ಅನುಕ್ರಮಕ್ಕೆ ಸೀಮಿತ ಮಿತಿಯ ಅಸ್ತಿತ್ವದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲು ನಾವು ಇಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸುತ್ತೇವೆ, 
.
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 3.5.
ಅನುಕ್ರಮ 
,
, ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಮೂಲಭೂತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ 
ಅಂತಹ ಸಂಖ್ಯೆ ಇದೆ 
ಅದು ಎಲ್ಲರಿಗೂ 
ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಹಿಡಿದಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ 
.
ಮೂಲಭೂತ ಅನುಕ್ರಮದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 3.6.
ಅನುಕ್ರಮ 
ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದರೆ ಮೂಲಭೂತವಾಗಿದೆ 
ಅಂತಹ ಸಂಖ್ಯೆ ಇದೆ 
ಅದು ಎಲ್ಲರಿಗೂ 
ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ 
ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಹಿಡಿದಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ 
.
ಪ್ರಮೇಯ 3.13 (ಕೌಚಿ ಮಾನದಂಡ). ಒಂದು ಅನುಕ್ರಮವು ಒಮ್ಮುಖವಾಗಲು, ಅದು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿರುವುದು ಅವಶ್ಯಕ ಮತ್ತು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ.
ಪುರಾವೆ. ಅವಶ್ಯಕತೆ.
ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಬಿಡಿ 
,
, ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ
. ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡೋಣ 
. ನಂತರ ಅಂತಹ ಸಂಖ್ಯೆ ಇದೆ 
ಅದು ಎಲ್ಲರಿಗೂ 
ಅಸಮಾನತೆ ಹೊಂದಿದೆ: 
.
ಅವಕಾಶ 
ಮತ್ತು 
, ನಂತರ
=
,
ಅಂದರೆ ಅನುಕ್ರಮವು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿದೆ.
ಸಮರ್ಪಕತೆ.
ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಬಿಡಿ 
ಮೂಲಭೂತವಾಗಿದೆ. ಅದು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ. ಅಂತಹ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಲ್ಲಿ ತೊಂದರೆ ಇರುತ್ತದೆ ಎ, ಇದು ಅದರ ಮಿತಿಯಾಗಿದೆ.
ವಾದವನ್ನು ಹಲವಾರು ಹಂತಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸೋಣ.
ಎ) ಅನುಕ್ರಮದ ಮೂಲಭೂತ ಸ್ವಭಾವವು ಅದರ ಮಿತಿಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ. ಪರಿಗಣಿಸೋಣ ε =1, ನಂತರ ಅಂತಹ ಸಂಖ್ಯೆ ಇದೆ ಎನ್ 1 ಎಂದು ಎಲ್ಲರ ಮುಂದೆ
ಎನ್,
ಮೀ
≥
ಎನ್ 1
ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಹಿಡಿದಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ 
. ಎಲ್ಲರ ಮುಂದೆ ಎನ್≥
ಎನ್ 1
ನ್ಯಾಯೋಚಿತ:
.
ಲೆಟ್, ಎ, ನಂತರ ಪ್ರತಿ ನೈಸರ್ಗಿಕ 
ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ 
, ಅದು 
ಸೀಮಿತ.
ಬಿ) ನೈಸರ್ಗಿಕ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡೋಣ ಎನ್.
ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ 
- ಆಯ್ದ ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿಲ್ಲದ ಅನುಕ್ರಮ ಸದಸ್ಯರ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಒಂದು ಸೆಟ್ ಎನ್. ಎ) ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ಏನು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ X 1
ಸೀಮಿತ. ಮತ್ತು ಸ್ಪಷ್ಟ ಹೂಡಿಕೆಗಳಿಂದ 
ಈ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸೆಟ್‌ಗಳು ಸೀಮಿತವಾಗಿವೆ ಎಂದು ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ.
ಸಿ) ಎರಡು ಹೊಸ ಅನುಕ್ರಮಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಈ ನಿಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ, ಪ್ರತಿ ಸೆಟ್ಗೆ 
ಸೂಚಿಸೋಣ: 
,
. ಬಿ) ನಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್‌ಗಳಿಂದ ಅದು ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ 
ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ ( 
), ಮತ್ತು ಅನುಕ್ರಮ 
ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ ( 
) ಅದಕ್ಕೇ 
, ಅಂದರೆ, ಅನುಕ್ರಮಗಳು ಏಕತಾನತೆಯಿಂದ ಕೂಡಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಸೀಮಿತವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತವೆ. ಎಲ್ಲಾ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಎಂದು ಸಹ ಗಮನಿಸಿ ಎನ್ಅಸಮಾನತೆಗಳು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿವೆ 
.
ಡಿ) ಈ ಎರಡು ಅನುಕ್ರಮಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ: 
. ನಾವು ಮೂಲಭೂತತೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಬಳಸೋಣ. ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸಂಖ್ಯೆಗಾಗಿ 
ಅಂತಹ ಸಂಖ್ಯೆ ಇದೆ 
ಅದು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಕೆ
≥
ಎನ್ ε
ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ 
. ಈ ಅಸಮಾನತೆಗಳು ಅದನ್ನು ತೀರ್ಮಾನಿಸಲು ನಮಗೆ ಅವಕಾಶ ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತವೆ
ನಲ್ಲಿ ಎನ್≥
ಎನ್ ε
. ಆದ್ದರಿಂದ, 
.
ಇ) ಭಾಗ ಸಿ) ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಏನು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ 
ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ, ಅವಕಾಶ 
. ಏಕೆಂದರೆ 
ಮತ್ತು, ನಂತರ ಅಸಮಾನತೆಗಳಿಂದ 
ಮತ್ತು ಸುಮಾರು ಇಬ್ಬರು ಪೊಲೀಸರಿಂದ ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ 
. ಸಮರ್ಪಕತೆ ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ. ಪ್ರಮೇಯವು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.
3.9 ಅನುಕ್ರಮಗಳು. ಭಾಗಶಃ ಮಿತಿಗಳು
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 3.7.
ಅವಕಾಶ 
,
, ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅನುಕ್ರಮ ಮತ್ತು ಅವಕಾಶ 
,
ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದೆ. ನಂತರ ರೂಪದ ಅನುಕ್ರಮ 
,
, ಅನುಕ್ರಮದ ಅನುಕ್ರಮ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ 
.
ಒಂದು ಅನುಕ್ರಮವು ಯಾವುದೇ ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಇದು ಕೆಲವು ಅನುಕ್ರಮಕ್ಕೆ ಮಿತಿಯ ಅಸ್ತಿತ್ವದ ಸಾಧ್ಯತೆಯನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸುವುದಿಲ್ಲ.
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 3.8. ಅನುಕ್ರಮದ ಭಾಗಶಃ ಮಿತಿಯು ಕೆಲವು ಒಮ್ಮುಖ ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿಯಾಗಿದೆ.
ಉದಾಹರಣೆ 3.18.
ಅವಕಾಶ 
. ಈ ಅನುಕ್ರಮವು ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ವಿಭಾಗ 3.2 ನೋಡಿ), ಆದರೆ ಅದರ ಅನುಕ್ರಮಗಳು 
ಮತ್ತು 
ಕ್ರಮವಾಗಿ 1 ಮತ್ತು -1 ಗೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವುದು. ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಅನುಕ್ರಮದ ಭಾಗಶಃ ಮಿತಿಗಳಾಗಿವೆ 
.
ಪ್ರಮೇಯ 3.14.
ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಬಿಡಿ 
,
, ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ ಎ.
ನಂತರ ಅದರ ಯಾವುದೇ ಅನುಕ್ರಮವು ಕೂಡ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ ಎ.
ಪುರಾವೆ.ಅವಕಾಶ 
,
, - ಅನುಕ್ರಮದ ಅನುಕ್ರಮ 
,
. ಏಕೆಂದರೆ 
ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದೆ 
ಎಲ್ಲರ ಮುಂದೆ 
(ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಮೂಲಕ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವುದು ಸುಲಭ). ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡೋಣ 
. ಒಮ್ಮುಖದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ 
ಗೆ ಎಎಲ್ಲರಿಗೂ 
ಅಸಮಾನತೆ ತೃಪ್ತಿಯಾಗುತ್ತದೆ 
.ಪ್ರಮೇಯವು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.
ಸಮಸ್ಯೆ 3.14 ಒಂದು ಅನುಕ್ರಮವು ಒಮ್ಮುಖವಾಗಲು ಅದರ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅನುಕ್ರಮವು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವುದು ಅವಶ್ಯಕ ಮತ್ತು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ.
ಸಮಸ್ಯೆ 3.15.
ಅದನ್ನು ಷರತ್ತುಗಳಿಂದ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ 
ಎ
ಮತ್ತು
ಎ
ಅದನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ 
ಎ.
ಸಮಸ್ಯೆ 3.16. ನಿಖರವಾಗಿ ಹತ್ತು ಭಾಗಶಃ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅನುಕ್ರಮದ ಉದಾಹರಣೆ ನೀಡಿ.
ಸಮಸ್ಯೆ 3.17. ಪ್ರತಿ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಭಾಗಶಃ ಮಿತಿಯಾಗಿರುವ ಅನುಕ್ರಮದ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೀಡಿ.
ಸೀಮಿತ ಅನುಕ್ರಮದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಭಾಗಶಃ ಮಿತಿಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವದ ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.
ಪ್ರಮೇಯ 3.15 (ಬೊಲ್ಜಾನೊ-ವೀರ್‌ಸ್ಟ್ರಾಸ್). ಪ್ರತಿ ಪರಿಮಿತಿ ಅನುಕ್ರಮವು ಒಮ್ಮುಖ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.
ಪುರಾವೆ.
ಅನುಕ್ರಮದ ಸೀಮಿತ ಸ್ವಭಾವದಿಂದಾಗಿ, ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಬಹುದು 
ಅದು ಯಾರಿಗಾದರೂ 
ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ 
. ವಿಭಾಗವನ್ನು ವಿಭಜಿಸಿ 
ಅರ್ಧದಲ್ಲಿ. ನಂತರ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಅರ್ಧವು ಅನುಕ್ರಮದ ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಅನುಕ್ರಮವು ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪದಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕೇವಲ ಎರಡು ಭಾಗಗಳಿವೆ ಎಂಬ ಅಂಶದಿಂದ ಇದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ನಾವು ಈ ಅರ್ಧವನ್ನು ಆರಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ 
, ಇವೆರಡೂ ಹಾಗೆ ಇದ್ದರೆ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದಾದರೂ.
ಮುಂದೆ, ಒಂದು ವಿಭಾಗ 
ನಾವು ಮತ್ತೆ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಭಾಗಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಅನುಕ್ರಮದ ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅರ್ಧವನ್ನು ಆರಿಸೋಣ. ನಾವು ಅದನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ 
. ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಮುಂದುವರೆಸುತ್ತಾ,
-ನೇ ಹಂತವು ನಾವು ವಿಭಾಗವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ 
, ಇದು ಈ ಅನುಕ್ರಮದ ಅನಂತ ಅನೇಕ ಪದಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ನಿರ್ಮಿಸಿದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ವಿಭಾಗಗಳು ಹಿಂದಿನದರಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ. ವಿಭಾಗದ ಉದ್ದ 
ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ 
, ಅಂದರೆ, ಹೆಚ್ಚಾಗುವುದರೊಂದಿಗೆ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ 
. ನೆಸ್ಟೆಡ್ ವಿಭಾಗಗಳ ಮೇಲೆ ಕ್ಯಾಂಟರ್‌ನ ಲೆಮ್ಮಾವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಅನುಕ್ರಮಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ 
ಮತ್ತು 
ಸಾಮಾನ್ಯ ಮಿತಿಗೆ ಒಲವು, ನಾವು ಅದನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ ಎ.
ಈಗ ನಾವು ಒಂದು ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸೋಣ ಎಅನುಕ್ರಮ. ಅಂತೆ 
ಅನುಕ್ರಮದ ಯಾವುದೇ ಸದಸ್ಯರನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿ 
ಒಳಗೊಂಡಿರುವ 
. ಅಂತೆ 
ಅನುಕ್ರಮದ ಅಂತಹ ಸದಸ್ಯರನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿ 
, ಇದು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ 
ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆ 
ಯಾವುದು ಹೆಚ್ಚು 
(ಇಲ್ಲಿ ವಿಭಾಗವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ 
ಅನುಕ್ರಮದ ಅನಂತ ಅನೇಕ ಪದಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ). ಇದೇ ರೀತಿ ವಾದಿಸುತ್ತಾ, ಮೇಲೆ
-ನೇ ಹಂತವಾಗಿ 
ಅನುಕ್ರಮದ ಅಂತಹ ಸದಸ್ಯರನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿ 
, ಇದು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ 
ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆ 
ಯಾವುದು ಹೆಚ್ಚು 
. ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ವಿಭಾಗವು ಅನುಕ್ರಮದ ಅನಂತ ಅನೇಕ ಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ, ಇದು ಅಂತಹ ಆಯ್ಕೆಯ ಸಾಧ್ಯತೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ. ಏಕೆಂದರೆ 
, ಎ 
, ನಂತರ ಲೆಮ್ಮಾದಿಂದ ಸುಮಾರು ಇಬ್ಬರು ಪೊಲೀಸರು 
.ಪ್ರಮೇಯವು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.
ನಾವು ಅನುಕ್ರಮದ ಎಲ್ಲಾ ಭಾಗಶಃ ಮಿತಿಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ 
. ಸಾಬೀತಾದ ಬೊಲ್ಜಾನೊ-ವೀರ್‌ಸ್ಟ್ರಾಸ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಮರುರೂಪಿಸಬಹುದು:
ಪ್ರತಿ ಪರಿಮಿತಿ ಅನುಕ್ರಮವು ಒಂದು ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ 
ಭಾಗಶಃ ಮಿತಿಗಳು ಖಾಲಿಯಾಗಿಲ್ಲ.
ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಅನುಕ್ರಮದ ಪರಿಮಿತಿಯಿಂದ, ಅಸಮಾನತೆಗಳಲ್ಲಿನ ಮಿತಿಗೆ ಅಂಗೀಕಾರದ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ, ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಮಿತಿಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಗಮನಿಸುತ್ತೇವೆ 
. ಆದ್ದರಿಂದ ಅನೇಕ ಇವೆ 
ನಿಖರವಾದ ಮೇಲಿನ ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನ ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 3.9.
ಅವಕಾಶ 
,
, ಒಂದು ಬೌಂಡೆಡ್ ಅನುಕ್ರಮ, ಮತ್ತು ಅವಕಾಶ 
ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಭಾಗಶಃ ಮಿತಿಗಳ ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ. ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು 
,
ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಕೆಳಗಿನ ಮತ್ತು ಮೇಲಿನ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ 
.
ಇದು ನೇರವಾಗಿ ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಅನುಸರಿಸುವುದಿಲ್ಲ 
,
ಅನೇಕರಿಗೆ ಸೇರಿದೆ 
, ಆದರೆ ಅದೇನೇ ಇದ್ದರೂ ನ್ಯಾಯೋಚಿತ
ಪ್ರಮೇಯ 3.16. ಸೀಮಿತ ಅನುಕ್ರಮದ ಮೇಲಿನ ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನ ಮಿತಿಗಳು ಅದರ ಭಾಗಶಃ ಮಿತಿಗಳಾಗಿವೆ.
ಪುರಾವೆ.ಅಂತಹ ಅನುಕ್ರಮವಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸೋಣ 
, ಏನು 
. ಏಕೆಂದರೆ 
<
, ನಂತರ ನಿಖರವಾದ ಮೇಲಿನ ಬೌಂಡ್ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಇರುತ್ತದೆ 
ನಿಂದ 
,ಯಾವುದಕ್ಕಾಗಿ 
. ಮುಂದೆ, ಇದೆ 
, ಯಾವುದಕ್ಕಾಗಿ 
, ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಯಾರಿಗಾದರೂ 
ಇರುತ್ತದೆ 
, ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುವುದು:
.
ಪ್ರತಿ ರಿಂದ 
ಇದು ಭಾಗಶಃ ಮಿತಿಯಾಗಿದೆ, ನಂತರ ಯಾವುದೇ ನೆರೆಹೊರೆ 
ಅನಂತವಾದ ಅನೇಕ ಅನುಕ್ರಮ ಪದಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ 
. ಆದ್ದರಿಂದ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆ ಇದೆ 
, ಯಾವುದಕ್ಕಾಗಿ 
; ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆ ಇದೆ 
, ಯಾವುದಕ್ಕಾಗಿ
ಮತ್ತು 
.
ತರ್ಕವನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸುವುದು, ಎಲ್ಲರಿಗೂ 
ಪರಿಗಣಿಸಿ 
, ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುವುದು
ಮತ್ತು 
.
ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ಮಿಸಿದ ನಂತರದ 
ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ
ಮತ್ತು ಲೆಮ್ಮಾದಿಂದ ಸುಮಾರು ಇಬ್ಬರು ಪೊಲೀಸರು ಒಲವು ತೋರುತ್ತಾರೆ 
.
ಅಂತೆಯೇ, ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವ ಒಂದು ಉಪಕ್ರಮವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ 
.ಪ್ರಮೇಯವು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.
ಸಾಬೀತಾದ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಎಲ್ಲಾ ಆಂಶಿಕ ಮಿತಿಗಳ ಸೆಟ್ ಮಿತಿಮೀರಿದ ಮಧ್ಯಂತರವಾಗಿರುವ ಯಾವುದೇ ಅನುಕ್ರಮವಿಲ್ಲ ಎಂದು ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ.
ನಾವು ಅನುಕ್ರಮದ ಮೇಲಿನ ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ 
ಮತ್ತು 
ಕ್ರಮವಾಗಿ. ಈ ಪ್ರಮಾಣಗಳ ವಿಶಿಷ್ಟ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿ, ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ.
ಪ್ರಮೇಯ 3.17
.
ಅವಕಾಶ 
- ಸೀಮಿತ ಅನುಕ್ರಮ, 
;
. ನಂತರ ಯಾವುದೇ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ 
ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಸಮಾನತೆಗಳು 
ಮತ್ತು 
ಅನುಕ್ರಮದ ನಿಯಮಗಳ ಸೀಮಿತ ಗುಂಪನ್ನು ಮಾತ್ರ ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ.
ಪುರಾವೆ.
ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ಊಹಿಸೋಣ. ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಬಿಡಿ 
ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ಅನುಕ್ರಮದ ಸದಸ್ಯರು 
, ಅಂತ್ಯವಿಲ್ಲದೆ. ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಆರೋಹಣ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಜೋಡಿಸೋಣ: 
ನಂತರ ಅನುಕ್ರಮ 
ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ 
. ಬೊಲ್ಜಾನೊ-ವೀರ್‌ಸ್ಟ್ರಾಸ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, ಒಬ್ಬರು ಅದರಿಂದ ಒಮ್ಮುಖ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಬಹುದು, ಮಿತಿ 
ಇದು ಹೆಚ್ಚು 
. ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ 
, ಮತ್ತು ಇದು ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿದೆ 
- ಮೇಲಿನ ಅಂಚು. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ವಿರೋಧಾಭಾಸವು ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ.
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು (x n) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮೂಲಭೂತ (Cauchy ಅನುಕ್ರಮ), ಯಾವುದೇ e > 0 ಗೆ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆ ಇದ್ದರೆ ಎನ್ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಎನ್, ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವುದು ಎನ್>=ಎನ್, ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಪ(p=1,2,3...) ಅಸಮಾನತೆ ನಿಜ:
|x n + p – x n |< e.
ಪ್ರಮೇಯ. (ಕೌಚಿ ಮಾನದಂಡ) . ಅನುಕ್ರಮ (x n) ಒಮ್ಮುಖವಾಗಲು, ಅದು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿರುವುದು ಅವಶ್ಯಕ ಮತ್ತು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ.
ಪುರಾವೆ.
1) ಅವಶ್ಯಕತೆ. x n à ಲೆಟ್ ಎ. ನಾವು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಇ > 0 ಅನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ. ಅನುಕ್ರಮ (x n ) ಮಿತಿಗೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವುದರಿಂದ ಎ, ನಂತರ e/2 ಗೆ ಸಮನಾದ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆ ಇರುತ್ತದೆ ಎನ್ಎಲ್ಲರ ಮುಂದೆ ಅಂತಹ ಎನ್ >= ಎನ್:
|x n – ಎ|< ಇ/2. (1)
ಒಂದು ವೇಳೆ ಪಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ, ನಂತರ ಎಲ್ಲಾ n>=N ಇದು ಹೀಗಿರುತ್ತದೆ:
|x n + p – ಎ| < e/2. (2)
ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತದ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಅವುಗಳ ಮಾಡ್ಯುಲಿಯ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಮೀರುವುದಿಲ್ಲವಾದ್ದರಿಂದ, ಅಸಮಾನತೆಗಳಿಂದ (1) ಮತ್ತು (2) ನಾವು ಎಲ್ಲಾ n >= N ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಪನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
|x n + p – x n | = | + |<= |x n + p – ಎ| + |x n – ಎ|< e, Þ |x n + p – x n | < ಇ - ಇದರರ್ಥ ಇದು ಮೂಲಭೂತ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದೆ.
2) ಸಮರ್ಪಕತೆ. ಈಗ (x n ) ಒಂದು ಮೂಲಭೂತ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿರಲಿ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, e =1 ಗಾಗಿ n 1 ಇದೆ ಅಂದರೆ n > n 1 ಮತ್ತು m > n 1 |x n - x m |< 1.
ಫಿಕ್ಸಿಂಗ್ m o > n 1 ನಾವು |x n - x ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಮೀ o |< 1 и Þ |x n | < 1+ |xಮೀ o |
Þ |x n |<= M, где M=max{|x1|,…|xn1|,1+|xಮೀ o |) ಎಲ್ಲಾ nÎN ಗೆ, ಅಂದರೆ. (x n) - ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ.
ಇದರರ್ಥ ಬೊಲ್ಜಾನೊ-ವೀರ್‌ಸ್ಟ್ರಾಸ್ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ಒಮ್ಮುಖ ಅನುಕ್ರಮವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ( x nಕೆ), x nಕೆ -> ಎ. (x n ) ಗೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸೋಣ ಎ.
ನೀಡಿದ ಇ > 0 ಗೆ:
"ಇ > 0 $K(e)O ಎನ್:"k>K(e) Þ
|x nಕೆ - ಎ| < e;
ಜೊತೆಗೆ, (x n) ನ ಮೂಲಭೂತ ಸ್ವಭಾವದಿಂದಾಗಿ, $n e = n(e): n k ,n > n e
Þ |x n – x ಎನ್ಕೆ |< e/2
ಹಾಕೋಣ ಎನ್ e = max(n e , n k (e) ) ಮತ್ತು n ko > ಅನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸಿ ಎನ್ಇ. ನಂತರ n > ಗೆ ಎನ್ಇ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:
|x n – a|<= |x n – xಎನ್ಕೊ | + |x ಎನ್ ko – a|< e. А это и означает, что ಲಿಂ x n = ಒಂದು #
15. ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಮಿತಿ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಸಮಾನತೆಯ ಎರಡು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು.
Def.1. (ಕೌಚಿ ಪ್ರಕಾರ). y=f(x) ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನೀಡೋಣ: X à Y ಮತ್ತು ಒಂದು ಬಿಂದು ಎಇದು X ಸೆಟ್ಗೆ ಮಿತಿಯಾಗಿದೆ. ಸಂಖ್ಯೆ ಎಎಂದು ಕರೆದರು ಕಾರ್ಯದ ಮಿತಿ y=f(x) ಹಂತದಲ್ಲಿಎ , ಯಾವುದೇ e > 0 ಗೆ d > 0 ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ, ಎಲ್ಲಾ xÎX ಗಾಗಿ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು 0 ಅನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ< |x-ಎ| < d, выполняется |f(x) – ಎ| < e.
Def.2. (ಹೈನ್ ಪ್ರಕಾರ). ಸಂಖ್ಯೆ ಎಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ y=f(x) ಕ್ರಿಯೆಯ ಮಿತಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಎ, ಯಾವುದೇ ಅನುಕ್ರಮಕ್ಕೆ (x n )Ì X, x n ¹a "nОN, ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತಿದ್ದರೆ ಎ, ಕಾರ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಅನುಕ್ರಮ (f(x n)) ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ ಎ.
ಪ್ರಮೇಯ. ಕೌಚಿ ಪ್ರಕಾರ ಮತ್ತು ಹೈನ್ ಪ್ರಕಾರ ಕ್ರಿಯೆಯ ಮಿತಿಯ ನಿರ್ಣಯವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಪುರಾವೆ.ಕೌಶಿಯ ಪ್ರಕಾರ A=lim f(x) y=f(x) ಕ್ರಿಯೆಯ ಮಿತಿಯಾಗಿರಲಿ
ಮತ್ತು (x n )Ì X, x n ¹a "nОN – ಅನುಕ್ರಮವು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವುದು ಎ, x n à ಎ.
e > 0 ನೀಡಿದರೆ, ನಾವು 0 ನಲ್ಲಿ d > 0 ಅನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ< |x-ಎ| < d, xÎX имеем |f(x) – ಎ| < e,
ಮತ್ತು ಈ d ನಿಂದ ನಾವು n d =n(d) ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಅಂದರೆ n>n d ಗಾಗಿ ನಾವು 0 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ< |x n -ಎ| < d.
ಆದರೆ ನಂತರ |f(x n) – ಎ| < e, т.е. доказано, что f(x n)à ಎ.
ಈಗ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಬಿಡಿ ಎಹೈನ್ ಪ್ರಕಾರ ಕ್ರಿಯೆಯ ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಆದರೆ ಎಕೌಶಿಯ ಮಿತಿಯಲ್ಲ. ನಂತರ e o > 0 ಇದೆ ಅಂದರೆ ಎಲ್ಲಾ nОN ಗೆ x n ОX ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ,
0 < |x n -a| < 1/n, для которых |f(x n)-A| >= ಇ ಒ. ಇದರರ್ಥ (x n )Ì X, x n ¹a "nОN, x n à ಅನುಕ್ರಮ ಕಂಡುಬಂದಿದೆ ಎಅಂದರೆ
ಅನುಕ್ರಮ (f(x n)) ಗೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎ. #
ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಯೆಯ ಮಿತಿಯ ವಿಶಿಷ್ಟತೆ. ಸೀಮಿತ ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕಾರ್ಯದ ಸ್ಥಳೀಯ ಮಿತಿ. ಶೂನ್ಯ ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕಾರ್ಯದ ಚಿಹ್ನೆಯ ಸ್ಥಳೀಯ ಸಂರಕ್ಷಣೆ.
ಪ್ರಮೇಯ 1. ಒಂದು ವೇಳೆ $ ಲಿಂ f(x) = b О ಆರ್ x à a ಗೆ, ನಂತರ ಈ ಮಿತಿ ಒಂದೇ ಒಂದು.
ಪುರಾವೆ: ಹಾಗಾಗದಿರಲಿ.
ಲಿಂ f(x) = b 1 ಮತ್ತು ಲಿಂ x à a ಗೆ f(x) = b 2. ಬಿ 1 ¹ ಬಿ 2
"(x n )О D(f), x n à a, x n ¹ a Þ f(x n) à b 1 (ಹೈನ್ ಪ್ರಕಾರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ)
"(x n )О D(f), x n à a, x n ¹ a Þ f(x n) à b 2 (ಹೈನ್ ಪ್ರಕಾರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ)
ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅನುಕ್ರಮಕ್ಕಾಗಿ (x n )М D(f). x n ’ à a, x n ¹ a Þ
Þ f(x n ’) à b 1 ಮತ್ತು f(x n ’)à b 2. ನಂತರ, ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿಯ ವಿಶಿಷ್ಟತೆಯ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ, b 1 =b 2. #
ಡೆಫ್. 0 ಕ್ಕೆ d > 0 ಮತ್ತು M > 0 ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿದ್ದರೆ x à a ಗೆ ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ f(x) ಅನ್ನು ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ.< |x-a| < d, xÎX имеем |f(x)|<=M.
ಪ್ರಮೇಯ 1 (ಸ್ಥಳೀಯ ಮಿತಿಯ ಬಗ್ಗೆ). ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ f(x) ಕಾರ್ಯವು ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅದು ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ x à a ಗೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಪುರಾವೆ: x à a ಗೆ lim f(x) = A ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, e=1 ಗಾಗಿ d>0 ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಅಂದರೆ 0< |x-a| < d, xÎX, имеем |f(x)-A| < 1, а это значит,
|f(x)|<|A|+1=M. #
ಪ್ರಮೇಯ 2 (ಸ್ಥಳೀಯ ಚಿಹ್ನೆ ಸಂರಕ್ಷಣೆಯ ಮೇಲೆ). ಒಂದು ವೇಳೆ ಲಿಂ f(x) = x à a ಮತ್ತು A¹0 ಗಾಗಿ A, ನಂತರ d>0 ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ
0 < |x-a| < d, xÎX и A>0 ನಾವು f(x)>A/2 ಮತ್ತು 0 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ< |x-a| < d, xÎX и A<0 имеем
f(x)< a/2, т.е. (0 < |x-a| < d)L(xÎX) Þ |f(x)| >|ಎ|/2.
ಪುರಾವೆ:ಇ=|ಎ|/2 ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ. ಅದಕ್ಕಾಗಿ d>0 ಇದೆ
0 < |x-a| < d, xÎX имеем
ಎ-|ಎ|/2 A>0 ಗಾಗಿ, ಎಡ ಅಸಮಾನತೆಯಿಂದ ನಾವು f(x) > A/2 ಮತ್ತು A ಗಾಗಿ ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ<0 из правого неравенства получаем f(x) < A/2. # ಕೌಚಿ ಮಾನದಂಡ 1) ಸಂಖ್ಯಾ ಅನುಕ್ರಮದ K.K. ಒಮ್ಮುಖ: ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಲುವಾಗಿ (ನೈಜ ಅಥವಾ ಸಂಕೀರ್ಣ) xn,n=1, 2, . . ., ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿತ್ತು, ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಅಗತ್ಯವಿರುವಂತಹ N ಸಂಖ್ಯೆ ಯಾರಿಗಾದರೂ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರಲು ಇದು ಅವಶ್ಯಕ ಮತ್ತು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅನುಕ್ರಮದ ಒಮ್ಮುಖದ ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೆಟ್ರಿಕ್‌ನ ಬಿಂದುಗಳ ಒಮ್ಮುಖದ ಮಾನದಂಡವಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಜಾಗ. ಅಂಕಗಳ ಅನುಕ್ರಮ (x ಪು)ಪೂರ್ಣ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಜಾಗವು ಯಾವುದಾದರೂ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ ಎನ್,ಅಸಮಾನತೆ ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಇರುತ್ತದೆ 2) n ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳ ಕಾರ್ಯಗಳ K.K. ಅಸ್ತಿತ್ವದ ಮಿತಿಯನ್ನು Xre-ಆಯಾಮದ ಜಾಗದ ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ f ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸೋಣ Rnಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯಾ (ನೈಜ ಅಥವಾ ಸಂಕೀರ್ಣ) ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಎ - X ಸೆಟ್‌ನ ಮಿತಿ ಬಿಂದು (ಅಥವಾ ಚಿಹ್ನೆ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ X ಅಪರಿಮಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ). ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಅಂತಹ ಇದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಸೀಮಿತ ಮಿತಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ U=U(ಎ) .
ಅಂಕಗಳು ಎ,ಯಾವುದೇ ಮತ್ತು ಅಸಮಾನತೆ ಹೊಂದಿದೆ ಈ ಮಾನದಂಡವು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್‌ಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸುತ್ತದೆ: ಅವಕಾಶ X-ಸ್ಥಳಶಾಸ್ತ್ರೀಯ , ಎ -ಎಣಿಕೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅದರ ಮಿತಿ ಬಿಂದು, Y-ಪೂರ್ಣ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಮತ್ತು f - Xв ವೈ.ಒಂದು ಮಿತಿ ಇರುವುದಕ್ಕಾಗಿ 3) ಕಾರ್ಯಗಳ ಕುಟುಂಬದ ಏಕರೂಪದ ಒಮ್ಮುಖಕ್ಕಾಗಿ Q. ಅವಕಾಶ X-ಕೆಲವು ಸೆಟ್, Y-ಸ್ಥಳಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಮಿತಿ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಎಣಿಕೆಯ ಮೊದಲ ಮೂಲತತ್ವವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಸ್ಥಳ, R ಒಂದು ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಗಿದೆ. ಸ್ಪೇಸ್, f( x, y).
- ಸೆಟ್‌ನ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಫ್ಯಾಮಿಲಿ ಆಫ್ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ಸ್ f( x, y),
ಸ್ಥಿರವಾದ ಸೆಟ್ X ಅನ್ನು H ಗೆ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಮಾಡುವುದು, ಅಂತಹ ನೆರೆಹೊರೆಯು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ X ನಲ್ಲಿ ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗಿರುತ್ತದೆ U=U(y 0).ಅಂಕಗಳು y 0ಅದು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ವೇಳೆ Y-ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್ ಮತ್ತು 4) ಕೆ. ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖಕ್ಕೆ: ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವುದು ಮತ್ತು ಯಾವುದಾದರೂ ಅಂತಹ ಸಂಖ್ಯೆ ಇದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಎನ್,ಯಾವುದೇ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿಗೆ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಬಹು ಸರಣಿಗಳಿಗೆ, ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಒಮ್ಮುಖ ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೌಚಿ-ಸ್ಟೋಲ್ಜ್ ಮಾನದಂಡ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಲುವಾಗಿ ಆಯತಾಕಾರದ ಭಾಗಶಃ ಮೊತ್ತಗಳಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗಿದೆ ಯಾರಾದರೂ ಇಂತಹದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕ ಮತ್ತು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ ಎನ್,ಅದು ಎಲ್ಲರೊಂದಿಗೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲರೊಂದಿಗೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ಈ ಮಾನದಂಡಗಳನ್ನು ಬನಾಚ್ ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿ ಸರಣಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ (ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯದ ಬದಲಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಅಂಶಗಳ ರೂಢಿಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ). 5) ಸರಣಿಯ ಏಕರೂಪದ ಒಮ್ಮುಖಕ್ಕಾಗಿ Q. ಸರಣಿಯ ಸಲುವಾಗಿ ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಯಿತು X,ಅಂತಹ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುವುದು ಅವಶ್ಯಕ ಮತ್ತು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ ಎನ್,ಅದು ಎಲ್ಲದಕ್ಕೂ ಈ ಮಾನದಂಡವು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಸರಣಿಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ, ಬನಾಚ್ ಸ್ಪೇಸ್‌ಗಳಿಗೆ ಸೇರಿರುವ ಪದಗಳ ಸರಣಿಗಳಿಗೂ ಸಹ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಯಾವಾಗ ಮತ್ತು ಪಿ(x).ಎಕ್ಸ್ ಸೆಟ್‌ನ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್‌ಗಳು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಮೂಹಕ್ಕೆ. 6) ಅಸಮರ್ಪಕ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವಿಕೆಗಾಗಿ: ಒಂದು ಫಂಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ಅರ್ಧ-ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸೋಣ, ಅದರ ಮೇಲೆ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ ಮತ್ತು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ (ರೀಮನ್ ಅಥವಾ ಲೆಬೆಸ್ಗ್ಯೂ) ಗೆ ಇಂಟಿಗ್ರಬಲ್ ಆಗಿರಲಿ [ a, c].
ಸಲುವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗಿ, ಯಾರಿಗಾದರೂ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುವುದು ಅವಶ್ಯಕ ಮತ್ತು ಸಾಕು ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಇತರ ಪ್ರಕಾರಗಳ ಅಸಮರ್ಪಕ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳಿಗೆ ಇದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಎಫ್ ಕಾರ್ಯವು ಹಲವಾರು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಬನಾಚ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಇರುವಾಗ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. 7) ಅಸಮರ್ಪಕ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಏಕರೂಪದ ಒಮ್ಮುಖಕ್ಕಾಗಿ ಕೆ.ಕೆ: ಫಂಕ್ಷನ್ ಎಫ್( x, y).ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ ನಿಗದಿತ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿ Y-ಅರ್ಧ-ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಕೆಲವು ಸೆಟ್ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಸಮಗ್ರವಾಗಿರುತ್ತದೆ [ a, c].
ಸಲುವಾಗಿ Y ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವುದು, ಯಾವುದೇ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಲು ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಲು ಯಾವುದೇ ಅಗತ್ಯ ಮತ್ತು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ ಈ ಮಾನದಂಡವು ಇತರ ಪ್ರಕಾರಗಳ ಅಸಮರ್ಪಕ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳಿಗೆ, ಹಲವಾರು ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು ಬಾನಾಚ್ ಜಾಗಗಳಲ್ಲಿ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆ. ಬೆಳಗಿದ.: C a u c h u A. L., ಆಲ್ಜಿಬ್ರಿಕ್ ಅನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಿ, P., 1821; ಸ್ಟೋಲ್ಜ್ ಒ., "ಮ್ಯಾಥ್. ಆನ್.", 1884, ಬಿಡಿ 24, ಎಸ್. 154-71; ಡಿಯುಡೋನ್ ಜೆ., ಫಂಡಮೆಂಟಲ್ಸ್ ಆಫ್ ಮಾಡರ್ನ್ ಅನಾಲಿಸಿಸ್, ಟ್ರಾನ್ಸ್. ಇಂಗ್ಲಿಷ್ನಿಂದ, M., 1964; Il'in V.A., Poznya to E.G., ಫಂಡಮೆಂಟಲ್ಸ್ ಆಫ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಅನಾಲಿಸಿಸ್, 3 ನೇ ಆವೃತ್ತಿ, ಸಂಪುಟ 1, M., 1971, ಸಂಪುಟ 2, M., 1973; ಕುದ್ರಿಯಾವ್ಟ್ಸೆವ್ ಎಲ್.ಡಿ., ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಕೋರ್ಸ್, ಟಿ. .
1 - 2, ಎಂ., 1981; 16] ನಿಕೋಲ್ಸ್ಕಿ S.M., ಗಣಿತ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಕೋರ್ಸ್, 2 ನೇ ಆವೃತ್ತಿ., ಸಂಪುಟ 1-2, M., 1975; ವಿಟ್ಟೇಕರ್ E. - T., V a tson J. - N., ಆಧುನಿಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಕೋರ್ಸ್, ಟ್ರಾನ್ಸ್. ಇಂಗ್ಲಿಷ್ನಿಂದ, 2ನೇ ಆವೃತ್ತಿ., ಭಾಗ 1, ಎಂ., 1963. ಎಲ್. D. ಕುದ್ರಿಯಾವ್ಟ್ಸೆವ್. ಗಣಿತದ ವಿಶ್ವಕೋಶ. - ಎಂ.: ಸೋವಿಯತ್ ಎನ್ಸೈಕ್ಲೋಪೀಡಿಯಾ. I. M. ವಿನೋಗ್ರಾಡೋವ್. 1977-1985. ಧನಾತ್ಮಕ ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖದ ಮಾನದಂಡ (ಕೌಚಿ ಮಾನದಂಡ) ಸಂಖ್ಯಾ ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖಕ್ಕೆ ಮುಖ್ಯ ಮಾನದಂಡವಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಅಗಸ್ಟಿನ್ ಕೌಚಿ ಸ್ಥಾಪಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಧನಾತ್ಮಕ ಸರಣಿಯು ಅದರ ಆಂಶಿಕ ಮೊತ್ತಗಳ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಮೇಲೆ ಮಿತಿಗೊಳಿಸಿದರೆ ಮಾತ್ರ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ... ವಿಕಿಪೀಡಿಯಾ ಮಿಖೈಲೋವ್ ಅವರ ನೈಕ್ವಿಸ್ಟ್ ಸ್ಥಿರತೆಯ ಮಾನದಂಡವು ಅದರ ಮುಕ್ತ-ಲೂಪ್ ಹಂತದ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯಿಂದ ಮುಚ್ಚಿದ-ಲೂಪ್ ನಿಯಂತ್ರಣ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು ನಿರ್ಣಯಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ಇದು ಆವರ್ತನ ಸ್ಥಿರತೆಯ ಮಾನದಂಡಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಲು ಈ ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಬಳಸುವುದು... ... ವಿಕಿಪೀಡಿಯಾ ಮಿಖೈಲೋವ್ ಅವರ ನೈಕ್ವಿಸ್ಟ್ ಸ್ಥಿರತೆಯ ಮಾನದಂಡವು ಅದರ ಮುಕ್ತ ಸ್ಥಿತಿಯ ವೈಶಾಲ್ಯ-ಹಂತದ ಆವರ್ತನ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯಿಂದ ಮುಚ್ಚಿದ-ಲೂಪ್ ನಿಯಂತ್ರಣ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು ನಿರ್ಣಯಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ಆವರ್ತನ ಮಾನದಂಡಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ... ... ವಿಕಿಪೀಡಿಯಾ ಕೌಚಿ ಮಾನದಂಡವು ಗಣಿತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿನ ಹೇಳಿಕೆಗಳ ಸರಣಿಯಾಗಿದೆ: ಸಂಪೂರ್ಣ ಜಾಗದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಆಧರಿಸಿದ ಅನುಕ್ರಮದ ಒಮ್ಮುಖದ ಮಾನದಂಡ (ಮೂಲಭೂತ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ನೋಡಿ). ಧನಾತ್ಮಕ ಚಿಹ್ನೆಗಳ ಒಮ್ಮುಖದ ಮಾನದಂಡ... ... ವಿಕಿಪೀಡಿಯಾ ಹೋಲಿಕೆಯ ಮಾನದಂಡವು ಪರಿಗಣನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಭೌತಿಕ ವಿದ್ಯಮಾನವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಆಯಾಮದ ಭೌತಿಕ ನಿಯತಾಂಕಗಳಿಂದ ಸಂಯೋಜಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಆಯಾಮರಹಿತ ಪ್ರಮಾಣವಾಗಿದೆ. ಎರಡು ಭೌತಿಕ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳು ಮತ್ತು ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಿಗೆ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಎಲ್ಲಾ ಹೋಲಿಕೆಯ ಮಾನದಂಡಗಳ ಸಮಾನತೆ ಅಗತ್ಯ ಮತ್ತು... ... ವಿಕಿಪೀಡಿಯಾ ಮಿಖೈಲೋವ್ ಅವರ ನೈಕ್ವಿಸ್ಟ್ ಸ್ಥಿರತೆಯ ಮಾನದಂಡವು ಅದರ ಮುಕ್ತ-ಲೂಪ್ ಹಂತದ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯಿಂದ ಮುಚ್ಚಿದ-ಲೂಪ್ ನಿಯಂತ್ರಣ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು ನಿರ್ಣಯಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ಇದು ಆವರ್ತನ ಸ್ಥಿರತೆಯ ಮಾನದಂಡಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ಈ ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು ನಿರ್ಣಯಿಸುವುದು ತುಂಬಾ ... ... ವಿಕಿಪೀಡಿಯಾ - (Ca) ನಿರಂತರ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಹೋಲಿಕೆಯ ಮಾನದಂಡ, ಮಾಧ್ಯಮದ ಸಂಕೋಚನ ಶಕ್ತಿಗೆ ಚಲನ ಶಕ್ತಿಯ ಅನುಪಾತವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕ ಕಾಯಗಳ ಕಂಪನಗಳು ಮತ್ತು ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕ ದ್ರವಗಳ ಹರಿವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಇದನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೌಚಿ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ: , ಅಲ್ಲಿ... ... ವಿಕಿಪೀಡಿಯಾ ಈ ಪದವು ಇತರ ಅರ್ಥಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಕೌಚಿಯ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ನೋಡಿ. ಕೌಚಿ ಮ್ಯಾಕ್ಲೌರಿನ್ ಸಮಗ್ರ ಪರೀಕ್ಷೆಯು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿರುವ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖದ ಪರೀಕ್ಷೆಯಾಗಿದೆ. ಮ್ಯಾಕ್ಲೌರಿನ್‌ನ ಕೌಚಿ ಪರೀಕ್ಷೆಯು ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖದ ಪರಿಶೀಲನೆಯನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಿಸುತ್ತದೆ... ... ವಿಕಿಪೀಡಿಯಾ "Cauchy's test" ಎಂಬ ಪದವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಹೇಳಿಕೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಬಹುದು: ಕೌಚಿಯ ಮೂಲಭೂತ ಪರೀಕ್ಷೆ ಮ್ಯಾಕ್ಲೌರಿನ್‌ನ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಕೌಚಿ ಪರೀಕ್ಷೆ ಕೌಚಿಯ ಮಾನದಂಡ ಕೌಚಿಯ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನೂ ನೋಡಿ ... ವಿಕಿಪೀಡಿಯಾ ಅನುಕ್ರಮ (xn)ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಕೌಚಿಯ ಸ್ಥಿತಿ, ಯಾವುದೇ ಧನಾತ್ಮಕ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ε > 0
N ε ಅಂತಹ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಇದೆ ಕೌಚಿ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಅನುಕ್ರಮಗಳನ್ನು ಸಹ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮೂಲಭೂತ ಅನುಕ್ರಮಗಳು. ಕೌಚಿ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಇನ್ನೊಂದು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಬಹುದು. ಲೆಟ್ m > n. ಒಂದು ವೇಳೆ ಎಂ< n
,
то поменяем n
и m
местами. Случай нас не интересует, поскольку при этом неравенство (1) выполняется автоматически. Имеем: ನಂತರ ಕೌಚಿ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ರೂಪಿಸಬಹುದು: ಸ್ಥಿರತೆ ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಕೌಚಿಯ ಸ್ಥಿತಿ, ಯಾವುದಾದರೂ ಒಂದು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಇದ್ದಲ್ಲಿ ಅಂತಹ ಕೌಚಿ ಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯು ε ಅನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ, ಇದು ನೈಜ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ε ನ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ಅದರ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು ರೂಢಿಯಲ್ಲಿರುವಂತೆ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು. ಅನುಕ್ರಮ ಒಮ್ಮುಖಕ್ಕೆ ಕೌಚಿ ಮಾನದಂಡ ಒಂದು ಅನುಕ್ರಮವು ಸೀಮಿತ ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಲು, ಇದು ಕೌಚಿ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸಲು ಅವಶ್ಯಕ ಮತ್ತು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ. ಅನುಕ್ರಮವು ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಮಿತಿಗೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗಲಿ a: ಅನುಕ್ರಮವು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸೋಣ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಯಾವುದಕ್ಕೂ ಕೆಳಗಿನ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುವಂತಹ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು: ಅದನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸೋಣ. ನಂತರ ಯಾವುದಕ್ಕೂ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: ಅಗತ್ಯ ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ. ಅನುಕ್ರಮವು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಲಿ. ಇದು ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ. ನಾವು ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಮೂರು ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುತ್ತೇವೆ. ಅನುಕ್ರಮವು ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಮೊದಲು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಂತರ ನಾವು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅದರ ಪ್ರಕಾರ ಒಂದು ಬೌಂಡೆಡ್ ಅನುಕ್ರಮವು ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವ ಉಪಕ್ರಮವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಸಂಪೂರ್ಣ ಅನುಕ್ರಮವು ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ತೋರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಅನುಕ್ರಮ ತೃಪ್ತಿಕರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಕೌಚಿ ಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ, ನಾವು ಹೊಂದಿಸಿದ್ದೇವೆ. ನಂತರ ಕೆಳಗಿನ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಇದೆ: ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ ಮತ್ತು ಅನುಕ್ರಮದ ಸದಸ್ಯರನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸೋಣ. ಇದು n ಸೂಚ್ಯಂಕವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರದ ಸ್ಥಿರ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ಒತ್ತಿಹೇಳಲು ಇದನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ. ನಾವು (2.1.1) ನಲ್ಲಿ ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ ಮತ್ತು ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಹೊಂದಿರುವಾಗ: ನಾವು ಬೊಲ್ಜಾನೊ-ವೀರ್‌ಸ್ಟ್ರಾಸ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸೋಣ. ಈ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, ಬೌಂಡೆಡ್ ಅನುಕ್ರಮವು ಕೆಲವು ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವ ಉಪಕ್ರಮವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ a. ಅಂತಹ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ನಾವು ಸೂಚಿಸೋಣ. ನಂತರ ಸಂಪೂರ್ಣ ಅನುಕ್ರಮವು ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸೋಣ. n ಅನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸೋಣ. ನಂತರ (2.3.1) ಒಂದು ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಅಸಮಾನತೆಯಾಗಿದ್ದು, ಇದರಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಪದಗಳ ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಮೊದಲ ಪದಗಳ ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಒಮ್ಮುಖದ ಮೇಲೆ ಪರಿಣಾಮ ಬೀರುವುದಿಲ್ಲ (ಒಂದು ಅನುಕ್ರಮದ ಒಮ್ಮುಖದ ಮೇಲೆ ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪದಗಳ ಪ್ರಭಾವವನ್ನು ನೋಡಿ). ಆದ್ದರಿಂದ, ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸಿದ ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿಯು ಇನ್ನೂ a. ಅರ್ಜಿ ಸಲ್ಲಿಸಲಾಗುತ್ತಿದೆ ಅಸಮಾನತೆಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಮಿತಿಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳುಮತ್ತು ಮಿತಿಗಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು, ಗಾಗಿ, (2.3.1) ನಿಂದ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: ಅಂದರೆ, ಯಾವುದೇ ಒಂದು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಇರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಪ್ರಮೇಯವು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು: ಅನುಕ್ರಮದ ಒಮ್ಮುಖದ ಕೌಚಿ ಮಾನದಂಡವು ಸಂಖ್ಯಾ ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಪ್ರಮೇಯ 4 (ಕೌಚಿ ಮಾನದಂಡ). Y1 a ಸಂಖ್ಯೆಯು ಒಮ್ಮುಖವಾಗಲು, ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ e > O ಗೆ N = N(e) ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆ ಇರುವುದು ಅವಶ್ಯಕ ಮತ್ತು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಯಾವುದೇ n > N ಗಾಗಿ ಅಸಮಾನತೆಯು ಎಲ್ಲಾ ಭಾಗಗಳಿಗೆ 5P ಅನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ +P ಮತ್ತು Sn-\ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಸರಣಿ J2 nn> ಅಸಮಾನತೆ (1) ಅನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು ಕೌಚಿ ಮಾನದಂಡದಿಂದ ಸಂಖ್ಯೆ ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖಕ್ಕೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಪ್ರಮೇಯ 5. ಸರಣಿಯ ಹೋಲಿಕೆ ಪರೀಕ್ಷೆಯು ಧನಾತ್ಮಕ ಪದಗಳೊಂದಿಗೆ ಸರಣಿಯ ಹೋಲಿಕೆ ಪರೀಕ್ಷೆಯು ಡಿ'ಅಲೆಂಬರ್ಟ್‌ನ ಪರೀಕ್ಷೆ ಕೌಚಿಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯು ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖಕ್ಕೆ ಕೌಚಿಯ ಮಾನದಂಡವು ಒಮ್ಮುಖವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಪ್ರಮೇಯ 4 ರಲ್ಲಿ ಊಹಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಹೊಂದಿರುವ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಸಂಖ್ಯೆ e > 0, ಇದರರ್ಥ ಅಂತ್ಯಸಂಖ್ಯೆ. ಲಿಮ್ ಆನ್ ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿದ್ದರೆ ಅಥವಾ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಸರಣಿಯ ಉದಾಹರಣೆ 1. ಸಂಖ್ಯೆ ಸರಣಿಯು ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಉದಾಹರಣೆ 2. ಸರಣಿಯು ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅದು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ. ಕಾಮೆಂಟ್ ಮಾಡಿ. ಪ್ರಮೇಯ 5 ಒಂದು ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖಕ್ಕೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಇದು ಸಾಕಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಅಂದರೆ lim o„ = 0 ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯು ವಿಭಿನ್ನ ಸರಣಿಗೆ ಸಹ ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಬಹುದು ಉದಾಹರಣೆ 3. ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಸರಣಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಸರಣಿಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಸರಣಿಗಾಗಿ, ಒಮ್ಮುಖವಾಗಲು ಅಗತ್ಯವಾದ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಕೌಚಿ ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಬಳಸುವುದರಿಂದ, ಈ ಸರಣಿಯು ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ತೋರಿಸುತ್ತೇವೆ. p-n ಅನ್ನು ಹಾಕೋಣ. ನಂತರ ಯಾವುದೇ ಅನಿಯಂತ್ರಿತವಾಗಿ ದೊಡ್ಡದಾದ n ಗೆ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಅಸಮಾನತೆಯು ತೃಪ್ತಿಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಇದು e ^ 5 ಮತ್ತು p = n ಅಸಮಾನತೆ (1) ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಕೌಚಿ ಮಾನದಂಡದ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ, ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಸರಣಿಯು ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪ್ರಮುಖ ಟಿಪ್ಪಣಿ. ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ, ಸರಣಿಯು ಸೀಮಿತ ಮೊತ್ತದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಎರಡನೆಯದಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿ, ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನಿರಂಕುಶವಾಗಿ ಗುಂಪು ಮಾಡಬಹುದಾದ ಮತ್ತು ಮರುಹೊಂದಿಸಬಹುದಾದ ಪದಗಳು, ಅದಕ್ಕಾಗಿಯೇ ಮೊತ್ತವು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿರುವಂತೆ ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸರಣಿಯ ಸದಸ್ಯರೊಂದಿಗೆ ಕ್ರಮಗಳನ್ನು ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ಕೈಗೊಳ್ಳಬೇಕು - ಪರಿಣಾಮಗಳು ಯಾವಾಗಲೂ ಇರಬಹುದು ಊಹಿಸಬಹುದಾದ. ವಿಭಿನ್ನ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿದ್ದರೆ (ಒಮ್ಮುಖವಾಗಲು ಅಗತ್ಯವಾದ ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಪೂರೈಸಲಾಗಿಲ್ಲ) ನಾವು ನೆರೆಯ ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಗುಂಪು ಮಾಡಿದರೆ, ನಂತರ ನಾವು ಒಮ್ಮುಖ ಸರಣಿಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಅದರ ಪದಗಳನ್ನು ಮರುಹೊಂದಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆದ ಸರಣಿಯು ಮೂಲ ಮೊತ್ತದ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ § 9 ರಿಂದ). ಈ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಸರಣಿಯ ನಿಯಮಗಳು ವಿಭಿನ್ನ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂಬ ಅಂಶವು ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿದೆ. ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಸರಣಿಗಳ ಒಮ್ಮುಖ ಅಥವಾ ಭಿನ್ನತೆಯನ್ನು ಇತರ ಸರಣಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ಅವುಗಳನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುವಂತೆ ಮಾಡುವ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ನಾವು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸೋಣ, ಅದರ ಒಮ್ಮುಖ ಅಥವಾ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಮುಂಚಿತವಾಗಿ ತಿಳಿದಿರುತ್ತದೆ. ಪ್ರಮೇಯ 6 (ಹೋಲಿಕೆ ಪರೀಕ್ಷೆ). ಒಂದು ಮತ್ತು 6„ ಪದಗಳು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುವ ಎರಡು ಸರಣಿಗಳನ್ನು ನೀಡೋಣ. ಅಸಮಾನತೆಯು ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ n ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ನಂತರ Y1 6n ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖದಿಂದ a ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು Y1 On ಸರಣಿಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸದಿಂದ Y1 6„ ಸರಣಿಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. M ನಾವು ಸರಣಿಯ (1) ಮತ್ತು (2) ಷರತ್ತಿನ (3) ಷರತ್ತಿನಿಂದ ಆಂಶಿಕ ಮೊತ್ತಗಳನ್ನು ರಚಿಸೋಣ 5П ^ Sn ಎಲ್ಲಾ 1) ಸರಣಿ (2) ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಊಹಿಸಿ, ಅಂದರೆ ಅದರ n ನೇ ಭಾಗಶಃ ಮೊತ್ತಗಳ ಮಿತಿಯಿದೆ ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಸರಣಿಯ ಎಲ್ಲಾ ಪದಗಳು ಸಕಾರಾತ್ಮಕವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅಸಮಾನತೆಯ (3) ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ, ಸರಣಿಯ (1) ಎಲ್ಲಾ ಭಾಗಶಃ ಮೊತ್ತಗಳು 5P ಸೀಮಿತವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು n ಹೆಚ್ಚಾದಂತೆ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಆಂಶಿಕ ಮೊತ್ತಗಳ ಅನುಕ್ರಮವು ಒಮ್ಮುಖವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವಿಕೆ. 'Alembert's test Cauchy's test Cauchy's criterion for convergence of the series i.e series bn diverges. ಕಾಮೆಂಟ್ ಮಾಡಿ. ಒಂದು ^ bn ಅಸಮಾನತೆಯು ಎಲ್ಲಾ n ಗೆ ತೃಪ್ತಿಗೊಂಡಾಗ ಪ್ರಮೇಯ 6 ಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಉಳಿಯುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ A: ಅಂದರೆ, ಎಲ್ಲಾ n ^ Jfc ಯಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಸರಣಿಯ ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪದಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವುದರಿಂದ ಅದರ ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ಉಲ್ಲಂಘಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು. ಒಮ್ಮುಖವಾಗಲು ಕೆಳಗಿನ ಸರಣಿಯನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಿ: ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಏಕೆಂದರೆ ಸಂಖ್ಯೆ ಸರಣಿಯು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವುದರಿಂದ, ನಂತರ ಹೋಲಿಕೆಯಿಂದ ಮೂಲ ಸರಣಿ (4) ಸಹ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ ಅಸಮಾನತೆಯು ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಸರಣಿಯು ಭಿನ್ನವಾಗುವುದರಿಂದ (ಸರಣಿಯಂತೆ, ನಂತರ ಮೂಲ ಸರಣಿಯ ಹೋಲಿಕೆಯಿಂದ (4 ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಸಮಾನತೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ I ಪ್ರಮೇಯ 6 ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಉದಾಹರಣೆ 3. ಒಮ್ಮುಖಕ್ಕಾಗಿ ಸರಣಿ 4 ಅನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಿ ಅಸಮಾನತೆಯ ಪಾಪ x ^ x ಅನ್ನು ಬಳಸಿ, ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ, ಸರಣಿಯು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವುದರಿಂದ, ನಂತರ ಹೋಲಿಕೆಯಿಂದ ( ಇಲ್ಲಿ A = y) ಈ ಸರಣಿ (5) ಕೂಡ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ.ಪರಿಣಾಮ: ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಮಿತಿ ಇದ್ದರೆ, ನಂತರ ಸರಣಿ (1) ಮತ್ತು (2) ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತವೆ ಅಥವಾ ಬೇರೆಯಾಗುತ್ತವೆ. ಮೇಲಿನ ಮಿತಿಯ ಅಸ್ತಿತ್ವದಿಂದ ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆ e > O, ಎಲ್ಲಾ n > N ಗೆ ಅಸಮಾನತೆ ಅಥವಾ ಆದ್ದರಿಂದ ಸರಣಿ (2) ಒಮ್ಮುಖವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಸರಣಿಯು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ ಆದರೆ, ಪ್ರಮೇಯ 6 ರ ಪ್ರಕಾರ, ಸರಣಿ (1) ಸಹ ಇರುತ್ತದೆ ಒಂದು ವೇಳೆ ಸರಣಿ (2) ಭಿನ್ನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಬೇರೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸರಣಿಯನ್ನು (e ಅನ್ನು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. n ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ಪ್ರಮೇಯ 6 ರ ಪ್ರಕಾರ, ಸರಣಿ (1) ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಕಾಮೆಂಟ್ ಮಾಡಿ. ಲೆಮ್ಮಾದ ಸ್ಥಿತಿಯು ಅನುಕ್ರಮಗಳು сс, ಮತ್ತು Lbn ನಲ್ಲಿ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ I = 0, ಸರಣಿಯ (2) ಒಮ್ಮುಖವು ಸರಣಿಯ (1) ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ರಿವರ್ಸ್ ನಿಜವಲ್ಲ. L = +oo ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸರಣಿಯ (1) ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಸರಣಿಯ (2) ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ರಿವರ್ಸ್ ನಿಜವಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು. ಒಮ್ಮುಖವಾಗಲು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸರಣಿಯನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಿ: 4 ನಾವು ಈ ಸರಣಿಯನ್ನು ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಸರಣಿಯೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಸೋಣ. ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಸರಣಿಯು ಭಿನ್ನವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಈ ಸರಣಿಯು ಸಹ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಂತರ ಮೂಲ ಸರಣಿಯು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ. §5. ಡಿ'ಅಲೆಂಬರ್ಟ್ ಪರೀಕ್ಷೆ oo ಪ್ರಮೇಯ 7 (ಡಿ'ಅಲೆಂಬರ್ಟ್ ಪರೀಕ್ಷೆ). ಒಂದು ಸರಣಿಯನ್ನು ನೀಡೋಣ, ಅಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ > 0. n=\ ಮಿತಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಸರಣಿಯು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸರಣಿಯು ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. 4 q ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮಿತಿಯು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರಲಿ. ನಂತರ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, e = ಗಾಗಿ, ಎಲ್ಲಾ n ^ N ಗಾಗಿ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆ N ಇರುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಈ ಅಸಮಾನತೆಯಿಂದ ನಾವು ಎಲ್ಲಿಂದ ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, n ಅನ್ನು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತೇವೆ N, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಸರಣಿಯ ನಿಯಮಗಳು ಸರಣಿಯ ಅನುಗುಣವಾದ ಪದಗಳನ್ನು ಮೀರುವುದಿಲ್ಲ, ಇದು ಛೇದದೊಂದಿಗೆ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ಪದಗಳಿಂದ ಸಂಯೋಜಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಸರಣಿಯಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ. ಹೋಲಿಕೆಯ ಮೂಲಕ, ಸರಣಿಯು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಮೂಲ ಸರಣಿಯು ಸಹ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆ N ನಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುವ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅಸಮಾನತೆಯು ತೃಪ್ತಿಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಅಥವಾ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಒಂದು ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅಗತ್ಯ - ಒಮ್ಮುಖದ ಸಂಕೇತ. ಕಾಮೆಂಟ್ ಮಾಡಿ. ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಅಥವಾ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಡಿ'ಅಲೆಂಬರ್ಟ್ ಪರೀಕ್ಷೆಯು ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖ ಅಥವಾ ಭಿನ್ನತೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಉತ್ತರವನ್ನು ನೀಡುವುದಿಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು. ಒಮ್ಮುಖವಾಗಲು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸರಣಿಯನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಿ: ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸರಣಿಗಾಗಿ ನಾವು ಧನಾತ್ಮಕ ಪದಗಳೊಂದಿಗೆ ಸರಣಿಗಾಗಿ ಹೋಲಿಕೆ ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಡಿ'ಅಲೆಂಬರ್ಟ್‌ನ ಪರೀಕ್ಷೆ ಕೌಚಿಯ ಪರೀಕ್ಷೆ ಕೌಚಿಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯು ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವಿಕೆಗಾಗಿ ಡಿ'ಅಲೆಂಬರ್ಟ್‌ನ ಪರೀಕ್ಷೆಯಿಂದ ಸರಣಿಯು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ. ನಮ್ಮಲ್ಲಿ ಈ ಸರಣಿಯು ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ. . ಕೌಚಿ ಪರೀಕ್ಷೆ ಪ್ರಮೇಯ 8 (ಕೌಚಿ ಪರೀಕ್ಷೆ). ಊ ಎಂಬ ಸರಣಿಯನ್ನು ನೀಡಲಿ. q ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ. ಅಲ್ಲಿ ಮಿತಿ ಇರುವುದರಿಂದ, ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯೆ N ನಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ, ಅಸಮಾನತೆಯು ಹಿಡಿದಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಮಿತಿಯ ಸಮಾನತೆಯಿಂದ ಇದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, ಯಾವುದೇ c ಗೆ ಸೇರಿದಂತೆ, ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆ N ಇರುತ್ತದೆ, ಇದರಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುವ ಅಸಮಾನತೆ A ಅಥವಾ, ಅದೇ, ಇಲ್ಲಿಂದ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಸರಣಿಯ ಎಲ್ಲಾ ಪದಗಳು, ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುವ, ಒಮ್ಮುಖ ಸರಣಿಯ £ 0π ನ ಅನುಗುಣವಾದ ಪದಗಳಿಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿರುತ್ತದೆ. ಹೋಲಿಕೆಯ ಮೂಲಕ, ಸರಣಿಯು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಸರಣಿ (1) ಕೂಡ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ. ಇರಲಿ ಬಿಡಿ. ನಂತರ, ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ, ಎಲ್ಲಾ n > N ಗಾಗಿ, ಅಸಮಾನತೆ > 1 ಹಿಡಿದಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಸರಣಿ (1) ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಕಾಮೆಂಟ್ ಮಾಡಿ. A = 1 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಸರಣಿ (I) ಒಮ್ಮುಖವಾಗಬಹುದು ಅಥವಾ ಬೇರೆಯಾಗಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗಳು. ಒಮ್ಮುಖವಾಗಲು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸರಣಿಯನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಿ: L ನಾವು ಸರಣಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗಿದ್ದೇವೆ. ^ m ಇಲ್ಲಿ ಸರಣಿಯು ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ. ^
ನಿಭಾಯಿಸಿದೆ 
ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬರಿಗೂ ನೆರೆಹೊರೆ ಇರುವುದು ಅಗತ್ಯ ಮತ್ತು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ U=U(ಎ).ಅಸಮಾನತೆ ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಇರುತ್ತದೆ ಎಂದು ದಾಳಿ ಮಾಡುವ ಅಂಶಗಳು 
ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ
ನಂತರ ಅನುಕ್ರಮವು X ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಯಾವುದಾದರೂ ಅಂತಹ ಸಂಖ್ಯೆ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಎನ್,ಎಲ್ಲಾ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಅಸಮಾನತೆ ಹೊಂದಿದೆ
ಅಸಮಾನತೆ ತೃಪ್ತಿಯಾಯಿತು
ಅಸಮಾನತೆ ತೃಪ್ತಿಯಾಯಿತು 
ಇತರ ನಿಘಂಟುಗಳಲ್ಲಿ "ಕ್ಯಾಚಿ ಮಾನದಂಡ" ಏನೆಂದು ನೋಡಿ:
ಪುಸ್ತಕಗಳು
(1)
|x n - x m |< ε
при n >N ε , m > N ε .
;
.
ಇಲ್ಲಿ p ಎಂಬುದು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ.
(2)
ಫಾರ್ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ p.ಅನುಕ್ರಮದ ಒಮ್ಮುಖಕ್ಕೆ ಕೌಚಿ ಮಾನದಂಡದ ಪುರಾವೆ
ಅವಶ್ಯಕತೆಯ ಪುರಾವೆ
.
ಇದರರ್ಥ ಕೆಲವು ಕಾರ್ಯಗಳಿವೆ ಆದ್ದರಿಂದ ಯಾವುದೇ ಕೆಳಗಿನ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಹಿಡಿದಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ:
(1.1)
ನಲ್ಲಿ.
ಅನುಕ್ರಮ ಮಿತಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನೋಡಿ.
ನಲ್ಲಿ.
ನಾವು ಅಸಮಾನತೆಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸೋಣ ಮತ್ತು ಅನ್ವಯಿಸೋಣ (1.1):
.
ಕೊನೆಯ ಅಸಮಾನತೆಯು ಗಾಗಿ ಹೊಂದಿದೆ.
ನಲ್ಲಿ,
ಎಲ್ಲಿ .ಸಮರ್ಪಕತೆಯ ಪುರಾವೆ
(2.1.1)
ನಲ್ಲಿ.
;
;
;
;
.
ಗಾಗಿ, ಅನುಕ್ರಮದ ನಿಯಮಗಳು ಸೀಮಿತವಾಗಿವೆ ಎಂದು ಇದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಗಾಗಿ, ಕೇವಲ ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪದಗಳಿರುವುದರಿಂದ, ಸಂಪೂರ್ಣ ಅನುಕ್ರಮವು ಸೀಮಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
.
ಅನುಕ್ರಮವು ತೃಪ್ತವಾಗುವುದರಿಂದ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅಸಮಾನತೆಗಳು ಯಾವುದಕ್ಕೂ ಹೊಂದುವ ಕೆಲವು ಕಾರ್ಯಗಳಿವೆ:
ನಲ್ಲಿ.
ನಾವು ಒಮ್ಮುಖ ಅನುಕ್ರಮದ ಪದವನ್ನು ಪದವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ ಮತ್ತು ε ಅನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸೋಣ 1
ε ಮೂಲಕ /2
:
(2.3.1)
ನಲ್ಲಿ.
ನಲ್ಲಿ.
ಸ್ಪಷ್ಟ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಬಳಸೋಣ: . ನಂತರ
ನಲ್ಲಿ.
ನಲ್ಲಿ.
ಇದರರ್ಥ a ಸಂಖ್ಯೆಯು ಸಂಪೂರ್ಣ ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿಯಾಗಿದೆ (ಮತ್ತು ಅದರ ಅನುಕ್ರಮವಲ್ಲ.
ಓ.ವಿ. ಬೆಸೊವ್. ಗಣಿತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಕುರಿತು ಉಪನ್ಯಾಸಗಳು. ಭಾಗ 1. ಮಾಸ್ಕೋ, 2004.