See artikkel on pühendatud ratsionaalsete väljendite teisendamine, enamasti murdosaliselt ratsionaalne, on 8. klassi algebrakursuse üks võtmeküsimusi. Esiteks tuletame meelde, millist tüüpi väljendeid nimetatakse ratsionaalseteks. Järgmisena keskendume ratsionaalsete avaldistega standardteisenduste läbiviimisele, nagu terminite rühmitamine, ühistegurite sulgudest välja panemine, sarnaste terminite toomine jne. Lõpuks õpime esitama murdarvulisi ratsionaalseid avaldisi ratsionaalsete murdudena.

Leheküljel navigeerimine.

Ratsionaalsete väljendite definitsioon ja näited

Ratsionaalväljendid on üks koolis algebratundides õpitud väljenditüüpe. Anname definitsiooni.

Definitsioon.

Avaldisi, mis koosnevad arvudest, muutujatest, sulgudest, täisarvuliste astendajatega astmetest, mis on ühendatud aritmeetiliste märkide +, −, · ja: abil, kus jagamist saab tähistada murdjoonega, nimetatakse ratsionaalsed väljendid.

Siin on mõned näited ratsionaalsetest väljenditest: .

Ratsionaalseid väljendeid hakatakse sihipäraselt õppima 7. klassist. Pealegi õpitakse 7. klassis töö põhitõdesid nö terved ratsionaalsed väljendid st ratsionaalsete avaldistega, mis ei sisalda muutujatega avaldisteks jagunemist. Selleks uuritakse järjestikku mono- ja polünoome ning nendega toimingute sooritamise põhimõtteid. Kõik need teadmised võimaldavad teil lõpuks teostada tervete avaldiste teisendusi.

8. klassis uuritakse ratsionaalseid avaldisi, mis sisaldavad jagamist muutujatega avaldisega murdarvulised ratsionaalsed avaldised. Sel juhul pööratakse erilist tähelepanu nn ratsionaalsed murded(neid nimetatakse ka algebralised murrud), see tähendab murde, mille lugeja ja nimetaja sisaldavad polünoome. See võimaldab lõpuks teisendada ratsionaalseid murde.

Omandatud oskused võimaldavad teil liikuda edasi mis tahes vormis ratsionaalsete väljenduste muutmise juurde. Seda seletatakse asjaoluga, et mis tahes ratsionaalset avaldist võib käsitleda avaldisena, mis koosneb ratsionaalsetest murdudest ja täisarvulistest avaldistest, mis on ühendatud aritmeetiliste tehete märkidega. Ja me juba teame, kuidas töötada tervete avaldiste ja algebraliste murdudega.

Ratsionaalväljendite teisenduste põhitüübid

Ratsionaalsete avaldiste abil saate läbi viia mis tahes põhilisi identiteedi teisendusi, olgu selleks terminite või tegurite rühmitamine, sarnaste terminite toomine, numbritega tehte tegemine jne. Tavaliselt on nende teisenduste läbiviimise eesmärk ratsionaalse väljenduse lihtsustamine.

Näide.

.

Lahendus.

On selge, et see ratsionaalne avaldis on erinevus kahe avaldise ja vahel ning need avaldised on sarnased, kuna neil on sama täheosa. Seega saame teha sarnaste terminite taandamise:

Vastus:

.

On selge, et nii ratsionaalsete väljenditega kui ka muude avaldistega teisendusi tehes peate jääma toimingute sooritamise aktsepteeritud järjekorda.

Näide.

Tehke avaldise ratsionaalne teisendus.

Lahendus.

Teame, et sulgudes olevad toimingud täidetakse kõigepealt. Seetõttu teisendame kõigepealt sulgudes oleva avaldise: 3·x−x=2·x.

Nüüd saate saadud tulemuse asendada algse ratsionaalse avaldisega: . Nii jõudsime väljendini, mis sisaldab ühe etapi toiminguid - liitmist ja korrutamist.

Vabaneme avaldise lõpus olevatest sulgudest, rakendades korrutisega jagamise omadust: .

Lõpuks saame arvulised tegurid ja tegurid rühmitada muutujaga x, seejärel teha arvudega vastavad toimingud ja rakendada :.

See lõpetab ratsionaalse avaldise teisenduse ja selle tulemusena saame monomiaali.

Vastus:

Näide.

Teisenda ratsionaalne avaldis .

Lahendus.

Kõigepealt teisendame lugeja ja nimetaja. See murdude teisendamise järjekord on seletatav asjaoluga, et murru rida on sisuliselt teine ​​​​jagamise tähis ja algne ratsionaalne avaldis on sisuliselt vormi jagatis ja esmalt sooritatakse sulgudes olevad toimingud.

Niisiis, lugejas teostame polünoomidega tehteid, esmalt korrutamist, seejärel lahutamist ning nimetajas rühmitame arvulised tegurid ja arvutame nende korrutise: .

Kujutagem ette ka saadud murru lugejat ja nimetajat korrutise kujul: äkki on võimalik algebralist murdu taandada. Selleks kasutame lugejas ruutude erinevuse valem, ja nimetajas võtame need kaks sulgudest välja, meil on .

Vastus:

.

Seega võib esialgse tutvumise ratsionaalsete väljendite teisendamisega lugeda lõppenuks. Liigume nii-öelda magusama osa juurde.

Ratsionaalne murdosa esitus

Kõige sagedamini on väljendite muutmise lõppeesmärk nende välimuse lihtsustamine. Selles valguses on kõige lihtsam vorm, milleks saab murdarvulise ratsionaalavaldise teisendada, ratsionaalne (algebraline) murd ja konkreetsel juhul polünoom, monoom või arv.

Kas mis tahes ratsionaalset avaldist on võimalik esitada ratsionaalse murdena? Vastus on jah. Selgitame, miks see nii on.

Nagu me juba ütlesime, võib iga ratsionaalset avaldist käsitleda polünoomide ja ratsionaalsete murdudena, mis on ühendatud pluss-, miinus-, korrutus- ja jagamismärkidega. Kõik vastavad tehted polünoomidega annavad polünoomi ehk ratsionaalmurru. Iga polünoomi saab omakorda teisendada algebraliseks murdeks, kirjutades selle nimetajaga 1. Ja ratsionaalsete murdude liitmisel, lahutamisel, korrutamisel ja jagamisel saadakse uus ratsionaalne murd. Seega, pärast kõigi polünoomide ja ratsionaalsete murdudega tehte sooritamist ratsionaalses avaldises, saame ratsionaalse murru.

Näide.

Väljendage avaldist ratsionaalse murruna .

Lahendus.

Algne ratsionaalne avaldis on vahe murdosa ja vormi murdude korrutise vahel . Vastavalt tehte järjekorrale peame esmalt sooritama korrutamise ja alles siis liitmise.

Alustame algebraliste murdude korrutamisega:

Asendame saadud tulemuse algse ratsionaalse avaldisega: .

Jõudsime erinevate nimetajatega algebraliste murdude lahutamiseni:

Niisiis, olles teinud toiminguid ratsionaalsete murdudega, mis moodustavad algse ratsionaalse avaldise, esitasime selle ratsionaalse murru kujul.

Vastus:

.

Materjali koondamiseks analüüsime lahendust teise näite järgi.

Näide.

Väljendage ratsionaalset avaldist ratsionaalse murruna.

Eelmises tunnis juba tutvustati ratsionaalse avaldise mõistet, tänases tunnis jätkame tööd ratsionaalsete väljenditega ja keskendume nende teisendustele. Konkreetsete näidete abil vaatleme meetodeid probleemide lahendamiseks, mis hõlmavad ratsionaalsete avaldiste teisendusi ja nendega seotud identiteetide tõestamist.

Teema:Algebralised murrud. Aritmeetilised tehted algebraliste murdudega

Õppetund:Ratsionaalsete avaldiste teisendamine

Meenutagem kõigepealt ratsionaalse avaldise määratlust.

Definitsioon.Ratsionaalneväljendus- algebraline avaldis, mis ei sisalda juuri ja sisaldab ainult liitmise, lahutamise, korrutamise ja jagamise (astmeni tõstmise) tehteid.

Mõiste "ratsionaalse väljenduse teisendamine" all peame silmas eelkõige selle lihtsustamist. Ja seda tehakse meile teadaolevate toimingute järjekorras: kõigepealt sulgudes olevad toimingud, seejärel arvude korrutis(astendamine), arvude jagamine ja seejärel liitmise/lahutamise tehted.

Tänase tunni põhieesmärk on saada kogemusi ratsionaalsete väljendite lihtsustamise keerukamate probleemide lahendamisel.

Näide 1.

Lahendus. Alguses võib tunduda, et neid murde saab vähendada, kuna murdude lugejate avaldised on väga sarnased nende vastavate nimetajate täiuslike ruutude valemitega. Sel juhul on oluline mitte kiirustada, vaid eraldi kontrollida, kas see nii on.

Kontrollime esimese murru lugejat: . Nüüd teine ​​lugeja: .

Nagu näete, ei täitunud meie ootused ja lugejate avaldised ei ole täiuslikud ruudud, kuna neil pole toote kahekordistamist. Selliseid väljendeid, kui meenutada 7. klassi kursust, nimetatakse mittetäielikeks ruutudeks. Sellistel juhtudel tasub olla väga ettevaatlik, sest täisruudu valemi segamine mittetäielikuga on väga levinud viga ning sellised näited panevad õpilase tähelepanelikkuse proovile.

Kuna redutseerimine on võimatu, lisame fraktsioonid. Nimetajatel ei ole ühiseid tegureid, mistõttu need korrutatakse lihtsalt väikseima ühisnimetaja saamiseks ja iga murru lisateguriks on teise murru nimetaja.

Loomulikult saab seejärel sulud avada ja seejärel tuua sarnased terminid, kuid sel juhul saate väiksema vaevaga hakkama ja märkate, et lugejas on esimene liige kuubikute summa valem ja teine ​​liige kuubikute erinevus. Mugavuse huvides tuletagem meelde neid valemeid üldiselt:

Meie puhul ahendatakse lugejas olevad avaldised järgmiselt:

, teine ​​väljend on sarnane. Meil on:

Vastus..

Näide 2. Ratsionaalse väljenduse lihtsustamine .

Lahendus. See näide sarnaneb eelmisele, kuid siin on kohe selge, et murdude lugejad sisaldavad osaruute, seega on lahenduse algstaadiumis redutseerimine võimatu. Sarnaselt eelmise näitega lisame murrud:

Siin, sarnaselt ülaltoodud meetodile, märkasime ja ahendasime avaldised, kasutades kuubikute summa ja erinevuse valemeid.

Vastus..

Näide 3. Ratsionaalse väljendi lihtsustamine.

Lahendus. Võite märgata, et teise murru nimetaja faktoriseeritakse kuubikute summa valemi abil. Nagu me juba teame, on faktooringu nimetajad kasulikud murdude väikseima ühisnimetaja edasiseks leidmiseks.

Märgime murdude väikseima ühisnimetaja, see on võrdne: , kuna see jagatakse kolmanda murru nimetajaga ja esimene avaldis on üldiselt täisarv ja selle jaoks sobib iga nimetaja. Olles märkinud ilmsed lisategurid, kirjutame:

Vastus.

Vaatleme keerukamat näidet "mitmekorruseliste" murdudega.

Näide 4. Tõestage muutuja kõigi lubatud väärtuste identsus.

Tõestus. Selle identiteedi tõestamiseks püüame lihtsustada selle vasakut külge (kompleksi) lihtsale kujule, mida meilt nõutakse. Selleks teostame kõik toimingud lugejas ja nimetajas olevate murdudega ning seejärel jagame murrud ja lihtsustame tulemust.

Tõestatud muutuja kõigi lubatud väärtuste jaoks.

Tõestatud.

Järgmises õppetükis vaatleme üksikasjalikult keerukamaid näiteid ratsionaalsete avaldiste teisendamiseks.

Bibliograafia

1. Bashmakov M.I. Algebra 8. klass. - M.: Haridus, 2004.

2. Dorofejev G.V., Suvorova S.B., Bunimovitš E.A. ja teised Algebra 8. - 5. väljaanne. - M.: Haridus, 2010.

3. Nikolski S.M., Potapov M.A., Reshetnikov N.N., Ševkin A.V. Algebra 8. klass. Õpik üldharidusasutustele. - M.: Haridus, 2006.

2. Tunniarendused, esitlused, tunnikonspektid ().

Kodutöö

1. nr 96-101. Dorofejev G.V., Suvorova S.B., Bunimovitš E.A. ja teised Algebra 8. - 5. väljaanne. - M.: Haridus, 2010.

2. Lihtsusta väljendit .

3. Lihtsusta väljendit.

4. Tõestage isikut.

Näib, et kümnendmurru teisendamine tavaliseks murruks on elementaarne teema, kuid paljud õpilased ei saa sellest aru! Seetõttu vaatleme täna üksikasjalikult mitut algoritmi korraga, mille abil saate aru mis tahes murdudest vaid sekundiga.

Lubage mul teile meelde tuletada, et sama murru kirjutamiseks on vähemalt kaks vormi: harilik ja kümnend. Kümnendmurrud on kõikvõimalikud konstruktsioonid kujul 0,75; 1,33; ja isegi −7,41. Siin on näited tavalistest murdudest, mis väljendavad samu numbreid:

Nüüd mõtleme välja: kuidas liikuda kümnendmärgistuselt tavalisele tähistusele? Ja mis kõige tähtsam: kuidas seda võimalikult kiiresti teha?

Põhialgoritm

Tegelikult on vähemalt kaks algoritmi. Ja me vaatame nüüd mõlemat. Alustame esimesest – kõige lihtsamast ja arusaadavamast.

Kümnendarvu teisendamiseks murdarvuks peate järgima kolme sammu:

Oluline märkus negatiivsete arvude kohta. Kui algses näites on kümnendmurru ees miinusmärk, siis väljundis peaks olema ka miinusmärk hariliku murru ees. Siin on veel mõned näited:

Näiteid üleminekust murdude kümnendmärkimiselt tavalisele

Tahaksin pöörata erilist tähelepanu viimasele näitele. Nagu näete, sisaldab murd 0,0025 pärast koma palju nulle. Selle tõttu tuleb lugeja ja nimetaja koguni neli korda korrutada 10. Kas sel juhul on võimalik algoritmi kuidagi lihtsustada?

Muidugi sa suudad. Ja nüüd vaatame alternatiivset algoritmi - seda on veidi keerulisem mõista, kuid pärast väikest harjutamist töötab see palju kiiremini kui tavaline.

Kiirem viis

Sellel algoritmil on samuti 3 sammu. Kümnendarvust murdosa saamiseks tehke järgmist.

1. Loendage, mitu numbrit on pärast koma. Näiteks murdarvul 1,75 on kaks sellist numbrit ja 0,0025-l neli. Tähistame seda kogust tähega $n$.
2. Kirjutage algne arv ümber murduna kujul $\frac(a)(((10)^(n)))$, kus $a$ on kõik algse murru numbrid (ilma "alguse" nullideta vasakule, kui see on olemas) ja $n$ on sama arv numbreid pärast koma, mille arvutasime esimeses etapis. Teisisõnu, peate jagama algse murru numbrid ühega, millele järgneb $n$ null.
3. Võimalusel vähendage saadud fraktsiooni.

See on kõik! Esmapilgul on see skeem keerulisem kui eelmine. Kuid tegelikult on see nii lihtsam kui ka kiirem. Otsustage ise:

Nagu näete, on murdarvus 0,64 pärast koma kaks numbrit - 6 ja 4. Seega $n=2$. Kui eemaldame vasakult koma ja nullid (antud juhul vaid ühe nulli), saame arvu 64. Liigume edasi teise sammu juurde: $((10)^(n))=((10)^ (2))=100$, Seetõttu on nimetaja täpselt sada. No siis jääb üle ainult lugejat ja nimetajat vähendada. :)

Veel üks näide:

Siin on kõik veidi keerulisem. Esiteks on pärast koma juba 3 numbrit, st. $n=3$, seega tuleb jagada $((10)^(n))=((10)^(3))=1000$. Teiseks, kui eemaldada koma kümnendmärgistusest, saame järgmise: 0,004 → 0004. Pidage meeles, et vasakult nullid tuleb eemaldada, nii et tegelikult on meil arv 4. Siis on kõik lihtne: jagage, vähendage ja saage vastus.

Lõpuks viimane näide:

Selle murdosa eripära on terve osa olemasolu. Seetõttu on meie väljundiks vale murdosa 47/25. Muidugi võite proovida jagada 47 jäägiga 25-ga ja seega kogu osa uuesti eraldada. Aga miks teha oma elu keeruliseks, kui seda saab teha ümberkujundamise etapis? Noh, mõtleme välja.

Mida teha kogu osaga

Tegelikult on kõik väga lihtne: kui tahame saada õiget murdu, siis peame teisenduse käigus sellest kogu osa eemaldama ja siis, kui saame tulemuse, lisame selle uuesti paremale enne murrujoont. .

Näiteks kaaluge sama numbrit: 1,88. Hindame ühega (terve osa) ja vaatame murdosa 0,88. Seda saab hõlpsasti teisendada:

Seejärel meenutame "kadunud" üksust ja lisame selle esiküljele:

\[\frac(22)(25)\kuni 1\frac(22)(25)\]

See on kõik! Vastus osutus samaks, mis eelmisel korral terve osa välja valides. Paar näidet veel:

\[\begin(align)& 2.15\to 0.15=\frac(15)(100)=\frac(3)(20)\to 2\frac(3)(20); \\& 13,8\kuni 0,8=\frac(8)(10)=\frac(4)(5)\kuni 13\frac(4)(5). \\\lõpp(joonda)\]

See on matemaatika ilu: olenemata sellest, mis suunas sa lähed, kui kõik arvutused on õigesti tehtud, on vastus alati sama. :)

Kokkuvõtteks tahaksin kaaluda veel ühte tehnikat, mis aitab paljusid.

Teisendused "kõrva järgi"

Mõelgem, mis on koma isegi. Täpsemalt, kuidas me seda loeme. Näiteks arv 0,64 – me loeme seda "null koma 64 sajandikku", eks? Noh, või lihtsalt "64 sajandikku". Võtmesõnaks on siinkohal “sajandikud”, st. number 100.

Aga 0,004? See on "null koma 4 tuhandikku" või lihtsalt "neli tuhandikku". Nii või teisiti on märksõnaks “tuhanded”, s.t. 1000.

Mis on siis suur asi? Ja tõsiasi on see, et just need numbrid "hüppavad" lõpuks nimetajates algoritmi teises etapis. Need. 0,004 on "neli tuhandikku" või "4 jagatud 1000-ga":

Proovige ise harjutada – see on väga lihtne. Peaasi on algset murdu õigesti lugeda. Näiteks 2,5 on "2 tervet, 5 kümnendikku", nii et

Ja mingi 1,125 on "1 tervik, 125 tuhandikku", nii et

Viimases näites vaidleb keegi muidugi vastu, et igale õpilasele ei ole ilmne, et 1000 jagub 125-ga. Kuid siin tuleb meeles pidada, et 1000 = 10 3 ja 10 = 2 ∙ 5, seega

\[\begin(align)& 1000=10\cdot 10\cdot 10=2\cdot 5\cdot 2\cdot 5\cdot 2\cdot 5= \\& =2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\ cdot 5\cdot 5=8\cdot 125\end(joonda)\]

Seega saab iga kümne astme lagundada ainult teguriteks 2 ja 5 - just neid tegureid tuleb lugejast otsida, et lõpuks kõik väheneks.

Sellega õppetund lõpeb. Liigume edasi keerukama pöördoperatsiooni juurde - vt "

Murrud

Tähelepanu!
On täiendavaid
materjalid erijaos 555.
Neile, kes on väga "mitte väga..."
Ja neile, kes "väga…")

Murrud ei ole keskkoolis eriti häirivad. Praeguseks. Kuni kohtate ratsionaalsete eksponentide ja logaritmidega võimsusi. Ja seal... Vajutate ja vajutate kalkulaatorit ning see kuvab mõned numbrid täisekraanil. Peaga tuleb mõelda nagu kolmandas klassis.

Mõelgem lõpuks välja murdarvud! No kui palju saab nendes segadusse minna!? Pealegi on see kõik lihtne ja loogiline. Niisiis, millised on murdude tüübid?

Murdude tüübid. Transformatsioonid.

On kolme tüüpi murde.

1. Harilikud murded , Näiteks:

Mõnikord panevad nad horisontaaljoone asemel kaldkriipsu: 1/2, 3/4, 19/5, hästi jne. Siin kasutame sageli seda kirjaviisi. Ülemine number helistatakse lugeja, madalam - nimetaja. Kui ajate neid nimesid pidevalt segamini (juhtub ...), öelge endale fraas: " Zzzzz jäta meelde! Zzzzz nimetaja – vaata zzzzz uh!" Vaata, kõik jääb zzzz meelde.)

Kriips, kas horisontaalne või kaldu, tähendab jaotusülemisest numbrist (lugeja) kuni alumiseni (nimetaja). See on kõik! Kriipsu asemel on täiesti võimalik panna jagamismärk - kaks punkti.

Kui täielik jagamine on võimalik, tuleb seda teha. Nii et murdosa “32/8” asemel on palju meeldivam kirjutada number “4”. Need. 32 jagatakse lihtsalt 8-ga.

32/8 = 32: 8 = 4

Ma ei räägi isegi murdosast "4/1". Mis on samuti lihtsalt "4". Ja kui see pole täielikult jagatav, jätame selle murdosaks. Mõnikord peate tegema vastupidise toimingu. Teisendage täisarv murruks. Aga sellest pikemalt hiljem.

2. Kümnendkohad , Näiteks:

Sellel kujul peate üles kirjutama ülesannete “B” vastused.

3. Seganumbrid , Näiteks:

Seganumbreid gümnaasiumis praktiliselt ei kasutata. Nendega töötamiseks tuleb need teisendada tavalisteks murdudeks. Aga sa pead seda kindlasti suutma! Muidu tuled probleemis sellise numbri peale ja tardud... Eikusagilt. Kuid me jätame selle protseduuri meelde! Natuke madalam.

Kõige mitmekülgsem harilikud murded. Alustame nendega. Muide, kui murd sisaldab igasuguseid logaritme, siinusi ja muid tähti, ei muuda see midagi. Selles mõttes, et kõik murdosaavaldistega toimingud ei erine tavaliste murdudega toimingutest!

Murru põhiomadus.

Nii et lähme! Alustuseks üllatan teid. Kogu murruteisenduste mitmekesisus pakub üks omadus! Nii seda nimetatakse murdosa peamine omadus. Pidage meeles: Kui murdosa lugeja ja nimetaja korrutada (jagada) sama arvuga, siis murd ei muutu. Need:

Selge see, et kirjutamist võib jätkata kuni näost siniseks jäämiseni. Ärge laske siinustel ja logaritmidel end segadusse ajada, me tegeleme nendega edasi. Peaasi on mõista, et kõik need erinevad väljendid on sama murdosa . 2/3.

Kas me vajame seda, kõiki neid muutusi? Ja kuidas! Nüüd näete ise. Alustuseks kasutame murdosa põhiomadust for redutseerivad fraktsioonid. See tunduks elementaarne asi. Jaga lugeja ja nimetaja sama arvuga ja ongi kõik! Viga on võimatu teha! Aga... inimene on loov olend. Viga võib teha igal pool! Eriti kui pead vähendama mitte murdu nagu 5/10, vaid murdosavaldist kõikvõimalike tähtedega.

Kuidas õigesti ja kiiresti murde vähendada ilma lisatööd tegemata, saab lugeda spetsiaalsest jaotisest 555.

Tavaline õpilane ei viitsi lugejat ja nimetajat sama arvuga (või avaldisega) jagada! Ta lihtsalt kriipsutab maha kõik, mis on ülalt ja alt sama! Siin varitseb tüüpiline viga, kui soovite, eksitus.

Näiteks peate avaldist lihtsustama:

Siin pole midagi mõelda, kriipsutage maha täht "a" ülevalt ja kaks alt! Saame:

Kõik on õige. Aga tegelikult sa jagasid kõik lugeja ja kõik nimetaja on "a". Kui oled harjunud lihtsalt läbi kriipsutama, siis kiirustades võid avaldises “a” maha kriipsutada

ja võta see uuesti

Mis oleks kategooriliselt vale. Sest siin kõik lugeja "a" peal on juba olemas pole jagatud! Seda osa ei saa vähendada. Muide, selline vähendamine on õpetajale tõsine väljakutse. Seda ei andestata! Kas sa mäletad? Vähendamisel peate jagama kõik lugeja ja kõik nimetaja!

Murdude vähendamine muudab elu palju lihtsamaks. Kuskilt saad murdosa, näiteks 375/1000. Kuidas ma saan nüüd temaga koostööd jätkata? Ilma kalkulaatorita? Korruta, ütle, liita, ruut!? Ja kui te pole liiga laisk, siis vähendage seda ettevaatlikult viie võrra ja veel viie võrra ja isegi ... lühidalt, kui seda lühendatakse. Võtame 3/8! Palju ilusam, eks?

Murru põhiomadus võimaldab teisendada tavalised murrud kümnendkohtadeks ja vastupidi ilma kalkulaatorita! See on ühtse riigieksami jaoks oluline, eks?

Kuidas teisendada murde ühest tüübist teise.

Kümnendmurdudega on kõik lihtne. Nii nagu kuuldakse, nii kirjutatakse! Oletame, et 0,25. See on null koma kakskümmend viis sajandikku. Nii et me kirjutame: 25/100. Vähendame (jagame lugeja ja nimetaja 25-ga), saame tavalise murdosa: 1/4. Kõik. See juhtub ja midagi ei vähene. Nagu 0,3. See on kolm kümnendikku, s.o. 3/10.

Mis siis, kui täisarvud ei ole nullid? See on korras. Kirjutame kogu murdosa üles ilma ühegi komata lugejas ja nimetajas - kuuldu. Näiteks: 3.17. See on kolm koma seitseteist sajandikku. Lugejasse kirjutame 317 ja nimetajasse 100. Saame 317/100. Midagi ei vähendata, see tähendab kõike. See on vastus. Elementaarne Watson! Kõigest öeldust on kasulik järeldus: mis tahes kümnendmurru saab teisendada harilikuks murruks .

Kuid mõned inimesed ei saa ilma kalkulaatorita tavalisest kümnendkohani vastupidist teisendada. Ja see on vajalik! Kuidas ühtse riigieksami vastuse kirja panete!? Lugege hoolikalt läbi ja omandage see protsess.

Mis on kümnendmurru tunnusjoon? Tema nimetaja on Alati maksab 10 või 100 või 1000 või 10 000 ja nii edasi. Kui teie harilikul murul on selline nimetaja, pole probleemi. Näiteks 4/10 = 0,4. Või 7/100 = 0,07. Või 12/10 = 1,2. Mis siis, kui jaotise “B” ülesande vastuseks osutus 1/2? Mida me vastuseks kirjutame? Kümakohad on kohustuslikud...

Jätame meelde murdosa peamine omadus ! Matemaatika võimaldab soodsalt korrutada lugeja ja nimetaja sama arvuga. Mida iganes, muide! Välja arvatud muidugi null. Nii et kasutame seda kinnisvara enda huvides! Millega saab nimetaja korrutada, s.t. 2, et sellest saaks 10, 100 või 1000 (väiksem on muidugi parem...)? Ilmselgelt kell 5. Korrutage nimetaja vabalt (see on meie vajalik) 5-ga. Aga siis tuleb lugeja ka 5-ga korrutada. See juba on matemaatika nõuab! Saame 1/2 = 1x5/2x5 = 5/10 = 0,5. See on kõik.

Igasuguseid nimetajaid tuleb aga ette. Näete näiteks murdosa 3/16. Proovige välja mõelda, millega korrutada 16, et saada 100 või 1000... Kas see ei tööta? Siis saate lihtsalt jagada 3 16-ga. Kalkulaatori puudumisel peate jagama nurgaga, paberil, nagu algkoolis õpetati. Saame 0,1875.

Ja on ka väga halbu nimetajaid. Näiteks murdu 1/3 ei saa kuidagi muuta heaks kümnendkohaks. Nii kalkulaatoril kui paberil saame 0,3333333... See tähendab, et 1/3 on täpne kümnendmurd ei tõlgi. Sama mis 1/7, 5/6 ja nii edasi. Neid on palju, tõlkimatud. See viib meid veel ühe kasuliku järelduseni. Iga murdosa ei saa teisendada kümnendkohaks !

Muide, see on kasulik teave enesetestimiseks. Jaotises "B" tuleb vastusesse kirjutada kümnendmurd. Ja sa said näiteks 4/3. Seda murdosa ei teisendata kümnendkohaks. See tähendab, et tegite kuskil vea! Minge tagasi ja kontrollige lahendust.

Niisiis, me arvasime välja tavalised ja kümnendmurrud. Jääb vaid tegeleda seganumbritega. Nendega töötamiseks tuleb need teisendada tavalisteks murdudeks. Kuidas seda teha? Saate kuuenda klassi õpilase kinni püüda ja temalt küsida. Kuid kuuenda klassi õpilane ei ole alati käepärast... Peate seda ise tegema. See ei ole raske. Murdosa nimetaja tuleb korrutada terve osaga ja lisada murdosa lugeja. See on hariliku murru lugeja. Aga nimetaja? Nimetaja jääb samaks. See kõlab keeruliselt, kuid tegelikult on kõik lihtne. Vaatame näidet.

Oletame, et nägite probleemis olevat numbrit kohkudes:

Rahulikult, ilma paanikata, mõtleme. Kogu osa on 1. Ühik. Murdosa on 3/7. Seetõttu on murdosa nimetaja 7. See nimetaja on hariliku murru nimetaja. Loendame lugeja. Korrutame 7 1-ga (täisarvuline osa) ja liidame 3 (murruosa lugeja). Saame 10. See on hariliku murru lugeja. See on kõik. Matemaatilises tähistuses tundub see veelgi lihtsam:

Kas on selge? Seejärel kindlustage oma edu! Teisenda tavalisteks murdudeks. Peaksite saama 10/7, 7/2, 23/10 ja 21/4.

Pöördtehte – vale murdu teisendamine segaarvuks – on keskkoolis harva nõutav. Noh, kui nii... Ja kui te ei käi keskkoolis, võite uurida spetsiaalset jaotist 555. Muide, sealt saate teada ka ebaõigete murdude kohta.

Noh, see on praktiliselt kõik. Sa mäletasid murdude tüüpe ja said aru Kuidas kandke need ühest tüübist teise. Küsimus jääb: Milleks tee seda? Kus ja millal neid sügavaid teadmisi rakendada?

Ma vastan. Iga näide ise viitab vajalikele toimingutele. Kui näites segatakse kokku tavalised murrud, kümnendkohad ja isegi segaarvud, teisendame kõik tavalisteks murdudeks. Seda saab alati teha. Noh, kui see ütleb midagi nagu 0,8 + 0,3, siis me arvestame seda nii, ilma igasuguse tõlketa. Miks me vajame lisatööd? Valime sobiva lahenduse meie !

Kui ülesanne on ainult kümnendmurrud, aga ee... mingid kurjad, siis minge tavaliste juurde ja proovige järele! Vaata, kõik saab korda. Näiteks peate ruudu 0,125. See pole nii lihtne, kui te pole kalkulaatoriga harjunud! Sa ei pea mitte ainult veerus olevaid numbreid korrutama, vaid pead ka mõtlema, kuhu koma sisestada! See ei tööta kindlasti teie peas! Mis siis, kui liigume edasi hariliku murru juurde?

0,125 = 125/1000. Vähendame seda 5 võrra (see on mõeldud algajatele). Saame 25/200. Taaskord 5-ks. Saame 5/40. Oh, see kahaneb ikka veel! Tagasi 5 juurde! Saame 1/8. Me saame selle hõlpsalt ruudukujuliseks (meeles!) ja saame 1/64. Kõik!

Teeme selle õppetunni kokkuvõtte.

1. Murdu on kolme tüüpi. Ühised, kümnend- ja seganumbrid.

2. Kümnend- ja segaarvud Alati saab teisendada tavalisteks murdudeks. Vastupidine ülekanne mitte alati saadaval.

3. Ülesandega töötavate murdude tüübi valik sõltub ülesandest endast. Kui ühes ülesandes on erinevat tüüpi murde, on kõige usaldusväärsem minna üle tavamurdudele.

Nüüd saate harjutada. Esmalt teisendage need kümnendmurrud tavalisteks murdudeks:

3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012

Peaksite saama sellised vastused (segaduses!):

Lõpetame siin. Selles õppetükis värskendasime oma mälu murdude kohta. Juhtub aga nii, et polegi midagi erilist värskendada...) Kui keegi on täiesti unustanud, või pole veel selgeks saanud... Siis saab minna spetsiaalsesse Sektsiooni 555. Kõik põhitõed on seal üksikasjalikult käsitletud. Paljud äkki mõista kõike algavad. Ja nad lahendavad murde käigu pealt).

Kui teile meeldib see sait...

Muide, mul on teie jaoks veel paar huvitavat saiti.)

Saab harjutada näidete lahendamist ja teada saada oma taset. Testimine kiirkinnitusega. Õpime - huviga!)

Saate tutvuda funktsioonide ja tuletistega.

VIII tüüpi koolis tutvustatakse õpilastele järgmisi murdude teisendusi: murdude väljendamine suuremates murdudes (6. klass), ebaõigete murdude väljendamine tervik- või segaarvuna (6. klass), murdude väljendamine sarnastes murdudes (7. klass), murdude väljendamine samalaadsetes murdudes (7. klass). segaarvu väljendamine ebaõige murruna (7. klass).

Vale murru väljendamine täis- või segaarvuga

Selle materjali uurimine peaks algama ülesandega: võtke 2 võrdset ringi ja jagage igaüks neist 4 võrdseks osaks, loendage neljandate osade arv (joonis 25). Järgmisena tehakse ettepanek kirjutada see summa murdarvuna. Siis on neljandad löögid

Need asetatakse kõrvuti ja õpilased on veendunud, et nad on moodustanud terve ringi. Seetõttu lisab see neljale veerandile -

järjest uuesti ja õpilased kirjutavad üles:

Õpetaja juhib õpilaste tähelepanu asjaolule, et kõigil vaadeldavatel juhtudel võtsid nad valemurru ning teisenduse tulemusena said nad kas täis- või segaarvu, st väljendasid valemurdu tervikuna. või seganumber. Järgmisena peame püüdlema selle poole, et õpilased saaksid iseseisvalt kindlaks teha, millist aritmeetilist toimingut seda teisendust teha saab. Eredad näited, mis viivad küsimusele vastuseni, on järgmised: Järeldus: kuni

Ebaõige murru väljendamiseks täis- või segaarvuna peate jagama murdosa lugeja nimetajaga, kirjutama jagatise täisarvuna, kirjutama lugejasse jääk ja jätma nimetaja samaks. Kuna reegel on tülikas, ei pea õpilased seda pähe õppima. Nad peavad suutma järjepidevalt edastada antud teisenduse läbiviimisega seotud etappe.

Enne kui tutvustate õpilastele ebaõige murdu väljendamist täis- või segaarvuga, on soovitatav koos nendega üle vaadata täisarvu jagamine täisarvuga jäägiga.

Õpilaste jaoks uue ümberkujundamise kinnistamist hõlbustab praktilist laadi probleemide lahendamine, näiteks:

«Vaasis on üheksa neljandikku apelsini. Mitu tervet apelsini saab nendest osadest valmistada? Mitu kvartalit jääb alles?"

Täis- ja segaarvude väljendamine ebaõigete murdudena

Õpilastele selle uue transformatsiooni tutvustamisele peaks eelnema näiteks probleemide lahendamine:

“Kaks võrdse pikkusega ruudukujulist kangast lõigati 4 võrdseks osaks. Igast sellisest osast õmmeldi sall. Mitu salli sa said? .

Järgmisena palub õpetaja õpilastel täita järgmine ülesanne: „Võtke terve ring ja teine ​​pool ringist, mis on esimesega võrdne. Lõika kogu ring pooleks. Mitu poolikut oli? Kirjutage üles: see oli ring, sellest sai ring.

Seega vaatleme visuaalsel ja praktilisel alusel veel mitmeid näiteid. Vaadeldavates näidetes palutakse õpilastel võrrelda algset arvu (sega- või täisarv) ja arvu, mis saadi pärast teisendust (vale murd).

Et tutvustada õpilastele täisarvu ja segaarvu valemurruna väljendamise reeglit, tuleb juhtida nende tähelepanu segaarvu ja valemurru nimetajate võrdlemisele, samuti sellele, kuidas näiteks lugeja saadakse. :

toimub 15/4. Selle tulemusena sõnastatakse reegel: segaarvu valemurruna väljendamiseks tuleb nimetaja korrutada täisarvuga, lisada korrutisele lugeja ja kirjutada lugejaks summa, jättes nimetaja muutmata.

Esiteks peate õpetama õpilasi väljendama ühtsust valemurruna, seejärel mis tahes muu nimetajat tähistava täisarvuna ja alles seejärel segaarvuna -

Murru 1 põhiomadus

Murru muutumatuse mõiste, suurendades või vähendades samaaegselt selle liikmeid, st lugejat ja nimetajat, õpivad VIII tüüpi kooli õpilased suurte raskustega. Seda kontseptsiooni tuleb tutvustada visuaalse ja didaktilise materjali abil ning oluline on, et õpilased mitte ainult ei jälgiks õpetaja tegevust, vaid töötaksid aktiivselt didaktilise materjaliga ning jõuaksid tähelepanekute ja praktiliste tegevuste põhjal teatud järeldusteni ja üldistusteni.

Näiteks võtab õpetaja terve kaalika, jagab selle 2 võrdseks osaks ja küsib: “Mis sa said, kui jagasid terve kaalika pooleks? (2 poolikut.) Näita kaalikat. Lõika (jaga) pool naerist veel 2 võrdseks osaks. Mida me saame? Kirjutame: Võrdleme nende murdude lugejaid ja nimetajaid. Mis ajal

kordades lugeja suurenes? Mitu korda on nimetaja suurenenud? Mitu korda on nii lugeja kui ka nimetaja suurenenud? Kas murdosa on muutunud? Miks see pole muutunud? Kuidas aktsiad muutusid: suuremaks või väiksemaks? Kas aktsiate arv on suurenenud või vähenenud?

Seejärel jagavad kõik õpilased ringi 2 võrdseks osaks, iga pool jagatakse 2 võrdsemaks osaks, iga veerand 2 võrdsemaks osaks jne ja kirjutavad üles: jne.

teha kindlaks, mitu korda on murru lugeja ja nimetaja suurenenud ning kas murd on muutunud. Seejärel joonistage segment ja jagage see järjestikku 3, 6, 12 võrdseks osaks ja kirjutage üles:

Kui võrrelda murde selgub, et

Murru lugejat ja nimetajat suurendatakse sama palju kordi, kuid murdosa ei muutu.

Pärast mitmete näidete kaalumist tuleks paluda õpilastel vastata küsimusele: „Kas murdarv muutub, kui lugeja

Osa teadmisi teemal “Tavamurrud” on VIII tüüpi paranduskoolide matemaatika õppekavadest välja jäetud, kuid neid õpetatakse õpilastele vaimse alaarenguga laste koolides, matemaatika õppimise raskustega laste tasandusklassides. Selles õpikus on lõigud, mis pakuvad selle materjali õppimise meetodeid, tähistatud tärniga (*).

ja korrutage murdosa nimetaja sama arvuga (suurendage sama palju)?" Lisaks peaksite paluma õpilastel ise näiteid tuua.

Sarnased näited on toodud ka siis, kui kaalutakse lugeja ja nimetaja sama arvu vähendamist (lugeja ja nimetaja jagatakse sama arvuga). Näiteks jagatakse ring 8 võrdseks osaks, võetakse ringist 4 kaheksandikku,

Suurendanud aktsiaid, võtavad nad neljandad, neid tuleb 2. Olles aktsiaid suurendanud, võtavad nad teised. Neid võrreldakse järjestikku

nende murdude lugejad ja nimetajad, vastates küsimustele: „Mitu korda lugeja ja nimetaja vähenevad? Kas murdosa muutub?*.

Hea juhis on 12, 6, 3 võrdseks osaks jagatud triibud (joonis 26).

Vaadeldud näidete põhjal saavad õpilased järeldada: murd ei muutu, kui murdu lugeja ja nimetaja jagada sama arvuga (vähendada sama palju kordi). Seejärel tehakse üldistatud järeldus - murru põhiomadus: murd ei muutu, kui murru lugejat ja nimetajat suurendatakse või vähendatakse sama palju kordi.

Murdude vähendamine

Kõigepealt tuleb õpilased selleks murdude teisendamiseks ette valmistada. Nagu teate, tähendab murdosa vähendamine murdosa lugeja ja nimetaja jagamist sama arvuga. Kuid jagaja peab olema arv, mis annab vastusele taandamatu murdosa.

Kuu kuni poolteist kuud enne õpilastele murdude vähendamise tutvustamist tehakse ettevalmistustööd - neil palutakse nimetada korrutustabelist kaks vastust, mis jaguvad sama arvuga. Näiteks: "Nimeta kaks arvu, mis jaguvad 4-ga." (Kõigepealt vaatavad õpilased tabelis 1-t ja nimetavad siis need arvud mälu järgi.) Nad nimetavad nii arvud kui ka 4-ga jagamise tulemused. Seejärel pakub õpetaja õpilastele murdude, 3

vali näiteks lugeja ja nimetaja jagaja (sellise toimingu tegemise aluseks on korrutustabel).

millist tabelit peaksin vaatama? Millise arvuga saab jagada 5 ja 15?) Selgub, et kui murdu lugeja ja nimetaja jagada sama arvuga, ei ole murru suurus muutunud (seda saab näidata ribal, lõigul, ring), ainult murrud on muutunud suuremaks: Murru tüüp on muutunud lihtsamaks . Õpilased juhitakse murdude vähendamise reeglite järeldusele.

VIII tüüpi kooliõpilastel on sageli raske leida suurimat arvu, mis jagaks nii murdosa lugeja kui ka nimetaja. Seetõttu täheldatakse sageli selliseid vigu nagu 4/12 = 2/6, st õpilane ei leidnud suurimat ühist

jagaja arvudele 4 ja 12. Seetõttu võib algul lubada astmelist jagamist, s.t., aga samas küsida, millise arvuga jagati kõigepealt murdu lugeja ja nimetaja, millise arvuga siis ja siis millise arvuga lugeja ja nimetaja võiks kohe jagada murdudeks Sellised küsimused aitavad õpilastel järk-järgult leida murru lugeja ja nimetaja suurima ühisteguri.

Toomine murrud väikseima ühisnimetajani*

Murdude taandamine väikseima ühisnimetajani ei tohiks olla eesmärk omaette, vaid teisendus, mis on vajalik murdude võrdlemiseks ja seejärel erinevate nimetajatega murdude liitmise ja lahutamise toimingute tegemiseks.

Õpilased on juba tuttavad murdude võrdlemisega samade lugejatega, kuid erinevate nimetajatega ja samade nimetajatega, kuid erinevate lugejatega. Küll aga ei osata veel võrrelda erinevate lugejate ja nimetajatega murde.

Enne õpilastele uue teisenduse tähenduse selgitamist on vaja käsitletud materjali korrata, täites näiteks järgmised ülesanded:

Võrdle murde 2/5,2/7,2/3 Öelge murdude võrdlemise reegel

identsed lugejad.

Murdude võrdlemine Öelge murdude võrdlemise reegel

samade nimetajatega.

Murdude võrdlemine Õpilastel on raske murde võrrelda

on erinevad, kuna neil on erinevad lugejad ja erinevad nimetajad. Nende murdude võrdlemiseks peate nende murdude lugejad või nimetajad võrdseks muutma. Tavaliselt väljendatakse nimetajaid võrdsetes murdarvudes, see tähendab, et nad taandavad murrud väikseima ühisnimetajani.

Õpilastele tuleks tutvustada murdude võrdsetes osades väljendamise viisi.

Esiteks vaadeldakse erineva nimetajaga murde, kuid neid, mille puhul ühe murru nimetaja jagub ilma jäägita teise murru nimetajaga ja võib seetõttu olla ka teise murru nimetaja.

Näiteks murdarvudes on nimetajateks numbrid 8 ja 2.

Nende murdude väljendamiseks võrdsetes osades soovitab õpetaja korrutada väiksema nimetaja järjestikku arvudega 2, 3, 4 jne ja teha seda seni, kuni saate tulemuse, mis on võrdne esimese murru nimetajaga. Näiteks korrutage 2 2-ga ja saate 4. Kahe murru nimetajad on jällegi erinevad. Järgmisena korrutame 2 3-ga, saame 6. Ka arv 6 ei sobi. Korrutame 2 4-ga, saame 8. Sel juhul on nimetajad samad. Selleks, et murd ei muutuks, tuleb ka murdosa lugeja korrutada 4-ga (lähtudes murru põhiomadusest). Saame murdosa Nüüd väljendatakse murrud võrdsetes murdudes. Nende

Nendega on lihtne võrrelda ja toiminguid teha.

Arvu, millega soovite ühe murru väiksema nimetaja korrutada, leiate, jagades suurema nimetaja väiksemaga. Näiteks kui jagate 8 2-ga, saate arvu 4. Selle arvuga peate korrutama nii murdosa nimetaja kui ka lugeja. See tähendab, et mitme murdu võrdsetes osades väljendamiseks peate jagama suurema nimetaja väiksemaga, korrutama jagatise väiksemate nimetajatega murdosa nimetaja ja lugejaga. Näiteks on antud murrud Nende murdude toomiseks

väikseima ühisnimetaja jaoks vajate 12:6=2, 2x6=12, 306

2x1=2. Murd võtab kuju . Siis 12:3=4, 4x3=12, 4x2=8. Murd võtab kuju Seetõttu võtavad murrud kuju vastavalt, st neid väljendatakse

nymi võrdsetes osades.

Tehakse harjutusi, mis võimaldavad teil arendada murdude taandamise oskusi madalaima ühise nimetajani.

Näiteks peate seda väljendama murdosa võrdsetes osades

Et õpilased ei unustaks jagatist, mis saadakse suurema nimetaja jagamisel väiksemaga, on soovitatav.

kirjutada väiksema nimetajaga murdosa üle. Näiteks ja

Seejärel vaatleme murde, milles suurem nimetaja ei jagu väiksemaga ja seetõttu ei jagu

nendele fraktsioonidele ühine. Näiteks nimetaja 8 ei ole

jagatakse 6-ga. Sel juhul korrutatakse suurem nimetaja 8 järjestikku arvudega, alustades 2-st, kuni saame arvu, mis jagub ilma jäägita mõlema nimetajaga 8 ja 6. Selleks, et murdude jäämiseks andmetega võrdseks, peavad lugejad vastavalt korrutama samade arvudega. peal-

3 5 näide, nii et murde tg ja * väljendatakse võrdsetes osades,

8 suurem nimetaja korrutatakse 2-ga (8x2=16). 16 ei jagu 6-ga, mis tähendab, et me korrutame 8 järgmise arvuga 3 (8x3=24). 24 jagub 6 ja 8-ga, mis tähendab, et 24 on nende murdude ühine nimetaja. Kuid selleks, et murded jääksid võrdseks, tuleb nende lugejaid suurendada sama palju kordi kui nimetajaid, 8 suurendatakse 3 korda, mis tähendab, et selle murru 3 lugejat suurendatakse 3 korda.

Murd on 4 korda suurendatud kujul Nimetaja 6. Vastavalt sellele tuleb 5. murru lugejat 4 korda suurendada. Murrud on järgmisel kujul:

Seega viime õpilased üldise järelduseni (reeglini) ja tutvustame neile murdude võrdsetes osades väljendamise algoritmi. Näiteks antud kaks murdosa ¾ ja 5/7

1. Leidke väikseim ühisnimetaja: 7x2=14, 7x3=21,
7x4=28. 28 jagub 4 ja 7-ga. 28 on väikseim ühisnimetaja
murdosa hoidja

2. Leidke lisategurid: 28:4=7,

3. Kirjutame need murdude peale:

4. Korrutage murdude lugejad lisateguritega:
3x7=21, 5x4=20.

Saame samade nimetajatega murded.See tähendab

Oleme taandanud murrud ühise madalaima nimetajani.

Kogemused näitavad, et enne erinevate aritmeetiliste toimingute uurimist murdudega on soovitatav õpilasi kurssi viia murdude teisendamisega. Näiteks on soovitatav õpetada murdude lühendamist või vale murdarvu asendamist täis- või segaarvuga enne samade nimetajatega murdude liitmise ja lahutamise õppimist, kuna saadud summa või erinevus

Peate tegema kas ühe või mõlemad teisendused.

Kõige parem on uurida õpilastega enne teemat “Erinevate nimetajatega murdude liitmine ja lahutamine” murdarvu taandamist väikseima ühisnimetajani ning segaarvu asendamist vale murduga enne teemat “Murdude korrutamine ja jagamine täisarvudega”.

Harilike murdude liitmine ja lahutamine

1. Samade nimetajatega murdude liitmine ja lahutamine.

Alysheva T.V. läbi viidud uuring. 1, osutab õpilastele juba tuttava liitmise ja lahutamise analoogia kasutamise soovitavusele samade nimetajatega harilike murdude liitmise ja lahutamise tehte uurimisel.

suuruste mõõtmise tulemusel saadud arvud ja deduktiivse meetodi abil saadud toimingute uurimine, st "üldisest konkreetseni".

Esiteks korratakse arvude liitmist ja lahutamist koos väärtuse ja pikkuse mõõtude nimetustega. Näiteks 8 rubla. 20 k ± 4 r. 15 k. Suulise liitmise ja lahutamise korral tuleb kõigepealt liita (lahutada) rublad ja seejärel kopikaid.

3 m 45 cm ± 2 m 24 cm - kõigepealt lisatakse (lahutatakse) meetrid ja seejärel sentimeetrid.

Murdude liitmisel ja lahutamisel arvesta üldine juhtum: nende toimingute sooritamine segaarvudega (nimetajad on samad): Sel juhul peate tegema järgmist: "Lisa (lahutage) täisarvud, seejärel lugejad ja nimetaja jääb samaks." See üldreegel kehtib kõigil murdude liitmise ja lahutamise juhtudel. Järk-järgult võetakse kasutusele erijuhud: segaarvu liitmine murdosaga, seejärel segaarv tervikuga. Pärast seda käsitletakse raskemaid lahutamise juhtumeid: 1) murdarvu segaarvust: 2) terviku segaarvust:

Pärast nende üsna lihtsate lahutamisjuhtumite omandamist tutvustatakse õpilastele raskemaid juhtumeid, kus on vaja minuendi teisendust: lahutada ühest tervest ühikust või mitmest ühikust, näiteks:

Esimesel juhul tuleb ühik esitada murdosana, mille nimetaja on võrdne alamjaotuse nimetajaga. Teisel juhul võtame täisarvust ühe ja kirjutame selle ka ebaõige murru kujul koos alajaotuse nimetajaga, saame minuendis segaarvu. Lahutamine toimub üldreegli järgi.

Lõpuks vaadeldakse lahutamise kõige keerulisemat juhtumit: segaarvust ja murdosa lugeja on väiksem kui alamjaotuse lugeja. Sel juhul on vaja minuendit muuta nii, et saaks rakendada üldreeglit, st minuendis võtta tervikust üks ühik ja see poolitada

viiendikutes saame ja ka, saame näite

on järgmisel kujul: saate juba taotleda selle lahendust

üldreegel.

Deduktiivse meetodi kasutamine murdude liitmise ja lahutamise õpetamisel aitab õpilastel arendada oskust üldistada, võrrelda, eristada ja lisada üksikuid arvutusjuhtumeid üldisesse teadmiste süsteemi murdarvudega tehte kohta.