ಉದಾಹರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವ ನಿಯಮಗಳು. ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ, ನಿಯಮಗಳು ಮತ್ತು ವಿಭಿನ್ನತೆಯ ಸೂತ್ರಗಳು

ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಉತ್ಪನ್ನದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವಾಗಿದೆ.

1. ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಸೂತ್ರಗಳು.

ಮುಖ್ಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಸೂತ್ರಗಳು ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿವೆ. ಅವರು ಕಂಠಪಾಠ ಮಾಡಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ. ಕೆಲವು ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಂಡ ನಂತರ, ನೀವು ಕೆಲವು ಸೂತ್ರಗಳಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಇತರರನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ.

1) ಸೂತ್ರದೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ (ಕೆ X+ ಮೀ)′ = ಕೆ.
ಇದರ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳೆಂದರೆ ಸೂತ್ರಗಳು X′ = 1 ಮತ್ತು C′ = 0.

y = kx + m ರೂಪದ ಯಾವುದೇ ಕಾರ್ಯದಲ್ಲಿ, ಉತ್ಪನ್ನವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಇಳಿಜಾರುಕೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, y = 2 ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ X+ 4. ಯಾವುದೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಇದರ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು 2 ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ:

(2 x + 4)′ = 2 .

ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ನಲ್ಲಿ = 9 X+ 5 ಯಾವುದೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ 9 . ಇತ್ಯಾದಿ.

y = 5 ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ X. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, 5 ಅನ್ನು ಊಹಿಸೋಣ Xರೂಪದಲ್ಲಿ (5 X+ 0). ನಾವು ಹಿಂದಿನದಕ್ಕೆ ಹೋಲುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಅರ್ಥ:

(5X)′ = (5 X+ 0)′ = 5.

ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಅದು ಯಾವುದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ X′.
ಹಿಂದಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಿಂದ ತಂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸೋಣ: ಊಹಿಸಿ X 1 ರಂತೆ X+ 0. ನಂತರ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

X′ = (1 X+ 0)′ = 1.

ಹೀಗಾಗಿ, ನಾವು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಟೇಬಲ್ನಿಂದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ:

(0 · X+ ಮೀ)′ = 0.

ಆದರೆ ನಂತರ m′ ಕೂಡ 0 ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಂತರ ನಾವು ಇನ್ನೊಂದು ಸತ್ಯಕ್ಕೆ ಬರುತ್ತೇವೆ: ಸ್ಥಿರಾಂಕದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ, ನಾವು ಟೇಬಲ್ನಿಂದ ಮತ್ತೊಂದು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

"Get an A" ವೀಡಿಯೊ ಕೋರ್ಸ್ ಯಶಸ್ವಿಯಾಗಲು ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ವಿಷಯಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಉತ್ತೀರ್ಣರಾಗಿದ್ದಾರೆ 60-65 ಅಂಕಗಳಿಗೆ ಗಣಿತದಲ್ಲಿ. ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಎಲ್ಲಾ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು 1-13 ಪ್ರೊಫೈಲ್ ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರ. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಮೂಲ ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಉತ್ತೀರ್ಣರಾಗಲು ಸಹ ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ. ನೀವು 90-100 ಅಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಉತ್ತೀರ್ಣರಾಗಲು ಬಯಸಿದರೆ, ನೀವು ಭಾಗ 1 ಅನ್ನು 30 ನಿಮಿಷಗಳಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ತಪ್ಪುಗಳಿಲ್ಲದೆ ಪರಿಹರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ!

10-11 ಶ್ರೇಣಿಗಳಿಗೆ, ಹಾಗೆಯೇ ಶಿಕ್ಷಕರಿಗೆ ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಗೆ ತಯಾರಿ ಕೋರ್ಸ್. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಭಾಗ 1 (ಮೊದಲ 12 ಸಮಸ್ಯೆಗಳು) ಮತ್ತು ಸಮಸ್ಯೆ 13 (ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿ) ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ನಿಮಗೆ ಬೇಕಾಗಿರುವುದು. ಮತ್ತು ಇದು ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ 70 ಅಂಕಗಳಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು, ಮತ್ತು 100-ಪಾಯಿಂಟ್ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ ಅಥವಾ ಮಾನವಿಕ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯು ಅವರಿಲ್ಲದೆ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ.

ಎಲ್ಲಾ ಅಗತ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತ. ತ್ವರಿತ ಮಾರ್ಗಗಳುಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಪರಿಹಾರಗಳು, ಮೋಸಗಳು ಮತ್ತು ರಹಸ್ಯಗಳು. FIPI ಟಾಸ್ಕ್ ಬ್ಯಾಂಕ್‌ನಿಂದ ಭಾಗ 1 ರ ಎಲ್ಲಾ ಪ್ರಸ್ತುತ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಲಾಗಿದೆ. ಕೋರ್ಸ್ 2018 ರ ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಅವಶ್ಯಕತೆಗಳನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ.

ಕೋರ್ಸ್ 5 ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ ದೊಡ್ಡ ವಿಷಯಗಳು, 2.5 ಗಂಟೆಗಳ ಪ್ರತಿ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ವಿಷಯವನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ಮತ್ತು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಮೊದಲಿನಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ.

ನೂರಾರು ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಕಾರ್ಯಗಳು. ಪದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳುಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ. ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸರಳ ಮತ್ತು ಸುಲಭವಾಗಿ ನೆನಪಿಡುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ಗಳು. ರೇಖಾಗಣಿತ. ಸಿದ್ಧಾಂತ, ಉಲ್ಲೇಖ ವಸ್ತು, ಎಲ್ಲಾ ರೀತಿಯ ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ. ಸ್ಟೀರಿಯೊಮೆಟ್ರಿ. ಟ್ರಿಕಿ ಪರಿಹಾರಗಳು, ಉಪಯುಕ್ತ ಚೀಟ್ ಹಾಳೆಗಳು, ಅಭಿವೃದ್ಧಿ ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ಕಲ್ಪನೆ. ಮೊದಲಿನಿಂದ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿ 13. ಕ್ರ್ಯಾಮಿಂಗ್ ಬದಲಿಗೆ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು. ದೃಶ್ಯ ವಿವರಣೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು. ಬೀಜಗಣಿತ. ಬೇರುಗಳು, ಶಕ್ತಿಗಳು ಮತ್ತು ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳು, ಕಾರ್ಯ ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನ. ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ಆಧಾರ ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯಗಳುಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯ 2 ಭಾಗಗಳು.

"Get an A" ವೀಡಿಯೊ ಕೋರ್ಸ್ ನಿಮಗೆ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ವಿಷಯಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ ಯಶಸ್ವಿ ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವಿಕೆ 60-65 ಅಂಕಗಳಿಗೆ ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆ. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಪ್ರೊಫೈಲ್ ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯ 1-13 ಎಲ್ಲಾ ಕಾರ್ಯಗಳು. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಮೂಲ ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಉತ್ತೀರ್ಣರಾಗಲು ಸಹ ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ. ನೀವು 90-100 ಅಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಉತ್ತೀರ್ಣರಾಗಲು ಬಯಸಿದರೆ, ನೀವು ಭಾಗ 1 ಅನ್ನು 30 ನಿಮಿಷಗಳಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ತಪ್ಪುಗಳಿಲ್ಲದೆ ಪರಿಹರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ!

10-11 ಶ್ರೇಣಿಗಳಿಗೆ, ಹಾಗೆಯೇ ಶಿಕ್ಷಕರಿಗೆ ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಗೆ ತಯಾರಿ ಕೋರ್ಸ್. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಭಾಗ 1 (ಮೊದಲ 12 ಸಮಸ್ಯೆಗಳು) ಮತ್ತು ಸಮಸ್ಯೆ 13 (ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿ) ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ನಿಮಗೆ ಬೇಕಾಗಿರುವುದು. ಮತ್ತು ಇದು ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ 70 ಅಂಕಗಳಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು, ಮತ್ತು 100-ಪಾಯಿಂಟ್ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ ಅಥವಾ ಮಾನವಿಕ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯು ಅವರಿಲ್ಲದೆ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ.

ಎಲ್ಲಾ ಅಗತ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತ. ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ತ್ವರಿತ ಪರಿಹಾರಗಳು, ಮೋಸಗಳು ಮತ್ತು ರಹಸ್ಯಗಳು. FIPI ಟಾಸ್ಕ್ ಬ್ಯಾಂಕ್‌ನಿಂದ ಭಾಗ 1 ರ ಎಲ್ಲಾ ಪ್ರಸ್ತುತ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಲಾಗಿದೆ. ಕೋರ್ಸ್ 2018 ರ ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಅವಶ್ಯಕತೆಗಳನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ.

ಕೋರ್ಸ್ 5 ದೊಡ್ಡ ವಿಷಯಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ, ಪ್ರತಿ 2.5 ಗಂಟೆಗಳ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ವಿಷಯವನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ಮತ್ತು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಮೊದಲಿನಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ.

ನೂರಾರು ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಕಾರ್ಯಗಳು. ಪದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ. ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸರಳ ಮತ್ತು ಸುಲಭವಾಗಿ ನೆನಪಿಡುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ಗಳು. ರೇಖಾಗಣಿತ. ಸಿದ್ಧಾಂತ, ಉಲ್ಲೇಖ ವಸ್ತು, ಎಲ್ಲಾ ರೀತಿಯ ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ. ಸ್ಟೀರಿಯೊಮೆಟ್ರಿ. ಟ್ರಿಕಿ ಪರಿಹಾರಗಳು, ಉಪಯುಕ್ತ ಚೀಟ್ ಹಾಳೆಗಳು, ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ಕಲ್ಪನೆಯ ಅಭಿವೃದ್ಧಿ. ಮೊದಲಿನಿಂದ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿ 13. ಕ್ರ್ಯಾಮಿಂಗ್ ಬದಲಿಗೆ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು. ಸಂಕೀರ್ಣ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳ ಸ್ಪಷ್ಟ ವಿವರಣೆಗಳು. ಬೀಜಗಣಿತ. ಬೇರುಗಳು, ಶಕ್ತಿಗಳು ಮತ್ತು ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳು, ಕಾರ್ಯ ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನ. ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಭಾಗ 2 ರ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಆಧಾರ.

ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳು

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 1

ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸ.

$y"$ ಅಥವಾ $\frac(dy)(dx)$ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸೂಚಿಸಿ.

ಗಮನಿಸಿ 1

ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ವಿಭಿನ್ನತೆಯ ಮೂಲ ನಿಯಮಗಳ ಪ್ರಕಾರ, ಅದನ್ನು ಮತ್ತೊಂದು ಕಾರ್ಯವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ನೋಡೋಣ. ಕಾರ್ಯಗಳು, ಅವುಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡ ನಂತರ, ಇತರ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿ ರೂಪಾಂತರಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ ಎಂಬ ಅಂಶಕ್ಕೆ ನಾವು ಗಮನ ಹರಿಸೋಣ.

ಕೇವಲ ಒಂದು ಅಪವಾದವೆಂದರೆ $y=e^x$, ಅದು ತಾನಾಗಿಯೇ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ನಿಯಮಗಳು

ಹೆಚ್ಚಾಗಿ, ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಾಗ, ನೀವು ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಮಾತ್ರ ನೋಡಬಾರದು, ಆದರೆ ಮೊದಲು ಉತ್ಪನ್ನದ ಉತ್ಪನ್ನದ ವಿಭಿನ್ನತೆ ಮತ್ತು ಪುರಾವೆಗಳ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ನಂತರ ಮಾತ್ರ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಬಳಸಿ.

1. ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಸ್ಥಿರವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ

$C$ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 1

ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮಾಡಿ $y=7x^4$.

ಪರಿಹಾರ.

$y"=(7x^4)"$ ಹುಡುಕಿ. ಉತ್ಪನ್ನ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ $7$ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

$y"=(7x^4)"=7(x^4)"=$

ಟೇಬಲ್ ಬಳಸಿ, ನೀವು ವಿದ್ಯುತ್ ಕಾರ್ಯದ ಉತ್ಪನ್ನದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು:

$=7 \cdot 4x^3=$

ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಸ್ವೀಕರಿಸಿದ ರೂಪಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸೋಣ:

ಉತ್ತರ:$28x^3$.

2. ಮೊತ್ತದ (ವ್ಯತ್ಯಾಸ) ಉತ್ಪನ್ನವು ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ (ವ್ಯತ್ಯಾಸ) ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

$(u \pm v)"=u" \pm v"$.

ಉದಾಹರಣೆ 2

ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮಾಡಿ $y=7+x-5x^3+4 \sin x-9\sqrt(x^2)+\frac(4)(x^4) -11\cot x$.

ಪರಿಹಾರ.

$y"=(7+x-5x^5+4 \sin x-9\sqrt(x^2)+\frac(4)(x^4) -11\cot x)"=$

ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲು ನಾವು ನಿಯಮವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತೇವೆ:

$=(7)"+(x)"-(5x^5)"+(4 \sin x)"-(9\sqrt(x^2))"+(\frac(4)(x^4) )"-(11\cot x)"=$

ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮಾಡುವಾಗ, ಎಲ್ಲಾ ಶಕ್ತಿಗಳು ಮತ್ತು ಬೇರುಗಳನ್ನು $x^(\frac(a)(b))$ ರೂಪಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಬೇಕು ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ;

ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಎಲ್ಲಾ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ:

$=(7)"+(x)"-(5x^5)"+(4\sin x)"-(9x^(\frac(2)(5)))"+(4x^(-4) )"-(11\cot x)"=$

$=(7)"+(x)"-5(x^5)"+4(\sin x)"-9(x^(\frac(2)(5)))"+4(x^( -4))"-11(\cot x)"=$

ವಿಭಿನ್ನತೆಯ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಂಡ ನಂತರ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಕೆಲವು (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕೊನೆಯ ಎರಡರಂತೆ) ದೀರ್ಘ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪುನಃ ಬರೆಯುವುದನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಲು ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ;

ನಾವು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳಿಂದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ; ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಬಳಸೋಣ:

$=0+1-5 \cdot 5x^4+4\cos x-9 \cdot \frac(2)(5) x^(-\frac(3)(5))+12x^(-5)- 11 \cdot \frac(-1)(\sin^2 x)=$

ಅದನ್ನು ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಸ್ವೀಕರಿಸಿದ ರೂಪಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸೋಣ:

$=1-25x^4+4 \cos x-\frac(18)(5\sqrt(x^3))+\frac(12)(x^5) +\frac(11)(\sin^2 x) $

ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಹುಡುಕುವಾಗ, ಇದರೊಂದಿಗೆ ನಿಯಮಗಳು ಎಂಬುದನ್ನು ದಯವಿಟ್ಟು ಗಮನಿಸಿ ಭಾಗಶಃ ಶಕ್ತಿಗಳುಬೇರುಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕವಾದವುಗಳೊಂದಿಗೆ - ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಿಗೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಿ.

ಉತ್ತರ: $1-25x^4+4 \cos x-\frac(18)(5\sqrt(x^3))+\frac(12)(x^5) +\frac(11)(\sin^2 x )$.

3. ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದ ಉತ್ಪನ್ನದ ಸೂತ್ರ:

$(uv)"=u" v+uv"$.

ಉದಾಹರಣೆ 3

ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮಾಡಿ $y=x^(11) \ln x$.

ಪರಿಹಾರ.

ಮೊದಲಿಗೆ, ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ನಾವು ನಿಯಮವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ನಾವು ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ:

$y"=(x^(11) \ln x)"=(x^(11))" \ln x+x^(11) (\lnтx)"=11x^(10) \ln x+x^ (11) \cdot \frac(1)(x)=11x^(10) \ln x-\frac(x^(11))(x)=11x^(10) \ln x-x^(10)=x ^(10) (11 \ln x-1)$.

ಉತ್ತರ: $x^(10) (11 \ln x-1)$.

4. ಭಾಗಶಃ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಸೂತ್ರ:

$(\frac(u)(v))"=\frac(u" v-uv")(v^2)$.

ಉದಾಹರಣೆ 4

ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮಾಡಿ $y=\frac(3x-8)(x^5-7)$.

ಪರಿಹಾರ.

$y"=(\frac(3x-8)(x^5-7))"=$

ಆದ್ಯತೆಯ ನಿಯಮಗಳ ಪ್ರಕಾರ ಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳುಮೊದಲು ನಾವು ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಸಂಕಲನ ಮತ್ತು ವ್ಯವಕಲನವನ್ನು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಮೊದಲು ಅಂಶದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ನಿಯಮವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತೇವೆ:

$=\frac((3x-8)" (x^5-7)-(3x-8) (x^5-7)")((x^5-7)^2) =$

ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸೋಣ, ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ತೆರೆಯಿರಿ ಮತ್ತು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸೋಣ:

$=\frac(3(x^5-7)-5x^4 (3x-8))((x^5-7)^2) =\frac(3x^5-21-15x^5+40x^ 4)((x^5-7)^2) =\frac(-12x^5+40x^4-21)((x^5-7)^2)$ .

ಉತ್ತರ:$\frac(-12x^5+40x^4-21)((x^5-7)^2)$.

ಉದಾಹರಣೆ 5

$y=\frac(x^7-2x+3)(x)$ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸೋಣ.

ಪರಿಹಾರ.

y ಕಾರ್ಯವು ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳ ಅಂಶವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನೀವು ಅಂಶದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ನಿಯಮವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ನೀವು ತೊಡಕಿನ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ. ಈ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಲು, ನೀವು ಅಂಶವನ್ನು ಛೇದದ ಪದದಿಂದ ಪದದಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು:

$y=\frac(x^7-13x+9)(x)=x^6-13+\frac(9)(x)$.

ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಸರಳೀಕೃತ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲು ನಾವು ನಿಯಮವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸೋಣ:

$y"=(x^6-13+\frac(9)(x))"=(x^6)"+(-13)"+9(x^(-1))"=6x^5+ 0+9 \cdot (-x^(-2))=$

$=6x^5-\frac(9)(x^2)$.

ಉತ್ತರ: $6x^5-\frac(9)(x^2)$.