እኩልታዎችን መጠቀም በህይወታችን ውስጥ ሰፊ ነው. በብዙ ስሌቶች, መዋቅሮች ግንባታ እና ሌላው ቀርቶ ስፖርቶች ውስጥ ጥቅም ላይ ይውላሉ. ሰው በጥንት ጊዜ እኩልታዎችን ይጠቀም ነበር, እና ከዚያ ጊዜ ጀምሮ አጠቃቀማቸው እየጨመረ መጥቷል. ከአራት የማይታወቁ ጋር እኩልታዎች ብዙ መፍትሄዎች ሊኖራቸው ይችላል። በሂሳብ ውስጥ, አንድ ሰው ብዙውን ጊዜ የዚህ አይነት እኩልታዎች ያጋጥመዋል. እንደነዚህ ያሉትን እኩልታዎች በትክክል ለመፍታት, መፍትሄውን ለማቃለል እና ለማሳጠር ሁሉንም የእኩልታዎች ባህሪያት መጠቀም አስፈላጊ ነው.
ለሚከተለው ምሳሌ መፍትሄውን እንመልከት።
የመጀመሪያውን እና ሁለተኛውን እኩልታዎች በክፍሎች በማከል በጣም ቀላል እኩልታ ማግኘት ይችላሉ-
\ ወይም \
ከቁጥር 2 እና 3 ጋር ተመሳሳይ ድርጊቶችን እናድርግ፡-
\ ወይም \
የተገኙትን እኩልታዎች እንፈታዋለን \ እና \
\ እና \ን እናገኛለን
የተገኙትን ቁጥሮች ወደ እኩልታዎች 1 እና 3 እንተካቸዋለን፡-
\ ወይም \
\ ወይም \
እነዚህን ቁጥሮች በሁለተኛው መተካት እና አራተኛው እኩልታበትክክል ተመሳሳይ እኩልታዎችን ይሰጣል.
ግን ያ ብቻ አይደለም በ2 ያልታወቁት ለመፍታት 2 እኩልታዎች ስለሚቀሩ። መፍትሄ የዚህ አይነትእዚህ በጽሑፎቹ ውስጥ ያሉትን እኩልታዎች መመልከት ይችላሉ።
በመስመር ላይ ከአራት ያልታወቁ ነገሮች ጋር እኩልታን የት መፍታት እችላለሁ?
ከማይታወቁ ጋር እኩልታዎችን በመስመር ላይ https://site ላይ መፍታት ይችላሉ። ነፃው የመስመር ላይ ፈታኝ ማንኛውንም ውስብስብነት በመስመር ላይ በሰከንዶች ጊዜ ውስጥ እንዲፈቱ ይፈቅድልዎታል ። የሚያስፈልግህ በቀላሉ ውሂብህን ወደ ፈላጊው ውስጥ ማስገባት ብቻ ነው። እንዲሁም የቪዲዮ መመሪያዎችን ማየት እና በድረ-ገፃችን ላይ ያለውን እኩልታ እንዴት እንደሚፈቱ መማር ይችላሉ. እና አሁንም ጥያቄዎች ካሉዎት በ VKontakte ቡድናችን http://vk.com/pocketteacher ውስጥ ሊጠይቋቸው ይችላሉ። ቡድናችንን ይቀላቀሉ ፣ እርስዎን ለመርዳት ሁል ጊዜ ደስተኞች ነን።
በኢኮኖሚው ኢንዱስትሪ ውስጥ የእኩልታዎች ስርዓቶች በስፋት ጥቅም ላይ ውለዋል የሂሳብ ሞዴሊንግ የተለያዩ ሂደቶች. ለምሳሌ, የምርት አስተዳደር እና እቅድ, የሎጂስቲክስ መስመሮች (የትራንስፖርት ችግር) ወይም የመሳሪያ አቀማመጥ ችግሮችን ሲፈቱ.
የእኩልታዎች ስርዓቶች በሂሳብ ላይ ብቻ ሳይሆን በፊዚክስ ፣ በኬሚስትሪ እና በባዮሎጂ ውስጥ የህዝብ ብዛትን የመፈለግ ችግሮችን በሚፈቱበት ጊዜ ጥቅም ላይ ይውላሉ።
ስርዓት መስመራዊ እኩልታዎችሁለት ወይም ከዚያ በላይ እኩልታዎችን ከበርካታ ተለዋዋጮች ጋር ይሰይሙ ለዚህም የጋራ መፍትሄ ማግኘት አስፈላጊ ነው። ሁሉም እኩልታዎች እውነተኛ እኩልነት የሚሆኑበት ወይም ቅደም ተከተላቸው አለመኖሩን የሚያረጋግጡበት የቁጥር ቅደም ተከተል።
መስመራዊ እኩልታ
የቅርጽ ax+by=c እኩልታዎች መስመራዊ ይባላሉ። ስያሜዎቹ x፣ y እሴታቸው መገኘት ያለባቸው የማይታወቁ ናቸው፣ b፣ a የተለዋዋጮች ውህደቶች ናቸው፣ c የእኩልታው ነፃ ቃል ነው።
እኩልታውን በማቀድ መፍታት ቀጥተኛ መስመር ይመስላል ፣ ሁሉም ነጥቦች ለፖሊኖሚል መፍትሄዎች ናቸው።
የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓቶች ዓይነቶች
በጣም ቀላሉ ምሳሌዎች ከሁለት ተለዋዋጮች X እና Y ጋር የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓቶች ተደርገው ይወሰዳሉ።
F1 (x, y) = 0 እና F2 (x, y) = 0, F1,2 ተግባራት ሲሆኑ (x, y) የተግባር ተለዋዋጮች ናቸው.
የእኩልታዎች ስርዓት ይፍቱ - ይህ ማለት ስርዓቱ የሚለወጥባቸውን እሴቶች (x, y) መፈለግ ማለት ነው እውነተኛ እኩልነትወይም ያንን መመስረት ተስማሚ እሴቶች x እና y የሉም።
ጥንድ እሴቶች (x፣ y)፣ እንደ የነጥብ መጋጠሚያዎች የተጻፉት፣ የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓት መፍትሄ ይባላል።
ስርዓቶች አንድ የጋራ መፍትሄ ካላቸው ወይም ምንም መፍትሄ ከሌለ, ተመጣጣኝ ተብለው ይጠራሉ.
ተመሳሳይነት ያላቸው የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓቶች የቀኝ እጆቻቸው ከዜሮ ጋር እኩል የሆኑ ስርዓቶች ናቸው. ከእኩል ምልክት በኋላ ያለው ትክክለኛው ክፍል ዋጋ ካለው ወይም በአንድ ተግባር ከተገለጸ, እንዲህ ዓይነቱ ሥርዓት የተለያየ ነው.
የተለዋዋጮች ብዛት ከሁለት በላይ ሊሆን ይችላል፣ ከዚያ ከሶስት ወይም ከዚያ በላይ ተለዋዋጮች ያሉት የመስመር እኩልታዎች ስርዓት ምሳሌ መነጋገር አለብን።
ከስርአቶች ጋር ሲጋፈጡ፣የትምህርት ቤት ልጆች የእኩልታዎች ብዛት ከማይታወቁት ብዛት ጋር መገጣጠም እንዳለበት ያስባሉ፣ነገር ግን ይህ እንደዛ አይደለም። በስርዓቱ ውስጥ ያሉት የእኩልታዎች ብዛት በተለዋዋጭዎቹ ላይ የተመካ አይደለም;
የእኩልታዎችን ስርዓቶች ለመፍታት ቀላል እና ውስብስብ ዘዴዎች
የተለመደ የለም የትንታኔ ዘዴለእንደዚህ አይነት ስርዓቶች መፍትሄዎች, ሁሉም ዘዴዎች የተመሰረቱ ናቸው የቁጥር መፍትሄዎች. ውስጥ የትምህርት ቤት ኮርስሒሳብ፣ እንደ ፐርሙቴሽን፣ አልጀብራ መደመር፣ ምትክ፣ እንዲሁም ስዕላዊ እና ማትሪክስ ዘዴ, መፍትሄ በ Gaussian ዘዴ.
የመፍትሄ ዘዴዎችን በሚያስተምርበት ጊዜ ዋናው ተግባር ስርዓቱን እንዴት በትክክል መተንተን እና ለእያንዳንዱ ምሳሌ ጥሩውን የመፍትሄ ስልተ ቀመር ማግኘት ነው. ዋናው ነገር ለእያንዳንዱ ዘዴ ደንቦችን እና ድርጊቶችን ስርዓት ማስታወስ አይደለም, ነገር ግን የተወሰነ ዘዴን የመጠቀም መርሆችን መረዳት ነው.
የ 7 ኛ ክፍል ፕሮግራም የመስመር እኩልታዎች ስርዓቶች ምሳሌዎችን መፍታት ሁለተኛ ደረጃ ትምህርት ቤትበጣም ቀላል እና በጣም በዝርዝር ተብራርቷል. በማንኛውም የሂሳብ መማሪያ መጽሐፍ, ይህ ክፍል በቂ ትኩረት ተሰጥቶታል. የ Gauss እና Cramer ዘዴን በመጠቀም የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓቶችን ምሳሌዎችን መፍታት በመጀመሪያዎቹ የከፍተኛ ትምህርት ዓመታት በበለጠ ዝርዝር ተጠንቷል።
የመተኪያ ዘዴን በመጠቀም ስርዓቶችን መፍታት
የመተኪያ ዘዴ ድርጊቶች የአንድን ተለዋዋጭ እሴት ከሁለተኛው አንፃር ለመግለጽ ያተኮሩ ናቸው. አገላለጹ በቀሪው ቀመር ውስጥ ተተክቷል, ከዚያም ወደ አንድ ተለዋዋጭ ቅፅ ይቀንሳል. በስርዓቱ ውስጥ በማይታወቁት ቁጥር ላይ በመመስረት ድርጊቱ ይደገማል
የመተኪያ ዘዴን በመጠቀም የክፍል 7 መስመራዊ እኩልታዎች ስርዓት ምሳሌን እንስጥ።
ከምሳሌው ላይ እንደሚታየው ተለዋዋጭ x በF (X) = 7 + Y በኩል ተገልጿል. የተገኘው አገላለጽ በ 2 ኛው የስርዓቱ እኩልታ በ X ምትክ ተተክቷል, በ 2 ኛው እኩልታ አንድ ተለዋዋጭ Y ለማግኘት ረድቷል. . መፍትሄ ይህ ምሳሌችግሮችን አያመጣም እና የ Y እሴትን እንዲያገኙ ይፈቅድልዎታል የመጨረሻው ደረጃ የተገኙትን እሴቶች መፈተሽ ነው.
የመስመር እኩልታዎች ስርዓት ምሳሌን በመተካት ሁልጊዜ መፍታት አይቻልም። እኩልታዎቹ ውስብስብ ሊሆኑ ይችላሉ እና ተለዋዋጭውን በሁለተኛው የማይታወቅ ሁኔታ መግለጽ ለቀጣይ ስሌቶች በጣም አስቸጋሪ ይሆናል. በስርአቱ ውስጥ ከ3 በላይ ያልታወቁ ነገሮች ሲኖሩ፣ በመተካት መፍታትም ተገቢ አይደለም።
የመስመራዊ ተመጣጣኝ ያልሆነ እኩልታዎች ስርዓት ምሳሌ መፍትሄ፡-
የአልጀብራ መጨመርን በመጠቀም መፍትሄ
የመደመር ዘዴን በመጠቀም ለሥርዓቶች መፍትሄዎችን ሲፈልጉ፣ በየጊዜ መደመር እና እኩልታዎችን በማባዛት ያከናውናሉ። የተለያዩ ቁጥሮች. የመጨረሻው ግብ የሂሳብ ስራዎችከአንድ ተለዋዋጭ ጋር እኩልነት ነው.
ለመተግበሪያዎች ይህ ዘዴልምምድ እና ምልከታ ያስፈልጋል. 3 ወይም ከዚያ በላይ ተለዋዋጮች ሲኖሩ የመደመር ዘዴን በመጠቀም የመስመራዊ እኩልታዎችን ስርዓት መፍታት ቀላል አይደለም። እኩልታዎች ክፍልፋዮች እና አስርዮሽ ሲይዙ አልጀብራ መጨመር ለመጠቀም ምቹ ነው።
የመፍትሄው ስልተ ቀመር፡
- የእኩልታውን ሁለቱንም ጎኖች በተወሰነ ቁጥር ማባዛት። ከዚህ የተነሳ የሂሳብ እርምጃከተለዋዋጭዎቹ ጥምርታዎች አንዱ ከ 1 ጋር እኩል መሆን አለበት።
- የተገኘውን የቃላት አገላለጽ በቃላት ይጨምሩ እና ከማይታወቁት ውስጥ አንዱን ያግኙ።
- የቀረውን ተለዋዋጭ ለማግኘት የተገኘውን እሴት ወደ ስርዓቱ 2 ኛ እኩልታ ይለውጡ።
አዲስ ተለዋዋጭ በማስተዋወቅ የመፍትሄ ዘዴ
ስርዓቱ ከሁለት ላልበለጠ እኩልታዎች መፍትሄ መፈለግን የሚፈልግ ከሆነ አዲስ ተለዋዋጭ ማስተዋወቅ ይቻላል;
ዘዴው አዲስ ተለዋዋጭ በማስተዋወቅ አንዱን እኩልታ ለማቃለል ይጠቅማል። አዲሱ እኩልታ ለተዋወቀው ያልታወቀ ተፈትቷል፣ እና የተገኘው እሴት የመጀመሪያውን ተለዋዋጭ ለመወሰን ጥቅም ላይ ይውላል።
ምሳሌው እንደሚያሳየው አዲስ ተለዋዋጭ t በማስተዋወቅ የስርዓቱን 1 ኛ እኩልታ ወደ መደበኛው መቀነስ ተችሏል ኳድራቲክ ሶስትዮሽ. አድሎአዊውን በማግኘት ብዙ ቁጥርን መፍታት ይችላሉ።
አድሎአዊ እሴትን በ የታወቀ ቀመር D = b2 - 4*a*c፣ D የሚፈለገው አድሎአዊ የሆነበት፣ b፣ a, c የብዙ ቁጥር ምክንያቶች ናቸው። ውስጥ ምሳሌ ተሰጥቷል። a=1፣ b=16፣ c=39፣ ስለዚህ D=100። አድሏዊው ከዜሮ የሚበልጥ ከሆነ ሁለት መፍትሄዎች አሉ፡ t = -b±√D/2*a፣ አድሎአዊው ከዜሮ ያነሰ ከሆነ አንድ መፍትሄ አለ፡- x = -b / 2*a።
ለተፈጠሩት ስርዓቶች መፍትሄ የሚገኘው በመደመር ዘዴ ነው.
ስርዓቶችን ለመፍታት ምስላዊ ዘዴ
ለ 3 እኩልታ ስርዓቶች ተስማሚ. ዘዴው መገንባት ነው ዘንግ አስተባባሪበስርዓቱ ውስጥ የተካተቱ የእያንዳንዱ እኩልታ ግራፎች. የመንገዶች መጋጠሚያ ነጥቦች መጋጠሚያዎች እና ይሆናሉ አጠቃላይ ውሳኔስርዓቶች.
የግራፊክ ዘዴው በርካታ ጥቃቅን ነገሮች አሉት. የመስመራዊ እኩልታዎችን ስርዓቶችን በእይታ መንገድ ለመፍታት በርካታ ምሳሌዎችን እንመልከት።
ከምሳሌው እንደሚታየው ለእያንዳንዱ መስመር ሁለት ነጥቦች ተገንብተዋል ፣ የተለዋዋጭ x ዋጋዎች በዘፈቀደ ተመርጠዋል 0 እና 3. በ x እሴቶች ላይ በመመስረት ፣ የ y ዋጋዎች ተገኝተዋል። 3 እና 0. መጋጠሚያዎች (0, 3) እና (3, 0) ያላቸው ነጥቦች በግራፉ ላይ ምልክት ተደርጎባቸዋል እና በመስመር ተገናኝተዋል.
ደረጃዎቹ ለሁለተኛው እኩልታ መደገም አለባቸው. የመስመሮቹ መገናኛ ነጥብ የስርዓቱ መፍትሄ ነው.
የሚከተለው ምሳሌ መፈለግን ይጠይቃል ግራፊክ መፍትሄየመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓቶች፡ 0.5x-y+2=0 እና 0.5x-y-1=0።
ከምሳሌው እንደሚታየው, ስርዓቱ ምንም መፍትሄ የለውም, ምክንያቱም ግራፎች ትይዩ ናቸው እና ሙሉውን ርዝመት አይገናኙም.
በምሳሌ 2 እና 3 ያሉት ስርዓቶች ተመሳሳይ ናቸው, ነገር ግን ሲገነቡ መፍትሄዎቻቸው የተለያዩ እንደሆኑ ግልጽ ይሆናል. አንድ ሥርዓት መፍትሔ አለው ወይም አይደለም ለማለት ሁልጊዜ የማይቻል መሆኑን መታወስ አለበት, ሁልጊዜ ግራፍ መገንባት አስፈላጊ ነው.
ማትሪክስ እና ዝርያዎቹ
ማትሪክስ የመስመራዊ እኩልታዎችን ስርዓት በአጭሩ ለመፃፍ ያገለግላሉ። ማትሪክስ ጠረጴዛ ነው ልዩ ዓይነትበቁጥሮች የተሞላ. n * m n - ረድፎች እና m - አምዶች አሉት.
የአምዶች እና የረድፎች ብዛት እኩል ሲሆኑ ማትሪክስ ካሬ ነው። ማትሪክስ-ቬክተር ማለቂያ የሌለው የአንድ አምድ ማትሪክስ ነው። የሚቻል ቁጥርመስመሮች. ከአንዱ ዲያግናል እና ሌሎች ዜሮ አካላት ጋር ያለው ማትሪክስ ማንነት ይባላል።
የተገላቢጦሽ ማትሪክስ ማትሪክስ ነው ፣ ሲባዛ ፣ ዋናው ወደ አሃድ ማትሪክስ የሚቀየርበት ፣ እንደዚህ ያለ ማትሪክስ የሚገኘው ለዋናው ካሬ ብቻ ነው።
የእኩልታዎችን ስርዓት ወደ ማትሪክስ ለመቀየር ህጎች
ከእኩልታዎች ስርዓቶች ጋር በተገናኘ ፣ የእኩልታዎች ብዛት እና ነፃ ቃላቶች እንደ ማትሪክስ ቁጥሮች ተጽፈዋል ፣ አንድ እኩልታ የማትሪክስ አንድ ረድፍ ነው።
ቢያንስ አንድ የረድፉ አካል ካልሆነ የማትሪክስ ረድፍ ዜሮ ነው ይባላል ከዜሮ ጋር እኩል ነው።. ስለዚህ, በማናቸውም እኩልታዎች ውስጥ የተለዋዋጮች ቁጥር ቢለያይ, በማይታወቅ ቦታ ላይ ዜሮን ማስገባት አስፈላጊ ነው.
የማትሪክስ አምዶች ከተለዋዋጮች ጋር በጥብቅ መዛመድ አለባቸው። ይህ ማለት የተለዋዋጭ x ጥምርታዎች በአንድ አምድ ውስጥ ብቻ ሊጻፉ ይችላሉ, ለምሳሌ የመጀመሪያው, የማይታወቅ y - በሁለተኛው ውስጥ ብቻ.
ማትሪክስ በሚባዙበት ጊዜ ሁሉም የማትሪክስ አካላት በቅደም ተከተል በቁጥር ይባዛሉ።
ተገላቢጦሹን ማትሪክስ ለማግኘት አማራጮች
የተገላቢጦሹን ማትሪክስ የማግኘት ቀመር በጣም ቀላል ነው-K -1 = 1 / | K | ፣ K -1 - የተገላቢጦሽ ማትሪክስ, እና |K| የማትሪክስ ወሳኙ ነው. |ክ| ከዜሮ ጋር እኩል መሆን የለበትም, ከዚያ ስርዓቱ መፍትሄ አለው.
መወሰኛው በቀላሉ ለሁለት-በሁለት ማትሪክስ ይሰላል; ለ"ሶስት በሶስት" አማራጭ |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 ለ 2 ሐ 1 ቀመሩን መጠቀም ይችላሉ, ወይም በእያንዳንዱ ረድፍ እና በእያንዳንዱ አምድ ውስጥ የአምዶች እና የረድፎች ቁጥሮች በስራው ውስጥ እንዳይደገሙ አንድ ኤለመንት መውሰድ እንዳለቦት ማስታወስ ይችላሉ.
የማትሪክስ ዘዴን በመጠቀም የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓቶች ምሳሌዎችን መፍታት
መፍትሔ ለማግኘት የማትሪክስ ዘዴ ስርዓቶችን ሲፈቱ አስቸጋሪ የሆኑ ግቤቶችን እንዲቀንሱ ያስችልዎታል ትልቅ መጠንተለዋዋጮች እና እኩልታዎች.
በምሳሌው፣ nm የእኩልታዎች ጥምርታ፣ ማትሪክስ ቬክተር x n ተለዋዋጭ ናቸው፣ እና b n ነፃ ቃላት ናቸው።
የ Gaussian ዘዴን በመጠቀም ስርዓቶችን መፍታት
ውስጥ ከፍተኛ የሂሳብየ Gaussian ዘዴ ከ Cramer ዘዴ ጋር አንድ ላይ ያጠናል, እና ለስርዓቶች መፍትሄዎችን የማግኘት ሂደት የ Gauss-Cramer መፍትሄ ዘዴ ይባላል. እነዚህ ዘዴዎች ለማግኘት ጥቅም ላይ ይውላሉ ተለዋዋጭ ስርዓቶችከብዙ የመስመር እኩልታዎች ጋር።
የጋውስ ዘዴ ምትክን በመጠቀም መፍትሄዎችን እና አልጀብራ መጨመር፣ ግን የበለጠ ስልታዊ። በት / ቤት ኮርስ, በ Gaussian ዘዴ መፍትሄው ለ 3 እና 4 እኩልታዎች ስርዓቶች ጥቅም ላይ ይውላል. የስልቱ አላማ ስርዓቱን ወደ ተገላቢጦሽ ትራፔዞይድ ቅርጽ መቀነስ ነው. በ የአልጀብራ ለውጦችእና ተተኪዎች, የአንድ ተለዋዋጭ እሴት በስርዓቱ እኩልታዎች ውስጥ በአንዱ ውስጥ ይገኛል. ሁለተኛው እኩልታ 2 ያልታወቀ አገላለጽ ሲሆን 3 እና 4 ደግሞ በቅደም ተከተል 3 እና 4 ተለዋዋጮች ናቸው።
ስርዓቱን ወደተገለጸው ቅፅ ካመጣ በኋላ, ተጨማሪው መፍትሄ ወደ ስርዓቱ እኩልታዎች የታወቁ ተለዋዋጮችን በቅደም ተከተል መተካት ይቀንሳል.
ውስጥ የትምህርት ቤት መማሪያዎችለ 7 ኛ ክፍል ፣ በ Gaussian ዘዴ የመፍትሄ ምሳሌ እንደሚከተለው ይገለጻል ።
ከምሳሌው እንደሚታየው በደረጃ (3) ሁለት እኩልታዎች ተገኝተዋል 3x 3 -2x 4 = 11 እና 3x 3 +2x 4 =7. ማናቸውንም እኩልታዎች መፍታት ከተለዋዋጭ x n አንዱን ለማወቅ ያስችልዎታል።
በጽሁፉ ውስጥ የተጠቀሰው ቲዎረም 5, ከስርአቱ እኩልታዎች አንዱ በተመጣጣኝ ከተተካ, የተገኘው ስርዓት ከዋናው ጋር እኩል ይሆናል.
የ Gauss ዘዴ ለተማሪዎች ለመረዳት አስቸጋሪ ነው ሁለተኛ ደረጃ ትምህርት ቤት, ነገር ግን በጣም አንዱ ነው አስደሳች መንገዶችበፕሮግራሙ ስር የሚማሩ ልጆችን ብልሃት ለማዳበር ጥልቅ ጥናትበሂሳብ እና በፊዚክስ ክፍሎች.
ለመቅዳት ቀላልነት፣ ስሌቶች ብዙውን ጊዜ እንደሚከተለው ይከናወናሉ፡
የእኩልታዎች እና የነፃ ቃላት ጥምርታዎች በማትሪክስ መልክ የተፃፉ ሲሆን እያንዳንዱ የማትሪክስ ረድፍ ከስርአቱ እኩልታዎች አንዱ ጋር ይዛመዳል። ይለያል ግራ ጎንእኩልታዎች ከቀኝ. የሮማውያን ቁጥሮች በስርዓቱ ውስጥ ያሉትን የእኩልታዎች ቁጥሮች ያመለክታሉ.
በመጀመሪያ, የሚሠራውን ማትሪክስ ይፃፉ, ከዚያም በአንደኛው ረድፍ የተከናወኑ ድርጊቶች በሙሉ. የተገኘው ማትሪክስ ከ "ቀስት" ምልክት በኋላ የተፃፈ እና አስፈላጊውን መፈጸምን ይቀጥላል የአልጀብራ ስራዎችውጤቱ እስኪሳካ ድረስ.
ውጤቱም ከዲያግኖቹ አንዱ ከ 1 ጋር እኩል የሆነበት ማትሪክስ መሆን አለበት ፣ እና ሁሉም ሌሎች ውህደቶች ከዜሮ ጋር እኩል ናቸው ፣ ማለትም ፣ ማትሪክስ ወደ አንድ አሃድ ቅርፅ የተቀነሰ ነው። በስሌቱ በሁለቱም በኩል ከቁጥሮች ጋር ስሌቶችን ማከናወን መዘንጋት የለብንም.
ይህ የመቅዳት ዘዴ ብዙም አስቸጋሪ አይደለም እና ብዙ የማይታወቁ ነገሮችን በመዘርዘር ትኩረታችሁን እንዳይከፋፍሉ ያስችልዎታል።
የማንኛውም የመፍትሄ ዘዴ ነፃ አጠቃቀም እንክብካቤ እና የተወሰነ ልምድ ይጠይቃል። ሁሉም ዘዴዎች ተግባራዊ ተፈጥሮ አይደሉም. አንዳንድ መፍትሄዎችን የመፈለግ ዘዴዎች በተወሰነ የሰው ልጅ እንቅስቃሴ ውስጥ የበለጠ ተመራጭ ናቸው ፣ ሌሎች ደግሞ ለትምህርታዊ ዓላማዎች አሉ።
የእኩልታዎች ብዛት ሲፈጠር ጉዳዩ ኤምተጨማሪ ተለዋዋጮች n, በቅደም ተከተል የማይታወቁትን ከእኩልታዎች በማስወገድ ወደ ጉዳዩ ይመራል ኤም= nወይም ኤም n. የመጀመሪያው ጉዳይ ቀደም ብሎ ተብራርቷል.
በሁለተኛው ጉዳይ ላይ የእኩልታዎች ቁጥር ከማይታወቁት ቁጥር ያነሰ በሚሆንበት ጊዜ ኤም nእና እኩልታዎቹ ገለልተኛ ናቸው, ተለይተው ይታወቃሉ ኤም ዋና ተለዋዋጮች እና ( n- ኤም)ዋና ያልሆኑ ተለዋዋጮች . ዋናዎቹ ተለዋዋጮች ሁኔታውን የሚያረኩ ናቸው፡ ወሳኙ፣ ከእነዚህ ተለዋዋጮች ውህደቶች የተሰራ፣ ከዜሮ ጋር እኩል አይደለም። ዋናዎቹ የተለያዩ የተለዋዋጭ ቡድኖች ሊሆኑ ይችላሉ. የእነዚህ ቡድኖች ጠቅላላ ብዛት ኤንየጥምረቶች ብዛት ጋር እኩል ነው። nንጥረ ነገሮች በ ኤም:
አንድ ሥርዓት ቢያንስ አንድ የመሠረታዊ ተለዋዋጮች ቡድን ካለው፣ ይህ ሥርዓት ነው። እርግጠኛ ያልሆነ ማለትም ብዙ መፍትሄዎች አሉት።
ስርዓቱ አንድ ነጠላ የመሠረታዊ ተለዋዋጮች ቡድን ከሌለው ስርዓቱ ነው። የጋራ ያልሆነ ማለትም አንድ ነጠላ መፍትሔ የለውም።
ስርዓቱ ብዙ መፍትሄዎች ሲኖሩት በመካከላቸው መሰረታዊ መፍትሄ ተለይቷል።
መሰረታዊ መፍትሄ
ጥቃቅን ተለዋዋጮች ከዜሮ ጋር እኩል የሆነበት መፍትሄ ነው. ስርዓቱ ከዚህ በላይ የለውም 
መሰረታዊ መፍትሄዎች.
የስርዓት መፍትሄዎች የተከፋፈሉ ናቸው ተቀባይነት ያለው እና ተቀባይነት የሌለው .
ተቀባይነት ያለው እነዚህ የሁሉም ተለዋዋጮች እሴቶች አሉታዊ ያልሆኑባቸው መፍትሄዎች ናቸው።
ቢያንስ አንድ የተለዋዋጭ እሴት አሉታዊ ከሆነ, መፍትሄው ይባላል ተቀባይነት የሌለው .
ምሳሌ 4.5
የእኩልታዎች ስርዓት መሰረታዊ መፍትሄዎችን ያግኙ
የመሠረታዊ መፍትሄዎችን ቁጥር እንፈልግ
.
ስለዚህ ከስርአቱ በርካታ መፍትሄዎች መካከል ከሶስት የማይበልጡ መሰረታዊ ነገሮች አሉ። ከሦስቱ መካከል ሁለት ዋና ዋና ተለዋዋጮችን እናሳይ። እንደሆነ እናስብ X 1 እና X 2. ወሳኙን ከነሱ ቅንጅቶች እንፈትሽ
.
ይህ መወሰኛ ከዜሮ ጋር እኩል ስላልሆነ, ከዚያም ተለዋዋጮች X 1 ,X 2 ዋናዎቹ ናቸው።
አሁን ያንን እናስብ X 3 = 0. ከዚያም በቅጹ ውስጥ ሥርዓት እናገኛለን
የCramer ቀመሮችን በመጠቀም እንፍታው፡-
,
.
ስለዚህ, የመጀመሪያው መሰረታዊ መፍትሄ ቅጹ አለው
X 1 =1,X 2 =0,X 3 =0 .
አሁን ተለዋዋጮቹ ዋናዎቹ መሆናቸውን እንፈትሽ X 1 እና X 3 .
.
ያንን እናገኛለን X 1 እና X 3 - ዋና ተለዋዋጮች ሁለተኛ ቡድን. እናስቀምጠው X 2 = 0 እና ስርዓቱን ይፍቱ
,
.
ሁለተኛው መሠረታዊ መፍትሔ ቅጹ አለው
X 1 =1,X 2 =0,X 3 =0.
አሁን ተለዋዋጮቹ ዋናዎቹ መሆናቸውን እንፈትሽ X 2 እና X 3 .
ተለዋዋጮች ማለት ነው። X 2 እና X 3 ጥቃቅን. ስለዚህ ይህ ስርዓት በአጠቃላይ ሁለት መሰረታዊ መፍትሄዎች አሉት. እነዚህ ሁለቱም መፍትሄዎች ተቀባይነት አላቸው.
የ m መስመራዊ እኩልታዎች ከ n ተለዋዋጮች ጋር ያለው የተኳሃኝነት ሁኔታ የማትሪክስ ደረጃ ጽንሰ-ሀሳብን በመጠቀም ነው።
ማትሪክስ ደረጃ - ይህ ከዜሮ ሌላ ለአካለ መጠን ያልደረሰ ልጅ ከከፍተኛው ቅደም ተከተል ጋር እኩል የሆነ ቁጥር ነው።
ለማትሪክስ ኤ
ጥቃቅን ክ - ትዕዛዝ ከማንኛውም ንጥረ ነገሮች የተዋቀረ እንደ ቆራጭ ሆኖ ያገለግላል ክ መስመሮች እና ክ አምዶች.
ለምሳሌ፣
ምሳሌ 2
የማትሪክስ ደረጃን ያግኙ
የማትሪክስ ወሳኙን እናሰላው።
ይህንን ለማድረግ የመጀመሪያውን መስመር በ (-4) በማባዛት እና በሁለተኛው መስመር ላይ ይጨምሩ, ከዚያም የመጀመሪያውን መስመር በ (-7) በማባዛት እና በሶስተኛው መስመር ይጨምሩ, በውጤቱም ወሳኙን እናገኛለን.
ምክንያቱም የውጤቱ መወሰኛ ረድፎች ተመጣጣኝ ናቸው, ከዚያ 
.
ከዚህ በመነሳት የ 3 ኛ ቅደም ተከተል አናሳ ከ 0 ጋር እኩል ነው ፣ እና 2 ኛ ቅደም ተከተል አናሳ ከ 0 ጋር እኩል አይደለም።
ስለዚህ, የማትሪክስ ደረጃ r=2 ነው.
የተራዘመ ማትሪክስ ስርዓቱ መልክ አለው።
Kronecker-Capelli ቲዎረም
የመስመራዊ ስርዓት ወጥነት ያለው እንዲሆን የተዘረጋው ማትሪክስ ደረጃ ከዋናው ማትሪክስ ደረጃ ጋር እኩል መሆን አስፈላጊ እና በቂ ነው. 
.
ከሆነ 
,
ከዚያ ስርዓቱ ወጥነት የለውም.
ለተመሳሳይ የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓት ሶስት ጉዳዮች ሊኖሩ ይችላሉ፡
1) ከሆነ 
, ከዚያም የ LU ስርዓት (m-r) ቀጥተኛ ጥገኛ እኩልታዎች አሉት, ከስርዓቱ ሊወገዱ ይችላሉ;
2) ከሆነ 
, ከዚያ የ LU ስርዓት ልዩ መፍትሄ አለው;
3) ከሆነ 
, ከዚያ የ LU ስርዓት ብዙ መፍትሄዎች አሉት