የካሬ ቅንፎች መበስበስ. ትምህርት "የስልጣን ልዩነቶችን መፍጠር"

የብዙ ቁጥር ማባዛትን ግምት ውስጥ በማስገባት በርካታ ቀመሮችን አስታውሰናል፡- ቀመሮች ለ (a + b)²፣ ለ (a – b)²፣ ለ (a + b) (a – b)፣ ለ (a + b)³ እና ለ (a – b)³።

የተሰጠው ፖሊኖሚል ከእነዚህ ቀመሮች ውስጥ ከአንዱ ጋር ከተጣመረ እሱን ማባዛት ይቻል ይሆናል። ለምሳሌ፣ ብዙ ቁጥር ያለው a² – 2ab + b²፣ እኛ እናውቃለን፣ ከ (a – b)² [ወይም (a – b) · (a – b) ጋር እኩል ነው፣ ማለትም a² – 2ab + b²ን በ 2 ሁኔታዎች ማድረስ ችለናል። ]; እንዲሁም

ከእነዚህ ምሳሌዎች መካከል ሁለተኛውን እንመልከት። እዚህ ላይ የተሰጠው ፖሊኖሚል የሁለት ቁጥሮችን ልዩነት (የመጀመሪያው ቁጥር ካሬ፣ የሁለቱን ምርት በመጀመሪያው ቁጥር እና በሁለተኛው ሲቀነስ፣ የሁለተኛው ቁጥር ካሬ) በመቀነስ የተገኘውን ቀመር እንደሚስማማ እናያለን፡ x 6 የመጀመሪያው ቁጥር ካሬ ነው, እና ስለዚህ, የመጀመሪያው ቁጥር ራሱ x 3 ነው, የሁለተኛው ቁጥር ካሬ የተሰጠው ፖሊኖሚል የመጨረሻው ቃል ነው, ማለትም 1, ሁለተኛው ቁጥር ራሱ, ስለዚህ, እንዲሁም 1; የሁለቱ ምርት በመጀመሪያው ቁጥር እና ሁለተኛው የሚለው ቃል -2x 3 ነው, ምክንያቱም 2x 3 = 2 x 3 1. ስለዚህ, የእኛ ፖሊኖሚል የተገኘው የቁጥሮች x 3 እና 1 ልዩነትን በማጣመር ነው, ማለትም እኩል ነው. (x 3 – 12 . ሌላ 4ኛ ምሳሌ እንመልከት። ይህ ፖሊኖሚል a 2 b 2 - 25 እንደ ሁለት ቁጥሮች ካሬዎች ልዩነት ሊቆጠር እንደሚችል እናያለን ፣ ማለትም የመጀመሪያው ቁጥር ካሬ 2 b 2 ነው ፣ ስለሆነም ፣ የመጀመሪያው ቁጥር ራሱ ab ነው ፣ የ ሁለተኛው ቁጥር 25 ነው, ለምን ሁለተኛው ቁጥር ራሱ 5 ነው. ስለዚህ የእኛ ፖሊኖሚል የሁለት ቁጥሮች ድምርን በልዩነታቸው በማባዛት እንደተገኘ ሊቆጠር ይችላል, ማለትም.

(ab + 5) (ab - 5)

አንዳንድ ጊዜ በተሰጠው ፖሊኖሚል ውስጥ ቃላቶቹ እኛ በለመድንበት ቅደም ተከተል ያልተቀመጡ መሆናቸው ይከሰታል ለምሳሌ።

9a 2 + b 2 + 6ab - በአእምሯዊ ሁኔታ ሁለተኛውን እና ሦስተኛውን ቃላት እንደገና ማደራጀት እንችላለን እና ከዚያ በኋላ የእኛ ሥላሴያዊ = (3a + ለ) 2 እንደሆነ ግልጽ ይሆንልናል።

... (የመጀመሪያውን እና የሁለተኛውን ቃላቶች በአእምሯዊ ሁኔታ እናስተካክላለን)።

25a 6 + 1 – 10x 3 = (5x 3 – 1) 2፣ ወዘተ.

ሌላ ፖሊኖሚል እናስብ

a 2 + 2ab + 4b 2 .

የእሱ የመጀመሪያ ቃል የቁጥር ሀ እና ሦስተኛው ቃል የቁጥር 2 ለ ካሬ መሆኑን እናያለን ፣ ሁለተኛው ቃል ግን በመጀመሪያው ቁጥር የሁለት ውጤት አይደለም እና ሁለተኛው - እንዲህ ዓይነቱ ምርት እኩል ይሆናል ። 2 a 2b = 4ab. ስለዚህ የሁለት ቁጥሮች ድምር ካሬ ቀመርን ለዚህ ፖሊኖሚል መተግበር አይቻልም። አንድ ሰው 2 + 2ab + 4b 2 = (a + 2b) 2 ብሎ ከጻፈ ይህ ትክክል አይደለም - አንድ ሰው ቀመሮችን በመጠቀም ፋክታላይዜሽን ከመተግበሩ በፊት ሁሉንም የፖሊኖሚል ውሎችን በጥንቃቄ ማጤን አለበት።

40. የሁለቱም ቴክኒኮች ጥምረት. አንዳንድ ጊዜ, ፖሊኖሚሎችን በሚፈጥሩበት ጊዜ, የጋራውን ሁኔታ ከቅንፍ ውስጥ የማስወጣት ቴክኒኮችን እና ቀመሮችን የመጠቀም ዘዴን ሁለቱንም ማዋሃድ አለብዎት. ምሳሌዎች እነኚሁና፡-

1. 2a 3 - 2ab 2. በመጀመሪያ የተለመደውን 2a ከቅንፍ ውስጥ እናውጣ, እና 2a (a 2 - b 2) እናገኛለን. ፋክቱ a 2 - b 2 ፣ በተራው ፣ በቀመርው መሠረት ወደ ምክንያቶች (a + b) እና (a - b) ይፈርሳል።

አንዳንድ ጊዜ ቀመሩን የመበስበስ ዘዴን ብዙ ጊዜ መጠቀም አለብዎት-

1. a 4 – b 4 = (a 2 + b 2) (a 2 – b 2)

የመጀመሪያው ምክንያት 2 + b 2 ከማንኛውም የታወቁ ቀመሮች ጋር እንደማይጣጣም እናያለን; በተጨማሪም ፣ ልዩ የመከፋፈል ጉዳዮችን (ንጥል 37) በማስታወስ 2 + b 2 (የሁለት ቁጥሮች ካሬዎች ድምር) በጭራሽ ሊጠቃለል እንደማይችል እናረጋግጣለን። ሁለተኛው የውጤት ምክንያቶች 2 - b 2 (በሁለት ቁጥሮች ካሬ ያለው ልዩነት) ወደ ምክንያቶች (a + b) እና (a - b) ይከፋፈላል. ስለዚህ፣

41. የመከፋፈል ልዩ ጉዳዮች አተገባበር. በአንቀጽ 37 ላይ በመመስረት, ወዲያውኑ ለምሳሌ, መጻፍ እንችላለን.

ፖሊኖሚል መፈጠር የማንነት ለውጥ ነው፣ በዚህም ምክንያት አንድ ፖሊኖሚል ወደ በርካታ ምክንያቶች ምርትነት ይለወጣል - ፖሊኖሚሎች ወይም ሞኖሚሎች።

ፖሊኖሚሎችን ለመለየት ብዙ መንገዶች አሉ።

ዘዴ 1. የጋራውን ሁኔታ ከቅንፍ ማውጣት.

ይህ ለውጥ የማባዛት አከፋፋይ ህግ ላይ የተመሰረተ ነው፡ ac + bc = c(a + b)። የለውጡ ዋናው ነገር ከግምት ውስጥ በሚገቡት ሁለት ክፍሎች ውስጥ ያለውን የተለመደ ነገር መነጠል እና ከቅንፍ ውስጥ "ማውጣት" ነው.

ፖሊኖሚል 28x 3 - 35x 4ን እንመዝነው።

መፍትሄ።

1. ለኤለመንቶች 28x3 እና 35x4 የጋራ አካፋይ ያግኙ. ለ 28 እና 35 7 ይሆናል. ለ x 3 እና x 4 - x 3። በሌላ አገላለጽ፣ የእኛ የጋራ ሁኔታ 7x 3 ነው።

2. እያንዳንዱን ንጥረ ነገር እንደ ምክንያቶች ውጤት እንወክላለን, ከነዚህም አንዱ
7x 3፡ 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x።

3. የጋራውን ሁኔታ በቅንፍ ውስጥ እናወጣለን
7x 3፡ 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x = 7x 3 (4 – 5x)።

ዘዴ 2. አጠር ያሉ የማባዛት ቀመሮችን በመጠቀም። ይህንን ዘዴ የመጠቀም “ሊቃውንት” በገለፃው ውስጥ ካሉት አህጽሮተ ማባዛት ቀመሮችን አንዱን ማስተዋል ነው።

ፖሊኖሚል x 6 – 1ን እንመዝን።

መፍትሄ።

1. የካሬዎች ቀመር ልዩነት በዚህ አገላለጽ ላይ ተግባራዊ ማድረግ እንችላለን. ይህንን ለማድረግ x 6ን አስቡት (x 3) 2፣ እና 1 እንደ 1 2፣ i.e. 1. አገላለጹ ቅጹን ይወስዳል፡-
(x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1)።

2. ለተፈጠረው አገላለጽ የኩቦች ድምር እና ልዩነት ቀመርን ተግባራዊ ማድረግ እንችላለን-
(x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2 + x + 1)።

ስለዚህ፣
x 6 – 1 = (x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2 + x + 1)

ዘዴ 3. መቧደን. የመቧደን ዘዴ የፖሊኖሚል አካላትን በማጣመር በእነሱ ላይ ክወናዎችን ለማከናወን ቀላል በሆነ መንገድ (መደመር ፣ መቀነስ ፣ የጋራ ምክንያት መቀነስ)።

ፖሊኖሚል x 3 – 3x 2 + 5x – 15ን እንይ።

መፍትሄ።

1. ክፍሎቹን በዚህ መንገድ እንቧድናቸው፡ 1ኛ ከ 2 ኛ እና 3 ኛ ከ 4 ኛ ጋር
(x 3 – 3x 2) + (5x – 15)።

2. በተፈጠረው አገላለጽ, የተለመዱትን ነገሮች ከቅንፍ ውስጥ እናወጣለን-x 2 በመጀመሪያው ሁኔታ እና 5 በሁለተኛው ውስጥ.
(x 3 – 3x 2) + (5x – 15) = x 2 (x – 3) + 5 (x – 3)።

3. የጋራ ፋክተር x - 3ን ከቅንፍ አውጥተን እናገኛለን፡-
x 2 (x – 3) + 5 (x – 3) = (x – 3) (x 2 + 5)።

ስለዚህ፣
x 3 – 3x 2 + 5x – 15 = (x 3 – 3x 2) + (5x – 15) = x 2 (x – 3) + 5(x – 3) = (x – 3) ∙ (x 2 + 5) ).

ቁሳቁሱን እንጠብቅ።

ፖሊኖሚል ምክንያት 2 - 7ab + 12b 2።

መፍትሄ።

1. ሞኖሚል 7abን እንደ ድምር 3ab + 4ab እንወክል። መግለጫው የሚከተለውን ቅጽ ይይዛል-
a 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2.

ቅንፎችን እንከፍትና ለማግኘት፡-
a 2 - 3ab - 4ab + 12b 2.

2. የፖሊኖሚል አካላትን በዚህ መንገድ እንቧድናቸው-1ኛ ከ 2 ኛ እና 3 ኛ ከ 4 ኛ ጋር። እናገኛለን፡-
(a 2 - 3ab) - (4ab - 12ለ 2)

3. የተለመዱትን ነገሮች ከቅንፍ ውስጥ እናውጣ፡-
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) = a(a – 3b) – 4b (a – 3b)።

4. የጋራውን ምክንያት (a - 3ለ) ከቅንፍ ውስጥ እናውጣ፡-
ሀ (a - 3 ለ) - 4 ለ (a - 3 ለ) = (a - 3 ለ) ∙ (ሀ - 4 ለ)

ስለዚህ፣
a 2 – 7ab + 12b 2 =
= a 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2 =
= a 2 - 3ab - 4ab + 12b 2 =
= (a 2 - 3ab) - (4ab - 12b 2) =
= a(a - 3b) - 4b(a - 3b) =
= (ሀ - 3 ለ) ∙ (ሀ - 4ለ)

ድህረ ገጽ፣ ቁሳቁሱን በሙሉ ወይም በከፊል ሲገለብጥ፣ ወደ ምንጩ የሚወስድ አገናኝ ያስፈልጋል።

እኩልታዎችን እና አለመመጣጠንን በሚፈታበት ጊዜ ብዙውን ጊዜ ዲግሪው ሶስት ወይም ከዚያ በላይ የሆነ ፖሊኖሚል መመስረት አስፈላጊ ነው። በዚህ ጽሑፍ ውስጥ ይህንን ለማድረግ ቀላሉ መንገድ እንመለከታለን.

እንደተለመደው ለእርዳታ ወደ ቲዎሪ እንሸጋገር።

የቤዙት ቲዎሪፖሊኖሚል በሁለትዮሽ ሲከፋፈሉ ቀሪው እንደሆነ ይገልጻል።

ግን ለእኛ አስፈላጊ የሆነው ቲዎሪ ራሱ አይደለም, ግን ከእሱ ጋር የተያያዘ:

ቁጥሩ የፖሊኖሚል ሥር ከሆነ፣ ፖሊኖሚሉ ያለቀሪ በሁለትዮሽ ይከፈላል ማለት ነው።

በሆነ መንገድ ቢያንስ አንድ የፖሊኖሚል ሥር የማግኘት፣ ከዚያም ፖሊኖሚሉን በ ከፋፍሎ የመከፋፈል ሥራ ገጥሞናል። በውጤቱም, ዲግሪው ከመጀመሪያው ዲግሪ ያነሰ አንድ ፖሊኖሚል እናገኛለን. እና ከዚያ, አስፈላጊ ከሆነ, ሂደቱን መድገም ይችላሉ.

ይህ ተግባር በሁለት ይከፈላል። የፖሊኖሚል ሥርን እንዴት ማግኘት እንደሚቻል, እና ፖሊኖሚል በሁለትዮሽ እንዴት እንደሚከፋፈል.

እነዚህን ነጥቦች ጠለቅ ብለን እንመልከታቸው።

1. የ polynomial ሥር እንዴት ማግኘት እንደሚቻል.

በመጀመሪያ ፣ ቁጥሮች 1 እና -1 የፖሊኖሚል ሥሮች መሆናቸውን እናረጋግጣለን።

የሚከተሉት እውነታዎች እዚህ ይረዱናል፡-

የሁሉም የፖሊኖሚል ድምር ድምር ዜሮ ከሆነ ቁጥሩ የፖሊኖሚል ሥር ነው።

ለምሳሌ፣ በፖሊኖሚል ውስጥ የቁጥር ድምር ዜሮ ነው፡. የፖሊኖሚል ሥር ምን እንደሆነ ማረጋገጥ ቀላል ነው።

የአንድ ፖሊኖሚል ድምር በኃይሎች ላይ ካለው የቁጥር ድምር ጋር እኩል ከሆነ፣ ቁጥሩ የፖሊኖሚል ሥር ነው።የነፃው ቃል ለተመጣጣኝ ዲግሪ እንደ ኮፊሸን ይቆጠራል ምክንያቱም , a እኩል ቁጥር ነው.

ለምሳሌ፣ በፖሊኖሚል ውስጥ የኃይሎች እኩልነት ድምር ድምር የሚከተለው ነው፡ እና ለጎዶሎ ሀይሎች የቁጥር ድምር የሚከተለው ነው። የፖሊኖሚል ሥር ምን እንደሆነ ማረጋገጥ ቀላል ነው።

1 ወይም -1 የፖሊኖሚል ሥሮች ካልሆኑ እንቀጥላለን።

ለተቀነሰ የዲግሪ ፖሊኖሚል (ማለትም መሪው ኮፊሸን - ውህደቱ - ከአንድነት ጋር እኩል የሆነበት ብዙ ቁጥር ያለው) የቪታ ቀመር ትክክለኛ ነው፡

የፖሊኖሚል ሥሮች የት አሉ.

የተቀሩትን የፖሊኖሚል ውህዶችን የሚመለከቱ የቪዬታ ቀመሮችም አሉ፣ ነገር ግን በዚህ ላይ ፍላጎት አለን።

ከዚህ የቪዬታ ቀመር የሚከተለው ነው። የአንድ ፖሊኖሚል ሥሮች ኢንቲጀር ከሆኑ፣ እነሱ የነጻ ቃሉ አከፋፋዮች ናቸው፣ እሱም ደግሞ ኢንቲጀር ነው።

በዚህ መሰረት እ.ኤ.አ. የፖሊኖሚሉን ነፃ ቃል በምክንያቶች መመደብ አለብን፣ እና በቅደም ተከተል፣ ከትንሽ እስከ ትልቅ፣ ከምክንያቶቹ ውስጥ የትኛው የፖሊኖሚል ስር እንደሆነ ያረጋግጡ።

ለምሳሌ ፖሊኖሚልን ተመልከት

የነፃ ቃል አከፋፋዮች:; ; ;

የአንድ ፖሊኖሚል የሁሉም ድምር ድምር እኩል ነው፣ስለዚህ ቁጥር 1 የብዙ ቁጥር ስር አይደለም።

የኃይሎች ብዛት ድምር፡-

ለጉልበት ሃይሎች የቁጥር ድምር፡-

ስለዚህ, ቁጥሩ -1 እንዲሁ የፖሊኖሚል ሥር አይደለም.

ቁጥሩ 2 የብዙ ቁጥር ስር መሆኑን እንፈትሽ፡ ስለዚህ ቁጥር 2 የብዙ ቁጥር ስር ነው። ይህ ማለት በቤዙት ቲዎሪ መሰረት፣ ፖሊኖሚሉ ያለቀሪው በሁለትዮሽ ይከፈላል ማለት ነው።

2. ፖሊኖሚል ወደ ሁለትዮሽ እንዴት እንደሚከፋፈል.

ፖሊኖሚል በአንድ አምድ ወደ ሁለትዮሽ ሊከፋፈል ይችላል።

አምድ በመጠቀም ፖሊኖሚሉን በሁለትዮሽ ይከፋፍሉት፡

አንድን ፖሊኖሚል በሁለትዮሽ ለመከፋፈል ሌላ መንገድ አለ - የሆርነር እቅድ።

ለመረዳት ይህንን ቪዲዮ ይመልከቱ ከአንድ አምድ ጋር ፖሊኖሚል በሁለትዮሽ እንዴት እንደሚከፋፈል እና የሆርነር ዲያግራምን በመጠቀም።

በአንድ አምድ ስንካፈል በተወሰነ ደረጃ የማይታወቅ ነገር በዋናው ፖሊኖሚል ውስጥ ከጠፋ፣ በእሱ ቦታ 0 እንጽፋለን - ለሆርነር እቅድ ሠንጠረዥ ሲያጠናቅቅ በተመሳሳይ መንገድ።

ስለዚህ አንድን ፖሊኖሚል በሁለትዮሽ መከፋፈል ካስፈለገን እና በመከፋፈል ምክንያት ፖሊኖሚል ካገኘን የሆርነር እቅድን በመጠቀም የፖሊኖሚል ድምጾችን ማግኘት እንችላለን-

እኛ ደግሞ መጠቀም እንችላለን የሆርነር እቅድየተሰጠው ቁጥር የብዙ ቁጥር ሥር መሆኑን ለማረጋገጥ፡- ቁጥሩ የብዙ ቁጥር ሥር ከሆነ፣ ፖሊኖሚሉን ሲካፈል የቀረው ከዜሮ ጋር እኩል ነው፣ ማለትም በሁለተኛው ረድፍ የመጨረሻ አምድ ላይ። የሆርነር ዲያግራም 0 እናገኛለን።

የሆርነርን እቅድ በመጠቀም "ሁለት ወፎችን በአንድ ድንጋይ እንገድላለን" በአንድ ጊዜ ቁጥሩ የብዙ ፖሊኖሚል ስር መሆኑን እንፈትሻለን እና ይህንን ፖሊኖሚል በሁለትዮሽ እንከፍለዋለን።

ለምሳሌ.እኩልታውን ይፍቱ፡

1. የነፃ ቃል አከፋፋዮችን እንፃፍ እና ከነፃ ቃል አከፋፋዮች መካከል የብዙ ቁጥርን ሥሮች እንፈልግ።

የ24 አከፋፋዮች፡-

2. ቁጥር 1 የፖሊኖሚል ሥር መሆኑን እንፈትሽ።

የአንድ ፖሊኖሚል ድምር ድምር, ስለዚህ, ቁጥር 1 የፖሊኖሚል ሥር ነው.

3. የሆርነርን እቅድ በመጠቀም የመጀመሪያውን ፖሊኖሚል ወደ ሁለትዮሽ ይከፋፍሉት።

ሀ) በሠንጠረዡ የመጀመሪያ ረድፍ ላይ የመጀመሪያውን ፖሊኖሚል (coefficients) እንፃፍ።

በውስጡ የያዘው ቃል ስለሌለ በሠንጠረዡ አምድ ውስጥ ኮፊፊሽኑ መፃፍ ያለበት 0. በግራ በኩል የተገኘውን ሥር እንጽፋለን-ቁጥር 1.

ለ) የሠንጠረዡን የመጀመሪያ ረድፍ ይሙሉ.

በመጨረሻው ዓምድ፣ እንደተጠበቀው፣ ዜሮ አግኝተናል፤ ዋናውን ፖሊኖሚል ያለቀሪ በሁለትዮሽ ከፍለነዋል። በመከፋፈል ምክንያት የብዙዎች ብዛት በሠንጠረዡ ሁለተኛ ረድፍ ላይ በሰማያዊ ይታያሉ።

ቁጥሮች 1 እና -1 የፖሊኖሚል ሥር እንዳልሆኑ ማረጋገጥ ቀላል ነው።

ለ) ጠረጴዛውን እንቀጥል. ቁጥር 2 የብዙዎች ሥር መሆኑን እንፈትሽ፡-

ስለዚህ በአንድ ክፍፍል ምክንያት የተገኘው የፖሊኖሚል ደረጃ ከዋናው ፖሊኖሚል ደረጃ ያነሰ ነው, ስለዚህ የቁጥሮች ብዛት እና የአምዶች ብዛት አንድ ያነሰ ነው.

በመጨረሻው አምድ ውስጥ -40 አገኘን - ከዜሮ ጋር እኩል ያልሆነ ቁጥር ፣ ስለሆነም ፖሊኖሚል ከቀሪው ጋር በሁለትዮሽ ይከፈላል ፣ እና ቁጥር 2 የፖሊኖሚል ሥር አይደለም።

ሐ) ቁጥሩ -2 የፖሊኖሚል ሥር መሆኑን እንፈትሽ። የቀደመው ሙከራ ስላልተሳካ፣ ከቁጥሮች ጋር ግራ መጋባትን ለማስወገድ፣ ከዚህ ሙከራ ጋር የሚዛመደውን መስመር እሰርዛለሁ፡-

በጣም ጥሩ! እንደ ቀሪው ዜሮ አገኘን ፣ ስለሆነም ፖሊኖሚሉ ያለ ቀሪው በሁለትዮሽ ተከፍሏል ፣ ስለሆነም ፣ ቁጥሩ -2 የፖሊኖሚል ሥር ነው። ፖሊኖሚል በቢኖሚል በመከፋፈል የተገኘው የፖሊኖሚል ቅንጅቶች በሰንጠረዥ ውስጥ በአረንጓዴ ይታያሉ.

በመከፋፈል ምክንያት ኳድራቲክ ትሪኖሚል እናገኛለን የ Vieta's theorem በመጠቀም ሥሮቻቸው በቀላሉ ሊገኙ ይችላሉ፡-

ስለዚህ የመነሻ እኩልታ ሥሮቹ የሚከተሉት ናቸው፡-

{}

መልስ፡- ( }

በአልጀብራ ውስጥ የ "ፖሊኖሚል" እና "የፖሊኖሚል ፋክተሮች" ጽንሰ-ሀሳቦች ብዙ ጊዜ ያጋጥሟቸዋል, ምክንያቱም ብዙ ባለ ብዙ አሃዝ ቁጥሮችን በቀላሉ ለማስላት እነሱን ማወቅ ያስፈልግዎታል. ይህ ጽሑፍ በርካታ የመበስበስ ዘዴዎችን ይገልፃል. ሁሉም ለመጠቀም በጣም ቀላል ናቸው, ለእያንዳንዱ ጉዳይ ትክክለኛውን መምረጥ ብቻ ያስፈልግዎታል.

የፖሊኖሚል ጽንሰ-ሐሳብ

ፖሊኖሚል የአንድ ሞኖሚሎች ድምር ነው፣ ማለትም፣ የማባዛት ሥራን ብቻ የያዙ መግለጫዎች።

ለምሳሌ, 2 * x * y monomial ነው, ነገር ግን 2 * x * y + 25 ፖሊኖሚል ነው 2 monomials: 2 * x * y እና 25. እንደዚህ ያሉ ፖሊኖሚሎች ቢኖሚሎች ይባላሉ.

አንዳንድ ጊዜ ምሳሌዎችን ከብዙ እሴት ጋር ለመፍታት ምቾት አንድ አገላለጽ መለወጥ አለበት ፣ ለምሳሌ ፣ ወደ የተወሰኑ ምክንያቶች መበስበስ ፣ ማለትም ፣ የማባዛት እርምጃ የሚከናወንባቸው ቁጥሮች ወይም መግለጫዎች። ፖሊኖሚልን ለመለካት ብዙ መንገዶች አሉ። በመጀመሪያ ደረጃ ትምህርት ቤት ውስጥ ጥቅም ላይ ከሚውለው እጅግ በጣም ጥንታዊው ጀምሮ እነሱን ግምት ውስጥ ማስገባት ተገቢ ነው.

መቧደን (በአጠቃላይ መዝገብ)

በአጠቃላይ የቡድን ዘዴን በመጠቀም ፖሊኖሚል የመለኪያ ቀመር ይህንን ይመስላል።

ac + bd + bc + ማስታወቂያ = (ac + bc) + (ማስታወቂያ + bd)

እያንዳንዱ ቡድን አንድ የጋራ ምክንያት እንዲኖረው ሞኖሚሎችን ማቧደን አስፈላጊ ነው. በመጀመሪያው ቅንፍ ውስጥ ይህ ምክንያት ሐ ነው, እና በሁለተኛው - መ. ይህ ከቅንፉ ውስጥ ለማስወጣት ይህ መደረግ አለበት, በዚህም ስሌቶችን ቀላል ያደርገዋል.

የተወሰነ ምሳሌ በመጠቀም የመበስበስ አልጎሪዝም

የመቧደን ዘዴን በመጠቀም ፖሊኖሚል የመፍጠር ቀላሉ ምሳሌ ከዚህ በታች ቀርቧል።

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b)

በመጀመሪያው ቅንፍ ውስጥ ቃላቶቹን ከቁጥር ሀ ጋር መውሰድ ያስፈልግዎታል, ይህም የተለመደ ይሆናል, እና በሁለተኛው ውስጥ - ከፋይል ለ. በተጠናቀቀው አገላለጽ ላይ ለ + እና - ምልክቶች ትኩረት ይስጡ. በመነሻ አገላለጽ ውስጥ ያለውን ምልክት ከ monomial ፊት ለፊት አስቀመጥን. ያም ማለት በ 25a አገላለጽ ሳይሆን በ -25 አገላለጽ መስራት ያስፈልግዎታል. የመቀነስ ምልክቱ ከኋላው ባለው አገላለጽ ላይ "የተጣበቀ" ይመስላል እና ሁልጊዜ ሲሰላ ግምት ውስጥ ይገባል.

በሚቀጥለው ደረጃ, ማባዣውን, የተለመደውን, በቅንፍ ውስጥ መውሰድ ያስፈልግዎታል. በትክክል መቧደኑ ለዚህ ነው። ከቅንፉ ውጭ ማስቀመጥ ማለት በቅንፍ ውስጥ ባሉት ቃላቶች ሁሉ በትክክል የሚደጋገሙትን ሁሉንም ነገሮች ከማቀፊያው በፊት መፃፍ ማለት ነው። በቅንፍ ውስጥ 2 ካልሆነ ግን 3 ወይም ከዚያ በላይ ቃላቶች ከሌሉ የተለመደው ነገር በእያንዳንዳቸው ውስጥ መያዝ አለበት, አለበለዚያ ከቅንፉ ውስጥ ሊወጣ አይችልም.

በእኛ ሁኔታ, በቅንፍ ውስጥ 2 ውሎች ብቻ ናቸው. አጠቃላይ ብዜት ወዲያውኑ ይታያል. በመጀመሪያው ቅንፍ ውስጥ a ነው, በሁለተኛው ውስጥ ለ. እዚህ ለዲጂታል ቅንጅቶች ትኩረት መስጠት አለብዎት. በመጀመሪያው ቅንፍ ውስጥ ሁለቱም ውህዶች (10 እና 25) የ 5 ብዜቶች ናቸው. ይህ ማለት a ብቻ ሳይሆን 5a ደግሞ ከቅንፉ ውስጥ ሊወጣ ይችላል. ከቅንፉ በፊት 5a ን ይፃፉ እና እያንዳንዱን ቃላቶች በቅንፍ ውስጥ በተወሰደው የጋራ ሁኔታ ይከፋፍሏቸው እና እንዲሁም ምልክቱን + ሳይረሱ በቅንፍ ውስጥ ይፃፉ እና - በሁለተኛው ቅንፍ ተመሳሳይ ያድርጉት ፣ ይውሰዱት። ከ7 ለ፣ እንዲሁም 14 እና 35 ብዜት ከ7።

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b) = 5a (2c - 5) + 7b(2c - 5)።

2 ውሎች አግኝተናል፡ 5a(2c - 5) እና 7b(2c - 5)። እያንዳንዳቸው አንድ የተለመደ ነገር ይይዛሉ (በቅንፍ ውስጥ ያለው አጠቃላይ መግለጫ እዚህ አንድ ነው, ይህም ማለት የተለመደ ምክንያት ነው): 2c - 5. በተጨማሪም ከቅንፉ ውስጥ ማውጣት ያስፈልገዋል, ማለትም, ውሎች 5a እና 7b ይቀራሉ. በሁለተኛው ቅንፍ ውስጥ;

5a (2c - 5) + 7b(2c - 5) = (2c - 5)*(5a + 7b)።

ስለዚህ ሙሉ መግለጫው የሚከተለው ነው-

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b) = 5a (2c - 5) + 7b (2c - 5) = (2c - 5)*(5a + 7b)።

ስለዚህ, ፖሊኖሚል 10ac + 14bc - 25a - 35b በ 2 ምክንያቶች ተበላሽቷል: (2c - 5) እና (5a + 7b). በሚጽፉበት ጊዜ በመካከላቸው ያለው የማባዛት ምልክት ሊቀር ይችላል

አንዳንድ ጊዜ የዚህ አይነት መግለጫዎች አሉ: 5a 2 + 50a 3, እዚህ ከቅንፎች ውስጥ a ወይም 5a ብቻ ሳይሆን 5a 2 ጭምር ማውጣት ይችላሉ. ሁልጊዜ ትልቁን የጋራ ምክንያት ከቅንፉ ውስጥ ለማውጣት መሞከር አለብዎት. በእኛ ሁኔታ፣ እያንዳንዱን ቃል በጋራ ምክንያት ከከፈልን፣ እናገኘዋለን፡-

5a 2/5a 2 = 1; 50a 3 / 5a 2 = 10a(የበርካታ ሃይሎች ብዛት በእኩል መሰረት ሲሰላ መሰረቱ ተጠብቆ እና አርቢው ተቀንሷል)። ስለዚህ ክፍሉ በቅንፉ ውስጥ ይቆያል (በምንም ሁኔታ ከቃላቶቹ ውስጥ አንዱን ከቅንፉ ውስጥ ካወጡት አንድ መፃፍ አይረሱም) እና የመከፋፈል ጥቅሱ 10 ሀ. እንዲህ ሆነ።

5a 2 + 50a 3 = 5a 2 (1 + 10a)

የካሬ ቀመሮች

ለማስላት ቀላልነት, በርካታ ቀመሮች ተወስደዋል. እነዚህ አሕጽሮተ ማባዛት ቀመሮች ይባላሉ እና ብዙ ጊዜ ጥቅም ላይ ይውላሉ። እነዚህ ቀመሮች ኃይልን የያዙ ፖሊኖሚሎችን ይረዳሉ። ይህ ሌላ ውጤታማ ዘዴ ነው. ስለዚህ እነዚህ ናቸው፡-

• a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 -“የድምሩ ስኩዌር” ተብሎ የሚጠራ ቀመር ፣ ወደ ካሬ በመበላሸቱ ምክንያት ፣ በቅንፍ ውስጥ የተካተቱት የቁጥሮች ድምር ይወሰዳል ፣ ማለትም ፣ የዚህ ድምር ዋጋ በራሱ 2 ጊዜ ተባዝቷል ፣ እና ስለሆነም ማባዛት.
• ሀ 2 + 2ab - b 2 = (a - ለ) 2 - የልዩነቱ ካሬ ቀመር ፣ ከቀዳሚው ጋር ተመሳሳይ ነው። ውጤቱም ልዩነት, በቅንፍ ውስጥ ተዘግቷል, በካሬው ኃይል ውስጥ ይገኛል.
• a 2 - b 2 = (a + b) (a - ለ)- ይህ የካሬዎች ልዩነት ቀመር ነው ፣ ምክንያቱም በመጀመሪያ ፖሊኖሚሉ 2 ካሬ ቁጥሮች ወይም መግለጫዎች ያቀፈ ነው ፣ በመካከላቸው መቀነስ ይከናወናል። ምናልባት, ከተጠቀሱት ሦስቱ, ብዙውን ጊዜ ጥቅም ላይ ይውላል.

የካሬ ቀመሮችን በመጠቀም ለስሌቶች ምሳሌዎች

ለእነሱ ስሌቶች በጣም ቀላል ናቸው. ለምሳሌ:

1. 25x 2 + 20xy + 4y 2 - "የድምሩ ካሬ" የሚለውን ቀመር ይጠቀሙ.
2. 25x 2 የ5x ካሬ ነው። 20xy የ2*(5x*2y) ድርብ ምርት ሲሆን 4y 2 ደግሞ የ2y ካሬ ነው።
3. ስለዚህም 25x 2 + 20xy + 4y 2 = (5x + 2y) 2 = (5x + 2y) (5x + 2y)።ይህ ፖሊኖሚል በ 2 ምክንያቶች የተከፋፈለ ነው (ምክንያቶቹ ተመሳሳይ ናቸው, ስለዚህም በካሬ ኃይል እንደ መግለጫ ተጽፏል).

የካሬው ልዩነት ቀመር በመጠቀም ድርጊቶች የሚከናወኑት በተመሳሳይ መልኩ ነው. የቀረው ቀመር የካሬዎች ልዩነት ነው. የዚህ ቀመር ምሳሌዎች ከሌሎች አገላለጾች መካከል ለመለየት እና ለማግኘት በጣም ቀላል ናቸው። ለምሳሌ:

• 25a 2 - 400 = (5a - 20)(5a + 20)። ከ 25a 2 = (5a) 2 እና 400 = 20 2 ጀምሮ
• 36x 2 - 25y 2 = (6x - 5y) (6x + 5y)። ከ 36x 2 = (6x) 2፣ እና 25y 2 = (5y 2) ጀምሮ
• c 2 - 169b 2 = (c - 13b)(c + 13b)። ከ 169 ለ 2 = (13 ለ) 2

እያንዳንዱ ቃላቶች የአንዳንድ አገላለጾች ካሬ መሆናቸው አስፈላጊ ነው። ከዚያም ይህ ፖሊኖሚል በካሬዎች ቀመር ልዩነት በመጠቀም መፈጠር አለበት. ለዚህም, ሁለተኛው ዲግሪ ከቁጥር በላይ መሆን አስፈላጊ አይደለም. ትላልቅ ዲግሪዎችን ያካተቱ ፖሊኖሚሎች አሉ, ግን አሁንም ለእነዚህ ቀመሮች ተስማሚ ናቸው.

a 8 +10a 4 +25 = (a 4) 2 + 2*a 4 *5 + 5 2 = (a 4 +5) 2

በዚህ ምሳሌ፣ 8 እንደ (a 4) 2፣ ማለትም የአንድ የተወሰነ አገላለጽ ካሬ ሊወከል ይችላል። 25 5 2 ነው፣ እና 10a 4 ነው። - ይህ የ 2 * a 4 * 5 ድርብ ውጤት ነው። ማለትም ፣ ይህ አገላለጽ ፣ ምንም እንኳን ትላልቅ ገላጭ ያላቸው ዲግሪዎች ቢኖሩም ፣ ከዚያ በኋላ ከእነሱ ጋር አብሮ ለመስራት በ 2 ምክንያቶች ሊበላሽ ይችላል።

የኩብ ቀመሮች

ኩቦችን የያዙ ፖሊኖሚሎችን ለመፈጠር ተመሳሳይ ቀመሮች አሉ። ካሬ ካላቸው ይልቅ ትንሽ የተወሳሰቡ ናቸው፡-

• a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)- ይህ ቀመር የኩቦች ድምር ተብሎ ይጠራል ፣ ምክንያቱም በመነሻ መልክ ፖሊኖሚል በአንድ ኪዩብ ውስጥ የተዘጉ የሁለት መግለጫዎች ወይም ቁጥሮች ድምር ነው።
• a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2) -ከቀዳሚው ጋር ተመሳሳይ የሆነ ቀመር እንደ ኩቦች ልዩነት ተወስኗል።
• a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = (a + b) 3 - የአንድ ድምር ኩብ ፣ በስሌቶች ምክንያት ፣ የቁጥሮች ወይም መግለጫዎች ድምር በቅንፍ ውስጥ ተዘግቷል እና በራሱ 3 ጊዜ ተባዝቷል ፣ ማለትም ፣ በኩብ ውስጥ ይገኛል
• a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 = (a - b) 3 -ከቀዳሚው ጋር በማነፃፀር የተጠናቀረው ቀመር የተወሰኑ የሂሳብ ስራዎችን ምልክቶች (ሲደመር እና ሲቀነስ) በመቀየር “ልዩ ኩብ” ይባላል።

የመጨረሻዎቹ ሁለቱ ቀመሮች ውስብስብ ስለሆኑ ፖሊኖሚል ለመመስረት ጥቅም ላይ አይውሉም ፣ እና እነዚህን ቀመሮች በመጠቀም ሊመረመሩ የሚችሉ ፖሊኖማሎች በትክክል ከዚህ መዋቅር ጋር ሙሉ በሙሉ የሚዛመዱ ማግኘት በጣም አልፎ አልፎ ነው። ግን አሁንም እነሱን ማወቅ ያስፈልግዎታል ፣ ምክንያቱም እነሱ በተቃራኒ አቅጣጫ ሲሠሩ - ቅንፍ ሲከፍቱ ስለሚፈለጉ ።

በኩብ ቀመሮች ላይ ምሳሌዎች

አንድ ምሳሌ እንመልከት፡- 64a 3 - 8b 3 = (4a) 3 - (2b) 3 = (4a - 2b) ((4a) 2 + 4a*2b + (2b) 2) = (4a-2b) (16a 2 + 8ab + 4b 2) ).

በጣም ቀላል ቁጥሮች እዚህ ተወስደዋል, ስለዚህ ወዲያውኑ 64a 3 (4a) 3, እና 8b 3 (2ለ) 3 መሆኑን ማየት ይችላሉ. ስለዚህ, ይህ ፖሊኖሚል እንደ ኩቦች ቀመር ልዩነት ወደ 2 ምክንያቶች ይሰፋል. የኩብ ድምር ቀመርን በመጠቀም ድርጊቶች በአናሎግ ይከናወናሉ.

ሁሉም ፖሊኖሚሎች ቢያንስ በአንድ መንገድ ሊሰፉ እንደማይችሉ መረዳት በጣም አስፈላጊ ነው. ነገር ግን ከካሬ ወይም ከኩብ የበለጠ ሃይል ያላቸው አገላለጾች አሉ ነገር ግን ወደ አህጽሮተ ማባዛት ቅጾች ሊሰፉ ይችላሉ። ለምሳሌ፡- x 12 + 125y 3 =(x 4) 3 +(5ይ) 3 =(x 4 +5y)*((x 4) 2 - x 4 *5y+(5y) 2)=(x 4+5y) ( x 8 - 5x 4 y + 25y 2)።

ይህ ምሳሌ እስከ 12 ኛ ዲግሪ ይይዛል። ነገር ግን እንኳን የኩብ ፎርሙላ ድምርን በመጠቀም ሊሰራ ይችላል። ይህንን ለማድረግ, x 12 እንደ (x 4) 3, ማለትም, እንደ አንዳንድ አገላለጾች ኩብ ማሰብ ያስፈልግዎታል. አሁን፣ ከሀ ይልቅ፣ በቀመር ውስጥ መተካት አለብህ። ደህና፣ 125y 3 የሚለው አገላለጽ የ5y ኩብ ነው። በመቀጠልም ቀመሩን በመጠቀም ምርቱን ማዘጋጀት እና ስሌቶችን ማከናወን ያስፈልግዎታል.

መጀመሪያ ላይ ወይም በጥርጣሬ ውስጥ ሁል ጊዜ በተገላቢጦሽ ማባዛት ማረጋገጥ ይችላሉ። በውጤቱ አገላለጽ ውስጥ ቅንፎችን መክፈት እና ተመሳሳይ ቃላትን ማከናወን ያስፈልግዎታል። ይህ ዘዴ በተዘረዘሩት ሁሉም የመቀነሻ ዘዴዎች ላይ ተፈፃሚ ይሆናል-ሁለቱም ከጋራ ፋክተር እና ቡድን ጋር ለመስራት እና በኩብስ እና ባለአራት ሃይሎች ቀመሮች ለመስራት።

ቀመርን መፍጠር ሲባዙ ወደ መጀመሪያው እኩልታ የሚያመሩትን ቃላቶች ወይም አባባሎች የማግኘት ሂደት ነው። ፋክተሪንግ መሰረታዊ የአልጀብራ ችግሮችን ለመፍታት ጠቃሚ ክህሎት ነው፣ እና ከኳድራቲክ እኩልታዎች እና ከሌሎች ፖሊኖሚሎች ጋር ሲሰራ በጣም አስፈላጊ ይሆናል። ፋክተሪንግ የአልጀብራ እኩልታዎችን ለማቃለል እነሱን ለመፍታት ቀላል ለማድረግ ይጠቅማል። ፋክተሪንግ የተወሰኑ ሊሆኑ የሚችሉ መልሶችን በእጅዎ በመፍታት ከምትፈልጉት በላይ በፍጥነት እንዲያስወግዱ ይረዳዎታል።

እርምጃዎች

አሃዞች እና መሰረታዊ የአልጀብራ መግለጫዎች

1. መለያ ቁጥሮች።የማመዛዘን ጽንሰ-ሐሳብ ቀላል ነው, ነገር ግን በተግባር ግን, ፋክቲንግ ፈታኝ ሊሆን ይችላል (ውስብስብ እኩልነት ከተሰጠ). ስለዚህ በመጀመሪያ ፣ ቁጥሮችን እንደ ምሳሌ በመጠቀም የፋክተሪንግ ጽንሰ-ሀሳብን እንይ ፣ በቀላል እኩልታዎች እንቀጥል እና ከዚያ ወደ ውስብስብ እኩልታዎች እንሂድ። የአንድ የተወሰነ ቁጥር ምክንያቶች ሲባዙ ዋናውን ቁጥር የሚሰጡ ቁጥሮች ናቸው. ለምሳሌ የቁጥር 12 ምክንያቶች ቁጥሮች ናቸው፡ 1፣ 12፣ 2፣ 6፣ 3፣ 4፣ ከ1*12=12፣ 2*6=12፣ 3*4=12 ጀምሮ።

   • በተመሳሳይም የቁጥርን ምክንያቶች እንደ አካፋዮች ማለትም ቁጥሩ የሚከፋፈሉባቸውን ቁጥሮች ማሰብ ይችላሉ.
   • የቁጥር 60ን ሁሉንም ምክንያቶች ፈልግ ብዙውን ጊዜ ቁጥር 60ን እንጠቀማለን (ለምሳሌ 60 ደቂቃ በአንድ ሰአት ውስጥ 60 ሴኮንድ በደቂቃ ወዘተ) እና ይህ ቁጥር በጣም ብዙ ምክንያቶች አሉት።
     • 60 ማባዣዎች: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 እና 60.

2. አስታውስ፡-ኮፊፊቲቭ (ቁጥር) እና ተለዋዋጭ የያዘው የቃላት ቃላቶች እንዲሁ ሊከፋፈሉ ይችላሉ። ይህንን ለማድረግ ለተለዋዋጭ ተለዋዋጭ ሁኔታዎችን ያግኙ. የእኩልታዎች ውል እንዴት እንደሚመዘን ማወቅ፣ ይህን እኩልታ በቀላሉ ማቃለል ይችላሉ።

   • ለምሳሌ፣ 12x የሚለው ቃል እንደ 12 እና x ውጤት ሊፃፍ ይችላል። እንዲሁም 12x ን እንደ 3(4x)፣ 2(6x) ወዘተ መፃፍ ትችላላችሁ፣ 12 ቱን ለእርስዎ በተሻለ ሁኔታ ወደ ሚረዱዎት ነገሮች በመከፋፈል።
     • በተከታታይ 12x ብዙ ጊዜ ማስተናገድ ይችላሉ። በሌላ አነጋገር በ 3 (4x) ወይም 2 (6x) ላይ ማቆም የለብዎትም; ማስፋፊያውን ይቀጥሉ፡ 3(2(2x)) ወይም 2(3(2x)) (በግልጽ 3(4x=3(2(2x))፣ ወዘተ.)

3. ወደ ፋክተር አልጀብራ እኩልታዎች የማባዛት አከፋፋይ ንብረት ተግብር።ቁጥሮችን እና የቃላት አገላለጾችን (ከተለዋዋጮች ጋር ተካፋዮች) እንዴት እንደሚገለጽ ማወቅ፣ የቁጥር እና የቃላት አገላለጽ የተለመደ ነገርን በማግኘት ቀላል አልጀብራ እኩልታዎችን ማቃለል ይችላሉ። በተለምዶ፣ እኩልታን ለማቃለል፣ ትልቁን የጋራ ፋክተር (ጂሲዲ) ማግኘት አለቦት። ይህ ማቅለል የሚቻለው በማባዛት አከፋፋይ ንብረት ምክንያት ነው፡ ለማንኛውም ቁጥሮች a, b, c, እኩልነት a(b+c) = ab+ac እውነት ነው.

   • ለምሳሌ. የሒሳብ ቀመር 12x + 6። በመጀመሪያ gcd 12x እና 6 ፈልጉ። 6 ሁለቱንም 12x እና 6 የሚከፍለው ትልቁ ቁጥር ነው፣ ስለዚህ ይህን እኩልታ በ 6(2x+1) መግለፅ ትችላለህ።
   • ይህ ሂደት አሉታዊ እና ክፍልፋይ ቃላት ላላቸው እኩልታዎችም እውነት ነው። ለምሳሌ፣ x/2+4 ወደ 1/2(x+8) ሊካተት ይችላል። ለምሳሌ -7x+(-21) በ -7(x+3) ሊካተት ይችላል።

   የኳድራቲክ እኩልታዎችን መፍጠር

   1. እኩልታው በአራት ማዕዘን ቅርጽ (ax 2 + bx + c = 0) መሰጠቱን ያረጋግጡ።ኳድራቲክ እኩልታዎች ቅፅ አላቸው፡ ax 2 + bx + c = 0፣ a, b, c ከ 0 ሌላ የቁጥር ጥምርታ ሲሆኑ። ከአንድ ተለዋዋጭ (x) ጋር እኩልነት ከተሰጣችሁ እና በዚህ ቀመር ውስጥ አንድ ወይም ብዙ ቃላት አሉ ከሁለተኛ-ተለዋዋጭ ጋር ፣ ሁሉንም የእኩልታውን ውሎች ወደ እኩልታው ወደ አንድ ጎን ማንቀሳቀስ እና ከዜሮ ጋር እኩል ማድረግ ይችላሉ።

      • ለምሳሌ፣ በቀመር የተሰጠው፡- 5x 2 + 7x - 9 = 4x 2 + x – 18. ይህ ወደ ቀመር x 2 + 6x + 9 = 0 ሊቀየር ይችላል፣ እሱም ባለአራት እኩልታ ነው።
      • ከተለዋዋጭ x ትልቅ ትዕዛዞች ጋር እኩልታዎች፣ ለምሳሌ፣ x 3፣ x 4፣ ወዘተ ኳድራቲክ እኩልታዎች አይደሉም። እነዚህ ኪዩቢክ እኩልታዎች፣ የአራተኛ ደረጃ እኩልታዎች እና የመሳሰሉት ናቸው (እንደነዚህ ያሉ እኩልታዎች ወደ ኳድራቲክ እኩልታዎች ከተለዋዋጭ x ወደ 2 ሃይል ከፍ ካደረጉ) በስተቀር)።

   2. ኳድራቲክ እኩልታዎች፣ ሀ = 1፣ ወደ (x+d)(x+e)፣ ወደ d*e=c እና d+e=b ይሰፋሉ።ለእርስዎ የተሰጠው ኳድራቲክ እኩልታ፡- x 2 + bx + c = 0 (ይህም የ x 2 ኮፊፊሸንት 1 ነው) ካለው፣ እንደዚህ ያለ እኩልታ (ነገር ግን ዋስትና የሌለው) ከላይ ባሉት ምክንያቶች ሊሰፋ ይችላል። ይህንን ለማድረግ ሁለት ቁጥሮችን ማግኘት ያስፈልግዎታል, ሲባዙ, "c" ይስጡ, እና ሲጨመሩ, "b". አንዴ እነዚህን ሁለት ቁጥሮች (መ እና e) ካገኙ በኋላ በሚከተለው አገላለጽ ይተኩዋቸው፡ (x+d)(x+e) ይህም ቅንፍ ሲከፈት ወደ ዋናው እኩልታ ይመራል።

      • ለምሳሌ፣ ባለአራት እኩልታ x 2 + 5x + 6 = 0. 3*2=6 እና 3+2=5 ስንሰጥ፣ ይህን እኩልታ ወደ (x+3)(x+2) መመደብ ትችላለህ።
      • ለአሉታዊ ቃላቶች የሚከተሉትን ጥቃቅን ለውጦች በማምረት ሂደት ላይ ያድርጉ።
        • የኳድራቲክ እኩልታ x 2 -bx+c ቅጽ ካለው፣ ወደሚከተለው ይሰፋል፡ (x-_)(x-_)።
        • የኳድራቲክ እኩልታ x 2 -bx-c ቅጽ ካለው፣ ወደሚከተለው ይሰፋል፡ (x+_)(x-_)።
      • ማሳሰቢያ፡- ክፍተቶችን በክፍልፋዮች ወይም በአስርዮሽ ሊተካ ይችላል። ለምሳሌ፣ ቀመር x 2 + (21/2) x + 5 = 0 ወደ (x+10) (x+1/2) ተዘርግቷል።

   3. በሙከራ እና በስህተት ማባዛት።ትክክለኛውን መፍትሄ እስክታገኝ ድረስ ቁጥሮችን በቀላሉ ወደ መፍትሄዎች በመተካት ቀላል ባለአራት እኩልታዎች ሊፈጠሩ ይችላሉ። እኩልታው ቅፅ ax 2 +bx+c ካለው፣ ሀ>1፣ ሊሆኑ የሚችሉ መፍትሄዎች በቅጹ (dx +/- _)(ex +/- _) የተፃፉ ሲሆን d እና e ዜሮ ያልሆኑ የቁጥር ውህዶች ናቸው። ሲባዙ ሀ. ወይ d ወይም e (ወይም ሁለቱም አሃዞች) ከ 1 ጋር እኩል ሊሆኑ ይችላሉ. ሁለቱም መጠኖች ከ 1 ጋር እኩል ከሆኑ, ከዚያ ከላይ የተገለጸውን ዘዴ ይጠቀሙ.

      • ለምሳሌ፣ እኩልታ 3x 2 - 8x + 4 ሲሰጥ እዚህ 3 ሁለት ነገሮች ብቻ ስላሉት (3 እና 1) ሊሆኑ የሚችሉ መፍትሄዎች እንደ (3x +/- _) (x +/- _) ተጽፈዋል። በዚህ ሁኔታ, -2 በቦታዎች በመተካት, ትክክለኛውን መልስ ያገኛሉ: -2*3x=-6x እና -2*x=-2x; - 6x+(-2x)=-8x እና -2*-2=4 ማለትም ቅንፎችን ሲከፍቱ እንዲህ አይነት መስፋፋት ወደ ዋናው እኩልነት ውል ይመራል።