ಕಾರ್ಯ ಮಿತಿ- ಸಂಖ್ಯೆ ಎಅದರ ಬದಲಾವಣೆಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ, ಈ ವೇರಿಯಬಲ್ ಪ್ರಮಾಣವು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಸಮೀಪಿಸಿದರೆ ಕೆಲವು ವೇರಿಯಬಲ್ ಪ್ರಮಾಣಗಳ ಮಿತಿಯಾಗಿದೆ ಎ.
ಅಥವಾ ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಸಂಖ್ಯೆ ಎಕಾರ್ಯದ ಮಿತಿಯಾಗಿದೆ y = f(x)ಹಂತದಲ್ಲಿ x 0, ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್‌ನಿಂದ ಬಿಂದುಗಳ ಯಾವುದೇ ಅನುಕ್ರಮಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ x 0, ಮತ್ತು ಇದು ಬಿಂದುವಿಗೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ x 0 (ಲಿಮ್ x n = x0), ಅನುಗುಣವಾದ ಕಾರ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಅನುಕ್ರಮವು ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ ಎ.
ಒಂದು ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಗ್ರಾಫ್, ಅದರ ಮಿತಿ, ಅನಂತತೆಗೆ ಒಲವು ತೋರುವ ವಾದವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಅದು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಲ್:
ಅರ್ಥ ಎಇದೆ ಕಾರ್ಯದ ಮಿತಿ (ಮಿತಿ ಮೌಲ್ಯ). f(x)ಹಂತದಲ್ಲಿ x 0ಬಿಂದುಗಳ ಯಾವುದೇ ಅನುಕ್ರಮದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ 
, ಇದು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ x 0, ಆದರೆ ಇದು ಒಳಗೊಂಡಿಲ್ಲ x 0ಅದರ ಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿ (ಅಂದರೆ ಪಂಕ್ಚರ್ ಆದ ಸುತ್ತಮುತ್ತಲ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ x 0), ಕಾರ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಅನುಕ್ರಮ 
ಗೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ ಎ.
ಕೌಚಿ ಕಾರ್ಯದ ಮಿತಿ.
ಅರ್ಥ ಎಇರುತ್ತದೆ ಕಾರ್ಯದ ಮಿತಿ f(x)ಹಂತದಲ್ಲಿ x 0ಯಾವುದೇ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಮುಂಚಿತವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ ε ಅನುಗುಣವಾದ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ δ = δ(ε) ಪ್ರತಿ ವಾದಕ್ಕೂ X, ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವುದು 0 < | x - x0 | < δ , ಅಸಮಾನತೆ ತೃಪ್ತಿಯಾಗುತ್ತದೆ | f(x)A |< ε .
ಮಿತಿಯ ಸಾರ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಹುಡುಕುವ ಮೂಲ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ನೀವು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಂಡರೆ ಅದು ತುಂಬಾ ಸರಳವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಕಾರ್ಯದ ಮಿತಿ ಏನು f (X)ನಲ್ಲಿ Xಶ್ರಮಿಸುತ್ತಿದೆ ಎಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎ, ಈ ರೀತಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ:
ಇದಲ್ಲದೆ, ವೇರಿಯಬಲ್ ಒಲವು ತೋರುವ ಮೌಲ್ಯ X, ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆ ಮಾತ್ರವಲ್ಲ, ಅನಂತವೂ ಆಗಿರಬಹುದು (∞), ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ +∞ ಅಥವಾ -∞, ಅಥವಾ ಯಾವುದೇ ಮಿತಿ ಇಲ್ಲದಿರಬಹುದು.
ಹೇಗೆ ಎಂದು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಕಾರ್ಯದ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ, ಪರಿಹಾರಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡುವುದು ಉತ್ತಮ.
ಕಾರ್ಯದ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕ f (x) = 1/Xನಲ್ಲಿ:
X→ 2, X→ 0, X→ ∞.
ಮೊದಲ ಮಿತಿಗೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳೋಣ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನೀವು ಸರಳವಾಗಿ ಬದಲಿಸಬಹುದು Xಅದು ಒಲವು ತೋರುವ ಸಂಖ್ಯೆ, ಅಂದರೆ. 2, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
ಕಾರ್ಯದ ಎರಡನೇ ಮಿತಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. ಇಲ್ಲಿ ಬದಲಿಗೆ ಶುದ್ಧ 0 ಅನ್ನು ಬದಲಿಸಿ Xಇದು ಅಸಾಧ್ಯ, ಏಕೆಂದರೆ ನೀವು 0 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಆದರೆ ನಾವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಹತ್ತಿರವಿರುವ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 0.01; 0.001; 0.0001; 0.00001 ಮತ್ತು ಹೀಗೆ, ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯ f (X)ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ: 100; 1000; 10000; 100,000 ಮತ್ತು ಹೀಗೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಯಾವಾಗ ಎಂದು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು X→ 0 ಮಿತಿ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಇರುವ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯವು ಮಿತಿಯಿಲ್ಲದೆ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಅನಂತತೆಯ ಕಡೆಗೆ ಶ್ರಮಿಸಿ. ಅಂದರೆ:
ಮೂರನೇ ಮಿತಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ. ಹಿಂದಿನ ಪ್ರಕರಣದಂತೆಯೇ ಅದೇ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಬದಲಿಸುವುದು ಅಸಾಧ್ಯ ∞ ಅದರ ಶುದ್ಧ ರೂಪದಲ್ಲಿ. ಅನಿಯಮಿತ ಹೆಚ್ಚಳದ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ X. ನಾವು 1000 ಅನ್ನು ಒಂದೊಂದಾಗಿ ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ; 10000; 100000 ಮತ್ತು ಹೀಗೆ, ನಾವು ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ f (x) = 1/Xಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ: 0.001; 0.0001; 0.00001; ಮತ್ತು ಹೀಗೆ, ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಒಲವು. ಅದಕ್ಕಾಗಿಯೇ:
ಕಾರ್ಯದ ಮಿತಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ಅವಶ್ಯಕ 
ಎರಡನೇ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ, ನಾವು ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ. ಇಲ್ಲಿಂದ ನಾವು ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದದ ಅತ್ಯುನ್ನತ ಪದವಿಯನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ - ಇದು x 3, ನಾವು ಅದನ್ನು ನ್ಯೂಮರೇಟರ್ ಮತ್ತು ಛೇದದಲ್ಲಿನ ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಿಂದ ಹೊರತೆಗೆಯುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಅದನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ:
ಉತ್ತರ 
ಮೊದಲ ಹೆಜ್ಜೆ ಈ ಮಿತಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು, ಬದಲಿಗೆ ಮೌಲ್ಯ 1 ಅನ್ನು ಬದಲಿಸಿ X, ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಅದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ನಾವು ಅಂಶವನ್ನು ಅಂಶೀಕರಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಇದನ್ನು ಮಾಡೋಣ x 2 + 2x - 3:
D = 2 2 - 4*1*(-3) = 4 +12 = 16→ √ D=√16 = 4
x 1.2 = (-2±4)/2→ x 1 = -3;x 2= 1.
ಆದ್ದರಿಂದ ಅಂಶವು ಹೀಗಿರುತ್ತದೆ:
ಉತ್ತರ 
ಇದು ಅದರ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೌಲ್ಯದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಅಥವಾ ಕಾರ್ಯವು ಬೀಳುವ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರದೇಶವಾಗಿದೆ, ಇದು ಮಿತಿಯಿಂದ ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ.
ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿ:
ಸಾರ ಮತ್ತು ಮುಖ್ಯವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಂಡ ನಂತರ ಮಿತಿಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ನಿಯಮಗಳು, ಅವುಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಎಂಬುದರ ಕುರಿತು ನೀವು ಮೂಲಭೂತ ತಿಳುವಳಿಕೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ.
ಅನಂತದಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಯೆಯ ಮಿತಿ:
|f(x) - a|< ε
при |x| >ಎನ್
ಕೌಚಿ ಮಿತಿಯ ನಿರ್ಣಯ
ಫಂಕ್ಷನ್ ಎಫ್ (X)ಅನಂತದಲ್ಲಿ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಜೊತೆಗೆ |x| > ಸಂಖ್ಯೆ a ಅನ್ನು ಕಾರ್ಯದ ಮಿತಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ f (X) x ಅನಂತಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರಿದಂತೆ (), ಯಾವುದಾದರೂ ಇದ್ದರೆ, ಎಷ್ಟೇ ಚಿಕ್ಕದಾದರೂ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ ε > 0
, N ε ಸಂಖ್ಯೆ ಇದೆ >ಕೆ, ε ಅನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ, ಇದು ಎಲ್ಲಾ x, |x| > N ε, ಕಾರ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಪಾಯಿಂಟ್ a ನ ε-ನೆರೆಹೊರೆಗೆ ಸೇರಿವೆ:
|ಎಫ್ (x)-a|< ε
.
ಅನಂತದಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಯೆಯ ಮಿತಿಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:
.
ಅಥವಾ ನಲ್ಲಿ.
ಕೆಳಗಿನ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಸಹ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ:
.
ಅಸ್ತಿತ್ವ ಮತ್ತು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕತೆಯ ತಾರ್ಕಿಕ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬರೆಯೋಣ:
.
ಮೌಲ್ಯಗಳು ಕಾರ್ಯದ ಡೊಮೇನ್‌ಗೆ ಸೇರಿವೆ ಎಂದು ಇದು ಊಹಿಸುತ್ತದೆ.
ಏಕಪಕ್ಷೀಯ ಮಿತಿಗಳು
ಅನಂತದಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಯೆಯ ಎಡ ಮಿತಿ:
|f(x) - a|< ε
при x < -N
ವೇರಿಯಬಲ್ x ನ ಧನಾತ್ಮಕ ಅಥವಾ ಋಣಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದಾಗ ಆಗಾಗ್ಗೆ ಪ್ರಕರಣಗಳಿವೆ (ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ ಬಿಂದುವಿನ ಸಮೀಪದಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ). ಅಲ್ಲದೆ, x ನ ಧನಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಅನಂತದಲ್ಲಿನ ಮಿತಿಗಳು ವಿಭಿನ್ನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಬಹುದು. ನಂತರ ಏಕಪಕ್ಷೀಯ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಅನಂತದಲ್ಲಿ ಎಡ ಮಿತಿಅಥವಾ x ಮೈನಸ್ ಇನ್ಫಿನಿಟಿ () ಗೆ ಒಲವು ತೋರುವ ಮಿತಿಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ:
.
ಅನಂತದಲ್ಲಿ ಬಲ ಮಿತಿಅಥವಾ x ನಂತೆ ಮಿತಿಯು ಅನಂತಕ್ಕೆ ():
.
ಅನಂತದಲ್ಲಿ ಏಕಪಕ್ಷೀಯ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:
;
.
ಇನ್ಫಿನಿಟಿಯಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಯೆಯ ಅನಂತ ಮಿತಿ
ಅನಂತದಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಯೆಯ ಅನಂತ ಮಿತಿ:
|f(x)| > M ಗಾಗಿ |x| > ಎನ್
ಕೌಚಿ ಪ್ರಕಾರ ಅನಂತ ಮಿತಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ
ಫಂಕ್ಷನ್ ಎಫ್ (X)ಅನಂತದಲ್ಲಿ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಜೊತೆಗೆ |x| > K, ಇಲ್ಲಿ K ಎಂಬುದು ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ. ಕಾರ್ಯದ ಮಿತಿ f (X) x ಅನಂತಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುವುದರಿಂದ (), ಇದು ಅನಂತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಯಾವುದೇ ನಿರಂಕುಶವಾಗಿ ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಎಂ > 0
, ಅಂತಹ ಸಂಖ್ಯೆ N M ಇದೆ >ಕೆ, M ಅನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ, ಇದು ಎಲ್ಲಾ x, |x| > N M , ಕಾರ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಅನಂತದಲ್ಲಿ ಬಿಂದುವಿನ ನೆರೆಹೊರೆಗೆ ಸೇರಿವೆ:
|ಎಫ್ (x) | > ಎಂ.
x ಅನಂತಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುವ ಅನಂತ ಮಿತಿಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:
.
ಅಥವಾ ನಲ್ಲಿ.
ಅಸ್ತಿತ್ವ ಮತ್ತು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕತೆಯ ತಾರ್ಕಿಕ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ಅನಂತ ಮಿತಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯಬಹುದು:
.
ಅಂತೆಯೇ, ಕೆಲವು ಚಿಹ್ನೆಗಳ ಅನಂತ ಮಿತಿಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ಸಮಾನವಾಗಿ ಮತ್ತು ಪರಿಚಯಿಸಲಾಗಿದೆ:
.
.
ಅನಂತದಲ್ಲಿ ಏಕಪಕ್ಷೀಯ ಮಿತಿಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು.
ಎಡ ಮಿತಿಗಳು.
.
.
.
ಸರಿಯಾದ ಮಿತಿಗಳು.
.
.
.
ಹೈನ್ ಪ್ರಕಾರ ಕ್ರಿಯೆಯ ಮಿತಿಯ ನಿರ್ಣಯ
ಫಂಕ್ಷನ್ ಎಫ್ (X)ಅನಂತದಲ್ಲಿ x ಬಿಂದುವಿನ ಕೆಲವು ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ 0
, ಎಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ಅಥವಾ .
ಸಂಖ್ಯೆ a (ಸೀಮಿತ ಅಥವಾ ಅನಂತದಲ್ಲಿ) ಎಫ್ ಕ್ರಿಯೆಯ ಮಿತಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (X)ಪಾಯಿಂಟ್ x ನಲ್ಲಿ 0
:
,
ಯಾವುದೇ ಅನುಕ್ರಮಕ್ಕಾಗಿ ವೇಳೆ (xn), x ಗೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವುದು 0
:
,
ಅವರ ಅಂಶಗಳು ನೆರೆಹೊರೆ, ಅನುಕ್ರಮಕ್ಕೆ ಸೇರಿವೆ (f(xn))ಒಂದು ಗೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ:
.
ನಾವು ಅನಂತದಲ್ಲಿ ಸಹಿ ಮಾಡದ ಬಿಂದುವಿನ ನೆರೆಹೊರೆಯನ್ನು ನೆರೆಹೊರೆಯಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ: , ನಂತರ ನಾವು x ಅನಂತತೆಗೆ ಒಲವು ತೋರುವುದರಿಂದ ನಾವು ಕ್ರಿಯೆಯ ಮಿತಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಅನಂತದಲ್ಲಿ x ಬಿಂದುವಿನ ಎಡ-ಬದಿಯ ಅಥವಾ ಬಲ-ಬದಿಯ ನೆರೆಹೊರೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ 0 : ಅಥವಾ , ನಂತರ ನಾವು ಮಿತಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ x ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಮೈನಸ್ ಇನ್ಫಿನಿಟಿ ಮತ್ತು ಪ್ಲಸ್ ಇನ್ಫಿನಿಟಿಗೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ.
ಮಿತಿಯ ಹೈನ್ ಮತ್ತು ಕೌಚಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ.
ಉದಾಹರಣೆಗಳು
ಉದಾಹರಣೆ 1
ಅದನ್ನು ತೋರಿಸಲು ಕೌಚಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬಳಸುವುದು
.
ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸೋಣ:
.
ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವು ಬಹುಪದಗಳಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಛೇದವು ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುವ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಎಲ್ಲಾ x ಗಳಿಗೆ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು. ;
.
ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳು:
;
.
ಅಂದಿನಿಂದ , ನಂತರ ಮತ್ತು .
ಆದ್ದರಿಂದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ನಾವು ಇದನ್ನು ನಂತರ ಬಳಸುತ್ತೇವೆ.
ಕೌಚಿಯ ಪ್ರಕಾರ ಅನಂತದಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಯೆಯ ಸೀಮಿತ ಮಿತಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬರೆಯೋಣ:
.
ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸೋಣ:
.
ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು ಭಾಗಿಸಿ ಮತ್ತು ಗುಣಿಸಿ -1
:
.
ಅವಕಾಶ .
ನಂತರ
;
;
;
.
ಆದ್ದರಿಂದ, ಯಾವಾಗ ನಾವು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ,
.
.
ಅದನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ
ನಲ್ಲಿ, ಮತ್ತು.
ನೀವು ಯಾವಾಗಲೂ ಅದನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಬಹುದು, ನಾವು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ. ನಂತರ ಯಾರಿಗಾದರೂ,
ನಲ್ಲಿ.
ಅದರ ಅರ್ಥ .
ಉದಾಹರಣೆ 2
ಅವಕಾಶ .
ಮಿತಿಯ ಕೌಚಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬಳಸಿ, ಇದನ್ನು ತೋರಿಸಿ:
1)
;
2)
.
1) x ನಂತೆ ಪರಿಹಾರವು ಮೈನಸ್ ಅನಂತಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ
ರಿಂದ, ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಎಲ್ಲಾ x ಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ.
ಮೈನಸ್ ಇನ್ಫಿನಿಟಿಗೆ ಸಮನಾದ ಕ್ರಿಯೆಯ ಮಿತಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನಾವು ಬರೆಯೋಣ:
.
ಅವಕಾಶ . ನಂತರ
;
.
ಆದ್ದರಿಂದ, ಯಾವಾಗ ನಾವು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ,
.
ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ನಮೂದಿಸಿ ಮತ್ತು:
.
ಇದು ಯಾವುದೇ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ M ಗೆ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆ ಇರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ,
.
ಅದರ ಅರ್ಥ .
2) ಪರಿಹಾರವು x ಜೊತೆಗೆ ಅನಂತತೆಗೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ
ಮೂಲ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸೋಣ. ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು ಗುಣಿಸಿ ಮತ್ತು ಚೌಕಗಳ ಸೂತ್ರದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿ:
.
ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:
.
ಕಾರ್ಯದ ಸರಿಯಾದ ಮಿತಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ಬರೆಯೋಣ:
.
ನಾವು ಸಂಕೇತವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸೋಣ: .
ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸೋಣ:
.
ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು ಇವರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ:
.
ಅವಕಾಶ
.
ನಂತರ
;
.
ಆದ್ದರಿಂದ, ಯಾವಾಗ ನಾವು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ,
.
ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ನಮೂದಿಸಿ ಮತ್ತು:
.
ಅದನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ
ನಲ್ಲಿ ಮತ್ತು.
ಇದು ಯಾವುದೇ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ, ನಂತರ
.
ಉಲ್ಲೇಖಗಳು:
ಸಿಎಂ ನಿಕೋಲ್ಸ್ಕಿ. ಗಣಿತ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಕೋರ್ಸ್. ಸಂಪುಟ 1. ಮಾಸ್ಕೋ, 1983.
ಮೊದಲ ಗಮನಾರ್ಹ ಮಿತಿ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಮಾನತೆಯಾಗಿದೆ:
\begin(ಸಮೀಕರಣ)\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1 \end(ಸಮೀಕರಣ)
$\alpha\to(0)$ ಗೆ ನಾವು $\sin\alpha\to(0)$ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ, ಮೊದಲ ಗಮನಾರ್ಹ ಮಿತಿಯು $\frac(0)(0)$ ರೂಪದ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯನ್ನು ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅವರು ಹೇಳುತ್ತಾರೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ (1), ವೇರಿಯೇಬಲ್ $\alpha$ ಬದಲಿಗೆ, ಯಾವುದೇ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸೈನ್ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಛೇದದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುವವರೆಗೆ ಇರಿಸಬಹುದು:
- ಸೈನ್ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಛೇದದಲ್ಲಿನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ. $\frac(0)(0)$ ರೂಪದ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯಿದೆ.
- ಸೈನ್ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಛೇದದಲ್ಲಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆ.
ಮೊದಲ ಗಮನಾರ್ಹ ಮಿತಿಯಿಂದ ಸಹಾನುಭೂತಿಗಳನ್ನು ಸಹ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ:
\begin(ಸಮೀಕರಣ) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1 \end(ಸಮೀಕರಣ) \begin(ಸಮೀಕರಣ) \lim_(\alpha\to(0) )\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1 \end(ಸಮೀಕರಣ) \begin(ಸಮೀಕರಣ) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1 \ಅಂತ್ಯ(ಸಮೀಕರಣ)
ಈ ಪುಟದಲ್ಲಿ ಹನ್ನೊಂದು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 1 ಅನ್ನು ಸೂತ್ರಗಳ (2)-(4) ಪುರಾವೆಗೆ ಮೀಸಲಿಡಲಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು No. 2, No. 3, No. 4 ಮತ್ತು No. 5 ವಿವರವಾದ ಕಾಮೆಂಟ್‌ಗಳೊಂದಿಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಸಂಖ್ಯೆ 6-10 ವಾಸ್ತವಿಕವಾಗಿ ಯಾವುದೇ ಕಾಮೆಂಟ್‌ಗಳಿಲ್ಲದ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಹಿಂದಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ವಿವರವಾದ ವಿವರಣೆಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಪರಿಹಾರವು ಕಂಡುಬರುವ ಕೆಲವು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ.
$\frac (0) (0)$ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯೊಂದಿಗೆ ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯು ಮೊದಲ ಗಮನಾರ್ಹ ಮಿತಿಯ ಅನ್ವಯವನ್ನು ಅರ್ಥೈಸುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ನಾನು ಗಮನಿಸುತ್ತೇನೆ. ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಸರಳ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ರೂಪಾಂತರಗಳು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ - ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನೋಡಿ.
ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 1
$\lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha ) ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ (\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$.
a) $\tg\alpha=\frac(\sin\alpha)(\cos\alpha)$ ರಿಂದ, ನಂತರ:
$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg(\alpha))(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\ಬಲ| =\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) $$
$\lim_(\alpha\to(0))\cos(0)=1$ ಮತ್ತು $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1$ , ಅದು:
$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) =\frac(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0)) \frac(\sin(\alpha))(\alpha))(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0))\cos(\alpha)) =\frac(1)(1) =1. $$
b) $\alpha=\sin(y)$ ಬದಲಾವಣೆ ಮಾಡೋಣ. $\sin(0)=0$ ರಿಂದ, $\alpha\to(0)$ ಷರತ್ತಿನಿಂದ ನಾವು $y\to(0)$ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಇದರ ಜೊತೆಗೆ, ಶೂನ್ಯದ ನೆರೆಹೊರೆಯು $\arcsin\alpha=\arcsin(\sin(y))=y$, ಆದ್ದರಿಂದ:
$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\ಬಲ| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\sin(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\sin(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\sin(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$
ಸಮಾನತೆ $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1$ ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.
c) ಬದಲಿ $\alpha=\tg(y)$ ಮಾಡೋಣ. $\tg(0)=0$ ರಿಂದ, $\alpha\to(0)$ ಮತ್ತು $y\to(0)$ ಷರತ್ತುಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಶೂನ್ಯದ ನೆರೆಹೊರೆ ಇದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ $\arctg\alpha=\arctg\tg(y))=y$, ಆದ್ದರಿಂದ, ಪಾಯಿಂಟ್ a ನ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ನಾವು ಹೊಂದಿರುತ್ತೇವೆ:
$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\ಬಲ| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\tg(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\tg(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\tg(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$
ಸಮಾನತೆ $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$ ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.
ಸಮಾನತೆಗಳು a), b), c) ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಮೊದಲ ಗಮನಾರ್ಹ ಮಿತಿಯೊಂದಿಗೆ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 2
ಮಿತಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4) (x+7))$.
ರಿಂದ $\lim_(x\to(2))\frac(x^2-4)(x+7)=\frac(2^2-4)(2+7)=0$ ಮತ್ತು $\lim_( x \to(2))\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right)=\sin(0)=0$, i.e. ಮತ್ತು ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದ ಎರಡೂ ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತವೆ, ನಂತರ ಇಲ್ಲಿ ನಾವು $\frac(0)(0)$ ರೂಪದ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅಂದರೆ. ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಸೈನ್ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಛೇದದಲ್ಲಿನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತವೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ (ಅಂದರೆ ಮತ್ತು ತೃಪ್ತವಾಗಿದೆ):
ಆದ್ದರಿಂದ, ಪುಟದ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾದ ಎರಡೂ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಲಾಗಿದೆ. ಸೂತ್ರವು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಇದರಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. $\lim_(x\to(2)) \frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x+ 7 ))=1$.
ಉತ್ತರ: $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x +7))=1$.
ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 3
$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)$ ಹುಡುಕಿ.
$\lim_(x\to(0))\sin(9x)=0$ ಮತ್ತು $\lim_(x\to(0))x=0$, ನಂತರ ನಾವು $\frac ರೂಪದ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯನ್ನು ಎದುರಿಸುತ್ತಿದ್ದೇವೆ (0 )(0)$, ಅಂದರೆ. ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸೈನ್ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಛೇದದಲ್ಲಿನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಇಲ್ಲಿ ನೀವು ಛೇದದಲ್ಲಿನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಬಯಸಿದ ರೂಪಕ್ಕೆ ಸರಿಹೊಂದಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ಛೇದದಲ್ಲಿರಲು ನಮಗೆ $9x$ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಅಗತ್ಯವಿದೆ, ಆಗ ಅದು ನಿಜವಾಗುತ್ತದೆ. ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ, ನಾವು ಛೇದದಲ್ಲಿ $9$ನ ಅಂಶವನ್ನು ಕಳೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ, ಅದನ್ನು ನಮೂದಿಸುವುದು ಕಷ್ಟವೇನಲ್ಲ - ಛೇದದಲ್ಲಿನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು $9$ ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ. ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ, $9$ ರಿಂದ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಸರಿದೂಗಿಸಲು, ನೀವು ತಕ್ಷಣ $9$ ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=\left|\frac(0)(0)\ಬಲ| =\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x\cdot\frac(1)(9)) =9\lim_(x\to(0))\frac(\sin (9x))(9x)$$
ಈಗ ಛೇದದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಸೈನ್ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಸೇರಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)$ ಗಾಗಿ ಎರಡೂ ಷರತ್ತುಗಳು ತೃಪ್ತವಾಗಿವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=1$. ಮತ್ತು ಇದರರ್ಥ:
$$ 9\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=9\cdot(1)=9. $$
ಉತ್ತರ: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=9$.
ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 4
$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))$ ಹುಡುಕಿ.
$\lim_(x\to(0))\sin(5x)=0$ ಮತ್ತು $\lim_(x\to(0))\tg(8x)=0$ ರಿಂದ, ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಫಾರ್ಮ್‌ನ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯನ್ನು ಎದುರಿಸುತ್ತಿದ್ದೇವೆ $\frac(0)(0)$. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಮೊದಲ ಗಮನಾರ್ಹ ಮಿತಿಯ ರೂಪವನ್ನು ಉಲ್ಲಂಘಿಸಲಾಗಿದೆ. $\sin(5x)$ ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಅಂಶಕ್ಕೆ $5x$ನ ಛೇದದ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ಈ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ, ಅಂಶವನ್ನು $5x$ ರಿಂದ ಭಾಗಿಸುವುದು ಮತ್ತು ತಕ್ಷಣವೇ $5x$ ರಿಂದ ಗುಣಿಸುವುದು ಸುಲಭವಾದ ಮಾರ್ಗವಾಗಿದೆ. ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ನಾವು ಛೇದದೊಂದಿಗೆ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ, $\tg(8x)$ ಅನ್ನು $8x$ ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ ಮತ್ತು ಭಾಗಿಸಿ:
$$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x)=\left|\frac(0)(0)\ಬಲ| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x) )$$
$x$ ನಿಂದ ಕಡಿಮೆಗೊಳಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಮಿತಿ ಚಿಹ್ನೆಯ ಹೊರಗೆ ಸ್ಥಿರವಾದ $\frac(5)(8)$ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))( 8x)) $$
$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x)$ ಮೊದಲ ಗಮನಾರ್ಹ ಮಿತಿಯ ಅವಶ್ಯಕತೆಗಳನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(8x))(8x)$ ಹುಡುಕಲು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರವು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ:
$$ \frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x))(\displaystyle\lim_(x\to) (0))\frac(\tg(8x))(8x)) =\frac(5)(8)\cdot\frac(1)(1) =\frac(5)(8). $$
ಉತ್ತರ: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\frac(5)(8)$.
ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 5
$\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)$ ಹುಡುಕಿ.
ರಿಂದ $\lim_(x\to(0))(\cos(5x)-\cos^3(5x))=1-1=0$ ($\cos(0)=1$) ಮತ್ತು $\ lim_(x\to(0))x^2=0$, ನಂತರ ನಾವು $\frac(0)(0)$ ರೂಪದ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುತ್ತಿದ್ದೇವೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಮೊದಲ ಗಮನಾರ್ಹ ಮಿತಿಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲು, ನೀವು ನ್ಯೂಮರೇಟರ್‌ನಲ್ಲಿರುವ ಕೊಸೈನ್ ಅನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಬೇಕು, ಸೈನ್‌ಗಳಿಗೆ (ನಂತರ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಸಲುವಾಗಿ) ಅಥವಾ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳಿಗೆ (ನಂತರ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಸಲುವಾಗಿ) ಚಲಿಸಬೇಕು. ಕೆಳಗಿನ ರೂಪಾಂತರದೊಂದಿಗೆ ಇದನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು:
$$\cos(5x)-\cos^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)$$ $$\cos(5x)-\cos ^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)=\cos(5x)\cdot\sin^2(5x).$$
ಮಿತಿಗೆ ಹಿಂತಿರುಗಿ ನೋಡೋಣ:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=\left|\frac(0)(0)\ಬಲ| =\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)\cdot\sin^2(5x))(x^2) =\lim_(x\to(0))\left(\cos (5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\ಬಲ) $$
$\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ ಭಾಗವು ಮೊದಲ ಗಮನಾರ್ಹ ಮಿತಿಗೆ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಫಾರ್ಮ್‌ಗೆ ಈಗಾಗಲೇ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದೆ. $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯೊಂದಿಗೆ ಸ್ವಲ್ಪ ಕೆಲಸ ಮಾಡೋಣ, ಅದನ್ನು ಮೊದಲ ಗಮನಾರ್ಹ ಮಿತಿಗೆ ಹೊಂದಿಸಿ (ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿನ ಮತ್ತು ಸೈನ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗಬೇಕು ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ):
$$\frac(\sin^2(5x))(x^2)=\frac(\sin^2(5x))(25x^2\cdot\frac(1)(25))=25\cdot\ frac(\sin^2(5x))(25x^2)=25\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\ಬಲ)^2$$
ಪ್ರಶ್ನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಮಿತಿಗೆ ಹಿಂತಿರುಗಿ ನೋಡೋಣ:
$$ \lim_(x\to(0))\left(\cos(5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right) =\lim_(x\to(0) ))\left(25\cos(5x)\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2\right)=\\ =25\cdot\lim_(x\to( 0))\cos(5x)\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2 =25\cdot(1)\cdot( 1^2) =25. $$
ಉತ್ತರ: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=25$.
ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 6
ಮಿತಿಯನ್ನು ಹುಡುಕಿ $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))$.
$\lim_(x\to(0))(1-\cos(6x))=0$ ಮತ್ತು $\lim_(x\to(0))(1-\cos(2x))=0$, ನಂತರ ನಾವು $\frac(0)(0)$ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುತ್ತಿದ್ದೇವೆ. ಮೊದಲ ಗಮನಾರ್ಹ ಮಿತಿಯ ಸಹಾಯದಿಂದ ನಾವು ಅದನ್ನು ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸೋಣ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು ಕೊಸೈನ್‌ಗಳಿಂದ ಸೈನ್‌ಗಳಿಗೆ ಹೋಗೋಣ. $1-\cos(2\alpha)=2\sin^2(\alpha)$ ರಿಂದ, ನಂತರ:
$$1-\cos(6x)=2\sin^2(3x);\;1-\cos(2x)=2\sin^2(x).$$
ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಸೈನ್‌ಗಳಿಗೆ ಹಾದುಹೋಗುವಾಗ, ನಾವು ಹೊಂದಿರುತ್ತೇವೆ:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=\ಎಡ|\frac(0)(0)\ಬಲ| =\lim_(x\to(0))\frac(2\sin^2(3x))(2\sin^2(x)) =\lim_(x\to(0))\frac(\sin^ 2(3x))(\sin^2(x))=\\ =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin^2(3x))((3x)^2)\ cdot(3x)^2)(\frac(\sin^2(x))(x^2)\cdot(x^2)) =\lim_(x\to(0))\frac(\left(\\ frac(\sin(3x))(3x)\ಬಲ)^2\cdot(9x^2))(\ಎಡ(\frac(\sin(x))(x)\right)^2\cdot(x^ 2)) =9\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(3x))(3x)\right)^2)(\displaystyle\lim_(x \to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2) =9\cdot\frac(1^2)(1^2) =9. $$
ಉತ್ತರ: $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=9$.
ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 7
ಮಿತಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x))(x^2)$ $\alpha\neq ಗೆ ಒಳಪಟ್ಟಿರುತ್ತದೆ \ ಬೀಟಾ $.
ವಿವರವಾದ ವಿವರಣೆಗಳನ್ನು ಮೊದಲೇ ನೀಡಲಾಗಿತ್ತು, ಆದರೆ ಇಲ್ಲಿ ನಾವು $\frac(0)(0)$ ಎಂಬ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯನ್ನು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಗಮನಿಸುತ್ತೇವೆ. ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕೊಸೈನ್‌ಗಳಿಂದ ಸೈನ್‌ಗಳಿಗೆ ಚಲಿಸೋಣ
$$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\sin\frac(\alpha-\beta)(2).$$
ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\left|\frac(0)( 0)\ಬಲ| =\lim_(x\to(0))\frac(-2\sin\frac(\alpha(x)+\beta(x))(2)\cdot\sin\frac(\alpha(x)-\ ಬೀಟಾ(x))(2))(x^2)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta) )(2)\ಬಲ)\cdot\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x^2) =-2\cdot\lim_(x\to( 0))\ಎಡ(\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x)\cdot\frac(\sin\left(x\cdot\frac) (\alpha-\beta)(2)\ಬಲ))(x)\ಬಲ)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin\left(x) \cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\frac (\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2))\cdot\frac(\alpha- \beta)(2)\ಬಲ)=\\ =-\frac((\alpha+\beta)\cdot(\alpha-\beta))(2)\lim_(x\to(0))\frac(\ sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\lim_(x\to(0)) \frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)) =-\frac(\ alpha^2-\beta^2)(2)\cdot(1)\cdot(1) =\frac(\beta^2-\alpha^2)(2). $$
ಉತ್ತರ: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\frac(\beta^2-\ ಆಲ್ಫಾ^2)(2)$.
ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 8
ಮಿತಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)$.
ರಿಂದ $\lim_(x\to(0))(\tg(x)-\sin(x))=0$ ($\sin(0)=\tg(0)=0$) ಮತ್ತು $\ lim_(x\to(0))x^3=0$, ನಂತರ ಇಲ್ಲಿ ನಾವು $\frac(0)(0)$ ರೂಪದ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುತ್ತಿದ್ದೇವೆ. ಅದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವಿಭಜಿಸೋಣ:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\left|\frac(0)(0)\ಬಲ| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(x))(\cos(x))-\sin(x))(x^3) =\lim_(x\to( 0))\frac(\sin(x)\cdot\left(\frac(1)(\cos(x))-1\right))(x^3) =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot\left(1-\cos(x)\right))(x^3\cdot\cos(x))=\\ =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot(2)\sin^2\frac(x)(2))(x^3\cdot\cos(x)) =\frac(1)(2)\cdot\ lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\cdot\left(\frac(\sin\frac(x)(2))(\frac(x)( 2))\ಬಲ)^2\cdot\frac(1)(\cos(x))\right) =\frac(1)(2)\cdot(1)\cdot(1^2)\cdot(1 ) =\frac(1)(2). $$
ಉತ್ತರ: $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\frac(1)(2)$.
ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 9
ಮಿತಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))$.
ರಿಂದ $\lim_(x\to(3))(1-\cos(x-3))=0$ ಮತ್ತು $\lim_(x\to(3))(x-3)\tg\frac(x - 3)(2)=0$, ನಂತರ $\frac(0)(0)$ ರೂಪದ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆ ಇರುತ್ತದೆ. ಅದರ ವಿಸ್ತರಣೆಗೆ ಮುಂದುವರಿಯುವ ಮೊದಲು, ಹೊಸ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಬದಲಾವಣೆಯನ್ನು ಮಾಡಲು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ (ಸೂತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ವೇರಿಯಬಲ್ $\alpha \ to 0$ ಎಂದು ಗಮನಿಸಿ). $t=x-3$ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುವುದು ಸುಲಭವಾದ ಮಾರ್ಗವಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಮತ್ತಷ್ಟು ರೂಪಾಂತರಗಳ ಅನುಕೂಲಕ್ಕಾಗಿ (ಕೆಳಗಿನ ಪರಿಹಾರದ ಹಾದಿಯಲ್ಲಿ ಈ ಪ್ರಯೋಜನವನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು), ಈ ಕೆಳಗಿನ ಬದಲಿಯನ್ನು ಮಾಡುವುದು ಯೋಗ್ಯವಾಗಿದೆ: $t=\frac(x-3)(2)$. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಎರಡೂ ಬದಲಿಗಳು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ನಾನು ಗಮನಿಸುತ್ತೇನೆ, ಎರಡನೆಯ ಬದಲಿಯು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಡಿಮೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. $x\to(3)$ ರಿಂದ, ನಂತರ $t\to(0)$.
$$ \lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2)=\left|\frac (0)(0)\ಬಲ| =\ಎಡ|\ಆರಂಭ(ಜೋಡಿಸಲಾಗಿದೆ)&t=\frac(x-3)(2);\\&t\to(0)\end(aligned)\ಬಲ| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\cos(2t))(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^ 2t)(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\tg(t))=\\ =\lim_(t\ ಗೆ(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\frac(\sin(t))(\cos(t))) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin (t)\cos(t))(t) =\lim_(t\to(0))\left(\frac(\sin(t))(t)\cdot\cos(t)\right) =\ lim_(t\to(0))\frac(\sin(t))(t)\cdot\lim_(t\to(0))\cos(t) =1\cdot(1) =1. $$
ಉತ್ತರ: $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=1$.
ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 10
ಮಿತಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^ 2)$.
ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ನಾವು $\frac(0)(0)$ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುತ್ತಿದ್ದೇವೆ. ಅದರ ವಿಸ್ತರಣೆಗೆ ಮುಂದುವರಿಯುವ ಮೊದಲು, ಹೊಸ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಬದಲಾವಣೆಯನ್ನು ಮಾಡಲು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ (ಸೂತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ವೇರಿಯೇಬಲ್ $\alpha\to(0)$ ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ). $t=\frac(\pi)(2)-x$ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುವುದು ಸುಲಭವಾದ ಮಾರ್ಗವಾಗಿದೆ. $x\to\frac(\pi)(2)$ ರಿಂದ, ನಂತರ $t\to(0)$:
$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\ಎಡ|\frac(0)(0)\ಬಲ| =\left|\begin(aligned)&t=\frac(\pi)(2)-x;\\&t\to(0)\end(aligned)\right| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\sin\left(\frac(\pi)(2)-t\right))(t^2) =\lim_(t\to(0) ))\frac(1-\cos(t))(t^2)=\\ =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^2\frac(t)(2))( t^2) =2\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2\frac(t)(2))(t^2) =2\lim_(t\to(0))\ frac(\sin^2\frac(t)(2))(\frac(t^2)(4)\cdot(4)) =\frac(1)(2)\cdot\lim_(t\to( 0))\ಎಡ(\frac(\sin\frac(t)(2))(\frac(t)(2))\right)^2 =\frac(1)(2)\cdot(1^2 ) =\frac(1)(2). $$
ಉತ್ತರ: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\frac(1)(2)$.
ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 11
$\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)$, $\lim_(x\to\frac(2) ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ \ pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)$.
ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ನಾವು ಮೊದಲ ಅದ್ಭುತ ಮಿತಿಯನ್ನು ಬಳಸಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ. ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ಮಿತಿಗಳು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ದಯವಿಟ್ಟು ಗಮನಿಸಿ. ಆಗಾಗ್ಗೆ ಈ ರೀತಿಯ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಮಿತಿ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಇರುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸರಳೀಕರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಿದ ಸರಳೀಕರಣ ಮತ್ತು ಕೆಲವು ಅಂಶಗಳ ಕಡಿತದ ನಂತರ, ಅನಿಶ್ಚಿತತೆ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ನಾನು ಈ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಕೇವಲ ಒಂದು ಉದ್ದೇಶಕ್ಕಾಗಿ ನೀಡಿದ್ದೇನೆ: ಮಿತಿ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯು ಮೊದಲ ಗಮನಾರ್ಹ ಮಿತಿಯ ಬಳಕೆಯನ್ನು ಅರ್ಥವಲ್ಲ ಎಂದು ತೋರಿಸಲು.
ರಿಂದ $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))(1-\sin(x))=0$ ($\sin\frac(\pi)(2)=1$ ) ಮತ್ತು $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\cos^2x=0$ ($\cos\frac(\pi)(2)=0$ ಎಂದು ನಾನು ನಿಮಗೆ ನೆನಪಿಸುತ್ತೇನೆ, ನಂತರ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ $\frac(0)(0)$ ರೂಪದ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುವುದು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ನಾವು ಮೊದಲ ಅದ್ಭುತ ಮಿತಿಯನ್ನು ಬಳಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಇದರ ಅರ್ಥವಲ್ಲ. ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯನ್ನು ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸಲು, $\cos^2x=1-\sin^2x$ ಎಂದು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಸಾಕು:
$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x) =\ಎಡ|\frac(0)(0)\ಬಲ| =\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(1-\sin^2x) =\lim_(x\to\frac(\pi)( 2))\frac(1-\sin(x))((1-\sin(x))(1+\sin(x))) =\lim_(x\to\frac(\pi)(2) )\frac(1)(1+\sin(x)) =\frac(1)(1+1) =\frac(1)(2). $$
ಡೆಮಿಡೋವಿಚ್ನ ಪರಿಹಾರ ಪುಸ್ತಕದಲ್ಲಿ (ನಂ. 475) ಇದೇ ರೀತಿಯ ಪರಿಹಾರವಿದೆ. ಎರಡನೇ ಮಿತಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ಈ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿನ ಹಿಂದಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳಂತೆ, ನಾವು $\frac(0)(0)$ ರೂಪದ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಅದು ಏಕೆ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ? ಇದು ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ $\tg\frac(2\pi)(3)=-\sqrt(3)$ ಮತ್ತು $2\cos\frac(2\pi)(3)=-1$. ನ್ಯೂಮರೇಟರ್ ಮತ್ತು ಛೇದದಲ್ಲಿನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸಲು ನಾವು ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ. ನಮ್ಮ ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಗುರಿಯು ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದದಲ್ಲಿ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಬರೆಯುವುದು. ಮೂಲಕ, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಇದೇ ರೀತಿಯ ಒಳಗೆ ಹೊಸ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಮಾಡಿದ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಲು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಈ ಪುಟದಲ್ಲಿ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಸಂಖ್ಯೆ 9 ಅಥವಾ ಸಂಖ್ಯೆ 10 ಅನ್ನು ನೋಡಿ). ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಬದಲಿಸುವುದರಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಅರ್ಥವಿಲ್ಲ, ಆದಾಗ್ಯೂ ಬಯಸಿದಲ್ಲಿ, $t=x-\frac(2\pi)(3)$ ಅನ್ನು ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಬದಲಿಸುವುದು ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸಲು ಕಷ್ಟವಾಗುವುದಿಲ್ಲ.
$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1) =\lim_(x\ ಗೆ\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cdot\left(\cos(x)+\frac(1)(2)\ಬಲ )) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)-\tg\frac(2\pi)(3))(2\cdot\left(\\ cos(x)-\cos\frac(2\pi)(3)\right))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\frac(\sin) \left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)))(-4\sin\frac(x+\frac) (2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3 ))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\ sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))=\\ =\lim_(x\to\frac) (2\pi)(3))\frac(2\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos\frac(x-\frac(2\pi)(3 ))(2))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2) \cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\cos\frac(x-\frac(2) \pi)(3))(2))(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3 ))=\\ =\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3))(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left( -\frac(1)(2)\ಬಲ)) =-\frac(4)(\sqrt(3)). $$
ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ನಾವು ಮೊದಲ ಅದ್ಭುತ ಮಿತಿಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ. ಸಹಜವಾಗಿ, ನೀವು ಬಯಸಿದರೆ ಇದನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು (ಕೆಳಗಿನ ಟಿಪ್ಪಣಿ ನೋಡಿ), ಆದರೆ ಇದು ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ.
ಮೊದಲ ಗಮನಾರ್ಹ ಮಿತಿಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪರಿಹಾರವೇನು? ತೋರಿಸು\ ಮರೆಮಾಡಿ
ನಾವು ಪಡೆಯುವ ಮೊದಲ ಗಮನಾರ್ಹ ಮಿತಿಯನ್ನು ಬಳಸಿ:
$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac (x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi) )(3))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\left(\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\ ಬಲ))(x-\frac(2\pi)(3))\cdot\frac(1)(\frac(\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) (\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)))\cdot\frac(1)(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))( 2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))\ಬಲ) =1\cdot(1)\cdot\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3) )(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)) =-\frac(4)(\sqrt( 3)). $$
ಉತ್ತರ: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)=\frac(1)(2)$, $\lim_( x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)=-\frac(4)(\sqrt( 3))$.
ನಾವು ಮಿತಿಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ಸಿದ್ಧ ಉತ್ತರಗಳನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸುವುದನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಇಂದು ನಾವು ಒಂದು ಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿನ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅಥವಾ ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅನಂತತೆಗೆ ಒಲವು ತೋರಿದಾಗ ಮಾತ್ರ ನಾವು ಗಮನಹರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಅನಂತತೆಗೆ ಒಲವು ತೋರುವ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಮಿತಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಸೂಚನೆಗಳನ್ನು ಮೊದಲೇ ನೀಡಲಾಗಿದೆ; ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಸ್ಪಷ್ಟ ಮತ್ತು ಸರಳವಲ್ಲದ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಪ್ರಕರಣಗಳ ಮೇಲೆ ಮಾತ್ರ ವಾಸಿಸುತ್ತೇವೆ.
ಉದಾಹರಣೆ 35. ನಾವು ಒಂದು ಭಾಗದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ, ಅಲ್ಲಿ ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವು ಮೂಲ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.
ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅನಂತಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರಿದಾಗ ನಾವು ಮಿತಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು.
ಇಲ್ಲಿ ಅಂಶದಲ್ಲಿನ ಅಭಾಗಲಬ್ಧತೆಯನ್ನು ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಿ ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಹೆಚ್ಚಿನ ಶಕ್ತಿಯು ಎಲ್ಲಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
ಮೊದಲನೆಯದರಲ್ಲಿ, ಅಂಶದ ಬೇರುಗಳು ಗುಣಕ n^4, ಅಂದರೆ, n^2 ಅನ್ನು ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಿಂದ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು.
ಛೇದನದೊಂದಿಗೆ ಅದೇ ರೀತಿ ಮಾಡೋಣ.
ಮುಂದೆ, ಮಿತಿಗೆ ಹಾದುಹೋಗುವಾಗ ನಾವು ಮೂಲಭೂತ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಅರ್ಥವನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ.
ನಾವು ಶೂನ್ಯದಿಂದ ವಿಭಾಗಗಳನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ, ಇದು ಶಾಲಾ ಕೋರ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ ತಪ್ಪಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಮಿತಿಗೆ ಅಂಗೀಕಾರದಲ್ಲಿ ಅದು ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹವಾಗಿದೆ.
"ಕಾರ್ಯವು ಎಲ್ಲಿಗೆ ಹೋಗುತ್ತಿದೆ ಎಂದು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು" ತಿದ್ದುಪಡಿಯೊಂದಿಗೆ ಮಾತ್ರ.
ಆದ್ದರಿಂದ, ಎಲ್ಲಾ ಶಿಕ್ಷಕರು ಮೇಲಿನ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ಅರ್ಥೈಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ, ಆದರೂ ಫಲಿತಾಂಶವು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಅವರು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ.
ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಪ್ರಕಾರ ಶಿಕ್ಷಕರ ಅವಶ್ಯಕತೆಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಸಂಕಲಿಸಿದ ಉತ್ತರವನ್ನು ನೋಡೋಣ.
ಸರಳೀಕರಿಸಲು, ನಾವು ರೂಟ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮುಖ್ಯ ಆಡ್-ಆನ್‌ಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ 
ಇದಲ್ಲದೆ, ಅಂಶದಲ್ಲಿ ಶಕ್ತಿಯು 2 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಛೇದ 2/3 ರಲ್ಲಿ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅಂಶವು ವೇಗವಾಗಿ ಬೆಳೆಯುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಮಿತಿಯು ಅನಂತತೆಗೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ.
ಇದರ ಚಿಹ್ನೆಯು n^2, n^(2/3) ಅಂಶಗಳ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಉದಾಹರಣೆ 36. ಘಾತೀಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ವಿಭಜನೆಯ ಮೇಲಿನ ಮಿತಿಯ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಈ ರೀತಿಯ ಕೆಲವು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಉದಾಹರಣೆಗಳಿವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಉದ್ಭವಿಸುವ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸುವುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಎಲ್ಲಾ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಸುಲಭವಾಗಿ ನೋಡುವುದಿಲ್ಲ.
ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದದ ಗರಿಷ್ಠ ಅಂಶವು 8^n ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು ನಾವು ಅದರ ಮೂಲಕ ಸರಳಗೊಳಿಸುತ್ತೇವೆ 
ಮುಂದೆ, ನಾವು ಪ್ರತಿ ಪದದ ಕೊಡುಗೆಯನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ
3/8 ರಿಂದ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನಂತಕ್ಕೆ ಹೋಗುವುದರಿಂದ 3/8 ಪದಗಳು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತವೆ<1
(свойство степенно-показательной функции).
ಉದಾಹರಣೆ 37. ಅಂಶಗಳೊಂದಿಗಿನ ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿಯು ಅಂಶವನ್ನು ಮತ್ತು ಛೇದಕ್ಕೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಅಪವರ್ತನವನ್ನು ಬರೆಯುವ ಮೂಲಕ ಬಹಿರಂಗಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.
ಮುಂದೆ, ನಾವು ಅದನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದದಲ್ಲಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸೂಚಕಗಳ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಆಧರಿಸಿ ಮಿತಿಯನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ.
ನಮ್ಮ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಛೇದವು ವೇಗವಾಗಿ ಬೆಳೆಯುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಮಿತಿ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. 
ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ
ಅಪವರ್ತನೀಯ ಆಸ್ತಿ.
ಉದಾಹರಣೆ 38. L'Hopital ನ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸದೆಯೇ, ನಾವು ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದದಲ್ಲಿ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಗರಿಷ್ಠ ಸೂಚಕಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸುತ್ತೇವೆ.
ಛೇದವು 4>2 ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ನ ಅತ್ಯಧಿಕ ಘಾತವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ, ಅದು ವೇಗವಾಗಿ ಬೆಳೆಯುತ್ತದೆ.
ಇದರಿಂದ ನಾವು ಕಾರ್ಯದ ಮಿತಿಯು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೀರ್ಮಾನಿಸುತ್ತೇವೆ.
ಉದಾಹರಣೆ 39. ಭಾಗದ ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದದಿಂದ x^4 ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುವ ಮೂಲಕ ಅನಂತದಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದ ರೂಪ ಅನಂತತೆಯ ವಿಶಿಷ್ಟತೆಯನ್ನು ನಾವು ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ.
ಮಿತಿಗೆ ಹಾದುಹೋಗುವ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ನಾವು ಅನಂತತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.
ಉದಾಹರಣೆ 40. ನಾವು ಬಹುಪದಗಳ ವಿಭಾಗವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ; ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನಂತತೆಗೆ ಒಲವು ತೋರುವುದರಿಂದ ನಾವು ಮಿತಿಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿದೆ.
ನ್ಯೂಮರೇಟರ್ ಮತ್ತು ಛೇದದಲ್ಲಿನ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಅತ್ಯುನ್ನತ ಮಟ್ಟವು 3 ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಗಡಿಯು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಸ್ತುತ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ನಾವು x^3 ಅನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯೋಣ ಮತ್ತು ಪ್ಯಾಸೇಜ್ ಅನ್ನು ಮಿತಿಗೆ ನಿರ್ವಹಿಸೋಣ
ಉದಾಹರಣೆ 41. ನಾವು ಅನಂತತೆಯ ಶಕ್ತಿಗೆ ಟೈಪ್ ಒಂದರ ಏಕತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ.
ಇದರರ್ಥ ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳಲ್ಲಿನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಮತ್ತು ಸೂಚಕವನ್ನು ಎರಡನೇ ಪ್ರಮುಖ ಗಡಿಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ತರಬೇಕು.
ಛೇದಕ್ಕೆ ಹೋಲುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೈಲೈಟ್ ಮಾಡಲು ಅಂಶವನ್ನು ಬರೆಯೋಣ.
ಮುಂದೆ, ನಾವು ಒಂದು ಜೊತೆಗೆ ಒಂದು ಪದವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಹೋಗುತ್ತೇವೆ.
ಪದವಿಯನ್ನು ಅಂಶ 1/(ಅವಧಿ) ಮೂಲಕ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಬೇಕು.
ಹೀಗೆ ನಾವು ಫ್ರಾಕ್ಷನಲ್ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಮಿತಿಯ ಶಕ್ತಿಗೆ ಘಾತವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. 
ಏಕತ್ವವನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಲು, ನಾವು ಎರಡನೇ ಮಿತಿಯನ್ನು ಬಳಸಿದ್ದೇವೆ: 
ಉದಾಹರಣೆ 42. ನಾವು ಅನಂತತೆಯ ಶಕ್ತಿಗೆ ಟೈಪ್ ಒಂದರ ಏಕತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ.
ಅದನ್ನು ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸಲು, ಒಬ್ಬರು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಎರಡನೇ ಗಮನಾರ್ಹ ಮಿತಿಗೆ ತಗ್ಗಿಸಬೇಕು.
ಇದನ್ನು ಹೇಗೆ ಮಾಡಬೇಕೆಂದು ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ವಿವರವಾಗಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ 
ನೀವು ಇದೇ ರೀತಿಯ ಬಹಳಷ್ಟು ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು. ಘಾತಾಂಕದಲ್ಲಿ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಪದವಿಯನ್ನು ಪಡೆಯುವುದು ಅವರ ಸಾರವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಇದು ಒಂದರಲ್ಲಿ ಆವರಣದಲ್ಲಿರುವ ಪದದ ವಿಲೋಮ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ಘಾತವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಘಾತಾಂಕ ಪದವಿಯ ಮಿತಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಮತ್ತಷ್ಟು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ.
ಇಲ್ಲಿ ಘಾತೀಯ ಕಾರ್ಯವು ಅನಂತತೆಗೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಮೌಲ್ಯವು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ e=2.72>1.
ಉದಾಹರಣೆ 43 ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಛೇದದಲ್ಲಿ ನಾವು ವಿಧದ ಅನಂತ ಮೈನಸ್ ಅನಂತತೆಯ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ, ಇದು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಶೂನ್ಯದಿಂದ ವಿಭಜನೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಮೂಲವನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಲು, ನಾವು ಸಂಯೋಜಿತ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಿಂದ ಗುಣಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಛೇದವನ್ನು ಪುನಃ ಬರೆಯಲು ಚೌಕಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕಾಗಿ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ.
ನಾವು ಅನಂತತೆಯ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯನ್ನು ಅನಂತದಿಂದ ಭಾಗಿಸುತ್ತೇವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿನ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಅದನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ.
ಮುಂದೆ, ನಾವು ಪ್ರತಿ ಪದದ ಕೊಡುಗೆಯನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅನಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಮಿತಿಯನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ 
ಮಿತಿಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಗಣಿತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಶಾಖೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಪ್ರಶ್ನೆಯು ಸಾಕಷ್ಟು ವಿಸ್ತಾರವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ವಿವಿಧ ಪ್ರಕಾರಗಳ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಡಜನ್ಗಟ್ಟಲೆ ವಿಧಾನಗಳಿವೆ. ಈ ಅಥವಾ ಆ ಮಿತಿಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುವ ಡಜನ್ಗಟ್ಟಲೆ ಸೂಕ್ಷ್ಮ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು ಮತ್ತು ತಂತ್ರಗಳಿವೆ. ಅದೇನೇ ಇದ್ದರೂ, ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಎದುರಾಗುವ ಮಿತಿಗಳ ಮುಖ್ಯ ಪ್ರಕಾರಗಳನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ನಾವು ಇನ್ನೂ ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತೇವೆ.
ಮಿತಿಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ. ಆದರೆ ಮೊದಲು, ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಐತಿಹಾಸಿಕ ಹಿನ್ನೆಲೆ. 19 ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ಫ್ರೆಂಚ್‌ನ ಆಗಸ್ಟಿನ್ ಲೂಯಿಸ್ ಕೌಚಿ ವಾಸಿಸುತ್ತಿದ್ದರು, ಅವರು ಮಾತನ್‌ನ ಅನೇಕ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳಿಗೆ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ನೀಡಿದರು ಮತ್ತು ಅದರ ಅಡಿಪಾಯವನ್ನು ಹಾಕಿದರು. ಈ ಗೌರವಾನ್ವಿತ ಗಣಿತಜ್ಞನು ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಗಣಿತ ವಿಭಾಗದ ಎಲ್ಲಾ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ದುಃಸ್ವಪ್ನಗಳಲ್ಲಿ ಇದ್ದಾನೆ ಮತ್ತು ಇರುತ್ತಾನೆ ಎಂದು ಹೇಳಬೇಕು, ಏಕೆಂದರೆ ಅವರು ಗಣಿತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದ್ದಾರೆ ಮತ್ತು ಒಂದು ಪ್ರಮೇಯವು ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಮಾರಕವಾಗಿದೆ. ಈ ನಿಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ, ನಾವು ಇನ್ನೂ ಪರಿಗಣಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಕೌಚಿ ಮಿತಿಯ ನಿರ್ಣಯ, ಆದರೆ ಎರಡು ಕೆಲಸಗಳನ್ನು ಮಾಡಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ:
1. ಮಿತಿ ಏನು ಎಂಬುದನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಿ.
2. ಮುಖ್ಯ ವಿಧದ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ತಿಳಿಯಿರಿ.
ಕೆಲವು ಅವೈಜ್ಞಾನಿಕ ವಿವರಣೆಗಳಿಗಾಗಿ ನಾನು ಕ್ಷಮೆಯಾಚಿಸುತ್ತೇನೆ, ವಸ್ತುವು ಟೀಪಾಟ್ಗೆ ಸಹ ಅರ್ಥವಾಗುವಂತಹದ್ದಾಗಿದೆ, ಇದು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಯೋಜನೆಯ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ.
ಹಾಗಾದರೆ ಮಿತಿ ಏನು?
ಮತ್ತು ಅಜ್ಜಿಯನ್ನು ಏಕೆ ಶಾಗ್ಗಿ ಮಾಡಬೇಕು ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆ....
ಯಾವುದೇ ಮಿತಿಯು ಮೂರು ಭಾಗಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ:
1) ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಮಿತಿ ಐಕಾನ್.
2) ಮಿತಿ ಐಕಾನ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ನಮೂದುಗಳು, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ . ನಮೂದು "X ಒಲವು ಒಂದು" ಎಂದು ಓದುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚಾಗಿ - ನಿಖರವಾಗಿ, ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ "X" ಬದಲಿಗೆ ಇತರ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿವೆ. ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿ, ಒಬ್ಬರ ಸ್ಥಳವು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರಬಹುದು, ಹಾಗೆಯೇ ಅನಂತ ().
3) ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಮಿತಿ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯಗಳು .
ರೆಕಾರ್ಡಿಂಗ್ ಸ್ವತಃ 
ಈ ರೀತಿ ಓದುತ್ತದೆ: "x ಕಾರ್ಯದ ಮಿತಿಯು ಏಕತೆಗೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ."
ಮುಂದಿನ ಪ್ರಮುಖ ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು ನೋಡೋಣ - "x" ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಅರ್ಥವೇನು? ಶ್ರಮಿಸುತ್ತದೆಒಬ್ಬರಿಗೆ"? ಮತ್ತು "ಪ್ರಯತ್ನ" ಎಂದರೆ ಏನು?
ಮಿತಿಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಒಂದು ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಮಾತನಾಡಲು, ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ. ನಾವು ಒಂದು ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸೋಣ: ಮೊದಲು , ನಂತರ , , ..., 
, ….
ಅಂದರೆ, “x ಶ್ರಮಿಸುತ್ತದೆಒಂದಕ್ಕೆ" ಅನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಅರ್ಥೈಸಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು: "x" ಸ್ಥಿರವಾಗಿ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಇದು ಏಕತೆಯನ್ನು ಅನಂತವಾಗಿ ಮುಚ್ಚುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಅದರೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ.
ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸುವುದು? ಮೇಲಿನದನ್ನು ಆಧರಿಸಿ, ನೀವು ಮಿತಿ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಒಂದನ್ನು ಬದಲಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿದೆ:
ಆದ್ದರಿಂದ, ಮೊದಲ ನಿಯಮ: ಯಾವುದೇ ಮಿತಿಯನ್ನು ನೀಡಿದಾಗ, ಮೊದಲು ನಾವು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಪ್ಲಗ್ ಮಾಡಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತೇವೆ.
ನಾವು ಸರಳವಾದ ಮಿತಿಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿದ್ದೇವೆ, ಆದರೆ ಇವುಗಳು ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅಪರೂಪವಾಗಿ ಅಲ್ಲ!
ಅನಂತತೆಯೊಂದಿಗೆ ಉದಾಹರಣೆ:
ಅದು ಏನೆಂದು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ? ಇದು ಮಿತಿಯಿಲ್ಲದೆ ಹೆಚ್ಚಾದಾಗ ಇದು ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ: ಮೊದಲು, ನಂತರ, ನಂತರ, ನಂತರ, ಮತ್ತು ಜಾಹೀರಾತು ಅನಂತ.
ಈ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಏನಾಗುತ್ತದೆ?
, , 
, …
ಆದ್ದರಿಂದ: ವೇಳೆ , ನಂತರ ಕಾರ್ಯವು ಮೈನಸ್ ಅನಂತಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ:
ಸ್ಥೂಲವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ನಮ್ಮ ಮೊದಲ ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ, "X" ಬದಲಿಗೆ ನಾವು ಕಾರ್ಯದಲ್ಲಿ ಅನಂತತೆಯನ್ನು ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಉತ್ತರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.
ಅನಂತತೆಯ ಮತ್ತೊಂದು ಉದಾಹರಣೆ:
ಮತ್ತೆ ನಾವು ಅನಂತಕ್ಕೆ ಹೆಚ್ಚಾಗಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯದ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ: 
ತೀರ್ಮಾನ: ಮಿತಿಯಿಲ್ಲದೆ ಕಾರ್ಯವು ಹೆಚ್ಚಾದಾಗ:
ಮತ್ತು ಉದಾಹರಣೆಗಳ ಮತ್ತೊಂದು ಸರಣಿ:
ದಯವಿಟ್ಟು ನಿಮಗಾಗಿ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಮಾನಸಿಕವಾಗಿ ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ ಮತ್ತು ಸರಳ ರೀತಿಯ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ನೆನಪಿಡಿ:
, , , , 
, , , , 
,
ನಿಮಗೆ ಎಲ್ಲಿಯಾದರೂ ಸಂದೇಹವಿದ್ದರೆ, ನೀವು ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ಅನ್ನು ಎತ್ತಿಕೊಂಡು ಸ್ವಲ್ಪ ಅಭ್ಯಾಸ ಮಾಡಬಹುದು.
ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ , . ಒಂದು ವೇಳೆ , ಆಗ , , .
! ಸೂಚನೆ: ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಹಲವಾರು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅನುಕ್ರಮಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವ ಈ ವಿಧಾನವು ತಪ್ಪಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಸರಳವಾದ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಇದು ಸಾಕಷ್ಟು ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ.
ಕೆಳಗಿನ ವಿಷಯಕ್ಕೂ ಗಮನ ಕೊಡಿ. ಮೇಲ್ಭಾಗದಲ್ಲಿ ಒಂದು ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯೊಂದಿಗೆ ಮಿತಿಯನ್ನು ನೀಡಿದ್ದರೂ ಅಥವಾ ಮಿಲಿಯನ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಸಹ: , ಆಗ ಅದು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ 
, ಬೇಗ ಅಥವಾ ನಂತರ "X" ಅಂತಹ ದೈತ್ಯಾಕಾರದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತದೆ, ಹೋಲಿಸಿದರೆ ಒಂದು ಮಿಲಿಯನ್ ನಿಜವಾದ ಸೂಕ್ಷ್ಮಜೀವಿಯಾಗಿದೆ.
ಮೇಲಿನಿಂದ ನೀವು ಏನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಬೇಕು ಮತ್ತು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು?
1) ಯಾವುದೇ ಮಿತಿಯನ್ನು ನೀಡಿದಾಗ, ಮೊದಲು ನಾವು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತೇವೆ.
2) ನೀವು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು ಮತ್ತು ತಕ್ಷಣವೇ ಸರಳವಾದ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬೇಕು 
,, ಇತ್ಯಾದಿ.
ಇದಲ್ಲದೆ, ಮಿತಿಯು ಉತ್ತಮ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ವಿಷಯದ ಉತ್ತಮ ತಿಳುವಳಿಕೆಗಾಗಿ, ನೀವು ಬೋಧನಾ ಸಾಮಗ್ರಿಯನ್ನು ಓದಬೇಕೆಂದು ನಾನು ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳ ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು. ಈ ಲೇಖನವನ್ನು ಓದಿದ ನಂತರ, ಮಿತಿ ಏನೆಂದು ನೀವು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವಿರಿ, ಆದರೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ಮಿತಿಯು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಪ್ರಕರಣಗಳೊಂದಿಗೆ ಪರಿಚಯವಾಗುತ್ತದೆ. ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿ ಇಲ್ಲ!
ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ, ದುರದೃಷ್ಟವಶಾತ್, ಕೆಲವು ಉಡುಗೊರೆಗಳಿವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲು ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತೇವೆ. ಮೂಲಕ, ಈ ವಿಷಯದ ಮೇಲೆ ಇದೆ ತೀವ್ರವಾದ ಕೋರ್ಸ್ pdf ರೂಪದಲ್ಲಿ, ನೀವು ತಯಾರಿಸಲು ಬಹಳ ಕಡಿಮೆ ಸಮಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಇದು ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಆದರೆ ಸೈಟ್ ವಸ್ತುಗಳು, ಸಹಜವಾಗಿ, ಕೆಟ್ಟದ್ದಲ್ಲ:
ಈಗ ನಾವು ಯಾವಾಗ ಮಿತಿಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯವು ಒಂದು ಭಾಗವಾಗಿದ್ದು, ಅದರ ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವು ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ
ಉದಾಹರಣೆ:
ಮಿತಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ 
ನಮ್ಮ ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ, ನಾವು ಕಾರ್ಯದಲ್ಲಿ ಅನಂತವನ್ನು ಬದಲಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಮೇಲ್ಭಾಗದಲ್ಲಿ ಏನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ? ಅನಂತ. ಮತ್ತು ಕೆಳಗೆ ಏನಾಗುತ್ತದೆ? ಹಾಗೆಯೇ ಅನಂತ. ಹೀಗಾಗಿ, ನಾವು ಜಾತಿಯ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಎಂದು ಒಬ್ಬರು ಯೋಚಿಸಬಹುದು , ಮತ್ತು ಉತ್ತರ ಸಿದ್ಧವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಇದು ಎಲ್ಲಾ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಅಲ್ಲ, ಮತ್ತು ನಾವು ಈಗ ಪರಿಗಣಿಸುವ ಕೆಲವು ಪರಿಹಾರ ತಂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಅವಶ್ಯಕತೆಯಿದೆ.
ಈ ಪ್ರಕಾರದ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸುವುದು?
ಮೊದಲು ನಾವು ಅಂಶವನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಿನ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುತ್ತೇವೆ: 
ಅಂಶದಲ್ಲಿನ ಪ್ರಮುಖ ಶಕ್ತಿ ಎರಡು.
ಈಗ ನಾವು ಛೇದವನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿನ ಶಕ್ತಿಗೆ ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ: 
ಛೇದದ ಅತ್ಯುನ್ನತ ಪದವಿ ಎರಡು.
ನಂತರ ನಾವು ನ್ಯೂಮರೇಟರ್ ಮತ್ತು ಛೇದದ ಅತ್ಯುನ್ನತ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಆರಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ: ಈ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಅವು ಒಂದೇ ಮತ್ತು ಎರಡಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿವೆ.
ಆದ್ದರಿಂದ, ಪರಿಹಾರ ವಿಧಾನವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿರುತ್ತದೆ: ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯನ್ನು ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸುವ ಸಲುವಾಗಿ, ಹೆಚ್ಚಿನ ಶಕ್ತಿಯಿಂದ ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು ವಿಭಜಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.
ಇಲ್ಲಿ ಅದು ಉತ್ತರ, ಮತ್ತು ಅನಂತವಲ್ಲ.
ನಿರ್ಧಾರದ ವಿನ್ಯಾಸದಲ್ಲಿ ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಯಾವುದು ಮುಖ್ಯ?
ಮೊದಲಿಗೆ, ಯಾವುದಾದರೂ ಇದ್ದರೆ ನಾವು ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ.
ಎರಡನೆಯದಾಗಿ, ಮಧ್ಯಂತರ ವಿವರಣೆಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಅಡ್ಡಿಪಡಿಸಲು ಸಲಹೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಾನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇನೆ, ಇದು ಯಾವುದೇ ಗಣಿತದ ಅರ್ಥವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಮಧ್ಯಂತರ ವಿವರಣೆಗಾಗಿ ಪರಿಹಾರವು ಅಡಚಣೆಯಾಗಿದೆ ಎಂದರ್ಥ.
ಮೂರನೆಯದಾಗಿ, ಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಿಗೆ ಹೋಗುತ್ತಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗುರುತಿಸಲು ಸಲಹೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೆಲಸವನ್ನು ಕೈಯಿಂದ ಚಿತ್ರಿಸಿದಾಗ, ಅದನ್ನು ಈ ರೀತಿ ಮಾಡಲು ಹೆಚ್ಚು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ: 
ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳಿಗೆ ಸರಳವಾದ ಪೆನ್ಸಿಲ್ ಅನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಉತ್ತಮ.
ಸಹಜವಾಗಿ, ನೀವು ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದನ್ನೂ ಮಾಡಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ನಂತರ, ಬಹುಶಃ, ಶಿಕ್ಷಕರು ಪರಿಹಾರದಲ್ಲಿನ ನ್ಯೂನತೆಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತಾರೆ ಅಥವಾ ನಿಯೋಜನೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳನ್ನು ಕೇಳಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತಾರೆ. ನಿಮಗೆ ಇದು ಅಗತ್ಯವಿದೆಯೇ?
ಉದಾಹರಣೆ 2
ಮಿತಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ 
ಮತ್ತೆ ನ್ಯೂಮರೇಟರ್ ಮತ್ತು ಛೇದದಲ್ಲಿ ನಾವು ಅತ್ಯುನ್ನತ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ ಕಾಣುತ್ತೇವೆ: 
ನ್ಯೂಮರೇಟರ್‌ನಲ್ಲಿ ಗರಿಷ್ಠ ಪದವಿ: 3
ಛೇದದಲ್ಲಿ ಗರಿಷ್ಠ ಪದವಿ: 4
ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿ ಶ್ರೇಷ್ಠಮೌಲ್ಯ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ನಾಲ್ಕು.
ನಮ್ಮ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಪ್ರಕಾರ, ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯನ್ನು ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸಲು, ನಾವು ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು ಭಾಗಿಸುತ್ತೇವೆ.
ಸಂಪೂರ್ಣ ನಿಯೋಜನೆಯು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣಿಸಬಹುದು:
ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು ಭಾಗಿಸಿ
ಉದಾಹರಣೆ 3
ಮಿತಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ 
ಅಂಶದಲ್ಲಿ "X" ನ ಗರಿಷ್ಠ ಪದವಿ: 2
ಛೇದದಲ್ಲಿ "X" ನ ಗರಿಷ್ಠ ಪದವಿ: 1 (ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದು)
ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯನ್ನು ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸಲು, ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು ವಿಭಜಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಅಂತಿಮ ಪರಿಹಾರವು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣಿಸಬಹುದು:
ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು ಭಾಗಿಸಿ
ಸಂಕೇತವು ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಭಾಗಿಸುವುದಿಲ್ಲ (ನೀವು ಸೊನ್ನೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ), ಆದರೆ ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸುವುದು.
ಹೀಗಾಗಿ, ಜಾತಿಯ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯನ್ನು ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸುವ ಮೂಲಕ, ನಾವು ಸಾಧ್ಯವಾಗಬಹುದು ಅಂತಿಮ ಸಂಖ್ಯೆ, ಶೂನ್ಯ ಅಥವಾ ಅನಂತ.
ಅವುಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಬಗೆ ಮತ್ತು ವಿಧಾನದ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯೊಂದಿಗೆ ಮಿತಿಗಳು
ಮಿತಿಗಳ ಮುಂದಿನ ಗುಂಪು ಈಗ ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಮಿತಿಗಳಿಗೆ ಸ್ವಲ್ಪಮಟ್ಟಿಗೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ: ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ "x" ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಅನಂತತೆಗೆ ಒಲವು ತೋರುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆ.
ಉದಾಹರಣೆ 4
ಮಿತಿಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ 
ಮೊದಲಿಗೆ, ಭಾಗಕ್ಕೆ -1 ಅನ್ನು ಬದಲಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ: 
ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಸಾಮಾನ್ಯ ನಿಯಮ: ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ರೂಪದ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸಲು ನೀವು ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು ಅಂಶೀಕರಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿದೆ.
ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ನೀವು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು/ಅಥವಾ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಗುಣಾಕಾರ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ವಿಷಯಗಳು ಮರೆತಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಪುಟಕ್ಕೆ ಭೇಟಿ ನೀಡಿ ಗಣಿತದ ಸೂತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ಕೋಷ್ಟಕಗಳುಮತ್ತು ಬೋಧನಾ ಸಾಮಗ್ರಿಯನ್ನು ಓದಿ ಶಾಲಾ ಗಣಿತ ಕೋರ್ಸ್‌ಗೆ ಬಿಸಿ ಸೂತ್ರಗಳು. ಮೂಲಕ, ಅದನ್ನು ಮುದ್ರಿಸುವುದು ಉತ್ತಮ; ಇದು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಅಗತ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಕಾಗದದಿಂದ ಉತ್ತಮವಾಗಿ ಹೀರಿಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಆದ್ದರಿಂದ, ನಮ್ಮ ಮಿತಿಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸೋಣ 
ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು ಅಪವರ್ತಿಸಿ
ಅಂಶವನ್ನು ಅಂಶೀಕರಿಸಲು, ನೀವು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ: 
ಮೊದಲಿಗೆ ನಾವು ತಾರತಮ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:
ಮತ್ತು ಅದರ ವರ್ಗಮೂಲ: .
ತಾರತಮ್ಯವು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದ್ದರೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ 361, ನಾವು ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ಅನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ; ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯುವ ಕಾರ್ಯವು ಸರಳವಾದ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್‌ನಲ್ಲಿದೆ.
! ಮೂಲವನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಹೊರತೆಗೆಯದಿದ್ದರೆ (ಅಲ್ಪವಿರಾಮದೊಂದಿಗೆ ಭಾಗಶಃ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ), ತಾರತಮ್ಯವನ್ನು ತಪ್ಪಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗಿದೆ ಅಥವಾ ಕಾರ್ಯದಲ್ಲಿ ಮುದ್ರಣದೋಷವಿದೆ.
ಮುಂದೆ ನಾವು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ: 
ಹೀಗೆ:
ಎಲ್ಲಾ. ಅಂಶವನ್ನು ಅಪವರ್ತನಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ.
ಛೇದಕ. ಛೇದವು ಈಗಾಗಲೇ ಸರಳವಾದ ಅಂಶವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಸರಳೀಕರಿಸಲು ಯಾವುದೇ ಮಾರ್ಗವಿಲ್ಲ.
ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಇದನ್ನು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತಗೊಳಿಸಬಹುದು:
ಈಗ ನಾವು ಮಿತಿ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಉಳಿದಿರುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ -1 ಅನ್ನು ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ:
ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ, ಪರೀಕ್ಷೆ, ಪರೀಕ್ಷೆ ಅಥವಾ ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ, ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಎಂದಿಗೂ ವಿವರವಾಗಿ ವಿವರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಅಂತಿಮ ಆವೃತ್ತಿಯಲ್ಲಿ, ವಿನ್ಯಾಸವು ಈ ರೀತಿ ಇರಬೇಕು:
ಅಂಶವನ್ನು ಅಂಶೀಕರಿಸೋಣ. 
ಉದಾಹರಣೆ 5
ಮಿತಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ 
ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಪರಿಹಾರದ "ಮುಕ್ತಾಯ" ಆವೃತ್ತಿ
ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು ಅಂಶ ಮಾಡೋಣ.
ಸಂಖ್ಯೆ:
ಛೇದ: 
, 
ಈ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಯಾವುದು ಮುಖ್ಯ?
ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಅಂಶವನ್ನು ಹೇಗೆ ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದರ ಕುರಿತು ನೀವು ಉತ್ತಮ ತಿಳುವಳಿಕೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು, ಮೊದಲು ನಾವು ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಿಂದ 2 ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಚೌಕಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕಾಗಿ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿದ್ದೇವೆ. ನೀವು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕಾದ ಮತ್ತು ನೋಡಬೇಕಾದ ಸೂತ್ರ ಇದು.
ಶಿಫಾರಸು: ಮಿತಿಯಲ್ಲಿ (ಬಹುತೇಕ ಯಾವುದೇ ಪ್ರಕಾರದ) ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಿಂದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ, ನಾವು ಯಾವಾಗಲೂ ಅದನ್ನು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ.
ಇದಲ್ಲದೆ, ಅಂತಹ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಮಿತಿ ಐಕಾನ್ ಮೀರಿ ಸರಿಸಲು ಸಲಹೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಯಾವುದಕ್ಕಾಗಿ? ಹೌದು, ಅವರು ದಾರಿಯಲ್ಲಿ ಹೋಗಬಾರದು ಎಂದು. ಪರಿಹಾರದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ನಂತರ ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳದಿರುವುದು ಮುಖ್ಯ ವಿಷಯ.
ಪರಿಹಾರದ ಅಂತಿಮ ಹಂತದಲ್ಲಿ, ನಾನು ಮಿತಿ ಐಕಾನ್‌ನಿಂದ ಎರಡನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇನೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಮೈನಸ್ ಎಂದು ದಯವಿಟ್ಟು ಗಮನಿಸಿ.
! ಪ್ರಮುಖ
ಪರಿಹಾರದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ವಿಧದ ತುಣುಕು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಭಾಗವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಿಅದನ್ನು ನಿಷೇಧಿಸಲಾಗಿದೆ
. ಮೊದಲು ನೀವು ಅಂಶ ಅಥವಾ ಛೇದದ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ (ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಿಂದ -1 ಅನ್ನು ಹಾಕಿ).
, ಅಂದರೆ, ಒಂದು ಮೈನಸ್ ಚಿಹ್ನೆಯು ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಮಿತಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವಾಗ ಅದನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ.
ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಈ ಪ್ರಕಾರದ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಲ್ಲಿ ನೀವು ಎರಡು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬೇಕು ಎಂದು ನಾನು ಗಮನಿಸಿದ್ದೇನೆ, ಅಂದರೆ, ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದ ಎರಡೂ ಚತುರ್ಭುಜ ತ್ರಿಪದಿಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ.
ಸಂಯೋಗದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಿಂದ ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು ಗುಣಿಸುವ ವಿಧಾನ
ನಾವು ರೂಪದ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವುದನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸುತ್ತೇವೆ
ಮುಂದಿನ ವಿಧದ ಮಿತಿಗಳು ಹಿಂದಿನ ಪ್ರಕಾರಕ್ಕೆ ಹೋಲುತ್ತವೆ. ಒಂದೇ ವಿಷಯ, ಬಹುಪದಗಳ ಜೊತೆಗೆ, ನಾವು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ.
ಉದಾಹರಣೆ 6
ಮಿತಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ 
ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ.
ಮೊದಲು ನಾವು ಮಿತಿ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ 3 ಅನ್ನು ಬದಲಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತೇವೆ
ನಾನು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಪುನರಾವರ್ತಿಸುತ್ತೇನೆ - ಯಾವುದೇ ಮಿತಿಗೆ ನೀವು ಮಾಡಬೇಕಾದ ಮೊದಲ ವಿಷಯ ಇದು. ಈ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಮಾನಸಿಕವಾಗಿ ಅಥವಾ ಕರಡು ರೂಪದಲ್ಲಿ ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
ರೂಪದ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ, ಅದನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಬೇಕಾಗಿದೆ. 
ನೀವು ಬಹುಶಃ ಗಮನಿಸಿದಂತೆ, ನಮ್ಮ ಅಂಶವು ಬೇರುಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಮತ್ತು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ ಬೇರುಗಳನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಲು ರೂಢಿಯಾಗಿದೆ. ಯಾವುದಕ್ಕಾಗಿ? ಮತ್ತು ಅವರಿಲ್ಲದೆ ಜೀವನವು ಸುಲಭವಾಗುತ್ತದೆ.