Omaduste uurimisel ruutvõrrand kehtestati piirang - nullist väiksema diskriminandi puhul lahendust pole. Kohe öeldi, et me räägime reaalarvude hulga kohta. Matemaatiku uudishimulikku meelt hakkab huvitama, milline saladus sisaldub tõeliste väärtuste klauslis?

Aja jooksul võtsid matemaatikud kasutusele kompleksarvude mõiste, kus ühte võetakse kui tingimuslik tähendus teise astme juur miinus ühest.

Ajalooline viide

Matemaatiline teooria areneb järjestikku, lihtsast keerukani. Mõelgem välja, kuidas tekkis mõiste nimega "kompleksarv" ja miks seda vaja on.

Juba ammustest aegadest on matemaatika aluseks olnud tavaline loendamine. Teadlased teadsid ainult loomulikku väärtuste kogumit. Liitmine ja lahutamine olid lihtsad. Kuna majandussuhted muutuvad keerulisemaks, selle asemel, et lisada identsed väärtused hakkas kasutama korrutamist. Ilmus korrutamise pöördtehte – jagamine.

Naturaalarvu mõiste piiras kasutamist aritmeetilised tehted. Kõiki jagamisülesandeid on täisarvuliste väärtuste hulgal võimatu lahendada. viis kõigepealt kontseptsiooni juurde ratsionaalsed väärtused, ja seejärel irratsionaalsed väärtused. Kui ratsionaalse jaoks on võimalik näidata punkti täpset asukohta joonel, siis irratsionaalse jaoks pole sellist punkti võimalik näidata. Asukoha intervalli saate näidata ainult ligikaudselt. Ühendades ratsionaalse ja irratsionaalsed arvud moodustasid reaalse hulga, mida saab etteantud mõõtkavaga kujutada kindla sirgena. Iga samm piki joont on naturaalarv ning nende vahel on ratsionaalsed ja irratsionaalsed väärtused.

Üks ajastu on alanud teoreetiline matemaatika. Astronoomia, mehaanika ja füüsika areng nõudis üha enam lahendusi keerulised võrrandid. Üldkujul leiti ruutvõrrandi juured. Keerulisema lahendamisel kuuppolünoom teadlased seisavad silmitsi vastuoluga. Kontseptsioon kuupjuur negatiivsest on see mõistlik, kuid ruudu jaoks toob see kaasa ebakindluse. Sel juhul on ruutvõrrand ainult erijuhtum kuupmeetrit.

1545. aastal tegi itaallane G. Cardano ettepaneku võtta kasutusele imaginaararvu mõiste.

Sellest numbrist sai miinus ühe teine ​​juur. Termin kompleksarv tekkis lõplikult alles kolmsada aastat hiljem, töödes kuulus matemaatik Gauss. Ta tegi ettepaneku laiendada formaalselt kõik algebra seadused imaginaararvule. Tegelik liin on laienenud tasapinnaliseks. Maailm on muutunud suuremaks.

Põhimõisted

Tuletagem meelde mitmeid funktsioone, millel on reaalhulgale piirangud:

• y = arcsin(x), mis on määratletud negatiivse ja positiivse ühtsuse vahelises väärtuste vahemikus.
• y = ln(x), on mõistlik positiivsete argumentide puhul.
• Ruutjuur y = √x, arvutatud ainult x ≥ 0 korral.

Tähistades i = √(-1), võtame sellise mõiste kasutusele imaginaararvuna, see võimaldab eemaldada kõik piirangud ülaltoodud funktsioonide definitsioonipiirkonnast. Sellised avaldised nagu y = arcsin(2), y = ln(-4), y = √(-5) omandavad tähenduse teatud kompleksarvude ruumis.

Algebralise vormi saab kirjutada kujul z = x + i×y reaalväärtuste x ja y hulgal ning i 2 = -1.

Uus kontseptsioon kaotab kõik algebralise funktsiooni kasutamise piirangud ja selle välimus meenutab reaal- ja kujutlusväärtuste koordinaatide sirgjoone graafikut.

Keeruline tasapind

Geomeetriline kuju kompleksarvud võimaldavad visualiseerida paljusid nende omadusi. Mööda Re(z) telge märgime x tegelikud väärtused, piki Im(z) - y kujutlusväärtusi, siis tasandi punkt z kuvab vajaliku kompleksväärtuse.

Määratlused:

• Re(z) – reaaltelg.
• Im(z) – tähendab kujuteldavat telge.
• z on kompleksarvu tingimuslik punkt.
• Numbriline väärtus vektori pikkus alates null punkt z-ni nimetatakse mooduliks.
• Tegelik ja kujuteldav telg jagavad tasapinna neljandikku. Kell positiivne väärtus koordinaadid - I veerand. Kui tegeliku telje argument on väiksem kui 0 ja kujuteldav telg on suurem kui 0 - teine ​​veerand. Kui koordinaadid on negatiivsed - III veerand. Viimane, IV kvartal sisaldab palju positiivseid reaalväärtusi ja negatiivseid kujutlusväärtusi.

Seega saab x ja y koordinaatidega tasapinnal alati visuaalselt kujutada kompleksarvu punkti. Sümbol i võetakse kasutusele selleks, et eraldada reaalosa kujutlusosast.

Omadused

1. Kujutise argumendi nullväärtusega saame lihtsalt arvu (z = x), mis asub reaalteljel ja kuulub reaalhulka.
2. Erijuhtum, kui tegeliku argumendi väärtus muutub nulliks, vastab avaldis z = i×y punkti asukohale kujuteldaval teljel.
3. Üldvorm z = x + i×y on argumentide nullist erineva väärtuse jaoks. Näitab kompleksarvu iseloomustava punkti asukohta ühes veerandis.

Trigonomeetriline tähistus

Tuletame meelde polaarkoordinaatide süsteemi ja patu määratlus ja cos. Ilmselgelt saate neid funktsioone kasutades kirjeldada mis tahes punkti asukohta tasapinnal. Selleks piisab, kui on teada polaarkiire pikkus ja kaldenurk reaaltelje suhtes.

Definitsioon. Vormi ∣z ∣ tähistus, korrutatuna trigonomeetrilise summaga cos funktsioonid(ϴ) ja imaginaarset osa i ×sin(ϴ), nimetatakse trigonomeetriliseks kompleksarvuks. Siin kasutame reaaltelje kaldenurga märkimist

ϴ = arg(z) ja r = ∣z∣, kiire pikkus.

Trigonomeetriliste funktsioonide definitsioonist ja omadustest järeldub väga oluline valem Moivre:

z n = r n × (cos(n × ϴ) + i × sin(n × ϴ)).

Selle valemi abil on mugav lahendada paljusid võrrandisüsteeme, mis sisaldavad trigonomeetrilised funktsioonid. Eriti kui kerkib esile astendamise probleem.

Moodul ja faas

Kirjelduse lõpuleviimiseks kompleksne komplekt pakume kahte olulised määratlused.

Teades Pythagorase teoreemi, on kiire pikkuse sisse arvutamine lihtne polaarsüsteem koordinaadid

r = ∣z∣ = √(x 2 + y 2), sellist tähistust kompleksruumis nimetatakse “mooduliks” ja see iseloomustab kaugust nullist tasandi punktini.

Komplekskiire kaldenurka tegeliku joone suhtes ϴ nimetatakse tavaliselt faasiks.

Definitsioonist on selge, et tegelikku ja imaginaarset osa kirjeldatakse tsükliliste funktsioonide abil. Nimelt:

• x = r × cos(ϴ);
• y = r × sin(ϴ);

Ja vastupidi, faasil on seos algebralised väärtused valemi kaudu:

ϴ = arctan(x / y) + µ, parandus µ viiakse sisse, et võtta arvesse perioodilisust geomeetrilised funktsioonid.

Euleri valem

Matemaatikud kasutavad sageli eksponentsiaalne vorm. Komplekstasandi arvud kirjutatakse avaldisena

z = r × e i × ϴ, mis tuleneb Euleri valemist.

Sain selle sissekande laialdane kasutamine praktiliseks arvutamiseks füüsikalised kogused. Esitusvorm eksponentsiaalsete kompleksarvude kujul on eriti mugav inseneriarvutuste jaoks, kus on vaja arvutada siinusvooludega ahelaid ja on vaja teada antud perioodiga funktsioonide integraalide väärtust. Arvutused ise toimivad erinevate masinate ja mehhanismide projekteerimisel.

Operatsioonide määratlemine

Nagu juba märgitud, kehtivad kompleksarvude kohta kõik põhiliste matemaatiliste funktsioonidega töötamise algebralised seadused.

Summaoperatsioon

Keeruliste väärtuste liitmisel liidetakse ka nende tegelik ja mõtteline osa.

z = z 1 + z 2, kus z 1 ja z 2 on kompleksarvud üldine vaade. Avaldise teisendamisel pärast sulgude avamist ja märgistuse lihtsustamist saame tõeline argument x=(x 1 + x 2), imaginaarne argument y = (y 1 + y 2).

Graafikul näeb see välja nagu kahe vektori liitmine tuntud rööpkülikureegli järgi.

Lahutamise operatsioon

Seda peetakse liitmise erijuhuks, kui üks arv on positiivne, teine ​​on negatiivne, st asub peegelkvartalis. Algebraline tähistus näeb välja nagu erinevus tegeliku ja kujuteldava osa vahel.

z = z 1 - z 2 või, võttes arvesse argumentide väärtusi, sarnaselt liitmisoperatsioonile, saame reaalväärtuste x = (x 1 - x 2) ja imaginaarsete väärtuste jaoks y = (y 1 - y 2).

Korrutamine komplekstasandil

Kasutades polünoomidega töötamise reegleid, tuletame kompleksarvude lahendamise valemi.

Järgides üldalgebralisi reegleid z=z 1 ×z 2, kirjeldame iga argumenti ja esitame sarnased. Tegelikud ja kujuteldavad osad võib kirjutada järgmiselt:

• x = x 1 × x 2 - y 1 × y 2,
• y = x 1 × y 2 + x 2 × y 1.

See näeb ilusam välja, kui kasutame eksponentsiaalseid kompleksnumbreid.

Avaldis näeb välja selline: z = z 1 × z 2 = r 1 × e i ϴ 1 × r 2 × e i ϴ 2 = r 1 × r 2 × e i(ϴ 1+ ϴ 2) .

Jaoskond

Kui käsitleda jagamistehte korrutustehte pöördväärtusena, saame eksponentsiaalses tähistuses lihtsa avaldise. Z 1 väärtuse jagamine z 2-ga on nende moodulite ja faaside erinevuse jagamise tulemus. Formaalselt näeb kompleksarvude eksponentsiaalset vormi kasutades välja järgmine:

z = z 1 / z 2 = r 1 × e i ϴ 1 / r 2 × e i ϴ 2 = r 1 / r 2 × e i(ϴ 1- ϴ 2) .

Algebralise tähise kujul on arvude jagamise toiming komplekstasandil kirjutatud veidi keerulisemalt:

Argumente kirjeldades ja polünoomide teisendusi tehes on aga lihtne saada väärtusi x = x 1 × x 2 + y 1 × y 2, vastavalt y = x 2 × y 1 - x 1 × y 2 , kirjeldatud ruumi raames on sellel avaldisel mõtet, kui z 2 ≠ 0.

Juure ekstraheerimine

Kõike ülaltoodut saab kasutada keerukamate algebraliste funktsioonide määratlemiseks - mis tahes astmeni tõstmine ja selle pöördväärtus - juure eraldamine.

Kasu lõikama üldine kontseptsioon tõstes astmeni n, saame definitsiooni:

z n = (r × e i ϴ) n .

Kasutades üldisi omadusi, kirjutame selle ümber järgmisel kujul:

z n = r n × e i ϴ n .

Sain lihtne valem kompleksarvu tõstmine astmeks.

Kraadimääratlusest saame väga olulise järelduse. Kujutise ühiku paaritu võimsus on alati võrdne 1-ga. Imaginaarse ühiku paaritu võimsus on alati võrdne -1-ga.

Nüüd uurime pöördfunktsioon- juure ekstraheerimine.

Märgistamise lihtsuse huvides võtame n = 2. Ruutjuur w kompleksväärtusest z komplekstasandil C loetakse tavaliselt avaldiseks z = ±, mis kehtib iga reaalse argumendi korral, mis on suurem kui või võrdne nulliga. Kui w ≤ 0, ei ole lahendust.

Vaatame lihtsaimat ruutvõrrandit z 2 = 1. Kasutades kompleksarvude valemeid, kirjutame ümber r 2 × e i 2ϴ = r 2 × e i 2ϴ = e i 0. Kirjest on selge, et r 2 = 1 ja ϴ = 0, seega on meil ainus otsus, võrdne 1-ga. Kuid see on vastuolus kontseptsiooniga, et z = -1, mis on samuti kooskõlas ruutjuure definitsiooniga.

Mõelgem välja, mida me ei arvesta. Kui me mäletame trigonomeetriline tähistus, siis taastame väite – millal perioodiline muutus faas ϴ kompleksarv ei muutu. Tähistame perioodi väärtust sümboliga p, siis on tõene: r 2 × e i 2ϴ = e i (0+ p), millest 2ϴ = 0 + p ehk ϴ = p / 2. Seega e i 0 = 1 ja e i p /2 = -1. Saime teise lahenduse, mis vastab ühine arusaam ruutjuur.

Nii et kompleksarvu suvalise juure leidmiseks järgime protseduuri.

• Kirjutame eksponentsiaalse kuju w= ∣w∣ × e i (arg (w) + pk), k on suvaline täisarv.
• Vajaliku arvu saame esitada ka Euleri vormi abil z = r × e i ϴ .
• Kasutame ära üldine määratlus juure eraldamise funktsioonid r n *e i n ϴ = ∣w∣ × e i (arg (w) + pk) .
• Alates üldised omadused moodulite ja argumentide võrdsus, kirjutame r n = ∣w∣ ja nϴ = arg (w) + p×k.
• Kompleksarvu juure lõplikku tähistust kirjeldatakse valemiga z = √∣w∣ × e i (arg (w) + pk) / n.
• Kommenteeri. Väärtus ∣w∣ on definitsiooni järgi positiivne reaalarv, mis tähendab, et mis tahes astme juur on mõttekas.

Põld ja kaaslane

Kokkuvõtteks anname kaks olulist definitsiooni, millel on lahenduse jaoks vähe tähtsust rakendatud probleemid kompleksarvudega, kuid on tähenduslikud edasine areng matemaatiline teooria.

Öeldakse, et liitmise ja korrutamise avaldised moodustavad välja, kui need vastavad komplekstasandi z mis tahes elemendi aksioomidele:

1. Kompleksterminite kohtade muutmine ei muuda komplekssummat.
2. Väide vastab tõele – sisse keeruline väljendus kahe arvu mis tahes summa saab asendada nende väärtusega.
3. On olemas neutraalne väärtus 0, mille puhul z + 0 = 0 + z = z on tõene.
4. Iga z jaoks on vastand - z, mille liitmine annab nulli.
5. Keeruliste tegurite kohtade muutmisel ei muutu kompleksprodukt.
6. Kahe arvu korrutamise saab asendada nende väärtusega.
7. Seal on neutraalne väärtus 1, mille korrutamine ei muuda kompleksarvu.
8. Iga z ≠ 0 jaoks on pöördväärtus z -1, mille korrutamisel saadakse 1.
9. Kahe arvu summa korrutamine kolmandikuga võrdub nende mõlema korrutamise ja tulemuste liitmise operatsiooniga.
10. 0 ≠ 1.

Arve z 1 = x + i×y ja z 2 = x - i×y nimetatakse konjugaadiks.

Teoreem. Sidumisel kehtib järgmine väide:

• Summa konjugaat on võrdne konjugeeritud elementide summaga.
• Toote konjugaat on võrdne konjugaatide korrutisega.
• võrdne arvu endaga.

Üldalgebras nimetatakse selliseid omadusi tavaliselt välja automorfismideks.

Näited

Järgides etteantud kompleksarvude reegleid ja valemeid, saate nendega hõlpsasti töötada.

Vaatame lihtsamaid näiteid.

Ülesanne 1. Kasutades võrrandit 3y +5 x i= 15 - 7i, määrake x ja y.

Lahendus. Tuletagem meelde keeruliste võrratuste definitsiooni, siis 3y = 15, 5x = -7. Seetõttu x = -7/5, y = 5.

2. ülesanne. Arvutage 2 + i 28 ja 1 + i 135 väärtused.

Lahendus. Ilmselgelt 28. paarisarv, alates kompleksarvu definitsioonist kuni astmeni, milleks on meil i 28 = 1, mis tähendab, et avaldis on 2 + i 28 = 3. Teine väärtus, i 135 = -1, siis 1 + i 135 = 0 .

3. ülesanne. Arvutage väärtuste 2 + 5i ja 4 + 3i korrutis.

Lahendus. Kompleksarvude korrutamise üldistest omadustest saame (2 + 5i)X(4 + 3i) = 8 - 15 + i(6 + 20). Uus väärtus on -7 + 26i.

4. ülesanne. Arvutage võrrandi z 3 = -i juured.

Lahendus. Kompleksarvu leidmiseks võib olla mitu võimalust. Vaatleme ühte võimalikest. Definitsiooni järgi ∣ - i∣ = 1, faas -i jaoks on -p / 4. Algse võrrandi saab ümber kirjutada kujul r 3 *e i 3ϴ = e - p/4+ pk, kust z = e - p / 12 + pk /3 , mis tahes täisarvu k korral.

Lahenduste hulk on kujul (e - ip/12, e ip /4, e i 2 p/3).

Miks on vaja kompleksarve?

Ajalugu teab palju näiteid, kui teadlased, kes töötavad teooria kallal, isegi ei mõtle oma tulemuste praktilisele rakendamisele. Matemaatika on ennekõike mõistusemäng, põhjus-tagajärg seoste range järgimine. Peaaegu kõik matemaatilised konstruktsioonid taandatakse integraali ja lahendamisele diferentsiaalvõrrandid, ja need omakorda mõne lähendusega lahendatakse polünoomide juurte leidmisega. Siin puutume esmalt kokku imaginaarsete arvude paradoksiga.

Loodusteadlased, otsustades täielikult praktilisi probleeme, kasutades lahendusi erinevad võrrandid, avastage matemaatilisi paradokse. Nende paradokside tõlgendamine viib täiesti üllatavate avastusteni. Kahekordne olemus elektromagnetlainedüks selline näide. Keerulised numbrid mängivad nende omaduste mõistmisel otsustavat rolli.

See omakorda leidis praktiline kasutamine optikas, raadioelektroonikas, energeetikas ja paljudes teistes tehnoloogiavaldkondades. Teine näide, palju raskem mõista füüsikalised nähtused. Pliiatsi otsas ennustati antiainet. Ja alles palju aastaid hiljem algavad katsed seda füüsiliselt sünteesida.

Ei maksa arvata, et sellised olukorrad eksisteerivad ainult füüsikas. Mitte vähem huvitavaid avastusi esinevad eluslooduses, makromolekulide sünteesi käigus, tehisintellekti uurimisel. Ja seda kõike tänu meie teadvuse avardumisele, eemaldudes looduslike suuruste lihtsast liitmisest ja lahutamisest.

IN kaasaegne matemaatika kompleksarv on üks põhimõisteid, mis leiab rakendust puhas teadus"ja sisse rakendusalad. On selge, et see ei olnud alati nii. Iidsetel aegadel, kui isegi tavalised negatiivsed arvud tundusid kummalise ja kahtlase uuendusena, polnud vajadus ruutjuure operatsiooni laiendada neile sugugi ilmselge. Siiski sisse 16. sajandi keskpaik sajandi matemaatik Raphael Bombelli tutvustab kompleksset (in sel juhul täpsemalt imaginaarsed) ringluses olevad numbrid. Tegelikult teen ettepaneku vaadata, mis oli nende raskuste olemus, mis viisid auväärse itaallase lõpuks sellistesse äärmustesse.

Levinud on eksiarvamus, et ruutvõrrandite lahendamiseks on vaja kompleksarve. Tegelikult on see täiesti vale: ruutvõrrandi juurte leidmise ülesanne ei motiveeri kuidagi kompleksarvude kasutuselevõttu. See on perfektne.

Vaatame ise. Mis tahes ruutvõrrandit saab esitada järgmiselt:
.
Geomeetriliselt tähendab see, et tahame leida teatud sirge ja parabooli lõikepunktid
Tegin isegi siia illustratsiooniks pildi.

Nagu me kõik koolist hästi teame, leitakse ruutvõrrandi juured (ülaltoodud märkides) järgmise valemiga:

Võimalikke valikuid on 3:
1. Radikaalne avaldis on positiivne.
2. Radikaaliavaldis võrdub nulliga.
3. Radikaalne avaldis on negatiivne.

Esimesel juhul on 2 mitmesugused juured, teises on kaks kokkulangevat, kolmandas on võrrand “ei lahendatud”. Kõigil neil juhtudel on väga selge geomeetriline tõlgendus:
1. Sirge lõikub parabooliga (joonisel sinine joon).
2. Sirge puudutab parabooli.
3. Sirgel ei ole mingit seost parabooliga ühised punktid(pildil lilla joon).

Olukord on lihtne, loogiline ja järjekindel. Pole mingit põhjust püüda võtta negatiivse arvu ruutjuurt. Keegi isegi ei proovinud.

Olukord muutus oluliselt, kui uudishimulik matemaatiline mõte jõudis kuupvõrrandideni. Veidi vähem ilmne, kasutades mõnda lihtsat asendust , saab iga kuupvõrrandi taandada kujule: . Geomeetriliselt on olukord sarnane eelmisega: otsime sirge ja kuupparabooli lõikepunkti.
Vaata pilti:

Oluline erinevus ruutvõrrandi puhul on see, et olenemata sellest, millise sirge me võtame, lõikub see alati parabooliga. See tähendab, et puhtalt geomeetrilistest kaalutlustest lähtudes on kuupvõrrandil alati vähemalt üks lahend.
Selle leiate Cardano valemi abil:

Kus
.
Natuke kogukas, aga siiani tundub kõik korras olevat. Või mitte?

Üldiselt Cardano valem on särav eeskuju"Arnoldi põhimõte" tegevuses. Iseloomulik on see, et Cardano ei väitnud kunagi valemi autorsust.

Pöördugem siiski tagasi oma lammaste juurde. Valem on liialdamata tähelepanuväärne matemaatika suursaavutus 16. sajandi alguses kuni keskpaigas. Kuid tal on üks nüanss.
Võtame klassikaline näide, mida kaalus ka Bombelli:
.
Järsku
,
ja vastavalt
.
Jõudsime kohale. Valemist on kahju, aga valem on hea. Ummik. Vaatamata sellele, et võrrandil on kindlasti lahendus.

Rafael Bombelli idee oli järgmine: teeskleme voolikut ja teeskleme, et negatiivse juur on mingi arv. Me muidugi teame, et selliseid numbreid pole, kuid kujutagem siiski ette, et see on olemas ja kuidas tavalised numbrid, saab teistega liita, korrutada, astmeni tõsta jne.

Sarnast lähenemist kasutades leidis Bombelli eelkõige selle
,
Ja
.
Kontrollime:
.
Pange tähele, et arvutustes ei tehtud mingeid eeldusi negatiivsete arvude ruutjuurte omaduste kohta, välja arvatud eelpool mainitud eeldus, et need käituvad nagu “tavalised” arvud.

Kokku saame. Mis on üsna õige vastus, mida saab hõlpsasti kontrollida otsese asendamise teel. See oli tõeline läbimurre. Läbimurre komplekstasandisse.

Sellest hoolimata näevad sellised arvutused välja nagu mingi maagia, matemaatiline trikk. Suhtumine neisse kui mingisse nippi püsis matemaatikute seas väga pikka aega. Tegelikult peegeldab nimetus “kujuteldavad numbrid”, mille Rene Descartes negatiivsete arvude juurte jaoks leiutas, täielikult tolleaegsete matemaatikute suhtumist sellisesse meelelahutusse.

Kuid mida aeg edasi, seda "trikki" kasutati jätkuv edu, kasvas “kujuteldavate arvude” autoriteet matemaatikakogukonna silmis, mida piiras aga nende kasutamise ebamugavus. Ainult Leonhard Euleri kviitung (muide, just tema võttis kasutusele praegu levinud kujuteldava ühiku nimetuse) kuulsa valemi kohta

avas kompleksarvudele tee matemaatika ja selle rakenduste erinevatesse valdkondadesse. Aga see on hoopis teine ​​lugu.

Keerulised numbrid

Kujutletav Ja kompleksarvud. Abstsiss ja ordinaat

kompleksarv. Kompleksarvude konjugeerimine.

Tehted kompleksarvudega. Geomeetriline

kompleksarvude esitus. Keeruline tasapind.

Kompleksarvu moodul ja argument. Trigonomeetriline

kompleksarvu vorm. Operatsioonid kompleksiga

numbrid sisse trigonomeetriline vorm. Moivre'i valem.

Esialgne teave O kujuteldav Ja kompleksarvud on toodud jaotises "Imaginaar- ja kompleksarvud". Vajadus nende uut tüüpi numbrite järele tekkis juhtumi ruutvõrrandite lahendamiselD< 0 (здесь D– ruutvõrrandi diskriminant). Pikka aega neid numbreid ei leitud füüsiline rakendus, mistõttu neid hakati nimetama "imaginaarseteks" numbriteks. Nüüd aga kasutatakse neid väga laialdaselt erinevates füüsikavaldkondades.

ja tehnoloogia: elektrotehnika, hüdro- ja aerodünaamika, elastsuse teooria jne.

Keerulised numbrid on kirjutatud kujul:a+bi. Siin a Ja b – reaalarvud , A i – kujuteldav ühik, s.o. e. i 2 = –1. Number a helistas abstsiss, a b – ordinaatkompleksarva + bi.Kaks kompleksarvua+bi Ja a–bi kutsutakse konjugaat kompleksarvud.

Peamised kokkulepped:

1. ReaalarvAsaab kirjutada ka vormiskompleksarv:a + 0 i või a – 0 i. Näiteks kirjed 5 + 0i ja 5-0 itähendavad sama numbrit 5 .

2. Kompleksarv 0 + bihelistas puhtalt väljamõeldud number. Salvestusbitähendab sama mis 0 + bi.

3. Kaks kompleksarvua+bi Jac + diloetakse võrdseks, kuia = c Ja b = d. IN muidu kompleksarvud ei ole võrdsed.

Lisand. Kompleksarvude summaa+bi Ja c + dinimetatakse kompleksarvuks (a+c ) + (b+d ) i.Seega lisamisel kompleksarvud, nende abstsissid ja ordinaadid liidetakse eraldi.

See määratlus vastab tavaliste polünoomidega tehte reeglitele.

Lahutamine. Kahe kompleksarvu erinevusa+bi(vähenenud) ja c + di(alamosa) nimetatakse kompleksarvuks (a–c ) + (b–d ) i.

Seega Kahe kompleksarvu lahutamisel lahutatakse nende abstsissid ja ordinaadid eraldi.

Korrutamine. Kompleksarvude korrutisa+bi Ja c + di nimetatakse kompleksarvuks:

(ac-bd ) + (ad+bc ) i.See määratlus tuleneb kahest nõudest:

1) numbrid a+bi Ja c + dituleb korrutada nagu algebraline binoomid,

2) number iomab peamist omadust:i 2 = – 1.

NÄIDE ( a+ bi )(a–bi) = a 2 +b 2 . Seega tööd

kaks konjugeeritud kompleksarvu on võrdne reaalarvuga

positiivne arv.

Jaoskond. Jagage kompleksarva+bi (jagatav) teisegac + di(jagaja) - tähendab kolmanda numbri leidmiste + f i(vestlus), mis korrutatuna jagajagac + di, tulemuseks on dividenda + bi.

Kui jagaja ei ole võrdne nulliga, jagunemine on alati võimalik.

NÄIDE Otsi (8+i ) : (2 – 3 i) .

Lahendus. Kirjutame selle suhte ümber murruna:

Selle lugeja ja nimetaja korrutamine 2 + 3-gai

JA Pärast kõigi teisenduste tegemist saame:

Kompleksarvude geomeetriline esitus. Reaalarvud on esitatud arvureal olevate punktidega:

Siin on mõte Atähendab arvu –3, punktB– number 2 ja O- null. Seevastu kompleksarvud on tähistatud punktidega koordinaattasand. Selleks valime ristkülikukujulised (Cartesiuse) koordinaadid, millel on mõlemal teljel sama skaala. Siis kompleksarva+bi tähistatakse punktiga P koos abstsissiga a ja ordinaat b (vt pilti). Seda koordinaatsüsteemi nimetatakse keeruline lennuk .

Moodul kompleksarv on vektori pikkusOP, mis esindab kompleksarvu koordinaadil ( kõikehõlmav) lennuk. Kompleksarvu moodula+bi tähistatud | a+bi| või kiri r

Uus leht 1

Keerulised numbrid mannekeenidele Õppetund 1. Mis need on ja millega neid süüakse. Kujutletav üksus.

Selleks, et mõista, mis on kompleksarvud, pidagem meeles tavalisi arve ja vaadake neid põhjalikult. Ja nii, kõige lihtsam asi on loomulik numbrid. Neid nimetatakse loomulikeks, kuna nende kaudu saab midagi väljendada "mitterahaliselt", see tähendab, et midagi saab lugeda. Siin on kaks õuna. Neid saab kokku lugeda. Šokolaadikarpe on viis. Me võime neid üles lugeda. Teisisõnu, täisarvud- need on arvud, millega saame arvestada konkreetsed esemed. Teate väga hästi, et neid numbreid saab liita, lahutada, korrutada ja jagada. Liitmise ja korrutamisega on kõik selge. Seal oli kaks õuna, nad lisasid kolm, sellest sai viis. Võtsime kolm šokolaadikarpi, igas 10 tükki, mis tähendab kokku kolmkümmend maiustust. Liigume nüüd edasi terve numbrid. Kui naturaalarvud tähistavad kindlat arvu objekte, siis võetakse täisarvude hulka abstraktsioonid. See null Ja negatiivne numbrid. Miks need abstraktsioonid on? Null on millegi puudumine. Aga kas me saame puudutada, tunda seda, mida pole? Kahte õuna saame puudutada, siin nad on. Me võime neid isegi süüa. Mida tähendab null õuna? Kas me saame seda nulli puudutada, tunda? Ei, me ei saa. Nii see on abstraktsioon. Millegi puudumisele tuleb kuidagi märku anda. Seega määrasime arvuks nulli. Aga miks seda kuidagi tähistada? Kujutagem ette, et meil oli kaks õuna. Sõime kaks. Kui palju meil jääb? See on õige, üldse mitte. Kirjutame selle tehte (sõime kaks õuna) lahutamiseks 2-2. Ja milleni me lõpuks jõudsime? Kuidas peaksime tulemust märgistama? Ainult uue abstraktsiooni (null) kasutuselevõtmisega, mis näitab, et lahutamise (söömise) tulemusena selgub, et meil pole enam ühtegi õuna. Kuid kahest saame lahutada mitte 2, vaid 3. Näib, et see tehe on mõttetu. Kui meil on ainult kaks õuna, kuidas saame süüa kolm?

Vaatame teist näidet. Läheme poodi õllele. Meil on 100 rubla kaasas. Õlu maksab 60 rubla pudeli kohta. Tahame osta kaks pudelit, kuid meil pole piisavalt raha. Vajame 120 rubla. Ja siis kohtume oma vana sõbraga ja laename temalt kakskümmend. Ostame õlut. küsimus. Kui palju meil raha üle jääb? Terve mõistus viitab sellele, et üldse mitte. Kuid matemaatilisest vaatenurgast oleks see absurdne. Miks? Sest nulli saamiseks tuleb 100-st lahutada 100. Ja me teeme 100-120. Siin peaksime saama midagi muud. Mida me saime? Ja see, et oleme sõbrale veel võlgu 20 rubla. Järgmine kord, kui meil on 140 rubla kaasas, tuleme poodi õllele, kohtume sõbraga, maksame temaga võlad ära ja saame kaks pudelit õlut juurde osta. Selle tulemusena saame 140-120-20=0. Pange tähele -20. See on veel üks abstraktsioon - negatiivne arv . See tähendab, et meie võlg sõbrale on miinusmärgiga arv, sest võlga tagasi makstes lahutame selle summa maha. Ma ütlen veel, see on isegi suurem abstraktsioon kui null. Null tähendab midagi, mida pole olemas. Ja negatiivne arv on nagu miski, mis meilt tulevikus ära võetakse.

Ja nii näitasin näite varal, kuidas matemaatikas sünnivad abstraktsioonid. Ja näib, et hoolimata selliste abstraktsioonide absurdsusest (nagu rohkem äravõtmine, kui oli), leiavad nad rakendust päris elu. Täisarvude jagamise korral tekib veel üks abstraktsioon - murdarvud. Ma ei hakka neil üksikasjalikult peatuma ja on selge, et neid on vaja juhul, kui meil on täisarvud, mis ei jagu täisarvuga. Näiteks meil on neli õuna, aga need tuleb jagada kolme inimese vahel. Siin on selge, et jagame ühe järelejäänud õuna kolmeks osaks ja saame murdosad.

Liigume nüüd väga sujuvalt kompleksarvude endi juurde. Kuid kõigepealt pidage meeles, et kui korrutate kaks negatiivset arvu, saate positiivse arvu. Keegi küsib – miks see nii on? Alustuseks mõistame negatiivse arvu korrutamist positiivsega. Oletame, et korrutame -20 2-ga. See tähendab, et peame liitma -20+-20. Tulemuseks on -40, kuna negatiivse arvu lisamine on lahutamine. Miks lahutada – vt eespool, negatiivne arv on võlg, kui me selle ära võtame, võetakse meilt midagi ära. On veel üks igapäevane tähendus. Mis juhtub, kui võlg suureneb? Näiteks juhul, kui meile anti intressiga laenu? Selle tulemusel jäi alles sama miinusmärgiga number, see, mis pärast miinust läks suuremaks. Mida tähendab negatiivse arvuga korrutamine? Mida tähendab 3*-2? See tähendab, et number kolm tuleb võtta miinus kaks korda. See tähendab, et korrutamise tulemuse ette pane miinus. Muide, see on sama, mis -3*2, kuna tegurite ümberkorraldamine ei muuda toodet. Nüüd pöörake tähelepanu. Korrutage -3 -2-ga. Võtame arvu -3 miinus kaks korda. Kui võtame arvu -3 kaks korda, siis on tulemuseks -6, saate sellest aru. Mis siis, kui võtame miinuse kaks korda? Aga mida tähendab miinusaegade võtmine? Kui võtad positiivne arv miinus korda, siis on tulemus negatiivne, selle märk muutub. Kui võtta negatiivne arv miinus korda, siis selle märk muutub ja see muutub positiivseks.

Miks me rääkisime miinuse miinusega korrutamisest? Ja et arvestada veel ühe abstraktsiooniga, on see seekord otseselt seotud kompleksarvudega. See kujuteldav ühik. Imaginaarne ühik on võrdne ruutjuurega miinus 1:

Lubage mul teile meelde tuletada, mis on ruutjuur. See on ruutude jagamise pöördtehing. Ja ruut on arvu korrutamine iseendaga. Seega on 4 ruutjuur 2, sest 2*2=4. 9 ruutjuur on 3, kuna 3*3=9. Ruutjuur ühest osutub samuti üheks ja ruutjuur nullist on null. Aga kuidas me võtame ruutjuure miinus ühest? Millise arvu tuleb korrutada iseendaga, et saada -1? Aga sellist numbrit pole olemas! Kui korrutame -1 iseendaga, saame lõpuks 1. Kui korrutame 1 1-ga, saame 1. Aga miinus -1 me sel viisil ei saa. Kuid sellegipoolest võime kohata olukorda, kus juure all on negatiivne arv. Mida teha? Võib muidugi öelda, et lahendust pole. See on nagu nulliga jagamine. Kuni mõnda aega uskusime kõik, et nulliga on võimatu jagada. Aga siis saime teada sellisest abstraktsioonist nagu lõpmatus, ja selgus, et nulliga jagamine on siiski võimalik. Lisaks kasutatakse kõrgemas matemaatikas laialdaselt abstraktsioone, nagu nulliga jagamine või määramatus, mis saadakse nulli nulliga või lõpmatuse jagamisel lõpmatusega, samuti muid sarnaseid tehteid () ja kõrgem matemaatika- see on paljude aluseks täppisteadused, mis viivad edasi tehnilist progressi Nii et võib-olla on kujuteldavas üksuses mingisugune salajane tähendus? Sööma. Ja saate sellest aru, lugedes minu edasisi õppetunde kompleksarvude kohta. Vahepeal räägin mõnest valdkonnast, kus kasutatakse kompleksarve (arvud, mis sisaldavad imaginaarset ühikut).

Ja nii, siin on nimekiri valdkondadest, kus kasutatakse kompleksnumbreid:

Elektrotehnika. Vahelduvvooluahelate arvutamine. Kompleksarvude kasutamine lihtsustab sel juhul arvutamist oluliselt, ilma nendeta tuleks kasutada diferentsiaal- ja integraalvõrrandeid.

Kvantmehaanika.Ühesõnaga - sisse kvantmehaanika on selline asi nagu lainefunktsioon, mis ise on kompleksväärtusega ja mille ruut (juba reaalarv) on võrdne osakese leidmise tõenäosustihedusega antud punktis. Vaata ka tundide sarja

Digitaalne signaalitöötlus. teooria digitaalne töötlemine Signaalid hõlmavad sellist kontseptsiooni nagu z-teisendus, mis hõlbustab oluliselt erinevaid arvutusi, mis on seotud erinevate signaalide omaduste arvutamisega, nagu sagedus- ja amplituudikarakteristikud jne.

Vedelike tasapinnalise voolu protsesside kirjeldus.

Vedeliku vool profiilide ümber.

Vedeliku laineline liikumine.

Ja see pole kaugeltki ammendav loetelu selle kohta, kus kompleksarvusid kasutatakse. See lõpetab esimese tutvumise kompleksarvudega, kuni me uuesti kohtume.

Keerulised või imaginaarsed arvud ilmus esmakordselt Cardano kuulsas teoses "Suur kunst" või algebra reeglid» 1545. Autori arvates need numbrid kasutamiseks ei sobinud. Hiljem lükati see väide aga ümber. Eelkõige Bombelli 1572. aastal, kui otsustas kuupvõrrandõigustas imaginaararvude kasutamist. Ta koostas põhireeglid tehtetele kompleksarvudega.

Aga siiski pikka aega V matemaatiline maailm polnud ühtset ettekujutust kompleksarvude olemusest.

Esmalt pakuti välja kujuteldavate numbrite sümbol silmapaistev matemaatik Euler. Pakutud sümboolika nägi välja selline järgmisel viisil: i = sqr -1, kus i on imaginarius, mis tähendab väljamõeldud. Euleri teenete hulka kuulub ka idee kompleksarvude välja algebralisest suletusest.

Seega tekkis vajadus uut tüüpi numbrite järele juhul D ruutvõrrandite lahendamisel< 0 (где D - дискриминант квадратного уравнения). В настоящее время комплексные числа нашли широкое применение в физике и технике, гидро- и аэродинамике, теории упругости и т.п.

Kompleksarvude graafiline esitus on kujul: a + bi, kus a ja b on reaalarvud ning i on imaginaarne ühik, s.t. i 2 = -1. Arvu a nimetatakse abstsissiks ja b on kompleksarvu a + bi ordinaat. Kaht kompleksarvu a + bi ja a - bi nimetatakse konjugeeritud kompleksarvudeks.

Kompleksarvudega on seotud mitmeid reegleid:

• Esiteks, tegelik arv ja saab kirjutada kompleksarvu kujul: a+ 0 i või a - 0 i. Näiteks 5 + 0 i ja 5 - 0 i tähendavad sama arvu 5.
• Teiseks nimetatakse kompleksarvu 0+ bi puhtalt imaginaararvuks. Tähistus bi tähendab sama, mis 0+ bi .
• Kolmandaks loetakse kaks kompleksarvu a + bi ja c + di võrdseks, kui a = c ja b = d. Vastasel juhul pole kompleksarvud võrdsed.

Kompleksarvude põhitoimingud hõlmavad järgmist:

Geomeetrilises esituses on kompleksarvud, erinevalt reaalarvudest, mis on arvujoonel punktidega esitatud, tähistatud koordinaattasandi punktidega. Selleks võtame ristkülikukujulised (Cartesiuse) koordinaadid, mille telgedel on identsed skaalad. Sel juhul esindab kompleksarvu a + bi punkt P, mille abstsiss on a ja ordinaat b. Seda koordinaatsüsteemi nimetatakse keeruline lennuk.

Moodul kompleksarv on komplekstasandi kompleksarvu tähistava vektori OP pikkus. Kompleksarvu a + bi moodul kirjutatakse |a + bi| või täht r ja on võrdne: r = |a + ib| = ruut a 2 + b 2 .

Konjugeeritud kompleksarvudel on sama moodul.