В тази тема ще говорим подробно за свойствата на неопределения интеграл и за намирането на самите интеграли с помощта на споменатите свойства. Ще работим и с таблицата на неопределените интеграли. Представеният тук материал е продължение на темата "Неопределен интеграл. Начало". Честно казано, тестовите работи рядко съдържат интеграли, които могат да бъдат взети с помощта на типични таблици и/или прости свойства. Тези свойства могат да бъдат сравнени с азбуката, познаването и разбирането на която е необходимо за разбиране на механизма за решаване на интеграли в други теми. Често се нарича интегриране с помощта на таблици с интеграли и свойства на неопределения интеграл директна интеграция.
Какво имам предвид: функциите се променят, но формулата за намиране на производната остава непроменена, за разлика от интеграла, за който вече трябваше да изброим два метода.
Да продължим. За да намерите производната $y=x^(-\frac(1)(2))\cdot(1+x^(\frac(1)(4)))^\frac(1)(3)$ всички същото важи същата формула $(u\cdot v)"=u"\cdot v+u\cdot v"$, в която ще трябва да замените $u=x^(-\frac(1)(2)) $, $v=( 1+x^(\frac(1)(4)))^\frac(1)(3)$ Но за да намерим интеграла $\int x^(-\frac(1)(. 2))\cdot( 1+x^(\frac(1)(4)))^\frac(1)(3) dx$ ще изисква използването на нов метод - замествания на Чебишев.
И накрая: за да намерите производната на функцията $y=\sin x\cdot\frac(1)(x)$, формулата $(u\cdot v)"=u"\cdot v+u\cdot v" $ отново е приложимо, в което вместо $u$ и $v$ заместваме съответно $\sin x$ и $\frac(1)(x)$, но $\int \sin x\cdot\frac(1 )(x) dx$ се взема По-точно, не се изразява чрез краен брой елементарни функции.
Нека обобщим: когато за намиране на производната беше необходима една формула, за интеграла бяха необходими четири (и това не е ограничението), а в последния случай интегралът изобщо отказа да бъде намерен. Функцията беше променена - беше необходим нов метод на интегриране. Това е мястото, където имаме многостранични таблици в справочниците. Липсата на общ метод (подходящ за решаване „ръчно“) води до изобилие от частни методи, които са приложими само за интегриране на собствен, изключително ограничен клас функции (в следващите теми ще се занимаваме с тези методи подробно). Въпреки че не мога да не отбележа наличието на алгоритъма на Risch (съветвам ви да прочетете описанието в Wikipedia), той е подходящ само за програмна обработка на неопределени интеграли.
Въпрос #3
Но ако има толкова много от тези свойства, как мога да се науча да взимам интеграли? С дериватите беше по-лесно!
За един човек досега има само един начин: да реши възможно най-много примери с помощта на различни методи за интегриране, така че когато се появи нов неопределен интеграл, да можете да изберете метод за решение за него въз основа на вашия опит. Разбирам, че отговорът не е много обнадеждаващ, но няма друг начин.
Свойства на неопределения интеграл
Имот No1
Производната на неопределения интеграл е равна на интегранта, т.е. $\left(\int f(x) dx\right)"=f(x)$.
Това свойство е съвсем естествено, тъй като интегралът и производната са взаимно обратни операции. Например $\left(\int \sin 3x dx\right)"=\sin 3x$, $\left(\int \left(3x^2+\frac(4)(\arccos x)\right) dx \ right)"=3x^2+\frac(4)(\arccos x)$ и така нататък.
Имот No2
Неопределеният интеграл от диференциала на някаква функция е равен на тази функция, т.е. $\int \mathrm d F(x) =F(x)+C$.
Обикновено това свойство се възприема като малко трудно, тъй като изглежда, че под интеграла няма „нищо“. За да избегнете това, можете да напишете посоченото свойство по следния начин: $\int 1\mathrm d F(x) =F(x)+C$. Пример за използване на това свойство: $\int \mathrm d(3x^2+e^x+4)=3x^2+e^x+4+C$ или, ако искате, в тази форма: $\int 1\; \mathrm d(3x^2+e^x+4) =3x^2+e^x+4+C$.
Имот No3
Постоянният фактор може да бъде изваден от интегралния знак, т.е. $\int a\cdot f(x) dx=a\cdot\int f(x) dx$ (приемаме, че $a\neq 0$).
Имотът е доста прост и може би не изисква коментари. Примери: $\int 3x^5 dx=3\cdot \int x^5 dx$, $\int (2x+4e^(7x)) dx=2\cdot\int(x+2e^(7x))dx $, $\int kx^2dx=k\cdot\int x^2dx$ ($k\neq 0$).
Имот No4
Интегралът на сумата (разликата) на две функции е равен на сумата (разликата) на интегралите на тези функции:
$$\int(f_1(x)\pm f_2(x))dx=\int f_1(x)dx\pm\int f_2(x)dx$$
Примери: $\int(\cos x+x^2)dx=\int \cos xdx+\int x^2 dx$, $\int(e^x - \sin x)dx=\int e^xdx -\ int \sin x dx$.
При стандартните тестове обикновено се използват свойства No3 и No4, затова ще се спрем по-подробно на тях.
Пример №3
Намерете $\int 3 e^x dx$.
Нека използваме свойство No3 и извадим константата, т.е. число $3$, за интегралния знак: $\int 3 e^x dx=3\cdot\int e^x dx$. Сега нека отворим таблицата с интегралите и замествайки $u=x$ във формула №4 получаваме: $\int e^x dx=e^x+C$. От това следва, че $\int 3 e^x dx=3\cdot\int e^x dx=3e^x+C$. Предполагам, че читателят веднага ще има въпрос, така че ще формулирам този въпрос отделно:
Въпрос #4
Ако $\int e^x dx=e^x+C$, тогава $\int 3 e^x dx=3\cdot\int e^x dx=3\cdot\left(e^x+C\right) =3e^x+3C$! Защо просто са написали $3e^x+C$ вместо $3e^x+3C$?
Въпросът е напълно резонен. Въпросът е, че интегралната константа (т.е. същото това число $C$) може да бъде представена под формата на произволен израз: основното е, че този израз „минава през“ целия набор от реални числа, т.е. варира от $-\infty$ до $+\infty$. Например, ако $-\infty≤ C ≤ +\infty$, тогава $-\infty≤ \frac(C)(3) ≤ +\infty$, така че константата $C$ може да бъде представена във формата $\ frac(C)( 3)$. Можем да запишем, че $\int e^x dx=e^x+\frac(C)(3)$ и след това $\int 3 e^x dx=3\cdot\int e^x dx=3\cdot\left (e^x+\frac(C)(3)\right)=3e^x+C$. Както можете да видите, тук няма противоречие, но трябва да внимавате, когато променяте формата на интегралната константа. Например представянето на константата $C$ като $C^2$ би било грешка. Въпросът е, че $C^2 ≥ 0$, т.е. $C^2$ не се променя от $-\infty$ на $+\infty$ и не „минава през“ всички реални числа. По същия начин би било грешка да се представи константа като $\sin C$, защото $-1≤ \sin C ≤ 1$, т.е. $\sin C$ не "минава" през всички стойности на реалната ос. По-нататък няма да обсъждаме подробно този въпрос, а просто ще напишем константата $C$ за всеки неопределен интеграл.
Пример №4
Намерете $\int\left(4\sin x-\frac(17)(x^2+9)-8x^3 \right)dx$.
Нека използваме свойство № 4:
$$\int\left(4\sin x-\frac(17)(x^2+9)-8x^3 \right) dx=\int 4\sin x dx-\int\frac(17)(x ^2+9)dx-\int8x^3dx$$
Сега нека вземем константите (числата) извън интегралните знаци:
$$\int 4\sin x dx-\int\frac(17)(x^2+9)dx-\int8x^3dx=4\int \sin x dx-17\int\frac(dx)(x^ 2+9)-8\int x^3dx$$
След това ще работим с всеки получен интеграл поотделно. Първият интеграл, т.е. $\int \sin x dx$, може лесно да се намери в таблицата на интегралите под номер 5. Замествайки $u=x$ във формула № 5, получаваме: $\int \sin x dx=-\cos x+C$.
За да намерите втория интеграл $\int\frac(dx)(x^2+9)$ трябва да приложите формула № 11 от таблицата на интегралите. Като заместим $u=x$ и $a=3$ в него, получаваме: $\int\frac(dx)(x^2+9)=\frac(1)(3)\cdot \arctg\frac(x) (3)+C$.
И накрая, за да намерим $\int x^3dx$ използваме формула №1 от таблицата, като заместваме $u=x$ и $\alpha=3$ в нея: $\int x^3dx=\frac(x^ (3 +1))(3+1)+C=\frac(x^4)(4)+C$.
Всички интеграли, включени в израза $4\int \sin x dx-17\int\frac(dx)(x^2+9)-8\int x^3dx$, са намерени. Всичко, което остава, е да ги замените:
$$4\int \sin x dx-17\int\frac(dx)(x^2+9)-8\int x^3dx=4\cdot(-\cos x)-17\cdot\frac(1) (3)\cdot\arctg\frac(x)(3)-8\cdot\frac(x^4)(4)+C=\\ =-4\cdot\cos x-\frac(17)(3) )\cdot\arctg\frac(x)(3)-2\cdot x^4+C.$$
Проблемът е решен, отговорът е: $\int\left(4\sin x-\frac(17)(x^2+9)-8x^3 \right)dx=-4\cdot\cos x-\ frac(17 )(3)\cdot\arctg\frac(x)(3)-2\cdot x^4+C$. Ще добавя една малка бележка към този проблем:
Само една малка забележка
Може би никой няма да има нужда от това вмъкване, но все пак ще спомена, че $\frac(1)(x^2+9)\cdot dx=\frac(dx)(x^2+9)$. Тези. $\int\frac(17)(x^2+9)dx=17\cdot\int\frac(1)(x^2+9)dx=17\cdot\int\frac(dx)(x^2) +9)$.
Нека да разгледаме пример, в който използваме формула № 1 от таблицата на интегралите, за да вмъкнем ирационалности (с други думи корени).
Пример №5
Намерете $\int\left(5\cdot\sqrt(x^4)-\frac(14)(\sqrt(x^6))\right)dx$.
Като начало ще направим същите действия като в пример №3, а именно: ще разложим интеграла на две и ще преместим константите отвъд знаците на интегралите:
$$\int\left(5\cdot\sqrt(x^4)-\frac(14)(\sqrt(x^6)) \right)dx=\int\left(5\cdot\sqrt(x^) 4) \right)dx-\int\frac(14)(\sqrt(x^6)) dx=\\ =5\cdot\int\sqrt(x^4) dx-14\cdot\int\frac( dx)(\sqrt(x^6)) $$
Тъй като $\sqrt(x^4)=x^(\frac(4)(7))$, тогава $\int\sqrt(x^4) dx=\int x^(\frac(4)(7 ) )dx$. За да намерим този интеграл, прилагаме формула № 1, като заместваме $u=x$ и $\alpha=\frac(4)(7)$ в него: $\int x^(\frac(4)(7)) dx=\frac(x^(\frac(4)(7)+1))(\frac(4)(7)+1)+C=\frac(x^(\frac(11)(7)) )(\ frac(11)(7))+C=\frac(7\cdot\sqrt(x^(11)))(11)+C$. Ако желаете, можете да представите $\sqrt(x^(11))$ като $x\cdot\sqrt(x^(4))$, но това не е необходимо.
Нека сега се обърнем към втория интеграл, т.е. $\int\frac(dx)(\sqrt(x^6))$. Тъй като $\frac(1)(\sqrt(x^6))=\frac(1)(x^(\frac(6)(11)))=x^(-\frac(6)(11) ) $, тогава разглежданият интеграл може да бъде представен в следната форма: $\int\frac(dx)(\sqrt(x^6))=\int x^(-\frac(6)(11))dx$ . За да намерим получения интеграл, прилагаме формула № 1 от таблицата с интеграли, като заместваме $u=x$ и $\alpha=-\frac(6)(11)$ в нея: $\int x^(-\ frac(6)(11) ))dx=\frac(x^(-\frac(6)(11)+1))(-\frac(6)(11)+1)+C=\frac(x ^(\frac(5) (11)))(\frac(5)(11))+C=\frac(11\cdot\sqrt(x^(5)))(5)+C$.
Замествайки получените резултати, получаваме отговора:
$$5\cdot\int\sqrt(x^4) dx-14\cdot\int\frac(dx)(\sqrt(x^6))= 5\cdot\frac(7\cdot\sqrt(x^( 11)))(11)-14\cdot\frac(11\cdot\sqrt(x^(5)))(5)+C= \frac(35\cdot\sqrt(x^(11)))( 11)-\frac(154\cdot\sqrt(x^(5)))(5)+C. $$
отговор: $\int\left(5\cdot\sqrt(x^4)-\frac(14)(\sqrt(x^6))\right)dx=\frac(35\cdot\sqrt(x^(11) )))(11)-\frac(154\cdot\sqrt(x^(5)))(5)+C$.
И накрая, нека вземем интеграла, който попада във формула № 9 от таблицата на интегралите. Пример № 6, към който сега ще преминем, може да се реши и по друг начин, но това ще бъде обсъдено в следващите теми. Засега ще останем в рамките на използването на таблицата.
Пример №6
Намерете $\int\frac(12)(\sqrt(15-7x^2))dx$.
Първо, нека направим същата операция като преди: преместване на константата (числото $12$) извън интегралния знак:
$$ \int\frac(12)(\sqrt(15-7x^2))dx=12\cdot\int\frac(1)(\sqrt(15-7x^2))dx=12\cdot\int \frac(dx)(\sqrt(15-7x^2)) $$
Полученият интеграл $\int\frac(dx)(\sqrt(15-7x^2))$ вече е близо до табличния $\int\frac(du)(\sqrt(a^2-u^2) )$ (формула № 9 таблица на интегралите). Разликата в нашия интеграл е, че преди $x^2$ под корена има коефициент $7$, който табличният интеграл не позволява. Следователно трябва да се отървем от тази седем, като я преместим отвъд знака на корена:
$$ 12\cdot\int\frac(dx)(\sqrt(15-7x^2))=12\cdot\int\frac(dx)(\sqrt(7\cdot\left(\frac(15)( ) 7)-x^2\right)))= 12\cdot\int\frac(dx)(\sqrt(7)\cdot\sqrt(\frac(15)(7)-x^2))=\ frac (12)(\sqrt(7))\cdot\int\frac(dx)(\sqrt(\frac(15)(7)-x^2)) $$
Ако сравним табличния интеграл $\int\frac(du)(\sqrt(a^2-u^2))$ и $\int\frac(dx)(\sqrt(\frac(15)(7)- x^ 2))$ става ясно, че имат еднаква структура. Само в интеграла $\int\frac(dx)(\sqrt(\frac(15)(7)-x^2))$ вместо $u$ има $x$, а вместо $a^2$ има $\frac (15)(7)$. Е, ако $a^2=\frac(15)(7)$, тогава $a=\sqrt(\frac(15)(7))$. Заместване на $u=x$ и $a=\sqrt(\frac(15)(7))$ във формулата $\int\frac(du)(\sqrt(a^2-u^2))=\arcsin \ frac(u)(a)+C$, получаваме следния резултат:
$$ \frac(12)(\sqrt(7))\cdot\int\frac(dx)(\sqrt(\frac(15)(7)-x^2))= \frac(12)(\sqrt (7))\cdot\arcsin\frac(x)(\sqrt(\frac(15)(7)))+C $$
Ако вземем предвид, че $\sqrt(\frac(15)(7))=\frac(\sqrt(15))(\sqrt(7))$, тогава резултатът може да бъде пренаписан без „триетажния ” дроби:
$$ \frac(12)(\sqrt(7))\cdot\arcsin\frac(x)(\sqrt(\frac(15)(7)))+C=\frac(12)(\sqrt(7) ))\cdot\arcsin\frac(x)(\frac(\sqrt(15))(\sqrt(7)))+C= \frac(12)(\sqrt(7))\cdot\arcsin\frac (\sqrt(7)\;x)(\sqrt(15))+C $$
Проблемът е решен, отговорът е получен.
отговор: $\int\frac(12)(\sqrt(15-7x^2))dx=\frac(12)(\sqrt(7))\cdot\arcsin\frac(\sqrt(7)\;x) (\sqrt(15))+C$.
Пример № 7
Намерете $\int\tg^2xdx$.
Има методи за интегриране на тригонометрични функции. В този случай обаче можете да се справите с познаването на прости тригонометрични формули. Тъй като $\tg x=\frac(\sin x)(\cos x)$, тогава $\left(\tg x\right)^2=\left(\frac(\sin x)(\cos x) \ дясно)^2=\frac(\sin^2x)(\cos^2x)$. Като се има предвид $\sin^2x=1-\cos^2x$, получаваме:
$$ \frac(\sin^2x)(\cos^2x)=\frac(1-\cos^2x)(\cos^2x)=\frac(1)(\cos^2x)-\frac(\ cos^2x)(\cos^2x)=\frac(1)(\cos^2x)-1 $$
Така $\int\tg^2xdx=\int\left(\frac(1)(\cos^2x)-1\right)dx$. Разширявайки получения интеграл в сумата от интеграли и прилагайки таблични формули, ще имаме:
$$ \int\left(\frac(1)(\cos^2x)-1\right)dx=\int\frac(dx)(\cos^2x)-\int 1dx=\tg x-x+C . $$
отговор: $\int\tg^2xdx=\tg x-x+C$.
Урочно оборудване: записки от лекции.
Критерии за оценка
Работен ред
Задача 1.
Прочетете лекция № 9
Задача 2.
Лекция 9.
неопределен интеграл от тази функция:
10 .
( dx)" = d ( dx) =f(x) dx
20. Неопределеният интеграл на диференциала на функция е равен на тази функция плюс произволна константа:
30. Постоянният множител може да бъде изваден от знака на неопределения интеграл.
40. Неопределеният интеграл на алгебричната сума на функциите е равен на алгебричната сума на неопределените интеграли на членовете на функциите:
50. Ако a е константа, тогава формулата е валидна
Вижте съдържанието на документа
„Техника на интегриране Директно интегриране“
ПРАКТИЧЕСКА РАБОТА№ 7
Тема: Интеграционна техника. Директна интеграция
Цели:
изучават формули и правила за изчисляване на неопределен интеграл
научете се да решавате примери с помощта на директно интегриране
Урочно оборудване: записки от лекции.
Критерии за оценка
За правилното изпълнение на всички работни задачи се поставя оценка „5”.
Оценка „4” се дава за изпълнена задача 1 и правилно решаване на всеки десет примера от задача 2.
Оценка „3“ се дава за изпълнение на задача 1 и правилно решаване на всеки седем примера от задача 2.
Работен ред
Задача 1.
Прочетете лекция № 9
Използвайки лекциите, отговорете на въпросите и запишете отговорите в тетрадката си:
1.Какви свойства на неопределения интеграл знаете?
2. Запишете основните формули за интегриране
3. Какви случаи са възможни при директна интеграция?
Задача 2.
Решете примери за самостоятелно решение
Лекция 9.
Тема: „Неопределен интеграл. Директна интеграция"
Функция F(x) се нарича първоизводна на функция f(x), ако F "(x) = f(x).
Всяка непрекъсната функция f(x) има безкраен брой първоизводни, които се различават една от друга с постоянен член.
Общият израз F(x) +C на множеството от всички първообразни за функцията f(x) се нарича неопределен интеграл от тази функция:
dx = F(x) +С, ако d(F(x) +С) = dx
Основни свойства на неопределения интеграл
1 0 .Производната на неопределения интеграл е равна на интегранта, а неговият диференциал е равен на интеграла:
( dx)" = d ( dx) =f(x) dx
2 0 . Неопределеният интеграл на диференциала на функция е равен на тази функция плюс произволна константа:
3 0 . Постоянният фактор може да бъде изваден от знака на неопределения интеграл.
4 0 .Неопределеният интеграл на алгебричната сума на функциите е равен на алгебричната сума на неопределените интеграли на членовете на функциите:
+dx
5 0 . Ако a е константа, тогава формулата е валидна
Основни формули за интегриране (таблични интеграли)
4. 
5. 
7. 
9. = - ctgx + C
12. = arcsin + C
При прилагане на формули (3), (10). (11) знакът за абсолютна стойност се записва само в случаите, когато изразът под знака за логаритъм може да има отрицателна стойност.
Всяка от формулите е лесна за проверка. В резултат на диференцирането на дясната страна се получава интегранд.
Директна интеграция.
Директното интегриране се основава на директното използване на таблицата с интеграли. Тук могат да възникнат следните случаи:
1) този интеграл може да се намери директно от съответния табличен интеграл;
2) този интеграл след прилагане на свойствата 3 0 и 4 0 се свежда до един или повече таблични интеграли;
3) този интеграл, след елементарни трансформации на идентичност върху интегранта и прилагане на свойствата 3 0 и 4 0, се редуцира до един или повече таблични интеграли.
Примери.
Въз основа на свойството 3 0, постоянният фактор 5 се изважда от интегралния знак и, използвайки формула 1, получаваме
Решение. Използвайки свойство 3 0 и формула 2, получаваме
6 
Решение. Използвайки свойства 3 0 и 4 0 и формули 1 и 2, имаме
X + 3) = 4 
+ 12 = 4 - 4 + 12x + C = + 12x + C
Интеграционната константа C е равна на алгебричната сума от три интеграционни константи, тъй като всеки интеграл има своя произволна константа (C 1 – C 2 + C 3 = C)
Решение. Поставяне на квадрат и интегриране на всеки член, имаме
Използвайки тригонометричната формула 1 + cot 2 x =
= = - ctgx – x + C
Решение. Като извадим и добавим числото 9 към числителя на интегранта, получаваме
= = + = - =
X + 9 + C = - x +
Примери за самостоятелно решаване
Оценете интегралите, като използвате директно интегриране:
Контрол на знанията на учениците:
проверка на практическата работа;
Изисквания за изпълнение на практическата работа:
Задачата се изпълнява задължително в тетрадка за практическа работа
Изпратете работа след часа
Тъй като сега ще говорим само за неопределен интеграл, за краткост ще пропуснем термина „неопределен“.
За да научите как да изчислявате интеграли (или, както се казва, интегрирайте функции), първо трябва да научите таблицата с интеграли:
Таблица1. Таблица на интегралите
|
2.
2а. 2б. 2в. 3.
3а. 4.
5.
5а) 6а. 7.
7а. |
8.
9.
10.
10а. 11.
11а. 12.
13.
13а. |
(
),u>0.
(α=0);
(α=1);
(α= 
).
Освен това ще ви трябва способността да изчислявате производната на дадена функция, което означава, че трябва да запомните правилата за диференциране и таблицата с производни на основните елементарни функции:
Таблица 2. Таблица с производни и правила за диференциране:
 6.а .
|
(грях И) = cos И И (тъй като u) = – грях И И |
|
Нуждаем се също от способността да намираме диференциала на функция. Припомнете си, че диференциалът на функцията 
намерете по формула 
, т.е. диференциалът на функция е равен на произведението на производната на тази функция и диференциала на нейния аргумент. Полезно е да имате предвид следните известни връзки:
Таблица 3. Диференциална таблица
|
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
|
10.
11.
12.
14.
15.
16.
17.
|
(b=
Конст)
(
)
(b=
Конст)
Освен това можете да използвате тези формули или като ги прочетете отляво надясно или отдясно наляво.
Нека разгледаме последователно трите основни метода за изчисляване на интеграла. Първият от тях се нарича по метода на директното интегриране.Тя се основава на използването на свойствата на неопределения интеграл и включва две основни техники: разширяване на интеграл в алгебрична сумапо-прости и подписване на диференциалния знак, като тези техники могат да се използват както самостоятелно, така и в комбинация.
а)Нека помислим разширение на алгебрична сума– тази техника включва използването на идентични трансформации на интегралната функция и свойствата на линейността на неопределения интеграл: 
И.
Пример 1. Намерете интегралите:
а)
;
б)
;
V)
G)
г) 
.
Решение.
а)Нека преобразуваме интегранта, като разделяме числителя член по член:
Свойството на правомощията се използва тук: 
.
б) Първо трансформираме числителя на дробта, след което разделяме числителя член по член на знаменателя:
Свойството на степените също се използва тук: 
.
Използваният тук имот е: 
,
.
.
Тук се използват формули 2 и 5 от таблица 1.
Пример 2. Намерете интегралите:
а)
;
б)
;
V)
G)
г) 
.
Решение.
а)Нека трансформираме интегранта, използвайки тригонометричната идентичност:
.
Тук отново използваме почленно деление на числителя на знаменателя и формули 8 и 9 от Таблица 1.
б) Преобразуваме по подобен начин, използвайки идентичността 
:
.
в) Първо, разделете числителя член по член на знаменателя и извадете константите от интегралния знак, след което използвайте тригонометричната идентичност 
:
г) Приложете формулата за намаляване на степента:
,
д) Използвайки тригонометрични идентичности, трансформираме:
Б)Нека разгледаме техниката на интегриране, която се нарича p като го поставите под диференциалния знак. Тази техника се основава на свойството за инвариантност на неопределения интеграл:
Ако 
, тогава за всяка диференцируема функция И=И(X) се провежда: 
.
Това свойство ни позволява значително да разширим таблицата с прости интеграли, тъй като поради това свойство формулите в таблица 1 са валидни не само за независимата променлива И, но и в случай, когато Ие диференцируема функция на друга променлива.
например, 
, но също така 
, И 
, И 
.
или 
И 
, И 
.
Същността на метода е да се изолира диференциалът на определена функция в даден интегранд, така че този изолиран диференциал, заедно с останалата част от израза, да образува таблична формула за тази функция. Ако е необходимо, по време на такова преобразуване могат да се добавят съответно константи. Например:
(в последния пример, написан ln(3 + х 2) вместо ln|3 + х 2 | , тъй като изразът е 3 + х 2 винаги е положителен).
Пример 3.
Намерете интегралите:
а)
;
б)
;
;
V)
G)
;
;
г)
;
.
Решение.
а).
д)
и) 
;
.
з)
Тук се използват формули 2a, 5a и 7a от таблица 1, последните две от които се получават точно чрез добавяне на диференциалния знак:
.
Интегрирайте функции за изглед
V)
.
се среща много често в рамките на изчисляване на интеграли на по-сложни функции. За да не повтаряте описаните по-горе стъпки всеки път, ви препоръчваме да запомните съответните формули, дадени в таблица 1.
Тук се използва формула 3 от таблица 1.
.
в) По същия начин, като вземем предвид, че трансформираме:
Тук се използва формула 2c в таблица 1.
.
г) ; Намерете интегралите:
д)
и) ;
V) 
.
Решение.
з)
Пример 4.
а) 
:
б)
а) Преобразуване: 
,
.
Тук също се използва формула 3 от таблица 1. Намерете интегралите:
а) 
;
б) Използваме формулата за намаляване на степента 
Тук се използват формули 2а и 7а от таблица 1. 
Тук наред с формули 2 и 8 от таблица 1 се използват и формулите от таблица 3: 
.
Решение.
Пример 5. 
може да се допълни (вижте формули 4 и 5 от таблица 3) към диференциала на функцията 
, Къде АИ b– всякакви константи, 
. Наистина откъде 
.
Тогава имаме:
.
б) Използвайки формула 6 от таблица 3, имаме 
, а също така 
, което означава присъствие в интегранта на продукта 
означава подсказка: под диференциалния знак трябва да въведете израза 
. Следователно получаваме
в) Същото като в точка б), продуктът 
може да се разшири до диференциални функции 
. Тогава получаваме:
.
d) Първо използваме свойствата на линейността на интеграла:
Пример 6. Намерете интегралите:
а)
;
б)
;
V)
; G)
.
Решение.
а)Като се има предвид това
(формула 9 от таблица 3), трансформираме:
б) Използвайки формула 12 от таблица 3, получаваме
в) Като вземем предвид формула 11 от таблица 3, трансформираме
г) Използвайки формула 16 от таблица 3, получаваме:
.
Пример 7. Намерете интегралите:
а)
;
б)
;
V)
;
V)
.
Решение.
а)Всички интеграли, представени в този пример, имат обща черта: Интегрантът съдържа квадратен трином. Следователно методът за изчисляване на тези интеграли ще се основава на същата трансформация - изолиране на пълния квадрат в този квадратен трином.
.
б)
.
V)
G)
Методът за заместване на диференциален знак е устна реализация на по-общ метод за изчисляване на интеграл, наречен метод на заместване или промяна на променлива. Наистина, всеки път, избирайки подходяща формула в таблица 1 за тази, получена в резултат на включването на диференциалния знак на функцията, мислено заменяхме буквата Ифункция, въведена под диференциалния знак. Следователно, ако интегрирането чрез добавяне на диференциалния знак не работи много добре, можете директно да промените променливата. Повече подробности за това в следващия параграф.
Методът на директното интегриране се основава на трансформиране на функцията за интегранд, прилагане на свойствата на неопределения интеграл и редуциране на израза за интегранд до таблична форма.
Например:
преглед
преглед
2. Метод на заместване (замяна на променлива)
Този метод се основава на въвеждането на нова променлива. Нека направим заместване в интеграла:
;
Следователно получаваме:
Например:
1)
преглед:
2)
преглед(въз основа на свойство № 2 на неопределения интеграл):
Интегрирано парче по парче
Нека u И v - диференцируеми функции. Нека разкрием диференциала на произведението на тези функции:
,
където 
Нека интегрираме получения израз:
Например:
преглед(въз основа на свойство № 1 на неопределения интеграл):
2)
Нека решим 
преглед(въз основа на свойство № 1 на неопределения интеграл):
ПРАКТИЧЕСКА ЧАСТ
Проблеми за решаване у дома
Намерете интеграла:
а) 
; д) 
;
V) 
; з) 
G) 
; и) 
г) ; до) 
А) ; д) 
;
V) ; з) 
;
г) ; до) 
.
А) ; V) ; г)
б) ; G) ; д)
Задачи за решаване по време на практическите занятия:
I. Метод на пряка интеграция
а) 
; и) ;
б) 
; з) ;
V) 
; и)
G) 
; до)
д) 
; м) 
II. Метод на заместване (замяна на променлива)
G) ; до) 
;
г) 
; л) ;
III. Метод на интегриране по части
ТЕМА №4
ОПРЕДЕЛЕН ИНТЕГРАЛ
При математическите изчисления често е необходимо да се намери нарастването на функцията на антипроизводна, когато нейният аргумент се променя в определени граници. Тази задача трябва да се реши, когато се изчисляват площите и обемите на различни фигури, когато се определя средната стойност на функция, когато се изчислява работата на променлива сила. Тези проблеми могат да бъдат решени чрез изчисляване на съответните определени интеграли.
Цел на урока:
1. Научете се да изчислявате определен интеграл с помощта на формулата на Нютон-Лайбниц.
2. Да може да прилага концепцията за определен интеграл за решаване на приложни задачи.
ТЕОРЕТИЧНА ЧАСТ
КОНЦЕПЦИЯТА ЗА ДЕТЕРМИНИРАН ИНТЕГРАЛ И НЕГОВОТО ГЕОМЕТРИЧЕСКО ЗНАЧЕНИЕ
Помислете за проблема с намирането на площта на криволинейния трапец.
Нека се даде някаква функция y=f(x), чиято графика е показана на фигурата.
Фигура 1. Геометричен смисъл на определен интеграл.
На ос 0x изберете точки “а" И "V" и възстановете перпендикуляри от тях, докато се пресекат с кривата. Фигура, ограничена от крива, перпендикуляри и ос 0x наречен извит трапец. Нека разделим интервала на няколко малки сегмента. Нека изберем произволен сегмент. Нека построим извит трапец, съответстващ на този сегмент до правоъгълник. Площта на такъв правоъгълник се определя като:
Тогава площта на всички завършени правоъгълници в интервала ще бъде равна на:
;
Ако всеки от сегментите е достатъчно малък и клони към нула, тогава общата площ на правоъгълниците ще клони към площта на извития трапец:
;
И така, проблемът за изчисляване на площта на криволинейния трапец се свежда до определяне на границата на сумата.
Интегралната сума е сумата от продуктите на увеличението на аргумента и стойността на функцията f(x) , взети в някакъв момент от интервала, в границите на който се променя аргументът. Математически, проблемът за намиране на границата на интегралната сума, ако нарастването на независимата променлива клони към нула, води до концепцията за определен интеграл.
функция f(x ) в някакъв интервал от х=а към x=b интегрируема, ако има число, към което интегралната сума клони като Dх®0 . В този случай числото Дж наречен определен интеграл функции f(x) в интервала:
;
Къде ] а, в[ – област на интеграция,
А– долна граница на интеграция,
V– горна граница на интеграция.
По този начин, от гледна точка на геометрията, определен интеграл е площта на фигура, ограничена от графиката на функция в определен интервал] а, в [ и оста x.