Näited avaldise lihtsustamiseks. Kuidas lihtsustada algebralisi avaldisi

§ 1 Sõnasõnalise väljendi lihtsustamise mõiste

Selles õppetükis tutvume mõistega “sarnased terminid” ja õpime näidete abil sarnaste terminite redutseerimist, lihtsustades nii sõnasõnalisi väljendeid.

Uurime välja mõiste "lihtsustamine" tähendus. Sõna "lihtsustamine" on tuletatud sõnast "lihtsustada". Lihtsustada tähendab teha lihtsaks, lihtsamaks. Seetõttu tähendab sõnasõnalise avaldise lihtsustamine selle lühemaks muutmist minimaalne kogus tegevused.

Vaatleme avaldist 9x + 4x. See on sõnasõnaline väljend, mis on summa. Siin esitatud terminid on esitatud numbri ja tähe korrutisena. Selliste terminite arvulist tegurit nimetatakse koefitsiendiks. Selles avaldises on koefitsiendid numbrid 9 ja 4. Pange tähele, et tähega tähistatud tegur on selle summa mõlemas osas sama.

Tuletagem meelde korrutamise jaotusseadust:

Summa arvuga korrutamiseks võite iga liikme selle arvuga korrutada ja liita saadud korrutised.

IN üldine vaade kirjutatakse järgmiselt: (a + b) ∙ c = ac + bc.

See seadus kehtib mõlemas suunas ac + bc = (a + b) ∙ c

Rakendame seda oma sõnasõnalisele avaldisele: 9x ja 4x korrutiste summa on võrdne korrutisega, mille esimene tegur on võrdne summaga 9 ja 4, on teine ​​tegur x.

9 + 4 = 13, see on 13x.

9x + 4x = (9 + 4)x = 13x.

Avaldises oleva kolme toimingu asemel on järel vaid üks toiming - korrutamine. See tähendab, et oleme muutnud oma sõnasõnalise väljenduse lihtsamaks, s.t. lihtsustas seda.

§ 2 Sarnaste tähtaegade vähendamine

Mõisted 9x ja 4x erinevad ainult oma koefitsientide poolest – selliseid termineid nimetatakse sarnasteks. Sarnaste terminite täheosa on sama. Sarnased terminid hõlmavad ka numbreid ja võrdseid termineid.

Näiteks avaldises 9a + 12 - 15 on sarnased terminid numbrid 12 ja -15 ning 12 ja 6a korrutise summas arv 14 ning 12 ja 6a korrutis (12 ∙ 6a + 14 + 12 ∙ 6a) võrdsed liikmed, mida esindab 12 ja 6a korrutis.

Oluline on märkida, et liikmed, mille koefitsiendid on võrdsed, kuid mille tähetegurid on erinevad, ei ole sarnased, kuigi mõnikord on kasulik rakendada neile korrutamise distributiivset seadust, näiteks korrutiste 5x ja 5y summa on võrdne arvu 5 ning x ja y summa korrutisega

5x + 5y = 5(x + y).

Lihtsustame avaldist -9a + 15a - 4 + 10.

Sarnased terminid sisse sel juhul on terminid -9a ja 15a, kuna need erinevad ainult koefitsientide poolest. Nende tähtede kordaja on sama ning terminid -4 ja 10 on samuti sarnased, kuna need on numbrid. Lisage sarnased terminid:

9a + 15a - 4 + 10

9a + 15a = 6a;

Saame: 6a + 6.

Avaldist lihtsustades leidsime matemaatikas sarnaste terminite summad.

Kui selliste terminite lisamine on keeruline, võite nende jaoks sõnu välja mõelda ja objekte lisada.

Näiteks kaaluge väljendit:

Iga tähe jaoks võtame oma objekti: b-õun, c-pirn, siis saame: 2 õuna miinus 5 pirni pluss 8 pirni.

Kas me saame õuntest lahutada pirnid? Muidugi mitte. Kuid miinus 5 pirnile võime lisada 8 pirni.

Esitame sarnased terminid -5 pirni + 8 pirni. Sarnastel terminitel on sama täheosa, nii et sarnaste terminite toomisel piisab koefitsientide liitmisest ja tulemusele täheosa lisamisest:

(-5 + 8) pirnid - saad 3 pirni.

Tulles tagasi meie sõnasõnalise avaldise juurde, on meil -5 s + 8 s = 3 s. Seega saame pärast sarnaste terminite toomist avaldise 2b + 3c.

Niisiis tutvusite selles õppetükis mõistega "sarnased terminid" ja õppisite tähtväljendeid lihtsustama, vähendades sarnaseid termineid.

Kasutatud kirjanduse loetelu:

1. Matemaatika. 6. klass: tunniplaanidõpikule I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich // autor-koostaja L.A. Topilina. Mnemosyne 2009.
2. Matemaatika. 6. klass: õpik õpilastele õppeasutused. I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich - M.: Mnemosyne, 2013.
3. Matemaatika. 6. klass: õpik üldharidusasutustele/G.V. Dorofejev, I.F. Sharygin, S.B. Suvorov ja teised/toimetanud G.V. Dorofejeva, I.F. Sharygina; Venemaa Teaduste Akadeemia, Venemaa Haridusakadeemia. M.: "Valgustus", 2010.
4. Matemaatika. 6. klass: õpe üldharidusasutustele/N.Ya. Vilenkin, V.I. Zhokhov, A.S. Chesnokov, S.I. Schwartzburd. – M.: Mnemosyne, 2013.
5. Matemaatika. 6. klass: õpik/G.K. Muravin, O.V. Muravina. – M.: Bustard, 2014.

Kasutatud pildid:

Sageli nõuavad ülesanded lihtsustatud vastust. Kuigi õiged on nii lihtsustatud kui ka lihtsustamata vastused, võib teie juhendaja teie hinnet alandada, kui te oma vastust ei lihtsusta. Lisaks on lihtsustatud matemaatilise avaldisega palju lihtsam töötada. Seetõttu on väga oluline õppida väljendeid lihtsustama.

Sammud

Matemaatiliste tehete õige järjekord

1. Pidage meeles õiget täitmise järjekorda matemaatilised tehted. Matemaatilise avaldise lihtsustamisel on vaja jälgida teatud järjekord toimingud, kuna mõned matemaatilised tehted on teiste ees ülimuslikud ja need tuleb kõigepealt ära teha (tegelikult, kui ei järgi tehte sooritamise õiget järjekorda, jõuate vale tulemuseni). Pidage meeles järgmist matemaatiliste toimingute järjekorda: avaldis sulgudes, astendamine, korrutamine, jagamine, liitmine, lahutamine.

   • Pange tähele, et tehte õige järjekorra teadmine võimaldab teil lihtsustada enamikke lihtsaid avaldisi, kuid polünoomi (muutujaga avaldise) lihtsustamiseks peate teadma spetsiaalseid nippe (vt järgmist jaotist).

2. Alustage sulgudes oleva avaldise lahendamisega. Matemaatikas näitavad sulud, et kõigepealt tuleb hinnata nende sees olevat avaldist. Seetõttu alustage mis tahes matemaatilise avaldise lihtsustamisel sulgudes oleva avaldise lahendamisest (pole oluline, milliseid tehteid sulgudes teha tuleb). Kuid pidage meeles, et sulgudes oleva avaldisega töötades peate järgima toimingute järjekorda, see tähendab, et sulgudes olevad terminid korrutatakse, jagatakse, liidetakse, lahutatakse jne.

   • Näiteks lihtsustame väljendit 2x + 4 (5 + 2) + 3 2 - (3 + 4/2). Siin alustame sulgudes olevate avaldistega: 5 + 2 = 7 ja 3 + 4/2 = 3 + 2 =5.
     • Teises sulgudes olev avaldis lihtsustub 5-ni, sest kõigepealt tuleb jagada 4/2 (vastavalt õigele tehtejärjekorrale). Kui te seda järjekorda ei järgi, saate vale vastuse: 3 + 4 = 7 ja 7 ÷ 2 = 7/2.
   • Kui sulgudes on mõni teine ​​sulgude paar, alustage lihtsustamist sisemistes sulgudes oleva avaldise lahendamisega ja liikuge seejärel välimistes sulgudes oleva avaldise lahendamise juurde.

3. Astendage. Olles lahendanud sulgudes olevad avaldised, liikuge edasi astendamise juurde (pidage meeles, et astmel on astendaja ja alus). Tõstke vastav avaldis (või arv) astmeni ja asendage tulemus teile antud avaldisega.

   • Meie näites on astme ainus avaldis (arv) 3 2: 3 2 = 9. Asendage teile antud avaldises 3 2 9-ga ja saate: 2x + 4(7) + 9 - 5.

4. Korrutada. Pidage meeles, et korrutustehte saab esitada järgmiste sümbolitega: "x", "∙" või "*". Aga kui arvu ja muutuja vahel (näiteks 2x) või sulgudes oleva arvu ja arvu vahel pole sümboleid (näiteks 4(7)), siis on ka see korrutustehe.

   • Meie näites on kaks korrutustehet: 2x (kaks korrutatakse muutujaga “x”) ja 4(7) (neli korrutatakse seitsmega). Me ei tea x väärtust, seega jätame avaldise 2x selliseks, nagu see on. 4(7) = 4 x 7 = 28. Nüüd saad sulle antud avaldise ümber kirjutada järgmiselt: 2x + 28 + 9 - 5.

5. Jaga. Pidage meeles, et jagamistehte saab tähistada järgmiste sümbolitega: "/", "÷" või "–" (seda viimast märki võite näha murdudena). Näiteks 3/4 on kolm jagatud neljaga.

   • Meie näites jagamistehte enam pole, kuna sulgudes oleva avaldise lahendamisel jagasid juba 4 2-ga (4/2). Nii et võite minna järgmine samm. Pidage meeles, et enamik avaldisi ei sisalda kõiki matemaatilisi tehteid (ainult mõnda neist).

6. Voldi kokku. Avaldise terminite lisamisel võite alustada kõige kaugemal (vasakul) olevast terminist või lisada terminid, mis lihtsalt lisatakse esimesena. Näiteks avaldises 49 + 29 + 51 +71 on kõigepealt lihtsam liita 49 + 51 = 100, seejärel 29 + 71 = 100 ja lõpuks 100 + 100 = 200. Palju keerulisem on liita nii: 49 + 29 = 78; 78 + 51 = 129; 129 + 71 = 200.

   • Meie näites 2x + 28 + 9 + 5 on kaks liitmistoimingut. Alustame äärepoolseimast (vasakust) liikmest: 2x + 28; sa ei saa lisada 2x ja 28, sest sa ei tea muutuja "x" väärtust. Seetõttu lisage 28 + 9 = 37. Nüüd saab avaldise ümber kirjutada järgmiselt: 2x + 37 - 5.

7. Lahutage. See viimane operatsioon V õiges järjekorras matemaatiliste toimingute sooritamine. Selles etapis saate ka lisada negatiivsed arvud või teha seda liikmete lisamise etapis – see ei mõjuta kuidagi lõpptulemust.

   • Meie näites 2x + 37 - 5 on ainult üks lahutamistehte: 37 - 5 = 32.

8. Selles etapis, pärast kõigi matemaatiliste toimingute tegemist, peaksite saama lihtsustatud avaldise. Aga kui teile antud avaldis sisaldab ühte või mitut muutujat, siis pidage meeles, et muutujaga termin jääb samaks. Muutujaga avaldise lahendamine (mitte lihtsustamine) hõlmab selle muutuja väärtuse leidmist. Mõnikord saab muutuvaid väljendeid kasutades lihtsustada spetsiaalsed meetodid(vt järgmist jaotist).

   • Meie näites on lõplik vastus 2x + 32. Neid kahte terminit ei saa lisada enne, kui pole teada muutuja "x" väärtust. Kui olete muutuja väärtuse teada, saate seda binoomväärtust hõlpsasti lihtsustada.

   Keeruliste väljendite lihtsustamine

   1. Sarnaste terminite lisamine. Pidage meeles, et saate lahutada ja lisada ainult sarnaseid termineid, st sama muutujaga termineid ja sama näitaja kraadid. Näiteks saate lisada 7x ja 5x, kuid te ei saa lisada 7x ja 5x 2 (kuna eksponendid on erinevad).

      • See reegel kehtib ka mitme muutujaga liikmetele. Näiteks saate lisada 2xy 2 ja -3xy 2, kuid te ei saa lisada 2xy 2 ja -3x 2 y või 2xy 2 ja -3y 2.
      • Vaatame näidet: x 2 + 3x + 6 - 8x. Siin on sarnased terminid 3x ja 8x, nii et neid saab kokku liita. Lihtsustatud avaldis näeb välja selline: x 2 - 5x + 6.

   2. Lihtsustage arvu murd. Sellises murdes sisaldavad nii lugeja kui ka nimetaja numbreid (ilma muutujata). Numbriline murd mitmel viisil lihtsustatud. Esiteks jagage lihtsalt nimetaja lugejaga. Teiseks faktorige lugeja ja nimetaja ning tühistage samasugused tegurid (kuna arvu jagamisel iseendaga saate 1). Teisisõnu, kui nii lugejal kui ka nimetajal on sama tegur, võite selle ära jätta ja saada lihtsustatud murru.

      • Näiteks kaaluge murdosa 36/60. Kasutades kalkulaatorit, jagage 36 60-ga, et saada 0,6. Kuid saate seda murdu ka muul viisil lihtsustada, arvutades lugeja ja nimetaja: 36/60 = (6x6)/(6x10) = (6/6)*(6/10). Kuna 6/6 = 1, on lihtsustatud murd: 1 x 6/10 = 6/10. Kuid seda murdosa saab ka lihtsustada: 6/10 = (2x3)/(2*5) = (2/2)*(3/5) = 3/5.

   3. Kui murdosa sisaldab muutujat, saate muutujaga sarnased tegurid tühistada. Korrigeerige nii lugejat kui ka nimetajat ja tühistage sarnased tegurid, isegi kui need sisaldavad muutujat (pidage meeles, et sarnased tegurid võivad muutujat sisaldada, kuid ei pruugi).

      • Vaatame näidet: (3x 2 + 3x)/(-3x 2 + 15x). Selle avaldise saab ümber kirjutada (faktoreerida) kujul: (x + 1)(3x)/(3x)(5 - x). Kuna 3x liige on nii lugejas kui ka nimetajas, saate selle tühistada, et saada lihtsustatud avaldis: (x + 1)/(5 - x). Vaatame teist näidet: (2x 2 + 4x + 6)/2 = (2(x 2 + 2x + 3))/2 = x 2 + 2x + 3.
      • Pange tähele, et te ei saa ühtegi terminit tühistada – tühistatakse ainult identsed tegurid, mis esinevad nii lugejas kui ka nimetajas. Näiteks avaldises (x(x + 2))/x on muutuja (tegur) “x” nii lugejas kui ka nimetajas, seega saab “x”-d vähendada, et saada lihtsustatud avaldis: (x + 2)/1 = x + 2. Avaldises (x + 2)/x ei saa aga muutujat “x” taandada (kuna “x” ei ole lugejas tegur).

   4. Avage sulg. Selleks korrutage sulgudes olev termin iga sulgudes oleva terminiga. Mõnikord aitab see keerukat väljendit lihtsustada. See kehtib mõlema liikme kohta, kes on algarvud, ja muutujat sisaldavad liikmetele.

      • Näiteks 3 (x 2 + 8) = 3x 2 + 24 ja 3x (x 2 + 8) = 3x 3 + 24x.
      • Pange tähele, et sisse murdosa avaldised Sulgusid pole vaja avada, kui nii lugejas kui ka nimetajas on sama tegur. Näiteks avaldises (3(x 2 + 8))/3x ei ole vaja sulgusid laiendada, kuna siin saab tühistada teguri 3 ja saada lihtsustatud avaldis (x 2 + 8)/x. Selle väljendiga on lihtsam töötada; kui sulgusid laiendada, saad järgmise kompleksavaldise: (3x 3 + 24x)/3x.

   5. Tegurpolünoomid. Seda meetodit kasutades saate mõningaid avaldisi ja polünoomid lihtsustada. Faktooring on operatsioon avamise vastand sulgudes, see tähendab, et avaldis kirjutatakse kahe avaldise korrutisena, millest igaüks on sulgudes. Mõnel juhul võib faktoriseerimine väheneda sama väljend. IN erijuhtudel(tavaliselt koos ruutvõrrandid) faktooring võimaldab teil võrrandi lahendada.

      • Vaatleme avaldist x 2 - 5x + 6. Seda arvestatakse: (x - 3)(x - 2). Seega, kui näiteks avaldis on antud (x 2 - 5x + 6)/(2(x - 2)), siis saate selle ümber kirjutada kujul (x - 3)(x - 2)/(2(x) - 2)), vähendage avaldist (x - 2) ja saate lihtsustatud avaldise (x - 3)/2.
      • Polünoomide faktoriseerimist kasutatakse võrrandite lahendamiseks (juurte leidmiseks) (võrrand on polünoom, mis võrdub 0-ga). Näiteks vaatleme võrrandit x 2 - 5x + 6 = 0. Selle faktoriseerimisel saad (x - 3)(x - 2) = 0. Kuna iga avaldis, mis on korrutatud 0-ga, võrdub 0-ga, saame selle kirjutada järgmiselt see : x - 3 = 0 ja x - 2 = 0. Seega x = 3 ja x = 2, see tähendab, et olete leidnud teile antud võrrandi kaks juurt.

Literaalne avaldis (või muutujatega avaldis) on matemaatiline avaldis, mis koosneb numbritest, tähtedest ja matemaatiliste tehete sümbolitest. Näiteks järgmine väljend on sõnasõnaline:

a+b+4

Tähestikuliste avaldiste abil saate kirjutada seadusi, valemeid, võrrandeid ja funktsioone. Võti on võime manipuleerida täheväljenditega head teadmised algebra ja kõrgem matemaatika.

Iga tõsine probleem matemaatikas taandub võrrandite lahendamisele. Ja võrrandite lahendamiseks peate suutma töötada sõnasõnaliste avaldistega.

Kirjasõnaliste avaldistega töötamiseks peate olema hästi kursis põhiaritmeetikaga: liitmine, lahutamine, korrutamine, jagamine, matemaatika põhiseadused, murrud, toimingud murdudega, proportsioonid. Ja mitte ainult õppida, vaid ka põhjalikult mõista.

Tunni sisu

Muutujad

Nimetatakse tähti, mis sisalduvad sõnasõnalistes väljendites muutujad. Näiteks väljendis a+b+4 muutujad on tähed a Ja b. Kui asendame nende muutujate asemel suvalised arvud, siis sõnasõnaline avaldis a+b+4 kontakti numbriline avaldis, mille väärtust saab leida.

Nimetatakse numbreid, mis on asendatud muutujatega muutujate väärtused. Näiteks muudame muutujate väärtusi a Ja b. Väärtuste muutmiseks kasutatakse võrdusmärki

a = 2, b = 3

Oleme muutnud muutujate väärtusi a Ja b. Muutuv a määratud väärtus 2 , muutuv b määratud väärtus 3 . Selle tulemusena sõnasõnaline väljend a+b+4 muutub regulaarseks arvavaldiseks 2+3+4 mille väärtust võib leida:

2 + 3 + 4 = 9

Muutujate korrutamisel kirjutatakse need kokku. Näiteks salvestada ab tähendab sama mis kanne a × b. Kui asendame muutujad a Ja b numbrid 2 Ja 3 , siis saame 6

2 × 3 = 6

Sulgudesse saab kirjutada ka arvu korrutamise avaldisega. Näiteks selle asemel a × (b + c) saab kirja panna a(b + c). Korrutamise jaotusseadust rakendades saame a(b + c)=ab+ac.

Koefitsiendid

Literaalsetes avaldistes võib sageli leida tähistusi, kus näiteks arv ja muutuja on kokku kirjutatud 3a. See on tegelikult stenogramm arvu 3 korrutamiseks muutujaga. a ja see sissekanne näeb välja selline 3×a .

Teisisõnu väljend 3a on arvu 3 ja muutuja korrutis a. Number 3 selles töös kutsuvad nad koefitsient. See koefitsient näitab, mitu korda muutujat suurendatakse a. Seda väljendit saab lugeda kui " a kolm korda" või "kolm korda A" või "suurendage muutuja väärtust a kolm korda", kuid enamasti loetakse seda kui "kolm a«

Näiteks kui muutuja a võrdne 5 , siis avaldise väärtus 3a on võrdne 15-ga.

3 × 5 = 15

Rääkimine lihtsas keeles, koefitsient on arv, mis on enne tähte (enne muutujat).

Seal võib olla näiteks mitu tähte 5abc. Siin on koefitsient arv 5 . See koefitsient näitab, et muutujate korrutis abc suureneb viis korda. Seda väljendit saab lugeda kui " abc viis korda" või "suurendage avaldise väärtust abc viis korda" või "viis abc«.

Kui muutujate asemel abc asendage numbrid 2, 3 ja 4, seejärel avaldise väärtus 5abc saab olema võrdne 120

5 × 2 × 3 × 4 = 120

Võite vaimselt ette kujutada, kuidas kõigepealt korrutati numbrid 2, 3 ja 4 ning saadud väärtus kasvas viiekordseks:

Koefitsiendi märk viitab ainult koefitsiendile ja ei kehti muutujate kohta.

Mõelge väljendile −6b. Miinus enne koefitsienti 6 , kehtib ainult koefitsiendi kohta 6 , ja ei kuulu muutuja hulka b. Selle fakti mõistmine võimaldab teil tulevikus märkidega mitte vigu teha.

Leiame avaldise väärtuse −6b juures b = 3.

−6b −6 × b. Selguse huvides kirjutame väljendi −6b laiendatud kujul ja asendada muutuja väärtus b

−6b = −6 × b = −6 × 3 = −18

Näide 2. Leidke avaldise väärtus −6b juures b = −5

Kirjutame väljendi üles −6b laiendatud kujul

−6b = −6 × b = −6 × (−5) = 30

Näide 3. Leidke avaldise väärtus −5a+b juures a = 3 Ja b = 2

−5a+b See lühivorm kanded alates −5 × a + b, nii et selguse huvides kirjutame avaldise −5×a+b laiendatud kujul ja asendada muutujate väärtused a Ja b

−5a + b = −5 × a + b = −5 × 3 + 2 = −15 + 2 = −13

Mõnikord kirjutatakse tähed näiteks ilma koefitsiendita a või ab. Sel juhul on koefitsient ühtsus:

kuid traditsiooniliselt ühikut üles ei kirjutata, nii et nad lihtsalt kirjutavad a või ab

Kui tähe ees on miinus, siis on koefitsient arv −1 . Näiteks väljend −a tegelikult näeb välja −1a. See on miinus ühe ja muutuja korrutis a. See osutus järgmiselt:

−1 × a = −1a

Siin on väike saak. Väljenduses −a miinusmärk muutuja ees a tegelikult viitab "nähtamatule ühikule", mitte muutujale a. Seetõttu peaksite probleemide lahendamisel olema ettevaatlik.

Näiteks kui on antud väljend −a ja meil palutakse leida selle väärtus a = 2, siis koolis asendasime muutuja asemel kahega a ja sai vastuse −2 , keskendumata liiga palju sellele, kuidas see välja kukkus. Tegelikult miinus üks korrutati positiivne arv 2

−a = −1 × a

−1 × a = −1 × 2 = −2

Kui on antud väljend −a ja sa pead leidma selle väärtuse a = −2, siis asendame −2 muutuja asemel a

−a = −1 × a

−1 × a = −1 × (−2) = 2

Vigade vältimiseks võib esmalt nähtamatud ühikud selgesõnaliselt üles kirjutada.

Näide 4. Leidke avaldise väärtus abc juures a = 2 , b = 3 Ja c=4

Väljendus abc 1 × a × b × c. Selguse huvides kirjutame väljendi abc a, b Ja c

1 × a × b × c = 1 × 2 × 3 × 4 = 24

Näide 5. Leidke avaldise väärtus abc juures a=−2 , b=−3 Ja c=−4

Kirjutame väljendi üles abc laiendatud kujul ja asendada muutujate väärtused a, b Ja c

1 × a × b × c = 1 × (−2) × (−3) × (−4) = −24

Näide 6. Leidke avaldise väärtus − abc juures a = 3, b = 5 ja c = 7

Väljendus − abc see on lühivorm −1 × a × b × c. Selguse huvides kirjutame väljendi − abc laiendatud kujul ja asendada muutujate väärtused a, b Ja c

−abc = −1 × a × b × c = −1 × 3 × 5 × 7 = −105

Näide 7. Leidke avaldise väärtus − abc juures a=−2 , b=−4 ja c=−3

Kirjutame väljendi üles − abc laiendatud kujul:

−abc = −1 × a × b × c

Asendame muutujate väärtused a , b Ja c

−abc = −1 × a × b × c = −1 × (−2) × (−4) × (−3) = 24

Kuidas koefitsienti määrata

Mõnikord peate lahendama ülesande, mille puhul peate määrama avaldise koefitsiendi. Põhimõtteliselt see ülesanne väga lihtne. Piisab, kui oskad numbreid õigesti korrutada.

Avaldises oleva koefitsiendi määramiseks peate eraldi korrutama selles avaldises sisalduvad numbrid ja eraldi korrutama tähed. Saadud arvuline tegur on koefitsient.

Näide 1. 7m×5a×(−3)×n

Väljend koosneb mitmest tegurist. Seda on selgelt näha, kui kirjutate väljendi laiendatud kujul. Ehk siis teosed 7 m Ja 5a kirjutage see vormi 7×m Ja 5×a

7 × m × 5 × a × (−3) × n

Rakendame korrutamise assotsiatiivset seadust, mis võimaldab korrutada tegureid mis tahes järjekorras. Nimelt korrutame eraldi numbrid ja eraldi tähed (muutujad):

−3 × 7 × 5 × m × a × n = –105 meest

Koefitsient on −105 . Pärast lõpetamist on soovitatav korraldada täheosa tähestikulises järjekorras:

−105 hommikul

Näide 2. Määrake koefitsient avaldises: −a×(−3)×2

−a × (−3) × 2 = −3 × 2 × (−a) = −6 × (−a) = 6a

Koefitsient on 6.

Näide 3. Määrake koefitsient avaldises:

Korrutame numbrid ja tähed eraldi:

Koefitsient on −1. Pange tähele, et ühikut ei kirjutata üles, kuna koefitsienti 1 on tavaks mitte kirjutada.

Need pealtnäha kõige lihtsamad ülesanded võivad meiega väga julma nalja mängida. Sageli selgub, et koefitsiendi märk on valesti seatud: miinus on kas puudu või, vastupidi, see määrati asjata. Nende vältimiseks tüütuid vigu, tuleb õppida heal tasemel.

Lisab sõnasõnalistes väljendites

Mitme arvu liitmisel saadakse nende arvude summa. Numbreid, mis liidavad, nimetatakse liitmikeks. Termineid võib olla mitu, näiteks:

1 + 2 + 3 + 4 + 5

Kui avaldis koosneb terminitest, on seda palju lihtsam hinnata, sest liitmine on lihtsam kui lahutamine. Kuid väljend võib sisaldada mitte ainult liitmist, vaid ka lahutamist, näiteks:

1 + 2 − 3 + 4 − 5

Selles avaldises on arvud 3 ja 5 alajaotused, mitte liitmised. Kuid miski ei takista meil lahutamist liitmisega asendamast. Siis saame jälle avaldise, mis koosneb terminitest:

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5)

Pole tähtis, et numbritel −3 ja −5 on nüüd miinusmärk. Peaasi, et kõik selle avaldise arvud on ühendatud liitmismärgiga, see tähendab, et avaldis on summa.

Mõlemad väljendid 1 + 2 − 3 + 4 − 5 Ja 1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) võrdne sama väärtusega - miinus üks

1 + 2 − 3 + 4 − 5 = −1

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) = −1

Seega ei kannata väljendi tähendus, kui asendame kuskil lahutamise liitmisega.

Samuti saate sõnasõnalistes avaldistes asendada lahutamise liitmisega. Näiteks kaaluge järgmist väljendit:

7a + 6b − 3c + 2d − 4s

7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s)

Muutujate mis tahes väärtuste jaoks a, b, c, d Ja s väljendid 7a + 6b − 3c + 2d − 4s Ja 7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s) on võrdne sama väärtusega.

Peate olema valmis selleks, et kooliõpetaja või instituudi õpetaja võib helistada paarisarvudele (või muutujatele), mis ei ole liited.

Näiteks kui erinevus on tahvlile kirjutatud a-b, siis õpetaja seda ei ütle a on muinasjutt ja b- lahutatav. Ta nimetab mõlemad muutujad üheks üldiselt — tingimustele. Ja seda kõike vormi väljenduse tõttu a-b matemaatik näeb, kuidas summa a+(-b). Sel juhul saab avaldisest summa ja muutujad a Ja (-b) muutuvad terminiteks.

Sarnased terminid

Sarnased terminid- need on terminid, millel on sama täheosa. Mõelge näiteks väljendile 7a + 6b + 2a. Komponendid 7a Ja 2a on sama täheosa - muutuja a. Seega tingimused 7a Ja 2a on sarnased.

Tavaliselt lisatakse sarnased terminid avaldise lihtsustamiseks või võrrandi lahendamiseks. Seda operatsiooni nimetatakse tuues sarnaseid tingimusi.

Sarnaste terminite toomiseks tuleb liita nende terminite koefitsiendid ja saadud tulemus korrutada ühise täheosaga.

Näiteks esitame avaldises sarnased terminid 3a + 4a + 5a. Sel juhul on kõik terminid sarnased. Liidame nende koefitsiendid kokku ja korrutame tulemuse ühise täheosaga – muutujaga a

3a + 4a + 5a = (3 + 4 + 5) × a = 12a

Tavaliselt mõeldakse sarnaseid termineid ja tulemus pannakse kohe kirja:

3a + 4a + 5a = 12a

Põhjuseks võib olla ka järgmine:

Muutujaid a oli 3, neile lisati veel 4 muutujat a ja 5 muutujat a. Selle tulemusena saime 12 muutujat a

Vaatame mitmeid näiteid sarnaste terminite toomisest. Võttes arvesse, et see teema on väga oluline, kirjutame alguses üksikasjalikult üles kõik pisiasjad. Kuigi siin on kõik väga lihtne, teeb enamik inimesi palju vigu. Peamiselt tähelepanematusest, mitte teadmatusest.

Näide 1. 3a + 2a + 6a + 8 a

Liidame selle avaldise koefitsiendid kokku ja korrutame saadud tulemuse ühise täheosaga:

3a + 2a + 6a + 8a = (3 + 2 + 6 + 8) × a = 19a

disain (3 + 2 + 6 + 8) × a Te ei pea seda üles kirjutama, seega paneme vastuse kohe kirja

3a + 2a + 6a + 8a = 19a

Näide 2. Esitage avaldises sarnased terminid 2a+a

Teine ametiaeg a kirjutatud ilma koefitsiendita, aga tegelikult on koefitsient ees 1 , mida me ei näe, kuna seda pole salvestatud. Nii et väljend näeb välja selline:

2a + 1a

Nüüd esitame sarnased terminid. See tähendab, et liidame koefitsiendid ja korrutame tulemuse ühise täheosaga:

2a + 1a = (2 + 1) × a = 3a

Paneme lahenduse lühidalt kirja:

2a + a = 3a

2a+a, võite mõelda teisiti:

Näide 3. Esitage avaldises sarnased terminid 2a-a

Asendame lahutamise liitmisega:

2a + (-a)

Teine ametiaeg (-a) kirjutatud ilma koefitsiendita, aga tegelikkuses näeb välja (−1a). Koefitsient −1 jällegi nähtamatu, kuna seda ei salvestata. Nii et väljend näeb välja selline:

2a + (−1a)

Nüüd esitame sarnased terminid. Liidame koefitsiendid ja korrutame tulemuse ühise täheosaga:

2a + (−1a) = (2 + (−1)) × a = 1a = a

Tavaliselt kirjutatakse lühemalt:

2a − a = a

Sarnaste terminite andmine avaldises 2a-a Võite mõelda teisiti:

Seal oli 2 muutujat a, lahutage üks muutuja a ja selle tulemusena jäi ainult üks muutuja a

Näide 4. Esitage avaldises sarnased terminid 6a - 3a + 4a - 8a

6a − 3a + 4a − 8a = 6a + (−3a) + 4a + (−8a)

Nüüd esitame sarnased terminid. Liidame koefitsiendid ja korrutame tulemuse kogu täheosaga

(6 + (−3) + 4 + (−8)) × a = −1a = −a

Paneme lahenduse lühidalt kirja:

6a − 3a + 4a − 8a = −a

On väljendeid, mis sisaldavad mitut erinevad rühmad sarnased terminid. Näiteks, 3a + 3b + 7a + 2b. Selliste avaldiste puhul kehtivad samad reeglid, mis teiste puhul, nimelt koefitsientide liitmine ja saadud tulemuse korrutamine ühise täheosaga. Kuid vigade vältimiseks on see mugav erinevad rühmad Terminid on esile tõstetud erinevate joontega.

Näiteks väljendis 3a + 3b + 7a + 2b need terminid, mis sisaldavad muutujat a, saab ühe reaga alla kriipsutada ja need terminid, mis sisaldavad muutujat b, saab rõhutada kahe reaga:

Nüüd saame esitada sarnaseid termineid. See tähendab, et lisage koefitsiendid ja korrutage saadud tulemus tähe koguosaga. Seda tuleb teha mõlema terminirühma puhul: muutujat sisaldavate terminite puhul a ja muutujat sisaldavate terminite puhul b.

3a + 3b + 7a + 2b = (3+7) ×a + (3 + 2) × b = 10a + 5b

Jällegi kordame, väljend on lihtne ja sarnaseid termineid võib silmas pidada:

3a + 3b + 7a + 2b = 10a + 5b

Näide 5. Esitage avaldises sarnased terminid 5a − 6a −7b + b

Võimalusel asendame lahutamise liitmisega:

5a − 6a −7b + b = 5a + (−6a) + (−7b) + b

Tõmbame sarnased terminid erinevate joontega alla. Muutujaid sisaldavad terminid a me kriipsutame ühe reaga alla ja terminid on muutujate sisud b, kriipsutage alla kahe reaga:

Nüüd saame esitada sarnaseid termineid. See tähendab, et lisage koefitsiendid ja korrutage saadud tulemus ühise täheosaga:

5a + (−6a) + (−7b) + b = (5 + (−6))×a + ((−7) + 1) × b = −a + (−6b)

Kui väljend sisaldab tavalised numbrid ilma täheteguriteta lisatakse need eraldi.

Näide 6. Esitage avaldises sarnased terminid 4a + 3a – 5 + 2b + 7

Võimalusel asendame lahutamise liitmisega:

4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 4a + 3a + (−5) + 2b + 7

Tutvustame sarnaseid termineid. Numbrid −5 Ja 7 ei sisalda tähttegureid, kuid need on sarnased terminid - need tuleb lihtsalt lisada. Ja termin 2b jääb muutumatuks, kuna see on ainus selles avaldises, millel on tähetegur b, ja sellele pole midagi lisada:

4a + 3a + (−5) + 2b + 7 = (4 + 3) × a + 2b + (−5) + 7 = 7a + 2b + 2

Paneme lahenduse lühidalt kirja:

4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 7a + 2b + 2

Termineid saab järjestada nii, et need terminid, millel on sama täheosa, paikneksid avaldise samas osas.

Näide 7. Esitage avaldises sarnased terminid 5t+2x+3x+5t+x

Kuna avaldis on mitme termini summa, võimaldab see hinnata seda mis tahes järjekorras. Seetõttu muutujat sisaldavad terminid t, saab kirjutada avaldise algusesse ja muutujat sisaldavad terminid x väljendi lõpus:

5t + 5t + 2x + 3x + x

Nüüd saame esitada sarnased terminid:

5t + 5t + 2x + 3x + x = (5+5)×t + (2+3+1)×x = 10t + 6x

Paneme lahenduse lühidalt kirja:

5t + 2x + 3x + 5t + x = 10t + 6x

Summa vastupidised numbrid võrdne nulliga. See reegel töötab ka sõnasõnaliste väljendite puhul. Kui avaldis sisaldab identseid termineid, kuid koos vastupidised märgid, siis saate neist vabaneda sarnaste terminite vähendamise etapis. Teisisõnu, eemaldage need lihtsalt avaldisest, kuna nende summa on null.

Näide 8. Esitage avaldises sarnased terminid 3t − 4t − 3t + 2t

Võimalusel asendame lahutamise liitmisega:

3t − 4t − 3t + 2t = 3t + (−4t) + (−3t) + 2t

Komponendid 3t Ja (−3t) on vastandlikud. Vastandliikmete summa on null. Kui eemaldame avaldisest selle nulli, siis avaldise väärtus ei muutu, seega eemaldame selle. Ja me eemaldame selle, tõmmates lihtsalt tingimused läbi 3t Ja (−3t)

Selle tulemusena jääb meile väljend (−4t) + 2t. Sellesse väljendisse saate lisada sarnaseid termineid ja saada lõpliku vastuse:

(−4t) + 2t = ((−4) + 2) × t = −2t

Paneme lahenduse lühidalt kirja:

Väljendite lihtsustamine

"lihtsustada väljendit" ja allpool on väljend, mida tuleb lihtsustada. Väljendi lihtsustamine tähendab selle lihtsamaks ja lühemaks muutmist.

Tegelikult oleme juba avaldisi lihtsustanud, kui oleme murde vähendanud. Pärast redutseerimist muutus murd lühemaks ja hõlpsamini mõistetavaks.

Mõelge järgmisele näitele. Lihtsustage väljendit.

Seda ülesannet võib sõna otseses mõttes mõista järgmiselt: "Rakendage sellele väljendile kõik kehtivad toimingud, kuid muutke see lihtsamaks." .

Sel juhul saate murdosa vähendada, nimelt jagada murdosa lugeja ja nimetaja 2-ga:

Mida sa veel teha saad? Saate arvutada saadud murdosa. Siis saame kümnendmurruks 0,5

Selle tulemusena lihtsustati murdosa 0,5-ni.

Esimene küsimus, mida pead endalt otsustades küsima sarnased ülesanded, see peaks olema "Mida saaks teha?" . Sest on toiminguid, mida saate teha, ja on toiminguid, mida te ei saa teha.

Teine oluline punkt Pidage meeles, et avaldise väärtus ei tohiks pärast avaldise lihtsustamist muutuda. Tuleme tagasi väljendi juurde. See avaldis tähistab jaotust, mida saab teostada. Pärast seda jagamist saame selle avaldise väärtuse, mis on 0,5

Kuid me lihtsustasime väljendit ja saime uue lihtsustatud avaldise. Uue lihtsustatud avaldise väärtus on endiselt 0,5

Kuid proovisime avaldist ka arvutamise teel lihtsustada. Selle tulemusena saime lõplikuks vastuseks 0,5.

Seega, olenemata sellest, kuidas me avaldist lihtsustame, on saadud avaldiste väärtus ikkagi 0,5. See tähendab, et lihtsustamine viidi läbi igas etapis õigesti. Just selle poole peaksimegi püüdlema väljendite lihtsustamisel – väljendi tähendus ei tohiks meie tegude tõttu kannatada.

Sageli on vaja sõnasõnalisi väljendeid lihtsustada. Nende puhul kehtivad samad lihtsustusreeglid, mis arvuliste avaldiste puhul. Saate teha mis tahes kehtivaid toiminguid, kui avaldise väärtus ei muutu.

Vaatame mõnda näidet.

Näide 1. Väljendi lihtsustamine 5,21 s × t × 2,5

Et lihtsustada see väljend, saate numbreid eraldi korrutada ja tähti eraldi korrutada. See ülesanne on väga sarnane sellele, mida vaatasime koefitsiendi määramise õppimisel:

5,21 s × t × 2,5 = 5,21 × 2,5 × s × t = 13,025 × st = 13,025 st

Nii et väljend 5,21 s × t × 2,5 lihtsustatult 13 025 st.

Näide 2. Väljendi lihtsustamine –0,4 × (–6,3b) × 2

Teine tükk (−6,3b) saab tõlkida meile arusaadavale vormile, nimelt kirjutada kujul ( −6,3) × b , seejärel korrutage numbrid eraldi ja tähed eraldi:

− 0,4 × (−6,3b) × 2 = − 0,4 × (−6,3) × b × 2 = 5,04b

Nii et väljend –0,4 × (–6,3b) × 2 lihtsustatult 5.04b

Näide 3. Väljendi lihtsustamine

Kirjutame selle väljendi üksikasjalikumalt, et näha selgelt, kus on numbrid ja kus tähed:

Nüüd korrutame numbrid eraldi ja tähed eraldi:

Nii et väljend lihtsustatult −abc. Selle lahenduse võib lühidalt kirjutada:

Avaldiste lihtsustamisel saab murde vähendada lahendusprotsessi ajal, mitte päris lõpus, nagu tegime tavalised murrud. Näiteks kui lahendamise käigus puutume kokku avaldisega kujul , siis pole lugejat ja nimetajat üldse vaja arvutada ja teha midagi sellist:

Murdu saab vähendada, valides lugejas ja nimetajas teguri ning vähendades neid tegureid nende suurima võrra ühine jagaja. Teisisõnu, kasutus, milles me ei kirjelda üksikasjalikult, milleks lugeja ja nimetaja jagunesid.

Näiteks lugejas on tegur 12 ja nimetajas saab tegurit 4 vähendada 4 võrra. Neli hoiame meeles ja jagades 12 ja 4 selle neljaga, kirjutame vastused nende numbrite kõrvale, olles need esmalt läbi kriipsutanud

Nüüd saate saadud väikesed tegurid korrutada. Sel juhul on neid vähe ja saate neid oma mõtetes korrutada:

Aja jooksul võite avastada, et konkreetse probleemi lahendamisel hakkavad väljendid "paksuma", mistõttu on soovitatav sellega harjuda kiired arvutused. See, mida saab mõistusega arvutada, tuleb mõistuses arvutada. Seda, mida saab kiiresti vähendada, tuleb kiiresti vähendada.

Näide 4. Väljendi lihtsustamine

Nii et väljend lihtsustatult

Näide 5. Väljendi lihtsustamine

Korrutame numbrid eraldi ja tähed eraldi:

Nii et väljend lihtsustatult mn.

Näide 6. Väljendi lihtsustamine

Kirjutame selle väljendi üksikasjalikumalt, et näha selgelt, kus on numbrid ja kus tähed:

Nüüd korrutame numbrid eraldi ja tähed eraldi. Arvutamise hõlbustamiseks on kümnendmurd −6,4 ja seganumber saab teisendada tavalisteks murdudeks:

Nii et väljend lihtsustatult

Selle näite lahenduse saab kirjutada palju lühemalt. See näeb välja selline:

Näide 7. Väljendi lihtsustamine

Korrutame numbrid eraldi ja tähed eraldi. Arvutamise hõlbustamiseks segaarv ja kümnendkohad 0,1 ja 0,6 saab teisendada tavalisteks murdudeks:

Nii et väljend lihtsustatult abcd. Kui jätate üksikasjad vahele, siis see otsus võib kirjutada palju lühemalt:

Pange tähele, kuidas murdosa on vähendatud. Samuti on lubatud vähendada uusi tegureid, mis saadakse varasemate tegurite vähendamise tulemusena.

Nüüd räägime sellest, mida mitte teha. Avaldiste lihtsustamisel on rangelt keelatud korrutada numbreid ja tähti, kui avaldis on summa, mitte korrutis.

Näiteks kui soovite väljendit lihtsustada 5a+4b, siis ei saa te seda niimoodi kirjutada:

See on sama, kui meil palutaks liita kaks arvu ja me korrutaksime need liitmise asemel.

Mis tahes muutuja väärtuste asendamisel a Ja b väljendus 5a + 4b muutub tavaliseks arvväljendiks. Oletame, et muutujad a Ja b on järgmised tähendused:

a = 2, b = 3

Siis on avaldise väärtus 22

5a + 4b = 5 × 2 + 4 × 3 = 10 + 12 = 22

Kõigepealt tehakse korrutamine ja seejärel liidetakse tulemused. Ja kui prooviksime seda avaldist numbrite ja tähtede korrutamisega lihtsustada, saaksime järgmise:

5a + 4b = 5 × 4 × a × b = 20ab

20ab = 20 × 2 × 3 = 120

Selgub väljendi täiesti erinev tähendus. Esimesel juhul see töötas 22 , teisel juhul 120 . See tähendab väljendi lihtsustamist 5a+4b sooritati valesti.

Pärast avaldise lihtsustamist ei tohiks selle väärtus muutujate samade väärtustega muutuda. Kui mis tahes muutuja väärtuste asendamisel algsesse avaldisesse saadakse üks väärtus, siis pärast avaldise lihtsustamist tuleks saada sama väärtus, mis enne lihtsustamist.

Väljendiga 5a+4b tegelikult pole midagi teha. See ei lihtsusta seda.

Kui avaldis sisaldab sarnaseid termineid, saab neid lisada, kui meie eesmärk on avaldist lihtsustada.

Näide 8. Väljendi lihtsustamine 0,3a−0,4a+a

0,3a − 0,4a + a = 0,3a + (−0,4a) + a = (0,3 + (−0,4) + 1) × a = 0,9a

või lühem: 0,3a − 0,4a + a = 0,9a

Nii et väljend 0,3a−0,4a+a lihtsustatult 0,9a

Näide 9. Väljendi lihtsustamine −7,5a − 2,5b + 4a

Selle väljendi lihtsustamiseks võime lisada sarnased terminid:

−7,5a − 2,5b + 4a = −7,5a + (−2,5b) + 4a = ((−7,5) + 4)×a + (−2,5b) = −3,5a + (−2,5b)

või lühem −7,5a − 2,5b + 4a = −3,5a + (−2,5b)

Tähtaeg (−2,5b) jäi muutmata, sest polnud millegagi panna.

Näide 10. Väljendi lihtsustamine

Selle väljendi lihtsustamiseks võime lisada sarnased terminid:

Koefitsient oli arvutamise hõlbustamiseks.

Nii et väljend lihtsustatult

Näide 11. Väljendi lihtsustamine

Selle väljendi lihtsustamiseks võime lisada sarnased terminid:

Nii et väljend lihtsustatud kuni .

IN selles näitesÕigem oleks kõigepealt lisada esimene ja viimane koefitsient. Sel juhul oleks meil lühike lahendus. See näeks välja selline:

Näide 12. Väljendi lihtsustamine

Selle väljendi lihtsustamiseks võime lisada sarnased terminid:

Nii et väljend lihtsustatult .

Termin jäi muutmata, kuna sellele polnud midagi lisada.

Selle lahenduse saab kirjutada palju lühemalt. See näeb välja selline:

Lühilahenduses jäeti vahele sammud, mille kohaselt asendati lahutamine liitmisega ja kirjeldati üksikasjalikult, kuidas murded taandati ühiseks nimetajaks.

Teine erinevus on see, et sisse üksikasjalik lahendus vastus näeb välja selline , kuid lühidalt kui . Tegelikult on need samad väljendid. Erinevus seisneb selles, et esimesel juhul asendatakse lahutamine liitmisega, kuna alguses, kui me lahenduse sisse kirjutasime üksikasjalikult, asendasime võimaluse korral lahutamise liitmisega ja see asendus jäi vastuse jaoks alles.

Identiteedid. Identselt võrdsed väljendid

Kui oleme mis tahes väljendit lihtsustanud, muutub see lihtsamaks ja lühemaks. Lihtsustatud avaldise õigsuse kontrollimiseks piisab, kui asendada kõik muutuja väärtused esmalt eelmisega, mida oli vaja lihtsustada, ja seejärel uuega, mida oli vaja lihtsustada. Kui mõlema avaldise väärtus on sama, on lihtsustatud avaldis tõene.

Mõelgem lihtsaim näide. Olgu vaja väljendit lihtsustada 2a × 7b. Selle avaldise lihtsustamiseks saate numbreid ja tähti eraldi korrutada:

2a × 7b = 2 × 7 × a × b = 14ab

Kontrollime, kas oleme avaldist õigesti lihtsustanud. Selleks asendame muutujate mis tahes väärtused a Ja b esmalt esimesse avaldisesse, mida oli vaja lihtsustada, ja seejärel teise, mida lihtsustati.

Olgu muutujate väärtused a , b saab olema järgmine:

a = 4, b = 5

Asendame need esimese väljendiga 2a × 7b

Nüüd asendame samad muutuja väärtused avaldises, mis tulenes lihtsustamisest 2a × 7b, nimelt väljendis 14ab

14ab = 14 × 4 × 5 = 280

Näeme seda millal a = 4 Ja b = 5 esimese avaldise väärtus 2a × 7b ja teise väljendi tähendus 14ab võrdne

2a × 7b = 2 × 4 × 7 × 5 = 280

14ab = 14 × 4 × 5 = 280

Sama juhtub kõigi teiste väärtustega. Näiteks lase a = 1 Ja b = 2

2a × 7b = 2 × 1 × 7 × 2 =28

14ab = 14 × 1 × 2 = 28

Seega igasuguste väärtuste puhul väljenduse muutujad 2a × 7b Ja 14ab on võrdsed sama väärtusega. Selliseid väljendeid nimetatakse identselt võrdsed.

Me järeldame, et väljendite vahel 2a × 7b Ja 14ab võite panna võrdusmärgi, kuna need on võrdsed sama väärtusega.

2a × 7b = 14ab

Võrdsus on mis tahes avaldis, mis on ühendatud võrdusmärgiga (=).

Ja vormi võrdsus 2a × 7b = 14ab helistas identiteet.

Identiteet on võrdsus, mis kehtib muutujate mis tahes väärtuste kohta.

Muud identiteetide näited:

a + b = b + a

a(b+c) = ab + ac

a(bc) = (ab)c

Jah, meie uuritud matemaatikaseadused on identiteedid.

Ustav arvulised võrdsused on ka identiteedid. Näiteks:

2 + 2 = 4

3 + 3 = 5 + 1

10 = 7 + 2 + 1

Otsustades raske ülesanne Arvutamise hõlbustamiseks asendatakse keeruline avaldis lihtsama avaldisega, mis on identselt võrdne eelmisega. Seda asendust nimetatakse väljendi identne teisendus või lihtsalt väljenduse muutmine.

Näiteks lihtsustasime väljendit 2a × 7b, ja sai lihtsama väljendi 14ab. Seda lihtsustust võib nimetada identiteedi teisendamiseks.

Sageli võite leida ülesande, mis ütleb "tõesta, et võrdsus on identiteet" ja siis antakse tõestamist vajav võrdsus. Tavaliselt koosneb see võrdsus kahest osast: võrdsuse vasak- ja parempoolsest osast. Meie ülesanne on teostada identiteedi teisendusi ühe võrdsuse osaga ja saada teine ​​osa. Või tehke võrdsuse mõlemal poolel identsed teisendused ja veenduge, et võrdsuse mõlemad pooled sisaldavad samu avaldisi.

Näiteks tõestame, et võrdsus 0,5a × 5b = 2,5ab on identiteet.

Lihtsustame selle võrdsuse vasakut poolt. Selleks korrutage numbrid ja tähed eraldi:

0,5 × 5 × a × b = 2,5ab

2,5ab = 2,5ab

Väikese identiteedimuutuse tulemusena vasak pool võrdsus võrdus võrdsuse parema poolega. Seega oleme tõestanud, et võrdsus 0,5a × 5b = 2,5ab on identiteet.

Identsetest teisendustest õppisime liitma, lahutama, korrutama ja jagama arve, vähendama murde, liitma sarnaseid termineid ja ka mõningaid avaldisi lihtsustama.

Kuid need ei ole kõik identsed teisendused, mis matemaatikas eksisteerivad. Identiteedi transformatsioonid palju rohkem. Tulevikus näeme seda rohkem kui üks kord.

Iseseisva lahenduse ülesanded:

Kas teile tund meeldis?
Liituge meiega uus grupp VKontakte ja hakkate uute õppetundide kohta teatisi saama

5. jagu Avaldised JA VÕRDED

Selles jaotises saate teada:

ü o väljendid ja nende lihtsused;

ü millised on võrduste omadused;

ü kuidas lahendada võrrandeid võrduste omaduste põhjal;

ü mis tüüpi ülesandeid võrrandite abil lahendatakse; mis on ristijooned ja kuidas neid ehitada;

ü milliseid sirgeid nimetatakse paralleelseteks ja kuidas neid ehitada;

ü mis on koordinaattasand?

ü kuidas määrata tasapinna punkti koordinaate;

ü mis on suuruste vaheliste seoste graafik ja kuidas seda konstrueerida;

ü kuidas õpitud materjali praktikas rakendada

§ 30. AVALDUSED JA NENDE LIHTSUSTAMINE

Teate juba, mis on tähtväljendid, ja teate, kuidas neid liitmise ja korrutamise seaduste abil lihtsustada. Näiteks 2a ∙ (-4 b) = -8 ab . Saadud avaldises nimetatakse arvu -8 avaldise koefitsiendiks.

Kas väljend CD koefitsient? Niisiis. See on võrdne 1-ga, sest cd - 1 ∙ cd .

Tuletame meelde, et sulgudega avaldise teisendamist sulgudeta avaldisteks nimetatakse sulgude laiendamiseks. Näiteks: 5(2x + 4) = 10x+ 20.

Selle näite vastupidine toiming on ühise teguri eemaldamine sulgudest.

Termineid, mis sisaldavad samu tähetegureid, nimetatakse sarnasteks terminiteks. Võttes ühise teguri sulgudest välja, tõstetakse sarnased terminid:

5x + y + 4 - 2x + 6 a - 9 =

= (5x - 2x) + (y + 6 a )+ (4 - 9) = = (5-2)* + (1 + 6)* y -5 =

B x+ 7a - 5.

Sulgude avamise reeglid

1. Kui sulgude ees on “+” märk, siis sulgude avamisel säilivad sulgudes olevate terminite märgid;

2. Kui sulgude ees on märk “-”, siis sulgude avamisel muutuvad sulgudes olevate terminite märgid vastupidiseks.

Ülesanne 1. Lihtsusta väljendit:

1) 4x+(-7x + 5);

2) 15 aastat -(-8 + 7 aastat).

Lahendused. 1. Sulgude ees on märk “+”, nii et sulgude avamisel säilivad kõigi terminite märgid:

4x +(-7x + 5) = 4x - 7x + 5 = -3x + 5.

2. Sulgude ees on märk “-”, seega sulgude avamisel on kõigi terminite märgid vastupidised:

15 - (- 8 + 7 a) = 15 a + 8 - 7 a = 8 a +8.

Sulgude avamiseks kasutage jaotusvara korrutamine: a( b + c ) = ab + ac. Kui a > 0, siis terminite märgid b ja koos ei muuda. Kui a< 0, то знаки слагаемых b ja muuta vastupidiseks.

Ülesanne 2. Lihtsusta väljendit:

1) 2 (6 a -8) + 7 a;

2)-5 (2-5x) + 12.

Lahendused. 1. Tegur 2 sulgude ees on positiivne, seetõttu säilitame sulgude avamisel kõikide terminite märgid: 2(6 y - 8) + 7 a = 12 a - 16 + 7 a = 19 a -16.

2. Sulgude ees olev tegur -5 on negatiivne, seega muudame sulgude avamisel kõigi terminite märgid vastupidiseks:

5 (2 - 5x) + 12 = -10 + 25x +12 = 2 + 25x.

Leia rohkem

1. Sõna “summa” pärineb ladina keelest summa , mis tähendab "kokku", "kogusummat".

2. Sõna "pluss" pärineb ladina keelest pluss mis tähendab "rohkem" ja sõna "miinus" on ladina keelest miinus Mida tähendab "vähem"? Märke “+” ja “-” kasutatakse liitmise ja lahutamise toimingute tähistamiseks. Neid märke tutvustas Tšehhi teadlane J. Widman 1489. aastal raamatus “Kiire ja meeldiv konto kõigile kaupmeestele”(joonis 138).

Riis. 138

PIDage meeles TÄHTIST

1. Milliseid termineid nimetatakse sarnasteks? Kuidas sarnaseid termineid konstrueeritakse?

2. Kuidas avate sulgud, millele eelneb "+" märk?

3. Kuidas avate sulud, millele eelneb märk "-"?

4. Kuidas avate sulgud, millele eelneb positiivne tegur?

5. Kuidas avate sulud, mille ees on negatiivne tegur?

1374". Nimetage avaldise koefitsient:

1) 12 a; 3) -5,6 xy;

2) 4 6; 4)-s.

1375". Nimetage terminid, mis erinevad ainult koefitsiendi poolest:

1) 10a + 76-26 + a; 3) 5 n + 5 m -4 n + 4;

2) bc -4 d - bc + 4 d ; 4) 5x + 4y-x + y.

Kuidas neid termineid nimetatakse?

1376". Kas seal on sarnased terminid väljendis:

1)11a+10a; 3) 6 n + 15 n ; 5) 25r - 10r + 15r;

2) 14s-12; 4) 12 m + m ; 6)8 k +10 k - n ?

1377". Kas sulgudes olevate terminite märke on vaja muuta, avades sulud avaldises:

1) 4 + (a+ 3 b); 2)-c +(5-d); 3) 16-(5 m -8 n)?

1378°. Lihtsustage väljendit ja tõmmake koefitsient alla:

1379°. Lihtsustage väljendit ja tõmmake koefitsient alla:

1380°. Kombineeri sarnased terminid:

1) 4a - Po + 6a - 2a; 4) 10–4 d - 12 + 4 d;

2) 4 b - 5 b + 4 + 5 b ; 5) 5a - 12 b - 7a + 5 b;

3)-7 ang="ET-US">c+ 5-3 c + 2; 6) 14 n - 12 m -4 n -3 m.

1381°. Kombineeri sarnased terminid:

1) 6a - 5a + 8a -7a; 3) 5s + 4-2s-3;

2)9 b +12-8-46; 4) -7 n + 8 m - 13 n - 3 m.

1382°. Võtke sulgudest välja ühine tegur:

1)1,2 a +1,2 b; 3) -3 n - 1,8 m; 5)-5 p + 2,5 k -0,5 t ;

2) 0,5 s + 5 d; 4) 1,2 n - 1,8 m; 6) -8r - 10k - 6t.

1383°. Võtke sulgudest välja ühine tegur:

1) 6a-12b; 3) -1,8 n -3,6 m;

2) -0,2 s + 1 4 d; A) 3p - 0,9 k + 2,7 t.

1384°. Avage sulud ja ühendage sarnased terminid;

1) 5 + (4a -4); 4) -(5 c - d) + (4 d + 5c);

2) 17x-(4x-5); 5) (n - m) - (-2 m - 3 n);

3) (76 - 4) - (46 + 2); 6) 7 (-5x + y) - (-2a + 4x) + (x - 3a).

1385°. Avage sulud ja ühendage sarnased terminid:

1) 10a + (4-4a); 3) (s–5 d) - (-d + 5c);

2) -(46-10) + (4-56); 4)-(5 n + m) + (-4 n + 8 m)-(2 m -5 n).

1386°. Avage sulud ja leidke väljendi tähendus:

1)15+(-12+ 4,5); 3) (14,2-5)-(12,2-5);

2) 23-(5,3-4,7); 4) (-2,8 + 13)-(-5,6 + 2,8) + (2,8-13).

1387°. Avage sulud ja leidke väljendi tähendus:

1) (14- 15,8)- (5,8 + 4);

2)-(18+22,2)+ (-12+ 22,2)-(5- 12).

1388°. Avatud sulgud:

1)0,5 ∙ (a + 4); 4) (n - m) ∙ (-2,4 p);

2)-s ∙ (2,7-1,2 p ); 5)3 ∙ (-1,5 r + k - 0,2 t);

3) 1,6 ∙ (2 n + m); 6) (4,2 p - 3,5 k -6 t) ∙ (-2a).

1389°. Avatud sulgud:

1) 2,2 ∙ (x-4); 3)(4 c - d )∙(-0,5 a);

2) -2 ∙ (1,2 n - m); 4)6- (-р + 0,3 k - 1,2 t).

1390. Lihtsusta väljendit:

1391. Lihtsusta väljendit:

1392. Kombineeri sarnased terminid:

1393. Kombineeri sarnased terminid:

1394. Lihtsusta väljendit:

1) 2,8 - (0,5 a + 4) - 2,5 ∙ (2a - 6);

2) -12 ∙ (8 - 2, by ) + 4,5 ∙ (-6 a - 3,2);

4) (-12,8 m + 24,8 n) ∙ (-0,5)-(3,5 m -4,05 m) ∙ 2.

1395. Lihtsusta väljendit:

1396. Leia väljendi tähendus;

1) 4-(0,2 a-3)-(5,8 a-16), kui a = -5;

2) 2-(7-56)+ 156-3∙(26+ 5), kui = -0,8;

m = 0,25, n = 5,7.

1397. Leia väljendi tähendus:

1) -4∙ (i-2) + 2∙(6x - 1), kui x = -0,25;

1398*. Leidke lahendusest viga:

1)5- (a-2,4)-7 ∙ (-a+ 1,2) = 5a - 12-7a + 8,4 = -2a-3,6;

2) -4 ∙ (2,3 a - 6) + 4,2 ∙ (-6 - 3,5 a) = -9,2 a + 46 + 4,26 - 14,7 a = -5,5 a + 8,26.

1399*. Avage sulud ja lihtsustage väljendit:

1) 2ab - 3 (6 (4a - 1) - 6 (6 - 10a)) + 76;

1400*. Korraldage sulud õige võrdsuse saamiseks:

1)a-6-a + 6 = 2a; 2) a -2 b -2 a + b = 3 a -3 b .

1401*. Tõesta, et mis tahes arvu a ja korral b kui a > b , siis kehtib võrdsus:

1) (a + b) + (a-b) = 2a; 2) (a + b) - (a - b) = 2 b.

Kas see võrdsus on õige, kui: a) a< b ; b) a = 6?

1402*. Tõesta seda ükskõik millise jaoks naturaalarv ning eelneva ja järgneva arvu aritmeetiline keskmine on võrdne arvuga a.

KASUTAGE SEDA PRAKTIKAS

1403. Puuviljamagustoidu valmistamiseks kolmele inimesele läheb vaja: 2 õuna, 1 apelsin, 2 banaani ja 1 kiivi. Kuidas luua tähtväljendust, et määrata külalistele magustoidu valmistamiseks vajalike puuviljade kogus? Aita Marinil välja arvutada, kui palju puuvilju tal on vaja osta, kui: 1) talle tulevad külla 5 sõpra; 2) 8 sõpra.

1404. Tehke tähtavaldis, et määrata matemaatika kodutöö tegemiseks kuluv aeg, kui:

1) ülesannete lahendamisele kulus minut; 2) avaldiste lihtsustamine on 2 korda suurem kui ülesannete lahendamisel. Kui kaua kulus valmimiseks kodutöö Vasilko, kui ta kulutaks probleemide lahendamisele 15 minutit?

1405. Lõunasöök koolisööklas koosneb salatist, boršist, kapsarullidest ja kompotist. Salati maksumus on 20%, borš - 30%, kapsarullid - 45%, kompott - 5% kogu lõunasöögi kogumaksumusest. Kirjutage väljend koolisööklas lõunasöögi maksumuse leidmiseks. Kui palju maksab lõunasöök, kui salati hind on 2 UAH?

VAATA PROBLEEMID ÜLE

1406. Lahenda võrrand:

1407. Tanya kulutas jäätiselekogu saadaolev raha ja kommide eest -ülejäänud. Kui palju Tanyal raha alles on?

kui kommid maksavad 12 UAH?

Märkus 1

Boole'i ​​funktsiooni saab kirjutada Boole'i ​​avaldise abil ja seejärel teisaldada loogikaahelasse. Loogikavaldiseid on vaja lihtsustada, et saada võimalikult lihtne (ja seega odavam) loogikalülitus. Sisuliselt loogiline funktsioon, loogiline avaldis ja loogikalülitus- see on kolm erinevaid keeli, mis räägib ühest olemist.

Et lihtsustada loogilisi väljendeid kasutada algebra loogika seadused.

Mõned teisendused on sarnased klassikalise algebra valemite teisendustega (ühisteguri väljavõtmine sulgudest, kommutatiivse ja kombinatsiooniseadused jne) ja muud teisendused põhinevad omadustel, mida klassikalise algebra tehted ei oma (distributiivseaduse kasutamine konjunktsiooniks, neeldumisseadused, liimimisseadused, de Morgani reeglid jne).

Loogika algebra seadused on sõnastatud põhiliseks loogilisi tehteid- “EI” – inversioon (eitamine), “AND” – konjunktsioon (loogiline korrutamine) ja “OR” – disjunktsioon (loogiline liitmine).

Topelteituse seadus tähendab, et tehe “EI” on pöörduv: kui seda kaks korda rakendada, siis lõpuks loogiline väärtus ei muutu.

Välistatud keskmise seadus ütleb, et iga loogiline avaldis on kas tõene või väär (“kolmandat pole olemas”). Seega, kui $A=1$, siis $\bar(A)=0$ (ja vastupidi), mis tähendab, et nende suuruste konjunktsioon on alati võrdne nulliga ja disjunktsioon on alati võrdne ühega.

$((A + B) → C) \cdot (B → C \cdot D) \cdot C.$

Lihtsustame seda valemit:

Joonis 3.

Sellest järeldub, et $ A = 0 $, $ B = 1 $, $ C = 1 $, $ D = 1 $.

Vastus:Õpilased $B$, $C$ ja $D$ mängivad malet, kuid õpilane $A$ ei mängi.

Loogikavaldiste lihtsustamisel saate teha järgmise toimingute jada:

1. Asendage kõik "mittepõhilised" toimingud (ekvivalentsus, implikatsioon, välistav VÕI jne) nende avaldistega põhitoimingud inversioon, konjunktsioon ja disjunktsioon.
2. Laienda inversioone keerulised väljendid vastavalt De Morgani reeglitele nii, et eitustehted jäävad ainult üksikute muutujate jaoks.
3. Seejärel lihtsustage väljendit avavate sulgude abil, eemaldades ühised tegurid väljaspool sulgusid ja muid loogika algebra seadusi.

Näide 2

Siin kasutatakse järjestikku De Morgani reeglit, jaotusseadust, välistatud keskmise seadust, kommutatiivset seadust, kordusseadust, taas kommutatiivset seadust ja neeldumisseadust.