Talimatlar
Verilenleri yazın logaritmik ifade. İfade 10'un logaritmasını kullanıyorsa gösterimi kısaltılır ve şu şekilde görünür: lg b ondalık logaritma. Logaritmanın temelinde e sayısı varsa, şu ifadeyi yazın: ln b – doğal logaritma. Herhangi birinin sonucunun, b sayısını elde etmek için temel sayının yükseltilmesi gereken kuvvet olduğu anlaşılmaktadır.
İki fonksiyonun toplamını bulurken, tek tek türevlerini alıp sonuçları eklemeniz yeterlidir: (u+v)" = u"+v";
İki fonksiyonun çarpımının türevini bulurken, birinci fonksiyonun türevini ikinciyle çarpmak ve ikinci fonksiyonun türevinin birinci fonksiyonla çarpımını eklemek gerekir: (u*v)" = u"*v +v"*u;
İki fonksiyonun bölümünün türevini bulmak için, bölen fonksiyonu ile bölünen türevinin çarpımından bölen türevinin çarpımı ile bölünen fonksiyonun çarpımını çıkarmak ve bölmek gerekir. tüm bunlar bölen fonksiyonunun karesine göre. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;
Eğer verilirse karmaşık fonksiyon o zaman türevini çarpmak gerekir dahili fonksiyon ve dıştakinin türevi. y=u(v(x)) olsun, sonra y"(x)=y"(u)*v"(x) olsun.
Yukarıda elde edilen sonuçları kullanarak hemen hemen her işlevi ayırt edebilirsiniz. O halde birkaç örneğe bakalım:
y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;
y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2) *X));
Bir noktadaki türevin hesaplanmasıyla ilgili problemler de vardır. y=e^(x^2+6x+5) fonksiyonu verilsin, x=1 noktasında fonksiyonun değerini bulmanız gerekiyor.
1) Fonksiyonun türevini bulun: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).
2) Fonksiyonun değerini hesaplayın verilen nokta y"(1)=8*e^0=8
Konuyla ilgili video
Temel türevler tablosunu öğrenin. Bu önemli ölçüde zaman kazandıracaktır.
Kaynaklar:
- bir sabitin türevi
Peki arasındaki fark nedir rasyonel denklem rasyonelden mi? Bilinmeyen değişken karekök işaretinin altındaysa denklemin irrasyonel olduğu kabul edilir.
Talimatlar
Bu tür denklemleri çözmenin ana yöntemi her iki tarafı da oluşturma yöntemidir. denklemler bir kareye. Fakat. bu doğaldır, yapmanız gereken ilk şey tabeladan kurtulmaktır. Bu yöntem teknik olarak zor değildir ancak bazen sıkıntılara yol açabilmektedir. Örneğin denklem v(2x-5)=v(4x-7) şeklindedir. Her iki tarafın karesini alarak 2x-5=4x-7 elde edersiniz. Böyle bir denklemi çözmek zor değil; x=1. Ama 1 rakamı verilmeyecek denklemler. Neden? Denklemde x'in değeri yerine bir koyarsak sağ ve sol taraflarda anlamsız ifadeler yer alır. Bu değer karekök için geçerli değildir. Bu nedenle 1 yabancı bir köktür ve bu nedenle verilen denklem kökleri yoktur.
Bu yüzden, irrasyonel denklem her iki parçasının karesinin alınması yöntemi kullanılarak çözülür. Denklemi çözdükten sonra yabancı kökleri kesmek gerekir. Bunu yapmak için bulunan kökleri orijinal denklemde değiştirin.
Başka bir tane düşünün.
2х+vх-3=0
Elbette bu denklem bir önceki denklemin aynısı kullanılarak çözülebilir. Bileşikleri Taşı denklemler Karekökü olmayan , sağ tarafa ve ardından kare alma yöntemini kullanın. Ortaya çıkan rasyonel denklemi ve köklerini çözer. Ama aynı zamanda daha zarif bir tane daha. Yeni bir değişken girin; vх=y. Buna göre 2y2+y-3=0 formunda bir denklem elde edeceksiniz. Yani olağan ikinci dereceden denklem. Köklerini bulun; y1=1 ve y2=-3/2. Sonra iki tanesini çöz denklemler vх=1; vх=-3/2. İkinci denklemin kökleri yoktur; birinciden x=1 olduğunu buluruz. Kökleri kontrol etmeyi unutmayın.
Kimlikleri çözmek oldukça basittir. Bunu yapmak için yapmanız gerekenler kimlik dönüşümleri hedefe ulaşılana kadar. Böylece, en basitinin yardımıyla aritmetik işlemler eldeki görev çözülecektir.
İhtiyacın olacak
- - kağıt;
- - dolma kalem.
Talimatlar
Bu tür dönüşümlerin en basiti cebirsel kısaltılmış çarpmalardır (toplamın karesi (fark), kareler farkı, toplam (fark), toplamın küpü (fark) gibi). Ayrıca çok sayıda var trigonometrik formüller Bunlar aslında aynı kimliklerdir.
Aslında iki terimin toplamının karesi kareye eşit birinci artı birincinin ikinciyle çarpımının iki katı ve artı ikincinin karesi, yani (a+b)^2= (a+b)(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab +b^2.
Her ikisini de basitleştirin
Çözümün genel ilkeleri
Ders kitabına göre tekrarlayın matematiksel analiz veya yüksek matematik belirli bir integraldir. Bilindiği üzere çözüm belirli integral türevi bir integral veren bir fonksiyon var. Bu işlev antiderivatif denir. İle bu prensip ve ana integralleri oluşturur.İntegral formuna göre tablo integrallerinden hangisinin uyduğunu belirleyin bu durumda. Bunu hemen belirlemek her zaman mümkün olmuyor. Çoğu zaman tablo biçimi ancak integrandın basitleştirilmesi için yapılan birkaç dönüşümden sonra fark edilebilir hale gelir.
Değişken Değiştirme Yöntemi
İntegral, argümanı bir polinom olan trigonometrik bir fonksiyonsa, değişkenlerin değişimi yöntemini kullanmayı deneyin. Bunu yapmak için integralin argümanındaki polinomu yeni bir değişkenle değiştirin. Yeni ve eski değişkenler arasındaki ilişkiye dayanarak entegrasyonun yeni sınırlarını belirleyin. Bu ifadenin türevini alarak yeni diferansiyeli bulun. Yani alacaksın yeni görünümönceki integralin herhangi bir tablodaki integrale yakın veya hatta karşılık gelen.İkinci Tür İntegrallerin Çözülmesi
İntegral ikinci türden bir integral ise, integralin vektör biçimi ise, o zaman bu integrallerden skaler olanlara geçiş için kuralları kullanmanız gerekecektir. Böyle bir kural Ostrogradsky-Gauss ilişkisidir. Bu yasa bir vektör fonksiyonunun rotor akısından, belirli bir vektör alanının diverjansı üzerinden üçlü integrale gitmenizi sağlar.Entegrasyon sınırlarının değiştirilmesi
Antiderivatifi bulduktan sonra integralin limitlerini yerine koymak gerekir. İlk önce değeri değiştirin üst sınır terstürev için bir ifadeye dönüştürün. Bir numara alacaksınız. Daha sonra, elde edilen sayıdan alt limitten elde edilen başka bir sayıyı antiderivatife çıkarın. İntegral limitlerinden biri sonsuzluk ise, o zaman onu yerine koyarken antiderivatif fonksiyon sınıra gitmek ve ifadenin neyi hedeflediğini bulmak gerekiyor.İntegral iki boyutlu veya üç boyutlu ise, integralin nasıl değerlendirileceğini anlamak için integralin sınırlarını geometrik olarak temsil etmeniz gerekecektir. Aslında, örneğin üç boyutlu bir integral durumunda, integralin sınırları, entegre edilen hacmi sınırlayan tüm düzlemler olabilir.
(Yunanca λόγος - “kelime”, “ilişki” ve ἀριθμός - “sayı”) sayılar B dayalı A(log α B) böyle bir sayıya denir C, Ve B= bir c yani log α'yı kaydeder B=C Ve b=aC eşdeğerdir. Logaritma eğer a > 0, a ≠ 1, b > 0 ise anlamlıdır.
Başka bir deyişle logaritma sayılar B dayalı A bir sayının yükseltilmesi gereken bir üs olarak formüle edilmiştir A numarayı almak için B(logaritma yalnızca pozitif sayılar için mevcuttur).
Bu formülasyondan şu sonuç çıkar: x= log α hesaplaması B, a x =b denklemini çözmeye eşdeğerdir.
Örneğin:
log 2 8 = 3 çünkü 8 = 2 3.
Logaritmanın belirtilen formülasyonunun hemen belirlenmesini mümkün kıldığını vurgulayalım. logaritma değeri Logaritma işaretinin altındaki sayı tabanın belirli bir kuvveti gibi davrandığında. Aslında, logaritmanın formülasyonu şunu doğrulamayı mümkün kılar: b=a c, sonra sayının logaritması B dayalı A eşittir İle. Logaritma konusunun konuyla yakından ilgili olduğu da açıktır. bir sayının kuvvetleri.
Logaritmanın hesaplanmasına denir logaritma. Logaritma: matematiksel işlem logaritması alınır. Logaritma alınırken faktörlerin çarpımları terim toplamlarına dönüştürülür.
Potansiyelleşme logaritmanın ters matematiksel işlemidir. Güçlendirme sırasında belirli bir baz, güçlendirmenin gerçekleştirileceği ifade derecesine yükseltilir. Bu durumda terimlerin toplamları faktörlerin çarpımına dönüştürülür.
Oldukça sık olarak, gerçek logaritmalar 2 tabanı (ikili), Euler sayısı e ≈ 2,718 (doğal logaritma) ve 10 (ondalık) ile kullanılır.
Açık bu aşamada dikkate alınması tavsiye edilir logaritma örnekleri günlük 7 2 , içinde √ 5, lg0.0001.
Ve lg(-3), log -3 3.2, log -1 -4.3 girişleri mantıklı değil, çünkü ilkinde logaritmanın işaretinin altına negatif bir sayı yerleştiriliyor, ikincisinde negatif bir sayı var tabanda, üçüncüde logaritma işaretinin altında negatif bir sayı ve tabanda birim vardır.
Logaritmayı belirleme koşulları.
Şunu elde ettiğimiz a > 0, a ≠ 1, b > 0 koşullarını ayrı ayrı dikkate almakta fayda var. logaritmanın tanımı. Bu kısıtlamaların neden alındığını düşünelim. x = log α formundaki eşitlik bu konuda bize yardımcı olacaktır. B Yukarıda verilen logaritmanın tanımından doğrudan çıkan temel logaritmik özdeşlik olarak adlandırılır.
Hadi durumu ele alalım a≠1. Bir üzeri herhangi bir kuvvet bire eşit olduğundan, x=log α eşitliği sağlanır. B yalnızca şu durumlarda var olabilir: b=1, ancak log 1 1 herhangi bir gerçek sayı olacaktır. Bu belirsizliği ortadan kaldırmak için şunları alırız: a≠1.
Durumun gerekliliğini kanıtlayalım a>0. Şu tarihte: a=0 logaritmanın formülasyonuna göre ancak şu durumlarda var olabilir: b=0. Ve buna göre o zaman günlük 0 0 sıfırın sıfır olmayan herhangi bir kuvveti sıfır olduğundan, sıfırdan farklı herhangi bir gerçek sayı olabilir. Bu belirsizlik şu koşulla ortadan kaldırılabilir: a≠0. Ve ne zaman A<0 rasyonel ve irrasyonel bir derece olduğundan, logaritmanın rasyonel ve irrasyonel değerlerinin analizini reddetmek zorunda kalacağız. rasyonel gösterge yalnızca negatif olmayan bazlar için tanımlanır. Bu nedenle şart koşulmuştur. a>0.
VE son durum b>0 eşitsizlikten kaynaklanır a>0, çünkü x=log α B ve pozitif tabanlı derecenin değeri A her zaman olumlu.
Logaritmanın özellikleri.
Logaritmalar ayırt edici özelliklerle karakterize edilen özellikler Bu da özenli hesaplamaları önemli ölçüde kolaylaştırmak için yaygın kullanımlarına yol açtı. "Logaritmanın dünyasına" geçerken çarpma çok daha fazla dönüşüme uğrar kolay katlama, bölme çıkarmadır ve üs ve kök çıkarma sırasıyla üs tarafından çarpma ve bölmeye dönüştürülür.
Logaritmaların formülasyonu ve değerlerinin tablosu (için trigonometrik fonksiyonlar) ilk kez 1614 yılında İskoç matematikçi John Napier tarafından yayımlandı. Diğer bilim adamları tarafından genişletilen ve detaylandırılan logaritmik tablolar bilimsel ve mühendislik hesaplamalarında yaygın olarak kullanılmış ve elektronik hesap makineleri ve bilgisayarların kullanımına kadar geçerliliğini korumuştur.
\(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)
Daha basit bir şekilde açıklayalım. Örneğin, \(\log_(2)(8)\) güce eşit\(8\) elde etmek için \(2\)'nin yükseltilmesi gerekir. Bundan \(\log_(2)(8)=3\) olduğu açıktır.
|
Örnekler: |
\(\log_(5)(25)=2\) |
Çünkü \(5^(2)=25\) |
||
|
\(\log_(3)(81)=4\) |
Çünkü \(3^(4)=81\) |
|||
|
\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\) |
Çünkü \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\) |
Argüman ve logaritmanın tabanı
Herhangi bir logaritma aşağıdaki “anatomiye” sahiptir:
Bir logaritmanın argümanı genellikle kendi düzeyinde yazılır ve tabanı, logaritma işaretine daha yakın bir alt simgeyle yazılır. Ve bu girdi şu şekilde okunur: "Yirmi beşin beş tabanına göre logaritması."
Logaritma nasıl hesaplanır?
Logaritmayı hesaplamak için şu soruyu yanıtlamanız gerekir: Tartışmayı elde etmek için taban hangi güce yükseltilmelidir?
Örneğin, logaritmayı hesaplayın: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)
a) \(16\) elde etmek için \(4\) hangi kuvvete yükseltilmelidir? Açıkçası ikincisi. Bu yüzden:
\(\log_(4)(16)=2\)
\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)
c) \(1\) elde etmek için \(\sqrt(5)\) hangi kuvvete yükseltilmelidir? Hangi güç herhangi bir numarayı bir numara yapar? Elbette sıfır!
\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)
d) \(\sqrt(7)\) elde etmek için \(\sqrt(7)\) hangi kuvvete yükseltilmelidir? Öncelikle herhangi bir sayının birinci kuvveti kendisine eşittir.
\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)
e) \(\sqrt(3)\) elde etmek için \(3\) hangi kuvvete yükseltilmelidir? Ne olduğunu bildiğimizden kesirli güç ve bu şu anlama geliyor karekök\(\frac(1)(2)\)'nin kuvvetidir.
\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)
Örnek : Logaritmayı hesaplayın \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)
Çözüm :
|
\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\) |
Logaritmanın değerini bulmamız gerekiyor, x olarak gösterelim. Şimdi logaritmanın tanımını kullanalım: |
|
|
\((4\sqrt(2))^(x)=8\) |
\(4\sqrt(2)\) ile \(8\)'i birbirine bağlayan şey nedir? İki, çünkü her iki sayı da ikişer sayıyla temsil edilebilir: |
|
|
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\) |
Sol tarafta derecenin özelliklerini kullanıyoruz: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) ve \((a^(m))^(n)= a^(m\cdot n)\) |
|
|
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\) |
Bazlar eşit, göstergelerin eşitliğine geçiyoruz |
|
|
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\) |
|
Denklemin her iki tarafını \(\frac(2)(5)\) ile çarpın |
|
|
Ortaya çıkan kök logaritmanın değeridir |
Cevap : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)
Logaritma neden icat edildi?
Bunu anlamak için denklemi çözelim: \(3^(x)=9\). Eşitliğin işe yaraması için \(x\) ile eşleşmeniz yeterli. Elbette \(x=2\).
Şimdi denklemi çözün: \(3^(x)=8\).Neden x'e eşit? Önemli olan bu.
En akıllıları şunu söyleyecektir: "X ikiden biraz küçüktür." Bu sayı tam olarak nasıl yazılır? Bu soruyu cevaplamak için logaritma icat edildi. Onun sayesinde buradaki cevap \(x=\log_(3)(8)\) şeklinde yazılabilir.
Şunu vurgulamak istiyorum: \(\log_(3)(8)\), mesela herhangi bir logaritma sadece bir sayıdır. Evet, sıradışı görünüyor ama kısa. Çünkü eğer bunu forma yazmak isteseydik ondalık olsaydı şu şekilde görünürdü: \(1.892789260714.....\)
Örnek : \(4^(5x-4)=10\) denklemini çözün
Çözüm :
|
\(4^(5x-4)=10\) |
\(4^(5x-4)\) ve \(10\) aynı tabana getirilemez. Bu, logaritma olmadan yapamayacağınız anlamına gelir. Logaritmanın tanımını kullanalım: |
|
|
\(\log_(4)(10)=5x-4\) |
Denklemi X solda olacak şekilde çevirelim |
|
|
\(5x-4=\log_(4)(10)\) |
Bizden önce. \(4\)'ü sağa taşıyalım. Logaritmadan korkmayın, ona sıradan bir sayı gibi davranın. |
|
|
\(5x=\log_(4)(10)+4\) |
Denklemi 5'e bölün |
|
|
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\) |
|
Bu bizim kökümüzdür. Evet, alışılmadık görünüyor ama cevabı seçmiyorlar. |
Cevap : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)
Ondalık ve doğal logaritmalar
Logaritmanın tanımında belirtildiği gibi tabanı \((a>0, a\neq1)\) dışında herhangi bir pozitif sayı olabilir. Ve tüm olası tabanlar arasında, o kadar sık görülen iki taban var ki, bunlarla logaritmalar için özel bir kısa notasyon icat edildi:
Doğal logaritma: tabanı Euler sayısı \(e\) (yaklaşık olarak \(2,7182818…\)'ye eşit) olan ve logaritma \(\ln(a)\) olarak yazılan bir logaritma.
Yani, \(\ln(a)\) \(\log_(e)(a)\) ile aynıdır
Ondalık Logaritma: Tabanı 10 olan logaritma \(\lg(a)\) olarak yazılır.
Yani, \(\lg(a)\) \(\log_(10)(a)\) ile aynıdır, burada \(a\) bir sayıdır.
Temel logaritmik kimlik
Logaritmaların birçok özelliği vardır. Bunlardan bir tanesi “Temel logaritmik özdeşlik" ve şöyle görünüyor:
| \(a^(\log_(a)(c))=c\) |
Bu özellik doğrudan tanımdan kaynaklanmaktadır. Bu formülün tam olarak nasıl ortaya çıktığını görelim.
Logaritmanın tanımına ilişkin kısa bir notasyonu hatırlayalım:
eğer \(a^(b)=c\), o zaman \(\log_(a)(c)=b\)
Yani \(b\), \(\log_(a)(c)\) ile aynıdır. Daha sonra \(a^(b)=c\) formülünde \(b\) yerine \(\log_(a)(c)\) yazabiliriz. Ana logaritmik kimlik olan \(a^(\log_(a)(c))=c\) ortaya çıktı.
Logaritmanın diğer özelliklerini bulabilirsiniz. Onların yardımıyla, doğrudan hesaplanması zor olan ifadelerin değerlerini logaritmalarla basitleştirebilir ve hesaplayabilirsiniz.
Örnek : \(36^(\log_(6)(5))\) ifadesinin değerini bulun
Çözüm :
Cevap : \(25\)
Bir sayı logaritma olarak nasıl yazılır?
Yukarıda belirtildiği gibi, herhangi bir logaritma yalnızca bir sayıdır. Bunun tersi de doğrudur: Herhangi bir sayı logaritma olarak yazılabilir. Örneğin, \(\log_(2)(4)\)'un ikiye eşit olduğunu biliyoruz. Daha sonra iki yerine \(\log_(2)(4)\) yazabilirsiniz.
Ancak \(\log_(3)(9)\) aynı zamanda \(2\)'ye eşittir, bu da \(2=\log_(3)(9)\) yazabileceğimiz anlamına gelir. Aynı şekilde \(\log_(5)(25)\) ve \(\log_(9)(81)\), vb. ile. Yani ortaya çıkıyor
\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)
Böylece, eğer ihtiyaç duyarsak, ikiyi herhangi bir yerde herhangi bir tabanla logaritma olarak yazabiliriz (bir denklemde, bir ifadede, bir eşitsizlikte bile) - basitçe tabanın karesini argüman olarak yazabiliriz.
Üçlü için de durum aynıdır; \(\log_(2)(8)\), \(\log_(3)(27)\) veya \(\log_(4)() olarak yazılabilir. 64) \)... Burada küpteki tabanı argüman olarak yazıyoruz:
\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)
Ve dört ile:
\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)
Ve eksi bir ile:
\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1) )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\) \(...\)
Ve üçte biriyle:
\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)
Herhangi bir \(a\) sayısı \(b\) tabanına sahip bir logaritma olarak temsil edilebilir: \(a=\log_(b)(b^(a))\)
Örnek : İfadenin anlamını bulun \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)
Çözüm :
Cevap : \(1\)
Oran olarak
Verilen diğer iki sayıdan üç sayıdan herhangi birini bulma görevi ayarlanabilir. Eğer a ve ardından N verilirse, üstel alma yoluyla bulunurlar. Eğer N ve sonra a, x derecesinin kökü alınarak (veya üssüne yükseltilerek) verilir. Şimdi a ve N verildiğinde x'i bulmamız gereken durumu düşünün.
N sayısı pozitif olsun: a sayısı pozitif olsun ve bire eşit olmasın: .
Tanım. N sayısının a tabanına göre logaritması, N sayısını elde etmek için a'nın yükseltilmesi gereken üstür; logaritma şu şekilde gösterilir:
Böylece (26.1) eşitliğinde üs, N'nin a tabanına göre logaritması olarak bulunur. Gönderiler
sahip olmak aynı anlam. Eşitlik (26.1) bazen logaritma teorisinin ana özdeşliği olarak adlandırılır; gerçekte logaritma kavramının tanımını ifade eder. İle bu tanım Logaritmanın tabanı a her zaman pozitiftir ve birlikten farklıdır; logaritmik sayı N pozitiftir. Negatif sayıların ve sıfırın logaritması yoktur. Belirli bir tabana sahip herhangi bir sayının iyi tanımlanmış bir logaritmaya sahip olduğu kanıtlanabilir. Bu nedenle eşitlik gerektirir. Buradaki temel koşulun şu olduğuna dikkat edin: aksi takdirde Eşitlik x ve y'nin herhangi bir değeri için geçerli olduğundan sonuç doğrulanmayacaktır.
Örnek 1. Bul
Çözüm. Bir sayı elde etmek için 2 tabanının üssünü yükseltmeniz gerekir.
Aşağıdaki formda bu tür örnekleri çözerken notlar alabilirsiniz:
Örnek 2. Bulun.
Çözüm. Sahibiz
Örnek 1 ve 2'de logaritma sayısını tabanın rasyonel üslü kuvveti olarak temsil ederek istenilen logaritmayı kolayca bulduk. İÇİNDE genel durumörneğin, vb. için logaritma olduğundan bu yapılamaz. mantıksız anlam. Bu açıklamayla ilgili bir konuya dikkat çekelim. Paragraf 12'de herhangi bir belirleme olasılığı kavramını verdik. gerçek derece verildi pozitif sayı. Bu, genel anlamda irrasyonel sayılar olabilen logaritmanın tanıtılması için gerekliydi.
Logaritmanın bazı özelliklerine bakalım.
Özellik 1. Sayı ve taban eşitse logaritma bire eşit ve tersine, logaritma bire eşitse sayı ve taban eşittir.
Kanıt. Logaritmanın tanımına göre elimizde ve nereden
Tersine, tanım gereği Then'e izin verin
Özellik 2. Birin herhangi bir tabana göre logaritması sıfıra eşittir.
Kanıt. Logaritmanın tanımı gereği ( sıfır derece herhangi bir pozitif taban bire eşittir, bkz. (10.1)). Buradan
Q.E.D.
Tersi ifade de doğrudur: eğer ise N = 1'dir. Aslında elimizde .
Logaritmanın bir sonraki özelliğini formüle etmeden önce, a ve b sayılarının her ikisi de c'den büyük veya c'den küçükse, üçüncü c sayısının aynı tarafında yer aldığını kabul edelim. Bu sayılardan biri c'den büyük, diğeri c'den küçükse bu sayıların birlikte uzandığını söyleyeceğiz. farklı taraflar köyden
Özellik 3. Eğer sayı ve taban birin aynı tarafında yer alıyorsa logaritma pozitiftir; Sayı ve taban birin zıt taraflarında yer alıyorsa logaritma negatiftir.
Özellik 3'ün kanıtı, taban birden büyükse ve üs pozitifse veya taban birden küçükse ve üssün negatif olması durumunda a'nın kuvvetinin birden büyük olması gerçeğine dayanmaktadır. Taban birden büyükse ve üs negatifse veya taban birden küçükse ve üs pozitifse kuvvet birden küçüktür.
Göz önünde bulundurulması gereken dört durum vardır:
Biz kendimizi bunlardan ilkini analiz etmekle sınırlayacağız; gerisini okuyucu kendisi değerlendirecektir.
O halde eşitlikte üs ne negatif ne de olabilir sıfıra eşit dolayısıyla pozitiftir, yani kanıtlanması gerektiği gibidir.
Örnek 3. Aşağıdaki logaritmalardan hangilerinin pozitif, hangilerinin negatif olduğunu bulun:
Çözüm: a) 15 sayısı ve 12 tabanı birin aynı tarafında bulunduğuna göre;
b) 1000 ve 2 ünitenin bir tarafında bulunduğundan; bu durumda tabanın logaritmik sayıdan büyük olması önemli değildir;
c) 3.1 ve 0.8 birliğin zıt taraflarında yer aldığından;
G) ; Neden?
D) ; Neden?
Aşağıdaki 4-6 özelliklerine genellikle logaritma kuralları denir: bazı sayıların logaritmasını bilerek, çarpımlarının logaritmasını, bölümünü ve her birinin derecesini bulmayı sağlarlar.
Özellik 4 (çarpım logaritması kuralı). Birkaç pozitif sayının çarpımının logaritması bu temel toplamına eşit bu sayıların aynı tabana göre logaritmaları.
Kanıt. Verilen sayılar pozitif olsun.
Çarpımlarının logaritması için logaritmayı tanımlayan eşitliği (26.1) yazıyoruz:
Buradan bulacağız
Birinci ve üslü sayıların karşılaştırılması son ifadeler gerekli eşitliği elde ederiz:
Durumun gerekli olduğunu unutmayın; iki çarpımının logaritması negatif sayılar mantıklı ama bu durumda
Genel olarak, birkaç faktörün çarpımı pozitifse, logaritması bu faktörlerin mutlak değerlerinin logaritmasının toplamına eşittir.
Özellik 5 (bölümlerin logaritmasını alma kuralı). Pozitif sayıların bir bölümünün logaritması, aynı tabana göre bölünen ile bölenin logaritmaları arasındaki farka eşittir. Kanıt. Sürekli olarak buluyoruz
Q.E.D.
Özellik 6 (kuvvet logaritması kuralı). Bazı pozitif sayıların kuvvetinin logaritması logaritmaya eşit bu sayı üsle çarpılır.
Kanıt. Sayının asıl kimliğini (26.1) tekrar yazalım:
Q.E.D.
Sonuçlar. Pozitif bir sayının kökünün logaritması, radikalin logaritmasının kökün üssüne bölünmesine eşittir:
Bu sonucun geçerliliği, özellik 6'nın nasıl ve kullanıldığı hayal edilerek kanıtlanabilir.
Örnek 4: a tabanına göre logaritmayı alın:
a) (tüm b, c, d, e değerlerinin pozitif olduğu varsayılır);
b) (öyle olduğu varsayılır).
Çözüm, a) Gitmek uygundur bu ifade kesirli kuvvetlere:
(26.5)-(26.7) eşitliklerine dayanarak artık şunu yazabiliriz:
Sayıların logaritmaları üzerinde sayıların kendilerinden daha basit işlemlerin gerçekleştirildiğini fark ettik: sayıları çarparken logaritmaları toplanır, bölünürken çıkarılır vb.
Logaritmaların hesaplama uygulamalarında kullanılmasının nedeni budur (bkz. paragraf 29).
Logaritmanın ters işlemine potansiyelleştirme denir, yani: potansiyelleştirme, bir sayının belirli bir logaritmasından sayının kendisinin bulunması işlemidir. Temel olarak, potansiyelleştirme herhangi bir özel eylem değildir: bir tabanın güce yükseltilmesiyle ilgilidir ( logaritmaya eşit sayılar). "Güçlendirme" terimi, "üstelleştirme" terimiyle eşanlamlı olarak kabul edilebilir.
Potansiyelleştirme sırasında, logaritma kurallarının tersi olan kurallar kullanılmalıdır: logaritmaların toplamını çarpımın logaritmasıyla değiştirin, logaritma farkını bölümün logaritmasıyla değiştirin, vb. Özellikle, önde bir faktör varsa Logaritmanın işareti, potansiyasyon sırasında logaritmanın işareti altındaki üs derecelerine aktarılmalıdır.
Örnek 5. Eğer biliniyorsa N'yi bulun
Çözüm. Az önce belirttiğimiz potansiyel alma kuralına bağlı olarak, bu eşitliğin sağ tarafındaki logaritma işaretlerinin önünde duran 2/3 ve 1/3 çarpanlarını bu logaritmaların işaretleri altındaki üslere aktaracağız; aldık
Şimdi logaritma farkını bölümün logaritmasıyla değiştiriyoruz:
Bu eşitlik zincirindeki son kesri elde etmek için bir önceki kesri paydadaki irrasyonellikten kurtardık (bölüm 25).
Özellik 7. Taban birden büyükse, o zaman daha büyük sayı daha büyük bir logaritmaya sahiptir (ve daha küçük bir sayı daha küçüktür), eğer taban birden küçükse, daha büyük bir sayının daha küçük bir logaritması vardır (ve daha küçük bir sayının daha büyük bir logaritması vardır).
Bu özellik aynı zamanda her iki tarafı da pozitif olan eşitsizliklerin logaritmasını almak için bir kural olarak formüle edilmiştir:
Eşitsizliklerin logaritması tabana alınırken, birden büyük eşitsizliğin işareti korunur ve logaritma birden küçük bir tabana alındığında eşitsizliğin işareti ters yönde değişir (ayrıca bkz. paragraf 80).
İspat, 5 ve 3 numaralı özelliklere dayanmaktadır. If'in logaritmasını alarak elde ettiğimiz durumu düşünün.
(a ve N/M birliğin aynı tarafındadır). Buradan
Aşağıdaki durumda okuyucu bunu kendi başına çözecektir.
Tanımından yola çıkıyorlar. Ve böylece sayının logaritması B dayalı A bir sayının yükseltilmesi gereken üs olarak tanımlanır A numarayı almak için B(logaritma yalnızca pozitif sayılar için mevcuttur).
Bu formülasyondan, hesaplama şu şekildedir: x=log a b, denklemi çözmeye eşdeğerdir ax =b.Örneğin, günlük 2 8 = 3Çünkü 8 = 2 3 . Logaritmanın formülasyonu şunu doğrulamayı mümkün kılar: b=a c, sonra sayının logaritması B dayalı A eşittir İle. Logaritma konusunun bir sayının kuvvetleri konusuyla yakından ilgili olduğu da açıktır.
Herhangi bir sayıda olduğu gibi logaritmalarla da şunları yapabilirsiniz: toplama, çıkarma işlemleri ve mümkün olan her şekilde dönüştürün. Ancak logaritmalar tamamen sıradan sayılar olmadığı için burada kendi özel kuralları geçerlidir. ana özellikler.
Logaritmaların toplanması ve çıkarılması.
İki logaritmayı alalım aynı gerekçelerle: x'i günlüğe kaydet Ve bir y'yi günlüğe kaydet. Daha sonra toplama ve çıkarma işlemlerini gerçekleştirmek mümkündür:
log a x+ log a y= log a (x·y);
log a x - log a y = log a (x:y).
bir günlüğe kaydet(X 1 . X 2 . X 3 ... xk) = x'i günlüğe kaydet 1 + x'i günlüğe kaydet 2 + x'i günlüğe kaydet 3 + ... + a x k'yi günlüğe kaydet.
İtibaren logaritma bölüm teoremi Logaritmanın bir özelliği daha elde edilebilir. Günlüğe kaydetmenin yaygın bir bilgi olduğu A 1= 0 dolayısıyla
kayıt A 1 /B=günlük A 1 - günlük bir b= -günlük bir b.
Bu, bir eşitliğin olduğu anlamına gelir:
log a 1 / b = - log a b.
Karşılıklı iki sayının logaritması aynı nedenden ötürü birbirinden yalnızca işaret açısından farklılık gösterecektir. Bu yüzden:
Günlük 3 9= - günlük 3 1 / 9 ; log 5 1 / 125 = -log 5 125.