ಹೌದು, ಹೌದು: ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯು ನಿಮಗೆ ಆಟಿಕೆ ಅಲ್ಲ :) ಒಳ್ಳೆಯದು, ಸ್ನೇಹಿತರೇ, ನೀವು ಈ ಪಠ್ಯವನ್ನು ಓದುತ್ತಿದ್ದರೆ, ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿ ಏನೆಂದು ನಿಮಗೆ ಇನ್ನೂ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಆಂತರಿಕ ಕ್ಯಾಪ್-ಸಾಕ್ಷ್ಯವು ಹೇಳುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ನೀವು ನಿಜವಾಗಿಯೂ (ಇಲ್ಲ, ಹಾಗೆ: SOOOOO!) ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಲು ಬಯಸುತ್ತೀರಿ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾನು ದೀರ್ಘ ಪರಿಚಯಗಳೊಂದಿಗೆ ನಿಮ್ಮನ್ನು ಹಿಂಸಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ನೇರವಾಗಿ ವಿಷಯಕ್ಕೆ ಬರುತ್ತೇನೆ.
ಮೊದಲಿಗೆ, ಒಂದೆರಡು ಉದಾಹರಣೆಗಳು. ಹಲವಾರು ಸೆಟ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ:
- 1; 2; 3; 4; ...
- 15; 20; 25; 30; ...
- $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$
ಈ ಎಲ್ಲಾ ಸೆಟ್‌ಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಏನು ಹೊಂದಿವೆ? ಮೊದಲ ನೋಟದಲ್ಲಿ, ಏನೂ ಇಲ್ಲ. ಆದರೆ ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಏನೋ ಇದೆ. ಅವುಗಳೆಂದರೆ: ಪ್ರತಿ ಮುಂದಿನ ಅಂಶಅದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಹಿಂದಿನದಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ.
ನೀವೇ ನಿರ್ಣಯಿಸಿ. ಮೊದಲ ಸೆಟ್ ಸರಳವಾಗಿ ಸತತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಪ್ರತಿ ಮುಂದಿನವು ಹಿಂದಿನ ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು. ಎರಡನೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸರಣಿಯ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ನಿಂತಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳುಈಗಾಗಲೇ ಐದು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಈ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಇನ್ನೂ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮೂರನೆಯ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ, ಬೇರುಗಳು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಇವೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, ಮತ್ತು $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, ಅಂದರೆ. ಮತ್ತು ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಪ್ರತಿ ಮುಂದಿನ ಅಂಶವು ಕೇವಲ $\sqrt(2)$ ರಷ್ಟು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ (ಮತ್ತು ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅಭಾಗಲಬ್ಧವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಯಪಡಬೇಡಿ).
ಆದ್ದರಿಂದ: ಅಂತಹ ಎಲ್ಲಾ ಅನುಕ್ರಮಗಳನ್ನು ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನೀಡೋಣ:
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಪ್ರತಿ ಮುಂದಿನವು ಹಿಂದಿನದಕ್ಕಿಂತ ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದೇ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಭಿನ್ನವಾಗಿರುವ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಪ್ರಗತಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ $d$ ಅಕ್ಷರದಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಸಂಕೇತ: $\left(((a)_(n)) \right)$ ಪ್ರಗತಿಯೇ ಆಗಿದೆ, $d$ ಅದರ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ.
ಮತ್ತು ಕೇವಲ ಒಂದೆರಡು ಪ್ರಮುಖ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು. ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಮಾತ್ರ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಆದೇಶಿಸಿದರುಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅನುಕ್ರಮ: ಅವುಗಳನ್ನು ಬರೆಯಲಾದ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಓದಲು ಅನುಮತಿಸಲಾಗಿದೆ - ಮತ್ತು ಬೇರೇನೂ ಇಲ್ಲ. ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಮರುಹೊಂದಿಸಲು ಅಥವಾ ಬದಲಾಯಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ.
ಎರಡನೆಯದಾಗಿ, ಅನುಕ್ರಮವು ಸೀಮಿತ ಅಥವಾ ಅನಂತವಾಗಿರಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸೆಟ್ (1; 2; 3) ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ ಸೀಮಿತ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯಾಗಿದೆ. ಆದರೆ ನೀವು ಆತ್ಮದಲ್ಲಿ ಏನನ್ನಾದರೂ ಬರೆದರೆ (1; 2; 3; 4; ...) - ಇದು ಈಗಾಗಲೇ ಅಂತ್ಯವಿಲ್ಲದ ಪ್ರಗತಿ. ನಾಲ್ಕರ ನಂತರದ ಎಲಿಪ್ಸಿಸ್ ಇನ್ನೂ ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಬರಲಿವೆ ಎಂದು ಸುಳಿವು ತೋರುತ್ತದೆ. ಅನಂತ ಅನೇಕ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ :)
ಪ್ರಗತಿಗಳು ಹೆಚ್ಚಾಗಬಹುದು ಅಥವಾ ಕಡಿಮೆಯಾಗಬಹುದು ಎಂದು ನಾನು ಗಮನಿಸಲು ಬಯಸುತ್ತೇನೆ. ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವದನ್ನು ನೋಡಿದ್ದೇವೆ - ಅದೇ ಸೆಟ್ (1; 2; 3; 4; ...). ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಇಲ್ಲಿವೆ:
- 49; 41; 33; 25; 17; ...
- 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
- $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$
ಸರಿ ಸರಿ: ಕೊನೆಯ ಉದಾಹರಣೆತುಂಬಾ ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿ ಕಾಣಿಸಬಹುದು. ಆದರೆ ಉಳಿದ, ನಾನು ಭಾವಿಸುತ್ತೇನೆ, ನೀವು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಂಡಿದ್ದೀರಿ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಹೊಸ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುತ್ತೇವೆ:
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ:
- ಪ್ರತಿ ಮುಂದಿನ ಅಂಶವು ಹಿಂದಿನದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿದ್ದರೆ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ;
- ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಪ್ರತಿ ನಂತರದ ಅಂಶವು ಹಿಂದಿನದಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿದ್ದರೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ.
ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, "ಸ್ಥಾಯಿ" ಅನುಕ್ರಮಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತವೆ - ಅವು ಒಂದೇ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, (3; 3; 3; ...).
ಒಂದೇ ಒಂದು ಪ್ರಶ್ನೆ ಉಳಿದಿದೆ: ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಕಡಿಮೆಯಾಗುವುದರಿಂದ ಹೇಗೆ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವುದು? ಅದೃಷ್ಟವಶಾತ್, ಇಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲವೂ $d$ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಚಿಹ್ನೆಯ ಮೇಲೆ ಮಾತ್ರ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಪ್ರಗತಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು:
- $d \gt 0$ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಪ್ರಗತಿಯು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ;
- $d \lt 0$ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಪ್ರಗತಿಯು ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿದೆ;
- ಅಂತಿಮವಾಗಿ, $d=0$ ಪ್ರಕರಣವಿದೆ - ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸಂಪೂರ್ಣ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸ್ಥಾಯಿ ಅನುಕ್ರಮಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ: (1; 1; 1; 1; ...), ಇತ್ಯಾದಿ.
ಮೇಲೆ ನೀಡಲಾದ ಮೂರು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿರುವ ಪ್ರಗತಿಗಳಿಗೆ $d$ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಪಕ್ಕದ ಅಂಶಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ಸಾಕು (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದು) ಮತ್ತು ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಳೆಯಿರಿ. ಇದು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣಿಸುತ್ತದೆ:
- 41−49=−8;
- 12−17,5=−5,5;
- $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.
ನಾವು ನೋಡುವಂತೆ, ಎಲ್ಲಾ ಮೂರು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ನಕಾರಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಹೊರಹೊಮ್ಮಿತು. ಮತ್ತು ಈಗ ನಾವು ಹೆಚ್ಚು ಅಥವಾ ಕಡಿಮೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ, ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಹೇಗೆ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳು ಯಾವ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಸಮಯವಾಗಿದೆ.
ಪ್ರಗತಿಯ ನಿಯಮಗಳು ಮತ್ತು ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ಸೂತ್ರ
ನಮ್ಮ ಅನುಕ್ರಮಗಳ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗದ ಕಾರಣ, ಅವುಗಳನ್ನು ಎಣಿಸಬಹುದು:
\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\(((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3) )),... \ಬಲ\)\]
ಈ ಗುಂಪಿನ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಪ್ರಗತಿಯ ಸದಸ್ಯರು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ: ಮೊದಲ ಸದಸ್ಯ, ಎರಡನೇ ಸದಸ್ಯ, ಇತ್ಯಾದಿ.
ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ತಿಳಿದಿರುವಂತೆ, ಪ್ರಗತಿಯ ನೆರೆಯ ಪದಗಳು ಸೂತ್ರದಿಂದ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ:
\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Rightarrow ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]
ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ, ಪ್ರಗತಿಯ $n$th ಪದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನೀವು $n-1$th ಪದವನ್ನು ಮತ್ತು $d$ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅದರ ಸಹಾಯದಿಂದ ನೀವು ಹಿಂದಿನದನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ಮಾತ್ರ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು (ಮತ್ತು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಎಲ್ಲಾ ಹಿಂದಿನವುಗಳು). ಇದು ತುಂಬಾ ಅನಾನುಕೂಲವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಹೆಚ್ಚು ಕುತಂತ್ರದ ಸೂತ್ರವಿದೆ, ಅದು ಯಾವುದೇ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಮೊದಲ ಪದ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ:
\[((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d\]
ನೀವು ಬಹುಶಃ ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಈಗಾಗಲೇ ನೋಡಿದ್ದೀರಿ. ಅವರು ಅದನ್ನು ಎಲ್ಲಾ ರೀತಿಯ ಉಲ್ಲೇಖ ಪುಸ್ತಕಗಳು ಮತ್ತು ಪರಿಹಾರ ಪುಸ್ತಕಗಳಲ್ಲಿ ನೀಡಲು ಇಷ್ಟಪಡುತ್ತಾರೆ. ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಸಂವೇದನಾಶೀಲ ಗಣಿತ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕದಲ್ಲಿ ಇದು ಮೊದಲನೆಯದು.
ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸ್ವಲ್ಪ ಅಭ್ಯಾಸ ಮಾಡಲು ನಾನು ನಿಮಗೆ ಸಲಹೆ ನೀಡುತ್ತೇನೆ.
ಕಾರ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ 1. ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಮೊದಲ ಮೂರು ಪದಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ $\left((((a)_(n)) \right)$ ಆಗಿದ್ದರೆ $((a)_(1))=8,d=-5$.
ಪರಿಹಾರ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಮೊದಲ ಪದವನ್ನು ತಿಳಿದಿದ್ದೇವೆ $((a)_(1))=8$ ಮತ್ತು ಪ್ರಗತಿಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸ $d=-5$. ಈಗ ನೀಡಿರುವ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸೋಣ ಮತ್ತು $n=1$, $n=2$ ಮತ್ತು $n=3$ ಅನ್ನು ಬದಲಿಸೋಣ:
\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1 \right)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\left(3-1 \right)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \ಅಂತ್ಯ(ಅಲೈನ್)\]
ಉತ್ತರ: (8; 3; -2)
ಅಷ್ಟೇ! ದಯವಿಟ್ಟು ಗಮನಿಸಿ: ನಮ್ಮ ಪ್ರಗತಿಯು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿದೆ.
ಸಹಜವಾಗಿ, $n=1$ ಅನ್ನು ಬದಲಿಸಲಾಗಲಿಲ್ಲ - ಮೊದಲ ಪದವು ನಮಗೆ ಈಗಾಗಲೇ ತಿಳಿದಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಏಕತೆಯನ್ನು ಬದಲಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಮೊದಲ ಅವಧಿಗೆ ನಮ್ಮ ಸೂತ್ರವು ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಮಗೆ ಮನವರಿಕೆಯಾಯಿತು. ಇತರ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಎಲ್ಲವೂ ನೀರಸ ಅಂಕಗಣಿತಕ್ಕೆ ಬಂದವು.
ಕಾರ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ 2. ಅದರ ಏಳನೇ ಪದವು −40 ಮತ್ತು ಅದರ ಹದಿನೇಳನೇ ಪದವು −50 ಗೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಮೊದಲ ಮೂರು ಪದಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.
ಪರಿಹಾರ. ಸಮಸ್ಯೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪರಿಚಿತ ಪದಗಳಲ್ಲಿ ಬರೆಯೋಣ:
\[((ಎ)_(7))=-40;\ಕ್ವಾಡ್ ((ಎ)_(17))=-50.\]
\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=(a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \ end(align) \right.\]
\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \ end(align) \ಬಲ.\]
ನಾನು ಸಿಸ್ಟಮ್ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಹಾಕಿದ್ದೇನೆ ಏಕೆಂದರೆ ಈ ಅವಶ್ಯಕತೆಗಳನ್ನು ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಪೂರೈಸಬೇಕು. ಈಗ ನಾವು ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಮೊದಲನೆಯದನ್ನು ಕಳೆಯುತ್ತಿದ್ದರೆ (ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು ನಮಗೆ ಹಕ್ಕಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ನಾವು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ), ನಾವು ಇದನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\&10d=-10; \\&d=-1. \\ \ಅಂತ್ಯ(ಅಲೈನ್)\]
ಪ್ರಗತಿಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಎಷ್ಟು ಸುಲಭ! ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಯಾವುದೇ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಬದಲಿಸುವುದು ಮಾತ್ರ ಉಳಿದಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೊದಲನೆಯದರಲ್ಲಿ:
\[\begin(ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((ಎ)_(1))=-40+6=-34. \\ \ಅಂತ್ಯ(ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್)\]
ಈಗ, ಮೊದಲ ಪದ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಂಡು, ಎರಡನೆಯ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಪದಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಉಳಿದಿದೆ:
\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \ಅಂತ್ಯ(ಅಲೈನ್)\]
ಸಿದ್ಧ! ಸಮಸ್ಯೆ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ.
ಉತ್ತರ: (-34; -35; -36)
ನಾವು ಕಂಡುಹಿಡಿದ ಪ್ರಗತಿಯ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಗಮನಿಸಿ: ನಾವು $n$th ಮತ್ತು $m$th ನಿಯಮಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಅವುಗಳನ್ನು ಪರಸ್ಪರ ಕಳೆಯುತ್ತಿದ್ದರೆ, ನಾವು $n-m$ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಪ್ರಗತಿಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \right)\]
ನೀವು ಖಂಡಿತವಾಗಿ ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕಾದ ಸರಳವಾದ ಆದರೆ ತುಂಬಾ ಉಪಯುಕ್ತವಾದ ಆಸ್ತಿ - ಅದರ ಸಹಾಯದಿಂದ ನೀವು ಅನೇಕ ಪ್ರಗತಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ವೇಗಗೊಳಿಸಬಹುದು. ಇಲ್ಲಿ ಅದು ಪ್ರಕಾಶಮಾನವಾಗಿದೆಉದಾಹರಣೆ:
ಕಾರ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ 3. ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಐದನೇ ಪದವು 8.4 ಆಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಅದರ ಹತ್ತನೇ ಪದವು 14.4 ಆಗಿದೆ. ಈ ಪ್ರಗತಿಯ ಹದಿನೈದನೆಯ ಪದವನ್ನು ಹುಡುಕಿ.
ಪರಿಹಾರ. $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$, ಮತ್ತು ನಾವು $((a)_(15))$ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಗಮನಿಸುತ್ತೇವೆ:
\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((ಎ)_(10))-((ಎ)_(5))=5ಡಿ. \\ \ಅಂತ್ಯ(ಅಲೈನ್)\]
ಆದರೆ ಷರತ್ತಿನ ಪ್ರಕಾರ $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, ಆದ್ದರಿಂದ $5d=6$, ಇದರಿಂದ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:
\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((ಎ)_(15))=6+14.4=20.4. \\ \ಅಂತ್ಯ(ಅಲೈನ್)\]
ಉತ್ತರ: 20.4
ಅಷ್ಟೇ! ನಾವು ಸಮೀಕರಣಗಳ ಯಾವುದೇ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ರಚಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಮೊದಲ ಪದ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ - ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಕೇವಲ ಒಂದೆರಡು ಸಾಲುಗಳಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆ.
ಈಗ ಮತ್ತೊಂದು ರೀತಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ನೋಡೋಣ - ಪ್ರಗತಿಯ ಋಣಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಧನಾತ್ಮಕ ಪದಗಳನ್ನು ಹುಡುಕುವುದು. ಪ್ರಗತಿಯು ಹೆಚ್ಚಾದರೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಮೊದಲ ಪದವು ನಕಾರಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ಬೇಗ ಅಥವಾ ನಂತರ ಧನಾತ್ಮಕ ಪದಗಳು ಅದರಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ ಎಂಬುದು ರಹಸ್ಯವಲ್ಲ. ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ: ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿರುವ ಪ್ರಗತಿಯ ನಿಯಮಗಳು ಬೇಗ ಅಥವಾ ನಂತರ ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗುತ್ತವೆ.
ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಅಂಶಗಳ ಮೂಲಕ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಹಾದುಹೋಗುವ ಮೂಲಕ ಈ ಕ್ಷಣವನ್ನು "ಹೆಡ್-ಆನ್" ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಯಾವಾಗಲೂ ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ತಿಳಿಯದೆಯೇ, ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು ಹಲವಾರು ಕಾಗದದ ಹಾಳೆಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ - ನಾವು ಉತ್ತರವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡಾಗ ನಾವು ನಿದ್ರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ವೇಗವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ.
ಕಾರ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ 4. ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯಲ್ಲಿ ಎಷ್ಟು ಋಣಾತ್ಮಕ ಪದಗಳಿವೆ -38.5; -35.8; ...?
ಪರಿಹಾರ. ಆದ್ದರಿಂದ, $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$, ಅಲ್ಲಿಂದ ನಾವು ತಕ್ಷಣವೇ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:
ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ, ಆದ್ದರಿಂದ ಪ್ರಗತಿಯು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ. ಮೊದಲ ಪದವು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಕೆಲವು ಹಂತದಲ್ಲಿ ನಾವು ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲೆ ಎಡವಿ ಬೀಳುತ್ತೇವೆ. ಇದು ಯಾವಾಗ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಒಂದೇ ಪ್ರಶ್ನೆ.
ಪದಗಳ ಋಣಾತ್ಮಕತೆಯು ಎಷ್ಟು ಸಮಯದವರೆಗೆ (ಅಂದರೆ ಯಾವ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ $n$) ಉಳಿದಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ:
\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Rightarrow ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \right)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \ಬಲ. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Rightarrow ((n)_(\max ))=15. \\ \ಅಂತ್ಯ(ಅಲೈನ್)\]
ಕೊನೆಯ ಸಾಲಿಗೆ ಸ್ವಲ್ಪ ವಿವರಣೆಯ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ $n \lt 15\frac(7)(27)$ ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ನಾವು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಂದ ಮಾತ್ರ ತೃಪ್ತರಾಗಿದ್ದೇವೆ (ಇದಲ್ಲದೆ: $n\in \mathbb(N)$), ಆದ್ದರಿಂದ ಅನುಮತಿಸುವ ಅತಿದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯು ನಿಖರವಾಗಿ $n=15$ ಆಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ 16 .
ಕಾರ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ 5. ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯಲ್ಲಿ $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. ಈ ಪ್ರಗತಿಯ ಮೊದಲ ಧನಾತ್ಮಕ ಪದದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
ಇದು ಹಿಂದಿನ ಸಮಸ್ಯೆಯಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ನಮಗೆ $((a)_(1))$ ಗೊತ್ತಿಲ್ಲ. ಆದರೆ ನೆರೆಹೊರೆಯ ಪದಗಳು ತಿಳಿದಿವೆ: $((a)_(5))$ ಮತ್ತು $((a)_(6))$, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಪ್ರಗತಿಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು:
ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಪ್ರಮಾಣಿತ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮೊದಲ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಮೂಲಕ ಐದನೇ ಪದವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ:
\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((ಎ)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((ಎ)_(1))=-150-12=-162. \\ \ಅಂತ್ಯ(ಅಲೈನ್)\]
ಈಗ ನಾವು ಹಿಂದಿನ ಕಾರ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಸಾದೃಶ್ಯದ ಮೂಲಕ ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತೇವೆ. ನಮ್ಮ ಅನುಕ್ರಮ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಯಾವ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:
\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Rightarrow ((n)_(\min ))=56. \\ \ಅಂತ್ಯ(ಅಲೈನ್)\]
ಕನಿಷ್ಠ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಪರಿಹಾರಈ ಅಸಮಾನತೆಯ ಸಂಖ್ಯೆ 56 ಆಗಿದೆ.
ದಯವಿಟ್ಟು ಗಮನಿಸಿ: in ಕೊನೆಯ ಕಾರ್ಯಇದು ಎಲ್ಲಾ ಬಂದಿತು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಅಸಮಾನತೆ, ಆದ್ದರಿಂದ $n=55$ ಆಯ್ಕೆಯು ನಮಗೆ ಸರಿಹೊಂದುವುದಿಲ್ಲ.
ಈಗ ನಾವು ಸರಳ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸಬೇಕೆಂದು ಕಲಿತಿದ್ದೇವೆ, ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದವುಗಳಿಗೆ ಹೋಗೋಣ. ಆದರೆ ಮೊದಲು, ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಗಳ ಮತ್ತೊಂದು ಉಪಯುಕ್ತ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡೋಣ, ಇದು ಭವಿಷ್ಯದಲ್ಲಿ ನಮಗೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಸಮಯ ಮತ್ತು ಅಸಮಾನ ಕೋಶಗಳನ್ನು ಉಳಿಸುತ್ತದೆ.
ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿ ಮತ್ತು ಸಮಾನ ಇಂಡೆಂಟೇಶನ್‌ಗಳು
ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಹಲವಾರು ಅನುಕ್ರಮ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ $\left(((a)_(n)) \right)$. ಅವುಗಳನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಗುರುತಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ:
ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ನಿಯಮಗಳುನಾನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಪದಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಿದ್ದೇನೆ $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, ಮತ್ತು ಕೆಲವು $((a)_(1)) ,\ ((ಎ)_(2)),\ ((ಎ)_(3))$, ಇತ್ಯಾದಿ. ಏಕೆಂದರೆ ನಾನು ಈಗ ನಿಮಗೆ ಹೇಳುವ ನಿಯಮವು ಯಾವುದೇ "ವಿಭಾಗಗಳಿಗೆ" ಒಂದೇ ರೀತಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ.
ಮತ್ತು ನಿಯಮವು ತುಂಬಾ ಸರಳವಾಗಿದೆ. ಮರುಕಳಿಸುವ ಸೂತ್ರವನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳೋಣ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಗುರುತಿಸಲಾದ ಪದಗಳಿಗೆ ಅದನ್ನು ಬರೆಯೋಣ:
\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \ಅಂತ್ಯ(ಅಲೈನ್)\]
ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿ ಪುನಃ ಬರೆಯಬಹುದು:
\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \ಅಂತ್ಯ(ಅಲೈನ್)\]
ಸರಿ, ಹಾಗಾದರೆ ಏನು? ಮತ್ತು $((a)_(n-1))$ ಮತ್ತು $((a)_(n+1))$ ಪದಗಳು $((a)_(n)) $ ನಿಂದ ಒಂದೇ ದೂರದಲ್ಲಿವೆ. . ಮತ್ತು ಈ ಅಂತರವು $d$ ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. $((a)_(n-2))$ ಮತ್ತು $((a)_(n+2))$ ಪದಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಅದೇ ರೀತಿ ಹೇಳಬಹುದು - ಅವುಗಳನ್ನು $((a)_(n) ನಿಂದ ತೆಗೆದುಹಾಕಲಾಗಿದೆ )$ ಅದೇ ದೂರದಲ್ಲಿ $2d$ ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಾವು ಜಾಹೀರಾತನ್ನು ಅನಂತವಾಗಿ ಮುಂದುವರಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ಅರ್ಥವನ್ನು ಚಿತ್ರದಿಂದ ಚೆನ್ನಾಗಿ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ
ಪ್ರಗತಿಯ ನಿಯಮಗಳು ಕೇಂದ್ರದಿಂದ ಅದೇ ದೂರದಲ್ಲಿವೆ ಇದು ನಮಗೆ ಅರ್ಥವೇನು? ಇದರರ್ಥ ನೆರೆಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ $((a)_(n))$ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು:
\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]
ನಾವು ಅತ್ಯುತ್ತಮವಾದ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ: ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪದವು ಅದರ ನೆರೆಯ ಪದಗಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ! ಮೇಲಾಗಿ: ನಾವು ನಮ್ಮ $((a)_(n))$ ನಿಂದ ಎಡಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಬಲಕ್ಕೆ ಒಂದು ಹೆಜ್ಜೆಯಿಂದ ಹಿಂದೆ ಸರಿಯಬಹುದು, ಆದರೆ $k$ ಹಂತಗಳ ಮೂಲಕ - ಮತ್ತು ಸೂತ್ರವು ಇನ್ನೂ ಸರಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ:
\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]
ಆ. ನಮಗೆ $((a)_(100))$ ಮತ್ತು $((a)_(200))$ ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ ನಾವು ಕೆಲವು $((a)_(150))$ ಅನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಹುಡುಕಬಹುದು ಏಕೆಂದರೆ $((a)_ (150))=\frac(((ಎ)_(100))+((ಎ)_(200)))(2)$. ಮೊದಲ ನೋಟದಲ್ಲಿ, ಈ ಸತ್ಯವು ನಮಗೆ ಉಪಯುಕ್ತವಾದ ಯಾವುದನ್ನೂ ನೀಡುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ತೋರುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ, ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯನ್ನು ಬಳಸಲು ಅನೇಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ವಿಶೇಷವಾಗಿ ವಿನ್ಯಾಸಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ. ಒಮ್ಮೆ ನೋಡಿ:
ಕಾರ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ 6. $-6((x)^(2))$, $x+1$ ಮತ್ತು $14+4((x)^(2))$ ಅನುಕ್ರಮ ಪದಗಳಾಗಿರುವ $x$ ನ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿ (ಸೂಚಿಸಿದ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ).
ಪರಿಹಾರ. ಏಕೆಂದರೆ ದಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳುಪ್ರಗತಿಯ ಸದಸ್ಯರಾಗಿದ್ದಾರೆ, ಅವರಿಗೆ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ: ಕೇಂದ್ರ ಅಂಶ $x+1$ ಅನ್ನು ನೆರೆಯ ಅಂಶಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು:
\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \ಅಂತ್ಯ(ಅಲೈನ್)\]
ಇದು ಕ್ಲಾಸಿಕ್ ಆಗಿ ಹೊರಹೊಮ್ಮಿತು ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣ. ಇದರ ಬೇರುಗಳು: $x=2$ ಮತ್ತು $x=-3$ ಉತ್ತರಗಳು.
ಉತ್ತರ: -3; 2.
ಕಾರ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ 7. $-1;4-3;(()^(2))+1$ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ರೂಪಿಸುವ $$ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ (ಆ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ).
ಪರಿಹಾರ. ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸೋಣ ಸರಾಸರಿ ಸದಸ್ಯನೆರೆಯ ಪದಗಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿ ಮೂಲಕ:
\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\ಕ್ವಾಡ್ \ಎಡ| \cdot 2 \ಬಲ.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \ಅಂತ್ಯ(ಅಲೈನ್)\]
ಮತ್ತೆ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣ. ಮತ್ತೆ ಎರಡು ಬೇರುಗಳಿವೆ: $x=6$ ಮತ್ತು $x=1$.
ಉತ್ತರ: 1; 6.
ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ನೀವು ಕೆಲವು ಕ್ರೂರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಬಂದರೆ ಅಥವಾ ಕಂಡುಕೊಂಡ ಉತ್ತರಗಳ ನಿಖರತೆಯ ಬಗ್ಗೆ ನಿಮಗೆ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಖಚಿತವಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಪರಿಶೀಲಿಸಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುವ ಅದ್ಭುತ ತಂತ್ರವಿದೆ: ನಾವು ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಿದ್ದೇವೆಯೇ?
ಸಮಸ್ಯೆ ಸಂಖ್ಯೆ 6 ರಲ್ಲಿ ನಾವು −3 ಮತ್ತು 2 ಉತ್ತರಗಳನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ಹೇಳೋಣ. ಈ ಉತ್ತರಗಳು ಸರಿಯಾಗಿವೆಯೇ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಗೆ ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು? ಅವುಗಳನ್ನು ಮೂಲ ಸ್ಥಿತಿಗೆ ಪ್ಲಗ್ ಮಾಡೋಣ ಮತ್ತು ಏನಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನೋಡೋಣ. ನಾವು ಮೂರು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ($-6()^(2))$, $+1$ ಮತ್ತು $14+4(()^(2))$) ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಾನು ನಿಮಗೆ ನೆನಪಿಸುತ್ತೇನೆ, ಇದು ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ರೂಪಿಸಬೇಕು. $x=-3$ ಅನ್ನು ಬದಲಿಸೋಣ:
\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ & x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \ಅಂತ್ಯ(ಜೋಡಣೆ)\]
ನಾವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ -54; -2; 52 ರಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುವ 50 ನಿಸ್ಸಂದೇಹವಾಗಿ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯಾಗಿದೆ. $x=2$ ಗೆ ಅದೇ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ:
\[\begin(align) & x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ & x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \ಅಂತ್ಯ(ಜೋಡಣೆ)\]
ಮತ್ತೆ ಒಂದು ಪ್ರಗತಿ, ಆದರೆ 27 ರ ವ್ಯತ್ಯಾಸದೊಂದಿಗೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಬಯಸುವವರು ಎರಡನೇ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ತಾವಾಗಿಯೇ ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ನಾನು ಈಗಿನಿಂದಲೇ ಹೇಳುತ್ತೇನೆ: ಅಲ್ಲಿಯೂ ಎಲ್ಲವೂ ಸರಿಯಾಗಿದೆ.
ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಕೊನೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ನಾವು ಇನ್ನೊಂದನ್ನು ಕಂಡೆವು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ವಾಸ್ತವ, ಇದನ್ನು ಸಹ ನೆನಪಿನಲ್ಲಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಬೇಕು:
ಮೂರು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಇದ್ದಲ್ಲಿ ಎರಡನೆಯದು ಮಧ್ಯಮವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮೊದಲು ಅಂಕಗಣಿತಮತ್ತು ಕೊನೆಯದಾಗಿ, ನಂತರ ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ.
ಭವಿಷ್ಯದಲ್ಲಿ, ಈ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಅಕ್ಷರಶಃ "ವಿನ್ಯಾಸ" ಮಾಡಲು ನಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ ಅಗತ್ಯ ಪ್ರಗತಿಗಳು, ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ. ಆದರೆ ನಾವು ಅಂತಹ "ನಿರ್ಮಾಣ" ದಲ್ಲಿ ತೊಡಗಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ಮೊದಲು, ನಾವು ಇನ್ನೂ ಒಂದು ಸಂಗತಿಗೆ ಗಮನ ಕೊಡಬೇಕು, ಇದು ಈಗಾಗಲೇ ಚರ್ಚಿಸಿದ ವಿಷಯದಿಂದ ನೇರವಾಗಿ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ.
ಅಂಶಗಳನ್ನು ಗುಂಪು ಮಾಡುವುದು ಮತ್ತು ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸುವುದು
ಮತ್ತೆ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಹಿಂತಿರುಗಿ ನೋಡೋಣ. ಪ್ರಗತಿಯ ಹಲವಾರು ಸದಸ್ಯರನ್ನು ನಾವು ಗಮನಿಸೋಣ, ಅವುಗಳ ನಡುವೆ, ಬಹುಶಃ. ಇದು ಬಹಳಷ್ಟು ಇತರ ಸದಸ್ಯರಿಗೆ ಯೋಗ್ಯವಾಗಿದೆ:
ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ 6 ಅಂಶಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಲಾಗಿದೆ$((a)_(n))$ ಮತ್ತು $d$ ಮೂಲಕ “ಎಡ ಬಾಲ” ಮತ್ತು $((a)_(k))$ ಮತ್ತು $d$ ಮೂಲಕ “ಬಲ ಬಾಲ” ವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ. ಇದು ತುಂಬಾ ಸರಳವಾಗಿದೆ:
\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \ಅಂತ್ಯ(ಅಲೈನ್)\]
ಈಗ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಮೊತ್ತಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ:
\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= ಎಸ್; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= ಎಸ್. \ಅಂತ್ಯ(ಜೋಡಣೆ)\]
ಸರಳವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ನಾವು ಪ್ರಗತಿಯ ಪ್ರಾರಂಭದ ಎರಡು ಅಂಶಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿದರೆ, ಒಟ್ಟಾರೆಯಾಗಿ ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯೆ $S$ ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಈ ಅಂಶಗಳಿಂದ ಹೆಜ್ಜೆ ಹಾಕಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತದೆ ವಿರುದ್ಧ ಬದಿಗಳು(ಪರಸ್ಪರ ಅಥವಾ ಪ್ರತಿಯಾಗಿ ದೂರ ಸರಿಯಲು), ನಂತರ ನಾವು ಎಡವಿ ಬೀಳುವ ಅಂಶಗಳ ಮೊತ್ತವೂ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ$S$. ಇದನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕವಾಗಿ ನಿರೂಪಿಸಬಹುದು:
ಸಮಾನ ಇಂಡೆಂಟೇಶನ್‌ಗಳು ಸಮಾನ ಮೊತ್ತವನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆ ತಿಳುವಳಿಕೆ ಈ ವಾಸ್ತವವಾಗಿನಾವು ಮೇಲೆ ಪರಿಗಣಿಸಿದ್ದಕ್ಕಿಂತ ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಿನ ಮಟ್ಟದ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ನಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಇವುಗಳು:
ಕಾರ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ 8. ಮೊದಲ ಪದವು 66 ಆಗಿರುವ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ, ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ಮತ್ತು ಹನ್ನೆರಡನೆಯ ಪದಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವು ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ.
ಪರಿಹಾರ. ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿರುವ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಬರೆಯೋಣ:
\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \ಅಂತ್ಯ(ಜೋಡಣೆ)\]
ಆದ್ದರಿಂದ, $d$ ಪ್ರಗತಿಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಸಂಪೂರ್ಣ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಸುತ್ತಲೂ ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಉತ್ಪನ್ನ $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ ಅನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಪುನಃ ಬರೆಯಬಹುದು:
\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \ಅಂತ್ಯ(ಜೋಡಣೆ)\]
ತೊಟ್ಟಿಯಲ್ಲಿದ್ದವರಿಗೆ: ನಾನು ಅದನ್ನು ಹೊರತೆಗೆದಿದ್ದೇನೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಗುಣಕಎರಡನೇ ಆವರಣದಿಂದ 11. ಹೀಗಾಗಿ, ಬಯಸಿದ ಉತ್ಪನ್ನವು ವೇರಿಯಬಲ್ $d$ ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಒಂದು ಚತುರ್ಭುಜ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - ಅದರ ಗ್ರಾಫ್ ಶಾಖೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ನಾವು ಆವರಣಗಳನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11((( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]
ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ಅತ್ಯುನ್ನತ ಪದದ ಗುಣಾಂಕ 11 - ಇದು ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಮೇಲ್ಮುಖವಾದ ಶಾಖೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾದೊಂದಿಗೆ ನಿಜವಾಗಿಯೂ ವ್ಯವಹರಿಸುತ್ತಿದ್ದೇವೆ:
ವೇಳಾಪಟ್ಟಿ ಚತುರ್ಭುಜ ಕಾರ್ಯ- ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ
ಸೂಚನೆ: ಕನಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯಈ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ $((d)_(0))$ ಅನ್ನು ಅದರ ಶೃಂಗದಲ್ಲಿ abscissa ನೊಂದಿಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಸಹಜವಾಗಿ, ನಾವು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಸ್ಕೀಮ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಈ ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು (ಸೂತ್ರವು $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$ ಇದೆ), ಆದರೆ ಇದು ಗಮನಿಸಲು ಹೆಚ್ಚು ಸಮಂಜಸವಾಗಿದೆ. ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಶೃಂಗವು ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾದ ಅಕ್ಷದ ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಮೇಲೆ ಇರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ $((d)_(0))$ ಬಿಂದುವು $f\left(d \right)=0$ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳಿಂದ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ:
\[\begin(align) & f\left(d \right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((ಡಿ)_(1))=-66;\ಕ್ವಾಡ್ ((ಡಿ)_(2))=-6. \\ \ಅಂತ್ಯ(ಅಲೈನ್)\]
ಅದಕ್ಕಾಗಿಯೇ ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ತೆರೆಯಲು ನಾನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಆತುರಪಡಲಿಲ್ಲ: ಅವುಗಳ ಮೂಲ ರೂಪದಲ್ಲಿ, ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ತುಂಬಾ ಸುಲಭ. ಆದ್ದರಿಂದ, abscissa ಸರಾಸರಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು−66 ಮತ್ತು -6:
\[((ಡಿ)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]
ಪತ್ತೆಯಾದ ಸಂಖ್ಯೆ ನಮಗೆ ಏನು ನೀಡುತ್ತದೆ? ಅದರೊಂದಿಗೆ, ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯ(ಮೂಲಕ, ನಾವು ಎಂದಿಗೂ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿಲ್ಲ $((y)_(\min ))$ - ಇದು ನಮಗೆ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ). ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಮೂಲ ಪ್ರಗತಿಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ. ನಾವು ಉತ್ತರವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ :)
ಉತ್ತರ: -36
ಕಾರ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ 9. ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಡುವೆ $-\frac(1)(2)$ ಮತ್ತು $-\frac(1)(6)$ ಮೂರು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿ ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಜೊತೆಗೆ ಅವು ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ.
ಪರಿಹಾರ. ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ, ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ತಿಳಿದಿರುವ ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಕೊನೆಯ ಸಂಖ್ಯೆಯೊಂದಿಗೆ ಐದು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಮಾಡಬೇಕಾಗಿದೆ. ಕಾಣೆಯಾದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು $x$, $y$ ಮತ್ತು $z$ ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳಿಂದ ಸೂಚಿಸೋಣ:
\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]
$y$ ಸಂಖ್ಯೆಯು ನಮ್ಮ ಅನುಕ್ರಮದ "ಮಧ್ಯ" ಎಂದು ಗಮನಿಸಿ - ಇದು $x$ ಮತ್ತು $z$ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ ಮತ್ತು $-\frac(1)(2)$ ಮತ್ತು $-\frac ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ (1)( 6)$. ಮತ್ತು ನಾವು $x$ ಮತ್ತು $z$ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ ಇದ್ದಲ್ಲಿ ಈ ಕ್ಷಣನಾವು $y$ ಅನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ, ನಂತರ ಪ್ರಗತಿಯ ಅಂತ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಯನ್ನು ನೆನಪಿಸೋಣ:
ಈಗ, $y$ ತಿಳಿದುಕೊಂಡು, ನಾವು ಉಳಿದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. $x$ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಡುವೆ $-\frac(1)(2)$ ಮತ್ತು $y=-\frac(1)(3)$ ನಾವು ಈಗ ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಅದಕ್ಕೇ
ಇದೇ ರೀತಿಯ ತಾರ್ಕಿಕತೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು ಉಳಿದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:
ಸಿದ್ಧ! ನಾವು ಎಲ್ಲಾ ಮೂರು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ಮೂಲ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಡುವೆ ಸೇರಿಸಬೇಕಾದ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಉತ್ತರದಲ್ಲಿ ಬರೆಯೋಣ.
ಉತ್ತರ: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$
ಕಾರ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ 10. 2 ಮತ್ತು 42 ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಡುವೆ, ಸೇರಿಸಲಾದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊದಲ, ಎರಡನೆಯ ಮತ್ತು ಕೊನೆಯ ಮೊತ್ತವು 56 ಎಂದು ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ, ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಜೊತೆಗೆ, ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ಹಲವಾರು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿ.
ಪರಿಹಾರ. ಇನ್ನಷ್ಟು ಕಷ್ಟದ ಕೆಲಸ, ಆದಾಗ್ಯೂ, ಹಿಂದಿನವುಗಳಂತೆಯೇ ಅದೇ ಯೋಜನೆಯ ಪ್ರಕಾರ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ - ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿ ಮೂಲಕ. ಸಮಸ್ಯೆಯೆಂದರೆ ಎಷ್ಟು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಬೇಕು ಎಂದು ನಮಗೆ ನಿಖರವಾಗಿ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಸೇರಿಸಿದ ನಂತರ ನಿಖರವಾಗಿ $n$ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಇರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಮೊದಲನೆಯದು 2 ಮತ್ತು ಕೊನೆಯದು 42 ಎಂದು ಖಚಿತತೆಗಾಗಿ ನಾವು ಊಹಿಸೋಣ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು:
\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \ಬಲ\)\]
\[((ಎ)_(2))+((ಎ)_(3))+((ಎ)_(ಎನ್-1))=56\]
ಆದಾಗ್ಯೂ, $((a)_(2))$ ಮತ್ತು $((a)_(n-1))$ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು 2 ಮತ್ತು 42 ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ ಅಂಚುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದರ ಕಡೆಗೆ ಒಂದು ಹೆಜ್ಜೆಯಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ, ಅಂದರೆ. ಅನುಕ್ರಮದ ಮಧ್ಯಭಾಗಕ್ಕೆ. ಮತ್ತು ಇದರ ಅರ್ಥ
\[((ಎ)_(2))+((ಎ)_(n-1))=2+42=44\]
ಆದರೆ ಮೇಲೆ ಬರೆದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಪುನಃ ಬರೆಯಬಹುದು:
\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((ಎ)_(3))=56; \\ & ((ಎ)_(3))=56-44=12. \\ \ಅಂತ್ಯ(ಅಲೈನ್)\]
$((a)_(3))$ ಮತ್ತು $((a)_(1))$ ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಪ್ರಗತಿಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು:
\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\left(3-1 \right)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Rightarrow d=5. \\ \ಅಂತ್ಯ(ಅಲೈನ್)\]
ಉಳಿದಿರುವ ಪದಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಮಾತ್ರ ಉಳಿದಿದೆ:
\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((ಎ)_(2))=2+5=7; \\ & ((ಎ)_(3))=12; \\ & ((ಎ)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((ಎ)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \ಅಂತ್ಯ(ಅಲೈನ್)\]
ಹೀಗಾಗಿ, ಈಗಾಗಲೇ 9 ನೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ ನಾವು ಅನುಕ್ರಮದ ಎಡ ತುದಿಗೆ ಬರುತ್ತೇವೆ - ಸಂಖ್ಯೆ 42. ಒಟ್ಟಾರೆಯಾಗಿ, ಕೇವಲ 7 ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಬೇಕಾಗಿತ್ತು: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.
ಉತ್ತರ: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37
ಪ್ರಗತಿಯೊಂದಿಗೆ ಪದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು
ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ, ನಾನು ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಒಂದೆರಡು ಪರಿಗಣಿಸಲು ಬಯಸುತ್ತೇನೆ ಸರಳ ಕಾರ್ಯಗಳು. ಒಳ್ಳೆಯದು, ಅದು ಸರಳವಾಗಿದೆ: ಶಾಲೆಯಲ್ಲಿ ಗಣಿತವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ಮತ್ತು ಮೇಲೆ ಬರೆದದ್ದನ್ನು ಓದದ ಹೆಚ್ಚಿನ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ, ಈ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಕಠಿಣವಾಗಿ ಕಾಣಿಸಬಹುದು. ಅದೇನೇ ಇದ್ದರೂ, ಇವುಗಳು OGE ಮತ್ತು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುವ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಪ್ರಕಾರಗಳಾಗಿವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನೀವು ಅವರೊಂದಿಗೆ ನೀವೇ ಪರಿಚಿತರಾಗಿರಲು ನಾನು ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ.
ಕಾರ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ 11. ತಂಡವು ಜನವರಿಯಲ್ಲಿ 62 ಭಾಗಗಳನ್ನು ತಯಾರಿಸಿತು ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ನಂತರದ ತಿಂಗಳಲ್ಲಿ ಅವರು ಹಿಂದಿನ ತಿಂಗಳಿಗಿಂತ 14 ಹೆಚ್ಚು ಭಾಗಗಳನ್ನು ತಯಾರಿಸಿದರು. ನವೆಂಬರ್ನಲ್ಲಿ ತಂಡವು ಎಷ್ಟು ಭಾಗಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿದೆ?
ಪರಿಹಾರ. ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ತಿಂಗಳಿಂದ ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾದ ಭಾಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ:
\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(align)\]
ನವೆಂಬರ್ ವರ್ಷದ 11 ನೇ ತಿಂಗಳು, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು $((a)_(11))$ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು:
\[((ಎ)_(11))=62+10\cdot 14=202\]
ಆದ್ದರಿಂದ, ನವೆಂಬರ್ನಲ್ಲಿ 202 ಭಾಗಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಕಾರ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ 12. ಬುಕ್‌ಬೈಂಡಿಂಗ್ ಕಾರ್ಯಾಗಾರವು ಜನವರಿಯಲ್ಲಿ 216 ಪುಸ್ತಕಗಳನ್ನು ಬಂಧಿಸಿತು ಮತ್ತು ನಂತರದ ಪ್ರತಿ ತಿಂಗಳು ಅದು ಹಿಂದಿನ ತಿಂಗಳಿಗಿಂತ 4 ಹೆಚ್ಚು ಪುಸ್ತಕಗಳನ್ನು ಬಂಧಿಸಿತು. ಡಿಸೆಂಬರ್‌ನಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯಾಗಾರ ಎಷ್ಟು ಪುಸ್ತಕಗಳನ್ನು ಬೈಂಡ್ ಮಾಡಿದೆ?
ಪರಿಹಾರ. ಎಲ್ಲಾ ಒಂದೇ:
$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(align)$
ಡಿಸೆಂಬರ್ ವರ್ಷದ ಕೊನೆಯ, 12 ನೇ ತಿಂಗಳು, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು $((a)_(12))$ ಗಾಗಿ ಹುಡುಕುತ್ತಿದ್ದೇವೆ:
\[((ಎ)_(12))=216+11\cdot 4=260\]
ಇದು ಉತ್ತರ - ಡಿಸೆಂಬರ್‌ನಲ್ಲಿ 260 ಪುಸ್ತಕಗಳನ್ನು ಬಂಧಿಸಲಾಗುವುದು.
ಸರಿ, ನೀವು ಇಲ್ಲಿಯವರೆಗೆ ಓದಿದ್ದರೆ, ನಾನು ನಿಮ್ಮನ್ನು ಅಭಿನಂದಿಸಲು ಆತುರಪಡುತ್ತೇನೆ: ನೀವು ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯಲ್ಲಿ "ಯುವ ಹೋರಾಟಗಾರರ ಕೋರ್ಸ್" ಅನ್ನು ಯಶಸ್ವಿಯಾಗಿ ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಿದ್ದೀರಿ. ನೀವು ಮುಂದಿನ ಪಾಠಕ್ಕೆ ಸುರಕ್ಷಿತವಾಗಿ ಹೋಗಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ ನಾವು ಪ್ರಗತಿಯ ಮೊತ್ತದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ, ಜೊತೆಗೆ ಪ್ರಮುಖ ಮತ್ತು ತುಂಬಾ ಉಪಯುಕ್ತ ಪರಿಣಾಮಗಳುಅವಳಿಂದ.
ಗಮನ!
ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಇವೆ
ವಿಶೇಷ ವಿಭಾಗ 555 ರಲ್ಲಿನ ವಸ್ತುಗಳು.
ತುಂಬಾ "ತುಂಬಾ ಅಲ್ಲ..." ಇರುವವರಿಗೆ
ಮತ್ತು "ತುಂಬಾ..." ಇರುವವರಿಗೆ)
ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸರಣಿಯಾಗಿದ್ದು, ಇದರಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅದೇ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಹಿಂದಿನದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಅಥವಾ ಕಡಿಮೆ).
ಈ ವಿಷಯವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಮತ್ತು ಗ್ರಹಿಸಲಾಗದಂತಿದೆ. ಅಕ್ಷರ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳು n ನೇ ಅವಧಿಪ್ರಗತಿಗಳು, ಪ್ರಗತಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು - ಇದೆಲ್ಲವೂ ಗೊಂದಲಮಯವಾಗಿದೆ, ಹೌದು ... ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಅರ್ಥವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲವೂ ತಕ್ಷಣವೇ ಉತ್ತಮಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.)
ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ.
ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯು ಅತ್ಯಂತ ಸರಳ ಮತ್ತು ಸ್ಪಷ್ಟ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯಾಗಿದೆ. ನಿಮಗೆ ಏನಾದರೂ ಸಂದೇಹವಿದೆಯೇ? ವ್ಯರ್ಥವಾಯಿತು.) ನೀವೇ ನೋಡಿ.
ನಾನು ಅಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸರಣಿಯನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇನೆ:
1, 2, 3, 4, 5, ...
ನೀವು ಈ ಸರಣಿಯನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದೇ? ಐದು ನಂತರ ಯಾವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮುಂದೆ ಬರುತ್ತವೆ? ಎಲ್ಲರೂ... ಉಹ್..., ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ, 6, 7, 8, 9, ಇತ್ಯಾದಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮುಂದೆ ಬರುತ್ತವೆ ಎಂದು ಎಲ್ಲರೂ ಅರಿತುಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ.
ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸಂಕೀರ್ಣಗೊಳಿಸೋಣ. ನಾನು ನಿಮಗೆ ಅಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸರಣಿಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತೇನೆ:
2, 5, 8, 11, 14, ...
ನೀವು ಮಾದರಿಯನ್ನು ಹಿಡಿಯಲು, ಸರಣಿಯನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಲು ಮತ್ತು ಹೆಸರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ ಏಳನೇಸಾಲು ಸಂಖ್ಯೆ?
ಈ ಸಂಖ್ಯೆ 20 ಎಂದು ನೀವು ಅರಿತುಕೊಂಡರೆ, ಅಭಿನಂದನೆಗಳು! ನಿಮಗೆ ಅನಿಸಿದ್ದು ಮಾತ್ರವಲ್ಲ ಮುಖ್ಯ ಅಂಶಗಳುಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿ,ಆದರೆ ಅವುಗಳನ್ನು ವ್ಯವಹಾರದಲ್ಲಿ ಯಶಸ್ವಿಯಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗಿದೆ! ನೀವು ಅದನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡದಿದ್ದರೆ, ಮುಂದೆ ಓದಿ.
ಈಗ ನಾವು ಸಂವೇದನೆಗಳಿಂದ ಗಣಿತಕ್ಕೆ ಪ್ರಮುಖ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಭಾಷಾಂತರಿಸೋಣ.)
ಮೊದಲ ಪ್ರಮುಖ ಅಂಶ.
ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸರಣಿಯೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುತ್ತದೆ.ಇದು ಮೊದಲಿಗೆ ಗೊಂದಲಮಯವಾಗಿದೆ. ನಾವು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ಗ್ರಾಫ್ಗಳನ್ನು ಚಿತ್ರಿಸಲು ಮತ್ತು ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಬಳಸುತ್ತೇವೆ ... ಆದರೆ ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಸರಣಿಯನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತೇವೆ, ಸರಣಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುತ್ತೇವೆ ...
ಪರವಾಗಿಲ್ಲ. ಪ್ರಗತಿಗಳು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಹೊಸ ಶಾಖೆಯೊಂದಿಗೆ ಮೊದಲ ಪರಿಚಯವಾಗಿದೆ. ವಿಭಾಗವನ್ನು "ಸರಣಿ" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಸರಣಿಯೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಅದನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳಿ.)
ಎರಡನೇ ಪ್ರಮುಖ ಅಂಶ.
ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯಲ್ಲಿ, ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಹಿಂದಿನದಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಅದೇ ಮೊತ್ತದಿಂದ.
ಮೊದಲ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಈ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಒಂದಾಗಿದೆ. ನೀವು ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೂ, ಅದು ಹಿಂದಿನದಕ್ಕಿಂತ ಒಂದು ಹೆಚ್ಚು. ಎರಡನೆಯದರಲ್ಲಿ - ಮೂರು. ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಹಿಂದಿನದಕ್ಕಿಂತ ಮೂರು ಹೆಚ್ಚು. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಈ ಕ್ಷಣವೇ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಗ್ರಹಿಸಲು ಮತ್ತು ನಂತರದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ನಮಗೆ ಅವಕಾಶವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ.
ಮೂರನೇ ಪ್ರಮುಖ ಅಂಶ.
ಈ ಕ್ಷಣವು ಗಮನಾರ್ಹವಲ್ಲ, ಹೌದು ... ಆದರೆ ಇದು ತುಂಬಾ ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ ಅವನು: ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಪ್ರಗತಿ ಸಂಖ್ಯೆಅದರ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ ನಿಂತಿದೆ.ಮೊದಲ ಸಂಖ್ಯೆ ಇದೆ, ಏಳನೆಯದು, ನಲವತ್ತೈದನೆಯದು, ಇತ್ಯಾದಿ. ನೀವು ಅವುಗಳನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಬೆರೆಸಿದರೆ, ಮಾದರಿಯು ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯೂ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಇನ್ನು ಉಳಿದಿರುವುದು ಕೇವಲ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸರಣಿ ಮಾತ್ರ.
ಅದು ಸಂಪೂರ್ಣ ವಿಷಯವಾಗಿದೆ.
ಸಹಜವಾಗಿ, ರಲ್ಲಿ ಹೊಸ ವಿಷಯಹೊಸ ನಿಯಮಗಳು ಮತ್ತು ಪದನಾಮಗಳು ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ನೀವು ಅವರನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ನೀವು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನೀವು ಏನನ್ನಾದರೂ ನಿರ್ಧರಿಸಬೇಕು:
a 2 = 5, d = -2.5 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ (a n) ಮೊದಲ ಆರು ಪದಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.
ಸ್ಪೂರ್ತಿದಾಯಕ?) ಅಕ್ಷರಗಳು, ಕೆಲವು ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳು ... ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯವು ಸರಳವಾಗಿರಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ನೀವು ನಿಯಮಗಳು ಮತ್ತು ಪದನಾಮಗಳ ಅರ್ಥವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಈಗ ನಾವು ಈ ವಿಷಯವನ್ನು ಕರಗತ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಹಿಂತಿರುಗುತ್ತೇವೆ.
ನಿಯಮಗಳು ಮತ್ತು ಪದನಾಮಗಳು.
ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಪ್ರತಿ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಹಿಂದಿನದಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸರಣಿಯಾಗಿದೆ ಅದೇ ಮೊತ್ತದಿಂದ.
ಈ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ . ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ವಿವರವಾಗಿ ನೋಡೋಣ.
ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸ.
ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸಯಾವುದೇ ಪ್ರಗತಿ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ ಹೆಚ್ಚುಹಿಂದಿನದು.
ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಅಂಶ. ದಯವಿಟ್ಟು ಪದಕ್ಕೆ ಗಮನ ಕೊಡಿ "ಹೆಚ್ಚು".ಗಣಿತದ ಪ್ರಕಾರ, ಇದರರ್ಥ ಪ್ರತಿ ಪ್ರಗತಿ ಸಂಖ್ಯೆ ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕಹಿಂದಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸ.
ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು, ಹೇಳೋಣ ಎರಡನೇಸರಣಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ನಿಮಗೆ ಅಗತ್ಯವಿದೆ ಪ್ರಥಮಸಂಖ್ಯೆ ಸೇರಿಸಿಇದು ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ. ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಕ್ಕಾಗಿ ಐದನೆಯದು- ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಅಗತ್ಯ ಸೇರಿಸಿಗೆ ನಾಲ್ಕನೇ,ಚೆನ್ನಾಗಿ, ಇತ್ಯಾದಿ.
ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸಇರಬಹುದು ಧನಾತ್ಮಕ,ನಂತರ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿ ಸಂಖ್ಯೆಯು ನಿಜವಾಗಿ ಹೊರಹೊಮ್ಮುತ್ತದೆ ಹಿಂದಿನದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು.ಈ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿದೆ.ಉದಾಹರಣೆಗೆ:
8; 13; 18; 23; 28; .....
ಇಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ, ಹಿಂದಿನದಕ್ಕೆ +5.
ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಇರಬಹುದು ಋಣಾತ್ಮಕ,ನಂತರ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಸಂಖ್ಯೆ ಇರುತ್ತದೆ ಹಿಂದಿನದಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ.ಈ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (ನೀವು ಅದನ್ನು ನಂಬುವುದಿಲ್ಲ!) ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿದೆ.
ಉದಾಹರಣೆಗೆ:
8; 3; -2; -7; -12; .....
ಇಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸಹ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕಹಿಂದಿನದಕ್ಕೆ, ಆದರೆ ಈಗಾಗಲೇ ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ, -5.
ಮೂಲಕ, ಪ್ರಗತಿಯೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವಾಗ, ಅದರ ಸ್ವಭಾವವನ್ನು ತಕ್ಷಣವೇ ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಇದು ತುಂಬಾ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ - ಅದು ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿದೆಯೇ ಅಥವಾ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿದೆಯೇ. ನಿರ್ಧಾರವನ್ನು ನ್ಯಾವಿಗೇಟ್ ಮಾಡಲು, ನಿಮ್ಮ ತಪ್ಪುಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಲು ಮತ್ತು ತಡವಾಗುವ ಮೊದಲು ಅವುಗಳನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸಲು ಇದು ಬಹಳಷ್ಟು ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ.
ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅಕ್ಷರದಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಡಿ.
ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಡಿ? ತುಂಬಾ ಸರಳ. ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಕಳೆಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕ ಹಿಂದಿನಸಂಖ್ಯೆ. ಕಳೆಯಿರಿ. ಮೂಲಕ, ವ್ಯವಕಲನದ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು "ವ್ಯತ್ಯಾಸ" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.)
ನಾವು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸೋಣ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಡಿಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಲು:
2, 5, 8, 11, 14, ...
ನಮಗೆ ಬೇಕಾದ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ ನಾವು ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 11. ನಾವು ಅದರಿಂದ ಕಳೆಯುತ್ತೇವೆ ಹಿಂದಿನ ಸಂಖ್ಯೆ, ಆ. 8:
ಇದು ಸರಿಯಾದ ಉತ್ತರ. ಈ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಗೆ, ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಮೂರು.
ನೀವು ಅದನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು ಯಾವುದೇ ಪ್ರಗತಿ ಸಂಖ್ಯೆ,ಏಕೆಂದರೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರಗತಿಗಾಗಿ d-ಯಾವಾಗಲೂ ಒಂದೇ ರೀತಿ.ಕನಿಷ್ಠ ಎಲ್ಲೋ ಸಾಲಿನ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ, ಕನಿಷ್ಠ ಮಧ್ಯದಲ್ಲಿ, ಕನಿಷ್ಠ ಎಲ್ಲಿಯಾದರೂ. ನೀವು ಮೊದಲ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಮಾತ್ರ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಸರಳವಾಗಿ ಏಕೆಂದರೆ ಮೊದಲ ಸಂಖ್ಯೆ ಹಿಂದಿನದು ಇಲ್ಲ.)
ಮೂಲಕ, ಅದನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು d=3, ಈ ಪ್ರಗತಿಯ ಏಳನೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ತುಂಬಾ ಸರಳವಾಗಿದೆ. ಐದನೇ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ 3 ಅನ್ನು ಸೇರಿಸೋಣ - ನಾವು ಆರನೆಯದನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಅದು 17 ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಆರನೇ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಮೂರು ಸೇರಿಸೋಣ, ನಾವು ಏಳನೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ - ಇಪ್ಪತ್ತು.
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸೋಣ ಡಿಅವರೋಹಣ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಗಾಗಿ:
8; 3; -2; -7; -12; .....
ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಿಸದೆ, ನಿರ್ಧರಿಸಲು ನಾನು ನಿಮಗೆ ನೆನಪಿಸುತ್ತೇನೆ ಡಿಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಅಗತ್ಯವಿದೆ ಹಿಂದಿನದನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಿ.ಯಾವುದೇ ಪ್ರಗತಿ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಆರಿಸಿ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ -7. ಅವರ ಹಿಂದಿನ ಸಂಖ್ಯೆ -2. ನಂತರ:
d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5
ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರಬಹುದು: ಪೂರ್ಣಾಂಕ, ಭಿನ್ನರಾಶಿ, ಅಭಾಗಲಬ್ಧ, ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆ.
ಇತರ ನಿಯಮಗಳು ಮತ್ತು ಪದನಾಮಗಳು.
ಸರಣಿಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಸದಸ್ಯ.
ಪ್ರಗತಿಯ ಪ್ರತಿ ಸದಸ್ಯ ತನ್ನದೇ ಆದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.ಯಾವುದೇ ತಂತ್ರಗಳಿಲ್ಲದೆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿವೆ. ಮೊದಲ, ಎರಡನೇ, ಮೂರನೇ, ನಾಲ್ಕನೇ, ಇತ್ಯಾದಿ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪ್ರಗತಿಯಲ್ಲಿ 2, 5, 8, 11, 14, ... ಎರಡು ಮೊದಲ ಪದ, ಐದು ಎರಡನೆಯದು, ಹನ್ನೊಂದು ನಾಲ್ಕನೆಯದು, ಸರಿ, ನೀವು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಂಡಿದ್ದೀರಿ...) ದಯವಿಟ್ಟು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಿ - ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಸ್ವತಃಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಯಾವುದೇ ಆಗಿರಬಹುದು, ಸಂಪೂರ್ಣ, ಭಾಗಶಃ, ಋಣಾತ್ಮಕ, ಯಾವುದೇ, ಆದರೆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ- ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ!
ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಬರೆಯುವುದು ಹೇಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ನೋಟ? ಯಾವ ತೊಂದರೆಯಿಲ್ಲ! ಸರಣಿಯಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅಕ್ಷರದಂತೆ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು, ಅಕ್ಷರವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎ. ಸದಸ್ಯರ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕೆಳಗಿನ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಸೂಚ್ಯಂಕದಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಾವು ಅಲ್ಪವಿರಾಮದಿಂದ (ಅಥವಾ ಅರ್ಧವಿರಾಮ ಚಿಹ್ನೆಗಳಿಂದ) ಬೇರ್ಪಡಿಸಿದ ಪದಗಳನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ:
a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, .....
a 1- ಇದು ಮೊದಲ ಸಂಖ್ಯೆ, a 3- ಮೂರನೇ, ಇತ್ಯಾದಿ. ಅಲಂಕಾರಿಕ ಏನೂ ಇಲ್ಲ. ಈ ಸರಣಿಯನ್ನು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದು: (ಎ ಎನ್).
ಪ್ರಗತಿಗಳು ಸಂಭವಿಸುತ್ತವೆ ಸೀಮಿತ ಮತ್ತು ಅನಂತ.
ಅಂತಿಮಪ್ರಗತಿಯು ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸದಸ್ಯರನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಐದು, ಮೂವತ್ತೆಂಟು, ಏನೇ ಇರಲಿ. ಆದರೆ ಇದು ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆ.
ಅನಂತಪ್ರಗತಿ - ಹೊಂದಿದೆ ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಸದಸ್ಯರು, ನೀವು ಊಹಿಸಿದಂತೆ.)
ಬರೆಯಿರಿ ಸೀಮಿತ ಪ್ರಗತಿನೀವು ಈ ರೀತಿಯ ಸರಣಿಯ ಮೂಲಕ ಹೋಗಬಹುದು, ಎಲ್ಲಾ ನಿಯಮಗಳು ಮತ್ತು ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಡಾಟ್:
a 1, a 2, a 3, a 4, a 5.
ಅಥವಾ ಈ ರೀತಿಯಾಗಿ, ಅನೇಕ ಸದಸ್ಯರಿದ್ದರೆ:
a 1, a 2, ... a 14, a 15.
ಕಿರು ಪ್ರವೇಶದಲ್ಲಿ ನೀವು ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ ಸದಸ್ಯರ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸಬೇಕು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ (ಇಪ್ಪತ್ತು ಸದಸ್ಯರಿಗೆ), ಈ ರೀತಿ:
(a n), n = 20
ಈ ಪಾಠದಲ್ಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳಂತೆ, ಸಾಲಿನ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಎಲಿಪ್ಸಿಸ್ನಿಂದ ಅನಂತ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಗುರುತಿಸಬಹುದು.
ಈಗ ನೀವು ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು. ಕಾರ್ಯಗಳು ಸರಳವಾಗಿದ್ದು, ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಅರ್ಥವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ.
ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು.
ಮೇಲೆ ನೀಡಲಾದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವಿವರವಾಗಿ ನೋಡೋಣ:
1. 2 = 5, d = -2.5 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ (a n) ಮೊದಲ ಆರು ಪದಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.
ನಾವು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವರ್ಗಾಯಿಸುತ್ತೇವೆ ಸ್ಪಷ್ಟ ಭಾಷೆ. ಅನಂತ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಈ ಪ್ರಗತಿಯ ಎರಡನೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ: a 2 = 5.ಪ್ರಗತಿಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ತಿಳಿದಿದೆ: d = -2.5.ಈ ಪ್ರಗತಿಯ ಮೊದಲ, ಮೂರನೇ, ನಾಲ್ಕನೇ, ಐದನೇ ಮತ್ತು ಆರನೇ ಪದಗಳನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು.
ಸ್ಪಷ್ಟತೆಗಾಗಿ, ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳ ಪ್ರಕಾರ ನಾನು ಸರಣಿಯನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇನೆ. ಮೊದಲ ಆರು ಪದಗಳು, ಅಲ್ಲಿ ಎರಡನೇ ಪದವು ಐದು:
a 1, 5, a 3, a 4, a 5, a 6,....
a 3 = a 2 + ಡಿ
ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ a 2 = 5ಮತ್ತು d = -2.5. ಮೈನಸ್ ಬಗ್ಗೆ ಮರೆಯಬೇಡಿ!
a 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5
ಮೂರನೆಯ ಅವಧಿಯು ಎರಡನೆಯದಕ್ಕಿಂತ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ. ಎಲ್ಲವೂ ತಾರ್ಕಿಕವಾಗಿದೆ. ಸಂಖ್ಯೆಯು ಹಿಂದಿನದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿದ್ದರೆ ಋಣಾತ್ಮಕಮೌಲ್ಯ, ಅಂದರೆ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಹಿಂದಿನದಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿರುತ್ತದೆ. ಪ್ರಗತಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿದೆ. ಸರಿ, ಅದನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ.) ನಮ್ಮ ಸರಣಿಯ ನಾಲ್ಕನೇ ಅವಧಿಯನ್ನು ನಾವು ಎಣಿಸುತ್ತೇವೆ:
ಒಂದು 4 = a 3 + ಡಿ
ಒಂದು 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0
ಒಂದು 5 = ಒಂದು 4 + ಡಿ
ಒಂದು 5=0+(-2,5)= - 2,5
ಒಂದು 6 = ಒಂದು 5 + ಡಿ
ಒಂದು 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5
ಆದ್ದರಿಂದ, ಮೂರನೇಯಿಂದ ಆರನೆಯವರೆಗಿನ ಪದಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗಿದೆ. ಫಲಿತಾಂಶವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸರಣಿಯಾಗಿದೆ:
a 1, 5, 2.5, 0, -2.5, -5, ....
ಮೊದಲ ಪದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಇದು ಉಳಿದಿದೆ a 1ಮೂಲಕ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಎರಡನೇ. ಇದು ಇನ್ನೊಂದು ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ, ಎಡಕ್ಕೆ ಒಂದು ಹೆಜ್ಜೆಯಾಗಿದೆ.) ಆದ್ದರಿಂದ, ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಡಿಗೆ ಸೇರಿಸಬಾರದು a 2, ಎ ತೆಗೆದುಕೊ:
a 1 = a 2 - ಡಿ
a 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5
ಅಷ್ಟೇ. ನಿಯೋಜನೆ ಉತ್ತರ:
7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...
ಹಾದುಹೋಗುವಾಗ, ನಾವು ಈ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ನಾನು ಗಮನಿಸಲು ಬಯಸುತ್ತೇನೆ ಮರುಕಳಿಸುವದಾರಿ. ಈ ಭಯಾನಕ ಪದಪ್ರಗತಿಯ ಸದಸ್ಯರನ್ನು ಹುಡುಕುವುದು ಎಂದರ್ಥ ಹಿಂದಿನ (ಪಕ್ಕದ) ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪ್ರಕಾರ.ಕೆಳಗೆ ಪ್ರಗತಿಯೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡಲು ನಾವು ಇತರ ಮಾರ್ಗಗಳನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ.
ಈ ಸರಳ ಕಾರ್ಯದಿಂದ ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ತೀರ್ಮಾನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು.
ನೆನಪಿಡಿ:
ನಾವು ಕನಿಷ್ಟ ಒಂದು ಪದವನ್ನು ಮತ್ತು ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ, ಈ ಪ್ರಗತಿಯ ಯಾವುದೇ ಪದವನ್ನು ನಾವು ಕಾಣಬಹುದು.
ನಿನಗೆ ನೆನಪಿದೆಯಾ? ಈ ಸರಳ ತೀರ್ಮಾನವು ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ ಶಾಲೆಯ ಕೋರ್ಸ್ಈ ವಿಷಯದ ಮೇಲೆ. ಎಲ್ಲಾ ಕಾರ್ಯಗಳು ಸುತ್ತುತ್ತವೆ ಮೂರು ಮುಖ್ಯನಿಯತಾಂಕಗಳು: ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಸದಸ್ಯ, ಪ್ರಗತಿಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸ, ಪ್ರಗತಿಯ ಸದಸ್ಯರ ಸಂಖ್ಯೆ.ಎಲ್ಲಾ.
ಸಹಜವಾಗಿ, ಎಲ್ಲಾ ಹಿಂದಿನ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ರದ್ದುಗೊಳಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ.) ಅಸಮಾನತೆಗಳು, ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ಇತರ ವಿಷಯಗಳು ಪ್ರಗತಿಗೆ ಲಗತ್ತಿಸಲಾಗಿದೆ. ಆದರೆ ಸ್ವತಃ ಪ್ರಗತಿಯ ಪ್ರಕಾರ- ಎಲ್ಲವೂ ಮೂರು ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಸುತ್ತ ಸುತ್ತುತ್ತದೆ.
ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ, ಈ ವಿಷಯದ ಕುರಿತು ಕೆಲವು ಜನಪ್ರಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ.
2. n=5, d = 0.4, ಮತ್ತು a 1 = 3.6 ಆಗಿದ್ದರೆ ಸೀಮಿತ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಸರಣಿಯಾಗಿ ಬರೆಯಿರಿ.
ಇಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲವೂ ಸರಳವಾಗಿದೆ. ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಈಗಾಗಲೇ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಸದಸ್ಯರನ್ನು ಹೇಗೆ ಎಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೀವು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಬೇಕು, ಅವುಗಳನ್ನು ಎಣಿಸಿ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ. ಕಾರ್ಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ಪದಗಳನ್ನು ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳದಂತೆ ಸಲಹೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ: "ಅಂತಿಮ" ಮತ್ತು " n=5". ಆದ್ದರಿಂದ ನೀವು ಮುಖದಲ್ಲಿ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನೀಲಿ ಬಣ್ಣಕ್ಕೆ ಬರುವವರೆಗೆ ಎಣಿಕೆ ಮಾಡಬಾರದು.) ಈ ಪ್ರಗತಿಯಲ್ಲಿ ಕೇವಲ 5 (ಐದು) ಸದಸ್ಯರಿದ್ದಾರೆ:
a 2 = a 1 + d = 3.6 + 0.4 = 4
a 3 = a 2 + d = 4 + 0.4 = 4.4
ಒಂದು 4 = a 3 + d = 4.4 + 0.4 = 4.8
ಒಂದು 5 = ಒಂದು 4 + d = 4.8 + 0.4 = 5.2
ಉತ್ತರವನ್ನು ಬರೆಯಲು ಇದು ಉಳಿದಿದೆ:
3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.
ಇನ್ನೊಂದು ಕಾರ್ಯ:
3. ಸಂಖ್ಯೆ 7 ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ (a n) ಸದಸ್ಯ ಎಂದು ನಿರ್ಧರಿಸಿ a 1 = 4.1; d = 1.2.
ಹಾಂ... ಯಾರಿಗೆ ಗೊತ್ತು? ಏನನ್ನಾದರೂ ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು ಹೇಗೆ?
ಹೇಗೆ-ಹೇಗೆ... ಸರಣಿಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ ಮತ್ತು ಅಲ್ಲಿ ಏಳು ಇರುತ್ತದೆಯೇ ಅಥವಾ ಇಲ್ಲವೇ ಎಂಬುದನ್ನು ನೋಡಿ! ನಾವು ಎಣಿಸುತ್ತೇವೆ:
a 2 = a 1 + d = 4.1 + 1.2 = 5.3
a 3 = a 2 + d = 5.3 + 1.2 = 6.5
ಒಂದು 4 = a 3 + d = 6.5 + 1.2 = 7.7
4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...
ಈಗ ನಾವು ಕೇವಲ ಏಳು ಎಂದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಗೋಚರಿಸುತ್ತದೆ ಜಾರಿದರು 6.5 ಮತ್ತು 7.7 ರ ನಡುವೆ! ಏಳು ನಮ್ಮ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ ಬರುವುದಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು, ಆದ್ದರಿಂದ, ಏಳು ನೀಡಿದ ಪ್ರಗತಿಯ ಸದಸ್ಯರಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ.
ಉತ್ತರ: ಇಲ್ಲ.
ಆಧರಿಸಿದ ಸಮಸ್ಯೆ ಇಲ್ಲಿದೆ ನಿಜವಾದ ಆಯ್ಕೆ GIA:
4. ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಹಲವಾರು ಸತತ ಪದಗಳನ್ನು ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ:
...; 15; X; 9; 6; ...
ಅಂತ್ಯ ಮತ್ತು ಆರಂಭವಿಲ್ಲದೆ ಬರೆದ ಸರಣಿ ಇಲ್ಲಿದೆ. ಸದಸ್ಯರ ಸಂಖ್ಯೆ ಇಲ್ಲ, ವ್ಯತ್ಯಾಸವಿಲ್ಲ ಡಿ. ಪರವಾಗಿಲ್ಲ. ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಅರ್ಥವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಸಾಕು. ಏನು ಸಾಧ್ಯ ಎಂದು ನೋಡೋಣ ಮತ್ತು ನೋಡೋಣ ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಲುಈ ಸರಣಿಯಿಂದ? ಮೂರು ಮುಖ್ಯ ನಿಯತಾಂಕಗಳು ಯಾವುವು?
ಸದಸ್ಯರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು? ಇಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆ ಇಲ್ಲ.
ಆದರೆ ಮೂರು ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿವೆ ಮತ್ತು - ಗಮನ! - ಪದ "ಸ್ಥಿರ"ಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ. ಇದರರ್ಥ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಅಂತರವಿಲ್ಲದೆ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿವೆ. ಈ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಇಬ್ಬರು ಇದ್ದಾರೆಯೇ? ನೆರೆಯ ತಿಳಿದಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು? ಹೌದು ನನ್ನೊಂದಿಗಿದೆ! ಇವು 9 ಮತ್ತು 6. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು! ಆರರಿಂದ ಕಳೆಯಿರಿ ಹಿಂದಿನಸಂಖ್ಯೆ, ಅಂದರೆ. ಒಂಬತ್ತು:
ಕೇವಲ ಟ್ರೈಫಲ್ಸ್ ಉಳಿದಿವೆ. X ಗೆ ಹಿಂದಿನ ಸಂಖ್ಯೆ ಯಾವುದು? ಹದಿನೈದು. ಅಂದರೆ X ಅನ್ನು ಸರಳವಾದ ಸೇರ್ಪಡೆಯಿಂದ ಸುಲಭವಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು 15 ಕ್ಕೆ ಸೇರಿಸಿ:
ಅಷ್ಟೇ. ಉತ್ತರ: x=12
ಕೆಳಗಿನ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ನಾವೇ ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಗಮನಿಸಿ: ಈ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿಲ್ಲ. ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಅರ್ಥವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು.) ನಾವು ಕೇವಲ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಅಕ್ಷರಗಳ ಸರಣಿಯನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ, ಅದನ್ನು ನೋಡಿ ಮತ್ತು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ.
5. ಮೊದಲನೆಯದನ್ನು ಹುಡುಕಿ ಧನಾತ್ಮಕ ಪದ 5 = -3 ಆಗಿದ್ದರೆ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿ; d = 1.1.
6. ಸಂಖ್ಯೆ 5.5 ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ (a n) ಸದಸ್ಯ ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ a 1 = 1.6; d = 1.3. ಈ ಪದದ ಸಂಖ್ಯೆ n ಅನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ.
7. ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯಲ್ಲಿ a 2 = 4 ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ; a 5 = 15.1. 3 ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ.
8. ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಹಲವಾರು ಸತತ ಪದಗಳನ್ನು ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ:
...; 15.6; X; 3.4; ...
x ಅಕ್ಷರದಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾದ ಪ್ರಗತಿಯ ಪದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
9. ರೈಲು ನಿಲ್ದಾಣದಿಂದ ಚಲಿಸಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿತು, ಪ್ರತಿ ನಿಮಿಷಕ್ಕೆ 30 ಮೀಟರ್ ವೇಗವನ್ನು ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಿಸಿತು. ಐದು ನಿಮಿಷಗಳಲ್ಲಿ ರೈಲಿನ ವೇಗ ಎಷ್ಟು? ನಿಮ್ಮ ಉತ್ತರವನ್ನು ಕಿಮೀ/ಗಂಟೆಯಲ್ಲಿ ನೀಡಿ.
10. ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯಲ್ಲಿ a 2 = 5 ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ; a 6 = -5. 1 ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ.
ಉತ್ತರಗಳು (ಅಸ್ತವ್ಯಸ್ತವಾಗಿದೆ): 7.7; 7.5; 9.5; 9; 0.3; 4.
ಎಲ್ಲವೂ ಕೆಲಸ ಮಾಡಿದೆಯೇ? ಅದ್ಭುತ! ನೀವು ಹೆಚ್ಚಿನದಕ್ಕಾಗಿ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಕರಗತ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು ಉನ್ನತ ಮಟ್ಟದ, ಮುಂದಿನ ಪಾಠಗಳಲ್ಲಿ.
ಎಲ್ಲವೂ ಕಾರ್ಯರೂಪಕ್ಕೆ ಬರಲಿಲ್ಲವೇ? ಯಾವ ತೊಂದರೆಯಿಲ್ಲ. ವಿಶೇಷ ವಿಭಾಗ 555 ರಲ್ಲಿ, ಈ ಎಲ್ಲಾ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ತುಂಡಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ.) ಮತ್ತು, ಸಹಜವಾಗಿ, ಸರಳವಾದ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ತಂತ್ರವನ್ನು ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅದು ತಕ್ಷಣವೇ ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ, ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ, ಒಂದು ನೋಟದಲ್ಲಿ ಎತ್ತಿ ತೋರಿಸುತ್ತದೆ!
ಮೂಲಕ, ರೈಲು ಪಝಲ್ನಲ್ಲಿ ಜನರು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಎಡವಿ ಬೀಳುವ ಎರಡು ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿವೆ. ಒಂದು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಪ್ರಗತಿಯ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ, ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿನ ಯಾವುದೇ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ. ಇದು ಒಂದರಿಂದ ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ಆಯಾಮಗಳ ಅನುವಾದವಾಗಿದೆ. ಈ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸಬೇಕು ಎಂಬುದನ್ನು ಇದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ.
ಈ ಪಾಠದಲ್ಲಿ ನಾವು ನೋಡಿದ್ದೇವೆ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಅರ್ಥಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿ ಮತ್ತು ಅದರ ಮುಖ್ಯ ನಿಯತಾಂಕಗಳು. ಈ ವಿಷಯದ ಬಹುತೇಕ ಎಲ್ಲಾ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಇದು ಸಾಕು. ಸೇರಿಸಿ ಡಿಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ, ಸರಣಿಯನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ, ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುವುದು.
ಈ ಪಾಠದಲ್ಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿರುವಂತೆ ಬೆರಳಿನ ಪರಿಹಾರವು ಒಂದು ಸಾಲಿನ ಚಿಕ್ಕ ತುಣುಕುಗಳಿಗೆ ಉತ್ತಮವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಸರಣಿಯು ಉದ್ದವಾಗಿದ್ದರೆ, ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು ಹೆಚ್ಚು ಜಟಿಲವಾಗುತ್ತವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಮಸ್ಯೆ 9 ರಲ್ಲಿ ಪ್ರಶ್ನೆಯಲ್ಲಿ ನಾವು ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತೇವೆ "ಐದು ನಿಮಿಷ"ಮೇಲೆ "ಮೂವತ್ತೈದು ನಿಮಿಷಗಳು"ಸಮಸ್ಯೆಯು ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ಉಲ್ಬಣಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.)
ಮತ್ತು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಸರಳವಾದ ಕಾರ್ಯಗಳು ಸಹ ಇವೆ, ಆದರೆ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಅಸಂಬದ್ಧವಾಗಿದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ:
ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು (a n) ನೀಡಲಾಗಿದೆ. 1 =3 ಮತ್ತು d=1/6 ಆಗಿದ್ದರೆ 121 ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ.
ಹಾಗಾದರೆ, ನಾವು 1/6 ಅನ್ನು ಹಲವು, ಹಲವು ಬಾರಿ ಸೇರಿಸಲಿದ್ದೇವೆಯೇ?! ನೀವೇ ಕೊಲ್ಲಬಹುದೇ!?
ನೀವು ಮಾಡಬಹುದು.) ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಸರಳ ಸೂತ್ರನಿರ್ಧರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಇದೇ ರೀತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳುಒಂದು ನಿಮಿಷದಲ್ಲಿ ಸಾಧ್ಯ. ಈ ಸೂತ್ರವು ಮುಂದಿನ ಪಾಠದಲ್ಲಿದೆ. ಮತ್ತು ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಅಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ನಿಮಿಷದಲ್ಲಿ.)
ನೀವು ಈ ಸೈಟ್ ಅನ್ನು ಇಷ್ಟಪಟ್ಟರೆ...
ಅಂದಹಾಗೆ, ನಾನು ನಿಮಗಾಗಿ ಇನ್ನೂ ಒಂದೆರಡು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಸೈಟ್‌ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇನೆ.)
ನೀವು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದನ್ನು ಅಭ್ಯಾಸ ಮಾಡಬಹುದು ಮತ್ತು ನಿಮ್ಮ ಮಟ್ಟವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ತ್ವರಿತ ಪರಿಶೀಲನೆಯೊಂದಿಗೆ ಪರೀಕ್ಷೆ. ಕಲಿಯೋಣ - ಆಸಕ್ತಿಯಿಂದ!)
ನೀವು ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನಗಳೊಂದಿಗೆ ಪರಿಚಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು.
ಪರಿಕಲ್ಪನೆ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅನುಕ್ರಮಕೆಲವು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ನಿಜವಾದ ಮೌಲ್ಯ. ಅಂತಹ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸರಣಿಯು ನಿರಂಕುಶವಾಗಿರಬಹುದು ಅಥವಾ ಹೊಂದಿರಬಹುದು ಕೆಲವು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು- ಪ್ರಗತಿ. IN ನಂತರದ ಪ್ರಕರಣಅನುಕ್ರಮದ ಪ್ರತಿ ನಂತರದ ಅಂಶವನ್ನು (ಸದಸ್ಯರು) ಹಿಂದಿನದನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು.
ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿ - ಅನುಕ್ರಮ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳು, ಇದರಲ್ಲಿ ಅದರ ನೆರೆಯ ಸದಸ್ಯರು ಪರಸ್ಪರ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಅದೇ ಸಂಖ್ಯೆ (ಇದೇ ಆಸ್ತಿಸರಣಿಯ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳು, 2 ರಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತವೆ, ಹೊಂದಿವೆ). ಈ ಸಂಖ್ಯೆ- ಹಿಂದಿನ ಮತ್ತು ನಂತರದ ಪದಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಪ್ರಗತಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಪ್ರಗತಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸ: ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ
ಜೆ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ A = a (1), a (2), a (3), a (4) ... a (j), j ಸೆಟ್‌ಗೆ ಸೇರಿದೆ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು N. ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿ, ಅದರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, a(3) – a(2) = a(4) – a(3) = a(5) – a(4) =… = a(j ) – a(j-1) = d. ಡಿ ಮೌಲ್ಯವು ಈ ಪ್ರಗತಿಯ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ.
d = a (j) - a (j-1).
ಹೈಲೈಟ್:
- ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಪ್ರಗತಿ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ d > 0. ಉದಾಹರಣೆ: 4, 8, 12, 16, 20, ...
- ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವುದು, ನಂತರ ಡಿ< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …
ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಪ್ರಗತಿ ಮತ್ತು ಅದರ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಅಂಶಗಳು
ಪ್ರಗತಿಯ 2 ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಪದಗಳು ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ (i-th, k-th), ನಂತರ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅನುಕ್ರಮದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಸಂಬಂಧದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು:
a(i) = a(k) + (i – k)*d, ಅಂದರೆ d = (a(i) – a(k))/(i-k).
ಪ್ರಗತಿಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮತ್ತು ಅದರ ಮೊದಲ ಅವಧಿ
ಅನುಕ್ರಮ ಅಂಶದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ತಿಳಿದಿರುವ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಅಜ್ಞಾತ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ.
ಪ್ರಗತಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮತ್ತು ಅದರ ಮೊತ್ತ
ಪ್ರಗತಿಯ ಮೊತ್ತವು ಅದರ ನಿಯಮಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ. ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಒಟ್ಟು ಮೌಲ್ಯಅದರ ಮೊದಲ ಜೆ ಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ, ಸೂಕ್ತವಾದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ:
S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, ಆದರೆ ರಿಂದ a(j) = a(1) + d(j – 1), ನಂತರ S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2a(1) + d(– 1))/2)*j.