በእውቀት መሰረት ጥሩ ስራዎን ይላኩ ቀላል ነው. ከዚህ በታች ያለውን ቅጽ ይጠቀሙ
ተማሪዎች፣ የድህረ ምረቃ ተማሪዎች፣ በትምህርታቸው እና በስራቸው የእውቀት መሰረቱን የሚጠቀሙ ወጣት ሳይንቲስቶች ለእርስዎ በጣም እናመሰግናለን።
እስካሁን ምንም የኤችቲኤምኤል ስሪት ስራ የለም።
ከታች ያለውን ሊንክ በመጫን የስራውን ማህደር ማውረድ ትችላላችሁ።
ተመሳሳይ ሰነዶች
የሂሳብ ሎጂክ ፣ ቡሊያን እና ተመጣጣኝ ተግባራት መሰረታዊ ትርጓሜዎች። አጠቃላይ ጽንሰ-ሐሳቦችቡሊያን አልጀብራ። ዜጋልኪን አልጀብራ፡ መግለጫዎች እና ትንበያዎች። ፍቺ መደበኛ ቲዎሪ. የአልጎሪዝም ፅንሰ-ሀሳብ አካላት ፣ ተደጋጋሚ ተግባራት ፣ ቱሪንግ ማሽን።
ንግግሮች ኮርስ, ታክሏል 08/08/2011
መሰረታዊ የአስተሳሰብ ዓይነቶች: ጽንሰ-ሐሳቦች, ፍርዶች, ግምቶች. ምክንያታዊ አልጀብራን በዝርዝር የዳሰሰ በጆርጅ ቡሌ የተዘጋጀ ድርሰት። የአንድ መግለጫ የእውነት ዋጋ (ማለትም፣ እውነት ወይም ውሸት)። ምክንያታዊ ክንውኖችተገላቢጦሽ (አሉታዊ) እና ተያያዥነት.
አቀራረብ, ታክሏል 12/14/2016
በእነሱ ላይ ስብስቦች እና ኦፕሬሽኖች ግራፊክ ትርጓሜ. የሂሳብ ሎጂክ፣ ቡሊያን አልጀብራ። ፍጹም ተያያዥነት ያለው መደበኛ ቅጽ. ተመጣጣኝ ቀመሮች እና ማረጋገጫቸው። የስርዓቱ ሙሉነት ቡሊያን ተግባራት. አመክንዮ ፣ የግራፍ ንድፈ ሀሳብን ይተነብዩ ።
ንግግር, ታክሏል 12/01/2009
የቡሊያን አልጀብራ መከሰት ታሪክ ፣ የፕሮፖዛል ካልኩለስ ስርዓት እድገት። ውስብስብ እውነትን ወይም ውሸትን ለመመስረት ዘዴዎች አመክንዮአዊ መግለጫዎችበመጠቀም የአልጀብራ ዘዴዎች. መበታተን, ማያያዝ እና መቃወም, የእውነት ጠረጴዛዎች.
አቀራረብ, ታክሏል 02/22/2014
ካሬ ማትሪክስእና ቆራጮች. የመስመራዊ ቦታን ያስተባብሩ. የስርዓት ጥናት መስመራዊ እኩልታዎች. አልጀብራ የማትሪክስ፡ መደመር እና ማባዛት። የጂኦሜትሪክ ምስል ውስብስብ ቁጥሮችእና እነሱ ትሪግኖሜትሪክ ቅጽ. የላፕላስ ቲዎሪ እና መሠረት.
የስልጠና መመሪያ, ታክሏል 03/02/2009
የአዎንታዊ (የተፈጥሮ) ቁጥሮች ንድፈ ሐሳብ መሠረታዊ ጽንሰ-ሐሳብ. ለአርቲሜቲክ ስራዎች አጭር እጅ እድገት. ለመከፋፈል ምሳሌያዊ ቋንቋ። የንፅፅር ባህሪያት እና አልጀብራ. ከስልጣኖች ጋር ንጽጽሮችን ማሳደግ. እንደገና ስኩዌር ማድረግ. የፌርማት ትንሽ ቲዎሪ.
አቀራረብ, ታክሏል 06/04/2014
ስርዓቶች ዲጂታል ሂደትመረጃ. የቦሌ አልጀብራ ጽንሰ-ሐሳብ. የአመክንዮአዊ ክንዋኔዎች ስያሜዎች፡ መከፋፈል፣ መጋጠሚያ፣ መገለባበጥ፣ አንድምታ፣ እኩልነት። የቦሌ አልጀብራ ህጎች እና ማንነቶች። ምክንያታዊ መሰረታዊ ነገሮችኮምፒውተር የመዋቅር ቀመሮችን መለወጥ.
አቀራረብ, ታክሏል 10/11/2014
የቮልዝስኪ ዩኒቨርሲቲ የተሰየመ. ታቲሽቼቫ.
ላይ ትምህርቶች የሂሳብ ሎጂክእና የአልጎሪዝም ንድፈ ሃሳብ.
የተጠናቀረ፡ ተባባሪ ፕሮፌሰር ኤስ.ቪ. ካቬሪን
ምዕራፍ I. የሎጂክ አልጀብራ.
§1.1. የቡሊያን ተግባር ፍቺ።
ቡሊያን ተግባር y=f(x 1፣x 2፣…፣x n) ከ ፒተለዋዋጮች x 1፣ x 2፣...፣x n ነጋሪ እሴቶች እና ተግባሩ እሴቱን 0 ወይም 1 ሊወስዱ የሚችሉበት ማንኛውም ተግባር ነው፣ ማለትም. የቦሊያን ተግባር የዘፈቀደ የዜሮዎች እና የነጠላዎች ስብስብ የሆነበት ደንብ ነው።
(x 1፣x 2፣...፣x n) 0 ወይም 1 እሴት ተመድቧል።
ቡሊያን ተግባራትተብሎም ይጠራል አመክንዮ አልጀብራ ተግባራት፣ ሁለትዮሽ ተግባራት እና የመቀያየር ተግባራት።
ቡሊያን ተግባር ከ n ተለዋዋጮች የክርክር እሴቶች ስብስቦች በቁጥራቸው እየጨመረ በሚሄዱበት የእውነት ሰንጠረዥ ሊገለጹ ይችላሉ : በመጀመሪያ ምልመላ እየተካሄደ ነው።, የ 0 ሁለትዮሽ መስፋፋትን የሚወክል (ይህ ስብስብ 0 ነው); ከዚያም ስብስቡ ይመጣል, እሱም የ 1, ከዚያም 2, 3, ወዘተ የሁለትዮሽ ማስፋፊያ ነው. የመጨረሻው ስብስብ ያካትታል n አሃዶች እና የቁጥር 2 ሁለትዮሽ ማስፋፊያ ነው። n-1 (ይህ የቅንጅቶች አቀማመጥ ቅደም ተከተል ይጠራል መዝገበ ቃላት ቅደም ተከተል ). ግምት ውስጥ በማስገባት ቆጠራው ከ 0 ይጀምራል, እና የቦሊያን ተግባር ዋጋ 0 ወይም ሊሆን ይችላል n
1, የ 22 የተለያዩ የቦሊያን ተግባራት ብቻ አሉ ብለን መደምደም እንችላለን n ተለዋዋጮች. ስለዚህም, ለምሳሌ, የሁለት ተለዋዋጮች 16 የቡሊያን ተግባራት, 256 ከሶስት, ወዘተ.
ምሳሌ 1.1.1.(ድምጽ) . በ"ሶስት ኮሚቴ" የተወሰነ ውሳኔ መቀበሉን የሚመዘግብ መሳሪያን እንመልከት። ውሳኔ ሲያፀድቅ እያንዳንዱ የኮሚቴ አባል የራሱን ቁልፍ ይጫናል። ብዙሓት ኣባላት ብወገኖም፡ ውሳነ ውሳነኡ ይጽበያ። ይህ በመቅጃ መሳሪያ ተመዝግቧል። ስለዚህ መሳሪያው f(x,y,z.) ተግባሩን ተግባራዊ ያደርጋል ) , የማን እውነት ጠረጴዛ መልክ አለው
| x | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| y | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| ዝ | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| ረ(x,y,z) | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
የቦሊያን ተግባር በተለየ ሁኔታ የሚገለጸው ዋጋ 0 የሚወስድባቸውን ሁሉንም ቱፕልሎች በመዘርዘር ወይም እሴቱን የሚወስድባቸውን ሁሉንም tuples በመዘርዘር ነው 1. በምሳሌው የተገኘው ተግባር ረእንዲሁም በሚከተለው የእኩልነት ስርዓት ሊገለጽ ይችላል፡ f(0,0,0) = f(0,0,1) = f(0,1,0) = f(1,0,0) =0.
የቦሊያን ተግባር እሴቶች ቬክተር y=f(x 1፣x 2፣…፣x n) የተግባር ረ የሁሉንም እሴቶች ስብስብ ነው፣ እሴቶቹም በቃላታዊ ቅደም ተከተል የታዘዙበት ነው። ለምሳሌ የሶስት ተለዋዋጮች ተግባር f በአንድ የእሴቶች ቬክተር (0000 0010) ይገለጽ እና ረ እሴቱን የሚወስድበትን ስብስብ መፈለግ አስፈላጊ ነው 1. ምክንያቱም 1 በ 7 ኛ ደረጃ ላይ ነው, እና በቃላት ቅደም ተከተል ውስጥ ያለው ቁጥር ከ 0 ይጀምራል, ከዚያም የሁለትዮሽ ማስፋፊያውን 6 ማግኘት አስፈላጊ ነው. ስለዚህ, ተግባሩ f በስብስቡ (110) ላይ ያለውን ዋጋ 1 ይወስዳል.
§1.2. የመጀመሪያ ደረጃ ቡሊያን ተግባራት።
ከቦሊያን ተግባራት መካከል የአንደኛ ደረጃ ቡሊያን ተግባራት የሚባሉት ተለይተው ይታወቃሉ፣ በዚህም የማንኛውም ተለዋዋጮች ብዛት የቡሊያን ተግባር ሊገለጽ ይችላል።
1. የቦሊያን ተግባር f(x 1 ፣x 2 ፣…,x n) በሁሉም የዜሮ ስብስቦች እና አንዶች ላይ ያለውን እሴት 1 መውሰድ ይባላል። ቋሚ 1፣ ወይም ተመሳሳይ ክፍል። ስያሜ : 1 .
2. የቦሊያን ተግባር f(x 1 ፣x 2 ፣…,x n) በሁሉም የዜሮ ስብስቦች ላይ ያለውን ዋጋ 0 መውሰድ ይባላል። ቋሚ 0፣ ወይም ተመሳሳይ ዜሮ። ስያሜ : 0 .
3. መካድበሚከተለው የእውነት ሠንጠረዥ የተገለጸ የአንድ ተለዋዋጭ የቦሊያን ተግባር ነው።
ሌሎች ስሞች : ምክንያታዊ ማባዛት (ምርት); ምክንያታዊ "እና".
ስያሜዎች : x&y፣ xÿy፣ x⁄y፣ ደቂቃ(x፣y)።
5. መከፋፈል
ሌላ ስም : ምክንያታዊ መዘዝ. ስያሜዎች : xØy፣ xfly፣ xy
7. እኩልነትበሚከተለው የእውነት ሠንጠረዥ የተገለጸ የሁለት ተለዋዋጮች የቦሊያን ተግባር ነው።
ሌላ ስም : ፀረ-እኩልነት. ስያሜዎች : x∆y፣ x+y
9. የሼፈር ስትሮክ ነው።በሚከተለው የእውነት ሠንጠረዥ የሚገለጽ የሁለት ተለዋዋጮች የቦሊያን ተግባር
ሌላ ስም : የመለያየት ችግር፣ ሎጂካዊ “አይደለም-ወይም”፣ የዌብ ተግባር።
ስያሜ : x∞y ; ለድር ተግባር - x± y.
አስተያየት።ምልክቶች Ÿ, ⁄, ¤, Ø, ~, ∆, |, ∞ በማስታወሻው ውስጥ ይሳተፋሉ. የመጀመሪያ ደረጃ ተግባራትግንኙነት ወይም ኦፕሬሽን እንላቸዋለን።
§1.3. አንደኛ ደረጃን በመጠቀም የቦሊያን ተግባራትን መግለጽ።
ከተለዋዋጮች ይልቅ አንዳንድ የቦሊያን ተግባራትን ወደ አመክንዮአዊ ተግባር ከተተኩ ውጤቱ አዲስ የቦሊያን ተግባር ይባላል። ልዕለ አቀማመጥየተተኩ ተግባራት (ውስብስብ ተግባር). ሱፐርላይዜሽን በመጠቀም በማንኛውም የተለዋዋጭ ብዛት ላይ ሊመሰረቱ የሚችሉ ውስብስብ ተግባራትን ማግኘት ይችላሉ። ከአንደኛ ደረጃ ቡሊያን ተግባራት አንፃር የቡሊያን ተግባራትን መፃፍ እንላለን ቀመርበመተግበር ላይ ይህ ተግባር.
ምሳሌ 1.3.1.የአንደኛ ደረጃ ቡሊያን ተግባር x¤y ይስጥ። ተግባሩን x 1∞x 2ን በ x ምትክ እንተካው። የሶስት ተለዋዋጮች ተግባር እናገኛለን (x 1 ∞x 2)¤y. በተለዋዋጭ y ምትክ ለምሳሌ x 3 ∆x 4ን የምንተካ ከሆነ እናገኘዋለን። አዲስ ባህሪከአራት ተለዋዋጮች፡(x 1∞x 2)¤(x 3 ∆x 4)። በግልጽ ለማየት እንደሚቻለው, በዚህ መንገድ የቦሊያን ተግባራትን እናገኛለን, ይህም በአንደኛ ደረጃ ቡሊያን ተግባራት ይገለጻል.
ወደ ፊት ስንመለከት, ያንን እናስተውላለን ማንኛውምየቦሊያን ተግባር እንደ የመጀመሪያ ደረጃ ተግባራት ከፍተኛ ቦታ ሊወከል ይችላል።
ለበለጠ የታመቀ ቀረጻ ውስብስብ ተግባራትየሚከተሉትን የአውራጃ ስብሰባዎች እናስተዋውቅ : 1) ውጫዊ ቅንፎች ተትተዋል; 2) በቅንፍ ውስጥ ክዋኔዎች በመጀመሪያ ይከናወናሉ; 3) የግንኙነቶች ቅድሚያ በሚከተለው ቅደም ተከተል እንደሚቀንስ ይቆጠራል : Ÿ፣ ⁄፣ ¤፣ Ø፣ ~። ለተመሳሳዩ ማገናኛዎች እና ለቀሪዎቹ ማገናኛዎች (∆,|,∞) ቅንፍ ለአሁን ማስቀመጥ አለቦት።
ምሳሌዎች 1.3.2.በቀመር x⁄y¤z ውስጥ ቅንፎች ይቀመጣሉ በሚከተለው መንገድ: (((x⁄y)¤z)፣ ምክንያቱም ኦፕሬሽን ⁄ ከኦፕራሲዮን የበለጠ ጠንካራ ነው ¤ በስምምነታችን።
1. በቀመር x¤y~zØx ቅንፍዎቹ እንደሚከተለው ተቀምጠዋል፡((x¤y)~(zØx))
2. በቀመር (x∆y)~zØxy¤Ÿz ቅንፍዎቹ እንደሚከተለው ተቀምጠዋል፡((x∆y)~(zØ((xy)¤(Ÿz)))))።
3. ከስምምነታችን በኋላ የ xØyØz ቀመር በትክክል አልተጻፈም, ምክንያቱም ቅንፍ ማስቀመጥ ውጤቱን ሁለት ነው። የተለያዩ ተግባራት: (((xØy)Øz) እና (xØ(yØz))።
§1.4. ጉልህ እና ጉልህ ያልሆኑ ተለዋዋጮች።
ቡሊያን ተግባር y=f(x 1፣x 2፣…፣x n) በከፍተኛ ሁኔታ ይወሰናልከተለዋዋጭ x k እንደዚህ ያሉ የእሴቶች ስብስብ ካለ ሀ 1 ,ሀ 2 ,…,ሀ k - 1, ሀ k+1፣ ሀ k + 2 ፣…, ሀ nያ ረ (ሀ 1, ሀ 2,…, ሀ k-1 , 0 ,አ k+1፣a k+2፣…፣a n) π ረ (ሀ 1, ሀ 2,…, ሀ k-1 , 1 ,አ k+1፣a k+2፣…፣a n)
በዚህ ጉዳይ ላይ x k አስፈላጊ ተለዋዋጭ ተብሎ ይጠራል , ቪ አለበለዚያ x k ኢምንት (ዱሚ) ተለዋዋጭ ይባላል . በሌላ አገላለጽ ተለዋዋጭ መለወጥ የተግባርን ዋጋ ካልቀየረ አግባብነት የለውም።
ምሳሌ 1.4.1.የቦሊያን ተግባራት f 1 (x 1፣x 2) እና f 2 (x 1፣x 2) በሚከተለው የእውነት ሠንጠረዥ ይገለጽ።
| x 1 | x 2 | ረ 1 (x 1 ፣ x 2) | ረ 2 (x 1 ፣ x 2) |
| 0 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 0 |
ለእነዚህ ተግባራት ተለዋዋጭ x 1 - ጉልህ ነው, እና ተለዋዋጭ x 2 ጉልህ አይደለም.
በግልጽ ለማየት እንደሚቻለው የቦሊያን ተግባራት አግባብነት የሌላቸውን ተለዋዋጮች በማስተዋወቅ (ወይም በማስወገድ) እሴቶቻቸውን አይለውጡም። ስለዚህ, በሚከተለው ውስጥ, የቦሊያን ተግባራት እስከ አስፈላጊ ያልሆኑ ተለዋዋጮች ይቆጠራሉ (በምሳሌው ውስጥ: f 1 (x 1, x 2) = x 1, f 2 (x 1, x 2) = Ÿx 1 መጻፍ እንችላለን.
§1.5. የእውነት ጠረጴዛዎች. ተመጣጣኝ ተግባራት.
ለአንደኛ ደረጃ ተግባራት የእውነት ሰንጠረዦችን ማወቅ, ይህ ቀመር የሚተገበረውን የእውነት ሰንጠረዥ ማስላት ይችላሉ.
ምሳሌ 1.5.1. F1=x 1⁄x 2 ¤(x 1⁄Ÿx 2 ¤Ÿx 1⁄x 2)
ስለዚህ, ፎርሙላ F1 መጋጠሚያውን ተግባራዊ ያደርጋል. ምሳሌ 1.5.2. F2=x 1⁄x 2 Øx 1
ስለዚህ, ቀመር F3 መጋጠሚያውን ተግባራዊ ያደርጋል.
የቦሊያን ተግባራት f1 እና f2 ተጠርተዋል። ተመጣጣኝበእያንዳንዱ ስብስብ ላይ ከሆነ ( ሀ 1 ,ሀ 2 ፣…, a n) ዜሮዎች እና አንዶች ፣ የተግባሮቹ እሴቶች ይጣጣማሉ። ለተመሳሳይ ተግባራት መግለጫው እንደሚከተለው ነው : f1=f2.
በተሰጡት ምሳሌዎች 1-3 መሠረት, መጻፍ እንችላለን
X 1⁄x 2 ¤(x 1⁄Ÿx 2 ¤Ÿx 1⁄x 2)=x 1 ¤x 2;
X 1⁄x 2 Øx 1 =1;
((x 1⁄x 2)∆x 1)∆x 2 =x 1 ¤x 2.
§1.6. መሰረታዊ እኩያ.
የተሰጡት አቻዎች ከቡሊያን ተግባራት ጋር ሲሰሩ ብዙ ጊዜ ጠቃሚ ናቸው።
ከH፣ H1፣ H2፣... ለአንዳንድ የቦሊያን ተግባራት ይቆማሉ።
1. ድርብ አሉታዊ ህግ፡ H = H.
2. አለመቻል
3. ተለዋዋጭነት፡-
H1*H2=H2*H1፣ ምልክቱ * ማለት ከግንኙነቶች አንዱ እና፣ ¤፣ ∆፣
4. ተባባሪነት፡-
H1*(H2*H3)=(H1*H2)*H3፣ ምልክቱ * ማለት ከግንኙነቶች አንዱ ሲሆን &፣ ¤፣ ∆፣ ~ ማለት ነው።
5. ስርጭት፡-
H1&(H2¤H3)=(H1&H2)¤(H1&H3); H1¤(H2&H3)=(H1¤H2)&(H1¤H3); H1&(H2∆H3)=(H1&H2)∆(H1&H3)።
6. የዴ ሞርጋን ህጎች፡-
H1& H2 = H1 ∨ H2, H1∨ H2 = H1 & H2.
7. የመውሰድ ህጎች፡-
H1¤(H2&H3)=H1, H1&(H2¤H3)=H1
8. የማጣበቅ ህጎች፡-
H1&H2 ∨ H1&H2 = H1, (H1∨ H2) & (H1∨ H2) = H1.
9. የተገላቢጦሽ ህጎች፡ H ∨ H = 1፣ H & H = 0።
10. ከቋሚዎች ጋር ለሚሰሩ ስራዎች ህጎች፡-
H¤1=1፣ H&1=H፣ H¤0=H፣ H&0=0።
ከላይ ያሉትን እኩያዎች እውነት ለመፈተሽ ተጓዳኝ የእውነት ሠንጠረዦችን መገንባት በቂ ነው.
የኦፕሬሽኑ ተያያዥነት ባህሪ ይህ ክዋኔ ወደ ማናቸውም ተለዋዋጮች እንዲራዘም የሚፈቅድ መሆኑን ልብ ይበሉ። ስለዚህ፡ ለምሳሌ፡ x¤у¤z¤w የሚለው ምልክት ትክክል ነው፡ ምክንያቱም ማንኛውም የቅንፍ ዝግጅት አንድ አይነት ተግባርን ያስከትላል። የክዋኔው ተለዋዋጭ ተፈጥሮ በቀመር ውስጥ ተለዋዋጮችን እንድትለዋወጡ ያስችልዎታል። ለምሳሌ x⁄y⁄z⁄w=w⁄y⁄x⁄z.
§1.7. ተግባራዊ ሙላት.
በተለመደው ዘመናዊ ዲጂታል ውስጥ ኮምፒውተርቁጥሮቹ 0 እና 1 ናቸው. ስለዚህ, ፕሮሰሰር የሚያከናውናቸው መመሪያዎች የቦሊያን ተግባራት ናቸው. ከዚህ በታች ማንኛውም የቦሊያን ተግባር በመገጣጠም ፣ በመከፋፈል እና በመቃወም እንደሚተገበር እናሳያለን። በዚህ ምክንያት, ተያያዥነት, መበታተን እና አሉታዊነትን የሚተገበሩ ንጥረ ነገሮች በመኖራቸው አስፈላጊውን ፕሮሰሰር መገንባት ይቻላል. ይህ ክፍል ለጥያቄው መልስ የተሰጠ ነው፡- ሌሎች ሁሉንም ተግባራትን ለመግለጽ የሚያገለግሉ የቡሊያን ተግባራት ሌሎች ስርዓቶች አሉ (እና ከሆነ ምን)።
በርካታ የተግባር ክፍሎችን እናስተዋውቅ።
1. ቋሚውን 0 የሚጠብቁ የተግባሮች ክፍል, ማለትም. እንደዚህ ያሉ ተግባራት
2. ቋሚውን የሚጠብቁ የተግባሮች ክፍል 1, i.e. እንደዚህ ያሉ ተግባራት
3. የራስ-ድርብ ተግባራት ክፍል, ማለትም. እንደዚህ ያሉ ተግባራት y=f (x 1, x 2,…,x n) እንደ f(x 1, x 2,…, x n) = f (x 1, x 2,…, x n) .
4 ኛ ክፍል መስመራዊ ተግባራት፣ ማለትም እ.ኤ.አ. እንደዚህ ያሉ ተግባራት y=f(x 1,x 2,…,x n)፣ እንደ f(x 1,x 2,…,x n)=c 0 ∆c 1 x 1∆c 2 x 2 ∆… ∆ ሊወከል ይችላል። c n x n፣ ሐ 0፣ c 1፣ c 2 ... እሴት 0 ወይም 1 ሊወስዱ የሚችሉ ውህዶች።
5. ክፍል monotonic ተግባራት. የዜሮ እና የነዶች ስብስብ Bn =((x 1,x 2,…,x n):x i œ(0,1),i=1,2,…,n) ከፊል ቅደም ተከተል እንደሚከተለው እናቀርባለን።
(ሀ 1 ,a 2,...,a n)§( ለ 1 ,b 2,...,b n) ከሆነ እና ከሆነ ብቻ ሀ 1 § ለ 1 ፣ አንድ 2 § ለ 2 ፣… ፣ሀ n § ለ n. አንድ ተግባር f(x 1፣ x 2፣...፣ x n) ከ B n ለማንኛውም ሁለት አካላት ከሆነ ሞኖቶኒክ ይባላል።
(ሀ 1 ,a 2,...,a n)§( ለ 1 ,b 2,...,b nከዚህ በኋላ ረ ( ሀ 1 ,a 2,...,a n§f( ለ 1 ,b 2,...,b n).
የትኛውንም የቡሊያን ተግባር ሊወክል የሚችል የቦሊያን ተግባራት ስርዓት S ይባላል በተግባር የተጠናቀቀ . ተግባራዊ ነው ይላሉ የተሟላ ሥርዓትኤስ ቡሊያን ተግባራት ቅፅ መሠረትበሎጂካዊ ክፍተት. መሰረቱ S ይባላል አነስተኛ , ማንኛውንም ተግባር ከእሱ ማስወገድ ይህንን ስርዓት ወደ ያልተሟላ ሁኔታ ከለወጠው.
የተሟላነት መስፈርት (የፖስት ቲዎሪ) . የቦሊያን ስርዓት S የተሟላ የሚሆነው ቢያንስ አንድ ተግባርን የሚያካትት ከሆነ ብቻ ነው፡- የማይጠብቅ ቋሚ 0፣ የማይቆይ ቋሚ 1፣ እራስ-ድርብ ያልሆነ፣ ቀጥተኛ ያልሆነ እና ሞኖቶኒክ።
ሠንጠረዥ 1.7 የአንደኛ ደረጃ የቦሊያን ተግባራት ያላቸውን ባህሪያት ያሳያል (ምልክቱ * አንድ የተወሰነ ተግባር ያለውን ንብረት ያመለክታል)።
የፖስት ቲዎረም እና ሠንጠረዥ 1.7 በመጠቀም ከአንደኛ ደረጃ ተግባራት መሰረቶችን መገንባት ይችላሉ ቀጣዩ ደንብ. ማንኛውንም የአንደኛ ደረጃ ቡሊያን ተግባር በመምረጥ እና አስፈላጊ ከሆነ ከሌሎች ተግባራት ጋር በማሟላት ሁሉም በአንድ ላይ የተግባራዊ የተሟላነት ንድፈ ሃሳብን ያረካሉ። በዚህ መሠረት ተግባራት መግለጽ እንችላለን ሁሉም ሌሎች የቦሊያን ተግባራት.
በመተግበሪያዎች ውስጥ አንዳንድ በተደጋጋሚ ጥቅም ላይ የዋሉ መሠረቶችን እንገንባ።
ሠንጠረዥ 1.7
| ስም | ስያሜ | አለመረጋጋት ቋሚዎች |
አለመረጋጋት ቋሚዎች |
ሳሞድቮይስ ትክክለኛነት |
||
| Const.0 | 0 | * | * | |||
| Const.1 | 1 | * | * | |||
| አሉታዊ | Ÿ | * | * | * | ||
| ኮንግዩን | & | * | * | |||
| መከፋፈል። | ¤ | * | * | |||
| አንድምታ | Ø | * | * | * | * | |
| አቻ። | ~ | * | * | * | ||
| ድምር በ mod_2 | ∆ | * | * | * | ||
| | | * | * | * | * | * | |
| የፔርስ ቀስት | ∞ | * | * | * | * | * |
1. የተግባሮች ስርዓት S1=(Ÿ,⁄,¤) መሰረት ይመሰርታል። የቦሊያንን ተግባር ከመሠረት S1 ላይ ማገናኛዎችን ብቻ ወደያዘ ቅጽ ለመቀነስ የሚከተሉት አቻዎች ጠቃሚ ሊሆኑ ይችላሉ፡- x → y = x ∨ y , x ↔ y = (x ∨ y) (x ∨ y) , x ⊕ y = xy ∨ xy , xy = x ∨ y , x ↓ y = x & y .
2. ስርዓቱ S2=(Ÿ,&) መሰረት ይፈጥራል። የዘፈቀደ ተግባርበመጀመሪያ ከ S1 እና ከዚያም ማገናኛዎችን ወደያዘ ቅፅ መቀነስ ይቻላል
ግንኙነቱን x ∨ y = x ⋅ y ይጠቀሙ።
3. ስርዓቱ S3=(Ÿ,¤) መሰረት ይፈጥራል። የዘፈቀደ ተግባር በመጀመሪያ ከ S1 እና ከዚያ ማገናኛዎችን ወደያዘ ቅፅ ሊቀነስ ይችላል።
ግንኙነቱን x ⋅ y = x ∨ y ይጠቀሙ።
4. ስርዓቱ S4=(1,&,∆) መሰረት ይመሰርታል። የዘፈቀደ ተግባር በመጀመሪያ ከS1 የሚመጡ ማገናኛዎችን ወደያዘ ቅፅ መቀነስ እና ከዚያ ግንኙነቶችን x = 1⊕ x ፣ x ∨ y = x ⊕ y ⊕ x y ይጠቀሙ።
5. ስርዓቱ S5=(|) መሰረት ይመሰርታል። የዘፈቀደ ተግባር በመጀመሪያ ከ S2 ማገናኛዎችን ወደያዘ ቅፅ መቀነስ እና ከዚያ ግንኙነቶችን x ⋅ y = x y ፣ x = xx መጠቀም ይቻላል ።
6. ስርዓቱ S6=(∞) መሰረት ይፈጥራል። የዘፈቀደ ተግባር በመጀመሪያ ከ S3 እና ከዚያ ማገናኛዎችን ወደያዘ ቅፅ ሊቀነስ ይችላል።
ግንኙነቶችን x ∨ y = x ↓ y ፣ x = x ↓ x ይጠቀሙ።
7. ስርዓቱ S7=(Ø,0) መሰረት ይፈጥራል።
ምሳሌ 1.7.1.ተግባሩን x¨(y∆z) መሠረት S1=(Ÿ,⁄,¤) ይፃፉ። x ↔ (y ⋅ z) = (x ∨ y ⊕ z) ⋅(x ∨ (y ⊕ z))
ምዕራፍ II. ቡሊያን አልጀብራ።
በመሠረት ውስጥ የሁሉም ቡሊያኖች ስብስብ S1=( ÿ, &, ⁄} ቅጽ ቡሊያን አልጀብራ. ስለዚህ፣ በቦሊያን አልጀብራ፣ ሁሉም ቀመሮች የተፃፉት በሶስት ማገናኛዎች ነው፡ Ÿ፣ &፣ ¤። የዚህን አልጀብራ ባህሪያት በከፊል በምዕራፍ 1 ላይ መርምረናል (ለምሳሌ መሰረታዊ አቻዎችን ይመልከቱ)። ይህ ምዕራፍ የቦሊያን አልጀብራን የሚመለከቱ ንብረቶችን ይመለከታል ስለዚህ በዚህ ምዕራፍ ውስጥ ሦስት ተግባራትን ብቻ እንይዛለን፡ ÿ, &, ⁄.
§2.1. መደበኛ ቅጾች.
መደበኛ ቅጾች በተግባር ላይ የሚውል ቀመር የመጻፍ በአገባብ የማያሻማ መንገድ ነው። የተሰጠው ተግባር.
x ምክንያታዊ ተለዋዋጭ ከሆነ እና σœ(0፣1) የሚለው አገላለጽ x σ = x ከሆነ σσ == 10 ወይም x σ = 10 x x =≠σσ ከሆነ x ፊደል ይባላል። . x እና Ÿx ፊደሎች ተቃርኖ ይባላሉ። ማያያዝ መከፋፈልየፊደላት መከፋፈል ተብሎ ይጠራል. ለምሳሌ ቀመሮቹ x ⋅ y ⋅ z እና x ⋅ y ⋅ x ⋅ x ቀመሮች ናቸው፣ ቀመሮቹ x ∨ y ∨ z እና x
ተለዋዋጭ መደበኛ ቅጽ (ዲኤንኤፍ)የተገደበ የማጣመጃዎች ብዛት መከፋፈል ይባላል .
የጋራ መደበኛ ቅጽ (ሲኤንኤፍ)የተገደበ የአንቀጾች ብዛት ጥምረት ይባላል .
በይበልጥ ቀላል፡ DNF የምርቶች ድምር ነው፣ እና CNF የሎጂክ ድምር ውጤት ነው።
1. xÿy¤yÿz¤x DNF (የምርቶች ድምር) ነው።
2. (x ∨ y ∨ z)⋅(x ∨ y)⋅z CNF ነው (የድምር ውጤት)።
3. x y ∨ z ∨ w DNF እና CNF (በአንድ ጊዜ) ነው።
4. x y ⋅ z ⋅ w DNF እና CNF (በአንድ ጊዜ) ነው።
5. (x¤x¤y)·(y¤z¤x) · z CNF ነው።
6. x⋅y⋅z እና x⋅y⋅x⋅x ዲኤንኤፍዎች ናቸው።
7. x ⋅(x ∨ yz)⋅ x ⋅ y ⋅ z መደበኛ ቅጽ አይደለም (DNF ወይም CNF አይደለም)።
ተግባሩ f በመሠረቱ S1 ውስጥ ይፃፍ። ይህ ተግባር በሚከተለው መልኩ ወደ መደበኛ ሁኔታ ይቀንሳል.
1) ቀመሩን ወደ ፎርሙ ለመቀየር የዴ ሞርጋን ህጎችን እንጠቀማለን አሉታዊ ምልክቶች ከግለሰብ ተለዋዋጮች ጋር ብቻ የሚዛመዱ;
2) ድርብ አሉታዊ ነገሮችን ለማስወገድ ደንቡን እንተገብራለን-ŸŸx=x;
H1&(H2¤H3)=(H1&H2)¤(H1&H3)፣ እና ሁለተኛው የማከፋፈያ ህግ ወደ CNF ለመቀነስ። H1¤(H2&H3)=(H1¤H2)&(H1¤H3)።
ማንኛውም የቦሊያን ተግባር ገደብ የለሽ የዲኤንኤፍ እና የ CNF ውክልናዎች ሊኖሩት ይችላል። ለምሳሌ፣ በተጨማሪ የተገላቢጦሽ ህጎችን እና የአሰራር ደንቦችን ከቋሚዎች ጋር በመጠቀም፣ በእያንዳንዱ ግለሰብ ማገናኘት ወይም መበታተን ማንኛውም ተለዋዋጭ ከአንድ ጊዜ በላይ እንዳይታይ ማረጋገጥ ይቻላል (ራሱ ወይም አሉታዊ)።
ምሳሌ 2.1.1.ወደ ዲኤንኤፍ ለመቀነስ 1ኛውን የስርጭት ህግ እንጠቀማለን።
x⋅y⋅x⋅y⋅z⋅(y∨z)=x⋅y⋅(x∨y∨z)⋅(y∨z)=(x⋅y⋅x∨x⋅y⋅y∨x ⋅z)⋅(y∨z)= CNF ነው።
= (0∨ x⋅y∨ x⋅y⋅z)⋅(y∨ z) = (x⋅y∨ x⋅y⋅z)⋅(y∨ z) = - ይህ ሌላ CNF ነው
X ⋅ y⋅у ∨ x y⋅z⋅ y ∨ x
X ⋅ y ⋅ z ∨ x ⋅ y ⋅ z ዲኤንኤፍ ነው
ምሳሌ 2.1.2. ወደ CNF ለመቀነስ ሁለተኛውን የስርጭት ህግ መጠቀም አስፈላጊ ነው.
x ∨ y ⋅ x ⋅ y ∨ z = x ∨ y ⋅ (x ⋅ y ⋅ z) = x ∨ y ⋅ (x ∨ y) ⋅ z =
X∨y⋅z⋅(x∨y)=(x∨y⋅z)⋅(x∨x∨y)=(x∨y)⋅(x∨z)⋅(1∨y)=
= (x ∨ y) ⋅ (x ∨ z) CNF ነው።
§2.2. ፍጹም መደበኛ ቅጾች.
በእያንዳንዱ መደበኛ ቅጽ ሁሉም ተለዋዋጮች የሚወከሉ ከሆነ (ራሳቸው ወይም ተቃርኖቻቸው) እና በእያንዳንዱ ግለሰብ መጋጠሚያ ወይም መለያየት ማንኛውም ተለዋዋጭ በትክክል አንድ ጊዜ ከታየ (ወይ እራሱ ወይም አሉታዊ) ከዚያ ይህ ቅጽ ይባላል። ፍጹም መደበኛ ቅጽ (SDNF ወይም SCNF)። ምሳሌዎች፡-የሶስት ተለዋዋጮች f(x,y,z) ተግባር ይስጥ።
1. x ⋅ y ⋅ z ∨ x y ⋅ z ∨ x ⋅ y ⋅ z ፍጹም ዲኤንኤፍ ነው።
2. (x ∨ y ∨ z)⋅(x ∨ y ∨ z)⋅(x ∨ y ∨ z) ፍጹም CNF ነው።
3. (x ∨ y) ⋅ (x ∨ z) ፍጹም CNF አይደለም፣ ምክንያቱም ለምሳሌ, የመጀመሪያው ድምር ተለዋዋጭ zን አያካትትም.
4. xÿyÿz ፍጹም ዲኤንኤፍ ነው። ቲዎረም 2.2.1.
1. በተመሳሳይ መልኩ ዜሮ ያልሆነ ማንኛውም የቦሊያን ተግባር አንድ ኤስዲኤንኤፍ ብቻ ነው ያለው፣ እስከ ቃላቱ መገኛ ድረስ።
2. ከ 1 ጋር የማይመሳሰል ማንኛውም የቦሊያን ተግባር አንድ SCNF ብቻ ነው ያለው፣ እስከ ቃላቱ መገኛ ድረስ።
ለሚከተለው ችግር መፍትሄ ሆኖ ንድፈ ሃሳቡን ገንቢ በሆነ መልኩ እናረጋግጣለን። ይህን የእውነት ሰንጠረዥ በመጠቀም፣ SDNF ይገንቡ።
በሰንጠረዥ (ሠንጠረዥ 2.2) ለ n=3 የተሰጠውን ተግባር f(x,y,z) ምሳሌ በመጠቀም መፍትሄውን እናስብ።
ምሳሌ 2.2.1.ይህንን የእውነት ሰንጠረዥ በመጠቀም (ሠንጠረዥ 2.2)፣ SDNF ይገንቡ።
ሠንጠረዥ 2.2
| x | y | ዝ | መሰረታዊ ማያያዣዎች |
ረ(x,y,z) |
| 0 | 0 | 0 | x ⋅ y ⋅ z | 0 |
| 0 | 0 | 1 | x ⋅ y ⋅ z | 1 |
| 0 | 1 | 0 | x ⋅ y ⋅ z | 1 |
| 0 | 1 | 1 | x ⋅ y ⋅ z | 0 |
| 1 | 0 | 0 | x ⋅ y ⋅ z | 0 |
| 1 | 0 | 1 | x ⋅ y ⋅ z | 1 |
| 1 | 1 | 0 | x ⋅ y ⋅ z | 1 |
| 1 | 1 | 1 | x ⋅ y ⋅ z | 1 |
መሰረታዊ ማያያዣዎች (ወይም አካላት_1) በሰንጠረዡ ውስጥ የተካተተው ከተወሰኑ የዜሮዎች ስብስብ እና ከሚወስዱት ጋር ይዛመዳል ተለዋዋጮች x,y,ዘ. አካላት እየተገነቡ ነው_ 1 በሚከተለው ህግ መሰረት: አንድ ተለዋዋጭ በተሰጠው ስብስብ ላይ ዋጋ 1 ከወሰደ በራሱ ምርቱ ውስጥ ተካትቷል, አለበለዚያ የእሱ አሉታዊነት በምርቱ ውስጥ ተካትቷል. ስለዚህ, ለምሳሌ, በስብስቡ (0,0,1) ላይ ተለዋዋጮች x,y እሴቱን 0 ይወስዳሉ እና ስለዚህ የእነሱ ተቃውሞ በምርቱ ውስጥ ይካተታል, እና ተለዋዋጭ z ዋጋውን 1 ይወስዳል እና ስለዚህ በምርቱ ውስጥ ይካተታል. . ለአንድ ስብስብ (0,0,1)፣ አካል_1 ከ x ⋅ y ⋅ z ጋር እኩል ነው።
በግልጽ ለማየት እንደሚቻለው የ x ⋅ y ⋅ አገናኙ ከ 1 ጋር እኩል ነው።
(0፣0፣0)፣ እና x ⋅ y ⋅ z በስብስቡ ላይ 1 ነው (0፣0፣1)፣ ወዘተ። (ሰንጠረዡን ይመልከቱ). በመቀጠል, የሁለት መሰረታዊ ማያያዣዎች መቆራረጥ ከነዚህ መሰረታዊ ማያያዣዎች ጋር በሚዛመዱ በትክክል ሁለት ስብስቦች ላይ ከ 1 ጋር እኩል መሆኑን ልብ ይበሉ. ለምሳሌ፣ ተግባር x 0. በተመሳሳይም የሶስቱ መሰረታዊ ማያያዣዎች መከፋፈል ከነዚህ መሰረታዊ ማያያዣዎች ጋር በሚዛመዱ ሶስት ስብስቦች ላይ ከ 1 ጋር እኩል ነው, ወዘተ.
ያ። እናገኛለን ደንብ: SDNF ን ለመገንባትተግባራቱ ከ 1 ጋር እኩል የሆነባቸውን ረድፎች መምረጥ አለብዎት ፣ እና ከዚያ ተዛማጅ ዋና ዋና ግንኙነቶችን መከፋፈል ይውሰዱ ፣ የተፈለገውን SDNF እናገኛለን። ስለዚህ ለ ምሳሌያችን x ⋅ y ⋅ z ¤ x ⋅ y ⋅ z ¤ x ⋅ y ⋅ z ¤
ተግባር ይህንን የእውነት ሰንጠረዥ በመጠቀም፣ SCNF ይገንቡ።
ሕገ መንግሥት_0ለዜሮዎች ስብስብ እና አንድ (ተለዋዋጮችን x,y,z የሚወስዱት) እንደሚከተለው ይገነባሉ-ተለዋዋጭ በዚህ ስብስብ ላይ ያለውን ዋጋ ከወሰደ በራሱ በዲስክ ውስጥ ተካትቷል. 0 , አለበለዚያ ስራው አሉታዊውን ያካትታል.
SKNF የመገንባት ህግ፡-ተግባሩ እኩል የሆነባቸውን መስመሮች መምረጥ አለብዎት 0 , እና ከዚያ የተጓዳኙን አካላት ጥምረት_0 ይውሰዱ። ውጤቱ የሚፈለገው SCNF ይሆናል. ስለዚህ ለኛ ምሳሌ f = (x ∨ y∨ z) ⋅(x ∨ y∨ z)⋅(x ∨ y∨ z) አለን።
አስተያየት። ፍጹም የሆነ የ CNF ተግባርን ለመገንባት f, እና ከዚያ በኋላ ፍጹም DNF ን መገንባት በቂ ነው
በአስተያየቱ ላይ በመመስረት ለምሳሌያችን SCNF እንገንባ። 1. ለኔጌሽን ዲ ኤንኤፍ እንገነባለን.
x y ⋅ z ∨ x⋅ y ⋅ z
2. የዴ ሞርጋን ህግጋት f = f = x ⋅ y⋅ z ∨ x ⋅ y⋅z ∨ x ⋅ y⋅ z = x ⋅ y⋅ z = x ⋅ y⋅ z&x y⋅z&x ⋅ y⋅ z == (x ) ⋅(x ∨ y ∨ z)
የእውነት ሰንጠረዥን በመጠቀም SDNF (እና SCNF) የማግኘት ዘዴ ብዙውን ጊዜ ከሚከተለው ስልተ ቀመር የበለጠ ጉልበት የሚጠይቅ ነው።
1. SDNF ለማግኘት ይህ ቀመርበመጀመሪያ ወደ ዲኤንኤፍ እንቀንሳለን.
2. አንዳንድ ጥምረቶች ኬ (ማለትም K የተወሰኑ የተለዋዋጮች ብዛት ወይም ንግግራቸው) ካላካተተ፣ ተለዋዋጭ y ይበሉ፣ ከዚያ ይህን ጥምረት በተመጣጣኝ ቀመር K&(y ∨ y) እንተካዋለን እና በመተግበር ላይ። የስርጭት ህግ, የተገኘውን ቀመር ለዲኤንኤፍ እናቀርባለን; ብዙ የጎደሉ ተለዋዋጮች ካሉ ለእያንዳንዳቸው የቅጹን ተጓዳኝ ቀመር (y ∨ y) ወደ መገጣጠሚያው እንጨምራለን ።
3. የተገኘው ዲኤንኤፍ የክፍሉን በርካታ ተመሳሳይ አካላትን ከያዘ ከነሱ አንዱን ብቻ እንተዋለን። ውጤቱ SDNF ነው።
አስተያየት SCNF ወደሌለው አንቀጽ ለመገንባት፣ ተለዋዋጭ በል። በየቅጹን ቀመር እንጨምራለን y⋅ y፣ i.e. ይህንን ልዩነት በተመጣጣኝ ቀመር D ∨ y⋅ y እንተካለን እና 2ኛውን የስርጭት ህግን ተግባራዊ እናደርጋለን።
ምሳሌ 2. 2. 2.ተመጣጣኝ ትራንስፎርሜሽን በመጠቀም ለ F ተግባር SDNF ይገንቡ።
ረ = x ∨ y ⋅ z = x ⋅ (y ∨ y) ⋅ (z ∨ z) ∨ y ⋅ z ⋅ (x ∨ x) == x ⋅ z ⋅ x y ⋅ z ⋅ x =
ማፈግፈግ
የ SDNF ስሌት ንድፈ ሃሳብ ብቻ ሳይሆን ትልቅም አለው። ተግባራዊ ጠቀሜታ. ለምሳሌ, በብዙ ዘመናዊ ፕሮግራሞችውስብስብ ለማቀናበር በግራፊክ በይነገጽ ምክንያታዊ ሁኔታዎችበሠንጠረዥ መልክ የሚታይ መልክ ጥቅም ላይ ይውላል-ሁኔታዎች በሴሎች ውስጥ ተጽፈዋል, እና የአንድ አምድ ህዋሶች በመገጣጠሚያዎች እንደተገናኙ ይቆጠራሉ, እና ዓምዶቹ በማያያዝ እንደተገናኙ ይቆጠራሉ, ማለትም, እነሱ. DNF ይመሰርቱ (ወይም በተቃራኒው, በዚህ ሁኔታ, CNF ተገኝቷል). በተለይም QBE (Query-byExample) ስዕላዊ በይነገጽ የተነደፈው በዚህ መንገድ ነው፣ ዲቢኤምኤስ ሲጠይቁ አመክንዮአዊ ሁኔታዎችን ለመቅረጽ ይጠቅማል።
አልጎሪዝም 2.2.1.የ SDNF ግንባታ
መግቢያ: vector X: array of string - ተለዋዋጭ መለያዎች፣ ማትሪክስ V: የሁሉም የተለያዩ የተለዋዋጭ እሴቶች ስብስቦች 0..1፣
vector F፡ 0..1 ተጓዳኝ የተግባር እሴቶች ድርድር።
ውጣ፡ለአንድ ተግባር የኤስዲኤንኤፍ ፎርሙላ መዝገብ የሚፈጥሩ የምልክቶች ቅደም ተከተል።
ረ፡= የውሸት(የግራ ኦፕሬሽኑ መገኘት ምልክት) ለእኔ ከ 1ወደ 2 n መ ስ ራ ት
ከሆነ F[i] = 1 ከዚያም ከሆነረ ከዚያም
ምርት መስጠት"¤" (በቀመሩ ላይ የመለያየት ምልክት መጨመር፤ ኦፕሬተር ምርት መስጠትሜትር ህትመቶች
ምልክት m) ሌላረ፡= እውነት ነው።
ከሆነ ያበቃልሰ፡= የውሸት(የግንኙነቱ ግራ ኦፕሬተር መኖሩ ምልክት) ለጄ ከ 1ወደ n ከሆነ አድርግሰ ከዚያም
ምርት መስጠት"⁄" (በቀመሩ ላይ የማገናኛ ምልክት ማከል)
ሌላ g: = እውነት
ከሆነ ያበቃል V (ወደ ቀመሩ ተለዋዋጭ መለያ ማከል
§2.3. የዲኤንኤፍ ቅነሳ በኩዊን ዘዴ።
እያንዳንዱ ቀመር አለው የመጨረሻ ቁጥርየተለዋዋጮች ክስተቶች. የተለዋዋጭ መከሰት ተለዋዋጭ በቀመር ውስጥ የሚይዘውን ቦታ ያመለክታል. ተግባሩ ለተወሰነ የቦሊያን ተግባር ረ ይህንን ተግባር የሚወክል እና ያለው ዲኤንኤፍ ማግኘት ነው። ትንሹ ቁጥርየተለዋዋጮች ክስተቶች.
x ምክንያታዊ ተለዋዋጭ ከሆነ እና σœ(0,1) አገላለጹ x σ =xx ከሆነ σσ== 10 ከሆነ።
ተብሎ ይጠራል ደብዳቤ . ማያያዝየፊደላት ትስስር ተብሎ ይጠራል. ለምሳሌ፣ x ⋅ y ⋅ z እና x ⋅ y ⋅ x ⋅ x ቀመሮች ናቸው . ኤሌሜንታሪ ምርት ማንኛውም ተለዋዋጭ ከአንድ ጊዜ በላይ የማይታይበት (ራሱም ሆነ አሉታዊነቱ) ጥምረት ነው።
ፎርሙላ f1 ይባላል አስመሳይቀመሮች ረ , f1 የመጀመሪያ ደረጃ ምርት ከሆነ እና f 1 ⁄ f = f 1, i.e. ማለትም ከቀመርዎቹ ጋር ለሚዛመዱ ተግባራት, እኩልነት f 1 § f ይይዛል. የአንድ ፎርሙላ ረ ተተኪው f1 ይባላል ቀላል , ማንኛውንም ፊደል ከf1 ካስወገዱ በኋላ፣ የፎርሙላው አንድምታ የሆነ ቀመር ካልተገኘ ረ.
ለምሳሌ 2.3.1 . ለቀመር f=xØy ሁሉንም አስመጪዎች እና ቀላል አስመጪዎችን እንፈልግ . ተለዋዋጮች ጋር በአጠቃላይ 8 የመጀመሪያ ደረጃ ምርቶች አሉ Xእና ዩ.ከዚህ በታች፣ ግልፅ ለማድረግ፣ የእውነት ሠንጠረዦቻቸው ተሰጥተዋል፡-
| x | y | xØy | x ⋅ y | x ⋅ y | x ⋅ y | x ⋅ y | x | y | x | y | |||||||
| 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | |||||||
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | |||||||
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | |||||||
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | |||||||
ከእውነት ሠንጠረዦች ቀመሮች x ⋅ y , x ⋅ y , x ⋅ y , x y . - ሁሉም የ xØy ቀመሮች፣ እና ከእነዚህ አስመጪዎች ቀመሮቹ x እና y ቀላል ናቸው (ቀመሩ x ⋅ y፣ ለምሳሌ፣ ቀላል አስመሳይ አይደለም፣ ምክንያቱም y ፊደልን ጥለን፣ ተተኪውን x እናገኛለን)።
ምህጻረ ቃል ዲኤንኤፍየአንድ የተሰጠ ቀመር (ተግባር) የሁሉም ዋና እንድምታዎች መጣመር ይባላል። .
ቲዎረም 2.3.1.ቋሚ 0 ያልሆነ ማንኛውም የቦሊያን ተግባር እንደ አጭር እጅ ዲኤንኤፍ ሊወከል ይችላል።
በምሳሌ 2.3.1፣ ከቀመር xØy ጋር የሚዛመደው ተግባር በቀመር x ∨ y ይወከላል እሱም በአህጽሮት DNF ነው።
የተቀነሰ ዲኤንኤፍ ተጨማሪ አስመጪዎችን ሊይዝ ይችላል፣ ይህም መወገድ የእውነትን ሰንጠረዥ አይቀይርም። ሁሉንም አላስፈላጊ እክሎች ከተቀነሰ ዲኤንኤፍ ውስጥ ካስወገድን, የሚጠራውን ዲኤንኤፍ እናገኛለን መጨረሻ.
የአንድ ተግባር ውክልና እንደ የሞተ-መጨረሻ ዲኤንኤፍ በ ውስጥ መሆኑን ልብ ይበሉ አጠቃላይ ጉዳይአሻሚ ከሁሉም የሞቱ-ፍጻሜ ቅጾች መምረጥ፣ የተለዋዋጮች ክስተቶች በትንሹ ቁጥር ያለው ቅፅ ይሰጣል አነስተኛ ዲኤንኤፍ (ኤምዲኤንኤፍ)።
ዘዴውን አስቡበት ኩዊና፣የተሰጠውን የቦሊያን ተግባር የሚወክል ኤምዲኤንኤን ለማግኘት። የሚከተሉትን ሶስት ተግባራት እንገልፃለን-
1. ሙሉ ትስስር ክወና : f ⋅ x ∨ f ⋅ x = f ⋅ (x ∨ x) = f ;
2. ከፊል የማጣበቅ ሥራ;
f ⋅ x ∨ f ⋅ x = f ⋅ (x ∨ x) ∨ f ⋅ x ;
3. የአንደኛ ደረጃ የመምጠጥ አሠራር f ⋅ x σ ∨ f = f, σ ∈ (0,1) .
ቲዎረም 2.3.2(የኩዊን ቲዎረም). በ SDNF ተግባር ላይ በመመስረት ሁሉንም ያልተሟላ የማጣበቅ እና የአንደኛ ደረጃ መምጠጥ ሁሉንም ሊሆኑ የሚችሉ ስራዎችን የምናከናውን ከሆነ ውጤቱ የተቀነሰ ዲኤንኤፍ ይሆናል ፣ ማለትም ፣ የሁሉም ቀላል አስመጪዎች መከፋፈል።
ምሳሌ 2.3.2. ተግባሩ f(x,y,z) በፍፁም DNF f = x ⋅ y⋅ z ∨ x ⋅ y⋅z ∨ x ⋅ y⋅z ∨ x ከዚያም በሁለት ደረጃዎች ሁሉንም ያልተሟላ የማጣበቅ ስራዎችን እና ከዚያም የአንደኛ ደረጃ መምጠጥን ማከናወን አለን.
ረ 
ስለዚህ፣ የተግባርን አጭር ዲኤንኤፍ ቀመር y¤x·z ነው።
በተግባር, በእያንዳንዱ ደረጃ ላይ ያልተሟሉ የማጣበቅ ስራዎችን ሲያከናውን, በእነዚህ ስራዎች ውስጥ የተካተቱትን ቃላቶች መጻፍ አይቻልም, ነገር ግን በማናቸውም ማጣበቂያ ውስጥ ያልተካተቱትን ሁሉንም የተሟሉ ማጣበቂያዎችን እና ማያያዣዎችን ብቻ መፃፍ ይቻላል.
ምሳሌ 2. 3. 3.ተግባሩ f(x,y,z) በፍፁም DNF f = x ⋅ y ⋅ z ∨ x ⋅ y ⋅ z ∨ x ⋅ y ⋅ z ∨ x
ከዚያም የማጣበቅ እና የአንደኛ ደረጃ መምጠጥ ስራዎችን በማከናወን ላይ, እኛ አለን
ረ = x ⋅ y ⋅(z ∨ z) ∨ y ⋅ z ⋅(x ∨ x) ∨ x
ከተቀነሰው ዲኤንኤፍ ዝቅተኛውን ዲኤንኤፍ ለማግኘት የኩዊን ማትሪክስ ጥቅም ላይ ይውላል , እንደሚከተለው ይገነባል. የሰንጠረዡ አምድ ርእሶች የፍጹም የዲኤንኤፍ ክፍል አካላትን ይዘዋል፣ እና የረድፉ ርእሶች ከተፈጠረው ምህፃረ ቃል ዲኤንኤፍ ቀላል ግንዛቤዎችን ይይዛሉ። በሰንጠረዡ ውስጥ፣ ኮከቦች የረድፎች እና የአምዶች መጋጠሚያዎች ምልክት ይደረግባቸዋል ለዚህም በረድፍ ራስጌ ውስጥ ያለው መገጣጠሚያ በክፍሉ አካል ውስጥ የተካተተ ሲሆን ይህም የአምዱ ራስጌ ነው።
ለምሳሌ 2.3.3. የኩዊን ማትሪክስ ቅጹ አለው
በሟች-መጨረሻ ዲኤንኤፍ ውስጥ ፣ አነስተኛው የቀላል አስመጪዎች ብዛት ተመርጧል ፣ መከፋፈል ሁሉንም የንጥሉን አካላት ይጠብቃል ፣ ማለትም ፣ እያንዳንዱ የኩዊን ማትሪክስ አምድ ከአንዱ ረድፍ ጋር በሚገናኝ መስቀለኛ መንገድ ላይ ምልክት ይይዛል። የተመረጡ አስመጪዎች. በጣም ትንሹ የተለዋዋጮች ክስተቶች ብዛት ያለው የሞተ-መጨረሻ ዲኤንኤፍ እንደ ትንሹ ዲኤንኤፍ ይመረጣል።
በምሳሌ 2.3.3፣ የኩዊን ማትሪክስ በመጠቀም፣ የአንድ የተወሰነ ተግባር ዝቅተኛው DNF x ⋅ y ¤ x ⋅ z ሆኖ እናገኘዋለን።
አስተያየት።
f = f እና የዴ ሞርጋን ህጎችን ይጠቀሙ።
§ 2.4. የካርቶን ካርታዎች.
አነስተኛ ቁጥር ያላቸው ተለዋዋጮች (እና, ስለዚህ, ዝቅተኛውን ዲኤንኤፍ ለማግኘት) ቀለል ያሉ አስመሳይ ቀመሮችን ለማግኘት ሌላኛው መንገድ የካርኖት ካርታዎች በሚባሉት አጠቃቀም ላይ የተመሰረተ ነው.
የካርኖት ካርታ ነው። ልዩ ዓይነትአነስተኛ ቅጾችን የማግኘት ሂደትን የሚያቃልል እና የተለዋዋጮች ቁጥር ከስድስት በላይ በማይሆንበት ጊዜ በተሳካ ሁኔታ ጥቅም ላይ የሚውል ሠንጠረዥ. የካርኔግ ካርታዎች በ n ተለዋዋጮች ላይ የሚመረኮዙ ተግባራት በ 2 n ሴሎች የተከፋፈሉ አራት ማዕዘኖች ናቸው። እያንዳንዱ የስዕላዊ መግለጫ ሕዋስ ከሁለትዮሽ n-ልኬት ስብስብ ጋር የተያያዘ ነው። የተሰጠው ተግባር f ከእውነት ሠንጠረዥ ውስጥ ወደሚፈለጉት ካሬዎች ውስጥ ገብቷል ፣ ግን ሴሉ ከ 0 ጋር የሚዛመድ ከሆነ ብዙውን ጊዜ ባዶ ይቀራል።
በሰንጠረዥ 2.4.1. በሶስት ተለዋዋጮች ላይ ለሚመረኮዝ ተግባር የካርኔግ ካርታ ምልክት የማድረግ ምሳሌ ያሳያል። የካርታው ግርጌ አራት ሕዋሶች ተለዋዋጭ ከሆኑ ሁለትዮሽ ስብስቦች ጋር ይዛመዳሉ xእሴቱን 1 ይወስዳል, ከላይ ያሉት አራት ሕዋሶች ተለዋዋጭ ከሆኑ ስብስቦች ጋር ይዛመዳሉ xእሴቱን ይወስዳል 0. የካርታውን የቀኝ ግማሽ ያካተቱት አራቱ ሴሎች ተለዋዋጭ y ካሉባቸው ስብስቦች ጋር ይዛመዳሉ; ዋጋውን 1, ወዘተ ይወስዳል. በሰንጠረዥ 2.4.2. የ Karnaugh ካርታ ለ n=4 ተለዋዋጮች ምልክት ማድረጉ ይታያል።
አነስተኛ ዲኤንኤፍ ለመገንባት, እንሰራለን የማጣበቅ ሂደት "1".አንድ ላይ የሚጣበቁት "1" እሴቶች ከአጎራባች ሴሎች ጋር ይዛመዳሉ, ማለትም. ሴሎች በአንድ ተለዋዋጭ እሴት ብቻ ይለያያሉ (በ ስዕላዊ መግለጫበአቀባዊ ተለያይቷል ወይም አግድም መስመርየተቃራኒ ጽንፍ ሕዋሳትን ቅርበት ግምት ውስጥ በማስገባት).
"1" የማጣበቅ ሂደት የካርኔግ ካርታ ነጠላ ሴሎችን በቡድን በማጣመር ይወርዳል እና የሚከተሉትን ህጎች መከተል አለባቸው ።
1. በአንድ ቡድን ውስጥ የተካተቱት የሴሎች ብዛት በ 2 ብዜት መገለጽ አለበት, ማለትም. 2 ሜትር በ m=0፣1፣2፣...
2. በ 2 ሜትር ሴሎች ቡድን ውስጥ የተካተተው እያንዳንዱ ሕዋስ በቡድኑ ውስጥ m አጎራባች ሴሎች ሊኖራቸው ይገባል.
3. እያንዳንዱ ሕዋስ ቢያንስ የአንድ ቡድን አባል መሆን አለበት።
4. እያንዳንዱ ቡድን ማካተት አለበት ከፍተኛ ቁጥርሴሎች, ማለትም. የትኛውም ቡድን በሌላ ቡድን ውስጥ መካተት የለበትም።
5. የቡድኖች ብዛት አነስተኛ መሆን አለበት.
የንባብ ተግባር ረበማጣበቂያው ቡድን መሰረት እንደሚከተለው ይከናወናል-የሚቆጥቡ ተለዋዋጮች ተመሳሳይ እሴቶችበማጣበቂያው ቡድን ሴሎች ውስጥ ወደ ውህደት ውስጥ ይገባሉ እና እሴቶቹ 1 ከራሳቸው ተለዋዋጮች ጋር ይዛመዳሉ ፣ እና እሴቶቹ 0 ከአቅማቸው ጋር ይዛመዳሉ።
ሽፋኖችን 1 ለመገንባት የሚያግዙ አብነቶችን እናቀርባለን (ተለዋዋጮች አንድ አይነት እንደሆኑ አድርገን እንቆጥራለን, ግን አንጽፋቸውም). ማስታወሻውን ለማቃለል፣ ተለዋዋጮችን አናደርግም ፣ ምንም እንኳን በሠንጠረዦች 2.4.1 ፣ 2.4.2 ውስጥ ስማቸውን ብንይዝም።
| 1 | 1 |
| 1 | 1 |
| F=Ÿy&x | |
| 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 |
| 1 |
F=Ÿz&Ÿy f=Ÿx&y
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | ||||
| 1 | 1 | 1 | 1 | ||||
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
F=Ÿx&z f=y&w F=Ÿx&Ÿy
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | ||
| 1 | 1 |
F=Ÿy&Ÿw f=Ÿy&Ÿz F=Ÿz&Ÿx
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | ||||
| 1 | 1 | 1 | 1 |
F=y&z&w f=Ÿy&Ÿz&Ÿw F=x&y&Ÿz
| 1 | ||
| 1 | ||
| 1 | 1 | 1 |
| 1 |
ምሳሌ 2.4.1. MDNF ይገንቡ።
በመጀመሪያ ማንኛውም ሽፋኖች እንዳሉ ለማየት እንመለከታለን_ 1 ከ16 ህዋሶች ቢያንስ አንዱን ያልተሸፈነ 1. እንደዚህ አይነት ሽፋኖች የሉም። ወደ 8 ሴሎች ሽፋኖች እንሸጋገራለን. ከ 8 ህዋሶች ውስጥ 1 ቢያንስ አንድ ያልተሸፈነ ሽፋን ያላቸው ሽፋኖች እንዳሉ እንይ 1. እንደዚህ አይነት ሽፋኖች የሉም. ወደ 4 ሴሎች ሽፋኖች እንሸጋገራለን. ከ 4 ህዋሶች 1 ቢያንስ አንዱን የሚሸፍኑ ህዋሶች መኖራቸውን እንይ 1. እንደዚህ አይነት ሁለት ሽፋኖች አሉ። ወደ 2 ሴሎች ሽፋኖች እንሸጋገራለን. እንዲህ ዓይነቱ ሽፋን አንድ ብቻ ነው. ስለዚህ, ሁሉም 1 ተሸፍነዋል. በመቀጠል, ሁሉም ክፍሎች ተሸፍነው እንዲቆዩ አንዳንድ ሽፋኖችን ማስወገድ እንችል እንደሆነ እንይ. መጨረሻ ላይ MDNF: f =x⋅z∨y⋅w∨y⋅z⋅w እንጽፋለን።
አስተያየት።የአንድ ተግባር f አነስተኛውን CNF ለመገንባት፣ ለሥራው አነስተኛውን DNF መገንባት በቂ ነው ፣ እና ከዚያ
f = f እና የዴ ሞርጋን ህጎችን ይጠቀሙ።
ምዕራፍ III. ዘጋልኪን አልጀብራ።
በዜጋልኪን መሠረት S4=(∆፣&፣1) የተገለፀው የቦሊያን ተግባራት ስብስብ የዜጋልኪን አልጀብራ ይባላል።
መሰረታዊ ባህሪያት.
1. ተለዋዋጭነት
H1∆H2=H2∆H1፣H1&H2=H2
2. ተጓዳኝነት
H1∆(H2∆H3)=(H1∆H2)∆H3፣H1&(H2&H3)=(H1&H2)
3. ስርጭት
H1&(H2∆H3)=(H1&H2)∆(H1&H3);
4. የቋሚዎቹ ንብረቶች H&1=H, H&0=0, H∆0=H;
5. H∆H=0፣ H&H=H
መግለጫ 3.1.1.ሁሉም ሌሎች የቦሊያን ተግባራት በዜጋልኪን አልጀብራ ስራዎች ሊገለጹ ይችላሉ፡-
Ÿx=1∆x፣ x¤y=x∆y∆xy፣ x~y=1∆x∆y፣ xØy=1∆x∆xy፣ x∞y=1∆x∆y∆xy፣ x|y= 1∆xy
ፍቺየዜጋልኪን ፖሊኖሚል (ፖሊኖሚል ሞዱሎ 2) የ n ተለዋዋጮች x 1 ፣ x 2 ፣…, x n የቅጹ መግለጫ ነው c0∆с1x1∆c2x2∆…∆cnxn∆c12x1x2∆…∆c12…nx1x2… እሴቶችን 0 ወይም 1 መውሰድ ይችላል።
የዜጋልኪን ፖሊኖሚል የግለሰብ ተለዋዋጮች ምርቶችን ካልያዘ ፣ ከዚያ መስመራዊ (መስመራዊ ተግባር) ይባላል።
ለምሳሌ f=x∆yz∆xyz እና f1=1∆x∆y∆z ብዙ ቁጥር ያላቸው ሲሆን ሁለተኛው ደግሞ ቀጥተኛ ተግባር ነው።
ቲዎረም 3.1.1.እያንዳንዱ የቦሊያን ተግባር በተለየ መንገድ በዜጋልኪን ፖሊኖሚል መልክ ይወከላል.
ከተሰጠው ተግባር የ Zhegalkin polynomials ን ለመገንባት ዋና ዘዴዎችን እናቅርብ.
1. ዘዴ እርግጠኛ ያልሆኑ ቅንጅቶች. P (x 1, x 2,…, x n) የተሰጠውን ተግባር የሚፈጽም የተፈለገው የዜጋልኪን ፖሊኖሚል ይሁን f (x 1, x 2,…, xn). በቅጹ ላይ እንጽፈው
P= c 0∆c 1 x 1 ∆c 2 x 2 ∆…∆c n x n ∆c 12 x 1 x 2 ∆…∆c12… n x 1 x 2 …x n .
ውህደቶቹን ከ k ጋር እናገኝ። ይህንን ለማድረግ ከእያንዳንዱ ረድፍ የእውነት ሰንጠረዥ ተለዋዋጭ የሆኑትን x 1፣ x 2፣…፣ x n እሴቶችን በቅደም ተከተል እንመድባለን። በውጤቱም, የ 2 n እኩልታዎች ከ 2 n የማይታወቁ ጋር, ያለው ስርዓት እናገኛለን ውሳኔ ብቻ. ከፈታን በኋላ፣ የፖሊኖሚል ፒ(x 1፣x 2፣…፣xn) ጥምርታዎችን እናገኛለን።
2. በተያያዥዎች ስብስብ ላይ ቀመሮችን በመቀየር ላይ የተመሰረተ ዘዴ ( ÿ,&}. የተሰጠውን ተግባር f(x 1፣x 2፣…፣x n) በመገንዘብ በተያያዥዎች ስብስብ (Ÿ,&) ላይ አንዳንድ ቀመሮችን ይገንቡ። ከዚያ ቅጹን A∆1ን በሁሉ ቦታ ይተኩ፣ ማከፋፈያ ህጉን ተጠቅመው ቅንፎችን ይክፈቱ (ንብረት 3 ይመልከቱ) እና ከዚያ ንብረቶች 4 እና 5 ይተግብሩ።
ምሳሌ 3.1.1.ለf(x,y)=xØy ተግባር የዜጋልኪን ፖሊኖሚል ይገንቡ።
መፍትሄ። 1 . (ያልተወሰኑ ቅንጅቶች ዘዴ). አስፈላጊውን ፖሊኖሚል በቅጹ ውስጥ እንጽፍ
P(x,y)= c 0∆c 1 x∆c 2 y∆c 12 xy የእውነትን ሠንጠረዥ በመጠቀም
| x | 0 | 0 | 1 | 1 |
| y | 0 | 1 | 0 | 1 |
| xØy | 1 | 1 | 0 | 1 |
f(0,0)=P(0,0)= c 0 =1, f(0,1)=P(0,1)= c 0 ∆ c 2 =1, f(1,0) እናገኛለን። = P(1,0)= c 0 ∆c 1 =0, f(1,1)=P(1,1)= c 0∆c 1∆c 2∆c 12 =1
በተከታታይ ከምንገኝበት ቦታ፣ c 0 =1፣ c 1 =1፣ c 2 =0፣ c 12 =1። ስለዚህ xØy=1∆x∆xy (ከመግለጫ 3.1 ጋር ማወዳደር)።
2. (የቀመር መለወጫ ዘዴ።)እና አለነ
x → y = x ∨ y = x ⋅ y = (x ⋅ (y ⊕ 1)) ⊕ 1 = 1 ⊕ x ⊕ x ⋅ y.
የዜጋልኪን አልጀብራ ጥቅም (ከሌሎች አልጀብራዎች ጋር ሲነጻጸር) የሎጂክ ስሌት መሆኑን ልብ ይበሉ፣ ይህም የቦሊያን ተግባራትን በቀላሉ ለማከናወን ያስችላል። ከቦሊያን አልጀብራ ጋር ሲወዳደር ጉዳቱ የቀመርዎቹ አስቸጋሪነት ነው።
ምዕራፍ IV. መግለጫዎች. ይተነብያል።
§4.1. መግለጫዎች.
የሎጂክ አልጀብራን ስንገነባ ተጠቀምን። ተግባራዊ አቀራረብ. ይሁን እንጂ ይህን አልጀብራ ገንቢ በሆነ መንገድ መገንባት ይቻል ነበር። በመጀመሪያ የጥናት ዕቃዎችን (መግለጫዎችን) ይግለጹ, በእነዚህ ነገሮች ላይ ክዋኔዎችን ያስተዋውቁ እና ባህሪያቸውን ያጠኑ. መደበኛ ትርጓሜዎችን እንስጥ።
በማለትእንጥራ ገላጭ ዓረፍተ ነገርየትኛውን በተመለከተ በአንድ የተወሰነ ጊዜ እውነት ነው (እሴት I ወይም 1) ወይም ሐሰት (እሴት L ወይም 0) በማያሻማ ሁኔታ ሊናገር ይችላል። ለምሳሌ "5 ዋና ቁጥር ነው", "Esc ቁልፍ ተጭኗል", ወዘተ. ማገናኛዎችን መጠቀም “አይደለም”፣ “እና”፣ “ወይም”፣ “ከሆነ፣...ከዛ”፣ “ከሆነ እና ከሆነ” (ከኦፕሬሽኖቹ “Ÿ”፣ “&”፣ “¤”፣ “Ø” ጋር ይዛመዳሉ። , "~" » በዚህ መሠረት), የበለጠ ውስብስብ መግለጫዎች (አረፍተ ነገሮች) ሊገነቡ ይችላሉ. ፕሮፖዛል አልጀብራ የሚገነባው በዚህ መንገድ ነው።
የተወሳሰቡ መግለጫዎችን ቀረጻ ለማቃለል የግንኙነት ቀዳሚነት አስተዋውቋል፡- “Ÿ”፣ “&”፣ “¤”፣ “Ø”፣ “~”፣ ይህም አላስፈላጊ ቅንፎችን ለማስወገድ ይረዳል።
ቀላል መግለጫዎችን ፕሮፖዛል ተለዋዋጮች እንላቸዋለን።
የቀመርን ጽንሰ ሃሳብ እናስተዋውቅ።
1. ፕሮፖዛል ተለዋዋጮች ቀመሮች ናቸው።
2. A፣ B ቀመሮች ከሆኑ፣ ŸA፣ A⁄B፣ A¤B፣ AØB፣ A~B የሚሉት ቀመሮች ናቸው።
3. ቀመሮች በአንቀጽ 1 እና 2 መሠረት የተገነቡ መግለጫዎች ብቻ ናቸው.
ለሁሉም የፕሮፖዛል ተለዋዋጮች እሴት እና ዋጋ የሚወስድ ቀመር ይባላል ታውቶሎጂ (ወይም በአጠቃላይ ትክክለኛ)እና ለሁሉም የፕሮፖዚሽን ተለዋዋጮች እሴት A የሚወስድ ቀመር ይባላል ተቃራኒ (ወይም የማይቻል)
የፕሮፖዛል አልጀብራ ባህሪያት መግለጫ በቦሊያን አልጀብራ ውስጥ ካለው ተዛማጅ ተግባራት መግለጫ ጋር ተመሳሳይ ነው, እና እነሱን እንተወዋለን.
§4.2. ይተነብያል። በተሳቢዎች ላይ ምክንያታዊ ክንውኖች።
በዚህ ምእራፍ ውስጥ ያለው የጥናት ርዕሰ ጉዳይ ትንበያ ይሆናል - የዘፈቀደ ስብስቦችን ወደ መግለጫዎች ስብስብ ካርታዎች. እንዲያውም ወደ ሽግግር እያደረግን ነው። አዲስ ደረጃ abstractions, በትምህርት ቤት ውስጥ የተደረገው ዓይነት ሽግግር - ከእውነተኛ ቁጥሮች ስሌት ወደ የቁጥር ተግባራት አልጀብራ.
ፍቺ 2.1 x 1፣ x 2፣…፣xn የዘፈቀደ ተፈጥሮ ተለዋዋጮች ምልክቶች ይሁኑ። እነዚህን ተለዋዋጮች ርዕሰ ጉዳይ ተለዋዋጮች እንላቸዋለን። የተለዋዋጮች ስብስቦች (x 1, x 2,…,x n) ስብስብ M=(M1,M2,...Mn) ይሁኑ, እሱም የርዕሰ-ጉዳዩን ቦታ (ማለትም x i œM i, Mi ጎራ ተብሎ የሚጠራበት ቦታ ነው). የተለዋዋጭ xi ፍቺ)። የአካባቢ ተሳቢ n (n-ቦታ ተሳቢ) ላይ ተገልጿል ርዕሰ ጉዳይ አካባቢኤም ፣ እሴቱን AND ወይም እሴቱን L የሚወስድ አመክንዮአዊ ተግባር ነው።
ምሳሌ 4.2.1. D(x1,x2) = "የተፈጥሮ ቁጥር x1 (ያለ ቀሪ) በተፈጥሮ ቁጥር x2 ተከፍሏል." - በጥንድ ስብስብ ላይ የተገለጸ ባለ ሁለት ቦታ ተሳቢ የተፈጥሮ ቁጥሮች M=NäN. በግልጽ፣ D(4፣2) = እና፣ D(3፣5) = 0።
ምሳሌ 4.2.2. ጥ(x) ==“x 2<-1, хœR» - одноместный предикат, определенный на множестве እውነተኛ ቁጥሮች M=R. ግልጽ ነው Q (1) = А, Q (5) = А, እና በአጠቃላይ ተሳቢው Q (x) በተመሳሳይ መልኩ ውሸት ነው, ማለትም.
ጥ (x) = А ለሁሉም xœR.
ምሳሌ 4.2.3. B(x,y,z) = "x 2 +y 2 በ M ላይ የተገለጸው ተሳቢ P ዋጋውን እና ለማንኛውም የርዕሰ-ጉዳይ ተለዋዋጮች እሴቶችን ከወሰደ በተመሳሳይ እውነት ይባላል። ተሳቢው P ለማንኛውም የርዕሰ-ጉዳይ ተለዋዋጮች እሴቶችን ከወሰደ በተመሳሳይ ሐሰት ይባላል። Q ከምሳሌ 4.2.2 ይተነብዩ. በተመሳሳይ ሐሰት ነው። ተሳቢዎች አመክንዮአዊ ክንዋኔዎች በሚቀርቡባቸው መግለጫዎች ስብስብ ውስጥ እሴት ያላቸው ተግባራት በመሆናቸው እነዚህ ክዋኔዎች በተፈጥሮ ለተሳቢዎች የተገለጹ ናቸው። P እና Q በኤም ላይ የተገለጹ ተሳቢዎች ይሁኑ። ከዚያም 1. ¬P (x, x,…, x n) = P (x, x,…, x) ∧ 1 2 n 1 2 n ∧ 1 2 n 3. (P ∨ Q)(x 1፣x 2፣…,x n) = P(x 1፣x 2፣…,x n) ∨Q(x 1፣x 2፣…,x n) 4. (P → Q)(x 1,x 2,…,x n) = P(x 1,x 2,…,x n) → Q(x 1,x 2,…,x n) P እና Qን ይተነብያል፣ ይገለጻል በ M ላይ ለማንኛውም ስብስብ (x 1, x 2,…, xn) P(x 1,x 2,…,xn)=Q(x 1,x 2,…,xn) ከሆነ ተመጣጣኝ (P=Q ፃፍ) ይባላሉ። )
የርዕሰ ጉዳይ ተለዋዋጮች ከኤም .
ቲዎረም 4.2.1በኤም ላይ የተገለጹት የ n-ary predicates ስብስብ የቡሊያን ተሳቢ አልጀብራ ይመሰርታል። ስለዚህ, መሰረታዊ እኩያዎቹ ለእነሱ ትክክለኛ ናቸው (§1.6 ይመልከቱ). P(x 1,x 2,…,xn) በኤም ላይ የተገለጸ n-ary predicate ይሁን። x i = እናስተካክል ሀ. (n-1) -ary predicate Q(x 1፣x 2፣…፣xk-1፣ xk+1፣xn)ን እንደሚከተለው እንገልፀው፡ Q(x 1፣x 2፣…፣xk-1፣xk +1፣ xn)=P(x 1፣x 2፣…፣xk1፣ ሀ xk+1፣ xn)። ተሳቢው Q (x 1, x 2,…,xk-1, xk+1,xn) ከ predicate P (x 1, x 2,…, xn) የሚገኘው የ i- ዋጋን በማስተካከል ነው ይላሉ. ኛ ተለዋዋጭ፡ x i = ሀ
. ፍቺ
4.3.1
. P(x) የማይታወቅ ተሳቢ ይሁን። ከእሱ ጋር “xP(x) (“ለማንኛውም x P (x) አንብብ” የሚል መግለጫ እናያይዘው፣ ይህም እውነት የሆነው P(x) ተመሳሳይ እውነተኛ ተሳቢ ከሆነ ብቻ ነው። “xP(x) የሚለው መግለጫ ይባላል, ይህም ከ predicate P የተገኘ በተለዋዋጭ x ላይ ሁለንተናዊ አሃዛዊ በማያያዝ ነው. ፍቺ 4.3.2. P(x) የማይታወቅ ተሳቢ ይሁን። $xP(x) ከሚለው መግለጫ ጋር እናያይዘው ("x P(x) አለ" የሚለውን አንብብ፣ ይህ ደግሞ P(x) ተመሳሳይ የውሸት ተሳቢ ከሆነ እና ከሆነ ብቻ ነው። $xP(x) የሚለው መግለጫ ከተሳቢው P የተገኘ ነባራዊ መጠን ከተለዋዋጭ x ጋር በማያያዝ ነው ተብሏል። ማስታወሻ 1.ምልክቶቹ" እና $ ለኳንቲፊየሮች የተገለበጠው የላቲን ፊደላት A እና E ናቸው፣ በቅደም ተከተል በእንግሊዝኛ ቃላት የመጀመሪያዎቹ ፊደላት ናቸው። ሁሉም- ሁሉም, አለ።- መኖር። ማስታወሻ 2.መግለጫዎች ተለዋዋጮች የሌላቸው፣ ማለትም ባለ 0-ቦታ ተሳቢዎች (ወይም የማንኛውም አካባቢ ተሳቢዎች) ተደርገው ሊወሰዱ ይችላሉ። P(x 1,x 2,…,xn) በኤም ላይ የተገለጸ n-ary ተሳቢ ይሁን። በውስጡም የተለዋዋጮችን x 1 ፣ x 2 ፣…, x k-1 ፣x k እናስተካክላለን። +1, x n. ዩኒቨርሳል (ህላዌ) ኳንቲፋየር ከተፈጠረው ያልተለመደ ተሳቢ Q(x k) ጋር እናያይዛለን እና መግለጫ እናገኛለን። ስለዚህም ቋሚ የተለዋዋጮች ስብስብ x 1፣x 2፣…፣x k-1፣x k+1፣x n የዩኒቨርሳል (ሕልውና) መለኪያን በመጠቀም ከመግለጫ ጋር የተያያዘ ነው። ይህ (n-1) -ary ተለዋዋጮች x 1፣x 2፣…፣x k-1፣x k+1፣x n የተገኘው ከዋናው ተሳቢ P(x 1፣x 2፣…፣ x n) በ kth ተለዋዋጭ ውስጥ የኳንቲፋየር ዩኒቨርሳል (ሕልውና) በመጨመር። ይህ ተሳቢ የሚገለጸው፡ “ከx እስከ P(x 1፣x 2፣…,x n) ($x እስከ P(x 1፣x 2፣…፣x n))) ስለ k-th ተለዋዋጭ (ከእንግዲህ የሌለው) በአለማቀፋዊነት (ህልውና) መለኪያ (quatifier) የታሰረ ነው ይላሉ። ምሳሌ 4.3.1. D(x1,x2) = "የተፈጥሮ ቁጥር x1 በተፈጥሮ ቁጥር x2 ይከፈላል (ያለ ቀሪ)።" - ባለ ሁለት ቦታ ተሳቢ። ኳታንቲየሮችን በተከታታይ ለተለዋዋጮች እንመድብ። እንደሆነ ግልጽ ነው። 1) "x1"x2D(x1,x2)=0 2) "x2"x1D(x1,x2)=0 3) $x1$x2D(x1,x2)=1 4) $x2$x1D(x1,x2)=1 5) "x1$x2D(x1,x2)=1 6) $x2"x1D(x1,x2)=1 7) $x1"x2D(x1,x2) =0 8) "x1$x2D(x1,x2)=1. ስለዚህም (በመጨረሻው ምሳሌ 7 እና 8ን በማነፃፀር) ንድፈ ሃሳቡን አረጋግጠናል፡- በተለምዶ፣ ማገናኛዎች እና ኳንቲፋየሮች በቅደም ተከተል በቅደም ተከተል እንደሚከተለው ነው፡ Ÿ፣ "፣ $፣ &፣ ¤, Ø, ~። ቲዎረም 4.3.1.በአጠቃላይ አነጋገር ተቃራኒ መለኪያዎች አይጓዙም። ቲዎረም 4.3.2.(መሠረታዊ አቻዎች የያዙ መጠኖች) የሚከተሉት አቻዎች ይከናወናሉ፡ 1. የዴ ሞርጋን ህጎች ∀ xP (x) = ∃x P(x)፣ ∃xP (x) = ∀ x P(x) 2. ተለዋዋጭነት ∀x∀yP(x,y) =∀y∀xP(x,y)፣ ∃x∃yP(x,y) =∃y∃xP(x,y) 3. ስርጭት x(P(x)&Q(x)) =∀xP(x)&Q(x)፣ ∃x(P(x)∨ ጥ(x))=∃xP(x) 4. በኳንቲፊየሮች ተግባር ላይ ገደቦች ∀x(P(x)∨Q(y))=∀xP(x)∨∀xQ(y)፣ ∃x(P(x)&Q(y) =∃xP(x)&∃xQ(y) 5. ለማንኛውም ባለ ሁለት ቦታ ተሳቢ ∃y∀xP(x,y) →∀x∃yP(x,y) =1 መደበኛ ንድፈ ሐሳብ(ወይም ስሌት)
ዋይ- ይህ: 1. አዘጋጅ ሀ
ቁምፊዎች መፈጠራቸው ፊደል
;
1.
ስብስብ ኤፍ
በፊደል ውስጥ ያሉ ቃላት ኤ፣ ኤፍ
à ሀ
የሚባሉት ቀመሮች
;
3. ንዑስ ስብስብ ለ
ቀመሮች፣ ለ
à ኤፍ
,
የሚባሉት axioms; 4. ብዙ ግንኙነቶች አር
በተባሉት ቀመሮች ስብስብ ላይ የማመዛዘን ደንቦች. ብዙ ምልክቶች ሀ
ውሱን ወይም ማለቂያ የሌለው ሊሆን ይችላል. ብዙውን ጊዜ, ምልክቶችን ለመቅረጽ, የተወሰነ የፊደላት ስብስብ ጥቅም ላይ ይውላል, አስፈላጊ ከሆነ, ተፈጥሯዊ ቁጥሮች እንደ ኢንዴክሶች ይመደባሉ. ብዙ ቀመሮች ኤፍ
ብዙውን ጊዜ የሚሰጠው በኢንደክቲቭ ትርጉም ነው፣ ለምሳሌ በመደበኛ ሰዋሰው። እንደ አንድ ደንብ, ይህ ስብስብ ማለቂያ የለውም. ስብስቦች ሀ
እና ኤፍ
በጋራ መወሰን ቋንቋ
,
ወይም ፊርማ
,
መደበኛ ቲዎሪ. ብዙ axioms ለ
ውሱን ወይም ማለቂያ የሌለው ሊሆን ይችላል. የአክሲየም ስብስብ ማለቂያ የሌለው ከሆነ, እንደ አንድ ደንብ, የተወሰኑ የአክሲየም መርሃግብሮችን እና የተወሰኑ አክሲሞችን ከአክሶም እቅድ ለማውጣት ደንቦችን በመጠቀም ይገለጻል. ብዙ የማጣቀሻ ህጎች አር
, እንደ አንድ ደንብ, በእርግጥ. ስለዚህ ፣ ስሌት ዋይአራት አለ (A፣ F፣ B፣ R)
. በካልኩለስ ውስጥ በማውጣት ዋይየቀመር ቅደም ተከተል ነው F 1 ፣ F 2 ፣… ፣Fn እንደዚህ ያለ ለማንኛውም k (1§k§n) ቀመር Fk ወይ የካልኩለስ ዋይ አክሲየም ነው ወይም በማንኛውም ቀደም ባሉት ቀመሮች በማጣቀሻ ደንብ የተገኙ ቀጥተኛ ውጤት ነው። . ፎርሙላ G የካልኩለስ Y ቲዎረም ተብሎ ይጠራል (በ Y የሚመነጨው ወይም በ Y ውስጥ የተረጋገጠ) መደምደሚያ F 1 ፣ F 2 ፣… ፣F n ፣G ካለ ቀመር G ወይም የሰነዱ ማረጋገጫ ይባላል። ቲዎረም ጂ. ይህ እንደሚከተለው ተጽፏል፡ F 1፣F 2፣…፣F n + G. ስሌት ዋይተብሎ ይጠራል ወጥነት ያለው፣ ሁሉም ቀመሮቹ የማይታወቁ ከሆኑ። ሌላ ወጥነት ያለው ፍቺ ሊሰጥ ይችላል፡- ቀመሮች F እና ŸF (የF አሉታዊነት) በአንድ ጊዜ ካልተቀነሱ ካልኩለስ ወጥነት ይባላል። ስሌት ዋይተብሎ ይጠራል ተጠናቀቀ(ወይም በቂ) እያንዳንዱ እውነተኛ መግለጫ M ከንድፈ ሃሳቡ ንድፈ ሃሳብ ጋር የሚዛመድ ከሆነ ዋይ
. መደበኛ ንድፈ ሐሳብ ዋይተብሎ ይጠራል ሊወሰን የሚችል, ለማንኛውም የንድፈ ሃሳቡ ቀመር ይህ ቀመር የንድፈ ሃሳቡ ንድፈ ሃሳብ መሆኑን የሚወስን አልጎሪዝም ካለ ዋይኦር ኖት. የመደበኛ ካልኩለስ ጽንሰ-ሐሳብን በመጠቀም፣ ፕሮፖሲሺያል ካልኩለስ (PS) እንገልፃለን። ፊደል IW ያካትታል 1. ደብዳቤዎች A, B, Q, R, P እና ሌሎች, ምናልባትም ከኢንዴክስ ጋር (ፕሮፖዛል ተለዋዋጮች ተብለው ይጠራሉ) 2. ምክንያታዊ ምልክቶች(ጅማቶች) Ÿ, &, ¤, Ø, 3. ረዳት ቁምፊዎች
(,). ብዙ ቀመሮች IV የሚወሰነው በንቃተ-ህሊና ነው- 1. ሁሉም ፕሮፖዛል ተለዋዋጮች IV ቀመሮች ናቸው; 2. A, B ከሆነ IV ቀመሮች ናቸው ,
toŸA, A⁄B, A¤B, AØB - ቀመሮችIV ;
3. አገላለጽ የ IV ፎርሙላ ከሆነ እና ይህ ነጥብ "1" በመጠቀም መመስረት ከተቻለ ብቻ ነው ስለዚህ ማንኛውም IV ፎርሙላ የሚገነባው ከተለዋዋጭ ተለዋዋጮች ማገናኛዎችን Ÿ፣ ⁄፣ ¤፣ Ø በመጠቀም ነው። ወደፊት፣ ቀመሮችን ስንጽፍ፣ ባለፈው ምዕራፍ እንደነበረው ተመሳሳይ ስምምነቶችን በመጠቀም አንዳንድ ቅንፎችን እንተዋለን። Axioms IV የሚከተሉት ቀመሮች ናቸው (ለማንኛውም ቀመሮች A፣B፣C) 2. (AØB)Ø((AØ(BØC))Ø(AØC)); 5. (AØB)Ø((AØC)Ø(AØ(B⁄C)))); 8. (AØC)Ø((BØC)Ø((A¤B)ØC)); 9. (AØB)Ø((AØŸB)ØŸA); እነዚህ ቀመሮች IV axiom schemes ይባላሉ .
የተወሰኑ ቀመሮችን ወደ ማንኛውም እቅድ ሲቀይሩ, የአክሲየም እቅድ ልዩ ሁኔታ ተገኝቷል. የአመለካከት ደንብበ IE ውስጥ የመደምደሚያ ደንብ አለ (modus ponens)፡ A እና AØB ሊመነጩ የሚችሉ ቀመሮች ከሆኑ፣ B ደግሞ ሊመነጭ የሚችል ነው። በምሳሌያዊ ሁኔታ እንዲህ ተጽፏል፡- አ፣ አለ →
ለ
. ለምሳሌ፣ አረፍተ ነገሮች A⁄B እና A⁄BØ(AØC) ተቀናሽ ከሆኑ፣ AØC የሚለው መግለጫም በመረጃ ደንቡ መሰረት ሊወጣ ይችላል። ፎርሙላ G ከቀመሮች F 1፣F 2፣…፣F n (F 1፣F 2፣…፣F n +G የተገለፀው) ከተከታታይ ቀመሮች F 1፣F 2፣… ,F k ,G , የትኛውም ፎርሙላ ወይ axiom ነው ወይም የቀመሮች ዝርዝር ውስጥ ነው F 1,F 2,...,F n ( መላምቶች ይባላሉ) ወይም በህጉ መሰረት ካለፉት ቀመሮች የተገኘ ነው. ግምት. የቀመር G ከ" (በ+G የተገለፀው) መውጣቱ G የ IV ቲዎሬም ነው ከሚለው እውነታ ጋር እኩል ነው። ምሳሌ 5.2.1. ፎርሙላ AØA በ IV ሊወጣ የሚችል መሆኑን እናሳይ። ይህንን ለማድረግ የዚህን ቀመር አመጣጥ እንገነባለን- 1) በአክሲየም 2፣ B በ AØA፣ C በ A ተካ። አክሲሙን እናገኛለን (AØ(AØA)) Ø((AØ((AØA)ØA)) Ø(AØA)); 2) በ axiom 1 ውስጥ B በ A ን እንተካለን AØ (AØA) እናገኛለን; 3) ከ 1 እና 2 በ modus ponens መሰረት እንጨርሳለን (AØ((AØA)ØA))Ø(AØA); 4) በ axiom 1 B በ AØA እንተካለን። AØ((AØA)ØA) እናገኛለን። 5) ከአንቀጽ. 3 እና 4፣ በመረጃ ደንቡ መሰረት፣ + AØA እውነት ነው። ቲዎረም 5.2.1. 1. F 1፣F 2፣…፣Fn፣A፣B IV ቀመሮች ከሆኑ Г=(F 1፣F 2፣…፣Fn)፣ Г+A፣ ከዚያ Г፣B+A። (የመላምቶችን ብዛት መጨመር ይችላሉ). 2. ከሆነ እና F 1፣F 2፣…፣F n +A፣F 1⁄F 2⁄…⁄F n +A ከሆነ (ብዙ መላምቶችን ወደ አንድ መላምት መቀነስ)። ቲዎረም 5.3.1. (የመቀነስ ጽንሰ ሐሳብ) Г፣B+A ከሆነ፣ ከዚያ Г+BØA፣ Г የአንዳንድ ቀመሮች ስብስብ Г=(F 1፣F 2፣…፣F n) ነው። ማብራሪያ 5.3.1.ከዚያ እና F 1፣F 2፣…፣F n +A፣ መቼ ከሆነ ብቻ ማረጋገጫ. F 1፣F 2፣…፣F n +A ይሁን። ከዚያም፣ የተቀናሽ ቲዎሪውን ተግባራዊ በማድረግ፣ F 1፣ F 2፣…፣F n-1 +F n ØA አለን። በተመሳሳይ መልኩ F 1, F 2,…,F n-2 +F n 1Ø(F n ØA) ወዘተ. ሂደቱን በመቀጠል የሚፈለገውን ጊዜ ያህል እናገኛለን. F 1 Ø(F 2 Ø…Ø(F n-1 Ø(F n ØA))…) በቂነቱን ለማረጋገጥ +B፣ B=F 1 Ø(F 2 Ø…Ø(F n-1 Ø(F n ØA)))…) እንደሆነ አስብ። Theorem 5.2.1. ንጥል 1ን እንጠቀም። ኤፍ 1 +ቢ .
በማጠቃለያው ደንብ መሠረት F 1 + (F 2 Ø…Ø(F n-1 Ø(F n ØA))…) እናገኛለን፣ ከዚያ n እርምጃዎች በኋላ F 1፣F 2፣…፣F n +A እናገኛለን። . ስለዚህም ለኮሎላሪ 5.3.1 ምስጋና ይግባውና የቀመር ሀ ተቀናሽነት ከF 1፣F 2፣…፣F n ቀመሮች በመፈተሽ የቀመሩን ትክክለኛነት ለማረጋገጥ ቀንሷል። F 1 Ø(F 2 Ø…Ø(F n-1 Ø(F n ØA))…). ያስታውሱ የቀመር ሀ ዋጋ ለማንኛውም የፕሮፖዚል ተለዋዋጮች እሴቶች ስብስብ አንድ ከሆነ ቀመር ሀ በተመሳሳይ እውነት (ወይም ታውቶሎጂ) ተብሎ ይጠራል። የሚከተለው ንድፈ ሐሳብ የአንድን ቀመር ተመሳሳይ እውነት ለማረጋገጥ የተረጋገጠውን ማረጋገጫ ይቀንሳል። ቲዎረም 5.3.2. (ስለ ሙሉነት). ፎርሙላ A የሚረጋገጠው ሀ በተመሳሳይ እውነት ከሆነ ብቻ ነው (tautology): +A ‹ A-tautology። ስለዚህ አንድ ፎርሙላ መረጋገጡን ለማወቅ የእውነት ሰንጠረዡን ማጠናቀር በቂ ነው። እንደሚታወቀው, የእውነት ሰንጠረዥን ለመገንባት ውጤታማ ስልተ-ቀመር አለ, እና, ስለዚህ, IV ሊፈታ የሚችል. ምሳሌ 5.3.1.ያንን P+P እናረጋግጥ። በቅናሽ ጽንሰ ሐሳብ፣ ይህ ከ+(PØP) ጋር እኩል ነው። በምላሹ, እንደ ሙሉነት ቲዎሬም, (РØР) ታውቶሎጂ መሆኑን ማረጋገጥ በቂ ነው. ለቀመር (РØР) የእውነት ሠንጠረዥ በማዘጋጀት ላይ ,
(РØР) በተመሳሳይ እውነት እንደሆነ እና፣ ስለዚህ፣ ሊረጋገጥ የሚችል መሆኑን እርግጠኞች ነን። ቲዎረም 5.3.3. (ስለ ወጥነት)።የ IW ስሌት ወጥነት ያለው ነው። ማረጋገጫ። እንደ ሙሉነት ንድፈ ሃሳብ፣ ተመሳሳይ እውነት ያልሆነ ማንኛውም ቀመር በ IW ውስጥ የተረጋገጠ አይደለም። ለምሳሌ, እንዲህ ዓይነቱ ቀመር ቀመር A⁄ (ŸA) ነው. የቀመሮች ስብስብ Г ይባላል አወዛጋቢ
,
Г+А⁄(ŸА) ከሆነ .
ጂ እርስ በርሱ የሚጋጭ የቀመሮች ስብስብ ከሆነ፣ ይህንን እውነታ በ ጂ+ እናሳያለን። መግለጫ
5.3.1.
ፎርሙላ A ከ ቀመሮች ስብስብ ሊቀንስ ይችላል እና ስብስብ Г» (ŸA) የሚጋጭ ከሆነ ብቻ። አውቶማቲክ ቲዎረም ማረጋገጥ የሎጂክ ፕሮግራም፣ አርቴፊሻል ኢንተለጀንስ እና ሌሎች የፕሮግራም አወጣጥ አዝማሚያዎች የማዕዘን ድንጋይ ነው። በአጠቃላይ፣ በዘፈቀደ ፎርሙላ ሀ፣ አንድ ሰው ከተወሰኑ እርምጃዎች በኋላ፣ A በካልኩለስ Y ውስጥ የሚቀንስ ወይም የማይቀንስበት ስልተ ቀመር ላይኖር ይችላል። ነገር ግን፣ ለአንዳንድ ቀላል መደበኛ ንድፈ ሃሳቦች (ለምሳሌ፣ ፕሮፖዛል ካልኩለስ) እና አንዳንድ ቀላል ክፍሎች ቀመሮች (ለምሳሌ፣ የተተገበረ ተሳቢ ካልኩለስ ከአንድ ያልታወቀ ተሳቢ ጋር)፣ ለአውቶማቲክ ቲዎረም ማረጋገጫ ስልተ ቀመሮች ይታወቃሉ። ከዚህ በታች ፣ የፕሮፖዛል ካልኩለስ ምሳሌን በመጠቀም ፣ የመፍትሄውን ዘዴ መሰረታዊ መርሆችን እናቀርባለን - ክላሲክ እና በተመሳሳይ ጊዜ የቲዎሬቶችን በራስ-ሰር የሚያረጋግጥ ታዋቂ ዘዴ። x ምክንያታዊ ተለዋዋጭ ከሆነ እና σœ(0,1) ከዚያም አገላለጹን አስታውስ x σ = xx σσ == 10 ወይም x σ = 10 ከሆነ x x =≠σσ ከሆነ ከተጠራ። ደብዳቤ. x እና Ÿx ፊደሎች ተጠርተዋል። ተቃራኒ
ማያያዝየፊደላት ትስስር ተብሎ ይጠራል. መከፋፈልየፊደላት መከፋፈል ተብሎ ይጠራል. D 1 = B 1 ∨ A, D 2 = B 2 ∨ ሀ አንቀጾች ይሁኑ። አንቀጽ B 1 ¤B 2 ይባላል የሚፈታአንቀጾች D 1 እና D 2 በፊደል A እና በ res A (D 1,D 2) ይገለጻል. የአንቀጽ D 1 እና D 2 ሟሟት በአንዳንድ ፊደሎች የሚሟሟ ሲሆን በሪስ (D 1,D 2) ይገለጻል. እንደገና (A,ŸA)=0 እንደሆነ ግልጽ ነው። በእርግጥ, ምክንያቱም A=A¤0 እና ŸA=ŸA¤0፣ከዚያ ዳግም(A,ŸA)=0¤0=0። አንቀጾች D 1 እና D 2 ንፅፅር ቁምፊዎችን ካልያዙ ሟቾች የላቸውም። ምሳሌ 5.5.1.ከሆነ D 1 =A¤B¤C፣ D 2 = A ∨ B ∨ ጥ፣ እንግዲያውስ res A (D 1,D 2)=B¤C¤ B ¤Q,res B (D 1,D 2)=A¤C¤A¤Q, resC(D 1,D 2) የለም:: መግለጫ 5.5.1.ሪስ(D 1፣D 2) ካለ፣ ከዚያም D 1፣D 2+res(D 1፣D 2)። S=(D 1፣D 2፣…፣Dn) የአረፍተ ነገር ስብስብ ይሁን። የቀመሮች ቅደም ተከተል F 1፣F 2፣…፣F n ለእያንዳንዱ ቀመር F k አንዱ ቅድመ ሁኔታ ከተሟላ ከS ቆራጥ አመጣጥ ይባላል። 2. j፣ k አሉ።
ቲዎረም 5.5.1.
(ስለ የመፍትሔው ዘዴ ሙሉነት). የ S የአንቀጽ ስብስብ እርስ በርሱ የሚጋጭ ነው ከ S በ 0 የሚያልቅ የመፍትሄ ሃሳብ ካለ እና ብቻ ከሆነ። የመፍትሄ ዘዴው የቀመር F ተቀናሽነት ከተወሰኑ የቀመር ስብስቦች F 1፣F 2፣…፣F n ለመፈተሽ እንደሚያገለግል ልብ ይበሉ። በእርግጥ, F 1, F 2,…, F n +F ሁኔታ F 1, F 2,…,F n,ŸF+ (ብዙ ቀመሮች እርስ በርሳቸው የሚቃረኑ ናቸው), እሱም በተራው ደግሞ Q+ ከሚለው ሁኔታ ጋር እኩል ነው. የት Q=F 1⁄F 2⁄…⁄F n ⁄(ŸF)። ቀመሩን Q ወደ CNF እንቀንስ፡ Q=D 1 ⁄D 2 ⁄...⁄Dm፣ከዚያ Q+ ‹D 1⁄D 2⁄...⁄Dm+ ‹ D 1 ,D 2 ,...,D m + . ስለዚህ የF 1፣F 2፣…፣F n +F ተቀናሽነትን የማጣራት ተግባር የ S=(D 1፣D 2፣...፣D m) የተቀመጡትን አንቀፆች አለመጣጣምን ለማረጋገጥ ይወርዳል። ከ S ቆራጥ መደምደሚያ 0 መኖር ጋር እኩል ነው። ምሳሌ 5.5.2.የመፍትሄ ዘዴውን በመጠቀም AØ(BØC)፣ CDØE፣ ŸFØD&(Ÿ)E + AØ(BØF) ጥምርታን ያረጋግጡ። በመግለጫው 5.3.1. መፈተሽ ያስፈልጋል ብዙ ቀመሮች አለመመጣጠን S = (AØ(BØC)፣ CDØE፣ ŸFØD&(Ÿ)E፣ Ÿ(AØ(BØF)))። ሁሉንም ቀመሮች ከ. ከኤስ እስከ ኬኤንኤፍ፡ S = (A ∨ B ∨ C, C ⋅ D ∨ E, F ∨ D ⋅ E, A ∨ B ∨ F) == ∨ ኢ)፣ ሀ ⋅ B⋅ ረ) ስለዚህም፣ S = (A ∨ B ∨ C፣ C ∨ D ∨ E፣F ∨ D፣F ∨ E፣A፣B፣F) የአንቀጽ ስብስብ እናገኛለን። በ 0 የሚያበቃውን ከኤስ ቆራጥ መደምደሚያ እንገንባ፡- 1. res A (A ∨ B ∨ C, A) = B ∨ C; 2. ሬስ B (B ∨ C, B) = C; 3. ሬስ ዲ (C ∨ D ∨ E,F ∨ D) = C ∨ E ∨ F; 4. res E (C ∨ E ∨ F,F ∨ E) = C ∨ F; 5. res C (C, C ∨ F) = F; 6. ሬስ (ኤፍ, ኤፍ) = 0. ስለዚህ፣ ቀመሩን AØ(BØF) ከቀመር AØ(BØC)፣ CDØE፣ ŸFØD&(Ÿ)E ቀመሮች ተቀናሽ ነው ብለን መደምደም እንችላለን። የመፍትሔው ዘዴ የአንድን አንቀፅ ስብስብ ሊኖር የሚችለውን እርካታ ለማግኘት በቂ መሆኑን ልብ ይበሉ። ይህንን ለማድረግ፣ በ S ስብስብ ውስጥ እናስቀምጠው ሁሉንም አንቀጾች ከ S. በቆራጥነት ተቀናሾች የተገኙትን አንቀጾች እናካተት። ይከተላል ማብራሪያ 5.5.1.የ S አንቀጾች ስብስብ የሁሉንም ንጥረ ነገሮች መሟሟት ከያዘ፣ S 0–S ከሆነ ብቻ ይረካል። የዘመናዊነት መገለጫ ባህሪ በተለያዩ የሰው ልጆች እንቅስቃሴ ውስጥ ያሉ ችግሮችን (ተግባራትን) ለመፍታት ኮምፒውተሮችን በስፋት መጠቀም ነው። ይሁን እንጂ ችግሩ በመጀመሪያ በአልጎሪዝም መፈታት አለበት, ማለትም. መደበኛ የሐኪም ማዘዣ መሰጠት አለበት ፣ ከዚያ በኋላ አንድ ሰው የአንድ የተወሰነ አይነት ሁሉንም ችግሮች ለመፍታት የመጨረሻውን ውጤት ማግኘት ይችላል (ይህ የግንዛቤ ፣ የአልጎሪዝም ፅንሰ-ሀሳብ አይደለም)። ለምሳሌ፣ የሁለት የተፈጥሮ ቁጥሮች ትልቁን የጋራ አካፋይ ለማግኘት አልጎሪዝም ሀ፣ ለ, እንደሚከተለው: 1) ቁጥሩን ማስፋፋት ሀበዋና ምክንያቶች; 2) ደረጃ 1 ን ይድገሙት ለ
እናወደ ደረጃ 3 ይሂዱ; 3) ከተስፋፋባቸው የተለመዱ ዋና ዋና ነገሮች ምርትን ያዘጋጁ ሀእና ለበማስፋፊያዎች ውስጥ ከሚካተቱት ኢንዴክሶች በትንሹ ጋር እኩል በሆነ ኢንዴክሶች። ይህንን ምሳሌ ከመረመርን በኋላ የአልጎሪዝምን በጣም አስፈላጊ ባህሪያትን (ንብረቶቹን) እናስተውላለን፡- 1.
የጅምላ ባህሪ- የአልጎሪዝም ተፈጻሚነት ለአንድ ችግር ሳይሆን ለችግሮች ክፍል። 2.
አስተዋይነት- ወደ አልጎሪዝም ግለሰባዊ ደረጃዎች (ደረጃዎች) ግልጽ ክፍፍል። 3.
ቆራጥነት- ከአንዱ ደረጃ ወደ ሌላ ሽግግር እንዴት እንደሚደረግ ሁል ጊዜ ግልፅ የሆነ የማስፈጸሚያ ደረጃዎች ድርጅት። 4.
እጅና እግር- አንድን የተወሰነ ችግር ለመፍታት አልጎሪዝምን በሚተገበሩበት ጊዜ ውጤቱን ለማግኘት ፣ የአልጎሪዝም የመጨረሻ ቅደም ተከተል ይከናወናል- አንድ አልጎሪዝም በራሱ መኖሩ የአልጎሪዝም መኖር ማረጋገጫ ሆኖ የሚያገለግል ከሆነ አለመኖሩን ለማረጋገጥ የአልጎሪዝም ጥብቅ የሂሳብ ፍቺ መኖር አስፈላጊ መሆኑን ልብ ይበሉ። የአልጎሪዝም ጽንሰ-ሐሳብን መደበኛ ለማድረግ የተደረገው ሙከራ ወደ መፈጠር ምክንያት ሆኗል የቱሪንግ ማሽኖች, አልጎሪዝምን የሚተገበር እንደ አንዳንድ ምናባዊ መሳሪያ. የአልጎሪዝም ፅንሰ-ሀሳብን ለመወሰን ሌላው እርምጃ መልክ ነበር ተደጋጋሚ ተግባራት ,
የአልጎሪዝምን ፅንሰ-ሀሳብ መደበኛ የሚያደርግ እና ሊታወቅ የሚችል የሂሳብ ፅንሰ-ሀሳብን የሚተገብሩ ተግባራት። ብዙም ሳይቆይ የድግግሞሽ ተግባራት ስብስብ በቱሪንግ ማሽኖች ላይ ሊሰሉ ከሚችሉ ተግባራት ስብስብ ጋር መገጣጠሙ ታወቀ። የአልጎሪዝምን ፅንሰ-ሀሳብ እናብራራለን ብለው የወጡ አዳዲስ ፅንሰ-ሀሳቦች በቱሪንግ ማሽኖች ላይ ሊሰሉ ከሚችሉ ተግባራት ጋር እኩል ሆነው ተገኙ። አልጎሪዝም ምን እንደሆነ በመካሄድ ላይ ያለው ውይይት ውጤቱ አሁን የቤተክርስትያን ተሲስ የሚባል መግለጫ ነበር። የቤተ ክርስቲያን ተሲስ።የአልጎሪዝም ጽንሰ-ሀሳብ ፣ ወይም በአንዳንድ ሜካኒካል መሳሪያዎች ስሌት ፣ በቱሪንግ ማሽኖች ላይ ካለው ስሌት (እና ስለዚህ ከተደጋጋሚ ተግባር ጽንሰ-ሀሳብ ጋር) ጋር ይዛመዳል። በሌላ አነጋገር ስልተ ቀመር በተግባራዊ ዲያግራም ሊወከል እና በአንዳንድ የቱሪንግ ማሽን ሊተገበር የሚችል ሂደት ነው። ቱሪንግ ማሽን ቴፕ፣ መቆጣጠሪያ መሳሪያ እና የሚነበብ ጭንቅላትን የያዘ (አብስትራክት) መሳሪያ ነው። ቴፕ በሴሎች የተከፈለ ነው. እያንዳንዱ ሕዋስ በትክክል አንድ ቁምፊ ይይዛል ውጫዊ ፊደላት
ሀ=(
ሀ 0፣
ሀ 1 ፣…
ሀ n)አንዳንድ ምልክት (እኛ እንጠቁመዋለን Ÿ
) የ ፊደል ሀ ባዶ ይባላል፣ እና ማንኛውም በአሁኑ ጊዜ ባዶ ቁምፊ ያለው ሕዋስ ባዶ ሕዋስ (በዚያን ጊዜ) ይባላል። ቴፑ በሁለቱም አቅጣጫዎች ያልተገደበ ሊሆን ይችላል ተብሎ ይታሰባል. መቆጣጠሪያ መሳሪያበእያንዳንዱ ቅጽበት በተወሰነ ሁኔታ q j የስብስቡ ንብረት ነው። ጥ=(q 0፣q 1፣...፣q m)(m=l) ስብስብ Q ይባላል የውስጥ ፊደላት
.
ከእነዚህ ሁኔታዎች ውስጥ አንዱ (ብዙውን ጊዜ q 0) የመጨረሻ ተብሎ ይጠራል, እና አንዳንድ ሌሎች (ብዙውን ጊዜ q 1) - የመጀመሪያ. የተነበበው ጭንቅላት በቴፕው ላይ ይንቀሳቀሳል ስለዚህም በማንኛውም ጊዜ የቴፕውን አንድ ሕዋስ በትክክል ይቃኛል። ጭንቅላቱ የተመለከተውን ሕዋስ ይዘት ማንበብ እና ከተመለከተው ምልክት ይልቅ በውስጡ አንዳንድ አዲስ ምልክቶችን ከውጫዊ ፊደላት መፃፍ ይችላል. ሀ(ምናልባት አንድ አይነት)። በሚሠራበት ጊዜ የመቆጣጠሪያ መሳሪያው እንደየሁኔታው ሁኔታ እና በጭንቅላቱ ላይ የሚታየው ምልክት ውስጣዊ ሁኔታውን ይለውጣል. ቅ. ከዚያ በኋላ ቁጥጥር በሚደረግበት ሕዋስ ውስጥ ካለው ውጫዊ ፊደላት የተወሰነ ቁምፊ እንዲያትም ጭንቅላትን ትእዛዝ ይሰጣል አ፣ከዚያም ጭንቅላቱን በቦታው እንዲቆይ ወይም አንዱን ሕዋስ ወደ ቀኝ እንዲያንቀሳቅስ ወይም አንዱን ሕዋስ ወደ ግራ እንዲያንቀሳቅስ ያዛል. በመጨረሻው ሁኔታ ውስጥ, ማሽኑ መስራት ያቆማል. በቴፕ (ወይም በማሽን ቃል) ላይ ማዋቀርየተቋቋመው ስብስብ ይባላል፡- 1) ቅደም ተከተል ሀ
እኔ (1)
፣ ሀ
እኔ (2)
፣... ፣ሀ
እኔ(ዎች)ከውጫዊው ፊደላት ቁምፊዎች ሀ, በቴፕ ሴሎች ውስጥ ተመዝግቧል, የት ሀ
እኔ
(1)
- በግራ በኩል ባለው የመጀመሪያው ሕዋስ ውስጥ የተጻፈ ምልክት, ወዘተ. (ማንኛውም እንደዚህ ያለ ቅደም ተከተል ይባላል በአንድ ቃል) 2) የውስጥ ማህደረ ትውስታ ሁኔታ q r; 3) ቁጥር ክየተገነዘበ ሕዋስ. የማሽኑን አወቃቀር እንደሚከተለው እንጽፋለን- a,a,..., a i(r) a,a,..., a i (1) i (2) i (r-1) qr i(r+1) i(r+2) i(ዎች) እዚህ አር- የተገነዘበው ሕዋስ እንደ ክፍልፋይ ጎልቶ ይታያል. ማሽኑ ከሆነ, በውስጣዊ ሁኔታ ውስጥ መሆን qi, ምልክት ያለው ሕዋስ ይቀበላል አ ዩ፣ በሚቀጥለው ቅጽበት ወደዚህ ሕዋስ ምልክት ይጽፋል አንድ አር, ወደ ውስጣዊ ሁኔታ ውስጥ ይገባል qsእና በቴፕው ላይ ይንቀሳቀሳሉ, ከዚያም ማሽኑ ትዕዛዙን እየፈፀመ ነው ይላሉ q i a u
Æ
q s አር ኤስ, ምልክቱ S ከሚከተሉት እሴቶች ውስጥ አንዱን ሊወስድ ይችላል: -1 - ጭንቅላቱን ወደ ግራ ይቀይሩ; +1 - የጭንቅላት ሽግግር ወደ ቀኝ; 0 - ጭንቅላቱ በቦታው ላይ ይቆያል. የቱሪንግ ማሽንን አሠራር የሚወስኑ የሁሉም ትዕዛዞች ዝርዝር (ኩንቶች) ተጠርተዋል ፕሮግራምይህ መኪና. የማሽኑ መርሃ ግብር ብዙውን ጊዜ በሠንጠረዥ መልክ ይገለጻል. ስለዚህ በመስቀለኛ መንገድ ላይ ባለው ሠንጠረዥ ውስጥ ከላይ ለተገለጸው ሁኔታ መስመሮች ሀ
ዩእና አምድ qiይቆማል q s አር ኤስ(ሠንጠረዥ 6.2.1 ይመልከቱ) ሠንጠረዥ 6.2.1. ፕሮግራሙ ለባልና ሚስት መኪናዎችን ያካተተ ከሆነ (
q i, a u
)
አምስቱ ጠፍቷል, ከዚያም በመስመሩ መገናኛ ላይ ባለው ጠረጴዛ ላይ አ ዩ, እና አምድ qiአንድ ሰረዝ ታክሏል. ስለዚህ፣ የቱሪንግ ማሽን በፍቺው ነው።, ኪት M=(A,Q,P)፣ የት ሀ- ውጫዊ ፊደላት; ጥ- የውስጥ ግዛቶች ፊደል; ፒ- ፕሮግራም. አንድ ማሽን በቴፕ ላይ በተፃፈው የተወሰነ P ቃል መስራት ከጀመረ የመጨረሻው ደረጃ ላይ ከደረሰ ይባላል በዚህ ቃል ላይ ተፈፃሚነት ይኖረዋል. የሥራው ውጤት በመጨረሻው ሁኔታ ላይ በቴፕ ላይ የተመዘገበው ቃል ነው. አለበለዚያ ማሽኑ R ለሚለው ቃል ተፈጻሚ አይሆንም ተብሏል። ለምሳሌ 6.2.1. ባልተለመደ የቁጥር ስርዓት ውስጥ የተፃፉ የተፈጥሮ ቁጥሮችን የሚጨምር ቱሪንግ ማሽን እንስራ (ይህም በአንድ ምልክት የተጻፈ ነው። |.
ለምሳሌ 5=|||||.)። መፍትሄ። ፊደላቱን ተመልከት ሀ
= {|, +, ⁄}. ማሽኑ በሚከተለው ፕሮግራም ይወሰናል. በዚህ ማሽን በሚሰራበት ጊዜ በቅደም ተከተል የሚነሱትን አወቃቀሮች በመጀመሪያ ቃል ላይ እንፃፍ ||+ ||| ፣ ማለትም እ.ኤ.አ. 2+3. እዚህ, አወቃቀሩን በሚመዘግቡበት ጊዜ, የሚከተለውን ስምምነት እንጠቀማለን-ማሽኑ የሚገኝበት ሁኔታ ከሚታየው ፊደል በስተቀኝ በኩል በቅንፍ ውስጥ ተጽፏል. ምሳሌ 6.2.2.ባልተለመደ የቁጥር ስርዓት ውስጥ የተፃፉ የተፈጥሮ ቁጥሮችን በእጥፍ የሚጨምር የቱሪንግ ማሽን ይገንቡ። መፍትሄ።አስፈላጊውን ማሽን በፊደል A=(|, α, ⁄) እንሰራለን። የእንደዚህ አይነት ማሽን ፕሮግራም እንደዚህ ሊመስል ይችላል- የተገኘውን ማሽን በቃሉ ላይ እንተገብረው ||
. አዲስ ፊደል α መግቢያ እና የመጀመሪያዎቹን መተካት |
በ α ላይ አንድ ሰው ዋናውን ለመለየት ያስችላል |
እና አዲስ (የተመደበ) |
. ግዛት q 1ምትክ ይሰጣል |
α ላይ ,
ሁኔታ q 2α ፍለጋን ያቀርባል ,
ለመተካት የታሰበ |
, እና α በማይገኝበት ጊዜ ማሽኑን በሻንጣው ውስጥ ማቆም, q 3ማጠናቀቅን ያረጋግጣል |
α በሚተካበት ጊዜ |.
በዚህ አንቀጽ ውስጥ እንስማማ 1. የተፈጥሮ ቁጥሮች ስብስብ N 0 (ዜሮ) ይይዛል, ማለትም. N=(0,1,2,3,...); 2. ከግምት ውስጥ ያሉ ተግባራት f=f(x 1,x 2,…,x n) የሚገለጹት ተለዋዋጮች ከ N, ማለትም እሴቶችን ሲወስዱ ብቻ ነው. xiœN; 3. የተግባሮች እሴቶች ክልል DŒN; 4. ከግምት ውስጥ ያሉ ተግባራት f=f (x 1 ፣ x 2 ፣…, x n) በከፊል ሊገለጹ ይችላሉ ፣ ማለትም ለሁሉም የተፈጥሮ ቁጥሮች ስብስቦች አልተገለጸም. ከግምት ውስጥ እናስገባ ቀላል ተግባራት o(x)=0፣ s(x)=x+1፣
እኔ ነኝ (x 1 ፣... ፣ x n)
=
x ሜ እነዚህ ተግባራት በተገቢው ሜካኒካል መሳሪያ (ለምሳሌ የቱሪንግ ማሽን) በመጠቀም ሊሰሉ ይችላሉ. አንድ ወይም ከዚያ በላይ በተሰጡ ተግባራት ላይ በመመስረት አዲስ ተግባራትን የሚገነቡ ኦፕሬተሮችን እንገልጻለን። Superposition ከዋኝ.የ k ተለዋዋጮች እና k ተግባራት f (x 1 ፣ x 2 ፣…, x k) ተግባር f 1 (x 1 ፣ x 2 ፣… ፣ x n) ፣… ፣ f k (x 1 ፣ x 2 ፣… ፣ x n) ይሁን። የተሰጠው n ተለዋዋጮች. የተግባሮች ልዕለ አቀማመጥ f፣f 1፣…፣f k ተግባር j(x 1፣x 2፣…፣x n)= f(f 1(x 1፣x 2፣…፣x n)፣…፣f k (x 1) ነው። x 2 ፣…, x n)) ተግባር j የሚገኘው ሱፐርፖዚሽን ኦፕሬተር S k+1ን በ f,f 1,...,f k ተግባራት ላይ በመተግበር እና j=S k+1 (f,f 1,…,f k) በመጻፍ ነው እንላለን ለምሳሌ ኤስ. 2 (s፣ o)=s(o(x))፣ ማለትም እ.ኤ.አ. ከ 1 ጋር እኩል የሆነ ተግባር፣ እና S 2(s፣s)=s(s(x)) ተግባር y(x)=x+2 ነው። ቀዳሚ ተደጋጋሚ ኦፕሬተር።ተግባራቶቹ g(x 1፣x 2፣…፣x n) እና h(x 1፣x 2፣…፣x n+2) ይሰጡ። ተግባር እንገንባ f(x 1፣x 2፣…,x n+1) እሴቶቹ x 1፣x 2፣…,x n ይስተካከላሉ። ከዚያም እንገምታለን፡ f(x 1,x 2,…,x n,0)= g(x 1,x 2,…,x n) f 1 (x 1,x 2,…,x n,y+1)= h(x 1,x 2,…,x n,y,f(x 1,x 2,…,x n,y)) እነዚህ እኩልነቶች f(x 1፣x 2፣…፣x n+1) ተግባርን በልዩ ሁኔታ ይገልፃሉ። አንድ ተግባር f የፕሪሚቲቭ ሪከርሽን ኦፕሬተር አርን በመጠቀም የተገኘ ተግባር ይባላል። የ f=R(g,h) ምልክት ጥቅም ላይ ይውላል። የአንድ ተግባር ኢንዳክቲቭ ፍቺ (በፕሪሚቲቭ ሪከርሽን ኦፕሬተር ውስጥ የሚታየው) በሂሳብ ውስጥ ያልተለመደ ነገር አይደለም። ለምሳሌ፣ 1) ከተፈጥሮ ገላጭ ጋር ያለው ዲግሪ በንቃተ-ህሊና ይወሰናል፡- ሀ
0
=1, ሀ n+ 1
=a n
ÿ ሀ
; 2) ፋብሪካ፡ 0!=1፣ (n+1)!= n!ÿ(n+1)፣ ወዘተ ፍቺበጣም ቀላል ከሆነው o(x)=0፣ s(x)=x+1፣ I m n (x 1፣...፣ x n) = x m የሱፐርፖዚሽን ኦፕሬተሮችን እና ፕሪሚቲቭ ሪከርሽን ውሱን ጊዜያትን በመተግበር ሊገኙ የሚችሉ ተግባራት ተብለው ይጠራሉ ጥንታዊ ተደጋጋሚ። ተግባር u(x,y)=x+y ጥንታዊ ተደጋጋሚ መሆኑን እንፈትሽ። በእርግጥ፡- u(x,0)=0፣ u(x,y+1)=x+y+1=u(x,y)+1 አለን። ይህ ከ x= I 1 1 (x) እና u(x,y)+1=s(u(x,y))=S 2(s,u) ጀምሮ ጥንታዊ የድግግሞሽ እቅድ ነው። እዚህ g(x)= I 1 1 (x) እና h(x,y,u)=s(u)=S 2 (s, I 3 3)። በተመሳሳይ መልኩ ተግባራቶቹ m(x,y)=xÿy, d(x,y)=x y (በትርጉም 0 0 =1) እንገምታለን, እውነታ(x)=x! እና ሌሎች ብዙዎች በጥንታዊው ተደጋጋሚ ናቸው። ማስታወሻ; በመጀመሪያ ደረጃ ተደጋጋሚ ተግባራት በሁሉም ቦታ ይገለጻሉ (ይህም ለሁሉም የክርክር እሴቶቻቸው የተገለፀ ነው)። በእርግጥ, በጣም ቀላሉ ተግባራት ኦ፣ ኤስ፣እኔ መ n በሁሉም ቦታ የተገለጹ ናቸው, እና superposition እና primitive recursion ኦፕሬተሮች በሁሉም ቦታ የተገለጹ ተግባራት ላይ መተግበር ደግሞ በሁሉም ቦታ የተገለጹ ተግባራት ይሰጣል. ስለዚህ እንደ ተግባር = x - y፣ x ≥ y ከሆነ< y x ከሆነ f(x,y) የለም በጥንታዊ ተደጋጋሚ መሆን አይቻልም። እዚህ f(x,y)=x-y የሚለውን ተግባር የመመልከት መብት የለንም ምክንያቱም የተግባር እሴቶቹ ተፈጥሯዊ ቁጥሮች መሆን አለባቸው (ስለዚህ አሉታዊ አይደሉም)። ሆኖም ግን, አንድ ሰው ተግባሩን ግምት ውስጥ ማስገባት ይችላል ÷ y = 0x - y ifif x x<≥y.y በመጀመሪያ ደረጃ የሚደጋገም መሆኑን እንፈትሽ። በመጀመሪያ ተግባር j(x)=xπ1 ጥንታዊ ተደጋጋሚነት መሆኑን እናረጋግጥ። በእርግጥ፣ j(0)=0። j(y+1)=(y+1)π1=y፣ ይህም ለ xπ1 ተግባር እንደ ቀዳሚ የድግግሞሽ እቅድ ሆኖ ያገለግላል። በመጨረሻ፣ xπ0=x፣ xπ(y+1)=(xπy)π1=j(xπy) ለ xπy ጥንታዊ የድግግሞሽ እቅድ ነው። ከቀደምት ተደጋጋሚ ተግባራት በጣም ሰፊ የሆነ የተግባር ክፍል የድግግሞሽ ተግባራት ክፍል ነው (ከዚህ በታች ያለውን ፍቺ ይመልከቱ)። በሥነ-ጽሑፍ ውስጥ እነዚህ ተግባራት ተጠርተዋል በከፊል ተደጋጋሚ .
እነሱን ለመወሰን, አንድ ተጨማሪ ኦፕሬተር እናስተዋውቃለን. የማሳነስ ኦፕሬተር.ተግባሩ f(x 1፣x 2፣…፣x n፣x n+1) ይስጥ። ከመጀመሪያዎቹ n ተለዋዋጮች መካከል x 1 ፣ x 2 ፣… ፣ x n አንዳንድ እሴቶችን እናስተካክል እና f(x 1 ፣ x 2 ፣… ፣ x n ፣0) ፣ f(x 1 ፣ x 2 ፣… ፣ x n ፣1) እናሰላ ), f (x 1, x 2,…, x n,2) ወዘተ. y በጣም ትንሹ የተፈጥሮ ቁጥር ከሆነ f(x 1 ፣ x 2 ፣… X n ,y)=x n+1 (ማለትም እሴቶች f(x 1፣x 2፣… 1 ፣ x 2 ፣… X n፣y-1) ሁሉም አሉ እና ከ xn +1 ጋር እኩል አይደሉም፣ ከዚያ g(x 1፣x 2፣…) እናስቀምጣለን። X n ,x n+1)=y. ስለዚህም g(x 1,x 2,…,x n,x n+1)=ደቂቃ(y|f(x 1,x 2,…,x n,y)=x n+1) እንደዚህ ከሆነ yየለም፣ እንግዲያውስ f(x 1፣x 2፣…፣x n፣x n+1) እንዳልተገለፀ እንመለከታለን። ስለዚህ, ሦስት ጉዳዮች ይቻላል: 1. ረ (x 1 ፣ x 2 ፣… ፣ x n ፣0) ፣ f(x 1 ፣x 2 ፣… አሉ እና ከ xn +1 እና f(x 1,x 2,…,x n,y)=x n+1 ጋር እኩል አይደሉም; 2. ረ (x 1 ፣ x 2 ፣… ፣ x n ፣0) ፣ f(x 1 ፣x 2 ፣… አሉ እና ከ xn +1 ጋር እኩል አይደሉም፣ ግን f(x 1፣x 2፣…፣x n፣y) የለም፤ 3. f(x 1፣x 2፣… 1ኛው ጉዳይ ከተከሰተ g(x 1,x 2,…,x n,x n+1)=y እና 2ኛ ወይም 3ተኛ ከሆነ g(x 1,x 2,…,x n,x n) +1) አልተገለጸም። በዚህ መንገድ የተገኘ ተግባር g የሚገኘው ዝቅተኛውን ኦፕሬተር በመጠቀም ከ f ይገኛል ተብሏል። ኤም. እንጽፋለን g=Mf. የማሳነስ ኦፕሬተር የተገላቢጦሽ ኦፕሬተር ግልፅ የሆነ አጠቃላይ መግለጫ ነው። አጠቃላይ አጠቃላዩ በጣም ጥልቅ ነው፣ ምክንያቱም ረ ተግባር አንድ ለአንድ መሆን አያስፈልግም (በተለዋዋጭ x n+1) ፍቺበጣም ቀላል ከሆኑት ሊገኙ የሚችሉ ተግባራት o(x)=0፣ s(x)=x+1፣
እኔ ነኝ (x 1 ፣... ፣ x n)
= x ሜሱፐርፖዚሽን ኦፕሬተሮችን መተግበር፣ ፕሪሚቲቭ ሪከርሽን እና ዝቅተኛ ኦፕሬተሮችን መተግበር የተገደበ ቁጥር ይባላሉ ተደጋጋሚ። በየቦታው የተገለጹ ተግባራትን ብቻ ስለያዘ ብቻ የድጋሚ ተግባራት ክፍል ከጥንታዊ ተደጋጋሚ ተግባራት ክፍል የበለጠ ሰፊ ነው። ለምሳሌ ተግባሩን እናረጋግጥ = x - y፣ x ≥ y ከሆነ< y x ከሆነ f(x,y) የለም ተደጋጋሚ ነው። በእርግጥ f(x,y)=min(z|y+z=x)፣ እና ቀደም ሲል u(x,y)=x+y ተግባር በጥንታዊ መልኩ የሚደጋገም መሆኑን ተረጋግጧል። ተደጋጋሚ ተግባራት አንዳንድ ሜካኒካል መሳሪያዎች ሊሰሏቸው ስለሚችሉት ተግባራት ያለንን ግንዛቤ ያንፀባርቃሉ። በተለይም በቱሪንግ ማሽኖች ላይ ሊሰሉ ይችላሉ (የቀደመውን አንቀጽ ይመልከቱ). በተቃራኒው፣ በቱሪንግ ማሽን ላይ የሚሰላ እያንዳንዱ ተግባር ተደጋጋሚ ነው። ብዙ ጊዜ እና ቦታ ስለሚወስድ ይህንን እውነታ አንፈትሽም። የተሟላ ማስረጃ ለምሳሌ በ A.I. Maltsev "Algorithms and recursive function" በሚለው መጽሐፍ ውስጥ ሊገኝ ይችላል. እያንዳንዱ የተፈጥሮ ክርክሮች ተግባር ተደጋጋሚ እንዳልሆነ፣ እያንዳንዱ የነጠላ ሙግት ተግባር እንኳን እንዳልሆነ ልብ ይበሉ። ያልተደጋገሙ ተግባራት መኖራቸው በአልጎሪዝም ሊፈቱ የማይችሉ ችግሮች መኖራቸው "የሒሳብ ምክንያት" ነው. በተለያዩ የሂሳብ ቅርንጫፎች ውስጥ በአልጎሪዝም ሊፈቱ የማይችሉ ችግሮች አሉ, ማለትም. የመፍትሄ ስልተ-ቀመር የሌለባቸው ችግሮች, እና ገና ስላልተፈለሰፈ ሳይሆን በመርህ ደረጃ የማይቻል ስለሆነ ነው. እርግጥ ነው, አልጎሪዝም በቱሪንግ ማሽኖች እና በተደጋገሙ ተግባራት ስሜት መረዳት አለበት. ከእነዚህ ችግሮች ውስጥ አንዱን እንፍጠር የቱሪንግ ማሽን የማቆም ችግር።ቱሪንግ ማሽን በተወሰኑ መለኪያዎች የተገለጸ ነገር ነው። ሁሉም ከፊል ካርታዎች ከአንዱ ውሱን ስብስብ ወደ ሌላው በብቃት እንደገና ሊቆጠሩ ይችላሉ። ስለዚህ እያንዳንዱ የቱሪንግ ማሽን ቁጥር (የተፈጥሮ ቁጥር) ሊመደብ ይችላል. ቲ(n) ቁጥር n ያለው የቱሪንግ ማሽን ይሁን። በባዶ ቀበቶ መሥራት የጀመሩ አንዳንድ ማሽኖች በመጨረሻ ይቆማሉ፣ እና አንዳንዶቹ ላልተወሰነ ጊዜ ይሰራሉ። ችግሩ የሚነሳው፡ በተፈጥሮ ቁጥር n ከተሰጠው በባዶ ቴፕ ላይ የተከፈተው የቱሪንግ ማሽን ቲ(n) መቆሙን ወይም አለማቆሙን ይወስኑ። ይህ ተግባር በአልጎሪዝም ሊወሰን የማይችል. ያም ማለት አውቶማቲክ ሂደት የለም ,
ለእያንዳንዱ n ማሽኑ T (n) መቆሙን ወይም አለመቆሙን ይወስናል. ይህ ለየትኛውም ማሽን መቆሙን ወይም አለመቆሙን ከመወሰን አይከለክልንም. ይህንን ለሁሉም ማሽኖች በአንድ ጊዜ የሚፈታ ዘዴ የለም .
ችግር ከተሰጠ, ችግሩን ለመፍታት ውጤታማ ስልተ ቀመር እንዴት ማግኘት ይቻላል? እና አልጎሪዝም ከተገኘ, ተመሳሳይ ችግር ከሚፈቱ ሌሎች ስልተ ቀመሮች ጋር እንዴት ሊወዳደር ይችላል? ጥራቱን እንዴት መገምገም ይቻላል? የዚህ አይነት ጥያቄዎች ለፕሮግራም አዘጋጆችም ሆነ ለኮምፒዩተር የንድፈ ሃሳብ ጥናት ለሚሳተፉ ሰዎች ትኩረት ይሰጣሉ። አልጎሪዝምን ለመገምገም ብዙ መመዘኛዎች አሉ። ብዙውን ጊዜ፣ የግብአት መረጃው እየጨመረ ሲመጣ ችግሩን ለመፍታት የሚያስፈልገውን የጊዜ እድገት እና የማስታወስ አቅም ቅደም ተከተል ለማወቅ ፍላጎት ይኖረናል። አንድን ቁጥር ከእያንዳንዱ የተለየ ተግባር ጋር ማያያዝ እንፈልጋለን፣ መጠኑ ይባላል ,
የግቤት ውሂብ መጠን መለኪያን የሚገልጽ. ለምሳሌ፣ የማትሪክስ ብዜት ችግር መጠኑ የፋክተር ማትሪክስ ትልቁ መጠን ሊሆን ይችላል። በአልጎሪዝም የተወሰደው ጊዜ እንደ ችግር መጠን ይባላል የጊዜ ውስብስብነትይህ አልጎሪዝም. የችግሩ መጠን እየጨመረ ሲሄድ በገደቡ ውስጥ ያለው የዚህ ውስብስብነት ባህሪ ይባላል አሲምፕቲክ የጊዜ ውስብስብነት
.
በተመሳሳይ ሁኔታ መግለፅ እንችላለን አቅም ያለው ውስብስብነትእና asymptotic capacitive ውስብስብነት. በዚህ ስልተ-ቀመር ሊፈቱ የሚችሉትን የችግሮች መጠን የሚወስነው የስልተ-ቀመር ውስብስብነት (asymptotic) ውስብስብነት ነው. አንድ አልጎሪዝም የመጠን ግብዓቶችን በጊዜ cÿn 2 ካስኬደ፣ ሐ -
አንዳንድ ቋሚ, ከዚያም የዚህ አልጎሪዝም የጊዜ ውስብስብነት O (n 2) ነው ይላሉ ("የትእዛዝ en ካሬ" ያንብቡ). አንድ ሰው አሁን ባለው የዲጂታል ኮምፒዩቲንግ ማሽኖች ከፍተኛ የኮምፒዩተር ፍጥነት መጨመር የተቀላጠፈ ስልተ ቀመሮችን አስፈላጊነት ይቀንሳል ብሎ ያስባል. ሆኖም ግን, በተቃራኒው ይከሰታል. የኮምፒዩተር ማሽነሪዎች በፍጥነት እና በፍጥነት ሲሄዱ እና ትላልቅ ችግሮችን መፍታት ስንችል, የማሽኑ ፍጥነት እየጨመረ ሲሄድ ሊደረስበት የሚችለውን የችግር መጠን መጨመር የሚወስነው የአልጎሪዝም ውስብስብነት ነው. አምስት ስልተ ቀመሮች A1፣A2፣…፣A5 ከሚከተሉት የጊዜ ውስብስብ ነገሮች ጋር አሉን እንበል እዚህ፣ የጊዜ ውስብስብነት የመጠን nን ግቤት ለማስኬድ የሚያስፈልጉት የጊዜ ክፍሎች ብዛት ነው። የጊዜ ክፍሉ አንድ ሚሊሰከንድ (1ሰከንድ=1000 ሚሊሰከንድ) ይሁን። ከዚያም አልጎሪዝም A1 መጠን 1000 የሆነ ግብዓት በአንድ ሰከንድ ውስጥ ማካሄድ ይችላል, A5 ሳለ ሠንጠረዥ ውስጥ ከ 9. የማይበልጥ መጠን ግብዓት. 6.5.1. በእነዚህ አምስት ስልተ ቀመሮች በአንድ ሰከንድ፣ አንድ ደቂቃ እና አንድ ሰአት ውስጥ ሊፈቱ የሚችሉ የችግሮች መጠኖች ተሰጥተዋል። ሠንጠረዥ 6.5.3. ቀጣዩ የኮምፒዩተር ትውልድ አሁን ካለው በ10 እጥፍ ፈጣን እንደሚሆን እናስብ። በሰንጠረዥ 6.5.2. በዚህ የፍጥነት መጨመር ምክንያት ልንፈታ የምንችላቸው የችግሮች መጠን እንዴት እንደሚጨምር ያሳያል። ለአልጎሪዝም A5 በአስር እጥፍ የፍጥነት መጨመር በሶስት ክፍሎች ብቻ የሚፈታውን የችግሩን መጠን ይጨምራል (በሠንጠረዥ 6.5.2 ውስጥ ያለውን የመጨረሻውን መስመር ይመልከቱ) ፣ በአልጎሪዝም A3 የችግሩ መጠን ከሶስት እጥፍ የበለጠ መሆኑን ልብ ይበሉ። . ሠንጠረዥ 6.5.4. ፍጥነትን ከመጨመር ይልቅ አሁን የበለጠ ቀልጣፋ አልጎሪዝም መጠቀም የሚያስከትለውን ውጤት እናስብ። ወደ ጠረጴዛው እንመለስ 6.5.1. ለማነጻጸር መሰረት አድርገን 1 ደቂቃ ከወሰድን ከዛም አልጎሪዝም A4ን በአልጎሪዝም A3 በመተካት ችግሩን 6 እጥፍ የበለጠ መፍታት እንችላለን እና A4ን በ A2 በመተካት ,
125 ጊዜ የሚበልጥ ችግር መፍታት ይችላሉ። እነዚህ ውጤቶች በ 10x ፍጥነት ከተገኘው 2x ማሻሻያ የበለጠ አስደናቂ ናቸው። ለንፅፅር መሰረት አድርገን 1 ሰአት ከወሰድን ልዩነቱ የበለጠ ጉልህ ይሆናል። ከዚህ በመነሳት የአንድ አልጎሪዝም አሲምፕቶቲክ ውስብስብነት የአልጎሪዝም ጥራትን ለመለካት እንደ አስፈላጊ መለኪያ ሆኖ የሚያገለግል ሲሆን በቀጣይ የስሌት ፍጥነት መጨመር የበለጠ አስፈላጊ እንደሚሆን ቃል ገብቷል ። ምንም እንኳን እዚህ ላይ ዋናው ትኩረት ለቁጥሮች እድገት ቅደም ተከተል የሚከፈል ቢሆንም ፣ በአልጎሪዝም ውስብስብነት ውስጥ ትልቅ የእድገት ቅደም ተከተል አነስተኛ ማባዛት ቋሚ (ቋሚ) ሊኖረው እንደሚችል መረዳት አለበት። ሐበ O (f (x)) ትርጉም ውስጥ) ፣ ከሌላ ስልተ ቀመር ውስብስብነት ትንሽ ጭማሪ። በዚህ ሁኔታ, በፍጥነት እየጨመረ ውስብስብነት ያለው ስልተ-ቀመር ለትንንሽ ችግሮች - ምናልባትም እኛ የምንፈልጋቸው ሁሉም ችግሮች ሊመረጥ ይችላል. ለምሳሌ፣ የአልጎሪዝም A1፣ A2፣ A3፣ A4፣ A5 በጊዜ ውስብስብነት በቅደም ተከተል 1000n፣ 100nÿlog(n)፣ 10n2፣ n3 እና 2 ናቸው እንበል። n ከዚያም A5 በመጠን 2§n§9, A2 - በመጠን ላሉ ችግሮች ምርጥ ይሆናል 10§n§58, A1 - በ 59§n§1024, እና A1-በ n>1024.- 1. ኤፍ.ኤ. ኖቪኮቭ. ለፕሮግራም አውጪዎች የተለየ ሂሳብ።/ ሴንት ፒተርስበርግ፡ ፒተር፣ 2001፣ 304С. 2. S.V. Sudoplatov, E.V. Ovchinnikova. የልዩ የሂሳብ ክፍሎች።/ M.፣ INFRA-M፣ ኖቮሲቢሪስክ፣ NSTU ማተሚያ ቤት፣ 3. Y.M.Erusalimsky. የተለየ ሂሳብ / M., "የዩኒቨርሲቲ መጽሐፍ", 2001, 279 pp. 4. A. Aho, J. Hopcroft, J. Ullman. የስሌት ስልተ ቀመሮች ግንባታ እና ትንተና. / ኤም., ሚር, 1979, 536 ሴ. 5. V.N.Nefedov, V.A.Osipova በተለየ የሂሳብ ትምህርት./ M., MAI ማተሚያ ቤት, 1992, 264P.§4.3. Quantifiers እና ባህሪያቸው.
ምዕራፍ V. መደበኛ ንድፈ ሐሳቦች.
§5.1. የመደበኛ ንድፈ ሐሳብ ፍቺ.
§5.2. ፕሮፖዛል ስሌት.
§5.3. የመቀነስ ጽንሰ ሐሳብ. የ IV ሙሉነት.
§5.4. የንድፈ ሃሳቦች ራስ-ሰር ማረጋገጫ.
§5.5. በ IW ውስጥ የመፍትሄ ዘዴ.
ምዕራፍ VI. የአልጎሪዝም ፅንሰ-ሀሳብ አካላት።
§6.1. የአልጎሪዝም ትርጉም.
§6.2. የቱሪንግ ማሽን.
q 0
…
qi
…
q ሜ
…
አ ዩ
ቅ
ኤስ
ሀ
አርኤስ
…
§6.3. ተደጋጋሚ ተግባራት
§6.4. በአልጎሪዝም ሊፈቱ የማይችሉ ችግሮች.
§6.5. አልጎሪዝም እና ውስብስብነታቸው።
ስነ ጽሑፍ።
መግቢያ።
ዓላማ።
ለቴክኒካል ዩኒቨርሲቲዎች የተለየ የሂሳብ ትምህርት በአሮጌ የተተገበሩ ችግሮች ላይ ያተኮረ ስለሆነ የልዩ የሂሳብ ትምህርት አዲስ ክፍሎች ፣ ምንም እንኳን በትምህርታዊ ፕሮግራሞች እና ተከታታይ ትምህርቶች መልክ ቢተገበሩም ፣ በ monographs መልክ ፣ ቢያንስ በሩሲያኛ እስካሁን የሉም። መሐንዲሶች መፍታት ነበረባቸው . በተለይም በሂሳብ አመክንዮ የሎጂክ ዑደቶችን መቀነስ ነበር, ይህም ዛሬ ጠቀሜታውን አጥቷል.
የሎጂክ ሰርክተሮች ውህደት ንድፈ ሀሳብ በአንድ ትውልድ ተመራማሪዎች ፊት የተሟላ “ባዮሎጂካል ዑደት” ውስጥ ካለፈ በኋላ ፣ የቴክኒክ ሳይንሶች ቅርንጫፎች ከመሠረታዊነት ጋር እንዴት እንደሚገናኙ የሚያሳይ በጣም አስተማሪ ምሳሌ መሆኑን ልብ ሊባል ይገባል ። ሳይንስ ለዕድሜ መግፋት በጣም የተጋለጡ ናቸው። ልክ ከ10 አመት በፊት ሁሉም የቴክኒካል መጽሔቶች ስለ አመክንዮ ዑደቶች መቀነስ እና ውህደት መጣጥፎች ተሞልተዋል። በሳይንቲስቶች የተገነቡ አብዛኛዎቹ የመቀነሻ ዘዴዎች አሁን ተረስተዋል እና በተግባር ግን ተፈላጊ አይደሉም። በዚያን ጊዜ በንድፈ ሐሳብ ብቻ ይቆጠሩ የነበሩት እነዚያ ሐሳቦች በዘመናዊ ቴክኖሎጂ ውስጥ ተግባራዊ ተግባራዊ ሆነዋል። ለምሳሌ፣ fuzzy logic፣ Petri Nets፣ እና Algorithm ቲዎሪ በጊዜ ሂደት የቆዩ እና በተለያዩ የሳይበርኔትቲክስ እና ፕሮግራሚንግ ዘርፎች እንደ ሲስተም ፕሮግራሚንግ፣ ስሌት ውስብስብነት እና አርቴፊሻል ኢንተለጀንስ በሰፊው ጥቅም ላይ ይውላሉ።
እና የአልጎሪዝም ፅንሰ-ሀሳብ የልዩ የሂሳብ ማዕከላዊ ክፍል ሆነ። ሆኖም ፣ በሩሲያ ውስጥ ካሉ ብዙ ነጠላ ጽሑፎች በተቃራኒ ፣ በንግግሮች ሂደት ውስጥ እነዚህ ጉዳዮች ተግባራዊ ፣ የምህንድስና ችግሮችን ለመፍታት እንደ መንገድ ቀርበዋል ።
እንደሚያውቁት ከእያንዳንዱ አስርት አመታት በኋላ የኮምፒዩተሮች ሃርድዌር ክፍሎች, ኦፕሬቲንግ ሲስተሞች, የመዳረሻ መሳሪያዎች እና ፕሮግራሞቹ እራሳቸው በከፍተኛ ሁኔታ ይለወጣሉ. ነገር ግን፣ ከስር ያሉት አወቃቀሮች እና ስልተ ቀመሮች ለረጅም ጊዜ ሳይለወጡ ይቆያሉ። እነዚህ መሠረቶች ከብዙ ሺህ ዓመታት በፊት መጣል ጀመሩ፣ መደበኛ አመክንዮ ሲዘጋጅ እና የመጀመሪያዎቹ ስልተ ቀመሮች ተዘጋጅተዋል።
የሂሳብ አመክንዮ እና የአልጎሪዝም ጽንሰ-ሀሳብ በባህላዊ መልኩ ከመሠረታዊ ሳይንስ ጋር የተቆራኘ እና ከተግባር ጋር ትንሽ ግንኙነት እንደሌላቸው እና ለመረዳት የሚያስቸግሩ ናቸው. በእርግጥ፣ ጄ. ቡሌ የቡሊያን አልጀብራን የሂሳብ አፕሊኬሽን ሲፈጥር ለረጅም ጊዜ ተግባራዊ አተገባበር አላገኘም ነገር ግን በ20ኛው ክፍለ ዘመን ሁሉንም የኮምፒውተር ክፍሎች ለመንደፍ ያስቻለው ይህ የሂሳብ መሣሪያ ነው። ስለሆነም ከእነዚህ ጭፍን ጥላቻዎች ውስጥ የመጀመሪያው በኮምፒውተር ቴክኖሎጂ እድገት በተሳካ ሁኔታ ውድቅ ተደርጓል።
ይህንን ተግሣጽ የመረዳት ችግርን በተመለከተ ያለውን ጭፍን ጥላቻ፣ በአብዛኛው መነሻው በሒሳብ ሎጂክ እና በአልጎሪዝም ንድፈ ሐሳብ ላይ ያሉ መጻሕፍት በሂሳብ ሊቃውንት ለሂሳብ ሊቃውንት መፃፋቸው ነው።
አሁን የኮምፒዩተር ቴክኖሎጂ አቅም ብዙ ጊዜ ሲጨምር እና እንዴት እንደሚጠቀሙባቸው ከሚያውቁ ሰዎች የበለጠ የግል ኮምፒውተሮች እራሳቸው ሲኖሩ ፣ በዘመናዊው የኮምፒዩተር ቴክኖሎጂ እገዛ ምን ማድረግ እንደሚቻል እና ምን ማድረግ እንደማይቻል ተረድተዋል ። ልዩ ጠቀሜታ.
የኮምፒዩተር ሃይሉ የቱንም ያህል ኃይለኛ ቢሆን ሊፈቱ የማይችሉ ችግሮች መኖራቸውን እና በፍጥነት በማደግ ላይ ያለው ቅርንጫፍ - የስሌት ውስብስብነት ጽንሰ-ሀሳብ - ቀስ በቀስ ሊፈቱ የሚችሉ ችግሮች እንዳሉ እንዲገነዘቡ ያደረገው አጠቃላይ የአልጎሪዝም ንድፈ ሃሳብ ነው። ነገር ግን በተጨባጭ የተወሳሰበ፣ እና ውስብስብነታቸው በተወሰነ መልኩ በፍፁም ትርጉም ሊሆን ይችላል፣ ማለትም. ለዘመናዊ ኮምፒተሮች በተግባር የማይደረስ.
ይህ ኮርስ የሚከተሉትን ዓላማዎች አዘጋጅቷል.
1. ከግምት ውስጥ ያሉትን ሁሉንም ጉዳዮች በተቻለ መጠን በቀላሉ ያቅርቡ, ነገር ግን ከፍተኛ ብቃት ላለው ልዩ ባለሙያ ከሚያስፈልገው በላይ ቀላል አይደለም.
2. የኢንፎርሜሽን ሲስተም ዲዛይንና ትንተና ተግባራዊ ችግሮች መነሻ ናቸው፣ መደበኛው መሣሪያ ደግሞ እነዚህን ችግሮች ስልታዊ በሆነ መንገድ የመፍታት ዘዴ ነው። ተማሪ መሞላት ያለበት ዕቃ ሳይሆን መብራት ያለበት ችቦ እንደሆነ ጥልቅ እምነታችን ነው።
3. እያንዳንዱ የኮርሱ ክፍል ራስን የመፈተሽ ጥያቄዎችን ይዟል። ይህንን ኮርስ ለማጠናቀቅ, ተማሪው ለእነዚህ ሁሉ ጥያቄዎች መልስ መስጠት አለበት.
ይህንን ኮርስ በመማር ምክንያት፣ ተማሪው፣ ተዛማጅነት ያላቸውን የንድፈ ሃሳብ ክፍሎችን በግልፅ በመረዳት፣ የሚከተሉትን ማድረግ መቻል አለበት።
በጣም ቀላል የሆነውን የሎጂክ ለውጥ አይነት በሎጂካዊ ተግባራት በዘፈቀደ መሠረት ይተግብሩ;
በተፈጥሮ ቋንቋ በማስረጃነት አመክንዮአዊ አወቃቀሩን ይለዩ፣ መደበኛ የማረጋገጫ እቅዶችን ይገንቡ እና ትክክለኛነታቸውን ያረጋግጡ።
1.2 አመክንዮአዊ መግለጫዎች
አመክንዮአዊ መግለጫዎች -በስብስብ መልክ በጥናት ላይ ያለው የስርዓቱ, ሂደት, ክስተት መግለጫ ውስብስብ መግለጫዎችየተሰራ ቀላል (አንደኛ ደረጃ) መግለጫዎችእና ምክንያታዊ ግንኙነቶችበእነርሱ መካከል. አመክንዮአዊ ውክልናዎች እና ክፍሎቻቸው በተወሰኑ ባህሪያት ተለይተው ይታወቃሉ እና በእነሱ ላይ የተፈቀዱ ለውጦች ስብስብ (ኦፕሬሽኖች ፣ የማጣቀሻ ህጎች ፣ ወዘተ) ፣ በመደበኛ (የሂሳብ) የተገነቡትን በመተግበር ተለይተው ይታወቃሉ። በአመክንዮ, ትክክለኛ የማመዛዘን ዘዴዎች የሎጂክ ህጎች ናቸው.
የአረፍተ ነገሩን መደበኛ አቀራረብ ዘዴዎች (ደንቦች) ፣ ከነባሮቹ አዳዲስ መግለጫዎችን በምክንያታዊ ትክክለኛ ለውጦችን መገንባት ፣ እንዲሁም የአረፍተ ነገሩን እውነት ወይም ሐሰተኛነት የመመስረት ዘዴዎች (ዘዴዎች) ይጠናል ። የሂሳብ ሎጂክ.ዘመናዊ የሂሳብ ሎጂክ ሁለት ዋና ዋና ክፍሎችን ያካትታል. የመግለጫዎች አመክንዮእና የሚሸፍነው ተንብዮ ሎጂክ(ምስል 1.1) ፣ ለግንባታው ሁለት አቀራረቦች (ቋንቋዎች) ፣ ሁለት መደበኛ አመክንዮ ዓይነቶችን ይፈጥራሉ ። የሎጂክ አልጀብራእና ምክንያታዊ ስሌት.በእነዚህ የመደበኛ ሎጂክ ቋንቋዎች መሠረታዊ ፅንሰ-ሀሳቦች መካከል የአንድ ለአንድ ደብዳቤ አለ። የእነሱ isomorphism በመጨረሻ የተረጋገጠው ከስር የሚፈቀዱ ለውጦች አንድነት ነው።
ሩዝ. 1.1
የባህላዊ የሎጂክ ቅርንጫፎች ዋና ዋና ነገሮች መግለጫዎች ናቸው.
መግለጫ -ገላጭ ዓረፍተ ነገር (መግለጫ፣ ፍርድ)፣ oብሎ መናገሩ ተገቢ ነው። እውነት ነው።ወይም የውሸት.ሁሉም ሳይንሳዊ እውቀቶች (የፊዚክስ ህጎች እና ክስተቶች ፣ ኬሚስትሪ ፣ ባዮሎጂ ፣ ወዘተ. ፣ የሂሳብ ንድፈ ሀሳቦች ፣ ወዘተ) ፣ በዕለት ተዕለት ሕይወት ውስጥ ያሉ ክስተቶች ፣ በኢኮኖሚክስ እና በአስተዳደር ሂደቶች ውስጥ የሚነሱ ሁኔታዎች በመግለጫዎች መልክ ተዘጋጅተዋል ። አስፈላጊ እና የጥያቄ አረፍተ ነገሮች መግለጫዎች አይደሉም።
የመግለጫዎች ምሳሌዎች-“ሁለት ጊዜ አራት ነው” ፣ “እኛ የምንኖረው በ 21 ኛው ክፍለ ዘመን ነው” ፣ “ሩብል የሩሲያ ምንዛሪ ነው” ፣ “Alyosha የኦሌግ ወንድም ነው” ፣ “የማህበር ፣ የመገንጠያ እና የመደመር ስራዎች በስብስብ ላይ የቦሊያን ኦፕሬሽኖች ናቸው ። ”፣ “ሰው ሟች ነው”፣ “የቃላቶቹን ቦታዎች ማስተካከል ድምርን አይቀይረውም፣” “ዛሬ ሰኞ ነው”፣ “ዝናብ ከዘነበ ጃንጥላ ይዛችሁ መሄድ አለባችሁ።
በእነዚህ ዓረፍተ ነገሮች እንደ መግለጫዎች የበለጠ ለመስራት፣ ለእያንዳንዳቸው እውነት ወይም ሐሰት መሆኑን ማወቅ አለብን፣ ማለትም. ያውቁዋቸው የእውነት ዋጋ (እውነት)።በአንዳንድ ሁኔታዎች የአረፍተ ነገሩ እውነት ወይም ሐሰት በየትኛው የተለየ እውነታ (ስርዓት, ሂደት, ክስተት) በእሱ እርዳታ ለመግለጽ እየሞከርን እንደሆነ ልብ ይበሉ. በዚህ ሁኔታ, የተሰጠው መግለጫ በተሰጠው ትርጓሜ (ዐውደ-ጽሑፍ) ውስጥ እውነት (ወይም ውሸት) ይባላል. በተጨማሪ አውድ እንደተሰጠ እና መግለጫው የተወሰነ የእውነት ዋጋ እንዳለው እንገምታለን።
1.3 የዳበረ የሂሳብ ሎጂክ ታሪክ
ሎጂክ እንደ ሳይንስ የተቋቋመው በ 4 ኛው ክፍለ ዘመን ነው. ዓ.ዓ. የተፈጠረው በግሪክ ሳይንቲስት አርስቶትል ነው።"አመክንዮ" የሚለው ቃል የመጣው ከግሪክ "ሎጎስ" ነው, እሱም በአንድ በኩል "ቃል" ወይም "መግለጫ" ማለት ሲሆን በሌላኛው ደግሞ ማሰብ. በ Ozhegov S.I ገላጭ መዝገበ ቃላት ውስጥ. “አመክንዮ የአስተሳሰብ ህግጋት ሳይንስ ነው” ይባላል። በ 17 ኛው ክፍለ ዘመን ጀርመናዊው ሳይንቲስት ሌብኒዝ “እውነትን የማስላት ጥበብ” የሆነ አዲስ ሳይንስ ለመፍጠር አቅዷል። . በዚህ አመክንዮ፣ ላይብኒዝ እንደሚለው፣ እያንዳንዱ ዓረፍተ ነገር ተጓዳኝ ምልክት ይኖረዋል፣ እና ምክንያታዊነት ደግሞ የስሌቶች መልክ ይኖረዋል። ይህ የሌብኒዝ ሀሳብ ፣ በዘመኑ የነበሩትን ሰዎች ግንዛቤ አላሟላም ፣ አልተስፋፋም ወይም አልዳበረም እና አስደናቂ ግምት ሆኖ ቆይቷል።
በ 19 ኛው ክፍለ ዘመን አጋማሽ ላይ ብቻ. አይሪሽ የሒሳብ ሊቅ ጆርጅ ቦሌ የሌብኒዝ ሀሳብን አካትቶ ነበር፡ በ1854 “የአስተሳሰብ ህጎችን መመርመር” የተሰኘውን ስራ ጻፈ፣ ይህም ለአመክንዮ አልጀብራ መሰረት የጣለ ሲሆን ይህም ከተራ የአልጀብራ ህግጋቶች ጋር ተመሳሳይ የሆኑ ህጎች ተፈጻሚ ይሆናሉ፣ ፊደሎቹ ግን ተግባራዊ ይሆናሉ። መግለጫዎችን እንጂ ቁጥሮችን አያመለክትም። በቦሊያን አልጀብራ ቋንቋ፣ አንድ ሰው ምክንያታዊነትን መግለጽ እና ውጤቶቹን “ማስላት” ይችላል። ሆኖም ፣ እሱ ሁሉንም ምክንያቶች አይሸፍንም ፣ ግን የተወሰነውን ብቻ። , ስለዚህ፣ የቦሌ አልጀብራ እንደ ፕሮፖዛል ካልኩለስ ይቆጠራል።
የቦሌ አልጀብራ የሎጂክ አዲስ ሳይንስ ሽል ነበር - የሂሳብ ሎጂክ። በአንጻሩ የአርስቶትል አመክንዮ ባህላዊ መደበኛ አመክንዮ ይባላል። "የሂሣብ አመክንዮ" የሚለው ስም የዚህን ሳይንስ ሁለት ገፅታዎች ያንፀባርቃል በመጀመሪያ ደረጃ, የሂሳብ ሎጂክ የሂሳብ ቋንቋን እና ዘዴዎችን የሚጠቀም አመክንዮ ነው; ሁለተኛ፣ የሒሳብ አመክንዮ ወደ ሕይወት የሚያመጣው በሒሳብ ፍላጎት ነው።
በ 19 ኛው ክፍለ ዘመን መገባደጃ ላይ. በጆርጅ ካንቶር የፈጠረው ስብስብ ቲዎሪ ለሁሉም የሂሳብ ትምህርቶች፣ የሂሳብ ሎጂክን ጨምሮ፣ ቢያንስ ለፕሮፖዚሊካል ካልኩለስ (ቡሌ አልጀብራ) አስተማማኝ መሠረት ይመስላል። ካንቶር አልጀብራ (የሴቶች ቲዎሪ) ለቦሌ አልጀብራ አይዞሞርፊክ እንደሆነ ታወቀ።
የሂሳብ አመክንዮ እራሱ መጀመሪያ ላይ በጣም ረቂቅ የሆነ እና ከተግባራዊ አተገባበር እጅግ የራቀ የሚመስለው የሂሳብ ክፍል ሆነ። ሆኖም፣ ይህ አካባቢ ለረጅም ጊዜ የ"ንጹህ" የሂሳብ ሊቃውንት ጎራ አልሆነም። በ 20 ኛው ክፍለ ዘመን መጀመሪያ ላይ. (1910) የሩሲያ ሳይንቲስት ኢረንፌስት ፒ.ኤስ. የወረዳ መቀያየርን ለመግለፅ የቦሊያን አልጀብራን በስልክ ግንኙነት ውስጥ የመጠቀም እድልን ጠቁሟል። በ 1938-1940, በአንድ ጊዜ ማለት ይቻላል, የሶቪየት ሳይንቲስት V.I. Shestakov ሥራዎች, የአሜሪካ ሳይንቲስት ሻነን እና የጃፓን ሳይንቲስቶች Nakashima እና Hakazawa በዲጂታል ቴክኖሎጂ ውስጥ የሂሳብ ሎጂክ ማመልከቻ ላይ ታየ. በዲጂታል መሳሪያዎች ዲዛይን ውስጥ የሂሳብ አመክንዮ አጠቃቀምን በተመለከተ የተደረገው የመጀመሪያው ሞኖግራፍ በሶቪየት ሳይንቲስት ኤምኤ ጋቭሪሎቭ በዩኤስኤስ አር ታትሟል። እ.ኤ.አ. በ 1950 በዘመናዊው ማይክሮፕሮሰሰር ቴክኖሎጂ እድገት ውስጥ የሂሳብ ሎጂክ ሚና እጅግ በጣም አስፈላጊ ነው-በኮምፒተር ሃርድዌር ዲዛይን ፣ በሁሉም የፕሮግራም ቋንቋዎች ልማት እና በተለዩ አውቶማቲክ መሳሪያዎች ዲዛይን ውስጥ ጥቅም ላይ ይውላል ።
ከተለያዩ አገሮች የመጡ ሳይንቲስቶች ለሂሳብ አመክንዮ እድገት ትልቅ አስተዋጽኦ አበርክተዋል-የካዛን ዩኒቨርሲቲ ፕሮፌሰር Poretsky P.S., de-Morgan, Peirce, Turing, Kolmogorov A.N., Heidel K. እና ሌሎችም.
1.4 ራስን ለመፈተሽ ጥያቄዎች.
1. የትምህርቱን ዓላማዎች ያዘጋጁ