Funktsiooni tuletis on üks rasked teemad V kooli õppekava. Mitte iga lõpetaja ei vasta küsimusele, mis on tuletis.
See artikkel selgitab lihtsalt ja selgelt, mis on tuletis ja miks seda vaja on.. Me ei püüdle nüüd esitluses matemaatilise ranguse poole. Kõige tähtsam on mõista tähendust.
Meenutagem määratlust:
Tuletis on funktsiooni muutumise kiirus.
Joonisel on kujutatud kolme funktsiooni graafikud. Kumb teie arvates kasvab kiiremini?
Vastus on ilmne – kolmas. Sellel on suurim muutusmäär, st suurim tuletis.
Siin on veel üks näide.
Kostja, Griša ja Matvey said samal ajal tööd. Vaatame, kuidas nende sissetulek aasta jooksul muutus:
Graafik näitab kõike korraga, kas pole? Kostja sissetulek kasvas kuue kuuga enam kui kahekordseks. Ja ka Grisha sissetulek kasvas, kuid veidi. Ja Matvey sissetulek vähenes nullini. Algtingimused on samad, kuid funktsiooni muutumise kiirus, st tuletis, - erinev. Mis puutub Matveysse, siis tema tulude tuletisinstrument on üldiselt negatiivne.
Intuitiivselt hindame lihtsalt funktsiooni muutumise kiirust. Aga kuidas me seda teeme?
See, mida me tegelikult vaatame, on see, kui järsult funktsiooni graafik üles (või alla) läheb. Teisisõnu, kui kiiresti y muutub, kui x muutub? Ilmselgelt on sees sama funktsioon erinevad punktid võib olla erinev tähendus tuletis - see tähendab, et see võib muutuda kiiremini või aeglasemalt.
Funktsiooni tuletist tähistatakse .
Näitame teile, kuidas seda graafiku abil leida.
Mõne funktsiooni graafik on koostatud. Võtame punkti, millel on abstsiss. Joonistame selles punktis funktsiooni graafiku puutuja. Tahame hinnata, kui järsult funktsiooni graafik ülespoole tõuseb. Selle jaoks on mugav väärtus puutuja nurga puutuja.
Funktsiooni tuletis punktis on võrdne selles punktis funktsiooni graafikule tõmmatud puutujanurga puutujaga.
Pange tähele, et puutuja kaldenurgaks võtame puutuja ja telje positiivse suuna vahelise nurga.
Mõnikord küsivad õpilased, mis on funktsiooni graafiku puutuja. See on sirgjoon, millel on ainult üks ühine punkt graafikuga ja nagu on näidatud meie joonisel. See näeb välja nagu ringi puutuja.
Otsime üles. Mäletame, et teravnurga puutuja in täisnurkne kolmnurk võrdne suhtega vastaspool külgnevale. Kolmnurgast:
Leidsime tuletise graafiku abil, teadmata isegi funktsiooni valemit. Selliseid probleeme leidub sageli matemaatika ühtsel riigieksamil numbri all.
On veel üks oluline suhe. Tuletame meelde, et sirge annab võrrand
Selles võrrandis olevat suurust nimetatakse sirgjoone kalle. See on võrdne sirge telje kaldenurga puutujaga.
.
Me saame sellest aru
Meenutagem seda valemit. See väljendab tuletise geomeetrilist tähendust.
Funktsiooni tuletis punktis on võrdne kalle selles punktis funktsiooni graafikule joonistatud puutuja.
Teisisõnu on tuletis võrdne puutujanurga puutujaga.
Oleme juba öelnud, et samal funktsioonil võivad erinevates punktides olla erinevad tuletised. Vaatame, kuidas tuletis on seotud funktsiooni käitumisega.
Joonistame mõne funktsiooni graafiku. Las see funktsioon mõnes piirkonnas suureneb, teistes väheneb ja koos erinevatel kiirustel. Ja olgu sellel funktsioonil maksimum- ja miinimumpunktid.
Ühel hetkel funktsioon suureneb. Moodustub punktis joonistatud graafiku puutuja terav nurk; positiivse telje suunaga. See tähendab, et punkti tuletis on positiivne.
Sel hetkel meie funktsioon väheneb. Selle punkti puutuja moodustab nürinurga; positiivse telje suunaga. Alates puutujast nürinurk on negatiivne, punktis on tuletis negatiivne.
See juhtub järgmiselt.
Kui funktsioon kasvab, on selle tuletis positiivne.
Kui see väheneb, on selle tuletis negatiivne.
Mis saab maksimum- ja miinimumpunktides? Näeme, et punktides (maksimaalne punkt) ja (minimaalne punkt) on puutuja horisontaalne. Seetõttu puutuja nurga puutuja nendes punktides võrdne nulliga, ja tuletis on samuti null.
Punkt – maksimumpunkt. Sel hetkel asendatakse funktsiooni suurenemine vähenemisega. Järelikult muutub tuletise märk punktis "plussist" "miinusseks".
Punktis - miinimumpunktis - on tuletis samuti null, kuid selle märk muutub "miinusest" "plussiks".
Järeldus: tuletise abil saame funktsiooni käitumise kohta teada kõike, mis meid huvitab.
Kui tuletis on positiivne, siis funktsioon suureneb.
Kui tuletis on negatiivne, siis funktsioon väheneb.
Maksimumpunktis on tuletis null ja muudab märgi plussmärgist miinusmärgiks.
Miinimumpunktis on tuletis samuti null ja muudab märgi “miinus” asemel “pluss”.
Kirjutame need järeldused tabeli kujul:
| suureneb | maksimaalne punkt | väheneb | miinimumpunkt | suureneb | |
| + | 0 | - | 0 | + |
Teeme kaks väikest täpsustust. Probleemi lahendamisel vajate ühte neist. Teine - esimesel aastal, funktsioonide ja tuletisi tõsisema uurimisega.
Võimalik, et funktsiooni tuletis on mingil hetkel võrdne nulliga, kuid funktsioonil pole selles punktis ei maksimumi ega miinimumi. See on nn :
Punktis on graafiku puutuja horisontaalne ja tuletis null. Kuid enne punkti funktsioon suurenes - ja pärast punkti jätkab suurenemist. Tuletise märk ei muutu – see jääb positiivseks, nagu oli.
Samuti juhtub, et maksimumi või miinimumi punktis tuletist ei eksisteeri. Graafikul vastab see järsule katkestusele, kui antud punktis pole puutujat võimalik joonistada.
Kuidas leida tuletist, kui funktsioon on antud mitte graafiku, vaid valemiga? Sel juhul kehtib
Ülesanne B9 annab funktsiooni või tuletise graafiku, mille põhjal peate määrama ühe järgmistest suurustest:
- tuletise väärtus mingil hetkel x 0,
- Maksimaalsed või minimaalsed punktid (äärmuspunktid),
- Suurenevate ja kahanevate funktsioonide intervallid (monotoonsuse intervallid).
Selles ülesandes esitatud funktsioonid ja tuletised on alati pidevad, muutes lahenduse palju lihtsamaks. Vaatamata sellele, et ülesanne kuulub sektsiooni matemaatiline analüüs, on ta isegi kõige jaoks võimekas nõrgad õpilased, sest sügavaid pole teoreetilised teadmised siin ei nõuta.
Tuletise, ekstreemumipunktide ja monotoonsusintervallide väärtuse leidmiseks on lihtsad ja universaalsed algoritmid – neid kõiki käsitletakse allpool.
Lugege hoolikalt ülesande B9 tingimusi, et mitte teha rumalaid vigu: mõnikord tuleb ette üsna pikki tekste, kuid olulised tingimused, mis mõjutavad otsuse kulgu, on vähe.
Tuletisväärtuse arvutamine. Kahe punkti meetod
Kui ülesandele on antud funktsiooni f(x) graaf, mis puutub seda graafikut mingis punktis x 0 ja selles punktis on vaja leida tuletise väärtus, rakendatakse järgmist algoritmi:
- Leidke puutujagraafikult kaks "adekvaatset" punkti: nende koordinaadid peavad olema täisarvud. Tähistame need punktid kui A (x 1 ; y 1) ja B (x 2 ; y 2). Kirjutage koordinaadid õigesti - see on võtmehetk lahendused ja mis tahes viga siin põhjustab vale vastuse.
- Teades koordinaate, on lihtne arvutada argumendi Δx = x 2 − x 1 juurdekasvu ja funktsiooni Δy = y 2 − y 1 juurdekasvu.
- Lõpuks leiame tuletise D = Δy/Δx väärtuse. Teisisõnu, peate jagama funktsiooni juurdekasvu argumendi juurdekasvuga - ja see on vastus.
Märgime veel kord: punkte A ja B tuleb otsida just puutujalt, mitte aga funktsiooni f(x) graafikult, nagu sageli juhtub. Puutejoon peab tingimata sisaldama vähemalt kahte sellist punkti - vastasel juhul ei formuleerita ülesannet õigesti.
Vaatleme punkte A (-3; 2) ja B (-1; 6) ning leidke juurdekasvud:
Δx = x 2 − x 1 = −1 − (−3) = 2; Δy = y 2 − y 1 = 6 − 2 = 4.
Leiame tuletise väärtuse: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.
Ülesanne. Joonisel on kujutatud funktsiooni y = f(x) graafik ja selle puutuja punktis, mille abstsiss on x 0. Leia funktsiooni f(x) tuletise väärtus punktis x 0 .
Vaatleme punkte A (0; 3) ja B (3; 0), leidke juurdekasvud:
Δx = x 2 − x 1 = 3 − 0 = 3; Δy = y 2 − y 1 = 0 − 3 = −3.
Nüüd leiame tuletise väärtuse: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.
Ülesanne. Joonisel on kujutatud funktsiooni y = f(x) graafik ja selle puutuja punktis, mille abstsiss on x 0. Leia funktsiooni f(x) tuletise väärtus punktis x 0 .
Mõelge punktidele A (0; 2) ja B (5; 2) ning leidke juurdekasv:
Δx = x 2 - x 1 = 5 - 0 = 5; Δy = y 2 − y 1 = 2 − 2 = 0.
Jääb üle leida tuletise väärtus: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.
Alates viimane näide saame sõnastada reegli: kui puutuja on paralleelne OX-teljega, on funktsiooni tuletis puutepunktis null. Sel juhul ei pea te isegi midagi loendama – vaadake lihtsalt graafikut.
Maksimaalsete ja minimaalsete punktide arvutamine
Mõnikord annab ülesanne B9 funktsiooni graafiku asemel tuletise graafiku ja nõuab funktsiooni maksimum- või miinimumpunkti leidmist. Selles olukorras on kahepunkti meetod kasutu, kuid on veel üks, veelgi lihtsam algoritm. Esiteks määratleme terminoloogia:
- Punkti x 0 nimetatakse funktsiooni f(x) maksimumpunktiks, kui selle punkti mõnes naabruses kehtib järgmine võrratus: f(x 0) ≥ f(x).
- Punkti x 0 nimetatakse funktsiooni f(x) miinimumpunktiks, kui selle punkti mõnes naabruses kehtib järgmine võrratus: f(x 0) ≤ f(x).
Tuletisgraafiku maksimum- ja miinimumpunktide leidmiseks toimige järgmiselt.
- Joonistage tuletisgraafik ümber, eemaldades kogu mittevajaliku teabe. Nagu praktika näitab, segavad mittevajalikud andmed ainult otsust. Seetõttu märgime edasi koordinaatide telg tuletise nullid - see on kõik.
- Leia tuletise märgid nullidevahelistel intervallidel. Kui mingi punkti x 0 puhul on teada, et f'(x 0) ≠ 0, siis on võimalikud ainult kaks võimalust: f'(x 0) ≥ 0 või f'(x 0) ≤ 0. Tuletise märk on algse joonise järgi lihtne määrata: kui tuletisgraafik asub OX-telje kohal, siis f'(x) ≥ 0. Ja vastupidi, kui tuletisgraafik asub OX-teljest allpool, siis f'(x) ≤ 0.
- Kontrollime uuesti tuletise nullid ja märke. Kui märk muutub miinusest plussiks, on miinimumpunkt. Ja vastupidi, kui tuletise märk muutub plussist miinusesse, on see maksimumpunkt. Loendamine toimub alati vasakult paremale.
See skeem töötab ainult pidevate funktsioonide puhul - probleemis B9 pole teisi.
Ülesanne. Joonisel on graafik funktsiooni f(x) tuletisest, mis on defineeritud intervallil [−5; 5]. Leia sellel lõigul funktsiooni f(x) miinimumpunkt.
Vabaneme ebavajalikust infost ja jätame ainult piirid [−5; 5] ja tuletise nullid x = −3 ja x = 2,5. Samuti paneme tähele märke:
Ilmselt muutub punktis x = −3 tuletise märk miinusest plussiks. See on miinimumpunkt.
Ülesanne. Joonisel on graafik funktsiooni f(x) tuletisest, mis on defineeritud intervallil [−3; 7]. Leidke sellel lõigul funktsiooni f(x) maksimaalne punkt.
Joonistame graafiku ümber, jättes alles ainult piirid [−3; 7] ning tuletise x = −1,7 ja x = 5 nullid. Märgime saadud graafikule tuletise märgid. Meil on:
Ilmselgelt muutub punktis x = 5 tuletise märk plussist miinusesse – see on maksimumpunkt.
Ülesanne. Joonisel on graafik funktsiooni f(x) tuletisest, mis on defineeritud intervallil [−6; 4]. Leia lõiku [−4 kuuluva funktsiooni f(x) maksimumpunktide arv; 3].
Ülesande tingimustest järeldub, et piisab, kui vaadelda ainult seda osa graafist, mis on piiratud lõiguga [−4; 3]. Seetõttu ehitame uue graafiku, millele märgime ainult piirid [−4; 3] ja selle sees oleva tuletise nullid. Nimelt punktid x = −3,5 ja x = 2. Saame:
Sellel graafikul on ainult üks maksimumpunkt x = 2. Just selles punktis muutub tuletise märk plussist miinusesse.
Väike märkus mittetäisarvuliste koordinaatidega punktide kohta. Näiteks viimases ülesandes vaadeldi punkti x = −3,5, kuid sama eduga saame võtta x = −3,4. Kui probleem on õigesti kirjutatud, ei tohiks sellised muudatused vastust mõjutada, kuna punktid "ilma konkreetne koht elukoht" ei võta probleemi lahendamisest otseselt osa. Muidugi ei tööta see trikk täisarvuliste punktidega.
Suurenevate ja kahanevate funktsioonide intervallide leidmine
Sellise ülesande puhul, nagu ka maksimum- ja miinimumpunktid, tehakse ettepanek kasutada tuletisgraafikut, et leida alad, kus funktsioon ise suureneb või väheneb. Esiteks määratleme, mis on suurenemine ja kahanemine:
- Funktsioon f(x) kasvab lõigul, kui selle lõigu mis tahes kahe punkti x 1 ja x 2 puhul on tõene järgmine väide: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2) . Teisisõnu, mida suurem on argumendi väärtus, seda suurem on funktsiooni väärtus.
- Funktsioon f(x) on lõigul kahanev, kui selle lõigu mis tahes kahe punkti x 1 ja x 2 puhul on tõene järgmine väide: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2) . Need. Suurem argumendi väärtus vastab väiksemale funktsiooni väärtusele.
Sõnastame piisavad tingimused tõusev ja kahanevalt:
- Selleks, et pidev funktsioon f(x) suureneb lõigul , piisab, kui selle tuletis segmendi sees on positiivne, s.t. f’(x) ≥ 0.
- Selleks, et pidev funktsioon f(x) väheneks lõigul , piisab, kui selle tuletis segmendi sees on negatiivne, s.t. f’(x) ≤ 0.
Aktsepteerigem neid väiteid ilma tõenditeta. Nii saame suurenemise ja kahanemise intervallide leidmise skeemi, mis on paljuski sarnane äärmuspunktide arvutamise algoritmiga:
- Eemaldage kogu mittevajalik teave. Tuletise algses graafikus huvitavad meid eelkõige funktsiooni nullid, seega jätame alles need.
- Märgi tuletise märgid nullide vahele. Kui f’(x) ≥ 0, siis funktsioon suureneb ja kus f’(x) ≤ 0, siis see väheneb. Kui probleem seab muutujale x piirangud, märgime need täiendavalt uuele graafikule.
- Nüüd, kui me teame funktsiooni käitumist ja piiranguid, jääb üle arvutada ülesandes nõutav kogus.
Ülesanne. Joonisel on graafik funktsiooni f(x) tuletisest, mis on defineeritud intervallil [−3; 7.5]. Leia funktsiooni f(x) vähenemise intervallid. Oma vastuses märkige nendes intervallides sisalduvate täisarvude summa.
Nagu ikka, joonistame graafiku ümber ja märgime piirid [−3; 7,5], samuti tuletise x = −1,5 ja x = 5,3 nullid. Seejärel märgime ära tuletise märgid. Meil on:
Kuna tuletis on intervallil (−1,5) negatiivne, on see kahaneva funktsiooni intervall. Jääb kokku võtta kõik selles intervallis olevad täisarvud:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.
Ülesanne. Joonisel on graafik funktsiooni f(x) tuletisest, mis on defineeritud intervallil [−10; 4]. Leia funktsiooni f(x) suurenemise intervallid. Oma vastuses märkige neist suurima pikkus.
Vabaneme ebavajalikust teabest. Jätame ainult piirid [−10; 4] ja tuletise nullid, mida seekord oli neli: x = −8, x = −6, x = −3 ja x = 2. Märgistame tuletise märgid ja saame järgmise pildi:
Meid huvitavad suureneva funktsiooni intervallid, s.o. selline, kus f’(x) ≥ 0. Graafikul on kaks sellist intervalli: (−8; −6) ja (−3; 2). Arvutame nende pikkused:
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
l 2 = 2 − (−3) = 5.
Kuna peame leidma intervallidest suurima pikkuse, siis kirjutame vastuseks üles väärtuse l 2 = 5.
Tuletise leidmise operatsiooni nimetatakse diferentseerimiseks.
Lihtsamate (ja mitte väga lihtsate) funktsioonide tuletiste leidmise probleemide lahendamise tulemusel, defineerides tuletise juurdekasvu ja argumendi juurdekasvu suhte piiriks, ilmus tuletiste tabel ja täpselt teatud reeglid eristamist. Esimestena töötasid derivaatide leidmise alal Isaac Newton (1643-1727) ja Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).
Seetõttu ei pea te tänapäeval mis tahes funktsiooni tuletise leidmiseks arvutama ülalmainitud funktsiooni juurdekasvu ja argumendi juurdekasvu suhte piiri, vaid peate kasutama ainult tabelit tuletised ja diferentseerimisreeglid. Tuletise leidmiseks sobib järgmine algoritm.
Tuletise leidmiseks, vajate algmärgi all olevat väljendit jaotage lihtsad funktsioonid komponentideks ja määrake, millised toimingud (produkt, summa, jagatis) need funktsioonid on omavahel seotud. Edasised tuletised elementaarsed funktsioonid leiame tuletiste tabelist ning korrutise, summa ja jagatise tuletiste valemid on diferentseerimise reeglites. Tuletustabel ja diferentseerimisreeglid on toodud pärast kahte esimest näidet.
Näide 1. Leia funktsiooni tuletis
Lahendus. Diferentseerimisreeglitest saame teada, et funktsioonide summa tuletis on funktsioonide tuletiste summa, s.o.
Tuletiste tabelist saame teada, et "x" tuletis on võrdne ühega ja siinuse tuletis on võrdne koosinusega. Asendame need väärtused tuletiste summaga ja leiame tuletise, mida nõuab ülesande tingimus:
Näide 2. Leia funktsiooni tuletis
Lahendus. Diferentseerime tuletisena summast, milles teisel liikmel on konstantne tegur, selle saab tuletise märgist välja võtta:
Kui ikkagi tekib küsimusi, kust miski pärit on, siis tavaliselt saavad need selgeks pärast tuletiste tabeli ja lihtsamate eristamisreeglitega tutvumist. Me liigume praegu nende juurde.
Lihtfunktsioonide tuletiste tabel
| 1. Konstandi (arvu) tuletis. Mis tahes arv (1, 2, 5, 200...), mis on funktsiooni avaldises. Alati võrdne nulliga. Seda on väga oluline meeles pidada, kuna seda nõutakse väga sageli | |
| 2. Sõltumatu muutuja tuletis. Kõige sagedamini "X". Alati võrdne ühega. Seda on samuti oluline pikka aega meeles pidada | |
| 3. Kraadi tuletis. Ülesannete lahendamisel peate teisendama mitteruutjuured astmeteks. | |
| 4. Muutuja tuletis astmest -1 | |
| 5. Tuletis ruutjuur | |
| 6. Siinuse tuletis | |
| 7. Koosinuse tuletis |  |
| 8. Tangensi tuletis |  |
| 9. Kootangensi tuletis |  |
| 10. Arsiini tuletis |  |
| 11. Kaarkoosinuse tuletis |  |
| 12. Arktangensi tuletis |  |
| 13. Kaare kotangensi tuletis |  |
| 14. Naturaallogaritmi tuletis | |
| 15. Logaritmifunktsiooni tuletis |  |
| 16. Eksponent tuletis | |
| 17. Eksponentfunktsiooni tuletis |
Eristamise reeglid
| 1. Summa või vahe tuletis |  |
| 2. Toote tuletis |  |
| 2a. Avaldise tuletis, mis on korrutatud konstantse teguriga | |
| 3. Jagatise tuletis |  |
| 4. Kompleksfunktsiooni tuletis |  |
1. reegel.Kui funktsioonid
on mingil hetkel diferentseeruvad, siis on funktsioonid samas punktis diferentseeruvad
ja
need. funktsioonide algebralise summa tuletis on võrdne algebraline summa nende funktsioonide tuletised.
Tagajärg. Kui kaks diferentseeruvat funktsiooni erinevad konstantse liikme võrra, siis on nende tuletised võrdsed, st.
2. reegel.Kui funktsioonid
on mingil hetkel eristatavad, siis on nende toode samas punktis eristatav
ja
need. Kahe funktsiooni korrutise tuletis on võrdne mõlema funktsiooni ja teise funktsiooni korrutiste summaga.
Järeldus 1. Konstantteguri saab tuletise märgist välja võtta:
Järeldus 2. Mitme diferentseeruva funktsiooni korrutise tuletis on võrdne iga teguri ja kõigi teiste tuletise korrutiste summaga.
Näiteks kolme kordaja jaoks:
3. reegel.Kui funktsioonid
mingil hetkel eristuvad Ja , siis siinkohal on ka nende jagatis diferentseeritavu/v ja
need. kahe funktsiooni jagatise tuletis on võrdne murdarvuga, mille lugejaks on nimetaja ja lugeja tuletise ning lugeja ja nimetaja tuletise korrutise vahe ning nimetaja on funktsiooni ruut. endine lugeja.
Kust teistelt lehtedelt asju otsida
Korrutise tuletise ja jagatise leidmisel tõelisi probleeme Seetõttu on alati vaja korraga rakendada mitut diferentseerimisreeglit rohkem näiteid nende derivaatide jaoks - artiklis"Korrutise tuletis ja funktsioonide jagatis".
Kommenteeri. Konstanti (ehk arvu) ei tohiks segi ajada summas oleva terminina ja konstantse tegurina! Termini puhul on selle tuletis võrdne nulliga ja juhul konstantne tegur see võetakse tuletismärgist välja. See tüüpiline viga, mis toimub esialgne etapp tuletisi uurides, kuid kuna need lahendavad mitmeid ühe- ja kaheosalisi näiteid, siis keskmine õpilane seda viga enam ei tee.
Ja kui teil on toote või jagatise eristamisel termin u"v, milles u- arv, näiteks 2 või 5, see tähendab konstant, siis on selle arvu tuletis võrdne nulliga ja seetõttu on kogu liige võrdne nulliga (seda juhtumit käsitletakse näites 10).
muud levinud viga - mehaaniline lahendus kompleksfunktsiooni tuletis kui lihtfunktsiooni tuletis. Sellepärast kompleksfunktsiooni tuletis on pühendatud eraldi artikkel. Kuid kõigepealt õpime leidma tuletisi lihtsad funktsioonid.
Teel ei saa te ilma väljendeid muutmata. Selleks peate võib-olla avama juhendi uutes akendes. Võimude ja juurtega teod Ja Tehted murdudega .
Kui otsite lahendusi astmete ja juurtega murdude tuletistele, st kui funktsioon näeb välja selline 
, seejärel järgige õppetundi „Tõppude ja juurtega murdude summade tuletis”.
Kui teil on ülesanne nagu 
, siis võtad õppetunni “Lihtsate trigonomeetriliste funktsioonide tuletised”.
Samm-sammult näited – kuidas tuletist leida
Näide 3. Leia funktsiooni tuletis
Lahendus. Määratleme funktsiooni avaldise osad: kogu avaldis esindab korrutist ja selle tegurid on summad, millest teises üks terminitest sisaldab konstantset tegurit. Rakendame korrutise eristamise reeglit: kahe funktsiooni korrutise tuletis on võrdne nende funktsioonide korrutiste summaga teise tuletisega:
Järgmisena rakendame summa diferentseerimise reeglit: funktsioonide algebralise summa tuletis võrdub nende funktsioonide tuletiste algebralise summaga. Meie puhul on igas summas teisel liikmel miinusmärk. Igas summas näeme nii sõltumatut muutujat, mille tuletis on võrdne ühega, kui ka konstanti (arvu), mille tuletis on võrdne nulliga. Niisiis, "X" muutub üheks ja miinus 5 muutub nulliks. Teises avaldises korrutatakse "x" 2-ga, seega korrutame kaks sama ühikuga kui "x" tuletis. Saame järgmised tuletisväärtused:
Asendame leitud tuletised korrutiste summaga ja saame kogu ülesande tingimusega nõutava funktsiooni tuletise:
Näide 4. Leia funktsiooni tuletis
Lahendus. Peame leidma jagatise tuletise. Jagatise eristamiseks rakendame valemit: kahe funktsiooni jagatise tuletis on võrdne murdarvuga, mille lugejaks on nimetaja ja lugeja tuletise ja lugeja ja lugeja tuletise korrutise erinevus. nimetaja ja nimetaja on eelmise lugeja ruut. Saame:
Näites 2 leidsime juba lugejas olevate tegurite tuletise. Ärgem unustagem ka seda, et korrutis, mis käesolevas näites on lugejas teine tegur, võetakse miinusmärgiga:
Kui otsite lahendusi probleemidele, mille puhul peate leidma funktsiooni tuletise, kus on pidev hunnik juuri ja astmeid, nagu näiteks 
, siis tere tulemast klassi "Tõppude ja juurtega murdude summade tuletis" .
Kui teil on vaja rohkem teada saada siinuste, koosinuste, puutujate ja teiste tuletisi trigonomeetrilised funktsioonid, st kui funktsioon näeb välja selline , siis õppetund teile "Lihtsate trigonomeetriliste funktsioonide tuletised" .
Näide 5. Leia funktsiooni tuletis
Lahendus. Selles funktsioonis näeme korrutist, mille üheks teguriks on sõltumatu muutuja ruutjuur, mille tuletisega tutvusime tuletiste tabelis. Kasutades korrutise eristamise reeglit ja ruutjuure tuletise tabeliväärtust, saame:
Näide 6. Leia funktsiooni tuletis
Lahendus. Selles funktsioonis näeme jagatist, mille dividend on sõltumatu muutuja ruutjuur. Kasutades jagatiste diferentseerimise reeglit, mida kordasime ja rakendasime näites 4, ning ruutjuure tuletise tabeliväärtust, saame:
Lugejas olevast murdosast vabanemiseks korrutage lugeja ja nimetaja arvuga .
Funktsiooni pidevus ja diferentseeritavus.
Darboux’ teoreem . Monotoonsuse intervallid.
Kriitilised punktid . Ekstreem (miinimum, maksimaalne).
Funktsiooniuuringute disain.
Funktsiooni pidevuse ja diferentseeritavuse seos. Kui funktsioon f(x)on mingil hetkel diferentseeruv, siis on see selles punktis pidev. Vastupidine pole tõsi: pideval funktsioonil ei pruugi olla tuletist.
Illustratsioon. Kui funktsioon on mingil hetkel katkendlik, siis sellel hetkel ei ole tuletist.
Funktsiooni monotoonsuse piisavad tunnused.
Kui f’(x) > 0 igas intervalli punktis (a, b), siis funktsioon f (x)suureneb selle intervalli jooksul.
Kui f’(x) < 0 igas intervalli punktis (a, b) , siis funktsioon f(x)väheneb sellel intervallil.
Darboux’ teoreem. Punktid, kus funktsiooni tuletis on 0või ei eksisteeri, jagage funktsiooni määratluspiirkond intervallideks, mille piires tuletis oma märgi säilitab.
Neid intervalle kasutades leiame monotoonsuse intervallid funktsioone, mis on nende uurimisel väga oluline.
Järelikult suureneb funktsioon intervallidega (- , 0) ja ( 1, + ) ja väheneb intervalliga ( 0, 1). Punkt x= 0 ei sisaldu funktsiooni definitsioonipiirkonnas, kuid kui me lähemale jõuamex k0 tähtaeg x - 2 suureneb lõputult, seega suureneb ka funktsioon lõputult. Punktisx= 1 on funktsiooni väärtus 3. Selle analüüsi järgi saame postitadajoonistage funktsioon ( Joonis 4 b ) .
Kriitilised punktid. funktsiooni domeeni sisemised punktid, milles tuletis on võrdne tühine või seda pole olemas, kutsutakse kriitiline punktid seda funktsiooni. Need punktid on funktsiooni analüüsimisel ja selle graafiku koostamisel väga olulised, sest ainult nendes punktides saab funktsioonil olla äärmus (miinimum või maksimaalselt , Joonis 5 A,b).
Punktides x 1 , x 2 (Joonis 5 a) Ja x 3 (Joonis 5 b) tuletis on 0; punktides x 1 , x 2 (Joonis 5 b) tuletist ei eksisteeri. Kuid need kõik on äärmuslikud punktid.
Ekstreemumi vajalik tingimus. Kui x 0 - funktsiooni äärmuspunkt f(x) ja tuletis f’ on selles punktis olemas, siis f’(x 0)= 0.
See teoreem on vajalikäärmuslik seisund. Kui funktsiooni tuletis mingil hetkel on 0, see ei tähenda seda funktsioonil on selles punktis ekstreemum. Näiteks funktsiooni tuletisf (x) = x 3 võrdub 0 at x= 0, kuid sellel funktsioonil ei ole selles punktis ekstreemumit (joonis 6).
Teisest küljest funktsioony = | x| 3, on punktis miinimumx= 0, kuid sellel hetkel tuletist ei eksisteeri.
Ekstreemumiks piisavad tingimused.
Kui tuletis punkti x läbimisel 0 muudab oma märgi plussist miinusseks, siis x 0 - maksimaalne punkt.
Kui tuletis punkti x läbimisel 0 muudab oma märgi miinusest plussiks, seejärel x 0 - miinimumpunkt.
Funktsiooniuuringute disain. Funktsioonigraafiku joonistamiseks vajate:
1) leida funktsiooni määratluspiirkond ja väärtuste vahemik,
2) teha kindlaks, kas funktsioon on paaris või paaritu,
3) teha kindlaks, kas funktsioon on perioodiline või mitte,
4) leida funktsiooni nullpunktid ja selle väärtusedx = 0,
5) leida konstantse märgi intervallid,
6) leida monotoonsuse intervalle,
7) leida nendest punktidest äärmuspunktid ja funktsiooni väärtused,
8) analüüsib funktsiooni käitumist “ainsuse” punktide läheduses
Ja millal suured väärtused moodulx .
NÄIDE Tutvuge funktsioonigaf(x) = x 3 + 2 x 2 - x- 2 ja joonistage graafik.
Lahendus. Uurime funktsiooni ülaltoodud skeemi järgi.
1) domeenixR (x- ükskõik milline tõeline number);
Väärtuste vahemikyR , sest f (x) – paaritu polünoom
kraadid;
2) funktsioon f (x) ei ole paaris ega paaritu
(täpsusta palun);
3) f (x) on mitteperioodiline funktsioon (tõesta seda ise);
4) funktsiooni graafik lõikub teljegaY punktis (0, – 2),
Sest f (0) = - 2 ; et leida vajaliku funktsiooni nullid
Lahenda võrrand:x 3 + 2 x 2 - x - 2 = 0, üks juurtest
milline ( x= 1) on ilmne. Teised juured on
(kui nad on! ) ruutvõrrandi lahendamisest:
x 2 + 3 x+ 2 = 0, mis saadakse polünoomi jagamisel
x 3 + 2 x 2 - x- 2 binoomi kohta ( x- 1). Lihtne kontrollida
Mis on ülejäänud kaks juurt:x 2 = - 2 ja x 3 = - 1. Seega
Funktsiooni nullid on järgmised: - 2, - 1 ja 1.
5) See tähendab, et arvutelg jagatakse nende juurtega arvuga
Neli märgi püsivuse intervalli, mille sees
Funktsioon säilitab oma märgi:
Selle tulemuse saab laiendades
polünoom teguriteks:
x 3 + 2 x 2 - x - 2 = (x + 2) (x + 1 (x – 1)
Ja töö märgi hinnang .
6) Tuletis f' (x) = 3 x 2 + 4 x- 1-l pole punkte, mille juures
Seda pole olemas, seega on selle määratluspiirkondR (Kõik
reaalarvud); nullidf' (x) on võrrandi juured:
3 x 2 + 4 x- 1 = 0 .
Saadud tulemused on kokku võetud tabelis:
Otsustades erinevaid ülesandeid geomeetria, mehaanika, füüsika ja muud teadmiste harud muutusid vajalikuks, kasutades selle funktsiooni sama analüütilist protsessi y=f(x) saada uus funktsioon mida nimetatakse tuletisfunktsioon(või lihtsalt tuletis) antud funktsioonist f(x) ja on tähistatud sümboliga
Protsess, mille käigus antud funktsioonist f(x) hankige uus funktsioon f" (x), kutsus eristamist ja see koosneb järgmisest kolmest etapist: 1) esitage argument x juurdekasv
x ja määrake funktsiooni vastav juurdekasv
y = f(x+
x) -f(x); 2) luua suhe 
3) loendamine x pidev ja
x0, leiame 
, mida me tähistame f" (x), justkui rõhutades, et tulemuseks olev funktsioon sõltub ainult väärtusest x, mille juures jõuame piirini. Definitsioon:
Tuletis y " =f " (x)
antud funktsioon y=f(x)
antud x jaoks nimetatakse funktsiooni juurdekasvu ja argumendi juurdekasvu suhte piiriks eeldusel, et argumendi juurdekasv kipub olema null, kui see piir muidugi on olemas, s.t. lõplik. Seega 
, või 
Pange tähele, et kui mõne väärtuse jaoks x, näiteks millal x=a, suhtumine 
juures
x0 ei kipu lõplik piir, siis sel juhul öeldakse, et funktsioon f(x) juures x=a(või punktis x=a) ei oma tuletist või ei ole punktis diferentseeritav x=a.
2. Tuletise geomeetriline tähendus.
Vaatleme funktsiooni y = f (x) graafikut, mis on diferentseeruv punkti x 0 läheduses
f(x)
Vaatleme suvalist sirget, mis läbib funktsiooni graafikul olevat punkti - punkt A(x 0, f (x 0)) ja lõikub graafikuga mingis punktis B(x;f(x)). Sellist sirget (AB) nimetatakse sekantiks. Alates ∆ABC: AC = ∆x; ВС =∆у; tgβ=∆y/∆x.
Kuna AC || Ox, siis ALO = BAC = β (vastavalt paralleelile). Kuid ALO on sekandi AB kaldenurk Ox-telje positiivse suuna suhtes. See tähendab, et tanβ = k on sirge AB kalle.
Nüüd vähendame ∆х, st. ∆х→ 0. Sel juhul läheneb punkt B vastavalt graafikule punktile A ja sekant AB pöörleb. Sekandi AB piirasend punktis ∆x → 0 on sirge (a), mida nimetatakse funktsiooni y = f (x) graafiku puutujaks punktis A.
Kui läheme võrrandis tgβ =∆y/∆x piirini ∆x → 0, saame 
ortg =f "(x 0), kuna 
-Ox-telje positiivse suuna puutuja kaldenurk 
, tuletise määratluse järgi. Kuid tg = k on puutuja nurkkoefitsient, mis tähendab, et k = tg = f "(x 0).
Seega on tuletise geomeetriline tähendus järgmine:
Funktsiooni tuletis punktis x 0 võrdne abstsissiga x punktis joonistatud funktsiooni graafiku puutuja kaldega 0 .
3. Tuletise füüsiline tähendus.
Mõelge punkti liikumisele piki sirgjoont. Olgu antud punkti koordinaat igal ajahetkel x(t). Teada on (füüsikakursusest), et keskmine kiirus teatud aja jooksul võrdub selle ajaperioodi jooksul läbitud vahemaa suhtega aega, s.o.
Vav = ∆x/∆t. Liigume viimase võrdsuse piirini ∆t → 0.
lim Vav (t) = (t 0) - hetkeline kiirus ajahetkel t 0, ∆t → 0.
ja lim = ∆x/∆t = x"(t 0) (tuletise definitsiooni järgi).
Niisiis, (t) =x"(t).
Tuletise füüsikaline tähendus on järgmine: funktsiooni tuletisy = f(x) punktisx 0 on funktsiooni muutumise kiirusf(x) punktisx 0
Tuletist kasutatakse füüsikas kiiruse leidmiseks teadaolevast koordinaatide ja aja funktsioonist, kiirenduse leidmiseks kiiruse ja aja teadaolevast funktsioonist.
(t) = x"(t) – kiirus,
a(f) = "(t) - kiirendus või
Kui on teada ringjoone ainelise punkti liikumisseadus, siis võib leida nurkkiiruse ja nurkkiirendus pöörleva liikumise ajal:
φ = φ(t) – nurga muutus ajas,
ω = φ"(t) - nurkkiirus,
ε = φ"(t) – nurkiirendus või ε = φ"(t).
Kui on teada ebahomogeense varda massijaotuse seadus, siis saab leida ebahomogeense varda joontiheduse:
m = m(x) – mass,
x , l - varda pikkus,
p = m"(x) - lineaarne tihedus.
Tuletise abil lahendatakse ülesandeid elastsuse ja harmooniliste vibratsioonide teooriast. Niisiis, vastavalt Hooke'i seadusele
F = -kx, x – muutuv koordinaat, k – vedru elastsuse koefitsient. Kui panna ω 2 =k/m, saame vedrupendli diferentsiaalvõrrandi x"(t) + ω 2 x(t) = 0,
kus ω = √k/√m võnkesagedus (l/c), k - vedru jäikus (H/m).
Võrrandit kujul y" + ω 2 y = 0 nimetatakse harmooniliste (mehaaniliste, elektriliste, elektromagnetiliste) võnkumiste võrrandiks. Selliste võrrandite lahendus on funktsioon
y = Asin(ωt + φ 0) või y = Acos(ωt + φ 0), kus
A - võnkumiste amplituud, ω - tsükliline sagedus,
φ 0 - algfaas.