ಸಲುವಾಗಿ ಸರಣಿಯ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ, ನೀವು ಸಾಲಿನ ಅಂಶಗಳನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಾರಿ ಸೇರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ:

ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಇದನ್ನು ತುಂಬಾ ಸರಳವಾಗಿ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ನಾವು ಮೊತ್ತವನ್ನು ನೀಡಬೇಕಾಗಿತ್ತು ಅಂತಿಮ ಸಂಖ್ಯೆಒಮ್ಮೆ. ಆದರೆ ಸಂಕಲನದ ಮೇಲಿನ ಮಿತಿಯು ಅನಂತವಾಗಿದ್ದರೆ ಏನು? ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸರಣಿಯ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕಾದರೆ:

ಹಿಂದಿನ ಉದಾಹರಣೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಾದೃಶ್ಯದ ಮೂಲಕ, ನಾವು ಈ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಈ ರೀತಿ ಬರೆಯಬಹುದು:

ಆದರೆ ಮುಂದೆ ಏನು ಮಾಡಬೇಕು?! ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ ಭಾಗಶಃ ಮೊತ್ತಸಾಲು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಸರಣಿಯ ಭಾಗಶಃ ಮೊತ್ತ(S n ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗಿದೆ) ಸರಣಿಯ ಮೊದಲ n ಪದಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ. ಆ. ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ:

ನಂತರ ಮೂಲ ಸರಣಿಯ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಭಾಗಶಃ ಮೊತ್ತದ ಮಿತಿಯಾಗಿ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು:

ಹೀಗಾಗಿ, ಫಾರ್ ಸರಣಿಯ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕುವುದು, ಸರಣಿಯ ಭಾಗಶಃ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ (S n) ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೇಗಾದರೂ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ನಮ್ಮಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರಕರಣಸರಣಿಯು 1/3 ಛೇದದೊಂದಿಗೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿರುವ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯಾಗಿದೆ. ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿರುವಂತೆ, ಮೊದಲ n ಅಂಶಗಳ ಮೊತ್ತ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಸೂತ್ರದಿಂದ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗಿದೆ:

ಇಲ್ಲಿ b 1 ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ಮೊದಲ ಅಂಶವಾಗಿದೆ (ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಇದು 1) ಮತ್ತು q ಪ್ರಗತಿಯ ಛೇದವಾಗಿದೆ (ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ 1/3). ಆದ್ದರಿಂದ, ನಮ್ಮ ಸರಣಿಯ S n ನ ಭಾಗಶಃ ಮೊತ್ತವು ಇದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ನಂತರ ಮೇಲೆ ನೀಡಲಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ ನಮ್ಮ ಸರಣಿಯ (S) ಮೊತ್ತವು ಇದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ಮೇಲೆ ಚರ್ಚಿಸಿದ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ತುಂಬಾ ಸರಳವಾಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಸರಣಿಯ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ಹೆಚ್ಚು ಕಷ್ಟಕರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸರಣಿಯ ಭಾಗಶಃ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಿನ ತೊಂದರೆ ಇರುತ್ತದೆ. ಕೆಳಗೆ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡಿದೆ ಆನ್ಲೈನ್ ​​ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್, ವೋಲ್ಫ್ರಾಮ್ ಆಲ್ಫಾ ಸಿಸ್ಟಮ್ ಅನ್ನು ಆಧರಿಸಿ, ಸಾಕಷ್ಟು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸರಣಿಯ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ಸರಣಿಯ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗದಿದ್ದರೆ, ಅದು ಸಾಧ್ಯತೆಯಿದೆ ಈ ಸರಣಿವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ (ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ "ಸಮ್ ಡೈವರ್ಜ್" ನಂತಹ ಸಂದೇಶವನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸುತ್ತದೆ), ಅಂದರೆ. ಈ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖದ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಪರೋಕ್ಷವಾಗಿ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ.

ನಿಮ್ಮ ಸರಣಿಯ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನೀವು ಸರಣಿಯ ವೇರಿಯೇಬಲ್, ಸಂಕಲನದ ಕೆಳಗಿನ ಮತ್ತು ಮೇಲಿನ ಮಿತಿಗಳು, ಹಾಗೆಯೇ ಸರಣಿಯ n ನೇ ಅವಧಿಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ (ಅಂದರೆ, ಸರಣಿಯ ನಿಜವಾದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ) ಅನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. .

ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ಕೆಲವು ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು ಸಂಖ್ಯೆ ಸರಣಿ. ಶಾಲೆಗಳಲ್ಲಿ ಕಲಿಸಲಾಗುವ ಎರಡು ಸರಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅನುಕ್ರಮಗಳು ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ. ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಎಂಬ ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು ನಾವು ಹತ್ತಿರದಿಂದ ನೋಡೋಣ ಅಂತ್ಯವಿಲ್ಲದ ಪ್ರಗತಿಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಇಳಿಕೆ.

ಪ್ರಗತಿ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ

ಈ ಪದಗಳು ಕೆಳಗಿನ ಸರಣಿಯನ್ನು ಅರ್ಥೈಸುತ್ತವೆ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಇದರ ಅಂಶಗಳು ನಾನು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತವೆ:

ಇಲ್ಲಿ i ಎಂಬುದು ಸಾಲಿನಲ್ಲಿರುವ ಅಂಶದ ಸಂಖ್ಯೆ, r ಆಗಿದೆ ಸ್ಥಿರ ಸಂಖ್ಯೆ, ಇದನ್ನು ಛೇದ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಪ್ರಗತಿಯ ಯಾವುದೇ ಸದಸ್ಯರನ್ನು ಮತ್ತು ಅದರ ಛೇದವನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಂಡು, ನೀವು ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸರಣಿಯನ್ನು ಮರುಸ್ಥಾಪಿಸಬಹುದು ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 10 ನೇ ಅಂಶವು ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು r ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ 9 ನೇ ಅಂಶವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಅದನ್ನು ಮತ್ತೆ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ 8 ನೇ ಮತ್ತು ಇತ್ಯಾದಿ. ಇವು ಸರಳ ತಾರ್ಕಿಕಪರಿಗಣನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸರಣಿಗೆ ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಬರೆಯಲು ನಮಗೆ ಅವಕಾಶ ಮಾಡಿಕೊಡಿ:

2 ರ ಛೇದದೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಗತಿಯ ಉದಾಹರಣೆಯು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸರಣಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ:

1, 2, 4, 8, 16, 32, ...

ಛೇದವು -2 ಗೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ, ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ವಿಭಿನ್ನ ಸರಣಿಯನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ:

1, -2, 4, -8, 16, -32, ...

ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯು ಬೀಜಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ವೇಗವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಅದರ ಪದಗಳು ತ್ವರಿತವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ತ್ವರಿತವಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ.

ಪ್ರಗತಿಯ ಐ ನಿಯಮಗಳ ಮೊತ್ತ

ಪರಿಹಾರಗಳಿಗಾಗಿ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳುಆಗಾಗ್ಗೆ ನೀವು ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಹಲವಾರು ಅಂಶಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬೇಕು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅನುಕ್ರಮ. ಈ ಪ್ರಕರಣಕ್ಕೆ ಇದು ನಿಜ ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರ:

S i = a 1 *(r i -1)/(r-1)

i ಪದಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು, ನೀವು ಕೇವಲ ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು ಎಂದು ನೋಡಬಹುದು: a 1 ಮತ್ತು r, ಇದು ತಾರ್ಕಿಕವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅವು ಸಂಪೂರ್ಣ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಅನನ್ಯವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತವೆ.

ಅನುಕ್ರಮ ಮತ್ತು ಅದರ ನಿಯಮಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಡಿಮೆಗೊಳಿಸುವುದು

ಈಗ ಪರಿಗಣಿಸೋಣ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣ. ಛೇದದ r ನ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಒಂದನ್ನು ಮೀರುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅಂದರೆ -1

ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿರುವ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕವಾಗಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಅದರ ಪದಗಳ ಅನಂತ ಮೊತ್ತವು ಸೀಮಿತ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ.

ಹಿಂದಿನ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್‌ನಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ S i ಗಾಗಿ ನೀವು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಬರೆದರೆ ಮೊತ್ತದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯೋಣ. ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:

S i = a 1 *(r i -1)/(r-1)

i->∞ ಮಾಡಿದಾಗ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ಛೇದದ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ 1 ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿರುವುದರಿಂದ, ಅದನ್ನು ಅನಂತ ಶಕ್ತಿಗೆ ಏರಿಸುವುದು ಶೂನ್ಯವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. r=0.5 ರ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಇದನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು:

0,5 2 = 0,25; 0,5 3 = 0,125; ...., 0,5 20 = 0,0000009.

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಅನಂತ ಕಡಿಮೆಯಾಗುವ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ನಿಯಮಗಳ ಮೊತ್ತವು ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ:

ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅಂಕಿಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು. ಆಮೆ ಮತ್ತು ಅಕಿಲ್ಸ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಎಲೆಯಾದ ಜೆನೊದ ವಿರೋಧಾಭಾಸವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಹ ಇದನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಅನಂತ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಪ್ರಗತಿಯ (r>1) ಮೊತ್ತವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವುದರಿಂದ S ∞ = +∞ ಫಲಿತಾಂಶಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ.

ಪ್ರಗತಿಯ ಮೊದಲ ಪದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಕಾರ್ಯ

ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮೇಲಿನ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಬೇಕು ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ತೋರಿಸೋಣ. ಅನಂತ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ಮೊತ್ತವು 11 ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಅದರ 7 ನೇ ಪದವು ಮೂರನೇ ಅವಧಿಗಿಂತ 6 ಪಟ್ಟು ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ. ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸರಣಿಯ ಮೊದಲ ಅಂಶ ಯಾವುದು?

ಮೊದಲಿಗೆ, 7 ನೇ ಮತ್ತು 3 ನೇ ಅಂಶಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಎರಡು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಬರೆಯೋಣ. ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಮೊದಲ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಎರಡನೆಯದರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವುದು, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:

a 7 /a 3 = r 4 => r = 4 √(a 7 /a 3)

ಏಳನೇ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಪದಗಳ ಅನುಪಾತವನ್ನು ಸಮಸ್ಯೆ ಹೇಳಿಕೆಯಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ನೀವು ಅದನ್ನು ಬದಲಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು r ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು:

r = 4 √(a 7 /a 3) = 4 √(1/6) ≈ 0.63894

ನಾವು r ಅನ್ನು ಐದು ದಶಮಾಂಶ ಸ್ಥಾನಗಳಿಗೆ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿದ್ದೇವೆ. ಫಲಿತಾಂಶದ ಮೌಲ್ಯವು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿರುವುದರಿಂದ, ಪ್ರಗತಿಯು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿದೆ, ಇದು ಅದರ ಅನಂತ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸೂತ್ರದ ಬಳಕೆಯನ್ನು ಸಮರ್ಥಿಸುತ್ತದೆ. S ∞ ಮೊತ್ತದ ಮೂಲಕ ಮೊದಲ ಅವಧಿಗೆ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಬರೆಯೋಣ:

ನಾವು ತಿಳಿದಿರುವ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಈ ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಉತ್ತರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

a 1 = 11*(1-0.63894) = 3.97166.

ವೇಗದ ಅಕಿಲ್ಸ್ ಮತ್ತು ನಿಧಾನ ಆಮೆಯೊಂದಿಗೆ ಝೆನೋದ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ವಿರೋಧಾಭಾಸ

ಎಲಿಯ ಝೆನೋ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಗ್ರೀಕ್ ತತ್ವಜ್ಞಾನಿಯಾಗಿದ್ದು, ಅವರು 5 ನೇ ಶತಮಾನ BC ಯಲ್ಲಿ ವಾಸಿಸುತ್ತಿದ್ದರು. ಇ. ಅದರ ಹಲವಾರು ಅಪೋಜಿಗಳು ಅಥವಾ ವಿರೋಧಾಭಾಸಗಳು ಇಂದಿನ ದಿನವನ್ನು ತಲುಪಿವೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಅಪರಿಮಿತ ದೊಡ್ಡ ಮತ್ತು ಅಪರಿಮಿತ ಸಣ್ಣ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ರೂಪುಗೊಂಡಿವೆ.

ಝೆನೊದ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ವಿರೋಧಾಭಾಸವೆಂದರೆ ಅಕಿಲ್ಸ್ ಮತ್ತು ಆಮೆ ನಡುವಿನ ಸ್ಪರ್ಧೆ. ಅಕಿಲ್ಸ್ ದೂರದಲ್ಲಿ ಆಮೆಗೆ ಸ್ವಲ್ಪ ಅನುಕೂಲವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಅವನು ಎಂದಿಗೂ ಅದನ್ನು ಹಿಡಿಯಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಝೆನೋ ನಂಬಿದ್ದರು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅಕಿಲ್ಸ್ ಪ್ರಾಣಿ ಕ್ರಾಲ್ ಮಾಡುವುದಕ್ಕಿಂತ 10 ಪಟ್ಟು ವೇಗವಾಗಿ ಓಡಲಿ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅವನ ಮುಂದೆ 100 ಮೀಟರ್. ಯೋಧನು 100 ಮೀಟರ್ ಓಡಿದಾಗ, ಆಮೆ 10 ಮೀಟರ್ ದೂರ ತೆವಳುತ್ತಾ ಹೋಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತೆ 10 ಮೀಟರ್ ಓಡಿದ ನಂತರ, ಆಮೆ ಮತ್ತೊಂದು 1 ಮೀಟರ್ ತೆವಳುತ್ತಿರುವುದನ್ನು ಅಕಿಲ್ಸ್ ನೋಡುತ್ತಾನೆ. ನೀವು ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಜಾಹೀರಾತು ಅನಂತವಾಗಿ ವಾದಿಸಬಹುದು, ಸ್ಪರ್ಧಿಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರವು ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಆಮೆ ಯಾವಾಗಲೂ ಮುಂದೆ ಇರುತ್ತದೆ.

ಚಲನೆ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಸುತ್ತಮುತ್ತಲಿನ ವಸ್ತುಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಚಲನೆಗಳು ಭ್ರಮೆ ಎಂಬ ತೀರ್ಮಾನಕ್ಕೆ ಝೆನೋ ಕಾರಣವಾಯಿತು. ಸಹಜವಾಗಿ, ಪ್ರಾಚೀನ ಗ್ರೀಕ್ ತತ್ವಜ್ಞಾನಿ ತಪ್ಪು.

ವಿರೋಧಾಭಾಸಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವು ನಿರಂತರವಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿರುವ ಭಾಗಗಳ ಅನಂತ ಮೊತ್ತವು ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ. ಮೇಲಿನ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅಕಿಲ್ಸ್ ಓಡಿದ ದೂರಕ್ಕೆ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

100 + 10 + 1 + 0,1 + 0,01 + ...

ಅನಂತ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

S ∞ = 100 /(1-0.1) ≈ 111.111 ಮೀಟರ್

ಈ ಫಲಿತಾಂಶವು ಆಮೆಯು ಕೇವಲ 11.111 ಮೀಟರ್ ತೆವಳಿದಾಗ ಅಕಿಲ್ಸ್ ಅದನ್ನು ಹಿಡಿಯುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ.

ಪುರಾತನ ಗ್ರೀಕರಿಗೆ ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಅನಂತ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವುದು ಹೇಗೆಂದು ತಿಳಿದಿರಲಿಲ್ಲ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅಕಿಲ್ಸ್ ಜಯಿಸಬೇಕಾದ ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂತರಗಳಿಗೆ ಗಮನ ಕೊಡದಿದ್ದರೆ ಈ ವಿರೋಧಾಭಾಸವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ಓಟಗಾರನು ತನ್ನ ಗುರಿಯನ್ನು ತಲುಪಲು ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಹಂತಗಳಿಗೆ.

ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಅನಂತವಾದ ಮತ್ತು ಅನಂತವಾದ ದೊಡ್ಡ ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಮತ್ತು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು. ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಮತ್ತು ಪ್ರಮೇಯಗಳ ಪುರಾವೆಗಳು. ಅಪರಿಮಿತ ಮತ್ತು ಅನಂತ ದೊಡ್ಡ ಕಾರ್ಯಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧ.

ಅಪರಿಮಿತ ಮತ್ತು ಅಪರಿಮಿತ ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು

x ಅನ್ನು ಬಿಡಿ 0 ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಅಥವಾ ಅನಂತ ಬಿಂದು: ∞, -∞ ಅಥವಾ +∞.

ಅಪರಿಮಿತ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ
ಕಾರ್ಯ α (X)ಎಂದು ಕರೆದರು ಅಪರಿಮಿತ x x ಗೆ ಒಲವು ತೋರಿದಂತೆ 0 0 , ಮತ್ತು ಇದು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:
.

ಅನಂತ ದೊಡ್ಡ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ
ಫಂಕ್ಷನ್ ಎಫ್ (X)ಎಂದು ಕರೆದರು ಅನಂತ ದೊಡ್ಡದು x x ಗೆ ಒಲವು ತೋರಿದಂತೆ 0 , ಕಾರ್ಯವು x → x ನಂತೆ ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ 0 , ಮತ್ತು ಇದು ಅನಂತತೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ:
.

ಅನಂತವಾದ ಕಾರ್ಯಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

ಅಪರಿಮಿತ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತ, ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನದ ಆಸ್ತಿ

ಮೊತ್ತ, ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನ x → x ನಂತೆ ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅನಂತವಾದ ಕಾರ್ಯಗಳು 0 x → x ನಂತೆ ಅಪರಿಮಿತ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ 0 .

ಈ ಆಸ್ತಿಯು ಕ್ರಿಯೆಯ ಮಿತಿಗಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ನೇರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿದೆ.

ಒಂದು ಬೌಂಡೆಡ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಮತ್ತು ಅನಂತಸೂಚಕದ ಉತ್ಪನ್ನದ ಮೇಲಿನ ಪ್ರಮೇಯ

ಬೌಂಡ್ ಮಾಡಿದ ಕ್ರಿಯೆಯ ಉತ್ಪನ್ನಪಾಯಿಂಟ್ x ನ ಕೆಲವು ಪಂಕ್ಚರ್ಡ್ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ 0 , ಅನಂತಸೂಕ್ಷ್ಮಕ್ಕೆ, x → x ನಂತೆ 0 , x → x ನಂತೆ ಅಪರಿಮಿತ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ 0 .

ಸ್ಥಿರ ಮತ್ತು ಅನಂತವಾದ ಕ್ರಿಯೆಯ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಆಸ್ತಿ

ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಎಫ್ (X)ಸೀಮಿತ ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿತ್ತು, ಅದು ಅಗತ್ಯ ಮತ್ತು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ
,
x → x ನಂತೆ ಒಂದು ಅನಂತವಾದ ಕಾರ್ಯವಿದೆ 0 .

ಅನಂತ ದೊಡ್ಡ ಕಾರ್ಯಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

ಬೌಂಡೆಡ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಮತ್ತು ಅನಂತ ದೊಡ್ಡದ ಮೊತ್ತದ ಮೇಲಿನ ಪ್ರಮೇಯ

ಬಿಂದು x ನ ಕೆಲವು ಪಂಕ್ಚರ್ಡ್ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ಬೌಂಡೆಡ್ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಮೊತ್ತ ಅಥವಾ ವ್ಯತ್ಯಾಸ 0 , ಮತ್ತು x → x ನಂತೆ ಅನಂತ ದೊಡ್ಡ ಕಾರ್ಯ 0 , x → x ನಂತೆ ಅನಂತ ದೊಡ್ಡ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ 0 .

ಮಿತಿಯಿಲ್ಲದ ದೊಡ್ಡದರಿಂದ ಸೀಮಿತವಾದ ಕ್ರಿಯೆಯ ವಿಭಜನೆಯ ಪ್ರಮೇಯ

ಫಂಕ್ಷನ್ ಎಫ್ (X) x → x ನಂತೆ ಅನಂತವಾಗಿ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ 0 , ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯ ಜಿ (X)- ಪಾಯಿಂಟ್ x ನ ಕೆಲವು ಪಂಕ್ಚರ್ಡ್ ನೆರೆಹೊರೆಯ ಮೇಲೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ 0 , ಅದು
.

ಕೆಳಗಿರುವ ಅಪರಿಮಿತವಾದ ಒಂದು ಕ್ರಿಯೆಯ ವಿಭಜನೆಯ ಪ್ರಮೇಯ

ಫಂಕ್ಷನ್ , ಪಾಯಿಂಟ್‌ನ ಕೆಲವು ಪಂಕ್ಚರ್ಡ್ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ , ಕೆಳಗಿನಿಂದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಸೀಮಿತವಾಗಿದ್ದರೆ:
,
ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯವು x → x ನಂತೆ ಅಪರಿಮಿತವಾಗಿದೆ 0 :
,
ಮತ್ತು ಬಿಂದುವಿನ ಪಂಕ್ಚರ್ಡ್ ನೆರೆಹೊರೆ ಇದೆ, ನಂತರ
.

ಅನಂತ ದೊಡ್ಡ ಕಾರ್ಯಗಳ ಅಸಮಾನತೆಗಳ ಆಸ್ತಿ

ಕಾರ್ಯವು ಅನಂತವಾಗಿ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದ್ದರೆ:
,
ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು , ಬಿಂದುವಿನ ಕೆಲವು ಪಂಕ್ಚರ್ಡ್ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ:
,
ನಂತರ ಕಾರ್ಯವು ಅನಂತವಾಗಿ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ:
.

ಈ ಆಸ್ತಿ ಎರಡು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ಬಿಂದುವಿನ ಕೆಲವು ಪಂಕ್ಚರ್ಡ್ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ , ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪೂರೈಸೋಣ:
.
ನಂತರ ವೇಳೆ , ನಂತರ ಮತ್ತು .
ಒಂದು ವೇಳೆ , ನಂತರ ಮತ್ತು .

ಅನಂತ ದೊಡ್ಡ ಮತ್ತು ಅನಂತವಾದ ಕಾರ್ಯಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧ

ಹಿಂದಿನ ಎರಡು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಂದ ಅನಂತ ದೊಡ್ಡ ಮತ್ತು ಅನಂತವಾದ ಕಾರ್ಯಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ.

ನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವು ಅನಂತವಾಗಿ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದ್ದರೆ, ಕಾರ್ಯವು ನಲ್ಲಿ ಅನಂತವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಒಂದು ಕಾರ್ಯವು ಅಪರಿಮಿತವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು , ನಂತರ ಕಾರ್ಯವು ಅನಂತವಾಗಿ ದೊಡ್ಡದಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಅಪರಿಮಿತ ಮತ್ತು ಅನಂತ ದೊಡ್ಡ ಕಾರ್ಯದ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಸಾಂಕೇತಿಕವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು:
, .

ಒಂದು ಅನಂತವಾದ ಕಾರ್ಯವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅಂದರೆ, ಬಿಂದುವಿನ ಕೆಲವು ಪಂಕ್ಚರ್ಡ್ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ಧನಾತ್ಮಕ (ಅಥವಾ ಋಣಾತ್ಮಕ) ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಅದನ್ನು ಈ ರೀತಿ ಬರೆಯಬಹುದು:
.
ಅದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ, ಅನಂತವಾದ ದೊಡ್ಡ ಕಾರ್ಯವು ನಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅವರು ಬರೆಯುತ್ತಾರೆ:
, ಅಥವಾ .

ಅನಂತರ ಸಣ್ಣ ಮತ್ತು ಅನಂತ ದೊಡ್ಡ ಕಾರ್ಯಗಳ ನಡುವಿನ ಸಾಂಕೇತಿಕ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಬಂಧಗಳೊಂದಿಗೆ ಪೂರಕಗೊಳಿಸಬಹುದು:
, ,
, .

ಅನಂತ ಚಿಹ್ನೆಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಪುಟದಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದು
"ಪಾಯಿಂಟ್ಸ್ ಅಟ್ ಇನ್ಫಿನಿಟಿ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು."

ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಮತ್ತು ಪ್ರಮೇಯಗಳ ಪುರಾವೆ

ಒಂದು ಬೌಂಡೆಡ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಮತ್ತು ಅನಂತವಾದ ಒಂದು ಉತ್ಪನ್ನದ ಮೇಲೆ ಪ್ರಮೇಯದ ಪುರಾವೆ

ಕಾರ್ಯವು ಅನಂತವಾಗಿ ದೊಡ್ಡದಾಗಿರಲಿ:
.
ಮತ್ತು ಬಿಂದುವಿನ ಪಂಕ್ಚರ್ಡ್ ನೆರೆಹೊರೆ ಇರಲಿ
ನಲ್ಲಿ.

ಗೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತಿರುವ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ. ನಂತರ, ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯೆ N ನಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ, ಅನುಕ್ರಮದ ಅಂಶಗಳು ಈ ನೆರೆಹೊರೆಗೆ ಸೇರಿರುತ್ತವೆ:
ನಲ್ಲಿ.
ನಂತರ
ನಲ್ಲಿ.

ಹೈನ್ ಪ್ರಕಾರ ಕ್ರಿಯೆಯ ಮಿತಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ,
.
ನಂತರ, ಅನಂತ ದೊಡ್ಡ ಅನುಕ್ರಮಗಳ ಅಸಮಾನತೆಗಳ ಆಸ್ತಿಯಿಂದ,
.
ಅನುಕ್ರಮವು ಅನಿಯಂತ್ರಿತವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಗೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವುದರಿಂದ, ಹೈನ್ ಪ್ರಕಾರ ಕ್ರಿಯೆಯ ಮಿತಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ,
.

ಆಸ್ತಿ ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.

ಉಲ್ಲೇಖಗಳು:
ಎಲ್.ಡಿ. ಕುದ್ರಿಯಾವ್ಟ್ಸೆವ್. ಗಣಿತ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಕೋರ್ಸ್. ಸಂಪುಟ 1. ಮಾಸ್ಕೋ, 2003.

ಅನಂತ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸುವ ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು ನಾವು ಈಗ ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಅನಂತ ಪ್ರಗತಿಯ ಭಾಗಶಃ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಅದರ ಮೊದಲ ಪದಗಳ ಮೊತ್ತ ಎಂದು ಕರೆಯೋಣ. ಆಂಶಿಕ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಸೂಚಿಸೋಣ

ಪ್ರತಿ ಅನಂತ ಪ್ರಗತಿಗೆ

ಒಬ್ಬರು ಅದರ ಭಾಗಶಃ ಮೊತ್ತಗಳ (ಸಹ ಅನಂತ) ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ರಚಿಸಬಹುದು

ಅನಿಯಮಿತ ಹೆಚ್ಚಳದೊಂದಿಗೆ ಅನುಕ್ರಮವು ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರಲಿ

ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸಂಖ್ಯೆ S, ಅಂದರೆ, ಪ್ರಗತಿಯ ಭಾಗಶಃ ಮೊತ್ತದ ಮಿತಿಯನ್ನು ಅನಂತ ಪ್ರಗತಿಯ ಮೊತ್ತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅನಂತ ಕಡಿಮೆಯಾಗುವ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯು ಯಾವಾಗಲೂ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಈ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ನಾವು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ (ಅನಂತ ಪ್ರಗತಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಮೊತ್ತವಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಅದು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ ಎಂದು ನಾವು ತೋರಿಸಬಹುದು).

ನಾವು ಸೂತ್ರವನ್ನು (91.1) ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪ್ರಗತಿಯ ನಿಯಮಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ಭಾಗಶಃ ಮೊತ್ತದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಬರೆಯೋಣ ಮತ್ತು ಆಂಶಿಕ ಮೊತ್ತದ ಮಿತಿಯನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ಪರಿಗಣಿಸೋಣ

ಪ್ರಮೇಯ 89 ರಿಂದ ಇದು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿರುವ ಪ್ರಗತಿಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ; ಆದ್ದರಿಂದ, ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮಿತಿ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿ, ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ

(ಇಲ್ಲಿ ನಿಯಮವನ್ನು ಸಹ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ: ನಿರಂತರ ಅಂಶವನ್ನು ಮಿತಿ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಮೀರಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ). ಅಸ್ತಿತ್ವವು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಅನಂತವಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುವ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ಮೊತ್ತದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಸಮಾನತೆ (92.1) ಅನ್ನು ಸಹ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು

ಇಲ್ಲಿ ಅಪರಿಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪದಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾದ ಸೀಮಿತ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಿಗದಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದು ವಿರೋಧಾಭಾಸವಾಗಿ ಕಾಣಿಸಬಹುದು.

ಈ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ನೀಡಬಹುದು. ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಬದಿಯೊಂದಿಗೆ ಚೌಕವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ (ಚಿತ್ರ 72). ಈ ಚೌಕವನ್ನು ಸಮತಲವಾಗಿರುವ ರೇಖೆಯೊಂದಿಗೆ ಎರಡು ಸಮಾನ ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಿ ಮತ್ತು ಮೇಲಿನ ಭಾಗವನ್ನು ಕೆಳಭಾಗಕ್ಕೆ ಲಗತ್ತಿಸಿ ಇದರಿಂದ ಆಯತವು 2 ಮತ್ತು ಬದಿಗಳೊಂದಿಗೆ ರೂಪುಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಇದರ ನಂತರ, ನಾವು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಈ ಆಯತದ ಬಲ ಅರ್ಧವನ್ನು ಸಮತಲವಾದ ರೇಖೆಯೊಂದಿಗೆ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಭಾಗಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಮೇಲಿನ ಭಾಗವನ್ನು ಕೆಳಭಾಗಕ್ಕೆ ಜೋಡಿಸುತ್ತೇವೆ (ಚಿತ್ರ 72 ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ). ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸುತ್ತಾ, ನಾವು 1 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣದೊಂದಿಗೆ ಮೂಲ ಚೌಕವನ್ನು ಸಮಾನ ಗಾತ್ರದ ಅಂಕಿಗಳಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತೇವೆ (ತೆಳುವಾಗುತ್ತಿರುವ ಹಂತಗಳೊಂದಿಗೆ ಮೆಟ್ಟಿಲುಗಳ ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ).

ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಅನಂತ ಮುಂದುವರಿಕೆಯೊಂದಿಗೆ, ಚೌಕದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪದಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಲಾಗಿದೆ - ಆಯತಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳು 1 ಮತ್ತು ಎತ್ತರಕ್ಕೆ ಸಮನಾದ ಆಯತಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳು ನಿಖರವಾಗಿ ಅನಂತ ಇಳಿಕೆಯ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ

ಅಂದರೆ, ಒಬ್ಬರು ನಿರೀಕ್ಷಿಸಿದಂತೆ, ಚೌಕದ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ. ಕೆಳಗಿನ ಅನಂತ ಪ್ರಗತಿಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಹುಡುಕಿ:

ಪರಿಹಾರ, ಎ) ಈ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ನಾವು ಗಮನಿಸುತ್ತೇವೆ ಆದ್ದರಿಂದ, ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ (92.2) ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ

ಬೌ) ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಹೊಂದಿರುವ ಅದೇ ಸೂತ್ರವನ್ನು (92.2) ಬಳಸುವುದು ಎಂದರ್ಥ

ಸಿ) ಈ ಪ್ರಗತಿಯು ಯಾವುದೇ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ ಎಂದು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ.

ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ 5 ರಲ್ಲಿ, ಆವರ್ತಕ ದಶಮಾಂಶ ಭಾಗವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಗಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಲು ಅನಂತವಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುವ ಪ್ರಗತಿಯ ನಿಯಮಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸೂತ್ರದ ಅನ್ವಯವನ್ನು ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ.

ವ್ಯಾಯಾಮಗಳು

1. ಅನಂತವಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿರುವ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ಮೊತ್ತವು 3/5 ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಮೊದಲ ನಾಲ್ಕು ಪದಗಳ ಮೊತ್ತವು 13/27 ಆಗಿದೆ. ಪ್ರಗತಿಯ ಮೊದಲ ಪದ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

2. ಪರ್ಯಾಯ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ನಾಲ್ಕು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ, ಇದರಲ್ಲಿ ಎರಡನೇ ಪದವು ಮೊದಲನೆಯದು 35 ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮೂರನೆಯದು 560 ರಿಂದ ನಾಲ್ಕನೆಯದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ.

3. ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ತೋರಿಸಿ

ಅನಂತವಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುವ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಅನುಕ್ರಮ

ಯಾವುದಕ್ಕೂ, ಇದು ಅನಂತವಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುವ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಹೇಳಿಕೆ ಯಾವಾಗ ನಿಜವಾಗುತ್ತದೆ

ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ನಿಯಮಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕಾಗಿ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳಿ.

ಮೊದಲ ಹಂತ

ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿ. ಉದಾಹರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮಗ್ರ ಮಾರ್ಗದರ್ಶಿ (2019)

ಸಂಖ್ಯೆ ಅನುಕ್ರಮ

ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಕುಳಿತು ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬರೆಯಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ:

ನೀವು ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬರೆಯಬಹುದು, ಮತ್ತು ನೀವು ಇಷ್ಟಪಡುವಷ್ಟು ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಹಲವು ಇರಬಹುದು (ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅವುಗಳು ಇವೆ). ನಾವು ಎಷ್ಟು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬರೆದರೂ, ನಾವು ಯಾವಾಗಲೂ ಯಾವುದು ಮೊದಲನೆಯದು, ಯಾವುದು ಎರಡನೆಯದು ಎಂದು ಹೇಳಬಹುದು ಮತ್ತು ಕೊನೆಯವರೆಗೂ, ಅಂದರೆ, ನಾವು ಅವುಗಳನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆ ಮಾಡಬಹುದು. ಇದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅನುಕ್ರಮದ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ:

ಸಂಖ್ಯೆ ಅನುಕ್ರಮಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನಿಗದಿಪಡಿಸಬಹುದು.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಮ್ಮ ಅನುಕ್ರಮಕ್ಕಾಗಿ:

ನಿಯೋಜಿಸಲಾದ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಕೇವಲ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಮೂರು ಸೆಕೆಂಡ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಲ್ಲ. ಎರಡನೇ ಸಂಖ್ಯೆ (ನೇ ಸಂಖ್ಯೆಯಂತೆ) ಯಾವಾಗಲೂ ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅನುಕ್ರಮದ n ನೇ ಸದಸ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಂಪೂರ್ಣ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಕೆಲವು ಅಕ್ಷರದ ಮೂಲಕ ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ,), ಮತ್ತು ಈ ಅನುಕ್ರಮದ ಪ್ರತಿ ಸದಸ್ಯರು ಈ ಸದಸ್ಯರ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಸೂಚ್ಯಂಕದೊಂದಿಗೆ ಒಂದೇ ಅಕ್ಷರವಾಗಿದೆ:

ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ:

ಪ್ರಗತಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಧಗಳು ಅಂಕಗಣಿತ ಮತ್ತು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ. ಈ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ನಾವು ಎರಡನೇ ಪ್ರಕಾರದ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುತ್ತೇವೆ - ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿ.

ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿ ಮತ್ತು ಅದರ ಇತಿಹಾಸ ಏಕೆ ಬೇಕು?

ಪ್ರಾಚೀನ ಕಾಲದಲ್ಲಿಯೂ ಸಹ, ಇಟಾಲಿಯನ್ ಗಣಿತಜ್ಞ ಸನ್ಯಾಸಿ ಲಿಯೊನಾರ್ಡೊ ಪಿಸಾ (ಫಿಬೊನಾಕಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ) ವ್ಯಾಪಾರದ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಅಗತ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸಿದರು. ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ತೂಕ ಮಾಡಲು ಬಳಸಬಹುದಾದ ಕಡಿಮೆ ಸಂಖ್ಯೆಯ ತೂಕ ಯಾವುದು ಎಂದು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಕೆಲಸವನ್ನು ಸನ್ಯಾಸಿ ಎದುರಿಸಿದರು? ಅವರ ಕೃತಿಗಳಲ್ಲಿ, ಫಿಬೊನಾಕಿ ಅಂತಹ ತೂಕದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ: ಜನರು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಎದುರಿಸಬೇಕಾದ ಮೊದಲ ಸನ್ನಿವೇಶಗಳಲ್ಲಿ ಇದು ಒಂದಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ನೀವು ಬಹುಶಃ ಈಗಾಗಲೇ ಕೇಳಿರಬಹುದು ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ ಸಾಮಾನ್ಯ ತಿಳುವಳಿಕೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು. ನೀವು ವಿಷಯವನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಂಡ ನಂತರ, ಅಂತಹ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಏಕೆ ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಯೋಚಿಸಿ?

ಪ್ರಸ್ತುತ, ಜೀವನ ಅಭ್ಯಾಸದಲ್ಲಿ, ಬ್ಯಾಂಕಿನಲ್ಲಿ ಹಣವನ್ನು ಹೂಡಿಕೆ ಮಾಡುವಾಗ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯು ಸ್ವತಃ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಗೋಚರಿಸುತ್ತದೆ, ಹಿಂದಿನ ಅವಧಿಗೆ ಖಾತೆಯಲ್ಲಿ ಸಂಗ್ರಹವಾದ ಮೊತ್ತದ ಮೇಲೆ ಬಡ್ಡಿಯ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಸಂಗ್ರಹಿಸಿದಾಗ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ನೀವು ಉಳಿತಾಯ ಬ್ಯಾಂಕ್‌ನಲ್ಲಿ ಸಮಯದ ಠೇವಣಿಯಲ್ಲಿ ಹಣವನ್ನು ಹಾಕಿದರೆ, ನಂತರ ಒಂದು ವರ್ಷದ ನಂತರ ಠೇವಣಿಯು ಮೂಲ ಮೊತ್ತದಿಂದ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಹೊಸ ಮೊತ್ತವು ಗುಣಿಸಿದ ಕೊಡುಗೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇನ್ನೊಂದು ವರ್ಷದಲ್ಲಿ, ಈ ಮೊತ್ತವು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಆ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಪಡೆದ ಮೊತ್ತವು ಮತ್ತೆ ಗುಣಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಹೀಗೆ. ಕರೆಯಲ್ಪಡುವದನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಇದೇ ರೀತಿಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ ಚಕ್ರಬಡ್ಡಿ- ಹಿಂದಿನ ಬಡ್ಡಿಯನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಖಾತೆಯಲ್ಲಿರುವ ಮೊತ್ತದಿಂದ ಪ್ರತಿ ಬಾರಿ ಶೇಕಡಾವಾರು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಾವು ಈ ಕಾರ್ಯಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಸ್ವಲ್ಪ ಸಮಯದ ನಂತರ ಮಾತನಾಡುತ್ತೇವೆ.

ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಹಲವು ಸರಳ ಪ್ರಕರಣಗಳಿವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಇನ್ಫ್ಲುಯೆನ್ಸ ಹರಡುವಿಕೆ: ಒಬ್ಬ ವ್ಯಕ್ತಿಯು ಇನ್ನೊಬ್ಬ ವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಸೋಂಕು ತಗುಲುತ್ತಾನೆ, ಅವರು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ, ಇನ್ನೊಬ್ಬ ವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಸೋಂಕು ತಗುಲಿದರು, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಸೋಂಕಿನ ಎರಡನೇ ತರಂಗ ಒಬ್ಬ ವ್ಯಕ್ತಿ, ಮತ್ತು ಅವರು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ, ಇನ್ನೊಬ್ಬರಿಗೆ ಸೋಂಕು ತಗುಲಿದರು ... ಹೀಗೆ. .

ಮೂಲಕ, ಆರ್ಥಿಕ ಪಿರಮಿಡ್, ಅದೇ ಎಂಎಂಎಂ, ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಸರಳ ಮತ್ತು ಶುಷ್ಕ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವಾಗಿದೆ. ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ? ಅದನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ.

ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿ.

ನಾವು ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ಹೇಳೋಣ:

ಇದು ಸುಲಭ ಮತ್ತು ಅಂತಹ ಅನುಕ್ರಮದ ಹೆಸರು ಅದರ ಪದಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸದೊಂದಿಗೆ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ನೀವು ತಕ್ಷಣ ಉತ್ತರಿಸುತ್ತೀರಿ. ಇದು ಹೆಂಗಿದೆ:

ಮುಂದಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ನೀವು ಹಿಂದಿನದನ್ನು ಕಳೆದರೆ, ಪ್ರತಿ ಬಾರಿ ನೀವು ಹೊಸ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ ಎಂದು ನೀವು ನೋಡುತ್ತೀರಿ (ಮತ್ತು ಹೀಗೆ), ಆದರೆ ಅನುಕ್ರಮವು ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಗಮನಿಸುವುದು ಸುಲಭ - ಪ್ರತಿ ನಂತರದ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಹಿಂದಿನದಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ!

ಈ ರೀತಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಮತ್ತು ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿ () ಒಂದು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದೆ, ಅದರ ಮೊದಲ ಪದವು ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಪದವು ಎರಡನೆಯಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ, ಹಿಂದಿನದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ಛೇದ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಮೊದಲ ಪದವು ( ) ಸಮಾನವಾಗಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿಲ್ಲ ಎಂಬ ನಿರ್ಬಂಧಗಳು. ಯಾವುದೂ ಇಲ್ಲ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ, ಮತ್ತು ಮೊದಲ ಪದವು ಇನ್ನೂ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು q ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಹ್ಮ್.. ಇರಲಿ, ಆಗ ಅದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ:

ಇದು ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಪ್ರಗತಿಯಲ್ಲ ಎಂದು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳಿ.

ನೀವು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಂಡಂತೆ, ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯಿದ್ದರೆ ನಾವು ಅದೇ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, a. ಈ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಯಾವುದೇ ಪ್ರಗತಿ ಇರುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸರಣಿಯು ಎಲ್ಲಾ ಸೊನ್ನೆಗಳು, ಅಥವಾ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆ, ಮತ್ತು ಉಳಿದವು ಸೊನ್ನೆಗಳಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಈಗ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ಛೇದದ ಬಗ್ಗೆ ಹೆಚ್ಚು ವಿವರವಾಗಿ ಮಾತನಾಡೋಣ, ಅಂದರೆ, ಒ.

ಪುನರಾವರ್ತಿಸೋಣ: - ಇದು ಸಂಖ್ಯೆ ಪ್ರತಿ ನಂತರದ ಪದವು ಎಷ್ಟು ಬಾರಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ?ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿ.

ಅದು ಏನಾಗಿರಬಹುದು ಎಂದು ನೀವು ಯೋಚಿಸುತ್ತೀರಿ? ಅದು ಸರಿ, ಧನಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕ, ಆದರೆ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲ (ನಾವು ಇದರ ಬಗ್ಗೆ ಸ್ವಲ್ಪ ಹೆಚ್ಚು ಮಾತನಾಡಿದ್ದೇವೆ).

ನಮ್ಮದು ಧನಾತ್ಮಕ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಎ. ಎರಡನೇ ಅವಧಿಯ ಮೌಲ್ಯ ಏನು ಮತ್ತು? ನೀವು ಸುಲಭವಾಗಿ ಉತ್ತರಿಸಬಹುದು:

ಅದು ಸರಿ. ಅಂತೆಯೇ, ಪ್ರಗತಿಯ ಎಲ್ಲಾ ನಂತರದ ನಿಯಮಗಳು ಒಂದೇ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ - ಅವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಅದು ನಕಾರಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ ಏನು? ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಎ. ಎರಡನೇ ಅವಧಿಯ ಮೌಲ್ಯ ಏನು ಮತ್ತು?

ಇದು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ವಿಭಿನ್ನವಾದ ಕಥೆ

ಈ ಪ್ರಗತಿಯ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಎಣಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ. ಎಷ್ಟು ಸಿಕ್ಕಿತು? ನನ್ನ ಬಳಿ ಇದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಒಂದು ವೇಳೆ, ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ನಿಯಮಗಳ ಚಿಹ್ನೆಗಳು ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಅಂದರೆ, ಅದರ ಸದಸ್ಯರಿಗೆ ಪರ್ಯಾಯ ಚಿಹ್ನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ನೀವು ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ನೋಡಿದರೆ, ಅದರ ಛೇದವು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ವಿಷಯದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ಈ ಜ್ಞಾನವು ನಿಮ್ಮನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಲು ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ.

ಈಗ ನಾವು ಸ್ವಲ್ಪ ಅಭ್ಯಾಸ ಮಾಡೋಣ: ಯಾವ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅನುಕ್ರಮಗಳು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿ ಮತ್ತು ಯಾವ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿ ಎಂದು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ:

ಅರ್ಥವಾಯಿತು? ನಮ್ಮ ಉತ್ತರಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಕೆ ಮಾಡೋಣ:

• ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿ - 3, 6.
• ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿ - 2, 4.
• ಇದು ಅಂಕಗಣಿತವೂ ಅಲ್ಲ ಅಥವಾ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯೂ ಅಲ್ಲ - 1, 5, 7.

ನಮ್ಮ ಕೊನೆಯ ಪ್ರಗತಿಗೆ ಹಿಂತಿರುಗಿ ಮತ್ತು ಅಂಕಗಣಿತದಂತೆಯೇ ಅದರ ಸದಸ್ಯರನ್ನು ಹುಡುಕಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ. ನೀವು ಊಹಿಸಿದಂತೆ, ಅದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಎರಡು ಮಾರ್ಗಗಳಿವೆ.

ನಾವು ಪ್ರತಿ ಪದವನ್ನು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಗುಣಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ವಿವರಿಸಿದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ನೇ ಪದವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ನೀವು ಈಗಾಗಲೇ ಊಹಿಸಿದಂತೆ, ಈಗ ನೀವೇ ಒಂದು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ ಅದು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ಯಾವುದೇ ಸದಸ್ಯರನ್ನು ಹುಡುಕಲು ನಿಮಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಅಥವಾ ನೀವು ಈಗಾಗಲೇ ಅದನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದ್ದೀರಾ, ಹಂತ ಹಂತವಾಗಿ ಸದಸ್ಯರನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಎಂದು ವಿವರಿಸಿ? ಹಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ, ನಿಮ್ಮ ತಾರ್ಕಿಕತೆಯ ಸರಿಯಾದತೆಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ.

ಈ ಪ್ರಗತಿಯ ಪದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಉದಾಹರಣೆಯೊಂದಿಗೆ ನಾವು ಇದನ್ನು ವಿವರಿಸೋಣ:

ಬೇರೆ ಪದಗಳಲ್ಲಿ:

ನೀಡಿರುವ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ಪದದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನೀವೇ ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಿ.

ಸಂಭವಿಸಿದ? ನಮ್ಮ ಉತ್ತರಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಕೆ ಮಾಡೋಣ:

ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ಪ್ರತಿ ಹಿಂದಿನ ಪದದಿಂದ ನಾವು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ನೀವು ಹಿಂದಿನ ವಿಧಾನದಂತೆಯೇ ಅದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೀರಿ ಎಂಬುದನ್ನು ದಯವಿಟ್ಟು ಗಮನಿಸಿ.
ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು "ವೈಯಕ್ತೀಕರಿಸಲು" ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ - ಅದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಇರಿಸಿ ಮತ್ತು ಪಡೆಯೋಣ:

ಪಡೆದ ಸೂತ್ರವು ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ನಿಜವಾಗಿದೆ - ಧನಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕ ಎರಡೂ. ಕೆಳಗಿನ ಷರತ್ತುಗಳೊಂದಿಗೆ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಇದನ್ನು ನೀವೇ ಪರಿಶೀಲಿಸಿ: , a.

ನೀವು ಎಣಿಸಿದ್ದೀರಾ? ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಕೆ ಮಾಡೋಣ:

ಒಂದು ಪದದ ರೀತಿಯಲ್ಲಿಯೇ ಪ್ರಗತಿಯ ಪದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಸಾಧ್ಯ ಎಂದು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳಿ, ಆದಾಗ್ಯೂ, ತಪ್ಪಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯಿದೆ. ಮತ್ತು ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ಪದವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದರೆ, ಸೂತ್ರದ "ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸಿದ" ಭಾಗವನ್ನು ಬಳಸುವುದಕ್ಕಿಂತ ಸರಳವಾದದ್ದು ಯಾವುದು.

ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಅನಂತವಾಗಿ ಕಡಿಮೆಗೊಳಿಸುವುದು.

ತೀರಾ ಇತ್ತೀಚೆಗೆ, ಇದು ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿರಬಹುದು ಅಥವಾ ಕಡಿಮೆ ಆಗಿರಬಹುದು ಎಂಬ ಅಂಶದ ಬಗ್ಗೆ ನಾವು ಮಾತನಾಡಿದ್ದೇವೆ, ಆದಾಗ್ಯೂ, ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಕರೆಯುವ ವಿಶೇಷ ಮೌಲ್ಯಗಳಿವೆ. ಅನಂತವಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿದೆ.

ಈ ಹೆಸರನ್ನು ಏಕೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ನೀವು ಭಾವಿಸುತ್ತೀರಿ?
ಮೊದಲಿಗೆ, ಪದಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಕೆಲವು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಬರೆಯೋಣ.
ನಂತರ ಹೇಳೋಣ:

ಪ್ರತಿ ನಂತರದ ಪದವು ಹಿಂದಿನದಕ್ಕಿಂತ ಒಂದು ಅಂಶದಿಂದ ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ, ಆದರೆ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆ ಇರುತ್ತದೆಯೇ? ನೀವು ತಕ್ಷಣ ಉತ್ತರಿಸುತ್ತೀರಿ - "ಇಲ್ಲ". ಅದಕ್ಕಾಗಿಯೇ ಅದು ಅನಂತವಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿದೆ - ಅದು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಎಂದಿಗೂ ಶೂನ್ಯವಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ಇದು ದೃಷ್ಟಿಗೋಚರವಾಗಿ ಹೇಗೆ ಕಾಣುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು, ನಮ್ಮ ಪ್ರಗತಿಯ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಸೆಳೆಯಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸೂತ್ರವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ:

ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ನಾವು ಅವಲಂಬನೆಯನ್ನು ಯೋಜಿಸಲು ಒಗ್ಗಿಕೊಂಡಿರುತ್ತೇವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ:

ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಸಾರವು ಬದಲಾಗಿಲ್ಲ: ಮೊದಲ ನಮೂದುನಲ್ಲಿ ನಾವು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ಸದಸ್ಯರ ಮೌಲ್ಯದ ಅವಲಂಬನೆಯನ್ನು ಅದರ ಆರ್ಡಿನಲ್ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೇಲೆ ತೋರಿಸಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಪ್ರವೇಶದಲ್ಲಿ ನಾವು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ಸದಸ್ಯರ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ. , ಮತ್ತು ಆರ್ಡಿನಲ್ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಎಂದು ಅಲ್ಲ, ಆದರೆ ಹಾಗೆ ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಗ್ರಾಫ್ ನಿರ್ಮಿಸುವುದು ಮಾತ್ರ ಉಳಿದಿದೆ.
ನಿಮಗೆ ಏನು ಸಿಕ್ಕಿದೆ ಎಂದು ನೋಡೋಣ. ನಾನು ತಂದ ಗ್ರಾಫ್ ಇಲ್ಲಿದೆ:

ನೀವು ನೋಡುತ್ತೀರಾ? ಕಾರ್ಯವು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಅದನ್ನು ಎಂದಿಗೂ ದಾಟುವುದಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅದು ಅನಂತವಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಗ್ರಾಫ್‌ನಲ್ಲಿ ನಮ್ಮ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಮತ್ತು ಅರ್ಥವೇನು:

ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಅದರ ಮೊದಲ ಪದವು ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಕ್ರಮಬದ್ಧವಾಗಿ ಚಿತ್ರಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ. ನಮ್ಮ ಹಿಂದಿನ ಗ್ರಾಫ್‌ನೊಂದಿಗೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸವೇನು ಎಂಬುದನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಿ?

ನೀವು ನಿರ್ವಹಿಸಿದ್ದೀರಾ? ನಾನು ತಂದ ಗ್ರಾಫ್ ಇಲ್ಲಿದೆ:

ಈಗ ನೀವು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ವಿಷಯದ ಮೂಲಭೂತ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಂಡಿದ್ದೀರಿ: ಅದು ಏನೆಂದು ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ, ಅದರ ಪದವನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಎಂದು ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ ಮತ್ತು ಅನಂತವಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿರುವ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿ ಏನು ಎಂದು ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ, ನಾವು ಅದರ ಮುಖ್ಯ ಆಸ್ತಿಗೆ ಹೋಗೋಣ.

ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ಆಸ್ತಿ.

ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ನಿಯಮಗಳ ಆಸ್ತಿ ನಿಮಗೆ ನೆನಪಿದೆಯೇ? ಹೌದು, ಹೌದು, ಈ ಪ್ರಗತಿಯ ನಿಯಮಗಳ ಹಿಂದಿನ ಮತ್ತು ನಂತರದ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಇದ್ದಾಗ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪ್ರಗತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು. ನಿನಗೆ ನೆನಪಿದೆಯಾ? ಇದು:

ಈಗ ನಾವು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ನಿಯಮಗಳಿಗೆ ನಿಖರವಾಗಿ ಅದೇ ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು ಎದುರಿಸುತ್ತಿದ್ದೇವೆ. ಅಂತಹ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ರೇಖಾಚಿತ್ರ ಮತ್ತು ತಾರ್ಕಿಕ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ. ನೀವು ನೋಡುತ್ತೀರಿ, ಇದು ತುಂಬಾ ಸುಲಭ, ಮತ್ತು ನೀವು ಮರೆತರೆ, ನೀವೇ ಅದನ್ನು ಹೊರಹಾಕಬಹುದು.

ಇನ್ನೊಂದು ಸರಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ, ಅದರಲ್ಲಿ ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ ಮತ್ತು. ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಹೇಗೆ? ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯೊಂದಿಗೆ ಇದು ಸುಲಭ ಮತ್ತು ಸರಳವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಇಲ್ಲಿ ಏನು? ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಜ್ಯಾಮಿತೀಯದಲ್ಲಿ ಏನೂ ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿಲ್ಲ - ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ ನಮಗೆ ನೀಡಲಾದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನೀವು ಬರೆಯಬೇಕಾಗಿದೆ.

ನೀವು ಕೇಳಬಹುದು, ನಾವು ಈಗ ಅದರ ಬಗ್ಗೆ ಏನು ಮಾಡಬೇಕು? ಹೌದು, ತುಂಬಾ ಸರಳ. ಮೊದಲಿಗೆ, ಈ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಚಿತ್ರಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತಲುಪಲು ಅವರೊಂದಿಗೆ ವಿವಿಧ ಬದಲಾವಣೆಗಳನ್ನು ಮಾಡಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ.

ನಮಗೆ ನೀಡಲಾದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ ಅಮೂರ್ತಗೊಳಿಸೋಣ, ಸೂತ್ರದ ಮೂಲಕ ಅವರ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೇಲೆ ಮಾತ್ರ ಗಮನಹರಿಸೋಣ. ಕಿತ್ತಳೆ ಬಣ್ಣದಲ್ಲಿ ಹೈಲೈಟ್ ಮಾಡಲಾದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು, ಅದರ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿರುವ ಪದಗಳನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಅವರೊಂದಿಗೆ ವಿವಿಧ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಮಾಡಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ, ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ನಾವು ಪಡೆಯಬಹುದು.

ಸೇರ್ಪಡೆ.
ಎರಡು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ ಮತ್ತು ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಿಂದ, ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ನಾವು ಅದನ್ನು ಯಾವುದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಇನ್ನೊಂದು ಆಯ್ಕೆಯನ್ನು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತೇವೆ - ವ್ಯವಕಲನ.

ವ್ಯವಕಲನ.

ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ನಾವು ಇದನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಪರಸ್ಪರ ಗುಣಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ.

ಗುಣಾಕಾರ.

ಈಗ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕಾದ ಸಂಗತಿಗಳಿಗೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ ನಮಗೆ ನೀಡಲಾದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಾವು ಹೊಂದಿರುವುದನ್ನು ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ನೋಡಿ:

ನಾನು ಏನು ಮಾತನಾಡುತ್ತಿದ್ದೇನೆಂದು ಊಹಿಸಿ? ಸರಿಯಾಗಿ, ಹುಡುಕಲು ನಾವು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಒಂದರ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿ ಪರಸ್ಪರ ಗುಣಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ:

ಇಲ್ಲಿ ನೀವು ಹೋಗಿ. ನೀವೇ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೀರಿ. ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ. ಸಂಭವಿಸಿದ?

ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಮರೆತಿರುವಿರಾ? ಇದು ಏಕೆ ಮುಖ್ಯ ಎಂದು ಯೋಚಿಸಿ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅದನ್ನು ನೀವೇ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಏನಾಗುತ್ತದೆ? ಅದು ಸರಿ, ಸಂಪೂರ್ಣ ಅಸಂಬದ್ಧ ಏಕೆಂದರೆ ಸೂತ್ರವು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ:

ಅಂತೆಯೇ, ಈ ಮಿತಿಯನ್ನು ಮರೆಯಬೇಡಿ.

ಈಗ ಅದು ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ

ಸರಿಯಾದ ಉತ್ತರ - ! ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ನೀವು ಎರಡನೆಯ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಮರೆಯದಿದ್ದರೆ, ನೀವು ಉತ್ತಮರು ಮತ್ತು ತಕ್ಷಣವೇ ತರಬೇತಿಗೆ ಹೋಗಬಹುದು, ಮತ್ತು ನೀವು ಮರೆತಿದ್ದರೆ, ಕೆಳಗೆ ಚರ್ಚಿಸಿರುವುದನ್ನು ಓದಿ ಮತ್ತು ಎರಡೂ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಏಕೆ ಬರೆಯಬೇಕು ಎಂಬುದರ ಬಗ್ಗೆ ಗಮನ ಕೊಡಿ. ಉತ್ತರದಲ್ಲಿ.

ನಮ್ಮ ಎರಡೂ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಗಳನ್ನು ಸೆಳೆಯೋಣ - ಒಂದು ಮೌಲ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ಮೌಲ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಮತ್ತು ಇವೆರಡೂ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರಲು ಹಕ್ಕನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಯೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ:

ಅಂತಹ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆಯೇ ಅಥವಾ ಇಲ್ಲವೇ ಎಂಬುದನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಲು, ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ನಿಯಮಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿವೆಯೇ ಎಂದು ನೋಡುವುದು ಅಗತ್ಯವೇ? ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ಪ್ರಕರಣಗಳಿಗೆ q ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ.

ನಾವು ಎರಡು ಉತ್ತರಗಳನ್ನು ಏಕೆ ಬರೆಯಬೇಕು ಎಂದು ನೋಡಿ? ಏಕೆಂದರೆ ನೀವು ಹುಡುಕುತ್ತಿರುವ ಪದದ ಚಿಹ್ನೆಯು ಧನಾತ್ಮಕ ಅಥವಾ ಋಣಾತ್ಮಕ ಎಂಬುದನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ! ಮತ್ತು ಅದು ಏನೆಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿಲ್ಲವಾದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಪ್ಲಸ್ ಮತ್ತು ಮೈನಸ್ನೊಂದಿಗೆ ಎರಡೂ ಉತ್ತರಗಳನ್ನು ಬರೆಯಬೇಕಾಗಿದೆ.

ಈಗ ನೀವು ಮುಖ್ಯ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಕರಗತ ಮಾಡಿಕೊಂಡಿದ್ದೀರಿ ಮತ್ತು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ಆಸ್ತಿಗಾಗಿ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೀರಿ, ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ, ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಿ ಮತ್ತು

ನಿಮ್ಮ ಉತ್ತರಗಳನ್ನು ಸರಿಯಾದ ಉತ್ತರಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಕೆ ಮಾಡಿ:

ನೀವು ಏನು ಆಲೋಚಿಸುತ್ತೀರಿ, ನಾವು ಬಯಸಿದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿರುವ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ನಿಯಮಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನೀಡದಿದ್ದರೆ, ಆದರೆ ಅದರಿಂದ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಾವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು, ಮತ್ತು ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ನಾವು ಪಡೆದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ನಾವು ಬಳಸಬಹುದೇ? ಈ ಸಾಧ್ಯತೆಯನ್ನು ಅದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ದೃಢೀಕರಿಸಲು ಅಥವಾ ನಿರಾಕರಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ, ಪ್ರತಿ ಮೌಲ್ಯವು ಏನನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ವಿವರಿಸಿ, ನೀವು ಮೂಲತಃ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆದಾಗ ನೀವು ಮಾಡಿದಂತೆ.
ನಿನಗೆ ಏನು ಸಿಕ್ಕಿತು?

ಈಗ ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ನೋಡಿ.
ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ:

ಇದರಿಂದ ನಾವು ಸೂತ್ರವು ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೀರ್ಮಾನಿಸಬಹುದು ನೆರೆಹೊರೆಯವರೊಂದಿಗೆ ಮಾತ್ರವಲ್ಲಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ನಿಯಮಗಳೊಂದಿಗೆ, ಆದರೆ ಜೊತೆಗೆ ಸಮ ದೂರದಸದಸ್ಯರು ಏನನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತಿದ್ದಾರೆ.

ಹೀಗಾಗಿ, ನಮ್ಮ ಆರಂಭಿಕ ಸೂತ್ರವು ರೂಪವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ:

ಅಂದರೆ, ಮೊದಲ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ನಾವು ಅದನ್ನು ಹೇಳಿದರೆ, ಈಗ ನಾವು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ ಅದು ಚಿಕ್ಕದಾದ ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮುಖ್ಯ ವಿಷಯವೆಂದರೆ ಅದು ನೀಡಿದ ಎರಡೂ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಅಭ್ಯಾಸ ಮಾಡಿ, ಅತ್ಯಂತ ಜಾಗರೂಕರಾಗಿರಿ!

1. , ಹುಡುಕಿ.
2. , ಹುಡುಕಿ.
3. , ಹುಡುಕಿ.

ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗಿದೆಯೇ? ನೀವು ಅತ್ಯಂತ ಗಮನಹರಿಸಿದ್ದೀರಿ ಮತ್ತು ಸಣ್ಣ ಕ್ಯಾಚ್ ಅನ್ನು ಗಮನಿಸಿದ್ದೀರಿ ಎಂದು ನಾನು ಭಾವಿಸುತ್ತೇನೆ.

ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಕೆ ಮಾಡೋಣ.

ಮೊದಲ ಎರಡು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ನಾವು ಮೇಲಿನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಶಾಂತವಾಗಿ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಮೂರನೆಯ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ, ನಮಗೆ ನೀಡಿದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸರಣಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ನಾವು ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ಪರಿಶೀಲಿಸಿದಾಗ, ನಾವು ಹುಡುಕುತ್ತಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಅವು ಸಮಾನವಾಗಿಲ್ಲ ಎಂದು ನಾವು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ: ಇದು ಹಿಂದಿನ ಸಂಖ್ಯೆ, ಆದರೆ ಒಂದು ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ ತೆಗೆದುಹಾಕಲಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅದು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ.

ಅದನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸುವುದು? ಇದು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ತೋರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಕಷ್ಟ ಅಲ್ಲ! ನಮಗೆ ನೀಡಿದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ನಾವು ಹುಡುಕುತ್ತಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಏನನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಬರೆಯೋಣ.

ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು. ನಾವು ಅವರೊಂದಿಗೆ ಏನು ಮಾಡಬಹುದು ಎಂದು ನೋಡೋಣ? ಮೂಲಕ ಭಾಗಿಸಲು ನಾನು ಸಲಹೆ ನೀಡುತ್ತೇನೆ. ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ನಾವು ನಮ್ಮ ಡೇಟಾವನ್ನು ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ:

ನಾವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದಾದ ಮುಂದಿನ ಹಂತವೆಂದರೆ - ಇದಕ್ಕಾಗಿ ನಾವು ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಘನ ಮೂಲವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕಾಗಿದೆ.

ಈಗ ನಾವು ಹೊಂದಿರುವುದನ್ನು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ನೋಡೋಣ. ನಾವು ಅದನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ, ಆದರೆ ನಾವು ಅದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು, ಮತ್ತು ಅದು ಇದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಕ್ಕೆ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಡೇಟಾವನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ. ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ:

ನಮ್ಮ ಉತ್ತರ: .

ಇದೇ ರೀತಿಯ ಇನ್ನೊಂದು ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ನೀವೇ ಪರಿಹರಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ:
ನೀಡಿದ: ,
ಹುಡುಕಿ:

ಎಷ್ಟು ಸಿಕ್ಕಿತು? ನನ್ನ ಬಳಿ ಇದೆ - .

ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ನಿಮಗೆ ಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ ಕೇವಲ ಒಂದು ಸೂತ್ರವನ್ನು ನೆನಪಿಡಿ- . ಯಾವುದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ತೊಂದರೆಯಿಲ್ಲದೆ ಉಳಿದ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ನೀವೇ ಹಿಂಪಡೆಯಬಹುದು. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಸರಳವಾದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಕಾಗದದ ಮೇಲೆ ಬರೆಯಿರಿ ಮತ್ತು ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಿದ ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ ಅದರ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ನಿಯಮಗಳ ಮೊತ್ತ.

ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ಪದಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ತ್ವರಿತವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ನಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುವ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಈಗ ನೋಡೋಣ:

ಸೀಮಿತ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ನಿಯಮಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ಮೇಲಿನ ಸಮೀಕರಣದ ಎಲ್ಲಾ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಿ. ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ನೋಡಿ: ಕೊನೆಯ ಎರಡು ಸೂತ್ರಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಏನು ಹೊಂದಿವೆ? ಅದು ಸರಿ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಸದಸ್ಯರು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮತ್ತು ಹೀಗೆ, ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಕೊನೆಯ ಸದಸ್ಯರನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ. 2 ನೇ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ 1 ನೇ ಕಳೆಯಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ. ನಿನಗೆ ಏನು ಸಿಕ್ಕಿತು?

ಈಗ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ಪದವನ್ನು ಸೂತ್ರದ ಮೂಲಕ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿ ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ನಮ್ಮ ಕೊನೆಯ ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸಿ:

ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಗುಂಪು ಮಾಡಿ. ನೀವು ಪಡೆಯಬೇಕು:

ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲು ಮಾತ್ರ ಉಳಿದಿದೆ:

ಅದರಂತೆ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ.

ಹೀಗಾದರೆ? ನಂತರ ಯಾವ ಸೂತ್ರವು ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ? ನಲ್ಲಿ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಕಲ್ಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ. ಅವಳು ಹೇಗಿದ್ದಾಳೆ? ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸರಣಿ ಸರಿಯಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಸೂತ್ರವು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ:

ಅಂಕಗಣಿತ ಮತ್ತು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ಬಗ್ಗೆ ಅನೇಕ ದಂತಕಥೆಗಳಿವೆ. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಚೆಸ್ ಸೃಷ್ಟಿಕರ್ತ ಸೆಟ್ನ ದಂತಕಥೆ.

ಚೆಸ್ ಆಟವನ್ನು ಭಾರತದಲ್ಲಿ ಆವಿಷ್ಕರಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಅನೇಕರಿಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ. ಹಿಂದೂ ರಾಜ ಅವಳನ್ನು ಭೇಟಿಯಾದಾಗ, ಅವಳ ಬುದ್ಧಿ ಮತ್ತು ಅವಳಲ್ಲಿ ಸಾಧ್ಯವಿರುವ ವಿವಿಧ ಸ್ಥಾನಗಳಿಂದ ಅವನು ಸಂತೋಷಪಟ್ಟನು. ಇದನ್ನು ತನ್ನ ಪ್ರಜೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಬ್ಬರು ಕಂಡುಹಿಡಿದಿದ್ದಾರೆ ಎಂದು ತಿಳಿದ ನಂತರ, ರಾಜನು ಅವನಿಗೆ ವೈಯಕ್ತಿಕವಾಗಿ ಪ್ರತಿಫಲ ನೀಡಲು ನಿರ್ಧರಿಸಿದನು. ಅವನು ಆವಿಷ್ಕಾರಕನನ್ನು ತನ್ನ ಬಳಿಗೆ ಕರೆಸಿಕೊಂಡನು ಮತ್ತು ಅವನಿಗೆ ಬೇಕಾದ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಕೇಳಲು ಆದೇಶಿಸಿದನು, ಅತ್ಯಂತ ಕೌಶಲ್ಯಪೂರ್ಣ ಬಯಕೆಯನ್ನು ಸಹ ಪೂರೈಸುವ ಭರವಸೆ ನೀಡಿದನು.

ಸೇಟಾ ಯೋಚಿಸಲು ಸಮಯವನ್ನು ಕೇಳಿದನು, ಮತ್ತು ಮರುದಿನ ಸೇಟಾ ರಾಜನ ಮುಂದೆ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡಾಗ, ಅವನು ತನ್ನ ವಿನಂತಿಯ ಅಭೂತಪೂರ್ವ ನಮ್ರತೆಯಿಂದ ರಾಜನನ್ನು ಆಶ್ಚರ್ಯಗೊಳಿಸಿದನು. ಚದುರಂಗ ಫಲಕದ ಮೊದಲ ಚೌಕಕ್ಕೆ ಗೋಧಿ ಕಾಳು, ಎರಡನೆಯದಕ್ಕೆ ಒಂದು ಗೋಧಿ, ಮೂರನೆಯದಕ್ಕೆ ಒಂದು ಗೋಧಿ, ನಾಲ್ಕನೆಯದು ಇತ್ಯಾದಿಗಳನ್ನು ಕೊಡುವಂತೆ ಕೇಳಿದನು.

ರಾಜನು ಕೋಪಗೊಂಡು ಸೇಠನನ್ನು ಓಡಿಸಿದನು, ಸೇವಕನ ಕೋರಿಕೆಯು ರಾಜನ ಔದಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಅನರ್ಹವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳಿದನು, ಆದರೆ ಸೇವಕನು ತನ್ನ ಧಾನ್ಯಗಳನ್ನು ಮಂಡಳಿಯ ಎಲ್ಲಾ ಚೌಕಗಳಿಗೆ ಸ್ವೀಕರಿಸುತ್ತಾನೆ ಎಂದು ಭರವಸೆ ನೀಡಿದನು.

ಮತ್ತು ಈಗ ಪ್ರಶ್ನೆ: ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ನಿಯಮಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ, ಸೇಥ್ ಎಷ್ಟು ಧಾನ್ಯಗಳನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸಬೇಕು ಎಂದು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿ?

ತರ್ಕವನ್ನು ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ. ಷರತ್ತಿನ ಪ್ರಕಾರ, ಸೇಥ್ ಚದುರಂಗ ಫಲಕದ ಮೊದಲ ಚೌಕಕ್ಕೆ ಗೋಧಿಯ ಧಾನ್ಯವನ್ನು ಕೇಳಿದಾಗ, ಎರಡನೆಯದು, ಮೂರನೆಯದು, ನಾಲ್ಕನೆಯದು ಇತ್ಯಾದಿ, ನಂತರ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ಬಗ್ಗೆ ಎಂದು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಅದು ಏನು ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ?
ಸರಿ.

ಚದುರಂಗ ಫಲಕದ ಒಟ್ಟು ಚೌಕಗಳು. ಕ್ರಮವಾಗಿ, . ನಾವು ಎಲ್ಲಾ ಡೇಟಾವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ, ಅದನ್ನು ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಪ್ಲಗ್ ಮಾಡುವುದು ಮತ್ತು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ಮಾತ್ರ ಉಳಿದಿದೆ.

ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯ "ಸ್ಕೇಲ್" ಅನ್ನು ಕನಿಷ್ಠವಾಗಿ ಊಹಿಸಲು, ನಾವು ಪದವಿಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ರೂಪಾಂತರಗೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

ಸಹಜವಾಗಿ, ನೀವು ಬಯಸಿದರೆ, ನೀವು ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು ಮತ್ತು ನೀವು ಯಾವ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕೊನೆಗೊಳಿಸುತ್ತೀರಿ ಎಂದು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು ಮತ್ತು ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ನೀವು ನನ್ನ ಪದವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ: ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಅಂತಿಮ ಮೌಲ್ಯವು ಇರುತ್ತದೆ.
ಅದು:

ಕ್ವಿಂಟಿಲಿಯನ್ ಕ್ವಾಡ್ರಿಲಿಯನ್ ಟ್ರಿಲಿಯನ್ ಬಿಲಿಯನ್ ಮಿಲಿಯನ್ ಸಾವಿರ.

ಫ್ಯೂ) ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಗಾಧತೆಯನ್ನು ನೀವು ಊಹಿಸಲು ಬಯಸಿದರೆ, ಸಂಪೂರ್ಣ ಧಾನ್ಯದ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಸರಿಹೊಂದಿಸಲು ಎಷ್ಟು ದೊಡ್ಡ ಕೊಟ್ಟಿಗೆಯ ಅಗತ್ಯವಿದೆ ಎಂದು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಿ.
ಕೊಟ್ಟಿಗೆಯು ಮೀ ಎತ್ತರ ಮತ್ತು ಮೀ ಅಗಲವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಉದ್ದವು ಕಿಮೀ ವರೆಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಭೂಮಿಯಿಂದ ಸೂರ್ಯನಿಗೆ ಎರಡು ಪಟ್ಟು ದೂರದಲ್ಲಿದೆ.

ರಾಜನು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಪ್ರಬಲನಾಗಿದ್ದರೆ, ಧಾನ್ಯಗಳನ್ನು ಎಣಿಸಲು ವಿಜ್ಞಾನಿಯನ್ನು ಆಹ್ವಾನಿಸಬಹುದಿತ್ತು, ಏಕೆಂದರೆ ಒಂದು ಮಿಲಿಯನ್ ಧಾನ್ಯಗಳನ್ನು ಎಣಿಸಲು, ಅವನಿಗೆ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ದಿನದ ದಣಿವರಿಯದ ಎಣಿಕೆಯ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕ್ವಿಂಟಿಲಿಯನ್ಗಟ್ಟಲೆ ಧಾನ್ಯಗಳನ್ನು ಎಣಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕವಾಗಿದೆ. ಅವನ ಜೀವನದುದ್ದಕ್ಕೂ ಎಣಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ.

ಈಗ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ನಿಯಮಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಸರಳ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸೋಣ.
5A ತರಗತಿಯ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ ವಾಸ್ಯಾ ಜ್ವರದಿಂದ ಅನಾರೋಗ್ಯಕ್ಕೆ ಒಳಗಾದರು, ಆದರೆ ಶಾಲೆಗೆ ಹೋಗುವುದನ್ನು ಮುಂದುವರೆಸಿದ್ದಾರೆ. ಪ್ರತಿದಿನ ವಾಸ್ಯಾ ಇಬ್ಬರು ಜನರಿಗೆ ಸೋಂಕು ತಗುಲುತ್ತಾರೆ, ಅವರು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ ಇನ್ನೂ ಎರಡು ಜನರಿಗೆ ಸೋಂಕು ತಗುಲುತ್ತಾರೆ, ಮತ್ತು ಹೀಗೆ. ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ ಜನ ಮಾತ್ರ ಇದ್ದಾರೆ. ಎಷ್ಟು ದಿನಗಳಲ್ಲಿ ಇಡೀ ವರ್ಗವು ಜ್ವರದಿಂದ ಅನಾರೋಗ್ಯಕ್ಕೆ ಒಳಗಾಗುತ್ತದೆ?

ಆದ್ದರಿಂದ, ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ಮೊದಲ ಪದವು ವಾಸ್ಯಾ, ಅಂದರೆ ಒಬ್ಬ ವ್ಯಕ್ತಿ. ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ನೇ ಪದವು ಅವನು ಆಗಮನದ ಮೊದಲ ದಿನದಲ್ಲಿ ಸೋಂಕಿಗೆ ಒಳಗಾದ ಇಬ್ಬರು ವ್ಯಕ್ತಿಗಳು. ಪ್ರಗತಿಯ ನಿಯಮಗಳ ಒಟ್ಟು ಮೊತ್ತವು 5A ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಂತೆಯೇ, ನಾವು ಪ್ರಗತಿಯ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುತ್ತೇವೆ:

ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ನಿಯಮಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ನಮ್ಮ ಡೇಟಾವನ್ನು ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸೋಣ:

ಕೆಲವೇ ದಿನಗಳಲ್ಲಿ ಇಡೀ ವರ್ಗವು ಅನಾರೋಗ್ಯಕ್ಕೆ ಒಳಗಾಗುತ್ತದೆ. ಸೂತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ನಂಬುವುದಿಲ್ಲವೇ? ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ "ಸೋಂಕನ್ನು" ನೀವೇ ಚಿತ್ರಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ. ಸಂಭವಿಸಿದ? ಇದು ನನಗೆ ಹೇಗೆ ಕಾಣುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೋಡಿ:

ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬರೂ ಒಬ್ಬ ವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಸೋಂಕು ತಗುಲಿದರೆ ಮತ್ತು ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ ಒಬ್ಬರೇ ಇದ್ದರೆ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಜ್ವರದಿಂದ ಅಸ್ವಸ್ಥರಾಗಲು ಎಷ್ಟು ದಿನಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೀವೇ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿ.

ನೀವು ಯಾವ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೀರಿ? ಒಂದು ದಿನದ ನಂತರ ಎಲ್ಲರೂ ಅನಾರೋಗ್ಯಕ್ಕೆ ಒಳಗಾಗಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದರು ಎಂದು ಅದು ಬದಲಾಯಿತು.

ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯ ಮತ್ತು ಅದರ ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ಪಿರಮಿಡ್ ಅನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ, ಅದರಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಹೊಸ ಜನರನ್ನು "ತರುತ್ತದೆ". ಹೇಗಾದರೂ, ಬೇಗ ಅಥವಾ ನಂತರ ಒಂದು ಕ್ಷಣ ಬರುತ್ತದೆ, ಎರಡನೆಯದು ಯಾರನ್ನೂ ಆಕರ್ಷಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ವರ್ಗವು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಊಹಿಸಿದರೆ, ಒಬ್ಬ ವ್ಯಕ್ತಿಯು ಸರಪಳಿಯನ್ನು ಮುಚ್ಚುತ್ತಾನೆ (). ಹೀಗಾಗಿ, ಒಬ್ಬ ವ್ಯಕ್ತಿಯು ಹಣಕಾಸಿನ ಪಿರಮಿಡ್‌ನಲ್ಲಿ ತೊಡಗಿಸಿಕೊಂಡಿದ್ದರೆ, ಅದರಲ್ಲಿ ನೀವು ಇತರ ಇಬ್ಬರು ಭಾಗವಹಿಸುವವರನ್ನು ಕರೆತಂದರೆ ಹಣವನ್ನು ನೀಡಲಾಯಿತು, ಆಗ ವ್ಯಕ್ತಿಯು (ಅಥವಾ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ) ಯಾರನ್ನೂ ಕರೆತರುವುದಿಲ್ಲ, ಅದರ ಪ್ರಕಾರ, ಅವರು ಈ ಹಣಕಾಸಿನ ಹಗರಣದಲ್ಲಿ ಹೂಡಿಕೆ ಮಾಡಿದ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ.

ಮೇಲೆ ಹೇಳಲಾದ ಎಲ್ಲವೂ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿರುವ ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ, ನಿಮಗೆ ನೆನಪಿರುವಂತೆ, ನಾವು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ - ಅನಂತವಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿರುವ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿ. ಅದರ ಸದಸ್ಯರ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಹೇಗೆ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುವುದು? ಮತ್ತು ಈ ರೀತಿಯ ಪ್ರಗತಿಯು ಕೆಲವು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಏಕೆ ಹೊಂದಿದೆ? ಅದನ್ನು ಒಟ್ಟಿಗೆ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಮೊದಲಿಗೆ, ನಮ್ಮ ಉದಾಹರಣೆಯಿಂದ ಅನಂತವಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿರುವ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ನೋಡೋಣ:

ಈಗ ಸ್ವಲ್ಪ ಮುಂಚಿತವಾಗಿ ಪಡೆದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ಮೊತ್ತದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ನೋಡೋಣ:
ಅಥವಾ

ನಾವು ಯಾವುದಕ್ಕಾಗಿ ಶ್ರಮಿಸುತ್ತಿದ್ದೇವೆ? ಅದು ಸರಿ, ಇದು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಗ್ರಾಫ್ ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ, ನಲ್ಲಿ, ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಬಹುತೇಕ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವಾಗ ನಾವು ಬಹುತೇಕ ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಈ ನಿಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ, ಅನಂತವಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿರುವ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವಾಗ, ಈ ಬ್ರಾಕೆಟ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸಬಹುದು, ಏಕೆಂದರೆ ಅದು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

- ಸೂತ್ರವು ಅನಂತವಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿರುವ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ನಿಯಮಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ.

ಪ್ರಮುಖ!ನಾವು ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು ಎಂದು ಷರತ್ತು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳಿದರೆ ಮಾತ್ರ ನಾವು ಅನಂತವಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿರುವ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ನಿಯಮಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ ಅನಂತಸದಸ್ಯರ ಸಂಖ್ಯೆ.

ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆ n ಅನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದರೆ, ನಾವು n ಪದಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ, ಅಥವಾ.

ಈಗ ಅಭ್ಯಾಸ ಮಾಡೋಣ.

1. ಮತ್ತು ಜೊತೆಗೆ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ಮೊದಲ ಪದಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
2. ಮತ್ತು ಜೊತೆಗೆ ಅನಂತವಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿರುವ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ನಿಯಮಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ನೀವು ಅತ್ಯಂತ ಜಾಗರೂಕರಾಗಿರುತ್ತೀರಿ ಎಂದು ನಾನು ಭಾವಿಸುತ್ತೇನೆ. ನಮ್ಮ ಉತ್ತರಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಕೆ ಮಾಡೋಣ:

ಈಗ ನೀವು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ಬಗ್ಗೆ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ತಿಳಿದಿದ್ದೀರಿ ಮತ್ತು ಸಿದ್ಧಾಂತದಿಂದ ಅಭ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಚಲಿಸುವ ಸಮಯ. ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಎದುರಾಗುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಸಂಯುಕ್ತ ಆಸಕ್ತಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಾಗಿವೆ. ಇವುಗಳ ಬಗ್ಗೆ ನಾವು ಮಾತನಾಡುತ್ತೇವೆ.

ಸಂಯುಕ್ತ ಬಡ್ಡಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವಲ್ಲಿ ತೊಂದರೆಗಳು.

ಸಂಯುಕ್ತ ಬಡ್ಡಿ ಸೂತ್ರ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಬಗ್ಗೆ ನೀವು ಬಹುಶಃ ಕೇಳಿರಬಹುದು. ಇದರ ಅರ್ಥವೇನೆಂದು ನಿಮಗೆ ಅರ್ಥವಾಗಿದೆಯೇ? ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ, ಏಕೆಂದರೆ ನೀವು ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಸ್ವತಃ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಂಡ ನಂತರ, ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯು ಅದರೊಂದಿಗೆ ಏನು ಮಾಡಬೇಕೆಂದು ನೀವು ತಕ್ಷಣ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವಿರಿ.

ನಾವೆಲ್ಲರೂ ಬ್ಯಾಂಕ್‌ಗೆ ಹೋಗುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಠೇವಣಿಗಳಿಗೆ ವಿಭಿನ್ನ ಷರತ್ತುಗಳಿವೆ ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ: ಇದು ಒಂದು ಪದ, ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಸೇವೆಗಳು ಮತ್ತು ಬಡ್ಡಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ವಿಧಾನಗಳೊಂದಿಗೆ ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ - ಸರಳ ಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣ.

ಜೊತೆಗೆ ಸರಳ ಆಸಕ್ತಿಎಲ್ಲವೂ ಹೆಚ್ಚು ಕಡಿಮೆ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ: ಠೇವಣಿ ಅವಧಿಯ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮೆ ಬಡ್ಡಿಯನ್ನು ಸಂಗ್ರಹಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ, ನಾವು ಒಂದು ವರ್ಷಕ್ಕೆ 100 ರೂಬಲ್ಸ್ಗಳನ್ನು ಠೇವಣಿ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ ಎಂದು ಹೇಳಿದರೆ, ನಂತರ ಅವರು ವರ್ಷದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಮನ್ನಣೆ ಪಡೆಯುತ್ತಾರೆ. ಅಂತೆಯೇ, ಠೇವಣಿಯ ಅಂತ್ಯದ ವೇಳೆಗೆ ನಾವು ರೂಬಲ್ಸ್ಗಳನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಚಕ್ರಬಡ್ಡಿ- ಇದು ಸಂಭವಿಸುವ ಒಂದು ಆಯ್ಕೆಯಾಗಿದೆ ಬಡ್ಡಿ ಬಂಡವಾಳೀಕರಣ, ಅಂದರೆ ಠೇವಣಿ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಅವುಗಳ ಸೇರ್ಪಡೆ ಮತ್ತು ಆದಾಯದ ನಂತರದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವು ಆರಂಭಿಕದಿಂದಲ್ಲ, ಆದರೆ ಸಂಗ್ರಹವಾದ ಠೇವಣಿ ಮೊತ್ತದಿಂದ. ಬಂಡವಾಳೀಕರಣವು ನಿರಂತರವಾಗಿ ಸಂಭವಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಕೆಲವು ಆವರ್ತನದೊಂದಿಗೆ. ನಿಯಮದಂತೆ, ಅಂತಹ ಅವಧಿಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬ್ಯಾಂಕುಗಳು ಒಂದು ತಿಂಗಳು, ತ್ರೈಮಾಸಿಕ ಅಥವಾ ವರ್ಷವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತವೆ.

ನಾವು ವಾರ್ಷಿಕವಾಗಿ ಅದೇ ರೂಬಲ್ಸ್ಗಳನ್ನು ಠೇವಣಿ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ, ಆದರೆ ಠೇವಣಿಯ ಮಾಸಿಕ ಬಂಡವಾಳೀಕರಣದೊಂದಿಗೆ. ನಾವೇನು ​​ಮಾಡುತ್ತಿದ್ದೇವೆ?

ಇಲ್ಲಿ ನೀವು ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಂಡಿದ್ದೀರಾ? ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಹಂತ ಹಂತವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ.

ನಾವು ಬ್ಯಾಂಕ್ಗೆ ರೂಬಲ್ಸ್ಗಳನ್ನು ತಂದಿದ್ದೇವೆ. ತಿಂಗಳ ಅಂತ್ಯದ ವೇಳೆಗೆ, ನಮ್ಮ ಖಾತೆಯಲ್ಲಿ ನಮ್ಮ ರೂಬಲ್ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಮೇಲಿನ ಬಡ್ಡಿಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಮೊತ್ತವನ್ನು ನಾವು ಹೊಂದಿರಬೇಕು, ಅಂದರೆ:

ಒಪ್ಪುತ್ತೀರಾ?

ನಾವು ಅದನ್ನು ಆವರಣದಿಂದ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು ಮತ್ತು ನಂತರ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಒಪ್ಪುತ್ತೇನೆ, ಈ ಸೂತ್ರವು ಈಗಾಗಲೇ ನಾವು ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಬರೆದದ್ದಕ್ಕೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ. ಶೇಕಡಾವಾರು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾತ್ರ ಉಳಿದಿದೆ

ಸಮಸ್ಯೆಯ ಹೇಳಿಕೆಯಲ್ಲಿ ನಾವು ವಾರ್ಷಿಕ ದರಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿರುವಂತೆ, ನಾವು ಗುಣಿಸುವುದಿಲ್ಲ - ನಾವು ಶೇಕಡಾವಾರುಗಳನ್ನು ದಶಮಾಂಶ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಿಗೆ ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅಂದರೆ:

ಸರಿ? ಈಗ ನೀವು ಕೇಳಬಹುದು, ಸಂಖ್ಯೆ ಎಲ್ಲಿಂದ ಬಂತು? ತುಂಬಾ ಸರಳ!
ನಾನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸುತ್ತೇನೆ: ಸಮಸ್ಯೆಯ ಹೇಳಿಕೆಯು ಬಗ್ಗೆ ಹೇಳುತ್ತದೆ ವಾರ್ಷಿಕಸೇರುವ ಬಡ್ಡಿ ಮಾಸಿಕ. ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿರುವಂತೆ, ತಿಂಗಳುಗಳ ವರ್ಷದಲ್ಲಿ, ಅದರ ಪ್ರಕಾರ, ಬ್ಯಾಂಕ್ ನಮಗೆ ತಿಂಗಳಿಗೆ ವಾರ್ಷಿಕ ಬಡ್ಡಿಯ ಒಂದು ಭಾಗವನ್ನು ವಿಧಿಸುತ್ತದೆ:

ಅದನ್ನು ಅರಿತುಕೊಂಡಿರಾ? ಬಡ್ಡಿಯನ್ನು ಪ್ರತಿದಿನ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾನು ಹೇಳಿದರೆ ಸೂತ್ರದ ಈ ಭಾಗವು ಹೇಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಬರೆಯಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ.
ನೀವು ನಿರ್ವಹಿಸಿದ್ದೀರಾ? ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಕೆ ಮಾಡೋಣ:

ಚೆನ್ನಾಗಿದೆ! ನಮ್ಮ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಹಿಂತಿರುಗಿ ನೋಡೋಣ: ಸಂಗ್ರಹವಾದ ಠೇವಣಿ ಮೊತ್ತದ ಮೇಲೆ ಬಡ್ಡಿಯು ಸಂಗ್ರಹವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು, ಎರಡನೇ ತಿಂಗಳಲ್ಲಿ ನಮ್ಮ ಖಾತೆಗೆ ಎಷ್ಟು ಜಮಾ ಆಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಬರೆಯಿರಿ.
ನನಗೆ ಸಿಕ್ಕಿದ್ದು ಇಲ್ಲಿದೆ:

ಅಥವಾ, ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ:

ನೀವು ಈಗಾಗಲೇ ಒಂದು ಮಾದರಿಯನ್ನು ಗಮನಿಸಿದ್ದೀರಿ ಮತ್ತು ಈ ಎಲ್ಲದರಲ್ಲೂ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ನೋಡಿದ್ದೀರಿ ಎಂದು ನಾನು ಭಾವಿಸುತ್ತೇನೆ. ಅದರ ಸದಸ್ಯನು ಸಮಾನವಾಗಿರುವುದನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ ಅಥವಾ ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ತಿಂಗಳ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ನಾವು ಯಾವ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ.
ಮಾಡಿದ? ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ!

ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ನೀವು ಸರಳವಾದ ಬಡ್ಡಿದರದಲ್ಲಿ ಒಂದು ವರ್ಷದವರೆಗೆ ಬ್ಯಾಂಕಿನಲ್ಲಿ ಹಣವನ್ನು ಹಾಕಿದರೆ, ನೀವು ರೂಬಲ್ಸ್ಗಳನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸುತ್ತೀರಿ ಮತ್ತು ಸಂಯುಕ್ತ ಬಡ್ಡಿದರದಲ್ಲಿ ನೀವು ರೂಬಲ್ಸ್ಗಳನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸುತ್ತೀರಿ. ಪ್ರಯೋಜನವು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಇದು ವರ್ಷದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ದೀರ್ಘಕಾಲದವರೆಗೆ ಬಂಡವಾಳೀಕರಣವು ಹೆಚ್ಚು ಲಾಭದಾಯಕವಾಗಿದೆ:

ಚಕ್ರಬಡ್ಡಿಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಇನ್ನೊಂದು ರೀತಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ನೋಡೋಣ. ನೀವು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿದ ನಂತರ, ಅದು ನಿಮಗೆ ಪ್ರಾಥಮಿಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಕಾರ್ಯ:

ಜ್ವೆಜ್ಡಾ ಕಂಪನಿಯು 2000 ರಲ್ಲಿ ಉದ್ಯಮದಲ್ಲಿ ಹೂಡಿಕೆ ಮಾಡಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿತು, ಬಂಡವಾಳವು ಡಾಲರ್ಗಳಲ್ಲಿ. 2001 ರಿಂದ ಪ್ರತಿ ವರ್ಷ, ಹಿಂದಿನ ವರ್ಷದ ಬಂಡವಾಳಕ್ಕೆ ಸಮನಾದ ಲಾಭವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತಿದೆ. ಚಲಾವಣೆಯಿಂದ ಲಾಭವನ್ನು ಹಿಂತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳದಿದ್ದರೆ 2003 ರ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ Zvezda ಕಂಪನಿಯು ಎಷ್ಟು ಲಾಭವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ?

2000 ರಲ್ಲಿ ಜ್ವೆಜ್ಡಾ ಕಂಪನಿಯ ರಾಜಧಾನಿ.
- 2001 ರಲ್ಲಿ ಜ್ವೆಜ್ಡಾ ಕಂಪನಿಯ ಬಂಡವಾಳ.
- 2002 ರಲ್ಲಿ ಜ್ವೆಜ್ಡಾ ಕಂಪನಿಯ ಬಂಡವಾಳ.
- 2003 ರಲ್ಲಿ ಜ್ವೆಜ್ಡಾ ಕಂಪನಿಯ ಬಂಡವಾಳ.

ಅಥವಾ ನಾವು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು:

ನಮ್ಮ ಪ್ರಕರಣಕ್ಕೆ:

2000, 2001, 2002 ಮತ್ತು 2003.

ಕ್ರಮವಾಗಿ:
ರೂಬಲ್ಸ್ಗಳನ್ನು
ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ನಾವು ಶೇಕಡಾವಾರು ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ವಾರ್ಷಿಕವಾಗಿ ನೀಡುವುದರಿಂದ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ವಾರ್ಷಿಕವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುವುದರಿಂದ ನಾವು ಅಥವಾ ಅದರ ಮೂಲಕ ವಿಭಾಗವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ದಯವಿಟ್ಟು ಗಮನಿಸಿ. ಅಂದರೆ, ಚಕ್ರಬಡ್ಡಿಯ ಮೇಲಿನ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಓದುವಾಗ, ಯಾವ ಶೇಕಡಾವಾರು ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಯಾವ ಅವಧಿಯಲ್ಲಿ ಅದನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದರ ಬಗ್ಗೆ ಗಮನ ಕೊಡಿ ಮತ್ತು ನಂತರ ಮಾತ್ರ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಿಗೆ ಮುಂದುವರಿಯಿರಿ.
ಈಗ ನೀವು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ಬಗ್ಗೆ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ತಿಳಿದಿದ್ದೀರಿ.

ತರಬೇತಿ.

1. ಅದು ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ಪದವನ್ನು ಹುಡುಕಿ, ಮತ್ತು
2. ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ಮೊದಲ ಪದಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ ಎಂದು ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ, ಮತ್ತು
3. MDM ಕ್ಯಾಪಿಟಲ್ ಕಂಪನಿಯು 2003 ರಲ್ಲಿ ಉದ್ಯಮದಲ್ಲಿ ಹೂಡಿಕೆ ಮಾಡಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿತು, ಬಂಡವಾಳವು ಡಾಲರ್‌ಗಳಲ್ಲಿದೆ. 2004 ರಿಂದ ಪ್ರತಿ ವರ್ಷ ಹಿಂದಿನ ವರ್ಷದ ಬಂಡವಾಳಕ್ಕೆ ಸಮನಾದ ಲಾಭವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತಿದೆ. MSK ಕ್ಯಾಶ್ ಫ್ಲೋಸ್ ಕಂಪನಿಯು 2005 ರಲ್ಲಿ $10,000 ಮೊತ್ತದಲ್ಲಿ ಉದ್ಯಮದಲ್ಲಿ ಹೂಡಿಕೆ ಮಾಡಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿತು, 2006 ರಲ್ಲಿ ಮೊತ್ತದಲ್ಲಿ ಲಾಭವನ್ನು ಗಳಿಸಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿತು. ಚಲಾವಣೆಯಿಂದ ಲಾಭವನ್ನು ಹಿಂತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳದಿದ್ದರೆ, 2007 ರ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಕಂಪನಿಯ ಬಂಡವಾಳವು ಎಷ್ಟು ಡಾಲರ್‌ಗಳಷ್ಟು ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ?

ಉತ್ತರಗಳು:

1. ಸಮಸ್ಯೆಯ ಹೇಳಿಕೆಯು ಪ್ರಗತಿಯು ಅನಂತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳುವುದಿಲ್ಲವಾದ್ದರಿಂದ ಮತ್ತು ಅದರ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪದಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಅವಶ್ಯಕತೆಯಿದೆ, ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವನ್ನು ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ ಕೈಗೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ:
2. 
   MDM ಕ್ಯಾಪಿಟಲ್ ಕಂಪನಿ:

   2003, 2004, 2005, 2006, 2007.
   - 100% ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, 2 ಬಾರಿ.
   ಕ್ರಮವಾಗಿ:
   ರೂಬಲ್ಸ್ಗಳನ್ನು
   MSK ಕ್ಯಾಶ್ ಫ್ಲೋಸ್ ಕಂಪನಿ:

   2005, 2006, 2007.
   - ಸಮಯದಿಂದ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ.
   ಕ್ರಮವಾಗಿ:
   ರೂಬಲ್ಸ್ಗಳನ್ನು
   ರೂಬಲ್ಸ್ಗಳನ್ನು

ಸಾರಾಂಶ ಮಾಡೋಣ.

1) ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿ ( ) ಒಂದು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದೆ, ಅದರ ಮೊದಲ ಪದವು ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಪದವು ಎರಡನೆಯಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ, ಹಿಂದಿನದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ಛೇದ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

2) ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ನಿಯಮಗಳ ಸಮೀಕರಣವು .

3) ಮತ್ತು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು.

• ಒಂದು ವೇಳೆ, ಪ್ರಗತಿಯ ಎಲ್ಲಾ ನಂತರದ ನಿಯಮಗಳು ಒಂದೇ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ - ಅವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತವೆ;
• ಒಂದು ವೇಳೆ, ನಂತರ ಪ್ರಗತಿಯ ಎಲ್ಲಾ ನಂತರದ ನಿಯಮಗಳು ಪರ್ಯಾಯ ಚಿಹ್ನೆಗಳು;
• ಯಾವಾಗ - ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಅನಂತವಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿದೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

4) , ಜೊತೆಗೆ - ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ಆಸ್ತಿ (ಪಕ್ಕದ ಪದಗಳು)

ಅಥವಾ
, ನಲ್ಲಿ (ಸಮಾನ ದೂರದ ನಿಯಮಗಳು)

ನೀವು ಅದನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡಾಗ, ಅದನ್ನು ಮರೆಯಬೇಡಿ ಎರಡು ಉತ್ತರಗಳು ಇರಬೇಕು.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ,

5) ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ನಿಯಮಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ:
ಅಥವಾ

ಪ್ರಗತಿಯು ಅನಂತವಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿದ್ದರೆ, ನಂತರ:
ಅಥವಾ

ಪ್ರಮುಖ!ನಾವು ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪದಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು ಎಂದು ಷರತ್ತು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳಿದರೆ ಮಾತ್ರ ನಾವು ಅನಂತವಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುವ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ನಿಯಮಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ.

6) ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ನೇ ಅವಧಿಯ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಂಯುಕ್ತ ಬಡ್ಡಿಯ ಮೇಲಿನ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸಹ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ, ಹಣವನ್ನು ಚಲಾವಣೆಯಿಂದ ಹಿಂತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗಿಲ್ಲ:

ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ಪ್ರೋಗ್ರೆಷನ್. ಮುಖ್ಯ ವಿಷಯಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ

ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿ( ) ಒಂದು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದೆ, ಅದರ ಮೊದಲ ಪದವು ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಪದವು ಎರಡನೆಯಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ, ಹಿಂದಿನದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ಛೇದ.

ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ಛೇದಮತ್ತು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು.

• ಒಂದು ವೇಳೆ, ಪ್ರಗತಿಯ ಎಲ್ಲಾ ನಂತರದ ನಿಯಮಗಳು ಒಂದೇ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ - ಅವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತವೆ;
• ಒಂದು ವೇಳೆ, ಪ್ರಗತಿಯ ಎಲ್ಲಾ ನಂತರದ ಸದಸ್ಯರು ಪರ್ಯಾಯ ಚಿಹ್ನೆಗಳು;
• ಯಾವಾಗ - ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಅನಂತವಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿದೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ನಿಯಮಗಳ ಸಮೀಕರಣ - .

ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ನಿಯಮಗಳ ಮೊತ್ತಸೂತ್ರದಿಂದ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗಿದೆ:
ಅಥವಾ