አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው ፒራሚድ ምንድን ነው? ባለአራት ጎን ፒራሚድ በችግር C2 ውስጥ

ፍቺ የጎን ጠርዝ- ይህ አንድ ማዕዘን በፒራሚዱ አናት ላይ የሚተኛበት ትሪያንግል ሲሆን ተቃራኒው ጎን ከመሠረቱ (ፖሊጎን) ጎን ጋር ይጣጣማል.

ፍቺ የጎን የጎድን አጥንት- ይህ የተለመዱ ገጽታዎችየጎን ጠርዞች. ፒራሚድ እንደ ፖሊጎን ማዕዘኖች ብዙ ጠርዞች አሉት።

ፍቺ የፒራሚድ ቁመት- ይህ ከላይ ወደ ፒራሚዱ ግርጌ የወረደ ቀጥ ያለ ነው።

ፍቺ አፖቴም- ይህ ከፒራሚዱ የላይኛው ክፍል ወደ ታችኛው ክፍል ዝቅ ብሎ ወደ ፒራሚዱ የጎን ፊት ቀጥ ያለ ነው ።

ፍቺ ሰያፍ ክፍል- ይህ በፒራሚዱ አናት እና የመሠረቱ ዲያግናል በኩል በሚያልፈው አውሮፕላን ውስጥ ያለው የፒራሚድ ክፍል ነው።

ፍቺ ትክክለኛ ፒራሚድመሰረቱ የሚገኝበት ፒራሚድ ነው። መደበኛ ፖሊጎን, እና ቁመቱ ወደ መሠረቱ መሃል ይወርዳል.

የፒራሚዱ መጠን እና ስፋት

ፎርሙላ የፒራሚዱ መጠንበመሠረት ቦታ እና ቁመት;

የፒራሚዱ ባህሪያት

ሁሉም የጎን ጠርዞች እኩል ከሆኑ, በፒራሚዱ መሠረት ላይ አንድ ክበብ መሳል ይቻላል, እና የመሠረቱ መሃል ከክበቡ መሃል ጋር ይጣጣማል. እንዲሁም ከላይ የወረደው ቀጥ ያለ ወርድ በመሠረቱ (ክበብ) መሃል በኩል ያልፋል።

ሁሉም የጎን ጠርዞች እኩል ከሆኑ, በተመሳሳይ ማዕዘኖች ላይ ወደ መሰረቱ አውሮፕላን ዘንበል ይላሉ.

የጎን የጎድን አጥንቶች ከመሠረቱ አውሮፕላን ጋር ሲፈጠሩ እኩል ናቸው እኩል ማዕዘኖችወይም በፒራሚዱ መሠረት ዙሪያ አንድ ክበብ ሊገለጽ የሚችል ከሆነ.

ከሆነ የጎን ፊትበአንድ ማዕዘን ላይ ወደ መሰረቱ አውሮፕላን ያዘነብላሉ, ከዚያም አንድ ክበብ በፒራሚዱ ግርጌ ላይ ሊፃፍ ይችላል, እና የፒራሚዱ አናት በማዕከሉ ላይ ይጣላል.

የጎን ፊቶች በተመሳሳይ ማዕዘን ላይ ወደ መሰረቱ አውሮፕላን ዘንበል ካሉ, የጎን ፊቶች ምሰሶዎች እኩል ናቸው.

የመደበኛ ፒራሚድ ባህሪዎች

1. የፒራሚዱ ጫፍ ከሁሉም የመሠረቱ ማዕዘኖች እኩል ነው.

2. ሁሉም የጎን ጠርዞች እኩል ናቸው.

3. ሁሉም የጎን የጎድን አጥንቶች ከመሠረቱ ወደ እኩል ማዕዘኖች ዘንበል ይላሉ.

4. የሁሉም የጎን ፊቶች ምሰሶዎች እኩል ናቸው.

5. የሁሉም የጎን ፊት ቦታዎች እኩል ናቸው.

6. ሁሉም ፊቶች አንድ አይነት ዳይድራል (ጠፍጣፋ) ማዕዘኖች አሏቸው።

7. በፒራሚዱ ዙሪያ አንድ ሉል ሊገለጽ ይችላል. የተከበበው ሉል መሃል በጠርዙ መሃል ላይ የሚያልፉት የቋሚዎቹ መገናኛ ነጥብ ይሆናል።

8. ሉል ወደ ፒራሚድ መግጠም ይችላሉ። የተቀረጸው የሉል መሃከል በጠርዙ እና በመሠረቱ መካከል ካለው አንግል የሚወጣው የቢስተሮች መገናኛ ነጥብ ይሆናል.

9. የተቀረጸው የሉል መሃከል ከተከበበው ሉል መሃል ጋር የሚጣጣም ከሆነ በቬርቴክ ላይ ያሉት የአውሮፕላኑ ማዕዘኖች ድምር ከ π ወይም በተቃራኒው አንድ ማዕዘን ከ π / n ጋር እኩል ነው, n ቁጥሩ ነው. በፒራሚዱ መሠረት ላይ ያሉ ማዕዘኖች።

በፒራሚድ እና በሉል መካከል ያለው ግንኙነት

በፒራሚድ ዙሪያ አንድ ሉል ሊገለጽ ይችላል በፒራሚዱ መሠረት ላይ ክብ የሚገለጽበት ፖሊሄድሮን ሲኖር (አስፈላጊ እና በቂ ሁኔታ). የሉሉ መሃከል በፒራሚዱ የጎን ጠርዝ መካከለኛ ነጥቦች በኩል በቋሚነት የሚያልፉ አውሮፕላኖች መገናኛ ነጥብ ይሆናል።

በማንኛውም ሶስት ማዕዘን ዙሪያ ወይም መደበኛ ፒራሚድሁልጊዜ ሉል መግለጽ ይችላሉ.

የፒራሚዱ የውስጥ ዲያግራም ማዕዘኖች የቢሴክተር አውሮፕላኖች በአንድ ነጥብ (አስፈላጊ እና በቂ ሁኔታ) ከተገናኙ ሉል በፒራሚድ ውስጥ ሊቀረጽ ይችላል ። ይህ ነጥብ የሉል ማእከል ይሆናል.

የፒራሚድ ግንኙነት ከኮን ጋር

ሾጣጣው በፒራሚድ ውስጥ የተቀረጸው ጫፎቻቸው ከተገጣጠሙ እና የሾጣጣው መሠረት በፒራሚዱ መሠረት ላይ ከተቀረጸ ነው.

የፒራሚዱ ምሰሶዎች እርስ በእርሳቸው እኩል ከሆኑ ሾጣጣ በፒራሚድ ውስጥ ሊቀረጽ ይችላል.

ሾጣጣው በፒራሚድ ዙሪያ የተከበበ ነው የሚባለው ጫፎቻቸው ከተገጣጠሙ እና የሾጣጣው መሰረቱ በፒራሚዱ ግርጌ ከተከበበ ነው።

ሁሉም የፒራሚዱ የጎን ጠርዞች እርስ በእርሳቸው እኩል ከሆኑ አንድ ሾጣጣ በፒራሚድ ዙሪያ ሊገለጽ ይችላል.

በፒራሚድ እና በሲሊንደር መካከል ያለው ግንኙነት

ፒራሚድ በሲሊንደር ውስጥ የተቀረጸ ተብሎ ይጠራል የፒራሚዱ አናት በሲሊንደሩ ውስጥ በአንዱ ላይ ቢተኛ እና የፒራሚዱ መሠረት በሌላ የሲሊንደር መሠረት ላይ ከተቀረጸ።

አንድ ክበብ በፒራሚድ ዙሪያ ሊገለጽ የሚችል ከሆነ ሲሊንደር በፒራሚድ ዙሪያ ሊገለጽ ይችላል.

ፍቺ የተቆረጠ ፒራሚድ (ፒራሚዳል ፕሪዝም)በፒራሚዱ መሠረት እና በሴክሽን አውሮፕላን መካከል ከመሠረቱ ጋር ትይዩ የሆነ ፖሊሄድሮን ነው። ስለዚህ ፒራሚድ ትልቅ መሰረት ያለው እና ከትልቁ ጋር ተመሳሳይ የሆነ ትንሽ መሰረት አለው. የጎን ፊቶች ትራፔዞይድ ናቸው.

ፍቺ ባለሶስት ማዕዘን ፒራሚድ (tetrahedron)ሶስት ፊት እና መሰረቱ የዘፈቀደ ትሪያንግሎች የሆኑበት ፒራሚድ ነው።

ቴትራሄድሮን አራት ፊት እና አራት ጫፎች እና ስድስት ጠርዞች ያሉት ሲሆን የትኛውም ሁለት ጠርዝ የጋራ ጫፎች የሌላቸው ግን የማይነኩበት።

እያንዳንዱ ጫፍ የሚፈጠሩት ሶስት ፊት እና ጠርዞች አሉት የሶስት ማዕዘን ማዕዘን .

የ tetrahedronን ጫፍ ከተቃራኒው ፊት መሃል ጋር የሚያገናኘው ክፍል ይባላል የ tetrahedron መካከለኛ(ጂኤም)

ቢሚዲያንየማይነኩ ተቃራኒ ጠርዞችን መካከለኛ ነጥቦችን የሚያገናኝ ክፍል ይባላል (KL)።

የ tetrahedron ሁሉም ቢሚዲያን እና ሚዲያን በአንድ ነጥብ (ኤስ) ይገናኛሉ። በዚህ ሁኔታ, ቢሚዲያኖች በግማሽ ይከፈላሉ, እና መካከለኛዎቹ ከላይ ጀምሮ በ 3: 1 ጥምርታ ይከፈላሉ.

ፍቺ የተደበቀ ፒራሚድ - አንዱ ጠርዝ የሚፈጠርበት ፒራሚድ ነው። obtuse አንግል(β) ከመሠረት ጋር።

ፍቺ አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው ፒራሚድ አንዱ የጎን ፊት ከሥሩ ጋር ቀጥ ያለ የሆነ ፒራሚድ ነው።

ፍቺ አጣዳፊ አንግል ፒራሚድ- ይህ ፒራሚድ በውስጡ አፖሆም ነው ከግማሽ በላይየመሠረቱ ጎን ርዝመት.

ፍቺ ኦብቱዝ ፒራሚድ- ፒራሚድ አፖሆም ከመሠረቱ ጎን ከግማሽ ርዝመት ያነሰ ነው.

ፍቺ መደበኛ tetrahedron- ከአራቱም ጎኖች ጋር ቴትራሄድሮን - ተመጣጣኝ ትሪያንግል. ከአምስቱ መደበኛ ፖሊጎኖች አንዱ ነው። ውስጥ መደበኛ tetrahedronሁሉም ዳይሄድራል ማዕዘኖች (በፊቶች መካከል) እና ባለሶስትዮድራላዊ ማዕዘኖች (በቬርቴክስ) እኩል ናቸው።

ፍቺ አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው tetrahedronቴትራሄድሮን ተብሎ የሚጠራ ሲሆን በውስጡም በከፍታ ላይ በሶስት ጠርዞች መካከል የቀኝ ማዕዘን (ጠርዞቹ ቀጥ ያሉ ናቸው). ሶስት ፊት ይመሰረታል። አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው የሶስት ማዕዘን ማዕዘንእና ፊቶቹ ትክክለኛ ሶስት ማዕዘን እና መሰረቱ ናቸው የዘፈቀደ ትሪያንግል. የማንኛውም ፊት አፖሆም አፖው ከወደቀበት የመሠረቱ ግማሽ ጎን ጋር እኩል ነው.

ፍቺ Isohedral tetrahedronየጎን ፊቶች እርስ በእርሳቸው እኩል የሆኑ tetrahedron ተብሎ ይጠራል, እና መሰረቱ መደበኛ ትሪያንግል ነው. እንዲህ ዓይነቱ ቴትራሄድሮን ፊቶች አሉት isosceles triangles.

ፍቺ Orthocentric tetrahedronከላይ ወደ ተቃራኒው ፊት የሚወርዱ ሁሉም ቁመቶች (ፐርፔንዲኩላር) በአንድ ቦታ የሚገናኙበት ቴትራሄድሮን ይባላል።

ፍቺ ኮከብ ፒራሚድመሰረቱ ኮከብ የሆነበት ፖሊሄድሮን ይባላል።

ፍቺ ቢፒራሚድ- ሁለት የተለያዩ ፒራሚዶችን ያካተተ ፖሊሄድሮን (ፒራሚዶችም ሊቆረጡ ይችላሉ) የጋራ መሬት, እና ጫፎች አብረው ይተኛሉ የተለያዩ ጎኖችከመሠረቱ አውሮፕላን.

አፖቴም- ቋሚ ፒራሚድ ጎን ፊት ቁመት, ይህም በውስጡ ወርድና ከ መሳል (በተጨማሪ, apothem perpendicular ርዝመት ነው, ይህም በውስጡ ጎን ወደ አንዱ መደበኛ ፖሊጎን መሃል ከ ዝቅ ነው);
የጎን ፊት (ASB፣ BSC፣ CSD፣ DSA) - በአከርካሪው ላይ የሚገናኙ ሶስት ማዕዘኖች;
የጎን የጎድን አጥንቶች ( አስ , ቢ.ኤስ. , ሲ.ኤስ. , ዲ.ኤስ. ) - የጎን ፊት የጋራ ጎኖች;
የፒራሚዱ ጫፍ (ቲ.ኤስ) - የጎን የጎድን አጥንት የሚያገናኝ እና በመሠረቱ አውሮፕላን ውስጥ የማይተኛ ነጥብ;
ቁመት ( ሶ ) - በፒራሚዱ አናት በኩል ወደ መሰረቱ አውሮፕላን (የእንደዚህ ዓይነቱ ክፍል ጫፎች የፒራሚዱ አናት እና የቋሚው መሠረት ይሆናሉ) በፒራሚዱ አናት በኩል የተሳለ ቀጥ ያለ ክፍል።
ሰያፍ ክፍልፒራሚዶች- ከላይ እና ከመሠረቱ ሰያፍ በኩል የሚያልፍ የፒራሚድ ክፍል;
መሠረት (ኤ ቢ ሲ ዲ) - የፒራሚዱ ጫፍ የማይገባ ፖሊጎን.

የፒራሚዱ ባህሪያት.

1. ሁሉም የጎን የጎድን አጥንቶች ሲኖሩ ተመሳሳይ መጠን, ከዚያም:

ከፒራሚዱ ግርጌ አጠገብ ያለውን ክብ መግለጽ ቀላል ነው, እና የፒራሚዱ አናት ወደዚህ ክበብ መሃል ይገለጣል;
የጎን የጎድን አጥንቶች ከመሠረቱ አውሮፕላን ጋር እኩል ማዕዘኖችን ይመሰርታሉ;
ከዚህም በላይ, ተቃራኒው ደግሞ እውነት ነው, ማለትም. የጎን የጎድን አጥንቶች ከመሠረቱ አውሮፕላን ጋር እኩል ማዕዘኖች ሲፈጠሩ ወይም በፒራሚዱ መሠረት ዙሪያ አንድ ክበብ ሊገለጽ በሚችልበት ጊዜ እና የፒራሚዱ የላይኛው ክፍል ወደዚህ ክበብ መሃል ሲገባ ይህ ማለት ሁሉም የጎን ጠርዞች ማለት ነው ። የፒራሚዱ መጠን ተመሳሳይ ነው።

2. የጎን ፊቶች ተመሳሳይ እሴት ካለው አውሮፕላን ጋር የማዘንበል አንግል ሲኖራቸው፡-

ከፒራሚዱ ግርጌ አጠገብ ያለውን ክብ መግለጽ ቀላል ነው, እና የፒራሚዱ አናት ወደዚህ ክበብ መሃል ይገለጣል;
የጎን ፊት ቁመቶች ናቸው እኩል ርዝመት;
የጎን ወለል ስፋት ከመሠረቱ ዙሪያ እና የጎን ፊት ቁመት ½ ምርት ጋር እኩል ነው።

3. በፒራሚድ ግርጌ ላይ አንድ ክበብ የሚገለጽበት ፖሊጎን ካለ (አስፈላጊ እና በቂ ሁኔታ) ከሆነ ሉል በፒራሚድ ዙሪያ ሊገለጽ ይችላል። የሉል መሃከል በእነሱ ላይ በፒራሚድ ጠርዞች መካከል የሚያልፉ የአውሮፕላኖች መገናኛ ነጥብ ይሆናል. ከዚህ ጽንሰ ሃሳብ በመነሳት አንድ ሉል በማንኛውም ሶስት ማዕዘን ዙሪያ እና በማንኛውም መደበኛ ፒራሚድ ዙሪያ ሊገለፅ ይችላል ብለን መደምደም እንችላለን።

4. የፒራሚድ ውስጣዊ የዲያቢሎስ ማዕዘኖች የቢስክ አውሮፕላኖች በ 1 ኛ ነጥብ (አስፈላጊ እና በቂ ሁኔታ) ከተገናኙ አንድ ሉል በፒራሚድ ውስጥ ሊቀረጽ ይችላል. ይህ ነጥብ የሉል ማእከል ይሆናል.

በጣም ቀላሉ ፒራሚድ.

በማእዘኖች ብዛት ላይ በመመስረት, የፒራሚዱ መሠረት በሶስት ማዕዘን, አራት ማዕዘን, ወዘተ የተከፈለ ነው.

ፒራሚድ ይኖራል ሦስት ማዕዘን, አራት ማዕዘን, እና ወዘተ, የፒራሚዱ መሠረት ሶስት ማዕዘን, አራት ማዕዘን እና የመሳሰሉት ሲሆኑ. ባለ ሦስት ማዕዘን ቅርጽ ያለው ፒራሚድ tetrahedron - tetrahedron ነው. አራት ማዕዘን - ባለ አምስት ጎን እና ወዘተ.

ይህ የቪዲዮ ማጠናከሪያ ትምህርት ተጠቃሚዎች ስለ ፒራሚድ ጭብጥ ግንዛቤ እንዲያገኙ ይረዳቸዋል። ትክክለኛ ፒራሚድ። በዚህ ትምህርት ከፒራሚድ ጽንሰ-ሀሳብ ጋር እንተዋወቃለን እና ፍቺውን እንሰጠዋለን. አንድ መደበኛ ፒራሚድ ምን እንደሆነ እና ምን ባህሪያት እንዳሉት እንመልከት. ከዚያም ስለ መደበኛ ፒራሚድ የጎን ገጽ ያለውን ቲዎሪ እናረጋግጣለን.

በዚህ ትምህርት ከፒራሚድ ጽንሰ-ሀሳብ ጋር እንተዋወቃለን እና ፍቺውን እንሰጠዋለን.

ፖሊጎን አስቡበት አ 1 አ 2...ኤንበ α አውሮፕላን ውስጥ የሚተኛው እና ነጥቡ ፒ, በ α አውሮፕላን ውስጥ የማይተኛ (ምስል 1). ነጥቦቹን እናገናኛቸው ፒከቁንጮዎች ጋር A 1፣ A 2፣ A 3, … ኤን. እናገኛለን nትሪያንግሎች፡ አ 1 አ 2 አር, አ 2 አ 3 አርእናም ይቀጥላል.

ፍቺ. ፖሊሄድሮን RA 1 A 2 ...A n፣ የተሰራ n- ካሬ አ 1 አ 2...ኤንእና nትሪያንግሎች RA 1 A 2, RA 2 A 3 …RA n A n-1 ይባላል n- የድንጋይ ከሰል ፒራሚድ. ሩዝ. 1.

ሩዝ. 1

አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው ፒራሚድ ተመልከት PABCD(ምስል 2).

አር- የፒራሚዱ ጫፍ.

ኤ ቢ ሲ ዲ- የፒራሚዱ መሠረት.

ራ- የጎን የጎድን አጥንት.

AB- መሠረት የጎድን አጥንት.

ከነጥብ አርቀጥ ብለን እንጥል አርኤንወደ መሰረታዊ አውሮፕላን ኤ ቢ ሲ ዲ. ቀጥ ያለ ሥዕል የፒራሚዱ ቁመት ነው።

ሩዝ. 2

የፒራሚዱ ሙሉ ገጽታ የጎን ወለል ፣ ማለትም የሁሉም የጎን ፊቶች ስፋት እና የመሠረቱ ስፋት ያካትታል ።

S ሙሉ = S ጎን + S ዋና

ፒራሚድ ትክክለኛ ተብሎ የሚጠራው ከሆነ፡-

የእሱ መሠረት መደበኛ ፖሊጎን ነው;
የፒራሚዱን ጫፍ ከመሠረቱ መሃል ጋር የሚያገናኘው ክፍል ቁመቱ ነው.

የመደበኛ ባለአራት ማዕዘን ፒራሚድ ምሳሌ በመጠቀም ማብራሪያ

መደበኛ ባለአራት ማዕዘን ፒራሚድ አስቡበት PABCD(ምስል 3).

አር- የፒራሚዱ ጫፍ. የፒራሚዱ መሠረት ኤ ቢ ሲ ዲ- መደበኛ አራት ማዕዘን, ማለትም, ካሬ. ነጥብ ስለ, የዲያግራኖች መገናኛ ነጥብ, የካሬው መሃል ነው. ማለት፣ ሮየፒራሚዱ ቁመት ነው።

ሩዝ. 3

ማብራሪያ: በትክክል nበሶስት ማዕዘን ውስጥ, የተቀረጸው ክብ መሃል እና የዙሪያው መሃል ይጣጣማሉ. ይህ ማእከል የ polygon መሃል ይባላል. አንዳንድ ጊዜ አከርካሪው ወደ መሃሉ እንደታሰበ ይናገራሉ.

የመደበኛ ፒራሚድ የጎን ፊት ቁመቱ ከጫፉ የተቀዳው ይባላል አፖቴምእና የተሰየመ ነው ሸ አ.

1. የመደበኛ ፒራሚድ ሁሉም የጎን ጠርዞች እኩል ናቸው;

2. የጎን ፊት እኩል isosceles triangles ናቸው.

የመደበኛ ባለአራት ማዕዘን ፒራሚድ ምሳሌ በመጠቀም የእነዚህን ንብረቶች ማረጋገጫ እንሰጣለን።

የተሰጠው: PABCD- መደበኛ አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው ፒራሚድ;

ኤ ቢ ሲ ዲ- ካሬ,

ሮ- የፒራሚዱ ቁመት.

አረጋግጥ:

1. RA = PB = RS = PD

2.∆ABP = ∆BCP =∆CDP =∆DAP ምስልን ተመልከት። 4.

ሩዝ. 4

ማረጋገጫ.

ሮ- የፒራሚዱ ቁመት. ማለትም ቀጥታ ሮወደ አውሮፕላኑ ቀጥ ብሎ ኢቢሲ, እና ስለዚህ ቀጥታ JSC፣ VO፣ SOእና መ ስ ራ ትበውስጡ ተኝቶ. ስለዚህ ትሪያንግሎች ROA፣ ROV፣ ROS፣ ROD- አራት ማዕዘን.

አንድ ካሬ አስብ ኤ ቢ ሲ ዲ. ከካሬው ባህሪያት ውስጥ ይከተላል AO = VO = CO = መ ስ ራ ት.

ከዚያ የቀኝ ትሪያንግሎች ROA፣ ROV፣ ROS፣ RODእግር ሮ- አጠቃላይ እና እግሮች JSC፣ VO፣ SOእና መ ስ ራ ትእኩል ናቸው, ይህም ማለት እነዚህ ሶስት ማዕዘኖች በሁለት ጎኖች እኩል ናቸው. ከሦስት ማዕዘናት እኩልነት የክፍሎችን እኩልነት ይከተላል ፣ RA = PB = RS = PD.ነጥብ 1 ተረጋግጧል.

ክፍሎች ABእና ፀሐይእኩል ናቸው ምክንያቱም እነሱ የአንድ ካሬ ጎኖች ናቸው ፣ RA = PB = RS. ስለዚህ ትሪያንግሎች AVRእና ቪኤስአር - isosceles እና በሶስት ጎን እኩል.

በተመሳሳይ መንገድ ሶስት ማዕዘኖችን እናገኛለን ኤቢፒ፣ ቪሲፒ፣ ሲዲፒ፣ ዳፕበአንቀፅ 2 ለመረጋገጥ እንደሚያስፈልገው isosceles እና እኩል ናቸው።

የመደበኛ ፒራሚድ የጎን ወለል ስፋት ከመሠረቱ ዙሪያ እና ከፖፖው ግማሽ ምርት ጋር እኩል ነው።

ይህንን ለማረጋገጥ, መደበኛ የሶስት ማዕዘን ፒራሚድ እንመርጣለን.

የተሰጠው: ራቪኤስ- ትክክል ባለሶስት ማዕዘን ፒራሚድ.

AB = BC = AC.

ሮ- ቁመት.

አረጋግጥ: . ምስል ይመልከቱ. 5.

ሩዝ. 5

ማረጋገጫ።

ራቪኤስ- መደበኛ ሶስት ማዕዘን ፒራሚድ. ያውና AB= AC = ዓ.ዓ. ፍቀድ ስለ- የሶስት ማዕዘን መሃል ኢቢሲ, ከዚያም ሮየፒራሚዱ ቁመት ነው። ከፒራሚዱ ስር እኩል የሆነ ትሪያንግል አለ። ኢቢሲ. ያስተውሉ, ያንን .

ትሪያንግሎች RAV፣ RVS፣ RSA- እኩል isosceles triangles (በንብረት). ባለሶስት ማዕዘን ፒራሚድ ሶስት የጎን ፊቶች አሉት፡- RAV፣ RVS፣ RSA. ይህ ማለት የፒራሚዱ የጎን ወለል ስፋት የሚከተለው ነው-

S ጎን = 3S RAW

ጽንሰ-ሐሳቡ ተረጋግጧል.

በመደበኛ አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው ፒራሚድ ግርጌ ላይ የተቀረጸው የክበብ ራዲየስ 3 ሜትር, የፒራሚዱ ቁመት 4 ሜትር ነው. የፒራሚዱን የጎን ገጽ አካባቢ ይፈልጉ.

የተሰጠው: መደበኛ አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው ፒራሚድ ኤ ቢ ሲ ዲ,

ኤ ቢ ሲ ዲ- ካሬ,

አር= 3 ሜትር

ሮ- የፒራሚዱ ቁመት;

ሮ= 4 ሜትር.

አግኝ: ኤስ ጎን ምስል ይመልከቱ. 6.

ሩዝ. 6

መፍትሄ.

በተረጋገጠው ቲዎሪ መሰረት .

በመጀመሪያ የመሠረቱን ጎን እንፈልግ AB. በመደበኛ አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው ፒራሚድ መሠረት ላይ የተቀረጸው የክበብ ራዲየስ 3 ሜትር እንደሆነ እናውቃለን።

ከዚያም ኤም.

የካሬውን ፔሪሜትር ያግኙ ኤ ቢ ሲ ዲከ 6 ሜትር ጎን ጋር;

ሶስት ማዕዘን አስቡበት ቢሲዲ. ፍቀድ ኤም- የጎን መሃል ዲሲ. ምክንያቱም ስለ- መካከለኛ BD፣ ያ (ሜ)

ትሪያንግል ዲፒሲ- isosceles. ኤም- መካከለኛ ዲሲ. ያውና, አርኤም- መካከለኛ, እና ስለዚህ በሶስት ማዕዘን ውስጥ ያለው ቁመት ዲፒሲ. ከዚያም አርኤም- የፒራሚድ አፖም.

ሮ- የፒራሚዱ ቁመት. ከዚያ ቀጥታ ሮወደ አውሮፕላኑ ቀጥ ብሎ ኢቢሲ, እና ስለዚህ ቀጥታ ኦ.ኤም, በውስጡ ተኝቷል. አፖሆሙን እንፈልግ አርኤምከቀኝ ትሪያንግል ሮም.

አሁን ማግኘት እንችላለን የጎን ሽፋንፒራሚዶች

መልስ: 60 ሜ 2.

በመደበኛ የሶስት ማዕዘን ፒራሚድ ግርጌ ዙሪያ የተከበበው የክበብ ራዲየስ ከ m ጋር እኩል ነው።የጎን ስፋት 18 ሜ 2 ነው። የአፖሆልን ርዝመት ይፈልጉ.

የተሰጠው: ABCP- መደበኛ ሶስት ማዕዘን ፒራሚድ;

AB = BC = SA,

አር= ሜትር፣

S ጎን = 18 m2.

አግኝ. ምስል ይመልከቱ. 7.

ሩዝ. 7

መፍትሄ.

በቀኝ ሶስት ማዕዘን ውስጥ ኢቢሲየተከበበው ክበብ ራዲየስ ተሰጥቷል. ጎን እንፈልግ ABየሳይንስ ህግን በመጠቀም ይህ ሶስት ማዕዘን.

ጎን ማወቅ መደበኛ ትሪያንግል(ሜ)፣ ዙሪያውን እንፈልግ።

በመደበኛ ፒራሚድ ላተራል ወለል ላይ ባለው ቲዎሪ ፣ የት ሸ አ- የፒራሚድ አፖም. ከዚያም፡-

መልስ: 4 ሜ.

ስለዚህ፣ ፒራሚድ ምን እንደሆነ፣ መደበኛ ፒራሚድ ምን እንደሆነ ተመልክተናል፣ እና ስለ መደበኛ ፒራሚድ ላተራል ገጽታ ያለውን ንድፈ ሃሳብ አረጋግጠናል። በሚቀጥለው ትምህርት ከተቆረጠው ፒራሚድ ጋር እንተዋወቃለን.

መጽሃፍ ቅዱስ

ጂኦሜትሪ ከ10-11ኛ ክፍል፡ ለተማሪዎች የመማሪያ መጽሐፍ የትምህርት ተቋማት(መሰረታዊ እና የመገለጫ ደረጃዎች) / I. M. Smirnova, V.A. Smirnov. - 5ኛ እትም ፣ ራእ. እና ተጨማሪ - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: የታመመ.
ጂኦሜትሪ 10-11 ክፍል፡ ለአጠቃላይ ትምህርት የመማሪያ መጽሐፍ የትምህርት ተቋማት/ Sharygin I.F. - M.: Bustard, 1999. - 208 p.: የታመመ.
ጂኦሜትሪ 10ኛ ክፍል፡ ለአጠቃላይ ትምህርት ተቋማት የመማሪያ መጽሀፍ በጥልቀት እና ልዩ ጥናትሒሳብ / ኢ. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6 ኛ እትም, stereotype. - M.: Bustard, 008. - 233 p.: የታመመ.

የበይነመረብ ፖርታል "ያክላስ" ()
የበይነመረብ ፖርታል "ፌስቲቫል ትምህርታዊ ሀሳቦች"መስከረም መጀመሪያ" ()
የበይነመረብ ፖርታል "Slideshare.net" ()

የቤት ስራ

መደበኛ ፖሊጎን መደበኛ ያልሆነ ፒራሚድ መሠረት ሊሆን ይችላል?
የመደበኛ ፒራሚድ የተበጣጠሱ ጠርዞች ቀጥ ያሉ መሆናቸውን ያረጋግጡ።
ዋጋውን ያግኙ አቅጣጫዊ ማዕዘንበመደበኛ አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው ፒራሚድ ግርጌ ላይ, የፒራሚዱ ምሰሶው ከመሠረቱ ጎን ጋር እኩል ከሆነ.
ራቪኤስ- መደበኛ ሶስት ማዕዘን ፒራሚድ. ይገንቡ መስመራዊ አንግልበፒራሚዱ መሠረት ላይ የዲይድራል አንግል።

መላምት፡-የፒራሚድ ቅርጽ ፍጹምነት ምክንያት እንደሆነ እናምናለን የሂሳብ ህጎች፣ በቅጹ ውስጥ የተካተተ።

ዒላማ፡ፒራሚዱን በማጥናት እንደ የጂኦሜትሪክ አካል, የቅርጹን ፍጹምነት ለማብራራት.

ተግባራት፡

1. መስጠት የሂሳብ ትርጉምፒራሚድ

2. ፒራሚዱን እንደ ጂኦሜትሪክ አካል አጥኑት።

3. ምን እንደሆነ ተረዱ የሂሳብ እውቀትግብፃውያን በፒራሚዳቸው ውስጥ አኖሩት።

የግል ጥያቄዎች፡-

1. ፒራሚድ እንደ ጂኦሜትሪክ አካል ምንድን ነው?

2. የፒራሚዱ ልዩ ቅርጽ ከሂሳብ እይታ እንዴት ሊገለጽ ይችላል?

3. የፒራሚዱን ጂኦሜትሪክ ድንቅ ነገሮች የሚያብራራው ምንድን ነው?

4. የፒራሚድ ቅርፅን ፍጹምነት የሚያብራራው ምንድን ነው?

የፒራሚድ ፍቺ.

ፒራሚድ (ከግሪክ ፒራሚ, ጄኔራል ፒራሚዶስ) - ፖሊሄድሮን መሰረቱ ፖሊጎን ነው, እና የተቀሩት ፊቶች አንድ የጋራ ጫፍ (ስዕል) ያላቸው ሶስት ማዕዘን ናቸው. ከመሠረቱ ማዕዘኖች ብዛት ላይ በመመስረት ፒራሚዶች እንደ ሦስት ማዕዘን ፣ አራት ማዕዘን ፣ ወዘተ ይመደባሉ ።

ፒራሚድ - ጋር አንድ ግዙፍ ሕንፃ የጂኦሜትሪክ ቅርጽፒራሚዶች (አንዳንዴም በደረጃ ወይም በማማው ቅርጽ). ፒራሚዶች ከክርስቶስ ልደት በፊት በ3ኛው -2ኛው ሺህ ዘመን የጥንት ግብፃውያን ፈርዖኖች ግዙፍ መቃብሮች የተሰጠ ስም ነው። ሠ., እንዲሁም ጥንታዊ የአሜሪካ ቤተ መቅደሶች (በሜክሲኮ, ጓቲማላ, ሆንዱራስ, ፔሩ ውስጥ), ከኮስሞሎጂ የአምልኮ ሥርዓቶች ጋር የተያያዙ.

ሊሆን ይችላል። የግሪክ ቃል"ፒራሚድ" የመጣው per-em-us ከሚለው የግብፅ አገላለጽ ነው፣ ማለትም፣ የፒራሚዱ ቁመት ከሚለው ቃል ነው። በጣም ጥሩው የሩሲያ የግብፅ ተመራማሪ V. Struve የግሪክ "ፑራም ... j" የመጣው ከጥንቷ ግብፅ "p"-mr" እንደሆነ ያምን ነበር.

ከታሪክ. በአታናስያን ደራሲዎች "ጂኦሜትሪ" በሚለው የመማሪያ መጽሀፍ ውስጥ ያለውን ቁሳቁስ በማጥናት. ቡቱዞቭ እና ሌሎችም፣ እኛ ተምረናል፡- ከ n-gon A1A2A3... An and n triangles PA1A2፣ PA2A3፣ ...፣ PanA1 የያዘ ፒራሚድ ይባላል። ፖሊጎን A1A2A3...አን የፒራሚዱ መሠረት ሲሆን ትሪያንግሎች PA1A2፣PA2A3፣...፣ PanA1 የፒራሚዱ የጎን ገጽታዎች ናቸው፣ P የፒራሚዱ አናት፣ ክፍልፋዮች PA1፣ PA2፣...፣ Pan የጎን ጠርዞች ናቸው.

ሆኖም፣ ይህ የፒራሚድ ትርጉም ሁልጊዜ አልነበረም። ለምሳሌ የጥንታዊው ግሪክ የሂሳብ ሊቅ፣ ወደ እኛ ወርደው በሂሳብ ላይ የቲዎሬቲካል ድርሳናት ደራሲ ኤውክሊድ ፒራሚድ ከአንድ አውሮፕላን ወደ አንድ ነጥብ በሚገናኙት አውሮፕላኖች የተገደበ ጠንካራ ምስል እንደሆነ ይገልፃል።

ነገር ግን ይህ ፍቺ በጥንት ጊዜ ተተችቷል. ስለዚህ ሄሮን ሐሳብ አቀረበ የሚከተለው ትርጉምፒራሚድ፡ "ይህ በአንድ ነጥብ ላይ በሚገናኙት ትሪያንግሎች የታሰረ እና መሰረቱ ፖሊጎን ነው።"

ቡድናችን እነዚህን ፍቺዎች በማነፃፀር የ "መሠረት" ጽንሰ-ሐሳብ ግልጽ የሆነ አሠራር እንደሌላቸው ወደ መደምደሚያው ደርሰዋል.

እነዚህን ፍቺዎች መርምረን የአድሪያን ማሪ Legendre ፍቺን አግኝተናል በ1794 "የጂኦሜትሪ ኤለመንትስ" በሚለው ስራው ፒራሚድን በሚከተለው መልኩ ሲተረጉም ነበር፡- "ፒራሚድ በአንድ ነጥብ ላይ ተሰባስበው በሦስት ማዕዘናት የተፈጠረ ጠንካራ ምስል ነው። የተለያዩ ጎኖችጠፍጣፋ መሠረት."

የመጨረሻው ፍቺ ስለ ፒራሚዱ ግልፅ ሀሳብ የሚሰጠን ይመስለናል። እያወራን ያለነውመሰረቱ ጠፍጣፋ መሆኑን. ሌላው የፒራሚድ ፍቺ በ19ኛው መቶ ዘመን በወጣው የመማሪያ መጽሐፍ ላይ “ፒራሚድ በአውሮፕላን የተጠላለፈ ጠንካራ ማዕዘን ነው።

ፒራሚድ እንደ ጂኦሜትሪክ አካል።

ያ። ፒራሚድ ፖሊ ሄድሮን ነው፣ አንደኛው ፊቶቹ (መሰረታቸው) ባለ ብዙ ጎን ነው፣ የተቀሩት ፊቶች (ጎኖች) አንድ የጋራ ወርድ (የፒራሚዱ ጫፍ) ያላቸው ሶስት መአዘኖች ናቸው።

ከፒራሚዱ አናት ላይ ወደ መሰረቱ አውሮፕላን የተዘረጋው ቀጥ ያለ ቅርጽ ይባላል ቁመትሸፒራሚዶች.

የዘፈቀደ ፒራሚድ በተጨማሪ, አሉ ትክክለኛ ፒራሚድበእሱ መሠረት መደበኛ ፖሊጎን እና የተቆረጠ ፒራሚድ.

በሥዕሉ ላይ ፒራሚድ PABCD አለ፣ ABCD መሰረቱ ነው፣ PO ቁመቱ ነው።

አካባቢ ሙሉ ገጽ ፒራሚድ የሁሉም ፊቶቹ አካባቢ ድምር ነው።

Sfull = Sside + Smain፣የት ጎን- የጎን ፊት አካባቢ ድምር።

የፒራሚዱ መጠን በቀመር ይገኛል፡-

V=1/3Sbas ሸ, የት Sbas. - የመሠረት ቦታ; ሸ- ቁመት.

የመደበኛ ፒራሚድ ዘንግ ቁመቱን የያዘ ቀጥተኛ መስመር ነው።
አፖቴም ST የመደበኛ ፒራሚድ የጎን ፊት ቁመት ነው።

የመደበኛ ፒራሚድ የጎን ፊት አካባቢ እንደሚከተለው ተገልጿል-Sside. = 1/2 ፒ ሸ P የመሠረቱ ፔሪሜትር ሲሆን, ሸ- የጎን ፊት ቁመት (የመደበኛ ፒራሚድ አፖተም)። ፒራሚዱ በአውሮፕላኑ A'B'C'D ከተጠላለፈ፣ ከመሠረቱ ጋር ትይዩ፣ ከዚያ፡-

1) የጎን የጎድን አጥንት እና ቁመቱ በዚህ አውሮፕላን በተመጣጣኝ ክፍሎች ይከፈላሉ;

2) በመስቀለኛ ክፍል ውስጥ ከመሠረቱ ጋር ተመሳሳይ የሆነ ፖሊጎን A'B'C'D ተገኝቷል;

https://pandia.ru/text/78/390/images/image017_1.png" width="287" height="151">

የተቆረጠ ፒራሚድ መሰረቶች – ተመሳሳይ ፖሊጎኖች ABCD እና A`B`C`D`፣ የጎን ፊቶች ትራፔዞይድ ናቸው።

ቁመትየተቆረጠ ፒራሚድ - በመሠረቶቹ መካከል ያለው ርቀት.

የተቆረጠ ድምጽፒራሚድ የሚገኘው በቀመር ነው፡-

ቪ=1/3 ሸ(S + https://pandia.ru/text/78/390/images/image019_2.png" align="left" width="91" height="96">የተለመደው የተቆረጠ ፒራሚድ የጎን ወለል ስፋት እንደሚከተለው ተገልጿል፡ Sside = ½(P+P') ሸ፣ P እና P' የመሠረቶቹ አከባቢዎች ባሉበት ፣ ሸ- የጎን ፊት ቁመት (የተለመደው የተቆረጠ ፒራሚ)

የፒራሚድ ክፍሎች።

በአውሮፕላኖቹ ጫፍ ላይ የሚያልፉ የፒራሚድ ክፍሎች ትሪያንግሎች ናቸው።

ከፒራሚድ አጠገብ ባሉ ሁለት የጎን ጠርዞች በኩል የሚያልፍ ክፍል ይባላል ሰያፍ ክፍል.

ክፍሉ ከጎን ጠርዝ እና ከመሠረቱ ጎን ላይ አንድ ነጥብ ካለፈ ፣ ከዚያ ከፒራሚዱ መሠረት አውሮፕላን ጋር ያለው ዱካ በዚህ በኩል ይሆናል።

በፒራሚዱ ፊት ላይ ባለው ነጥብ እና በመሠረት አውሮፕላኑ ላይ የተወሰነ ክፍል የሚያልፍበት ክፍል ፣ ከዚያ ግንባታው በሚከተለው መንገድ መከናወን አለበት ።

· የአንድ የተወሰነ ፊት አውሮፕላኑን መገናኛ ነጥብ እና የፒራሚዱን ክፍል ፈለግ ይፈልጉ እና ይሰይሙት;

የሚያልፍ ቀጥ ያለ መስመር ይገንቡ የተሰጠው ነጥብእና የተገኘው የመገናኛ ነጥብ;

· እነዚህን እርምጃዎች ለቀጣዮቹ ፊቶች ይድገሙ።

, የቀኝ ትሪያንግል 4: 3 እግሮች ጥምርታ ጋር ይዛመዳል. ይህ የእግሮቹ ጥምርታ ከታዋቂው የቀኝ ሶስት ጎን ከጎን 3፡4፡5 ጋር ይዛመዳል፣ እሱም “ፍፁም”፣ “የተቀደሰ” ወይም “ግብፃዊ” ትሪያንግል ይባላል። እንደ ታሪክ ጸሐፊዎች ከሆነ "የግብፅ" ትሪያንግል አስማታዊ ትርጉም ተሰጥቷል. ፕሉታርክ ግብፃውያን የአጽናፈ ዓለሙን ተፈጥሮ ከ "የተቀደሰ" ትሪያንግል ጋር በማነፃፀር ጽፈዋል; በምሳሌያዊ አነጋገር ቀጥ ያለ እግርን ከባል፣ መሰረቱን ከሚስት፣ እና ሃይፖቴነስ ከሁለቱም ከተወለደው ጋር ያመሳስሉታል።

ለሦስት ማዕዘን 3፡4፡5፣ እኩልነቱ እውነት ነው፡ 32 + 42 = 52፣ እሱም የፒታጎሪያን ቲዎረምን ይገልጻል። ይህ እንዲቀጥል የፈለጉት ቲዎሪ አይደለምን? የግብፅ ቄሶችበ3፡4፡5 ትሪያንግል መሰረት ፒራሚድ መገንባት? በፓይታጎረስ ከመገኘቱ ከረጅም ጊዜ በፊት በግብፃውያን ዘንድ ይታወቅ የነበረውን የፓይታጎሪያን ቲዎሬም ለማሳየት የበለጠ የተሳካ ምሳሌ ማግኘት አስቸጋሪ ነው።

ስለዚህ, ድንቅ ፈጣሪዎች የግብፅ ፒራሚዶችየሩቅ ዘሮችን በእውቀታቸው ጥልቀት ለማስደነቅ ፈለጉ እና ይህንንም ለማሳካት የቻሉት "ወርቃማው" ትክክለኛ ሶስት ማዕዘን ለ Cheops ፒራሚድ "ዋናው ጂኦሜትሪክ ሀሳብ" እና "ቅዱስ" ወይም "ግብፃዊ" ትሪያንግል ለካፍሬ ፒራሚድ በመምረጥ ነው. .

ብዙውን ጊዜ በምርምርዎቻቸው ውስጥ ሳይንቲስቶች የፒራሚዶችን ከወርቃማ ሬሾ ጋር ይጠቀማሉ።

በሂሳብ ኢንሳይክሎፔዲክ መዝገበ ቃላትየሚከተለው ወርቃማው ክፍል ፍቺ ተሰጥቷል - ይህ የሐርሞኒክ ክፍፍል ነው ፣ በጽንፍ እና በአማካኝ ሬሾ ውስጥ መከፋፈል - AB ክፍሉን በሁለት ክፍሎች በመከፋፈል ትልቁ ክፍል AC በጠቅላላው ክፍል AB እና በሱ መካከል ያለው አማካይ ተመጣጣኝ ነው። ትንሹ ክፍል NE.

የአንድ ክፍል ወርቃማ ክፍል አልጀብራ መወሰን AB = አእኩልታውን ለመፍታት ይቀንሳል፡ x = x: (a – x)፣ ከእሱ x በግምት ከ 0.62a ጋር እኩል ነው። ጥምርታ x እንደ ክፍልፋዮች 2/3፣ 3/5፣ 5/8፣ 8/13፣ 13/21...= 0.618፣ 2፣ 3፣ 5፣ 8፣ 13፣ 21 ፊቦናቺ ቁጥሮች ናቸው።

የጂኦሜትሪክ ግንባታ ወርቃማው ክፍል AB እንደሚከተለው ይከናወናል-በላይ ነጥብ B, ከ AB ጋር አንድ perpendicular ተመልሷል, ክፍል BE = 1/2 AB በላዩ ላይ ተዘርግቷል, A እና E ይገናኛሉ, DE = BE ተጥሏል እና በመጨረሻም, AC = AD, ከዚያም እኩልነት AB ረክቷል: CB = 2: 3.

ወርቃማ ጥምርታብዙውን ጊዜ በሥነ ጥበብ ሥራዎች ፣ በሥነ-ሕንፃ እና በተፈጥሮ ውስጥ ጥቅም ላይ ይውላል። ግልጽ ምሳሌዎችየአፖሎ ቤልቬዴሬ፣ የፓርተኖን ሐውልት ናቸው። የፓርተኖን ግንባታ በሚካሄድበት ጊዜ የህንፃው ቁመት እና ርዝመቱ ጥምርታ ጥቅም ላይ የዋለ ሲሆን ይህ ሬሾ 0.618 ነው. በዙሪያችን ያሉ ነገሮችም ወርቃማው ሬሾን ምሳሌዎችን ያቀርባሉ ለምሳሌ የብዙ መጽሃፍቶች ትስስር ከወርድ እስከ ርዝመት ያለው ጥምርታ ወደ 0.618 ይጠጋል። በተለመደው የእጽዋት ግንድ ላይ የቅጠሎቹን አቀማመጥ ግምት ውስጥ በማስገባት በእያንዳንዱ ሁለት ጥንድ ቅጠሎች መካከል ሦስተኛው በወርቃማ ሬሾ (ስላይድ) ላይ እንደሚገኝ ማስተዋል ይችላሉ. እያንዳንዳችን ወርቃማ ሬሾን ከእኛ ጋር "በእጃችን" እንይዛለን - ይህ የጣቶቹ አንጓዎች ጥምርታ ነው።

ለብዙ የሂሳብ ፓፒሪዎች ግኝት ምስጋና ይግባውና የግብፅ ተመራማሪዎች ስለ ጥንታዊ ግብፃውያን ስሌት እና የመለኪያ ስርዓቶች አንድ ነገር ተምረዋል። በውስጣቸው የተካተቱት ተግባራት በፀሐፊዎች ተፈትተዋል. በጣም ዝነኛ ከሆኑት አንዱ የራይንድ የሂሳብ ፓፒረስ ነው። እነዚህን ችግሮች በማጥናት የግብፃውያን ተመራማሪዎች የጥንት ግብፃውያን እንዴት እንደሚሠሩ ተምረዋል። በተለያየ መጠን, ብዙውን ጊዜ ክፍልፋዮችን የሚጠቀሙበት የክብደት ፣ ርዝመት እና መጠን መለኪያዎችን በማስላት እና እንዴት ከማዕዘኖች ጋር እንደተገናኙ።

የጥንት ግብፃውያን የቀኝ ትሪያንግል ግርጌ ከቁመቱ ሬሾ ላይ ተመስርተው ማዕዘኖችን የማስላት ዘዴ ይጠቀሙ ነበር። በግራዲየንት ቋንቋ ማንኛውንም አንግል ገለጹ። ተዳፋት ቅልመት እንደ አጠቃላይ ቁጥር ሬሾ "ሴድ" ተብሎ ተገልጿል. ሪቻርድ ፒሊንስ በማቲማቲክስ ኢን ዘ ኤጅ ኦፍ ዘ ፈርዖን ላይ እንዲህ ሲል ገልጿል:- “የመደበኛ ፒራሚድ የሚፈልገው ከአራቱም ባለ ሦስት ማዕዘን ቅርጽ ፊቶች ወደ መሠረቱ አውሮፕላን ያለው ዝንባሌ ነው፣ ይህም በእያንዳንዱ ከፍታ ላይ በሚገኙት አግድም አሃዶች n ኛ ቁጥር ነው የሚለካው። . ስለዚህ ይህ የመለኪያ አሃድ ከዘመናዊው የማዕዘን ማዕዘናት ጋር እኩል ነው። ስለዚህ የግብፅ ቃል "ሴድ" ከእኛ ጋር ይዛመዳል ዘመናዊ ቃል"ግራዲየንት"።

የፒራሚዶች የቁጥር ቁልፉ ቁመታቸው ከመሠረቱ ጋር ባለው ጥምርታ ላይ ነው። ውስጥ በተግባራዊ ሁኔታ- ይህ የሚያስፈልጉትን አብነቶች ለመሥራት ቀላሉ መንገድ ይህ ነው የማያቋርጥ መፈተሽየፒራሚዱ ግንባታ በሙሉ ትክክለኛው የማዕዘን አቅጣጫ።

የግብፅ ተመራማሪዎች እያንዳንዱ ፈርዖን ግለሰባዊነቱን ለመግለጽ ይናፍቃል፣ ስለዚህም በእያንዳንዱ ፒራሚድ ላይ ያለው የዘንበል ማዕዘናት ልዩነት እንዳለው ሊያሳምኑን ደስ ይላቸዋል። ግን ሌላ ምክንያት ሊኖር ይችላል. ምናልባት ሁሉም በተለያየ መጠን ተደብቀው የተለያዩ ተምሳሌታዊ ማህበራትን ለማካተት ይፈልጉ ይሆናል. ሆኖም የካፍሬ ፒራሚድ አንግል (በሶስት ማዕዘኑ ላይ የተመሰረተ (3፡4፡5) ፒራሚዶች በ Rhind Mathematical Papyrus ውስጥ በቀረቡት ሶስት ችግሮች ውስጥ ይታያል)። ስለዚህ ይህ አመለካከት በጥንቶቹ ግብፃውያን ዘንድ የታወቀ ነበር።

የጥንቶቹ ግብፃውያን 3፡4፡5 ትሪያንግል አላወቁም ለሚሉ የግብፅ ተመራማሪዎች ፍትሃዊ ለመሆን፣ የ hypotenuse 5 ርዝመት በጭራሽ አልተጠቀሰም። ግን የሂሳብ ችግሮችፒራሚዶችን የሚመለከቱ ጥያቄዎች ሁል ጊዜ የሚወሰኑት በሁለተኛው አንግል መሠረት ነው - የከፍታው እና የመሠረቱ ጥምርታ። የ hypotenuse ርዝመት በጭራሽ ስላልተጠቀሰ ግብፃውያን የሶስተኛውን ጎን ርዝመት በጭራሽ አላሰሉም የሚል ድምዳሜ ላይ ደርሷል።

በጊዛ ፒራሚዶች ውስጥ ጥቅም ላይ የዋለው የከፍታ-ወደ-መሠረት ሬሾዎች በጥንቶቹ ግብፃውያን ዘንድ እንደሚታወቁ ጥርጥር የለውም። ለእያንዳንዱ ፒራሚድ እነዚህ ግንኙነቶች በዘፈቀደ የተመረጡ ሊሆኑ ይችላሉ። ሆኖም፣ ይህ በሁሉም የግብፅ ዓይነቶች ከቁጥር ተምሳሌትነት ጋር ያለውን ጠቀሜታ ይቃረናል። የምስል ጥበባት. እንዲህ ያሉ ግንኙነቶች ጉልህ የሆኑ ሃይማኖታዊ አስተሳሰቦችን በመግለጻቸው ሊሆን ይችላል። በሌላ አነጋገር፣ መላው የጊዛ ስብስብ አንድን መለኮታዊ ጭብጥ ለማንፀባረቅ በተዘጋጀ ወጥነት ላለው ንድፍ ተገዥ ነበር። ይህ ንድፍ አውጪዎች ለምን እንደመረጡ ያብራራል የተለያዩ ማዕዘኖችየሶስቱ ፒራሚዶች ዝንባሌ.

በኦሪዮን ምሥጢር ባውቫል እና ጊልበርት የጊዛ ፒራሚዶችን ከኦሪዮን ህብረ ከዋክብት በተለይም የኦሪዮን ቤልት ኮከቦችን የሚያገናኙ አሳማኝ ማስረጃዎችን አቅርበዋል።ያው ህብረ ከዋክብት በኢሲስ እና ኦሳይረስ አፈ ታሪክ ውስጥ ይገኛሉ፣ እና እያንዳንዱን ፒራሚድ እንደ አንድ ሰው የምንመለከትበት ምክንያት አለ። ከሦስቱ ዋና ዋና አማልክቶች አንዱ - ኦሳይረስ ፣ ኢሲስ እና ሆረስ።

"ጂኦሜትሪክ" ተአምራት።

መካከል ታላላቅ ፒራሚዶችግብጽ ልዩ ቦታይወስዳል የፈርዖን Cheops (ኩፉ) ታላቁ ፒራሚድ. የቼፕስ ፒራሚድ ቅርፅን እና መጠንን ለመተንተን ከመጀመራችን በፊት ግብፃውያን ምን ዓይነት መለኪያዎችን እንደተጠቀሙ ማስታወስ አለብን። ግብፃውያን ሦስት አሃዶች ርዝማኔ ነበራቸው: አንድ "ክንድ" (466 ሚሜ), እሱም ከሰባት "ዘንባባ" (66.5 ሚሜ) ጋር እኩል ነው, እሱም በተራው, ከአራት "ጣቶች" (16.6 ሚሜ) ጋር እኩል ነው.

በዩክሬን ሳይንቲስት ኒኮላይ ቫስዩቲንስኪ አስደናቂ መጽሐፍ ውስጥ የተሰጡትን ክርክሮች በመከተል የ Cheops ፒራሚድ ልኬቶችን እንመርምር (ምስል 2) ወርቃማ ጥምርታ(1990)

አብዛኞቹ ተመራማሪዎች ፒራሚዱ መሠረት ጎን ርዝመት, ለምሳሌ, ይስማማሉ. ጂኤፍእኩል ይሆናል ኤል= 233.16 ሜትር ይህ ዋጋ በትክክል ከ 500 "ክርን" ጋር ይዛመዳል. የ "ክርን" ርዝመት ከ 0.4663 ሜትር ጋር እኩል ከሆነ ከ 500 "ክርን" ጋር ሙሉ በሙሉ መሟላት ይከሰታል.

የፒራሚዱ ቁመት ( ኤች) በተመራማሪዎች ከ 146.6 እስከ 148.2 ሜትር በተለያየ መንገድ ይገመታል እና ተቀባይነት ባለው የፒራሚድ ቁመት ላይ በመመስረት ሁሉም ሬሾዎች ይቀየራሉ. የጂኦሜትሪክ አካላት. የፒራሚዱ ቁመት ግምቶች ልዩነት ምክንያቱ ምንድን ነው? እውነታው ግን በጥብቅ አነጋገር የቼፕስ ፒራሚድ ተቆርጧል። የላይኛው መድረክ ዛሬ በግምት 10 '10 ሜትር ይመዝናል ነገር ግን ከመቶ አመት በፊት 6'6 ሜትር ነበር ። በግልጽ የፒራሚዱ አናት ፈርሷል እና ከመጀመሪያው ጋር አይዛመድም።

የፒራሚዱን ቁመት ሲገመግሙ, ይህንን ግምት ውስጥ ማስገባት ያስፈልጋል አካላዊ ሁኔታ, እንደ መዋቅሩ "ረቂቅ". ከኋላ ከረጅም ግዜ በፊትበከፍተኛ ግፊት (ከታችኛው ወለል በ 1 m2 500 ቶን ይደርሳል) የፒራሚዱ ቁመት ከመጀመሪያው ቁመት ጋር ሲነፃፀር ቀንሷል።

የፒራሚዱ የመጀመሪያ ቁመት ስንት ነበር? ይህ ቁመት የፒራሚዱን መሰረታዊ "ጂኦሜትሪክ ሀሳብ" በማግኘት እንደገና ሊፈጠር ይችላል.

ምስል 2.

እ.ኤ.አ. በ 1837 እንግሊዛዊው ኮሎኔል ጂ.ቪዝ የፒራሚዱን ፊት የማዘንበል አንግል ለካ፡ እኩል ሆነ። ሀ= 51°51" ይህ ዋጋ ዛሬም በብዙ ተመራማሪዎች ዘንድ ይታወቃል። የተወሰነ እሴትአንግል ከታንጀንት ጋር ይዛመዳል (tg ሀ), ከ 1.27306 ጋር እኩል ነው. ይህ ዋጋ ከፒራሚዱ ቁመት ሬሾ ጋር ይዛመዳል ኤሲእስከ ግማሽ መሠረት ሲ.ቢ.(ምስል 2), ማለትም አ.ሲ. / ሲ.ቢ. = ኤች / (ኤል / 2) = 2ኤች / ኤል.

እና እዚህ ተመራማሪዎቹ በጣም አስገራሚ ነበር!.png" width="25" height="24">= 1.272. ይህን እሴት ከ tg እሴት ጋር በማወዳደር ሀ= 1.27306, እነዚህ እሴቶች እርስ በርስ በጣም ቅርብ መሆናቸውን እናያለን. ማዕዘኑን ከወሰድን ሀ= 51°50”፣ ማለትም፣ በአንድ ቅስት ደቂቃ ብቻ ይቀንሱ፣ ከዚያ እሴቱ ሀከ 1.272 ጋር እኩል ይሆናል, ማለትም, ከዋጋው ጋር ይጣጣማል. እ.ኤ.አ. በ 1840 G. ጠቢብ የእሱን መለኪያዎች ደጋግሞ እንደገለፀው እና የማዕዘን ዋጋ እንደሚያብራራ ልብ ሊባል ይገባል። ሀ= 51°50"

እነዚህ መለኪያዎች ተመራማሪዎቹን ወደሚከተለው መርተዋል አስደሳች መላምት: የቼፕስ ፒራሚድ ትሪያንግል ኤሲቢ በኤሲ ግንኙነት ላይ የተመሰረተ ነው። / ሲ.ቢ. = = 1,272!

አሁን ትክክለኛውን ሶስት ማዕዘን አስቡበት ኢቢሲ, በየትኛው የእግሮቹ ጥምርታ አ.ሲ. / ሲ.ቢ.= (ምስል 2). አሁን ከሆነ የአራት ማዕዘን ጎኖች ርዝመቶች ኢቢሲበ ይሰይሙ x, y, ዝ, እና እንዲሁም ሬሾውን ግምት ውስጥ ያስገቡ y/x=, ከዚያም በፓይታጎሪያን ቲዎሬም መሰረት, ርዝመቱ ዝቀመርን በመጠቀም ማስላት ይቻላል-

ከተቀበልን x = 1, y= https://pandia.ru/text/78/390/images/image027_1.png" width="143" height="27">

ምስል 3."ወርቃማ" ቀኝ ትሪያንግል.

ጎኖቹ እንደ የሚዛመዱበት የቀኝ ሶስት ማዕዘን ቲ:ወርቃማ" የቀኝ ትሪያንግል።

በመቀጠል፣ የቼፕስ ፒራሚድ ዋናው “ጂኦሜትሪክ ሃሳብ” “ወርቃማ” የቀኝ ትሪያንግል ነው የሚለውን መላምት እንደ መነሻ ከወሰድን ከዚህ በመነሳት የቼፕስ ፒራሚድ “ንድፍ” ቁመትን በቀላሉ ማስላት እንችላለን። እኩል ነው፡-

ሸ = (L/2) '= 148.28 ሜትር.

አሁን ከ "ወርቃማው" መላምት የተከተለውን ለቼፕስ ፒራሚድ አንዳንድ ሌሎች ግንኙነቶችን እናውጣ። በተለይም የፒራሚዱ ውጫዊ ክፍል ከመሠረቱ አካባቢ ጋር ያለውን ጥምርታ እናገኛለን. ይህንን ለማድረግ የእግሩን ርዝመት እንወስዳለን ሲ.ቢ.በአንድ ክፍል፣ ማለትም፡- ሲ.ቢ.= 1. ግን ከዚያ የፒራሚዱ መሠረት የጎን ርዝመት ጂኤፍ= 2, እና የመሠረቱ አካባቢ EFGHእኩል ይሆናል SEFGH = 4.

አሁን የቼፕስ ፒራሚድ የጎን ፊት አካባቢን እናሰላ ኤስዲ. ምክንያቱም ቁመት ABትሪያንግል ኤኢኤፍእኩል ይሆናል ቲ, ከዚያም የጎን ፊት አካባቢ እኩል ይሆናል ኤስዲ = ቲ. ከዚያ የፒራሚዱ አራቱም የፊት ገጽታዎች አጠቃላይ ስፋት 4 እኩል ይሆናል። ቲእና የፒራሚዱ አጠቃላይ ውጫዊ ስፋት ከመሠረቱ አካባቢ ጋር ያለው ሬሾ ከወርቃማው ሬሾ ጋር እኩል ይሆናል! ያ ነው - የቼፕስ ፒራሚድ ዋና ጂኦሜትሪክ ምስጢር!

ወደ ቡድን" ጂኦሜትሪክ ድንቆች"የቼፕስ ፒራሚድ በፒራሚድ ውስጥ በተለያዩ ልኬቶች መካከል ባሉ ግንኙነቶች እውነተኛ እና ምናባዊ ባህሪያት ሊወሰድ ይችላል።

እንደ አንድ ደንብ የተወሰኑ "ቋሚዎችን" በመፈለግ የተገኙ ናቸው, በተለይም "ፒ" (የሉዶልፎ ቁጥር) ቁጥር, ከ 3.14159 ጋር እኩል ነው ...; ምክንያቶች ተፈጥሯዊ ሎጋሪዝም"e" (የኔፐር ቁጥር), ከ 2.71828 ጋር እኩል ነው ...; ቁጥር "ኤፍ", "ወርቃማው ክፍል" ቁጥር, ለምሳሌ, 0.618 ... ወዘተ ጋር እኩል ነው.

ለምሳሌ፡- 1) የሄሮዶተስ ንብረት፡ (ቁመት) 2 = 0.5 art. መሰየም ትችላለህ። መሰረታዊ x Apothem; 2) የ V. ዋጋ: ቁመት: 0.5 art. መሠረት = የ "F" ካሬ ሥር; 3) የኤም ኢስት ንብረት፡ የመሠረቱ ፔሪሜትር፡ 2 ቁመት = "Pi"; በተለየ ትርጓሜ - 2 tbsp. መሰረታዊ ቁመት = "Pi"; 4) የG. Edge ንብረት፡ የተቀረጸው ክበብ ራዲየስ፡ 0.5 art. መሰረታዊ = "ኤፍ"; 5) የ K. Kleppisch ንብረት: (አርት. ዋና) 2: 2 (አርት. ዋና. x Apothema) = (አርት. ዋና. W. Apothema) = 2 (አርት. ዋና. x Apothem): (2 art. መሠረት X Apothem) + (ሥነ ጥበብ መሠረት)2). ወዘተ. በተለይም ሁለት ተያያዥ ፒራሚዶችን ካገናኙ ብዙ እንደዚህ ያሉ ንብረቶችን ይዘው መምጣት ይችላሉ. ለምሳሌ እንደ “A. Arefyev Properties” በቼፕስ ፒራሚድ እና በካፍሬ ፒራሚድ ውስጥ ያለው ልዩነት ከማይክሪን ፒራሚድ እጥፍ ጋር እኩል መሆኑን መጥቀስ ይቻላል።

ብዙ አስደሳች አቅርቦቶችበተለይም የፒራሚዶች ግንባታ በ"ወርቃማው ጥምርታ" በመፅሃፍቱ ውስጥ በዲ ሃምቢጅ "Dynamic symmetry in architecture" እና ኤም.ጂክ "በተፈጥሮ እና ስነ-ጥበብ ተመጣጣኝ ውበት" በመፅሃፍ ውስጥ ተገልጿል. "ወርቃማው ጥምርታ" በእንደዚህ አይነት ሬሾ ውስጥ የአንድ ክፍል ክፍፍል መሆኑን እናስታውስ ክፍል A ከክፍል B ብዙ እጥፍ ይበልጣል, A ከጠቅላላው ክፍል A + B ስንት ጊዜ ያነሰ ነው. ጥምር A / B. ከ "F" ቁጥር ጋር እኩል ነው == 1.618 .. "ወርቃማው ጥምርታ" ጥቅም ላይ የዋለው በግለሰብ ፒራሚዶች ውስጥ ብቻ ሳይሆን በጂዛ ውስጥ በሚገኙ የፒራሚዶች ስብስብ ውስጥም ጭምር ነው.

በጣም የሚያስደንቀው ነገር ግን አንድ እና ተመሳሳይ የቼፕስ ፒራሚድ በቀላሉ "አይችልም" በጣም ብዙ አስደናቂ ንብረቶችን መያዙ ነው። አንድ የተወሰነ ንብረት አንድ በአንድ በመውሰድ "የተገጠመ" ሊሆን ይችላል, ነገር ግን ሁሉም በአንድ ጊዜ አይጣጣሙም - አይገጣጠሙም, እርስ በእርሳቸው ይቃረናሉ. ስለዚህ ፣ ለምሳሌ ፣ ሁሉንም ንብረቶች ስንፈትሽ ፣ መጀመሪያ ላይ የፒራሚዱን መሠረት (233 ሜትር) ተመሳሳይ ጎን እንይዛለን ፣ ከዚያ የተለያዩ ንብረቶች ያላቸው የፒራሚዶች ቁመት እንዲሁ የተለየ ይሆናል። በሌላ አነጋገር፣ በውጫዊ መልኩ ከቼፕስ ጋር ተመሳሳይ የሆኑ፣ ነገር ግን የሚዛመዱ የተወሰኑ የፒራሚዶች “ቤተሰብ” አለ የተለያዩ ንብረቶች. በ "ጂኦሜትሪክ" ባህሪያት ውስጥ ምንም ልዩ ተአምራዊ ነገር እንደሌለ ልብ ይበሉ - ብዙ የሚነሳው በራሱ ከሥዕሉ ባህሪያት ነው. "ተአምር" ለጥንታዊ ግብፃውያን ግልጽ ያልሆነ ነገር ብቻ መታሰብ አለበት. ይህ በተለይ “ኮስሚክ” ተአምራትን ያጠቃልላል በዚህ ውስጥ የቼፕስ ፒራሚድ ወይም የፒራሚድ ውስብስብ ልኬቶች ከአንዳንድ የስነ ከዋክብት መለኪያዎች ጋር ሲነፃፀሩ እና “እንዲያውም” ቁጥሮች ይጠቁማሉ-አንድ ሚሊዮን እጥፍ ያነሰ ፣ ቢሊዮን እጥፍ ያነሰ እና ወዘተ. አንዳንድ "የጠፈር" ግንኙነቶችን እንመልከት።

ከመግለጫዎቹ አንዱ፡- “የፒራሚዱን መሠረት ጎን ከከፈሉት ትክክለኛ ርዝመትዓመት, እኛ በትክክል 10-ሚሊዮን ክፍል ማግኘት የምድር ዘንግ". አስሉ: 233 በ 365 ይካፈሉ, 0.638 እናገኛለን. የምድር ራዲየስ 6378 ኪ.ሜ.

ሌላው አባባል ከቀዳሚው ተቃራኒ ነው። ኤፍ. ኖትሊንግ እሱ ራሱ የፈለሰፈውን “የግብፅ ክንድ” ከተጠቀሙበት የፒራሚዱ ጎን “በጣም ትክክለኛ ከሆነው የቆይታ ጊዜ ጋር ይዛመዳል” ብሏል። የፀሐይ ዓመት, በቀን በጣም ቅርብ ወደሆነው ቢሊዮንኛ ተገልጿል" - 365.540.903.777.

የፒ.ስሚዝ መግለጫ፡- "የፒራሚዱ ቁመት ከምድር እስከ ፀሀይ ያለው ርቀት በትክክል አንድ ቢሊዮንኛ ነው።" ምንም እንኳን ቁመቱ ብዙውን ጊዜ የሚወሰደው 146.6 ሜትር ቢሆንም ስሚዝ 148.2 ሜትር አድርጎ ወሰደው በዘመናዊ ራዳር መለኪያዎች መሠረት ከፊልማጁር ዘንግ የምድር ምህዋርነው 149,597,870 + 1,6 ኪሜ. ይህ ከምድር እስከ ፀሐይ ያለው አማካኝ ርቀት ነው, ነገር ግን በፔርሄልዮን ከ 5,000,000 ኪሎሜትር ያነሰ ነው.

አንድ የመጨረሻ አስደሳች መግለጫ፡-

"የቼፕስ፣ ካፍሬ እና ማይከሪኑስ ፒራሚዶች ብዛት ልክ እንደ ምድር፣ ቬኑስ፣ ማርስ ፕላኔቶች ብዛት እርስ በርስ እንደሚዛመድ እንዴት ልናብራራ እንችላለን?" እንቆጥረው። የሶስቱ ፒራሚዶች ብዛት: Khafre - 0.835; Cheops - 1,000; Mikerin - 0.0915. የሶስቱ ፕላኔቶች ብዛት ሬሾዎች: ቬነስ - 0.815; ምድር - 1,000; ማርስ - 0.108.

ስለዚህ, ምንም እንኳን ጥርጣሬዎች ቢኖሩም, የመግለጫዎችን ግንባታ በጣም የታወቀው ስምምነትን እናስተውላለን: 1) የፒራሚዱ ቁመት, ልክ እንደ "ጠፈር" መስመር, ከምድር እስከ ፀሐይ ካለው ርቀት ጋር ይዛመዳል; 2) የፒራሚዱ ግርጌ ጎን ፣ “ወደ መሬቱ” ቅርብ ፣ ማለትም ፣ ወደ ምድር ፣ ለምድር ራዲየስ እና ተጠያቂ ነው ። ምድራዊ ዝውውር; 3) የፒራሚዱ ጥራዞች (ማንበብ - ጅምላ) ከምድር ጋር በጣም ቅርብ ከሆኑት የፕላኔቶች ብዛት ጋር ይዛመዳል። በካርል ቮን ፍሪሽ በተተነተነው የንብ ቋንቋ ውስጥ ተመሳሳይ የሆነ “cipher” ሊገኝ ይችላል። ሆኖም በዚህ ጉዳይ ላይ ለጊዜው አስተያየት ከመስጠት እንቆጠባለን።

ፒራሚድ ቅርጽ

የፒራሚዶች ዝነኛ ቴትራሄድራል ቅርፅ ወዲያውኑ አልተነሳም. እስኩቴሶች መቃብርን በሸክላ ኮረብታ - ጉብታዎች መልክ ሠርተዋል. ግብፃውያን የድንጋይ "ኮረብታ" - ፒራሚዶችን ሠሩ. ይህ ለመጀመሪያ ጊዜ የተከሰተው የላይኛው እና የታችኛው ግብፅ ውህደት በኋላ በ 28 ኛው ክፍለ ዘመን ዓክልበ, ከመስራቹ በፊት ነበር. III ሥርወ መንግሥትፈርዖን ጆዘር (ዞዘር) የሀገሪቱን አንድነት የማጠናከር ኃላፊነት ተሰጥቶት ነበር።

እና እዚህ ፣ የታሪክ ምሁራን እንደሚሉት ፣ ጠቃሚ ሚናበማጠናከር ላይ ማዕከላዊ መንግስትተጫውቷል" አዲስ ጽንሰ-ሐሳብየንጉሥ "መገለጥ" ምንም እንኳን የንጉሣዊው የቀብር ሥነ ሥርዓት በላቀ ግርማ ቢለይም በመርህ ደረጃ ከቤተ መንግሥት መኳንንት መቃብር አይለይም, ተመሳሳይ መዋቅሮች ነበሩ - ማስታባስ. ትናንሽ ድንጋዮች ኮረብታ ፈሰሰ ፣ ከዚያም ከትላልቅ የድንጋይ ብሎኮች የተሠራ አንድ ትንሽ ሕንፃ - “ማስታባ” (በአረብኛ - “ቤንች”) ተቀምጦ ነበር ። ከእርሱ በፊት የነበረው ሰናኽት የማስታባ ቦታ ላይ ፈርዖን ጆዘር የመጀመሪያውን አቆመ። ፒራሚድ፡ ደረጃው ላይ ወድቆ ከአንዱ የሕንፃ ቅርጽ ወደ ሌላ፣ ከማስታባ እስከ ፒራሚድ ድረስ የሚታይ የሽግግር ደረጃ ነበር።

በዚህ መንገድ ጠቢቡ እና አርክቴክት ኢምሆቴፕ በኋላ ላይ እንደ ጠንቋይ ተደርገው በግሪኮች በአስክሊፒየስ አምላክ ተለይተው ይታወቃሉ, ፈርዖንን "አሳደገው". በተከታታይ ስድስት ማስታባዎች የተተከሉ ያህል ነበር። ከዚህም በላይ የመጀመሪያው ፒራሚድ 1125 x 115 ሜትር ስፋት ያለው ሲሆን ቁመቱ 66 ሜትር (እንደ ግብፅ ደረጃዎች - 1000 "ዘንባባዎች") ይገመታል. መጀመሪያ ላይ አርክቴክቱ ማስታባ ለመገንባት አቅዶ ነበር፣ ግን ሞላላ ሳይሆን በእቅድ ውስጥ ካሬ። በኋላ ተዘርግቷል, ነገር ግን ቅጥያው ዝቅተኛ ስለተደረገ, ሁለት ደረጃዎች ያሉ ይመስላል.

ይህ ሁኔታ አርክቴክቱን አላረካውም እና በግዙፉ ጠፍጣፋ ማስታባ የላይኛው መድረክ ላይ ኢምሆቴፕ ሶስት ተጨማሪ አስቀመጠ ፣ ቀስ በቀስ ወደ ላይ እየቀነሰ። መቃብሩ የሚገኘው በፒራሚዱ ስር ነበር።

ብዙ ተጨማሪ ይታወቃሉ ደረጃ ፒራሚዶችግን በኋላ ግንበኛ ወደ እኛ ይበልጥ የምናውቃቸውን ቴትራሄድራል ፒራሚዶችን መገንባት ጀመሩ። ለምንድነው ግን ባለሶስት ማዕዘን ያልሆነው ወይም ስምንት ማዕዘን አይደለም? ቀጥተኛ ያልሆነ መልስ የሚሰጠው ሁሉም ፒራሚዶች ከሞላ ጎደል በአራቱ ካርዲናል አቅጣጫዎች ላይ ያተኮሩ በመሆናቸው አራት ጎኖች ስላሏቸው ነው። በተጨማሪም, ፒራሚዱ "ቤት" ነበር, ባለ አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው የመቃብር ክፍል.

ግን የፊቶች ዝንባሌ አንግል ምን ተወሰነ? “የመመጣጠን መርህ” በተባለው መጽሐፍ ውስጥ አንድ ሙሉ ምዕራፍ ለዚህ ተወስኗል፡- “የፒራሚዶችን ዝንባሌ ምን ሊወስን ይችል ነበር?” በተለይም “ታላላቅ ፒራሚዶች የሚስቡበት ምስል” እንደሆነ ተጠቁሟል ጥንታዊ መንግሥት- በቋሚው ላይ የቀኝ ማዕዘን ያለው ሶስት ማዕዘን.

በጠፈር ውስጥ ከፊል-ኦክታሄድሮን ነው፡ የመሠረቱ ጠርዞችና ጎኖቻቸው እኩል የሆነበት ፒራሚድ፣ ጫፎቹ ተመጣጣኝ ትሪያንግል ናቸው።” በዚህ ጉዳይ ላይ የተወሰኑ አስተያየቶች በሃምቢጅ፣ ጊክ እና ሌሎች መጽሃፎች ውስጥ ተሰጥተዋል።

ከፊል-octahedron አንግል ያለው ጥቅም ምንድን ነው? በአርኪኦሎጂስቶች እና የታሪክ ተመራማሪዎች ገለጻ መሠረት አንዳንድ ፒራሚዶች በራሳቸው ክብደት ወድቀዋል። የሚያስፈልገው "የመቆየት አንግል" ነበር, አንግል በጣም በሃይል አስተማማኝ ነበር. በንፁህ ኢምፔሪያል ፣ ይህ አንግል ከጫፍ አንግል በተሰበሰበ ደረቅ አሸዋ ክምር ውስጥ ሊወሰድ ይችላል። ግን ትክክለኛ መረጃ ለማግኘት ሞዴል መጠቀም ያስፈልግዎታል። አራት የተስተካከሉ ኳሶችን በመውሰድ አምስተኛውን በላያቸው ላይ ማስቀመጥ እና የማዕዘን ማዕዘኖችን መለካት ያስፈልግዎታል. ሆኖም ግን, እዚህ ስህተት ሊሰሩ ይችላሉ, ስለዚህ የንድፈ ሃሳባዊ ስሌት ይረዳል: የኳሶችን ማዕከሎች በመስመሮች (በአእምሯዊ) ማገናኘት አለብዎት. መሰረቱ ራዲየስ ሁለት እጥፍ ጋር እኩል የሆነ ጎን ያለው ካሬ ይሆናል. ካሬው የፒራሚዱ መሠረት ብቻ ይሆናል, የጠርዙ ርዝመትም ራዲየስ ሁለት እጥፍ ይሆናል.

ስለዚህ እንደ 1: 4 ያሉ ኳሶችን መዝጋት መደበኛውን ከፊል-ኦክታሄድሮን ይሰጠናል.

ሆኖም ፣ ለምን ብዙ ፒራሚዶች ፣ ወደ አቅጣጫ እየጎተቱ ይሄዳሉ ተመሳሳይ ቅጽይሁን እንጂ አታድኑትም? ፒራሚዶቹ ምናልባት ያረጁ ናቸው. ከታዋቂው አባባል በተቃራኒ፡-

"በዓለም ላይ ያለው ነገር ሁሉ ጊዜን ይፈራል, እና ጊዜ ደግሞ ፒራሚዶችን ይፈራል," የፒራሚዶች ህንጻዎች ማደግ አለባቸው, ውጫዊ የአየር ሁኔታ ሂደቶች ብቻ ሳይሆን በውስጣቸውም ሊከሰቱ የሚችሉ እና የውስጣዊ "መቀነስ" ሂደቶች ናቸው. ፒራሚዶች ዝቅተኛ ሊሆኑ ይችላሉ. ማሽቆልቆሉም ይቻላል ምክንያቱም በዲ ዴቪድቪትስ ሥራ እንደተገለፀው የጥንት ግብፃውያን ከኖራ ቺፕስ የተሠሩ ብሎኮችን በሌላ አነጋገር ከ "ኮንክሪት" የመሥራት ቴክኖሎጂን ይጠቀሙ ነበር. ከካይሮ በስተደቡብ 50 ኪሎ ሜትር ርቀት ላይ የሚገኘው የሜዲም ፒራሚድ ውድመት ምክንያቱን ሊያብራራ የሚችል ተመሳሳይ ሂደቶች ናቸው። ዕድሜው 4600 ዓመት ነው, የመሠረቱ ልኬቶች 146 x 146 ሜትር, ቁመቱ 118 ሜትር ነው. "ለምንድን ነው ይህን ያህል የተበላሸው?" ሲል V. Zamarovsky ይጠይቃል። "የጊዜን አጥፊ ውጤቶች እና "ለሌሎች ህንጻዎች የድንጋይ አጠቃቀም" የተለመዱ ማጣቀሻዎች እዚህ ተስማሚ አይደሉም።

ለነገሩ፣ አብዛኞቹ ብሎኮች እና ትይዩ ጠፍጣፋዎች እስከ ዛሬ ድረስ በእግሩ ላይ ፈርሰዋል።” እንደምንመለከተው፣ በርካታ ድንጋጌዎች ታዋቂው የቼፕስ ፒራሚድ እንዲሁ “ተጨማደደ” ብለን እንድናስብ ያደርጉናል። በማንኛውም ሁኔታ ፣ በሁሉም ጥንታዊ ምስሎች ፒራሚዶች ተጠቁመዋል…

የፒራሚዶቹ ቅርፅ በመምሰል ሊፈጠር ይችል ነበር፡ አንዳንድ የተፈጥሮ ናሙናዎች፣ “ተአምራዊ ፍጽምና” ይላሉ፣ አንዳንድ በኦክታድሮን መልክ ያሉ ክሪስታሎች።

ተመሳሳይ ክሪስታሎች አልማዝ እና የወርቅ ክሪስታሎች ሊሆኑ ይችላሉ. ባህሪ ብዙ ቁጥር ያለውእንደ ፈርዖን፣ ፀሐይ፣ ወርቅ፣ አልማዝ ያሉ ጽንሰ-ሐሳቦች "ተደራራቢ" ምልክቶች. በሁሉም ቦታ - ክቡር, ብሩህ (ብሩህ), ታላቅ, እንከን የለሽ, ወዘተ. መመሳሰሎች በአጋጣሚ አይደሉም።

የፀሐይ አምልኮ, እንደሚታወቀው, ነበር አስፈላጊ ክፍልሃይማኖት ጥንታዊ ግብፅ. ከፒራሚዶች መካከል አንዱ “የፒራሚዶችን ታላቅ ስም እንዴት ብንተረጎምም” ይላል። ዘመናዊ እርዳታዎች- “የኩፉ ጠፈር” ወይም “የኩፉ ጠፈር” ማለት ንጉሱ ፀሐይ ነው ማለት ነው። ኩፉ በኃይሉ ብሩህነት ራሱን ሁለተኛ ፀሐይ አድርጎ ቢያስብ ልጁ ጀዴፍ-ራ ሆነ። ከግብፃውያን ነገሥታት መካከል የመጀመሪያው ራሱን "የራ ልጅ" ማለትም የፀሃይ ልጅ ብሎ በመጥራት የሁሉም ህዝቦች ፀሀይ በ"ሶላር ብረት" በወርቅ ተመስሏል:: - ግብፆች የኛ ብለው ይጠሩታል። የቀን ብርሃን. ግብፃውያን ወርቅን በትክክል ያውቁ ነበር ፣ የወርቅ ክሪስታሎች በኦክታድሮን መልክ ሊታዩ የሚችሉበትን የአፍ መፍቻ ቅርጾችን ያውቁ ነበር።

እዚህ "ናሙና ቅጾች" እንዴት አስደሳች እንደሆነ እና " የፀሐይ ድንጋይ"- አልማዝ. የአልማዝ ስም የመጣው በትክክል ነው አረብ ሀገር, "አልማስ" - በጣም ከባድ, በጣም ጠንካራ, የማይበላሽ. የጥንት ግብፃውያን አልማዝ እና ባህሪያቱን ጠንቅቀው ያውቁ ነበር። አንዳንድ ደራሲዎች እንደሚሉት፣ ለመቆፈርም የነሐስ ቱቦዎችን የአልማዝ መቁረጫዎችን ይጠቀሙ ነበር።

በአሁኑ ጊዜ ዋናው የአልማዝ አቅራቢ ነው። ደቡብ አፍሪቃነገር ግን ምዕራብ አፍሪካ በአልማዝ የበለፀገ ነው። የማሊ ሪፐብሊክ ግዛት "አልማዝ መሬት" ተብሎም ይጠራል. ይህ በእንዲህ እንዳለ ፣ ዶጎን የሚኖሩት በማሊ ግዛት ነው ፣የፓሊዮ-ጉብኝት መላምት ደጋፊዎች ብዙ ተስፋዎችን ያቆራኛሉ (ከዚህ በታች ይመልከቱ)። አልማዝ የጥንት ግብፃውያን ከዚህ ክልል ጋር እንዲገናኙ ምክንያት ሊሆን አይችልም ነበር. ይሁን እንጂ በአንድም ሆነ በሌላ መንገድ የጥንቶቹ ግብፃውያን ፈርዖንን ያመለከቷቸው ኦክታዴሮን የአልማዝ እና የወርቅ ክሪስታሎች በመኮረጅ ሊሆን ይችላል፣ “የማይፈርስ” እንደ አልማዝ እና እንደ ወርቅ “የሚያብረቀርቅ” የፀሐይ ልጆች ንፅፅር ናቸው። በጣም ብቻ ድንቅ ፈጠራዎችተፈጥሮ.

ማጠቃለያ፡-

ፒራሚዱን እንደ ጂኦሜትሪክ አካል ካጠናን፣ ከንጥረቶቹ እና ንብረቶቹ ጋር መተዋወቅ፣ ስለ ፒራሚዱ ቅርፅ ውበት ያለው አስተያየት ትክክለኛነት እርግጠኛ ነበርን።

ባደረግነው ጥናት ግብፃውያን እጅግ በጣም ጠቃሚውን የሂሳብ እውቀት በማሰባሰብ ፒራሚድ ውስጥ እንዳካተቱት ድምዳሜ ላይ ደርሰናል። ስለዚህ, ፒራሚዱ በእውነቱ እጅግ በጣም ጥሩ የተፈጥሮ እና የሰው ፍጥረት ነው.

መጽሐፍ ቅዱስ

"ጂኦሜትሪ: የመማሪያ መጽሐፍ. ለ 7-9 ክፍሎች. አጠቃላይ ትምህርት ተቋማት \ ወዘተ - 9 ኛ እትም - ኤም.: ትምህርት, 1999

በትምህርት ቤት ውስጥ የሂሳብ ታሪክ, M: "Prosveshchenie", 1982.

ጂኦሜትሪ 10-11 ክፍሎች፣ M፡ “መገለጥ”፣ 2000

ፒተር ቶምፕኪንስ "ምስጢሮች" ታላቅ ፒራሚድ Cheops፣ M: "Tsentropoligraf", 2005.

የበይነመረብ ሀብቶች

http://veka-i-mig. *****

http://tambov. *****/vjpusk/vjp025/rabot/33/index2.htm

http://www. *****/መጨመር/54373.html

የማስተባበር ዘዴን በመጠቀም ችግር C2ን ሲፈቱ፣ ብዙ ተማሪዎች ተመሳሳይ ችግር ያጋጥማቸዋል። ማስላት አይችሉም የነጥቦች መጋጠሚያዎችበቀመር ውስጥ ተካትቷል ነጥብ ምርት. ትልቁ ችግሮች ይነሳሉ ፒራሚዶች. እና የመሠረት ነጥቦቹ ብዙ ወይም ያነሰ መደበኛ እንደሆኑ ከተቆጠሩ, ቁንጮዎቹ እውነተኛ ገሃነም ናቸው.

ዛሬ በመደበኛ አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው ፒራሚድ ላይ እንሰራለን. እንዲሁም የሶስት ማዕዘን ቅርጽ ያለው ፒራሚድ አለ (በተጨማሪም - tetrahedron). የበለጠ ነው። ውስብስብ ንድፍ, ስለዚህ የተለየ ትምህርት በእሱ ላይ ይተላለፋል.

በመጀመሪያ ትርጉሙን እናስታውስ፡-

መደበኛ ፒራሚድ የሚከተለው ነው-

መሰረቱ መደበኛ ፖሊጎን ነው: ትሪያንግል, ካሬ, ወዘተ.

ወደ መሠረቱ የተሳለ ከፍታ በማዕከሉ ውስጥ ያልፋል።

በተለይም አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው ፒራሚድ መሠረት ነው ካሬ. ልክ እንደ ቼፕስ፣ ትንሽ ትንሽ ብቻ።

ከታች ያሉት ሁሉም ጠርዞች ከ 1 ጋር እኩል የሆነ ፒራሚድ ስሌቶች ናቸው. ይህ በችግርዎ ውስጥ ካልሆነ, ስሌቶቹ አይለወጡም - ቁጥሮቹ ብቻ የተለዩ ይሆናሉ.

አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው ፒራሚድ ጫፎች

ስለዚህ፣ መደበኛ አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው ይሁን ፒራሚድ SABCDኤስ ወርድ ባለበት፣ ABCD መሰረቱ ካሬ ነው። ሁሉም ጠርዞች ከ 1 ጋር እኩል ናቸው. ወደ ማስተባበሪያ ስርዓት ማስገባት እና የሁሉንም ነጥቦች መጋጠሚያዎች ማግኘት ያስፈልግዎታል. እና አለነ:

ከመነሻ ነጥብ A ጋር የማስተባበር ስርዓት እናስተዋውቃለን።

የኦክስ ዘንግ ከዳር AB ጋር ትይዩ ነው;
የ OY ዘንግ ከ AD ጋር ትይዩ ነው። ABCD ካሬ ስለሆነ፣ AB ⊥ AD;
በመጨረሻ፣ የ OZ ዘንግ ወደ ላይ፣ ወደ ABCD አውሮፕላን ቀጥ ብለን እናመራዋለን።

አሁን መጋጠሚያዎቹን እናሰላለን. ተጨማሪ ግንባታ: SH - ቁመት ወደ መሠረቱ ተስሏል. ለመመቻቸት, የፒራሚዱን መሠረት በተለየ ስዕል ውስጥ እናስቀምጠዋለን. ነጥቦች A፣ B፣ C እና D በኦክሲአይ አውሮፕላን ውስጥ ስለሚገኙ አስተባባሪነታቸው z = 0 ነው። እኛ አለን።

A = (0; 0; 0) - ከመነሻው ጋር ይጣጣማል;
B = (1; 0; 0) - ከመነሻው በኦክስ ዘንግ በኩል በደረጃ 1;
C = (1; 1; 0) - ደረጃ በ 1 በኦክስ ዘንግ እና በ 1 በኦይ ዘንግ;
D = (0; 1; 0) - ደረጃ በ OY ዘንግ ላይ ብቻ።
H = (0.5; 0.5; 0) - የካሬው መሃል, የ AC ክፍል መካከለኛ.

የነጥብ S መጋጠሚያዎችን ለማግኘት ይቀራል። የነጥብ S እና H የ x እና y መጋጠሚያዎች አንድ አይነት መሆናቸውን ልብ ይበሉ፣ እነሱ ቀጥታ መስመር ላይ ስለሚተኛ፣ ትይዩ ዘንግ OZ ለነጥብ S የ z መጋጠሚያን ለማግኘት ይቀራል።

ትሪያንግል ASH እና ABHን ተመልከት፡

AS = AB = 1 በሁኔታ;
አንግል AHS = AHB = 90°፣ SH ቁመቱ ስለሆነ እና AH ⊥ HB እንደ የካሬው ዲያግኖች;
ጎን AH የተለመደ ነው.

ስለዚህም እ.ኤ.አ. የቀኝ ትሪያንግሎች ASH እና ABH እኩል ነው።እያንዳንዳቸው አንድ እግር እና አንድ hypotenuse. ይህ ማለት SH = BH = 0.5 BD. ግን BD የአንድ ካሬ ሰያፍ ነው ከጎን 1. ስለዚህ እኛ አለን:

የነጥብ S ጠቅላላ መጋጠሚያዎች፡-

በማጠቃለያው የመደበኛ አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው ፒራሚድ የሁሉም ጫፎች መጋጠሚያዎችን እንጽፋለን-

የጎድን አጥንቶች የተለያዩ ሲሆኑ ምን ማድረግ እንዳለባቸው

የፒራሚዱ የጎን ጠርዞች ከመሠረቱ ጠርዞች ጋር እኩል ካልሆኑስ? በዚህ አጋጣሚ፣ ትሪያንግል AHSን አስቡበት፡-

ትሪያንግል AHS - አራት ማዕዘንእና hypotenuse AS እንዲሁ የዋናው ፒራሚድ SABCD የጎን ጠርዝ ነው። እግር AH በቀላሉ ይሰላል: AH = 0.5 AC. የቀረውን እግር SH እናገኘዋለን በፓይታጎሪያን ቲዎሪ መሠረት. ይህ ለነጥብ S የ z መጋጠሚያ ይሆናል።

ተግባር መደበኛ ባለአራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው ፒራሚድ ኤስኤቢሲዲ ተሰጥቷል፣ በእሱ መሠረት አንድ ካሬ ከጎን 1 ጋር ይተኛል። የጎን የጎድን አጥንት BS = 3. የነጥብ S መጋጠሚያዎችን ያግኙ.

የዚህን ነጥብ x እና y መጋጠሚያዎች አስቀድመን አውቀናል: x = y = 0.5. ይህ ከሁለት እውነታዎች የሚከተል ነው።

የነጥብ S በ OXY አውሮፕላን ላይ ያለው ትንበያ ነጥብ H;
በተመሳሳይ ጊዜ, ነጥብ H የአንድ ካሬ ABCD ማእከል ነው, ሁሉም ጎኖች ከ 1 ጋር እኩል ናቸው.

የነጥብ S አስተባባሪ ለማግኘት ይቀራል። ትሪያንግል AHSን አስቡበት። እሱ አራት ማዕዘን ነው ፣ ከ hypotenuse AS = BS = 3 ፣ እግር AH ሰያፍ ግማሽ ነው። ለተጨማሪ ስሌቶች ርዝመቱን እንፈልጋለን-

የፒታጎሪያን ቲዎረም ለሦስት ማዕዘን AHS፡ AH 2 + SH 2 = AS 2. እና አለነ:

ስለዚህ የነጥብ S መጋጠሚያዎች፡-