Намерете площта на плоска фигура, ограничена от графиките. Примери

В тази статия ще научите как да намерите площта на фигура, ограничена от линии, като използвате интегрални изчисления. За първи път се сблъскваме с формулирането на такъв проблем в гимназията, когато току-що сме завършили изучаването на определени интеграли и е време да започнем геометричната интерпретация на придобитите знания на практика.

И така, какво е необходимо за успешно решаване на проблема с намирането на площта на фигура с помощта на интеграли:

Способност да прави компетентни чертежи;
Способност за решаване на определен интеграл с помощта на добре познатата формула на Нютон-Лайбниц;
Способността да „видите“ по-изгодна опция за решение - т.е. разберете как ще бъде по-удобно да се извърши интеграция в един или друг случай? По оста x (OX) или по оста y (OY)?
Е, къде щяхме да бъдем без правилни изчисления?) Това включва разбиране как да се решава този друг тип интеграли и правилни числени изчисления.

Алгоритъм за решаване на проблема за изчисляване на площта на фигура, ограничена от линии:

1. Изграждаме чертеж. Препоръчително е да направите това на кариран лист хартия, в голям мащаб. Подписваме името на тази функция с молив над всяка графика. Подписването на графиките се извършва единствено за удобство на по-нататъшни изчисления. След като получите графика на желаната фигура, в повечето случаи веднага ще стане ясно кои граници на интегриране ще се използват. Така решаваме задачата графично. Случва се обаче стойностите на границите да са дробни или ирационални. Следователно можете да направите допълнителни изчисления, преминете към втора стъпка.

2. Ако границите на интегриране не са изрично посочени, тогава намираме точките на пресичане на графиките една с друга и виждаме дали нашето графично решение съвпада с аналитичното.

3. След това трябва да анализирате чертежа. В зависимост от това как са подредени графиките на функциите, има различни подходи за намиране на площта на фигура. Нека да разгледаме различни примери за намиране на площта на фигура с помощта на интеграли.

3.1.

Най-класическата и най-проста версия на проблема е, когато трябва да намерите площта на извит трапец. Какво е извит трапец? Това е плоска фигура, ограничена от оста x (y = 0), прави линии x = a, x = b и всяка крива, непрекъсната в интервала от a до b. Освен това тази цифра е неотрицателна и не се намира под оста x. В този случай площта на криволинейния трапец е числено равна на определен интеграл, изчислен по формулата на Нютон-Лайбниц:Пример 1

y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

С какви линии е ограничена фигурата? Имаме парабола y = x2 - 3x + 3, която се намира над оста OX, тя е неотрицателна, т.к. всички точки на тази парабола имат положителни стойности. След това са дадени правите линии x = 1 и x = 3, които вървят успоредно на оста на операционния усилвател и са граничните линии на фигурата отляво и отдясно. Е, y = 0, което също е оста x, която ограничава фигурата отдолу. Получената фигура е защрихована, както се вижда от фигурата вляво. В този случай можете веднага да започнете да решавате проблема. Пред нас е прост пример за извит трапец, който след това решаваме с помощта на формулата на Нютон-Лайбниц.

3.2.В предишния параграф 3.1 разгледахме случая, когато извит трапец е разположен над оста x. Сега разгледайте случая, когато условията на проблема са същите, с изключение на това, че функцията лежи под оста x. Към стандартната формула на Нютон-Лайбниц се добавя минус. Ще разгледаме как да разрешим такъв проблем по-долу.

Пример 2

. Изчислете площта на фигурата, ограничена от линиите y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.

В този пример имаме парабола y = x2 + 6x + 2, която произхожда от под оста OX, прави линии x = -4, x = -1, y = 0. Тук y = 0 ограничава желаната цифра отгоре. Правите x = -4 и x = -1 са границите, в които ще бъде изчислен определеният интеграл. Принципът на решаване на проблема за намиране на площта на фигура почти напълно съвпада с пример номер 1. Единствената разлика е, че дадената функция не е положителна, а също така е непрекъсната в интервала [-4; -1]. Какво имаш предвид не положително? Както може да се види от фигурата, фигурата, която се намира в рамките на дадените x, има изключително „отрицателни“ координати, което трябва да видим и запомним, когато решаваме задачата. Търсим площта на фигурата, използвайки формулата на Нютон-Лайбниц, само със знак минус в началото.

Двойният интеграл е числено равен на площта на равнинната фигура (областта на интегриране). Това е най-простата форма на двоен интеграл, когато функцията на две променливи е равна на единица: .

Първо, нека разгледаме проблема в обща форма. Сега ще бъдете доста изненадани колко просто е всъщност всичко! Нека изчислим площта на плоска фигура, ограничена от линии. За категоричност приемаме, че на отсечката . Площта на тази фигура е числено равна на:

Нека изобразим областта на чертежа:

Нека изберем първия начин за прекосяване на района:

Така:

И веднага важен технически трик: повтарящите се интеграли могат да се изчисляват отделно. Първо вътрешният интеграл, след това външният интеграл. Горещо препоръчвам този метод на начинаещи в темата.

1) Нека изчислим вътрешния интеграл, като интегрирането се извършва върху променливата "y":

Неопределеният интеграл тук е най-простият, а след това се използва баналната формула на Нютон-Лайбниц, с единствената разлика, че границите на интегриране не са числа, а функции. Първо заместихме горната граница в „y“ (антипроизводна функция), след това долната граница

2) Резултатът, получен в първия параграф, трябва да бъде заменен във външния интеграл:

По-компактно представяне на цялото решение изглежда така:

Получената формула е точно работната формула за изчисляване на площта на равнинна фигура с помощта на „обикновения“ определен интеграл! Вижте урока Изчисляване на площ с помощта на определен интеграл, има го на всяка стъпка!

Това е проблемът за изчисляване на площ с помощта на двоен интеграл не много по-различноот задачата за намиране на площта с помощта на определен интеграл!

Всъщност това е едно и също!

Съответно не трябва да възникват трудности! Няма да разглеждам много примери, тъй като всъщност многократно сте се сблъсквали с тази задача.

Пример 9

Решение: Нека изобразим областта на чертежа:

Нека изберем следния ред на обхождане на областта:

Тук и по-нататък няма да се спирам на това как да обходя района, тъй като в първия параграф бяха дадени много подробни обяснения.

Така:

Както вече отбелязах, по-добре е за начинаещите да изчисляват итерирани интеграли отделно и аз ще се придържам към същия метод:

1) Първо, използвайки формулата на Нютон-Лайбниц, се занимаваме с вътрешния интеграл:

2) Резултатът, получен в първата стъпка, се замества във външния интеграл:

Точка 2 всъщност е намиране на площта на плоска фигура с помощта на определен интеграл.

отговор:

Това е толкова глупава и наивна задача.

Интересен пример за самостоятелно решение:

Използвайки двоен интеграл, изчислете площта на равнинна фигура, ограничена от линиите , ,

Примерен пример за крайно решение в края на урока.

В примери 9-10 е много по-изгодно да се използва първият метод за обхождане на площта; Ако не направите грешка, тогава, естествено, ще получите същите стойности на площта.

Но в някои случаи вторият метод за преминаване на района е по-ефективен и в края на курса за млади маниаци нека да разгледаме още няколко примера по тази тема:

Пример 11

Използвайки двоен интеграл, изчислете площта на равнинна фигура, ограничена от линии,

Решение: очакваме с нетърпение две параболи със странност, които лежат отстрани. Няма нужда да се усмихвате; подобни неща се случват доста често в множество интеграли.

Кой е най-лесният начин да направите рисунка?

Нека си представим парабола под формата на две функции:
– горния клон и – долния клон.

По същия начин си представете парабола под формата на горна и долна клонове.

След това начертаване на графики по точки, което води до такава странна фигура:

Изчисляваме площта на фигурата, използвайки двойния интеграл по формулата:

Какво се случва, ако изберем първия метод за прекосяване на района? Първо, тази област ще трябва да бъде разделена на две части. И второ, ще наблюдаваме тази тъжна картина: . Интегралите, разбира се, не са от свръхсложно ниво, но... има една стара математическа поговорка: който е близо до корените си, няма нужда от проверка.

Следователно, от недоразумението, дадено в условието, ние изразяваме обратните функции:

Обратните функции в този пример имат предимството, че определят цялата парабола наведнъж без никакви листа, жълъди, клони и корени.

Според втория метод обхождането на площта ще бъде както следва:

Тук и по-нататък няма да се спирам на това как да обходя района, тъй като в първия параграф бяха дадени много подробни обяснения.

Както се казва, усетете разликата.

1) Имаме работа с вътрешния интеграл:

Заместваме резултата във външния интеграл:

Интегрирането върху променливата "y" не трябва да е объркващо; ако имаше буква "zy", би било чудесно да се интегрира върху нея. Въпреки че всеки, който е прочел втория абзац на урока Как да изчислим обема на ротационно тяло, вече не изпитва и най-малката неудобство при интегрирането по метода „Y“.

Обърнете внимание и на първата стъпка: интегрантът е четен и интервалът на интегриране е симетричен около нулата. Следователно сегментът може да бъде намален наполовина и резултатът може да бъде удвоен. Този похват е коментиран подробно в урока Ефективни методи за пресмятане на определен интеграл.

Какво да добавя... всички!

Точка 2 всъщност е намиране на площта на плоска фигура с помощта на определен интеграл.

За да тествате вашата техника за интегриране, можете да опитате да изчислите . Отговорът трябва да е абсолютно същият.

Пример 12

Използвайки двоен интеграл, изчислете площта на равнинна фигура, ограничена от линии

Това е пример, който можете да решите сами. Интересно е да се отбележи, че ако се опитате да използвате първия метод за обхождане на района, фигурата вече няма да се разделя на две, а на три части! И съответно получаваме три двойки повтарящи се интеграли. Това също се случва.

Майсторският клас приключи и е време да преминем към гросмайсторското ниво - Как да изчислим двоен интеграл? Примери за решения. Ще се опитам да не бъда толкова маниакална във втората статия =)

желая ти успех!

Решения и отговори:

Пример 2:Решение: Нека изобразим района на чертежа:

Нека изберем следния ред на обхождане на областта:

Така:
Нека да преминем към обратните функции:

Така:
отговор:

Пример 4:Решение: Нека да преминем към директните функции:

Да направим чертежа:

Нека променим реда на преминаване на района:

отговор:

а)

Решение.

Първият и най-важен момент в решението е рисуването.

Да направим чертежа:

Уравнение y=0задава оста "x";

- х=-2И х=1- права, успоредна на оста о;

- y=x 2 +2 -парабола, чиито клонове са насочени нагоре, с върха в точката (0;2).

Коментирайте. За да се изгради парабола, достатъчно е да се намерят точките на нейното пресичане с координатните оси, т.е. поставяне х=0намерете пресечната точка с оста ои решавайки съответното квадратно уравнение, намерете пресечната точка с оста о .

Върхът на парабола може да се намери с помощта на формулите:

Можете също да изграждате линии точка по точка.

На интервала [-2;1] графиката на функцията y=x 2 +2разположен над оста вол, Ето защо:

отговор: С=9 кв. единици

След като задачата е изпълнена, винаги е полезно да погледнете рисунката и да разберете дали отговорът е реален. В този случай „на око“ преброяваме броя на клетките в чертежа - добре, ще има около 9, изглежда е вярно. Абсолютно ясно е, че ако получим, да речем, отговора: 20 квадратни единици, то очевидно е, че някъде е допусната грешка - 20 клетки очевидно не се вписват във въпросната цифра, най-много дузина. Ако отговорът е отрицателен, значи и задачата е решена неправилно.

Какво да направите, ако под оста се намира извит трапец О?

б) Изчислете площта на фигурата, ограничена от линиите y=-e x , х=1и координатни оси.

Решение.

Да направим рисунка.

Ако извит трапец е напълно разположен под оста о , тогава неговата площ може да се намери с помощта на формулата:

отговор: S=(e-1)кв. единици“ 1,72 кв. единици

внимание! Не бива да се бъркат двата вида задачи:

1) Ако бъдете помолени да решите просто определен интеграл без никакво геометрично значение, тогава той може да е отрицателен.

2) Ако бъдете помолени да намерите площта на фигура, като използвате определен интеграл, тогава площта винаги е положителна! Ето защо минусът се появява в току-що обсъдената формула.

На практика най-често фигурата е разположена както в горната, така и в долната полуравнина.

в) Намерете площта на плоска фигура, ограничена от линии y=2x-x 2, y=-x.

Решение.

Първо трябва да завършите чертежа. Най-общо казано, когато конструираме чертеж в задачи с площи, най-много се интересуваме от точките на пресичане на линиите. Нека намерим пресечните точки на параболата и прав Това може да стане по два начина. Първият метод е аналитичен.

Решаваме уравнението:

Това означава, че долната граница на интеграция а=0, горна граница на интеграция b=3 .

Построяваме дадените прави: 1. Парабола - връх в точка (1;1); пресичане на осите О-точки (0;0) и (0;2). 2. Права - ъглополовяща на 2-ри и 4-ти координатни ъгли. А сега Внимание! Ако на сегмента [ a;b] някаква непрекъсната функция f(x)по-голяма или равна на някаква непрекъсната функция g(x), тогава площта на съответната фигура може да се намери по формулата: .

И няма значение къде се намира фигурата - над оста или под оста, но има значение коя графика е ПО-ВИСОКО (спрямо друга графика) и коя е ПО-ДОЛУ. В разглеждания пример е очевидно, че на сегмента параболата е разположена над правата линия и следователно е необходимо да се извади от

Можете да конструирате линии точка по точка и границите на интеграцията стават ясни „сами по себе си“. Независимо от това, аналитичният метод за намиране на граници все още понякога трябва да се използва, ако например графиката е достатъчно голяма или подробната конструкция не разкрива границите на интегриране (те могат да бъдат дробни или ирационални).

Желаната фигура е ограничена от парабола отгоре и права линия отдолу.

На сегмента , по съответната формула:

отговор: С=4,5 кв. единици

Как да вмъкнете математически формули в уебсайт?

Ако някога трябва да добавите една или две математически формули към уеб страница, тогава най-лесният начин да направите това е както е описано в статията: математическите формули лесно се вмъкват в сайта под формата на снимки, които се генерират автоматично от Wolfram Alpha . В допълнение към простотата, този универсален метод ще помогне за подобряване на видимостта на сайта в търсачките. Работи отдавна (и мисля, че ще работи завинаги), но вече е морално остарял.

Ако редовно използвате математически формули на вашия сайт, тогава ви препоръчвам да използвате MathJax - специална JavaScript библиотека, която показва математически нотации в уеб браузъри, използвайки MathML, LaTeX или ASCIIMathML маркиране.

Има два начина да започнете да използвате MathJax: (1) като използвате прост код, можете бързо да свържете MathJax скрипт към вашия уебсайт, който автоматично ще бъде зареден от отдалечен сървър в точното време (списък със сървъри); (2) изтеглете скрипта MathJax от отдалечен сървър на вашия сървър и го свържете към всички страници на вашия сайт. Вторият метод - по-сложен и отнемащ време - ще ускори зареждането на страниците на вашия сайт и ако родителският MathJax сървър стане временно недостъпен по някаква причина, това няма да се отрази по никакъв начин на вашия собствен сайт. Въпреки тези предимства избрах първия метод, тъй като е по-прост, по-бърз и не изисква технически умения. Следвайте примера ми и само след 5 минути ще можете да използвате всички функции на MathJax на вашия сайт.

Можете да свържете скрипта на библиотеката MathJax от отдалечен сървър, като използвате две опции за код, взети от основния уебсайт на MathJax или от страницата с документация:

Една от тези опции за код трябва да бъде копирана и поставена в кода на вашата уеб страница, за предпочитане между таговете и/или непосредствено след тага. Според първата опция MathJax се зарежда по-бързо и забавя страницата по-малко. Но втората опция автоматично следи и зарежда най-новите версии на MathJax. Ако поставите първия код, той ще трябва да се актуализира периодично. Ако поставите втория код, страниците ще се зареждат по-бавно, но няма да е необходимо постоянно да наблюдавате актуализациите на MathJax.

Най-лесният начин за свързване на MathJax е в Blogger или WordPress: в контролния панел на сайта добавете уиджет, предназначен да вмъква JavaScript код на трета страна, копирайте в него първата или втората версия на кода за изтегляне, представен по-горе, и поставете уиджета по-близо до началото на шаблона (между другото, това изобщо не е необходимо, тъй като скриптът MathJax се зарежда асинхронно). това е всичко Сега научете синтаксиса за маркиране на MathML, LaTeX и ASCIIMathML и сте готови да вмъквате математически формули в уеб страниците на вашия сайт.

Всеки фрактал се конструира според определено правило, което се прилага последователно неограничен брой пъти. Всяко такова време се нарича итерация.

Итеративният алгоритъм за конструиране на гъба на Менгер е доста прост: оригиналният куб със страна 1 е разделен от равнини, успоредни на лицата му, на 27 равни куба. От него се отстраняват един централен куб и 6 куба, съседни на него по стените. Резултатът е комплект, състоящ се от останалите 20 по-малки кубчета. Като направим същото с всяко от тези кубчета, получаваме комплект, състоящ се от 400 по-малки кубчета. Продължавайки този процес безкрайно, получаваме гъба Menger.

Всъщност, за да намерите площта на фигура, нямате нужда от толкова много познания за неопределения и определен интеграл. Задачата „изчислете площта с помощта на определен интеграл“ винаги включва конструиране на чертеж, така че вашите знания и умения за конструиране на чертежи ще бъдат много по-належащ въпрос. В тази връзка е полезно да опресните паметта си за графиките на основните елементарни функции и като минимум да можете да конструирате права линия и хипербола.

Извит трапец е плоска фигура, ограничена от ос, прави линии и графика на функция, непрекъсната в сегмент, който не променя знака в този интервал. Нека тази фигура се намира не по-нискоос x:

Тогава площта на криволинейния трапец е числено равна на определения интеграл. Всеки определен интеграл (който съществува) има много добро геометрично значение.

От гледна точка на геометрията, определеният интеграл е ПЛОЩ.

Тоест определен интеграл (ако съществува) геометрично съответства на площта на определена фигура. Например, разгледайте определения интеграл. Интеграндът определя крива на равнината, разположена над оста (желаещите могат да направят чертеж), а самият определен интеграл е числено равен на площта на съответния криволинеен трапец.

Пример 1

Това е типично изявление за присвояване. Първият и най-важен момент в решението е рисуването. Освен това чертежът трябва да бъде конструиран ПРАВИЛНО.

Когато конструирате чертеж, препоръчвам следния ред: първо е по-добре да конструирате всички прави линии (ако има такива) и едва след това - параболи, хиперболи и графики на други функции. По-изгодно е да се конструират графики на функции точка по точка.

В този проблем решението може да изглежда така.
Нека начертаем чертежа (обърнете внимание, че уравнението дефинира оста):

На сегмента графиката на функцията е разположена над оста, следователно:

отговор:

Пример 3

Изчислете площта на фигурата, ограничена от линии и координатни оси.

Решение: Да направим чертеж:

Ако извитият трапец се намира под оста (или поне не по-високодадена ос), тогава неговата площ може да се намери с помощта на формулата:

В този случай:

внимание! Не бива да се бъркат двата вида задачи:

На практика най-често фигурата се намира както в горната, така и в долната полуравнина и следователно от най-простите училищни задачи преминаваме към по-смислени примери.

Пример 4

Намерете площта на равнинна фигура, ограничена от линии, .

Решение: Първо трябва да направите чертеж. Най-общо казано, когато конструираме чертеж в задачи с площи, най-много се интересуваме от точките на пресичане на линиите. Нека намерим пресечните точки на параболата и правата. Това може да стане по два начина. Първият метод е аналитичен. Решаваме уравнението:

Това означава, че долната граница на интегриране е , а горната граница на интегриране е .

По-добре е, ако е възможно, да не използвате този метод.

Много по-изгодно и по-бързо е да се изграждат линии точка по точка, а границите на интеграция стават ясни „от само себе си“. Независимо от това, аналитичният метод за намиране на граници все още понякога трябва да се използва, ако например графиката е достатъчно голяма или подробната конструкция не разкрива границите на интегриране (те могат да бъдат дробни или ирационални). И ние също ще разгледаме такъв пример.

Нека се върнем към нашата задача: по-рационално е първо да построим права линия и едва след това парабола. Да направим чертежа:

И сега работната формула: Ако на сегмент някаква непрекъсната функция е по-голяма или равна на някаква непрекъсната функция, тогава площта на фигурата, ограничена от графиките на тези функции и прави линии, може да се намери с помощта на формулата:

Тук вече не е нужно да мислите къде се намира фигурата - над оста или под оста, и, грубо казано, е важно коя графика е ПО-ВИСОКА (спрямо друга графика) и коя е ПО-ДОЛУ.

В разглеждания пример е очевидно, че на сегмента параболата е разположена над правата линия и следователно е необходимо да се извади от

Завършеното решение може да изглежда така:

Желаната фигура е ограничена от парабола отгоре и права линия отдолу.
На сегмента, съгласно съответната формула:

отговор:

Пример 4

Изчислете площта на фигурата, ограничена от линиите , , , .

Решение: Първо, нека направим чертеж:

Фигурата, чиято площ трябва да намерим, е оцветена в синьо (погледнете внимателно условието - колко е ограничена фигурата!). Но на практика, поради невнимание, често се случва „бъг“, че трябва да намерите областта на фигура, която е засенчена в зелено!

Този пример е полезен и с това, че изчислява площта на фигура с помощта на два определени интеграла.

наистина:

1) На сегмента над оста има графика на права линия;

2) На сегмента над оста има графика на хипербола.

Съвсем очевидно е, че областите могат (и трябва) да бъдат добавени, следователно: