Нека функцията е неотрицателна и непрекъсната на интервала. Тогава, според геометричния смисъл на определен интеграл, площта на криволинейния трапец, ограничена отгоре от графиката на тази функция, отдолу от оста, отляво и отдясно от прави линии и (виж Фиг. 2) е изчислено по формулата

Пример 9.Намерете площта на фигура, ограничена от линия и ос.

Решение. Функционална графика е парабола, чиито клонове са насочени надолу. Нека го изградим (фиг. 3). За да определим границите на интегриране, намираме точките на пресичане на линията (парабола) с оста (права линия). За да направим това, решаваме системата от уравнения

Получаваме: , където , ; следователно, , .

Ориз. 3

Намираме площта на фигурата, използвайки формула (5):

Ако функцията е неположителна и непрекъсната на сегмента , тогава площта на криволинейния трапец, ограничена отдолу от графиката на тази функция, отгоре от оста, отляво и отдясно от прави линии и , се изчислява от формула

. (6)

Ако функцията е непрекъсната на сегмент и променя знака си в краен брой точки, тогава площта на защрихованата фигура (фиг. 4) е равна на алгебричната сума на съответните определени интеграли:

Ориз. 4

Пример 10.Изчислете площта на фигурата, ограничена от оста и графиката на функцията при .

Ориз. 5

Решение. Да направим чертеж (фиг. 5). Търсената площ е сумата от площите и . Нека намерим всяка от тези области. Първо, ние определяме границите на интеграция чрез решаване на системата Получаваме , . Следователно:

;

.

По този начин площта на защрихованата фигура е

(кв. единици).

Ориз. 6

И накрая, нека криволинейният трапец е ограничен отгоре и отдолу от графиките на функции, непрекъснати на сегмента и ,
а отляво и отдясно - прави линии и (фиг. 6). След това неговата площ се изчислява по формулата

. (8)

Пример 11.Намерете площта на фигурата, ограничена от линиите и.

Решение.Тази фигура е показана на фиг. 7. Нека изчислим неговата площ по формула (8). Решавайки системата от уравнения намираме, ; следователно, , . На сегмента имаме: . Това означава, че във формула (8) приемаме като х, а по качество – . Получаваме:

(кв. единици).

По-сложните проблеми с изчисляването на площите се решават чрез разделяне на фигурата на части, които не се припокриват и изчисляване на площта на цялата фигура като сума от площите на тези части.

Ориз. 7

Пример 12.Намерете площта на фигурата, ограничена от линиите , , .

Решение. Да направим чертеж (фиг. 8). Тази фигура може да се разглежда като криволинеен трапец, ограничен отдолу от оста, отляво и отдясно - от прави линии и отгоре - от графики на функции и. Тъй като фигурата е ограничена отгоре от графиките на две функции, за да изчислим нейната площ, разделяме тази права линия на две части (1 е абсцисата на пресечната точка на линиите и ). Площта на всяка от тези части се намира с помощта на формула (4):

(кв. единици); (кв. единици). Следователно:

(кв. единици).

Ориз. 8

х= j ( при)

Ориз. 9

В заключение отбелязваме, че ако криволинейният трапец е ограничен от прави линии и , ос и непрекъснат върху кривата (фиг. 9), тогава неговата площ се намира по формулата

Обем на ротационно тяло

Нека криволинейният трапец, ограничен от графиката на функция, непрекъсната на отсечка, от ос, от прави линии и , се върти около оста (фиг. 10). След това обемът на полученото тяло на въртене се изчислява по формулата

. (9)

Пример 13.Да се ​​изчисли обемът на тяло, получено при въртене около оста на криволинеен трапец, ограничен от хипербола, прави линии и ос.

Решение. Да направим чертеж (фиг. 11).

От условията на задачата следва, че , . От формула (9) получаваме

.

Ориз. 10

Ориз. единадесет

Обем на тяло, получен при въртене около ос OUкриволинеен трапец, ограничен от прави линии y = cИ y = d, ос OUи графика на функция, непрекъсната на отсечка (фиг. 12), определена по формулата

. (10)

х= j ( при)

Ориз. 12

Пример 14. Да се ​​изчисли обемът на тяло, получено при въртене около ос OUкриволинеен трапец, ограничен от линии х 2 = 4при, y = 4, x = 0 (фиг. 13).

Решение. В съответствие с условията на задачата намираме границите на интегриране: , . Използвайки формула (10), получаваме:

Ориз. 13

Дължина на дъгата на равнинна крива

Нека кривата, дадена от уравнението , където , лежи в равнината (фиг. 14).

Ориз. 14

Определение. Дължината на дъгата се разбира като границата, към която се стреми дължината на счупена линия, вписана в тази дъга, когато броят на връзките на счупената линия клони към безкрайност, а дължината на най-голямата връзка клони към нула.

Ако функция и нейната производна са непрекъснати на сегмента, тогава дължината на дъгата на кривата се изчислява по формулата

. (11)

Пример 15. Изчислете дължината на дъгата на кривата, затворена между точките, за които .

Решение. От проблемните условия, които имаме . Използвайки формула (11), получаваме:

.

4. Неправилни интеграли
с безкрайни граници на интеграция

При въвеждането на концепцията за определен интеграл се приема, че са изпълнени следните две условия:

а) граници на интеграция Аи са крайни;

б) подинтегралната функция е ограничена на интервала.

Ако поне едно от тези условия не е изпълнено, тогава се извиква интеграл не твоя собствена.

Нека първо разгледаме неправилни интеграли с безкрайни граници на интегриране.

Определение. Тогава нека функцията е дефинирана и непрекъсната на интервалаи неограничен отдясно (фиг. 15).

Ако неправилният интеграл се сближава, тогава тази област е крайна; ако неправилният интеграл се разминава, тогава тази област е безкрайна.

Ориз. 15

Неправилен интеграл с безкрайна долна граница на интегриране се дефинира по подобен начин:

. (13)

Този интеграл се сближава, ако границата от дясната страна на равенството (13) съществува и е крайна; в противен случай се казва, че интегралът е дивергентен.

Неправилен интеграл с две безкрайни граници на интегриране се дефинира, както следва:

, (14)

където с е всяка точка от интервала. Интегралът се събира само ако и двата интеграла от дясната страна на равенство (14) се събират.

;

G) = [изберете пълен квадрат в знаменателя: ] = [замяна:

] =

Това означава, че неправилният интеграл се събира и стойността му е равна на .

Всеки определен интеграл (който съществува) има много добро геометрично значение. В клас казах, че определен интеграл е число. И сега е време да посочим още един полезен факт. От гледна точка на геометрията, определеният интеграл е ПЛОЩ.

Това е, определеният интеграл (ако съществува) геометрично съответства на площта на определена фигура. Например, разгледайте определения интеграл. Интеграндът определя определена крива на равнината (винаги може да бъде начертана, ако желаете), а самият определен интеграл е числено равен на площта на съответния криволинеен трапец.

Пример 1

Това е типично изявление за присвояване. Първата и най-важна точка в решението е изграждането на чертеж. Освен това чертежът трябва да бъде конструиран ДЯСНО.

Когато конструирате чертеж, препоръчвам следния ред: първопо-добре е да се конструират всички прави линии (ако съществуват) и само Тогава– параболи, хиперболи, графики на други функции. По-изгодно е да се изграждат графики на функции точка по точка, техниката на изграждане точка по точка можете да намерите в референтния материал.

Там можете да намерите и много полезен материал за нашия урок - как бързо да построим парабола.

В този проблем решението може да изглежда така.
Нека начертаем чертежа (обърнете внимание, че уравнението дефинира оста):

Няма да засенчвам извития трапец, тук е очевидно за каква област говорим. Решението продължава така:

На сегмента е разположена графиката на функцията над оста, Ето защо:

Отговор:

Който има затруднения с изчисляването на определения интеграл и прилагането на формулата на Нютон-Лайбниц , вижте лекцията Определен интеграл. Примери за решения.

След като задачата е изпълнена, винаги е полезно да погледнете рисунката и да разберете дали отговорът е реален. В този случай ние броим броя на клетките в чертежа „на око“ - добре, ще има около 9, изглежда е вярно. Абсолютно ясно е, че ако получим, да речем, отговора: 20 квадратни единици, то очевидно е, че някъде е допусната грешка - 20 клетки очевидно не се вписват във въпросната цифра, най-много дузина. Ако отговорът е отрицателен, значи и задачата е решена неправилно.

Пример 2

Изчислете площта на фигура, ограничена от линии , и ос

Това е пример, който можете да решите сами. Пълно решение и отговор в края на урока.

Какво да направите, ако се намира извитият трапец под оста?

Пример 3

Изчислете площта на фигурата, ограничена от линии и координатни оси.

Решение: Да направим чертеж:

Ако извит трапец напълно разположени под оста, тогава неговата площ може да се намери с помощта на формулата:
В такъв случай:

внимание! Не трябва да се бъркат двата вида задачи:

1) Ако бъдете помолени да решите просто определен интеграл без никакво геометрично значение, тогава той може да е отрицателен.

2) Ако бъдете помолени да намерите площта на фигура, като използвате определен интеграл, тогава площта винаги е положителна! Ето защо минусът се появява в току-що обсъдената формула.

На практика най-често фигурата се намира както в горната, така и в долната полуравнина и следователно от най-простите училищни задачи преминаваме към по-смислени примери.

Пример 4

Намерете площта на равнинна фигура, ограничена от линиите , .

Решение: Първо трябва да направите чертеж. Най-общо казано, когато конструираме чертеж в задачи с площи, най-много се интересуваме от точките на пресичане на линиите. Нека намерим пресечните точки на параболата и правата. Това може да стане по два начина. Първият метод е аналитичен. Решаваме уравнението:

Това означава, че долната граница на интегриране е , а горната граница на интегриране е .
По-добре е да не използвате този метод, ако е възможно.

Много по-изгодно и по-бързо е да се изграждат линии точка по точка, а границите на интеграция стават ясни „от само себе си“. Техниката за конструиране точка по точка за различни графики е разгледана подробно в помощта Графики и свойства на елементарни функции. Независимо от това, аналитичният метод за намиране на граници все още понякога трябва да се използва, ако например графиката е достатъчно голяма или подробната конструкция не разкрива границите на интегриране (те могат да бъдат дробни или ирационални). И ние също ще разгледаме такъв пример.

Нека се върнем към нашата задача: по-рационално е първо да построим права линия и едва след това парабола. Да направим чертежа:

Повтарям, че при поточковото конструиране границите на интеграция най-често се откриват „автоматично“.

А сега работната формула:Ако на сегмент има някаква непрекъсната функция по-голямо или равно нанякаква непрекъсната функция, тогава площта на съответната фигура може да се намери по формулата:

Тук вече не е нужно да мислите къде се намира фигурата - над оста или под оста, и, грубо казано, има значение коя графика е ПО-ВИСОКА(спрямо друга графика), и кое е ПО-ДОЛУ.

В разглеждания пример е очевидно, че на сегмента параболата е разположена над правата линия и следователно е необходимо да се извади от

Завършеното решение може да изглежда така:

Желаната фигура е ограничена от парабола отгоре и права линия отдолу.
На сегмента, съгласно съответната формула:

Отговор:

Всъщност училищната формула за площта на криволинейния трапец в долната полуравнина (вижте прост пример № 3) е специален случай на формулата . Тъй като оста е зададена от уравнението и графиката на функцията е разположена под оста, тогава

А сега няколко примера за вашето собствено решение

Пример 5

Пример 6

Намерете площта на фигурата, ограничена от линиите , .

При решаване на задачи, включващи изчисляване на площ с помощта на определен интеграл, понякога се случва забавна случка. Чертежът е направен правилно, изчисленията са правилни, но поради невнимание... беше намерена зоната на грешната фигура, точно така твоят смирен слуга се прецака няколко пъти. Ето един случай от реалния живот:

Пример 7

Изчислете площта на фигурата, ограничена от линиите , , , .

Първо нека направим чертеж:

Фигурата, чиято площ трябва да намерим, е оцветена в синьо(погледнете внимателно състоянието - колко е ограничена фигурата!). Но на практика, поради невнимание, често се случва, че трябва да намерите областта на фигура, която е засенчена в зелено!

Този пример също е полезен, защото изчислява площта на фигура с помощта на два определени интеграла. Наистина ли:

1) На сегмента над оста има графика на права линия;

2) На сегмента над оста има графика на хипербола.

Съвсем очевидно е, че областите могат (и трябва) да бъдат добавени, следователно:

Отговор:

Пример 8

Изчислете площта на фигура, ограничена от линии,
Нека представим уравненията в "училищна" форма и да направим чертеж точка по точка:

От чертежа става ясно, че нашата горна граница е „добра“: .
Но каква е долната граница?! Ясно е, че това не е цяло число, но какво е? Може би ? Но къде е гаранцията, че чертежът е направен с перфектна точност, може да се окаже, че... Или корена. Ами ако построим графиката неправилно?

В такива случаи трябва да отделите допълнително време и да изясните аналитично границите на интеграцията.

Нека намерим пресечните точки на права линия и парабола.
За да направим това, решаваме уравнението:

Следователно, .

По-нататъшното решение е тривиално, основното е да не се бъркате в заместванията и знаците тук не са най-простите.

На сегмента , по съответната формула:

Отговор:

Е, за да завършим урока, нека разгледаме още две трудни задачи.

Пример 9

Изчислете площта на фигурата, ограничена от линиите , ,

Решение: Нека изобразим тази фигура на чертежа.

За да конструирате чертеж точка по точка, трябва да знаете външния вид на синусоида (и като цяло е полезно да знаете графики на всички елементарни функции), както и някои синусови стойности, те могат да бъдат намерени в тригонометрична таблица. В някои случаи (както в този случай) е възможно да се изгради схематичен чертеж, на който графиките и границите на интегриране трябва да бъдат фундаментално правилно показани.

Тук няма проблеми с границите на интегриране, те следват директно от условието: „x“ се променя от нула на „pi“. Нека вземем още едно решение:

На сегмента графиката на функцията е разположена над оста, следователно:

(1) Как синусите и косинусите се интегрират в нечетни степени може да се види в урока Интеграли на тригонометрични функции. Това е типична техника, прищипваме единия синус.

(2) Използваме основната тригонометрична идентичност във формуляра

(3) Нека променим променливата, след което:

Нови области на интеграция:

Моля, всеки, който е наистина зле със замените, да си вземе поука. Метод на заместване в неопределен интеграл. За тези, които не разбират напълно алгоритъма за заместване в определен интеграл, посетете страницата Определен интеграл. Примери за решения.

Пример1 . Изчислете площта на фигурата, ограничена от линиите: x + 2y – 4 = 0, y = 0, x = -3 и x = 2

Нека построим фигура (вижте фигурата) Построяваме права линия x + 2y – 4 = 0, използвайки две точки A(4;0) и B(0;2). Изразявайки y през x, получаваме y = -0,5x + 2. Използвайки формула (1), където f(x) = -0,5x + 2, a = -3, b = 2, намираме

S = = [-0,25=11,25 кв. единици

Пример 2. Изчислете площта на фигурата, ограничена от линиите: x – 2y + 4 = 0, x + y – 5 = 0 и y = 0.

Решение. Да построим фигурата.

Нека построим права линия x – 2y + 4 = 0: y = 0, x = - 4, A(-4; 0); x = 0, y = 2, B(0; 2).

Нека построим права линия x + y – 5 = 0: y = 0, x = 5, C(5; 0), x = 0, y = 5, D(0; 5).

Нека намерим пресечната точка на правите, като решим системата от уравнения:

x = 2, y = 3; М(2; 3).

За да изчислим необходимата площ, разделяме триъгълника AMC на два триъгълника AMN и NMC, тъй като когато x се променя от A на N, площта е ограничена от права линия, а когато x се променя от N на C - с права линия

За триъгълник AMN имаме: ; y = 0,5x + 2, т.е. f(x) = 0,5x + 2, a = - 4, b = 2.

За триъгълник NMC имаме: y = - x + 5, т.е. f(x) = - x + 5, a = 2, b = 5.

Чрез изчисляване на площта на всеки триъгълник и добавяне на резултатите, намираме:

кв. единици

кв. единици

9 + 4, 5 = 13,5 кв. единици Проверка: = 0.5AC = 0.5 кв. единици

Пример 3. Изчислете площта на фигура, ограничена от линии: y = x 2 , y = 0, x = 2, x = 3.

В този случай трябва да изчислите площта на извит трапец, ограничен от параболата y = x 2 , прави x = 2 и x = 3 и оста Ox (вижте фигурата) Използвайки формула (1), намираме площта на криволинейния трапец

= = 6 кв. единици

Пример 4. Изчислете площта на фигурата, ограничена от линиите: y = - x 2 + 4 и y = 0

Да построим фигурата. Търсената площ е затворена между параболата y = - x 2 + 4 и оста Ox.

Нека намерим пресечните точки на параболата с оста Ox. Ако приемем y = 0, намираме x = Тъй като тази фигура е симетрична спрямо оста Oy, ние изчисляваме площта на фигурата, разположена вдясно от оста Oy, и удвояваме получения резултат: = +4x]sq. единици 2 = 2 кв. единици

Пример 5. Изчислете площта на фигура, ограничена от линии: y 2 = x, yx = 1, x = 4

Тук трябва да изчислите площта на криволинейния трапец, ограничен от горния клон на параболата 2 = x, ос Ox и прави x = 1 и x = 4 (виж фигурата)

Съгласно формула (1), където f(x) = a = 1 и b = 4, имаме = (= кв. единици.

Пример 6 . Изчислете площта на фигурата, ограничена от линиите: y = sinx, y = 0, x = 0, x= .

Необходимата площ е ограничена от полувълната на синусоидата и оста Ox (виж фигурата).

Имаме - cosx = - cos = 1 + 1 = 2 кв. единици

Пример 7. Изчислете площта на фигурата, ограничена от линиите: y = - 6x, y = 0 и x = 4.

Фигурата се намира под оста Ox (виж фигурата).

Следователно намираме неговата площ, използвайки формула (3)

= =

Пример 8. Изчислете площта на фигурата, ограничена от линиите: y = и x = 2. Изградете кривата y = от точките (вижте фигурата). Така намираме площта на фигурата, използвайки формула (4)

Пример 9 .

х 2 + y 2 = r 2 .

Тук трябва да изчислите площта, оградена от кръга x 2 + y 2 = r 2 , т.е. площта на кръг с радиус r с център в началото. Нека намерим четвъртата част от тази област, като вземем границите на интегриране от 0

преди; ние имаме: 1 = = [

следователно 1 =

Пример 10. Изчислете площта на фигура, ограничена от линии: y= x 2 и y = 2x

Тази фигура е ограничена от параболата y = x 2 и правата y = 2x (вижте фигурата) За да определим пресечните точки на дадените прави, решаваме системата от уравнения: x 2 – 2x = 0 x = 0 и x = 2

Използвайки формула (5), за да намерим площта, получаваме

= \- -fl -- Г -1-±Л_ 1V1 -l-l-Ii-^ 3) |_ 2 3V 2 / J 3 24 24* Пример 2. Нека изчислим площта, ограничена от синусоидата y = sinXy, Ox оста и правата (фиг. .87). Прилагайки формула (I), получаваме A 2 S= J sinxdx= [-cos x]Q =0 -(-1) = lf Пример 3. Изчислете площта, ограничена от дъгата на синусоидата ^у = sin jc, оградена между две съседни пресечни точки с оста Ox (например между началото и точката с абсцисата i). Имайте предвид, че от геометрични съображения е ясно, че тази площ ще бъде два пъти по-голяма от предишния пример. Нека обаче направим изчисленията: I 5= | s\nxdx= [ - cosх)* - - cos i-(-cos 0)= 1 + 1 = 2. o Наистина предположението ни се оказа правилно. Пример 4. Изчислете площта, ограничена от синусоидата и оста Ox в един период (фиг. 88). Предварителните изчисления предполагат, че площта ще бъде четири пъти по-голяма, отколкото в пример 2. Въпреки това, след извършване на изчисленията, получаваме “i Г,*i S - \ sin x dx = [ - cos x]0 = = - cos 2l - (-cos 0) = - 1 + 1 = 0. Този резултат изисква пояснение. За да изясним същността на въпроса, ние също изчисляваме площта, ограничена от същата синусоида y = sin l: и оста Ox в диапазона от l до 2i. Прилагайки формула (I), получаваме 2l $2l sin xdx=[ - cosх]l = -cos 2i~)-c05i=- 1-1 =-2. Така виждаме, че тази област се оказа отрицателна. Сравнявайки го с площта, изчислена в упражнение 3, установяваме, че техните абсолютни стойности са еднакви, но знаците са различни. Ако приложим свойство V (виж Глава XI, § 4), получаваме 2l I 2l J sin xdx= J sin * dx [ sin x dx = 2 + (- 2) = 0Случилото се в този пример не е инцидент. Винаги площта, разположена под оста Ox, при условие че независимата променлива се променя отляво надясно, се получава, когато се изчислява с помощта на интеграли. В този курс винаги ще разглеждаме области без знаци. Следователно отговорът в току-що обсъдения пример ще бъде: необходимата площ е 2 + |-2| = 4. Пример 5. Нека изчислим площта на BAB, показана на фиг. 89. Тази област е ограничена от оста Ox, параболата y = - xr и правата линия y - = -x+\. Площ на криволинеен трапец Необходимата област OAB се състои от две части: OAM и MAV. Тъй като точка A е пресечната точка на парабола и права линия, ще намерим нейните координати, като решим системата от уравнения 3 2 Y = mx. (трябва само да намерим абсцисата на точка А). Решавайки системата, намираме l; = ~. Следователно площта трябва да се изчисли на части, първи квадрат. OAM и след това pl. MAV: .... G 3 2, 3 G xP 3 1/2 U 2. QAM-^x функция. Фигура, ограничена от крива? (?) и лъчи? = ?, ? = ?, се нарича криволинеен сектор. Площта на криволинейния сектор е равна на

Намиране на дължината на дъгата на крива

Правоъгълни координати

Нека равнинна крива AB е дадена в правоъгълни координати, чието уравнение е y = f(x), където a? х? b. (Фигура 2)

Дължината на дъгата AB се разбира като границата, към която се стреми дължината на счупена линия, вписана в тази дъга, когато броят на връзките на счупената линия нараства неограничено, а дължината на най-голямата й връзка клони към нула.

Нека приложим схема I (метод на сумите).

Използвайки точки X = a, X, …, X = b (X ? X? … ? X) разделяме отсечката на n части. Нека тези точки съответстват на точките M = A, M, …, M = B на кривата AB. Нека начертаем хорди MM, MM, …, MM, чиито дължини ще означим съответно с ?L, ?L, …, ?L.

Получаваме прекъсната линия MMM ... MM, чиято дължина е равна на L = ?L+ ?L+ ... + ?L = ?L.

Дължината на хорда (или връзка на прекъсната линия) ?L може да се намери с помощта на Питагоровата теорема от триъгълник с крака ?X и ?Y:

L = , където?X = X - X, ?Y = f(X) - f(X).

Чрез теоремата на Лагранж за крайното нарастване на функция

Y = (C) ?X, където C (X, X).

и дължината на цялата начупена линия MMM...MM е равна на

Дължината на кривата AB по дефиниция е равна на

Обърнете внимание, че когато ?L 0 също ?X 0 (?L = и следователно | ?X |< ?L). Функция непрерывна на отрезке , так как, по условию, непрерывна функция f (X). Следовательно, существует предел интегральной суммы L=?L= , кода max ?X 0:

Така L = dx.

Пример: Намерете обиколката на окръжност с радиус R. (Фигура 3)

Ще го намерим ли? част от дължината му от точка (0; R) до точка (R; 0). защото