Поддържането на вашата поверителност е важно за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прегледайте нашите практики за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.
Събиране и използване на лична информация
Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране или контакт с конкретно лице.
Може да бъдете помолени да предоставите вашата лична информация по всяко време, когато се свържете с нас.
По-долу са дадени някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме тази информация.
Каква лична информация събираме:
- Когато подадете заявление на сайта, ние може да съберем различна информация, включително вашето име, телефонен номер, имейл адрес и др.
Как използваме вашата лична информация:
- Личната информация, която събираме, ни позволява да се свържем с вас с уникални оферти, промоции и други събития и предстоящи събития.
- От време на време може да използваме вашата лична информация, за да изпращаме важни известия и съобщения.
- Може също така да използваме лична информация за вътрешни цели, като например извършване на одити, анализ на данни и различни изследвания, за да подобрим услугите, които предоставяме, и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
- Ако участвате в теглене на награди, конкурс или подобна промоция, ние може да използваме предоставената от вас информация за администриране на такива програми.
Разкриване на информация на трети лица
Ние не разкриваме информацията, получена от Вас, на трети страни.
Изключения:
- При необходимост - в съответствие със закона, съдебна процедура, в съдебно производство и/или въз основа на публични искания или искания от държавни органи на територията на Руската федерация - да разкриете вашата лична информация. Може също така да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за целите на сигурността, правоприлагането или други обществено значими цели.
- В случай на реорганизация, сливане или продажба, можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответната трета страна приемник.
Защита на личната информация
Ние вземаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.
Уважаване на вашата поверителност на фирмено ниво
За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме стандартите за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.
Решете систематас две неизвестни - това означава намиране на всички двойки променливи стойности, които удовлетворяват всяко от дадените уравнения. Всяка такава двойка се нарича системно решение.
Пример:
Двойката стойности \(x=3\);\(y=-1\) е решение на първата система, защото при заместване на тези тройки и минус единици в системата вместо \(x\) и \ (y\), двете уравнения ще се превърнат в правилните равенства \(\begin(cases)3-2\cdot (-1)=5 \\3 \cdot 3+2 \cdot (-1)=7 \end( случаи)\)
Но \(x=1\); \(y=-2\) - не е решение на първата система, защото след заместване второто уравнение "не се сближава" \(\begin(cases)1-2\cdot(-2)=5 \\3 \cdot1+2 \cdot(-2)≠7 \end(cases)\)
Имайте предвид, че такива двойки често се пишат по-кратко: вместо "\(x=3\); \(y=-1\)" те пишат така: \((3;-1)\).
Как се решава система от линейни уравнения?
Има три основни начина за решаване на системи от линейни уравнения:
- Метод на заместване.
-
\(\begin(cases)13x+9y=17\\12x-2y=26\end(cases)\)
Във второто уравнение всеки член е четен, така че опростяваме уравнението, като го разделим на \(2\).
\(\begin(cases)13x+9y=17\\6x-y=13\end(cases)\)
Тази система може да бъде решена по всеки от следните начини, но ми се струва, че методът на заместване е най-удобен тук. Нека изразим y от второто уравнение.
\(\begin(cases)13x+9y=17\\y=6x-13\end(cases)\)
Нека заместим \(6x-13\) с \(y\) в първото уравнение.
\(\begin(cases)13x+9(6x-13)=17\\y=6x-13\end(cases)\)
Първото уравнение се превърна в обикновено. Нека го решим.
Първо, нека отворим скобите.
\(\begin(cases)13x+54x-117=17\\y=6x-13\end(cases)\)
Нека преместим \(117\) надясно и представим подобни термини.
\(\begin(cases)67x=134\\y=6x-13\end(cases)\)
Нека разделим двете страни на първото уравнение на \(67\).
\(\begin(cases)x=2\\y=6x-13\end(cases)\)
Ура, намерихме \(x\)! Нека заместим стойността му във второто уравнение и да намерим \(y\).
\(\begin(cases)x=2\\y=12-13\end(cases)\)\(\Leftrightarrow\)\(\begin(cases)x=2\\y=-1\end(cases) )\)
Нека запишем отговора.
\(\begin(cases)x-2y=5\\3x+2y=7 \end(cases)\)\(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)x=5+2y\\3x+2y= 7\end(cases)\)\(\Leftrightarrow\)
Заместете получения израз вместо тази променлива в друго уравнение на системата.
\(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)x=5+2y\\3(5+2y)+2y=7\end(cases)\)\(\Leftrightarrow\)
Нека анализираме два вида решения на системи от уравнения:
1. Решаване на системата чрез метода на заместване.
2. Решаване на системата чрез почленно събиране (изваждане) на уравненията на системата.
За да се реши системата от уравнения по метода на заместванетрябва да следвате прост алгоритъм:
1. Експрес. От всяко уравнение изразяваме една променлива.
2. Заместник. Заместваме получената стойност в друго уравнение вместо изразената променлива.
3. Решете полученото уравнение с една променлива. Ние намираме решение на системата.
Да решиш система по член по член метод на събиране (изваждане).трябва да:
1. Изберете променлива, за която ще направим еднакви коефициенти.
2. Събираме или изваждаме уравнения, което води до уравнение с една променлива.
3. Решете полученото линейно уравнение. Ние намираме решение на системата.
Решението на системата са пресечните точки на графиките на функциите.
Нека разгледаме подробно решението на системите, използвайки примери.
Пример #1:
Нека решим по метода на заместване
Решаване на система от уравнения чрез метода на заместване2x+5y=1 (1 уравнение)
x-10y=3 (2-ро уравнение)
1. Експрес
Вижда се, че във второто уравнение има променлива x с коефициент 1, което означава, че е най-лесно да изразим променливата x от второто уравнение.
x=3+10y
2. След като сме го изразили, заместваме 3+10y в първото уравнение вместо променливата x.
2(3+10y)+5y=1
3. Решете полученото уравнение с една променлива.
2(3+10y)+5y=1 (отворете скобите)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2
Решението на системата от уравнения са пресечните точки на графиките, следователно трябва да намерим x и y, тъй като пресечната точка се състои от x и y, нека намерим x, в първата точка, където сме го изразили, заместваме y там .
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1
Обичайно е да пишем точки на първо място пишем променливата x, а на второ място променливата y.
Отговор: (1; -0,2)
Пример #2:
Нека решим с помощта на метода на събиране (изваждане) член по член.
Решаване на система от уравнения чрез метода на събиране3x-2y=1 (1 уравнение)
2x-3y=-10 (2-ро уравнение)
1. Избираме променлива, да кажем, че избираме x. В първото уравнение променливата x има коефициент 3, във второто - 2. Трябва да направим коефициентите еднакви, за това имаме право да умножаваме уравненията или да разделяме на произволно число. Умножаваме първото уравнение по 2, а второто по 3 и получаваме общ коефициент 6.
3x-2y=1 |*2
6x-4y=2
2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30
2. Извадете второто от първото уравнение, за да се отървете от променливата x. Решете линейното уравнение.
__6x-4y=2
5y=32 | :5
y=6,4
3. Намерете x. Заместваме намереното y във всяко от уравненията, да кажем в първото уравнение.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
х=4,6
Пресечната точка ще бъде x=4.6; y=6,4
Отговор: (4,6; 6,4)
Искате ли да се подготвите за изпити безплатно? Учител онлайн безплатно. Без майтап.
С това видео започвам поредица от уроци, посветени на системите от уравнения. Днес ще говорим за решаване на системи от линейни уравнения метод на добавяне- Това е един от най-простите методи, но в същото време и един от най-ефективните.
Методът на добавяне се състои от три прости стъпки:
- Погледнете системата и изберете променлива, която има еднакви (или противоположни) коефициенти във всяко уравнение;
- Извършете алгебрично изваждане (за противоположни числа - добавяне) на уравнения едно от друго и след това приведете подобни членове;
- Решете новото уравнение, получено след втората стъпка.
Ако всичко е направено правилно, тогава на изхода ще получим едно уравнение с една променлива- няма да е трудно да го разрешите. След това всичко, което остава, е да замените намерения корен в оригиналната система и да получите крайния отговор.
На практика обаче всичко не е толкова просто. Има няколко причини за това:
- Решаването на уравнения чрез метода на събиране предполага, че всички редове трябва да съдържат променливи с еднакви/противоположни коефициенти. Какво да направите, ако това изискване не е изпълнено?
- Не винаги след събиране/изваждане на уравнения по посочения начин се получава красива конструкция, която лесно се решава. Възможно ли е по някакъв начин да се опростят изчисленията и да се ускорят изчисленията?
За да получите отговор на тези въпроси и в същото време да разберете няколко допълнителни тънкости, които много ученици не успяват, гледайте моя видео урок:
С този урок започваме поредица от лекции, посветени на системите от уравнения. И ще започнем от най-простите от тях, а именно тези, които съдържат две уравнения и две променливи. Всеки от тях ще бъде линеен.
Системите са материал за 7 клас, но този урок ще бъде полезен и за гимназисти, които искат да освежат знанията си по тази тема.
Като цяло има два метода за решаване на такива системи:
- Метод на добавяне;
- Метод за изразяване на една променлива чрез друга.
Днес ще се занимаваме с първия метод - ще използваме метода на изваждане и събиране. Но за да направите това, трябва да разберете следния факт: след като имате две или повече уравнения, можете да вземете произволни две от тях и да ги добавите едно към друго. Те се добавят член по член, т.е. „X“ се добавят към „X“ и се дават подобни, „Y“ с „Y“ отново са подобни и това, което е отдясно на знака за равенство, също се добавя едно към друго и там също се дават подобни .
Резултатите от подобни машинации ще бъдат ново уравнение, което, ако има корени, те със сигурност ще бъдат сред корените на първоначалното уравнение. Следователно, нашата задача е да направим изваждането или събирането по такъв начин, че $x$ или $y$ да изчезнат.
Как да постигнете това и какъв инструмент да използвате за това - ще говорим за това сега.
Решаване на лесни задачи чрез метода на добавяне
И така, ние се научаваме да използваме метода на добавяне, използвайки примера на два прости израза.
Задача No1
\[\left\( \begin(align)& 5x-4y=22 \\& 7x+4y=2 \\\end(align) \right.\]
Обърнете внимание, че $y$ има коефициент $-4$ в първото уравнение и $+4$ във второто. Те са взаимно противоположни, така че е логично да се предположи, че ако ги съберем, тогава в получения сбор „игрите“ ще бъдат взаимно унищожени. Добавете го и получете:
Нека решим най-простата конструкция:
Страхотно, намерихме "x". Какво да правим с него сега? Имаме право да го заместим във всяко от уравненията. Нека заместим в първия:
\[-4y=12\наляво| :\left(-4 \right) \right.\]
Отговор: $\left(2;-3 \right)$.
Проблем No2
\[\left\( \begin(align)& -6x+y=21 \\& 6x-11y=-51 \\\end(align) \right.\]
Ситуацията тук е напълно подобна, само с „Х“. Нека ги съберем:
Имаме най-простото линейно уравнение, нека го решим:
Сега нека намерим $x$:
Отговор: $\left(-3;3 \right)$.
Важни точки
И така, току-що решихме две прости системи от линейни уравнения, използвайки метода на събиране. Отново ключови точки:
- Ако има противоположни коефициенти за една от променливите, тогава е необходимо да се съберат всички променливи в уравнението. В този случай един от тях ще бъде унищожен.
- Заместваме намерената променлива във всяко от уравненията на системата, за да намерим второто.
- Крайният запис на отговор може да бъде представен по различни начини. Например така - $x=...,y=...$, или под формата на координати на точки - $\left(...;... \right)$. Вторият вариант е за предпочитане. Основното нещо, което трябва да запомните е, че първата координата е $x$, а втората е $y$.
- Правилото за записване на отговора под формата на координати на точка не винаги е приложимо. Например, не може да се използва, когато променливите не са $x$ и $y$, а например $a$ и $b$.
В следващите задачи ще разгледаме техниката на изваждане, когато коефициентите не са противоположни.
Решаване на лесни задачи чрез метода на изваждане
Задача No1
\[\left\( \begin(align)& 10x-3y=5 \\& -6x-3y=-27 \\\end(align) \right.\]
Имайте предвид, че тук няма противоположни коефициенти, но има еднакви. Следователно изваждаме второто от първото уравнение:
Сега заместваме стойността $x$ в което и да е от уравненията на системата. Хайде първо:
Отговор: $\left(2;5\right)$.
Проблем No2
\[\left\( \begin(align)& 5x+4y=-22 \\& 5x-2y=-4 \\\end(align) \right.\]
Отново виждаме същия коефициент от $5$ за $x$ в първото и второто уравнение. Следователно е логично да се предположи, че трябва да извадите второто от първото уравнение:
Изчислихме една променлива. Сега нека намерим втората, например, като заместим стойността $y$ във втората конструкция:
Отговор: $\left(-3;-2 \right)$.
Нюанси на решението
И така, какво виждаме? По същество схемата не се различава от решението на предишните системи. Единствената разлика е, че не събираме уравнения, а ги изваждаме. Правим алгебрично изваждане.
С други думи, веднага щом видите система, състояща се от две уравнения с две неизвестни, първото нещо, което трябва да погледнете, са коефициентите. Ако някъде са еднакви, уравненията се изваждат, а ако са противоположни, се използва методът на събиране. Това винаги се прави така, че една от тях да изчезне и в крайното уравнение, което остава след изваждането, остава само една променлива.
Разбира се, това не е всичко. Сега ще разгледаме системи, в които уравненията обикновено са противоречиви. Тези. В тях няма променливи, които да са еднакви или противоположни. В този случай за решаване на такива системи се използва допълнителна техника, а именно умножаване на всяко от уравненията със специален коефициент. Как да го намерим и как да решим такива системи като цяло, ще говорим за това сега.
Решаване на задачи чрез умножение с коефициент
Пример #1
\[\left\( \begin(align)& 5x-9y=38 \\& 3x+2y=8 \\\end(align) \right.\]
Виждаме, че нито за $x$, нито за $y$ коефициентите са не само взаимно противоположни, но и по никакъв начин не корелират с другото уравнение. Тези коефициенти няма да изчезнат по никакъв начин, дори ако добавяме или изваждаме уравненията едно от друго. Следователно е необходимо да се приложи умножение. Нека се опитаме да се отървем от променливата $y$. За да направим това, умножаваме първото уравнение по коефициента на $y$ от второто уравнение и второто уравнение по коефициента на $y$ от първото уравнение, без да докосваме знака. Умножаваме и получаваме нова система:
\[\left\( \begin(align)& 10x-18y=76 \\& 27x+18y=72 \\\end(align) \right.\]
Нека го разгледаме: при $y$ коефициентите са противоположни. В такава ситуация е необходимо да се използва методът на добавяне. Нека добавим:
Сега трябва да намерим $y$. За да направите това, заместете $x$ в първия израз:
\[-9y=18\наляво| :\left(-9 \right) \right.\]
Отговор: $\left(4;-2 \right)$.
Пример №2
\[\left\( \begin(align)& 11x+4y=-18 \\& 13x-6y=-32 \\\end(align) \right.\]
Отново, коефициентите за нито една от променливите не са последователни. Нека умножим по коефициентите на $y$:
\[\left\( \begin(align)& 11x+4y=-18\left| 6 \right. \\& 13x-6y=-32\left| 4 \right. \\\end(align) \right .\]
\[\left\( \begin(align)& 66x+24y=-108 \\& 52x-24y=-128 \\\end(align) \right.\]
Нашата нова система е еквивалентна на предишната, но коефициентите на $y$ са взаимно противоположни и затова е лесно да се приложи методът на добавяне тук:
Сега нека намерим $y$, като заместим $x$ в първото уравнение:
Отговор: $\left(-2;1 \right)$.
Нюанси на решението
Основното правило тук е следното: ние винаги умножаваме само с положителни числа - това ще ви спести от глупави и обидни грешки, свързани със смяна на знаци. Като цяло схемата на решение е доста проста:
- Ние разглеждаме системата и анализираме всяко уравнение.
- Ако видим, че нито $y$, нито $x$ коефициентите са последователни, т.е. те не са нито равни, нито противоположни, тогава правим следното: избираме променливата, от която трябва да се отървем, и след това разглеждаме коефициентите на тези уравнения. Ако умножим първото уравнение по коефициента от второто, а второто, съответно, умножим по коефициента от първото, тогава в крайна сметка ще получим система, която е напълно еквивалентна на предишната, и коефициентите на $ y$ ще бъде последователен. Всички наши действия или трансформации са насочени само към получаване на една променлива в едно уравнение.
- Намираме една променлива.
- Заместваме намерената променлива в едно от двете уравнения на системата и намираме второто.
- Записваме отговора под формата на координати на точки, ако имаме променливи $x$ и $y$.
Но дори такъв прост алгоритъм има своите тънкости, например коефициентите на $x$ или $y$ могат да бъдат дроби и други „грозни“ числа. Сега ще разгледаме тези случаи отделно, защото в тях можете да действате малко по-различно от стандартния алгоритъм.
Решаване на задачи с дроби
Пример #1
\[\left\( \begin(align)& 4m-3n=32 \\& 0.8m+2.5n=-6 \\\end(align) \right.\]
Първо, забележете, че второто уравнение съдържа дроби. Но имайте предвид, че можете да разделите $4$ на $0,8$. Ще получим $5$. Нека умножим второто уравнение по $5$:
\[\left\( \begin(align)& 4m-3n=32 \\& 4m+12.5m=-30 \\\end(align) \right.\]
Изваждаме уравненията едно от друго:
Намерихме $n$, сега нека преброим $m$:
Отговор: $n=-4;m=5$
Пример №2
\[\left\( \begin(align)& 2.5p+1.5k=-13\left| 4 \right. \\& 2p-5k=2\left| 5 \right. \\\end(align )\ точно.\]
Тук, както и в предишната система, има дробни коефициенти, но за нито една от променливите коефициентите не се вписват един в друг цял брой пъти. Затова използваме стандартния алгоритъм. Отърви се от $p$:
\[\left\( \begin(align)& 5p+3k=-26 \\& 5p-12.5k=5 \\\end(align) \right.\]
Използваме метода на изваждане:
Нека намерим $p$, като заместим $k$ във втората конструкция:
Отговор: $p=-4;k=-2$.
Нюанси на решението
Това е цялата оптимизация. В първото уравнение не умножихме по нищо, но умножихме второто уравнение по $5$. В резултат получихме последователно и дори идентично уравнение за първата променлива. Във втората система следвахме стандартен алгоритъм.
Но как да намерите числата, по които да умножите уравненията? В крайна сметка, ако умножим по дроби, получаваме нови дроби. Следователно дробите трябва да бъдат умножени по число, което би дало ново цяло число, а след това променливите трябва да бъдат умножени по коефициенти, следвайки стандартния алгоритъм.
В заключение бих искал да обърна внимание на формата за записване на отговора. Както вече казах, тъй като тук нямаме $x$ и $y$, а други стойности, използваме нестандартна нотация на формата:
Решаване на сложни системи от уравнения
Като последна бележка към днешния видео урок, нека да разгледаме няколко наистина сложни системи. Тяхната сложност ще се състои в това, че те ще имат променливи както отляво, така и отдясно. Следователно, за да ги разрешим, ще трябва да приложим предварителна обработка.
Система №1
\[\left\( \begin(align)& 3\left(2x-y \right)+5=-2\left(x+3y \right)+4 \\& 6\left(y+1 \right )-1=5\left(2x-1 \right)+8 \\\end(align) \right.\]
Всяко уравнение носи определена сложност. Следователно, нека третираме всеки израз като с правилна линейна конструкция.
Като цяло получаваме крайната система, която е еквивалентна на оригиналната:
\[\left\( \begin(align)& 8x+3y=-1 \\& -10x+6y=-2 \\\end(align) \right.\]
Нека да разгледаме коефициентите на $y$: $3$ се вписва в $6$ два пъти, така че нека умножим първото уравнение по $2$:
\[\left\( \begin(align)& 16x+6y=-2 \\& -10+6y=-2 \\\end(align) \right.\]
Коефициентите на $y$ вече са равни, така че изваждаме второто от първото уравнение: $$
Сега нека намерим $y$:
Отговор: $\left(0;-\frac(1)(3) \right)$
Система №2
\[\left\( \begin(align)& 4\left(a-3b \right)-2a=3\left(b+4 \right)-11 \\& -3\left(b-2a \right) )-12=2\left(a-5 \right)+b \\\end(align) \right.\]
Нека трансформираме първия израз:
Нека се заемем с второто:
\[-3\вляво(b-2a \вдясно)-12=2\вляво(a-5 \вдясно)+b\]
\[-3b+6a-12=2a-10+b\]
\[-3b+6a-2a-b=-10+12\]
Като цяло нашата първоначална система ще приеме следната форма:
\[\left\( \begin(align)& 2a-15b=1 \\& 4a-4b=2 \\\end(align) \right.\]
Разглеждайки коефициентите на $a$, виждаме, че първото уравнение трябва да се умножи по $2$:
\[\left\( \begin(align)& 4a-30b=2 \\& 4a-4b=2 \\\end(align) \right.\]
Извадете втората от първата конструкция:
Сега нека намерим $a$:
Отговор: $\left(a=\frac(1)(2);b=0 \right)$.
Това е. Надявам се този видео урок да ви помогне да разберете тази трудна тема, а именно решаването на системи от прости линейни уравнения. В бъдеще ще има много повече уроци по тази тема: ще разгледаме по-сложни примери, където ще има повече променливи, а самите уравнения ще бъдат нелинейни. Ще се видим отново!
Системите от уравнения се използват широко в икономическия сектор за математическо моделиране на различни процеси. Например при решаване на проблеми с управлението и планирането на производството, логистични маршрути (транспортен проблем) или разполагане на оборудване.
Системите от уравнения се използват не само в математиката, но и във физиката, химията и биологията при решаване на задачи за намиране на размера на популацията.
Система от линейни уравнения е две или повече уравнения с няколко променливи, за които е необходимо да се намери общо решение. Такава последователност от числа, за която всички уравнения стават истински равенства или доказват, че последователността не съществува.
Линейно уравнение
Уравнения от вида ax+by=c се наричат линейни. Означенията x, y са неизвестните, чиято стойност трябва да се намери, b, a са коефициентите на променливите, c е свободният член на уравнението.
Решаването на уравнение чрез начертаването му ще изглежда като права линия, всички точки на която са решения на полинома.
Видове системи линейни уравнения
Най-простите примери се считат за системи от линейни уравнения с две променливи X и Y.
F1(x, y) = 0 и F2(x, y) = 0, където F1,2 са функции и (x, y) са функционални променливи.
Решете система от уравнения - това означава намиране на стойности (x, y), при които системата се превръща в истинско равенство или установяване, че подходящи стойности на x и y не съществуват.
Двойка стойности (x, y), записана като координати на точка, се нарича решение на система от линейни уравнения.
Ако системите имат едно общо решение или не съществува решение, те се наричат еквивалентни.
Хомогенни системи от линейни уравнения са системи, чиято дясна страна е равна на нула. Ако дясната част след знака за равенство има стойност или е изразена чрез функция, такава система е разнородна.
Броят на променливите може да бъде много повече от две, тогава трябва да говорим за пример на система от линейни уравнения с три или повече променливи.
Когато се сблъскват със системи, учениците приемат, че броят на уравненията задължително трябва да съвпада с броя на неизвестните, но това не е така. Броят на уравненията в системата не зависи от променливите; те могат да бъдат колкото желаете.
Прости и сложни методи за решаване на системи от уравнения
Няма общ аналитичен метод за решаване на такива системи; всички методи се основават на числени решения. Училищният курс по математика описва подробно такива методи като пермутация, алгебрично добавяне, заместване, както и графични и матрични методи, решение по метода на Гаус.
Основната задача при преподаване на методи за решаване е да се научи как правилно да се анализира системата и да се намери оптималният алгоритъм за решение за всеки пример. Основното нещо е да не запомните система от правила и действия за всеки метод, а да разберете принципите на използване на конкретен метод
Решаването на примери за системи от линейни уравнения в общообразователната програма за 7. клас е съвсем просто и обяснено много подробно. Във всеки учебник по математика на този раздел се отделя достатъчно внимание. Решаването на примери на системи от линейни уравнения по метода на Гаус и Крамер се изучава по-подробно в първите години на висшето образование.
Решаване на системи чрез метода на заместване
Действията на метода на заместване са насочени към изразяване на стойността на една променлива по отношение на втората. Изразът се замества в останалото уравнение, след което се редуцира до форма с една променлива. Действието се повтаря в зависимост от броя на неизвестните в системата
Нека дадем решение на пример за система от линейни уравнения от клас 7, използвайки метода на заместване:
Както може да се види от примера, променливата x беше изразена чрез F(X) = 7 + Y. Полученият израз, заместен във второто уравнение на системата на мястото на X, помогна да се получи една променлива Y във второто уравнение . Решаването на този пример е лесно и ви позволява да получите стойността на Y. Последната стъпка е да проверите получените стойности.
Не винаги е възможно да се реши пример на система от линейни уравнения чрез заместване. Уравненията могат да бъдат сложни и изразяването на променливата по отношение на второто неизвестно ще бъде твърде тромаво за по-нататъшни изчисления. Когато в системата има повече от 3 неизвестни, решаването чрез заместване също е непрактично.
Решение на пример на система от линейни нехомогенни уравнения:
Решение чрез алгебрично събиране
Когато се търсят решения на системи, използващи метода на добавяне, уравненията се добавят член по член и се умножават по различни числа. Крайната цел на математическите операции е уравнение в една променлива.
Прилагането на този метод изисква практика и наблюдение. Решаването на система от линейни уравнения чрез метода на добавяне, когато има 3 или повече променливи, не е лесно. Алгебричното добавяне е удобно за използване, когато уравненията съдържат дроби и десетични знаци.
Алгоритъм за решение:
- Умножете двете страни на уравнението по определено число. В резултат на аритметичната операция един от коефициентите на променливата трябва да стане равен на 1.
- Съберете получения израз член по член и намерете едно от неизвестните.
- Заместете получената стойност във второто уравнение на системата, за да намерите оставащата променлива.
Метод на решение чрез въвеждане на нова променлива
Може да се въведе нова променлива, ако системата изисква намиране на решение за не повече от две уравнения; броят на неизвестните също не трябва да бъде повече от две.
Методът се използва за опростяване на едно от уравненията чрез въвеждане на нова променлива. Новото уравнение се решава за въведеното неизвестно и получената стойност се използва за определяне на оригиналната променлива.
Примерът показва, че чрез въвеждане на нова променлива t е възможно да се намали първото уравнение на системата до стандартен квадратен трином. Можете да решите полином, като намерите дискриминанта.
Необходимо е да се намери стойността на дискриминанта, като се използва добре известната формула: D = b2 - 4*a*c, където D е желаният дискриминант, b, a, c са факторите на полинома. В дадения пример a=1, b=16, c=39, следователно D=100. Ако дискриминантът е по-голям от нула, тогава има две решения: t = -b±√D / 2*a, ако дискриминантът е по-малък от нула, тогава има едно решение: x = -b / 2*a.
Решението за получените системи се намира по метода на добавяне.
Визуален метод за решаване на системи
Подходящ за 3 системи от уравнения. Методът се състои в построяването на графики на всяко уравнение, включено в системата, върху координатната ос. Координатите на пресечните точки на кривите ще бъдат общото решение на системата.
Графичният метод има редица нюанси. Нека разгледаме няколко примера за решаване на системи от линейни уравнения по визуален начин.
Както може да се види от примера, за всяка линия са конструирани две точки, стойностите на променливата x са избрани произволно: 0 и 3. Въз основа на стойностите на x са намерени стойностите за y: 3 и 0. На графиката са отбелязани точки с координати (0, 3) и (3, 0) и свързани с линия.
Стъпките трябва да се повторят за второто уравнение. Пресечната точка на правите е решението на системата.
Следният пример изисква намиране на графично решение на система от линейни уравнения: 0,5x-y+2=0 и 0,5x-y-1=0.
Както се вижда от примера, системата няма решение, тъй като графиките са успоредни и не се пресичат по цялата си дължина.
Системите от примери 2 и 3 са сходни, но при конструирането става очевидно, че техните решения са различни. Трябва да се помни, че не винаги е възможно да се каже дали една система има решение или не; винаги е необходимо да се построи графика.
Матрицата и нейните разновидности
Матриците се използват за кратко записване на система от линейни уравнения. Матрицата е специален вид таблица, пълна с числа. n*m има n - редове и m - колони.
Матрицата е квадратна, когато броят на колоните и редовете е равен. Матрица-вектор е матрица от една колона с безкраен възможен брой редове. Матрица с единици по един от диагоналите и други нулеви елементи се нарича идентичност.
Обратната матрица е матрица, при умножаване на която оригиналната се превръща в единична матрица; такава матрица съществува само за оригиналната квадратна.
Правила за преобразуване на система от уравнения в матрица
По отношение на системите от уравнения, коефициентите и свободните членове на уравненията се записват като матрични числа; едно уравнение е един ред от матрицата.
За матричен ред се казва, че е ненулев, ако поне един елемент от реда не е нула. Следователно, ако в някое от уравненията броят на променливите е различен, тогава е необходимо да въведете нула на мястото на липсващото неизвестно.
Колоните на матрицата трябва стриктно да съответстват на променливите. Това означава, че коефициентите на променливата x могат да бъдат записани само в една колона, например първата, коефициентът на неизвестното y - само във втората.
При умножаване на матрица всички елементи на матрицата се умножават последователно по число.
Опции за намиране на обратната матрица
Формулата за намиране на обратната матрица е доста проста: K -1 = 1 / |K|, където K -1 е обратната матрица и |K| е детерминантата на матрицата. |K| не трябва да е равно на нула, тогава системата има решение.
Детерминантата се изчислява лесно за матрица две по две, просто трябва да умножите диагоналните елементи един по друг. За опцията „три по три“ има формула |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Можете да използвате формулата или можете да запомните, че трябва да вземете по един елемент от всеки ред и всяка колона, така че номерата на колоните и редовете на елементите да не се повтарят в работата.
Решаване на примери на системи от линейни уравнения по матричния метод
Матричният метод за намиране на решение ви позволява да намалите тромавите записи при решаване на системи с голям брой променливи и уравнения.
В примера a nm са коефициентите на уравненията, матрицата е вектор x n са променливи, а b n са свободни членове.
Решаване на системи по метода на Гаус
Във висшата математика методът на Гаус се изучава заедно с метода на Крамер, а процесът на намиране на решения на системи се нарича метод на решение на Гаус-Крамер. Тези методи се използват за намиране на променливи на системи с голям брой линейни уравнения.
Методът на Гаус е много подобен на решения чрез заместване и алгебрично събиране, но е по-систематичен. В училищния курс се използва решението по метода на Гаус за системи от 3 и 4 уравнения. Целта на метода е да намали системата до формата на обърнат трапец. Чрез алгебрични трансформации и замествания се намира стойността на една променлива в едно от уравненията на системата. Второто уравнение е израз с 2 неизвестни, докато 3 и 4 са съответно с 3 и 4 променливи.
След привеждане на системата до описания вид, по-нататъшното решение се свежда до последователно заместване на известни променливи в уравненията на системата.
В училищните учебници за 7 клас е описан пример за решение по метода на Гаус, както следва:
Както може да се види от примера, на стъпка (3) са получени две уравнения: 3x 3 -2x 4 =11 и 3x 3 +2x 4 =7. Решаването на някое от уравненията ще ви позволи да откриете една от променливите x n.
Теорема 5, която се споменава в текста, гласи, че ако едно от уравненията на системата се замени с еквивалентно, то получената система също ще бъде еквивалентна на оригиналната.
Методът на Гаус е труден за разбиране от учениците в средното училище, но е един от най-интересните начини за развиване на изобретателността на децата, записани в програми за напреднали в часовете по математика и физика.
За по-лесно записване изчисленията обикновено се извършват, както следва:
Коефициентите на уравненията и свободните членове са записани под формата на матрица, където всеки ред от матрицата съответства на едно от уравненията на системата. разделя лявата страна на уравнението от дясната. Римските цифри показват номерата на уравненията в системата.
Първо, запишете матрицата, с която ще работите, след това всички действия, извършени с един от редовете. Получената матрица се записва след знака "стрелка" и необходимите алгебрични операции продължават до постигане на резултата.
Резултатът трябва да бъде матрица, в която един от диагоналите е равен на 1, а всички други коефициенти са равни на нула, т.е. матрицата се редуцира до единична форма. Не трябва да забравяме да извършваме изчисления с числа от двете страни на уравнението.
Този метод на запис е по-малко тромав и ви позволява да не се разсейвате с изброяване на множество неизвестни.
Безплатното използване на всеки метод на решение ще изисква внимание и известен опит. Не всички методи са с приложен характер. Някои методи за намиране на решения са по-предпочитани в определена област на човешката дейност, докато други съществуват за образователни цели.