ಸೂತ್ರದ ಮುಖ್ಯ ಸಾರ ಯಾವುದು?
ಈ ಸೂತ್ರವು ನಿಮಗೆ ಹುಡುಕಲು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ ಯಾವುದಾದರು ಅವನ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ " ಎನ್" .
ಸಹಜವಾಗಿ, ನೀವು ಮೊದಲ ಪದವನ್ನು ಸಹ ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು a 1ಮತ್ತು ಪ್ರಗತಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಡಿ, ಅಲ್ಲದೆ, ಈ ನಿಯತಾಂಕಗಳಿಲ್ಲದೆ ನೀವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಬರೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ.
ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದು (ಅಥವಾ ಕ್ರಿಬ್ ಮಾಡುವುದು) ಸಾಕಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ನೀವು ಅದರ ಸಾರವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು ಮತ್ತು ವಿವಿಧ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಬೇಕು. ಮತ್ತು ಸರಿಯಾದ ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ಮರೆಯಬಾರದು, ಹೌದು ...) ಹೇಗೆ ಮರೆಯುವುದಿಲ್ಲ- ನನಗೆ ಗೊತ್ತಿಲ್ಲ. ಮತ್ತು ಇಲ್ಲಿ ಹೇಗೆ ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದುಅಗತ್ಯವಿದ್ದರೆ, ನಾನು ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ ನಿಮಗೆ ಸಲಹೆ ನೀಡುತ್ತೇನೆ. ಕೊನೆಯವರೆಗೂ ಪಾಠವನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಿದವರಿಗೆ.)
ಆದ್ದರಿಂದ, ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ n ನೇ ಪದದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ನೋಡೋಣ.
ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸೂತ್ರ ಎಂದರೇನು? ಅಂದಹಾಗೆ, ನೀವು ಅದನ್ನು ಓದದಿದ್ದರೆ ಒಮ್ಮೆ ನೋಡಿ. ಅಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲವೂ ಸರಳವಾಗಿದೆ. ಅದು ಏನೆಂದು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಉಳಿದಿದೆ n ನೇ ಅವಧಿ.
ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸರಣಿಯಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು:
a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, .....
a 1- ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಮೊದಲ ಪದವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, a 3- ಮೂರನೇ ಸದಸ್ಯ, ಒಂದು 4- ನಾಲ್ಕನೇ, ಮತ್ತು ಹೀಗೆ. ನಾವು ಐದನೇ ಅವಧಿಯಲ್ಲಿ ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ಹೇಳೋಣ ಒಂದು 5, ನೂರ ಇಪ್ಪತ್ತನೇ ವೇಳೆ - ರು ಒಂದು 120.
ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ನಾವು ಅದನ್ನು ಹೇಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು? ಯಾವುದಾದರುಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಪದ, ಜೊತೆಗೆ ಯಾವುದಾದರುಸಂಖ್ಯೆ? ತುಂಬಾ ಸರಳ! ಹೀಗೆ:
ಒಂದು ಎನ್
ಅದು ಏನು ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ n ನೇ ಪದ. n ಅಕ್ಷರವು ಎಲ್ಲಾ ಸದಸ್ಯರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಮರೆಮಾಡುತ್ತದೆ: 1, 2, 3, 4, ಇತ್ಯಾದಿ.
ಮತ್ತು ಅಂತಹ ದಾಖಲೆಯು ನಮಗೆ ಏನು ನೀಡುತ್ತದೆ? ಸ್ವಲ್ಪ ಯೋಚಿಸಿ, ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬದಲು ಅವರು ಪತ್ರವನ್ನು ಬರೆದಿದ್ದಾರೆ ...
ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡಲು ಈ ಸಂಕೇತವು ನಮಗೆ ಪ್ರಬಲ ಸಾಧನವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಸಂಕೇತವನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಒಂದು ಎನ್, ನಾವು ತ್ವರಿತವಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು ಯಾವುದಾದರುಸದಸ್ಯ ಯಾವುದಾದರುಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿ. ಮತ್ತು ಇತರ ಪ್ರಗತಿ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ. ಮುಂದೆ ನೀವೇ ನೋಡುತ್ತೀರಿ.
ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ n ನೇ ಅವಧಿಯ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ:
| a n = a 1 + (n-1)d |
a 1- ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಮೊದಲ ಪದ;
ಎನ್- ಸದಸ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ.
ಸೂತ್ರವು ಯಾವುದೇ ಪ್ರಗತಿಯ ಪ್ರಮುಖ ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುತ್ತದೆ: a n; a 1; ಡಿಮತ್ತು ಎನ್. ಎಲ್ಲಾ ಪ್ರಗತಿ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಈ ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಸುತ್ತ ಸುತ್ತುತ್ತವೆ.
n ನೇ ಪದದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಬರೆಯಲು ಸಹ ಬಳಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಮಸ್ಯೆಯು ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳಬಹುದು:
a n = 5 + (n-1) 2.
ಅಂತಹ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಅಂತ್ಯವಾಗಬಹುದು ... ಸರಣಿ ಅಥವಾ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಿಲ್ಲ ... ಆದರೆ, ಸೂತ್ರದೊಂದಿಗೆ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಹೋಲಿಸಿ, ಈ ಪ್ರಗತಿಯಲ್ಲಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಸುಲಭವಾಗಿದೆ. a 1 =5, ಮತ್ತು d=2.
ಮತ್ತು ಇದು ಇನ್ನೂ ಕೆಟ್ಟದಾಗಿರಬಹುದು!) ನಾವು ಅದೇ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ: a n = 5 + (n-1) 2,ಹೌದು, ಆವರಣವನ್ನು ತೆರೆಯಿರಿ ಮತ್ತು ಅಂತಹುದೇ ತರುವುದೇ? ನಾವು ಹೊಸ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
a n = 3 + 2n.
ಈ ಸಾಮಾನ್ಯವಲ್ಲ, ಆದರೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರಗತಿಗಾಗಿ. ಇಲ್ಲಿಯೇ ಹಳ್ಳ ಹಿಡಿದಿದೆ. ಮೊದಲ ಪದವು ಮೂರು ಎಂದು ಕೆಲವರು ಭಾವಿಸುತ್ತಾರೆ. ವಾಸ್ತವದಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಅವಧಿಯು ಐದು ಆಗಿದ್ದರೂ ... ಸ್ವಲ್ಪ ಕಡಿಮೆ ನಾವು ಅಂತಹ ಮಾರ್ಪಡಿಸಿದ ಸೂತ್ರದೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ.
ಪ್ರಗತಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಮತ್ತೊಂದು ಸಂಕೇತವಿದೆ - a n+1. ಇದು, ನೀವು ಊಹಿಸಿದಂತೆ, ಪ್ರಗತಿಯ "n ಪ್ಲಸ್ ಮೊದಲ" ಪದವಾಗಿದೆ. ಇದರ ಅರ್ಥವು ಸರಳ ಮತ್ತು ನಿರುಪದ್ರವವಾಗಿದೆ.) ಇದು ಪ್ರಗತಿಯ ಸದಸ್ಯನಾಗಿದ್ದು, ಅದರ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಒಂದರಿಂದ ಸಂಖ್ಯೆ n ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕೆಲವು ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ನಾವು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಒಂದು ಎನ್ನಂತರ ಐದನೇ ಅವಧಿ a n+1ಆರನೇ ಸದಸ್ಯರಾಗಿರುತ್ತಾರೆ. ಇತ್ಯಾದಿ.
ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಪದನಾಮ a n+1ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಸೂತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ. ಈ ಭಯಾನಕ ಪದಕ್ಕೆ ಹೆದರಬೇಡಿ!) ಇದು ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಸದಸ್ಯರನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವ ಒಂದು ಮಾರ್ಗವಾಗಿದೆ ಹಿಂದಿನ ಮೂಲಕ.ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಈ ರೂಪದಲ್ಲಿ ನಮಗೆ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳೋಣ:
a n+1 = a n +3
a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8
a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11
ನಾಲ್ಕನೇ - ಮೂರನೇ ಮೂಲಕ, ಐದನೇ - ನಾಲ್ಕನೇ ಮೂಲಕ, ಇತ್ಯಾದಿ. ಇಪ್ಪತ್ತನೇ ಅವಧಿಯನ್ನು ನಾವು ತಕ್ಷಣ ಹೇಗೆ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು? ಒಂದು 20? ಆದರೆ ಯಾವುದೇ ಮಾರ್ಗವಿಲ್ಲ!) ನಾವು 19 ನೇ ಅವಧಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವವರೆಗೆ, ನಾವು 20 ನೇ ಅವಧಿಯನ್ನು ಎಣಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಇದು ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಸೂತ್ರ ಮತ್ತು n ನೇ ಪದದ ಸೂತ್ರದ ನಡುವಿನ ಮೂಲಭೂತ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ. ಮೂಲಕ ಮಾತ್ರ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಕೆಲಸಗಳು ಹಿಂದಿನಪದ, ಮತ್ತು n ನೇ ಅವಧಿಯ ಸೂತ್ರವು ಮೂಲಕ ಪ್ರಥಮಮತ್ತು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ ನೇರವಾಗಿಯಾವುದೇ ಸದಸ್ಯರನ್ನು ಅದರ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೂಲಕ ಹುಡುಕಿ. ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸರಣಿಯನ್ನು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡದೆಯೇ.
ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯಲ್ಲಿ, ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಸೂತ್ರವನ್ನು ನಿಯಮಿತವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುವುದು ಸುಲಭ. ಒಂದು ಜೋಡಿ ಸತತ ಪದಗಳನ್ನು ಎಣಿಸಿ, ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿ d,ಅಗತ್ಯವಿದ್ದರೆ, ಮೊದಲ ಪದವನ್ನು ಹುಡುಕಿ a 1, ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅದರ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ ಮತ್ತು ಅದರೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡಿ. ರಾಜ್ಯ ಅಕಾಡೆಮಿ ಆಫ್ ಸೈನ್ಸಸ್ನಲ್ಲಿ ಇಂತಹ ಕಾರ್ಯಗಳು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಎದುರಾಗುತ್ತವೆ.
ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ n ನೇ ಅವಧಿಗೆ ಸೂತ್ರದ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್.
ಮೊದಲಿಗೆ, ಸೂತ್ರದ ನೇರ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ ಅನ್ನು ನೋಡೋಣ. ಹಿಂದಿನ ಪಾಠದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಮಸ್ಯೆ ಇತ್ತು:
ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು (a n) ನೀಡಲಾಗಿದೆ. 1 =3 ಮತ್ತು d=1/6 ಆಗಿದ್ದರೆ 121 ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ.
ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಯಾವುದೇ ಸೂತ್ರಗಳಿಲ್ಲದೆ ಸರಳವಾಗಿ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಅರ್ಥವನ್ನು ಆಧರಿಸಿ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು. ಸೇರಿಸಿ ಮತ್ತು ಸೇರಿಸಿ... ಒಂದು ಗಂಟೆ ಅಥವಾ ಎರಡು.)
ಮತ್ತು ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ, ಪರಿಹಾರವು ಒಂದು ನಿಮಿಷಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಸಮಯ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ನೀವು ಸಮಯ ಮಾಡಬಹುದು.) ನಿರ್ಧರಿಸೋಣ.
ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುವ ಎಲ್ಲಾ ಡೇಟಾವನ್ನು ಷರತ್ತುಗಳು ಒದಗಿಸುತ್ತವೆ: a 1 =3, d=1/6.ಸಮಾನವಾದದ್ದು ಎಂಬುದನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಇದು ಉಳಿದಿದೆ ಎನ್.ಯಾವ ತೊಂದರೆಯಿಲ್ಲ! ನಾವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು ಒಂದು 121. ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ:
ದಯವಿಟ್ಟು ಗಮನ ಕೊಡಿ! ಸೂಚ್ಯಂಕದ ಬದಲಿಗೆ ಎನ್ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡಿದೆ: 121. ಇದು ಸಾಕಷ್ಟು ತಾರ್ಕಿಕವಾಗಿದೆ.) ನಾವು ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಸದಸ್ಯರಲ್ಲಿ ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಸಂಖ್ಯೆ ನೂರ ಇಪ್ಪತ್ತೊಂದು.ಇದು ನಮ್ಮದಾಗುತ್ತದೆ ಎನ್.ಇದೇ ಅರ್ಥ ಎನ್= 121 ನಾವು ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳಲ್ಲಿ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಮತ್ತಷ್ಟು ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ:
a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23
ಅಷ್ಟೇ. ಐನೂರ ಹತ್ತನೇ ಪದವನ್ನು ಮತ್ತು ಸಾವಿರ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ, ಯಾವುದನ್ನಾದರೂ ತ್ವರಿತವಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ಬದಲಿಗೆ ಹಾಕಿದ್ದೇವೆ ಎನ್ಅಕ್ಷರದ ಸೂಚ್ಯಂಕದಲ್ಲಿ ಬಯಸಿದ ಸಂಖ್ಯೆ " a"ಮತ್ತು ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳಲ್ಲಿ, ಮತ್ತು ನಾವು ಎಣಿಸುತ್ತೇವೆ.
ನಾನು ನಿಮಗೆ ವಿಷಯವನ್ನು ನೆನಪಿಸುತ್ತೇನೆ: ಈ ಸೂತ್ರವು ನಿಮಗೆ ಹುಡುಕಲು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ ಯಾವುದಾದರುಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಪದ ಅವನ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ " ಎನ್" .
ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಕುತಂತ್ರದಿಂದ ಪರಿಹರಿಸೋಣ. ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಎದುರಿಸೋಣ:
17 =-2 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ (a n) ಮೊದಲ ಪದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ; d=-0.5
ನಿಮಗೆ ಯಾವುದೇ ತೊಂದರೆಗಳಿದ್ದರೆ, ನಾನು ನಿಮಗೆ ಮೊದಲ ಹೆಜ್ಜೆ ಹೇಳುತ್ತೇನೆ. ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ n ನೇ ಅವಧಿಗೆ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ!ಹೌದು ಹೌದು. ನಿಮ್ಮ ನೋಟ್‌ಬುಕ್‌ನಲ್ಲಿಯೇ ನಿಮ್ಮ ಕೈಗಳಿಂದ ಬರೆಯಿರಿ:
| a n = a 1 + (n-1)d |
ಮತ್ತು ಈಗ, ಸೂತ್ರದ ಅಕ್ಷರಗಳನ್ನು ನೋಡುವಾಗ, ನಾವು ಯಾವ ಡೇಟಾವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಏನು ಕಾಣೆಯಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ? ಲಭ್ಯವಿದೆ d=-0.5,ಹದಿನೇಳನೇ ಸದಸ್ಯ ಇದ್ದಾನೆ... ಅದು? ಅದು ಎಂದು ನೀವು ಭಾವಿಸಿದರೆ, ನೀವು ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಹೌದು ...
ನಮ್ಮ ಬಳಿ ಇನ್ನೂ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆ ಇದೆ ಎನ್! ಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ a 17 =-2ಮರೆಮಾಡಲಾಗಿದೆ ಎರಡು ನಿಯತಾಂಕಗಳು.ಇದು ಹದಿನೇಳನೇ ಪದದ (-2) ಮೌಲ್ಯ ಮತ್ತು ಅದರ ಸಂಖ್ಯೆ (17) ಎರಡೂ ಆಗಿದೆ. ಆ. n=17.ಈ "ಟ್ರಿಫಲ್" ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ತಲೆಯ ಹಿಂದೆ ಜಾರಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಅದು ಇಲ್ಲದೆ, ("ಟ್ರಿಫಲ್" ಇಲ್ಲದೆ, ತಲೆ ಅಲ್ಲ!) ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಆದರೂ ... ಮತ್ತು ತಲೆ ಇಲ್ಲದೆ.)
ಈಗ ನಾವು ಮೂರ್ಖತನದಿಂದ ನಮ್ಮ ಡೇಟಾವನ್ನು ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸಬಹುದು:
a 17 = a 1 + (17-1)·(-0.5)
ಹೌದು ಓಹ್, ಒಂದು 17ಇದು -2 ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ. ಸರಿ, ಬದಲಿ ಮಾಡೋಣ:
-2 = a 1 + (17-1)·(-0.5)
ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಅಷ್ಟೆ. ಸೂತ್ರದಿಂದ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಮೊದಲ ಪದವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲು ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಇದು ಉಳಿದಿದೆ. ಉತ್ತರ ಹೀಗಿರುತ್ತದೆ: a 1 = 6.
ಈ ತಂತ್ರ - ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬರೆಯುವುದು ಮತ್ತು ತಿಳಿದಿರುವ ಡೇಟಾವನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ಬದಲಿಸುವುದು - ಸರಳ ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಉತ್ತಮ ಸಹಾಯವಾಗಿದೆ. ಸರಿ, ಸಹಜವಾಗಿ, ನೀವು ಸೂತ್ರದಿಂದ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲು ಶಕ್ತರಾಗಿರಬೇಕು, ಆದರೆ ಏನು ಮಾಡಬೇಕು!? ಈ ಕೌಶಲ್ಯವಿಲ್ಲದೆ, ಗಣಿತವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ...
ಮತ್ತೊಂದು ಜನಪ್ರಿಯ ಒಗಟು:
1 =2 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ (a n); a 15 =12.
ನಾವೇನು ಮಾಡುತ್ತಿದ್ದೇವೆ? ನಿಮಗೆ ಆಶ್ಚರ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ, ನಾವು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತಿದ್ದೇವೆ!)
| a n = a 1 + (n-1)d |
ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿರುವುದನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ: a 1 =2; a 15 =12; ಮತ್ತು (ನಾನು ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಹೈಲೈಟ್ ಮಾಡುತ್ತೇನೆ!) n=15. ಇದನ್ನು ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ಬದಲಿಸಲು ಹಿಂಜರಿಯಬೇಡಿ:
12=2 + (15-1)d
ನಾವು ಅಂಕಗಣಿತವನ್ನು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ.)
12=2 + 14ಡಿ
ಡಿ=10/14 = 5/7
ಇದು ಸರಿಯಾದ ಉತ್ತರ.
ಆದ್ದರಿಂದ, ಕಾರ್ಯಗಳು a n, a 1ಮತ್ತು ಡಿನಿರ್ಧರಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಹೇಗೆ ಎಂದು ಕಲಿಯುವುದು ಮಾತ್ರ ಉಳಿದಿದೆ:
ಸಂಖ್ಯೆ 99 ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ (a n) ಸದಸ್ಯ, ಅಲ್ಲಿ a 1 =12; d=3. ಈ ಸದಸ್ಯರ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹುಡುಕಿ.
ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿರುವ ಪ್ರಮಾಣಗಳನ್ನು ನಾವು n ನೇ ಪದದ ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ:
a n = 12 + (n-1) 3
ಮೊದಲ ನೋಟದಲ್ಲಿ, ಇಲ್ಲಿ ಎರಡು ಅಪರಿಚಿತ ಪ್ರಮಾಣಗಳಿವೆ: a n ಮತ್ತು n.ಆದರೆ ಒಂದು ಎನ್- ಇದು ಸಂಖ್ಯೆಯೊಂದಿಗಿನ ಪ್ರಗತಿಯ ಕೆಲವು ಸದಸ್ಯರು ಎನ್ಮತ್ತು ಪ್ರಗತಿಯ ಈ ಸದಸ್ಯ ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ! ಇದು 99. ಅದರ ಸಂಖ್ಯೆ ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ. n,ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನೀವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು. ನಾವು ಪ್ರಗತಿ 99 ಪದವನ್ನು ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ:
99 = 12 + (n-1) 3
ನಾವು ಸೂತ್ರದಿಂದ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ ಎನ್, ನಾವು ಯೋಚಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಉತ್ತರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: n=30.
ಮತ್ತು ಈಗ ಅದೇ ವಿಷಯದ ಮೇಲೆ ಸಮಸ್ಯೆ, ಆದರೆ ಹೆಚ್ಚು ಸೃಜನಶೀಲವಾಗಿದೆ):
117 ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ (a n) ಸದಸ್ಯರೇ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ:
-3,6; -2,4; -1,2 ...
ಮತ್ತೆ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬರೆಯೋಣ. ಏನು, ಯಾವುದೇ ನಿಯತಾಂಕಗಳಿಲ್ಲವೇ? ಹಾಂ... ನಮಗೆ ಕಣ್ಣುಗಳನ್ನು ಏಕೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ?) ನಾವು ಪ್ರಗತಿಯ ಮೊದಲ ಪದವನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆಯೇ? ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ. ಇದು -3.6. ನೀವು ಸುರಕ್ಷಿತವಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು: a 1 = -3.6.ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಡಿನೀವು ಸರಣಿಯಿಂದ ಹೇಳಬಹುದೇ? ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವೇನು ಎಂದು ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ ಅದು ಸುಲಭವಾಗಿದೆ:
d = -2.4 - (-3.6) = 1.2
ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಸರಳವಾದ ಕೆಲಸವನ್ನು ಮಾಡಿದ್ದೇವೆ. ಅಪರಿಚಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಎದುರಿಸಲು ಇದು ಉಳಿದಿದೆ ಎನ್ಮತ್ತು ಅಗ್ರಾಹ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ 117. ಹಿಂದಿನ ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ, ಕನಿಷ್ಠ ಇದು ನೀಡಿದ ಪ್ರಗತಿಯ ಪದ ಎಂದು ತಿಳಿದುಬಂದಿದೆ. ಆದರೆ ಇಲ್ಲಿ ನಮಗೆ ಗೊತ್ತಿಲ್ಲ ... ಏನು ಮಾಡಬೇಕು!? ಸರಿ, ಹೇಗಿರಬೇಕು, ಹೇಗಿರಬೇಕು... ನಿಮ್ಮ ಸೃಜನಾತ್ಮಕ ಸಾಮರ್ಥ್ಯಗಳನ್ನು ಆನ್ ಮಾಡಿ!)
ನಾವು ಊಹಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ 117, ಎಲ್ಲಾ ನಂತರ, ನಮ್ಮ ಪ್ರಗತಿಯ ಸದಸ್ಯ. ಅಪರಿಚಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯೊಂದಿಗೆ ಎನ್. ಮತ್ತು, ಹಿಂದಿನ ಸಮಸ್ಯೆಯಂತೆಯೇ, ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ. ಆ. ನಾವು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ (ಹೌದು, ಹೌದು!)) ಮತ್ತು ನಮ್ಮ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ:
117 = -3.6 + (n-1) 1.2
ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ನಾವು ಸೂತ್ರದಿಂದ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತೇವೆಎನ್, ನಾವು ಎಣಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
ಅಯ್ಯೋ! ಸಂಖ್ಯೆ ಹೊರಹೊಮ್ಮಿತು ಭಾಗಶಃ!ನೂರ ಒಂದೂವರೆ. ಮತ್ತು ಪ್ರಗತಿಯಲ್ಲಿ ಭಾಗಶಃ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ.ನಾವು ಯಾವ ತೀರ್ಮಾನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು? ಹೌದು! ಸಂಖ್ಯೆ 117 ಅಲ್ಲನಮ್ಮ ಪ್ರಗತಿಯ ಸದಸ್ಯ. ಇದು ನೂರು ಮತ್ತು ಮೊದಲ ಮತ್ತು ನೂರ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ಪದಗಳ ನಡುವೆ ಎಲ್ಲೋ ಇದೆ. ಸಂಖ್ಯೆ ನೈಸರ್ಗಿಕವಾಗಿ ಹೊರಹೊಮ್ಮಿದರೆ, ಅಂದರೆ. ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿದೆ, ನಂತರ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಕಂಡುಬರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಗತಿಯ ಸದಸ್ಯರಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಉತ್ತರ ಹೀಗಿರುತ್ತದೆ: ಸಂ.
GIA ಯ ನೈಜ ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿದ ಕಾರ್ಯ:
ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ:
a n = -4 + 6.8n
ಪ್ರಗತಿಯ ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಹತ್ತನೇ ಪದಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ.
ಇಲ್ಲಿ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಅಸಾಮಾನ್ಯ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೊಂದಿಸಲಾಗಿದೆ. ಕೆಲವು ರೀತಿಯ ಸೂತ್ರ ... ಇದು ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ.) ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ಸೂತ್ರ (ನಾನು ಮೇಲೆ ಬರೆದಂತೆ) - ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ n ನೇ ಅವಧಿಯ ಸೂತ್ರವೂ ಸಹ!ಅವಳು ಸಹ ಅನುಮತಿಸುತ್ತಾಳೆ ಪ್ರಗತಿಯ ಯಾವುದೇ ಸದಸ್ಯರನ್ನು ಅದರ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೂಲಕ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
ನಾವು ಮೊದಲ ಸದಸ್ಯರನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತಿದ್ದೇವೆ. ಯೋಚಿಸುವವನು. ಮೊದಲ ಪದವು ಮೈನಸ್ ನಾಲ್ಕು ಮಾರಣಾಂತಿಕವಾಗಿ ತಪ್ಪಾಗಿದೆ!) ಏಕೆಂದರೆ ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಮಾರ್ಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅದರಲ್ಲಿ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಮೊದಲ ಪದ ಮರೆಮಾಡಲಾಗಿದೆ.ಪರವಾಗಿಲ್ಲ, ನಾವು ಈಗ ಅದನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.)
ಹಿಂದಿನ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಂತೆ, ನಾವು ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ n=1ಈ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ:
a 1 = -4 + 6.8 1 = 2.8
ಇಲ್ಲಿ! ಮೊದಲ ಪದವು 2.8, -4 ಅಲ್ಲ!
ನಾವು ಹತ್ತನೇ ಅವಧಿಯನ್ನು ಅದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ನೋಡುತ್ತೇವೆ:
a 10 = -4 + 6.8 10 = 64
ಅಷ್ಟೇ.
ಮತ್ತು ಈಗ, ಈ ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಓದಿದವರಿಗೆ, ಭರವಸೆಯ ಬೋನಸ್.)
ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆ ಅಥವಾ ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಕಠಿಣ ಯುದ್ಧದ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ, ನೀವು ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ n ನೇ ಅವಧಿಗೆ ಉಪಯುಕ್ತ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಮರೆತಿದ್ದೀರಿ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ನಾನು ಏನನ್ನಾದರೂ ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇನೆ, ಆದರೆ ಹೇಗಾದರೂ ಅನಿಶ್ಚಿತವಾಗಿ ... ಅಥವಾ ಎನ್ಅಲ್ಲಿ, ಅಥವಾ n+1, ಅಥವಾ n-1...ಹೇಗಿರಬೇಕು!?
ಶಾಂತ! ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯುವುದು ಸುಲಭ. ಇದು ತುಂಬಾ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಆತ್ಮವಿಶ್ವಾಸ ಮತ್ತು ಸರಿಯಾದ ನಿರ್ಧಾರಕ್ಕೆ ಇದು ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ!) ಒಂದು ತೀರ್ಮಾನವನ್ನು ಮಾಡಲು, ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಅರ್ಥವನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಲು ಮತ್ತು ಒಂದೆರಡು ನಿಮಿಷಗಳ ಸಮಯವನ್ನು ಹೊಂದಲು ಸಾಕು. ನೀವು ಕೇವಲ ಚಿತ್ರವನ್ನು ಸೆಳೆಯಬೇಕಾಗಿದೆ. ಸ್ಪಷ್ಟತೆಗಾಗಿ.
ಸಂಖ್ಯಾ ರೇಖೆಯನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ ಮತ್ತು ಅದರ ಮೇಲೆ ಮೊದಲನೆಯದನ್ನು ಗುರುತಿಸಿ. ಎರಡನೇ, ಮೂರನೇ, ಇತ್ಯಾದಿ. ಸದಸ್ಯರು. ಮತ್ತು ನಾವು ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಗಮನಿಸುತ್ತೇವೆ ಡಿಸದಸ್ಯರ ನಡುವೆ. ಹೀಗೆ:
ನಾವು ಚಿತ್ರವನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಯೋಚಿಸುತ್ತೇವೆ: ಎರಡನೇ ಪದವು ಏನು ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ? ಎರಡನೇ ಒಂದು ಡಿ:
ಎ 2 =ಎ 1 + 1 ಡಿ
ಮೂರನೇ ಅವಧಿ ಯಾವುದು? ಮೂರನೇಪದವು ಮೊದಲ ಅವಧಿಯ ಜೊತೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎರಡು ಡಿ.
ಎ 3 =ಎ 1 + 2 ಡಿ
ನೀವು ಅದನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಾ? ನಾನು ಕೆಲವು ಪದಗಳನ್ನು ದಪ್ಪದಲ್ಲಿ ಎತ್ತಿ ತೋರಿಸುವುದು ಯಾವುದಕ್ಕೂ ಅಲ್ಲ. ಸರಿ, ಇನ್ನೂ ಒಂದು ಹೆಜ್ಜೆ).
ನಾಲ್ಕನೇ ಅವಧಿ ಯಾವುದು? ನಾಲ್ಕನೇಪದವು ಮೊದಲ ಅವಧಿಯ ಜೊತೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮೂರು ಡಿ.
ಎ 4 =ಎ 1 + 3 ಡಿ
ಅಂತರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ಅರಿತುಕೊಳ್ಳುವ ಸಮಯ, ಅಂದರೆ. ಡಿ, ಯಾವಾಗಲೂ ನೀವು ಹುಡುಕುತ್ತಿರುವ ಸದಸ್ಯರ ಸಂಖ್ಯೆಗಿಂತ ಒಂದು ಕಡಿಮೆ ಎನ್. ಅಂದರೆ, ಸಂಖ್ಯೆಗೆ n, ಸ್ಥಳಗಳ ಸಂಖ್ಯೆತಿನ್ನುವೆ n-1.ಆದ್ದರಿಂದ, ಸೂತ್ರವು (ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳಿಲ್ಲದೆ!):
| a n = a 1 + (n-1)d |
ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ದೃಷ್ಟಿಗೋಚರ ಚಿತ್ರಗಳು ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಅನೇಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಬಹಳ ಸಹಾಯಕವಾಗಿವೆ. ಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸಬೇಡಿ. ಆದರೆ ಚಿತ್ರವನ್ನು ಸೆಳೆಯುವುದು ಕಷ್ಟವಾಗಿದ್ದರೆ, ಕೇವಲ ಒಂದು ಸೂತ್ರ!) ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, n ನೇ ಪದದ ಸೂತ್ರವು ಗಣಿತದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಶಕ್ತಿಯುತ ಆರ್ಸೆನಲ್ ಅನ್ನು ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ಸಂಪರ್ಕಿಸಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ - ಸಮೀಕರಣಗಳು, ಅಸಮಾನತೆಗಳು, ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು, ಇತ್ಯಾದಿ. ನೀವು ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಚಿತ್ರವನ್ನು ಸೇರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ...
ಸ್ವತಂತ್ರ ಪರಿಹಾರಕ್ಕಾಗಿ ಕಾರ್ಯಗಳು.
ಬೆಚ್ಚಗಾಗಲು:
1. ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯಲ್ಲಿ (a n) a 2 =3; a 5 =5.1. 3 ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ.
ಸುಳಿವು: ಚಿತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ, ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು 20 ಸೆಕೆಂಡುಗಳಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು ... ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ, ಇದು ಹೆಚ್ಚು ಕಷ್ಟಕರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಮಾಸ್ಟರಿಂಗ್ ಮಾಡಲು, ಇದು ಹೆಚ್ಚು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ.) ವಿಭಾಗ 555 ರಲ್ಲಿ, ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಚಿತ್ರ ಮತ್ತು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಅನುಭವಿಸಿ!)
ಮತ್ತು ಇದು ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಅಭ್ಯಾಸವಲ್ಲ.)
2. ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯಲ್ಲಿ (a n) a 85 =19.1; a 236 =49, 3. a 3 ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ.
ಏನು, ನೀವು ಚಿತ್ರವನ್ನು ಸೆಳೆಯಲು ಬಯಸುವುದಿಲ್ಲವೇ?) ಖಂಡಿತ! ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ ಉತ್ತಮ, ಹೌದು ...
3. ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ:a 1 = -5.5; a n+1 = a n +0.5. ಈ ಪ್ರಗತಿಯ ನೂರ ಇಪ್ಪತ್ತೈದನೇ ಪದವನ್ನು ಹುಡುಕಿ.
ಈ ಕಾರ್ಯದಲ್ಲಿ, ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿತ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಆದರೆ ನೂರಾ ಇಪ್ಪತ್ತೈದನೇ ಅವಧಿಗೆ ಎಣಿಸುವುದಾದರೆ... ಎಲ್ಲರೂ ಅಂತಹ ಸಾಹಸಕ್ಕೆ ಸಮರ್ಥರಲ್ಲ.) ಆದರೆ n ನೆಯ ಅವಧಿಯ ಸೂತ್ರವು ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬರ ಶಕ್ತಿಯಲ್ಲಿದೆ!
4. ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ (a n):
-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....
ಪ್ರಗತಿಯ ಚಿಕ್ಕ ಧನಾತ್ಮಕ ಪದದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
5. ಕಾರ್ಯ 4 ರ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳ ಪ್ರಕಾರ, ಪ್ರಗತಿಯ ಚಿಕ್ಕ ಧನಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ದೊಡ್ಡ ಋಣಾತ್ಮಕ ಪದಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
6. ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಐದನೇ ಮತ್ತು ಹನ್ನೆರಡನೆಯ ಪದಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವು -2.5 ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಮತ್ತು ಹನ್ನೊಂದನೇ ಪದಗಳ ಮೊತ್ತವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. 14 ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ.
ಸುಲಭವಾದ ಕೆಲಸವಲ್ಲ, ಹೌದು...) "ಬೆರಳ ತುದಿ" ವಿಧಾನವು ಇಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ನೀವು ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬರೆಯಬೇಕು ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬೇಕು.
ಉತ್ತರಗಳು (ಅಸ್ತವ್ಯಸ್ತವಾಗಿದೆ):
3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5
ಸಂಭವಿಸಿದ? ಚೆನ್ನಾಗಿದೆ!)
ಎಲ್ಲವೂ ಕಾರ್ಯರೂಪಕ್ಕೆ ಬರುವುದಿಲ್ಲವೇ? ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ. ಮೂಲಕ, ಕೊನೆಯ ಕಾರ್ಯದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸೂಕ್ಷ್ಮ ಅಂಶವಿದೆ. ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಓದುವಾಗ ಕಾಳಜಿಯ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ತರ್ಕ.
ಈ ಎಲ್ಲಾ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ವಿಭಾಗ 555 ರಲ್ಲಿ ವಿವರವಾಗಿ ಚರ್ಚಿಸಲಾಗಿದೆ. ಮತ್ತು ನಾಲ್ಕನೆಯದಕ್ಕೆ ಫ್ಯಾಂಟಸಿ ಅಂಶ, ಮತ್ತು ಆರನೆಯ ಸೂಕ್ಷ್ಮ ಅಂಶ ಮತ್ತು n ನೇ ಪದದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಯಾವುದೇ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಧಾನಗಳು - ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ. ನಾನು ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ.
ನೀವು ಈ ಸೈಟ್ ಅನ್ನು ಇಷ್ಟಪಟ್ಟರೆ...
ಅಂದಹಾಗೆ, ನಾನು ನಿಮಗಾಗಿ ಇನ್ನೂ ಒಂದೆರಡು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಸೈಟ್‌ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇನೆ.)
ನೀವು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದನ್ನು ಅಭ್ಯಾಸ ಮಾಡಬಹುದು ಮತ್ತು ನಿಮ್ಮ ಮಟ್ಟವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ತ್ವರಿತ ಪರಿಶೀಲನೆಯೊಂದಿಗೆ ಪರೀಕ್ಷೆ. ಕಲಿಯೋಣ - ಆಸಕ್ತಿಯಿಂದ!)
ನೀವು ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನಗಳೊಂದಿಗೆ ಪರಿಚಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು.
ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅನುಕ್ರಮ \(2\); \(5\); \(8\); \(ಹನ್ನೊಂದು\); \(14\)... ಒಂದು ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಪ್ರತಿ ನಂತರದ ಅಂಶವು ಹಿಂದಿನ ಒಂದರಿಂದ ಮೂರರಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಮೂರನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಹಿಂದಿನದರಿಂದ ಪಡೆಯಬಹುದು):
ಈ ಪ್ರಗತಿಯಲ್ಲಿ, ವ್ಯತ್ಯಾಸ \(d\) ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ (\(3\) ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ), ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಪ್ರತಿ ಮುಂದಿನ ಪದವು ಹಿಂದಿನದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿದೆ.
ಆದಾಗ್ಯೂ, \(d\) ಸಹ ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯಲ್ಲಿ \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... ಪ್ರಗತಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸ \(d\) ಮೈನಸ್ ಆರಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಮತ್ತು ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಪ್ರತಿ ಮುಂದಿನ ಅಂಶವು ಹಿಂದಿನದಕ್ಕಿಂತ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಪ್ರಗತಿಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿದೆ.
ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಸಂಕೇತ
ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಸಣ್ಣ ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಅಕ್ಷರದಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸದಸ್ಯರು(ಅಥವಾ ಅಂಶಗಳು).
ಅವುಗಳನ್ನು ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯಂತೆ ಅದೇ ಅಕ್ಷರದಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿರುವ ಅಂಶದ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಸೂಚ್ಯಂಕದೊಂದಿಗೆ.
ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿ \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14...\right\)\) ಅಂಶಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) ಮತ್ತು ಹೀಗೆ.
ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಪ್ರಗತಿಗಾಗಿ \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14...\ಬಲ\)\)
ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು
ತಾತ್ವಿಕವಾಗಿ, ಮೇಲೆ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಿದ ಮಾಹಿತಿಯು ಯಾವುದೇ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಈಗಾಗಲೇ ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ (OGE ನಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದವುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ).
ಉದಾಹರಣೆ (OGE).
ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಷರತ್ತುಗಳಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗಿದೆ \(b_1=7; d=4\). \(b_5\) ಹುಡುಕಿ
ಪರಿಹಾರ:
ಉತ್ತರ: \(b_5=23\)
ಉದಾಹರಣೆ (OGE).
ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಮೊದಲ ಮೂರು ಪದಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ: \(62; 49; 36...\) ಈ ಪ್ರಗತಿಯ ಮೊದಲ ಋಣಾತ್ಮಕ ಪದದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ..
ಪರಿಹಾರ:
|
ನಮಗೆ ಅನುಕ್ರಮದ ಮೊದಲ ಅಂಶಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿ ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ. ಅಂದರೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶವು ಅದರ ನೆರೆಹೊರೆಯವರಿಂದ ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮುಂದಿನ ಅಂಶದಿಂದ ಹಿಂದಿನದನ್ನು ಕಳೆಯುವುದರ ಮೂಲಕ ಯಾವುದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ: \(d=49-62=-13\). |
|
|
ಈಗ ನಾವು ನಮ್ಮ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ನಮಗೆ ಅಗತ್ಯವಿರುವ (ಮೊದಲ ಋಣಾತ್ಮಕ) ಅಂಶಕ್ಕೆ ಮರುಸ್ಥಾಪಿಸಬಹುದು. |
|
|
ಸಿದ್ಧವಾಗಿದೆ. ನೀವು ಉತ್ತರವನ್ನು ಬರೆಯಬಹುದು. |
ಉತ್ತರ: \(-3\)
ಉದಾಹರಣೆ (OGE).
ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಹಲವಾರು ಸತತ ಅಂಶಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ: \(...5; x; 10; 12.5...\) \(x\) ಅಕ್ಷರದಿಂದ ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಿದ ಅಂಶದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
ಪರಿಹಾರ:
|
|
\(x\) ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ಮುಂದಿನ ಅಂಶವು ಹಿಂದಿನದಕ್ಕಿಂತ ಎಷ್ಟು ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು, ಅಂದರೆ, ಪ್ರಗತಿಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸ. ತಿಳಿದಿರುವ ಎರಡು ನೆರೆಯ ಅಂಶಗಳಿಂದ ಅದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ: \(d=12.5-10=2.5\). |
|
|
ಮತ್ತು ಈಗ ನಾವು ಹುಡುಕುತ್ತಿರುವುದನ್ನು ನಾವು ಸುಲಭವಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು: \(x=5+2.5=7.5\). |
|
|
ಸಿದ್ಧವಾಗಿದೆ. ನೀವು ಉತ್ತರವನ್ನು ಬರೆಯಬಹುದು. |
ಉತ್ತರ: \(7,5\).
ಉದಾಹರಣೆ (OGE).
ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಷರತ್ತುಗಳಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) ಈ ಪ್ರಗತಿಯ ಮೊದಲ ಆರು ಪದಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಹುಡುಕಿ.
ಪರಿಹಾರ:
|
ನಾವು ಪ್ರಗತಿಯ ಮೊದಲ ಆರು ಪದಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು. ಆದರೆ ಅವುಗಳ ಅರ್ಥಗಳು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ; ನಮಗೆ ಮೊದಲ ಅಂಶವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಮೊದಲು ನಮಗೆ ನೀಡಲಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಒಂದೊಂದಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) |
|
|
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) |
ಅಗತ್ಯ ಮೊತ್ತ ಪತ್ತೆಯಾಗಿದೆ. |
ಉತ್ತರ: \(S_6=9\).
ಉದಾಹರಣೆ (OGE).
ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯಲ್ಲಿ \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). ಈ ಪ್ರಗತಿಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
ಪರಿಹಾರ:
ಉತ್ತರ: \(d=7\).
ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಗೆ ಪ್ರಮುಖ ಸೂತ್ರಗಳು
ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯಲ್ಲಿನ ಅನೇಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಮುಖ್ಯ ವಿಷಯವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ಸರಳವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು - ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸರಪಳಿಯಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಈ ಸರಪಳಿಯಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶವನ್ನು ಹಿಂದಿನದಕ್ಕೆ ಅದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ( ಪ್ರಗತಿಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸ).
ಆದಾಗ್ಯೂ, ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ "ಹೆಡ್-ಆನ್" ಅನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವಾಗ ಬಹಳ ಅನಾನುಕೂಲವಾದ ಸಂದರ್ಭಗಳಿವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೊದಲ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ನಾವು ಐದನೇ ಅಂಶ \(b_5\), ಆದರೆ ಮುನ್ನೂರ ಎಂಬತ್ತಾರನೇ \(b_(386)\) ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು ಎಂದು ಊಹಿಸಿ. ನಾವು ನಾಲ್ಕು \(385\) ಬಾರಿ ಸೇರಿಸಬೇಕೇ? ಅಥವಾ ಅಂತಿಮ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ನೀವು ಮೊದಲ ಎಪ್ಪತ್ತಮೂರು ಅಂಶಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು ಎಂದು ಊಹಿಸಿ. ನೀವು ಎಣಿಸಲು ಸುಸ್ತಾಗುತ್ತೀರಿ ...
ಆದ್ದರಿಂದ, ಅಂತಹ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಅವರು "ಹೆಡ್-ಆನ್" ವಿಷಯಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಗಾಗಿ ಪಡೆದ ವಿಶೇಷ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತಾರೆ. ಮತ್ತು ಮುಖ್ಯವಾದವುಗಳು ಪ್ರಗತಿಯ n ನೇ ಪದದ ಸೂತ್ರ ಮತ್ತು \(n\) ಮೊದಲ ಪದಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸೂತ್ರವಾಗಿದೆ.
\(n\)ನೇ ಪದದ ಸೂತ್ರ: \(a_n=a_1+(n-1)d\), ಇಲ್ಲಿ \(a_1\) ಪ್ರಗತಿಯ ಮೊದಲ ಪದವಾಗಿದೆ;
\(n\) - ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಅಂಶದ ಸಂಖ್ಯೆ;
\(a_n\) – ಸಂಖ್ಯೆ \(n\) ಜೊತೆಗೆ ಪ್ರಗತಿಯ ಪದ
ಈ ಸೂತ್ರವು ಪ್ರಗತಿಯ ಮೊದಲ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಮಾತ್ರ ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ಮುನ್ನೂರನೇ ಅಥವಾ ಮಿಲಿಯನ್ ಅಂಶವನ್ನು ತ್ವರಿತವಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ.
ಉದಾಹರಣೆ.
ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಷರತ್ತುಗಳಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ: \(b_1=-159\); \(d=8.2\). \(b_(246)\) ಹುಡುಕಿ
ಪರಿಹಾರ:
ಉತ್ತರ: \(b_(246)=1850\).
ಮೊದಲ n ಪದಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸೂತ್ರ: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), ಅಲ್ಲಿ
\(a_n\) – ಕೊನೆಯ ಸಾರಾಂಶ ಪದ;
ಉದಾಹರಣೆ (OGE).
ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಷರತ್ತುಗಳು \(a_n=3.4n-0.6\) ಮೂಲಕ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ಪ್ರಗತಿಯ ಮೊದಲ \(25\) ನಿಯಮಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಹುಡುಕಿ.
ಪರಿಹಾರ:
|
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\) |
ಮೊದಲ ಇಪ್ಪತ್ತೈದು ಪದಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು, ನಾವು ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಇಪ್ಪತ್ತೈದನೇ ಪದಗಳ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು. |
|
|
\(n=1;\) \(a_1=3.4·1-0.6=2.8\) |
ಈಗ \(n\) ಬದಲಿಗೆ ಇಪ್ಪತ್ತೈದನ್ನು ಬದಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ಇಪ್ಪತ್ತೈದನೇ ಪದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. |
|
|
\(n=25;\) \(a_(25)=3.4·25-0.6=84.4\) |
ಸರಿ, ಈಗ ನಾವು ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬಹುದು. |
|
|
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) |
ಉತ್ತರ ಸಿದ್ಧವಾಗಿದೆ. |
ಉತ್ತರ: \(S_(25)=1090\).
ಮೊದಲ ನಿಯಮಗಳ ಮೊತ್ತ \(n\) ಗೆ, ನೀವು ಇನ್ನೊಂದು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು: ನೀವು ಕೇವಲ \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) ಬದಲಿಗೆ \(a_n\) ಅದಕ್ಕೆ ಸೂತ್ರವನ್ನು \(a_n=a_1+(n-1)d\). ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
ಮೊದಲ n ಪದಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸೂತ್ರ: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), ಅಲ್ಲಿ
\(S_n\) – ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಮೊತ್ತ \(n\) ಮೊದಲ ಅಂಶ;
\(a_1\) – ಮೊದಲ ಸಾರಾಂಶ ಪದ;
\(d\) - ಪ್ರಗತಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸ;
\(n\) – ಒಟ್ಟು ಅಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ.
ಉದಾಹರಣೆ.
ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಮೊದಲ \(33\)-ಮಾಜಿ ನಿಯಮಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಹುಡುಕಿ: \(17\); \(15.5\); \(14\)…
ಪರಿಹಾರ:
ಉತ್ತರ: \(S_(33)=-231\).
ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು
ಈಗ ನೀವು ಯಾವುದೇ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೀರಿ. ನೀವು ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಬೇಕಾದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ವಿಷಯವನ್ನು ಮುಗಿಸೋಣ, ಆದರೆ ಸ್ವಲ್ಪ ಯೋಚಿಸಿ (ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಇದು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಬಹುದು ☺)
ಉದಾಹರಣೆ (OGE).
ಪ್ರಗತಿಯ ಎಲ್ಲಾ ಋಣಾತ್ಮಕ ಪದಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಹುಡುಕಿ: \(-19.3\); \(-19\); \(-18.7\)…
ಪರಿಹಾರ:
|
\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\) |
ಕಾರ್ಯವು ಹಿಂದಿನದಕ್ಕೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ. ನಾವು ಅದೇ ವಿಷಯವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತೇವೆ: ಮೊದಲು ನಾವು \(d\) ಅನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. |
|
|
\(d=a_2-a_1=-19-(-19.3)=0.3\) |
ಈಗ ನಾನು ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ \(d\) ಅನ್ನು ಬದಲಿಸಲು ಬಯಸುತ್ತೇನೆ ... ಮತ್ತು ಇಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಣ್ಣ ಸೂಕ್ಷ್ಮ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಹೊರಹೊಮ್ಮುತ್ತದೆ - ನಮಗೆ \(n\) ತಿಳಿದಿಲ್ಲ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಎಷ್ಟು ಪದಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಬೇಕು ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ. ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಹೇಗೆ? ಯೋಚಿಸೋಣ. ನಾವು ಮೊದಲ ಧನಾತ್ಮಕ ಅಂಶವನ್ನು ತಲುಪಿದಾಗ ನಾವು ಅಂಶಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದನ್ನು ನಿಲ್ಲಿಸುತ್ತೇವೆ. ಅಂದರೆ, ಈ ಅಂಶದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನೀವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು. ಹೇಗೆ? ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಯಾವುದೇ ಅಂಶವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬರೆಯೋಣ: ನಮ್ಮ ಪ್ರಕರಣಕ್ಕೆ \(a_n=a_1+(n-1)d\). |
|
|
\(a_n=a_1+(n-1)d\) |
||
|
\(a_n=-19.3+(n-1)·0.3\) |
ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾಗಲು ನಮಗೆ \(a_n\) ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ಇದು ಏನಾಗುತ್ತದೆ \(n\) ನಲ್ಲಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. |
|
|
\(-19.3+(n-1)·0.3>0\) |
||
|
\((ಎನ್-1)·0.3>19.3\) \(|:0.3\) |
ನಾವು ಅಸಮಾನತೆಯ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು \(0.3\) ಮೂಲಕ ಭಾಗಿಸುತ್ತೇವೆ. |
|
|
\(n-1>\)\(\frac(19.3)(0.3)\) |
ನಾವು ಮೈನಸ್ ಒಂದನ್ನು ವರ್ಗಾಯಿಸುತ್ತೇವೆ, ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಲು ಮರೆಯುವುದಿಲ್ಲ |
|
|
\(n>\)\(\frac(19.3)(0.3)\) \(+1\) |
ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕೋಣ... |
|
|
\(n>65,333...\) |
ಮತ್ತು ಮೊದಲ ಧನಾತ್ಮಕ ಅಂಶವು \(66\) ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ. ಅದರಂತೆ, ಕೊನೆಯ ಋಣಾತ್ಮಕವು \(n=65\) ಹೊಂದಿದೆ. ಒಂದು ವೇಳೆ, ಇದನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ. |
|
|
\(n=65;\) \(a_(65)=-19.3+(65-1)·0.3=-0.1\) |
ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಮೊದಲ \(65\) ಅಂಶಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. |
|
|
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19.3)+(65-1)0.3)(2)\)\(\cdot 65\) |
ಉತ್ತರ ಸಿದ್ಧವಾಗಿದೆ. |
ಉತ್ತರ: \(S_(65)=-630.5\).
ಉದಾಹರಣೆ (OGE).
ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಷರತ್ತುಗಳಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). \(26\)th ನಿಂದ \(42\) ಅಂಶವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಹುಡುಕಿ.
ಪರಿಹಾರ:
|
\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\) |
ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ನೀವು ಅಂಶಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಸಹ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು, ಆದರೆ ಮೊದಲಿನಿಂದ ಅಲ್ಲ, ಆದರೆ \(26\) ನೇಯಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ. ಅಂತಹ ಪ್ರಕರಣಕ್ಕೆ ನಮ್ಮ ಬಳಿ ಸೂತ್ರವಿಲ್ಲ. ಹೇಗೆ ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು? |
|
|
ನಮ್ಮ ಪ್ರಗತಿಗಾಗಿ \(a_1=-33\), ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸ \(d=4\) (ಎಲ್ಲಾ ನಂತರ, ಮುಂದಿನದನ್ನು ಹುಡುಕಲು ನಾವು ಹಿಂದಿನ ಅಂಶಕ್ಕೆ ನಾಲ್ಕನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ). ಇದನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಂಡು, ನಾವು ಮೊದಲ \(42\) -y ಅಂಶಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. |
|
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) |
ಈಗ ಮೊದಲ \(25\) ಅಂಶಗಳ ಮೊತ್ತ. |
|
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) |
ಮತ್ತು ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ನಾವು ಉತ್ತರವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುತ್ತೇವೆ. |
|
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\) |
ಉತ್ತರ: \(S=1683\).
ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಗಾಗಿ, ಅವುಗಳ ಕಡಿಮೆ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಉಪಯುಕ್ತತೆಯಿಂದಾಗಿ ನಾವು ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಪರಿಗಣಿಸದ ಇನ್ನೂ ಹಲವಾರು ಸೂತ್ರಗಳಿವೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ನೀವು ಅವುಗಳನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು.
ಗಮನ!
ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಇವೆ
ವಿಶೇಷ ವಿಭಾಗ 555 ರಲ್ಲಿನ ವಸ್ತುಗಳು.
ತುಂಬಾ "ತುಂಬಾ ಅಲ್ಲ..." ಇರುವವರಿಗೆ
ಮತ್ತು "ತುಂಬಾ..." ಇರುವವರಿಗೆ)
ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸರಣಿಯಾಗಿದ್ದು, ಇದರಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅದೇ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಹಿಂದಿನದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಅಥವಾ ಕಡಿಮೆ).
ಈ ವಿಷಯವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಮತ್ತು ಗ್ರಹಿಸಲಾಗದಂತಿದೆ. ಅಕ್ಷರಗಳ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳು, ಪ್ರಗತಿಯ n ನೇ ಅವಧಿ, ಪ್ರಗತಿಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸ - ಇವೆಲ್ಲವೂ ಹೇಗಾದರೂ ಗೊಂದಲಮಯವಾಗಿದೆ, ಹೌದು ... ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಅರ್ಥವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲವೂ ತಕ್ಷಣವೇ ಉತ್ತಮಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.)
ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ.
ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯು ಅತ್ಯಂತ ಸರಳ ಮತ್ತು ಸ್ಪಷ್ಟ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯಾಗಿದೆ. ನಿಮಗೆ ಏನಾದರೂ ಸಂದೇಹವಿದೆಯೇ? ವ್ಯರ್ಥವಾಯಿತು.) ನೀವೇ ನೋಡಿ.
ನಾನು ಅಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸರಣಿಯನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇನೆ:
1, 2, 3, 4, 5, ...
ನೀವು ಈ ಸರಣಿಯನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದೇ? ಐದು ನಂತರ ಯಾವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮುಂದೆ ಬರುತ್ತವೆ? ಎಲ್ಲರೂ... ಉಹ್..., ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ, 6, 7, 8, 9, ಇತ್ಯಾದಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮುಂದೆ ಬರುತ್ತವೆ ಎಂದು ಎಲ್ಲರೂ ಅರಿತುಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ.
ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸಂಕೀರ್ಣಗೊಳಿಸೋಣ. ನಾನು ನಿಮಗೆ ಅಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸರಣಿಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತೇನೆ:
2, 5, 8, 11, 14, ...
ನೀವು ಮಾದರಿಯನ್ನು ಹಿಡಿಯಲು, ಸರಣಿಯನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಲು ಮತ್ತು ಹೆಸರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ ಏಳನೇಸಾಲು ಸಂಖ್ಯೆ?
ಈ ಸಂಖ್ಯೆ 20 ಎಂದು ನೀವು ಅರಿತುಕೊಂಡರೆ, ಅಭಿನಂದನೆಗಳು! ನಿಮಗೆ ಅನಿಸಿದ್ದು ಮಾತ್ರವಲ್ಲ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಪ್ರಮುಖ ಅಂಶಗಳು,ಆದರೆ ಅವುಗಳನ್ನು ವ್ಯವಹಾರದಲ್ಲಿ ಯಶಸ್ವಿಯಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗಿದೆ! ನೀವು ಅದನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡದಿದ್ದರೆ, ಮುಂದೆ ಓದಿ.
ಈಗ ನಾವು ಸಂವೇದನೆಗಳಿಂದ ಗಣಿತಕ್ಕೆ ಪ್ರಮುಖ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಭಾಷಾಂತರಿಸೋಣ.)
ಮೊದಲ ಪ್ರಮುಖ ಅಂಶ.
ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸರಣಿಯೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುತ್ತದೆ.ಇದು ಮೊದಲಿಗೆ ಗೊಂದಲಮಯವಾಗಿದೆ. ನಾವು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ಗ್ರಾಫ್ಗಳನ್ನು ಚಿತ್ರಿಸಲು ಮತ್ತು ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಬಳಸುತ್ತೇವೆ ... ಆದರೆ ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಸರಣಿಯನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತೇವೆ, ಸರಣಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುತ್ತೇವೆ ...
ಪರವಾಗಿಲ್ಲ. ಪ್ರಗತಿಗಳು ಗಣಿತದ ಹೊಸ ಶಾಖೆಯೊಂದಿಗೆ ಮೊದಲ ಪರಿಚಯವಾಗಿದೆ. ವಿಭಾಗವನ್ನು "ಸರಣಿ" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಸರಣಿಯೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಅದನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳಿ.)
ಎರಡನೇ ಪ್ರಮುಖ ಅಂಶ.
ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯಲ್ಲಿ, ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಹಿಂದಿನದಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಅದೇ ಮೊತ್ತದಿಂದ.
ಮೊದಲ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಈ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಒಂದಾಗಿದೆ. ನೀವು ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೂ, ಅದು ಹಿಂದಿನದಕ್ಕಿಂತ ಒಂದು ಹೆಚ್ಚು. ಎರಡನೆಯದರಲ್ಲಿ - ಮೂರು. ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಹಿಂದಿನದಕ್ಕಿಂತ ಮೂರು ಹೆಚ್ಚು. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಈ ಕ್ಷಣವೇ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಗ್ರಹಿಸಲು ಮತ್ತು ನಂತರದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ನಮಗೆ ಅವಕಾಶವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ.
ಮೂರನೇ ಪ್ರಮುಖ ಅಂಶ.
ಈ ಕ್ಷಣವು ಗಮನಾರ್ಹವಲ್ಲ, ಹೌದು ... ಆದರೆ ಇದು ತುಂಬಾ ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ ಅವನು: ಪ್ರತಿ ಪ್ರಗತಿ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅದರ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿದೆ.ಮೊದಲ ಸಂಖ್ಯೆ ಇದೆ, ಏಳನೆಯದು, ನಲವತ್ತೈದನೆಯದು, ಇತ್ಯಾದಿ. ನೀವು ಅವುಗಳನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಬೆರೆಸಿದರೆ, ಮಾದರಿಯು ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯೂ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಇನ್ನು ಉಳಿದಿರುವುದು ಕೇವಲ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸರಣಿ ಮಾತ್ರ.
ಅದು ಸಂಪೂರ್ಣ ವಿಷಯವಾಗಿದೆ.
ಸಹಜವಾಗಿ, ಹೊಸ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಹೊಸ ನಿಯಮಗಳು ಮತ್ತು ಪದನಾಮಗಳು ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ನೀವು ಅವರನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ನೀವು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನೀವು ಏನನ್ನಾದರೂ ನಿರ್ಧರಿಸಬೇಕು:
a 2 = 5, d = -2.5 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ (a n) ಮೊದಲ ಆರು ಪದಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.
ಸ್ಪೂರ್ತಿದಾಯಕ?) ಅಕ್ಷರಗಳು, ಕೆಲವು ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳು ... ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯವು ಸರಳವಾಗಿರಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ನೀವು ನಿಯಮಗಳು ಮತ್ತು ಪದನಾಮಗಳ ಅರ್ಥವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಈಗ ನಾವು ಈ ವಿಷಯವನ್ನು ಕರಗತ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಹಿಂತಿರುಗುತ್ತೇವೆ.
ನಿಯಮಗಳು ಮತ್ತು ಪದನಾಮಗಳು.
ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಪ್ರತಿ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಹಿಂದಿನದಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸರಣಿಯಾಗಿದೆ ಅದೇ ಮೊತ್ತದಿಂದ.
ಈ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ . ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ವಿವರವಾಗಿ ನೋಡೋಣ.
ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸ.
ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸಯಾವುದೇ ಪ್ರಗತಿ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ ಹೆಚ್ಚುಹಿಂದಿನದು.
ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಅಂಶ. ದಯವಿಟ್ಟು ಪದಕ್ಕೆ ಗಮನ ಕೊಡಿ "ಹೆಚ್ಚು".ಗಣಿತದ ಪ್ರಕಾರ, ಇದರರ್ಥ ಪ್ರತಿ ಪ್ರಗತಿ ಸಂಖ್ಯೆ ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕಹಿಂದಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸ.
ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು, ಹೇಳೋಣ ಎರಡನೇಸರಣಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ನಿಮಗೆ ಅಗತ್ಯವಿದೆ ಪ್ರಥಮಸಂಖ್ಯೆ ಸೇರಿಸಿಇದು ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ. ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಕ್ಕಾಗಿ ಐದನೆಯದು- ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಅಗತ್ಯ ಸೇರಿಸಿಗೆ ನಾಲ್ಕನೇ,ಚೆನ್ನಾಗಿ, ಇತ್ಯಾದಿ.
ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸಇರಬಹುದು ಧನಾತ್ಮಕ,ನಂತರ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿ ಸಂಖ್ಯೆಯು ನಿಜವಾಗಿ ಹೊರಹೊಮ್ಮುತ್ತದೆ ಹಿಂದಿನದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು.ಈ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿದೆ.ಉದಾಹರಣೆಗೆ:
8; 13; 18; 23; 28; .....
ಇಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ, ಹಿಂದಿನದಕ್ಕೆ +5.
ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಇರಬಹುದು ಋಣಾತ್ಮಕ,ನಂತರ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಸಂಖ್ಯೆ ಇರುತ್ತದೆ ಹಿಂದಿನದಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ.ಈ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (ನೀವು ಅದನ್ನು ನಂಬುವುದಿಲ್ಲ!) ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿದೆ.
ಉದಾಹರಣೆಗೆ:
8; 3; -2; -7; -12; .....
ಇಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸಹ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕಹಿಂದಿನದಕ್ಕೆ, ಆದರೆ ಈಗಾಗಲೇ ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ, -5.
ಮೂಲಕ, ಪ್ರಗತಿಯೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವಾಗ, ಅದರ ಸ್ವಭಾವವನ್ನು ತಕ್ಷಣವೇ ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಇದು ತುಂಬಾ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ - ಅದು ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿದೆಯೇ ಅಥವಾ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿದೆಯೇ. ನಿರ್ಧಾರವನ್ನು ನ್ಯಾವಿಗೇಟ್ ಮಾಡಲು, ನಿಮ್ಮ ತಪ್ಪುಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಲು ಮತ್ತು ತಡವಾಗುವ ಮೊದಲು ಅವುಗಳನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸಲು ಇದು ಬಹಳಷ್ಟು ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ.
ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅಕ್ಷರದಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಡಿ.
ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಡಿ? ತುಂಬಾ ಸರಳ. ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಕಳೆಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕ ಹಿಂದಿನಸಂಖ್ಯೆ. ಕಳೆಯಿರಿ. ಮೂಲಕ, ವ್ಯವಕಲನದ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು "ವ್ಯತ್ಯಾಸ" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.)
ನಾವು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸೋಣ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಡಿಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಲು:
2, 5, 8, 11, 14, ...
ನಮಗೆ ಬೇಕಾದ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ ನಾವು ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 11. ನಾವು ಅದರಿಂದ ಕಳೆಯುತ್ತೇವೆ ಹಿಂದಿನ ಸಂಖ್ಯೆಆ. 8:
ಇದು ಸರಿಯಾದ ಉತ್ತರ. ಈ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಗೆ, ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಮೂರು.
ನೀವು ಅದನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು ಯಾವುದೇ ಪ್ರಗತಿ ಸಂಖ್ಯೆ,ಏಕೆಂದರೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರಗತಿಗಾಗಿ d-ಯಾವಾಗಲೂ ಒಂದೇ ರೀತಿ.ಕನಿಷ್ಠ ಎಲ್ಲೋ ಸಾಲಿನ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ, ಕನಿಷ್ಠ ಮಧ್ಯದಲ್ಲಿ, ಕನಿಷ್ಠ ಎಲ್ಲಿಯಾದರೂ. ನೀವು ಮೊದಲ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಮಾತ್ರ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಸರಳವಾಗಿ ಏಕೆಂದರೆ ಮೊದಲ ಸಂಖ್ಯೆ ಹಿಂದಿನದು ಇಲ್ಲ.)
ಮೂಲಕ, ಅದನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು d=3, ಈ ಪ್ರಗತಿಯ ಏಳನೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ತುಂಬಾ ಸರಳವಾಗಿದೆ. ಐದನೇ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ 3 ಅನ್ನು ಸೇರಿಸೋಣ - ನಾವು ಆರನೆಯದನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಅದು 17 ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಆರನೇ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಮೂರು ಸೇರಿಸೋಣ, ನಾವು ಏಳನೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ - ಇಪ್ಪತ್ತು.
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸೋಣ ಡಿಅವರೋಹಣ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಗಾಗಿ:
8; 3; -2; -7; -12; .....
ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಿಸದೆ, ನಿರ್ಧರಿಸಲು ನಾನು ನಿಮಗೆ ನೆನಪಿಸುತ್ತೇನೆ ಡಿಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಅಗತ್ಯವಿದೆ ಹಿಂದಿನದನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಿ.ಯಾವುದೇ ಪ್ರಗತಿ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಆರಿಸಿ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ -7. ಅವರ ಹಿಂದಿನ ಸಂಖ್ಯೆ -2. ನಂತರ:
d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5
ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರಬಹುದು: ಪೂರ್ಣಾಂಕ, ಭಿನ್ನರಾಶಿ, ಅಭಾಗಲಬ್ಧ, ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆ.
ಇತರ ನಿಯಮಗಳು ಮತ್ತು ಪದನಾಮಗಳು.
ಸರಣಿಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಸದಸ್ಯ.
ಪ್ರಗತಿಯ ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬ ಸದಸ್ಯರು ತನ್ನದೇ ಆದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.ಯಾವುದೇ ತಂತ್ರಗಳಿಲ್ಲದೆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿವೆ. ಮೊದಲ, ಎರಡನೇ, ಮೂರನೇ, ನಾಲ್ಕನೇ, ಇತ್ಯಾದಿ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪ್ರಗತಿಯಲ್ಲಿ 2, 5, 8, 11, 14, ... ಎರಡು ಮೊದಲ ಪದ, ಐದು ಎರಡನೆಯದು, ಹನ್ನೊಂದು ನಾಲ್ಕನೆಯದು, ಸರಿ, ನೀವು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಂಡಿದ್ದೀರಿ...) ದಯವಿಟ್ಟು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಿ - ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಸ್ವತಃಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಯಾವುದೇ ಆಗಿರಬಹುದು, ಸಂಪೂರ್ಣ, ಭಾಗಶಃ, ಋಣಾತ್ಮಕ, ಯಾವುದೇ, ಆದರೆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ- ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ!
ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಬರೆಯುವುದು ಹೇಗೆ? ಯಾವ ತೊಂದರೆಯಿಲ್ಲ! ಸರಣಿಯಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅಕ್ಷರದಂತೆ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು, ಅಕ್ಷರವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎ. ಸದಸ್ಯರ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕೆಳಗಿನ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಸೂಚ್ಯಂಕದಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಾವು ಅಲ್ಪವಿರಾಮದಿಂದ (ಅಥವಾ ಅರ್ಧವಿರಾಮ ಚಿಹ್ನೆಗಳಿಂದ) ಬೇರ್ಪಡಿಸಿದ ಪದಗಳನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ:
a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, .....
a 1- ಇದು ಮೊದಲ ಸಂಖ್ಯೆ, a 3- ಮೂರನೇ, ಇತ್ಯಾದಿ. ಅಲಂಕಾರಿಕ ಏನೂ ಇಲ್ಲ. ಈ ಸರಣಿಯನ್ನು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದು: (ಎ ಎನ್).
ಪ್ರಗತಿಗಳು ಸಂಭವಿಸುತ್ತವೆ ಸೀಮಿತ ಮತ್ತು ಅನಂತ.
ಅಂತಿಮಪ್ರಗತಿಯು ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸದಸ್ಯರನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಐದು, ಮೂವತ್ತೆಂಟು, ಏನೇ ಇರಲಿ. ಆದರೆ ಇದು ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆ.
ಅನಂತಪ್ರಗತಿ - ನೀವು ಊಹಿಸಿದಂತೆ ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸದಸ್ಯರನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.)
ನೀವು ಈ ರೀತಿಯ ಸರಣಿಯ ಮೂಲಕ ಅಂತಿಮ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಬರೆಯಬಹುದು, ಎಲ್ಲಾ ನಿಯಮಗಳು ಮತ್ತು ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಡಾಟ್:
a 1, a 2, a 3, a 4, a 5.
ಅಥವಾ ಈ ರೀತಿಯಾಗಿ, ಅನೇಕ ಸದಸ್ಯರಿದ್ದರೆ:
a 1, a 2, ... a 14, a 15.
ಕಿರು ಪ್ರವೇಶದಲ್ಲಿ ನೀವು ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ ಸದಸ್ಯರ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸಬೇಕು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ (ಇಪ್ಪತ್ತು ಸದಸ್ಯರಿಗೆ), ಈ ರೀತಿ:
(a n), n = 20
ಈ ಪಾಠದಲ್ಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳಂತೆ, ಸಾಲಿನ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಎಲಿಪ್ಸಿಸ್ನಿಂದ ಅನಂತ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಗುರುತಿಸಬಹುದು.
ಈಗ ನೀವು ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು. ಕಾರ್ಯಗಳು ಸರಳವಾಗಿದ್ದು, ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಅರ್ಥವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ.
ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು.
ಮೇಲೆ ನೀಡಲಾದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವಿವರವಾಗಿ ನೋಡೋಣ:
1. 2 = 5, d = -2.5 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ (a n) ಮೊದಲ ಆರು ಪದಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.
ನಾವು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಅರ್ಥವಾಗುವ ಭಾಷೆಗೆ ಅನುವಾದಿಸುತ್ತೇವೆ. ಅನಂತ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಈ ಪ್ರಗತಿಯ ಎರಡನೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ: a 2 = 5.ಪ್ರಗತಿಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ತಿಳಿದಿದೆ: d = -2.5.ಈ ಪ್ರಗತಿಯ ಮೊದಲ, ಮೂರನೇ, ನಾಲ್ಕನೇ, ಐದನೇ ಮತ್ತು ಆರನೇ ಪದಗಳನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು.
ಸ್ಪಷ್ಟತೆಗಾಗಿ, ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳ ಪ್ರಕಾರ ನಾನು ಸರಣಿಯನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇನೆ. ಮೊದಲ ಆರು ಪದಗಳು, ಅಲ್ಲಿ ಎರಡನೇ ಪದವು ಐದು:
a 1, 5, a 3, a 4, a 5, a 6,....
a 3 = a 2 + ಡಿ
ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ a 2 = 5ಮತ್ತು d = -2.5. ಮೈನಸ್ ಬಗ್ಗೆ ಮರೆಯಬೇಡಿ!
a 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5
ಮೂರನೇ ಅವಧಿಯು ಎರಡನೆಯದಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ. ಎಲ್ಲವೂ ತಾರ್ಕಿಕವಾಗಿದೆ. ಸಂಖ್ಯೆಯು ಹಿಂದಿನದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿದ್ದರೆ ಋಣಾತ್ಮಕಮೌಲ್ಯ, ಅಂದರೆ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಹಿಂದಿನದಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿರುತ್ತದೆ. ಪ್ರಗತಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿದೆ. ಸರಿ, ಅದನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ.) ನಮ್ಮ ಸರಣಿಯ ನಾಲ್ಕನೇ ಅವಧಿಯನ್ನು ನಾವು ಎಣಿಸುತ್ತೇವೆ:
ಒಂದು 4 = a 3 + ಡಿ
ಒಂದು 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0
ಒಂದು 5 = ಒಂದು 4 + ಡಿ
ಒಂದು 5=0+(-2,5)= - 2,5
ಒಂದು 6 = ಒಂದು 5 + ಡಿ
ಒಂದು 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5
ಆದ್ದರಿಂದ, ಮೂರನೇಯಿಂದ ಆರನೆಯವರೆಗಿನ ಪದಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗಿದೆ. ಫಲಿತಾಂಶವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸರಣಿಯಾಗಿದೆ:
a 1, 5, 2.5, 0, -2.5, -5, ....
ಮೊದಲ ಪದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಇದು ಉಳಿದಿದೆ a 1ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಎರಡನೇ ಪ್ರಕಾರ. ಇದು ಇತರ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ, ಎಡಕ್ಕೆ ಒಂದು ಹೆಜ್ಜೆಯಾಗಿದೆ.) ಆದ್ದರಿಂದ, ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಡಿಗೆ ಸೇರಿಸಬಾರದು a 2, ಎ ತೆಗೆದುಕೊ:
a 1 = a 2 - ಡಿ
a 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5
ಅಷ್ಟೇ. ನಿಯೋಜನೆ ಉತ್ತರ:
7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...
ಹಾದುಹೋಗುವಾಗ, ನಾವು ಈ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ನಾನು ಗಮನಿಸಲು ಬಯಸುತ್ತೇನೆ ಮರುಕಳಿಸುವದಾರಿ. ಈ ಭಯಾನಕ ಪದವು ಪ್ರಗತಿಯ ಸದಸ್ಯರ ಹುಡುಕಾಟ ಮಾತ್ರ ಎಂದರ್ಥ ಹಿಂದಿನ (ಪಕ್ಕದ) ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪ್ರಕಾರ.ಕೆಳಗೆ ಪ್ರಗತಿಯೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡಲು ನಾವು ಇತರ ಮಾರ್ಗಗಳನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ.
ಈ ಸರಳ ಕಾರ್ಯದಿಂದ ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ತೀರ್ಮಾನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು.
ನೆನಪಿಡಿ:
ನಾವು ಕನಿಷ್ಟ ಒಂದು ಪದವನ್ನು ಮತ್ತು ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ, ಈ ಪ್ರಗತಿಯ ಯಾವುದೇ ಪದವನ್ನು ನಾವು ಕಾಣಬಹುದು.
ನಿನಗೆ ನೆನಪಿದೆಯಾ? ಈ ವಿಷಯದ ಬಗ್ಗೆ ಶಾಲಾ ಕೋರ್ಸ್‌ನ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಈ ಸರಳ ತೀರ್ಮಾನವು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಎಲ್ಲಾ ಕಾರ್ಯಗಳು ಮೂರು ಮುಖ್ಯ ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಸುತ್ತುತ್ತವೆ: ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಸದಸ್ಯ, ಪ್ರಗತಿಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸ, ಪ್ರಗತಿಯ ಸದಸ್ಯರ ಸಂಖ್ಯೆ.ಎಲ್ಲಾ.
ಸಹಜವಾಗಿ, ಎಲ್ಲಾ ಹಿಂದಿನ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ರದ್ದುಗೊಳಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ.) ಅಸಮಾನತೆಗಳು, ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ಇತರ ವಿಷಯಗಳು ಪ್ರಗತಿಗೆ ಲಗತ್ತಿಸಲಾಗಿದೆ. ಆದರೆ ಸ್ವತಃ ಪ್ರಗತಿಯ ಪ್ರಕಾರ- ಎಲ್ಲವೂ ಮೂರು ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಸುತ್ತ ಸುತ್ತುತ್ತದೆ.
ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ, ಈ ವಿಷಯದ ಕುರಿತು ಕೆಲವು ಜನಪ್ರಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ.
2. n=5, d = 0.4, ಮತ್ತು a 1 = 3.6 ಆಗಿದ್ದರೆ ಸೀಮಿತ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಸರಣಿಯಾಗಿ ಬರೆಯಿರಿ.
ಇಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲವೂ ಸರಳವಾಗಿದೆ. ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಈಗಾಗಲೇ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಸದಸ್ಯರನ್ನು ಹೇಗೆ ಎಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೀವು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಬೇಕು, ಅವುಗಳನ್ನು ಎಣಿಸಿ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ. ಕಾರ್ಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ಪದಗಳನ್ನು ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳದಂತೆ ಸಲಹೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ: "ಅಂತಿಮ" ಮತ್ತು " n=5". ಆದ್ದರಿಂದ ನೀವು ಮುಖದಲ್ಲಿ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನೀಲಿ ಬಣ್ಣಕ್ಕೆ ಬರುವವರೆಗೆ ಎಣಿಕೆ ಮಾಡಬಾರದು.) ಈ ಪ್ರಗತಿಯಲ್ಲಿ ಕೇವಲ 5 (ಐದು) ಸದಸ್ಯರಿದ್ದಾರೆ:
a 2 = a 1 + d = 3.6 + 0.4 = 4
a 3 = a 2 + d = 4 + 0.4 = 4.4
ಒಂದು 4 = a 3 + d = 4.4 + 0.4 = 4.8
ಒಂದು 5 = ಒಂದು 4 + d = 4.8 + 0.4 = 5.2
ಉತ್ತರವನ್ನು ಬರೆಯಲು ಇದು ಉಳಿದಿದೆ:
3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.
ಇನ್ನೊಂದು ಕಾರ್ಯ:
3. ಸಂಖ್ಯೆ 7 ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ (a n) ಸದಸ್ಯ ಎಂದು ನಿರ್ಧರಿಸಿ a 1 = 4.1; d = 1.2.
ಹಾಂ... ಯಾರಿಗೆ ಗೊತ್ತು? ಏನನ್ನಾದರೂ ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು ಹೇಗೆ?
ಹೇಗೆ-ಹೇಗೆ... ಸರಣಿಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ ಮತ್ತು ಅಲ್ಲಿ ಏಳು ಇರುತ್ತದೆಯೇ ಅಥವಾ ಇಲ್ಲವೇ ಎಂಬುದನ್ನು ನೋಡಿ! ನಾವು ಎಣಿಸುತ್ತೇವೆ:
a 2 = a 1 + d = 4.1 + 1.2 = 5.3
a 3 = a 2 + d = 5.3 + 1.2 = 6.5
ಒಂದು 4 = a 3 + d = 6.5 + 1.2 = 7.7
4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...
ಈಗ ನಾವು ಕೇವಲ ಏಳು ಎಂದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಗೋಚರಿಸುತ್ತದೆ ಜಾರಿದರು 6.5 ಮತ್ತು 7.7 ರ ನಡುವೆ! ಏಳು ನಮ್ಮ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸರಣಿಗೆ ಬರಲಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು, ಆದ್ದರಿಂದ, ಏಳು ನೀಡಿದ ಪ್ರಗತಿಯ ಸದಸ್ಯರಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ.
ಉತ್ತರ: ಇಲ್ಲ.
ಮತ್ತು GIA ಯ ನೈಜ ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿದ ಸಮಸ್ಯೆ ಇಲ್ಲಿದೆ:
4. ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಹಲವಾರು ಸತತ ಪದಗಳನ್ನು ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ:
...; 15; X; 9; 6; ...
ಅಂತ್ಯ ಮತ್ತು ಆರಂಭವಿಲ್ಲದೆ ಬರೆದ ಸರಣಿ ಇಲ್ಲಿದೆ. ಸದಸ್ಯರ ಸಂಖ್ಯೆ ಇಲ್ಲ, ವ್ಯತ್ಯಾಸವಿಲ್ಲ ಡಿ. ಪರವಾಗಿಲ್ಲ. ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಅರ್ಥವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಸಾಕು. ಏನು ಸಾಧ್ಯ ಎಂದು ನೋಡೋಣ ಮತ್ತು ನೋಡೋಣ ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಲುಈ ಸರಣಿಯಿಂದ? ಮೂರು ಮುಖ್ಯ ನಿಯತಾಂಕಗಳು ಯಾವುವು?
ಸದಸ್ಯರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು? ಇಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆ ಇಲ್ಲ.
ಆದರೆ ಮೂರು ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿವೆ ಮತ್ತು - ಗಮನ! - ಪದ "ಸ್ಥಿರ"ಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ. ಇದರರ್ಥ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಅಂತರವಿಲ್ಲದೆ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿವೆ. ಈ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಇಬ್ಬರು ಇದ್ದಾರೆಯೇ? ನೆರೆಯತಿಳಿದಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು? ಹೌದು ನನ್ನೊಂದಿಗಿದೆ! ಇವು 9 ಮತ್ತು 6. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು! ಆರರಿಂದ ಕಳೆಯಿರಿ ಹಿಂದಿನಸಂಖ್ಯೆ, ಅಂದರೆ. ಒಂಬತ್ತು:
ಕೇವಲ ಟ್ರೈಫಲ್ಸ್ ಉಳಿದಿವೆ. X ಗೆ ಹಿಂದಿನ ಸಂಖ್ಯೆ ಯಾವುದು? ಹದಿನೈದು. ಅಂದರೆ X ಅನ್ನು ಸರಳವಾದ ಸೇರ್ಪಡೆಯಿಂದ ಸುಲಭವಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು 15 ಕ್ಕೆ ಸೇರಿಸಿ:
ಅಷ್ಟೇ. ಉತ್ತರ: x=12
ಕೆಳಗಿನ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ನಾವೇ ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಗಮನಿಸಿ: ಈ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿಲ್ಲ. ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಅರ್ಥವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು.) ನಾವು ಕೇವಲ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಅಕ್ಷರಗಳ ಸರಣಿಯನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ, ಅದನ್ನು ನೋಡಿ ಮತ್ತು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ.
5. 5 = -3 ಆಗಿದ್ದರೆ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಮೊದಲ ಧನಾತ್ಮಕ ಪದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ; d = 1.1.
6. ಸಂಖ್ಯೆ 5.5 ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ (a n) ಸದಸ್ಯ ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ a 1 = 1.6; d = 1.3. ಈ ಸದಸ್ಯರ ಸಂಖ್ಯೆ n ಅನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ.
7. ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯಲ್ಲಿ a 2 = 4 ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ; a 5 = 15.1. 3 ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ.
8. ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಹಲವಾರು ಸತತ ಪದಗಳನ್ನು ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ:
...; 15.6; X; 3.4; ...
x ಅಕ್ಷರದಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾದ ಪ್ರಗತಿಯ ಪದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
9. ರೈಲು ನಿಲ್ದಾಣದಿಂದ ಚಲಿಸಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿತು, ಪ್ರತಿ ನಿಮಿಷಕ್ಕೆ 30 ಮೀಟರ್ ವೇಗವನ್ನು ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಿಸಿತು. ಐದು ನಿಮಿಷಗಳ ನಂತರ ರೈಲಿನ ವೇಗ ಎಷ್ಟು? ನಿಮ್ಮ ಉತ್ತರವನ್ನು ಕಿಮೀ/ಗಂಟೆಯಲ್ಲಿ ನೀಡಿ.
10. ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯಲ್ಲಿ a 2 = 5 ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ; a 6 = -5. 1 ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ.
ಉತ್ತರಗಳು (ಅಸ್ತವ್ಯಸ್ತವಾಗಿದೆ): 7.7; 7.5; 9.5; 9; 0.3; 4.
ಎಲ್ಲವೂ ಕೆಲಸ ಮಾಡಿದೆಯೇ? ಅದ್ಭುತ! ಕೆಳಗಿನ ಪಾಠಗಳಲ್ಲಿ ನೀವು ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಉನ್ನತ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ ಕರಗತ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು.
ಎಲ್ಲವೂ ಕಾರ್ಯರೂಪಕ್ಕೆ ಬರಲಿಲ್ಲವೇ? ಯಾವ ತೊಂದರೆಯಿಲ್ಲ. ವಿಶೇಷ ವಿಭಾಗ 555 ರಲ್ಲಿ, ಈ ಎಲ್ಲಾ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ತುಂಡುಗಳಿಂದ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ.) ಮತ್ತು, ಸಹಜವಾಗಿ, ಸರಳವಾದ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ತಂತ್ರವನ್ನು ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅದು ತಕ್ಷಣವೇ ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ, ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ, ಒಂದು ನೋಟದಲ್ಲಿ ಎತ್ತಿ ತೋರಿಸುತ್ತದೆ!
ಮೂಲಕ, ರೈಲು ಪಝಲ್ನಲ್ಲಿ ಜನರು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಎಡವಿ ಬೀಳುವ ಎರಡು ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿವೆ. ಒಂದು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಪ್ರಗತಿಯ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ, ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿನ ಯಾವುದೇ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ. ಇದು ಒಂದರಿಂದ ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ಆಯಾಮಗಳ ಅನುವಾದವಾಗಿದೆ. ಈ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸಬೇಕು ಎಂಬುದನ್ನು ಇದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ.
ಈ ಪಾಠದಲ್ಲಿ ನಾವು ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಅರ್ಥ ಮತ್ತು ಅದರ ಮುಖ್ಯ ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ನೋಡಿದ್ದೇವೆ. ಈ ವಿಷಯದ ಬಹುತೇಕ ಎಲ್ಲಾ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಇದು ಸಾಕು. ಸೇರಿಸಿ ಡಿಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ, ಸರಣಿಯನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ, ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುವುದು.
ಈ ಪಾಠದಲ್ಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿರುವಂತೆ ಬೆರಳಿನ ಪರಿಹಾರವು ಒಂದು ಸಾಲಿನ ಚಿಕ್ಕ ತುಣುಕುಗಳಿಗೆ ಉತ್ತಮವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಸರಣಿಯು ದೀರ್ಘವಾಗಿದ್ದರೆ, ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು ಹೆಚ್ಚು ಜಟಿಲವಾಗುತ್ತವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಮಸ್ಯೆ 9 ರಲ್ಲಿ ಪ್ರಶ್ನೆಯಲ್ಲಿ ನಾವು ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತೇವೆ "ಐದು ನಿಮಿಷ"ಮೇಲೆ "ಮೂವತ್ತೈದು ನಿಮಿಷಗಳು"ಸಮಸ್ಯೆಯು ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ಉಲ್ಬಣಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.)
ಮತ್ತು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಸರಳವಾದ ಕಾರ್ಯಗಳು ಸಹ ಇವೆ, ಆದರೆ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಅಸಂಬದ್ಧವಾಗಿದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ:
ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು (a n) ನೀಡಲಾಗಿದೆ. 1 =3 ಮತ್ತು d=1/6 ಆಗಿದ್ದರೆ 121 ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ.
ಹಾಗಾದರೆ, ನಾವು 1/6 ಅನ್ನು ಹಲವು, ಹಲವು ಬಾರಿ ಸೇರಿಸಲಿದ್ದೇವೆಯೇ?! ನೀವೇ ಕೊಲ್ಲಬಹುದೇ!?
ನೀವು ಮಾಡಬಹುದು.) ನೀವು ಒಂದು ನಿಮಿಷದಲ್ಲಿ ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದಾದ ಸರಳ ಸೂತ್ರವನ್ನು ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ. ಈ ಸೂತ್ರವು ಮುಂದಿನ ಪಾಠದಲ್ಲಿದೆ. ಮತ್ತು ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಅಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ನಿಮಿಷದಲ್ಲಿ.)
ನೀವು ಈ ಸೈಟ್ ಅನ್ನು ಇಷ್ಟಪಟ್ಟರೆ...
ಅಂದಹಾಗೆ, ನಾನು ನಿಮಗಾಗಿ ಇನ್ನೂ ಒಂದೆರಡು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಸೈಟ್‌ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇನೆ.)
ನೀವು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದನ್ನು ಅಭ್ಯಾಸ ಮಾಡಬಹುದು ಮತ್ತು ನಿಮ್ಮ ಮಟ್ಟವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ತ್ವರಿತ ಪರಿಶೀಲನೆಯೊಂದಿಗೆ ಪರೀಕ್ಷೆ. ಕಲಿಯೋಣ - ಆಸಕ್ತಿಯಿಂದ!)
ನೀವು ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನಗಳೊಂದಿಗೆ ಪರಿಚಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು.
ಅಥವಾ ಅಂಕಗಣಿತವು ಆದೇಶಿಸಿದ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅನುಕ್ರಮದ ಒಂದು ವಿಧವಾಗಿದೆ, ಅದರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಶಾಲೆಯ ಬೀಜಗಣಿತ ಕೋರ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಎಂಬ ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು ಈ ಲೇಖನವು ವಿವರವಾಗಿ ಚರ್ಚಿಸುತ್ತದೆ.
ಇದು ಯಾವ ರೀತಿಯ ಪ್ರಗತಿ?
ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ತೆರಳುವ ಮೊದಲು (ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು), ನಾವು ಏನು ಮಾತನಾಡುತ್ತಿದ್ದೇವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಯೋಗ್ಯವಾಗಿದೆ.
ಪ್ರತಿ ಹಿಂದಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಕೆಲವು ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ (ಕಳೆಯುವ) ಪಡೆದ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಯಾವುದೇ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಬೀಜಗಣಿತ (ಅಂಕಗಣಿತ) ಪ್ರಗತಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಗಣಿತದ ಭಾಷೆಗೆ ಅನುವಾದಿಸಿದಾಗ, ರೂಪವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ:
ಇಲ್ಲಿ i ಎಂಬುದು ಸಾಲು a i ನ ಅಂಶದ ಸರಣಿ ಸಂಖ್ಯೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಕೇವಲ ಒಂದು ಆರಂಭಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ, ನೀವು ಸಂಪೂರ್ಣ ಸರಣಿಯನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಮರುಸ್ಥಾಪಿಸಬಹುದು. ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿನ ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ ಡಿ ಅನ್ನು ಪ್ರಗತಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಪರಿಗಣನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸರಣಿಗೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಮಾನತೆ ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಸುಲಭವಾಗಿ ತೋರಿಸಬಹುದು:
a n = a 1 + d * (n - 1).
ಅಂದರೆ, n ನೇ ಅಂಶದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನೀವು ವ್ಯತ್ಯಾಸ d ಅನ್ನು ಮೊದಲ ಅಂಶಕ್ಕೆ 1 n-1 ಬಾರಿ ಸೇರಿಸಬೇಕು.
ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಮೊತ್ತ ಏನು: ಸೂತ್ರ
ಸೂಚಿಸಿದ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸೂತ್ರವನ್ನು ನೀಡುವ ಮೊದಲು, ಸರಳವಾದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವುದು ಯೋಗ್ಯವಾಗಿದೆ. 1 ರಿಂದ 10 ರವರೆಗೆ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ನೀವು ಅವುಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು. ಪ್ರಗತಿಯಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಪದಗಳು ಇರುವುದರಿಂದ (10), ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ತಲೆಯ ಮೇಲೆ ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸಿ.
S 10 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55.
ಒಂದು ಕುತೂಹಲಕಾರಿ ವಿಷಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವುದು ಯೋಗ್ಯವಾಗಿದೆ: ಪ್ರತಿ ಪದವು ಮುಂದಿನದಕ್ಕಿಂತ ಒಂದೇ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ d = 1, ನಂತರ ಮೊದಲನೆಯದನ್ನು ಹತ್ತನೇ, ಎರಡನೆಯದು ಒಂಬತ್ತನೇ ಮತ್ತು ಹೀಗೆ ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಸಂಕಲನವು ಅದೇ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ನಿಜವಾಗಿಯೂ:
11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.
ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ಈ ಮೊತ್ತಗಳಲ್ಲಿ ಕೇವಲ 5 ಮಾತ್ರ ಇವೆ, ಅಂದರೆ, ಸರಣಿಯ ಅಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗಿಂತ ನಿಖರವಾಗಿ ಎರಡು ಪಟ್ಟು ಕಡಿಮೆ. ನಂತರ ಮೊತ್ತಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು (5) ಪ್ರತಿ ಮೊತ್ತದ (11) ಫಲಿತಾಂಶದಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ, ನೀವು ಮೊದಲ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಪಡೆದ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ತಲುಪುತ್ತೀರಿ.
ನಾವು ಈ ವಾದಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಬರೆಯಬಹುದು:
S n = n * (a 1 + a n) / 2.
ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯು ಸತತವಾಗಿ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ, ಮೊದಲ a 1 ಮತ್ತು ಕೊನೆಯ a n ನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಮತ್ತು n ಪದಗಳ ಒಟ್ಟು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಸಾಕು.
ತನ್ನ ಶಾಲಾ ಶಿಕ್ಷಕರು ನೀಡಿದ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತಿರುವಾಗ ಗೌಸ್ ಈ ಸಮಾನತೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಮೊದಲು ಯೋಚಿಸಿದನೆಂದು ನಂಬಲಾಗಿದೆ: ಮೊದಲ 100 ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಮೊತ್ತ.
m ನಿಂದ n ವರೆಗಿನ ಅಂಶಗಳ ಮೊತ್ತ: ಸೂತ್ರ
ಹಿಂದಿನ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ಸೂತ್ರವು ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಮೊತ್ತವನ್ನು (ಮೊದಲ ಅಂಶಗಳು) ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಎಂಬ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಉತ್ತರಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಆಗಾಗ್ಗೆ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರಗತಿಯ ಮಧ್ಯದಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸರಣಿಯನ್ನು ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಅದನ್ನು ಹೇಗೆ ಮಾಡುವುದು?
ಕೆಳಗಿನ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ಈ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಉತ್ತರಿಸಲು ಸುಲಭವಾದ ಮಾರ್ಗವಾಗಿದೆ: m-th ನಿಂದ n-th ವರೆಗಿನ ಪದಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಅಗತ್ಯವಾಗಿರಲಿ. ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ನೀವು ಹೊಸ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸರಣಿಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರಗತಿಯ m ನಿಂದ n ಗೆ ನೀಡಿರುವ ವಿಭಾಗವನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಬೇಕು. ಈ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದಲ್ಲಿ, mth ಪದವು a m ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು n ಅನ್ನು n-(m-1) ಎಂದು ಸಂಖ್ಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದರಿಂದ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ:
S m n = (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.
ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸುವ ಉದಾಹರಣೆ
ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಎಂದು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು, ಮೇಲಿನ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸುವ ಸರಳ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವುದು ಯೋಗ್ಯವಾಗಿದೆ.
ಕೆಳಗೆ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದೆ, ನೀವು ಅದರ ನಿಯಮಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು, 5 ರಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು 12 ಕ್ಕೆ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ:
ನೀಡಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ವ್ಯತ್ಯಾಸ d 3 ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. n ನೇ ಅಂಶದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಬಳಸಿ, ನೀವು ಪ್ರಗತಿಯ 5 ನೇ ಮತ್ತು 12 ನೇ ಪದಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು. ಇದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ:
a 5 = a 1 + d * 4 = -4 + 3 * 4 = 8;
a 12 = a 1 + d * 11 = -4 + 3 * 11 = 29.
ಪರಿಗಣನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಬೀಜಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ತುದಿಯಲ್ಲಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು, ಹಾಗೆಯೇ ಅವರು ಯಾವ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ ಯಾವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಆಕ್ರಮಿಸಿಕೊಂಡಿದ್ದಾರೆ ಎಂಬುದನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು, ಹಿಂದಿನ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿ ಪಡೆದ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ನೀವು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಇದು ಹೊರಹೊಮ್ಮುತ್ತದೆ:
S 5 12 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148.
ಈ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿ ಪಡೆಯಬಹುದು ಎಂಬುದು ಗಮನಿಸಬೇಕಾದ ಸಂಗತಿ: ಮೊದಲು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮೊದಲ 12 ಅಂಶಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ, ನಂತರ ಅದೇ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮೊದಲ 4 ಅಂಶಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ, ನಂತರ ಮೊದಲ ಮೊತ್ತದಿಂದ ಎರಡನೆಯದನ್ನು ಕಳೆಯಿರಿ.
ನಾವು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುವ ಮೊದಲು ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು, ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯು ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅನುಕ್ರಮದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅನುಕ್ರಮ ಏನೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.
ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅನುಕ್ರಮವು ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ, ಅದರ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶವು ತನ್ನದೇ ಆದ ಸರಣಿ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಗುಂಪಿನ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಅನುಕ್ರಮದ ಸದಸ್ಯರು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅನುಕ್ರಮ ಅಂಶದ ಸರಣಿ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೂಚ್ಯಂಕದಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:
ಅನುಕ್ರಮದ ಮೊದಲ ಅಂಶ;
ಅನುಕ್ರಮದ ಐದನೇ ಅಂಶ;
- ಅನುಕ್ರಮದ "nth" ಅಂಶ, ಅಂದರೆ. ಸಂಖ್ಯೆ n ನಲ್ಲಿ "ಸರದಿಯಲ್ಲಿ ನಿಂತಿರುವ" ಅಂಶ.
ಅನುಕ್ರಮ ಅಂಶದ ಮೌಲ್ಯ ಮತ್ತು ಅದರ ಅನುಕ್ರಮ ಸಂಖ್ಯೆಯ ನಡುವೆ ಸಂಬಂಧವಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಒಂದು ಕಾರ್ಯವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು, ಅದರ ವಾದವು ಅನುಕ್ರಮದ ಅಂಶದ ಆರ್ಡಿನಲ್ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ನಾವು ಅದನ್ನು ಹೇಳಬಹುದು ಅನುಕ್ರಮವು ನೈಸರ್ಗಿಕ ವಾದದ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ:
ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಮೂರು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೊಂದಿಸಬಹುದು:
1 . ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಬಹುದು.ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಅನುಕ್ರಮದ ಪ್ರತಿ ಸದಸ್ಯರ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ಹೊಂದಿಸುತ್ತೇವೆ.
ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಯಾರಾದರೂ ವೈಯಕ್ತಿಕ ಸಮಯ ನಿರ್ವಹಣೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ನಿರ್ಧರಿಸಿದ್ದಾರೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಲು, ಅವರು ವಾರದಲ್ಲಿ VKontakte ನಲ್ಲಿ ಎಷ್ಟು ಸಮಯವನ್ನು ಕಳೆಯುತ್ತಾರೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಎಣಿಸಿ. ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ಸಮಯವನ್ನು ರೆಕಾರ್ಡ್ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ, ಅವರು ಏಳು ಅಂಶಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸುತ್ತಾರೆ:
ಮೇಜಿನ ಮೊದಲ ಸಾಲು ವಾರದ ದಿನದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಎರಡನೆಯದು - ನಿಮಿಷಗಳಲ್ಲಿ ಸಮಯ. ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ, ಅಂದರೆ ಸೋಮವಾರ ಯಾರಾದರೂ VKontakte ನಲ್ಲಿ 125 ನಿಮಿಷಗಳನ್ನು ಕಳೆದರು, ಅಂದರೆ ಗುರುವಾರ - 248 ನಿಮಿಷಗಳು ಮತ್ತು, ಅಂದರೆ ಶುಕ್ರವಾರ ಕೇವಲ 15.
2 . n ನೇ ಪದದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಬಹುದು.
ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅದರ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೇಲೆ ಅನುಕ್ರಮ ಅಂಶದ ಮೌಲ್ಯದ ಅವಲಂಬನೆಯನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ಸೂತ್ರದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ವೇಳೆ , ನಂತರ
ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯೊಂದಿಗೆ ಅನುಕ್ರಮ ಅಂಶದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನಾವು ಅಂಶ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು n ನೇ ಪದದ ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ.
ವಾದದ ಮೌಲ್ಯವು ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ ನಾವು ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕಾದರೆ ನಾವು ಅದೇ ಕೆಲಸವನ್ನು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ವಾದದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಾರ್ಯ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ:
ಒಂದು ವೇಳೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 
, ಅದು
ಒಂದು ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿ, ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಕ್ರಿಯೆಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿ, ವಾದವು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರಬಹುದು ಎಂದು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ನಾನು ಗಮನಿಸುತ್ತೇನೆ.
3 . ಹಿಂದಿನ ಸದಸ್ಯರ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಮೇಲೆ ಅನುಕ್ರಮ ಸದಸ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ n ನ ಮೌಲ್ಯದ ಅವಲಂಬನೆಯನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಬಹುದು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅದರ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಅನುಕ್ರಮ ಸದಸ್ಯರ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಮಾತ್ರ ನಾವು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಸಾಕಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ನಾವು ಅನುಕ್ರಮದ ಮೊದಲ ಸದಸ್ಯ ಅಥವಾ ಮೊದಲ ಕೆಲವು ಸದಸ್ಯರನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ.
ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ 
, 
ಅನುಕ್ರಮ ಸದಸ್ಯರ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನಾವು ಕಾಣಬಹುದು ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿ, ಮೂರನೆಯದರಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ:
ಅಂದರೆ, ಪ್ರತಿ ಬಾರಿ, ಅನುಕ್ರಮದ n ನೇ ಪದದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನಾವು ಹಿಂದಿನ ಎರಡಕ್ಕೆ ಹಿಂತಿರುಗುತ್ತೇವೆ. ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಸೂಚಿಸುವ ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮರುಕಳಿಸುವ, ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಪದದಿಂದ ಪುನರಾವರ್ತನೆ- ಮರಳಿ ಬಾ.
ಈಗ ನಾವು ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯು ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅನುಕ್ರಮದ ಸರಳ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ.
ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದೆ, ಅದರ ಪ್ರತಿ ಸದಸ್ಯ, ಎರಡನೆಯಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ, ಅದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸೇರಿಸಲಾದ ಹಿಂದಿನದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸ. ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಧನಾತ್ಮಕ, ಋಣಾತ್ಮಕ ಅಥವಾ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಶೀರ್ಷಿಕೆ="d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿದೆ.
ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 2; 5; 8; ಹನ್ನೊಂದು;...
ಒಂದು ವೇಳೆ , ನಂತರ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಪ್ರತಿ ಪದವು ಹಿಂದಿನದಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಗತಿಯು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿದೆ.
ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 2; -1; -4; -7;...
ಆಗಿದ್ದರೆ, ಪ್ರಗತಿಯ ಎಲ್ಲಾ ನಿಯಮಗಳು ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಗತಿಯು ಸ್ಥಾಯಿ.
ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 2;2;2;2;...
ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಮುಖ್ಯ ಆಸ್ತಿ:
ಚಿತ್ರವನ್ನು ನೋಡೋಣ.
ನಾವು ಅದನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ
, ಮತ್ತು ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ
ಈ ಎರಡು ಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
.
ಸಮಾನತೆಯ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು 2 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸೋಣ:
ಆದ್ದರಿಂದ, ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಪ್ರತಿ ಸದಸ್ಯ, ಎರಡನೆಯದರಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ, ಎರಡು ನೆರೆಹೊರೆಯವರ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಾಸರಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:
ಇದಲ್ಲದೆ, ರಿಂದ
, ಮತ್ತು ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ
, ಅದು
, ಆದ್ದರಿಂದ
ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪದವು ಶೀರ್ಷಿಕೆ="k>l. ನೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих.
!}
ನೇ ಪದದ ಸೂತ್ರ.
ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ನಿಯಮಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ:
ಮತ್ತು ಅಂತಿಮವಾಗಿ
ನಮಗೆ ಸಿಕ್ಕಿತು n ನೇ ಅವಧಿಯ ಸೂತ್ರ.
ಪ್ರಮುಖ!ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಯಾವುದೇ ಸದಸ್ಯರನ್ನು ಮತ್ತು ಮೂಲಕ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು. ಮೊದಲ ಪದ ಮತ್ತು ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಂಡು, ನೀವು ಅದರ ಯಾವುದೇ ಪದಗಳನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು.
ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ n ಪದಗಳ ಮೊತ್ತ.
ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯಲ್ಲಿ, ತೀವ್ರ ಪದಗಳಿಗಿಂತ ಸಮಾನವಾದ ಪದಗಳ ಮೊತ್ತವು ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:
n ಪದಗಳೊಂದಿಗೆ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಈ ಪ್ರಗತಿಯ n ಪದಗಳ ಮೊತ್ತವು ಸಮಾನವಾಗಿರಲಿ.
ಪ್ರಗತಿಯ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಮೊದಲು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಆರೋಹಣ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ನಂತರ ಅವರೋಹಣ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಜೋಡಿಸೋಣ:
ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಸೇರಿಸೋಣ:
ಪ್ರತಿ ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ನಲ್ಲಿರುವ ಮೊತ್ತವು , ಜೋಡಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ n ಆಗಿದೆ.
ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
ಆದ್ದರಿಂದ, ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ n ಪದಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು:
ಪರಿಗಣಿಸೋಣ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು.
1 . ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು n ನೇ ಪದದ ಸೂತ್ರದಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ: . ಈ ಅನುಕ್ರಮವು ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ.
ಅನುಕ್ರಮದ ಎರಡು ಪಕ್ಕದ ಪದಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ.
ಅನುಕ್ರಮದ ಎರಡು ಪಕ್ಕದ ಸದಸ್ಯರ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಅವರ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ, ಈ ಅನುಕ್ರಮವು ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯಾಗಿದೆ.
2 . ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ -31; -27;...
a) ಪ್ರಗತಿಯ 31 ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ.
ಬಿ) ಈ ಪ್ರಗತಿಯಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯೆ 41 ಅನ್ನು ಸೇರಿಸಲಾಗಿದೆಯೇ ಎಂದು ನಿರ್ಧರಿಸಿ.
ಎ)ನಾವು ಅದನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ;
ನಮ್ಮ ಪ್ರಗತಿಗಾಗಿ n ನೇ ಅವಧಿಯ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬರೆಯೋಣ.
ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ 
ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ 
, ಅದಕ್ಕಾಗಿಯೇ 