ውስብስብ ቁጥሮች የእውነተኛ ቁጥሮች ስብስብ ቅጥያ ናቸው፣ አብዛኛውን ጊዜ የሚገለጹት። ማንኛውም ውስብስብ ቁጥር እንደ መደበኛ ድምር ሊወከል ይችላል , የት እና እውነተኛ ቁጥሮች እና ምናባዊ አሃድ ነው.

ውስብስብ ቁጥርን በቅጹ ላይ መጻፍ፣ ውስብስብ ቁጥር ያለው አልጀብራ ይባላል።

ውስብስብ ቁጥሮች ባህሪያት. የአንድ ውስብስብ ቁጥር ጂኦሜትሪክ ትርጓሜ።

በአልጀብራ መልክ የተሰጡ ውስብስብ ቁጥሮች ላይ ያሉ ድርጊቶች፡-

ውስብስብ በሆኑ ቁጥሮች ላይ የሂሳብ ስራዎች የሚከናወኑባቸውን ደንቦች እናስብ.

ሁለት ውስብስብ ቁጥሮች α = a + bi እና β = c + di ከተሰጡ፣ እንግዲህ

α + β = (a + bi) + (c + di) = (a + ሐ) + (b + መ) i፣

α - β = (a + bi) - (c + di) = (a - ሐ) + (b - መ) i. (አስራ አንድ)

ይህ በሁለት የታዘዙ የእውነተኛ ቁጥሮች ጥንድ የመደመር እና የመቀነስ አሠራሮች ትርጓሜ (ቀመር (1) እና (3) ይመልከቱ)። ውስብስብ ቁጥሮችን የመደመር እና የመቀነስ ደንቦችን ተቀብለናል-ሁለት ውስብስብ ቁጥሮችን ለመጨመር, የእነሱን እውነተኛ ክፍሎቻቸውን እና, በዚህ መሠረት, ምናባዊ ክፍሎቻቸውን በተናጠል መጨመር አለብን; ሌላውን ከአንድ ውስብስብ ቁጥር ለመቀነስ, ትክክለኛ እና ምናባዊ ክፍሎቻቸውን በቅደም ተከተል መቀነስ አስፈላጊ ነው.

ቁጥሩ - α = - a - bi ከቁጥር α = a + bi ተቃራኒ ይባላል። የእነዚህ ሁለት ቁጥሮች ድምር ዜሮ ነው፡- α + α = (- a - bi) + (a + bi) = (-a + a) + (-b + b) i = 0።

ውስብስብ ቁጥሮችን ለማባዛት ደንቡን ለማግኘት, ቀመር (6) እንጠቀማለን, ማለትም i2 = -1. ይህንን ግንኙነት ከግምት ውስጥ በማስገባት (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi2 = ac + (ad + bc) i – bd፣ i.e.

(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ማስታወቂያ + bc) i . (12)

ይህ ቀመር ከቀመር (2) ጋር ይዛመዳል፣ እሱም የታዘዙ የእውነተኛ ቁጥሮች ጥንድ ማባዛትን ይወስናል።

የሁለት ውስብስብ conjugate ቁጥሮች ድምር እና ምርት እውነተኛ ቁጥሮች መሆናቸውን ልብ ይበሉ። በእርግጥ፣ α = a + bi፣ = a – bi፣ ከዚያ α = (a + bi)(a - bi) = a2 – i2b2 = a2 + b2፣ α + = (a + bi) + (a - bi) ከሆነ። = (a + a) + (b - b)i= 2a፣ i.e.

α + = 2a, α = a2 + b2. (13)

ሁለት የተወሳሰቡ ቁጥሮችን በአልጀብራ ሲከፋፍሉ፣ አንድ ሰው ቁጥሩ በተመሳሳይ ዓይነት ቁጥር እንደሚገለጽ መጠበቅ አለበት፣ ማለትም α/β = u + vi፣ where u, v R. ውስብስብ ቁጥሮችን ለመከፋፈል ደንቡን እናውጣ። . ቁጥሮቹ α = a + bi, β = c + di, እና β ≠ 0, ማለትም c2 + d2 ≠ 0. የመጨረሻው እኩልነት ማለት c እና d በአንድ ጊዜ አይጠፉም (ጉዳዩ ሲ = 0 አይካተትም). ፣ d = 0)። ቀመር (12) እና ሁለተኛው የእኩልነት (13) መተግበር፡-

ስለዚህ የሁለት ውስብስብ ቁጥሮች ብዛት በቀመርው ይወሰናል፡-

ከቀመር (4) ጋር የሚዛመድ።

ለቁጥር β = c + di የተገኘውን ቀመር በመጠቀም የተገላቢጦሹን ቁጥር β-1 = 1/β ማግኘት ይችላሉ። በቀመር (14) ውስጥ ሀ = 1 ፣ b = 0 ብንወስድ እናገኛለን

ይህ ፎርሙላ ከዜሮ ሌላ የተሰጠውን ውስብስብ ቁጥር ተገላቢጦሽ ይወስናል። ይህ ቁጥርም ውስብስብ ነው።

ለምሳሌ፡ (3 + 7i) + (4 + 2i) = 7 + 9i;

(6 + 5i) - (3 + 8i) = 3 - 3i;

(5 - 4i) (8 - 9i) = 4 - 77i;

በአልጀብራ መልክ ውስብስብ ቁጥሮች ላይ ክዋኔዎች.

55. ውስብስብ ቁጥር ያለው ክርክር. ትሪግኖሜትሪክ ቅርፅ ውስብስብ ቁጥር (መነሻ) የመፃፍ።

Arg.com. ቁጥሮች. - በእውነተኛው የ X ዘንግ አወንታዊ አቅጣጫ እና የተሰጠውን ቁጥር በሚወክል ቬክተር መካከል።

ትሪጎን ቀመር. ቁጥሮች:,

ገጽ 2 ከ 3

ውስብስብ ቁጥር ያለው አልጀብራ ቅርጽ.
የተወሳሰቡ ቁጥሮች መደመር፣ መቀነስ፣ ማባዛትና ማካፈል።

ውስብስብ ቁጥር ካለው የአልጀብራ ቅርጽ ጋር ቀደም ብለን ተዋወቅን - ይህ ውስብስብ ቁጥር ያለው የአልጀብራ ቅርጽ ነው። ስለ ቅፅ ለምን እየተነጋገርን ነው? እውነታው ግን ትሪግኖሜትሪክ እና ገላጭ ቅርጾች ውስብስብ ቁጥሮች አሉ, በሚቀጥለው አንቀጽ ውስጥ ይብራራሉ.

ውስብስብ ቁጥሮች ያላቸው ክዋኔዎች በተለይ አስቸጋሪ አይደሉም እና ከተራ አልጀብራ ብዙም የተለዩ አይደሉም።

ውስብስብ ቁጥሮች መጨመር

ምሳሌ 1

ሁለት ውስብስብ ቁጥሮችን ይጨምሩ,

ሁለት ውስብስብ ቁጥሮችን ለመጨመር እውነተኛ እና ምናባዊ ክፍሎቻቸውን ማከል ያስፈልግዎታል.

ቀላል፣ አይደል? ድርጊቱ በጣም ግልጽ ስለሆነ ተጨማሪ አስተያየቶችን አያስፈልገውም.

በዚህ ቀላል መንገድ የየትኛውም የቃላት ብዛት ድምርን ማግኘት ይችላሉ-እውነተኛ ክፍሎችን እና ምናባዊ ክፍሎችን ማጠቃለል.

ለተወሳሰቡ ቁጥሮች፣ የመጀመሪያው መደብ ህግ ልክ ነው፡- - ውሎችን እንደገና ማደራጀት ድምርን አይለውጠውም።

ውስብስብ ቁጥሮችን መቀነስ

ምሳሌ 2

በውስብስብ ቁጥሮች መካከል ያለውን ልዩነት ይፈልጉ እና ከሆነ፣

ድርጊቱ ከመደመር ጋር ይመሳሰላል፣ ብቸኛው ልዩነቱ ንኡስ ክፍል በቅንፍ ውስጥ መቀመጥ አለበት፣ ከዚያም ቅንፍዎቹ በመደበኛው መንገድ በምልክት ለውጥ መከፈት አለባቸው።

ውጤቱ ግራ የሚያጋባ መሆን የለበትም፤ የተገኘው ቁጥር ሁለት እንጂ ሦስት ክፍሎች አሉት። በቃ ትክክለኛው ክፍል ግቢው ነው፡. ግልጽ ለማድረግ, መልሱ እንደሚከተለው እንደገና ሊጻፍ ይችላል.

ሁለተኛውን ልዩነት እናሰላለን፡-

እዚህ እውነተኛው ክፍል እንዲሁ የተዋሃደ ነው፡-

ማናቸውንም ማቃለል ለማስወገድ፣ “መጥፎ” ምናባዊ ክፍል ያለው አጭር ምሳሌ እሰጣለሁ፡. እዚህ ከአሁን በኋላ ያለ ቅንፍ ማድረግ አይችሉም።

ውስብስብ ቁጥሮችን ማባዛት

ከታዋቂው እኩልነት ጋር ለማስተዋወቅ ጊዜው ደርሷል፡-

ምሳሌ 3

ውስብስብ ቁጥሮችን ምርት ይፈልጉ ፣

ሥራው እንደሚከተለው መፃፍ እንዳለበት ግልጽ ነው-

ይህ ምን ይጠቁማል? በፖሊኖሚሎች ማባዛት ደንብ መሰረት ቅንፎችን ለመክፈት ይለምናል. እርስዎ ማድረግ ያለብዎት ያ ነው! ሁሉም የአልጀብራ ስራዎች ለእርስዎ የተለመዱ ናቸው, ዋናው ነገር ያንን ማስታወስ ነው እና ተጠንቀቅ.

እንድገመው፣ omg፣ ፖሊኖሚሎችን ለማባዛት የትምህርት ቤት ህግ፡- ፖሊኖሚልን በፖሊኖሚል ለማባዛት፣ እያንዳንዱን የአንድ ፖሊኖሚል ቃል በእያንዳንዱ ቃል በሌላ ፖሊኖሚል ማባዛት ያስፈልግዎታል።

በዝርዝር እጽፈዋለሁ፡-

ለሁሉም ግልጽ ነበር ብዬ ተስፋ አደርጋለሁ

ትኩረት ፣ እና እንደገና ትኩረት ፣ ብዙውን ጊዜ ስህተቶች በምልክቶች ውስጥ ይከናወናሉ።

ልክ እንደ ድምር፣ የተወሳሰቡ ቁጥሮች ምርት ተንቀሳቃሽ ነው፣ ማለትም፣ እኩልነት እውነት ነው፡.

በትምህርታዊ ሥነ-ጽሑፍ እና በይነመረብ ላይ ውስብስብ ቁጥሮችን ምርት ለማስላት ልዩ ቀመር ማግኘት ቀላል ነው። ከፈለግክ ተጠቀምበት፣ ግን ለእኔ የሚመስለኝ ​​ፖሊኖሚሎችን ከማባዛት ጋር ያለው አካሄድ የበለጠ ዓለም አቀፋዊ እና ግልጽ ነው። ፎርሙላውን አልሰጥም, በዚህ ጉዳይ ላይ ጭንቅላትን በመጋዝ ይሞላል ብዬ አስባለሁ.

ውስብስብ ቁጥሮች ክፍፍል

ምሳሌ 4

የተሰጡ ውስብስብ ቁጥሮች,. ጥቅሱን ይፈልጉ።

ጥቅስ እንፍጠር፡-

የቁጥሮች ክፍፍል ይከናወናል መለያውን እና አሃዛዊውን በማባዛት በተዋሃደ አገላለጽ.

የጢም ቀመሩን እናስታውስ እና መለያችንን እንይ፡. መለያው አስቀድሞ አለው፣ ስለዚህ በዚህ ጉዳይ ላይ ያለው የጥምረት አገላለጽ፣ ማለትም ነው።

እንደ ደንቡ ፣ መለያው በ ማባዛት አለበት ፣ እና ምንም ነገር እንዳይቀየር ፣ ቆጣሪው በተመሳሳይ ቁጥር ማባዛት አለበት።

በዝርዝር እጽፈዋለሁ፡-

“ጥሩ” ምሳሌን መርጫለሁ፡- ሁለት ቁጥሮችን “ከባዶ” ከወሰድክ፣ በመከፋፈል ምክንያት ሁልጊዜ ማለት ይቻላል ክፍልፋዮችን ታገኛለህ፣ የሆነ ነገር።

በአንዳንድ ሁኔታዎች ክፍልፋዩን ከመከፋፈሉ በፊት ለማቃለል ይመከራል ለምሳሌ የቁጥሮችን ብዛት ግምት ውስጥ ያስገቡ- . ከመከፋፈላችን በፊት አላስፈላጊ የሆኑ ጥፋቶችን እናስወግዳለን፡ በቁጥር እና በቁጥር ውስጥ ያሉትን ነጥቦች ከቅንፍ አውጥተን እነዚህን ቅነሳዎች እንቀንሳለን። . ችግሮችን መፍታት ለሚፈልጉ፣ ትክክለኛው መልስ ይህ ነው።

አልፎ አልፎ ፣ ግን የሚከተለው ተግባር ይከሰታል

ምሳሌ 5

ውስብስብ ቁጥር ተሰጥቷል. ይህንን ቁጥር በአልጀብራ መልክ (ማለትም በቅጹ) ይፃፉ።

ቴክኒኩ አንድ ነው - መለያውን እና አሃዛዊውን ከቁጥር ጋር በማጣመር እናባዛለን። ቀመሩን እንደገና እንመልከተው። መለያው ቀድሞውንም ይዟል፣ ስለዚህ አካፋዩ እና አሃዛዊው በተዋሃደ አገላለጽ፣ ማለትም፣ በ፡ ማባዛት ያስፈልጋቸዋል።

በተግባራዊ ሁኔታ, ውስብስብ በሆኑ ቁጥሮች ብዙ ስራዎችን ለማከናወን የሚያስፈልግዎትን የተራቀቀ ምሳሌ በቀላሉ ሊያቀርቡ ይችላሉ. ምንም ድንጋጤ የለም፡ ጠንቀቅ በልየአልጀብራን ህግጋት፣ የተለመደውን የአልጀብራ አሰራር መከተል እና ያንን አስታውስ።

ውስብስብ ቁጥር ትሪግኖሜትሪክ እና ገላጭ ቅርጽ

በዚህ ክፍል ውስጥ ስለ ውስብስብ ቁጥር ትሪግኖሜትሪክ ቅርፅ የበለጠ እንነጋገራለን ። የማሳያ ቅርጽ በተግባራዊ ተግባራት ውስጥ በጣም ያነሰ ነው. ትሪግኖሜትሪክ ሰንጠረዦችን ለማውረድ እና ከተቻለ ለማተም እመክራለሁ፤ ዘዴያዊ ቁሳቁስ በገጹ ላይ ይገኛል። የሂሳብ ቀመሮች እና ሠንጠረዦች. ያለ ጠረጴዛዎች ሩቅ መሄድ አይችሉም.

ማንኛውም ውስብስብ ቁጥር (ከዜሮ በስተቀር) በትሪግኖሜትሪክ መልክ ሊፃፍ ይችላል፡-
, የት ነው የአንድ ውስብስብ ቁጥር ሞዱል፣ ሀ - ውስብስብ ቁጥር ክርክር. አንሸሽም፣ ሁሉም ነገር ከሚመስለው ቀላል ነው።

ውስብስብ በሆነው አውሮፕላን ላይ ያለውን ቁጥር እንወክል. ለትክክለኛነቱ እና ለማብራሪያው ቀላልነት፣ በመጀመሪያ አስተባባሪ ኳድራንት ውስጥ እናስቀምጠዋለን፣ ማለትም. ብለን እናምናለን፡-

ውስብስብ ቁጥር ያለው ሞዱልውስብስብ በሆነው አውሮፕላን ውስጥ ከመነሻው እስከ ተጓዳኝ ነጥብ ያለው ርቀት ነው. በቀላል አነጋገር፣ ሞጁል ርዝመቱ ነውራዲየስ ቬክተር, በሥዕሉ ላይ በቀይ የተመለከተው.

የአንድ ውስብስብ ቁጥር ሞጁል ብዙውን ጊዜ የሚገለጸው በ: ወይም

የፓይታጎሪያን ቲዎረምን በመጠቀም ውስብስብ ቁጥር ያለውን ሞጁል ለማግኘት ቀመር ማግኘት ቀላል ነው። ይህ ቀመር ትክክል ነው። ለማንኛውም"ሀ" እና "መሆን" ማለት ነው።

ማስታወሻውስብስብ ቁጥር ያለው ሞጁል የፅንሰ-ሀሳብ አጠቃላይነት ነው። የእውነተኛ ቁጥር ሞጁሎች, ከአንድ ነጥብ ወደ መነሻው እንደ ርቀት.

የአንድ ውስብስብ ቁጥር ክርክርተብሎ ይጠራል ጥግመካከል አዎንታዊ ከፊል-ዘንግእውነተኛው ዘንግ እና ራዲየስ ቬክተር ከመነሻው ወደ ተጓዳኝ ነጥብ ተወስዷል. ክርክሩ ለነጠላ፡.

በጥያቄ ውስጥ ያለው መርህ በእውነቱ ተመሳሳይ ነው። የዋልታ መጋጠሚያዎችየዋልታ ራዲየስ እና የዋልታ አንግል ነጥቡን በልዩ ሁኔታ የሚገልጹበት።

የአንድ ውስብስብ ቁጥር ክርክር በመደበኛነት ይገለጻል፡ ወይም

ከጂኦሜትሪክ ግምቶች፣ ክርክሩን ለማግኘት የሚከተለውን ቀመር እናገኛለን፡-
. ትኩረት!ይህ ቀመር በትክክለኛው ግማሽ አውሮፕላን ውስጥ ብቻ ነው የሚሰራው! ውስብስብ ቁጥሩ በ 1 ኛ ወይም 4 ኛ አስተባባሪ ኳድራንት ውስጥ ካልሆነ, ቀመሩ ትንሽ የተለየ ይሆናል. እንዲሁም እነዚህን ጉዳዮች እንመረምራለን.

ግን በመጀመሪያ ፣ ውስብስብ ቁጥሮች በተቀናጁ መጥረቢያዎች ላይ ሲገኙ በጣም ቀላሉ ምሳሌዎችን እንመልከት ።

ምሳሌ 7

ስዕሉን እንሥራ-

እንደውም ስራው የቃል ነው። ግልጽ ለማድረግ፣ ውስብስብ ቁጥር ያለውን ትሪግኖሜትሪክ ቅርፅ እንደገና እጽፋለሁ፡-

ሞጁሉን በጥብቅ እናስታውስ - ርዝመት(ሁልጊዜ አሉታዊ ያልሆነ), ክርክሩ ነው ጥግ.

1) ቁጥሩን በትሪግኖሜትሪክ መልክ እንወክል። ሞጁሉን እና ሙግቱን እንፈልግ። እንደሆነ ግልጽ ነው። ቀመሩን በመጠቀም መደበኛ ስሌት፡.
ግልጽ ነው (ቁጥሩ በቀጥታ በእውነተኛው አዎንታዊ ከፊል ዘንግ ላይ ነው)። ስለዚህ ቁጥሩ በትሪግኖሜትሪክ ቅርፅ ነው፡- .

የተገላቢጦሽ የፍተሻ እርምጃ እንደ ቀን ግልጽ ነው፡-

2) ቁጥሩን በትሪግኖሜትሪክ ቅርፅ እንወክል። ሞጁሉን እና ሙግቱን እንፈልግ። እንደሆነ ግልጽ ነው። ቀመሩን በመጠቀም መደበኛ ስሌት፡.
በግልጽ (ወይም 90 ዲግሪዎች). በሥዕሉ ላይ, ማዕዘኑ በቀይ ይታያል. ስለዚህ ቁጥሩ በትሪግኖሜትሪክ ቅርፅ ነው፡- .

የትሪግኖሜትሪክ ተግባራትን የእሴቶች ሠንጠረዥ በመጠቀም የቁጥሩን አልጀብራ መልክ መመለስ ቀላል ነው (ፍተሻ በሚሠራበት ጊዜ)

3) ቁጥሩን በትሪግኖሜትሪክ መልክ እንወክል። ሞጁሉን እና ሙግቱን እንፈልግ። እንደሆነ ግልጽ ነው። ቀመሩን በመጠቀም መደበኛ ስሌት፡.
ግልጽ (ወይም 180 ዲግሪዎች). በሥዕሉ ላይ ማዕዘኑ በሰማያዊ ይገለጻል. ስለዚህ ቁጥሩ በትሪግኖሜትሪክ ቅርፅ ነው፡- .

ምርመራ፡-

4) እና አራተኛው አስደሳች ጉዳይ። ቁጥሩን በትሪግኖሜትሪክ መልክ እንወክል። ሞጁሉን እና ሙግቱን እንፈልግ። እንደሆነ ግልጽ ነው። ቀመሩን በመጠቀም መደበኛ ስሌት፡.

ክርክሩ በሁለት መንገድ ሊጻፍ ይችላል፡ የመጀመሪያው መንገድ፡ (270 ዲግሪ) እና፣ በዚሁ መሰረት፡- . ምርመራ፡-

ሆኖም፣ የሚከተለው ህግ የበለጠ መደበኛ ነው፡ አንግል ከ 180 ዲግሪ በላይ ከሆነ, ከዚያም በተቀነሰ ምልክት እና በተቃራኒው አቅጣጫ ("ማሸብለል") የማዕዘን: (90 ዲግሪ ሲቀነስ) ይፃፋል, በስዕሉ ውስጥ አንግል በአረንጓዴ ምልክት ይደረግበታል. ያንን ለማየት ቀላል እና ተመሳሳይ ማዕዘን ናቸው.

ስለዚህ መግቢያው የሚከተለውን ቅጽ ይወስዳል

ትኩረት!በምንም አይነት ሁኔታ የኮሳይን እኩልነት፣ የሳይኑ እንግዳነት መጠቀም እና ተጨማሪ ማስታወሻውን “ቀላል” ማድረግ የለብዎትም፡-

በነገራችን ላይ የትሪግኖሜትሪክ እና የተገላቢጦሽ ትሪግኖሜትሪክ ተግባራትን ገጽታ እና ባህሪያት ማስታወስ ጠቃሚ ነው, የማመሳከሪያ ቁሳቁሶች በገጹ የመጨረሻ አንቀጾች ውስጥ ይገኛሉ. የመሠረታዊ የመጀመሪያ ደረጃ ተግባራት ግራፎች እና ባህሪዎች. እና ውስብስብ ቁጥሮች በጣም ቀላል ይማራሉ!

በጣም ቀላል በሆኑ ምሳሌዎች ንድፍ ውስጥ አንድ ሰው መጻፍ አለበት: "ሞጁሉ እኩል እንደሆነ ግልጽ ነው ... ክርክሩ እኩል እንደሆነ ግልጽ ነው ...". ይህ በእውነት ግልጽ እና በቃላት ለመፍታት ቀላል ነው.

በጣም የተለመዱ ጉዳዮችን ለመመልከት እንሂድ. ቀደም ብዬ እንደገለጽኩት በሞጁሉ ላይ ምንም ችግሮች የሉም, ሁልጊዜ ቀመሩን መጠቀም አለብዎት. ግን ክርክሩን የማግኘት ቀመሮች የተለያዩ ይሆናሉ ፣ ቁጥሩ በየትኛው አስተባባሪ ሩብ ላይ የተመሠረተ ነው። በዚህ አጋጣሚ ሶስት አማራጮች ሊኖሩ ይችላሉ (በማስታወሻ ደብተርዎ ውስጥ መገልበጡ ጠቃሚ ነው)

1) (1 ኛ እና 4 ኛ አስተባባሪ ሩብ ፣ ወይም የቀኝ ግማሽ አውሮፕላን) ከሆነ ፣ ክርክሩ ቀመሩን በመጠቀም መገኘት አለበት።

2) (2ኛ አስተባባሪ ሩብ) ከሆነ ክርክሩ ቀመሩን በመጠቀም መገኘት አለበት። .

3) ከሆነ (3 ኛ አስተባባሪ ሩብ) ፣ ከዚያ ክርክሩ ቀመሩን በመጠቀም መገኘት አለበት። .

ምሳሌ 8

ውስብስብ ቁጥሮችን በትሪግኖሜትሪክ መልክ ይወክላሉ፡,,,,.

ዝግጁ የሆኑ ቀመሮች ስላሉ ስዕሉን ማጠናቀቅ አስፈላጊ አይደለም. ግን አንድ ነጥብ አለ፡ ቁጥርን በትሪግኖሜትሪክ መልክ እንዲወክሉ ሲጠየቁ፣ ከዚያ ለማንኛውም ስዕሉን ማድረጉ የተሻለ ነው. እውነታው ግን ስዕል ከሌለው መፍትሄ ብዙውን ጊዜ በአስተማሪዎች ውድቅ ይደረጋል, ስዕል አለመኖር ለመቀነስ እና ለውድቀት ትልቅ ምክንያት ነው.

ኧረ ለመቶ ዓመታት ምንም ነገር በእጅ ሳልሳል፣ እነሆ፣

እንደ ሁልጊዜው ትንሽ ቆሻሻ ሆነ =)

ቁጥሮቹን አቀርባለሁ እና ውስብስብ በሆነ መልኩ, የመጀመሪያው እና ሦስተኛው ቁጥሮች ለገለልተኛ መፍትሄ ይሆናሉ.

ቁጥሩን በትሪግኖሜትሪክ መልክ እንወክል። ሞጁሉን እና ሙግቱን እንፈልግ።

የትምህርት እቅድ.

1. ድርጅታዊ ጊዜ.

2. የቁሳቁስ አቀራረብ.

3. የቤት ስራ.

4. ትምህርቱን ማጠቃለል.

በክፍሎቹ ወቅት

I. ድርጅታዊ ጊዜ.

II. የቁሳቁስ አቀራረብ.

ተነሳሽነት.

የእውነተኛ ቁጥሮች ስብስብ መስፋፋት አዳዲስ ቁጥሮችን (ምናባዊ) ወደ እውነተኛ ቁጥሮች ማከልን ያካትታል። የእነዚህ ቁጥሮች መግቢያ በእውነተኛ ቁጥሮች ስብስብ ውስጥ የአሉታዊ ቁጥርን ሥር ለማውጣት የማይቻል በመሆኑ ነው.

የአንድ ውስብስብ ቁጥር ጽንሰ-ሐሳብ መግቢያ.

እውነተኛ ቁጥሮችን የምንሞላባቸው ምናባዊ ቁጥሮች በቅጹ ተጽፈዋል bi፣ የት እኔምናባዊ ክፍል ነው, እና እኔ 2 = - 1.

በዚህ ላይ በመመስረት, የሚከተለውን ውስብስብ ቁጥር ፍቺ እናገኛለን.

ፍቺ. ውስብስብ ቁጥር የቅጹ መግለጫ ነው። a+bi፣ የት ሀእና ለ- እውነተኛ ቁጥሮች. በዚህ ሁኔታ, የሚከተሉት ሁኔታዎች ተሟልተዋል.

ሀ) ሁለት ውስብስብ ቁጥሮች a 1 + b 1 iእና a 2 + b 2 iእኩል ከሆነ እና ከሆነ ብቻ a 1 = a 2, ለ 1 = ለ 2.

ለ) ውስብስብ ቁጥሮች መጨመር በደንቡ ይወሰናል.

(a 1 + b 1 i) + (a 2 + b 2 i) = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2) i.

ሐ) ውስብስብ ቁጥሮችን ማባዛት በደንቡ ይወሰናል.

(a 1 + b 1 i) (a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (a 1 b 2 - a 2 b 1) i.

ውስብስብ ቁጥር ያለው አልጀብራ ቅርጽ.

በቅጹ ውስጥ ውስብስብ ቁጥር መጻፍ a+biየተወሳሰበ ቁጥር አልጀብራ ተብሎ ይጠራል፣ የት ሀ- እውነተኛ ክፍል; biምናባዊው ክፍል ነው, እና ለ- እውነተኛ ቁጥር.

ውስብስብ ቁጥር a+biየእሱ እውነተኛ እና ምናባዊ ክፍሎቹ ከዜሮ ጋር እኩል ከሆኑ ከዜሮ ጋር እኩል እንደሆነ ይቆጠራል። a = b = 0

ውስብስብ ቁጥር a+biበ ለ = 0ከእውነተኛ ቁጥር ጋር ተመሳሳይ እንደሆነ ይቆጠራል ሀ: a + 0i = አ.

ውስብስብ ቁጥር a+biበ ሀ = 0ሙሉ በሙሉ ምናባዊ ተብሎ ይጠራል እና ይገለጻል። bi: 0 + bi = bi.

ሁለት ውስብስብ ቁጥሮች z = a + biእና = ሀ - ቢ, በምናባዊው ክፍል ምልክት ላይ ብቻ የሚለያዩ, conjugate ይባላሉ.

በአልጀብራ መልክ ውስብስብ ቁጥሮች ላይ ክዋኔዎች.

በአልጀብራ መልክ በተወሳሰቡ ቁጥሮች ላይ የሚከተሉትን ስራዎች ማከናወን ይችላሉ።

1) መደመር።

ፍቺ. የተወሳሰቡ ቁጥሮች ድምር z 1 = a 1 + b 1 iእና z 2 = a 2 + b 2 iውስብስብ ቁጥር ይባላል ዝ, ትክክለኛው ክፍል ከትክክለኛዎቹ ክፍሎች ድምር ጋር እኩል ነው z 1እና z 2, እና ምናባዊው ክፍል የቁጥሮች ምናባዊ ክፍሎች ድምር ነው z 1እና z 2, ያውና z = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2) i.

ቁጥሮች z 1እና z 2ውሎች ይባላሉ.

የተወሳሰቡ ቁጥሮች መጨመር የሚከተሉት ባህሪያት አሉት.

1º ተለዋዋጭነት፡ z 1 + z 2 = z 2 + z 1.

2º ተያያዥነት፡ (z 1 + z 2) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3)።

3º ውስብስብ ቁጥር -አ -ቢየተወሳሰበ ቁጥር ተቃራኒ ተብሎ ይጠራል z = a + bi. ውስብስብ ቁጥር, ከተወሳሰበ ቁጥር ተቃራኒ ዝ፣ ተጠቁሟል -ዝ. የተወሳሰቡ ቁጥሮች ድምር ዝእና -ዝከዜሮ ጋር እኩል: z + (-z) = 0

ምሳሌ 1፡ መደመርን ያከናውኑ (3 - እኔ) + (-1 + 2i).

(3 - እኔ) + (-1 + 2i) = (3 + (-1)) + (-1 + 2) i = 2 + 1i.

2) መቀነስ።

ፍቺከተወሳሰበ ቁጥር ቀንስ z 1ውስብስብ ቁጥር z 2 z፣ምንድን z + z 2 = z 1.

ቲዎረም. በውስብስብ ቁጥሮች መካከል ያለው ልዩነት አለ እና ልዩ ነው።

ምሳሌ 2፡ መቀነስ አከናውን። (4 - 2ይ) - (-3 + 2i).

(4 - 2i) - (-3 + 2i) = (4 - (-3)) + (-2 - 2) i = 7 – 4i.

3) ማባዛት.

ፍቺ. ውስብስብ ቁጥሮች ምርት z 1 =a 1 +b 1 iእና z 2 =a 2 +b 2 iውስብስብ ቁጥር ይባላል ዝበእኩልነት የተገለጸው፡- z = (a 1 a 2 – b 1 b 2) + (a 1 b 2 + a 2 b 1)i.

ቁጥሮች z 1እና z 2ምክንያቶች ተብለው ይጠራሉ.

ውስብስብ ቁጥሮችን ማባዛት የሚከተሉት ባህሪያት አሉት.

1º ተለዋዋጭነት፡ z 1 z 2 = z 2 z 1.

2º ተያያዥነት፡ (z 1 z 2) z 3 = z 1 (z 2 z 3)

3º ከመደመር አንጻር የማባዛት ስርጭት፡-

(z 1 + z 2) z 3 = z 1 z 3 + z 2 z 3.

4º z = (a + bi) (a - bi) = a 2 + b 2- እውነተኛ ቁጥር.

በተግባር, ውስብስብ ቁጥሮችን ማባዛት የሚከናወነው ድምርን በአንድ ድምር በማባዛት እና እውነተኛ እና ምናባዊ ክፍሎችን በመለየት ደንብ መሰረት ነው.

በሚከተለው ምሳሌ, ውስብስብ ቁጥሮችን በሁለት መንገድ ማባዛትን እንመለከታለን-በደንብ እና ድምርን በማባዛት.

ምሳሌ 3፡ ማባዛቱን ያድርጉ (2 + 3i) (5 - 7i).

1 መንገድ. (2 + 3i) (5 – 7i) = (2× 5 – 3× (- 7)) + (2× (- 7) + 3× 5) i = = (10 + 21) + (- 14 + 15) ) i = 31 + i.

ዘዴ 2. (2 + 3i) (5 – 7i) = 2× 5 + 2× (- 7i) + 3i× 5 + 3i× (- 7i) = = 10 – 14i + 15i + 21 = 31 + i.

4) ክፍፍል.

ፍቺ. ውስብስብ ቁጥር ይከፋፍሉ z 1ወደ ውስብስብ ቁጥር z 2, እንደዚህ ያለ ውስብስብ ቁጥር ማግኘት ማለት ነው ዝ, ምንድን z · z 2 = z 1.

ቲዎረም.የተወሳሰቡ ቁጥሮች ብዛት አለ እና ልዩ ከሆነ z 2 ≠ 0 + 0i.

በተግባራዊ ሁኔታ, የተወሳሰቡ ቁጥሮች ብዛት የሚገኘው በቁጥር አሃዛዊ እና ተከሳሹን በማባዛት ነው.

ፍቀድ z 1 = a 1 + b 1 i, z 2 = a 2 + b 2 i, ከዚያም

.

በሚከተለው ምሳሌ ቀመሩን እና የማባዛት ደንቡን ከቁጥር ጋር በማጣመር ማካፈልን እናከናውናለን።

ምሳሌ 4. ጥቅሱን ያግኙ .

5) ወደ አወንታዊ አጠቃላይ ኃይል ማሳደግ.

ሀ) የምናባዊው ክፍል ኃይሎች።

የእኩልነት ተጠቃሚነትን መጠቀም እኔ 2 = -1, የምናባዊው ክፍል ማንኛውንም አዎንታዊ ኢንቲጀር ኃይልን ለመግለጽ ቀላል ነው። እና አለነ:

እኔ 3 = i 2 i = -i,

እኔ 4 = i 2 i 2 = 1፣

እኔ 5 = i 4 i = i,

እኔ 6 = i 4 i 2 = -1፣

እኔ 7 = i 5 i 2 = -i፣

እኔ 8 = i 6 i 2 = 1ወዘተ.

ይህ የዲግሪውን ዋጋ ያሳያል እኔ n፣ የት n- አወንታዊ ኢንቲጀር፣ በየጊዜው የሚደጋገም ጠቋሚው በጨመረ ቁጥር 4 .

ስለዚህ, ቁጥሩን ለመጨመር እኔለአዎንታዊ አጠቃላይ ኃይል ፣ አርቢውን በ መከፋፈል አለብን 4 እና መገንባት እኔገላጭነቱ ከቀሪው ክፍል ጋር እኩል የሆነ ኃይል.

ምሳሌ 5፡ አስላ፡ (i 36 + i 17) i 23.

እኔ 36 = (i 4) 9 = 1 9 = 1፣

i 17 = i 4 × 4+1 = (i 4) 4 × i = 1 · i = i.

i 23 = i 4 × 5+3 = (i 4) 5 × i 3 = 1 · i 3 = - i.

(i 36 + i 17) · i 23 = (1 + i) (- i) = - i + 1= 1 – i.

ለ) ውስብስብ ቁጥርን ወደ አወንታዊ ኢንቲጀር ኃይል ማሳደግ የሚከናወነው ተመሳሳይ ውስብስብ ምክንያቶችን የማባዛት ልዩ ሁኔታ ስለሆነ ሁለትዮሽ ወደ ተጓዳኝ ኃይል ለማሳደግ በሚወጣው ደንብ መሠረት ነው ።

ምሳሌ 6፡ አስላ፡ (4 + 2i) 3

(4 + 2i) 3 = 4 3 + 3× 4 2 × 2i + 3× 4× (2i) 2 + (2i) 3 = 64 + 96i – 48 – 8i = 16 + 88i.

		ውስብስብ ቁጥርን የመጻፍ አልጀብራ. .........................
		የተወሳሰቡ ቁጥሮች አውሮፕላን …………………………………………. ................................................. .................................
		ውስብስብ የማጣመጃ ቁጥሮች …………………………………………. ................................................................. .................................
	ውስብስብ ቁጥሮች ያላቸው ክዋኔዎች በአልጀብራ ቅርጽ. ...........
		ውስብስብ ቁጥሮች መጨመር. ......................................... .................
		ውስብስብ ቁጥሮችን በመቀነስ ላይ. ................................................................. .................
		ውስብስብ ቁጥሮችን ማባዛት. ................................................................. .................
		ውስብስብ ቁጥሮችን በመከፋፈል ላይ. ........................................... .................
	ውስብስብ ቁጥርን ለመጻፍ ትሪግኖሜትሪክ ቅርፅ. ...........
	ውስብስብ ቁጥሮች ያላቸው ክዋኔዎች በትሪግኖሜትሪክ ቅርጽ. .........
		ውስብስብ ቁጥሮችን በትሪግኖሜትሪክ መልክ ማባዛት. .........
		ውስብስብ ቁጥሮችን በትሪግኖሜትሪክ መልክ ማካፈል. .........
		ውስብስብ ቁጥርን ወደ አወንታዊ ኢንቲጀር ሃይል ማሳደግ. ...........
		የአዎንታዊ የኢንቲጀር ድግሪ ስር ከተወሳሰበ ቁጥር ማውጣት ......................................
		ውስብስብ ቁጥርን ወደ ምክንያታዊ ኃይል ማሳደግ. .................................
		ውስብስብ ተከታታይ ………………………………………………. ........................................... .........................
		ተከታታይ ቁጥር ................................................ ................................................................. .................................
		ውስብስብ በሆነው አውሮፕላን ውስጥ ያለው የኃይል ተከታታይ ………………………………………… .........................................
		ባለ ሁለት ጎን የሃይል ተከታታዮች በውስብስብ አውሮፕላኑ ውስጥ። ...........
		ውስብስብ ተለዋዋጭ ተግባራት. .........................................
		መሰረታዊ የአንደኛ ደረጃ ተግባራት ………………………………………… ........................................... .
		የኡለር ቀመሮች …………………………………………. ........................................... .........................
		ውስብስብ ቁጥርን የሚወክል ገላጭ ቅርጽ. .................
		በትሪግኖሜትሪክ እና ሃይፐርቦሊክ ተግባራት መካከል ያለው ግንኙነት................................................
		የሎጋሪዝም ተግባር …………………………………………………. ........................................... ...........
		አጠቃላይ ገላጭ እና አጠቃላይ የኃይል ተግባራት …………………………………………. .........................
	የአንድ ውስብስብ ተለዋዋጭ ተግባራት ልዩነት. ...........
		Cauchy-Riemann ሁኔታዎች................................................................ ......................................... ...........
		ተዋጽኦውን ለማስላት ቀመሮች …………………………………………. .........................................
		የልዩነት ተግባር ባህሪዎች ……………………………………… ................................................. ...
		የትንታኔ ተግባር እውነተኛ እና ምናባዊ ክፍሎች ባህሪያት …………………………………………

	የአንድ ውስብስብ ተለዋዋጭ ተግባር ከእውነተኛው ወይም ምናባዊው እንደገና መገንባት
		ዘዴ ቁጥር 1. ጥምዝ ውህድ መጠቀም. ...........
		ዘዴ ቁጥር 2. የCauchy-Riemann ሁኔታዎችን በቀጥታ መተግበር.
		ዘዴ ቁጥር 3. በተፈለገው ተግባር አመጣጥ …………………………………………. ...........
	የአንድ ውስብስብ ተለዋዋጭ ተግባራት ውህደት. ...........
	የተቀናጀ Cauchy ቀመር ………………………………………………… ......................................... ...........
	በቴይለር እና ሎረንት ተከታታይ ተግባራትን ማስፋፋት. ...........................
	የአንድ ውስብስብ ተለዋዋጭ ተግባር ዜሮዎች እና ነጠላ ነጥቦች …………………………………………. ...........
		የአንድ ውስብስብ ተለዋዋጭ ተግባር ዜሮዎች. ...........................
		የአንድ ውስብስብ ተለዋዋጭ ነጠላ ነጠላ ነጥቦች ………………………………………………….

14.3 እንደ ውስብስብ ተለዋዋጭ ተግባር እንደ ነጠላ ነጥብ ማለቂያ የሌለው ነጥብ

	ተቀናሾች ................................................................ ......................................... ........................................... ...
		በመጨረሻው ነጥብ ላይ ተቀናሽ. ......................................... ...........
		በማያልቅ ቦታ ላይ የአንድ ተግባር ቅሪት …………………………………………………. ...........
	ቅሪቶችን በመጠቀም የተዋሃዱ ስሌት …………………………………………. .........................................
	ራስን የመፈተሽ ጥያቄዎች ………………………………………… ................................................................. .................................
	ስነ-ጽሑፍ ………………………………………… ................................................. .........................................
	የርዕሰ ጉዳይ መረጃ ጠቋሚ ................................................ ................................................. ...........

መቅድም

ለፈተና ወይም ለሞጁል ማረጋገጫ ንድፈ ሃሳባዊ እና ተግባራዊ ክፍሎች ሲዘጋጁ ጊዜ እና ጥረት በትክክል ማከፋፈል በጣም ከባድ ነው ፣በተለይ በክፍለ-ጊዜው ሁል ጊዜ በቂ ጊዜ ስለሌለ። እና እንደ ልምምድ እንደሚያሳየው ሁሉም ሰው ይህንን መቋቋም አይችልም. በውጤቱም, በፈተናው ወቅት, አንዳንድ ተማሪዎች ችግሮችን በትክክል ይፈታሉ, ነገር ግን በጣም ቀላል የሆኑትን የቲዎሬቲክ ጥያቄዎችን ለመመለስ ይቸገራሉ, ሌሎች ደግሞ ንድፈ ሃሳብን ሊያዘጋጁ ይችላሉ, ነገር ግን ሊተገበሩ አይችሉም.

እነዚህ በኮርስ ውስጥ ለፈተና ለመዘጋጀት መመሪያዎች "ውስብስብ ተለዋዋጭ ጽንሰ-ሀሳብ" (TFCP) ይህንን ተቃርኖ ለመፍታት እና የትምህርቱን የንድፈ ሃሳባዊ እና ተግባራዊ ቁሳቁስ በአንድ ጊዜ መደጋገምን ለማረጋገጥ የሚደረግ ሙከራ ነው። “ተለማመድ የሌለው ቲዎሪ የሞተ ነው፣ ያለ ንድፈ ሃሳብ መለማመድ እውር ነው” በሚለው መርህ በመመራት ሁለቱንም የትምህርቱን የንድፈ ሃሳብ ድንጋጌዎች በትርጉሞች እና በቀመሮች ደረጃ እንዲሁም የእያንዳንዱን የንድፈ ሃሳባዊ አቋም አተገባበር የሚያሳዩ ምሳሌዎችን ይይዛሉ እና በዚህም ያመቻቻል። የእሱን ማስታወስ እና መረዳት.

የታቀደው ዘዴያዊ ምክሮች ዓላማ ተማሪው በመሠረታዊ ደረጃ ለፈተና እንዲዘጋጅ መርዳት ነው። በሌላ አነጋገር በTFKP ኮርስ ላይ በክፍሎች ውስጥ ጥቅም ላይ የዋሉ ዋና ዋና ነጥቦችን እና የቤት ስራን ሲሰሩ እና ለፈተና ሲዘጋጁ አስፈላጊ የሆኑትን ዋና ዋና ነጥቦችን የያዘ የተራዘመ የስራ መመሪያ ተዘጋጅቷል። ይህ የኤሌክትሮኒክስ ትምህርታዊ ህትመት በተማሪዎች ከሚሰራው ገለልተኛ ስራ በተጨማሪ በኤሌክትሮኒካዊ ቦርድ በመጠቀም በይነተገናኝ መልክ ክፍሎችን ሲሰጥ ወይም በርቀት ትምህርት ስርዓት ውስጥ ለመመደብ ሊያገለግል ይችላል።

እባክዎ ይህ ስራ የመማሪያ መጽሃፎችን ወይም የመማሪያ ማስታወሻዎችን እንደማይተካ ልብ ይበሉ. ስለ ቁሳቁሱ ጥልቅ ጥናት በ MSTU የታተሙትን ተዛማጅ ክፍሎችን ለመመልከት ይመከራል. ኤን.ኢ. ባውማን መሰረታዊ የመማሪያ መጽሐፍ።

በመመሪያው መጨረሻ ላይ የተመከሩ ጽሑፎች ዝርዝር እና የርዕስ ማውጫ አለ, ይህም በጽሁፉ ውስጥ የተገለጹትን ሁሉንም ነገሮች ያካትታል ደፋር ሰያፍውሎች መረጃ ጠቋሚው እነዚህ ቃላት በጥብቅ የተገለጹባቸው ወይም የተገለጹባቸው እና አጠቃቀማቸውን ለማሳየት ምሳሌዎች ወደ ተሰጡባቸው ክፍሎች hyperlinks ያካትታል።

መመሪያው ለሁሉም የMSTU ፋኩልቲዎች የ2ኛ ዓመት ተማሪዎች የታሰበ ነው። ኤን.ኢ. ባውማን

1. ውስብስብ ቁጥርን የመጻፍ የአልጀብራ ቅርጽ

ቅጽ z = x + iy ማስታወሻ፣ x፣y እውነተኛ ቁጥሮች ሲሆኑ፣ እኔ ምናባዊ አሃድ ነኝ (ማለትም፣ i 2 = - 1)

ውስብስብ ቁጥር z ተብሎ የሚጠራው አልጀብራ የአጻጻፍ ስልት ነው። በዚህ ሁኔታ x የአንድ ውስብስብ ቁጥር እውነተኛ ክፍል ተብሎ ይጠራል እና በ Re z (x = Re z) ይገለጻል, y የአንድ ውስብስብ ቁጥር ምናባዊ ክፍል ይባላል እና በ Im z (y = Im z) ይገለጻል.

ለምሳሌ. ውስብስብ ቁጥሩ z = 4− 3i እውነተኛ ክፍል Rez = 4 እና ምናባዊ ክፍል Imz = - 3 አለው።

2. ውስብስብ ቁጥር አውሮፕላን

ውስጥ የአንድ ውስብስብ ተለዋዋጭ ተግባራት ንድፈ ሃሳቦች ግምት ውስጥ ይገባሉውስብስብ ቁጥር አውሮፕላንውስብስብ ቁጥሮችን z, w, ወዘተ የሚያመለክቱ ፊደሎችን በመጠቀም ወይም በመጠቀም ይገለጻል.

ውስብስብ አውሮፕላኑ አግድም ዘንግ ይባላል እውነተኛ ዘንግ፣ ትክክለኛ ቁጥሮች z = x + 0i = x በላዩ ላይ ተቀምጠዋል።

ውስብስብ አውሮፕላኑ ቀጥ ያለ ዘንግ ምናባዊ ዘንግ ይባላል;

3. የተወሳሰቡ የተዋሃዱ ቁጥሮች

ቁጥሮች z = x + iy እና z = x - iy ተጠርተዋል። ውስብስብ conjugate. ውስብስብ በሆነው አውሮፕላን ላይ ስለ እውነተኛው ዘንግ ተመጣጣኝ ከሆኑ ነጥቦች ጋር ይዛመዳሉ።

4. በአልጀብራ መልክ ውስብስብ ቁጥሮች ያላቸው ክዋኔዎች

4.1 ውስብስብ ቁጥሮች መጨመር

የሁለት ውስብስብ ቁጥሮች ድምር

z 1= x 1+ iy 1

እና z 2 = x 2 + iy 2 ውስብስብ ቁጥር ይባላል

z 1+ z 2

= (x 1+ iy 1) + (x 2+ iy 2) = (x 1+ x 2) + i (y 1+ y 2)።

ክወና

መደመር

ውስብስብ ቁጥሮች የአልጀብራ ቢኖሚሊየሞች የመደመር አሠራር ጋር ተመሳሳይ ነው።

ለምሳሌ. የሁለት ውስብስብ ቁጥሮች ድምር z 1 = 3+ 7i እና z 2

= -1 +2 እኔ

ውስብስብ ቁጥር ይሆናል

z 1 +z 2 =(3 +7 i) +(-1 +2 i ) =(3 -1) +(7 +2) i =2 +9 i.

ግልጽ ነው፣

አጠቃላይ ድምሩ

conjugate

ነው።

እውነተኛ

z + z = (x+ iy) + (x− iy) = 2 x= 2 Re z.

4.2 ውስብስብ ቁጥሮች መቀነስ

የሁለት ውስብስብ ቁጥሮች ልዩነት z 1 = x 1 + iy 1

X 2 + iy 2

ተብሎ ይጠራል

ሁሉን አቀፍ

ቁጥር z 1− z 2= (x 1+ iy 1) - (x 2+ iy 2) = (x 1− x 2) + i (y 1− y 2)።

ለምሳሌ. የሁለት ውስብስብ ቁጥሮች ልዩነት

z 1 =3 -4 እኔ

እና z 2

= -1 +2 እኔ

ሁሉን አቀፍ ይሆናል

ቁጥር z 1 - z 2 = (3-4i) - (- 1+ 2i) = (3- (- 1)) + (- 4- 2) i = 4- 6i.

በልዩነት

ውስብስብ conjugate

ነው።

z - z = (x+ iy) - (x− iy) = 2 iy= 2 iIm z.

4.3 ውስብስብ ቁጥሮችን ማባዛት

የሁለት ውስብስብ ቁጥሮች ምርት

z 1= x 1+ iy 1

እና z 2= x 2+ iy 2

ውስብስብ ተብሎ ይጠራል

z 1z 2= (x 1+ iy 1)(x 2+ iy 2) = x 1x 2+ iy 1x 2+ iy 2x 1+ i 2 y 1y 2

= (x 1x 2− y 1y 2) + i (y 1x 2+ y 2x)።

ስለዚህም የተወሳሰቡ ቁጥሮችን የማባዛት አሠራር i 2 = - 1 የሚለውን እውነታ ግምት ውስጥ በማስገባት የአልጀብራ ቢኖሚየሎችን የማባዛት አሠራር ጋር ተመሳሳይ ነው።