Khi chuẩn bị cho kỳ thi Thống nhất môn Toán, học sinh phải hệ thống hóa kiến thức đại số, hình học. Tôi muốn kết hợp tất cả các thông tin đã biết, chẳng hạn như cách tính diện tích của kim tự tháp. Hơn nữa, bắt đầu từ chân đế và các cạnh bên cho đến toàn bộ diện tích bề mặt. Nếu tình huống với các mặt bên rõ ràng vì chúng là hình tam giác, thì đáy luôn khác nhau.
Làm thế nào để tìm diện tích đáy của kim tự tháp?
Nó có thể hoàn toàn là bất kỳ con số nào: từ tam giác tùy ý tới n-gon. Và đế này, ngoài sự khác biệt về số góc, có thể là hình đều hoặc hình không đều. Trong các nhiệm vụ của Kỳ thi Thống nhất mà học sinh quan tâm chỉ có những nhiệm vụ có số liệu đúng ở gốc. Vì vậy, chúng tôi sẽ chỉ nói về họ.
Tam giác đều
Tức là bằng nhau. Cái mà tất cả các cạnh đều bằng nhau và được ký hiệu bằng chữ cái “a”. Trong trường hợp này, diện tích đáy của kim tự tháp được tính theo công thức:
S = (a 2 * √3) / 4.
Quảng trường
Công thức tính diện tích của nó là đơn giản nhất, ở đây “a” lại là cạnh:
Tùy ý n-giác đều đặn
Cạnh của đa giác có cùng ký hiệu. Về số góc được sử dụng chữ la tinh N.
S = (n * a 2) / (4 * tg (180°/n)).
Làm gì khi tính diện tích xung quanh và tổng diện tích?
Bởi vì ở đáy nằm hình đúng, thì tất cả các mặt của kim tự tháp đều bằng nhau. Hơn nữa, mỗi chúng đều là một tam giác cân, vì xương sườn bênđều bình đẳng. Sau đó để tính toán khu vực bên kim tự tháp, bạn sẽ cần một công thức bao gồm tổng các đơn thức giống nhau. Số số hạng được xác định bởi số cạnh của đáy.
Quảng trường tam giác cânđược tính bằng công thức trong đó một nửa tích của đáy nhân với chiều cao. Chiều cao này trong kim tự tháp được gọi là apothem. Tên gọi của nó là “A”. Công thức tổng quátđối với diện tích bề mặt bên nó trông như thế này:
S = ½ P*A, trong đó P là chu vi đáy của hình chóp.
Có những trường hợp không biết cạnh của đáy nhưng cho trước cạnh (c) và góc phẳng ở đỉnh của nó (α). Sau đó, bạn cần sử dụng công thức sau để tính diện tích bên của kim tự tháp:
S = n/2 * trong 2 sin α .
Nhiệm vụ số 1
Tình trạng. Tìm thấy tổng diện tích hình chóp, nếu đáy của nó có cạnh 4 cm và trung điểm có giá trị √3 cm.
Giải pháp. Bạn cần bắt đầu bằng cách tính chu vi của đế. Bởi vì điều này tam giác đều, thì P = 3*4 = 12 cm Vì đã biết trung điểm nên chúng ta có thể tính ngay diện tích của toàn bộ bề mặt bên: ½*12*√3 = 6√3 cm 2.
Đối với hình tam giác ở đáy, bạn nhận được giá trị diện tích sau: (4 2 *√3) / 4 = 4√3 cm 2.
Để xác định toàn bộ diện tích, bạn sẽ cần cộng hai giá trị kết quả: 6√3 + 4√3 = 10√3 cm 2.
Trả lời. 10√3cm2.
Vấn đề số 2
Tình trạng. Có một kim tự tháp tứ giác đều. Chiều dài cạnh đáy là 7 mm, cạnh bên là 16 mm. Nó là cần thiết để tìm ra diện tích bề mặt của nó.
Giải pháp. Vì khối đa diện là tứ giác và đều nên đáy của nó là hình vuông. Khi bạn biết diện tích của đáy và các mặt bên, bạn sẽ có thể tính diện tích của kim tự tháp. Công thức cho hình vuông được đưa ra ở trên. Và đối với các mặt bên, tất cả các cạnh của tam giác đều đã biết. Vì vậy, bạn có thể sử dụng công thức Heron để tính diện tích của chúng.
Những phép tính đầu tiên rất đơn giản và dẫn đến con số sau: 49 mm 2. Đối với giá trị thứ hai, bạn sẽ cần tính bán chu vi: (7 + 16*2): 2 = 19,5 mm. Bây giờ bạn có thể tính diện tích của một tam giác cân: √(19,5*(19,5-7)*(19,5-16) 2) = √2985,9375 = 54,644 mm 2. Chỉ có bốn hình tam giác như vậy nên khi tính số cuối cùng bạn sẽ cần nhân nó với 4.
Hóa ra: 49 + 4 * 54,644 = 267,576 mm 2.
Trả lời. Giá trị mong muốn là 267,576 mm 2.
Nhiệm vụ số 3
Tình trạng. Cái đúng kim tự tháp tứ giác bạn cần tính diện tích. Biết cạnh của hình vuông là 6 cm và chiều cao là 4 cm.
Giải pháp. Cách dễ nhất là sử dụng công thức với tích của chu vi và trung đoạn. Giá trị đầu tiên rất dễ tìm. Cái thứ hai phức tạp hơn một chút.
Chúng ta sẽ phải nhớ định lý Pythagore và coi Nó được hình thành bởi chiều cao của hình chóp và đường trung đoạn, tức là cạnh huyền. Trận lượt về bằng một nửa cạnh của hình vuông, vì chiều cao của khối đa diện rơi vào điểm giữa của nó.
Điểm trung điểm được tìm kiếm (cạnh huyền tam giác vuông) bằng √(3 2 + 4 2) = 5 (cm).
Bây giờ bạn có thể tính giá trị cần thiết: ½*(4*6)*5+6 2 = 96 (cm 2).
Trả lời. 96cm2.
Vấn đề số 4
Tình trạng. Dana bên phảiĐế của nó là 22 mm, các gân bên là 61 mm. Diện tích bề mặt bên của khối đa diện này là bao nhiêu?
Giải pháp. Lý do trong đó giống như lý do được mô tả ở bài tập số 2. Chỉ có một kim tự tháp có hình vuông ở đáy và bây giờ nó là hình lục giác.
Trước hết, diện tích đáy được tính theo công thức trên: (6*22 2) / (4*tg (180°/6)) = 726/(tg30°) = 726√3 cm 2.
Bây giờ bạn cần tìm nửa chu vi của một tam giác cân, đó là mặt bên. (22+61*2):2 = 72 cm. Tất cả những gì còn lại là sử dụng công thức Heron để tính diện tích của mỗi hình tam giác như vậy, sau đó nhân nó với 6 và cộng nó với công thức thu được cho đáy.
Các phép tính sử dụng công thức Heron: √(72*(72-22)*(72-61) 2)=√435600=660 cm 2. Các phép tính sẽ cho diện tích bề mặt bên: 660 * 6 = 3960 cm 2. Vẫn phải cộng chúng lại để tìm ra toàn bộ bề mặt: 5217,47≈5217 cm 2.
Trả lời.Đáy có diện tích 726√3 cm 2, mặt bên là 3960 cm 2, diện tích toàn bộ là 5217 cm 2.
Hình trụ là một hình gồm có một bề mặt hình trụ và hai đường tròn nằm song song. Tính diện tích hình trụ là một bài toán thuộc nhánh hình học của toán học, có thể giải khá đơn giản. Có một số phương pháp để giải quyết nó, cuối cùng luôn đi đến một công thức.
Cách tìm diện tích hình trụ - quy tắc tính toán
- Để tính diện tích hình trụ, bạn cần cộng hai diện tích đáy với diện tích mặt bên: S = Sside + 2Sbase. Trong phiên bản chi tiết hơn, công thức này trông như sau: S= 2 π rh+ 2 π r2= 2 π r(h+ r).
- Diện tích bề mặt bên của một hình học nhất định có thể được tính nếu biết chiều cao và bán kính của hình tròn nằm ở đáy của nó. TRONG trong trường hợp này người ta có thể biểu diễn bán kính từ chu vi của một hình tròn, nếu cho trước. Có thể tìm thấy chiều cao nếu giá trị của trình tạo được chỉ định trong điều kiện. Trong trường hợp này, đường sinh sẽ bằng chiều cao. Công thức bề mặt bên cơ thể nhất định trông như thế này: S= 2 π rh.
- Diện tích đáy được tính bằng công thức tính diện tích hình tròn: S osn= π r 2 . Trong một số bài toán, bán kính có thể không cho trước nhưng có thể cho chu vi. Với công thức này, bán kính được thể hiện khá dễ dàng. С=2π r, r= С/2π. Bạn cũng phải nhớ rằng bán kính bằng một nửa đường kính.
- Khi thực hiện tất cả các phép tính này, số π thường không chuyển thành 3,14159... Nó chỉ cần được thêm vào bên cạnh giá trị số, thu được từ kết quả tính toán.
- Tiếp theo, bạn chỉ cần nhân diện tích tìm được của đáy với 2 và cộng với số kết quả diện tích tính được của bề mặt bên của hình.
- Nếu sự cố chỉ ra rằng xi lanh chứa phần trục và đây là một hình chữ nhật thì cách giải sẽ hơi khác một chút. Trong trường hợp này, chiều rộng của hình chữ nhật sẽ là đường kính của hình tròn nằm ở đáy thân. Chiều dài của hình sẽ bằng đường sinh hoặc chiều cao của hình trụ. Cần tính toán giá trị bắt buộc và thay thế vào rồi công thức nổi tiếng. Trong trường hợp này, chiều rộng của hình chữ nhật phải chia cho hai để tìm diện tích đáy. Để tìm bề mặt bên, chiều dài được nhân với hai bán kính và số π.
- Bạn có thể tính diện tích của một khối hình học nhất định thông qua thể tích của nó. Để làm điều này, bạn cần rút ra giá trị còn thiếu từ công thức V=π r 2 h.
- Không có gì phức tạp trong việc tính diện tích hình trụ. Bạn chỉ cần biết các công thức và có thể rút ra từ chúng những đại lượng cần thiết để thực hiện các phép tính.
kim tự tháp- một trong những dạng đa diện được hình thành từ các đa giác và hình tam giác nằm ở đáy và là các mặt của nó.
Hơn nữa, ở đỉnh kim tự tháp (tức là tại một điểm) tất cả các mặt đều hợp nhất.
Để tính diện tích của kim tự tháp, cần xác định rằng bề mặt bên gồm nhiều hình tam giác. Và chúng ta có thể dễ dàng tìm thấy khu vực của họ bằng cách sử dụng
công thức khác nhau. Tùy thuộc vào dữ liệu chúng ta biết về các hình tam giác, chúng ta tìm diện tích của chúng.
Chúng tôi liệt kê một số công thức có thể được sử dụng để tìm diện tích hình tam giác:
- S = (a*h)/2 . Trong trường hợp này, chúng ta biết chiều cao của tam giác h , được hạ xuống một bên Một .
- S = a*b*sinβ . Đây là các cạnh của tam giác Một , b , và góc giữa chúng là β .
- S = (r*(a + b + c))/2 . Đây là các cạnh của tam giác a, b, c . Bán kính của hình tròn nội tiếp một tam giác là r .
- S = (a*b*c)/4*R . Bán kính của hình tròn ngoại tiếp một tam giác là R .
- S = (a*b)/2 = r² + 2*r*R . Công thức này chỉ nên được sử dụng khi tam giác đó là tam giác vuông.
- S = (a²*√3)/4 . Chúng ta áp dụng công thức này cho tam giác đều.
Chỉ sau khi tính diện tích của tất cả các hình tam giác là các mặt của kim tự tháp, chúng ta mới có thể tính diện tích bề mặt bên của nó. Để làm điều này, chúng tôi sẽ sử dụng các công thức trên.
Để tính diện tích bề mặt bên của kim tự tháp, không có khó khăn nào phát sinh: bạn cần tìm ra tổng diện tích của tất cả các hình tam giác. Hãy thể hiện điều này bằng công thức:
Sp = ΣSi
Đây Sĩ là diện tích của tam giác thứ nhất, và S N - diện tích bề mặt bên của kim tự tháp.
Hãy xem một ví dụ. Dana kim tự tháp đều đặn, cô ấy mặt bênđược tạo thành bởi một số hình tam giác đều,
« Hình học là công cụ mạnh mẽ nhất để mài giũa khả năng tư duy của chúng ta».
Galileo Galilei.
và hình vuông là đáy của kim tự tháp. Hơn nữa, cạnh của kim tự tháp có chiều dài 17 cm. Chúng ta hãy tìm diện tích bề mặt bên của kim tự tháp này.
Chúng ta lý luận như thế này: chúng ta biết rằng các mặt của kim tự tháp là các hình tam giác, chúng đều bằng nhau. Chúng ta cũng biết chiều dài cạnh của kim tự tháp này là bao nhiêu. Suy ra mọi tam giác đều bằng nhau bên, chiều dài của chúng là 17 cm.
Để tính diện tích của từng hình tam giác này, bạn có thể sử dụng công thức sau:
S = (17²*√3)/4 = (289*1,732)/4 = 125,137 cm²
Vì vậy, vì chúng ta biết rằng hình vuông nằm ở đáy của kim tự tháp, hóa ra chúng ta có bốn tam giác đều. Điều này có nghĩa là diện tích bề mặt bên của kim tự tháp có thể được tính dễ dàng bằng cách sử dụng công thức sau: 125,137cm2 * 4 = 500,548cm2
Câu trả lời của chúng tôi như sau: 500,548 cm² - đây là diện tích bề mặt bên của kim tự tháp này.
Hình bình hành là một hình lăng trụ tứ giác có hình bình hành ở đáy. Có các công thức làm sẵn để tính toán bên và toàn bộ khu vực các bề mặt của một hình mà chỉ cần độ dài ba chiều của hình bình hành.
Cách tìm diện tích xung quanh của hình bình hành hình chữ nhật
Cần phân biệt hình chữ nhật và hình bình hành thẳng. Đáy của một hình thẳng có thể là hình bình hành bất kỳ. Diện tích của hình như vậy phải được tính bằng các công thức khác.
Tổng S của các mặt bên của hình bình hành hình chữ nhật được tính bằng công thức đơn giản P*h, trong đó P là chu vi và h là chiều cao. Hình vẽ cho thấy các cạnh đối diện của một hình bình hành hình chữ nhật bằng nhau và chiều cao h trùng với chiều dài các cạnh vuông góc với đáy.
Diện tích bề mặt của hình lập phương
Tổng diện tích của hình gồm có cạnh và diện tích của 2 đáy. Cách tìm diện tích hình chữ nhật song song:
Trong đó a, b và c là kích thước của hình học.
Các công thức được mô tả rất dễ hiểu và hữu ích trong việc giải nhiều bài toán hình học. Ví dụ nhiệm vụ điển hìnhđược trình bày trong hình ảnh sau đây.
Khi giải các bài toán loại này, cần nhớ rằng cơ sở lăng kính tứ giácđược chọn ngẫu nhiên. Nếu chúng ta lấy mặt có kích thước x và 3 làm cơ sở thì các giá trị của Sside sẽ khác và Stotal sẽ giữ nguyên là 94 cm2.
Diện tích bề mặt của hình lập phương
Khối lập phương là hình khối, trong đó cả 3 chiều đều bằng nhau. Về vấn đề này, các công thức tính tổng và diện tích xung quanh của hình lập phương khác với các công thức tiêu chuẩn.
Chu vi của hình lập phương là 4a, do đó Sside = 4*a*a = 4*a2. Những biểu thức này không cần thiết để ghi nhớ, nhưng tăng tốc đáng kể việc giải quyết các nhiệm vụ.
Xi lanh là cơ thể hình học, giới hạn ở hai mặt phẳng song song Và bề mặt hình trụ. Trong bài viết, chúng ta sẽ nói về cách tìm diện tích hình trụ và sử dụng công thức, chúng ta sẽ giải quyết một số vấn đề làm ví dụ.
Hình trụ có ba bề mặt: mặt trên, mặt đáy và mặt bên.
Đỉnh và đáy của hình trụ là những hình tròn và rất dễ nhận biết.
Được biết, diện tích hình tròn bằng πr 2. Do đó, công thức tính diện tích của hai hình tròn (đỉnh và đáy hình trụ) sẽ là πr 2 + πr 2 = 2πr 2.
Mặt bên thứ ba của hình trụ là thành cong của hình trụ. Để hình dung rõ hơn bề mặt này, chúng ta hãy thử biến đổi nó để có được hình dạng dễ nhận biết. Hãy tưởng tượng rằng hình trụ là một hộp thiếc thông thường không có nắp trên hoặc đáy. Chúng ta hãy cắt dọc trên thành bên từ trên xuống dưới của hộp (Bước 1 trong hình) và cố gắng mở (làm thẳng) hình thu được càng nhiều càng tốt (Bước 2).
Sau khi chiếc bình thu được được mở hoàn toàn, chúng ta sẽ thấy một hình quen thuộc (Bước 3), đây là một hình chữ nhật. Diện tích hình chữ nhật rất dễ tính. Nhưng trước đó, hãy quay lại hình trụ ban đầu một chút. Đỉnh của hình trụ ban đầu là một hình tròn và ta biết chu vi được tính theo công thức: L = 2πr. Nó được đánh dấu màu đỏ trong hình.
Khi thành bên của hình trụ được mở hoàn toàn, chúng ta thấy chu vi sẽ trở thành chiều dài của hình chữ nhật thu được. Các cạnh của hình chữ nhật này sẽ là chu vi (L = 2πr) và chiều cao của hình trụ (h). Diện tích của hình chữ nhật bằng tích các cạnh của nó - S = dài x rộng = L x h = 2πr x h = 2πrh. Kết quả là chúng ta đã nhận được một công thức tính diện tích bề mặt bên của hình trụ.
Công thức tính diện tích xung quanh của hình trụ
bên S = 2πrh
Tổng diện tích bề mặt của hình trụ
Cuối cùng, nếu chúng ta cộng diện tích của tất cả ba bề mặt, ta được công thức diện tích toàn bộ bề mặt xi lanh. Diện tích bề mặt của hình trụ bằng diện tích đỉnh hình trụ + diện tích đáy hình trụ + diện tích bề mặt bên của hình trụ hoặc S = πr 2 + πr 2 + 2πrh = 2πr 2 + 2πrh. Đôi khi biểu thức này được viết giống với công thức 2πr (r + h).
Công thức tính diện tích toàn phần của hình trụ
S = 2πr 2 + 2πrh = 2πr(r + h)
r - bán kính hình trụ, h - chiều cao hình trụ
Ví dụ về tính diện tích bề mặt của hình trụ
Để hiểu các công thức trên, chúng ta hãy thử tính diện tích bề mặt của hình trụ bằng các ví dụ.
1. Bán kính đáy của hình trụ là 2, chiều cao là 3. Xác định diện tích bề mặt bên của hình trụ.
Tổng diện tích bề mặt được tính theo công thức: cạnh S. = 2πrh
bên S = 2 * 3,14 * 2 * 3
bên S = 6,28 * 6
bên S = 37,68
Diện tích xung quanh của hình trụ là 37,68.
2. Làm thế nào để tìm diện tích bề mặt của hình trụ nếu chiều cao là 4 và bán kính là 6?
Tổng diện tích bề mặt được tính theo công thức: S = 2πr 2 + 2πrh
S = 2 * 3,14 * 6 2 + 2 * 3,14 * 6 * 4
S = 2 * 3,14 * 36 + 2 * 3,14 * 24