BEN. Harflerin yanında sayı ve işaretlerin de kullanılabileceği ifadeler aritmetik işlemler ve parantezlere cebirsel ifadeler denir.
Cebirsel ifade örnekleri:
2m-n; 3 · (2a + b); 0,24x; 0,3a -b · (4a + 2b); a 2 – 2ab;
Cebirsel bir ifadedeki bir harf bazı harflerle değiştirilebileceğinden farklı sayılar, o zaman harfe değişken denir ve cebirsel ifadenin kendisine değişkenli bir ifade denir.
II. Cebirsel bir ifadede harfler (değişkenler) değerleri ile değiştirilirse ve belirtilen işlemler yapılırsa, ortaya çıkan sayıya cebirsel ifadenin değeri denir.
Örnekler.
İfadenin anlamını bulun:
1) a + 2b -c ile a = -2; b = 10; c = -3,5.
2) |x| + |y| -|z| x = -8'de; y = -5; z = 6..
Çözüm
— 2+ 2 · 10- (-3,5) = -2 + 20 +3,5 = 18 + 3,5 = 21,5.
1) a + 2b -c ile a = -2; b = 10; c = -3,5. Değişkenler yerine değerlerini değiştirelim. Şunu elde ederiz: 2) |x| + |y| -|z| x = -8'de; y = -5; z = 6. Değiştirme belirtilen değerler . Unutmayın ki modül negatif sayı
|-8| + |-5| -|6| = 8 + 5 -6 = 7.
karşıt numarasına eşittir ve pozitif bir sayının modülü bu sayının kendisine eşittir. Şunu elde ederiz: III.
Cebirsel ifadenin anlamlı olduğu harfin (değişken) değerlerine, harfin (değişken) izin verilen değerleri denir. Örnekler. Hangi değerlerde
değişken ifadesi mantıklı değil mi?
Çözüm.
Sıfıra bölmenin mümkün olmadığını biliyoruz, dolayısıyla kesrin paydasını sıfıra çeviren harfin (değişken) değeri göz önüne alındığında bu ifadelerin her biri bir anlam ifade etmeyecektir!
Örnek 1)'de bu değer a = 0'dır. Aslında a yerine 0 koyarsanız 6 sayısını 0'a bölmeniz gerekir, ancak bu yapılamaz. Cevap: ifade 1) a = 0 olduğunda anlamlı değildir.
Örnek 2)'de x = 4'te x'in paydası 4 = 0 olduğundan bu x = 4 değeri alınamaz. Cevap: ifade 2) x = 4 olduğunda anlamlı değildir.
Örnek 3)'te x = -2 olduğunda payda x + 2 = 0'dır. Cevap: ifade 3) x = -2 olduğunda anlamlı değildir. Örnek 4)'te payda 5 -|x| |x| için = 0 = 5. Ve |5| = 5 ve |-5| = 5 ise x = 5 ve x = -5 alamazsınız. Cevap: ifade 4) x = -5 ve x = 5'te anlamlı değildir.
Örnek: 5 (a – b) ve 5a – 5b de eşittir, çünkü 5 (a – b) = 5a – 5b eşitliği a ve b'nin herhangi bir değeri için doğru olacaktır. 5 (a – b) = 5a – 5b eşitliği bir özdeşliktir.
Kimlik içerisinde yer alan değişkenlerin izin verilen tüm değerleri için geçerli olan bir eşitliktir. Zaten bildiğiniz kimlik örnekleri, örneğin toplama ve çarpma özellikleridir, dağılma özelliği.
Bir ifadenin tamamen eşit olan başka bir ifadeyle değiştirilmesine kimlik dönüşümü veya basitçe bir ifadenin dönüşümü denir. Değişkenli ifadelerin özdeş dönüşümleri sayılar üzerinde yapılan işlemlerin özelliklerine göre gerçekleştirilir.
Örnekler.
A)çarpmanın dağılma özelliğini kullanarak ifadeyi tamamen eşit hale getirin:
1) 10·(1,2x + 2,3y); 2) 1,5·(a -2b + 4c); 3) a·(6m -2n + k).
2) |x| + |y| -|z| x = -8'de; y = -5; z = 6.. Çarpmanın dağılma özelliğini (yasasını) hatırlayalım:
(a+b)c=ac+bc(toplamaya göre çarpmanın dağılım yasası: iki sayının toplamını üçüncü bir sayıyla çarpmak için, her terimi bu sayıyla çarpabilir ve elde edilen sonuçları toplayabilirsiniz).
(a-b) c=a c-b c(Çarpmanın çıkarma işlemine göre dağılım yasası: iki sayının farkını üçüncü bir sayıyla çarpmak için, eksiyi bu sayıyla ayrı ayrı çarpabilir ve çıkarabilirsiniz ve ikinciyi ilk sonuçtan çıkarabilirsiniz).
1) 10·(1,2x + 2,3y) = 10 · 1,2x + 10 · 2,3y = 12x + 23y.
2) 1,5·(a -2b + 4c) = 1,5a -3b + 6c.
3) a·(6m -2n + k) = 6am -2an +ak.
B) Toplama işleminin değişmeli ve ilişkisel özelliklerini (yasalarını) kullanarak ifadeyi tamamen eşit hale getirin:
4) x + 4,5 +2x + 6,5; 5) (3a+2.1)+7.8; 6) 5,4s -3 -2,5 -2,3s.
değişken ifadesi Toplama yasalarını (özelliklerini) uygulayalım:
a+b=b+a(değişmeli: terimlerin yeniden düzenlenmesi toplamı değiştirmez).
(a+b)+c=a+(b+c)(birleşik: iki terimin toplamına üçüncü bir sayı eklemek için ikinci ve üçüncünün toplamını birinci sayıya ekleyebilirsiniz).
4) x + 4,5 +2x + 6,5 = (x + 2x) + (4,5 + 6,5) = 3x + 11.
5) (3a + 2,1) + 7,8 = 3a + (2,1 + 7,8) = 3a + 9,9.
6) 6) 5,4s -3 -2,5 -2,3s = (5,4s -2,3s) + (-3 -2,5) = 3,1s -5,5.
V)Çarpmanın değişmeli ve ilişkisel özelliklerini (yasalarını) kullanarak ifadeyi tamamen eşit hale getirin:
7) 4 · X · (-2,5); 8) -3,5 · 2 yıl · (-1); 9) 3a · (-3) · 2 saniye.
değişken ifadesiÇarpma yasalarını (özelliklerini) uygulayalım:
a·b=b·a(değişmeli: faktörlerin yeniden düzenlenmesi çarpımı değiştirmez).
(a b) c=a (b c)(birleşik: iki sayının çarpımını üçüncü bir sayıyla çarpmak için, ilk sayıyı ikinci ve üçüncünün çarpımı ile çarpabilirsiniz).
Dolayısıyla, sayısal bir ifade sayılardan ve +, −, · ve: işaretlerinden oluşuyorsa, soldan sağa sırayla önce çarpma ve bölmeyi, ardından toplama ve çıkarma işlemlerini yapmanız gerekir; bu, ifadenin istenen değeri.
Daha açıklayıcı olması açısından bazı örnekler verelim.
Örnek.
14−2·15:6−3 ifadesinin değerini hesaplayın.
değişken ifadesi
Bir ifadenin değerini bulmak için, içinde belirtilen tüm eylemleri, bu eylemlerin kabul edilen gerçekleştirilme sırasına göre gerçekleştirmeniz gerekir. Öncelikle soldan sağa sırasıyla çarpma ve bölme işlemi yapıyoruz 14−2·15:6−3=14−30:6−3=14−5−3. Şimdi kalan işlemleri de soldan sağa sırayla gerçekleştiriyoruz: 14−5−3=9−3=6. Orijinal ifadenin değerini bu şekilde bulduk, 6'ya eşit.
Cevap:
14−2·15:6−3=6.
Örnek.
İfadenin anlamını bulun.
değişken ifadesi
İÇİNDE bu örnekte ifadesinde öncelikle 2·(−7) çarpımını ve çarpma ile bölme işlemini yapmamız gerekiyor. Nasıl olduğunu hatırlayarak 2·(−7)=−14'ü buluruz. Ve önce ifadedeki eylemleri gerçekleştirmek için 
, bundan sonra 
ve şunu yürütün: 
.
Elde edilen değerleri orijinal ifadeye yerleştiriyoruz: .
Peki ya kök işaretinin altında sayısal bir ifade varsa? Böyle bir kökün değerini elde etmek için, öncelikle kabul edilen eylem gerçekleştirme sırasına bağlı kalarak radikal ifadenin değerini bulmalısınız. Örneğin, .
Sayısal ifadelerde, kökler bazı sayılar olarak algılanmalı ve köklerin hemen değerleriyle değiştirilmesi ve ardından, eylemleri kabul edilen sırayla gerçekleştirerek ortaya çıkan ifadenin köksüz değerini bulmanız önerilir.
Örnek.
Köklü ifadenin anlamını bulunuz.
değişken ifadesi
İlk önce kökün değerini bulalım 
. Bunu yapmak için öncelikle radikal ifadenin değerini hesaplıyoruz, −2·3−1+60:4=−6−1+15=8. İkinci olarak kökün değerini buluyoruz.
Şimdi orijinal ifadeden ikinci kökün değerini hesaplayalım: .
Son olarak, kökleri değerleri ile değiştirerek orijinal ifadenin anlamını bulabiliriz: .
Cevap:
Çoğu zaman, kökleri olan bir ifadenin anlamını bulmak için önce onu dönüştürmek gerekir. Örnekle çözümünü gösterelim.
Örnek.
İfadenin anlamı nedir 
.
değişken ifadesi
Üçün kökünü tam değeriyle değiştiremiyoruz, bu da bu ifadenin değerini yukarıda açıklanan şekilde hesaplamamıza izin vermiyor. Ancak basit dönüşümler yaparak bu ifadenin değerini hesaplayabiliriz. Uygulanabilir kare fark formülü: . dikkate alarak şunu elde ederiz 
. Dolayısıyla orijinal ifadenin değeri 1'dir.
Cevap:
.
Derece ile
Taban ve üs sayıysa değerleri derece belirlenerek hesaplanır, örneğin 3 2 =3·3=9 veya 8 −1 =1/8. Taban ve/veya üssün bazı ifadeler olduğu girişler de vardır. Bu durumlarda tabandaki ifadenin değerini, üsdeki ifadenin değerini bulmanız ve ardından derecenin değerini hesaplamanız gerekir.
Örnek.
Formun kuvvetleriyle bir ifadenin değerini bulun 2 3·4−10 +16·(1−1/2) 3,5−2·1/4.
değişken ifadesi
Orijinal ifadede 2 3·4−10 ve (1−1/2) 3,5−2·1/4 olmak üzere iki kuvveti vardır. Diğer eylemleri gerçekleştirmeden önce değerleri hesaplanmalıdır.
2 3·4−10'un kuvvetiyle başlayalım. Göstergesi sayısal bir ifade içeriyor, değerini hesaplayalım: 3·4−10=12−10=2. Artık derecenin değerini bulabilirsiniz: 2 3·4−10 =2 2 =4.
Taban ve üs (1−1/2) 3,5−2 1/4 ifadeleri içerir; daha sonra üssün değerini bulmak için değerlerini hesaplarız. Sahibiz (1−1/2) 3,5−2 1/4 =(1/2) 3 =1/8.
Şimdi orijinal ifadeye dönüyoruz, içindeki dereceleri değerleriyle değiştiriyoruz ve ihtiyacımız olan ifadenin değerini buluyoruz: 2 3·4−10 +16·(1−1/2) 3,5−2·1/4 = 4+16·1/8=4+2=6.
Cevap:
2 3·4−10 +16·(1−1/2) 3,5−2·1/4 =6.
Bir ön inceleme yapılması tavsiye edildiğinde daha yaygın vakaların olduğunu belirtmekte fayda var. yetkilerle ifadenin basitleştirilmesiüssünde.
Örnek.
İfadenin anlamını bulun 
.
değişken ifadesi
Bu ifadedeki üslü sayılara bakılırsa, kesin değerler Diploma alamayacaksın. Orijinal ifadeyi basitleştirmeye çalışalım, belki bu, anlamını bulmaya yardımcı olur. Sahibiz 
Cevap:
.
İfadelerdeki kuvvetler çoğu zaman logaritmalarla el ele gider, ancak biz logaritmalarla ifadelerin anlamını bulma yöntemlerinden birinde konuşacağız.
Kesirli bir ifadenin değerini bulma
Sayısal İfadeler notasyonlarında kesirler bulunabilir. Bir değer bulmanız gerektiğinde benzer ifade, geri kalan adımlara geçmeden önce kesir dışındaki kesirlerin değerleri ile değiştirilmesi gerekir.
Kesirlerin payı ve paydası (sıradan kesirlerden farklıdır) hem bazı sayıları hem de ifadeleri içerebilir. Böyle bir kesirin değerini hesaplamak için paydaki ifadenin değerini hesaplamanız, paydadaki ifadenin değerini hesaplamanız ve ardından kesrin değerini hesaplamanız gerekir. Bu sıra, a ve b'nin bazı ifadeler olduğu a/b kesirinin esasen (a):(b) formundaki bir bölümü temsil etmesiyle açıklanır, çünkü .
Örnek çözüme bakalım.
Örnek.
Kesirli bir ifadenin anlamını bulun 
.
değişken ifadesi
Orijinal sayısal ifadede üç kesir vardır 
Ve . Orijinal ifadenin değerini bulmak için öncelikle bu kesirleri değerleriyle değiştirmemiz gerekir. Hadi bunu yapalım.
Bir kesrin payı ve paydası sayılardan oluşur. Böyle bir kesrin değerini bulmak için kesir çubuğunu bölme işaretiyle değiştirin ve şu işlemi yapın: 
.
Kesrin payında 7−2·3 ifadesi vardır, değerini bulmak kolaydır: 7−2·3=7−6=1. Böylece, . Üçüncü kesrin değerini bulmaya devam edebilirsiniz.
Pay ve paydadaki üçüncü kesir sayısal ifadeler içerir, bu nedenle önce değerlerini hesaplamanız gerekir ve bu, kesirin değerini bulmanızı sağlayacaktır. Sahibiz 
.
Bulunan değerleri orijinal ifadeye koymak ve kalan eylemleri gerçekleştirmek için kalır: .
Cevap:
.
Çoğunlukla kesirli ifadelerin değerlerini bulurken şunları yapmanız gerekir: basitleştirme kesirli ifadeler , kesirlerle işlem yapılmasına ve kesirlerin azaltılmasına dayanmaktadır.
Örnek.
İfadenin anlamını bulun 
.
değişken ifadesi
Beşin kökü tamamen çıkarılamaz, bu nedenle orijinal ifadenin değerini bulmak için önce onu basitleştirelim. Bunun için paydadaki irrasyonellikten kurtulalım ilk kesir: 
. Bundan sonra orijinal ifade şu şekli alacaktır: 
. Kesirleri çıkardıktan sonra kökler kaybolacak ve bu da başlangıçta verilen ifadenin değerini bulmamızı sağlayacaktır: .
Cevap:
.
Logaritmalarla
Sayısal bir ifade içeriyorsa ve onlardan kurtulmak mümkünse, bu, diğer eylemler gerçekleştirilmeden önce yapılır. Örneğin, log 2 4+2·3 ifadesinin değeri bulunurken, log 2 4 logaritma değeri 2 ile değiştirilir, bundan sonra geri kalan eylemler olağan sırayla, yani log 2 4+2 gerçekleştirilir. ·3=2+2·3=2 +6=8.
Logaritmanın işareti altında ve/veya tabanında sayısal ifadeler bulunduğunda önce bunların değerleri bulunur, ardından logaritmanın değeri hesaplanır. Örneğin, formun logaritmasına sahip bir ifadeyi düşünün 
. Logaritmanın tabanında ve işaretinin altında sayısal ifadeler bulunur; Şimdi logaritmayı buluyoruz ve ardından hesaplamaları tamamlıyoruz: .
Logaritmalar doğru bir şekilde hesaplanmazsa, kullanılarak ön basitleştirme yapılır. Bu durumda makale materyaline iyi hakim olmanız gerekir. logaritmik ifadeleri dönüştürme.
Örnek.
Bir ifadenin değerini logaritmayla bulma 
.
değişken ifadesi
Log 2'yi (log 2 256) hesaplayarak başlayalım. 256=2 8 olduğundan log 2 256=8 olduğundan, günlük 2 (günlük 2 256)=günlük 2 8=günlük 2 2 3 =3.
Logaritmalar log 6 2 ve log 6 3 gruplandırılabilir. Toplam logaritma günlüğü 6 2+log 6 3, log 6 (2 3) çarpımının logaritmasına eşittir, dolayısıyla günlük 6 2+günlük 6 3=günlük 6 (2 3)=günlük 6 6=1.
Şimdi kesirlere bakalım. Başlangıç olarak, paydadaki logaritmanın tabanını şu şekilde yeniden yazıyoruz: ortak kesir 1/5 olarak belirledikten sonra logaritmanın özelliklerini kullanacağız, bu da kesrin değerini elde etmemizi sağlayacaktır: 
.
Geriye kalan tek şey, elde edilen sonuçları orijinal ifadeye koymak ve değerini bulmayı tamamlamaktır: 
Cevap:
Trigonometrik bir ifadenin değeri nasıl bulunur?
Sayısal bir ifade veya vb. içerdiğinde, diğer eylemler gerçekleştirilmeden önce değerleri hesaplanır. Eğer işaretin altındaysa trigonometrik fonksiyonlar Sayısal ifadeler varsa önce değerleri hesaplanır, ardından trigonometrik fonksiyonların değerleri bulunur.
Örnek.
İfadenin anlamını bulun 
.
değişken ifadesi
Makaleye dönersek şunu anlıyoruz: 
ve cosπ=−1 . Bu değerleri orjinal ifadenin yerine koyarsak şu şekli alır 
. Değerini bulmak için önce üstel alma işlemi yapmanız ve ardından hesaplamaları tamamlamanız gerekir: .
Cevap:
.
İfadelerin değerlerinin sinüs, kosinüs vb. ile hesaplanmasının dikkat çekicidir. genellikle önceden gerektirir dönüşüm trigonometrik ifade .
Örnek.
Trigonometrik ifadenin değeri nedir 
.
değişken ifadesi
, kullanarak orijinal ifadeyi şuna dönüştürelim: bu durumda kosinüs formülüne ihtiyacımız var çift açı ve toplamın kosinüsü formülü: 
Yaptığımız dönüşümler ifadenin anlamını bulmamıza yardımcı oldu.
Cevap:
.
Genel durum
İÇİNDE genel durum sayısal bir ifade kökleri, kuvvetleri, kesirleri, herhangi bir işlevi ve parantezleri içerebilir. Bu tür ifadelerin değerlerini bulmak, aşağıdaki eylemlerin gerçekleştirilmesinden oluşur:
- ilk kökler, kuvvetler, kesirler vb. değerleri ile değiştirilir,
- parantez içindeki diğer eylemler,
- ve sırasıyla soldan sağa, kalan işlemler gerçekleştirilir - çarpma ve bölme, ardından toplama ve çıkarma.
Listelenen eylemler nihai sonuç elde edilene kadar gerçekleştirilir.
Örnek.
İfadenin anlamını bulun 
.
değişken ifadesi
Bu ifadenin biçimi oldukça karmaşıktır. Bu ifadede kesirleri, kökleri, kuvvetleri, sinüsleri ve logaritmaları görüyoruz. Değeri nasıl bulunur?
Kayıtta soldan sağa doğru ilerledikçe formun bir kısmıyla karşılaşıyoruz 
. Kesirlerle çalışırken şunu biliyoruz: karmaşık tip için payın değerini ayrı ayrı, paydayı ayrı ayrı hesaplamamız ve son olarak kesrin değerini bulmamız gerekiyor.
Payda formun kökü var 
. Değerini belirlemek için önce radikal ifadenin değerini hesaplamanız gerekir. 
. Burada bir sinüs var. Değerini ancak ifadenin değerini hesapladıktan sonra bulabiliriz 
. Bunu yapabiliriz: . O zaman nereden ve nereden 
.
Payda basittir: .
Böylece, 
.
Bu sonucu orijinal ifadeye yerleştirdikten sonra formunu alacaktır. Ortaya çıkan ifade dereceyi içerir. Değerini bulmak için öncelikle göstergenin değerini bulmalıyız. 
.
Bu yüzden, .
Cevap:
.
Köklerin, güçlerin vb. kesin değerlerini hesaplamak mümkün değilse, bazı dönüşümler kullanarak onlardan kurtulmayı deneyebilir ve ardından değeri belirtilen şemaya göre hesaplamaya geri dönebilirsiniz.
İfadelerin değerlerini hesaplamanın rasyonel yolları
Sayısal ifadelerin değerlerinin hesaplanması tutarlılık ve doğruluk gerektirir. Evet, kaydedilen eylem sırasını takip etmelisiniz. önceki paragraflar, ancak bunu körü körüne ve mekanik olarak yapmanıza gerek yok. Bununla kastettiğimiz, çoğu zaman bir ifadenin anlamını bulma sürecini rasyonelleştirmenin mümkün olduğudur. Örneğin sayılarla yapılan işlemlerin belirli özellikleri, bir ifadenin değerinin bulunmasını önemli ölçüde hızlandırabilir ve basitleştirebilir.
Örneğin çarpma işleminin şu özelliğini biliyoruz: Çarpımdaki faktörlerden biri sıfıra eşit ise ürünün değeri sıfırdır. Bu özelliği kullanarak hemen ifadenin değerinin olduğunu söyleyebiliriz. 0·(2·3+893−3234:54·65−79·56·2,2)·(45·36−2·4+456:3·43) sıfıra eşittir. Eğer sıkışıp kalırsak standart sipariş eylemlerin yürütülmesi için öncelikle parantez içindeki hantal ifadelerin değerlerini hesaplamamız gerekirdi ve bu çok zaman alırdı ve sonuç yine de sıfır olurdu.
Çıkarma özelliğini kullanmak da uygundur eşit sayılar: Bir sayıdan eşit bir sayı çıkarırsanız sonuç sıfırdır. Bu özellik daha geniş olarak ele alınabilir: iki özdeş sayısal ifade arasındaki fark sıfırdır. Örneğin parantez içindeki ifadelerin değerini hesaplamadan ifadenin değerini bulabilirsiniz. (54 6−12 47362:3)−(54 6−12 47362:3) orijinal ifade fark olduğu için sıfıra eşittir özdeş ifadeler.
Kimlik dönüşümleri ifade değerlerinin rasyonel hesaplanmasını kolaylaştırabilir. Örneğin, terimleri ve faktörleri gruplandırmak yararlı olabilir; ortak faktörü parantezlerin dışına koymak daha az sıklıkta kullanılmaz. Yani 53·5+53·7−53·11+5 ifadesinin değeri, 53 çarpanını parantezlerden çıkardıktan sonra çok kolay bulunur: 53·(5+7−11)+5=53·1+5=53+5=58. Doğrudan hesaplamaçok daha uzun zaman alırdı.
Bu noktayı sonuçlandırmak için kesirli ifadelerin değerlerinin hesaplanmasında rasyonel bir yaklaşıma dikkat edelim - kesirin pay ve paydasındaki aynı faktörler iptal edilir. Örneğin bir kesrin pay ve paydasındaki aynı ifadeleri azaltmak 
1/2'ye eşit olan değerini hemen bulmanızı sağlar.
Değişmez bir ifadenin ve değişkenli bir ifadenin değerini bulma
Belirli bir ifadenin ve değişkenleri olan bir ifadenin anlamı belirli bir durum için bulunur. değerleri belirle Harfler ve değişkenler. Yani, hakkında konuşuyoruz verilen harf değerleri için değişmez bir ifadenin değerini bulma veya seçilen değişken değerleri için değişkenler içeren bir ifadenin değerini bulma hakkında.
Kural Harflerin belirli değerleri veya değişkenlerin seçilen değerleri için değişmez bir ifadenin veya değişkenleri olan bir ifadenin değerini bulmak şu şekildedir: Harflerin veya değişkenlerin verilen değerlerini orijinal ifadeye koymanız ve hesaplamanız gerekir. ortaya çıkan sayısal ifadenin değeri istenen değerdir.
Örnek.
0,5·x−y ifadesinin değerini x=2,4 ve y=5'te hesaplayın.
değişken ifadesi
İfadenin gerekli değerini bulmak için öncelikle değişkenlerin verilen değerlerini orijinal ifadede yerine koymanız ve ardından aşağıdaki adımları uygulamanız gerekir: 0.5·2.4−5=1.2−5=−3.8.
Cevap:
−3,8 .
Son olarak, bazen değişmez ve değişken ifadeler üzerinde dönüşümler gerçekleştirmek, harflerin ve değişkenlerin değerlerinden bağımsız olarak değerlerini verecektir. Örneğin, x+3−x ifadesi basitleştirilebilir ve bundan sonra 3 şeklini alır. Bundan x+3−x ifadesinin değerinin, x değişkeninin izin verilen değerler aralığından (APV) herhangi bir değeri için 3'e eşit olduğu sonucuna varabiliriz. Başka bir örnek: ifadenin değeri hepsi için 1'dir pozitif değerler x , yani alan kabul edilebilir değerler orijinal ifadedeki x değişkeni kümedir pozitif sayılar ve eşitlik bu bölgede geçerlidir.
Referanslar.
- Matematik: ders kitabı 5. sınıf için. genel eğitim kurumlar / N. Ya Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21. baskı, silindi. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 s.: hasta. ISBN 5-346-00699-0.
- Matematik. 6. sınıf: eğitici. genel eğitim için kurumlar / [N. Ya. Vilenkin ve diğerleri]. - 22. baskı, rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 s.: hasta. ISBN 978-5-346-00897-2.
- Cebir: ders kitabı 7. sınıf için. genel eğitim kurumlar / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; tarafından düzenlendi S. A. Telyakovsky. - 17. baskı. - M.: Eğitim, 2008. - 240 s. : hasta. - ISBN 978-5-09-019315-3.
- Cebir: ders kitabı 8. sınıf için. genel eğitim kurumlar / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; tarafından düzenlendi S. A. Telyakovsky. - 16. baskı. - M.: Eğitim, 2008. - 271 s. : hasta. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Cebir: 9. sınıf: eğitici. genel eğitim için kurumlar / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; tarafından düzenlendi S. A. Telyakovsky. - 16. baskı. - M.: Eğitim, 2009. - 271 s. : hasta. - ISBN 978-5-09-021134-5.
- Cebir ve analizin başlangıcı: Proc. 10-11 sınıflar için. genel eğitim kurumlar / A.N. Kolmogorov, A.M. Abramov, Yu.P. Dudnitsyn ve diğerleri; Ed. A. N. Kolmogorov - 14. baskı - M.: Eğitim, 2004. - 384 s.: - ISBN 5-09-013651-3.
Artık kesirleri nasıl toplayıp çarpacağımızı öğrendiğimize göre daha fazla şeye bakabiliriz. karmaşık tasarımlar. Örneğin, aynı problem kesirlerde toplama, çıkarma ve çarpma işlemlerini de içeriyorsa ne olur?
Öncelikle tüm kesirleri bileşik kesirlere çevirmeniz gerekiyor. Daha sonra gerekli eylemleri sıradan sayılarla aynı sırayla gerçekleştiriyoruz. Yani:
- Önce üs alma işlemi yapılır; üs içeren tüm ifadelerden kurtulun;
- Sonra - bölme ve çarpma;
- Son adım toplama ve çıkarmadır.
Elbette ifadede parantez varsa işlem sırası değişir; önce parantez içindeki her şey sayılmalıdır. Ve uygunsuz kesirleri unutmayın: tüm kısmı yalnızca diğer tüm eylemler zaten tamamlandığında vurgulamanız gerekir.
İlk ifadedeki tüm kesirleri bileşik kesirlere dönüştürelim ve ardından aşağıdaki adımları gerçekleştirelim:
Şimdi ikinci ifadenin değerini bulalım. Burada kesirler bütün kısım hayır, ama parantezler var, bu yüzden önce toplamayı yapıyoruz, sonra bölmeyi yapıyoruz. 14 = 7 · 2 olduğuna dikkat edin. Daha sonra:
Son olarak üçüncü örneği ele alalım. Burada parantez ve derece var - bunları ayrı ayrı saymak daha iyidir. 9 = 3 3 olduğunu düşünürsek:
Son örneğe dikkat edin. Bir kesri bir kuvvete yükseltmek için, payı ayrı ayrı bu kuvvete ve paydayı ayrı ayrı yükseltmeniz gerekir.
Farklı karar verebilirsiniz. Derecenin tanımını hatırlarsak sorun şuna indirgenir: sıradan çarpma kesirler:
Çok öykülü kesirler
Şu ana kadar sadece pay ve paydanın eşit olduğu “saf” kesirleri ele aldık. sıradan sayılar. Bu, ilk derste verilen kesirli sayının tanımıyla oldukça tutarlıdır.
Peki ya pay veya payda birden fazla içeriyorsa karmaşık nesne? Örneğin başka bir sayısal kesir mi? Bu tür yapılar, özellikle uzun ifadelerle çalışırken oldukça sık ortaya çıkar. İşte birkaç örnek:
Çok katlı kesirlerle çalışmanın tek bir kuralı vardır: Onlardan hemen kurtulmalısınız. Eğik çizginin standart bölme işlemi anlamına geldiğini hatırlarsanız, "ekstra" katları kaldırmak oldukça basittir. Bu nedenle herhangi bir kesir aşağıdaki gibi yeniden yazılabilir:
Bu gerçeği kullanarak ve prosedürü takip ederek herhangi bir çok katlı kesiri kolaylıkla sıradan bir kesire indirgeyebiliriz. Örneklere bir göz atın:
Görev. Çok öykülü kesirleri sıradan kesirlere dönüştürün:
Her durumda, bölme çizgisini bölme işaretiyle değiştirerek ana kesri yeniden yazıyoruz. Ayrıca herhangi bir tam sayının paydası 1 olan bir kesir olarak temsil edilebileceğini de unutmayın. 12 = 12/1; 3 = 3/1. Şunu elde ederiz:
İÇİNDE son örnek son çarpma işleminden önce kesirler iptal edildi.
Çok düzeyli kesirlerle çalışmanın özellikleri
Çok katlı kesirlerde her zaman hatırlanması gereken bir incelik vardır, aksi takdirde tüm hesaplamalar doğru olsa bile yanlış cevap alabilirsiniz. Bir göz atın:
- Pay 7 sayısını, payda ise 12/5 kesirini içerir;
- Pay 7/12 kesirini içerir ve payda ayrı bir 5 sayısını içerir.
Yani, bir giriş için tamamen iki tane aldık farklı yorumlar. Sayarsanız cevaplar da farklı olacaktır:
Kaydın her zaman net bir şekilde okunduğundan emin olmak için basit bir kural kullanın: Ana kesrin bölme çizgisi, iç içe geçmiş kesrin çizgisinden daha uzun olmalıdır. Tercihen birkaç kez.
Bu kurala uyarsanız yukarıdaki kesirler şu şekilde yazılmalıdır:
Evet, muhtemelen çirkindir ve çok fazla yer kaplar. Ama doğru sayacaksınız. Son olarak, çok katlı kesirlerin gerçekte ortaya çıktığı birkaç örnek:
Görev. İfadelerin anlamlarını bulun:
O halde ilk örnekle çalışalım. Tüm kesirleri bileşik kesirlere dönüştürelim ve ardından toplama ve bölme işlemlerini gerçekleştirelim:
İkinci örnekte de aynısını yapalım. Tüm kesirleri bileşik kesre çevirelim ve gerekli işlemleri yapalım. Okuyucuyu sıkmamak için bazı bariz hesaplamaları atlayacağım. Sahibiz:
Temel kesirlerin pay ve paydası toplam içerdiğinden çok katlı kesir yazma kuralına otomatik olarak uyulur. Ayrıca son örnekte bölme işlemini gerçekleştirmek için 46/1'i bilinçli olarak kesir formunda bıraktık.
Ayrıca her iki örnekte de kesir çubuğunun aslında parantezlerin yerini aldığını da belirteceğim: her şeyden önce toplamı bulduk, sonra da bölümü bulduk.
Bazıları geçiş olduğunu söyleyebilir uygunsuz kesirler ikinci örnekte açıkça gereksizdi. Belki de bu doğrudur. Ancak bunu yaparak kendimizi hatalara karşı sigortalamış oluruz çünkü bir dahaki sefere örnek çok daha karmaşık olabilir. Hangisinin daha önemli olduğunu kendiniz seçin: hız veya güvenilirlik.
Giriş seviyesi
İfadeleri Dönüştürme. Ayrıntılı teori (2019)
İfadeleri Dönüştürme
Bunu sıklıkla duyuyoruz hoş olmayan ifade: “ifadeyi basitleştir.” Genellikle şöyle bir canavar görürüz:
“Çok daha basit” diyoruz ama böyle bir cevap genellikle işe yaramıyor.
Şimdi sana hiçbir şeyden korkmamayı öğreteceğim benzer görevler. Üstelik dersin sonunda bu örneği (sadece!) normal numara(evet, bu mektupların canı cehenneme).
Ancak bu derse başlamadan önce kesirleri ve çarpan polinomlarını ele alabilmeniz gerekir. Bu nedenle öncelikle daha önce yapmadıysanız “” ve “” konularına mutlaka hakim olun.
Okudunuz mu? Cevabınız evet ise artık hazırsınız.
Temel basitleştirme işlemleri
Şimdi ifadeleri basitleştirmek için kullanılan temel tekniklere bakalım.
En basit olanı
1. Benzerlerini getirmek
Benzer olanlar nelerdir? Bunu 7. sınıfta, matematikte sayılar yerine harflerin ilk kez ortaya çıktığı dönemde almıştınız. Aynı harf kısmına sahip terimler (tek terimliler) benzerdir. Örneğin toplamda benzer terimler- bu benim.
Hatırlıyor musun?
Benzer getirmek, birkaç benzer terimi birbirine eklemek ve bir terim elde etmek anlamına gelir.
Harfleri nasıl bir araya getirebiliriz? - sen sor.
Harflerin bir tür nesne olduğunu düşünürseniz bunu anlamak çok kolaydır. Örneğin bir mektup bir sandalyedir. O halde ifade neye eşittir? İki sandalye artı üç sandalye, kaç tane olacak? Aynen öyle, sandalyeler: .
Şimdi şu ifadeyi deneyin: .
Karışıklığı önlemek için izin verin farklı harfler farklı nesneleri temsil eder. Örneğin - (her zamanki gibi) bir sandalye ve - bir masadır. Daha sonra:
sandalyeler masalar sandalye masalar sandalyeler sandalyeler masalar
Bu terimlerdeki harflerin çarpıldığı sayılara denir katsayılar. Örneğin, bir monomiyalde katsayı eşittir. Ve içinde eşittir.
Yani benzerlerini getirmenin kuralı şudur:
Örnekler:
Benzerlerini verin:
Cevaplar:
2. (ve benzerdir, çünkü bu terimler aynı harf kısmına sahiptir).
2. Çarpanlara ayırma
Bu genellikle en önemli kısımİfadelerin basitleştirilmesinde. Benzerlerini verdikten sonra çoğu zaman ortaya çıkan ifadenin çarpanlara ayrılması yani bir ürün olarak sunulması gerekiyor. Bu özellikle kesirlerde önemlidir: Bir kesri azaltabilmek için pay ve paydanın çarpım olarak temsil edilmesi gerekir.
İfadeleri çarpanlara ayırma yöntemlerini “” konusunda ayrıntılı olarak incelediniz, bu yüzden burada öğrendiklerinizi hatırlamanız yeterli. Bunu yapmak için birkaç tanesine karar verin örnekler(çarpanlara ayrılması gerekir):
Çözümler:
3. Bir kesirin azaltılması.
Peki pay ve paydanın bir kısmının üzerini çizip hayatınızdan atmaktan daha hoş ne olabilir?
Küçülmenin güzelliği bu.
Çok basit:
Pay ve payda aynı faktörleri içeriyorsa azaltılabilir, yani kesirden çıkarılabilir.
Bu kural bir kesrin temel özelliğinden kaynaklanır:
Yani azaltma işleminin özü şudur: Kesrin payını ve paydasını aynı sayıya (veya aynı ifadeye) böleriz.
Bir kesri azaltmak için ihtiyacınız olan:
1) pay ve payda çarpanlara ayırmak
2) pay ve payda şunları içeriyorsa ortak faktörler, bunların üzeri çizilebilir.
Sanırım prensip açık mı?
Bir şeye dikkatinizi çekmek isterim tipik hata sözleşme yaparken. Bu konu basit olmasına rağmen birçok kişi bunu anlamadan her şeyi yanlış yapıyor azaltmak- Bunun anlamı bölmek pay ve payda aynı sayıdır.
Pay veya paydanın toplam olması durumunda kısaltma yapılmaz.
Örneğin: basitleştirmemiz gerekiyor.
Bazı insanlar bunu yapıyor: Bu kesinlikle yanlış.
Başka bir örnek: azaltın.
“En akıllı” bunu yapacaktır: .
Söyle bana burada sorun ne? Görünüşe göre: - bu bir çarpan, yani azaltılabileceği anlamına geliyor.
Ama hayır: - bu, paydaki yalnızca bir terimin çarpanıdır, ancak payın kendisi bir bütün olarak çarpanlara ayrılmamıştır.
İşte başka bir örnek: .
Bu ifade çarpanlara ayrılmıştır; bu, onu azaltabileceğiniz, yani payı ve paydayı önce şuna, sonra da şuna bölebileceğiniz anlamına gelir:
Hemen aşağıdakilere bölebilirsiniz:
Bu tür hatalardan kaçınmak için unutmayın kolay yol Bir ifadenin çarpanlara ayrılıp ayrılmadığı nasıl belirlenir:
Bir ifadenin değeri hesaplanırken en son yapılan aritmetik işlem “ana” işlemdir. Yani, harfler yerine bazı (herhangi) sayıları koyarsanız ve ifadenin değerini hesaplamaya çalışırsanız, o zaman son eylem bir çarpma olacak, bu da bir çarpımımız olduğu anlamına gelir (ifade çarpanlara ayrılmıştır). Son işlem toplama veya çıkarma ise bu, ifadenin çarpanlara ayrılmadığı (ve dolayısıyla azaltılamayacağı) anlamına gelir.
Birleştirmek için birkaçını kendiniz çözün örnekler:
Cevaplar:
1. Umarım hemen kesmek için acele etmediniz ve? Birimleri bu şekilde "azaltmak" hâlâ yeterli değildi:
İlk adım çarpanlara ayırma olmalıdır:
4. Kesirleri toplama ve çıkarma. Kesirleri ortak paydaya indirgemek.
Toplama ve çıkarma sıradan kesirler- işlem iyi bilinmektedir: ortak bir payda ararız, her kesri eksik faktörle çarparız ve payları toplar/çıkarırız. Hatırlayalım:
Cevaplar:
1. Paydalar ve göreceli olarak asaldır, yani ortak çarpanları yoktur. Dolayısıyla bu sayıların LCM'si çarpımlarına eşittir. Bu ortak payda olacak:
2. Burada ortak payda:
3. Buradaki ilk şey karışık kesirler bunları yanlış olanlara dönüştürüyoruz ve ardından olağan düzeni izliyoruz:
Kesirlerin harf içermesi tamamen farklı bir konudur, örneğin:
Basit bir şeyle başlayalım:
a) Paydalar harf içermez
Burada her şey sıradan olanla aynı sayısal kesirler: ortak paydayı bulun, her kesri eksik faktörle çarpın ve payları ekleyin/çıkarın:
Şimdi payda varsa benzerlerini verebilir ve bunları çarpanlarına ayırabilirsiniz:
Kendiniz deneyin:
b) Paydalar harflerden oluşur
Harfler olmadan ortak payda bulma ilkesini hatırlayalım:
· Öncelikle ortak faktörleri belirliyoruz;
· daha sonra tüm ortak faktörleri birer birer yazıyoruz;
· ve bunları tüm diğer ortak olmayan faktörlerle çarpın.
Paydaların ortak çarpanlarını belirlemek için öncelikle onları asal çarpanlara ayırıyoruz:
Ortak faktörleri vurgulayalım:
Şimdi ortak faktörleri tek tek yazalım ve bunlara ortak olmayan (altı çizili olmayan) faktörleri de ekleyelim:
Bu ortak paydadır.
Tekrar mektuplara dönelim. Paydalar tamamen aynı şekilde verilir:
· paydaları çarpanlara ayırın;
· ortak (aynı) faktörleri belirlemek;
· tüm ortak faktörleri bir kez yazın;
· bunları diğer tüm ortak olmayan faktörlerle çarpın.
Yani sırasıyla:
1) paydaları çarpanlara ayırın:
2) ortak (özdeş) faktörleri belirleyin:
3) tüm ortak faktörleri bir kez yazın ve bunları diğer tüm (altı çizili olmayan) faktörlerle çarpın:
Yani burada ortak bir payda var. İlk kesir ikinciyle çarpılmalıdır:
Bu arada, bir hile var:
Örneğin: .
Paydalarda aynı faktörleri görüyoruz, ancak hepsi farklı göstergeler. Ortak payda şu şekilde olacaktır:
bir dereceye kadar
bir dereceye kadar
bir dereceye kadar
bir dereceye kadar.
Görevi karmaşıklaştıralım:
Paydaları aynı olan kesirler nasıl yapılır?
Kesirlerin temel özelliğini hatırlayalım:
Hiçbir yerde aynı sayının bir kesrin payından ve paydasından çıkarılabileceği (veya eklenebileceği) söylenmiyor. Çünkü bu doğru değil!
Kendiniz görün: örneğin herhangi bir kesir alın ve pay ve paydaya bir sayı ekleyin, örneğin . Ne öğrendin?
İşte sarsılmaz bir kural daha:
Kesirleri azalttığınızda ortak payda, yalnızca çarpma işlemini kullanın!
Ama elde etmek için neyi çarpmanız gerekiyor?
Yani ile çarpın. Ve şununla çarpın:
Çarpanlara ayrılamayan ifadelere “temel faktörler” diyeceğiz. Örneğin, bu temel bir faktördür. - Aynı. Ama hayır: çarpanlara ayrılabilir.
Peki ya ifade? Temel mi?
Hayır, çünkü çarpanlara ayrılabilir:
(“” konusunda çarpanlara ayırma hakkında zaten okudunuz).
Yani, ifadeyi harflerle genişlettiğiniz temel faktörler bir analogdur. asal faktörler sayıları ayrıştırdığınız yer. Biz de onlarla aynı şekilde ilgileneceğiz.
Her iki paydanın da çarpanının olduğunu görüyoruz. Dereceye kadar ortak paydaya gidecektir (nedenini hatırlıyor musunuz?).
Faktör temeldir ve ortak bir faktörü yoktur; bu, ilk kesirin onunla çarpılması gerektiği anlamına gelir:
Başka bir örnek:
Çözüm:
Panik içinde bu paydaları çarpmadan önce bunları nasıl çarpanlara ayıracağınızı düşünmeniz gerekiyor. İkisi de şunları temsil ediyor:
Harika! Daha sonra:
Başka bir örnek:
Çözüm:
Her zamanki gibi paydaları çarpanlara ayıralım. İlk paydayı basitçe parantezlerin dışına çıkardık; ikincisinde - kareler farkı:
Görünüşe göre ortak faktörler yok. Ama yakından bakarsanız benzer olduklarını görürsünüz... Ve bu doğru:
Öyleyse yazalım:
Yani şu şekilde ortaya çıktı: parantez içinde terimleri değiştirdik ve aynı zamanda kesirin önündeki işaret de tersine değişti. Bunu sık sık yapmanız gerekeceğini unutmayın.
Şimdi bunu ortak bir paydada buluşturalım:
Anladım? Şimdi kontrol edelim.
Bağımsız çözüm için görevler:
Cevaplar:
Burada bir şeyi daha hatırlamamız gerekiyor: küplerin farkı:
Lütfen ikinci kesrin paydasının “toplamın karesi” formülünü içermediğini unutmayın! Toplamın karesi şöyle görünecektir: .
A, toplamın eksik karesi olarak adlandırılır: içindeki ikinci terim, birinci ve sonuncunun çarpımıdır, onların çifte çarpımı değil. Toplamın kısmi karesi, küpler farkının genişlemesindeki faktörlerden biridir:
Zaten üç kesir varsa ne yapmalı?
Evet, aynı şey! Öncelikle şundan emin olalım maksimum miktar paydalardaki faktörler aynıydı:
Lütfen dikkat: Bir parantez içindeki işaretleri değiştirirseniz kesirin önündeki işaret ters yönde değişir. İkinci parantez içindeki işaretleri değiştirdiğimizde kesrin önündeki işaret tekrar ters yönde değişir. Sonuç olarak o (kesrin önündeki işaret) değişmemiştir.
İlk paydanın tamamını ortak paydaya yazıyoruz ve ardından ikinciden ve sonra üçüncüden (ve daha fazla kesir varsa böyle devam ederek) henüz yazılmamış tüm faktörleri ekliyoruz. Yani şöyle çıkıyor:
Hımm... Kesirlerle ne yapılacağı açık. Peki ya ikisi?
Çok basit: Kesirlerin nasıl ekleneceğini biliyorsun, değil mi? O halde ikiyi kesir haline getirmemiz gerekiyor! Hatırlayalım: kesir bir bölme işlemidir (unutmanız durumunda pay, paydaya bölünür). Ve bir sayıyı bölmekten daha kolay bir şey yoktur. Bu durumda sayının kendisi değişmeyecek, ancak kesire dönüşecektir:
Tam da ihtiyacın olan şey!
5. Kesirlerde çarpma ve bölme.
Artık işin en zor kısmı bitti. Ve önümüzde en basit ama aynı zamanda en önemlisi:
Prosedür
Sayısal bir ifadeyi hesaplama prosedürü nedir? Bu ifadenin anlamını hesaplayarak şunu hatırlayın:
Saydın mı?
İşe yaramalı.
O halde hatırlatmama izin verin.
İlk adım dereceyi hesaplamaktır.
İkincisi çarpma ve bölmedir. Aynı anda birden fazla çarpma ve bölme işlemi varsa bunlar herhangi bir sırayla yapılabilir.
Ve son olarak toplama ve çıkarma işlemlerini yapıyoruz. Yine herhangi bir sırayla.
Ancak: parantez içindeki ifade sıra dışı olarak değerlendirilir!
Birkaç parantez birbiriyle çarpılır veya bölünürse, önce parantezlerin her birindeki ifadeyi hesaplar, sonra bunları çarpar veya böleriz.
Ya parantezlerin içinde daha fazla parantez varsa? Peki, düşünelim: parantezlerin içine bazı ifadeler yazılmış. Bir ifadeyi hesaplarken ilk önce ne yapmalısınız? Doğru, parantezleri hesaplayın. Bunu anladık: önce iç parantezleri hesaplıyoruz, sonra her şeyi hesaplıyoruz.
Yani yukarıdaki ifadenin prosedürü şu şekildedir (mevcut eylem kırmızıyla vurgulanmıştır, yani şu anda gerçekleştirdiğim eylem):
Tamam, her şey çok basit.
Ama bu harfli bir ifadeyle aynı şey değil mi?
Hayır, aynı! Yalnızca aritmetik işlemler yerine cebirsel işlemleri, yani önceki bölümde açıklanan eylemleri yapmanız gerekir: benzerini getirmek, kesirlerin eklenmesi, kesirlerin azaltılması vb. Tek fark, polinomları çarpanlara ayırma işlemi olacaktır (bunu kesirlerle çalışırken sıklıkla kullanırız). Çoğu zaman, çarpanlara ayırmak için I kullanmanız veya yalnızca çıkarmanız gerekir. ortak çarpan parantezlerin dışında.
Genellikle amacımız ifadeyi bir çarpım veya bölüm olarak temsil etmektir.
Örneğin:
İfadeyi sadeleştirelim.
1) Öncelikle parantez içindeki ifadeyi basitleştiriyoruz. Orada kesir farkımız var ve amacımız bunu çarpım veya bölüm olarak sunmak. Böylece kesirleri ortak bir paydaya getiriyoruz ve şunu ekliyoruz:
Bu ifadeyi daha fazla basitleştirmek imkansızdır; buradaki tüm faktörler temeldir (bunun ne anlama geldiğini hâlâ hatırlıyor musunuz?).
2) Şunu elde ederiz:
Kesirlerin çarpılması: daha basit ne olabilir?
3) Artık kısaltabilirsiniz:
İşte hepsi bu. Karmaşık bir şey yok, değil mi?
Başka bir örnek:
İfadeyi basitleştirin.
Öncelikle sorunu kendiniz çözmeye çalışın ve ancak o zaman çözüme bakın.
Öncelikle eylem sırasını belirleyelim. Öncelikle parantez içindeki kesirleri toplayalım, böylece iki kesir yerine bir kesir elde ederiz. Daha sonra kesirlerde bölme işlemi yapacağız. Peki, sonucu son kesirle ekleyelim. Adımları şematik olarak numaralandıracağım:
Şimdi size mevcut eylemi kırmızı renkle renklendirerek süreci göstereceğim:
Son olarak size iki yararlı ipucu vereceğim:
1. Benzerleri varsa derhal getirilmelidir. Ülkemizde benzerleri ne zaman ortaya çıkarsa çıksın, hemen gündeme getirilmesinde fayda var.
2. Aynı şey kesirlerin azaltılması için de geçerlidir: azaltma fırsatı ortaya çıktığı anda bundan yararlanılmalıdır. Bunun istisnası, eklediğiniz veya çıkardığınız kesirler içindir: eğer şimdi aynı paydalar, bu durumda azaltma daha sonraya bırakılmalıdır.
İşte kendi başınıza çözebileceğiniz bazı görevler:
Ve en başında vaat edilen şey:
Çözümler (kısa):
En azından ilk üç örnekle başa çıktıysanız, konuya hakim olduğunuzu düşünün.
Şimdi öğrenmeye geçelim!
İFADELERİ DÖNÜŞTÜRME. ÖZET VE TEMEL FORMÜLLER
Temel basitleştirme işlemleri:
- Benzerini getirmek: Benzer terimleri eklemek (azaltmak) için katsayılarını eklemeniz ve harf kısmını atamanız gerekir.
- Faktorizasyon: ortak çarpanı parantezlerin dışına çıkarmak, uygulamak vb.
- Bir kesirin azaltılması: Bir kesrin payı ve paydası, sıfırdan farklı aynı sayıyla çarpılabilir veya bölünebilir; bu, kesrin değerini değiştirmez.
1) pay ve payda çarpanlara ayırmak
2) Pay ve paydanın ortak çarpanları varsa bunların üzeri çizilebilir.ÖNEMLİ: yalnızca çarpanlar azaltılabilir!
- Kesirlerin eklenmesi ve çıkarılması:
; - Kesirlerle çarpma ve bölme:
;
(34∙10+(489–296)∙8):4–410. Eylemin gidişatını belirleyin. İlk eylemi iç parantez 489–296=193'te gerçekleştirin. Daha sonra 193∙8=1544 ve 34∙10=340'ı çarpın. Sonraki işlem: 340+1544=1884. Daha sonra 1884:4=461'i bölüp 461–410=60'ı çıkarın. Bu ifadenin anlamını buldunuz.
Örnek. 2sin 30°∙cos 30°∙tg 30°∙ctg 30° ifadesinin değerini bulun. Basitleştir bu ifade. Bunu yapmak için tg α∙ctg α=1 formülünü kullanın. Elde edilen: 2sin 30°∙cos 30°∙1=2sin 30°∙cos 30°. sin 30°=1/2 ve cos 30°=√3/2 olduğu bilinmektedir. Bu nedenle, 2sin 30°∙cos 30°=2∙1/2∙√3/2=√3/2. Bu ifadenin anlamını buldunuz.
Cebirsel ifadenin değeri. Değişkenleri verilen bir cebirsel ifadenin değerini bulmak için ifadeyi basitleştirin. Değişkenlerin yerine belirli değerler. Gerekli adımları tamamlayın. Sonuç olarak, verilen değişkenlerin cebirsel ifadesinin değeri olacak bir sayı alacaksınız.
Örnek. a=21 ve y=10 ile 7(a+y)–3(2a+3y) ifadesinin değerini bulun. Bu ifadeyi basitleştirin ve şunu elde edin: a–2y. Değişkenlerin karşılık gelen değerlerini değiştirin ve hesaplayın: a–2y=21–2∙10=1. Bu, a=21 ve y=10 olan 7(a+y)–3(2a+3y) ifadesinin değeridir.
lütfen aklınızda bulundurun
Var cebirsel ifadeler değişkenlerin bazı değerleri için anlamlı olmayan. Örneğin, x/(7–a) ifadesi a=7 ise bir anlam ifade etmez çünkü bu durumda kesrin paydası sıfır olur.
Kaynaklar:
- bulmak en küçük değer ifadeler
- C 14 ifadelerinin anlamlarını bulun
Matematikte ifadeleri basitleştirmeyi öğrenmek, problemleri doğru ve hızlı bir şekilde çözmek için gereklidir, çeşitli denklemler. Bir ifadeyi basitleştirmek, adım sayısını azaltmayı içerir, bu da hesaplamaları kolaylaştırır ve zaman kazandırır.
Talimatlar
C'nin kuvvetlerini hesaplamayı öğrenin. c'nin kuvvetleri çarpıldığında tabanı aynı olan bir sayı elde edilir ve üsler b^m+b^n=b^(m+n) ile toplanır. Dereceleri bölerken aynı gerekçelerle tabanı aynı kalan bir sayının kuvvetini elde ederler, üsler çıkarılır ve bölen b^m'nin üssü bölenin üssünden çıkarılır: b^n=b^(m-n). Bir kuvveti bir kuvvete yükseltirken tabanı aynı kalan ve üsleri çarpılan bir sayının kuvveti elde edilir (b^m)^n=b^(mn) Bir kuvvete yükseltirken her faktör, bu güce yükseltilir (abc)^m=a^m *b^m*c^m.
Faktör polinomları, yani. bunları çeşitli faktörlerin ve tek terimlilerin bir ürünü olarak hayal edin. Ortak çarpanı parantezlerden çıkarın. Kısaltılmış çarpmanın temel formüllerini öğrenin: kareler farkı, kareler farkı, toplam, küpler farkı, toplamın küpü ve fark. Örneğin, m^8+2*m^4*n^4+n^8=(m^4)^2+2*m^4*n^4+(n^4)^2. Bu formüller sadeleştirmede ana formüllerdir. Seçim yöntemini kullanın tam kare ax^2+bx+c biçimindeki bir trinomiyalde.
Kesirleri mümkün olduğunca sık kısaltın. Örneğin, (2*a^2*b)/(a^2*b*c)=2/(a*c). Ancak yalnızca çarpanları azaltabileceğinizi unutmayın. Pay ve payda ise cebirsel kesir sıfırdan farklı bir sayı ile çarpıldığında kesrin değeri değişmeyecektir. İfadeleri iki şekilde dönüştürebilirsiniz: zincirleme ve eylemlere göre. İkinci yöntem tercih edilir çünkü ara eylemlerin sonuçlarını kontrol etmek daha kolaydır.
İfadelerde köklerin çıkarılması sıklıkla gereklidir. Çift kökler yalnızca negatif olmayan ifadelerden veya sayılardan çıkarılır. Herhangi bir ifadeden tek kökler çıkarılabilir.
Kaynaklar:
- kuvvetlerle ifadelerin basitleştirilmesi
Trigonometrik fonksiyonlar ilk olarak soyut araçlar olarak ortaya çıktı. matematiksel hesaplamalar miktar bağımlılıkları keskin köşeler V dik üçgen kenarlarının uzunluklarından. Artık hem bilimsel hem de teknik alanlarda çok yaygın olarak kullanılıyorlar. insan faaliyeti. Verilen argümanların trigonometrik fonksiyonlarının pratik hesaplamaları için farklı araçlar kullanabilirsiniz - en erişilebilir olanlardan birkaçı aşağıda açıklanmıştır.
Talimatlar
Örneğin, varsayılan olarak yükleneni kullanın. işletim sistemi hesap makinesi programı. “Tüm programlar” bölümünde yer alan “Standart” alt bölümünden “Yardımcı Programlar” klasöründeki “Hesap Makinesi” öğesi seçilerek açılır. Bu bölüm, ana işletim menüsünü açmak için “Başlat” düğmesine basılarak açılabilir. Eğer kullanıyorsanız Windows sürümü 7'yi kullanıyorsanız, ana menünün "Programları ve dosyaları bul" alanına "Hesap Makinesi" girip arama sonuçlarında ilgili bağlantıya tıklamanız yeterlidir.
Miktarı sayın gerekli eylemler ve bunların hangi sırayla yapılması gerektiğini düşünün. Eğer bunu zor buluyorsan bu soru, lütfen önce parantez içindeki işlemlerin, ardından bölme ve çarpma işlemlerinin gerçekleştirildiğini unutmayın; ve çıkarma işlemi yapılır son çare. Gerçekleştirilen eylemlerin algoritmasını hatırlamayı kolaylaştırmak için, her eylem operatörü işaretinin (+,-,*,:) üzerindeki ifadeye, eylemlerin yürütülmesine karşılık gelen sayıları ince bir kalemle yazın.
Belirlenen sırayı takip ederek ilk adıma geçin. Eylemlerin sözlü olarak gerçekleştirilmesi kolay olup olmadığını kafanızdan sayın. Hesaplamalar gerekiyorsa (bir sütunda), bunları ifadenin altına yazarak belirtin. seri numarası eylemler.
Gerçekleştirilen eylemlerin sırasını açıkça takip edin, neyin neyin çıkarılması gerektiğini, neye bölünmesi gerektiğini vb. değerlendirin. Çoğu zaman ifadedeki cevap, yapılan hatalardan dolayı yanlış çıkıyor. bu aşamada.
Ayırt edici özellik ifade mevcudiyettir matematiksel işlemler. Belirli işaretlerle (çarpma, bölme, çıkarma veya toplama) gösterilir. Matematiksel işlemlerin gerçekleştirilme sırası gerekirse parantezlerle düzeltilir. Matematiksel işlemleri gerçekleştirmek, bulmak anlamına gelir.
Bir ifade ne değildir?
Her matematiksel gösterim bir ifade olarak sınıflandırılamaz.
Eşitlikler ifade değildir. Eşitlikte matematiksel işlemlerin bulunup bulunmadığının bir önemi yoktur. Örneğin a=5 bir eşitliktir, bir ifade değildir ancak 8+6*2=20 de çarpma içermesine rağmen bir ifade olarak değerlendirilemez. Bu örnek aynı zamanda eşitlik kategorisine aittir.
İfade ve eşitlik kavramları birbirini dışlayan kavramlar değildir; birincisi ikincisine dahildir. Eşittir işareti iki ifadeyi birbirine bağlar:
5+7=24:2
Bu denklem basitleştirilebilir:
5+7=12
Bir ifade her zaman temsil ettiği matematiksel işlemlerin gerçekleştirilebileceğini varsayar. 9+:-7 bir ifade değildir, her ne kadar burada matematiksel işlemlere dair işaretler olsa da, çünkü bu eylemleri gerçekleştirmek imkansızdır.
Biçimsel olarak ifade edilen ancak hiçbir anlamı olmayan matematiksel olanlar da vardır. Böyle bir ifadeye bir örnek:
46:(5-2-3)
46 sayısı parantez içindeki işlemlerin sonucuna bölünmelidir ve sıfıra eşittir. Sıfıra bölemezsiniz; eylemin yasak olduğu kabul edilir.
Sayısal ve cebirsel ifadeler
İki tür matematiksel ifade vardır.
Bir ifade yalnızca sayıları ve matematiksel işlemlerin sembollerini içeriyorsa, böyle bir ifadeye sayısal denir. Bir ifadede sayılarla birlikte harflerle gösterilen değişkenler varsa veya hiç sayı yoksa, ifade yalnızca değişkenlerden ve matematiksel işlemlerin sembollerinden oluşuyorsa buna cebirsel denir.
Temel fark sayısal değer Cebirsellikten gelen şey, sayısal bir ifadenin yalnızca bir değere sahip olmasıdır. Örneğin 56–2*3 sayısal ifadesinin değeri her zaman 50'ye eşit olacaktır; hiçbir şey değiştirilemez. Cebirsel bir ifadenin birçok değeri olabilir çünkü herhangi bir sayı yerine konulabilir. Yani b-7 ifadesinde b yerine 9 koyarsak ifadenin değeri 2, 200 ise 193 olur.
Kaynaklar:
- Sayısal ve cebirsel ifadeler