Murd- arvu esitamise vorm matemaatikas. Murruriba tähistab jagamise operatsiooni. Lugeja murdosa nimetatakse dividendiks ja nimetaja- jagaja. Näiteks murdosas on lugeja 5 ja nimetaja 7.
Õige Nimetatakse murdosa, mille lugeja moodul on suurem kui nimetaja moodul. Kui murd on õige, siis on selle väärtuse moodul alati väiksem kui 1. Kõik ülejäänud murrud on vale.
Murdu nimetatakse segatud, kui see on kirjutatud täisarvu ja murruna. See on sama, mis selle arvu ja murdosa summa:
Murru põhiomadus
Kui murdosa lugeja ja nimetaja korrutada sama arvuga, siis murdu väärtus ei muutu, see tähendab nt.
Murdude taandamine ühisele nimetajale
Kahe murru ühise nimetaja saamiseks vajate:
- Korrutage esimese murru lugeja teise nimetajaga
- Korrutage teise murru lugeja esimese nimetajaga
- Asendage mõlema murru nimetajad nende korrutisega
Tehted murdudega
Lisand. Kahe fraktsiooni lisamiseks vajate
- Lisage mõlema murru uued lugejad ja jätke nimetaja muutmata
Näide:
Lahutamine.Ühe murdosa teisest lahutamiseks on vaja
- Vähendage murrud ühise nimetajani
- Lahutage esimese murru lugejast teise lugeja ja jätke nimetaja muutmata
Näide:
Korrutamine. Murru korrutamiseks teisega korrutage nende lugejad ja nimetajad:
Jaoskond.Ühe murru teisega jagamiseks korrutage esimese murru lugeja teise nimetajaga ja korrutage esimese murru nimetaja teise murdosa lugejaga:
Murrud on tavalised arvud ja neid saab ka liita ja lahutada. Kuid kuna neil on nimetaja, nõuavad nad keerukamaid reegleid kui täisarvude puhul.
Vaatleme kõige lihtsamat juhtumit, kui on kaks samade nimetajatega murdu. Seejärel:
Samade nimetajatega murdude liitmiseks tuleb lisada nende lugejad ja nimetaja muutmata jätta.
Samade nimetajatega murdude lahutamiseks peate esimese murru lugejast lahutama teise lugeja ja jätma nimetaja jälle muutmata.
Igas avaldises on murdude nimetajad võrdsed. Murdude liitmise ja lahutamise määratluse järgi saame:
Nagu näete, pole see midagi keerulist: lihtsalt liidame või lahutame lugejad ja kõik.
Kuid isegi sellistes lihtsates tegevustes õnnestub inimestel vigu teha. Kõige sagedamini unustatakse ära, et nimetaja ei muutu. Näiteks nende lisamisel hakkavad need ka kokku tulema ja see on põhimõtteliselt vale.
Nimetajate lisamise halvast harjumusest vabanemine on üsna lihtne. Proovige sama asja lahutamisel. Selle tulemusena on nimetaja null ja murdosa kaotab (äkitselt!) oma tähenduse.
Seetõttu pidage kindlasti meeles: liitmisel ja lahutamisel nimetaja ei muutu!
Paljud inimesed teevad vigu ka mitme negatiivse murru lisamisel. Märkidega on segadus: kuhu panna miinus ja kuhu pluss.
Seda probleemi on ka väga lihtne lahendada. Piisab meeles pidada, et miinuse enne murdosa märki saab alati üle kanda lugejasse - ja vastupidi. Ja muidugi ärge unustage kahte lihtsat reeglit:
- Pluss miinusega annab miinuse;
- Kaks negatiivset teevad jaatava.
Vaatame seda kõike konkreetsete näidetega:
Ülesanne. Leidke väljendi tähendus:
Esimesel juhul on kõik lihtne, kuid teisel lisame murdude lugejatele miinused:
Mida teha, kui nimetajad on erinevad
Erinevate nimetajatega murde ei saa otse lisada. Vähemalt see meetod on mulle tundmatu. Algseid murde saab aga alati ümber kirjutada, et nimetajad muutuksid samaks.
Murdude teisendamiseks on palju viise. Neist kolme käsitletakse õppetükis “Murdude taandamine ühisnimetajale”, mistõttu me siinkohal neil pikemalt ei peatu. Vaatame mõnda näidet:
Ülesanne. Leidke väljendi tähendus:
Esimesel juhul taandame murrud ühise nimetajani, kasutades “risti” meetodit. Teises otsime NOC-i. Pange tähele, et 6 = 2 · 3; 9 = 3 · 3. Nende laienduste viimased tegurid on võrdsed ja esimesed on suhteliselt esmased. Seetõttu LCM(6; 9) = 2 3 3 = 18.
Mida teha, kui murd sisaldab täisarvu
Võin teile meeldida: erinevad nimetajad murdarvudes pole just kõige suurem pahe. Palju rohkem vigu tekib, kui kogu osa on liitmismurdudes esile tõstetud.
Loomulikult on selliste murdude jaoks olemas oma liitmis- ja lahutamisalgoritmid, kuid need on üsna keerulised ja nõuavad pikka uurimist. Kasutage parem allolevat lihtsat diagrammi:
- Teisendage kõik täisarvu sisaldavad murrud ebaõigeteks murdudeks. Saame normaalterminid (isegi erinevate nimetajatega), mis arvutatakse eelpool käsitletud reeglite järgi;
- Tegelikult arvutage saadud murdude summa või erinevus. Selle tulemusena leiame praktiliselt vastuse;
- Kui see on kõik, mida ülesandes nõuti, teostame pöördteisendust, s.o. Vabaneme valest murdest, tõstes esile kogu osa.
Vale murdude juurde liikumise ja kogu osa esiletõstmise reegleid kirjeldatakse üksikasjalikult õppetükis “Mis on numbriline murd”. Kui te ei mäleta, korrake seda kindlasti. Näited:
Ülesanne. Leidke väljendi tähendus:
Siin on kõik lihtne. Iga avaldise sees olevad nimetajad on võrdsed, seega jääb üle vaid teisendada kõik murrud valedeks ja lugeda. Meil on:
Arvutuste lihtsustamiseks jätsin viimastes näidetes mõned ilmsed sammud vahele.
Väike märkus kahe viimase näite kohta, kus lahutatakse murrud, millel on esile tõstetud täisarvuline osa. Miinus enne teist murdu tähendab, et lahutatakse kogu murd, mitte ainult selle osa.
Lugege see lause uuesti läbi, vaadake näiteid – ja mõelge selle üle. See on koht, kus algajad teevad tohutul hulgal vigu. Neile meeldib selliseid probleeme testides anda. Samuti kohtate neid mitu korda selle õppetunni testides, mis avaldatakse peagi.
Kokkuvõte: üldine arvutusskeem
Kokkuvõtteks annan üldise algoritmi, mis aitab teil leida kahe või enama murru summa või erinevuse:
- Kui ühel või mitmel murdul on täisarvuline osa, teisendage need murdudeks ebaõigeteks;
- Viige kõik murrud teile sobival viisil ühisele nimetajale (muidugi, kui probleemide kirjutajad seda ei teinud);
- Saadud arvud liita või lahutada vastavalt sarnaste nimetajatega murdude liitmise ja lahutamise reeglitele;
- Kui võimalik, lühendage tulemust. Kui murdosa on vale, valige kogu osa.
Pidage meeles, et parem on kogu osa esile tõsta ülesande lõpus, vahetult enne vastuse kirja panemist.
Peaaegu iga viies klassi õpilane on pärast esimest tutvust tavaliste murdudega pisut šokeeritud. Te ei pea mitte ainult mõistma murdude olemust, vaid peate tegema nendega ka aritmeetilisi tehteid. Pärast seda küsitlevad väikesed õpilased süstemaatiliselt oma õpetajat, et teada saada, millal need murded lõppevad.
Selliste olukordade vältimiseks piisab, kui seda rasket teemat lastele võimalikult lihtsalt ja soovitavalt mänguliselt selgitada.
Murru olemus
Enne murdosa õppimist peab laps selle mõistega tutvuma jagada . Siin sobib kõige paremini assotsiatiivne meetod.
Kujutage ette tervet kooki, mis on jagatud mitmeks võrdseks osaks, näiteks neljaks. Siis võib iga koogitükki aktsiaks nimetada. Kui võtate ühe neljast koogitükist, on see neljandik.
Aktsiad on erinevad, sest terviku saab jagada täiesti erinevaks arvuks osadeks. Mida rohkem aktsiaid üldiselt, seda väiksemad need on ja vastupidi.
Et aktsiaid saaks määrata, mõtlesid nad välja sellise matemaatilise kontseptsiooni nagu harilik murd. Murd võimaldab meil alla kirjutada nii palju aktsiaid kui vaja.
Murru komponendid on lugeja ja nimetaja, mis on eraldatud murdejoone või kaldkriipsuga. Paljud lapsed ei mõista nende tähendust ja seetõttu pole murdosa olemus neile selge. Murdjoon näitab jagamist, siin pole midagi keerulist.
Nimetaja kirjutatakse tavaks allapoole, murdrea alla või pärireast paremale. See näitab terviku osade arvu. Lugeja, mis on kirjutatud murrurea kohale või pärandreast vasakule, määrab, kui palju aktsiaid võeti, näiteks murd 4/7. Sel juhul on nimetaja 7, mis näitab, et aktsiaid on ainult 7, ja lugeja 4 näitab, et seitsmest aktsiast võeti neli.
Peamised aktsiad ja nende kirjutamine murdarvudes:
Lisaks harilikule murrule on olemas ka kümnendmurd.
Tehted murdudega 5. klass
Viiendas klassis õpitakse sooritama kõiki aritmeetilisi tehteid murdarvudega.
Kõik toimingud murdudega tehakse reeglite järgi ja te ei tohiks loota, et reeglit õppimata saab kõik iseenesest korda. Seetõttu ei tohiks matemaatika kodutöö suulist osa tähelepanuta jätta.
Oleme juba aru saanud, et kümnendmurru ja hariliku murru tähistus on erinev, seetõttu tehakse aritmeetilisi tehteid erinevalt. Tavaliste murdudega toimingud sõltuvad nendest numbritest, mis asuvad nimetajas ja kümnendkohas - pärast koma paremale.
Murdude puhul, millel on samad nimetajad, on liitmise ja lahutamise algoritm väga lihtne. Teostame toiminguid ainult lugejatega.
Erinevate nimetajatega murdude jaoks peate leidma Vähim ühine nimetaja (LCD). See on arv, mis jagub kõigi nimetajatega ilma jäägita ja on sellistest arvudest väikseim, kui neid on mitu.
Kümnendmurdude liitmiseks või lahutamiseks peate need kirjutama veergu, jättes koma alla koma, ja vajadusel võrdsustama kümnendkohtade arvu.
Tavaliste murdude korrutamiseks leidke lihtsalt lugejate ja nimetajate korrutis. Väga lihtne reegel.
Jagamine toimub järgmise algoritmi järgi:
- Kirjutage dividend muutmata kujul
- Muutke jagamine korrutamiseks
- Pöörake jagajat (kirjutage jagajasse pöördmurd)
- Tehke korrutamine
Murdude liitmine, selgitus
Vaatame lähemalt, kuidas lisada murde ja kümnendkohti.
Nagu näete ülaloleval pildil, on ühe kolmandiku ja kahe kolmandiku murru ühiseks nimetajaks kolm. See tähendab, et peate lisama ainult lugejad üks ja kaks ning jätma nimetaja muutmata. Tulemuseks on kolm kolmandikku. Kui murru lugeja ja nimetaja on võrdsed, saab selle vastuse kirjutada kui 1, kuna 3:3 = 1.
Peate leidma kahe kolmandiku ja kahe üheksandiku murdude summa. Sel juhul on nimetajad erinevad, 3 ja 9. Liitmise sooritamiseks tuleb leida ühine. On väga lihtne viis. Valime suurima nimetaja, see on 9. Kontrollime, kas see jagub 3-ga. Kuna 9:3 = 3 ilma jäägita, siis 9 sobib ühiseks nimetajaks.
Järgmine samm on leida iga lugeja jaoks lisategurid. Selleks jagame ühisnimetaja 9 kordamööda iga murdosa nimetajaga, saadud arvud on täiendavad. mitmuses Esimese murru puhul: 9:3 = 3, lisage esimese murru lugejale 3. Teise murru puhul: 9:9 = 1 ei pea te ühte liitma, kuna sellega korrutades saate sama number.
Nüüd korrutame lugejad nende lisateguritega ja liidame tulemused. Saadud summa on murdosa kaheksast üheksandikust.
Kümnendkohtade lisamisel järgitakse sama reeglit nagu naturaalarvude lisamisel. Veerus kirjutatakse number numbri alla. Ainus erinevus on see, et kümnendmurdudes tuleb tulemusesse panna õige koma. Selleks kirjutatakse murrud koma alla ja kogusummas tuleb koma vaid allapoole nihutada.
Leiame murdude 38, 251 ja 1, 56 summa. Toimingute sooritamise mugavamaks muutmiseks võrdsustasime paremal asuvate komakohtade arvu, lisades 0.
Lisage murde, pööramata tähelepanu komale. Ja saadud summas langetame koma lihtsalt allapoole. Vastus: 39 811.
Murdude lahutamine, selgitus
Kahe kolmandiku ja ühe kolmandiku murdude erinevuse leidmiseks peate arvutama lugejate erinevuse 2-1 = 1 ja jätma nimetaja muutmata. Vastus annab ühe kolmandiku erinevuse.
Leiame murdude viie-kuuendiku ja seitsmekümnendiku vahe. Ühise nimetaja leidmine. Kasutame valikumeetodit, 6 ja 10 hulgast on suurim 10. Kontrollime: 10: 6 ei jagu ilma jäägita. Lisame veel 10, selgub 20:6, mis samuti ei jagu ilma jäägita. Jällegi suurendame 10 võrra, saame 30:6 = 5. Ühine nimetaja on 30. Samuti saab NOZ-i leida korrutustabeli abil.
Täiendavate tegurite leidmine. 30:6 = 5 - esimese murdosa jaoks. 30:10 = 3 – teiseks. Korrutame lugejad ja nende lisakordsused. Saame minuendi 25/30 ja lahutada 21/30. Järgmisena lahutame lugejad ja jätame nimetaja muutmata.
Tulemuseks oli vahe 4/30. Murd on taandatav. Jagage see 2-ga. Vastus on 2/15.
Kümnendkohtade jagamine hinne 5
See teema käsitleb kahte võimalust:
Kümnendkohtade korrutamine hinne 5
Pidage meeles, kuidas korrutate naturaalarvud, täpselt samamoodi, kui leiate kümnendmurdude korrutise. Esiteks mõtleme välja, kuidas korrutada kümnendmurd naturaalarvuga. Selle jaoks:
Kümnendmurru kümnendmurdu korrutamisel toimime täpselt samamoodi.
Segamurrud 5. klass
Viienda klassi õpilastele meeldib selliseid murde nimetada mitte segatud, vaid<<смешные>>Nii on ilmselt lihtsam meeles pidada. Segamurde nimetatakse nn, kuna need saadakse täisnaturaalarvu ja hariliku murru kombineerimisel.
Segamurd koosneb täisarvust ja murdosast.
Selliseid murde lugedes nimetavad nad esmalt tervet osa, seejärel murdosa: üks terve kaks kolmandikku, kaks tervet üks viiendik, kolm tervet kaks viiendikku, neli koma kolmveerand.
Kuidas neid saadakse, neid segafraktsioone? See on üsna lihtne. Kui saame vastuses valemurru (murru, mille lugeja on nimetajast suurem), peame selle alati teisendama segamurruks. Piisab lugeja jagamisest nimetajaga. Seda toimingut nimetatakse terve osa valimiseks:
Segamurru teisendamine valeks murdeks on samuti lihtne:
Näited kümnendmurdudega hinne 5 koos selgitusega
Mitme tegevuse näited tekitavad lastes palju küsimusi. Vaatame paari sellist näidet.
(0,4 8,25 - 2,025) : 0,5 =
Esimese sammuna tuleb leida arvude 8,25 ja 0,4 korrutis. Korrutamist teostame vastavalt reeglile. Vastuses loe kolm numbrit paremalt vasakule ja pane koma.
Teine toiming on sulgudes, see on erinevus. 3300-st lahutame 2025. Salvestame toimingu veergu, mille all on koma.
Kolmas tegevus on jagamine. Saadud erinevus teises etapis jagatakse 0,5-ga. Koma nihutatakse ühe koha võrra. Tulemus 2.55.
Vastus: 2.55.
(0, 93 + 0, 07) : (0, 93 — 0, 805) =
Esimene samm on sulgudes olev summa Lisage see veergu, pidage meeles, et koma on koma all. Vastuse saame 1.00.
Teine toiming on erinevus teisest sulust. Kuna minuendis on vähem komakohti kui alajaotuses, lisame puuduva koma. Lahutamise tulemus on 0,125.
Kolmas samm on jagada summa vahega. Koma nihutatakse kolme koha võrra. Tulemuseks on 1000 jagamine 125-ga.
Vastus: 8.
Erinevate nimetajatega harilike murdudega näited hinne 5 koos selgitusega
Esimesel Selles näites leiame murdude 5/8 ja 3/7 summa. Ühiseks nimetajaks saab arv 56. Leidke lisategurid, jagage 56:8 = 7 ja 56:7 = 8. Lisage need vastavalt esimesele ja teisele murrule. Korrutame lugejad ja nende tegurid, saame murdude 35/56 ja 24/56 summa. Tulemuseks 59/56. Murd on vale, teisendame selle segaarvuks Ülejäänud näited lahendatakse sarnaselt.
Näited murdarvudega hinne 5 koolituseks
Mugavuse huvides teisendage segafraktsioonid sobimatuteks murdudeks ja tehke toimingud.
Kuidas õpetada oma last Legode abil hõlpsalt murde lahendama
Sellise konstruktori abil saate mitte ainult arendada lapse kujutlusvõimet, vaid ka mänguliselt selgelt selgitada, mis on osa ja murdosa.
Alloleval pildil on näha, et üks kaheksa ringiga osa on tervik. See tähendab, et kui võtate nelja ringiga pusle, saate poole ehk 1/2. Pildil on selgelt näha, kuidas Legoga näiteid lahendada, kui osadel ringid kokku lugeda.
Saate ehitada torne teatud arvust osadest ja igale neist sildistada, nagu alloleval pildil. Näiteks võtame seitsmeosalise torni. Iga rohelise ehituskomplekti tükk on 1/7. Kui ühele sellisele osale lisada veel kaks, saad 3/7. Näite visuaalne selgitus 1/7+2/7 = 3/7.
Matemaatikas A-de saamiseks ärge unustage õppida reegleid ja neid harjutada.
See artikkel on üldine ülevaade murdarvudega töötamisest. Siin sõnastame ja põhjendame üldkuju A/B murdude liitmise, lahutamise, korrutamise, jagamise ja astendamise reeglid, kus A ja B on mõned arvud, arvavaldised või muutujatega avaldised. Nagu tavaliselt, anname materjalile selgitavad näited koos üksikasjalike lahenduste kirjeldustega.
Leheküljel navigeerimine.
Üldiste numbrimurdudega tehtete sooritamise reeglid
Leppigem kokku, et üldarvuliste murdude all mõeldakse murde, milles lugejat ja/või nimetajat saab esitada mitte ainult naturaalarvude, vaid ka muude arvude või arvavaldiste abil. Selguse huvides on siin mõned näited sellistest murdudest: , 
.
Me teame reegleid, mille järgi neid teostatakse. Samu reegleid kasutades saate teha toiminguid üldmurrudega:
Reeglite põhjendus
Üldvormi numbrimurdudega toimingute tegemise reeglite kehtivuse põhjendamiseks võite alustada järgmistest punktidest:
- Kaldkriips on sisuliselt jagamise märk,
- mõne nullist erineva arvuga jagamist võib pidada jagaja pöördarvuga korrutamiseks (see selgitab kohe murdude jagamise reeglit),
- reaalarvudega tehte omadused,
- ja selle üldine arusaam,
Need võimaldavad teil teha järgmisi teisendusi, mis õigustavad sarnaste ja erineva nimetajatega murdude liitmise, lahutamise reegleid, samuti murdude korrutamise reeglit: 
Näited
Toome näiteid üldmurdudega tehte tegemisest eelmises lõigus õpitud reeglite järgi. Ütleme kohe, et tavaliselt pärast murdosadega tehte tegemist vajab saadud murd lihtsustamist ja murdosa lihtsustamise protsess on sageli keerulisem kui eelnevate toimingute sooritamine. Murdude lihtsustamisel me üksikasjalikult ei peatu (vastavaid teisendusi käsitletakse murdude teisendamise artiklis), et mitte lasta end meid huvitavast teemast kõrvale juhtida.
Alustame sarnaste nimetajatega murdude liitmise ja lahutamise näidetega. Kõigepealt liidame murrud ja . Ilmselt on nimetajad võrdsed. Vastavalt vastavale reeglile kirjutame üles murru, mille lugeja on võrdne algsete murdude lugejate summaga, ja jätame nimetaja samaks, meil on. Lisamine on tehtud, jääb üle vaid saadud murdosa lihtsustada: 
. Niisiis, 
.
Lahendust oleks võinud käsitleda teisiti: esmalt minna üle tavamurdudele ja seejärel viia läbi liitmine. Selle lähenemisviisiga oleme 
.
Nüüd lahutame murdosast 
murdosa 
. Murdude nimetajad on võrdsed, seetõttu järgime samade nimetajatega murdude lahutamise reeglit: 
Liigume edasi erinevate nimetajatega murdude liitmise ja lahutamise näidete juurde. Peamine raskus on siin murdude ühise nimetajani viimine. Üldmurrude puhul on see üsna ulatuslik teema, uurime seda üksikasjalikult eraldi artiklis. murdude viimine ühisele nimetajale. Praegu piirdume paari üldise soovitusega, kuna praegu huvitab meid rohkem murdosadega tehte tegemise tehnika.
Üldiselt sarnaneb protsess harilike murdude ühiseks nimetajaks taandamisega. See tähendab, et nimetajad esitatakse korrutiste kujul, seejärel võetakse kõik esimese murru nimetaja tegurid ja lisatakse neile teise murru nimetaja puuduvad tegurid.
Kui liidetavate või lahutatavate murdude nimetajatel ei ole ühiseid tegureid, siis on loogiline võtta ühisnimetajaks nende korrutis. Toome näite.
Oletame, et peame tegema murdude ja 1/2 liitmise. Siin on ühise nimetajana loogiline võtta algmurdude nimetajate korrutis ehk . Sel juhul on esimese murru lisategur 2. Pärast lugeja ja nimetaja korrutamist sellega saab murru kuju . Ja teise murru puhul on lisategur avaldis. Selle abiga taandatakse murdosa 1/2 kujule . Jääb üle vaid liita saadud samade nimetajatega murrud. Siin on kogu lahenduse kokkuvõte: 
Üldmurrude puhul ei räägita enam väikseimast ühisnimetajast, millele harilikud murrud tavaliselt taandatakse. Kuigi selles küsimuses on siiski soovitav püüelda minimalismi poole. Sellega tahame öelda, et te ei tohiks kohe võtta ühiseks nimetajaks algsete murdude nimetajate korrutist. Näiteks pole üldse vaja võtta murdude ja korrutise ühist nimetajat 
. Siin saame võtta.
Liigume edasi üldiste murdude korrutamise näidete juurde. Korrutame murde ja . Selle toimingu sooritamise reegel käsib meil üles kirjutada murru, mille lugeja on algsete murdude lugejate korrutis ja nimetaja nimetajate korrutis. Meil on 
. Siin, nagu paljudel muudel juhtudel murdude korrutamisel, saate murdosa vähendada: 
.
Murdude jagamise reegel võimaldab liikuda jagamiselt pöördmurruga korrutamisele. Siin tuleb meeles pidada, et antud murru pöördväärtuse saamiseks tuleb antud murru lugeja ja nimetaja omavahel ära vahetada. Siin on näide üleminekust üldiste arvuliste murdude jagamiselt korrutamisele: 
. Jääb üle vaid korrutada ja saadud murdosa lihtsustada (vajadusel vaadake irratsionaalsete avaldiste teisendust): 
Lõpetades käesolevas lõigus toodud teavet, tuletage meelde, et mis tahes arvu või arvulist avaldist saab esitada murdena nimetajaga 1, seetõttu võib arvude ja murdude liitmist, lahutamist, korrutamist ja jagamist käsitleda vastava toimingu sooritamiseks murdarvudega, üks mille nimetajas on üks . Näiteks avaldises asendamine 
juur kolmest murdosaga, liigume murdosa arvuga korrutamiselt kahe murdosa korrutamisele: 
.
Asjade tegemine muutujaid sisaldavate murdudega
Selle artikli esimese osa reeglid kehtivad ka muutujaid sisaldavate murdudega toimingute tegemisel. Põhjendame neist esimest – identsete nimetajatega murdude liitmise ja lahutamise reegel, ülejäänud on tõestatud absoluutselt samamoodi.
Tõestame, et iga avaldise A, C ja D korral (D ei ole identselt võrdne nulliga) kehtib võrdsus 
muutujate lubatud väärtuste vahemikust.
Võtame ODZ-st teatud muutujate komplekti. Olgu avaldised A, C ja D nende muutujate väärtuste jaoks väärtused a 0, c 0 ja d 0. Seejärel muudetakse valitud hulga muutujate väärtuste asendamine avaldisega samasuguste nimetajatega arvmurdude summaks (erinevuseks) kujul, mis vastavalt samade nimetajatega arvuliste murdude liitmise (lahutamise) reeglile , on võrdne . Kuid valitud komplekti muutujate väärtuste asendamine avaldisega muudab selle samaks murruks. See tähendab, et ODZ-st valitud muutujaväärtuste komplekti puhul on avaldiste ja väärtused võrdsed. On selge, et näidatud avaldiste väärtused on võrdsed mis tahes muu ODZ muutujate väärtuste komplekti puhul, mis tähendab, et avaldised ja on identselt võrdsed, see tähendab, et tõestatav võrdsus on tõene .
Näited muutujatega murdude liitmisest ja lahutamisest
Kui liidetavate või lahutatavate murdude nimetajad on samad, siis on kõik üsna lihtne - lugejad liidetakse või lahutatakse, kuid nimetaja jääb samaks. On selge, et pärast seda saadud murdosa lihtsustatakse vajadusel ja võimalusel.
Pange tähele, et mõnikord erinevad murdude nimetajad ainult esmapilgul, kuid tegelikult on need identselt võrdsed avaldised, näiteks 
ja , või ja . Ja mõnikord piisab algsete murdude lihtsustamisest, nii et nende identsed nimetajad "ilmuksid".
Näide.
, b) 
, V) 
.
Lahendus.
a) Peame lahutama samade nimetajatega murde. Vastava reegli järgi jätame nimetaja samaks ja lahutame lugejad, meil on 
. Toiming on lõpetatud. Kuid võite avada ka lugejas sulud ja esitada sarnaseid termineid: 
.
b) Ilmselgelt on liidetavate murdude nimetajad samad. Seetõttu liidame lugejad kokku ja jätame nimetaja samaks: . Lisamine lõpetatud. Kuid on lihtne näha, et saadud murdosa saab vähendada. Tõepoolest, saadud murru lugeja saab ahendada, kasutades summa valemit ruudu kujul (lgx+2) 2 (vt lühendatud korrutamise valemeid), seega toimuvad järgmised teisendused: 
.
c) Murrud summas on erinevad nimetajad. Kuid pärast ühe murdude teisendamist saate jätkata samade nimetajatega murdude lisamist. Näitame kahte lahendust.
Esimene viis. Esimese murru nimetaja saab faktoriseerida ruutude erinevuse valemi abil ja seejärel seda murdu vähendada: 
. Seega,. Endiselt ei tee paha vabaneda irratsionaalsusest murdosa nimetajas: 
.
Teine viis. Teise murru lugeja ja nimetaja korrutamine (see avaldis ei lähe nulli ühegi muutuja x väärtuse puhul algse avaldise ODZ-st) võimaldab teil saavutada korraga kaks eesmärki: vabastada end irratsionaalsusest ja liikuda edasi samade nimetajatega murdude liitmine. Meil on 
Vastus:
A) 
, b) 
, V) 
.
Viimane näide tõi meid küsimuseni murdude taandamisest ühise nimetajani. Seal jõudsime peaaegu kogemata ühte lisatud murdu lihtsustades samade nimetajateni. Kuid enamasti tuleb erinevate nimetajatega murdude liitmisel ja lahutamisel murded sihipäraselt ühise nimetajani viia. Selleks esitatakse tavaliselt murdude nimetajad korrutiste kujul, võetakse kõik tegurid esimese murru nimetajast ja lisatakse neile teise murru nimetajast puuduvad tegurid.
Näide.
Tehke murdudega tehteid: a) 
, b) , c) 
.
Lahendus.
a) Murdude nimetajatega pole vaja midagi teha. Ühisnimetajaks võtame toote 
. Sel juhul on esimese murru lisategur avaldis ja teise murru puhul arv 3. Need lisategurid viivad murrud ühisele nimetajale, mis võimaldab meil hiljem sooritada vajalikku tegevust. 
b) Selles näites on nimetajad juba esitatud toodetena ja ei vaja täiendavaid teisendusi. Ilmselt erinevad nimetajates olevad tegurid ainult eksponentide poolest, seetõttu võtame ühisnimetajaks kõige suuremate astendajatega tegurite korrutise, st. 
. Siis on esimese murru lisategur x 4 ja teise puhul ln(x+1) . Nüüd oleme valmis murdude lahutamiseks: 
c) Ja sel juhul töötame kõigepealt murdude nimetajatega. Ruudude ja summa ruudu erinevuse valemid võimaldavad liikuda algsummalt avaldisele 
. Nüüd on selge, et neid murde saab taandada ühiseks nimetajaks 
. Selle lähenemisviisi korral näeb lahendus välja järgmine: 
Vastus:
A) 
b) 
V) 
Näited murdude korrutamisest muutujatega
Murdude korrutamisel saadakse murd, mille lugeja on algsete murdude lugejate korrutis ja nimetaja on nimetajate korrutis. Siin, nagu näete, on kõik tuttav ja lihtne ning võime ainult lisada, et selle toimingu tulemusel saadud murdosa osutub sageli taandatavaks. Nendel juhtudel seda vähendatakse, välja arvatud juhul, kui see on loomulikult vajalik ja põhjendatud.
Lugeja ja see, millega jagatakse, on nimetaja.
Murru kirjutamiseks kirjuta esmalt lugeja, seejärel tõmmake numbri alla horisontaaljoon ja nimetaja kirjutage rea alla. Lugejat ja nimetajat eraldavat horisontaalset joont nimetatakse murdjooneks. Mõnikord on seda kujutatud kaldus "/" või "∕" kujul. Sel juhul kirjutatakse lugeja reast vasakule ja nimetaja paremale. Näiteks murru "kaks kolmandikku" kirjutatakse 2/3. Selguse huvides kirjutatakse lugeja tavaliselt rea ülaossa ja nimetaja alla, see tähendab, et 2/3 asemel võite leida: ⅔.
Murdude korrutise arvutamiseks korrutage kõigepealt lugeja ühega fraktsioonid lugeja jaoks on erinev. Kirjutage tulemus uue lugejasse fraktsioonid. Pärast seda korrutage nimetajad. Sisestage koguväärtus uude fraktsioonid. Näiteks 1/3? 1/5 = 1/15 (1 × 1 = 1; 3 × 5 = 15).
Ühe murdosa teisega jagamiseks korrutage esmalt esimese lugeja lugeja teise nimetajaga. Tehke sama teise murruga (jagaja). Või enne kõigi toimingute tegemist "pöörake" kõigepealt jagajat, kui see on teile mugavam: lugeja asemel peaks ilmuma nimetaja. Seejärel korrutage dividendi nimetaja jagaja uue nimetajaga ja korrutage lugejad. Näiteks 1/3: 1/5 = 5/3 = 1 2/3 (1 ? 5 = 5; 3 ? 1 = 3).
Allikad:
- Murru põhiülesanded
Murdarvud võimaldavad väljendada suuruse täpset väärtust erinevates vormides. Murdudega saab teha samu matemaatilisi tehteid nagu täisarvudega: lahutamine, liitmine, korrutamine ja jagamine. Et õppida otsustama fraktsioonid, peame meeles pidama mõningaid nende funktsioone. Need sõltuvad tüübist fraktsioonid, täisarvulise osa olemasolu, ühisnimetaja. Mõned aritmeetilised toimingud nõuavad tulemuse murdosa vähendamist pärast täitmist.
Sa vajad
- - kalkulaator
Juhised
Vaadake numbreid tähelepanelikult. Kui murdude hulgas on kümnendkohti ja ebaregulaarseid, on mõnikord mugavam esmalt teha toimingud kümnendkohtadega ja seejärel teisendada need ebakorrapärasele kujule. Kas saate tõlkida fraktsioonid sellisel kujul algselt, kirjutades lugejasse väärtuse pärast koma ja pannes nimetajasse 10. Vajadusel vähendage murdosa, jagades ülalt ja all olevad arvud ühe jagajaga. Murrud, milles kogu osa on isoleeritud, tuleb teisendada valele kujule, korrutades selle nimetajaga ja liites tulemusele lugeja. Sellest väärtusest saab uus lugeja fraktsioonid. Algselt vale osa hulgast terve osa valimine fraktsioonid, peate jagama lugeja nimetajaga. Kirjutage kogu tulemus alates fraktsioonid. Ja ülejäänud jaotusest saab uus lugeja, nimetaja fraktsioonid see ei muutu. Täisarvulise osaga murdude puhul on võimalik toiminguid teha eraldi, esmalt täisarvu ja seejärel murdosa jaoks. Näiteks saab arvutada 1 2/3 ja 2 ¾ summa:
- Murdude teisendamine valesse vormi:
- 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
- Terminite eraldi täis- ja murdosade liitmine:
- 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 + (8/12 + 9/12) = 3 + 12/17 = 3 + 1 5/12 = 4 5 /12.
Kirjutage need ümber, kasutades eraldajat ":" ja jätkake tavalise jagamisega.
Lõpptulemuse saamiseks vähendage saadud murdosa, jagades lugeja ja nimetaja ühe täisarvuga, mis on antud juhul suurim võimalik. Sel juhul peavad joone kohal ja all olema täisarvud.
Märge
Ärge aritmeetikat teostage murdudega, mille nimetajad on erinevad. Valige selline arv, et kui korrutate iga murru lugeja ja nimetaja sellega, on tulemuseks see, et mõlema murru nimetajad on võrdsed.
Abistavad nõuanded
Murdarvude kirjutamisel kirjutatakse dividend rea kohale. See kogus on määratud murdosa lugejaks. Murru jagaja ehk nimetaja kirjutatakse rea alla. Näiteks poolteist kilogrammi riisi murdosa kohta kirjutatakse järgmiselt: 1 ½ kg riisi. Kui murdosa nimetaja on 10, nimetatakse murru kümnendkohaks. Sel juhul kirjutatakse kogu osast paremale komaga eraldatuna lugeja (dividend): 1,5 kg riisi. Arvutamise hõlbustamiseks võib sellise murdosa kirjutada alati valel kujul: 1 2/10 kg kartuleid. Lihtsustamise huvides saate lugeja ja nimetaja väärtusi vähendada, jagades need ühe täisarvuga. Selles näites saate jagada 2-ga. Tulemuseks on 1 1/5 kg kartuleid. Veenduge, et arvud, millega te aritmeetikat sooritate, on esitatud samal kujul.