Sinus er en af ​​de grundlæggende trigonometriske funktioner, hvis brug ikke er begrænset til geometri alene. Tabeller til beregning af trigonometriske funktioner, såsom tekniske regnemaskiner, er ikke altid ved hånden, og beregning af sinus er nogle gange nødvendig for at løse forskellige opgaver. Generelt vil beregning af sinus hjælpe med at konsolidere tegnefærdigheder og viden om trigonometriske identiteter.

Spil med lineal og blyant

En simpel opgave: hvordan finder man sinus af en vinkel tegnet på papir? For at løse det skal du bruge en almindelig lineal, en trekant (eller kompas) og en blyant. Den enkleste måde at beregne sinus for en vinkel er ved at dividere det fjerne ben af ​​en trekant med en ret vinkel med den lange side - hypotenusen. Derfor skal du først færdiggøre den spidse vinkel til formen af ​​en retvinklet trekant ved at tegne en linje vinkelret på en af ​​strålerne i en vilkårlig afstand fra vinklens toppunkt. Vi bliver nødt til at opretholde en vinkel på præcis 90°, hvortil vi har brug for en gejstlig trekant.

At bruge et kompas er lidt mere præcist, men det vil tage længere tid. På en af ​​strålerne skal du markere 2 punkter i en vis afstand, justere radius på kompasset, ca. lig med afstand mellem punkter, og tegn halvcirkler med centre i disse punkter, indtil skæringspunkterne mellem disse linjer er opnået. Ved at forbinde skæringspunkterne i vores cirkler med hinanden får vi en streng vinkelret på vores vinkels stråle; det eneste, der er tilbage, er at forlænge linjen, indtil den skærer en anden stråle.

I den resulterende trekant skal du bruge en lineal til at måle siden modsat hjørnet og den lange side på en af ​​strålerne. Forholdet mellem den første dimension og den anden vil være den ønskede værdi af sinus Spids vinkel.

Find sinus for en vinkel større end 90°

Til Stump vinkel opgaven er ikke meget sværere. Du skal tegne en stråle fra toppunktet til den modsatte side bruge en lineal til at danne en lige linje med en af ​​strålerne i den vinkel, vi er interesserede i. Den resulterende spidse vinkel skal behandles som beskrevet ovenfor, sines tilstødende hjørner, der tilsammen danner en omvendt vinkel på 180°, er ens.

Beregning af sinus ved hjælp af andre trigonometriske funktioner

Det er også muligt at beregne sinus, hvis værdierne af andre trigonometriske funktioner af vinklen eller i det mindste længden af ​​trekantens sider er kendt. Trigonometriske identiteter vil hjælpe os med dette. Lad os se på almindelige eksempler.

Hvordan finder man sinus med en kendt cosinus af en vinkel? Den første trigonometriske identitet, baseret på Pythagoras sætning, siger, at summen af ​​kvadraterne af sinus og cosinus i samme vinkel er lig med én.

Hvordan finder man sinus med en kendt tangens af en vinkel? Tangenten fås ved at dividere den fjerne side med den nære side eller dividere sinus med cosinus. Således vil sinus være produktet af cosinus og tangent, og kvadratet af sinus vil være kvadratet af dette produkt. Vi erstatter den kvadratiske cosinus med forskellen mellem en og kvadratsinus ifølge den første trigonometrisk identitet og gennem simple manipulationer reducerer vi ligningen til beregningen af ​​kvadratets sinus gennem tangenten; derfor skal du for at beregne sinusen udtrække roden af ​​det opnåede resultat.

Hvordan finder man sinus med en kendt cotangens af en vinkel? Værdien af ​​cotangens kan beregnes ved at dividere længden af ​​benet nærmest vinklen med længden af ​​det fjerneste, og også ved at dividere cosinus med sinus, dvs. cotangens er en funktion, gensidig af tangent i forhold til tallet 1. For at beregne sinus kan du beregne tangenten ved hjælp af formlen tg α = 1 / ctg α og bruge formlen i den anden mulighed. Du kan også udlede en direkte formel i analogi med tangenten, som vil se ud på følgende måde.

Sådan finder du sinus af tre sider af en trekant

Der er en formel til at finde længden af ​​den ukendte side af enhver trekant, ikke kun en rektangulær, ud fra to kendte parter ved hjælp af den trigonometriske funktion af cosinus i den modsatte vinkel. Hun ser sådan ud.

Nå, sinus kan beregnes yderligere ud fra cosinus i henhold til formlerne ovenfor.

Lektion om emnet "Sinus, cosinus og tangens af en spids vinkel i en retvinklet trekant"

Lektionens mål:

pædagogisk - introducere begrebet sinus, cosinus, tangens af en spids vinkel i en retvinklet trekant, udforske afhængigheder og sammenhænge mellem disse størrelser;

udvikling - dannelsen af ​​begrebet sinus, cosinus, tangent som funktioner af en vinkel, domænet for definition af trigonometriske funktioner, udvikling logisk tænkning, udvikling af korrekt matematisk tale;

uddannelsesmæssigt – udvikling af færdigheder til selvstændigt arbejde, adfærdskultur, nøjagtighed i journalføring.

Lektionens fremskridt:

1. Organisering af tid

"Uddannelse er ikke antallet af lektioner, men antallet af forståede. Så hvis du vil frem, så skynd dig langsomt og vær forsigtig."

2. Lektionsmotivation.

En klog mand sagde: " Supreme manifestationånd er sindet. Den højeste manifestation af fornuft er geometri. Geometricellen er en trekant. Det er lige så uudtømmeligt som universet. Cirklen er geometriens sjæl. Kend cirklen, og du vil ikke kun kende geometriens sjæl, men du vil løfte din sjæl."

Vi vil prøve at lave lidt research sammen med dig. Lad os dele dine ideer, der kommer til dit sind, og vær ikke bange for at lave fejl, enhver tanke kan give os en ny retning at søge. Vores præstationer virker måske ikke store for nogen, men de vil være vores egne præstationer!

3. Opdatering af grundlæggende viden.

Hvilke vinkler kan der være?

Hvad er trekanter?

Hvad er de vigtigste elementer, der definerer en trekant?

Hvilke typer trekanter findes der afhængigt af siderne?

Hvilke typer trekanter findes der afhængigt af vinklerne?

Hvad er et ben?

Hvad er en hypotenuse?

Hvad kaldes siderne i en retvinklet trekant?

Hvilke forhold mellem siderne og vinklerne i denne trekant kender du?

Hvorfor har du brug for at kende sammenhængen mellem sider og vinkler?

Hvilke opgaver i livet kan føre til behovet for at beregne ukendte parter i en trekant?

Udtrykket "hypotenuse" kommer fra græsk ord"hypoinouse", der betyder "strække sig over noget", "sammentrækning". Ordet stammer fra billedet af oldgræske harper, hvorpå strengene er spændt i enderne af to indbyrdes vinkelrette stande. Udtrykket "cathetus" kommer fra det græske ord "kathetos", som betyder begyndelsen af ​​en "lodlinje", "vinkelret".

Euklid sagde: "Benene er de sider, der omslutter en ret vinkel."

I Det gamle Grækenland en metode til at konstruere en retvinklet trekant på jorden var allerede kendt. For at gøre dette brugte de et reb, hvorpå 13 knob blev bundet, i samme afstand fra hinanden. Under opførelsen af ​​pyramiderne i Egypten blev der på denne måde lavet retvinklede trekanter. Det er sandsynligvis grunden til, at en retvinklet trekant med siderne 3,4,5 blev kaldt Egyptisk trekant.

4. At studere nyt materiale.

I oldtiden så folk på stjernerne og førte på baggrund af disse observationer en kalender, beregnede sådatoer og tidspunktet for flodoversvømmelser; skibe til søs og karavaner på land navigerede deres rejse efter stjernerne. Alt dette førte til behovet for at lære at beregne siderne i en trekant, hvis to hjørner er på jorden, og den tredje er repræsenteret af et punkt på stjernehimlen. Ud fra dette behov opstod videnskaben om trigonometri – en videnskab, der studerer forbindelserne mellem siderne i en trekant.

Tror du, at de relationer, vi allerede kender, er nok til at løse sådanne problemer?

Formålet med dagens lektion er at udforske nye forbindelser og afhængigheder, at udlede relationer, ved hjælp af hvilke du i de næste geometritimer vil være i stand til at løse sådanne problemer.

Lad os føle, at vi er i rollen videnskabelige arbejdere og efter oldtidens genier Thales, Euklid, Pythagoras lad os gå stien søge efter sandheden.

Til dette har vi brug for teoretisk grundlag.

Fremhæv vinkel A og ben BC i rødt.

Fremhæv grøn ben AC.

Lad os beregne, hvilken del der er den modsatte side for en spids vinkel A til dens hypotenuse, for dette skaber vi forholdet modsatte side til hypotenusen:

Dette forhold har et særligt navn - sådan at enhver person i hvert punkt på planeten forstår det vi taler om omkring et tal, der repræsenterer forholdet mellem den modsatte side af en spids vinkel og hypotenusen. Dette ord er sinus. Skriv det ned. Da ordet sinus uden navnet på vinklen mister al betydning, er den matematiske notation som følger:

Lav nu en relation tilstødende ben til hypotenusen for spids vinkel A:

Dette forhold kaldes cosinus. Dens matematiske notation:

Lad os overveje et andet forhold for en spids vinkel A: forholdet mellem den modsatte side og den tilstødende side:

Dette forhold kaldes tangent. Dens matematiske notation:

5. Konsolidering af nyt materiale.

Lad os konsolidere vores mellemliggende opdagelser.

Sinus er...

Cosinus er...

Tangent er...

synd A =	synd OM =	synd A 1 =
fordi A =	cos OM =	fordi A 1 =
tan A =	tg OM =	tan A 1 =

Løs mundtligt nr. 88, 889, 892 (arbejd i par).

Brug af den tilegnede viden til at løse praktisk problem:

”Fra fyrtårnet, 70 m højt, er et skib synligt i en vinkel på 3° i forhold til horisonten. Hvad er det ligesom

afstand fra fyret til skibet?

Problemet er løst frontalt. Under diskussionen laver vi en tegning og de nødvendige notater på tavlen og i notesbøger.

Ved løsning af problemet anvendes Bradis-tabeller.

Overvej løsningen på problemet s. 175.

Løsning nr. 902(1).

6. Øvelse for øjnene.

Uden at dreje hovedet, kig rundt i klasseværelsets væg rundt om omkredsen med uret, tavlen rundt om omkredsen mod uret, trekanten afbildet på stativet med uret og den lige store trekant mod uret. Drej hovedet til venstre og se på horisontlinjen, og nu på spidsen af ​​din næse. Luk øjnene, tæl til 5, åbn øjnene og...

Vi lægger håndfladerne til øjnene,
Lad os sprede vores stærke ben.
Drejer til højre
Lad os se majestætisk omkring.
Og du skal også til venstre
Se under dine håndflader.
Og - til højre! Og videre
Over din venstre skulder!
Lad os nu fortsætte arbejdet.

7. Selvstændigt arbejde studerende.

Løs nr.

8. Lektionsopsummering. Afspejling. D/z.

Hvilke nye ting har du lært? Ved lektionen:

har du overvejet...

du analyserede...

Du modtog …

du har konkluderet...

du har genopfyldt leksikon følgende vilkår...

Verdensvidenskaben begyndte med geometri. En person kan ikke virkelig udvikle sig kulturelt og åndeligt, hvis han ikke har studeret geometri i skolen. Geometri opstod ikke kun fra det praktiske, men også fra menneskets åndelige behov.

Sådan forklarede hun poetisk sin kærlighed til geometri

Jeg elsker geometri...

Jeg underviser i geometri, fordi jeg elsker det

Vi har brug for geometri, uden den kan vi ikke komme nogen vegne.

Sinus, cosinus, omkreds - alt er vigtigt her,

Her er alt nødvendigt

Du skal bare lære og forstå alt meget klart,

Fuldfør opgaver og prøver til tiden.

Sinus og cosinus opstod oprindeligt fra behovet for at beregne mængder i retvinklede trekanter. Det blev bemærket, at hvis gradmålet for vinklerne i en retvinklet trekant ikke ændres, så forbliver størrelsesforholdet, uanset hvor meget disse sider ændrer sig i længden, altid det samme.

Sådan blev begreberne sinus og cosinus introduceret. Sinus for en spids vinkel i en retvinklet trekant er forholdet mellem den modsatte side og hypotenusen, og cosinus er forholdet mellem den side, der støder op til hypotenusen.

Sætning af cosinus og sinus

Men cosinus og sinus kan bruges til mere end bare retvinklede trekanter. For at finde værdien af ​​en stump eller spids vinkel eller side af en hvilken som helst trekant, er det nok at anvende sætningen for cosinus og sinus.

Cosinussætningen er ganske enkel: "Kvadratet på siden af ​​en trekant lig med summen kvadraterne på de to andre sider minus to gange produktet af disse sider med cosinus af vinklen mellem dem."

Der er to fortolkninger af sinussætningen: lille og udvidet. Ifølge den lille: ”I en trekant er vinklerne proportionale modstående partier». Denne teorem ofte udvidet på grund af egenskaben ved den omskrevne cirkel af en trekant: "I en trekant er vinklerne proportionale med de modsatte sider, og deres forhold er lig med diameteren af ​​den omskrevne cirkel."

Derivater

Den afledte er et matematisk værktøj, der viser, hvor hurtigt en funktion ændrer sig i forhold til en ændring i dens argument. Derivater bruges i geometri, og i en række tekniske discipliner.

Når du løser problemer, skal du kende tabelværdierne for afledte trigonometriske funktioner: sinus og cosinus. Den afledte af en sinus er en cosinus, og en cosinus er en sinus, men med et minustegn.

Anvendelse i matematik

Sinus og cosinus bruges især ofte til at løse retvinklede trekanter og problemer relateret til dem.

Bekvemmeligheden ved sinus og cosinus afspejles også i teknologien. Det var let at vurdere vinkler og sider ved at bruge sætningerne for cosinus og sinus, nedbrydning komplekse figurer og objekter i "enkle" trekanter. Ingeniører beskæftiger sig ofte med størrelsesforholdsberegninger og gradsmål, brugte en masse tid og kræfter på at beregne cosinus og sinus for ikke-tabelvinkler.

Så kom Bradis-tabeller til undsætning, der indeholdt tusindvis af værdier af sinus, cosinus, tangenter og cotangenter forskellige vinkler. I sovjetisk tid nogle lærere tvang deres elever til at huske sider med Bradis-tabeller.

Radian - vinkelstørrelse buer, længde lig med radius eller 57,295779513° grader.

Grad (i geometri) - 1/360. del af en cirkel eller 1/90. del ret vinkel.

π = 3,141592653589793238462… ( omtrentlige værdi Pi-tal).

Cosinus bord til vinkler: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330°, 360°.

Vinkel x (i grader)	0°	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°	180°	210°	225°	240°	270°	300°	315°	330°	360°
Vinkel x (i radianer)	0	π/6	π/4	π/3	π/2	2 x π/3	3 x π/4	5 x π/6	π	7 x π/6	5 x π/4	4 x π/3	3 x π/2	5 x π/3	7 x π/4	11 x π/6	2 x π
fordi x	1	√3/2 (0,8660)	√2/2 (0,7071)	1/2 (0,5)	0	-1/2 (-0,5)	-√2/2 (-0,7071)	-√3/2 (-0,8660)	-1	-√3/2 (-0,8660)	-√2/2 (-0,7071)	-1/2 (-0,5)	0	1/2 (0,5)	√2/2 (0,7071)	√3/2 (0,8660)	1

Gennemsnitligt niveau

retvinklet trekant. Den komplette illustrerede vejledning (2019)

HØJRE TREKANT. FØRSTE NIVEAU.

I problemer er den rigtige vinkel slet ikke nødvendig - den nederste venstre, så du skal lære at genkende en retvinklet trekant i denne form,

og i dette

og i dette

Hvad er godt ved en retvinklet trekant? Nå... først og fremmest er der særlige smukke navne for hans sider.

Vær opmærksom på tegningen!

Husk og lad være med at forveksle: der er to ben, og der er kun én hypotenuse(en eneste, unik og længst)!

Nå, vi har diskuteret navnene, nu det vigtigste: Pythagoras sætning.

Pythagoras sætning.

Denne teorem er nøglen til at løse mange problemer, der involverer en retvinklet trekant. Pythagoras beviste det fuldstændigt umindelige tider, og siden da har hun bragt meget gavn for dem, der kender hende. Og det bedste ved det er, at det er enkelt.

Så, Pythagoras sætning:

Kan du huske joken: "Pythagorean-bukser er lige på alle sider!"?

Lad os tegne de samme pythagoræiske bukser og se på dem.

Ligner det ikke en slags shorts? Nå, på hvilke sider og hvor er de lige? Hvorfor og hvor kom joken fra? Og denne vittighed hænger netop sammen med Pythagoras sætning, eller mere præcist med den måde, Pythagoras selv formulerede sin sætning. Og han formulerede det sådan:

"Sum arealer af firkanter, bygget på benene, er lig med kvadratisk areal, bygget på hypotenusen."

Lyder det virkelig lidt anderledes? Og så, da Pythagoras tegnede udsagnet om sin sætning, var det netop dette billede, der kom frem.

På dette billede er summen af ​​arealerne af de små firkanter lig med arealet af den store firkant. Og for at børn bedre kan huske, at summen af ​​kvadraterne på benene er lig med kvadratet af hypotenusen, kom en vittig med denne vittighed om pythagoræiske bukser.

Hvorfor formulerer vi nu Pythagoras sætning?

Lidt Pythagoras og talte om firkanter?

Ser du, i oldtiden var der ingen... algebra! Der var ingen skilte og så videre. Der var ingen inskriptioner. Kan du forestille dig, hvor forfærdeligt det var for de stakkels gamle elever at huske alt med ord??! Og vi kan glæde os over, at vi har en simpel formulering af Pythagoras sætning. Lad os gentage det igen for at huske det bedre:

Det burde være nemt nu:

Hypotenusens kvadrat er lig med summen af ​​kvadraterne på benene.

Nå, den vigtigste sætning om retvinklede trekanter er blevet diskuteret. Hvis du er interesseret i, hvordan det er bevist, så læs følgende teoriniveauer, og lad os nu gå videre... til mørk skov... trigonometri! Til de frygtelige ord sinus, cosinus, tangent og cotangens.

Sinus, cosinus, tangent, cotangens i en retvinklet trekant.

Faktisk er alt slet ikke så skræmmende. Selvfølgelig skal den "rigtige" definition af sinus, cosinus, tangent og cotangens ses på i artiklen. Men jeg gider virkelig ikke, gør jeg? Vi kan glæde os: For at løse problemer om en retvinklet trekant kan du blot udfylde følgende enkle ting:

Hvorfor er alt lige om hjørnet? Hvor er hjørnet? For at forstå dette skal du vide, hvordan udsagn 1 - 4 er skrevet med ord. Se, forstå og husk!

1.
Faktisk lyder det sådan her:

Hvad med vinklen? Er der et ben, der er modsat hjørnet, det vil sige et modsat (for en vinkel) ben? Selvfølgelig har! Dette er et ben!

Hvad med vinklen? Se godt efter. Hvilket ben støder op til hjørnet? Selvfølgelig benet. Det betyder, at for vinklen er benet tilstødende, og

Vær nu opmærksom! Se hvad vi fik:

Se hvor fedt det er:

Lad os nu gå videre til tangent og cotangens.

Hvordan kan jeg skrive det ned i ord nu? Hvad er benet i forhold til vinklen? Modsat, selvfølgelig - det "ligger" modsat hjørnet. Hvad med benet? Ved siden af ​​hjørnet. Så hvad har vi?

Se, hvordan tæller og nævner har byttet plads?

Og nu hjørnerne igen og lavede en udveksling:

Resumé

Lad os kort skrive alt det, vi har lært, ned.

Pythagoras sætning:

Hovedsætningen om retvinklede trekanter er Pythagoras sætning.

Pythagoras sætning

Kan du i øvrigt godt huske, hvad ben og hypotenuse er? Hvis ikke meget godt, så se på billedet - genopfrisk din viden

Det er meget muligt, at du allerede har brugt Pythagoras sætning mange gange, men har du nogensinde undret dig over, hvorfor sådan en sætning er sand? Hvordan kan jeg bevise det? Lad os gøre som de gamle grækere. Lad os tegne en firkant med en side.

Se, hvor smart vi opdelte dens sider i længder og!

Lad os nu forbinde de markerede prikker

Her noterede vi dog noget andet, men du selv ser på tegningen og tænker hvorfor det er sådan.

Hvad er arealet lig med? større firkant? Højre, . Hvad med et mindre område? Sikkert, . Det samlede areal af de fire hjørner forbliver. Forestil dig, at vi tog dem to ad gangen og lænede dem mod hinanden med deres hypotenuser. Hvad skete der? To rektangler. Det betyder, at arealet af "nedskæringerne" er ens.

Lad os samle det hele nu.

Lad os konvertere:

Så vi besøgte Pythagoras - vi beviste hans teorem på en gammel måde.

retvinklet trekant og trigonometri

For en retvinklet trekant gælder følgende relationer:

Sinus af en spids vinkel lig med forholdet modsatte side af hypotenusen

Cosinus af en spids vinkel er lig med forholdet mellem det tilstødende ben og hypotenusen.

Tangensen af ​​en spids vinkel er lig med forholdet mellem den modsatte side og den tilstødende side.

Cotangensen af ​​en spids vinkel er lig med forholdet mellem den tilstødende side og den modsatte side.

Og endnu en gang alt dette i form af en tablet:

Det er meget behageligt!

Tegn på lighed af retvinklede trekanter

I. På to sider

II. Ved ben og hypotenuse

III. Ved hypotenusen og spids vinkel

IV. Langs benet og spids vinkel

en)

b)

Opmærksomhed! Det er meget vigtigt her, at benene er "passende". For eksempel, hvis det går sådan her:

SÅ ER TREKANTER IKKE LIGE, på trods af at de har én identisk spids vinkel.

Behøver i begge trekanter var benet ved siden af ​​hinanden, eller i begge var det modsat.

Har du lagt mærke til, hvordan lighedstegnene i retvinklede trekanter adskiller sig fra de sædvanlige lighedstegn i trekanter? Tag et kig på emnet "og vær opmærksom på, at for lighed mellem "almindelige" trekanter skal tre af deres elementer være ens: to sider og vinklen mellem dem, to vinkler og siden mellem dem, eller tre sider. Men for ligheden af ​​retvinklede trekanter er kun to tilsvarende elementer nok. Fantastisk, ikke?

Situationen er omtrent den samme med tegnene på lighed i retvinklede trekanter.

Tegn på lighed mellem retvinklede trekanter

I. Langs en spids vinkel

II. På to sider

III. Ved ben og hypotenuse

Median i en retvinklet trekant

Hvorfor er det sådan?

I stedet for en retvinklet trekant skal du overveje et helt rektangel.

Lad os tegne en diagonal og overveje et punkt - skæringspunktet mellem diagonalerne. Hvad ved du om diagonalerne i et rektangel?

Og hvad følger deraf?

Så det viste sig

1. - median:

Husk dette faktum! Hjælper meget!

Hvad der er endnu mere overraskende er, at det modsatte også er tilfældet.

Hvad godt kan man få ud af, at medianen trukket til hypotenusen er lig med halvdelen af ​​hypotenusen? Lad os se på billedet

Se godt efter. Vi har: , det vil sige, at afstandene fra punktet til alle tre hjørner i trekanten viste sig at være lige store. Men der er kun et punkt i trekanten, hvorfra afstandene fra alle tre spidser i trekanten er lige store, og dette er CIRKLENS MIDTE. Hvad skete der?

Så lad os starte med dette "udover...".

Lad os se på og.

Men lignende trekanter alle vinkler er lige store!

Det samme kan siges om og

Lad os nu tegne det sammen:

Hvilken fordel kan man få ud af denne "tredobbelte" lighed?

Nå, for eksempel - to formler for højden af ​​en retvinklet trekant.

Lad os nedskrive forholdet mellem de tilsvarende parter:

For at finde højden løser vi proportionen og får den første formel "Højde i en retvinklet trekant":

Så lad os anvende ligheden: .

Hvad vil der ske nu?

Igen løser vi proportionen og får den anden formel:

Du skal huske begge disse formler meget godt og bruge den, der er mere praktisk. Lad os skrive dem ned igen

Pythagoras sætning:

I en retvinklet trekant er hypotenusens kvadrat lig med summen af ​​kvadraterne på benene:.

Tegn på lighed af retvinklede trekanter:

• på to sider:
• ved ben og hypotenuse: eller
• langs benet og tilstødende spids vinkel: eller
• langs benet og den modsatte spidse vinkel: eller
• ved hypotenusen og spids vinkel: eller.

Tegn på lighed mellem retvinklede trekanter:

• et spidst hjørne: eller
• fra proportionaliteten af ​​to ben:
• ud fra proportionaliteten af ​​benet og hypotenusen: eller.

Sinus, cosinus, tangent, cotangens i en retvinklet trekant

• Sinus for en spids vinkel i en retvinklet trekant er forholdet mellem den modsatte side og hypotenusen:
• Cosinus for en spids vinkel i en retvinklet trekant er forholdet mellem det tilstødende ben og hypotenusen:
• Tangensen af ​​en spids vinkel i en retvinklet trekant er forholdet mellem den modsatte side og den tilstødende side:
• Cotangensen af ​​en spids vinkel i en retvinklet trekant er forholdet mellem den tilstødende side og den modsatte side: .

Højde af en retvinklet trekant: eller.

I en retvinklet trekant er medianen trukket fra toppunktet af den rette vinkel lig med halvdelen af ​​hypotenusen:.

Arealet af en retvinklet trekant:

• via ben:

Lærere mener, at enhver elev skal være i stand til at udføre beregninger, ved det trigonometriske formler, men ikke alle lærere forklarer, hvad sinus og cosinus er. Hvad er deres betydning, hvor bruges de? Hvorfor taler vi om trekanter, men lærebogen viser en cirkel? Lad os prøve at forbinde alle fakta sammen.

Skolefag

Studiet af trigonometri begynder normalt i klasse 7-8 Gymnasium. På dette tidspunkt får eleverne forklaret, hvad sinus og cosinus er, og de bliver bedt om at løse geometriske problemer ved at bruge disse funktioner. Mere dukker op senere komplekse formler og udtryk, der skal transformeres algebraisk (formler for dobbelt og halv vinkel, magt funktioner), arbejde udføres med en trigonometrisk cirkel.

Men lærerne er ikke altid i stand til klart at forklare betydningen af ​​de anvendte begreber og anvendeligheden af ​​formlerne. Derfor ser eleven ofte ikke pointen i dette emne, og husket information bliver hurtigt glemt. Det er dog værd en gang at forklare en gymnasieelev for eksempel sammenhængen mellem funktion og oscillerende bevægelse, Og logisk sammenhæng vil blive husket i mange år, og vittigheder om varens ubrugelighed vil blive fortid.

Brug

For nysgerrighedens skyld, lad os se nærmere på forskellige grene af fysikken. Vil du bestemme rækkevidden af ​​et projektil? Eller beregner du friktionskraften mellem et objekt og en bestemt overflade? At svinge pendulet, se strålerne passere gennem glasset, beregne induktionen? Trigonometriske begreber forekommer i næsten enhver formel. Så hvad er sinus og cosinus?

Definitioner

En vinkels sinus er forholdet mellem den modsatte side og hypotenusen, cosinus er forholdet mellem den tilstødende side og den samme hypotenusa. Der er absolut intet kompliceret her. Måske er eleverne normalt forvirrede over de betydninger, de ser i trigonometrisk tabel, fordi der optræder kvadratrødder. Ja, at få decimaler fra dem er ikke særlig bekvemt, men hvem sagde, at alle tal i matematik skal være lige store?

Faktisk kan du finde et sjovt tip i trigonometriproblembøger: de fleste af svarene her er lige og i værste tilfælde indeholde roden af ​​to eller tre. Konklusionen er enkel: Hvis dit svar viser sig at være en "flerhistorie"-brøk, skal du dobbelttjekke løsningen for fejl i beregninger eller ræsonnementer. Og du vil højst sandsynligt finde dem.

Hvad skal man huske

Som enhver videnskab har trigonometri data, der skal læres.

Først skal du huske numeriske værdier for sinus, cosinus af en retvinklet trekant 0 og 90, samt 30, 45 og 60 grader. Disse indikatorer forekommer hos ni ud af ti skoleopgaver. Ved at se på disse værdier i en lærebog, vil du miste meget tid, og der vil slet ikke være nogen steder at se på dem under en test eller eksamen.

Det skal huskes, at værdien af ​​begge funktioner ikke kan overstige én. Hvis du nogen steder i dine beregninger får en værdi uden for 0-1-området, skal du stoppe og prøve problemet igen.

Summen af ​​kvadraterne af sinus og cosinus er lig med én. Hvis du allerede har fundet en af ​​værdierne, skal du bruge denne formel til at finde den resterende.

Sætninger

Der er to grundlæggende sætninger i grundlæggende trigonometri: sinus og cosinus.

Den første siger, at forholdet mellem hver side af en trekant og sinus for den modsatte vinkel er det samme. Den anden er, at kvadratet af enhver side kan opnås ved at lægge kvadraterne på de to resterende sider og trække deres dobbeltprodukt ganget med cosinus af vinklen mellem dem.

Således, hvis vi erstatter værdien af ​​en vinkel på 90 grader i cosinussætningen, får vi... Pythagoras sætning. Nu, hvis du har brug for at beregne arealet af en figur, der ikke er en retvinklet trekant, behøver du ikke bekymre dig længere - de to diskuterede sætninger vil væsentligt forenkle løsningen af ​​problemet.

Mål og målsætninger

At lære trigonometri bliver meget nemmere, når du indser en simpel kendsgerning: alle de handlinger, du udfører, er rettet mod kun at opnå ét mål. Alle parametre for en trekant kan findes, hvis du kender det absolutte minimum af information om den - dette kan være værdien af ​​en vinkel og længden af ​​to sider eller for eksempel tre sider.

For at bestemme sinus, cosinus, tangens af enhver vinkel er disse data tilstrækkelige, og med deres hjælp kan du nemt beregne arealet af figuren. Næsten altid kræver svaret en af ​​de nævnte værdier, og de kan findes ved hjælp af de samme formler.

Uoverensstemmelser i at lære trigonometri

Et af de gådefulde spørgsmål, som skolebørn helst undgår, er at opdage sammenhængen mellem forskellige koncepter i trigonometri. Det ser ud til, at trekanter bruges til at studere vinklers sinus og cosinus, men af ​​en eller anden grund findes symbolerne ofte i figuren med en cirkel. Derudover er der en helt uforståelig bølgelignende graf kaldet en sinusbølge, som ikke har nogen ydre lighed med hverken en cirkel eller trekanter.

Desuden måles vinkler enten i grader eller i radianer, og tallet Pi, skrevet blot som 3,14 (uden enheder), optræder af en eller anden grund i formlerne, svarende til 180 grader. Hvordan hænger alt dette sammen?

Enheder

Hvorfor er Pi præcis 3.14? Kan du huske, hvad denne betydning er? Dette er antallet af radier, der passer i en bue på en halv cirkel. Hvis diameteren af ​​cirklen er 2 centimeter, vil omkredsen være 3,14 * 2 eller 6,28.

Andet punkt: du har måske bemærket ligheden mellem ordene "radian" og "radius". Faktum er, at en radian er numerisk lig med værdien vinklen spændt fra midten af ​​cirklen til en bue en radius lang.

Nu vil vi kombinere den opnåede viden og forstå, hvorfor "Pi i halv" er skrevet oven på koordinataksen i trigonometri, og "Pi" er skrevet til venstre. Dette er en vinkelværdi målt i radianer, fordi en halvcirkel er 180 grader eller 3,14 radianer. Og hvor der er grader, er der sinus og cosinus. Det er nemt at tegne en trekant fra det ønskede punkt ved at afsætte segmenter til midten og til koordinataksen.

Lad os se ind i fremtiden

Trigonometri, studeret i skolen, beskæftiger sig med retlinet system koordinater, hvor, hvor mærkeligt det end lyder, en ret linje er en ret linje.

Men der er mere komplekse måder arbejde med rummet: summen af ​​trekantens vinkler her vil være mere end 180 grader, og den lige linje i vores optik vil ligne en rigtig bue.

Lad os gå fra ord til handling! Tag et æble. Lav tre snit med en kniv, så set fra oven får du en trekant. Tag det resulterende stykke æble ud og se på "ribbenene", hvor skrællen ender. De er slet ikke lige. Frugten i dine hænder kan konventionelt kaldes rund, men forestil dig nu, hvor komplekse formlerne skal være, med hvilke du kan finde området af det afskårne stykke. Men nogle specialister løser sådanne problemer hver dag.

Trigonometriske funktioner i livet

Har du bemærket, at den korteste rute for et fly fra punkt A til punkt B på vores planets overflade har en udtalt bueform? Årsagen er enkel: Jorden er sfærisk, hvilket betyder, at du ikke kan beregne meget ved hjælp af trekanter - du skal bruge mere komplekse formler.

Du kan ikke undvære sinus/cosinus for en spids vinkel i spørgsmål relateret til rum. Interessant nok er der mange faktorer, der spiller sammen her: trigonometriske funktioner kræves ved beregning af planeters bevægelse i cirkler, ellipser og forskellige baner på mere end komplekse former; processen med at opsende raketter, satellitter, shuttles, frigøre forskningskøretøjer; overvågning fjerne stjerner og studiet af galakser, som mennesker ikke vil være i stand til at nå inden for en overskuelig fremtid.

Generelt er aktivitetsfeltet for en person, der kender trigonometri, meget bredt og vil tilsyneladende kun udvides over tid.

Konklusion

I dag lærte vi, eller i det mindste gentaget, hvad sinus og cosinus er. Det er begreber, som du ikke behøver at være bange for - bare vil have dem, og du vil forstå deres betydning. Husk, at trigonometri ikke er et mål, men kun et værktøj, der kan bruges til at tilfredsstille reelle menneskelige behov: Byg huse, sørg for trafiksikkerhed, udforsk selv universets vidder.

Faktisk kan videnskaben i sig selv virke kedelig, men så snart du finder en måde at nå dine egne mål og selvrealisering i den, vil læringsprocessen blive interessant, og din personlige motivation vil stige.

Som lektier Prøv at finde måder at anvende trigonometriske funktioner i et aktivitetsområde, der interesserer dig personligt. Forestil dig, brug din fantasi, og så vil du sikkert opleve, at ny viden vil være nyttig for dig i fremtiden. Og desuden er matematik brugbart til generel udvikling tænker.