Числови функции и техните свойства. Урок „Функции и техните свойства

Те имат много свойства:


1. Функцията се извиква монотонен на определен интервал А, ако се увеличава или намалява на този интервал


2. Функцията се извиква повишаване на на определен интервал A, ако за произволни числа от тяхното множество A е изпълнено следното условие:.


Графиката на нарастваща функция има специална характеристика: когато се движите по оста x отляво надясно по интервала Аординатите на точките на графиката се увеличават (фиг. 4).


3. Функцията се извиква намаляващи на някакъв интервал А, ако за произволни числа има много от тях Аусловието е изпълнено:.


Графиката на намаляваща функция има специална характеристика: когато се движите по оста x отляво надясно по интервала Аординатите на точките на графиката намаляват (фиг. 4).


4. Функцията се извиква дори на някакъв комплект Х,ако условието е изпълнено: .


Графиката на четната функция е симетрична спрямо ординатната ос (фиг. 2).


5. Функцията се извиква странно на някакъв комплект Х,ако условието е изпълнено: .


Графиката на нечетна функция е симетрична спрямо началото (фиг. 2).


6. Ако функцията y = f(x)
f(x) f(x), тогава те казват, че функцията y = f(x)приема най-малка стойност при=f(x)при х= х(Фиг. 2, функцията приема най-малка стойност в точка с координати (0;0)).


7. Ако функцията y = f(x)е дефинирано на множеството X и съществува такова, че за всяко неравенство f(x) f(x), тогава те казват, че функцията y = f(x)приема най-висока стойност при=f(x)при х= х(Фиг. 4, функцията няма най-големи и най-малки стойности) .


Ако за тази функция y = f(x)всички изброени имоти са проучени, тогава казват, че проучванефункции.

Уроци 1-2. Дефиниция на числова функция и методи за нейното уточняване

09.07.2015 11704 0

Мишена: обсъдете дефиницията на функция и как да я дефинирате.

I. Съобщаване на темата и целта на уроците

II. Преговор на материала за 9 клас

Различни аспекти на тази тема вече са разгледани в 7-9 клас. Сега трябва да разширим и обобщим информацията за функциите. Напомняме, че темата е една от най-важните за целия курс по математика. Различни функции ще се изучават до завършване и по-нататък във висшите учебни заведения. Тази тема е тясно свързана с решаването на уравнения, неравенства, текстови задачи, прогресии и др.

Определение 1. Нека са дадени две групи реални числад и E и законът е посочен f според което всяко число x∈ D съвпада с единственото число y ∈ E (вижте снимката). Тогава те казват, че функцията y = f(x ) или y(x) с домейн на дефиниция (O.O.)д и зоната на промяна (O.I.) E. В този случай стойността x се нарича независима променлива (или аргумент на функцията), стойността y се нарича зависима променлива (или стойността на функцията).

Функционален домейн f означава D(f ). Комплектът се състои от всички числа f(x ) (функционален диапазон f), означете E(f).

Пример 1

Помислете за функциятаЗа да намерите y за всяка стойност на x, трябва да извършите следните операции: извадете числото 2 (x - 2) от стойността на x, извлечете корен квадратен от този изрази накрая добавете числото 3Наборът от тези операции (или законът, според който стойността y се търси за всяка стойност на x) се нарича функция y(x). Например за x = 6 намирамеПо този начин, за да се изчисли функцията y в дадена точка x, е необходимо тази стойност x да се замени в дадената функция y(x).

Очевидно за дадена функция, за всяко допустимо число x, може да се намери само една стойност на y (т.е. на всяка стойност на x съответства една стойност на y).

Нека сега разгледаме домейна на дефиницията и диапазона на вариация на тази функция. Възможно е да се извлече корен квадратен от израза (x - 2) само ако тази стойност е неотрицателна, т.е. x - 2 ≥ 0 или x ≥ 2. НамеретеТъй като по дефиниция на аритметичен коренслед това добавяме числото 3 към всички части на това неравенство, получаваме:или 3 ≤ y< +∞. Находим

Рационалните функции често се използват в математиката. В този случай функции на формата f(x ) = p(x) (където p(x) е полином) се наричат ​​цели рационални функции. Функции на формата(където p(x) и q(x ) - полиноми) се наричат ​​дробно-рационални функции. Очевидно е частсе определя, ако знаменателят q(x ) не изчезва. Следователно областта на дефиниция на дробната рационална функция- множеството от всички реални числа, от които са изключени корените на полинома q(x).

Пример 2

Рационална функциядефинирана за x - 2 ≠ 0, т.е.х ≠ 2. Следователно областта на дефиниране на тази функция е множеството от всички реални числа, които не са равни на 2, т.е. обединението на интервалите (-∞; 2) и (2; ∞).

Спомнете си, че обединението на множества A и B е множество, състоящо се от всички елементи, включени в поне едно от множествата A или B. Обединението на множества A и B се обозначава със символа A U B. По този начин обединението на сегменти и (3; 9) е интервал (непресичащите се интервали) се означават с .

Връщайки се към примера, можем да напишем:Тъй като за всички приемливи стойности на x дробтане изчезва, тогава функцията f(x ) приема всички стойности с изключение на 3. Следователно

Пример 3

Нека намерим областта на дефиниция на дробната рационална функция

Знаменателите на дробите се равняват на нула при x = 2, x = 1 и x = -3. Следователно областта на дефиниция на тази функция

Пример 4

Пристрастяване вече не е функция. Наистина, ако искаме да изчислим стойността на y, например, за x = 1, тогава използвайки горната формула намираме: y = 2 1 - 3 = -1, а използвайки долната формула получаваме: y = 12 + 1 = 2. Така една стойност x(x = 1) съответстват на две стойности на y (y = -1 и y = 2). Следователно тази зависимост (по дефиниция) не е функция.

Пример 5

Показани са графики на две зависимости y(x ). Нека определим коя от тях е функция.


На фиг. и е дадена графиката на функцията, тъй като във всяка точках 0 съответства само една стойност y0. На фиг. b е графика на някакъв вид зависимост (но не функция), тъй като такива точки съществуват (например,х 0 ), които съответстват на повече от една стойност y (например y1 и y2).

Нека сега разгледаме основните начини за специфициране на функции.

1) Аналитичен (с помощта на формула или формули).

Пример 6

Нека да разгледаме функциите:

Въпреки необичайната си форма, тази връзка също така определя функция. За всяка стойност на x е лесно да се намери стойността на y. Например за x = -0,37 (тъй като x< 0, то пользуясь верхним выражением), получаем: у(-0,37) = -0,37. Для х = 2/3 (так как х >0, тогава използваме долния израз) имаме:От метода за намиране на y става ясно, че всяка стойност x съответства само на една стойност y.

в) 3x + y = 2y - x2. Нека изразим стойността y от тази зависимост: 3x + x2 = 2y - y или x2 + 3x = y. Така тази връзка дефинира и функцията y = x2 + 3x.

2) Табличен

Пример 7

Нека напишем таблица с квадрати y за числата x.

2,25

6,25

Данните от таблицата също дефинират функция - за всяка стойност x (посочена в таблицата) може да бъде намерена една стойност y. Например y(1,5) = 2,25, y(5) = 25 и т.н.

3) Графика

В правоъгълна координатна система, за да се изобрази функционалната зависимост y(x), е удобно да се използва специален чертеж - графика на функцията.

Определение 2. Графика на функция y(x ) е множеството от всички точки на координатната система, чиито абсциси са равни на стойностите на независимата променлива x, а ординатите са равни на съответните стойности на зависимата променлива y.

По силата на тази дефиниция всички двойки точки (x0, y0), които удовлетворяват функционалната зависимост y(x), се намират върху графиката на функцията. Всякакви други двойки точки, които не отговарят на зависимостта y(x ), функциите не лежат на графиката.

Пример 8

Дадена функция Точката с координати принадлежи ли към графиката на тази функция: а) (-2; -6); б) (-3; -10)?

1. Намерете стойността на функцията y приТъй като y(-2) = -6, тогава точка A (-2; -6) принадлежи на графиката на тази функция.

2. Определете стойността на функцията y приОт г (-3) = -11, тогава точка B (-3; -10) не принадлежи на графиката на тази функция.

Според тази графика на функцията y = f(x ) лесно се намира домейнът на дефиницията D(f ) и диапазон E(f ) функции. За да направите това, точките на графиката се проектират върху координатните оси. Тогава абсцисите на тези точки образуват дефиниционната област D(f ), ординати - диапазон от стойности E(f).

Нека сравним различни начини за дефиниране на функция. Аналитичният метод трябва да се счита за най-пълен. Тя ви позволява да създадете таблица с функционални стойности за някои стойности на аргументи, да изградите графика на функцията и да извършите необходимото изследване на функцията. В същото време табличният метод ви позволява бързо и лесно да намерите стойността на функцията за някои стойности на аргумента. Графиката на функция ясно показва нейното поведение. Следователно не трябва да се противопоставяме на различни методи за определяне на функция; всеки от тях има своите предимства и недостатъци. На практика се използват и трите начина за задаване на функция.

Пример 9

Дадена е функцията y = 2x2 - 3x +1.

Да намерим: а) y (2); b) y (-3x); в) y(x + 1).

За да се намери стойността на функция за определена стойност на аргумента, е необходимо тази стойност на аргумента да се замени в аналитичната форма на функцията. Следователно получаваме:

Пример 10

Известно е, че y(3 - x) = 2x2 - 4. Нека намерим: a) y(x); б) y(-2).

а) Нека го означим с буквата z = 3, тогава x = 3 - z . Нека заместим тази стойност x в аналитичната форма на тази функция y(3 - x) = 2x2 - 4 и получаваме: y (3 - (3 - z)) = 2 (3 - z)2 - 4, или y (z) = 2 (3 - z)2 - 4, или y (z) = 2 (9 - 6 z + z 2) - 4, или y (z) = 2x2 - 12 z + 14. Тъй като няма значение с каква буква е обозначен аргументът на функцията - z, x, t или всяко друго, веднага получаваме: y(x) = 2x2 - 12x + 14;

b) Сега е лесно да се намери y(-2) = 2 · (-2)2 - 12 · (-2) + 14 = 8 + 24 + 14 = 46.

Пример 11

Известно е, че Нека намерим x(y).

Нека означим с буквата z = x - 2, тогава x = z + 2 и запишете условието на проблема:или Да се ще напишем същото условие за аргумента (- z ): За удобство въвеждаме нови променливи a = y (z) и b = y (- z ). За такива променливи получаваме система от линейни уравнения

Интересуваме се от неизвестнотоа.

За да го намерим, използваме метода на алгебричното събиране. Затова нека умножим първото уравнение по числото (-2), второто уравнение по числото 3. Получаваме:

Нека добавим тези уравнения:където Тъй като аргументът на функцията може да бъде обозначен с всяка буква, имаме:

В заключение отбелязваме, че до края на 9 клас са изучавани следните свойства и графики:

а) линейна функция y = kx +м (графиката е права линия);

б) квадратна функция y = ax2 + b x + c (графика - парабола);

в) дробна линейна функция(графика - хипербола), по-специално функции

г) степенна функция y = xa (по-специално функцията

д) функции y = |x|.

За по-нататъшно изучаване на материала препоръчваме да повторите свойствата и графиките на тези функции. Следващите уроци ще покрият основните методи за конвертиране на графики.

1. Дефинирайте числова функция.

2. Обяснете как се дефинира функция.

3. Какво се нарича обединение на множества A и B?

4. Какви функции се наричат ​​рационални цели числа?

5. Какви функции се наричат ​​дробни рационални? Какъв е домейнът на дефиниране на такива функции?

6. Какво се нарича графика на функция f(x)?

7. Дайте свойствата и графиките на основните функции.

IV. Задание на урока

§ 1, № 1 (а, г); 2 (c, d); 3 (a, b); 4 (c, d); 5 (a, b); 6 (c); 7 (a, b); 8 (c, d); 10 (а ); 13 (c, d); 16 (a, b); 18.

V. Задаване на домашна работа

§ 1, № 1 (b, c); 2 (а, б); 3 (c, d); 4 (a, b); 5 (c, d); 6 (g); 7 (c, d); 8 (a, b); 10 (b); 13 (a, b); 16 (c, d); 19.

VI. Творчески задачи

1. Намерете функцията y = f(x), ако:


Отговори:


2. Намерете функцията y = f(x), ако:

Отговори:


VII. Обобщаване на уроците

ОБОБЩИТЕЛЕН УРОК ПО ТЕМА „ФУНКЦИИ И ТЕХНИТЕ СВОЙСТВА”.

Цели на урока:

Методически:повишаване на активно-познавателната дейност на учениците чрез индивидуална самостоятелна работа и използване на тестови задачи от развиващ тип.

Образователни:повторете елементарни функции, техните основни свойства и графики. Въведете концепцията за взаимно обратни функции. Систематизира знанията на учениците по темата; допринасят за консолидирането на уменията за изчисляване на логаритми, за прилагане на техните свойства при решаване на задачи от нестандартен тип; повторете изграждането на графики на функции с помощта на трансформации и тествайте уменията и способностите си при самостоятелно решаване на упражнения.

Образователни:възпитаване на точност, хладнокръвие, отговорност и способност за вземане на самостоятелни решения.

Развитие:развиват интелектуални способности, умствени операции, реч, памет. Развийте любов и интерес към математиката; По време на урока се уверете, че учениците развиват независимо мислене в учебните дейности.

Тип урок:обобщаване и систематизиране.

Оборудване:дъска, компютър, проектор, екран, учебна литература.

Епиграф на урока:„Тогава трябва да се преподава математика, защото тя подрежда ума.“

(М. В. Ломоносов).

ПО ВРЕМЕ НА ЗАНЯТИЯТА

Проверка на домашните.

Повторение на показателни и логаритмични функции с основа a = 2, построяване на техните графики в една и съща координатна равнина, анализ на взаимното им разположение. Помислете за взаимозависимостта между основните свойства на тези функции (OOF и OFP). Дайте концепцията за взаимно обратни функции.

Разгледайте експоненциални и логаритмични функции с основа a = ½ c

за да се гарантира спазването на взаимозависимостта на изброените свойства и за

намаляващи взаимно обратни функции.

Организиране на самостоятелна тестова работа за развитие на мисловните умения

операции за систематизиране по темата „Функции и техните свойства“.

ФУНКЦИОНАЛНИ СВОЙСТВА:

1). y = ‌│х│ ;

2). Увеличава се в цялата зона на дефиниция;

3). OOF: (- ∞; + ∞) ;

4). y = sin x;

5). Намалява на 0< а < 1 ;

6). y = x³;

7). OPF: (0; + ∞) ;

8). Обща функция;

9). y = √ x;

10). OOF: (0; + ∞) ;

единадесет). Намалява по цялата зона на дефиниране;

12). y = kx + b;

13). OSF: (- ∞; + ∞) ;

14). Увеличава се при k > 0;

15). OOF: (- ∞; 0) ; (0; + ∞) ;

16). y = cos x;

17). Няма екстремни точки;

18). OSF: (- ∞; 0) ; (0; + ∞) ;

19). Намалява при к< 0 ;

20). y = x²;

21). OOF: x ≠ πn;

22). y = k/x;

23). Дори;

25). Намалява за k > 0;

26). OOF: [0; + ∞) ;

27). y = тен x;

28). Увеличава се с k< 0;

29). OSF: [0; + ∞) ;

тридесет). странно;

31). y = log x;

32). OOF: x ≠ πn/2;

33). y = ctg x ;

34). Увеличава се, когато a > 1.

По време на тази работа анкетирайте учениците по индивидуални задачи:

номер 1. а) Начертайте графика на функцията

б) Графика на функцията

номер 2. а) Изчислете:

б) Изчислете:

номер 3. а) Опростете израза
и намерете стойността му при

б) Опростете израза
и намерете стойността му при
.

Домашна работа: No1. Изчислете: а)
;

V)
;

G)
.

номер 2. Намерете областта на дефиниция на функцията: а)
;

V)
; G)
.

Раздели: Математика

клас: 9

Тип на урока: Урок за обобщаване и систематизиране на знанията.

Оборудване:

  1. Интерактивно оборудване (PC, мултимедиен проектор).
  2. Тест, материал в Microsoft Word ( Приложение 1).
  3. Интерактивна програма „Автограф“.
  4. Индивидуален тест - листовки ( Приложение 2).

По време на часовете

1. Организационен момент

Обявява се целта на урока.

I етап на урока

Проверка на домашните

  1. Съберете листовки със самостоятелна домашна работа от дидактически материал S-19 вариант 1.
  2. Решете задачи на дъската, които са затруднили учениците при писане на домашните.

Урок II етап

1. Фронтално проучване.

2. Блиц анкета:Отбележете правилния отговор в теста на дъската (Приложение 1, стр. 2-3).

III етап на урока

Правене на упражнения.

1. Решете № 358 (a). Решете графично уравнението: .

2. Карти (четирима слаби ученици решават в тетрадка или на дъската):

1) Намерете значението на израза: а) ; б) .

2) Намерете областта на дефиниране на функциите: а) ; б) y = .

3. Решете № 358 (a). Решете уравнението графично: .

Един ученик решава на дъската, останалите в тетрадка. При необходимост учителят помага на ученика.

На интерактивната дъска беше изградена правоъгълна координатна система с помощта на програмата AutoGraph. Ученикът рисува с маркер съответните графики, намира решение и записва отговора. След това се проверява задачата: формулата се въвежда от клавиатурата, като графиката трябва да съвпада с вече начертаната в същата координатна система. Абсцисата на пресечната точка на графиките е коренът на уравнението.

Решение:

Отговор: 8

Решете № 360(a). Начертайте и прочетете графиката на функцията:

Учениците изпълняват задачата самостоятелно.

Конструкцията на графиката се проверява с помощта на програмата AutoGraph, свойствата се записват на дъската от един ученик (домейн на дефиниция, домейн на стойност, паритет, монотонност, непрекъснатост, нули и постоянство на знака, най-големи и най-малки стойности на функция).

Решение:

Имоти:

1) D( f) = (-); E( f) = , нараства с )