Таблица на първоизводните ("интеграли"). Таблица на интегралите. Таблични неопределени интеграли. (Най-прости интеграли и интеграли с параметър). Формули за интегриране по части. Формула на Нютон-Лайбниц.

Таблица на първоизводните ("интеграли"). Таблични неопределени интеграли. (Най-прости интеграли и интеграли с параметър).
Интеграл на степенна функция.	Интеграл на степенна функция.
Интеграл, който се редуцира до интеграла на степенна функция, ако x е под знака на диференциала.
	Интеграл от експонента, където a е постоянно число.
Интеграл на комплексна експоненциална функция.	Интеграл на експоненциална функция.
Интеграл, равен на натурален логаритъм.	Интеграл: "Дълъг логаритъм".
	Интеграл: "Дълъг логаритъм".
Интеграл: "Голям логаритъм".	Интеграл, където x в числителя е поставен под диференциалния знак (константата под знака може да бъде добавена или извадена), в крайна сметка е подобен на интеграл, равен на натурален логаритъм.
Интеграл: "Голям логаритъм".
Косинус интеграл.	Синус интеграл.
Интеграл, равен на тангенса.	Интеграл, равен на котангенс.
Интеграл, равен както на аркусинус, така и на аркосинус
Интеграл, равен както на аркусинус, така и на аркосинус.	Интеграл, равен както на арктангенс, така и на арккотангенс.
Интеграл, равен на косеканс.	Интеграл, равен на секанс.
Интеграл, равен на арсеканс.	Интеграл, равен на аркосеканс.
Интеграл, равен на арсеканс.	Интеграл, равен на арсеканс.
Интеграл, равен на хиперболичния синус.	Интеграл, равен на хиперболичен косинус.
Интеграл, равен на хиперболичния синус, където sinhx е хиперболичният синус в английската версия.	Интеграл, равен на хиперболичния косинус, където sinhx е хиперболичният синус в английската версия.
Интеграл, равен на хиперболичния тангенс.	Интеграл, равен на хиперболичния котангенс.
Интеграл, равен на хиперболичния секанс.	Интеграл, равен на хиперболичния косеканс.

Формули за интегриране по части. Правила за интегриране.

Формули за интегриране по части. Формула на Нютон-Лайбниц Правила на интегриране.
Интегриране на продукт (функция) чрез константа:
Интегриране на сумата от функции:
неопределени интеграли:
Формула за интегриране по части определени интеграли:
Формула на Нютон-Лайбниц определени интеграли:	Където F(a),F(b) са стойностите на антипроизводните съответно в точки b и a.

Таблица на производните. Таблични производни. Производно на продукта. Производна на частното. Производна на сложна функция.

Ако x е независима променлива, тогава:

Таблица на производните. Таблични производни."table derivative" - ​​​​да, за съжаление, точно така се търсят в интернет
	Производна на степенна функция
	Производна на показателя
Производна на комплексна експоненциална функция	Производна на експоненциална функция
Производна на логаритмична функция	Производна на натурален логаритъм
	Производна на натурален логаритъм на функция
Производна на синус	Производна на косинус
Производна на косеканс	Производна на секанс
Производна на арксинус	Производна на аркосинус
Производна на арксинус	Производна на аркосинус
Тангенсна производна	Производна на котангенс
Производна на арктангенса	Производна на аркотангенс
Производна на арктангенса	Производна на аркотангенс
Производна на арсеканс	Производна на аркосеканс
Производна на арсеканс	Производна на аркосеканс
Производна на хиперболичния синус Производна на хиперболичния синус в английската версия	Производна на хиперболичен косинус Производна на хиперболичен косинус в английската версия
Производна на хиперболичен тангенс	Производна на хиперболичен котангенс
Производна на хиперболичния секанс	Производна на хиперболичния косеканс

Правила за диференциране. Производно на продукта. Производна на частното. Производна на сложна функция.
Производна на продукт (функция) по константа:
Производна на сумата (функции):
Производна на продукт (функции):
Производна на частното (на функции):
Производна на сложна функция:

Свойства на логаритмите. Основни формули за логаритми. Десетични (lg) и естествени логаритми (ln).

Основно логаритмично тъждество
Нека покажем как всяка функция от формата a b може да бъде направена експоненциална. Тъй като функция от вида e x се нарича експоненциална, тогава
Всяка функция от формата a b може да бъде представена като степен на десет

Натурален логаритъм ln (логаритъм при основа e = 2,718281828459045...) ln(e)=1; log(1)=0

Серия Тейлър. Разширение на функция в ред на Тейлър.

Оказва се, че мнозинството практически се срещатматематическите функции могат да бъдат представени с всякаква точност в близост до определена точка под формата на степенни редове, съдържащи степени на променлива в нарастващ ред. Например в близост до точката x=1:

При използване на серия т.нар Редовете на Тейлър,смесените функции, съдържащи, да речем, алгебрични, тригонометрични и експоненциални функции, могат да бъдат изразени като чисто алгебрични функции. Използвайки серии, често можете бързо да извършите диференциране и интегриране.

Редът на Тейлър в околността на точка а има формата:

1) , където f(x) е функция, която има производни от всички порядъци при x = a. R n - остатъчният член в реда на Тейлър се определя от израза

2)

K-тият коефициент (при x k) на серията се определя по формулата

3) Специален случай на серията Taylor е серията Maclaurin (=McLaren). (разширяването става около точката a=0)

при a=0

членовете на серията се определят по формулата

Условия за използване на серия Тейлър.

1. За да може функцията f(x) да бъде разширена в серия на Тейлър в интервала (-R;R), е необходимо и достатъчно остатъчният член във формулата на Тейлър (Маклаурин (=Макларън)) за това функция клони към нула при k →∞ на посочения интервал (-R;R).

2. Необходимо е да има производни на дадена функция в точката, в близост до която ще построим реда на Тейлър.

Свойства на редовете на Тейлър.

Ако f е аналитична функция, тогава нейният ред на Тейлър във всяка точка a в областта на дефиниране на f се събира към f в някаква околност на a.

Има безкрайно диференцируеми функции, чийто ред на Тейлър се събира, но в същото време се различава от функцията във всяка околност на a. Например:

Сериите на Тейлър се използват за апроксимация (апроксимацията е научен метод, който се състои в замяна на някои обекти с други, в един или друг смисъл близки до оригиналните, но по-прости) на функция чрез полиноми. По-специално, линеаризацията ((от linearis - линеен), един от методите за приблизително представяне на затворени нелинейни системи, при който изследването на нелинейна система се заменя с анализ на линейна система, в известен смисъл еквивалентна на оригиналната .) уравненията се получават чрез разширяване в серия на Тейлър и прекъсване на всички членове над първи ред.

Така почти всяка функция може да бъде представена като полином с дадена точност.

Примери за някои често срещани разширения на степенни функции в редове на Маклорен (= Макларън, Тейлър в близост до точка 0) и Тейлър в близост до точка 1. Първите членове на разширения на основните функции в редове на Тейлър и Макларън.

Примери за някои общи разширения на степенни функции в редица на Маклорен (= Макларън, Тейлър в близост до точка 0)

Примери за някои често срещани разширения в ред на Тейлър в близост до точка 1

Комплексни интеграли

Тази статия завършва темата за неопределените интеграли и включва интеграли, които намирам за доста сложни. Урокът е създаден по многократни искания на посетители, които изявиха желание в сайта да бъдат анализирани по-трудни примери.

Предполага се, че читателят на този текст е добре подготвен и знае как да прилага основни техники за интегриране. Манекените и хората, които не са много уверени в интегралите, трябва да се обърнат към първия урок - Неопределен интеграл. Примери за решения, където можете да овладеете темата почти от нулата. По-опитните студенти могат да се запознаят с техники и методи на интеграция, които все още не са срещани в моите статии.

Какви интеграли ще бъдат разгледани?

Първо ще разгледаме интеграли с корени, за чието решение последователно използваме променлива замянаИ интеграция по части. Тоест, в един пример две техники се комбинират наведнъж. И още повече.

Тогава ще се запознаем с интересни и оригинални метод за редуциране на интеграла до себе си. Доста интеграли се решават по този начин.

Третият брой на програмата ще бъде интеграли на сложни дроби, които прелетяха покрай касата в предишни статии.

Четвърто, ще бъдат анализирани допълнителни интеграли от тригонометрични функции. По-специално, има методи, които избягват отнемащото време универсално тригонометрично заместване.

(2) Във функцията интегранд ние разделяме числителя на знаменателя член по член.

(3) Използваме свойството за линейност на неопределения интеграл. В последния интеграл веднага поставете функцията под диференциалния знак.

(4) Вземаме останалите интеграли. Имайте предвид, че в логаритъм можете да използвате скоби, а не модул, тъй като .

(5) Извършваме обратна замяна, изразявайки „te“ от директната замяна:

Учениците-мазохисти могат да диференцират отговора и да получат оригиналния интегранд, както направих току-що. Не, не, направих проверката в правилния смисъл =)

Както можете да видите, по време на решението трябваше да използваме дори повече от два метода за решаване, така че за да се справите с такива интеграли се нуждаете от уверени умения за интегриране и доста опит.

На практика, разбира се, квадратният корен е по-често срещан; ето три примера за самостоятелно решаване на проблема:

Пример 2

Намерете неопределения интеграл

Пример 3

Намерете неопределения интеграл

Пример 4

Намерете неопределения интеграл

Тези примери са от един и същи тип, така че пълното решение в края на статията ще бъде само за Пример 2; Примери 3-4 имат същите отговори. Коя замяна да използвам в началото на решенията, мисля, че е очевидно. Защо избрах примери от същия тип? Често се срещат в ролята си. По-често може би просто нещо подобно .

Но не винаги, когато под арктангенс, синус, косинус, експоненциал и други функции има корен на линейна функция, трябва да използвате няколко метода наведнъж. В редица случаи е възможно да се „слезе лесно“, т.е. веднага след замяната се получава прост интеграл, който лесно може да се вземе. Най-лесната от предложените по-горе задачи е пример 4, в който след замяна се получава относително прост интеграл.

Чрез редуциране на интеграла до себе си

Остроумен и красив метод. Нека да разгледаме класиката на жанра:

Пример 5

Намерете неопределения интеграл

Под корена има квадратен бином и опитът да се интегрира този пример може да причини главоболие на чайника с часове. Такъв интеграл се взема на части и се свежда до себе си. По принцип не е трудно. Ако знаете как.

Нека обозначим разглеждания интеграл с латинска буква и да започнем решението:

Нека интегрираме по части:

(1) Подгответе функцията интегранд за член по член.

(2) Разделяме функцията интегранд член по член. Може да не е ясно за всички, но ще го опиша по-подробно:

(3) Използваме свойството за линейност на неопределения интеграл.

(4) Вземете последния интеграл („дълъг“ логаритъм).

Сега нека да разгледаме самото начало на решението:

И накрая:

Какво стана? В резултат на нашите манипулации интегралът се сведе до себе си!

Нека приравним началото и края:

Преместване наляво с промяна на знака:

И преместваме двете от дясната страна. Като резултат:

Константата, строго погледнато, трябваше да бъде добавена по-рано, но я добавих накрая. Силно препоръчвам да прочетете каква е строгостта тук:

Забележка: По-стриктно, крайният етап на решението изглежда така:

По този начин:

Константата може да бъде преназначена от . Защо може да се преименува? Защото той все още го приема всякаквистойности и в този смисъл няма разлика между константи и.
Като резултат:

Подобен трик с постоянно повторение се използва широко в диференциални уравнения. И там ще бъда строг. И тук допускам такава свобода само за да не ви обърквам с излишни неща и да насоча вниманието именно към самия метод на интегриране.

Пример 6

Намерете неопределения интеграл

Друг типичен интеграл за независимо решение. Пълно решение и отговор в края на урока. Ще има разлика с отговора в предишния пример!

Ако под квадратния корен има квадратен тричлен, тогава решението във всеки случай се свежда до два анализирани примера.

Например, разгледайте интеграла . Всичко, което трябва да направите, е първо изберете пълен квадрат:
.
След това се извършва линейна подмяна, която прави „без никакви последствия“:
, което води до интеграла . Нещо познато, нали?

Или този пример с квадратичен бином:
Изберете пълен квадрат:
И след линейно заместване получаваме интеграла, който също се решава с помощта на вече обсъдения алгоритъм.

Нека да разгледаме още два типични примера за това как да намалим интеграл до себе си:
– интеграл от експонентата, умножена по синус;
– интеграл от експоненциала, умножен по косинуса.

В изброените интеграли по части ще трябва да интегрирате два пъти:

Пример 7

Намерете неопределения интеграл

Интегрантът е експоненциалът, умножен по синуса.

Интегрираме по части два пъти и свеждаме интеграла до себе си:

В резултат на двойното интегриране по части интегралът се свежда до себе си. Приравняваме началото и края на решението:

Преместваме го вляво с промяна на знака и изразяваме нашия интеграл:

Готов. В същото време е препоръчително да гребете дясната страна, т.е. извадете експонентата извън скобите и поставете синуса и косинуса в скоби в „красив“ ред.

Сега да се върнем към началото на примера, или по-точно към интегрирането по части:

Означихме степента като. Възниква въпросът: степента винаги ли трябва да се означава с ? Не е задължително. Всъщност в разглеждания интеграл фундаментално няма значение, какво имаме предвид под , можехме да тръгнем по друг начин:

Защо това е възможно? Тъй като експоненциалът се превръща в себе си (както по време на диференциране, така и по време на интегриране), синус и косинус взаимно се превръщат един в друг (отново, както по време на диференциране, така и по време на интегриране).

Тоест можем да обозначим и тригонометрична функция. Но в разглеждания пример това е по-малко рационално, тъй като ще се появят дроби. Ако желаете, можете да опитате да решите този пример, като използвате втория метод, отговорите трябва да съвпадат.

Пример 8

Намерете неопределения интеграл

Това е пример, който можете да решите сами. Преди да решите, помислете какво е по-изгодно в този случай да обозначите като , експоненциална или тригонометрична функция? Пълно решение и отговор в края на урока.

И, разбира се, не забравяйте, че повечето от отговорите в този урок са доста лесни за проверка чрез диференциране!

Разгледаните примери не бяха най-сложните. На практика интегралите са по-често срещани, когато константата е както в степента, така и в аргумента на тригонометричната функция, например: . Много хора ще се объркат в такъв интеграл и аз самият често се обърквам. Факт е, че има голяма вероятност фракциите да се появят в решението и е много лесно да загубите нещо поради невнимание. Освен това има голяма вероятност за грешка в знаците; имайте предвид, че експонентата има знак минус и това създава допълнителна трудност.

На последния етап резултатът често е нещо подобно:

Дори в края на решението трябва да сте изключително внимателни и да разберете правилно дробите:

Интегриране на сложни дроби

Бавно се приближаваме до екватора на урока и започваме да разглеждаме интеграли от дроби. Отново, не всички от тях са супер сложни, просто по една или друга причина примерите бяха малко „извън темата“ в други статии.

Продължаване на темата за корените

Пример 9

Намерете неопределения интеграл

В знаменателя под корена има квадратен тричлен плюс „придатък“ под формата на „X“ извън корена. Интеграл от този тип може да бъде решен чрез стандартно заместване.

Ние решаваме:

Замяната тук е проста:

Нека да разгледаме живота след смяната:

(1) След заместване свеждаме членовете под корена към общ знаменател.
(2) Изваждаме го изпод корена.
(3) Числителят и знаменателят се намаляват с . В същото време под корена пренаредих термините в удобен ред. С известен опит, стъпки (1), (2) могат да бъдат пропуснати чрез извършване на коментираните действия устно.
(4) Полученият интеграл, както си спомняте от урока Интегриране на някои дроби, се решава метод за пълно квадратно извличане. Изберете цял квадрат.
(5) Чрез интегриране получаваме обикновен „дълъг“ логаритъм.
(6) Извършваме обратната замяна. Ако първоначално , след това обратно: .
(7) Крайното действие е насочено към изправяне на резултата: под корена отново привеждаме термините към общ знаменател и ги изваждаме от под корена.

Пример 10

Намерете неопределения интеграл

Това е пример, който можете да решите сами. Тук към самотния „X“ се добавя константа и замяната е почти същата:

Единственото нещо, което трябва да направите допълнително, е да изразите "x" от извършваната замяна:

Пълно решение и отговор в края на урока.

Понякога в такъв интеграл може да има квадратен бином под корена, това не променя метода на решение, ще бъде дори по-просто. Почувствай разликата:

Пример 11

Намерете неопределения интеграл

Пример 12

Намерете неопределения интеграл

Кратки решения и отговори в края на урока. Трябва да се отбележи, че пример 11 е точно биномен интеграл, чийто метод за решаване беше обсъден в клас Интеграли на ирационални функции.

Интеграл на неразложим полином от 2-ра степен на степен

(полином в знаменател)

По-рядък тип интеграл, но въпреки това се среща в практически примери.

Пример 13

Намерете неопределения интеграл

Но да се върнем на примера с щастливо число 13 (честно казано, не познах правилно). Този интеграл също е един от онези, които могат да бъдат доста разочароващи, ако не знаете как да решите.

Решението започва с изкуствена трансформация:

Мисля, че всички вече разбират как да разделят числителя на знаменателя термин по термин.

Полученият интеграл се взема на части:

За интеграл от вида ( – естествено число) извеждаме рецидивиращформула за намаляване:
, Където – интеграл на степен по-нисък.

Нека проверим валидността на тази формула за решения интеграл.
В този случай: , , използваме формулата:

Както можете да видите, отговорите са едни и същи.

Пример 14

Намерете неопределения интеграл

Това е пример, който можете да решите сами. Примерният разтвор използва горната формула два пъти последователно.

Ако под степента е неделимаквадратен трином, тогава решението се редуцира до бином чрез изолиране на идеалния квадрат, например:

Ами ако има допълнителен полином в числителя? В този случай се използва методът на неопределените коефициенти, а функцията интегранд се разширява в сбор от дроби. Но в моята практика има такъв пример никога не съм се срещал, така че пропуснах този случай в статията Интеграли на дробно-рационални функции, сега ще го пропусна. Ако все още срещнете такъв интеграл, погледнете учебника - там всичко е просто. Не мисля, че е препоръчително да включвате материали (дори прости), вероятността да се срещнете с които клони към нула.

Интегриране на сложни тригонометрични функции

Прилагателното „сложно“ за повечето примери отново е до голяма степен условно. Нека започнем с тангенси и котангенси във високи степени. От гледна точка на използваните методи за решаване, тангенсът и котангенсът са почти едно и също нещо, така че ще говоря повече за тангенса, което означава, че демонстрираният метод за решаване на интеграла е валиден и за котангенса.

В горния урок, който разгледахме универсално тригонометрично заместванеза решаване на определен вид интеграли от тригонометрични функции. Недостатъкът на универсалното тригонометрично заместване е, че използването му често води до тромави интеграли с трудни изчисления. И в някои случаи универсалното тригонометрично заместване може да бъде избегнато!

Нека разгледаме друг каноничен пример, интеграла на едно, разделено на синус:

Пример 17

Намерете неопределения интеграл

Тук можете да използвате универсално тригонометрично заместване и да получите отговора, но има по-рационален начин. Ще предоставя пълното решение с коментари за всяка стъпка:

(1) Използваме тригонометричната формула за синуса на двоен ъгъл.
(2) Извършваме изкуствена трансформация: Разделяме в знаменателя и умножаваме по .
(3) Използвайки добре познатата формула в знаменателя, превръщаме дробта в тангенс.
(4) Подвеждаме функцията под диференциален знак.
(5) Вземете интеграла.

Няколко прости примера, които можете да решите сами:

Пример 18

Намерете неопределения интеграл

Забележка: Първата стъпка трябва да бъде използването на формулата за намаляване и внимателно извършете действия, подобни на предишния пример.

Пример 19

Намерете неопределения интеграл

Е, това е много прост пример.

Пълни решения и отговори в края на урока.

Мисля, че сега никой няма да има проблеми с интегралите:
и така нататък.

Каква е идеята на метода? Идеята е да се използват трансформации и тригонометрични формули, за да се организират само тангентите и производната на тангенса в интегранта. Тоест, говорим за замяна на: . В Примери 17-19 ние всъщност използвахме тази замяна, но интегралите бяха толкова прости, че се разминахме с еквивалентно действие - поставяне на функцията под диференциалния знак.

Подобни разсъждения, както вече споменах, могат да бъдат проведени за котангенса.

Съществува и формална предпоставка за прилагане на горната замяна:

Сборът от степените на косинус и синус е цяло отрицателно ЧЕТНО число, Например:

за интеграла – цяло отрицателно ЧЕТНО число.

! Забележка : ако подинтегралната функция съдържа САМО синус или САМО косинус, тогава интегралът също се приема за отрицателна нечетна степен (най-простите случаи са в примери № 17, 18).

Нека да разгледаме няколко по-смислени задачи, базирани на това правило:

Пример 20

Намерете неопределения интеграл

Сумата от степените на синус и косинус: 2 – 6 = –4 е отрицателно цяло число ЧЕТНО число, което означава, че интегралът може да се сведе до тангенси и неговата производна:

(1) Нека трансформираме знаменателя.
(2) Използвайки добре познатата формула, получаваме .
(3) Нека трансформираме знаменателя.
(4) Използваме формулата .
(5) Подвеждаме функцията под диференциален знак.
(6) Ние извършваме подмяна. По-опитните ученици може да не извършат замяната, но все пак е по-добре да замените допирателната с една буква - има по-малък риск да се объркате.

Пример 21

Намерете неопределения интеграл

Това е пример, който можете да решите сами.

Дръжте се, кръговете на шампионата скоро ще започнат =)

Често интегралната функция съдържа „смесица“:

Пример 22

Намерете неопределения интеграл

Този интеграл първоначално съдържа допирателна, което веднага води до вече позната мисъл:

Ще оставя изкуствената трансформация в самото начало и останалите стъпки без коментар, тъй като всичко вече беше обсъдено по-горе.

Няколко творчески примера за вашето собствено решение:

Пример 23

Намерете неопределения интеграл

Пример 24

Намерете неопределения интеграл

Да, в тях, разбира се, можете да намалите правомощията на синус и косинус и да използвате универсално тригонометрично заместване, но решението ще бъде много по-ефективно и по-кратко, ако се извърши чрез допирателни. Пълно решение и отговори в края на урока

Интеграция по части. Примери за решения

Здравей отново. Днес в урока ще научим как да интегрираме по части. Методът на интегриране по части е един от крайъгълните камъни на интегралното смятане. По време на тестове или изпити студентите почти винаги са помолени да решават следните видове интеграли: най-простият интеграл (виж статията)или интеграл чрез замяна на променлива (виж статията)или интегралът просто е включен метод на интегриране по части.

Както винаги, трябва да имате под ръка: Таблица на интегралитеИ Таблица с производни. Ако все още ги нямате, моля, посетете хранилището на моя уебсайт: Математически формули и таблици . Няма да се уморя да повтарям - по-добре е да разпечатате всичко. Ще се опитам да представя целия материал последователно, просто и ясно, няма особени затруднения при интегрирането на частите.

Какъв проблем решава методът на интегриране по части? Методът на интегриране по части решава много важен проблем; той ви позволява да интегрирате някои функции, които не са в таблицата, работафункции, а в някои случаи – дори частни. Както си спомняме, няма удобна формула: . Но има и този: – формула за интегриране по части лично. Знам, знам, ти си единственият - ще работим с нея през целия урок (сега е по-лесно).

И веднага списъкът в студиото. Интегралите от следните видове се вземат по части:

1) , , – логаритъм, логаритъм, умножен по някакъв полином.

2) ,е експоненциална функция, умножена по някакъв полином. Това включва и интеграли като - експоненциална функция, умножена по полином, но на практика това е 97 процента, под интеграла има хубава буква „e“. ... статията се оказва някак лирична, о, да ... пролетта дойде.

3) , , са тригонометрични функции, умножени по някакъв полином.

4) , – обратни тригонометрични функции („арки“), „арки“, умножени по някакъв полином.

Някои фракции също са взети на части; ние също ще разгледаме съответните примери подробно.

Интеграли от логаритми

Пример 1

Класически. От време на време този интеграл може да се намери в таблици, но не е препоръчително да използвате готов отговор, тъй като учителят има пролетен витаминен дефицит и ще ругае силно. Защото разглежданият интеграл в никакъв случай не е табличен - той се взема на части. Ние решаваме:

Прекъсваме решението за междинни обяснения.

Използваме формулата за интегриране по части:

Формулата се прилага отляво надясно

Гледаме лявата страна: . Очевидно в нашия пример (и във всички останали, които ще разгледаме) нещо трябва да бъде обозначено като , а нещо като .

В интегралите от разглеждания тип винаги се обозначава логаритъм.

Технически дизайнът на решението е реализиран, както следва, пишем в колоната:

Тоест, обозначихме логаритъма като и останалата частинтегранд израз.

Следващ етап: намерете диференциала:

Диференциалът е почти същият като производната; вече обсъдихме как да го намерим в предишните уроци.

Сега намираме функцията. За да намерите функцията, която трябва да интегрирате правилната странапо-ниско равенство:

Сега отваряме нашето решение и конструираме дясната страна на формулата: .
Между другото, ето извадка от крайното решение с някои бележки:

Единственият момент в работата е, че веднага размених и , тъй като е обичайно да се пише факторът преди логаритъма.

Както можете да видите, прилагането на формулата за интегриране по части по същество намали нашето решение до два прости интеграла.

Моля, имайте предвид, че в някои случаи веднага следприлагане на формулата, задължително се извършва опростяване под оставащия интеграл - в разглеждания пример ние намалихме интегранта до „x“.

Да проверим. За да направите това, трябва да вземете производната на отговора:

Получена е оригиналната интегрална функция, което означава, че интегралът е решен правилно.

По време на теста използвахме правилото за диференциране на продукта: . И това не е случайно.

Формула за интегриране по части и формула – това са две взаимно обратни правила.

Пример 2

Намерете неопределения интеграл.

Интегралната функция е произведение на логаритъм и полином.
Нека решим.

Още веднъж ще опиша подробно процедурата за прилагане на правилото; в бъдеще примерите ще бъдат представени по-накратко и ако имате затруднения да го решите сами, трябва да се върнете към първите два примера от урока .

Както вече споменахме, необходимо е да се обозначи логаритъм (фактът, че е мощност, няма значение). Означаваме с останалата частинтегранд израз.

Пишем в колоната:

Първо намираме диференциала:

Тук използваме правилото за диференциране на сложна функция . Неслучайно още на първия урок от темата Неопределен интеграл. Примери за решения Фокусирах се върху факта, че за да овладеете интегралите, е необходимо да се „хванете“ за производни. Ще трябва да се справите с деривати повече от веднъж.

Сега намираме функцията, за това интегрираме правилната странапо-ниско равенство:

За интегриране използвахме най-простата таблична формула

Сега всичко е готово за прилагане на формулата . Отворете със звездичка и „конструирайте“ решението в съответствие с дясната страна:

Под интеграла отново имаме полином за логаритъм! Следователно решението отново се прекъсва и правилото за интегриране по части се прилага втори път. Не забравяйте, че в подобни ситуации логаритъма винаги се обозначава.

Би било добре, ако досега знаете как да намирате устно най-простите интеграли и производни.

(1) Не се бъркайте за знаците! Много често минусът се губи тук, имайте предвид също, че минусът се отнася за за всичкискоба и тези скоби трябва да бъдат разгънати правилно.

(2) Отворете скобите. Опростяваме последния интеграл.

(3) Взимаме последния интеграл.

(4) „Сресване“ на отговора.

Необходимостта да се приложи правилото за интегриране по части два пъти (или дори три пъти) не възниква много рядко.

А сега няколко примера за вашето собствено решение:

Пример 3

Намерете неопределения интеграл.

Този пример се решава чрез промяна на променливата (или заместването й под диференциалния знак)! Защо не - можете да опитате да го вземете на части, ще се окаже смешна работа.

Пример 4

Намерете неопределения интеграл.

Но този интеграл е интегриран с части (обещаната дроб).

Това са примери, които можете да решите сами, решения и отговори в края на урока.

Изглежда, че в примери 3 и 4 интеграндите са подобни, но методите за решаване са различни! Това е основната трудност при овладяването на интеграли - ако изберете грешен метод за решаване на интеграл, тогава можете да се занимавате с него с часове, като с истински пъзел. Следователно, колкото повече решавате различни интеграли, толкова по-добре, толкова по-лесно ще бъде тестът и изпитът. Освен това през втората година ще има диференциални уравнения, а без опит в решаването на интеграли и производни няма какво да се прави там.

По отношение на логаритмите това вероятно е повече от достатъчно. Като настрана, мога също да си спомня, че студентите по инженерство използват логаритми, за да наричат ​​женски гърди =). Между другото, полезно е да знаете наизуст графиките на основните елементарни функции: синус, косинус, арктангенс, експонента, полиноми от трета, четвърта степен и др. Не, разбира се, презерватив на земното кълбо
Няма да го разтягам, но сега ще запомните много от раздела Графики и функции =).

Интеграли на експонента, умножена по полином

Общо правило:

Пример 5

Намерете неопределения интеграл.

Използвайки познат алгоритъм, ние интегрираме по части:

Ако имате затруднения с интеграла, тогава трябва да се върнете към статията Метод на промяна на променлива в неопределен интеграл .

Единственото друго нещо, което можете да направите, е да промените отговора:

Но ако техниката ви на изчисление не е много добра, тогава най-изгодният вариант е да го оставите като отговор или дори

Тоест примерът се счита за решен, когато се вземе последният интеграл. Няма да е грешка; друг е въпросът, че учителят може да ви помоли да опростите отговора.

Пример 6

Намерете неопределения интеграл.

Това е пример, който можете да решите сами. Този интеграл се интегрира два пъти по части. Особено внимание трябва да се обърне на знаците - лесно е да се объркате в тях, ние също помним, че това е сложна функция.

За изложителя няма какво повече да се каже. Мога само да добавя, че експоненциалът и натуралният логаритъм са взаимно обратни функции, това съм аз в темата за занимателни графики на висшата математика =) Спри, спри, не се притеснявай, лекторът е трезвен.

Интеграли на тригонометрични функции, умножени по полином

Общо правило: за винаги обозначава полином

Пример 7

Намерете неопределения интеграл.

Нека интегрираме по части:

Хм...и няма какво да коментираме.

Пример 8

Намерете неопределения интеграл

Това е пример, за да решите сами

Пример 9

Намерете неопределения интеграл

Още един пример с дроб. Както в предишните два примера, for обозначава полином.

Нека интегрираме по части:

Ако имате затруднения или недоразумения при намирането на интеграла, препоръчвам ви да посетите урока Интеграли на тригонометрични функции .

Пример 10

Намерете неопределения интеграл

Това е пример, който можете да решите сами.

Съвет: Преди да използвате метода на интегриране по части, трябва да приложите някаква тригонометрична формула, която превръща произведението на две тригонометрични функции в една функция. Формулата може да се използва и при прилагане на метода на интегриране по части, както ви е по-удобно.

Това вероятно е всичко в този параграф. По някаква причина си спомних реплика от химна за физика и математика „И синусовата графика тече вълна след вълна по абсцисната ос“….

Интеграли на обратни тригонометрични функции.
Интеграли на обратни тригонометрични функции, умножени по полином

Общо правило: винаги обозначава обратната тригонометрична функция.

Нека ви напомня, че обратните тригонометрични функции включват арксинус, аркосинус, арктангенс и арккотангенс. За краткост на записа ще ги нарека "арки"