Saime teada, et trigonomeetriliste funktsioonide käitumine ja funktsioonid y = sin x eriti, tervel arvureal (või argumendi kõigi väärtuste jaoks X) on täielikult määratud selle käitumisega intervallis 0 < X < π / 2 .
Seetõttu joonistame kõigepealt funktsiooni y = sin x täpselt selles intervallis.
Teeme järgmise oma funktsiooni väärtuste tabeli;
Märkides koordinaattasandile vastavad punktid ja ühendades need sujuva joonega, saame joonisel kujutatud kõvera
Saadud kõvera saab koostada ka geomeetriliselt, ilma funktsiooni väärtuste tabelit koostamata y = sin x .
1. Jaga 1 raadiusega ringi esimene veerand 8 võrdseks osaks Ringi jaotuspunktide ordinaadid on vastavate nurkade siinused.
2. Ringjoone esimene veerand vastab nurkadele 0 kuni π / 2 . Seetõttu teljel X Võtame segmendi ja jagame selle 8 võrdseks osaks.
3. Joonistame telgedega paralleelsed sirged X, ja jagamispunktidest konstrueerime ristid, kuni need ristuvad horisontaalsete joontega.
4. Ühendage ristumiskohad sujuva joonega.
Vaatame nüüd intervalli π /
2
<
X <
π
.
Iga argumendi väärtus X sellest intervallist saab esitada kui
x = π / 2 + φ
Kus 0 < φ < π / 2 . Reduktsioonivalemite järgi
patt ( π / 2 + φ ) = cos φ = sin( π / 2 - φ ).
Telje punktid X abstsissidega π / 2 + φ Ja π / 2 - φ telje punkti suhtes üksteise suhtes sümmeetrilised X abstsissiga π / 2 , ja siinused nendes punktides on samad. See võimaldab meil saada funktsiooni graafiku y = sin x intervallil [ π / 2 , π ], kuvades lihtsalt sümmeetriliselt selle funktsiooni graafiku intervallis sirgjoone suhtes X = π / 2 .
Nüüd kinnisvara kasutuses paaritu paarsusfunktsioon y = sin x,
patt (- X) = - patt X,
seda funktsiooni on lihtne joonistada intervallisse [- π , 0].
Funktsioon y = sin x on perioodiline perioodiga 2π ;. Seetõttu piisab selle funktsiooni kogu graafiku koostamiseks, kui jätkata joonisel näidatud kõverat perioodiliselt punktiga vasakule ja paremale. 2π .
Saadud kõverat nimetatakse sinusoid . See kujutab funktsiooni graafikut y = sin x.
Joonis illustreerib hästi kõiki funktsiooni omadusi y = sin x , mida oleme varem tõestanud. Meenutagem neid omadusi.
1) Funktsioon y = sin x määratletud kõigi väärtuste jaoks X , seega on selle domeen kõigi reaalarvude hulk.
2) Funktsioon y = sin x piiratud. Kõik väärtused, mida see aktsepteerib, on vahemikus -1 kuni 1, sealhulgas need kaks numbrit. Järelikult määrab selle funktsiooni variatsioonivahemiku võrratus -1 < juures < 1. Millal X = π / 2 + 2k π funktsioon võtab suurimad väärtused 1 ja x = - π / 2 + 2k π - väikseimad väärtused on võrdsed -1.
3) Funktsioon y = sin x on paaritu (sinusoid on päritolu suhtes sümmeetriline).
4) Funktsioon y = sin x perioodiline perioodiga 2 π .
5) 2n intervalliga π < x < π + 2n π (n on mis tahes täisarv) see on positiivne ja intervallides π + 2k π < X < 2π + 2k π (k on suvaline täisarv) see on negatiivne. Kui x = k π funktsioon läheb nulli. Seetõttu on need argumendi x väärtused (0; ± π ; ±2 π ; ...) nimetatakse funktsiooni nullideks y = sin x
6) intervallidega - π / 2 + 2n π < X < π / 2 + 2n π funktsiooni y = patt x suureneb monotoonselt ja intervallidega π / 2 + 2k π < X < 3π / 2 + 2k π see väheneb monotoonselt.
Peaksite pöörama erilist tähelepanu funktsiooni käitumisele y = sin x punkti lähedal X = 0 .
Näiteks sin 0,012 ≈ 0,012; sin(-0,05) ≈ -0,05;
sin 2° = patt π 2 / 180 = patt π / 90 ≈ 0,03 ≈ 0,03.
Samal ajal tuleb märkida, et mis tahes x väärtuste korral
| patt x| < | x | . (1)
Tõepoolest, olgu joonisel näidatud ringi raadius võrdne 1-ga,
a /
AOB = X.
Siis pattu x= AC. Aga AC< АВ, а АВ, в свою очередь, меньше длины дуги АВ, на которую опирается угол X. Selle kaare pikkus on ilmselt võrdne X, kuna ringi raadius on 1. Seega 0 juures< X < π / 2
sin x< х.
Seega funktsiooni veidruse tõttu y = sin x on lihtne näidata, et kui - π / 2 < X < 0
| patt x| < | x | .
Lõpuks, millal x = 0
| sin x | = | x |.
Seega | X | < π / 2 ebavõrdsus (1) on tõestatud. Tegelikult kehtib see ebavõrdsus ka | x | > π / 2 tänu sellele, et | patt X | < 1, a π / 2 > 1
Harjutused
1.Vastavalt funktsiooni graafikule y = sin x määrake: a) sin 2; b) patt 4; c) patt (-3).
2.Vastavalt funktsioonigraafikule y = sin x
määrata, milline number intervallist
[ - π /
2 ,
π /
2
] siinus on võrdne: a) 0,6; b) -0,8.
3. Funktsiooni graafiku järgi y = sin x
määrake, millistel arvudel on siinus,
võrdne 1/2-ga.
4. Leia ligikaudne (tabeleid kasutamata): a) sin 1°; b) sin 0,03;
c) sin (-0,015); d) sin (-2°30").
Selles õppetükis vaatleme üksikasjalikult funktsiooni y = sin x, selle põhiomadusi ja graafikut. Tunni alguses anname koordinaatringil trigonomeetrilise funktsiooni y = sin t definitsiooni ning vaatleme funktsiooni graafikut ringil ja sirgel. Näitame graafikul selle funktsiooni perioodilisust ja vaatleme funktsiooni põhiomadusi. Tunni lõpus lahendame funktsiooni ja selle omaduste graafiku abil mitmeid lihtsaid ülesandeid.
Teema: Trigonomeetrilised funktsioonid
Õppetund: Funktsioon y=sinx, selle põhiomadused ja graafik
Funktsiooni kaalumisel on oluline seostada iga argumendi väärtus ühe funktsiooni väärtusega. See kirjavahetuse seadus ja seda nimetatakse funktsiooniks.
Määratleme vastavusseaduse .
Iga reaalarv vastab ühikringi ühele punktile. Punktil on üks ordinaat, mida nimetatakse arvu siinuseks (joonis 1).
Iga argumendi väärtus on seotud ühe funktsiooni väärtusega.
Siinuse definitsioonist tulenevad ilmsed omadused.
Joonis näitab seda 
sest on ühikringjoone punkti ordinaat.
Vaatleme funktsiooni graafikut. Meenutagem argumendi geomeetrilist tõlgendust. Argumendiks on kesknurk, mõõdetuna radiaanides. Piki telge joonistame reaalarvud või nurgad radiaanides, piki telge funktsiooni vastavad väärtused.
Näiteks ühikringi nurk vastab graafiku punktile (joonis 2)
Oleme saanud funktsiooni graafiku piirkonnas, kuid teades siinuse perioodi, saame kujutada funktsiooni graafikut kogu definitsioonipiirkonna ulatuses (joonis 3).
Funktsiooni põhiperiood on See tähendab, et graafikut saab saada segmendi kohta ja seejärel jätkata kogu määratluspiirkonna ulatuses.
Mõelge funktsiooni omadustele:
1) Määratluse ulatus:
2) Väärtuste vahemik: 
3) paaritu funktsioon:
4) Väikseim positiivne periood:
5) Graafiku ja abstsisstelje lõikepunktide koordinaadid: 
6) Graafiku ja ordinaattelje lõikepunkti koordinaadid:
7) Intervallid, mille jooksul funktsioon võtab positiivseid väärtusi:
8) Intervallid, mille jooksul funktsioon võtab negatiivseid väärtusi:
9) intervallide suurendamine:
10) Vähenevad intervallid:
11) Miinimumpunktid: 
12) Minimaalsed funktsioonid:
13) Maksimaalsed punktid: 
14) Maksimaalsed funktsioonid:
Vaatasime funktsiooni ja selle graafiku omadusi. Omadusi kasutatakse probleemide lahendamisel korduvalt.
Bibliograafia
1. Algebra ja analüüsi algus, hinne 10 (kahes osas). Õpik üldharidusasutustele (profiilitasand), toim. A. G. Mordkovitš. -M.: Mnemosyne, 2009.
2. Algebra ja analüüsi algus, hinne 10 (kahes osas). Probleemiraamat haridusasutustele (profiilitasand), toim. A. G. Mordkovitš. -M.: Mnemosyne, 2007.
3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Algebra ja matemaatiline analüüs 10. klassile (õpik matemaatika süvaõppega koolide ja klasside õpilastele - M.: Prosveshchenie, 1996).
4. Galitski M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Algebra ja matemaatilise analüüsi süvaõpe.-M.: Haridus, 1997.
5. Matemaatika ülesannete kogumik kõrgkoolidesse sisseastujatele (toimetanud M.I. Skanavi - M.: Kõrgkool, 1992).
6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebraline simulaator.-K.: A.S.K., 1997.
7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Probleemid algebra ja analüüsipõhimõtete kohta (käsiraamat üldharidusasutuste 10.–11. klassi õpilastele - M.: Prosveštšenie, 2003).
8. Karp A.P. Ülesannete kogumik algebra ja analüüsi põhimõtete kohta: õpik. toetus 10-11 klassile. sügavusega uurinud Matemaatika.-M.: Haridus, 2006.
Kodutöö
Algebra ja analüüsi algus, hinne 10 (kahes osas). Probleemiraamat haridusasutustele (profiilitasand), toim.
A. G. Mordkovitš. -M.: Mnemosyne, 2007.
№№ 16.4, 16.5, 16.8.
Täiendavad veebiressursid
3. Haridusportaal eksamiteks valmistumiseks ().
Viiteteave trigonomeetriliste funktsioonide siinus (sin x) ja koosinus (cos x) kohta. Geomeetriline definitsioon, omadused, graafikud, valemid. Siinuste ja koosinuste tabel, tuletised, integraalid, jadalaiendused, sekant, kosekants. Avaldised keeruliste muutujate kaudu. Seos hüperboolsete funktsioonidega.
Siinuse ja koosinuse geomeetriline määratlus
|BD|- ringjoone kaare pikkus, mille keskpunkt on punktis A.
α
- radiaanides väljendatud nurk.
Definitsioon
Siinus (sin α) on trigonomeetriline funktsioon, mis sõltub täisnurkse kolmnurga hüpotenuusi ja haru vahelisest nurgast α, mis on võrdne vastasharu pikkuse suhtega |BC| hüpotenuusi pikkuseni |AC|.
Koosinus (cos α) on trigonomeetriline funktsioon, mis sõltub täisnurkse kolmnurga hüpotenuusi ja haru vahelisest nurgast α, mis on võrdne külgneva haru pikkuse suhtega |AB| hüpotenuusi pikkuseni |AC|.
Aktsepteeritud märkused
;
;
.
;
;
.
Siinusfunktsiooni graafik, y = sin x
Koosinusfunktsiooni graafik, y = cos x
Siinuse ja koosinuse omadused
Perioodilisus
Funktsioonid y = sin x ja y = cos x perioodiline perioodiga 2π.
Pariteet
Siinusfunktsioon on paaritu. Koosinusfunktsioon on paaris.
Määratluse ja väärtuste valdkond, äärmused, tõus, vähenemine
Siinus- ja koosinusfunktsioonid on pidevad oma definitsioonipiirkonnas, st kõigi x-ide puhul (vt pidevuse tõestust). Nende peamised omadused on toodud tabelis (n - täisarv).
| y = sin x | y = cos x | |
| Ulatus ja järjepidevus | - ∞ < x < + ∞ | - ∞ < x < + ∞ |
| Väärtuste vahemik | -1 ≤ y ≤ 1 | -1 ≤ y ≤ 1 |
| Kasvav | ||
| Langevad | ||
| Maxima, y = 1 | ||
| Miinimum, y = - 1 | ||
| Nullid, y = 0 | ||
| Lõikepunktid ordinaatteljega, x = 0 | y = 0 | y = 1 |
Põhivalemid
Siinuse ja koosinuse ruutude summa
Siinuse ja koosinuse valemid summast ja vahest
;
;
Siinuse ja koosinuse korrutise valemid
Summa ja vahe valemid
Siinuse väljendamine koosinuse kaudu
;
;
;
.
Koosinuse väljendamine siinuse kaudu
;
;
;
.
Väljend tangensi kaudu
; .
Millal meil on:
;
.
aadressil:
;
.
Siinuste ja koosinuste, puutujate ja kotangentide tabel
See tabel näitab siinuste ja koosinuste väärtusi argumendi teatud väärtuste jaoks. 
Avaldised keeruliste muutujate kaudu
;
Euleri valem
{ -∞ < x < +∞ }
Sekant, kosekant
Pöördfunktsioonid
Siinuse ja koosinuse pöördfunktsioonid on vastavalt arkosiinus ja arkosinus.
Arksiin, arcsin
Arccosine, arccos
Viited:
I.N. Bronstein, K.A. Semendjajev, matemaatika käsiraamat inseneridele ja üliõpilastele, “Lan”, 2009.
Tund ja ettekanne teemal: "Funktsioon y=sin(x). Definitsioonid ja omadused"
Lisamaterjalid
Kallid kasutajad, ärge unustage jätta oma kommentaare, ülevaateid, soove! Kõik materjalid on viirusetõrjeprogrammiga kontrollitud.
Käsiraamatud ja simulaatorid veebipoes Integral 10. klassile alates 1C
Lahendame ülesandeid geomeetrias. Interaktiivsed ehitusülesanded 7.-10. klassile
Tarkvarakeskkond "1C: Mathematical Constructor 6.1"
Mida me uurime:
- Funktsiooni Y=sin(X) omadused.
- Funktsioonide graafik.
- Kuidas koostada graafikut ja selle skaala.
- Näited.
Siinuse omadused. Y=sin(X)
Poisid, oleme juba tutvunud numbrilise argumendi trigonomeetriliste funktsioonidega. Kas sa mäletad neid?
Vaatame lähemalt funktsiooni Y=sin(X)
Kirjutame üles selle funktsiooni mõned omadused:
1) Määratluspiirkond on reaalarvude hulk.
2) Funktsioon on paaritu. Meenutagem paaritu funktsiooni määratlust. Funktsiooni nimetatakse paarituks, kui võrdus kehtib: y(-x)=-y(x). Nagu mäletame kummitusvalemitest: sin(-x)=-sin(x). Definitsioon on täidetud, mis tähendab, et Y=sin(X) on paaritu funktsioon.
3) Funktsioon Y=sin(X) suureneb lõigul ja väheneb lõigul [π/2; π]. Kui liigume mööda esimest kvartalit (vastupäeva), siis ordinaat tõuseb ja teisest kvartalist läbi liikudes väheneb.
4) Funktsioon Y=sin(X) on piiratud alt ja ülalt. See omadus tuleneb asjaolust, et
-1 ≤ sin(X) ≤ 1
5) Funktsiooni väikseim väärtus on -1 (at x = - π/2+ πk). Funktsiooni suurim väärtus on 1 (at x = π/2+ πk).
Kasutame omadusi 1-5 funktsiooni Y=sin(X) joonistamiseks. Koostame oma graafiku järjestikku, rakendades oma omadusi. Alustame segmendi graafiku koostamist.
Erilist tähelepanu tuleks pöörata skaalale. Ordinaatteljel on mugavam võtta ühikuline segment, mis on võrdne 2 lahtriga, ja abstsissteljele on mugavam võtta ühikuline segment (kaks lahtrit), mis on võrdne π/3-ga (vt joonist).
_2.png)
Siinusfunktsiooni x joonistamine, y=sin(x)
Arvutame oma segmendi funktsiooni väärtused:
_3.png)
Koostame oma punktide abil graafiku, võttes arvesse kolmandat omadust.
_4.png)
Kummitusvalemite teisendustabel
Kasutame teist omadust, mis ütleb, et meie funktsioon on paaritu, mis tähendab, et seda saab peegeldada sümmeetriliselt lähtekoha suhtes:
_5.png)
Teame, et sin(x+ 2π) = sin(x). See tähendab, et intervallil [- π; π] graafik näeb välja sama, mis lõigul [π; 3π] või või [-3π; - π] ja nii edasi. Tuleb vaid eelmisel joonisel olev graafik kogu x-telje ulatuses hoolikalt ümber joonistada.
_6.png)
Funktsiooni Y=sin(X) graafikut nimetatakse sinusoidiks.
Kirjutame konstrueeritud graafiku järgi veel mõned omadused:
6) Funktsioon Y=sin(X) kasvab igal lõigul kujul: [- π/2+ 2πk; π/2+ 2πk], k on täisarv ja kahaneb mis tahes lõigul kujul: [π/2+ 2πk; 3π/2+ 2πk], k – täisarv.
7) Funktsioon Y=sin(X) on pidev funktsioon. Vaatame funktsiooni graafikut ja veendume, et meie funktsioonil pole katkestusi, see tähendab järjepidevust.
8) Väärtuste vahemik: segment [- 1; 1]. See on selgelt näha ka funktsiooni graafikult.
9) Funktsioon Y=sin(X) - perioodiline funktsioon. Vaatame uuesti graafikut ja näeme, et funktsioon võtab teatud ajavahemike järel samu väärtusi.
Siinuse probleemide näited
1. Lahendage võrrand sin(x)= x-π
Lahendus: koostame funktsioonist 2 graafikut: y=sin(x) ja y=x-π (vt joonist).
Meie graafikud lõikuvad ühes punktis A(π;0), see on vastus: x = π
_7.png)
2. Joonistage funktsioon y=sin(π/6+x)-1
Lahendus: soovitud graafik saadakse funktsiooni y=sin(x) graafiku π/6 ühiku võrra vasakule ja 1 ühiku võrra allapoole liigutades.
_8.png)
Lahendus: Joonistame funktsiooni graafiku ja vaatleme meie lõiku [π/2; 5π/4].
Funktsiooni graafik näitab, et suurimad ja väikseimad väärtused saavutatakse lõigu otstes, vastavalt punktides π/2 ja 5π/4.
Vastus: sin(π/2) = 1 – suurim väärtus, sin(5π/4) = väikseim väärtus.
_9.png)
Siinuse ülesanded iseseisvaks lahendamiseks
- Lahenda võrrand: sin(x)= x+3π, sin(x)= x-5π
- Joonistage funktsioon y=sin(π/3+x)-2
- Joonistage funktsioon y=sin(-2π/3+x)+1
- Leia funktsiooni y=sin(x) suurim ja väikseim väärtus lõigul
- Leia funktsiooni y=sin(x) suurim ja väikseim väärtus intervallil [- π/3; 5π/6]
>>Matemaatika: funktsioonid y = sin x, y = cos x, nende omadused ja graafikud
Funktsioonid y = sin x, y = cos x, nende omadused ja graafikud
Selles osas käsitleme funktsioonide y = sin x, y = cos x mõningaid omadusi ja koostame nende graafikud.
1. Funktsioon y = sin X.
Eespool §-s 20 sõnastasime reegli, mis lubab iga arvu t siduda cos t arvuga, s.t. iseloomustas funktsiooni y = sin t. Märgime mõned selle omadused.
Funktsiooni u = sin t omadused.
Määratluspiirkond on reaalarvude hulk K.
See tuleneb asjaolust, et suvaline arv 2 vastab arvuringi punktile M(1), millel on täpselt määratletud ordinaat; see ordinaat on cos t.
u = sin t on paaritu funktsioon.
See tuleneb asjaolust, et nagu on tõendatud §-s 19, iga t võrdsus
See tähendab, et funktsiooni u = sin t graafik, nagu iga paaritu funktsiooni graafik, on ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis tOi lähtepunkti suhtes sümmeetriline.
Funktsioon u = sin t suureneb intervallil 
See tuleneb tõsiasjast, et kui punkt liigub mööda arvuringi esimest veerandit, siis ordinaat järk-järgult suureneb (0-lt 1-le – vt joonis 115) ja kui punkt liigub mööda arvuringi teist veerandit, suureneb ordinaat järk-järgult väheneb (1-lt 0-le – vt joon. 116).
Funktsioon u = sint on nii alt kui ka ülalt piiratud. See tuleneb asjaolust, et nagu nägime §-s 19, kehtib iga t puhul ebavõrdsus
(funktsioon jõuab selle väärtuseni vormi mis tahes punktis 
(funktsioon jõuab selle väärtuseni vormi mis tahes punktis
Saadud omadusi kasutades koostame meid huvitava funktsiooni graafiku. Kuid (tähelepanu!) kirjutame u - sin t asemele y = sin x (oleme ju rohkem harjunud kirjutama y = f(x), mitte u = f(t)). See tähendab, et me koostame graafiku tavalises xOy koordinaatsüsteemis (ja mitte tOy).
Teeme funktsiooni y - sin x väärtuste tabeli:
Kommenteeri.
Toome välja ühe termini "siinus" päritolu versioonidest. Ladina keeles tähendab sinus painutust (vibu nööri).
Ehitatud graafik mingil määral õigustab seda terminoloogiat. 
Sirget, mis toimib funktsiooni y = sin x graafikuna, nimetatakse siinuslaineks. Sinusoidi see osa, mis on näidatud joonisel fig. 118 või 119 nimetatakse siinuslaineks ja seda siinuslaine osa, mis on näidatud joonisel fig. 117, nimetatakse poollaineks või siinuslaine kaareks.
2. Funktsioon y = cos x.
Funktsiooni y = cos x uurimist saab läbi viia ligikaudu sama skeemi järgi, mida kasutati ülal funktsiooni y = sin x puhul. Kuid me valime tee, mis viib eesmärgini kiiremini. Esiteks tõestame kahte valemit, mis on iseenesest olulised (seda näete keskkoolis), kuid millel on praegu meie eesmärkide jaoks ainult abistav tähendus.
Mis tahes t väärtuse korral kehtivad järgmised võrdsused:
Tõestus. Vastagu arv t arvringi n punktile M ja arv * + - punkt P (joonis 124; lihtsuse huvides võtsime punkti M esimesel veerandil). Kaared AM ja BP on võrdsed ning täisnurksed kolmnurgad OKM ja OLBP on vastavalt võrdsed. See tähendab, et O K = Ob, MK = Pb. Nendest võrdsustest ning kolmnurkade OCM ja OBP asukohast koordinaatsüsteemis teeme kaks järeldust:
1) punkti P ordinaat nii suuruselt kui ka märgilt ühtib punkti M abstsissiga; see tähendab et
2) punkti P abstsiss on absoluutväärtuselt võrdne punkti M ordinaadiga, kuid erineb sellest märgi poolest; see tähendab et
Ligikaudu sama arutluskäik viiakse läbi juhtudel, kui punkt M ei kuulu esimesse kvartalisse.
Kasutame valemit 
(see on ülaltoodud valem, ainult muutuja t asemel kasutame muutujat x). Mida see valem meile annab? See võimaldab meil väita, et funktsioonid
on identsed, mis tähendab, et nende graafikud langevad kokku.
Joonistame funktsiooni 
Selleks liigume edasi abikoordinaatide süsteemi, mille alguspunkt on punktis (punktiirjoon on joonistatud joonisel 125). Seome funktsiooni y = sin x uue koordinaatsüsteemiga - see on funktsiooni graafik 
(joon. 125), s.o. funktsiooni y - cos x graafik. Seda, nagu funktsiooni y = sin x graafikut, nimetatakse siinuslaineks (mis on üsna loomulik).
Funktsiooni y = cos x omadused.
y = cos x on paarisfunktsioon.
Ehitusetapid on näidatud joonisel fig. 126:
1) koostage funktsiooni y = cos x graafik (täpsemalt üks poollaine);
2) venitades konstrueeritud graafiku x-teljelt koefitsiendiga 0,5, saame vajaliku graafiku ühe poollaine;
3) konstrueerime saadud poollaine abil funktsiooni y = 0,5 cos x kogu graafiku.