እኩልነት በውስጡ ለተካተቱት ፊደሎች የተወሰኑ እሴቶችን ብቻ የሚይዝ እኩልነት ነው። በቀመር ውስጥ የተካተቱት ፊደሎች, እንደ ችግሩ ሁኔታዎች, እኩል ያልሆኑ ሊሆኑ ይችላሉ: አንዳንዶቹ ሁሉንም መቀበል ይችላሉ. ትክክለኛ እሴቶች(እነሱ የእኩልታ መለኪያዎች ወይም መጋጠሚያዎች ይባላሉ); ሌሎች, መገኘት ያለባቸው እሴቶች, የማይታወቁ ተብለው ይጠራሉ.
እንደ ቁጥሩ ይወሰናል ያልታወቀ እኩልታከማይታወቁ ከአንድ፣ ሁለት፣ ወዘተ ጋር እኩልነት ይባላል።
እኩልታውን ወደ ማንነት የሚቀይሩት የማያውቁት እሴቶች የእኩልታ መፍትሄዎች ይባላሉ።
እኩልታን መፍታት ማለት ብዙ መፍትሄዎችን መፈለግ ወይም መፍትሄዎች አለመኖራቸውን ማረጋገጥ ማለት ነው። እንደ እኩልታው አይነት፣ የመፍትሄዎቹ ስብስብ ማለቂያ የሌለው፣ ውሱን ወይም ባዶ ሊሆን ይችላል።
የአልጀብራ እኩልታን ወደ ማንነት የሚቀይሩት የማናውቀው x እሴቶች የአልጀብራ እኩልታ ስር ይባላሉ።
ስለዚህ፣ ዋናው ተግባርማንኛውንም እኩልታ ሲፈቱ ወደ ቀላሉ ይቀንሱት።
ፍቺ 1.
f(x)=ф(x) ተግባራቶቹ በጠቅላላ ምክንያታዊ መግለጫዎች የተሰጡበት እኩልታ ይባላል። የዚህ እኩልታ ODZ የሁሉም እውነተኛ ቁጥሮች ስብስብ ነው።
መሆኑ ይታወቃል አልጀብራ ድምርእና የ polynomials ምርት ፖሊኖሚል ነው, ስለዚህ መጠቀም የማንነት ለውጦችእያንዳንዱ ሙሉ ምክንያታዊ መግለጫእንደ ፖሊኖሚል ሊወከል ይችላል እና ስለዚህ ከቀመር ወደ ተመጣጣኝ እኩልነት ይሂዱ
P (x) = Q (x) ፣ P (x) እና Q (x) የተወሰኑ ፖሊኖሚሎች ሲሆኑ አንድ ተለዋዋጭ x።
በማንቀሳቀስ Q(x) በኢ. ግራ ጎን, እናገኛለን ተመጣጣኝ እኩልታ P(x)-Q(x)=0፣ በግራ በኩል ፖሊኖሚል አለ፣ በቀኝ በኩል ደግሞ 0. በቀመር በግራ በኩል ያለው የፖሊኖሚል ደረጃ የሙሉ ዲግሪ ይባላል። ምክንያታዊ እኩልታ.
ስለዚህ, በቅንፍ ውስጥ ያሉትን ቅንፎች ከከፈትን, ሁሉንም ውሎች ወደ ግራ በኩል በማንቀሳቀስ እና ተመሳሳይ የሆኑትን ካመጣን, ተመጣጣኝ እኩልታ እናገኛለን.
ፍቺ 2.
የደረጃ n የመደበኛ ፎርም ኢንቲጀር ምክንያታዊ እኩልታ እኩልታ a0xn+a1xn-1+ ይባላል። +an-1x+an=0፣ የት a0!=0።
ከላይ እንደሚታየው, እያንዳንዱ ኢንቲጀር ምክንያታዊ እኩልታየመደበኛ ቅፅ ወደ ተመጣጣኝ እኩልነት መቀነስ ይቻላል.
በጉዳዩ ላይ a0=1፣ እኩልታው ቅጽ አለው፡ xn+a1xn-1+። + an-1x+ an=0፣ የተቀነሰ ኢንቲጀር ምክንያታዊ የዲግሪ n እኩልታ ይባላል።
ለምሳሌ፣ x2+ px+q=0 የተቀነሰ ኳድራቲክ እኩልታ ነው።
ከፍቺ 2 ጀምሮ አንድ ሙሉ ምክንያታዊ እኩልታ መፍታት በቀመርው በግራ በኩል ያለውን የፖሊኖሚል ሥሮች ለማግኘት ይቀንሳል።
ለሶስተኛ እና አራተኛ ዲግሪ እኩልታዎች ሥሮችን ለማስላት ቀመሮች አሉ። ይሁን እንጂ እነዚህ ቀመሮች በጣም ውስብስብ ከመሆናቸው የተነሳ በተግባር ጥቅም ላይ አይውሉም. ለአምስተኛው ዲግሪ እና ከዚያ በላይ ለሆኑ እኩልታዎች የለም አጠቃላይ ቀመሮችስሮች ስሌቶች. ስለዚህ በ ዘመናዊ ሂሳብየዳበረ የተለያዩ ዘዴዎች, አንድ ሰው የእኩልታዎች ሥሮች ግምታዊ እሴቶችን በማንኛውም ትክክለኛነት እንዲያገኝ ያስችለዋል።
1. 2. ሙሉ ምክንያታዊ እኩልታዎችን ለመፍታት መሰረታዊ ዘዴዎች
እኩልታዎችን የመፍታት ሂደት መቀነስ ነው የተሰጠው እኩልታወደ መስመራዊ ወይም ኳድራቲክ እኩልታዎች። ይህንን ለማድረግ ሁለት ዋና ዘዴዎች ጥቅም ላይ ይውላሉ: 1) ፋካሬሽን እና 2) አዲስ ተለዋዋጭ ማስተዋወቅ.
1. 2. 1. የማምረት ዘዴ
ቲዎሬም 1. እኩልታ fxxфx=0፣ በጠቅላላው የቁጥር መስመር ላይ የተገለጸው፣ ከእኩልታዎች ስብስብ f (x)=0 እና f(x)=0 ጋር እኩል ነው።
ቲዎሬም 2. አጠቃላይ ምክንያታዊ እኩልታ ከኢንቲጀር ኮፊሸንትስ ኢንቲጀር ስሮች ካሉት እነሱ የዚህ እኩልታ ነፃ ቃል አካፋዮች ናቸው።
ቲዎረም 3. እኩልታው a0xn+a1xn-1+ ከሆነ። +an-1x+an=0 ኢንቲጀር ኮፊፊፊሸን አለው። ምክንያታዊ ሥር x0=pq፣ የት pq - ሊቀንስ የማይችል ክፍልፋይ, ከዚያም p የነጻው ቃል አከፋፋይ ነው, እና q የመሪ ኮፊሸንት a0 አካፋይ ነው.
1. 2. 2. አዲስ ተለዋዋጭ መግቢያ
ምናልባትም የማንኛውም አይነት እኩልታዎችን ለመፍታት በጣም አስፈላጊው ዘዴ አዲስ የማይታወቅ መግቢያ ነው ፣ ከዚህ አንፃር እኩልታው ቀለል ያለ ቅርፅ ያለው ፣ በቀላሉ ወደ አንደኛ ደረጃ ዓይነት ይቀነሳል።
በጣም የተለመዱ የመተኪያ ዓይነቶችን እንዘረዝራለን.
ምትክ y = x n (የኃይል ምትክ)
በተለይም ምትክ y = x 2 የሚባሉትን በመጠቀም የሁለትዮሽ እኩልታመጥረቢያ 4 + bx 2 + c = 0, a != 0 ወደ ካሬ ይቀንሳል.
y=Pn(x) ወይም y=√Pn(x) በመተካት (ብዙ ቁጥርን በመተካት)
በጣም የተለመደው ምትክ y=ax2+bx+c ወይም y=ax2+bx+c ነው።
ምትክ y=Pn(x)Qm(x) (ክፍልፋይ ምክንያታዊ ምትክ)። እዚህ፣ እንደ ሁሌም፣ Pn(x) እና Qm(x) በቅደም ተከተል የዲግሪ n እና m ፖሊኖሚሎች ናቸው።
በተለይም የተስፋፋውን ምትክ y=x+1x በመጠቀም የተገላቢጦሽ እኩልታዎች የሚባሉት ማለትም የቅጹ አክስ 4 + bx 3 + cx 2 + bx + a = 0, a != 0.
እንዴት እንደተሰራ እናሳይህ። ከ!= 0 ጀምሮ፣ ቁጥሩ x = 0 የዚህ እኩልታ ሥር አይደለም። እኩልታውን በ x 2! = 0 ይከፋፍሉት, እናገኛለን
እና ከ x2+1x2=(x+1x)2-2 ጀምሮ፣ ከዚያም y=x+1x ከተተካ በኋላ እኩልታው ወደ ኳድራቲክ አንድ ay2+by+c-2a=0 ይቀንሳል።
ሁለት ተግባራዊ ምክሮችን እንስጥ.
ጠቃሚ ምክር 1. ተለዋዋጮችን መተካት በመጀመሪያ እድሉ ወዲያውኑ መደረግ አለበት.
ጠቃሚ ምክር 2. የአዲሱ ተለዋዋጭ እኩልታ እስከ መጨረሻው መፈታት አለበት, እና ከዚያ ብቻ ወደ አሮጌው የማይታወቅ ይመለሱ.
ምዕራፍ 2፡ ተግባራዊ ክፍል
አንድ እኩልታ የመፍታት ዘዴዎች
ሒሳቡን በተለያዩ መንገዶች ለመፍታት፣ ቀመር x4+x3-4x2+x+1=0 ይምረጡ።
ዘዴ: እርግጠኛ ያልሆኑ ቅንጅቶች.
ኢንቲጀር ስሮች ካሉ፣ የነጻው ቃል አከፋፋዮች ናቸው፡- x=+-1። በምርጫ x=1 ለእኩል መፍትሄ እንደሆነ እርግጠኞች ነን። ጥግ በመጠቀም ፖሊኖሚል x4+x3-4x2+x+1ን በሁለትዮሽ x-1 ይከፋፍሉት።
x + x - 4 x + x + 1 x - 1 x - x3 x +2 x - 2 x - 1
2x - 4 x + x + 1
2∙ x + x + 1
ኢንቲጀር ስሮች ካሉ፣ የነጻው ቃል አከፋፋዮች ናቸው፡- x=+-1። በምርጫ x=1 ለእኩል መፍትሄ እንደሆነ እርግጠኞች ነን። አንድ ጥግ በመጠቀም ፖሊኖሚል x3+2x2-2x-1ን በሁለትዮሽ x-1 ይከፋፍሉት።
x + 2 x - 2 x - 1 x - 1 x - x2 x +3 x + 1
3x - 3 x x - 1 x - 1
የኳድራቲክ እኩልታ x2+3x+1=0 ለመፍታት ይቀራል
D=32-4∙1=9-4=5 x=-3+-52
መልስ፡- x=1; x=-3+-52
ዘዴ II: ማባዛት.
4x2=2x2+2x2 x4-2x2+1+x3+2x2+x=0 እንፃፍ።
(x2-1)2+x(x2-2x+1)=0 x-12(x+1)2+x(x-1)2=0 x-12(x+12+x)=0 x- 12x+12+x=0 ⇒ x-12=0x2+ 3x+1=0
መልስ፡- x=1; x=-3+-52
III ዘዴ: እንደ ተገላቢጦሽ እኩልታ.
ቅንጅቶቹ የተመጣጠነ መሆናቸውን እናያለን፣ ስለዚህ ይህ ተገላቢጦሽ እኩልታ ነው። በማጣራት x = 0 የእኩልታ ስር አለመሆኑን ማረጋገጥ ትችላለህ፣ ይህ ማለት ቀመር በቃሉ በ x2 ሊከፋፈል ይችላል።
x4+x3-4x2+x+1=0 ⟹ x4x2 + x3x2 - 4x2x2+xx2+1x2 =0 x2 + 1x2 + x + 1x- 4=0
ተለዋዋጭ ለውጥ እናደርጋለን፡ t=x + 1x t2=x + 1x2=x2 + 1x2 + 2 ⇒ x2 + 1x2=t2-2
ከዚያም እኩልታው እንደሚከተለው ይጻፋል፡ t2-2+t-4=0 ⇒ t2+t-6=0 ⇒ t1=-3; t2=2.
ወደ ተለዋዋጭ x እንመለስ።
x + 1x= -3 ⇒ x2+ 3x+1=0 ⟹ x=-3+-52 x + 1x= 2 ⇒ x2-2x+1=0 ⟹ x=1
መልስ፡- x=1; x=-3+-52
IV ዘዴ: ግራፊክ.
ቅጹን እንደገና እንፃፍ፡- x4-4x2=-x3-x-1
በአንድ ስዕል ውስጥ ሁለት የተግባር ግራፎችን እንገንባ: y = x4-4x2; y=-x3-x-1
ዘዴዎችን በመጠቀም የመጀመሪያውን ተግባር እንገንባ የሂሳብ ትንተና: y=x4-4x2 y=x4-4x2; y=-x3-x-1 y"=4x3-8x=2x(x2-2) y"=4x3-8x=2xx2-2=x=0፣x= +- 2።
ተጨማሪ ነጥቦች፡ x
የሒሳብ ትንተና ዘዴዎችን በመጠቀም ሁለተኛውን ተግባር እንገንባ፡ y=-x3-x-1 y"=-3x2-1
ተጨማሪ ነጥቦች፡ x
3 የመገናኛ ነጥቦች ይታያሉ, ግን ትክክለኛ ዋጋበአንደኛው ውስጥ ብቻ ሊታወቅ ይችላል, ይህ ጉዳት ነው ግራፊክ መፍትሄ, እንዲሁም ጉዳቱ - የጊዜ ርዝመት.
V ዘዴ: አጠቃላይ የትንታኔ ዘዴመፍትሄዎች የአልጀብራ እኩልታዎችአራተኛ ዲግሪ (በቪዬታ ቲዎሬም መሠረት ከፍተኛ ዲግሪዎች)
እኩልታው፡-
(1) አራት ሥሮች አሉት
እንደሚታወቀው፡-
በቀላል የአልጀብራ ለውጦችከግንኙነት (2)፣ (3)፣ (4) እናገኛለን፡-
ኳድራቲክ እኩልታ እንስራ፡-
ቀመሮችን (5)፣ (6)፣ (7) እና ማስታወሻን በመጠቀም ቀመር (8)ን በቅጹ እንደገና እንጽፋለን።
እኩልታ (8) መፍታት የሚከተሉትን እናገኛለን
ስለዚህ፣ ቀመሮችን (9)፣ (10) በመጠቀም እናገኛለን፡-
ቀመር (7) በቅጹ ላይ እንደገና እንደጻፍን ከግምት በማስገባት፡-
ወደ ቀመር (12) ወደ ቀመር (11) በመተካት እናገኛለን
ከቀመር (13) በቀላል የአልጀብራ ለውጦች እናገኛለን ኪዩቢክ እኩልታከተለዋዋጭ A አንጻር፡
ስለዚህ የአራተኛው ዲግሪ እኩልታ (1) መፍታት ወደ ኪዩቢክ እኩልታ (14) ፣ የት እና ሁለት ባለአራት እኩልታዎችን ለመፍታት ይቀንሳል።
ቀመሮችን (9)፣ (10) በመጠቀም እና ቀመሮችን (15)፣ (16)ን በቅጹ እንደገና እንደምንጽፍ ግምት ውስጥ በማስገባት፡-
የተጠናቀቀው የአራተኛ ዲግሪ እኩልዮሽ ተለዋዋጭውን በተለዋዋጭ በመተካት ወደ ቀመር (1) ይቀንሳል.
ስለዚህ፣ እኩልታውን x4+x3-4x2+x+1=0 እንፍታ።
ምትክ እንፍጠር፡-
ከዚያ እኩልታው እንደ y4-198y2+258y+125256=0 ይጻፋል።
ከዚያ እኩልታዎችን መፍታት ያስፈልግዎታል-
እና እንዲሁም እኩልታዎች
ቀድሞውኑ በርቷል በዚህ ደረጃይህ ዘዴ በጣም አስቸጋሪ እና መፍታት እኩልነት (*) ወደ የመጀመሪያዎቹ ሶስት የመፍትሄ ዘዴዎች እንደሚመራን ማየት ይቻላል, ማለትም, ስራውን ሁለት ጊዜ እንሰራለን. ነገር ግን በዚህ ዘዴ ውስጥ ያለው አወንታዊ ነገር ዓለም አቀፋዊ ነው, ማለትም, ከብዙ እኩልታዎች ጋር የሚስማማ ነው.
VI ዘዴ: በፌራሪ ቀመር መሠረት
ፌራሪ የ 4 ኛ ዲግሪ እኩልታ ለመፍታት መንገድ ያገኛል።
እና ax4+4bx3+6cx2+4dx+c=0 (1) - አጠቃላይ እኩልታ 4 ኛ ዲግሪ.
x=y-ba ን ካስቀመጥነው፣ እኩልታ (1) ወደ y4+2py2+2qy+r=0፣ (2) ቅፅ p፣q፣r በ a,b,c, ላይ ተመስርተው አንዳንድ ውህደቶች ናቸው። መ፣ ሠ. ይህ እኩልታ በሚከተለው መልኩ ሊፃፍ እንደሚችል በቀላሉ መረዳት ይቻላል፡-
(y2+p+t)2=2ty2-2qy+t2+2pt+p2-r (3)
በእውነቱ ፣ ቅንፎችን መክፈት በቂ ነው ፣ ከዚያ ሁሉም የያዙ ውሎች እርስ በእርሳቸው ይሰረዛሉ እና ወደ እኩልታ (2) እንመለሳለን። የእኩልታ (3) የቀኝ ጎን እንዲሆን መለኪያ t እንመርጥ ፍጹም ካሬከ y አንጻራዊ. እንደሚታወቀው, አስፈላጊ ነው እና በቂ ሁኔታይህ በቀኝ በኩል ያለው የሶስትዮሽ ውህዶች (ከy አንፃር) አድልዎ መጥፋት ነው፡ q2-2tt2+2pt+p2-r=0 (4)
የተሟላ ኪዩቢክ እኩልታ አግኝተናል, አሁን ልንፈታው እንችላለን. ማንኛውንም ሥሮቹን እንፈልግ እና ወደ ቀመር (3) እናስገባዋለን ፣ አሁን ቅጹን ይወስዳል
(y2+p+t)2=2t(y-q2t)2.
ስለዚህም y2+-2ty+p+t+-q√2t=0።
ይህ ኳድራቲክ እኩልታ ነው። እሱን በመፍታት፣ አንድ ሰው የእኩልታውን (2) ሥር ማግኘት ይችላል፣ እና ስለዚህ (1)።
ስለዚ፡ ለመፍታት እንሞክር፡- x4+x3-4x2+x+1=0 ax4+4bx3+6cx2+4dx+c=0 a=1 4b=1 6c= -4 4d=1 c=1 x=y-ba =y -14 y-144+y-143-4y-142+1=0
(y4-14)2+y3-3y2∙14+3ይ∙116-164-4y2-2y∙14+116=(y2-12y+116)2+y3-34y2+3y16-164-4y2-2y∙14+ 116
ቀድሞውኑ በዚህ ደረጃ ላይ ይህ ዘዴ በጣም አስቸጋሪ እና ለእኩል (*). ጥቅም ላይ ሊውል ይችላል, ነገር ግን በጣም ጉልበት የሚጨምር ነው. ግን ልክ እንደ ቪዬታ ቀመር የፌራሪ ቀመር ለማንኛውም የአራተኛ ደረጃ እኩልታዎች ሁለንተናዊ ነው።
ማጠቃለያ
አንድ እኩልታ በበርካታ ዘዴዎች ሊፈታ ይችላል. በምሳሌው ላይ በመመስረት የመፍትሄ ዘዴዎችን መፈለግ ይለያያል. ለእያንዳንዱ እኩልታ የራሱ አለው የተሻለው መንገድመፍትሄዎች.
ይህንን ምሳሌ 6 ዘዴዎችን በመጠቀም ፈትተናል. ከእነዚህ ውስጥ አጭር እና ብዙ የሰው ጉልበት የሚጠይቅ ስለሆነ የፋክካሬሽን ዘዴን እመርጣለሁ.
ይህንን ልዩ እኩልታ ለመፍታት፣ እሱን ለመፍታት በጣም ጥሩው መንገድ እንደ ተገላቢጦሽ እኩልታ ነው። ነገር ግን ይህ ዘዴ ሁል ጊዜ ጥቅም ላይ አይውልም, ምክንያቱም ሁለንተናዊ ስላልሆነ እና በሁሉም ሁኔታዎች ተስማሚ አይደለም.
ያልተገደበ የቁጥሮች ዘዴ በዚህ ጉዳይ ላይም ምቹ ነው, ነገር ግን ሁሉም እኩልታዎች የኢንቲጀር ስሮች የላቸውም, ስለዚህ በተወሰኑ ጉዳዮች ላይ በጣም ጥሩ ነው.
እኩልታዎችን የመፍታት ስዕላዊ ዘዴ ጉልበት-ተኮር እና ትክክለኛ መልሶችን አይሰጥም. ይህ ዘዴ አንድ እኩልታ ምን ያህል ሥሮች እንዳሉት ለማወቅ በሚፈልጉበት ቦታ ችግሮችን ለመፍታት ምቹ ነው, እና የትኞቹ አይደሉም.
የከፍተኛ ዲግሪ እኩልታዎች የቪዬታ ንድፈ ሃሳብ ነው። ሁለንተናዊ ዘዴ. ነገር ግን ጉልበት የሚጠይቅ ስለሆነ ብዙም ጥቅም ላይ አይውልም.
የፌራሪ ዘዴ ለእኩልነት ሁለንተናዊ ነው። ግን ለዚህ ጉዳይ በጣም ጉልበት-ተኮር ነው.
ሥራዬ ለሚያጋጥሟቸው የሁለተኛ ደረጃ ተማሪዎች ትርጉም ያለው ነው። ተመሳሳይ ስራዎችበዩናይትድ ላይ የመንግስት ፈተናወይም በ የመግቢያ ፈተናዎችወደ ዩኒቨርሲቲዎች.
2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 = 0
በመጀመሪያ የመምረጫ ዘዴን በመጠቀም አንድ ሥር ማግኘት ያስፈልግዎታል. ብዙውን ጊዜ እሱ የነፃ ቃል አከፋፋይ ነው። ውስጥ በዚህ ጉዳይ ላይየቁጥሮች አካፋዮች 12 ናቸው። ±1፣ ±2፣ ±3፣ ±4፣ ±6፣ ±12።አንድ በአንድ መተካት እንጀምር፡-
1: 2 + 5 - 11 - 20 + 12 = -12 ⇒ ቁጥር 1
-1: 2 - 5 - 11 + 20 + 12 = 18 ⇒ ቁጥር -1 የፖሊኖሚል ሥር አይደለም
2: 2 ∙ 16 + 5 ∙ 8 - 11 ∙ 4 - 20 ∙ 2 + 12 = 0 ⇒ ቁጥር 2 የፖሊኖሚል ሥር ነው
የፖሊኖሚል ሥሮቹን 1 አግኝተናል. የፖሊኖሚል ሥሩ ነው። 2, ይህም ማለት ዋናው ፖሊኖሚል በ መከፋፈል አለበት x - 2. የ polynomials ክፍፍልን ለማከናወን የሆርነርን እቅድ እንጠቀማለን-
| 2 | 5 | -11 | -20 | 12 | |
| 2 |
የዋናው ፖሊኖሚል ቅንጅቶች በላይኛው መስመር ላይ ይታያሉ። ያገኘነው ሥር በሁለተኛው ረድፍ የመጀመሪያው ሕዋስ ውስጥ ተቀምጧል 2. ሁለተኛው መስመር በመከፋፈል ምክንያት የሚመጣውን የፖሊኖሚል (coefficients) ያካትታል. እንደሚከተለው ተቆጥረዋል፡-
|
በሁለተኛው ረድፍ ሁለተኛ ሕዋስ ውስጥ ቁጥሩን እንጽፋለን 2, በቀላሉ ከመጀመሪያው ረድፍ ተጓዳኝ ሕዋስ በማንቀሳቀስ. | ||||||||||||
|
2 ∙ 2 + 5 = 9 | ||||||||||||
|
2 ∙ 9 - 11 = 7 | ||||||||||||
|
2 ∙ 7 - 20 = -6 | ||||||||||||
|
2 ∙ (-6) + 12 = 0 |
የመጨረሻው ቁጥር የተቀረው ክፍል ነው. ከ 0 ጋር እኩል ከሆነ ሁሉንም ነገር በትክክል አስልተናል.
2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 = (x - 2) (2x 3 + 9x 2 + 7x - 6)
ግን ይህ መጨረሻ አይደለም. ፖሊኖሚል በተመሳሳይ መንገድ ለማስፋት መሞከር ይችላሉ 2x 3 + 9x 2 + 7x - 6።
እንደገናም ከነፃው ቃል አከፋፋዮች መካከል ሥር እየፈለግን ነው። የቁጥር አካፋዮች -6 ናቸው። ±1፣ ±2፣ ±3፣ ±6።
1: 2 + 9 + 7 - 6 = 12 ⇒ ቁጥር 1 የፖሊኖሚል ሥር አይደለም
-1: -2 + 9 - 7 - 6 = -6 ⇒ ቁጥር -1 የፖሊኖሚል ሥር አይደለም
2: 2 ∙ 8 + 9 ∙ 4 + 7 ∙ 2 - 6 = 60 ⇒ ቁጥር 2 የፖሊኖሚል ሥር አይደለም
-2: 2 ∙ (-8) + 9 ∙ 4 + 7 ∙ (-2) - 6 = 0 ⇒ ቁጥር -2 የፖሊኖሚል ሥር ነው
የተገኘውን ስር ወደ ሆርነር እቅዳችን እንፃፍ እና ባዶ ህዋሶችን መሙላት እንጀምር፡-
|
በሶስተኛው ረድፍ ሁለተኛ ሕዋስ ውስጥ ቁጥሩን እንጽፋለን 2, በቀላሉ ከሁለተኛው ረድፍ ተጓዳኝ ሕዋስ በማንቀሳቀስ. | ||||||||||||||||||
|
-2 ∙ 2 + 9 = 5 | ||||||||||||||||||
|
-2 ∙ 5 + 7 = -3 | ||||||||||||||||||
|
-2 ∙ (-3) - 6 = 0 |
ስለዚህም ዋናውን ብዙ ቁጥር ፈጠርን፡-
2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 = (x - 2)(x + 2) (2x 2 + 5x - 3)
ፖሊኖሚል 2x 2 + 5x - 3እንዲሁም በፋሲሊቲ ሊደረግ ይችላል. ይህንን ለማድረግ ይችላሉ አድሎአዊ በመጠቀም የኳድራቲክ እኩልታ መፍታት, ወይም ከቁጥሩ አካፋዮች መካከል ሥሩን መፈለግ ይችላሉ -3. አንድ መንገድ ወይም ሌላ, የዚህ ፖሊኖሚል ሥርወ-ቁጥር ነው ወደሚል መደምደሚያ እንደርሳለን -3
|
በአራተኛው ረድፍ ሁለተኛ ሕዋስ ውስጥ ቁጥሩን እንጽፋለን 2, በቀላሉ ከሶስተኛው ረድፍ ተጓዳኝ ሕዋስ በማንቀሳቀስ. | ||||||||||||||||||||||||
|
-3 ∙ 2 + 5 = -1 | ||||||||||||||||||||||||
|
-3 ∙ (-1) - 3 = 0 |
ስለዚህም ዋናውን ፖሊኖሚል ወደ መስመራዊ ምክንያቶች ሰበሰብነው፡-
2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 = (x - 2) (x + 2) (x + 3) (2x - 1)
እና የእኩልታው ሥሮች ናቸው።
2. እኩልነት ፊደልን የሚያካትት ከሆነ እኩልነቱ እኩልነት ይባላል።
ለአንዳንድ የዚህ ደብዳቤ እሴቶች እኩልታው እውነት ሊሆን ይችላል።
እና ለሌሎች ትርጉሞቹ ትክክል አይደለም.
ለምሳሌ፣ ቀመር x + 6 = 7
እውነት ለ x = 1
እና ለ x = 2 ውሸት።
3.
ተመጣጣኝ እኩልታዎች የመስመራዊው እኩልታ መጥረቢያ + በ + c = 0 ነው።
ለምሳሌ፡- 5x – 4y + 6 = 0።
እስቲ እንግለጽ:
⇒ 4y = 5x + 6 ⇒ y =
| 5x+6 |
| 4 |
⇒ y = 1.25x + 1.5.
የተገኘው እኩልታ, ከመጀመሪያው ጋር እኩል የሆነ, ቅጹ አለው
y = kx + ሜትር፣
የት: x - ገለልተኛ ተለዋዋጭ (ክርክር);
y - ጥገኛ ተለዋዋጭ (ተግባር);
k እና m ውህዶች (መለኪያዎች) ናቸው።
4 ተመጣጣኝ እኩልታዎች
ሁለቱ እኩልታዎች ይባላሉ ተመጣጣኝ (ተመጣጣኝ), የሁሉም የመፍትሄዎቻቸው ስብስቦች ከተገጣጠሙ ወይም ሁለቱም መፍትሄ ከሌላቸው እና ያመለክታሉ.
5/የመጀመሪያ ዲግሪ እኩልነት.
የመጀመሪያ ዲግሪ እኩልታ ወደ ቅጹ ሊቀንስ ይችላል-
ax+b = 0,
የት x- ተለዋዋጭ; ሀእና ለ- አንዳንድ ቁጥሮች, እና ሀ ≠ 0.
ከዚህ ዋጋ ማግኘት ቀላል ነው x:
ለ
x = - -
ሀ
ትርጉሙም ይህ ነው። xየእኩልታው ሥር ነው።
የመጀመሪያ ዲግሪ እኩልታዎች አንድ ሥር አላቸው.
የሁለተኛ ዲግሪ እኩልታ.
የሁለተኛ ዲግሪ እኩልታ ወደ ቅጹ ሊቀንስ ይችላል-
መጥረቢያ 2 + bx + c = 0፣
የት x- ተለዋዋጭ; a, b, c- አንዳንድ ቁጥሮች, እና ሀ ≠ 0.
የሁለተኛ ዲግሪ እኩልታ ሥሮች ብዛት በአድሎአዊነት ላይ የተመሠረተ ነው-
D> 0 ከሆነ, እኩልታ ሁለት ሥሮች አሉት;
D = 0 ከሆነ, እኩልታ አንድ ሥር አለው;
ዲ< 0, то уравнение корней не имеет.
የሁለተኛው ዲግሪ እኩልታ ከሁለት ስሮች በላይ ሊኖረው አይችልም.
(አድሎአዊ ምን እንደሆነ እና የእኩልታ ስር እንዴት እንደሚገኝ፣ ክፍልን ይመልከቱ “የሥር ፎርሙላ ኳድራቲክ እኩልታ. አድሎአዊ" እና "አራት ማዕዘን እኩልታ ለመፍታት ሌላ መንገድ").
የሶስተኛ ዲግሪ እኩልነት.
የሶስተኛ ዲግሪ እኩልታ ወደ ቅጹ ሊቀንስ ይችላል-
መጥረቢያ 3 + bx 2 + cx + መ = 0,
የት x- ተለዋዋጭ; ኤ ቢ ሲ ዲ- አንዳንድ ቁጥሮች, እና ሀ ≠ 0.
የሶስተኛው ዲግሪ እኩልታ ከሶስት ስሮች ያልበለጠ ሊሆን ይችላል.
የአራተኛው ዲግሪ እኩልነት.
የአራተኛው ዲግሪ እኩልታ ወደ ቅጹ ሊቀንስ ይችላል-
መጥረቢያ 4 + bx 3 + cx 2 + dx + ኢ = 0,
የት x- ተለዋዋጭ; a, b, c, d, e- አንዳንድ ቁጥሮች, እና ሀ ≠ 0.
የሶስተኛው ዲግሪ እኩልታ ከአራት በላይ ሥሮች ሊኖሩት አይችልም.
ማጠቃለያ፡-
1) የአምስተኛው ፣ ስድስተኛው ፣ ወዘተ. ከላይ ያለውን ንድፍ በመከተል ዲግሪዎች በቀላሉ በተናጥል ሊገኙ ይችላሉ;
2) እኩልታ n- ዲግሪ ከዚህ በላይ ሊኖረው አይችልም። nሥሮች.
6/ ከአንድ ተለዋዋጭ ጋር እኩልነት አንድ ተለዋዋጭ ብቻ የያዘ እኩልነት ነው። የአንድ እኩልታ ሥር (ወይም መፍትሔ) እኩልቱ ወደ እውነተኛ የቁጥር እኩልነት የሚቀየርበት የተለዋዋጭ እሴት ነው።
1. 8/-11/ስርዓቶች መስመራዊ እኩልታዎችመሰረታዊ ፅንሰ-ሀሳቦችየመስመር እኩልታዎች ስርዓት.
የማይጣጣም እና ያልተወሰነ ስርዓትመስመራዊ እኩልታዎች. የመስመራዊ እኩልታዎች ስብስብ ቋሚ እና ወጥ ያልሆነ የመስመራዊ እኩልታዎች ስብስብ።
የመስመር እኩልታዎች ስርዓትህብረት ነው። nመስመራዊ እኩልታዎች, እያንዳንዱም ይዟል ክተለዋዋጮች. እንዲህ ተብሎ ተጽፏል።
ብዙዎች፣ ለመጀመሪያ ጊዜ ከፍ ያለ አልጀብራ ሲያጋጥሟቸው፣ የእኩልታዎች ብዛት የግድ ከተለዋዋጮች ብዛት ጋር መገጣጠም እንዳለበት በስህተት ያምናሉ። በትምህርት ቤት አልጀብራ ውስጥ ይህ በአብዛኛው ይከሰታል፣ ነገር ግን ለከፍተኛ አልጀብራ ይህ በአጠቃላይ እውነት አይደለም።
የእኩልታዎች ስርዓት መፍታትየቁጥሮች ቅደም ተከተል ነው ( ክ 1 , ክ 2 , ..., k n), ለእያንዳንዱ የስርዓቱ እኩልታ መፍትሄ የሆነው, ማለትም. በተለዋዋጭ ምትክ ወደዚህ እኩልነት ሲተካ x 1 , x 2 , ..., x nትክክለኛውን የቁጥር እኩልነት ይሰጣል.
በዚህ መሠረት የእኩልታዎችን ስርዓት መፍታት ማለት የሁሉንም መፍትሄዎች ስብስብ መፈለግ ወይም ይህ ስብስብ ባዶ መሆኑን ማረጋገጥ ማለት ነው ። የእኩልታዎች ብዛት እና ያልታወቁት ቁጥር አንድ ላይሆን ስለሚችል ሶስት ጉዳዮች ሊኖሩ ይችላሉ፡
1. ስርዓቱ ወጥነት የለውም, ማለትም. የሁሉም መፍትሄዎች ስብስብ ባዶ ነው. ይበቃል ብርቅዬ ጉዳይ, ስርዓቱን ለመፍታት የትኛውም ዘዴ ጥቅም ላይ ቢውል በቀላሉ የተገኘ ነው.
2. ስርዓቱ ወጥነት ያለው እና የተገለጸ ነው, ማለትም. በትክክል አንድ መፍትሔ አለው. ከትምህርት ቤት ጀምሮ የሚታወቀው የሚታወቀው ስሪት.
3. ስርዓቱ ወጥነት ያለው እና ያልተገለጸ ነው, ማለትም. ብዙ መፍትሄዎች አሉት። ይህ በጣም አስቸጋሪው አማራጭ ነው. “ስርአቱ እንዳለው ለማመልከት በቂ አይደለም። ማለቂያ የሌለው ስብስብመፍትሄዎች" - ይህ ስብስብ እንዴት እንደሚዋቀር መግለጽ አስፈላጊ ነው.
ተለዋዋጭ x iተብሎ ይጠራል ተፈቅዷል, በስርዓቱ አንድ እኩልነት ውስጥ ብቻ የተካተተ ከሆነ እና ከ 1 ጋር እኩል ከሆነ, በሌላ አነጋገር, በቀሪዎቹ እኩልታዎች ውስጥ የተለዋዋጭ ቅንጅት. x iከዜሮ ጋር እኩል መሆን አለበት.
በእያንዳንዱ እኩልዮሽ ውስጥ አንድ የተፈቀደ ተለዋዋጭ ከመረጥን ለጠቅላላው የእኩልታዎች ስርዓት የተፈቀዱ ተለዋዋጮችን እናገኛለን። በዚህ ቅፅ የተፃፈው ስርዓቱ ራሱ ተፈትቷል ተብሎም ይጠራል። በአጠቃላይ አንድ እና ተመሳሳይ ኦሪጅናል ሲስተም ወደ ተለያዩ የተፈቀደላቸው ሊቀንስ ይችላል፣ አሁን ግን ስለዚህ ጉዳይ አንጨነቅም። የተፈቀዱ ስርዓቶች ምሳሌዎች እነኚሁና፡
ሁለቱም ስርዓቶች በተለዋዋጭ ተፈትተዋል x 1 , x 3 እና x 4 . ሆኖም ግን, በተመሳሳይ ስኬት ሁለተኛው ስርዓት በአንፃራዊነት ይፈቀዳል ብሎ መከራከር ይቻላል x 1 , x 3 እና x 5 . በቅጹ ውስጥ የመጨረሻውን እኩልነት እንደገና መፃፍ በቂ ነው x 5 = x 4 .
አሁን የበለጠ እንይ አጠቃላይ ጉዳይ. ሁሉንም ነገር ይኑረን ክተለዋዋጮች, ከእነዚህ ውስጥ አርተፈቅዶላቸዋል። ከዚያ ሁለት ጉዳዮች ሊኖሩ ይችላሉ-
1. የተፈቀዱ ተለዋዋጮች ብዛት አርከጠቅላላው የተለዋዋጮች ብዛት ጋር እኩል ነው። ክ: አር = ክ. ስርዓቱን የምናገኘው ከ ክየትኛዎቹ እኩልታዎች አር = ክየተፈቀዱ ተለዋዋጮች. እንዲህ ዓይነቱ ሥርዓት የጋራ እና የተወሰነ ነው, ምክንያቱም x 1 = ለ 1 , x 2 = ለ 2 , ..., x k = b k;
2. የተፈቀዱ ተለዋዋጮች ብዛት አርያነሰ ጠቅላላ ቁጥርተለዋዋጮች ክ: አር < ክ. የቀረው ( ክ − አር) ተለዋዋጮች ነፃ ተብለው ይጠራሉ - ማንኛውንም እሴቶች ሊወስዱ ይችላሉ, ከነሱ የተፈቀዱ ተለዋዋጮች በቀላሉ ሊሰሉ ይችላሉ.
ስለዚህ, ከላይ ባሉት ስርዓቶች ውስጥ ተለዋዋጮች x 2 , x 5 , x 6 (ለመጀመሪያው ስርዓት) እና x 2 , x 5 (ለሁለተኛው) ነጻ ናቸው. ነፃ ተለዋዋጮች ሲኖሩ ጉዳዩ እንደ ንድፈ ሃሳብ በተሻለ መልኩ ተዘጋጅቷል፡-
እባክዎን ያስተውሉ፡ ይህ በጣም ነው። አስፈላጊ ነጥብ! የውጤቱን ስርዓት እንዴት እንደሚጽፉ ላይ በመመስረት, ተመሳሳይ ተለዋዋጭ ሊፈቀድ ወይም ነጻ ሊሆን ይችላል. አብዛኞቹ አስተማሪዎች ከፍተኛ የሂሳብተለዋዋጮችን በ ውስጥ ለመፃፍ ይመከራል መዝገበ ቃላት ቅደም ተከተል፣ ማለትም እ.ኤ.አ. ወደ ላይ የሚወጣ መረጃ ጠቋሚ. ይሁን እንጂ ይህን ምክር የመከተል ግዴታ የለብህም።
ቲዎረም. ስርዓቱ ከ ከሆነ nየእኩልታ ተለዋዋጮች x 1 , x 2 , ..., x r- የተፈቀደ, እና x r + 1 , x r + 2 , ..., x k- ነፃ ፣ ከዚያ
1. የነፃ ተለዋዋጮችን ዋጋዎች ካዘጋጁ ( x r + 1 = ቲ አር + 1 , x r + 2 = ቲ አር + 2 , ..., x k = tk), እና ከዚያ እሴቶቹን ያግኙ x 1 , x 2 , ..., x r, ከመፍትሔዎቹ ውስጥ አንዱን እናገኛለን.
2. በሁለት መፍትሄዎች ውስጥ የነጻ ተለዋዋጮች እሴቶች ከተጣመሩ, የተፈቀዱ ተለዋዋጮች እሴቶች እንዲሁ ይገናኛሉ, ማለትም. መፍትሄዎች እኩል ናቸው.
የዚህ ቲዎሪ ትርጉም ምንድን ነው? ለተፈታ የእኩልታዎች ስርዓት ሁሉንም መፍትሄዎች ለማግኘት ነፃ ተለዋዋጮችን ማግለል በቂ ነው። ከዚያ ለነፃ ተለዋዋጮች መመደብ የተለያዩ ትርጉሞች, እንቀበላለን ዝግጁ የሆኑ መፍትሄዎች. ያ ብቻ ነው - በዚህ መንገድ ሁሉንም የስርዓቱን መፍትሄዎች ማግኘት ይችላሉ. ሌሎች መፍትሄዎች የሉም.
ማጠቃለያ፡ የተፈታው የእኩልታዎች ስርዓት ሁሌም ወጥ ነው። በተፈታ ስርዓት ውስጥ ያሉት የእኩልታዎች ብዛት ከተለዋዋጮች ብዛት ጋር እኩል ከሆነ ስርዓቱ የተወሰነ ይሆናል፤ ያነሰ ከሆነ ያልተወሰነ ይሆናል።
በርካታ እኩልታዎች ቅጾች የእኩልታዎች ስብስብ
2. 12,13/ የመስመር አለመመጣጠን./ ጥብቅ እና ጥብቅ ያልሆኑ እኩልነት ምንድን ነው አለመመጣጠን?ማንኛውም እኩልታ ይወሰዳል፣ የ"="("እኩል") ምልክት በሌላ ምልክት ተተክቷል ( > ;≥ ; < ; ≤ ; ≠ ) እና እኩልነት ተገኝቷል።) እኩልታው ማንኛውም ሊሆን ይችላል፡- ሊኒያር፣ ኳድራቲክ፣ ክፍልፋይ፣ ገላጭ፣ ትሪግኖሜትሪክ፣ ሎጋሪዝም፣ ወዘተ. እናም ይቀጥላል. በዚህ መሠረት የእኛ አለመመጣጠን መስመራዊ፣ ኳድራቲክ ወዘተ ይሆናል።
ስለ እኩልነት አዶዎች ማወቅ ያለብዎት ነገር ምንድን ነው? ከአዶ ጋር አለመመጣጠን ተጨማሪ (> ), ወይም ያነሰ (< ) ተጠርተዋል። ጥብቅ.ከአዶዎች ጋር ብዙ ወይም እኩል (≥ ), ያነሰ ወይም እኩል (≤ ) ተጠርተዋል። ጥብቅ አይደለም.አዶ እኩል አይደለም (≠ ) ተለይቶ ይቆማል, ነገር ግን በዚህ አዶ ሁልጊዜ ምሳሌዎችን መፍታት አለብዎት. እና እንወስናለን.)
አዶው ራሱ በመፍትሔው ሂደት ላይ ብዙ ተጽእኖ አይኖረውም. ነገር ግን በውሳኔው መጨረሻ, የመጨረሻውን መልስ በሚመርጡበት ጊዜ, የአዶው ትርጉም በ ውስጥ ይታያል ሙሉ ኃይል! በምሳሌዎች ከዚህ በታች የምናየው ይህንን ነው። እዚያ አንዳንድ ቀልዶች አሉ ...
እንደ እኩልነት ያሉ እኩልነቶች አሉ። ታማኝ እና ታማኝ ያልሆነ.እዚህ ሁሉም ነገር ቀላል ነው, ምንም ዘዴዎች የሉም. እንበል 5 > 2 - እውነተኛ እኩልነት. 5 < 2 - የተሳሳተ.
መስመራዊ፣ ኳድራቲክ፣ ክፍልፋይ፣ ገላጭ፣ ትሪግኖሜትሪክ እና ሌሎች እኩልነቶች በተለያዩ መንገዶች ይፈታሉ። እያንዳንዱ ዓይነት የራሱ የሆነ ዘዴ, የራሱ የሆነ ልዩ ዘዴ አለው. ግን! እነዚህ ሁሉ ልዩ ዘዴዎች ጥቅም ላይ ሊውሉ ይችላሉ ለአንድ ሰው ብቻ መደበኛ እይታአለመመጣጠን.እነዚያ። የማንኛውም ዓይነት እኩልነት መጀመሪያ መሆን አለበት። አዘጋጅየእርስዎን ዘዴ ለመጠቀም.
3. 14,16/የእኩልነት መሰረታዊ ባህሪያት/. ሁለት እኩል ያልሆኑ ድርጊቶች.
1) ከሆነ 
2) የመሸጋገሪያው ንብረት. ከሆነ
3) በእውነተኛ እኩልነት በሁለቱም ጎኖች ላይ ተመሳሳይ ቁጥር ካከሉ, እውነተኛ እኩልነት ያገኛሉ, ማለትም. ከሆነ
4) ማንኛውንም ቃል ከአንዱ የእውነተኛ እኩልነት ክፍል ወደ ሌላው ካስተላለፍን ምልክቱን ወደ ተቃራኒው ከቀየርን ፣ ከዚያ እውነተኛ እኩልነት እናገኛለን ፣ ማለትም። ከሆነ
5) የእውነተኛ እኩልነት ሁለቱም ጎኖች በተመሳሳይ ቢባዙ አዎንታዊ ቁጥር, ከዚያም እኩልነት እውነት ይሆናል. ለምሳሌ, ከሆነ 
6) የእውነተኛ እኩልነት ሁለቱም ጎኖች በተመሳሳይ ቢባዙ አሉታዊ ቁጥርእና የእኩልነት ምልክትን መለወጥበተቃራኒው ውጤቱ እውነተኛ አለመመጣጠን ነው. ለምሳሌ, ከሆነ
7) ከህጎች 5) እና 6 ጋር ተመሳሳይ) ፣ በተመሳሳይ ቁጥር የመከፋፈል ህጎች ተፈጻሚ ይሆናሉ። ከሆነ 