Начало Намирането на неопределен интеграл е много често срещан проблем ввисша математика и други технически клонове на науката. Дори най-простото решениефизически проблеми често е невъзможно да се направи без изчисляване на няколкопрости интеграли . Следователно, сучилищна възраст учат ни техники и методи за решаване на интеграли; дадени са множество таблици с интеграли на най-простите функции. С течение на времето обаче всичко това е безопасно забравено, или нямаме достатъчно време за изчисляване, или имаме нужданамерете решението на неопределения интеграл от многосложна функция

. За решаването на тези проблеми нашата услуга ще бъде незаменима за вас, позволявайки ви да намерите точно неопределения интеграл онлайн.

Решаване на неопределен интеграл Онлайн услуга науебсайт ви позволява да намеритерешаване на интеграла онлайн бързо, безплатно и високо качество. Можете да замените търсенето в таблиците на желания интеграл с нашата услуга, където чрез бързо въвежданежеланата функция , ще получите решението на неопределения интеграл в табличен вариант. Не всички математически сайтове са способни да изчисляват неопределени интеграли на функции онлайн бързо и ефективно, особено ако трябва да намерите не определен интеграл от сложна функция или такива функции, които не са включени вобщ курс Онлайн услуга нависша математика. уебсайт ще помогне решаване на интеграл онлайн

и се справят със задачата. Използвайки онлайн решението на интеграла на уебсайта, винаги ще получите точния отговор. Дори ако искате сами да изчислите интеграла, благодарение на нашата услуга ще ви бъде лесно да проверите отговора си, да откриете грешка или печатна грешка или да се уверите, че задачата е изпълнена безупречно. Ако решавате задача и трябва да изчислите неопределения интеграл като помощно действие, тогава защо да губите време за тези действия, които може би вече сте извършили хиляди пъти? освен товадопълнителни изчисления интегралите може да са причина за печатна грешка или малка грешка, която впоследствие е довела до неправилен отговор. Просто използвайте нашите услуги и намеретенеопределен интеграл онлайн без никакви усилия. Запрактически проблеми чрез намиранеинтегрална функциионлайн този сървър е много полезен. Задължително за влизанедадена функция , получионлайн решениеи сравнете отговора с вашето решение.

Неопределен интеграл.
Подробни примерирешения

В този урок ще започнем да изучаваме темата Неопределен интеграл, а също така ще анализираме подробно примери за решения на най-простите (и не толкова прости) интеграли. В тази статия ще се огранича до минимум теория и сега нашата задача е да се научим как да решаваме интеграли.

Какво трябва да знаете, за да усвоите успешно материала? За да се справите с интегралното смятане, трябва да можете да намирате производни най-малко на средно ниво. Ето защо, ако материалът е пуснат, препоръчвам ви първо да прочетете внимателно уроците Как да намерим производната?И Производна на сложна функция. Няма да е загуба на опит, ако имате няколко десетки (за предпочитане сто) независимо намерени производни под колана си. Най-малкото не трябва да се обърквате от задачите за разграничаване на най-простите и най-често срещаните функции. Изглежда, какво общо имат производните, ако статията е за интеграли?! Ето това е нещото. Факт е, че намирането на производни и намирането на неопределени интеграли (диференциране и интегриране) са две взаимно обратно действие, като събиране/изваждане или умножение/деление. По този начин, без умението (+ известен опит) за намиране на производни, за съжаление, не можете да продължите напред.

В тази връзка ще ни трябва следното учебни материали: Таблица с производниИ Таблица на интегралите. Справочни ръководствамогат да бъдат отворени, изтеглени или отпечатани на страницата Математически формули и таблици.

Каква е трудността при изучаването на неопределени интеграли? Ако в производните има строго 5 правила за диференциране, таблица с производни и доста ясен алгоритъм на действия, тогава в интегралите всичко е различно. Има десетки методи и техники за интегриране. И ако първоначално методът на интегриране е избран неправилно (т.е. не знаете как да решите), тогава интегралът може да бъде „убоден“ буквално с дни, като истински пъзел, опитвайки се да разберете различни техникии трикове. Някои хора дори го харесват. Между другото, това не е шега, доста често чувах от студенти мнение като „Никога не съм имал интерес към решаването на границата или производната, но интегралите са съвсем друг въпрос, това е очарователно, винаги има желание да "хакна" сложен интеграл" Спрете. Стига с черния хумор, да преминем към тези много неопределени интеграли.

След като има толкова много начини за решаването му, тогава откъде да започнем изучаването на неопределени интеграли за чайник? IN интегрално смятанеСпоред мен има три стълба или нещо като „ос“, около която се върти всичко останало. На първо място, трябва да имате добро разбиране на най-простите интеграли (тази статия). След това трябва да обработите подробно урока. ТОВА НАЙ-ВАЖНАТА ТЕХНИКА! Може би дори най-важната статия от всички мои статии за интегралите. И трето, определено трябва да се запознаете с метода на интегриране по части, тъй като той може да се използва за интегриране на широк клас функции. Ако усвоите поне тези три урока, тогава вече няма да имате два. Може да ви бъде простено, че не знаете интеграли от тригонометрични функции, интеграли от дроби, интеграли от дробно-рационални функции, интеграли от ирационални функции (корени), но ако се забиете в метода на заместване или метода на интегриране по части, тогава това ще бъде много, много лошо.

Демотиваторите вече са много разпространени в RuNet. В контекста на изучаването на интеграли, напротив, просто е необходимо МОТИВАТОР. Като в онзи виц за Василий Иванович, който мотивирал и Петка, и Анка. Уважаеми мързеливци, бездарници и други нормални студенти, не пропускайте да прочетете следното. Знания и умения за неопределения интеграл ще се изискват при по-нататъшно обучение, по-специално при изучаване на определен интеграл, неправилни интеграли и диференциални уравнения през 2-ра година. Необходимостта от вземане на интеграла възниква дори в теорията на вероятностите! по този начин без интеграли пътят към лятната сесия и 2-ра година НАИСТИНА ЩЕ БЪДЕ ЗАТВОРЕН. говоря сериозно Изводът е следният. Колкото повече интеграли различни видовевие решавате, толкова по-лесно ще бъде по-късен живот . Да, ще отнеме доста време, да, понякога не искате, да, понякога „по дяволите, с този интеграл, може би няма да го получите“. Но следващата мисъл трябва да вдъхнови и стопли душата ви; усилията ви ще се изплатят напълно! Ще можете да разбивате диференциални уравнения като ядки и лесно да се справяте с интеграли, които ще срещнете в други раздели на висшата математика. След като сте разбрали напълно неопределения интеграл, ВИЕ ВСЪЩНОСТ ЩЕ УПРАВИТЕ ОЩЕ НЯКОЛКО СЕКЦИИ ОТ КУЛАТА.

И така просто не можех да не творя интензивен курспо техниката на интегриране, която се оказа учудващо кратка - желаещите могат да ползват pdf книгата и да се подготвят МНОГО бързо. Но материалите на сайта в никакъв случай не са по-лоши!

И така, нека започнем просто. Нека да разгледаме таблицата на интегралите. Както при производните, забелязваме няколко правила за интегриране и таблица с интеграли от някои елементарни функции. Лесно е да се види, че всеки табличен интеграл (и наистина всеки неопределен интеграл) има формата:

Нека веднага разберем обозначенията и термините:

– интегрална икона.

– функция интегранд (изписва се с буквата “s”).

– диференциална икона. Когато пишете интеграла и по време на решението, е важно да не загубите тази икона. Ще има забележим недостатък.

– интеграл или “запълване” на интеграла.

– противопроизводна функция.

– много оригинални функции. Няма нужда да се натоварвате много с термини; най-важното е, че към всеки неопределен интеграл се добавя константа.

Решаването на интеграла означава намиране специфична функция, използвайки някои правила, техники и таблица.

Нека да разгледаме записа отново:

Нека да разгледаме таблицата на интегралите.

какво се случва Имаме левите части превръщам се вкъм други функции: .

Нека опростим нашето определение.

Решаването на неопределен интеграл означава ПРЕОБРАЗУВАНЕТО му в определена функция, като се използват някои правила, техники и таблица.

Вземете например табличния интеграл . какво стана превърнат във функция.

Както в случая с производните, за да се научите как да намирате интеграли, не е нужно да сте наясно с какво е интеграл, антипроизводна функция от теоретична гледна точка. Достатъчно е просто да извършите трансформации според някои формални правила. Така че, в случай Изобщо не е необходимо да разбираме защо интегралът се превръща в . Засега можем да приемем тази и други формули за даденост. Всеки използва електричество, но малко хора се замислят как електроните се движат през жици.

Тъй като диференцирането и интегрирането са противоположни операции, тогава за всяко намерено антипроизводно вярно, вярно е следното:

С други думи, ако диференцирате правилния отговор, тогава трябва да получите оригиналната функция интегранд.

Нека се върнем към същия табличен интеграл .

Нека проверим валидността на тази формула. Вземаме производната на дясната страна:

е оригиналната интегрална функция.

Между другото, стана по-ясно защо константа винаги се присвоява на функция. Когато се диференцира, константата винаги се обръща към нула.

Решаване на неопределен интеграл- означава да намериш много всичкиантипроизводни, а не само една функция. В разглеждания пример с таблица , , , и т.н. – всички тези функции са решения на интеграла. Има безкрайно много решения, затова ги записваме накратко:

По този начин всеки неопределен интеграл е доста лесен за проверка (за разлика от производните, където добра проверка може да се направи само с математически програми). Това е известна компенсация за голям брой интеграли от различни типове.

Нека да преминем към разглеждане конкретни примери. Нека започнем, както при изучаването на производната,
с две правила за интегриране, наричани още свойства на линейност неопределен интеграл:

– постоянен фактормогат (и трябва) да бъдат извадени от интегралния знак.

– интегралът от алгебричната сума на две функции е равен на алгебрична сумадва интеграла на всяка функция поотделно. Този имотвалидни за произволен брой условия.

Както можете да видите, правилата са основно същите като за дериватите.

Пример 1

Решение: По-удобно е да го пренапишете на хартия.

(1) Приложете правилото . Не забравяйте да запишете диференциалния символ под всеки интеграл. Защо под всеки? - това е пълен множител, ако опишем решението подробно, тогава първата стъпка трябва да бъде написана така:

(2) Съгласно правилото , вземаме всички константи извън интегралните знаци. Моля, обърнете внимание, че последният член е константа, ние също го изваждаме.
Освен това на тази стъпкаПодготвяме корени и мощности за интеграция. По същия начин, както при диференцирането, корените трябва да бъдат представени във формата . Преместете корените и степените, които се намират в знаменателя нагоре.

! Забележка: за разлика от производните, корените в интегралите не винаги трябва да се редуцират до формата , а степените трябва да се прехвърлят нагоре. Например, това е готова интегрална маса и всякакви китайски трикове като напълно ненужно. По същия начин: – също табличен интеграл, няма смисъл дробта да се представя във формата . Проучете внимателно таблицата!

(3) Всички наши интеграли са таблични. Извършваме трансформацията с помощта на таблица, използвайки формулите: , И .
Специално вниманиеОбръщам се към формулата за интегриране на степенна функция , среща се много често, по-добре е да го запомните. Трябва да се отбележи, че табличният интеграл е специален случайсъщата формула: .
Достатъчно е да добавите константата веднъж в края на израза (а не да ги поставяте след всеки интеграл).
(4) Записваме получения резултат в по-компактна форма, всички степени на формата отново се представят под формата на корени, степени с отрицателен показател– върнете го обратно към знаменателя.

преглед. За да извършите проверката, е необходимо да разграничите получения отговор:

Първоначално получено интегрант, което означава, че интегралът е намерен правилно. От какво са танцували, към това са се върнали. Знаеш ли, много е хубаво, когато една история с интеграл завършва по този начин.

От време на време има малко по-различен подход за проверка на неопределения интеграл, а производната се взема от отговора:

Тези, които разбраха от първия семестър, разбраха, но сега за нас са важни не теоретичните тънкости, а важното е какво да правим по-нататък с този диференциал. Трябва да се разкрие и от формална техническа гледна точка това е почти същото като намирането на производно. Диференциалът се отваря както следва: премахнете иконата, поставете черта вдясно над скобата, добавете фактор в края на израза:

Получен оригинал интегрант, което означава, че интегралът е намерен правилно.

Вторият метод за проверка ми харесва по-малко, тъй като трябва допълнително да рисувам големи скоби и да плъзгам диференциалната икона до края на проверката. Въпреки че е по-правилно или „по-уважавано“ или нещо подобно.

Всъщност можех изобщо да премълча втория метод за проверка. Въпросът не е в метода, а в това, че сме се научили да отваряме диференциала. Отново.

Разликата се разкрива по следния начин:

1) премахнете иконата;
2) вдясно над скобата поставяме черта (обозначаване на производната);
3) в края на израза присвояваме фактор .

Например:

Запомнете това. Ще имаме нужда от тази техника много скоро.

Пример 2

Намерете неопределения интеграл. Извършете проверка.

Когато намерим неопределен интеграл, ние ВИНАГИ се опитваме да проверимОсвен това има страхотна възможност за това. Не всички видове задачи във висшата математика са подарък от тази гледна точка. Няма значение толкова често тестови задачине се изисква проверка, никой не го проверява и нищо не пречи да се извърши на чернова. Изключение може да се направи само когато няма достатъчно време (например по време на тест или изпит). Лично аз винаги проверявам интегралите и смятам липсата на проверка за хакване и лошо изпълнена задача.

Пример 3

Намерете неопределения интеграл. Извършете проверка.

Решение: Анализирайки интеграла, виждаме, че имаме произведението на две функции и дори степенуването на цял израз. За съжаление, в областта на интегралната битка няма добри и удобни формули за интегриране на продукта и конкретния , .

И следователно, когато е дадено произведение или частно, винаги има смисъл да се види дали е възможно да се трансформира интеграндът в сума?

Разглежданият пример е случаят, когато е възможно. Първо ще донеса цялостно решение, коментарите ще бъдат по-долу.

(1) Използваме добрата стара формула на квадрата на сумата, като се отървем от степента.

(2) Поставяме го в скоби, отървавайки се от продукта.

Пример 4

Намерете неопределения интеграл. Извършете проверка.

Това е пример, който можете да решите сами. Отговорът и пълното решение са в края на урока.

Пример 5

Намерете неопределения интеграл. Извършете проверка.

IN в този примеринтегрантът е дроб. Когато видим дроб в интегранта, първата мисъл трябва да бъде въпросът: Възможно ли е по някакъв начин да се отървем от тази дроб или поне да я опростим?

Забелязваме, че знаменателят съдържа един корен от „X“. Един в полето не е воин, което означава, че можем да разделим числителя на знаменателя член по член:

Действия с дробни степениНе коментирам, тъй като те са били обсъждани многократно в статии за производната функция. Ако все още сте объркани от такъв пример като и не можете да получите правилния отговор, тогава препоръчвам да се обърнете към училищни учебници. Във висшата математика дробите и операциите с тях се срещат на всяка стъпка.

Също така имайте предвид, че в решението липсва една стъпка, а именно прилагане на правилата , . Обикновено дори при първоначалния опит за решаване на интеграли тези свойства се приемат за даденост и не се описват подробно.

Пример 6

Намерете неопределения интеграл. Извършете проверка.

Това е пример, който можете да решите сами. Отговорът и пълното решение са в края на урока.

По принцип нещата не са толкова прости с дробите в интегралите, допълнителен материалотносно интегрирането на дроби от някои видове можете да намерите в статията Интегриране на някои дроби.

! Но преди да преминете към горната статия, трябва да се запознаете с урока Метод на заместване в неопределен интеграл. Въпросът е, че включването на функция в диференциален или променлив метод за заместване е ключова точка в изучаването на темата, тъй като се намира не само в „чисти задачи по метода на заместване“, но и в много други видове интеграли.

Наистина исках да включа още няколко примера в този урок, но сега седя тук, пиша този текст на Verde и забелязвам, че статията вече е нараснала до приличен размер.
И следователно въвеждащ курсИнтегралите за манекени приключиха.

желая ти успех!

Решения и отговори:

Пример 2: Решение:

Пример 4: Решение:

В този пример използвахме формулата за съкратено умножение

Пример 6: Решение:

Аз завърших проверката, а вие? ;)

Представен е преглед на методите за изчисляване на неопределени интеграли. Разглеждат се основните методи на интегриране, които включват интегриране на сбора и разликата, поставяне на константа извън знака за интеграл, заместване на променлива и интегриране по части. Също така взети предвид специални методии техники за интегриране на дроби, корени, тригонометрични и експоненциални функции.

Първопроизводен и неопределен интеграл

Първоизводна F(x) на функция f(x) е функция, чиято производна е равна на f(x):
F′(x) = f(x), x ∈ Δ,
Къде Δ - периодът, през който се извършва дадено уравнение.

Наборът от всички първоизводни се нарича неопределен интеграл:
,
където C е константа, независима от променливата x.

Основни формули и методи на интегриране

Таблица на интегралите

Крайна целизчисляване на неопределени интеграли - чрез трансформации редуцирайте даден интеграл до израз, съдържащ най-прости или таблични интеграли.
Вижте таблица с интеграли >>>

Правило за интегриране на суми (разлики)

Преместване на константата извън знака за интеграл

Нека c е константа, независима от x.

Тогава може да се извади от интегралния знак:

Замяна на променливи
.
Нека x е функция на променливата t, тогава x = φ(t).
.

Или обратното, t = φ(x) ,

Използвайки промяна на променлива, можете не само да изчислявате прости интеграли, но и да опростите изчисляването на по-сложни.

Правило за интегриране по части

Интегриране на дроби (рационални функции)

Нека въведем нотацията. Нека P k (x), Q m (x), R n (x) означават съответно полиноми от степени k, m, n по отношение на променливата x. Нека разгледаме интеграл, състоящ се от част от полиноми (т.нар):

рационална функция
.
Ако k ≥ n, първо трябва да изберете цялата част от дробта:

Интегралът на полинома S k-n (x) се изчислява с помощта на таблицата с интеграли.
Интегралът остава:< n .
, където m

За да се изчисли, интегрантът трябва да се разложи на прости дроби.
За да направите това, трябва да намерите корените на уравнението:
Q n (x) = 0 .
Използвайки получените корени, трябва да представите знаменателя като продукт на фактори: Q n (x) = s (x-a) n a (x-b) n b ....
(x 2 +ex+f) n e (x 2 +gx+k) n g ...

Тук s е коефициентът за x n, x 2 + ex + f > 0, x 2 + gx + k > 0, ....

След това разбийте фракцията в нейната най-проста форма:
Интегрирайки, получаваме израз, състоящ се от по-прости интеграли.

Интеграли на формата

се свеждат до таблично заместване t = x - a.

Помислете за интеграла:
.
Нека трансформираме числителя:
,
.
Замествайки в интегранта, получаваме израз, който включва два интеграла:
Първият, чрез заместване t = x 2 + ex + f, се редуцира до табличен.

Второ, според формулата за намаляване:

се свежда до интеграла
.
Нека намалим знаменателя му до сбора на квадратите:

След това чрез заместване, интегралът

също е таблично.

Интегриране на ирационални функции
,
където P, Q са полиноми в променливите u 1, u 2, ..., u n.

Дробна линейна ирационалност

Нека разгледаме интегралите от формата:
,
къде - рационални числа, m 1 , n 1 , ..., m s , n s - цели числа.
Нека n - общ знаменателчисла r 1, ..., r s.
Тогава интегралът се редуцира до интеграла на рационалните функции чрез заместване:
.

Интеграли от диференциални биноми

се свеждат до таблично заместване t = x - a.
,
където m, n, p са рационални числа, a, b - реални числа.
Такива интеграли се свеждат до интеграли на рационални функции в три случая.

1) Ако p е цяло число. Заместване x = t N, където N е общият знаменател на дробите m и n.
2) Ако - цяло число. Заместване a x n + b = t M, където M е знаменателят на числото p.
3) Ако - цяло число. Заместване a + b x - n = t M, където M е знаменателят на числото p.

Ако нито едно от трите числа не е цяло число, тогава според теоремата на Чебишев интегралите от този тип не могат да бъдат изразени чрез крайна комбинация от елементарни функции.

В някои случаи първо е полезно да намалите интеграла до по-удобни стойности m и p.
;
.

Това може да се направи с помощта на формули за намаляване:

Интеграли, съдържащи квадратен корен от квадратен тричлен
,

Тук разглеждаме интеграли от формата:

Замествания на Ойлер
Такива интеграли могат да бъдат редуцирани до интеграли на рационални функции на едно от трите замествания на Ойлер:
, за a > 0;
, за c > 0 ; , където x 1 е коренът на уравнението a x 2 + b x + c = 0..

Ако това уравнение има

истински корени

Тригонометрични и хиперболични замествания

Директни методи

В повечето случаи заместванията на Ойлер водят до по-дълги изчисления от директните методи. Използвайки директни методи, интегралът се редуцира до една от изброените по-долу форми.
,
Тип I

Интеграл на формата: където P n (x) е полином от степен n.Такива интеграли се намират по метода

несигурни коефициенти

, използвайки самоличността:

В повечето случаи заместванията на Ойлер водят до по-дълги изчисления от директните методи. Използвайки директни методи, интегралът се редуцира до една от изброените по-долу форми.
,
Диференцирайки това уравнение и приравнявайки лявата и дясната страна, намираме коефициентите A i.

Тип II където P m (x) е полином от степен m.Заместване t =

(x - α) -1

този интеграл се свежда до предишния тип. Ако m ≥ n, тогава дробта трябва да има цяло число.
.

III тип
.
Третият и най-сложен тип:
.
Тук трябва да направите замяна:
След което интегралът ще приеме формата:
След това константите α, β трябва да бъдат избрани така, че коефициентите за t да станат нула:
;
,
B = 0, B 1 = 0.
Тогава интегралът се разлага на сумата от интеграли от два вида:
които са интегрирани съответно чрез замествания:

z 2 = A 1 t 2 + C 1;

Интегриране на трансцендентални (тригонометрични и експоненциални) функции

Нека отбележим предварително, че тези методи, които са приложими за тригонометрични функции, приложимо и за хиперболични функции. Поради тази причина няма да разглеждаме отделно интегрирането на хиперболични функции.

Интегриране на рационални тригонометрични функции на cos x и sin x

Нека разгледаме интегралите на тригонометричните функции от формата:
,
където R е рационална функция. Това може също да включва тангенси и котангенси, които трябва да бъдат преобразувани с помощта на синуси и косинуси.

Когато интегрирате такива функции, е полезно да имате предвид три правила:
1) ако R( cos x, sin x)умножено по -1 от промяната на знака преди една от величините cos xили грях х, тогава е полезно другият от тях да се означи с t.
2) ако R( cos x, sin x)не се променя поради промяна на знака по същото време преди cos xИ грях х, тогава е полезно да поставите tg x = tили кошара x = t.
3) заместването във всички случаи води до интеграла на рационална дроб. За съжаление това заместване води до по-дълги изчисления от предишните, ако е приложимо.

Произведение на степенни функции на cos x и sin x

Нека разгледаме интегралите от формата:

Ако m и n са рационални числа, тогава едно от заместванията t = грях хили t = cos xинтегралът се свежда до интеграла на диференциалния бином.

Ако m и n са цели числа, тогава интегралите се изчисляват чрез интегриране по части. В този случай се оказва следните формулигласове:

;
;
;
.

Интеграция по части

Приложение на формулата на Ойлер

Ако подинтегралната функция е линейна по отношение на една от функциите
cos брадваили синакс, тогава е удобно да се приложи формулата на Ойлер:
e iax = cos брадва + isin брадва(където i 2 = - 1 ),
замяна на тази функция с e iaxи подчертаване на реалния (при смяна cos брадва) или въображаема част (при смяна синакс) от получения резултат.

Използвана литература:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузмин, Сборник задачи по висша математика, “Лан”, 2003 г.

Решаване на интеграли - лесна задача, но само за няколко избрани. Тази статия е за тези, които искат да се научат да разбират интегралите, но не знаят нищо или почти нищо за тях. Интеграл... Защо е необходим? Как да го изчислим? Какво представляват определени и неопределени интеграли? Ако единствената употреба, която знаете за интеграла, е да използвате кука за плетене на една кука, оформена като интегрална икона, за да извадите нещо полезно от труднодостъпни места, тогава добре дошли! Разберете как се решават интеграли и защо не можете без това.

Ние изучаваме понятието "интеграл"

Интеграцията беше известна още през Древен Египет. Разбира се, не в модерна форма, но все пак. Оттогава математиците са написали много книги по тази тема. Особено се отличиха Нютон И Лайбниц , но същността на нещата не се е променила. Как да разберем интегралите от нулата? Няма начин! За да разберете тази тема, все още ще ви трябва основни познанияоснови математически анализ. Това е тази основна информация, която ще намерите в нашия блог.

Неопределен интеграл

Нека имаме някаква функция f(x) .

Неопределена интегрална функция f(x) тази функция се нарича F(x) , чиято производна е равна на функцията f(x) .

С други думи, интегралът е производна в обратна посока или антипроизводна. Между другото, прочетете как в нашата статия.

Антипроизводното съществува за всички непрекъснати функции. Също така към антипроизводното често се добавя постоянен знак, тъй като производните на функции, които се различават по константа, съвпадат. Процесът на намиране на интеграла се нарича интегриране.

Прост пример:

За да не се изчисляват постоянно антипроизводни на елементарни функции, е удобно да ги поставите в таблица и да използвате готови стойности:

Определен интеграл

Когато се занимаваме с концепцията за интеграл, имаме работа с безкрайно малки количества. Интегралът ще помогне да се изчисли площта на фигурата, масата на нехомогенното тяло, изминатото разстояние при неравномерно движениепът и много повече. Трябва да се помни, че интегралът е безкрайна сума голямо количествобезкрайно малки термини.

Като пример, представете си графика на някаква функция. Как да намерите площта на фигура, ограничено от графикафункции?

С помощта на интеграл! Нека го разбием извит трапец, ограничена от координатните оси и графиката на функцията, на безкрайно малки сегменти. По този начин фигурата ще бъде разделена на тънки колони. Сумата от площите на колоните ще бъде площта на трапеца. Но не забравяйте, че такова изчисление ще даде приблизителен резултат. Въпреки това, колкото по-малки и по-тесни са сегментите, толкова по-точно ще бъде изчислението. Ако ги намалим до такава степен, че дължината клони към нула, тогава сумата от площите на сегментите ще клони към площта на фигурата. Това е определен интеграл, който се записва така:

Точки a и b се наричат ​​граници на интегриране.

Бари Алибасов и групата "Интеграл"

Между другото! За нашите читатели вече има 10% отстъпка от

Правила за изчисляване на интеграли за манекени

Свойства на неопределения интеграл

Как да решим неопределен интеграл? Тук ще разгледаме свойствата на неопределения интеграл, които ще бъдат полезни при решаване на примери.

• Производната на интеграла е равна на интеграла:

• Константата може да бъде извадена от знака за интеграл:

• Интеграл на сумата равно на суматаинтеграли. Това важи и за разликата:

Свойства на определен интеграл

• Линейност:

• Знакът на интеграла се променя, ако границите на интегриране се разменят:

• При всякаквиточки а, bИ с:

Вече разбрахме, че определен интеграл е границата на сумата. Но как да получите конкретно значениепри решаване на пример? За това има формулата на Нютон-Лайбниц:

Примери за решаване на интеграли

По-долу ще разгледаме няколко примера за намиране на неопределени интеграли. Каним ви сами да разберете тънкостите на решението и ако нещо не е ясно, задавайте въпроси в коментарите.

За затвърждаване на материала гледайте видео за това как се решават интеграли на практика. Не се отчайвайте, ако интегралът не е даден веднага. Попитайте и те ще ви кажат всичко, което знаят за изчисляването на интеграли. С наша помощ всяка тройна или линеен интегрална затворена повърхност ще можете да го направите.