قاعدة فتح الأقواس حسب إشارة التوزيع. كيفية فك الأقواس في التعبيرات والمعادلات

"فتح الأقواس" - كتاب الرياضيات للصف السادس (فيلينكين)

وصف موجز:

ستتعلم في هذا القسم كيفية فك الأقواس في الأمثلة. لماذا هذا؟ كل ذلك لنفس الشيء كما كان من قبل - لتسهيل الأمر عليك وأسهل في العد والسماح أخطاء أقل، ومن المثالي (حلم مدرس الرياضيات الخاص بك) أن تحل كل شيء دون أخطاء.
أنت تعلم بالفعل أنه يتم وضع الأقواس في التدوين الرياضي إذا كان هناك قوسين متتاليين علامة رياضية، إذا أردنا إظهار مجموعة الأرقام وإعادة تجميعها. توسيع الأقواس يعني التخلص من الأحرف غير الضرورية. على سبيل المثال: (-15)+3=-15+3=-12، 18+(-16)=18-16=2. هل تتذكر خاصية توزيع الضرب بالنسبة إلى الجمع؟ في الواقع، في هذا المثال، تخلصنا أيضًا من الأقواس لتبسيط العمليات الحسابية. يمكن أيضًا تطبيق خاصية الضرب المسماة على أربعة أو ثلاثة أو خمسة حدود أو أكثر. على سبيل المثال: 15*(3+8+9+6)=15*3+15*8+15*9+15*6=390. هل لاحظت أنه عند فتح القوسين فإن الأرقام الموجودة فيهما لا تتغير الإشارة إذا كان الرقم الموجود أمام القوسين موجبًا؟ ففي النهاية، خمسة عشر هو عدد موجب. وإذا قمت بحل هذا المثال: -15*(3+8+9+6)=-15*3+(-15)*8+(-15)*9+(-15)*6=-45+( - 120)+(-135)+(-90)=-45-120-135-90=-390. كان لدينا قبل الأقواس رقم سلبيناقص خمسة عشر، عندما فتحنا الأقواس، بدأت جميع الأرقام في تغيير علامتها إلى أخرى - العكس - من زائد إلى ناقص.
بناءً على الأمثلة السابقة، يمكن ذكر قاعدتين أساسيتين لفتح الأقواس:
1. إذا كان لديك رقم موجب أمام القوسين، فبعد فتح القوسين، لا تتغير جميع إشارات الأرقام الموجودة بين القوسين، بل تبقى كما كانت تمامًا.
2. إذا كان لديك رقم سالب أمام الأقواس، فبعد فتح الأقواس، لم تعد علامة الطرح مكتوبة، وتتغير علامات جميع الأعداد المطلقة الموجودة بين الأقواس فجأة إلى العكس.
على سبيل المثال: (13+8)+(9-8)=13+8+9-8=22؛ (13+8)-(9-8)=13+8-9+8=20. دعونا نعقد الأمثلة قليلاً: (13+8)+2(9-8)=13+8+2*9-2*8=21+18-16=23. لاحظتم أننا عند فتح القوس الثاني ضربنا بـ 2، لكن العلامات ظلت كما هي. إليك مثال: (3+8)-2*(9-8)=3+8-2*9+2*8=11-18+16=9، في هذا المثال الرقم اثنان سالب، وهو قبل تقف الأقواس مع علامة ناقص، لذلك عند فتحها، قمنا بتغيير علامات الأرقام إلى العكس (تسعة كانت مع علامة زائد، أصبحت ناقص، ثمانية كانت مع ناقص، أصبحت زائد).

سننتقل الآن إلى فتح الأقواس في التعبيرات التي يتم فيها ضرب التعبير الموجود بين قوسين برقم أو تعبير. دعونا نضع قاعدة لفتح الأقواس مسبوقة بعلامة الطرح: يتم حذف الأقواس مع علامة الطرح، ويتم استبدال علامات جميع الحدود الموجودة بين القوسين بأضدادها.

أحد أنواع تحويل التعبير هو فك الأقواس. رقمي، التعبيرات الحرفيةويمكن تكوين التعبيرات ذات المتغيرات باستخدام الأقواس، والتي يمكن أن تشير إلى الترتيب الذي يتم به تنفيذ الإجراءات، وتحتوي على رقم سالب، وما إلى ذلك. لنفترض أنه في التعبيرات الموضحة أعلاه، بدلا من الأرقام والمتغيرات، يمكن أن يكون هناك أي تعبيرات.

ودعونا ننتبه إلى نقطة أخرى تتعلق بخصائص كتابة الحل عند فتح الأقواس. لقد تناولنا في الفقرة السابقة ما يسمى بفتح الأقواس. وللقيام بذلك، هناك قواعد لفتح الأقواس، والتي سنراجعها الآن. تملي هذه القاعدة حقيقة أن الأعداد الموجبة تُكتب عادةً بدون أقواس؛ وفي هذه الحالة، تكون الأقواس غير ضرورية. يمكن كتابة التعبير (−3.7)−(−2)+4+(−9) بدون قوسين بالشكل −3.7+2+4−9.

وأخيرًا، الجزء الثالث من القاعدة يرجع ببساطة إلى خصوصيات كتابة الأعداد السالبة على اليسار في التعبير (والتي ذكرناها في القسم الخاص بالأقواس لكتابة الأعداد السالبة). قد تواجه تعبيرات مكونة من أرقام وعلامات ناقص وعدة أزواج من الأقواس. إذا قمت بفتح الأقواس، وانتقلت من الداخلي إلى الخارجي، فسيكون الحل كما يلي: −(−((−(5))))=−(−((−5)))=−(−(−5) )=−( 5)=−5.

كيفية فتح الأقواس؟

إليك تفسير: −(−2 x) هو +2 x، وبما أن هذا التعبير يأتي أولاً، يمكن كتابة +2 x بالشكل 2 x، −(x2)=−x2، +(−1/ x)=−1 /x و -(2 x y2:z)=−2 x y2:z. يتبع الجزء الأول من القاعدة المكتوبة لفتح الأقواس مباشرة من قاعدة ضرب الأعداد السالبة. الجزء الثاني منه هو نتيجة لقاعدة ضرب الأرقام بعلامات مختلفة. دعنا ننتقل إلى أمثلة فتح الأقواس في منتجات وحواصل رقمين بعلامات مختلفة.

الأقواس المفتوحة: القواعد والأمثلة والحلول.

تأخذ القاعدة المذكورة أعلاه في الاعتبار السلسلة الكاملة لهذه الإجراءات وتسريع عملية فتح الأقواس بشكل كبير. تسمح لك نفس القاعدة بفتح الأقواس في التعبيرات التي تكون عبارة عن منتجات وتعبيرات جزئية بعلامة الطرح التي لا تمثل مجاميع وفروقات.

دعونا نلقي نظرة على أمثلة لتطبيق هذه القاعدة. دعونا نعطي القاعدة المقابلة. لقد واجهنا أعلاه بالفعل تعبيرات من النموذج −(a) و −(−a)، والتي يتم كتابتها بدون قوسين كـ −a و a، على التوالي. على سبيل المثال، -(3)=3، و. وهذه حالات خاصة للقاعدة المذكورة. الآن دعونا نلقي نظرة على أمثلة للأقواس المفتوحة عندما تحتوي على مجموع أو فروق. دعونا نعرض أمثلة على استخدام هذه القاعدة. لنرمز إلى التعبير (b1+b2) بالرمز b، وبعد ذلك نستخدم قاعدة ضرب القوس في التعبير من الفقرة السابقة، لدينا (a1+a2)·(b1+b2)=(a1+a2) ·ب=(أ1·ب+أ2·ب)=أ1·ب+أ2·ب.

ومن خلال الاستقراء، يمكن توسيع هذا البيان ليشمل عددًا عشوائيًا من المصطلحات في كل قوس. يبقى فتح الأقواس في التعبير الناتج باستخدام القواعد من الفقرات السابقة، ونتيجة لذلك نحصل على 1·3·x·y−1·2·x·y3−x·3·x·y+x·2·x·y3.

القاعدة في الرياضيات هي فتح القوسين إذا كان هناك (+) و (-) قبل القوسين.

هذا التعبير هو حاصل ضرب ثلاثة عوامل (2+4)، 3، (5+7·8). سيكون عليك فتح الأقواس بالتتابع. الآن نستخدم قاعدة ضرب القوس في عدد، لدينا ((2+4) 3) (5+7 8)=(2 3+4 3) (5+7 8). الدرجات التي أساسها بعض العبارات المكتوبة بين قوسين، مع عينيايمكن اعتبارها نتاج عدة أقواس.

على سبيل المثال، دعونا نحول التعبير (a+b+c)2. أولًا، نكتبه كحاصل ضرب قوسين (a+b+c)·(a+b+c)، الآن نضرب قوسًا في قوس، نحصل على a·a+a·b+a·c+ ب·أ+ب· ب+ب·ج+ج·أ+ج·ب+ج·ج.

لنفترض أيضًا أنه يتم جمع مجموع واختلاف رقمين في درجة طبيعيةمن المستحسن استخدام صيغة نيوتن ذات الحدين. على سبيل المثال، (5+7−3):2=5:2+7:2−3:2. ليس أقل ملاءمة استبدال القسمة بالضرب أولاً، ثم استخدام القاعدة المقابلة لفتح الأقواس في المنتج.

يبقى أن نفهم ترتيب فتح الأقواس باستخدام الأمثلة. لنأخذ التعبير (−5)+3·(−2):(−4)−6·(−7). نعوض بهذه النتائج في التعبير الأصلي: (−5)+3·(−2):(−4)−6·(−7)=(−5)+(3·2:4)−(−6· 7) . كل ما تبقى هو الانتهاء من فتح الأقواس، ونتيجة لذلك لدينا −5+3·2:4+6·7. وهذا يعني أنه عند الانتقال من الجانب الأيسر من المساواة إلى اليمين، حدث فتح القوسين.

لاحظ أننا في الأمثلة الثلاثة قمنا ببساطة بإزالة الأقواس. أولاً، أضف 445 إلى 889. يمكن تنفيذ هذا الإجراء ذهنيًا، لكنه ليس سهلاً للغاية. دعونا نفتح الأقواس ونرى أن الإجراء الذي تم تغييره سوف يبسط الحسابات بشكل كبير.

كيفية توسيع الأقواس إلى درجة أخرى

توضيح المثال و القاعدة . لننظر إلى مثال: . يمكنك العثور على قيمة تعبير عن طريق جمع 2 و5، ثم أخذ الرقم الناتج بالإشارة المعاكسة. لا تتغير القاعدة إذا لم يكن هناك حدان، بل ثلاثة أو أكثر بين قوسين. تعليق. يتم عكس العلامات فقط أمام الشروط. لفتح الأقواس، في هذه الحالةعلينا أن نتذكر خاصية التوزيع.

للأرقام الفردية بين قوسين

خطأك ليس في العلامات بل في التعامل الخاطئ مع الكسور؟ في الصف السادس تعلمنا عن الأعداد الموجبة والسالبة. كيف سنحل الأمثلة والمعادلات؟

كم هو بين قوسين؟ ماذا يمكنك أن تقول عن هذه التعبيرات؟ بالطبع نتيجة المثالين الأول والثاني هي نفسها، مما يعني أنه يمكننا وضع إشارة المساواة بينهما: -7 + (3 + 4) = -7 + 3 + 4. ماذا فعلنا بين القوسين؟

عرض الشريحة 6 مع قواعد فتح الأقواس. ومن ثم، فإن قواعد فتح الأقواس ستساعدنا في حل الأمثلة وتبسيط العبارات. بعد ذلك، يُطلب من الطلاب العمل في أزواج: يحتاجون إلى استخدام الأسهم لربط التعبير الذي يحتوي على أقواس مع التعبير المقابل بدون أقواس.

الشريحة 11. بمجرد وصول زنايكا ودونو إلى مدينة صني سيتي، تجادلا حول أي منهما قام بحل المعادلة بشكل صحيح. بعد ذلك، يحل الطلاب المعادلة بمفردهم باستخدام قواعد فتح الأقواس. "حل المعادلات" أهداف الدرس: تعليمية (تعزيز المعرفة حول موضوع: "فتح الأقواس.

موضوع الدرس: "فتح الأقواس. في هذه الحالة، عليك ضرب كل حد من القوسين الأولين في كل حد من القوسين الثانيين ثم إضافة النتائج. أولا، يتم أخذ العاملين الأولين، ووضعهما في قوس آخر، وداخل هذه الأقواس يتم فتح الأقواس وفقا لإحدى القواعد المعروفة بالفعل.

Rawalan.freezeet.ru

الأقواس المفتوحة: القواعد والأمثلة (الصف السابع)

وتتمثل المهمة الرئيسية للأقواس في تغيير ترتيب الإجراءات عند حساب القيم التعبيرات العددية . على سبيل المثال، ف عدديا\(5·3+7\) سيتم حساب الضرب أولا ثم الجمع: \(5·3+7 =15+7=22\). لكن في التعبير \(5·(3+7)\) سيتم حساب الجمع بين القوسين أولاً، وبعدها فقط الضرب: \(5·(3+7)=5·10=50\).

ومع ذلك، إذا كنا نتعامل مع التعبير الجبري تحتوي على عامل- على سبيل المثال، هكذا: \(2(x-3)\) - إذن من المستحيل حساب القيمة الموجودة بين القوسين، المتغير في الطريق. لذلك، في هذه الحالة، يتم "فتح" الأقواس باستخدام القواعد المناسبة.

قواعد فتح الأقواس

إذا كانت هناك علامة زائد أمام القوس، فسيتم إزالة القوس ببساطة، ويظل التعبير فيه دون تغيير. بعبارة أخرى:

وهنا لا بد من توضيح أنه في الرياضيات، لتقصير الرموز، من المعتاد عدم كتابة علامة الجمع إذا ظهرت أولاً في التعبير. على سبيل المثال، إذا أضفنا اثنين أرقام إيجابية، على سبيل المثال، سبعة وثلاثة، فإننا لا نكتب \(+7+3\)، ولكن ببساطة \(7+3\)، على الرغم من أن سبعة هو أيضًا رقم موجب. وبالمثل، إذا رأيت، على سبيل المثال، التعبير \((5+x)\) - فاعلم ذلك قبل القوس هناك علامة زائد، وهي غير مكتوبة.

مثال . افتح القوس وأحضره مصطلحات مماثلة: \((x-11)+(2+3x)\).
حل : \((x-11)+(2+3x)=x-11+2+3x=4x-9\).

إذا كانت هناك علامة ناقص أمام القوس، فعند إزالة القوس، تتغير إشارة كل حد من التعبير الموجود بداخله إلى عكسه:

من الضروري هنا توضيح أنه أثناء وجود "a" بين القوسين، كانت هناك علامة زائد (لم يكتبوها للتو)، وبعد إزالة القوس، تغير هذا الزائد إلى ناقص.

مثال : بسّط التعبير \(2x-(-7+x)\).
حل : يوجد داخل القوس حدان: \(-7\) و\(x\)، وقبل القوس يوجد علامة ناقص. هذا يعني أن العلامات ستتغير - وستكون السبعة الآن علامة زائد، وX الآن ناقص. افتح القوس و نقدم مصطلحات مماثلة .

مثال. افتح القوس وأعط مصطلحات مشابهة \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
حل : \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).

إذا كان هناك عامل أمام القوس، فإن كل فرد من أفراد القوس يضرب به، أي:

مثال. قم بتوسيع الأقواس \(5(3-x)\).
حل : في القوس لدينا \(3\) و\(-x\)، وقبل القوس يوجد خمسة. وهذا يعني أن كل عضو في القوس مضروب بـ \(5\) - أذكرك بذلك لا تتم كتابة علامة الضرب بين الرقم والأقواس في الرياضيات لتقليل حجم الإدخالات.

مثال. قم بتوسيع الأقواس \(-2(-3x+5)\).
حل : كما في المثال السابق، يتم ضرب \(-3x\) و \(5\) بين القوسين في \(-2\).

يبقى أن ننظر في الوضع الأخير.

عند ضرب قوس في قوس، يُضرب كل حد من القوس الأول في كل حد من الحد الثاني:

مثال. قم بتوسيع الأقواس \((2-x)(3x-1)\).
حل : لدينا منتج بين قوسين ويمكن توسيعه على الفور باستخدام الصيغة أعلاه. ولكن لكي لا نشعر بالارتباك، دعونا نفعل كل شيء خطوة بخطوة.
الخطوة 1. قم بإزالة القوس الأول وضرب كل عضو في القوس الثاني:

الخطوة 2. قم بتوسيع منتجات الأقواس والعامل كما هو موضح أعلاه:
- أول الأشياء أولاً..

الخطوة 3. الآن نقوم بالضرب وتقديم مصطلحات مماثلة:

ليس من الضروري وصف جميع التحولات بمثل هذه التفاصيل؛ حيث يمكنك مضاعفتها على الفور. ولكن إذا كنت تتعلم فقط كيفية فتح الأقواس، والكتابة بالتفصيل، فستكون فرصة ارتكاب الأخطاء أقل.

ملاحظة للقسم بأكمله.في الواقع، لا تحتاج إلى تذكر القواعد الأربع جميعها، ما عليك سوى تذكر قاعدة واحدة، وهي: \(c(a-b)=ca-cb\) . لماذا؟ لأنه إذا قمت باستبدال واحد بدلاً من c، فستحصل على القاعدة \((a-b)=a-b\) . وإذا عوضنا بواحد، نحصل على القاعدة \(-(a-b)=-a+b\) . حسنًا، إذا قمت باستبدال قوس آخر بدلاً من c، فيمكنك الحصول على القاعدة الأخيرة.

بين قوسين داخل قوسين

في بعض الأحيان، من الناحية العملية، توجد مشاكل مع الأقواس المتداخلة داخل أقواس أخرى. فيما يلي مثال على هذه المهمة: قم بتبسيط التعبير \(7x+2(5-(3x+y))\).

لحل بنجاح مهام مماثلة، بحاجة إلى:
- فهم بعناية تداخل الأقواس - أي منها؛
- افتح الأقواس بالتتابع، بدءًا من الأعمق على سبيل المثال.

من المهم عند فتح أحد الأقواس لا تلمس بقية التعبير، مجرد إعادة كتابتها كما هي.
دعونا نلقي نظرة على المهمة المكتوبة أعلاه كمثال.

مثال. افتح الأقواس ثم اكتب مصطلحات مشابهة \(7x+2(5-(3x+y))\).
حل:

لنبدأ المهمة بفتح القوس الداخلي (الذي بالداخل). بتوسيعها، نحن نتعامل فقط مع ما يتعلق بها مباشرة - وهذا هو القوس نفسه والطرح الذي أمامه (مظلل باللون الأخضر). نعيد كتابة كل شيء آخر (لم يتم تسليط الضوء عليه) بنفس الطريقة التي كانت عليها.

حل مسائل الرياضيات عبر الإنترنت

آلة حاسبة على الانترنت.
تبسيط كثيرة الحدود.
ضرب كثيرات الحدود.

باستخدام هذا برنامج الرياضياتيمكنك تبسيط كثير الحدود.
أثناء تشغيل البرنامج:
- ضرب كثيرات الحدود
- يلخص أحاديات الحد (يعطي مماثلة)
- يفتح بين قوسين
- يرفع كثيرة الحدود إلى قوة

برنامج تبسيط كثيرات الحدود لا يعطي الإجابة على المشكلة فحسب، بل يقدم أيضًا حل مفصلمع التفسيرات، أي. يعرض عملية الحل بحيث يمكنك التحقق من معرفتك بالرياضيات و/أو الجبر.

قد يكون هذا البرنامج مفيدا للطلاب المدارس الثانويةاستعدادا ل الاختباراتوالامتحانات، عند اختبار المعرفة قبل امتحان الدولة الموحدة، ليتمكن الآباء من التحكم في حل العديد من المشكلات في الرياضيات والجبر. أو ربما يكون استئجار مدرس أو شراء كتب مدرسية جديدة مكلفًا للغاية؟ أم أنك تريد فقط إنجاز الأمر في أسرع وقت ممكن؟ العمل في المنزلفي الرياضيات أو الجبر؟ وفي هذه الحالة، يمكنك أيضًا استخدام برامجنا مع الحلول التفصيلية.

بهذه الطريقة يمكنك إجراء التدريب الخاص بك و/أو التدريب الخاص بك. الاخوة الاصغرأو الأخوات، في حين يرتفع مستوى التعليم في مجال المشاكل التي يتم حلها.

لأن هناك الكثير من الأشخاص الراغبين في حل المشكلة، وقد تم وضع طلبك في قائمة الانتظار.
في بضع ثوان سوف يظهر الحل أدناه.
من فضلك انتظر ثانية.

القليل من النظرية.

منتج أحادي الحد ومتعدد الحدود. مفهوم كثير الحدود

من بين التعبيرات المختلفة التي يتم أخذها في الاعتبار في الجبر، تحتل مجموعات أحاديات الحد مكانًا مهمًا. فيما يلي أمثلة على هذه التعبيرات:

مجموع أحاديات الحد يسمى متعدد الحدود. تسمى المصطلحات الموجودة في كثير الحدود مصطلحات كثيرة الحدود. يتم تصنيف أحاديات الحد أيضًا على أنها متعددات الحدود، معتبرا أن وحيدة الحد هي متعددة الحدود تتكون من عضو واحد.

دعونا نمثل جميع الحدود في شكل أحاديات الحد عرض قياسي:

دعونا نقدم مصطلحات مماثلة في كثير الحدود الناتج:

والنتيجة هي كثيرة الحدود، وجميع حدودها هي أحادية الحد بالشكل القياسي، ولا يوجد بينها مثيل. تسمى كثيرات الحدود هذه كثيرات الحدود من النموذج القياسي.

ل درجة كثير الحدودذات الشكل القياسي تأخذ أعلى صلاحيات أعضائها. وبالتالي، فإن ذات الحدين لها الدرجة الثالثة، وثلاثية الحدود لها الدرجة الثانية.

عادة، يتم ترتيب حدود كثيرات الحدود ذات الشكل القياسي التي تحتوي على متغير واحد بترتيب تنازلي لأسس درجتها. على سبيل المثال:

يمكن تحويل (تبسيط) مجموع العديد من كثيرات الحدود إلى كثير حدود بالشكل القياسي.

في بعض الأحيان يجب تقسيم حدود كثيرة الحدود إلى مجموعات، مع وضع كل مجموعة بين قوسين. بما أن الأقواس هي التحويل العكسي للأقواس المفتوحة، فمن السهل صياغتها قواعد فتح الأقواس:

إذا وضعت إشارة "+" قبل القوسين فإن المصطلحات التي بين القوسين تكتب بنفس الإشارة.

إذا وضعت علامة "-" قبل القوسين، فإن المصطلحات الموجودة بين القوسين تكتب بها علامات عكسية.

تحويل (تبسيط) منتج أحادي الحد ومتعدد الحدود

باستخدام خاصية التوزيعيمكن تحويل الضرب (مبسطًا) إلى كثيرة الحدود، أي حاصل ضرب أحادية الحد ومتعددة الحدود. على سبيل المثال:

إن حاصل ضرب وحيدة الحد ومتعددة الحدود يساوي بشكل مماثل مجموع نواتج هذه وحيدة الحد وكل حد من حدود كثيرة الحدود.

عادة ما يتم صياغة هذه النتيجة كقاعدة.

لضرب أحادية الحد في كثيرة الحدود، يجب عليك ضرب تلك الأحادية الحد في كل حد من حدود كثيرة الحدود.

لقد استخدمنا هذه القاعدة بالفعل عدة مرات للضرب في مجموع.

منتج كثيرات الحدود. تحويل (تبسيط) منتج متعدد الحدود

بشكل عام، حاصل ضرب كثيرتي الحدود يساوي بشكل مماثل مجموع حاصل ضرب كل حد من كثيرات الحدود وكل حد من الحدود الأخرى.

عادة ما يتم استخدام القاعدة التالية.

لضرب كثيرة الحدود في كثيرة الحدود، تحتاج إلى ضرب كل حد من كثيرة الحدود في كل حد من الحدود الأخرى وإضافة المنتجات الناتجة.

صيغ الضرب المختصرة. مجموع المربعات والاختلافات والفرق بين المربعات

مع بعض التعبيرات في التحولات الجبريةيجب التعامل معها في كثير من الأحيان أكثر من غيرها. ولعل التعبيرات الأكثر شيوعاً هي u، أي مربع المجموع، ومربع الفرق، وفرق المربعات. لقد لاحظت أن أسماء هذه التعبيرات تبدو غير مكتملة، على سبيل المثال، هذا بالطبع ليس مربع المجموع فحسب، بل مربع مجموع a و b. ومع ذلك، فإن مربع مجموع A و B لا يحدث في كثير من الأحيان؛ كقاعدة عامة، بدلا من الحروف A و B، فإنه يحتوي على تعبيرات مختلفة، وأحيانا معقدة للغاية.

من السهل تحويل (تبسيط) التعبيرات إلى كثيرات الحدود بالشكل القياسي؛ في الواقع، لقد واجهت مثل هذه المهمة بالفعل عند ضرب كثيرات الحدود:

ومن المفيد أن نتذكر الهويات الناتجة وتطبيقها دون حسابات وسيطة. تساعد الصيغ اللفظية المختصرة على ذلك.

- مربع المبلغ يساوي المبلغالمربعات ومضاعفة المنتج.

— مربع الفرق يساوي مجموع المربعات بدون المنتج المزدوج.

- الفرق بين المربعين يساوي حاصل ضرب الفرق والمجموع.

تسمح هذه الهويات الثلاث في التحولات باستبدال الأجزاء اليسرى بالأجزاء اليمنى والعكس - الأجزاء اليمنى بالأجزاء اليسرى. أصعب شيء هو رؤية التعبيرات المقابلة وفهم كيفية استبدال المتغيرين a وb فيها. دعونا نلقي نظرة على عدة أمثلة لاستخدام صيغ الضرب المختصرة.

الكتب (الكتب المدرسية) ملخصات امتحانات الدولة الموحدة و اختبارات أوجي العاب اون لاين، الألغاز وظائف الرسوم البيانية القاموس الإملائيقاموس اللغة الروسية للعامية الشبابية كتالوج المدارس الروسية كتالوج المؤسسات التعليمية الثانوية في روسيا كتالوج الجامعات الروسية قائمة المهام إيجاد GCD و LCM تبسيط كثيرات الحدود (ضرب كثيرات الحدود) قسمة كثيرات الحدود على كثيرات الحدود بعمود حساب الكسور العدديةحل المسائل المتعلقة بالنسب المئوية أرقام معقدة: المجموع والفرق والحاصل وحاصل نظام 2 المعادلات الخطيةمع اثنين حل المتغيرات معادلة تربيعيةتربيع ذات الحدين وتحليلها ثلاثية الحدود من الدرجة الثانيةحل المتباينات حل أنظمة المتباينات رسم رسم بياني دالة تربيعيةرسم بياني دالة خطية كسريةحل العمليات الحسابية و التقدم الهندسيحل المثلثات ، الأسي ، المعادلات اللوغاريتميةحساب الحدود، المشتقة، تكامل الظل، الحل المضادالمثلثات حسابات الإجراءات مع المتجهات حسابات الإجراءات مع الخطوط والطائرات المساحة الأشكال الهندسيةمحيط الأشكال الهندسية الحجم الهيئات الهندسيةمساحة سطح المواد الصلبة الهندسية
منشئ حالة المرور
الطقس - الأخبار - الأبراج

www.mathsolution.ru

توسيع الأقواس

نواصل دراسة أساسيات الجبر. في هذا الدرس سوف نتعلم كيفية فك الأقواس في التعبيرات. توسيع الأقواس يعني إزالة الأقواس من التعبير.

لفتح الأقواس، تحتاج إلى حفظ قاعدتين فقط. مع الممارسة المنتظمة، يمكنك فتح الأقواس باستخدام عيون مغلقة، وتلك القواعد التي كان من الضروري تعلمها عن ظهر قلب يمكن نسيانها بأمان.

القاعدة الأولى لفتح الأقواس

خذ بعين الاعتبار التعبير التالي:

قيمة هذا التعبير هي 2 . دعونا نفتح الأقواس في هذا التعبير. إن فتح الأقواس يعني التخلص منها دون التأثير على معنى العبارة. أي بعد التخلص من الأقواس، قيمة التعبير 8+(−9+3) ينبغي أن لا يزال يساوي اثنين.

تبدو القاعدة الأولى لفتح الأقواس على النحو التالي:

عند فتح الأقواس، إذا كان هناك علامة زائد أمام الأقواس، فسيتم حذف هذه العلامة مع الأقواس.

لذلك، نرى ذلك في التعبير 8+(−9+3) هناك علامة زائد قبل القوسين. يجب حذف هذه العلامة بالإضافة إلى الأقواس. بمعنى آخر، ستختفي الأقواس مع علامة الزائد التي كانت أمامها. وما كان بين قوسين سيكتب دون تغيير:

8−9+3 . هذا التعبيريساوي 2 ، مثل التعبير السابق بين قوسين، كان يساوي 2 .

8+(−9+3) و 8−9+3

8 + (−9 + 3) = 8 − 9 + 3

مثال 2.قم بتوسيع الأقواس في التعبير 3 + (−1 − 4)

توجد علامة زائد أمام القوسين، مما يعني حذف علامة الزائد مع القوسين. ما كان بين قوسين سيبقى دون تغيير:

3 + (−1 − 4) = 3 − 1 − 4

مثال 3.قم بتوسيع الأقواس في التعبير 2 + (−1)

في في هذا المثالأصبح فتح الأقواس نوعًا من العملية العكسية لاستبدال الطرح بالجمع. كيف نفهم هذا؟

في التعبير 2−1 يحدث الطرح، ولكن يمكن استبداله بالجمع. ثم نحصل على التعبير 2+(−1) . ولكن إذا كان في التعبير 2+(−1) افتح الأقواس، تحصل على الأصل 2−1 .

لذلك، يمكن استخدام القاعدة الأولى لفتح الأقواس لتبسيط العبارات بعد إجراء بعض التحويلات. أي تخليصه من الأقواس وتبسيطه.

على سبيل المثال، دعونا نبسط التعبير 2أ+أ−5ب+ب .

لتبسيط هذا التعبير، يمكن إعطاء مصطلحات مماثلة. دعونا نتذكر أنه لتبسيط الحدود المتشابهة، تحتاج إلى إضافة معاملات الحدود المتشابهة وضرب النتيجة في جزء الحرف المشترك:

حصلت على التعبير 3أ+(−4ب). دعونا نزيل الأقواس في هذا التعبير. توجد علامة زائد أمام الأقواس، لذلك نستخدم القاعدة الأولى لفتح الأقواس، وهي أن نحذف الأقواس مع علامة الزائد التي تأتي قبل هذه الأقواس:

هكذا التعبير 2أ+أ−5ب+بيبسط ل 3أ−4ب .

بعد أن فتحت بعض الأقواس، قد تواجه أخرى على طول الطريق. نحن نطبق عليهم نفس القواعد كما في القواعد الأولى. على سبيل المثال، دعونا نوسع الأقواس في التعبير التالي:

هناك مكانان حيث تحتاج إلى فتح الأقواس. وفي هذه الحالة تنطبق القاعدة الأولى لفتح الأقواس، وهي حذف الأقواس مع علامة الجمع التي تسبق هذه الأقواس:

2 + (−3 + 1) + 3 + (−6) = 2 − 3 + 1 + 3 − 6

مثال 3.قم بتوسيع الأقواس في التعبير 6+(−3)+(−2)

في كلا الموضعين اللذين يوجد فيهما قوسان، يسبقهما علامة زائد. هنا مرة أخرى تنطبق القاعدة الأولى لفتح الأقواس:

في بعض الأحيان يتم كتابة الفصل الأول بين قوسين بدون إشارة. على سبيل المثال، في التعبير 1+(2+3−4) المصطلح الأول بين قوسين 2 مكتوب بدون علامة. والسؤال الذي يطرح نفسه ما هي العلامة التي ستظهر أمام الاثنين بعد حذف القوسين وعلامة الجمع التي أمام القوسين؟ الجواب يقترح نفسه - سيكون هناك علامة زائد أمام الاثنين.

في الواقع، حتى لو كان بين قوسين هناك علامة زائد أمام الاثنين، لكننا لا نراها لأنها غير مكتوبة. لقد قلنا بالفعل أن التدوين الكامل للأرقام الإيجابية يبدو كذلك +1, +2, +3. ولكن وفقا للتقاليد، لا يتم تسجيل الإيجابيات، ولهذا السبب نرى الأرقام الإيجابية المألوفة لنا 1, 2, 3 .

ولذلك، لتوسيع الأقواس في التعبير 1+(2+3−4) ، عليك حذف الأقواس كالمعتاد، مع علامة الجمع الموجودة أمام هذه الأقواس، لكن اكتب الحد الأول الذي كان بين القوسين بعلامة الجمع:

1 + (2 + 3 − 4) = 1 + 2 + 3 − 4

مثال 4.قم بتوسيع الأقواس في التعبير −5 + (2 − 3)

توجد علامة زائد أمام الأقواس، لذلك نطبق القاعدة الأولى لفتح الأقواس، وهي أن نحذف القوسين مع علامة الزائد التي قبل هذه الأقواس. لكن الحد الأول الذي نكتبه بين قوسين بعلامة الجمع:

−5 + (2 − 3) = −5 + 2 − 3

مثال 5.قم بتوسيع الأقواس في التعبير (−5)

توجد علامة زائد أمام القوسين، لكنها لا تُكتب لأنه لم تكن هناك أرقام أو تعبيرات أخرى قبلها. مهمتنا هي إزالة الأقواس من خلال تطبيق القاعدة الأولى لفتح الأقواس، وهي حذف الأقواس مع علامة الجمع هذه (حتى لو كانت غير مرئية)

مثال 6.قم بتوسيع الأقواس في التعبير 2أ + (−6أ + ب)

توجد علامة زائد أمام القوسين، مما يعني حذف علامة الزائد مع القوسين. ما كان بين قوسين سيتم كتابته دون تغيير:

2أ + (−6أ + ب) = 2أ −6أ + ب

مثال 7.قم بتوسيع الأقواس في التعبير 5أ + (−7ب + 6ج) + 3أ + (−2د)

هناك مكانان في هذا التعبير حيث تحتاج إلى توسيع الأقواس. وفي كلا القسمين علامة زائد قبل القوسين، مما يعني حذف علامة الزائد مع القوسين. ما كان بين قوسين سيتم كتابته دون تغيير:

5أ + (−7ب + 6ج) + 3أ + (−2د) = 5أ −7ب + 6ج + 3أ − 2د

القاعدة الثانية لفتح الأقواس

الآن دعونا نلقي نظرة على القاعدة الثانية لفتح الأقواس. يتم استخدامه عندما يكون هناك علامة ناقص قبل القوسين.

إذا كان هناك ناقص قبل القوسين، فسيتم حذف هذا الطرح مع القوسين، لكن المصطلحات التي كانت بين القوسين تغير إشارتها إلى العكس.

على سبيل المثال، دعونا نوسع الأقواس في التعبير التالي

نرى أن هناك علامة ناقص قبل القوسين. هذا يعني أنك بحاجة إلى تطبيق قاعدة التوسيع الثانية، وهي حذف الأقواس مع علامة الطرح الموجودة أمام هذه الأقواس. وفي هذه الحالة فإن المصطلحات التي كانت بين قوسين ستتغير إشارتها إلى العكس:

لقد حصلنا على تعبير بدون قوسين 5+2+3 . هذا التعبير يساوي 10، تمامًا كما كان التعبير السابق بين قوسين يساوي 10.

وهكذا بين العبارات 5−(−2−3) و 5+2+3 يمكنك وضع علامة يساوي، حيث أنهما متساويان في القيمة:

5 − (−2 − 3) = 5 + 2 + 3

مثال 2.قم بتوسيع الأقواس في التعبير 6 − (−2 − 5)

يوجد ناقص قبل الأقواس، لذلك نطبق القاعدة الثانية لفتح الأقواس، وهي أن نحذف القوسين مع الطرح الذي قبل هذه الأقواس. وفي هذه الحالة نكتب المصطلحات التي كانت بين قوسين ذات علامات متضادة:

6 − (−2 − 5) = 6 + 2 + 5

مثال 3.قم بتوسيع الأقواس في التعبير 2 − (7 + 3)

يوجد علامة ناقص قبل القوسين، لذلك نطبق القاعدة الثانية لفتح القوسين:

مثال 4.قم بتوسيع الأقواس في التعبير −(−3 + 4)

مثال 5.قم بتوسيع الأقواس في التعبير −(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2)

هناك مكانان حيث تحتاج إلى فتح الأقواس. في الحالة الأولى، عليك تطبيق القاعدة الثانية لفتح الأقواس، وعندما يتعلق الأمر بالتعبير +(−9−2) عليك تطبيق القاعدة الأولى:

−(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2) = 8 + 2 + 16 − 9 − 2

مثال 6.قم بتوسيع الأقواس في التعبير -(-أ − 1)

مثال 7.قم بتوسيع الأقواس في التعبير -(4أ + 3)

مثال 8.قم بتوسيع الأقواس في التعبير أ − (4ب + 3) + 15

مثال 9.قم بتوسيع الأقواس في التعبير 2 أ + (3ب − ب) − (3ج + 5)

هناك مكانان حيث تحتاج إلى فتح الأقواس. في الحالة الأولى، عليك تطبيق القاعدة الأولى لفتح الأقواس، وعندما يتعلق الأمر بالتعبير -(3ج+5)عليك تطبيق القاعدة الثانية:

2أ + (3ب − ب) − (3ج + 5) = 2أ + 3ب − ب − 3ج − 5

مثال 10.قم بتوسيع الأقواس في التعبير -أ − (−4a) + (−6b) − (−8c + 15)

هناك ثلاثة أماكن حيث تحتاج إلى فتح الأقواس. تحتاج أولاً إلى تطبيق القاعدة الثانية لفتح الأقواس، ثم الأولى، ثم الثانية مرة أخرى:

−أ − (−4a) + (−6b) − (−8c + 15) = -أ + 4أ − 6ب + 8ج − 15

آلية فتح القوس

تعتمد قواعد فتح الأقواس التي درسناها الآن على قانون توزيع الضرب:

في الحقيقة فتح الأقواساستدعاء الإجراء عندما المضاعف المشتركمضروبا في كل مصطلح بين قوسين. ونتيجة لهذا الضرب، تختفي الأقواس. على سبيل المثال، دعونا نوسع الأقواس في التعبير 3×(4+5)

3 × (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5

لذلك، إذا كنت بحاجة إلى ضرب رقم في تعبير بين قوسين (أو ضرب تعبير بين قوسين في رقم)، فيجب أن تقول دعونا نفتح الأقواس.

لكن كيف يرتبط قانون توزيع الضرب بقواعد فتح القوسين التي تناولناها سابقًا؟

والحقيقة هي أنه قبل أي قوسين هناك عامل مشترك. في المثال 3×(4+5)العامل المشترك هو 3 . وفي المثال أ(ب+ج)العامل المشترك هو متغير أ.

إذا لم تكن هناك أرقام أو متغيرات قبل الأقواس، فإن العامل المشترك هو 1 أو −1 ، اعتمادًا على العلامة الموجودة أمام القوسين. إذا كان هناك علامة زائد أمام القوسين، فإن العامل المشترك هو 1 . إذا كان هناك ناقص قبل القوسين، فإن العامل المشترك هو −1 .

على سبيل المثال، دعونا نوسع الأقواس في التعبير -(3ب−1). توجد علامة ناقص أمام الأقواس، لذا عليك استخدام القاعدة الثانية لفتح الأقواس، وهي حذف الأقواس مع علامة الطرح الموجودة أمام الأقواس. واكتب العبارة التي كانت بين القوسين ذات الإشارات المتضادة:

قمنا بفك الأقواس باستخدام قاعدة فك الأقواس. لكن نفس هذه الأقواس يمكن فتحها باستخدام قانون التوزيع للضرب. للقيام بذلك، اكتب أولاً قبل القوسين العامل المشترك 1، الذي لم يُكتب:

تشير علامة الطرح التي كانت موجودة سابقًا قبل الأقواس إلى هذه الوحدة. يمكنك الآن فتح الأقواس باستخدام قانون التوزيع للضرب. ولهذا الغرض العامل المشترك −1 تحتاج إلى الضرب في كل مصطلح بين قوسين وإضافة النتائج.

ولتسهيل الأمر، نستبدل الفرق بين القوسين بالمبلغ:

−1 (3b −1) = −1 (3b + (−1)) = −1 × 3b + (−1) × (−1) = −3b + 1

كما في آخر مرةلقد حصلنا على التعبير −3ب+1. سيوافق الجميع على أنه تم قضاء المزيد من الوقت هذه المرة في حل مثل هذا المثال البسيط. ولذلك فمن الحكمة استخدام القواعد الجاهزة لفتح الأقواس، والتي ناقشناها في هذا الدرس:

لكن لا يضر معرفة كيفية عمل هذه القواعد.

في هذا الدرس تعلمنا شيئا آخر تحول متطابق. جنبًا إلى جنب مع فتح الأقواس، وإخراج العام من الأقواس وإحضار مصطلحات مماثلة، يمكنك توسيع نطاق المشكلات التي يتعين حلها قليلاً. على سبيل المثال:

هنا تحتاج إلى تنفيذ إجراءين - أولا افتح الأقواس، ثم قم بإحضار مصطلحات مماثلة. لذا بالترتيب:

1) افتح الأقواس:

2) نقدم مصطلحات مماثلة:

في التعبير الناتج −10ب+(−1)يمكنك توسيع الأقواس:

مثال 2.افتح القوسين وأضف مصطلحات مماثلة في التعبير التالي:

1) لنفتح الأقواس:

2) دعونا نقدم مصطلحات مماثلة.هذه المرة، لتوفير الوقت والمكان، لن نكتب كيفية ضرب المعاملات في جزء الحرف المشترك

مثال 3.تبسيط التعبير 8 م + 3 موالعثور على قيمتها في م=−4

1) أولا، دعونا نبسط التعبير. لتبسيط التعبير 8 م + 3 م، يمكنك إخراج العامل المشترك فيه مخارج الأقواس:

2) أوجد قيمة التعبير م(8+3)في م=−4. للقيام بذلك، في التعبير م(8+3)بدلا من متغير ماستبدال الرقم −4

م (8 + 3) = −4 (8 + 3) = −4 × 8 + (−4) × 3 = −32 + (−12) = −44

توسيع الأقواس هو نوع من تحويل التعبير. سنشرح في هذا القسم قواعد فتح الأقواس، وسنلقي نظرة أيضًا على الأمثلة الأكثر شيوعًا للمسائل.

Yandex.RTB RA-A-339285-1

ما هو فتح الأقواس؟

تُستخدم الأقواس للإشارة إلى الترتيب الذي يتم به تنفيذ الإجراءات في التعبيرات الرقمية والحرفية والمتغيرة. من الملائم الانتقال من التعبير الذي يحتوي على أقواس إلى التعبير المماثل يساوي التعبيربدون قوسين. على سبيل المثال، استبدل التعبير 2 · (3 + 4) بتعبير النموذج 2 3 + 2 4بدون قوسين. تسمى هذه التقنية الأقواس المفتوحة.

التعريف 1

يشير توسيع الأقواس إلى تقنيات التخلص من الأقواس وعادةً ما يتم أخذه في الاعتبار فيما يتعلق بالتعبيرات التي قد تحتوي على:

• العلامات "+" أو "-" قبل الأقواس التي تحتوي على مجاميع أو فروق؛
• حاصل ضرب رقم أو حرف أو عدة حروف والمجموع أو الفرق بين قوسين.

هذه هي الطريقة التي اعتدنا بها على النظر في عملية فتح الأقواس في الدورة المنهج المدرسي. ومع ذلك، لا أحد يمنعنا من النظر إلى هذا الإجراء على نطاق أوسع. يمكننا استدعاء الأقواس لفتح الانتقال من تعبير يحتوي على أرقام سالبة بين قوسين إلى تعبير لا يحتوي على أقواس. على سبيل المثال، يمكننا الانتقال من 5 + (− 3) − (− 7) إلى 5 − 3 + 7. في الواقع، هذا أيضًا فتح بين قوسين.

بنفس الطريقة، يمكننا استبدال حاصل ضرب التعبيرات الموجودة بين قوسين من الصيغة (أ + ب) · (ج + د) بالمجموع أ · ج + أ · د + ب · ج + ب · د. كما أن هذه التقنية لا تتعارض مع معنى فتح الأقواس.

وهنا مثال آخر. يمكننا أن نفترض أنه يمكن استخدام أي تعبيرات في التعبيرات بدلاً من الأرقام والمتغيرات. على سبيل المثال، التعبير x 2 · 1 a - x + sin (b) سوف يتوافق مع تعبير بدون أقواس من الصيغة x 2 · 1 a - x 2 · x + x 2 · sin (b).

هناك نقطة أخرى تستحق اهتمامًا خاصًا، والتي تتعلق بخصائص قرارات التسجيل عند فتح الأقواس. يمكننا كتابة التعبير الأولي بين قوسين والنتيجة التي تم الحصول عليها بعد فتح القوسين على قدم المساواة. على سبيل المثال، بعد فك الأقواس بدلاً من التعبير 3 − (5 − 7) نحصل على التعبير 3 − 5 + 7 . يمكننا كتابة هذين التعبيرين على صورة المساواة 3 − (5 − 7) = 3 − 5 + 7.

قد يتطلب تنفيذ الإجراءات ذات التعبيرات المرهقة تسجيل نتائج متوسطة. عندها سيكون الحل على شكل سلسلة من المتساويات. على سبيل المثال، 5 − (3 − (2 − 1)) = 5 − (3 − 2 + 1) = 5 − 3 + 2 − 1 أو 5 − (3 − (2 − 1)) = 5 − 3 + (2 − 1) = 5 − 3 + 2 − 1 .

قواعد فتح الأقواس، أمثلة

لنبدأ بالنظر إلى قواعد فتح الأقواس.

للأرقام الفردية بين قوسين

غالبًا ما توجد الأرقام السالبة بين قوسين في التعبيرات. على سبيل المثال, (− 4) و 3 + (− 4) . الأرقام الموجبة بين قوسين لها مكان أيضًا.

دعونا نصوغ قاعدة لفتح الأقواس التي تحتوي على أرقام موجبة مفردة. لنفترض أن a هو أي رقم موجب. ثم يمكننا استبدال (أ) بـ أ، + (أ) بـ + أ، - (أ) بـ - أ. إذا بدلا من أن نأخذ رقم محدد، فطبقاً للقاعدة: يُكتب الرقم (5) هكذا 5 ، التعبير 3 + (5) بدون قوسين سوف يأخذ الشكل 3 + 5 ، حيث تم استبدال + (5) بـ + 5 ، والتعبير 3 + (− 5) يعادل التعبير 3 − 5 ، لأن + (− 5) يتم استبداله ب − 5 .

تتم كتابة الأرقام الموجبة عادة دون استخدام الأقواس، لأن الأقواس غير ضرورية في هذه الحالة.

الآن فكر في قاعدة فتح الأقواس التي تحتوي على رقم سالب واحد. + (− أ)نستبدل ب - أ, − (− a) تم استبداله بـ + a. إذا كان التعبير يبدأ برقم سالب (- أ)، وهو مكتوب بين قوسين، ثم تم حذف القوسين وبدلا من ذلك (- أ)بقايا - أ.

فيما يلي بعض الأمثلة: يمكن كتابة (− 5) بالشكل − 5، (− 3) + 0، 5 يصبح − 3 + 0، 5، 4 + (− 3) 4 − 3 و − (− 4) − (− 3) بعد فتح القوسين تأخذ الصورة 4 + 3، بما أن − (− 4) و − (− 3) تم استبداله بـ + 4 و + 3 .

يجب أن يكون مفهومًا أن التعبير 3 · (− 5) لا يمكن كتابته بالشكل 3 · − 5. حول هذا سنتحدثفي الفقرات التالية.

دعونا نرى على ماذا تستند قواعد فتح الأقواس.

وفقًا للقاعدة، فإن الفرق a − b يساوي a + (− b) . استنادا إلى خصائص الإجراءات مع الأرقام، يمكننا إنشاء سلسلة من المساواة (أ + (− ب)) + ب = أ + ((− ب) + ب) = أ + 0 = أوالتي سوف تكون عادلة. سلسلة التساويات هذه بحكم معنى الطرح تثبت أن التعبير a + (− b) هو الفرق أ-ب.

بناء على الخصائص أرقام متضادةوقواعد طرح الأعداد السالبة، يمكننا القول أن − (− a) = a، a − (− b) = a + b.

هناك تعبيرات تتكون من أرقام وعلامات ناقص وعدة أزواج من الأقواس. يتيح لك استخدام القواعد المذكورة أعلاه التخلص من الأقواس بشكل تسلسلي، والانتقال من الأقواس الداخلية إلى الأقواس الخارجية أو في الاتجاه المعاكس. مثال على هذا التعبير سيكون − (− ((− (5)))) . دعونا نفتح الأقواس، وننتقل من الداخل إلى الخارج: − (− ((− (5)))) = − (− ((− 5))) = − (− (− 5)) = − (5) = − 5 . يمكن أيضًا تحليل هذا المثال في الاتجاه المعاكس: − (− ((− (5)))) = ((− (5))) = (− (5)) = − (5) = − 5 .

تحت أوb يمكن فهمهما ليس فقط كأرقام، ولكن أيضًا كتعبيرات رقمية أو أبجدية عشوائية مع علامة "+" في المقدمة، وهي ليست مجاميع أو اختلافات. في كل هذه الحالات، يمكنك تطبيق القواعد بنفس الطريقة التي طبقناها على الأرقام الفردية الموجودة بين قوسين.

على سبيل المثال، بعد فتح الأقواس التعبير − (− 2 x) − (x 2) + (− 1 x) − (2 x y 2: z)سيأخذ الشكل 2 · x − x 2 − 1 x − 2 · x · y 2: z . كيف فعلنا ذلك؟ نحن نعلم أن − (− 2 x) هو + 2 x، وبما أن هذا التعبير يأتي أولاً، فيمكن كتابة + 2 x بالشكل 2 x، - (س 2) = - س 2, + (− 1 x) = − 1 x و − (2 × ص 2: ض) = − 2 × ص 2: ض.

في منتجات ذات رقمين

لنبدأ بقاعدة فتح الأقواس في حاصل ضرب رقمين.

لنفترض ذلك أو b رقمان موجبان. في هذه الحالة، نتاج رقمين سالبين - أو - b من الصيغة (− a) · (− b) يمكننا استبدالها بـ (a · b) وحاصل ضرب رقمين بإشارتين متقابلتين من الصورة (− a) · b و a · (− b) يمكن استبداله ب (- أ ب). ضرب ناقص في ناقص يعطي موجب، وضرب ناقص في موجب، مثل ضرب موجب في ناقص يعطي ناقص.

يتم تأكيد صحة الجزء الأول من القاعدة المكتوبة من خلال قاعدة ضرب الأرقام السالبة. لتأكيد الجزء الثاني من القاعدة، يمكننا استخدام قواعد ضرب الأعداد ذات العلامات المختلفة.

دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة.

مثال 1

لنفكر في خوارزمية لفتح الأقواس في حاصل ضرب رقمين سالبين - 4 3 5 و - 2، بالشكل (- 2) · - 4 3 5. للقيام بذلك، استبدل التعبير الأصلي بـ 2 · 4 3 5 . دعونا نفتح الأقواس ونحصل على 2 · 4 3 5 .

وإذا أخذنا خارج قسمة الأعداد السالبة (− 4) : (− 2) فإن المدخل بعد فتح القوسين سيبدو كما يلي 4: 2

بدلا من الأرقام السالبة - أو - b يمكن أن يكون أي تعبيرات أمامها علامة الطرح ولا تمثل مجاميع أو فروق. على سبيل المثال، يمكن أن تكون هذه المنتجات، أو القسمة، أو الكسور، أو القوى، أو الجذور، أو اللوغاريتمات، الدوال المثلثيةإلخ.

دعونا نفتح الأقواس في التعبير - 3 · x x 2 + 1 · x · (- ln 5) . وفقًا للقاعدة، يمكننا إجراء التحويلات التالية: - 3 x x 2 + 1 x (- ln 5) = - 3 x x 2 + 1 x ln 5 = 3 x x 2 + 1 x ln 5.

تعبير (− 3) 2يمكن تحويله إلى التعبير (− 3 2) . بعد ذلك يمكنك توسيع الأقواس: - 3 2.

2 3 · - 4 5 = - 2 3 · 4 5 = - 2 3 · 4 5

قد تتطلب أيضًا تقسيم الأرقام ذات العلامات المختلفة توسيعًا أوليًا للأقواس: (− 5) : 2 = (− 5: 2) = − 5: 2 و 2 3 4: (- 3, 5) = - 2 3 4: 3, 5 = - 2 3 4: 3, 5.

يمكن استخدام القاعدة لإجراء الضرب والقسمة في التعبيرات ذات العلامات المختلفة. دعونا نعطي مثالين.

1 س + 1: س - 3 = - 1 س + 1: س - 3 = - 1 س + 1: س - 3

الخطيئة (س) (- × 2) = (- الخطيئة (س) × 2) = - الخطيئة (س) × 2

في منتجات من ثلاثة أرقام أو أكثر

دعنا ننتقل إلى المنتجات والحواصل التي تحتوي عليها أكثرأرقام. لتوسيع الأقواس سوف تعمل هنا القاعدة التالية. إذا كان هناك عدد زوجي من الأرقام السالبة، يمكنك حذف الأقواس واستبدال الأرقام بأضدادها. بعد ذلك، تحتاج إلى وضع التعبير الناتج بين قوسين جديدين. إذا كان هناك عدد فردي من الأرقام السالبة، فاحذف الأقواس واستبدل الأرقام بأضدادها. بعد ذلك يجب وضع التعبير الناتج بين قوسين جديدين ووضع علامة الطرح أمامه.

مثال 2

على سبيل المثال، خذ التعبير 5 · (− 3) · (− 2) ، وهو حاصل ضرب ثلاثة أرقام. هناك رقمان سالبان، لذا يمكننا كتابة التعبير بالشكل (5 · 3 · 2) ثم أخيرًا افتح القوسين لتحصل على التعبير 5 · 3 · 2.

في حاصل الضرب (− 2, 5) · (− 3) : (− 2) · 4: (− 1, 25) : (− 1) خمسة أرقام سالبة. لذلك (− 2, 5) · (− 3) : (− 2) · 4: (− 1, 25) : (− 1) = (− 2, 5 · 3: 2 · 4: 1, 25: 1) . بعد أن فتحنا الأقواس أخيرًا، حصلنا على ذلك −2.5 3:2 4:1.25:1.

يمكن تبرير القاعدة المذكورة أعلاه على النحو التالي. أولًا، يمكننا إعادة كتابة هذه التعبيرات في صورة حاصل الضرب، واستبدالها بالضرب في رقم متبادلقسم. نحن نمثل كل رقم سالب كمنتج لعدد مضاعف ويتم استبدال - 1 أو - 1 بـ (− 1) أ.

باستخدام خاصية الإبدال في الضرب، نقوم بتبديل العوامل ونقل جميع العوامل المتساوية إلى − 1 ، إلى بداية التعبير. حاصل ضرب عدد زوجي ناقص واحد يساوي 1، وحاصل عدد فردي يساوي − 1 ، والذي يسمح لنا باستخدام علامة الطرح.

إذا لم نستخدم القاعدة، فإن سلسلة الإجراءات لفتح الأقواس في التعبير - 2 3: (- 2) · 4: - 6 7 ستبدو كما يلي:

2 3: (- 2) 4: - 6 7 = - 2 3 - 1 2 4 - 7 6 = = (- 1) 2 3 (- 1) 1 2 4 (- 1 ) · 7 6 = = (- 1) ) · (- 1) · (- 1) · 2 3 · 1 2 · 4 · 7 6 = (- 1) · 2 3 · 1 2 · 4 · 7 6 = = - 2 3 1 2 4 7 6

يمكن استخدام القاعدة المذكورة أعلاه عند فتح الأقواس في التعبيرات التي تمثل المنتجات والنواتج بعلامة الطرح التي لا تمثل مجاميع أو فروق. لنأخذ على سبيل المثال التعبير

س 2 · (- س) : (- 1 س) · س - 3: 2 .

يمكن اختزاله إلى التعبير بدون قوسين x 2 · x: 1 x · x - 3: 2.

توسيع الأقواس مسبوقًا بعلامة +

خذ بعين الاعتبار قاعدة يمكن تطبيقها لفك الأقواس التي تسبقها علامة زائد، ولا يتم ضرب "محتويات" تلك الأقواس أو قسمتها على أي رقم أو تعبير.

ووفقاً للقاعدة، يُحذف القوسان مع الإشارة التي أمامهما، مع الاحتفاظ بعلامات جميع العبارات التي بين القوسين. إذا لم تكن هناك علامة قبل الفصل الأول بين قوسين، فأنت بحاجة إلى وضع علامة زائد.

مثال 3

على سبيل المثال، نعطي التعبير (12 − 3 , 5) − 7 . وبحذف القوسين نحتفظ بعلامات الحدود الموجودة بين القوسين ونضع علامة الجمع أمام الحد الأول. سيكون المدخل بالشكل (12 − ​​​​3, 5) − 7 = + 12 − 3, 5 − 7. في المثال المذكور، ليس من الضروري وضع إشارة أمام الحد الأول، بما أن + 12 − 3, 5 − 7 = 12 − 3, 5 − 7.

مثال 4

دعونا ننظر إلى مثال آخر. لنأخذ التعبير x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x وننفذ الإجراءات معه x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x = = x + 2 أ - 3 س 2 + 1 - س 2 - 4 + 1 س

إليك مثال آخر على توسيع الأقواس:

مثال 5

2 + x 2 + 1 x - x y z + 2 x - 1 + (- 1 + x - x 2) = = 2 + x 2 + 1 x - x y z + 2 x - 1 - 1 + x + x 2

كيف يتم توسيع الأقواس التي تسبقها علامة الطرح؟

دعونا ننظر في الحالات التي توجد فيها علامة الطرح أمام الأقواس، والتي لا يتم ضربها (أو قسمتها) على أي رقم أو تعبير. ووفقاً لقاعدة فتح القوسين المسبوقة بعلامة "-"، يتم حذف القوسين اللذين يحملان علامة "-"، وتعكس إشارات جميع المصطلحات الموجودة داخل القوسين.

مثال 6

على سبيل المثال:

1 2 = 1 2 , - 1 x + 1 = - 1 x + 1 , - (- x 2) = x 2

يمكن تحويل التعبيرات ذات المتغيرات باستخدام نفس القاعدة:

س + س 3 - 3 - - 2 س 2 + 3 س 3 س + 1 س - 1 - س + 2،

نحصل على x - x 3 - 3 + 2 · x 2 - 3 · x 3 · x + 1 x - 1 - x + 2 .

فتح الأقواس عند ضرب عدد بين قوسين، التعبيرات بين قوسين

سننظر هنا في الحالات التي تحتاج فيها إلى فك الأقواس التي يتم ضربها أو قسمتها على رقم أو تعبير ما. صيغ النموذج (أ 1 ± أ 2 ± … ± أ ن) · ب = (أ 1 · ب ± أ 2 · ب ± … ± أ ن · ب) أو ب · (أ 1 ± أ 2 ± … ± أ ن) = ( ب · أ 1 ± ب · أ 2 ± … ± ب · أ ن)، أين أ 1، أ 2، …، نوb بعض الأرقام أو التعبيرات.

مثال 7

على سبيل المثال، دعونا نوسع الأقواس في التعبير (3 - 7) 2. وفقًا للقاعدة، يمكننا إجراء التحويلات التالية: (3 − 7) · 2 = (3 · 2 − 7 · 2) . نحصل على 3 · 2 − 7 · 2 .

بفتح القوسين في التعبير 3 x 2 1 - x + 1 x + 2، نحصل على 3 x 2 1 - 3 x 2 x + 3 x 2 1 x + 2.

ضرب الأقواس في الأقواس

اعتبر حاصل ضرب قوسين من الصورة (أ 1 + أ 2) · (ب 1 + ب 2) . سيساعدنا هذا في الحصول على قاعدة لفتح الأقواس عند إجراء الضرب على قوس بقوس.

من أجل حل المثال المعطى، نشير إلى التعبير (ب1 + ب2)مثل ب. سيسمح لنا هذا باستخدام قاعدة ضرب القوس في مقدار. نحصل على (أ 1 + أ 2) · (ب 1 + ب 2) = (أ 1 + أ 2) · ب = (أ 1 · ب + أ 2 · ب) = أ 1 · ب + أ 2 · ب. عن طريق إجراء استبدال عكسي ببواسطة (ب 1 + ب 2)، طبّق مرة أخرى قاعدة ضرب التعبير بين قوسين: أ 1 ب + أ 2 ب = = أ 1 (ب 1 + ب 2) + أ 2 (ب 1 + ب 2) = = (أ 1 ب 1 + أ 1 ب 2) + (أ 2 ب 1 + أ 2 ب 2) = = أ 1 ب 1 + أ 1 ب 2 + أ 2 ب 1 + أ 2 ب 2

بفضل عدد من التقنيات البسيطة، يمكننا الوصول إلى مجموع منتجات كل حد من الحدود من القوس الأول لكل حد من الحدود من القوس الثاني. يمكن توسيع القاعدة لتشمل أي عدد من المصطلحات الموجودة بين قوسين.

دعونا نصوغ قواعد ضرب الأقواس بالأقواس: لضرب مجموعين معًا، تحتاج إلى ضرب كل حد من حدود المجموع الأول في كل حد من حدود المجموع الثاني وإضافة النتائج.

ستبدو الصيغة كما يلي:

(أ 1 + أ 2 + . . . + أ م) · ( ب 1 + ب 2 + . . . + ب ن) = = أ 1 ب 1 + أ 1 ب 2 + . . . + أ 1 ب ن + + أ 2 ب 1 + أ 2 ب 2 + . . . + أ 2 ب ن + + . . . + + أ م ب 1 + أ م ب 1 + . . . أ م ب ن

لنفك الأقواس في التعبير (1 + x) · (x 2 + x + 6) وهو حاصل ضرب مجموعين. لنكتب الحل: (1 + x) · (x 2 + x + 6) = = (1 · x 2 + 1 · x + 1 · 6 + x · x 2 + x · x + x · 6) = = 1 · س 2 + 1 س + 1 6 + س س 2 + س س + س 6

تجدر الإشارة بشكل منفصل إلى تلك الحالات التي توجد فيها علامة الطرح بين قوسين بالإضافة إلى علامات الزائد. على سبيل المثال، خذ التعبير (1 − x) · (3 · x · y − 2 · x · y 3) .

أولاً، لنعرض التعبيرات الموجودة بين قوسين على شكل مجاميع: (1 + (− x)) · (3 · x · y + (− 2 · x · y 3)). يمكننا الآن تطبيق القاعدة: (1 + (− x)) (3 x y + (− 2 x y 3)) = = (1 3 x y + 1 (− 2 x · y 3) + (− x) · 3 · س · ص + (− س) · (− 2 · س · ص 3))

دعونا نفتح الأقواس: 1 · 3 · x · y − 1 · 2 · x · y 3 − x · 3 · x · y + x · 2 · x · y 3 .

توسيع الأقواس في المنتجات ذات الأقواس والتعبيرات المتعددة

إذا كان هناك ثلاثة تعبيرات أو أكثر بين قوسين في التعبير، فيجب فتح الأقواس بالتسلسل. عليك أن تبدأ عملية التحويل بوضع أول عاملين بين قوسين. ضمن هذه الأقواس يمكننا إجراء التحويلات وفقًا للقواعد التي تمت مناقشتها أعلاه. على سبيل المثال، الأقواس في التعبير (2 + 4) · 3 · (5 + 7 · 8) .

يحتوي التعبير على ثلاثة عوامل في وقت واحد (2 + 4) , 3 و (5 + 7 8) . سنفتح الأقواس بالتتابع. دعونا نضع العاملين الأولين في قوس واحد آخر، والذي سنجعله باللون الأحمر للتوضيح: (2 + 4) 3 (5 + 7 8) = ((2 + 4) 3) (5 + 7 8).

وفقا لقاعدة ضرب القوس بعدد يمكننا القيام بالأعمال التالية: ((2 + 4) · 3) · (5 + 7 · 8) = (2 · 3 + 4 · 3) · ( 5 + 7 · 8) .

اضرب القوس بقوس: (2 3 + 4 3) (5 + 7 8) = 2 3 5 + 2 3 7 8 + 4 3 5 + 4 3 7 8 .

قوس في النوع

الدرجات التي أساسها بعض العبارات المكتوبة بين قوسين، ذات الأسس الطبيعية يمكن اعتبارها حاصل ضرب عدة أقواس. علاوة على ذلك، ووفقاً للقواعد الواردة في الفقرتين السابقتين، يمكن كتابتها بدون هذه الأقواس.

النظر في عملية تحويل التعبير (أ + ب + ج) 2 . يمكن كتابتها كمنتج بين قوسين (أ + ب + ج) · (أ + ب + ج). دعونا نضرب قوسًا بقوس ونحصل على · a + a · b + a · c + b · a + b · b + b · c + c · a + c · b + c · c.

دعونا ننظر إلى مثال آخر:

مثال 8

1 x + 2 3 = 1 x + 2 1 x + 2 1 x + 2 = = 1 x 1 x + 1 x 2 + 2 1 x + 2 2 1 x + 2 = = 1 x · 1 x · 1 x + 1 x · 2 · 1 x + 2 · 1 x · 1 x + 2 · 2 · 1 x + 1 x · 1 x · 2 + + 1 x 2 · 2 + 2 · 1 x · 2 + 2 2 2

قسمة الأقواس على العدد والأقواس على الأقواس

يتطلب قسمة قوس على رقم أن يتم تقسيم جميع الحدود الموجودة بين قوسين على الرقم. على سبيل المثال، (x 2 - x) : 4 = x 2: 4 - x: 4 .

يمكن أولاً استبدال القسمة بالضرب، وبعد ذلك يمكنك استخدام القاعدة المناسبة لفتح الأقواس في المنتج. تنطبق نفس القاعدة عند قسمة قوس على قوس.

على سبيل المثال، علينا فتح القوسين في التعبير (x + 2) : 2 3 . للقيام بذلك، استبدل القسمة أولًا بالضرب في العدد المتبادل (x + 2): 2 3 = (x + 2) · 2 3. اضرب القوس في الرقم (x + 2) · 2 3 = x · 2 3 + 2 · 2 3 .

إليك مثال آخر للقسمة بين قوسين:

مثال 9

1 س + س + 1 : ( س + 2 ) .

لنستبدل القسمة بالضرب: 1 x + x + 1 · 1 x + 2.

لنقم بعملية الضرب: 1 x + x + 1 · 1 x + 2 = 1 x · 1 x + 2 + x · 1 x + 2 + 1 · 1 x + 2 .

ترتيب فتح الأقواس

والآن لننظر إلى ترتيب تطبيق القواعد التي ناقشناها أعلاه في العبارات العامة، أي: في التعبيرات التي تحتوي على مجاميع ذات فروق، وحواصل ذات نواتج قسمة، وأقواس بالدرجة الطبيعية.

إجراء:

• الخطوة الأولى هي رفع الأقواس إلى قوة طبيعية؛
• وفي المرحلة الثانية، يتم فتح الأقواس في المصنفات والحواصل؛
• الخطوة الأخيرة هي فتح الأقواس في المجاميع والاختلافات.

لنفكر في ترتيب الإجراءات باستخدام مثال التعبير (− 5) + 3 · (− 2) : (− 4) − 6 · (− 7) . دعونا نتحول من التعبيرات 3 · (− 2) : (− 4) و 6 · (− 7) ، والتي يجب أن تأخذ الصورة (3 2:4)و (− ٦ · ٧) . عند استبدال النتائج التي تم الحصول عليها في التعبير الأصلي، نحصل على: (− 5) + 3 · (− 2) : (− 4) − 6 · (− 7) = (− 5) + (3 · 2: 4) − (− 6 · 7) . افتح القوسين: − 5 + 3 · 2: 4 + 6 · 7.

عند التعامل مع التعبيرات التي تحتوي على أقواس داخل أقواس، فمن الملائم إجراء التحويلات من خلال العمل من الداخل إلى الخارج.

إذا لاحظت وجود خطأ في النص، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl+Enter

هذا الجزء من المعادلة هو التعبير الموجود بين قوسين. لفتح الأقواس، انظر إلى العلامة الموجودة أمام القوسين. إذا كانت هناك علامة زائد، فإن فتح الأقواس في التعبير لن يغير شيئًا: فقط قم بإزالة الأقواس. إذا كانت هناك علامة ناقص، عند فتح الأقواس، يجب عليك تغيير جميع العلامات التي كانت في الأصل بين القوسين إلى العلامات المقابلة لها. على سبيل المثال، -(2س-3)=-2س+3.

ضرب قوسين.
إذا كانت المعادلة تحتوي على حاصل ضرب قوسين، قم بفك القوسين وفقًا للقاعدة القياسية. يتم ضرب كل حد في القوس الأول بكل حد في القوس الثاني. يتم تلخيص الأرقام الناتجة. في هذه الحالة، حاصل ضرب اثنين من "الموجبات" أو اثنين من "الناقصات" يعطي المصطلح علامة "زائد"، وإذا كانت العوامل علامات مختلفة، ثم يتلقى علامة الطرح.
دعونا نفكر.
(5x+1)(3x-4)=5x*3x-5x*4+1*3x-1*4=15x^2-20x+3x-4=15x^2-17x-4.

من خلال فتح الأقواس، ورفع التعبير أحيانًا إلى . يجب حفظ صيغ التربيع والمكعب عن ظهر قلب وتذكرها.
(أ+ب)^2=أ^2+2أ+ب^2
(أ-ب)^2=أ^2-2ab+ب^2
(أ+ب)^3=أ^3+3أ^2*ب+3آب^2+ب^3
(أ-ب)^3=أ^3-3أ^2*ب+3ب^2-ب^3
يمكن عمل صيغ بناء تعابير أكبر من ثلاثة باستخدام مثلث باسكال.

مصادر:

• صيغة توسيع الأقواس

محاطة بين قوسين العمليات الحسابيةيمكن أن تحتوي على متغيرات وتعبيرات بدرجات متفاوتةتعقيد. لمضاعفة هذه التعبيرات، سيتعين عليك البحث عن حل فيها منظر عام، فتح الأقواس وتبسيط النتيجة. إذا كانت الأقواس تحتوي على عمليات بدون متغيرات، فقط مع القيم العددية، فليس من الضروري فتح الأقواس، لأنه إذا كان لديك جهاز كمبيوتر، فإن مستخدمه لديه حق الوصول إلى موارد حاسوبية مهمة جدًا - فمن الأسهل استخدامها بدلاً من تبسيط التعبير.

تعليمات

اضرب كل (أو Minuend مع ) الموجود في قوس واحد بالتسلسل في محتويات جميع الأقواس الأخرى إذا كنت تريد الحصول على النتيجة في شكل عام. على سبيل المثال، لنكتب التعبير الأصلي كما يلي: (5+x)∗(6-x)∗(x+2). ثم الضرب المتسلسل (أي فتح الأقواس) سيعطي النتيجة التالية: (5+x)∗(6-x)∗(x+2) = (5∗6-5∗x)∗(5∗x+ 5∗2) + (6∗x-x∗x)∗(x∗x+2∗x) = (5∗6∗5∗x+5∗6∗5∗2) - (5∗x∗5∗x+ 5∗ x∗5∗2) + (6∗x∗x∗x+6∗x∗2∗x) - (x∗x∗x∗x+x∗x∗2∗x) = 5∗6∗5 ∗x + 5∗6∗5∗2 - 5∗x∗5∗x - 5∗x∗5∗2 + 6∗x∗x∗x + 6∗x∗2∗x - x∗x∗x∗x - س ∗x∗2∗x = 150∗x + 300 - 25∗x² - 50∗x + 6∗x³ + 12∗x² - x∗x³ - 2∗x³.

تبسيط النتيجة عن طريق تقصير التعبيرات. على سبيل المثال، يمكن تبسيط التعبير الذي تم الحصول عليه في الخطوة السابقة على النحو التالي: 150∗x + 300 - 25∗x² - 50∗x + 6∗x³ + 12∗x² - x∗x³ - 2∗x³ = 100∗x + 300 - 13∗ x² - 8∗x³ - x∗x³.

استخدم الآلة الحاسبة إذا كنت بحاجة إلى ضرب x في 4.75، أي (5+4.75)∗(6-4.75)∗(4.75+2). لحساب هذه القيمة، انتقل إلى موقع محرك البحث Google أو Nigma وأدخل التعبير في حقل الاستعلام بصيغته الأصلية (5+4.75)*(6-4.75)*(4.75+2). سيعرض جوجل 82.265625 على الفور، دون النقر على زر، ولكن يحتاج Nigma إلى إرسال البيانات إلى الخادم بنقرة زر واحدة.

من بين التعبيرات المختلفة التي يتم أخذها في الاعتبار في الجبر، تحتل مجموعات أحاديات الحد مكانًا مهمًا. فيما يلي أمثلة على هذه التعبيرات:
\(5a^4 - 2a^3 + 0.3a^2 - 4.6a + 8\)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2\)

مجموع أحاديات الحد يسمى متعدد الحدود. تسمى المصطلحات الموجودة في كثير الحدود مصطلحات كثيرة الحدود. يتم تصنيف أحاديات الحد أيضًا على أنها متعددات الحدود، معتبرا أن وحيدة الحد هي متعددة الحدود تتكون من عضو واحد.

على سبيل المثال، كثير الحدود
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 \)
يمكن تبسيطها.

دعونا نمثل جميع المصطلحات في شكل أحاديات النموذج القياسي:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16\)

دعونا نقدم مصطلحات مماثلة في كثير الحدود الناتج:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
والنتيجة هي كثيرة الحدود، وجميع حدودها هي أحادية الحد بالشكل القياسي، ولا يوجد بينها مثيل. تسمى كثيرات الحدود هذه كثيرات الحدود من النموذج القياسي.

ل درجة كثير الحدودذات الشكل القياسي تأخذ أعلى صلاحيات أعضائها. وبالتالي، فإن ذات الحدين \(12a^2b - 7b\) لها الدرجة الثالثة، وثلاثية الحدود \(2b^2 -7b + 6\) لها الدرجة الثانية.

عادة، يتم ترتيب حدود كثيرات الحدود ذات الشكل القياسي التي تحتوي على متغير واحد بترتيب تنازلي لأسس درجتها. على سبيل المثال:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1\)

يمكن تحويل (تبسيط) مجموع العديد من كثيرات الحدود إلى كثير حدود بالشكل القياسي.

في بعض الأحيان يجب تقسيم حدود كثيرة الحدود إلى مجموعات، مع وضع كل مجموعة بين قوسين. بما أن الأقواس هي التحويل العكسي للأقواس المفتوحة، فمن السهل صياغتها قواعد فتح الأقواس:

إذا وضعت إشارة "+" قبل القوسين فإن المصطلحات التي بين القوسين تكتب بنفس الإشارة.

إذا وضعت إشارة "-" قبل القوسين، فإن المصطلحات التي بين القوسين تكتب بإشارة معاكسة.

تحويل (تبسيط) منتج أحادي الحد ومتعدد الحدود

باستخدام خاصية التوزيع للضرب، يمكنك تحويل (تبسيط) منتج أحادية الحد ومتعددة الحدود إلى كثيرة الحدود. على سبيل المثال:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

إن حاصل ضرب وحيدة الحد ومتعددة الحدود يساوي بشكل مماثل مجموع نواتج هذه وحيدة الحد وكل حد من حدود كثيرة الحدود.

عادة ما يتم صياغة هذه النتيجة كقاعدة.

لضرب أحادية الحد في كثيرة الحدود، يجب عليك ضرب تلك الأحادية الحد في كل حد من حدود كثيرة الحدود.

لقد استخدمنا هذه القاعدة بالفعل عدة مرات للضرب في مجموع.

منتج كثيرات الحدود. تحويل (تبسيط) منتج متعدد الحدود

بشكل عام، حاصل ضرب كثيرتي الحدود يساوي بشكل مماثل مجموع حاصل ضرب كل حد من كثيرات الحدود وكل حد من الحدود الأخرى.

عادة ما يتم استخدام القاعدة التالية.

لضرب كثيرة الحدود في كثيرة الحدود، تحتاج إلى ضرب كل حد من كثيرة الحدود في كل حد من الحدود الأخرى وإضافة المنتجات الناتجة.

صيغ الضرب المختصرة. مجموع المربعات والاختلافات والفرق بين المربعات

يتعين عليك التعامل مع بعض التعبيرات في التحويلات الجبرية أكثر من غيرها. ولعل التعبيرات الأكثر شيوعًا هي \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) و\(a^2 - b^2 \)، أي مربع المجموع، مربع العدد الفرق والفرق بين المربعات. لاحظت أن أسماء هذه التعبيرات تبدو غير مكتملة، على سبيل المثال \((a + b)^2 \) بالطبع ليس مربع المجموع فحسب، بل مربع مجموع a وb . ومع ذلك، فإن مربع مجموع A و B لا يحدث في كثير من الأحيان؛ كقاعدة عامة، بدلا من الحروف A و B، فإنه يحتوي على تعبيرات مختلفة، وأحيانا معقدة للغاية.

يمكن تحويل التعبيرات \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) بسهولة (تبسيطها) إلى كثيرات الحدود بالشكل القياسي؛ في الواقع، لقد واجهت مثل هذه المهمة بالفعل عند ضرب كثيرات الحدود :
\((أ + ب)^2 = (أ + ب)(أ + ب) = أ^2 + أب + با + ب^2 = \)
\(= أ^2 + 2ab + ب^2 \)

ومن المفيد أن نتذكر الهويات الناتجة وتطبيقها دون حسابات وسيطة. تساعد الصيغ اللفظية المختصرة على ذلك.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - مربع المجموع يساوي مجموع المربعات وحاصل الضرب المزدوج.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - مربع الفرق يساوي مجموع المربعات بدون حاصل الضرب المزدوج.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - فرق المربعات يساوي حاصل ضرب الفرق في المجموع.

تسمح هذه الهويات الثلاث في التحولات باستبدال الأجزاء اليسرى بالأجزاء اليمنى والعكس - الأجزاء اليمنى بالأجزاء اليسرى. أصعب شيء هو رؤية التعبيرات المقابلة وفهم كيفية استبدال المتغيرين a وb فيها. دعونا نلقي نظرة على عدة أمثلة لاستخدام صيغ الضرب المختصرة.