Нека анализираме два вида решения на системи от уравнения:
1. Решаване на системата чрез метода на заместване.
2. Решаване на системата чрез почленно събиране (изваждане) на уравненията на системата.
За да се реши системата от уравнения по метода на заместванетрябва да следвате прост алгоритъм:
1. Експресирайте. От всяко уравнение изразяваме една променлива.
2. Заместник. Заместваме получената стойност в друго уравнение вместо изразената променлива.
3. Решете полученото уравнение с една променлива. Ние намираме решение на системата.
Да решиш система по метода на почленно събиране (изваждане).трябва да:
1. Изберете променлива, за която ще направим еднакви коефициенти.
2. Събираме или изваждаме уравнения, което води до уравнение с една променлива.
3. Решете полученото линейно уравнение. Ние намираме решение на системата.
Решението на системата са пресечните точки на графиките на функциите.
Нека разгледаме подробно решението на системите, използвайки примери.
Пример #1:
Нека решим по метода на заместване
Решаване на система от уравнения чрез метода на заместване2x+5y=1 (1 уравнение)
x-10y=3 (2-ро уравнение)
1. Експресирайте
Вижда се, че във второто уравнение има променлива x с коефициент 1, което означава, че е най-лесно да изразим променливата x от второто уравнение.
x=3+10y
2. След като сме го изразили, заместваме 3+10y в първото уравнение вместо променливата x.
2(3+10y)+5y=1
3. Решете полученото уравнение с една променлива.
2(3+10y)+5y=1 (отворете скобите)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2
Решението на системата от уравнения са пресечните точки на графиките, следователно трябва да намерим x и y, тъй като пресечната точка се състои от x и y, нека намерим x, в първата точка, където сме го изразили, заместваме y там .
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1
Обичайно е да пишем точки на първо място пишем променливата x, а на второ място променливата y.
Отговор: (1; -0,2)
Пример #2:
Нека решим с помощта на метода на събиране (изваждане) член по член.
Решаване на система от уравнения чрез метода на събиране3x-2y=1 (1 уравнение)
2x-3y=-10 (2-ро уравнение)
1. Избираме променлива, да кажем, че избираме x. В първото уравнение променливата x има коефициент 3, във второто - 2. Трябва да направим коефициентите еднакви, за това имаме право да умножаваме уравненията или да разделяме на произволно число. Умножаваме първото уравнение по 2, а второто по 3 и получаваме общ коефициент 6.
3x-2y=1 |*2
6x-4y=2
2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30
2. Извадете второто от първото уравнение, за да се отървете от променливата x. Решете линейното уравнение.
__6x-4y=2
5y=32 | :5
y=6,4
3. Намерете x. Заместваме намереното y във всяко от уравненията, да кажем в първото уравнение.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
х=4,6
Пресечната точка ще бъде x=4.6; y=6,4
Отговор: (4,6; 6,4)
Искате ли да се подготвите за изпити безплатно? Учител онлайн безплатно. Без майтап.
На етапа на подготовка за финалния тест учениците от гимназията трябва да подобрят знанията си по темата „Експоненциални уравнения“. Опитът от минали години показва, че подобни задачи създават определени трудности за учениците. Следователно учениците от гимназията, независимо от нивото на подготовка, трябва да овладеят напълно теорията, да запомнят формулите и да разберат принципа на решаване на такива уравнения. След като са се научили да се справят с този тип проблеми, завършилите могат да разчитат на високи резултати при полагане на Единния държавен изпит по математика.
Пригответе се за изпитно тестване с Школково!
Когато преглеждат материалите, които са покрили, много ученици се сблъскват с проблема да намерят формулите, необходими за решаване на уравнения. Училищният учебник не винаги е под ръка и изборът на необходимата информация по дадена тема в Интернет отнема много време.
Образователният портал Школково кани студентите да използват нашата база от знания. Внедряваме изцяло нов метод за подготовка за финалния тест. Като изучавате на нашия уебсайт, ще можете да идентифицирате пропуски в знанията и да обърнете внимание на онези задачи, които причиняват най-много трудности.
Учителите в Школково събраха, систематизираха и представиха целия материал, необходим за успешното полагане на Единния държавен изпит в най-простата и достъпна форма.
Основните дефиниции и формули са представени в раздела „Теоретична основа”.
За да разберете по-добре материала, ви препоръчваме да се упражнявате да изпълнявате задачите. Внимателно прегледайте примерите на експоненциални уравнения с решения, представени на тази страница, за да разберете алгоритъма за изчисление. След това продължете да изпълнявате задачи в раздела „Директории“. Можете да започнете с най-лесните задачи или да преминете направо към решаване на сложни експоненциални уравнения с няколко неизвестни или . Базата данни с упражнения на нашия уебсайт непрекъснато се допълва и актуализира.
Тези примери с индикатори, които са ви затруднили, могат да бъдат добавени към „Любими“. По този начин можете бързо да ги намерите и да обсъдите решението с вашия учител.
За да преминете успешно Единния държавен изпит, учете на портала Школково всеки ден!
Безплатният калкулатор, който предлагаме на вашето внимание, разполага с богат арсенал от възможности за математически изчисления. Позволява ви да използвате онлайн калкулатора в различни сфери на дейност: образователен, професионаленИ търговски. Разбира се, използването на онлайн калкулатор е особено популярно сред студентиИ ученици, това ги прави много по-лесни да извършват различни изчисления.
В същото време калкулаторът може да се превърне в полезен инструмент в някои области на бизнеса и за хора от различни професии. Разбира се, необходимостта от използване на калкулатор в бизнеса или работата се определя преди всичко от вида на самата дейност. Ако вашият бизнес и професия са свързани с постоянни изчисления и изчисления, тогава си струва да изпробвате електронен калкулатор и да оцените степента на неговата полезност за конкретна задача.
Този онлайн калкулатор може
- Изпълнявайте правилно стандартни математически функции, написани в един ред като - 12*3-(7/2) и може да обработва числа, по-големи от тези, които можем да преброим в онлайн калкулатор. Дори не знаем как да наречем правилно такова число (. има 34 символа и това изобщо не е ограничението).
- освен допирателна, косинус, синуси други стандартни функции - калкулаторът поддържа изчислителни операции арктангенс, арккотангенси други.
- Наличен в Арсенал логаритми, факториелии други интересни функции
- Този онлайн калкулатор знае как да изгражда графики!!!
За начертаване на графики услугата използва специален бутон (графиката е изчертана в сиво) или буквено представяне на тази функция (Графика). За да изградите графика в онлайн калкулатор, просто напишете функцията: plot(tan(x)),x=-360..360.
Взехме най-простата графика за тангенса и след десетичната запетая посочихме диапазона на променливата X от -360 до 360.
Можете да изградите абсолютно всяка функция с произволен брой променливи, например това: графика (cos(x)/3z, x=-180..360,z=4)или дори по-сложни, които можете да измислите. Обърнете внимание на поведението на променливата X - интервалът от и до се обозначава с две точки.
Единственият минус (въпреки че е трудно да го наречем недостатък) на този онлайн калкулатор е, че не може да изгражда сфери и други триизмерни фигури - само равнина.
Как да използвате математическия калкулатор
1. Дисплеят (екранът на калкулатора) показва въведения израз и резултата от неговото изчисляване в обикновени символи, както пишем на хартия. Това поле е просто за преглед на текущата транзакция. Записът се появява на дисплея, докато въвеждате математически израз в реда за въвеждане.
2. Полето за въвеждане на израз е предназначено за запис на израза, който трябва да се изчисли. Тук трябва да се отбележи, че математическите символи, използвани в компютърните програми, не винаги са същите като тези, които обикновено използваме на хартия. В прегледа на всяка функция на калкулатора ще намерите правилното обозначение за конкретна операция и примери за изчисления в калкулатора. На тази страница по-долу има списък с всички възможни операции в калкулатора, като също така се посочва правилното им изписване.
3. Лента с инструменти - това са бутони на калкулатора, които заместват ръчното въвеждане на математически символи, обозначаващи съответната операция. Някои бутони на калкулатора (допълнителни функции, конвертор на единици, решаване на матрици и уравнения, графики) допълват лентата на задачите с нови полета, където се въвеждат данни за конкретно изчисление. Полето "История" съдържа примери за писане на математически изрази, както и вашите шест последни записа.
Моля, имайте предвид, че когато натиснете бутоните за извикване на допълнителни функции, преобразуване на количества, решаване на матрици и уравнения и чертане на графики, целият панел на калкулатора се измества нагоре, покривайки част от дисплея. Попълнете задължителните полета и натиснете клавиша "I" (маркиран в червено на снимката), за да видите дисплея в пълен размер.
4. Цифровата клавиатура съдържа цифри и аритметични символи. Бутонът "C" изтрива целия запис в полето за въвеждане на израз. За да изтриете символи един по един, трябва да използвате стрелката вдясно от реда за въвеждане.
Опитайте се винаги да затваряте скоби в края на израза. За повечето операции това не е критично; онлайн калкулаторът ще изчисли всичко правилно. В някои случаи обаче могат да възникнат грешки. Например, когато се повдига на дробна степен, незатворените скоби ще накарат знаменателят на дробта в експонента да влезе в знаменателя на основата. Затварящата скоба се показва в бледо сиво на дисплея и трябва да се затвори, когато записът приключи.
Ключ | Символ | Операция |
---|---|---|
пи | пи | Постоянно пи |
д | д | Число на Ойлер |
% | % | Процент |
() | () | Отваряне/затваряне на скоби |
, | , | Запетая |
грях | грях(?) | Синус от ъгъл |
cos | защото (?) | Косинус |
тен | тен(y) | Допирателна |
sinh | sinh() | Хиперболичен синус |
кош | cosh() | Хиперболичен косинус |
танх | tanh () | Хиперболичен тангенс |
грях -1 | asin() | Обратен синус |
cos -1 | acos() | Обратен косинус |
тен -1 | атан() | Обратна допирателна |
sinh -1 | asinh() | Обратен хиперболичен синус |
кош -1 | acosh() | Обратен хиперболичен косинус |
танх -1 | atanh() | Обратен хиперболичен тангенс |
х 2 | ^2 | Квадратура |
х 3 | ^3 | куб |
x y | ^ | степенуване |
10 х | 10^() | Степенене при основа 10 |
e x | exp() | Степенене на числото на Ойлер |
vx | sqrt(x) | Корен квадратен |
3 vx | sqrt3(x) | 3-ти корен |
yvx | sqrt(x,y) | Извличане на корен |
дневник 2 x | log2(x) | Двоичен логаритъм |
дневник | log(x) | Десетичен логаритъм |
вътре | ln(x) | Натурален логаритъм |
дневник y x | log(x,y) | Логаритъм |
I/II | Свиване/извикване на допълнителни функции | |
единица | Преобразувател на единици | |
Матрица | Матрици | |
Решете | Уравнения и системи от уравнения | |
Графиране | ||
Допълнителни функции (обаждане с клавиш II) | ||
мод | мод | Деление с остатък |
! | ! | Факториал |
i/j | i/j | Въображаема единица |
Re | Re() | Изолиране на цялата реална част |
Im | аз() | Без реалната част |
|x| | абс() | Числов модул |
Арг | arg() | Аргумент на функцията |
nCr | ncr() | Биноминален коефициент |
gcd | gcd() | GCD |
lcm | lcm() | НОК |
сума | сума () | Обща стойност на всички решения |
фак | факторизиране() | Разлагане на прости множители |
диф | разл.() | Диференциация |
степен | Степени | |
Рад | Радиани |
Уравнения
Как се решават уравнения?
В този раздел ще си припомним (или ще изучим, в зависимост от вас) най-елементарните уравнения. И така, какво е уравнението? На човешки език това е някакъв вид математически израз, където има знак за равенство и неизвестно. Което обикновено се обозначава с буквата "X". Решете уравнението- това е да се намерят такива стойности на x, които, когато се заместват в оригиналенизраз ще ни даде правилната идентичност. Позволете ми да ви напомня, че идентичността е израз, който е извън съмнение дори за човек, който абсолютно не е обременен с математически знания. Като 2=2, 0=0, ab=ab и т.н. И така, как да решаваме уравнения?Нека да го разберем.
Има всякакви уравнения (изненадан съм, нали?). Но цялото им безкрайно разнообразие може да бъде разделено само на четири вида.
4. Всички останали.)
Всичко останало, разбира се, най-вече, да...) Това включва кубични, експоненциални, логаритмични, тригонометрични и всякакви други. Ще работим в тясно сътрудничество с тях в съответните раздели.
Веднага ще кажа, че понякога уравненията на първите три вида са толкова прецакани, че дори няма да ги познаете... Нищо. Ще се научим как да ги развиваме.
И защо имаме нужда от тези четири вида? И после какво линейни уравнениярешен по един начин квадратдруги, дробни рационални числа - трето,А почивкаИзобщо не смеят! Е, не че изобщо не могат да решат, а че сбърках с математиката.) Просто те имат свои собствени специални техники и методи.
Но за всеки (повтарям - за всякакви!) уравненията осигуряват надеждна и безопасна основа за решаване. Работи навсякъде и винаги. Тази основа - Звучи страшно, но е много проста. И то много (Много!)важно.
Всъщност решението на уравнението се състои именно от тези трансформации. 99% Отговор на въпроса: " Как се решават уравнения?" се крие точно в тези трансформации. Ясен ли е намекът?)
Тъждествени преобразувания на уравнения.
IN всякакви уравненияЗа да намерите неизвестното, трябва да трансформирате и опростите оригиналния пример. И така, че когато външният вид се промени същността на уравнението не се е променила.Такива трансформации се наричат идентиченили еквивалент.
Имайте предвид, че тези трансформации се прилагат специално за уравненията.В математиката също има трансформации на идентичността изрази.Това е друга тема.
Сега ще повторим всички, всички, всички основни идентични трансформации на уравнения.
Основни, защото могат да бъдат приложени към всякаквиуравнения - линейни, квадратни, дробни, тригонометрични, експоненциални, логаритмични и др. и т.н.
Първа трансформация на идентичността: можете да добавяте (изваждате) към двете страни на всяко уравнение всякакви(но едно и също!) число или израз (включително израз с неизвестно!). Това не променя същността на уравнението.
Между другото, вие постоянно сте използвали тази трансформация, просто сте мислили, че прехвърляте някои членове от една част на уравнението в друга с промяна на знака. Тип:
Случаят е познат, местим двата надясно и получаваме:
Всъщност вие отнетиот двете страни на уравнението е две. Резултатът е същият:
х+2 - 2 = 3 - 2
Преместването на термини наляво и надясно с промяна на знака е просто съкратена версия на първата трансформация на идентичността. И защо се нуждаем от толкова дълбоки познания? – питате вие. Нищо в уравненията. За бога, търпи го. Само не забравяйте да смените знака. Но при неравенствата навикът за пренасяне може да доведе до задънена улица...
Втора трансформация на идентичността: и двете страни на уравнението могат да бъдат умножени (разделени) по едно и също нещо ненулевчисло или израз. Тук вече се появява разбираемо ограничение: умножаването по нула е глупаво, а делението е напълно невъзможно. Това е трансформацията, която използвате, когато решавате нещо готино като
Ясно е X= 2. Как го намерихте? По избор? Или просто ти светна? За да не избирате и да не чакате прозрение, трябва да разберете, че сте справедливи раздели двете страни на уравнениетос 5. При разделяне на лявата страна (5x), петицата беше намалена, оставяйки чисто X. Което е точно това, от което се нуждаехме. И когато разделим дясната страна на (10) на пет, резултатът, разбира се, е две.
Това е.
Смешно е, но тези две (само две!) еднакви трансформации са в основата на решението всички уравнения на математиката.Уау! Има смисъл да разгледаме примери за това какво и как, нали?)
Примери за тъждествени преобразувания на уравнения. Основни проблеми.
Да започнем с първитрансформация на идентичността. Трансфер наляво-надясно.
Пример за по-младите.)
Да кажем, че трябва да решим следното уравнение:
3-2x=5-3x
Да си спомним заклинанието: "с Х - наляво, без Х - надясно!"Това заклинание е инструкции за използване на първата трансформация на идентичността.) Какъв е изразът с X вдясно? 3x? Отговорът е неверен! От дясната ни страна - 3x! Минустри х! Следователно, когато се движите наляво, знакът ще се промени на плюс. Ще се окаже:
3-2x+3x=5
И така, X-овете бяха събрани на купчина. Да влезем в числата. Вляво има тройка. С какъв знак? Отговорът „с нито един“ не се приема!) Пред трите наистина нищо не е нарисувано. А това означава, че преди трите има плюс.Така че математиците се съгласиха. Нищо не е написано, което означава плюс.Следователно тройката ще бъде прехвърлена от дясната страна с минус.Получаваме:
-2x+3x=5-3
Остават само дреболии. Отляво - донесете подобни, отдясно - пребройте. Отговорът идва веднага:
В този пример беше достатъчна една трансформация на идентичността. Второто не беше необходимо. Е, добре.)
Пример за по-големи деца.)
Ако харесвате този сайт...
Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)
Можете да практикувате решаване на примери и да разберете вашето ниво. Тестване с незабавна проверка. Да учим - с интерес!)
Можете да се запознаете с функции и производни.