фигура, ограничено от графиканепрекъснатата неотрицателна функция $f(x)$ върху отсечката $$ и правите линии $y=0, \ x=a$ и $x=b$ се нарича криволинеен трапец.
Съответстваща област извит трапецизчислено по формулата:
$S=\int\limits_(a)^(b)(f(x)dx).$ (*)
Условно ще разделим задачите за намиране на площта на криволинейния трапец на $4$ типове. Нека разгледаме всеки вид по-подробно.
Тип I: извит трапец е посочен изрично.След това веднага приложете формулата (*).
Например, намерете площта на криволинейния трапец, ограничен от графиката на функцията $y=4-(x-2)^(2)$ и правите $y=0, \ x=1$ и $x =3$.
Нека начертаем този извит трапец.
Използвайки формула (*), намираме площта на този криволинеен трапец.
$S=\int\limits_(1)^(3)(\left(4-(x-2)^(2)\right)dx)=\int\limits_(1)^(3)(4dx)- \int\limits_(1)^(3)((x-2)^(2)dx)=4x|_(1)^(3) – \left.\frac((x-2)^(3) )(3)\right|_(1)^(3)=$
$=4(3-1)-\frac(1)(3)\left((3-2)^(3)-(1-2)^(3)\right)=4 \cdot 2 – \frac (1)(3)\left((1)^(3)-(-1)^(3)\right) = 8 – \frac(1)(3)(1+1) =$
$=8-\frac(2)(3)=7\frac(1)(3)$ (единици$^(2)$).
Тип II: извитият трапец е посочен имплицитно.В този случай правите линии $x=a, \ x=b$ обикновено не са посочени или са частично посочени. В този случай трябва да намерите пресечните точки на функциите $y=f(x)$ и $y=0$. Тези точки ще бъдат точки $a$ и $b$.
Например, намерете площта на фигура, ограничена от графиките на функциите $y=1-x^(2)$ и $y=0$.
Да намерим пресечните точки. За да направим това, приравняваме десните части на функциите.
Така $a=-1$ и $b=1$. Нека начертаем този извит трапец.
Нека намерим площта на този извит трапец.
$S=\int\limits_(-1)^(1)(\left(1-x^(2)\right)dx)=\int\limits_(-1)^(1)(1dx)-\int \limits_(-1)^(1)(x^(2)dx)=x|_(-1)^(1) – \left.\frac(x^(3))(3)\right|_ (-1)^(1)=$
$=(1-(-1))-\frac(1)(3)\left(1^(3)-(-1)^(3)\right)=2 – \frac(1)(3) \left(1+1\right) = 2 – \frac(2)(3) = 1\frac(1)(3)$ (единици$^(2)$).
Тип III: площта на фигура, ограничена от пресечната точка на две непрекъснати неотрицателни функции.Тази фигура няма да бъде извит трапец, което означава, че не можете да изчислите площта му с формула (*). Как е възможно това?Оказва се, че площта на тази фигура може да се намери като разликата между площите на криволинейни трапеци, ограничени от горната функция и $y=0$ ($S_(uf)$), и долната функция и $y =0$ ($S_(lf)$), където ролята на $x=a, \ x=b$ играят $x$ координатите на точките на пресичане на тези функции, т.е.
$S=S_(uf)-S_(lf)$. (**)
Най-важното при изчисляването на такива площи е да не „пропускате“ с избора на горната и долната функция.
Например, намерете площта на фигура, ограничена от функциите $y=x^(2)$ и $y=x+6$.
Нека намерим пресечните точки на тези графики:
Според теоремата на Виета,
$x_(1)=-2,\ x_(2)=3.$
Тоест $a=-2,\b=3$. Нека нарисуваме фигура:
По този начин горната функция е $y=x+6$, а долната функция е $y=x^(2)$. След това намираме $S_(uf)$ и $S_(lf)$ с помощта на формула (*).
$S_(uf)=\int\limits_(-2)^(3)((x+6)dx)=\int\limits_(-2)^(3)(xdx)+\int\limits_(-2 )^(3)(6dx)=\left.\frac(x^(2))(2)\right|_(-2)^(3) + 6x|_(-2)^(3)= 32 .5$ (единици$^(2)$).
$S_(lf)=\int\limits_(-2)^(3)(x^(2)dx)=\left.\frac(x^(3))(3)\right|_(-2) ^(3) = \frac(35)(3)$ (единици$^(2)$).
Нека заместим това, което намерихме в (**) и да получим:
$S=32,5-\frac(35)(3)= \frac(125)(6)$ (единици$^(2)$).
Тип IV: площ на фигурата, ограничена функция(s), които не отговарят на условието за неотрицателност.За да намерите площта на такава фигура, трябва да сте симетрични спрямо оста $Ox$ ( с други думи,поставете „минуси“ пред функциите) покажете областта и, като използвате методите, описани в типове I – III, намерете площта на показаната област. Тази област ще бъде необходимата област. Първо, може да се наложи да намерите пресечните точки на функционалните графики.
Например, намерете площта на фигура, ограничена от графиките на функциите $y=x^(2)-1$ и $y=0$.
Нека намерим пресечните точки на графиките на функциите:
тези. $a=-1$ и $b=1$. Нека начертаем областта.
Нека да покажем областта симетрично:
$y=0 \ \Дясна стрелка \ y=-0=0$
$y=x^(2)-1 \ \Rightarrow \ y= -(x^(2)-1) = 1-x^(2)$.
Резултатът е криволинеен трапец, ограничен от графиката на функцията $y=1-x^(2)$ и $y=0$. Това е проблем да се намери извит трапец от втори тип. Вече го решихме. Отговорът беше: $S= 1\frac(1)(3)$ (единици $^(2)$). Това означава, че площта на необходимия криволинеен трапец е равна на:
$S=1\frac(1)(3)$ (единици$^(2)$).
Необходимо е да се изчисли площта на извит трапец, ограничен от прави линии, 
,
и крива 
.
Нека разделим сегмента 
дотмина 
елементарни сегменти, дълж 
ти сегмент 
. Нека възстановим перпендикуляри от точките на разделяне на сегмента до пресечната точка с кривата 
, нека 
. В резултат на това получаваме 
елементарни трапеци, сумата от техните площи очевидно е равна на сумата от даден криволинеен трапец.
Нека определим най-голямата и най-малката стойност на функцията на всеки елементарен интервал; 
, на втория 
и така нататък. Да изчислим сумите
Първата сума представлява площта на всички описани, втората е площта на всички правоъгълници, вписани в извит трапец.
Ясно е, че първата сума дава приблизителна стойност на площта на трапеца „с излишък“, втората - „с дефицит“. Първата сума се нарича горна сума на Дарбу, втората – съответно долна сума на Дарбу. По този начин площта на извит трапец е 
удовлетворява неравенството 
. Нека разберем как се държат сумите на Дарбу, когато броят на точките на разделяне на сегмента се увеличава 
. Нека броят на разделителните точки се увеличи с една и нека бъде в средата на интервала 
.
Сега числото е като 
вписани и описани правоъгълници, увеличени с единица. Нека разгледаме как се е променила долната сума на Дарбу. Вместо квадрат 
ти вписан правоъгълник, равен на 
получаваме сумата от площите на два правоъгълника 
, тъй като дължината 
не може да бъде по-малко 
най-малката стойност на функцията при 
. от другата страна, 
, защото 
не може да има повече 
най-голямата стойност на функцията на интервала . И така, добавянето на нови точки за разделяне на сегмент увеличава стойността на долната сума на Дарбу и намалява горната сума на Дарбу. В този случай долната сума на Дарбу, с всяко увеличение на броя на разделителните точки, не може да надвишава стойността на която и да е горна сума, тъй като сумата от площите на описаните правоъгълници винаги еповече от сумата
площи на правоъгълници, вписани в извит трапец.
По този начин последователността от долни суми на Дарбу нараства с броя на точките на разделяне на отсечката и е ограничена отгоре, според добре известната теорема, тя има граница. Тази граница е площта на даден извит трапец.
По същия начин последователността от горни суми на Дарбу намалява с увеличаване на броя на точките на разделяне на интервала и е ограничена отдолу от всяка долна сума на Дарбу, което означава, че тя също има граница и също е равна на площта на криволинейният трапец. 
Следователно, за да се изчисли площта на извит трапец, достатъчно е да 
дялове на интервала, определете долната или горната сума на Дарбу и след това изчислете 
.
, или Подобно решение на проблема обаче предполага произволноголям брой 
прегради
, намиране на най-голямата или най-малката стойност на функция на всеки елементарен интервал, което е много трудоемка задача.
По-просто решение се получава с помощта на интегралната сума на Риман, която е 
някаква точка от всеки елементарен интервал, т.е 
. Следователно интегралната сума на Риман е сумата от площите на всички възможни правоъгълници и 
. Както е показано по-горе, границите на горната и долната сума на Дарбу са еднакви и равни на площта на извития трапец. Използвайки едно от свойствата на лимита на функция (правилото на два полицея), получаваме, че за всяко разделение на сегмента 
и избиране на точки 
Площта на извит трапец може да се изчисли по формулата 
.
Назад Напред
внимание! Визуализациите на слайдове са само за информационни цели и може да не представят всички характеристики на презентацията. Ако се интересувате тази работа, моля, изтеглете пълната версия.
Ключови думи:интегрален, криволинеен трапец, площ от фигури, ограничена от лилии
Оборудване: маркерна дъска, компютър, мултимедиен проектор
Тип урок: урок-лекция
Цели на урока:
- образователен:оформят културата умствен труд, създават ситуация на успех за всеки ученик, създават положителна мотивация за учене; развийте способността да говорите и да слушате другите.
- развитие:формиране на самостоятелно мислене на ученика при прилагане на знания в различни ситуацииспособност за анализиране и правене на заключения, развитие на логиката, развитие на способността за правилно поставяне на въпроси и намиране на отговори на тях. Подобряване на формирането на изчислителни умения, развиване на мисленето на учениците в хода на изпълнение на предложените задачи, развиване на алгоритмична култура.
- образователен: формулират понятия за криволинеен трапец, интеграл, овладяват умения за изчисляване на площи плоски фигури
Метод на обучение:обяснителни и илюстративни.
Напредък на урока
В предишните класове се научихме да изчисляваме площите на фигури, чиито граници са начупени линии. В математиката има методи, които ви позволяват да изчислявате площите на фигури, ограничени от криви. Такива фигури се наричат криволинейни трапеци и тяхната площ се изчислява с помощта на антипроизводни.
Криволинеен трапец ( слайд 1)
Извит трапец е фигура, ограничена от графиката на функция, ( ш.м.), прав х = аИ x = bи оста x
Различни видове извити трапеци ( слайд 2)
Обмисляме различни видовекриволинейни трапеци и забележете: една от линиите се изражда в точка, ролята на ограничаваща функция се играе от линията
Площ на извит трапец (слайд 3)
Фиксирайте левия край на интервала а,и дясната Xще променим, т.е. преместваме дясната стена на криволинейния трапец и получаваме променяща се фигура. Площта на променлив криволинеен трапец, ограничен от графиката на функцията, е първоизводна Еза функция f
И на сегмента [ а; b] площ на криволинеен трапец, образуван от функцията е,е равно на нарастването на първоизводната на тази функция:
Задача 1:
Намерете площта на криволинейния трапец, ограничен от графиката на функцията: f(x) = x 2и прав y = 0, x = 1, x = 2.
Решение: ( според алгоритъма слайд 3)
Нека начертаем графика на функцията и линии
Да намерим един от антипроизводни функции f(x) = x 2 :
Самопроверка на слайд
Интеграл
Да разгледаме криволинейния трапец, определен от функцията fна сегмента [ а; b]. Нека разделим този сегмент на няколко части. Площта на целия трапец ще бъде разделена на сумата от площите на по-малките извити трапеци. ( слайд 5). Всеки такъв трапец може приблизително да се счита за правоъгълник. Сумата от площите на тези правоъгълници дава приблизителна представа за цялата площ на извития трапец. Колкото по-малко разделяме сегмента [ а; b], толкова по-точно изчисляваме площта.
Нека запишем тези аргументи под формата на формули.
Разделете сегмента [ а; b] на n части по точки x 0 =a, x1,...,xn = b.Дължина к- th означават с xk = xk – xk-1. Да направим сума
Геометрично тази сума представлява площта на фигурата, защрихована на фигурата ( ш.м.)
Сумите от формата се наричат интегрални суми за функцията f. (ш.м.)
Интегралните суми дават приблизителна стойност на площта. Точна стойностсе получава чрез преминаване към границата. Нека си представим, че прецизираме разделянето на сегмента [ а; b], така че дължините на всички малки сегменти да клонят към нула. Тогава площта на съставената фигура ще се доближи до площта на извития трапец. Можем да кажем, че площта на извит трапец е равна на границата на интегралните суми, наук. (ш.м.)или интегрална, т.е.
определение:
Интеграл на функция f(x)от акъм bнаречена граница на интегралните суми
= (ш.м.)
Формула на Нютон-Лайбниц.
Спомняме си, че границата на интегралните суми е равна на площта на криволинейния трапец, което означава, че можем да напишем:
наук. = (ш.м.)
От друга страна, площта на извит трапец се изчислява по формулата
С к.т. (ш.м.)
Сравнявайки тези формули, получаваме:
= (ш.м.)Това равенство се нарича формула на Нютон-Лайбниц.
За по-лесно изчисление формулата се записва така:
= = (ш.м.)Задачи: (ш.м.)
1. Изчислете интеграла, като използвате формулата на Нютон-Лайбниц: ( проверете на слайд 5)
2. Съставете интеграли според чертежа ( проверете на слайд 6)
3. Намерете площта на фигурата, ограничени от линии: y = x 3, y = 0, x = 1, x = 2. ( Слайд 7)
Намиране на площите на равнинни фигури ( слайд 8)
Как да намерите площта на фигури, които не са извити трапеци?
Нека са дадени две функции, чиито графики виждате на слайда . (ш.м.)Намерете площта на защрихованата фигура . (ш.м.). Въпросната фигура извит трапец ли е? Как можете да намерите неговата площ, като използвате свойството за адитивност на площта? Помислете за два извити трапеца и извадете площта на другия от площта на единия от тях ( ш.м.)
Нека създадем алгоритъм за намиране на областта с помощта на анимация на слайд:
- Графични функции
- Проектирайте пресечните точки на графиките върху оста x
- Засенчете фигурата, получена при пресичането на графиките
- Намерете криволинейни трапеци, чиято пресечна точка или обединение е дадената фигура.
- Изчислете площта на всеки от тях
- Намерете разликата или сбора на площите
Устна задача: Как да получите площта на защрихована фигура (кажете с помощта на анимация, слайд 8 и 9)
домашна работа:Разработете бележките, № 353 (а), № 364 (а).
Референции
- Алгебра и началото на анализа: учебник за 9-11 клас на вечерно (сменно) училище / изд. Г.Д. Глейзър. - М: Просвещение, 1983.
- Башмаков M.I. Алгебра и началото на анализа: учебник за 10-11 клас на средното училище / Башмаков M.I. - М: Просвещение, 1991.
- Башмаков M.I. Математика: учебник за институции нач. и сряда проф. образование / M.I. Башмаков. - М: Академия, 2010.
- Колмогоров A.N. Алгебра и начало на анализа: учебник за 10-11 клас. образователни институции / A.N. Kolmogorov. - М: Образование, 2010.
- Островски С.Л. Как да направим презентация за урок?/ S.L. Островски. – М.: Първи септември 2010 г.
Пример1 . Изчислете площта на фигурата, ограничена от линиите: x + 2y – 4 = 0, y = 0, x = -3 и x = 2
Нека построим фигура (вижте фигурата) Построяваме права линия x + 2y – 4 = 0, използвайки две точки A(4;0) и B(0;2). Изразявайки y през x, получаваме y = -0,5x + 2. Използвайки формула (1), където f(x) = -0,5x + 2, a = -3, b = 2, намираме
S = = [-0,25=11,25 кв. единици
Пример 2. Изчислете площта на фигурата, ограничена от линиите: x – 2y + 4 = 0, x + y – 5 = 0 и y = 0.
Решение. Да построим фигурата.
Нека построим права линия x – 2y + 4 = 0: y = 0, x = - 4, A(-4; 0); x = 0, y = 2, B(0; 2).
Нека построим права линия x + y – 5 = 0: y = 0, x = 5, C(5; 0), x = 0, y = 5, D(0; 5).
Нека намерим пресечната точка на правите, като решим системата от уравнения:
x = 2, y = 3; М(2; 3).
За да изчислим необходимата площ, разделяме триъгълника AMC на два триъгълника AMN и NMC, тъй като когато x се променя от A на N, площта е ограничена от права линия, а когато x се променя от N на C - с права линия
За триъгълник AMN имаме: ; y = 0,5x + 2, т.е. f(x) = 0,5x + 2, a = - 4, b = 2.
За триъгълник NMC имаме: y = - x + 5, т.е. f(x) = - x + 5, a = 2, b = 5.
Чрез изчисляване на площта на всеки триъгълник и добавяне на резултатите, намираме:
кв. единици
кв. единици
9 + 4, 5 = 13,5 кв. единици Проверка: = 0.5AC = 0.5 кв. единици
Пример 3. Изчислете площта на фигура, ограничена от линии: y = x 2 , y = 0, x = 2, x = 3.
IN в този случайтрябва да изчислите площта на извит трапец, ограничена от парабола y = x 2 , прави x = 2 и x = 3 и оста Ox (вижте фигурата) Използвайки формула (1), намираме площта на криволинейния трапец
= = 6 кв. единици
Пример 4. Изчислете площта на фигурата, ограничена от линиите: y = - x 2 + 4 и y = 0
Да построим фигурата. Търсената площ е затворена между параболата y = - x 2 + 4 и оста Ox.
Нека намерим пресечните точки на параболата с оста Ox. Ако приемем y = 0, намираме x = Тъй като тази фигура е симетрична спрямо оста Oy, ние изчисляваме площта на фигурата, разположена вдясно от оста Oy, и удвояваме получения резултат: = +4x]sq. единици 2 = 2 кв. единици
Пример 5. Изчислете площта на фигура, ограничена от линии: y 2 = x, yx = 1, x = 4
Тук трябва да изчислите площта на криволинейния трапец, ограничен от горния клон на параболата 2 = x, ос Ox и прави линии x = 1 и x = 4 (вижте фигурата)
Съгласно формула (1), където f(x) = a = 1 и b = 4, имаме = (= кв. единици.
Пример 6 . Изчислете площта на фигурата, ограничена от линиите: y = sinx, y = 0, x = 0, x= .
Необходимата площ е ограничена от полувълната на синусоидата и оста Ox (виж фигурата).
Имаме - cosx = - cos = 1 + 1 = 2 кв. единици
Пример 7. Изчислете площта на фигурата, ограничена от линиите: y = - 6x, y = 0 и x = 4.
Фигурата се намира под оста Ox (виж фигурата).
Следователно намираме неговата площ, използвайки формула (3)
= =
Пример 8. Изчислете площта на фигурата, ограничена от линиите: y = и x = 2. Изградете кривата y = от точките (вижте фигурата). Така намираме площта на фигурата, използвайки формула (4)
Пример 9 .
X 2 + y 2 = r 2 .
Тук трябва да изчислите площта, ограничена от кръг X 2 + y 2 = r 2 , т.е. площта на кръг с радиус r с център в началото. Нека намерим четвъртата част от тази област, като вземем границите на интегриране от 0
преди; имаме: 1 = = [
следователно 1 =
Пример 10. Изчислете площта на фигура, ограничена от линии: y= x 2 и y = 2x
Тази фигураограничена от параболата y=x 2 и правата y = 2x (вижте фигурата) За да определим пресечните точки на дадените прави, решаваме системата от уравнения: x 2 – 2x = 0 x = 0 и x = 2
Използвайки формула (5), за да намерим площта, получаваме
= }