ನೇ ಪದದ ಸೂತ್ರ: $a_n=a_1+(n-1)d$, ಇಲ್ಲಿ $a_1$ ಪ್ರಗತಿಯ ಮೊದಲ ಪದವಾಗಿದೆ;
$n$ - ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಅಂಶದ ಸಂಖ್ಯೆ;
$a_n$ – ಸಂಖ್ಯೆ $n$ ಜೊತೆಗೆ ಪ್ರಗತಿಯ ಪದ

ಈ ಸೂತ್ರವು ಪ್ರಗತಿಯ ಮೊದಲ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಮಾತ್ರ ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ಮುನ್ನೂರನೇ ಅಥವಾ ಮಿಲಿಯನ್ ಅಂಶವನ್ನು ತ್ವರಿತವಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ. ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಷರತ್ತುಗಳಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ: $b_1=-159$; $d=8.2$. $b_(246)$ ಹುಡುಕಿ
ಪರಿಹಾರ:

ಉತ್ತರ: $b_(246)=1850$.

ಮೊದಲ n ಪದಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸೂತ್ರ: $S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n$, ಅಲ್ಲಿ

$a_n$ – ಕೊನೆಯ ಸಾರಾಂಶ ಪದ;

ಉದಾಹರಣೆ (OGE). ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಷರತ್ತುಗಳು $a_n=3.4n-0.6$ ಮೂಲಕ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ಪ್ರಗತಿಯ ಮೊದಲ $25$ ನಿಯಮಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಹುಡುಕಿ.
ಪರಿಹಾರ:

$S_(25)=$$\frac(a_1+a_(25))(2 )$ $\cdot 25$		ಮೊದಲ ಇಪ್ಪತ್ತೈದು ಪದಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು, ನಾವು ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಇಪ್ಪತ್ತೈದನೇ ಪದಗಳ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ನಮ್ಮ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಅದರ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ n ನೇ ಪದದ ಸೂತ್ರದಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ (ಹೆಚ್ಚಿನ ವಿವರಗಳಿಗಾಗಿ, ನೋಡಿ). $n$ ಗಾಗಿ ಒಂದನ್ನು ಬದಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮೊದಲ ಅಂಶವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ.
$n=1;$ $a_1=3.4·1-0.6=2.8$		ಈಗ $n$ ಬದಲಿಗೆ ಇಪ್ಪತ್ತೈದನ್ನು ಬದಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ಇಪ್ಪತ್ತೈದನೇ ಪದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ.
$n=25;$ $a_(25)=3.4·25-0.6=84.4$		ಸರಿ, ಈಗ ನಾವು ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬಹುದು.
$S_(25)=$$\frac(a_1+a_(25))(2)$ $\cdot 25=$ $=$ $\frac(2.8+84.4)(2)$ $\cdot 25 =$$1090$		ಉತ್ತರ ಸಿದ್ಧವಾಗಿದೆ.

ಉತ್ತರ: $S_(25)=1090$.

ಮೊದಲ ನಿಯಮಗಳ ಮೊತ್ತ $n$ ಗೆ, ನೀವು ಇನ್ನೊಂದು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು: ನೀವು ಕೇವಲ $S_(25)=$$\frac(a_1+a_(25))(2)$ \ (\cdot 25\ ) ಬದಲಿಗೆ $a_n$ ಅದಕ್ಕೆ ಸೂತ್ರವನ್ನು $a_n=a_1+(n-1)d$. ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಮೊದಲ n ಪದಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸೂತ್ರ: $S_n=$$\frac(2a_1+(n-1)d)(2)$ $\cdot n$, ಅಲ್ಲಿ

$S_n$ – ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಮೊತ್ತ $n$ ಮೊದಲ ಅಂಶ;
$a_1$ – ಮೊದಲ ಸಾರಾಂಶ ಪದ;
$d$ - ಪ್ರಗತಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸ;
$n$ – ಒಟ್ಟು ಅಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ.

ಉದಾಹರಣೆ. ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಮೊದಲ $33$-ಮಾಜಿ ನಿಯಮಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಹುಡುಕಿ: $17$; $15.5$; $14$…
ಪರಿಹಾರ:

ಉತ್ತರ: $S_(33)=-231$.

ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು

ಈಗ ನೀವು ಯಾವುದೇ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೀರಿ. ನೀವು ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಬೇಕಾದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ವಿಷಯವನ್ನು ಮುಗಿಸೋಣ, ಆದರೆ ಸ್ವಲ್ಪ ಯೋಚಿಸಿ (ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಇದು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಬಹುದು ☺)

ಉದಾಹರಣೆ (OGE). ಪ್ರಗತಿಯ ಎಲ್ಲಾ ಋಣಾತ್ಮಕ ಪದಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಹುಡುಕಿ: $-19.3$; $-19$; $-18.7$…
ಪರಿಹಾರ:

$S_n=$$\frac(2a_1+(n-1)d)(2)$ $\cdot n$		ಕಾರ್ಯವು ಹಿಂದಿನದಕ್ಕೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ. ನಾವು ಅದೇ ವಿಷಯವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತೇವೆ: ಮೊದಲು ನಾವು $d$ ಅನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.
$d=a_2-a_1=-19-(-19.3)=0.3$		ಈಗ ನಾನು ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ $d$ ಅನ್ನು ಬದಲಿಸಲು ಬಯಸುತ್ತೇನೆ ... ಮತ್ತು ಇಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಣ್ಣ ಸೂಕ್ಷ್ಮ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಹೊರಹೊಮ್ಮುತ್ತದೆ - ನಮಗೆ $n$ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಎಷ್ಟು ಪದಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಬೇಕು ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ. ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಹೇಗೆ? ಯೋಚಿಸೋಣ. ನಾವು ಮೊದಲ ಧನಾತ್ಮಕ ಅಂಶವನ್ನು ತಲುಪಿದಾಗ ನಾವು ಅಂಶಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದನ್ನು ನಿಲ್ಲಿಸುತ್ತೇವೆ. ಅಂದರೆ, ಈ ಅಂಶದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನೀವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು. ಹೇಗೆ? ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಯಾವುದೇ ಅಂಶವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬರೆಯೋಣ: ನಮ್ಮ ಪ್ರಕರಣಕ್ಕೆ $a_n=a_1+(n-1)d$.
$a_n=a_1+(n-1)d$
$a_n=-19.3+(n-1)·0.3$		ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾಗಲು ನಮಗೆ $a_n$ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ಇದು ಏನಾಗುತ್ತದೆ $n$ ನಲ್ಲಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ.
$-19.3+(n-1)·0.3>0$
$(ಎನ್-1)·0.3>19.3$ $\|:0.3$		ನಾವು ಅಸಮಾನತೆಯ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು $0.3$ ಮೂಲಕ ಭಾಗಿಸುತ್ತೇವೆ.
$n-1>$$\frac(19.3)(0.3)$		ನಾವು ಮೈನಸ್ ಒಂದನ್ನು ವರ್ಗಾಯಿಸುತ್ತೇವೆ, ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಲು ಮರೆಯುವುದಿಲ್ಲ
$n>$$\frac(19.3)(0.3)$ $+1$		ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕೋಣ...
$n>65,333...$		ಮತ್ತು ಮೊದಲ ಧನಾತ್ಮಕ ಅಂಶವು $66$ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ. ಅದರಂತೆ, ಕೊನೆಯ ಋಣಾತ್ಮಕವು $n=65$ ಹೊಂದಿದೆ. ಒಂದು ವೇಳೆ, ಇದನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ.
$n=65;$ $a_(65)=-19.3+(65-1)·0.3=-0.1$ $n=66;$ $a_(66)=-19.3+(66-1)·0.3=0.2$		ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಮೊದಲ $65$ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ.
$S_(65)=$ $\frac(2 \cdot (-19.3)+(65-1)0.3)(2)$$\cdot 65$ $S_(65)=$$(-38.6+19.2)(2)$$\cdot 65=-630.5$		ಉತ್ತರ ಸಿದ್ಧವಾಗಿದೆ.

ಉತ್ತರ: $S_(65)=-630.5$.

ಉದಾಹರಣೆ (OGE). ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಷರತ್ತುಗಳಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ: $a_1=-33$; $a_(n+1)=a_n+4$. $26$th ನಿಂದ $42$ ಅಂಶವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಹುಡುಕಿ.
ಪರಿಹಾರ:

$a_1=-33;$ $a_(n+1)=a_n+4$	ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ನೀವು ಅಂಶಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಸಹ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು, ಆದರೆ ಮೊದಲಿನಿಂದ ಅಲ್ಲ, ಆದರೆ $26$ ನೇಯಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ. ಅಂತಹ ಪ್ರಕರಣಕ್ಕೆ ನಮ್ಮ ಬಳಿ ಸೂತ್ರವಿಲ್ಲ. ಹೇಗೆ ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು? ಇದು ಸುಲಭ - $26$th ನಿಂದ $42$th ಗೆ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ನೀವು ಮೊದಲು $1$th ನಿಂದ $42$th ಗೆ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು ಮತ್ತು ನಂತರ ಕಳೆಯಬೇಕು ಅದರಿಂದ ಮೊತ್ತ ಮೊದಲಿನಿಂದ $25$ನೇ (ಚಿತ್ರ ನೋಡಿ).
	ನಮ್ಮ ಪ್ರಗತಿಗಾಗಿ $a_1=-33$, ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸ $d=4$ (ಎಲ್ಲಾ ನಂತರ, ಮುಂದಿನದನ್ನು ಹುಡುಕಲು ನಾವು ಹಿಂದಿನ ಅಂಶಕ್ಕೆ ನಾಲ್ಕನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ). ಇದನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಂಡು, ನಾವು ಮೊದಲ $42$ -y ಅಂಶಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.
$S_(42)=$ $\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)$$\cdot 42=$ $=$$\frac(-66+164)(2)$ $\cdot 42=2058$	ಈಗ ಮೊದಲ $25$ ಅಂಶಗಳ ಮೊತ್ತ.
$S_(25)=$ $\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)$$\cdot 25=$ $=$$\frac(-66+96)(2)$ $\cdot 25=375$	ಮತ್ತು ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ನಾವು ಉತ್ತರವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುತ್ತೇವೆ.
$S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683$

ಉತ್ತರ: $S=1683$.

ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಗಾಗಿ, ಅವುಗಳ ಕಡಿಮೆ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಉಪಯುಕ್ತತೆಯಿಂದಾಗಿ ನಾವು ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಪರಿಗಣಿಸದ ಇನ್ನೂ ಹಲವಾರು ಸೂತ್ರಗಳಿವೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ನೀವು ಅವುಗಳನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು.

ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅನುಕ್ರಮದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಪ್ರತಿ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಕೆಲವು ನೈಜ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸರಣಿಯು ನಿರಂಕುಶವಾಗಿರಬಹುದು ಅಥವಾ ಕೆಲವು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು - ಒಂದು ಪ್ರಗತಿ. ನಂತರದ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ, ಅನುಕ್ರಮದ ಪ್ರತಿ ನಂತರದ ಅಂಶವನ್ನು (ಸದಸ್ಯರು) ಹಿಂದಿನದನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು.

ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಅದರ ನೆರೆಯ ಸದಸ್ಯರು ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಪರಸ್ಪರ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ (ಸರಣಿಯ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳು, 2 ರಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತವೆ, ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ). ಈ ಸಂಖ್ಯೆ - ಹಿಂದಿನ ಮತ್ತು ನಂತರದ ಪದಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸ - ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಪ್ರಗತಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಪ್ರಗತಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸ: ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ

j ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ A = a(1), a(2), a(3), a(4) ... a(j), j ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿಗೆ ಸೇರಿದೆ N. ಅಂಕಗಣಿತ ಪ್ರಗತಿ, ಅದರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, ಒಂದು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ a (3) - a (2) = a (4) - a (3) = a (5) - a (4) = ... = a (j) - a(j-1) = d. ಡಿ ಮೌಲ್ಯವು ಈ ಪ್ರಗತಿಯ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ.

d = a (j) - a (j-1).

ಹೈಲೈಟ್:

ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಪ್ರಗತಿ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ d > 0. ಉದಾಹರಣೆ: 4, 8, 12, 16, 20, ...
ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವುದು, ನಂತರ ಡಿ< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಪ್ರಗತಿ ಮತ್ತು ಅದರ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಅಂಶಗಳು

ಪ್ರಗತಿಯ 2 ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಪದಗಳು ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ (i-th, k-th), ನಂತರ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅನುಕ್ರಮದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಸಂಬಂಧದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು:

a(i) = a(k) + (i – k)*d, ಅಂದರೆ d = (a(i) – a(k))/(i-k).

ಪ್ರಗತಿಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮತ್ತು ಅದರ ಮೊದಲ ಅವಧಿ

ಅನುಕ್ರಮ ಅಂಶದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ತಿಳಿದಿರುವ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಅಜ್ಞಾತ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ.

ಪ್ರಗತಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮತ್ತು ಅದರ ಮೊತ್ತ

ಪ್ರಗತಿಯ ಮೊತ್ತವು ಅದರ ನಿಯಮಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ. ಅದರ ಮೊದಲ ಜೆ ಅಂಶಗಳ ಒಟ್ಟು ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು, ಸೂಕ್ತವಾದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ:

S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, ಆದರೆ ರಿಂದ a(j) = a(1) + d(j – 1), ನಂತರ S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2a(1) + d(– 1))/2)*j.

ನಾವು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುವ ಮೊದಲು ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು, ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯು ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅನುಕ್ರಮದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅನುಕ್ರಮ ಏನೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅನುಕ್ರಮವು ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ, ಅದರ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶವು ತನ್ನದೇ ಆದ ಸರಣಿ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಗುಂಪಿನ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಅನುಕ್ರಮದ ಸದಸ್ಯರು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅನುಕ್ರಮ ಅಂಶದ ಸರಣಿ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೂಚ್ಯಂಕದಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಅನುಕ್ರಮದ ಮೊದಲ ಅಂಶ;

ಅನುಕ್ರಮದ ಐದನೇ ಅಂಶ;

- ಅನುಕ್ರಮದ "nth" ಅಂಶ, ಅಂದರೆ. ಸಂಖ್ಯೆ n ನಲ್ಲಿ "ಸರದಿಯಲ್ಲಿ ನಿಂತಿರುವ" ಅಂಶ.

ಅನುಕ್ರಮ ಅಂಶದ ಮೌಲ್ಯ ಮತ್ತು ಅದರ ಅನುಕ್ರಮ ಸಂಖ್ಯೆಯ ನಡುವೆ ಸಂಬಂಧವಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಒಂದು ಕಾರ್ಯವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು, ಅದರ ವಾದವು ಅನುಕ್ರಮದ ಅಂಶದ ಆರ್ಡಿನಲ್ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ನಾವು ಅದನ್ನು ಹೇಳಬಹುದು ಅನುಕ್ರಮವು ನೈಸರ್ಗಿಕ ವಾದದ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ:

ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಮೂರು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೊಂದಿಸಬಹುದು:

1 . ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಬಹುದು.ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಅನುಕ್ರಮದ ಪ್ರತಿ ಸದಸ್ಯರ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ಹೊಂದಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಯಾರಾದರೂ ವೈಯಕ್ತಿಕ ಸಮಯ ನಿರ್ವಹಣೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ನಿರ್ಧರಿಸಿದ್ದಾರೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಲು, ಅವರು ವಾರದಲ್ಲಿ VKontakte ನಲ್ಲಿ ಎಷ್ಟು ಸಮಯವನ್ನು ಕಳೆಯುತ್ತಾರೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಎಣಿಸಿ. ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ಸಮಯವನ್ನು ರೆಕಾರ್ಡ್ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ, ಅವರು ಏಳು ಅಂಶಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸುತ್ತಾರೆ:

ಮೇಜಿನ ಮೊದಲ ಸಾಲು ವಾರದ ದಿನದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಎರಡನೆಯದು - ನಿಮಿಷಗಳಲ್ಲಿ ಸಮಯ. ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ, ಅಂದರೆ ಸೋಮವಾರ ಯಾರಾದರೂ VKontakte ನಲ್ಲಿ 125 ನಿಮಿಷಗಳನ್ನು ಕಳೆದರು, ಅಂದರೆ ಗುರುವಾರ - 248 ನಿಮಿಷಗಳು ಮತ್ತು, ಅಂದರೆ ಶುಕ್ರವಾರ ಕೇವಲ 15.

2 . n ನೇ ಪದದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಬಹುದು.

ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅದರ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೇಲೆ ಅನುಕ್ರಮ ಅಂಶದ ಮೌಲ್ಯದ ಅವಲಂಬನೆಯನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ಸೂತ್ರದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ವೇಳೆ , ನಂತರ

ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯೊಂದಿಗೆ ಅನುಕ್ರಮ ಅಂಶದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನಾವು ಅಂಶ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು n ನೇ ಪದದ ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ.

ವಾದದ ಮೌಲ್ಯವು ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ ನಾವು ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕಾದರೆ ನಾವು ಅದೇ ಕೆಲಸವನ್ನು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ವಾದದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಾರ್ಯ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಒಂದು ವೇಳೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, , ಅದು

ಒಂದು ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿ, ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಕ್ರಿಯೆಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿ, ವಾದವು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರಬಹುದು ಎಂದು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ನಾನು ಗಮನಿಸುತ್ತೇನೆ.

3 . ಹಿಂದಿನ ಸದಸ್ಯರ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಮೇಲೆ ಅನುಕ್ರಮ ಸದಸ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ n ನ ಮೌಲ್ಯದ ಅವಲಂಬನೆಯನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಬಹುದು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅದರ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಅನುಕ್ರಮ ಸದಸ್ಯರ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಮಾತ್ರ ನಾವು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಸಾಕಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ನಾವು ಅನುಕ್ರಮದ ಮೊದಲ ಸದಸ್ಯ ಅಥವಾ ಮೊದಲ ಕೆಲವು ಸದಸ್ಯರನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ ,

ಅನುಕ್ರಮ ಸದಸ್ಯರ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನಾವು ಕಾಣಬಹುದು ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿ, ಮೂರನೆಯದರಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ:

ಅಂದರೆ, ಪ್ರತಿ ಬಾರಿ, ಅನುಕ್ರಮದ n ನೇ ಪದದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನಾವು ಹಿಂದಿನ ಎರಡಕ್ಕೆ ಹಿಂತಿರುಗುತ್ತೇವೆ. ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಸೂಚಿಸುವ ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮರುಕಳಿಸುವ, ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಪದದಿಂದ ಪುನರಾವರ್ತನೆ- ಮರಳಿ ಬಾ.

ಈಗ ನಾವು ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯು ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅನುಕ್ರಮದ ಸರಳ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ.

ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದೆ, ಅದರ ಪ್ರತಿ ಸದಸ್ಯ, ಎರಡನೆಯಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ, ಅದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸೇರಿಸಲಾದ ಹಿಂದಿನದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸ. ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಧನಾತ್ಮಕ, ಋಣಾತ್ಮಕ ಅಥವಾ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಶೀರ್ಷಿಕೆ="d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 2; 5; 8; ಹನ್ನೊಂದು;...

ಒಂದು ವೇಳೆ , ನಂತರ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಪ್ರತಿ ಪದವು ಹಿಂದಿನದಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಗತಿಯು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 2; -1; -4; -7;...

ಆಗಿದ್ದರೆ, ಪ್ರಗತಿಯ ಎಲ್ಲಾ ನಿಯಮಗಳು ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಗತಿಯು ಸ್ಥಾಯಿ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 2;2;2;2;...

ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಮುಖ್ಯ ಆಸ್ತಿ:

ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ನಾವು ಅದನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ

, ಮತ್ತು ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ

ಈ ಎರಡು ಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಸಮಾನತೆಯ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು 2 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸೋಣ:

ಆದ್ದರಿಂದ, ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಪ್ರತಿ ಸದಸ್ಯ, ಎರಡನೆಯದರಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ, ಎರಡು ನೆರೆಹೊರೆಯವರ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ಇದಲ್ಲದೆ, ರಿಂದ

, ಮತ್ತು ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ

, ಅದು

, ಆದ್ದರಿಂದ

ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪದವು ಶೀರ್ಷಿಕೆ="k>l. ನೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

ನೇ ಪದದ ಸೂತ್ರ.

ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ನಿಯಮಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ:

ಮತ್ತು ಅಂತಿಮವಾಗಿ

ನಮಗೆ ಸಿಕ್ಕಿತು n ನೇ ಅವಧಿಯ ಸೂತ್ರ.

ಪ್ರಮುಖ!ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಯಾವುದೇ ಸದಸ್ಯರನ್ನು ಮತ್ತು ಮೂಲಕ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು. ಮೊದಲ ಪದ ಮತ್ತು ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಂಡು, ನೀವು ಅದರ ಯಾವುದೇ ಪದಗಳನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು.

ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ n ಪದಗಳ ಮೊತ್ತ.

ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯಲ್ಲಿ, ತೀವ್ರ ಪದಗಳಿಗಿಂತ ಸಮಾನವಾದ ಪದಗಳ ಮೊತ್ತವು ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

n ಪದಗಳೊಂದಿಗೆ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಈ ಪ್ರಗತಿಯ n ಪದಗಳ ಮೊತ್ತವು ಸಮಾನವಾಗಿರಲಿ.

ಪ್ರಗತಿಯ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಮೊದಲು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಆರೋಹಣ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ನಂತರ ಅವರೋಹಣ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಜೋಡಿಸೋಣ:

ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಸೇರಿಸೋಣ:

ಪ್ರತಿ ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ನಲ್ಲಿರುವ ಮೊತ್ತವು , ಜೋಡಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ n ಆಗಿದೆ.

ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಆದ್ದರಿಂದ, ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ n ಪದಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು:

ಪರಿಗಣಿಸೋಣ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು.

1 . ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು n ನೇ ಪದದ ಸೂತ್ರದಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ: . ಈ ಅನುಕ್ರಮವು ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ.

ಅನುಕ್ರಮದ ಎರಡು ಪಕ್ಕದ ಪದಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ.

ಅನುಕ್ರಮದ ಎರಡು ಪಕ್ಕದ ಸದಸ್ಯರ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಅವರ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ, ಈ ಅನುಕ್ರಮವು ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯಾಗಿದೆ.

2 . ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ -31; -27;...

a) ಪ್ರಗತಿಯ 31 ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಬಿ) ಈ ಪ್ರಗತಿಯಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯೆ 41 ಅನ್ನು ಸೇರಿಸಲಾಗಿದೆಯೇ ಎಂದು ನಿರ್ಧರಿಸಿ.

ಎ)ನಾವು ಅದನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ;

ನಮ್ಮ ಪ್ರಗತಿಗಾಗಿ n ನೇ ಅವಧಿಯ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬರೆಯೋಣ.

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ

ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ , ಅದಕ್ಕಾಗಿಯೇ

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)		ಮೊದಲ ಇಪ್ಪತ್ತೈದು ಪದಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು, ನಾವು ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಇಪ್ಪತ್ತೈದನೇ ಪದಗಳ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ನಮ್ಮ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಅದರ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ n ನೇ ಪದದ ಸೂತ್ರದಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ (ಹೆಚ್ಚಿನ ವಿವರಗಳಿಗಾಗಿ, ನೋಡಿ). \(n\) ಗಾಗಿ ಒಂದನ್ನು ಬದಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮೊದಲ ಅಂಶವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ.
\(n=1;\) \(a_1=3.4·1-0.6=2.8\)		ಈಗ \(n\) ಬದಲಿಗೆ ಇಪ್ಪತ್ತೈದನ್ನು ಬದಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ಇಪ್ಪತ್ತೈದನೇ ಪದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ.
\(n=25;\) \(a_(25)=3.4·25-0.6=84.4\)		ಸರಿ, ಈಗ ನಾವು ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬಹುದು.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2.8+84.4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		ಉತ್ತರ ಸಿದ್ಧವಾಗಿದೆ.

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		ಕಾರ್ಯವು ಹಿಂದಿನದಕ್ಕೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ. ನಾವು ಅದೇ ವಿಷಯವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತೇವೆ: ಮೊದಲು ನಾವು \(d\) ಅನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.
\(d=a_2-a_1=-19-(-19.3)=0.3\)		ಈಗ ನಾನು ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ \(d\) ಅನ್ನು ಬದಲಿಸಲು ಬಯಸುತ್ತೇನೆ ... ಮತ್ತು ಇಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಣ್ಣ ಸೂಕ್ಷ್ಮ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಹೊರಹೊಮ್ಮುತ್ತದೆ - ನಮಗೆ \(n\) ತಿಳಿದಿಲ್ಲ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಎಷ್ಟು ಪದಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಬೇಕು ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ. ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಹೇಗೆ? ಯೋಚಿಸೋಣ. ನಾವು ಮೊದಲ ಧನಾತ್ಮಕ ಅಂಶವನ್ನು ತಲುಪಿದಾಗ ನಾವು ಅಂಶಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದನ್ನು ನಿಲ್ಲಿಸುತ್ತೇವೆ. ಅಂದರೆ, ಈ ಅಂಶದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನೀವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು. ಹೇಗೆ? ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಯಾವುದೇ ಅಂಶವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬರೆಯೋಣ: ನಮ್ಮ ಪ್ರಕರಣಕ್ಕೆ \(a_n=a_1+(n-1)d\).
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19.3+(n-1)·0.3\)		ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾಗಲು ನಮಗೆ \(a_n\) ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ಇದು ಏನಾಗುತ್ತದೆ \(n\) ನಲ್ಲಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ.
\(-19.3+(n-1)·0.3>0\)
\((ಎನ್-1)·0.3>19.3\) \(\|:0.3\)		ನಾವು ಅಸಮಾನತೆಯ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು \(0.3\) ಮೂಲಕ ಭಾಗಿಸುತ್ತೇವೆ.
\(n-1>\)\(\frac(19.3)(0.3)\)		ನಾವು ಮೈನಸ್ ಒಂದನ್ನು ವರ್ಗಾಯಿಸುತ್ತೇವೆ, ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಲು ಮರೆಯುವುದಿಲ್ಲ
\(n>\)\(\frac(19.3)(0.3)\) \(+1\)		ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕೋಣ...
\(n>65,333...\)		ಮತ್ತು ಮೊದಲ ಧನಾತ್ಮಕ ಅಂಶವು \(66\) ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ. ಅದರಂತೆ, ಕೊನೆಯ ಋಣಾತ್ಮಕವು \(n=65\) ಹೊಂದಿದೆ. ಒಂದು ವೇಳೆ, ಇದನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19.3+(65-1)·0.3=-0.1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19.3+(66-1)·0.3=0.2\)		ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಮೊದಲ \(65\) ಅಂಶಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ.
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19.3)+(65-1)0.3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38.6+19.2)(2)\)\(\cdot 65=-630.5\)		ಉತ್ತರ ಸಿದ್ಧವಾಗಿದೆ.

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ನೀವು ಅಂಶಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಸಹ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು, ಆದರೆ ಮೊದಲಿನಿಂದ ಅಲ್ಲ, ಆದರೆ \(26\) ನೇಯಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ. ಅಂತಹ ಪ್ರಕರಣಕ್ಕೆ ನಮ್ಮ ಬಳಿ ಸೂತ್ರವಿಲ್ಲ. ಹೇಗೆ ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು? ಇದು ಸುಲಭ - \(26\)th ನಿಂದ \(42\)th ಗೆ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ನೀವು ಮೊದಲು \(1\)th ನಿಂದ \(42\)th ಗೆ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು ಮತ್ತು ನಂತರ ಕಳೆಯಬೇಕು ಅದರಿಂದ ಮೊತ್ತ ಮೊದಲಿನಿಂದ \(25\)ನೇ (ಚಿತ್ರ ನೋಡಿ).
	ನಮ್ಮ ಪ್ರಗತಿಗಾಗಿ \(a_1=-33\), ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸ \(d=4\) (ಎಲ್ಲಾ ನಂತರ, ಮುಂದಿನದನ್ನು ಹುಡುಕಲು ನಾವು ಹಿಂದಿನ ಅಂಶಕ್ಕೆ ನಾಲ್ಕನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ). ಇದನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಂಡು, ನಾವು ಮೊದಲ \(42\) -y ಅಂಶಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	ಈಗ ಮೊದಲ \(25\) ಅಂಶಗಳ ಮೊತ್ತ.
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	ಮತ್ತು ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ನಾವು ಉತ್ತರವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುತ್ತೇವೆ.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)