ಯಾವುದೇ ಏಕತಾನತೆಯ ಮಿತಿಯ ಅನುಕ್ರಮವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ. ಸಂಖ್ಯೆ ಅನುಕ್ರಮಗಳು

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 1. ಅನುಕ್ರಮದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶವು, ಎರಡನೆಯದರಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುವ, ಅದರ ಹಿಂದಿನ ಅಂಶಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿಲ್ಲದಿದ್ದಲ್ಲಿ, ಅಂದರೆ, ಅಸಮಾನತೆಯು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ನಿಜವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡದಿರುವ [ಹೆಚ್ಚಲ್ಲದ] ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಖ್ಯೆಗಳು

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 2. ಒಂದು ಅನುಕ್ರಮವು ಕಡಿಮೆಯಾಗದ ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಾಗದಿದ್ದಲ್ಲಿ ಏಕತಾನತೆಯೆಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ.

ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗದ ಅನುಕ್ರಮದ ಅಂಶಗಳು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪೂರೈಸಿದರೆ, ಈ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಅಂತೆಯೇ, ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಾಗದ ಅನುಕ್ರಮದ ಅಂಶಗಳು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪೂರೈಸಿದರೆ, ಈ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಕಡಿಮೆಗೊಳಿಸುವಿಕೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಏಕತಾನತೆಯ ಅನುಕ್ರಮವು ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ ಒಂದು ಬದಿಯಲ್ಲಿ (ಮೇಲಿನಿಂದ ಅಥವಾ ಕೆಳಗಿನಿಂದ) ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಪ್ರತಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗದ ಅನುಕ್ರಮವು ಕೆಳಗಿನಿಂದ ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ (ಅದರ ಮೊದಲ ಅಂಶದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಬೌಂಡ್ ಆಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು), ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಹೆಚ್ಚದ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಮೇಲೆ ಮಿತಿಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಅದರ ಮೊದಲ ಅಂಶದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಮೇಲ್ಭಾಗದಲ್ಲಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಬಂಧಿಸಲಾಗಿದೆ).

ಕಡಿಮೆಯಾಗದ ಅನುಕ್ರಮವು ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ಸೀಮಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಥವಾ ಸರಳವಾಗಿ ಬೌಂಡ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಅದು ಮೇಲಿನ ಮಿತಿಯಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಾಗದ ಅನುಕ್ರಮವು ಕೆಳಗೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಮಾತ್ರ ಸೀಮಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ.

ಏಕತಾನತೆಯ ಅನುಕ್ರಮಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ.

1. ಅನುಕ್ರಮವು ಕಡಿಮೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಇದು ಅದರ ಮೊದಲ ಅಂಶದ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ಕೆಳಗಿನಿಂದ ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಮೇಲಿನಿಂದ ಸೀಮಿತವಾಗಿಲ್ಲ.

2. ಅನುಕ್ರಮವು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿದೆ. ಇದು ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ: ಮೇಲಿನಿಂದ ಅದರ ಮೊದಲ ಅಂಶ 2 ರ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನಿಂದ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಂಖ್ಯೆ 1 ರಿಂದ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು (x n) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸೀಮಿತ, ಯಾವುದಕ್ಕೂ M>0 ಸಂಖ್ಯೆ ಇದ್ದರೆ ಎನ್ಅಸಮಾನತೆ ನಿಜ:

ಆ. ಅನುಕ್ರಮದ ಎಲ್ಲಾ ಸದಸ್ಯರು ಮಧ್ಯಂತರಕ್ಕೆ (-M; M) ಸೇರಿದ್ದಾರೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅನುಕ್ರಮಗಳು 2 0), 3 0), 4 0), 5 0) ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅನುಕ್ರಮ 1 0) ಅನಿಯಮಿತವಾಗಿದೆ.

ಪ್ರಮೇಯವು ಸೀಮಿತ ಅನುಕ್ರಮದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಮತ್ತು ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ನೇರವಾಗಿ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ:

ಪ್ರಮೇಯ. x n ® a ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಅನುಕ್ರಮವು (x n ) ಸೀಮಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಸಂವಾದದ ಹೇಳಿಕೆಯು ನಿಜವಲ್ಲ ಎಂದು ಗಮನಿಸಬೇಕು, ಅಂದರೆ. ಒಂದು ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿಯು ಅದರ ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ಸೂಚಿಸುವುದಿಲ್ಲ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅನುಕ್ರಮ ಆದರೂ ಮಿತಿಯಿಲ್ಲ

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು (x n) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮೇಲೆ ಮಿತಿಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ, ಯಾವುದಾದರೂ ಇದ್ದರೆ ಎನ್ x n £ M ಎಂಬ ಸಂಖ್ಯೆ M ಇದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ.(x n ) = 3n – ಕೆಳಗೆ ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ (3, 6, 9, …).

ಏಕತಾನತೆಯ ಅನುಕ್ರಮಗಳು.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. 1) ಎಲ್ಲಾ n ಗೆ x n +1 > x n ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಅನುಕ್ರಮವು ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿದೆ.

2) ಎಲ್ಲಾ n ಗೆ x n +1 ³ x n ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಅನುಕ್ರಮವು ಕಡಿಮೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

3) x n +1 ಆಗಿದ್ದರೆ< x n для всех n, то последовательность убывающая.

4)ಎಲ್ಲಾ n ಗೆ x n +1 £ x n ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಅನುಕ್ರಮವು ಹೆಚ್ಚಾಗುವುದಿಲ್ಲ

ಈ ಎಲ್ಲಾ ಅನುಕ್ರಮಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಏಕತಾನತೆಯ.ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ ಅನುಕ್ರಮಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಏಕತಾನತೆಯ.

ಉದಾಹರಣೆ.(x n ) = 1/n - ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿದೆ ಮತ್ತು ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ

(x n) = n - ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಮತ್ತು ಅನಿಯಮಿತ.

ಉದಾಹರಣೆ.ಅನುಕ್ರಮ (x n )= ಏಕತಾನತೆ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ.ಅನುಕ್ರಮದ ಸದಸ್ಯರನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ (x n +1 )=

ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ: (x n)-(x n +1)=

, ಏಕೆಂದರೆ nÎN, ನಂತರ ಛೇದವು ಯಾವುದೇ n ಗೆ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಹೀಗೆ x n +1 > x n . ಅನುಕ್ರಮವು ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿದೆ, ಅದು ಸಾಬೀತಾಗಬೇಕಿತ್ತು.

ಉದಾಹರಣೆ.ಅನುಕ್ರಮವು ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿದೆಯೇ ಅಥವಾ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿದೆಯೇ ಎಂದು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ

ಪರಿಹಾರ.ಅದನ್ನು ಹುಡುಕೋಣ. ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ

ಏಕೆಂದರೆ nÎN, ನಂತರ 1 - 4n<0, т.е. х n+1 < x n . Последовательность монотонно убывает.

ಏಕತಾನತೆಯ ಅನುಕ್ರಮಗಳು ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಸೀಮಿತವಾಗಿವೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸಬೇಕು.

ಪ್ರಮೇಯ. ಏಕತಾನತೆಯ ಮಿತಿಯ ಅನುಕ್ರಮವು ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ಪುರಾವೆ. ಏಕತಾನತೆಯ ಇಳಿಕೆಯಾಗದ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ

x 1 £ x 2 £ x 3 £ … £ x n £ x n +1 £…

ಈ ಅನುಕ್ರಮವು ಮೇಲಿನಿಂದ ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ: x n £ M, ಇಲ್ಲಿ M ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆ.

ಏಕೆಂದರೆ ಮೇಲೆ ಸುತ್ತುವರಿದ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಸೆಟ್ ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ಮೇಲಿನ ಬೌಂಡ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಯಾವುದೇ e>0 ಗೆ x N > a - e, ಇಲ್ಲಿ a ಎಂಬುದು ಸೆಟ್‌ನ ಕೆಲವು ಮೇಲಿನ ಬೌಂಡ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ಏಕೆಂದರೆ (x n) ಎಂಬುದು ಕಡಿಮೆಯಾಗದ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದೆ, ನಂತರ N > n a - e ಗಾಗಿ< x N £ x n ,

ಆದ್ದರಿಂದ a - ಇ< x n < a + e

ಇ< x n – a < e или ôx n - aô< e, т.е. lim x n = a.

ಇತರ ಏಕತಾನತೆಯ ಅನುಕ್ರಮಗಳಿಗೆ ಪುರಾವೆಯು ಹೋಲುತ್ತದೆ.

ಪ್ರಮೇಯವು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.

§3. ಸಂಖ್ಯೆ ಇ.

ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ (x n ) = .

ಅನುಕ್ರಮವು (x n) ಏಕತಾನತೆಯಿಂದ ಕೂಡಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಸೀಮಿತವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಸೀಮಿತ ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.

ನ್ಯೂಟನ್ರ ದ್ವಿಪದ ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ:

ಅಥವಾ ಅದೇ ಏನು

ಅನುಕ್ರಮ (x n) ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸೋಣ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ನಾವು x n +1 ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಬರೆಯೋಣ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು x n ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಸೋಣ:

x n +1 ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪದವು ಅನುಗುಣವಾದ ಮೌಲ್ಯ x n ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, x n +1 ಒಂದು ಧನಾತ್ಮಕ ಪದವನ್ನು ಸೇರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಅನುಕ್ರಮವು (x n ) ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿದೆ.

ಯಾವುದೇ n ಗೆ ಅದರ ನಿಯಮಗಳು ಮೂರು ಮೀರಬಾರದು ಎಂದು ನಾವು ಈಗ ಸಾಬೀತು ಮಾಡೋಣ: x n< 3.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಅನುಕ್ರಮವು ಏಕತಾನತೆಯಿಂದ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿದೆ ಮತ್ತು ಮೇಲಿನಿಂದ ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ. ಸೀಮಿತ ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಈ ಮಿತಿಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅಕ್ಷರದಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಇ.

ಅಸಮಾನತೆಯಿಂದ ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ e £ 3. (x n) ಗಾಗಿ ಸಮಾನತೆಯಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಪದಗಳನ್ನು ತ್ಯಜಿಸಿ, ನಾಲ್ಕನೇಯಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:

ಮಿತಿಗೆ ಹಾದುಹೋಗುವಾಗ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಹೀಗಾಗಿ, ಸಂಖ್ಯೆ e ಸಂಖ್ಯೆಗಳು 2.5 ಮತ್ತು 3 ರ ನಡುವೆ ಇರುತ್ತದೆ. ನೀವು ಸರಣಿಯ ಹೆಚ್ಚಿನ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, ನೀವು ಇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೌಲ್ಯದ ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾದ ಅಂದಾಜನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು.

ಇ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅಭಾಗಲಬ್ಧವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಮೌಲ್ಯ 2.71828 ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು...

ಅಂತೆಯೇ, ಅದನ್ನು ತೋರಿಸಬಹುದು , x ನ ಅವಶ್ಯಕತೆಗಳನ್ನು ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸುವುದು:

ನಾವು ಊಹಿಸೋಣ:

ಇ ಸಂಖ್ಯೆಯು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಆಧಾರವಾಗಿದೆ.

ಮೇಲೆ y = lnx ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಇದೆ.

ನೈಸರ್ಗಿಕ ಮತ್ತು ದಶಮಾಂಶ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧ.

x = 10 y ಆಗಿರಲಿ, ನಂತರ lnx = ln10 y, ಆದ್ದರಿಂದ lnx = yln10

y = , ಇಲ್ಲಿ M = 1/ln10 » 0.43429… ಪರಿವರ್ತನೆ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಆಗಿದೆ.

§4. ಕ್ರಿಯೆಯ ಮಿತಿಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ.

4.1. ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಮಿತಿ.

y f(x)

0 a - D a + D x

x = a ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ f(x) ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸೋಣ (ಅಂದರೆ, x = a ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ)

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಸಂಖ್ಯೆ ಎ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮಿತಿ x®a ಗಾಗಿ f(x) ಕಾರ್ಯ, ಯಾವುದೇ e>0 ಗಾಗಿ D>0 ಸಂಖ್ಯೆ ಇದ್ದರೆ ಎಲ್ಲಾ x ಗಾಗಿ

ïx - aï< D

ಅಸಮಾನತೆ ïf(x) - Aï ನಿಜ< e.

ಅದೇ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಇನ್ನೊಂದು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು:

ಒಂದು ವೇಳೆ - ಡಿ< x < a + D, x ¹ a, то верно неравенство А - e < f(x) < A + e.

ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಮಿತಿಯನ್ನು ಬರೆಯುವುದು:

ಮಿತಿಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಮೇಯಗಳು.

ಪ್ರಮೇಯ 1. , ಅಲ್ಲಿ C = const.

ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಮೇಯಗಳು f(x) ಮತ್ತು g(x) ಕಾರ್ಯಗಳು x®a ಗೆ ಸೀಮಿತ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂಬ ಊಹೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಪ್ರಮೇಯ 2.

ಈ ಪ್ರಮೇಯದ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಕೆಳಗೆ ನೀಡಲಾಗುವುದು.

ಪ್ರಮೇಯ 3.

ಪರಿಣಾಮ.

ಪ್ರಮೇಯ 4. ನಲ್ಲಿ

ಪ್ರಮೇಯ 5. x = a ಮತ್ತು ಬಿಂದುವಿನ ಬಳಿ f(x)>0 ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ A>0.

f(x) ನಲ್ಲಿನ ಮಿತಿಯ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಇದೇ ರೀತಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ< 0, f(x) ³ 0, f(x) £ 0.

ಪ್ರಮೇಯ 6. g(x) £ f(x) £ u(x) ಬಿಂದುವಿನ ಹತ್ತಿರ x = a ಮತ್ತು , ನಂತರ ಮತ್ತು .

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. f(x) ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸೀಮಿತಬಿಂದುವಿನ ಹತ್ತಿರ x = a, ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆ ಇದ್ದರೆ M>0 ಅಂದರೆ ïf(x)ï

ಪ್ರಮೇಯ 7. f(x) ಕಾರ್ಯವು x®a ನಲ್ಲಿ ಸೀಮಿತ ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅದು x = a ಬಿಂದುವಿನ ಬಳಿ ಸೀಮಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಪುರಾವೆ. ಲೆಟ್, ಅಂದರೆ. , ನಂತರ

ಅಲ್ಲಿ M = e + ïАï

ಪ್ರಮೇಯವು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.

4.2. ಏಕಪಕ್ಷೀಯ ಮಿತಿಗಳು.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. f(x) ® A 1 ನಲ್ಲಿ x ® a ಆಗಿದ್ದರೆ x ನಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ< a, то - называется ಮಿತಿ x = a ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ f(x) ಕಾರ್ಯ ಬಿಟ್ಟರು, ಮತ್ತು f(x) ® A 2 ಗಾಗಿ x ® a ಗಾಗಿ ಮಾತ್ರ x > a ಗಾಗಿ, ನಂತರ ಎಂದು ಕರೆದರು ಮಿತಿ x = a ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ f(x) ಕಾರ್ಯ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ.

ನಲ್ಲಿ

ಮೇಲಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು f(x) ಕಾರ್ಯವನ್ನು x = a ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸದಿದ್ದಾಗ, ಆದರೆ ಈ ಬಿಂದುವಿನ ಕೆಲವು ನಿರಂಕುಶವಾಗಿ ಸಣ್ಣ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಎ 1 ಮತ್ತು ಎ 2 ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಸಹ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಏಕಮುಖ ಮಿತಿಗಳು x = a ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ f(x) ಕಾರ್ಯ. ಎ - ಎಂದೂ ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂತಿಮ ಮಿತಿಕಾರ್ಯಗಳು f(x).

4.3.ವಾದವು ಅನಂತತೆಗೆ ಒಲವು ತೋರುವುದರಿಂದ ಕ್ರಿಯೆಯ ಮಿತಿ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಸಂಖ್ಯೆ ಎ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮಿತಿ x®¥ ಗಾಗಿ f(x) ಕಾರ್ಯ, ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆ e>0 ಗಾಗಿ M>0 ಸಂಖ್ಯೆ ಇದ್ದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ x, ïxï>M ಗೆ ಅಸಮಾನತೆ ಇರುತ್ತದೆ

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 1. ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿದೆ (ಹೆಚ್ಚಿಸದ ), ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಇದ್ದರೆ
ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಹಿಡಿದಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ
.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 2. ಸ್ಥಿರತೆ
ಎಂದು ಕರೆದರು ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿದೆ (ಕಡಿಮೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ ), ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಇದ್ದರೆ
ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಹಿಡಿದಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ
.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 3. ಕಡಿಮೆಯಾಗುವ, ಹೆಚ್ಚಿಸದ, ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆಯಾಗದ ಅನುಕ್ರಮಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಏಕತಾನತೆಯ ಅನುಕ್ರಮಗಳು, ಕಡಿಮೆಯಾಗುವ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಅನುಕ್ರಮಗಳನ್ನು ಸಹ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಏಕತಾನತೆಯ ಅನುಕ್ರಮಗಳು.

ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಕಡಿಮೆಯಾಗದ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಕೆಳಗಿನಿಂದ ಮಿತಿಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಾಗದ ಅನುಕ್ರಮವು ಮೇಲಿನಿಂದ ಸೀಮಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಯಾವುದೇ ಏಕತಾನತೆಯ ಅನುಕ್ರಮವು ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ ಒಂದು ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 1. ಸ್ಥಿರತೆ
ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ, ಕಡಿಮೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ,
ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ
ಹೆಚ್ಚಾಗುವುದಿಲ್ಲ
- ಏಕತಾನತೆಯಲ್ಲದ ಅನುಕ್ರಮ.

ಏಕತಾನತೆಯ ಅನುಕ್ರಮಗಳಿಗಾಗಿ, ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳು ಪ್ರಮುಖ ಪಾತ್ರವನ್ನು ವಹಿಸುತ್ತವೆ:

ಪ್ರಮೇಯ 1. ಕಡಿಮೆಯಾಗದ (ಹೆಚ್ಚಾಗದ) ಅನುಕ್ರಮವು ಮೇಲೆ (ಕೆಳಗೆ) ಸೀಮಿತವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ.

ಪುರಾವೆ. ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಬಿಡಿ
ಕಡಿಮೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಮೇಲಿನಿಂದ ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ.
ಮತ್ತು ಅನೇಕ
ಮೇಲಿನಿಂದ ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ. ಪ್ರಮೇಯ 1 § 2 ಮೂಲಕ ಇದೆ
. ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತು ಮಾಡೋಣ
.

ತಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ
ನಿರಂಕುಶವಾಗಿ. ಏಕೆಂದರೆ ದಿ ಎ- ನಿಖರವಾದ ಮೇಲಿನ ಬೌಂಡ್, ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆ ಇದೆ ಎನ್ ಅಂದರೆ
. ಅನುಕ್ರಮವು ಕಡಿಮೆಯಾಗದ ಕಾರಣ, ನಂತರ ಎಲ್ಲರಿಗೂ
ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ, ಅಂದರೆ.
, ಅದಕ್ಕಾಗಿಯೇ
ಎಲ್ಲರಿಗೂ
, ಮತ್ತು ಇದರ ಅರ್ಥ
.

ಕೆಳಗೆ ಮಿತಿಗೊಳಿಸಲಾದ ಹೆಚ್ಚದ ಅನುಕ್ರಮಕ್ಕಾಗಿ, ಪುರಾವೆಯು ( ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಈ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಮನೆಯಲ್ಲಿಯೇ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು) ಪ್ರಮೇಯವು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.

ಕಾಮೆಂಟ್ ಮಾಡಿ. ಪ್ರಮೇಯ 1 ಅನ್ನು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿ ರೂಪಿಸಬಹುದು.

ಪ್ರಮೇಯ 2. ಏಕತಾನತೆಯ ಅನುಕ್ರಮವು ಒಮ್ಮುಖವಾಗಲು, ಅದು ಅಗತ್ಯ ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು ಸೀಮಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಸಮರ್ಪಕತೆಯನ್ನು ಪ್ರಮೇಯ 1 ರಲ್ಲಿ ಸ್ಥಾಪಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅಗತ್ಯತೆ - § 5 ರ ಪ್ರಮೇಯ 2 ರಲ್ಲಿ.

ಏಕತಾನತೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯು ಅನುಕ್ರಮದ ಒಮ್ಮುಖಕ್ಕೆ ಅನಿವಾರ್ಯವಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಒಮ್ಮುಖ ಅನುಕ್ರಮವು ಏಕತಾನತೆಯ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅನುಕ್ರಮ
ಏಕತಾನತೆಯಲ್ಲ, ಆದರೆ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ.

ಪರಿಣಾಮ. ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದ್ದರೆ
ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ (ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ) ಮತ್ತು ಮೇಲಿನಿಂದ (ಕೆಳಗಿನಿಂದ) ಸೀಮಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ನಂತರ
(
).

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಪ್ರಮೇಯ 1 ರಿಂದ
(
).

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 4. ವೇಳೆ
ನಲ್ಲಿ
, ನಂತರ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ನೆಸ್ಟೆಡ್ ವಿಭಾಗಗಳ ಗುತ್ತಿಗೆ ವ್ಯವಸ್ಥೆ .

ಪ್ರಮೇಯ 3 (ನೆಸ್ಟೆಡ್ ವಿಭಾಗಗಳ ತತ್ವ). ನೆಸ್ಟೆಡ್ ವಿಭಾಗಗಳ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಗುತ್ತಿಗೆ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಅಂಶವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಜೊತೆಗೆ, ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಎಲ್ಲಾ ವಿಭಾಗಗಳಿಗೆ ಸೇರಿದವರು.

ಪುರಾವೆ. ಪಾಯಿಂಟ್ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ ಜೊತೆಗೆಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ. ಏಕೆಂದರೆ ದಿ
, ಅದು
ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಅನುಕ್ರಮ
ಕಡಿಮೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅನುಕ್ರಮ
ಹೆಚ್ಚಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಇದರಲ್ಲಿ
ಮತ್ತು
ಏಕೆಂದರೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ. ನಂತರ, ಪ್ರಮೇಯ 1 ರ ಪ್ರಕಾರ, ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ
ಮತ್ತು
, ಆದರೆ ಅಂದಿನಿಂದ
, ಅದು
=
. ಪಾಯಿಂಟ್ ಕಂಡುಬಂದಿದೆ ಜೊತೆಗೆಪ್ರಮೇಯ 1 ರ ಅನುಬಂಧದಿಂದ ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಎಲ್ಲಾ ವಿಭಾಗಗಳಿಗೆ ಸೇರಿದೆ
,
, ಅಂದರೆ
ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಎನ್.

ಆ ಅಂಶವನ್ನು ಈಗ ತೋರಿಸೋಣ ಜೊತೆಗೆ- ಒಂದೇ ಒಂದು. ಅಂತಹ ಎರಡು ಅಂಶಗಳಿವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ: ಜೊತೆಗೆಮತ್ತು ಡಿಮತ್ತು ಖಚಿತತೆಗಾಗಿ ಬಿಡಿ
. ನಂತರ ವಿಭಾಗ
ಎಲ್ಲಾ ವಿಭಾಗಗಳಿಗೆ ಸೇರಿದೆ
, ಅಂದರೆ
ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಎನ್, ಇದು ಅಸಾಧ್ಯ, ರಿಂದ
ಮತ್ತು, ಆದ್ದರಿಂದ, ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ,
. ಪ್ರಮೇಯವು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.

ಇಲ್ಲಿ ಅಗತ್ಯವಾದ ವಿಷಯವೆಂದರೆ ಮುಚ್ಚಿದ ಮಧ್ಯಂತರಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ವಿಭಾಗಗಳು. ನಾವು ಒಪ್ಪಂದದ ಮಧ್ಯಂತರಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿದರೆ, ತತ್ವವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ತಪ್ಪಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮಧ್ಯಂತರಗಳು
, ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ ಒಂದು ಹಂತಕ್ಕೆ ಸಂಕುಚಿತಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ
, ಆದಾಗ್ಯೂ ಪಾಯಿಂಟ್
ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಯಾವುದೇ ಮಧ್ಯಂತರಕ್ಕೆ ಸೇರಿಲ್ಲ.

ಈಗ ಒಮ್ಮುಖ ಏಕತಾನತೆಯ ಅನುಕ್ರಮಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

1) ಸಂಖ್ಯೆ ಇ.

ಈಗ ನಾವು ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ
. ಅವಳು ಹೇಗೆ ವರ್ತಿಸುತ್ತಿದ್ದಾಳೆ? ಬೇಸ್

ಪದವಿಗಳು
, ಅದಕ್ಕಾಗಿಯೇ
? ಇನ್ನೊಂದು ಕಡೆ,
, ಎ
, ಅದಕ್ಕಾಗಿಯೇ
? ಅಥವಾ ಯಾವುದೇ ಮಿತಿ ಇಲ್ಲವೇ?

ಈ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳಿಗೆ ಉತ್ತರಿಸಲು, ಸಹಾಯಕ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ
. ಅದು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕೆಳಗೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ. ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ನಮಗೆ ಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ

ಲೆಮ್ಮಾ. ಒಂದು ವೇಳೆ
, ನಂತರ ಎಲ್ಲಾ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಎನ್ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ

(ಬರ್ನೌಲಿಯ ಅಸಮಾನತೆ).

ಪುರಾವೆ. ಗಣಿತದ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸೋಣ.

ಒಂದು ವೇಳೆ
, ಅದು
, ಅಂದರೆ ಅಸಮಾನತೆ ನಿಜ.

ಇದು ನಿಜವೆಂದು ಭಾವಿಸೋಣ
ಮತ್ತು ಅದರ ಸಿಂಧುತ್ವವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ
+1.

ಸರಿ
. ಈ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಗುಣಿಸೋಣ
:

ಹೀಗಾಗಿ, . ಇದರರ್ಥ, ಗಣಿತದ ಪ್ರಚೋದನೆಯ ತತ್ವದ ಪ್ರಕಾರ, ಬರ್ನೌಲಿಯ ಅಸಮಾನತೆಯು ಎಲ್ಲಾ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ನಿಜವಾಗಿದೆ ಎನ್. ಲೆಮ್ಮಾ ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.

ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ತೋರಿಸೋಣ
ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ

ಬರ್ನೌಲಿಯ ಅಸಮಾನತೆ
, ಮತ್ತು ಇದರರ್ಥ ಅನುಕ್ರಮ
ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ.

ಕೆಳಗಿನಿಂದ ಮಿತಿಯು ಅಸಮಾನತೆಯಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ
ಬರ್ನೌಲಿಯ ಅಸಮಾನತೆ
ಎಲ್ಲಾ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಎನ್.

ಪ್ರಮೇಯ 1 ರ ಪ್ರಕಾರ ಇದೆ
, ಇದನ್ನು ಅಕ್ಷರದಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಇ. ಅದಕ್ಕೇ
.

ಸಂಖ್ಯೆ ಇಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಮತ್ತು ಅತೀಂದ್ರಿಯ, ಇ= 2.718281828… . ಇದು ತಿಳಿದಿರುವಂತೆ, ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್ಗಳ ಆಧಾರವಾಗಿದೆ.

ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು. 1) ಬರ್ನೌಲಿಯ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಬಳಸಬಹುದು
ನಲ್ಲಿ
. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ವೇಳೆ
, ಅದು
. ನಂತರ, ಬರ್ನೌಲಿಯ ಅಸಮಾನತೆಯ ಪ್ರಕಾರ, ಜೊತೆಗೆ
. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಲ್ಲಿ
ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ
, ಅದು
ನಲ್ಲಿ
.

2) ಮೇಲೆ ಚರ್ಚಿಸಿದ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಪದವಿಯ ಆಧಾರ 1 ಗೆ ಒಲವು, ಮತ್ತು ಘಾತ ಎನ್- ಗೆ , ಅಂದರೆ, ರೂಪದ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆ ಇದೆ . ಈ ರೀತಿಯ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆ, ನಾವು ತೋರಿಸಿದಂತೆ, ಗಮನಾರ್ಹ ಮಿತಿಯಿಂದ ಬಹಿರಂಗವಾಗಿದೆ
.

2)
(*)

ಈ ಅನುಕ್ರಮವು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಅದು ಕೆಳಗಿನಿಂದ ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ನಾವು ತೋರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ
ಎಲ್ಲರಿಗೂ
, ಇದು ಅಸಮಾನತೆಯ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿದೆ
.

ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ
ನೋಡಿ ಅಸಮಾನತೆ ಹೆಚ್ಚಿದೆ
, ಅಂದರೆ ಅನುಕ್ರಮವು ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಕೆಳಗೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ
.

ಮುಂದೆ,
 ರಿಂದ

, ಅಂದರೆ ಅನುಕ್ರಮವು ಹೆಚ್ಚಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ಪ್ರಮೇಯ 1 ರ ಪ್ರಕಾರ ಇದೆ
, ನಾವು ಸೂಚಿಸುವ X. ನಲ್ಲಿ ಮಿತಿಗೆ ಸಮಾನತೆ (*) ನಲ್ಲಿ ಹಾದುಹೋಗುವುದು
, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

, ಅಂದರೆ
, ಎಲ್ಲಿ
(ನಾವು ಪ್ಲಸ್ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅನುಕ್ರಮದ ಎಲ್ಲಾ ನಿಯಮಗಳು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತವೆ).

ಅನುಕ್ರಮ (*) ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ
ಸರಿಸುಮಾರು. ಹಿಂದೆ ಯಾವುದೇ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ
. ಅವಕಾಶ
. ನಂತರ
,. ಹೀಗಾಗಿ,
.

3)
.

ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ
. ಏಕೆಂದರೆ ದಿ
ನಲ್ಲಿ
, ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆ ಇದೆ ಎನ್, ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಹಾಗೆ
ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಹಿಡಿದಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ
. ಆದ್ದರಿಂದ ಅನುಕ್ರಮ
, ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ ಎನ್, ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕೆಳಗೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ, ರಿಂದ
ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಎನ್. ಇದರರ್ಥ ಪ್ರಮೇಯ 1 ರ ಪ್ರಕಾರ ಇದೆ
. ಏಕೆಂದರೆ ದಿ
, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ
.

ಆದ್ದರಿಂದ,
.

4)
, ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ - ಎನ್ ಬೇರುಗಳು

ಗಣಿತದ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ಅದನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತೇವೆ
ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಎನ್. ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ
. ಅವಕಾಶ
. ನಂತರ, ಇಲ್ಲಿಂದ ನಾವು ಗಣಿತದ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ತತ್ವದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಈ ಸತ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, ಅಂದರೆ. ಅನುಕ್ರಮ
ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮೇಲಿನಿಂದ ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ
.

ಹೀಗಾಗಿ,
.

ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯೊಂದಿಗೆ ಅದರ ಅಂಶಗಳು ಕಡಿಮೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಅಥವಾ, ಬದಲಾಗಿ, ಹೆಚ್ಚಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಇಂತಹ ಅನುಕ್ರಮಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಂಶೋಧನೆಯಲ್ಲಿ ಎದುರಾಗುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಹಲವಾರು ವಿಶಿಷ್ಟ ಲಕ್ಷಣಗಳು ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಆರೋಹಣ ಅಥವಾ ಅವರೋಹಣ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ಎನ್ಸೈಕ್ಲೋಪೀಡಿಕ್ YouTube

• 1 / 5

  ಒಂದು ಸೆಟ್ ಇರಲಿ X (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ X), ಅದರ ಮೇಲೆ ಆದೇಶ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲಾಗಿದೆ.

  ಸೆಟ್ ಅಂಶಗಳ ಅನುಕ್ರಮ X (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ X)ಎಂದು ಕರೆದರು ಕಡಿಮೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ , ಈ ಅನುಕ್ರಮದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶವು ಮುಂದಿನದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ.

  ( x n ) (\ ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ \(x_(n)\))- ಕಡಿಮೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ ⇔ ∀ n ∈ N: x n ⩽ x n + 1 (\Displaystyle \Leftrightarrow ~\forall n\mathbb (N) \colon x_(n)\leqslant x_(n+1))

  ಅನುಕ್ರಮ ( x n ) (\ ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ \(x_(n)\))ಸೆಟ್ನ ಅಂಶಗಳು X (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ X)ಎಂದು ಕರೆದರು ಹೆಚ್ಚಿಸದ , ಈ ಅನುಕ್ರಮದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಮುಂದಿನ ಅಂಶವು ಹಿಂದಿನದನ್ನು ಮೀರದಿದ್ದರೆ.

  ( x n ) (\ ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ \(x_(n)\))- ಹೆಚ್ಚಾಗದಿರುವುದು ⇔ ∀ n ∈ N: x n ⩾ x n + 1 (\Displaystyle \Leftrightarrow ~\forall n\mathbb (N) \colon x_(n)\geqslant x_(n+1))

  ಅನುಕ್ರಮ ( x n ) (\ ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ \(x_(n)\))ಸೆಟ್ನ ಅಂಶಗಳು X (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ X)ಎಂದು ಕರೆದರು ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿದೆ , ಈ ಅನುಕ್ರಮದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಮುಂದಿನ ಅಂಶವು ಹಿಂದಿನದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿದ್ದರೆ.

  ( x n ) (\ ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ \(x_(n)\))- ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿದೆ ⇔ ∀ n ∈ N: x n< x n + 1 {\displaystyle \Leftrightarrow ~\forall n\in \mathbb {N} \colon x_{n}

  ಅನುಕ್ರಮ ( x n ) (\ ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ \(x_(n)\))ಸೆಟ್ನ ಅಂಶಗಳು X (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ X)ಎಂದು ಕರೆದರು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿದೆ , ಈ ಅನುಕ್ರಮದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶವು ಮುಂದಿನದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿದ್ದರೆ.

  ( x n ) (\ ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ \(x_(n)\))- ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿದೆ ⇔ ∀ n ∈ N: x n > x n + 1 (\Displaystyle \Leftrightarrow ~\forall n\in \mathbb (N) \colon x_(n)>x_(n+1))

  ಏಕತಾನತೆಯ, ಅದು ಕಡಿಮೆಯಾಗದಿದ್ದರೆ ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಾಗದಿದ್ದರೆ.

  ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಏಕತಾನತೆಯ, ಅದು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತಿದ್ದರೆ ಅಥವಾ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿದ್ದರೆ.

  ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಏಕತಾನತೆಯ ಅನುಕ್ರಮವು ಏಕತಾನತೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ.

  ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಪರಿಭಾಷೆಯ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ "ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಅನುಕ್ರಮ" ಎಂಬ ಪದವನ್ನು "ಕಡಿಮೆಯಾಗದ ಅನುಕ್ರಮ" ಎಂಬ ಪದಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾರ್ಥಕವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು "ಕಡಿಮೆಯಾಗದ ಅನುಕ್ರಮ" ಎಂಬ ಪದವನ್ನು "ಹೆಚ್ಚಲ್ಲದ ಅನುಕ್ರಮ" ಎಂಬ ಪದಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾರ್ಥಕವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ". ಅಂತಹ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಮೇಲಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆಯಾಗುವ ಅನುಕ್ರಮಗಳನ್ನು ಕ್ರಮವಾಗಿ "ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ" ಮತ್ತು "ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಕಡಿಮೆ" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

  ಏಕತಾನತೆಯ ಮಧ್ಯಂತರಗಳು

  ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಮೇಲಿನ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಲಾಗಿಲ್ಲ ಎಂದು ಅದು ತಿರುಗಬಹುದು n ∈ N (\displaystyle n\in \mathbb (N) ), ಆದರೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ

  I = ( n ∈ N ∣ N - ⩽ n< N + } {\displaystyle I=\{n\in \mathbb {N} \mid N_{-}\leqslant n

  (ಇಲ್ಲಿ ಬಲ ಗಡಿಯನ್ನು ಹಿಮ್ಮುಖಗೊಳಿಸಲು ಅನುಮತಿಸಲಾಗಿದೆ N + (\ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ N_(+))ಅನಂತಕ್ಕೆ). ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಏಕತಾನತೆ ನಾನು (\ ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ I) , ಮತ್ತು ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು ಸ್ವತಃ ನಾನು (\ ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಟೈಲ್ I)ಎಂದು ಕರೆದರು ಏಕತಾನತೆಯ ಮಧ್ಯಂತರ ಅನುಕ್ರಮಗಳು.

  ಪ್ರತಿ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ n ಕೆಲವು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆ x n ನೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜಿತವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಾವು ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅನುಕ್ರಮ

  X 1 , X 2 , … x n , …

  ಸಂಖ್ಯೆ X 1 ಅನ್ನು ಅನುಕ್ರಮದ ಸದಸ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಂಖ್ಯೆ 1 ರೊಂದಿಗೆ ಅಥವಾ ಅನುಕ್ರಮದ ಮೊದಲ ಅವಧಿ, ಸಂಖ್ಯೆ X 2 - ಅನುಕ್ರಮದ ಸದಸ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ 2 ರೊಂದಿಗೆ ಅಥವಾ ಅನುಕ್ರಮದ ಎರಡನೇ ಸದಸ್ಯ, ಇತ್ಯಾದಿ. x n ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಂಖ್ಯೆಯೊಂದಿಗೆ ಅನುಕ್ರಮದ ಸದಸ್ಯಎನ್.

  ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅನುಕ್ರಮಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು ಎರಡು ಮಾರ್ಗಗಳಿವೆ - ಜೊತೆ ಮತ್ತು ಜೊತೆ ಮರುಕಳಿಸುವ ಸೂತ್ರ.

  ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಅನುಕ್ರಮದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದದ ಸೂತ್ರಗಳು- ಇದು ಅನುಕ್ರಮ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ

  X 1 , X 2 , … x n , …

  x n ಪದದ ಅವಲಂಬನೆಯನ್ನು ಅದರ ಸಂಖ್ಯೆ n ಮೇಲೆ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುವುದು.

  ಉದಾಹರಣೆ 1. ಸಂಖ್ಯೆ ಅನುಕ್ರಮ

  1, 4, 9, … ಎನ್ 2 , …

  ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ

  x n = ಎನ್ 2 , ಎನ್ = 1, 2, 3, …

  ಹಿಂದಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಅನುಕ್ರಮ ಸದಸ್ಯರ ಮೂಲಕ ಅನುಕ್ರಮ ಸದಸ್ಯ x n ಅನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸುವುದನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸುವುದು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮರುಕಳಿಸುವ ಸೂತ್ರ.

  X 1 , X 2 , … x n , …

  ಎಂದು ಕರೆದರು ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿ, ಹೆಚ್ಚುಹಿಂದಿನ ಸದಸ್ಯ.

  ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಎನ್

  X ಎನ್ + 1 >X ಎನ್

  ಉದಾಹರಣೆ 3. ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅನುಕ್ರಮ

  1, 2, 3, … ಎನ್, …

  ಇದೆ ಆರೋಹಣ ಅನುಕ್ರಮ.

  ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 2. ಸಂಖ್ಯೆ ಅನುಕ್ರಮ

  X 1 , X 2 , … x n , …

  ಎಂದು ಕರೆದರು ಅವರೋಹಣ ಅನುಕ್ರಮಈ ಅನುಕ್ರಮದ ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬ ಸದಸ್ಯನಾಗಿದ್ದರೆ ಕಡಿಮೆಹಿಂದಿನ ಸದಸ್ಯ.

  ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಎನ್= 1, 2, 3, … ಅಸಮಾನತೆ ತೃಪ್ತಿಗೊಂಡಿದೆ

  X ಎನ್ + 1 < X ಎನ್

  ಉದಾಹರಣೆ 4. ಅನುಕ್ರಮ

  

  ಸೂತ್ರದಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ

  ಇದೆ ಅವರೋಹಣ ಅನುಕ್ರಮ.

  ಉದಾಹರಣೆ 5. ಸಂಖ್ಯೆ ಅನುಕ್ರಮ

  1, - 1, 1, - 1, …

  ಸೂತ್ರದಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ

  x n = (- 1) ಎನ್ , ಎನ್ = 1, 2, 3, …

  ಅಲ್ಲ ಹೆಚ್ಚಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಅಥವಾ ಕಡಿಮೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲಅನುಕ್ರಮ.

  ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 3. ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅನುಕ್ರಮಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಏಕತಾನತೆಯ ಅನುಕ್ರಮಗಳು.

  ಬೌಂಡೆಡ್ ಮತ್ತು ಅನ್ಬೌಂಡ್ಡ್ ಸೀಕ್ವೆನ್ಸ್

  ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 4. ಸಂಖ್ಯೆ ಅನುಕ್ರಮ

  X 1 , X 2 , … x n , …

  ಎಂದು ಕರೆದರು ಮೇಲಿನಿಂದ ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ,ಈ ಅನುಕ್ರಮದ ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬ ಸದಸ್ಯನ ಸಂಖ್ಯೆ M ಇದ್ದರೆ ಕಡಿಮೆಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಎಂ.

  ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಎನ್= 1, 2, 3, … ಅಸಮಾನತೆ ತೃಪ್ತಿಗೊಂಡಿದೆ

  ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 5. ಸಂಖ್ಯೆ ಅನುಕ್ರಮ

  X 1 , X 2 , … x n , …

  ಎಂದು ಕರೆದರು ಕೆಳಗೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ,ಈ ಅನುಕ್ರಮದ ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬ ಸದಸ್ಯನ ಸಂಖ್ಯೆ m ಇದ್ದರೆ ಹೆಚ್ಚುಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಎಂ.

  ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಎನ್= 1, 2, 3, … ಅಸಮಾನತೆ ತೃಪ್ತಿಗೊಂಡಿದೆ

  ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 6. ಸಂಖ್ಯೆ ಅನುಕ್ರಮ

  X 1 , X 2 , … x n , …

  ಒಂದು ವೇಳೆ ಸೀಮಿತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮೇಲೆ ಮತ್ತು ಕೆಳಗೆ ಎರಡೂ ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ.

  ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಎಲ್ಲರಿಗೂ M ಮತ್ತು m ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿವೆ ಎನ್= 1, 2, 3, … ಅಸಮಾನತೆ ತೃಪ್ತಿಗೊಂಡಿದೆ

  ಮೀ< x n < M

  ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 7. ಸಂಖ್ಯಾ ಅನುಕ್ರಮಗಳು ಸೀಮಿತವಾಗಿಲ್ಲ, ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ ಅನಿಯಮಿತ ಅನುಕ್ರಮಗಳು.

  ಉದಾಹರಣೆ 6. ಸಂಖ್ಯೆ ಅನುಕ್ರಮ

  1, 4, 9, … ಎನ್ 2 , …

  ಸೂತ್ರದಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ

  x n = ಎನ್ 2 , ಎನ್ = 1, 2, 3, … ,

  ಕೆಳಗೆ ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಂಖ್ಯೆ 0. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ಅನುಕ್ರಮ ಮೇಲಿನಿಂದ ಅನಿಯಮಿತ.

  ಉದಾಹರಣೆ 7. ಅನುಕ್ರಮ

  ಸೂತ್ರದಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ

  ಇದೆ ಸೀಮಿತ ಅನುಕ್ರಮ, ಏಕೆಂದರೆ ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಎನ್= 1, 2, 3, … ಅಸಮಾನತೆ ತೃಪ್ತಿಗೊಂಡಿದೆ

  ನಮ್ಮ ವೆಬ್‌ಸೈಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆ ಮತ್ತು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಗೆ ತಯಾರಿ ನಡೆಸಲು ರೆಸಲ್ವೆಂಟಾ ತರಬೇತಿ ಕೇಂದ್ರದ ಶಿಕ್ಷಕರು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದ ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ಸಾಮಗ್ರಿಗಳೊಂದಿಗೆ ನೀವೇ ಪರಿಚಿತರಾಗಬಹುದು.

  ಉತ್ತಮ ತಯಾರಿ ಮತ್ತು ಉತ್ತೀರ್ಣರಾಗಲು ಬಯಸುವ ಶಾಲಾ ಮಕ್ಕಳಿಗೆ ಗಣಿತ ಅಥವಾ ರಷ್ಯನ್ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಹೆಚ್ಚಿನ ಅಂಕಕ್ಕಾಗಿ, ರೆಸಲ್ವೆಂಟಾ ತರಬೇತಿ ಕೇಂದ್ರವು ನಡೆಸುತ್ತದೆ

  10 ಮತ್ತು 11 ನೇ ತರಗತಿಗಳಲ್ಲಿ ಶಾಲಾ ಮಕ್ಕಳಿಗೆ ಪೂರ್ವಸಿದ್ಧತಾ ಕೋರ್ಸ್‌ಗಳು