Антипроизводно и неговите свойства. Производна на функция

Видяхме, че производната има многобройни приложения: производната е скоростта на движение (или, по-общо, скоростта на всеки процес); производно е наклондопирателна към графиката на функция; използвайки производната, можете да изследвате функцията за монотонност и екстремуми; дериватът помага за решаването на проблеми с оптимизацията.

Но в реалния животОбратните задачи също трябва да бъдат решени: например, наред с проблема за намиране на скоростта по известен закон на движение, ние също се сблъскваме с проблема за възстановяване на закона за движение по известна скорост. Нека разгледаме един от тези проблеми.

Пример 1.Движи се по права линия материална точка, скоростта на движението му в момент t се дава по формулата u = tg. Намерете закона за движение.

Решение.Нека s = s(t) е желаният закон на движение. Известно е, че s"(t) = u"(t). Това означава, че за да разрешите проблема, трябва да изберете функция s = s(t), чиято производна е равна на tg. Не е трудно да се досетите за това

Нека веднага да отбележим, че примерът е решен правилно, но непълно. Открихме, че всъщност проблемът има безкрайно много решения: всяка функция на формата произволна константа може да служи като закон за движение, тъй като

За да направим задачата по-конкретна, трябваше да фиксираме първоначалната ситуация: да посочим координатата на движеща се точка в някакъв момент от времето, например при t=0. Ако, да речем, s(0) = s 0, тогава от равенството получаваме s(0) = 0 + C, т.е. S 0 = C. Сега законът на движението е еднозначно дефиниран:
В математиката се задават реципрочни операции различни имена, измислете специални обозначения: например повдигане на квадрат (x 2) и извличане корен квадратенсинус(sinх) и арксинус(arcsin x) и т.н. Процесът на намиране на производната по отношение на дадена функциясе нарича диференциране, а обратната операция, т.е. процесът на намиране на функция от дадена производна - интегриране.
Самият термин "производна" може да бъде оправдан "в ежедневието": функцията y - f(x) "произвежда в съществуване" нова функция y"= f"(x) Функцията y = f(x) действа като „родител“, но математиците, естествено, не я наричат „родител“ или „производител“, те казват, че е така по отношение на функцията y"=f"(x), първичното изображение, или накратко, антипроизводното.

Определение 1.Функцията y = F(x) се нарича първоизводна за функцията y = f(x) на даден интервал X, ако за всички x от X е изпълнено равенството F"(x)=f(x).

На практика интервалът X обикновено не се посочва, но се подразбира (като естествена област на дефиниране на функцията).

Ето няколко примера:

1) Функцията y = x 2 е противопроизводна на функцията y = 2x, тъй като за всички x равенството (x 2)" = 2x е вярно.
2) функцията y - x 3 е противопроизводна на функцията y-3x 2, тъй като за всички x е вярно равенството (x 3)" = 3x 2.
3) Функцията y-sinх е първоизводна на функцията y = cosx, тъй като за всички x е вярно равенството (sinx)" = cosx.
4) Функцията е антипроизводна за функция на интервала, тъй като за всички x > 0 равенството е вярно
Като цяло, знаейки формулите за намиране на производни, не е трудно да се състави таблица с формули за намиране на антипроизводни.

Надяваме се, че разбирате как се съставя тази таблица: производната на функцията, която е записана във втората колона, е равна на функцията, която е записана в съответния ред на първата колона (проверете го, не бъдете мързеливи, това е много полезно). Например за функцията y = x 5 първоизводната, както ще установите, е функцията (вижте четвъртия ред на таблицата).

Бележки: 1. По-долу ще докажем теоремата, че ако y = F(x) е първоизводна за функцията y = f(x), тогава функцията y = f(x) има безкрайно много първоизводни и всички те имат формата y = F(x ) + C. Следователно би било по-правилно да добавите термина C навсякъде във втората колона на таблицата, където C е произволно реално число.
2. За краткост, понякога вместо фразата „функцията y = F(x) е антипроизводна на функцията y = f(x)“, те казват, че F(x) е антипроизводна на f(x) .”

2. Правила за намиране на противопроизводни

При намиране на противопроизводни, както и при намиране на производни, се използват не само формули (те са посочени в таблицата на стр. 196), но и някои правила. Те са пряко свързани със съответните правила за изчисляване на деривати.

Знаем, че производната на една сума е равна на сумата от нейните производни. Това правило генерира съответното правило за намиране на антипроизводни.

Правило 1.Първопроизводната на сбор е равна на сбора на първопроизводните.

Обръщаме внимание на известната „лекота“ на тази формула. Всъщност трябва да се формулира теоремата: ако функциите y = f(x) и y = g(x) имат първоизводни на интервала X, съответно y-F(x) и y-G(x), тогава сумата от функциите y = f(x)+g(x) има първоизводна на интервала X и тази първоизводна е функцията y = F(x)+G(x). Но обикновено, когато формулират правила (а не теореми), те оставят само ключови думи- това прави по-удобно прилагането на правилото на практика

Пример 2.Намерете първоизводната за функцията y = 2x + cos x.

Решение.Първоизводната за 2x е x"; първоизводната за cox е sin x. Това означава, че първоизводната за функцията y = 2x + cos x ще бъде функцията y = x 2 + sin x (и като цяло всяка функция от формата Y = x 1 + sinx + C).
Ние знаем това постоянен фактормогат да бъдат извадени от производния знак. Това правило генерира съответното правило за намиране на антипроизводни.

Правило 2.Константният фактор може да бъде изваден от знака на първоизводната.

Пример 3.

Решение.а) Първообразната за sin x е -soz x; Това означава, че за функцията y = 5 sin x първообразната функция ще бъде функцията y = -5 cos x.

b) Първоизводната за cos x е sin x; Това означава, че първоизводната на функция е функцията
в) Първоизводната за x 3 е първоизводната за x е първоизводната за функцията y = 1 е функцията y = x. Използвайки първото и второто правило за намиране на първоизводни, намираме, че първоизводната за функцията y = 12x 3 + 8x-1 е функцията
Коментирайте.Както е известно, производната на произведение не е равна на произведението на производните (правилото за диференциране на произведение е по-сложно), а производната на частното не е равно на частното на производните. Следователно няма правила за намиране на първоизводната на произведението или на първоизводната на частното на две функции. Бъдете внимателни!
Нека получим още едно правило за намиране на противопроизводни. Знаем, че производната на функцията y = f(kx+m) се изчислява по формулата

Това правило генерира съответното правило за намиране на антипроизводни.
Правило 3.Ако y = F(x) е първоизводна за функцията y = f(x), тогава първоизводната за функцията y=f(kx+m) е функцията

всъщност

Това означава, че е първоизводна за функцията y = f(kx+m).
Смисълът на третото правило е следният. Ако знаете, че първоизводната на функцията y = f(x) е функцията y = F(x) и трябва да намерите първоизводната на функцията y = f(kx+m), тогава продължете по следния начин: вземете същата функция F, но вместо аргумента x, заместете израза kx+m; освен това не забравяйте да напишете „коефициент на корекция“ преди знака за функция
Пример 4.Намерете противопроизводни за дадени функции:

Решение, а) Първоизводната за sin x е -soz x; Това означава, че за функцията y = sin2x първоизводната ще бъде функцията
b) Първоизводната за cos x е sin x; Това означава, че първоизводната на функция е функцията

c) Първоизводната за x 7 означава, че за функцията y = (4-5x) 7 първоизводната ще бъде функцията

3. Неопределен интеграл

Вече отбелязахме по-горе, че проблемът за намиране на първоизводна за дадена функция y = f(x) има повече от едно решение. Нека обсъдим този въпрос по-подробно.

Доказателство. 1. Нека y = F(x) е първоизводната за функцията y = f(x) на интервала X. Това означава, че за всички x от X е валидно равенството x"(x) = f(x). Нека намерете производната на всяка функция от вида y = F(x)+C:
(F(x) +C) = F"(x) +C = f(x) +0 = f(x).

И така, (F(x)+C) = f(x). Това означава, че y = F(x) + C е първоизводна за функцията y = f(x).
По този начин ние доказахме, че ако функцията y = f(x) има първоизводна y=F(x), тогава функцията (f = f(x) има безкрайно много първоизводни, например всяка функция от вида y = F(x) +C е антипроизводно.
2. Нека сега докажем това определен типфункции, целият набор от антипроизводни е изчерпан.

Нека y=F 1 (x) и y=F(x) са две първоизводни за функцията Y = f(x) на интервала X. Това означава, че за всички x от интервала X са валидни следните отношения: F^ ( x) = f (X); F"(x) = f(x).

Нека разгледаме функцията y = F 1 (x) -.F(x) и да намерим нейната производна: (F, (x) -F(x))" = F[(x)-F(x) = f(x ) - f(x) = 0.
Известно е, че ако производната на функция на интервал X е идентично равна на нула, тогава функцията е постоянна на интервала X (виж теорема 3 от § 35). Това означава, че F 1 (x) - F (x) = C, т.е. Fx) = F(x)+C.

Теоремата е доказана.

Пример 5.Даден е законът за промяна на скоростта във времето: v = -5sin2t. Намерете закона за движение s = s(t), ако е известно, че в момент t=0 координатата на точката е била равна на числото 1,5 (т.е. s(t) = 1,5).

Решение.Тъй като скоростта е производна на координатата като функция на времето, първо трябва да намерим антипроизводната на скоростта, т.е. първоизводна за функцията v = -5sin2t. Една от тези първоизводни е функцията , а наборът от всички първоизводни има формата:

За намиране конкретно значениеконстанта C, нека използваме начални условия, според което s(0) = 1,5. Замествайки стойностите t=0, S = 1.5 във формула (1), получаваме:

Замествайки намерената стойност на C във формула (1), получаваме закона за движение, който ни интересува:

Определение 2.Ако функция y = f(x) има първоизводна y = F(x) на интервал X, тогава множеството от всички първоизводни, т.е. множеството от функции във формата y = F(x) + C се нарича неопределен интеграл на функцията y = f(x) и се означава с:

(прочетете: " неопределен интеграл ef от x de x").
В следващия параграф ще разберем какво е скрит смисълпосоченото обозначение.
Въз основа на таблицата с първоизводни, налични в този раздел, ще съставим таблица на основните неопределени интеграли:

Въз основа на горните три правила за намиране на антипроизводни, можем да формулираме съответните правила за интегриране.

Правило 1.Интеграл от сумата на функциите равно на суматаинтеграли на тези функции:

Правило 2.Постоянният фактор може да бъде изваден от интегралния знак:

Правило 3.Ако

Пример 6.Намерете неопределени интеграли:

Решение, а) Използвайки първото и второто правило на интегриране, получаваме:

Сега нека използваме формулите за 3-та и 4-та интеграция:

В резултат получаваме:

б) Използвайки третото правило за интегриране и формула 8, получаваме:

в) За непосредствено местоположениеЗа даден интеграл нямаме нито съответната формула, нито съответното правило. В такива случаи, предварително изпълнени трансформации на идентичносттаизраз, съдържащ се под знака за интеграл.

Да се възползваме тригонометрична формулаНамаляване на степента:

След това намираме последователно:

А.Г. Мордкович алгебра 10 клас

Календарно-тематично планиране по математика, видеопо математика онлайн, Математика в училище

цел:

Формиране на понятието първоизводно.
Подготовка за възприемане на интеграла.
Формиране на компютърни умения.
Култивиране на чувство за красота (способността да се вижда красотата в необичайното).

Математическият анализ е набор от клонове на математиката, посветени на изучаването на функциите и техните обобщения с помощта на методите на диференциалното и интегралното смятане.

Досега изучавахме клон на математическия анализ, наречен диференциално смятане, чиято същност е изследването на функция в „малкото“.

Тези. изследване на функция в достатъчно малки околности на всяка дефиниционна точка. Една от операциите диференциация – намиранепроизводна (диференциал) и приложение за изследване на функции.

Не по-малко важно е обратна задача. Ако е известно поведението на функция в близост до всяка точка от нейната дефиниция, тогава как може да се реконструира функцията като цяло, т.е. в целия обхват на неговата дефиниция. Този проблем е обект на изследване на така нареченото интегрално смятане.

Интеграцията е действие, обратно на диференциацията. Или възстановяване на функцията f(x) от дадена производна f`(x). латинска дума„Интегро“ означава възстановяване.

Пример №1.

Нека (x)`=3x 2.
Нека намерим f(x).

Решение:

Въз основа на правилото за диференциране не е трудно да се досетите, че f(x) = x 3, защото (x 3)` = 3x 2
Въпреки това, можете лесно да забележите, че f(x) не се намира еднозначно.
Като f(x) можем да вземем
f(x)= x 3 +1
f(x)= x 3 +2
f(x)= x 3 -3 и т.н.

Тъй като производната на всеки от тях е равна на 3х2. (Производната на константа е 0). Всички тези функции се различават една от друга с постоянен термин. Ето защо общо решениезадачата може да бъде записана във формата f(x)= x 3 +C, където C е всяко постоянно реално число.

Всяка от намерените функции f(x) се извиква ПРИМОДИУМза функцията F`(x)= 3x 2

Определение. Функция F(x) се нарича първоизводна за функция f(x) на даден интервал J, ако за всички x от този интервал F`(x)= f(x). Така че функцията F(x)=x 3 е първоизводна за f(x)=3x 2 върху (- ∞ ; ∞).
Тъй като за всички x ~R равенството е вярно: F`(x)=(x 3)`=3x 2

Както вече забелязахме, тази функцияима безкрайно множествоантипроизводни (виж пример № 1).

Пример №2. Функцията F(x)=x е първоизводна за всички f(x)= 1/x на интервала (0; +), тъй като за всички x от този интервал равенството е в сила.
F`(x)= (x 1/2)`=1/2x -1/2 =1/2x

Пример №3. Функцията F(x)=tg3x е първоизводна за f(x)=3/cos3x на интервала (-n/ 2; п/ 2),
защото F`(x)=(tg3x)`= 3/cos 2 3x

Пример №4. Функцията F(x)=3sin4x+1/x-2 е първоизводна за f(x)=12cos4x-1/x 2 на интервала (0;∞)
защото F`(x)=(3sin4x)+1/x-2)`= 4cos4x-1/x 2

Лекция 2.

Тема: Антипроизводно. Основното свойство на първоизводната функция.

Когато изучаваме първоизвода, ще разчитаме на следното твърдение. Признак за постоянство на функция: Ако на интервала J производната Ψ(x) на функцията е равна на 0, то на този интервал функцията Ψ(x) е постоянна.

Това твърдение може да се демонстрира геометрично.

Известно е, че Ψ`(x)=tgα, γde α е ъгълът на наклона на допирателната към графиката на функцията Ψ(x) в точката с абциса x 0. Ако Ψ`(υ)=0 във всяка точка от интервала J, тогава tanα=0 δ за всяка допирателна към графиката на функцията Ψ(x). Това означава, че допирателната към графиката на функцията във всяка точка е успоредна на абсцисната ос. Следователно на определен интервалграфиката на функцията Ψ(x) съвпада с отсечката y=C.

И така, функцията f(x)=c е постоянна в интервала J, ако f`(x)=0 в този интервал.

Наистина, за произволни x 1 и x 2 от интервала J, използвайки теоремата за средната стойност на функция, можем да напишем:
f(x 2) - f(x 1) = f`(c) (x 2 - x 1), тъй като f`(c)=0, тогава f(x 2)= f(x 1)

Теорема: (Основното свойство на първоизводната функция)

Ако F(x) е една от първообразните за функцията f(x) на интервала J, тогава множеството от всички първоизводни на тази функция има формата: F(x) + C, където C е всяко реално число.

Доказателство:

Нека F`(x) = f (x), тогава (F(x)+C)`= F`(x)+C`= f (x), за x Є J.
Да предположим, че съществува Φ(x) - друга първоизводна за f (x) на интервала J, т.е. Φ`(x) = f (x),
тогава (Φ(x) - F(x))` = f (x) – f (x) = 0, за x Є J.
Това означава, че Φ(x) - F(x) е константа в интервала J.
Следователно Φ(x) - F(x) = C.
От където Φ(x)= F(x)+C.
Това означава, че ако F(x) е първоизводна за функция f (x) в интервала J, тогава наборът от всички първоизводни на тази функция има формата: F(x)+C, където C е всяко реално число.
Следователно, всеки две първоизводни на дадена функция се различават една от друга с постоянен член.

Пример: Намерете множеството от първоизводни на функцията f (x) = cos x. Начертайте графики на първите три.

Решение: Sin x е една от първоизводните за функцията f (x) = cos x
F(x) = Sin x+C – множеството от всички първоизводни.

F 1 (x) = Sin x-1
F 2 (x) = Sin x
F 3 (x) = Sin x+1

Геометрична илюстрация:Графиката на всяка антипроизводна F(x)+C може да бъде получена от графиката на антипроизводната F(x) с помощта на паралелен трансфер на r (0;c).

Пример: За функцията f (x) = 2x намерете първоизводна, чиято графика минава през t.M (1;4)

Решение: F(x)=x 2 +C – множеството от всички първоизводни, F(1)=4 - според условията на задачата.
Следователно 4 = 1 2 +C
С = 3
F(x) = x 2 +3

Определение за антипроизводно.

Първоизводна на функция f(x) на интервала (a; b) е функция F(x), така че равенството е в сила за всеки x от дадения интервал.

Ако вземем предвид факта, че производната на константата C е равна на нула, тогава равенството е вярно . По този начин функцията f(x) има набор от първоизводни F(x)+C за произволна константа C и тези антипроизводни се различават една от друга с произволна постоянна стойност.

Дефиниция на неопределен интеграл.

Цялото множество от първоизводни на функцията f(x) се нарича неопределен интеграл на тази функция и се означава .

Изразът се нарича интегранти f(x) – интегрална функция. Интегралната функция представлява диференциала на функцията f(x) .

Действието за намиране на неизвестна функция при даден неин диференциал се нарича несигуренинтеграция, тъй като резултатът от интеграцията не е една функция F(x), а набор от нейните първоизводни F(x)+C.

Въз основа на свойствата на производната може да се формулира и докаже свойства на неопределения интеграл(свойства на антипроизводно).

За пояснение са дадени междинни равенства на първо и второ свойство на неопределения интеграл.

За доказване на третото и четвъртото свойство е достатъчно да се намерят производните на десните части на равенствата:

Тези производни са равни на интеграндите, което е доказателство поради първото свойство. Използва се и при последните преходи.

По този начин проблемът с интеграцията е обратен на проблема с диференциацията и има много тясна връзка между тези проблеми:

първото свойство позволява да се провери интеграцията. За да проверите правилността на извършеното интегриране, е достатъчно да изчислите производната на получения резултат. Ако получената в резултат на диференцирането функция се окаже равна на интегранта, това ще означава, че интегрирането е извършено правилно;
второто свойство на неопределения интеграл позволява да се намери неговата антипроизводна от известен диференциал на функция. Въз основа на това свойство директно изчислениенеопределени интеграли.

Нека разгледаме един пример.

Пример.

Намерете първоизводната на функцията, чиято стойност е равна на единица при x = 1.

Решение.

Знаем от диференциално смятане, Какво (просто погледнете таблицата с производни на основния елементарни функции). по този начин . До втория имот . Тоест имаме много антипроизводни. За x = 1 получаваме стойността . Според условието тази стойност трябва да е равна на единица, следователно C = 1. Желаната антипроизводна ще приеме формата.

Пример.

Намерете неопределения интеграл и проверете резултата чрез диференциране.

Решение.

Според формулата на синуса двоен ъгълот тригонометрията , Ето защо

Предварително по зададена функция, ръководейки се от различни формулии правила, намери своя производна. Производното има многобройни приложения: това е скоростта на движение (или по-общо, скоростта на всеки процес); ъгловият коефициент на допирателната към графиката на функцията; използвайки производната, можете да изследвате функцията за монотонност и екстремуми; помага за решаване на проблеми с оптимизацията.

Но наред със задачата за намиране на скоростта по известен закон на движение, има и обратна задача - задачата за възстановяване на закона за движение по известна скорост. Нека разгледаме един от тези проблеми.

Пример 1.Материална точка се движи по права линия, скоростта на нейното движение в момент t се дава по формулата v=gt. Намерете закона за движение.
Решение. Нека s = s(t) е желаният закон на движение. Известно е, че s"(t) = v(t). Това означава, че за решаване на проблема трябва да изберете функция s = s(t), чиято производна е равна на gt. Не е трудно да се познае че $s(t) = \frac(gt^ 2)(2)$.
$s"(t) = \left(\frac(gt^2)(2) \right)" = \frac(g)(2)(t^2)" = \frac(g)(2) \ cdot 2t = gt$
Отговор: $s(t) = \frac(gt^2)(2) $

Нека веднага да отбележим, че примерът е решен правилно, но непълно. Получаваме $s(t) = \frac(gt^2)(2) $. Всъщност проблемът има безкрайно много решения: всяка функция от вида $s(t) = \frac(gt^2)(2) + C$, където C е произволна константа, може да служи като закон на движение, тъй като $\left (\frac(gt^2)(2) +C \right)" = gt $

За да направим проблема по-конкретен, трябваше да коригираме първоначалната ситуация: да посочим координатата на движеща се точка в даден момент от времето, например при t = 0. Ако, да речем, s(0) = s 0, тогава от равенство s(t) = (gt 2)/2 + C получаваме: s(0) = 0 + C, т.е. C = s 0. Сега законът на движението е еднозначно дефиниран: s(t) = (gt 2)/2 + s 0.

В математиката на взаимно обратните операции се дават различни имена, изобретени са специални обозначения, например: повдигане на квадрат (x 2) и квадратен корен ($\sqrt(x) $), синус (sin x) и арксинус (arcsin x) и т.н. Процесът на намиране на производната на дадена функция се нарича диференциация, а обратната операция, т.е. процесът на намиране на функция от дадена производна, е интеграция.

Самият термин „производна“ може да бъде оправдан „от ежедневни термини“: функцията y = f(x) „ражда“ нова функция y" = f"(x). Функцията y = f(x) действа като „родител“, но математиците, естествено, не я наричат „родител“ или „производител“; те казват, че е „родител“ по отношение на функцията y" = f"(x), първично изображение или примитив.

Определение.Функцията y = F(x) се нарича първоизводна за функцията y = f(x) на интервала X, ако равенството F"(x) = f(x) е валидно за $x \in X$

Да дадем примери.
1) Функцията y = x 2 е противопроизводна на функцията y = 2x, тъй като за всяко x е вярно равенството (x 2)" = 2x
2) Функцията y = x 3 е противопроизводна на функцията y = 3x 2, тъй като за всяко x е вярно равенството (x 3)" = 3x 2
3) Функцията y = sin(x) е антипроизводна за функцията y = cos(x), тъй като за всяко x равенството (sin(x))" = cos(x) е вярно

При намирането на антипроизводни, както и на производни, се използват не само формули, но и някои правила. Те са пряко свързани със съответните правила за изчисляване на деривати.

Правило 1.Първопроизводната на сбор е равна на сбора на първопроизводните.

Знаем, че постоянният множител може да бъде изваден от знака на производната. Това правило генерира съответното правило за намиране на антипроизводни.

Правило 2.Ако F(x) е антипроизводно за f(x), тогава kF(x) е антипроизводно за kf(x).

Теорема 1.Ако y = F(x) е първоизводна за функцията y = f(x), тогава първоизводната за функцията y = f(kx + m) е функцията $y=\frac(1)(k)F (kx+m) $

Теорема 2.Ако y = F(x) е първоизводна за функцията y = f(x) на интервала X, тогава функцията y = f(x) има безкрайно много първоизводни и всички те имат формата y = F(x) + C.

Интеграционни методи

Метод на заместване на променливи (метод на заместване)

Методът на интегриране чрез заместване включва въвеждане на нов интеграционна променлива(тоест замествания). В този случай даденият интеграл се свежда до нов интеграл, който е табличен или сводим към него. Общи методиняма избор на замествания. Способността за правилно определяне на заместването се придобива чрез практика.
Нека е необходимо да се изчисли интегралът $\textstyle \int F(x)dx $. Нека направим заместването $x= \varphi(t) $, където $\varphi(t) $ е функция, която има непрекъсната производна.
Тогава $dx = \varphi " (t) \cdot dt $ и въз основа на свойството за инвариантност на формулата за интегриране за неопределения интеграл, получаваме формулата за интегриране чрез заместване:
$\int F(x) dx = \int F(\varphi(t)) \cdot \varphi " (t) dt $

Интегриране на изрази от формата $\textstyle \int \sin^n x \cos^m x dx $

Ако m е нечетно, m > 0, тогава е по-удобно да се направи заместването sin x = t.
Ако n е нечетно, n > 0, тогава е по-удобно да се направи заместването cos x = t.
Ако n и m са четни, тогава е по-удобно да се направи заместването tg x = t.

Интеграция по части

Интегриране по части - приложение следната формулаза интеграция:
$\textstyle \int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du $
или:
$\textstyle \int u \cdot v" \cdot dx = u \cdot v - \int v \cdot u" \cdot dx $

Таблица с неопределени интеграли (антипроизводни) на някои функции

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch ) x +C $$

Една от операциите на диференциране е намирането на производната (диференциал) и прилагането й към изследването на функциите.

Обратната задача е не по-малко важна. Ако е известно поведението на функция в близост до всяка точка от нейната дефиниция, тогава как може да се реконструира функцията като цяло, т.е. в целия обхват на неговата дефиниция. Този проблем е обект на изследване на така нареченото интегрално смятане.

Интеграцията е действие, обратно на диференциацията. Или възстановяване на функцията f(x) от дадена производна f`(x). Латинската дума “integro” означава възстановяване.

Пример №1.

Нека (f(x))’ = 3x 2. Нека намерим f(x).

Решение:

Въз основа на правилото за диференциране не е трудно да се досетим, че f(x) = x 3, т.к.

(x 3)’ = 3x 2 Въпреки това, можете лесно да забележите, че f(x) не се намира еднозначно. Като f(x), можете да вземете f(x)= x 3 +1 f(x)= x 3 +2 f(x)= x 3 -3 и т.н.

защото производната на всеки от тях е 3x 2. (Производната на константа е 0). Всички тези функции се различават една от друга с постоянен термин. Следователно общото решение на задачата може да бъде записано като f(x) = x 3 + C, където C е всяко постоянно реално число.

Всяка от намерените функции f(x) се извиква антипроизводноза функцията F`(x)= 3x 2

Определение.

Функция F(x) се нарича първоизводна за функция f(x) на даден интервал J, ако за всички x от този интервал F`(x)= f(x). Така че функцията F(x)=x 3 е първоизводна за f(x)=3x 2 върху (- ∞ ; ∞). Тъй като за всички x ~R равенството е вярно: F`(x)=(x 3)`=3x 2

Както вече отбелязахме, тази функция има безкраен брой антипроизводни.

Пример №2.

Функцията е противопроизводна за всички в интервала (0; +∞), защото за всички h от този интервал равенството е в сила.

Задачата на интегрирането е да се намерят всички нейни първоизводни за дадена функция. При решаването на този проблем важна роляиграе следното твърдение:

Знак за постоянство на функцията. Ако F"(x) = 0 на някакъв интервал I, тогава функцията F е постоянна на този интервал.

Доказателство.

Нека фиксираме някакво x 0 от интервала I. Тогава за всяко число x от такъв интервал, по силата на формулата на Лагранж, можем да посочим число c, съдържащо се между x и x 0, така че

F(x) - F(x 0) = F"(c)(x-x 0).

По условие F’ (c) = 0, тъй като c ∈1, следователно,

F(x) - F(x 0) = 0.

И така, за всички x от интервала I

тоест функцията F съхранява постоянна стойност.

Всички първоизводни функции f могат да бъдат записани с помощта на една формула, която се нарича обща форма на първоизводни за функцията f. Следната теорема е вярна ( основно свойство на антипроизводните):

Теорема. Всяка първоизводна за функция f на интервала I може да бъде записана във формата

F(x) + C, (1) където F (x) е една от първоизводните за функцията f (x) на интервала I, а C е произволна константа.

Нека обясним това твърдение, в което накратко са формулирани две свойства на антипроизводното:

Каквото и число да поставим в израз (1) вместо C, получаваме първоизводната за f на интервала I;
без значение каква първоизводна Ф за f на интервала I е взета, възможно е да се избере число C така, че за всички x от интервала I да е изпълнено равенството

Доказателство.

По условие функцията F е антипроизводна за f в интервала I. Следователно, F"(x)= f (x) за всеки x∈1, следователно (F(x) + C)" = F"(x) + C"= f(x)+0=f(x), т.е. F(x) + C е първоизводната за функцията f.
Нека Ф (x) е една от първопроизводните на функцията f на същия интервал I, т.е. Ф "(x) = f (х) за всички x∈I.

Тогава (Ф(x) - F (x))" = Ф"(x)-F' (x) = f(x)-f(x)=0.

От тук следва c. степента на знака на постоянство на функцията, че разликата Ф(х) - F(х) е функция, която приема някаква постоянна стойност C на интервала I.

Така за всички x от интервала I е вярно равенството Ф(x) - F(x)=С, което трябваше да се докаже. Основното свойство на първоизводното може да бъде дадено геометричен смисъл: графиките на всеки две първоизводни за функцията f се получават една от друга паралелен трансферпо оста Oy

Въпроси за бележки

Функцията F(x) е първоизводна на функцията f(x). Намерете F(1), ако f(x)=9x2 - 6x + 1 и F(-1) = 2.

Намерете всички антипроизводни за функцията

За функцията (x) = cos2 * sin2x намерете първоизводната на F(x), ако F(0) = 0.

За функция намерете първоизводна, чиято графика минава през точката