Gizliliğinizin korunması bizim için önemlidir. Bu nedenle bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik uygulamalarımızı inceleyin ve herhangi bir sorunuz varsa bize bildirin.
Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması
Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya onunla iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.
Sizden bilgilerinizi vermeniz istenebilir kişisel bilgiler bizimle iletişime geçtiğinizde.
Aşağıda toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize dair bazı örnekler verilmiştir.
Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:
- Siteye bir başvuru gönderdiğinizde adınız, telefon numaranız, adresiniz dahil çeşitli bilgileri toplayabiliriz. e-posta vesaire.
Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:
- Topladığımız kişisel bilgiler sizinle iletişime geçmemize ve sizi benzersiz teklifler, promosyonlar ve diğer etkinlikler ve yaklaşan etkinlikler.
- Zaman zaman kişisel bilgilerinizi önemli bildirimler ve iletişimler göndermek için kullanabiliriz.
- Kişisel bilgileri ayrıca denetim, veri analizi ve çeşitli çalışmalar sunduğumuz hizmetleri geliştirmek ve size hizmetlerimizle ilgili tavsiyeler sunmak için.
- Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir promosyona katılırsanız, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.
Bilgilerin üçüncü şahıslara açıklanması
Sizden aldığımız bilgileri üçüncü şahıslara açıklamıyoruz.
İstisnalar:
- Gerektiğinde kanuna uygun olarak, adli prosedür, V duruşma ve/veya genel taleplere veya taleplere dayalı olarak devlet kurumları Rusya Federasyonu topraklarında - kişisel bilgilerinizi ifşa edin. Ayrıca, bu tür bir açıklamanın güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer kamu önemi amaçları açısından gerekli veya uygun olduğunu tespit edersek, hakkınızdaki bilgileri de açıklayabiliriz.
- Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda topladığımız kişisel bilgileri ilgili halef üçüncü tarafa aktarabiliriz.
Kişisel bilgilerin korunması
Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişime, ifşa edilmeye, değiştirilmeye ve imhaya karşı korumak için idari, teknik ve fiziksel önlemler alıyoruz.
Şirket düzeyinde gizliliğinize saygı duymak
Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için gizlilik ve güvenlik standartlarını çalışanlarımıza aktarıyor ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uyguluyoruz.
MÖ beşinci yüzyılda, antik Yunan filozofu Elea'lı Zenon, en ünlüsü "Aşil ve Kaplumbağa" aporia'sı olan ünlü aporialarını formüle etti. İşte kulağa nasıl geliyor:Diyelim ki Aşil kaplumbağadan on kat daha hızlı koşuyor ve onun bin adım gerisinde. Aşil'in bu mesafeyi koştuğu süre boyunca kaplumbağa aynı yönde yüz adım kadar sürünecektir. Aşil yüz adım koştuğunda kaplumbağa on adım daha sürünür ve bu böyle devam eder. Süreç sonsuza kadar devam edecek, Aşil kaplumbağaya asla yetişemeyecek.
Bu akıl yürütme sonraki tüm nesiller için mantıksal bir şok oldu. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Hilbert... Hepsi öyle ya da böyle Zenon'un açmazını değerlendirdiler. Şok o kadar güçlüydü ki " ...paradoksların özü hakkında ortak bir görüşe varmak için tartışmalar bugün de devam ediyor bilimsel toplulukşu ana kadar bu mümkün olmadı... konunun araştırılmasına dahil olduk matematiksel analiz, küme teorisi, yeni fiziksel ve felsefi yaklaşımlar; hiçbiri soruna genel kabul görmüş bir çözüm olmadı..."[Wikipedia, "Zeno'nun Aporia'sı". Herkes kandırıldıklarını anlıyor ama kimse aldatmanın nelerden oluştuğunu anlamıyor.
Matematiksel bir bakış açısından Zeno, çıkmazında nicelikten niceliğe geçişi açıkça gösterdi. Bu geçiş, kalıcı uygulamalar yerine uygulamayı ima etmektedir. Anladığım kadarıyla, matematiksel aparat Değişken ölçü birimlerinin kullanımı ya henüz geliştirilmemiştir ya da Zeno'nun açmazına uygulanmamıştır. Her zamanki mantığımızı uygulamak bizi tuzağa düşürür. Biz, düşüncenin ataleti nedeniyle, karşılıklı değere sabit zaman birimleri uyguluyoruz. İLE fiziksel nokta Bir açıdan bakıldığında, Aşil'in kaplumbağaya yetiştiği anda tamamen durana kadar zaman yavaşlıyor gibi görünüyor. Zaman durursa Aşil kaplumbağadan daha fazla koşamaz.
Her zamanki mantığımızı tersine çevirirsek her şey yerli yerine oturur. Aşil ile çalışır sabit hız. Yolunun sonraki her bölümü bir öncekinden on kat daha kısadır. Buna göre, bunun üstesinden gelmek için harcanan süre bir öncekine göre on kat daha azdır. Bu duruma “sonsuzluk” kavramını uygularsak o zaman “Aşil kaplumbağaya sonsuz hızla yetişecek” demek doğru olur.
Bu mantıksal tuzaktan nasıl kaçınılır? İçeride kal sabit birimler Zaman ölçümleri ve karşılıklı büyüklüklere gidilmez. Zeno'nun dilinde şöyle görünür:
Aşil'in bin adım koşması gereken sürede kaplumbağa aynı yönde yüz adım koşacaktır. Bir sonraki zaman aralığı için, birinciye eşit Aşil bin adım daha koşacak ve kaplumbağa yüz adım daha sürünecek. Artık Aşil kaplumbağanın sekiz yüz adım ilerisindedir.
Bu yaklaşım, herhangi bir mantıksal paradoks olmaksızın gerçekliği yeterince tanımlamaktadır. Ama değil komple çözüm sorunlar. Einstein'ın ışık hızının karşı konulmazlığıyla ilgili açıklaması Zeno'nun "Aşil ve Kaplumbağa" açmazına çok benziyor. Hala bu sorunu incelememiz, yeniden düşünmemiz ve çözmemiz gerekiyor. Ve çözümün sonsuz büyük sayılarda değil, ölçü birimlerinde aranması gerekiyor.
Zeno'nun bir başka ilginç açmazı da uçan bir oktan bahseder:
Uçan ok, zamanın her anında hareketsiz olduğundan hareketsizdir ve zamanın her anında hareketsiz olduğundan daima hareketsizdir.
Bu açmazda, mantıksal paradoksun üstesinden çok basit bir şekilde gelinir - uçan bir okun uzayın farklı noktalarında hareketsiz olduğunu, yani aslında hareket olduğunu açıklığa kavuşturmak yeterlidir. Burada bir başka noktaya dikkat çekmek gerekiyor. Yoldaki bir arabanın bir fotoğrafından ne hareketinin gerçekliğini ne de ona olan mesafeyi belirlemek imkansızdır. Bir arabanın hareket edip etmediğini belirlemek için aynı noktadan çekilmiş iki fotoğrafa ihtiyacınız vardır. farklı anlar zaman ama mesafe onlardan belirlenemez. Arabaya olan mesafeyi belirlemek için iki fotoğrafa ihtiyacınız var. farklı noktalar zamanın bir noktasında uzay, ancak onlardan hareketin gerçeğini belirlemek imkansızdır (doğal olarak hesaplamalar için hala ek verilere ihtiyaç vardır, trigonometri size yardımcı olacaktır). Belirtmek istediğim şey özel ilgi Zamandaki iki nokta ile uzaydaki iki noktanın karıştırılmaması gereken farklı şeyler olduğu, çünkü araştırma için farklı fırsatlar sundukları.
4 Temmuz 2018 Çarşamba
Küme ve çoklu küme arasındaki farklar Vikipedi'de çok iyi anlatılmıştır. Görelim.
Gördüğünüz gibi "bir kümede iki özdeş eleman olamaz" ama bir kümede özdeş elemanlar varsa böyle bir kümeye "çoklu küme" denir. Makul varlıklar bu kadar saçma mantığı asla anlayamayacaklar. Bu seviye konuşan papağanlar ve "tamamen" kelimesinden zekası olmayan eğitimli maymunlar. Matematikçiler bize saçma fikirlerini vaaz eden sıradan eğitmenler gibi davranırlar.
Bir zamanlar köprüyü inşa eden mühendisler, köprüyü test ederken köprünün altında bir teknedeydiler. Köprü çökerse, vasat mühendis, yarattığı eserin enkazı altında öldü. Köprünün yüke dayanabilmesi durumunda yetenekli mühendis başka köprüler de inşa etti.
Matematikçiler ne kadar “dikkat edin, ben evdeyim” ya da daha doğrusu “matematik çalışmaları” ifadesinin arkasına saklanırlarsa saklansınlar. soyut kavramlar", onları gerçekliğe ayrılmaz bir şekilde bağlayan bir göbek bağı var. Bu göbek bağı paradır. Uygula matematiksel teori matematikçilerin kendilerine sunar.
Matematiği çok iyi çalıştık ve şimdi kasanın başında oturup maaş dağıtıyoruz. Yani bir matematikçi parası için bize geliyor. Tutarın tamamını ona sayıyoruz ve içine aynı değerdeki banknotları koyduğumuz farklı yığınlar halinde masamıza koyuyoruz. Daha sonra her desteden birer banknot alıp matematikçiye veriyoruz." matematik seti Maaşlar." Matematiğe, kalan faturaları ancak aynı elemanları olmayan bir setin, aynı elemanları olan bir sete eşit olmadığını kanıtladığında alacağını açıklıyoruz. İşte eğlence burada başlıyor.
Öncelikle milletvekillerinin mantığı işleyecek: “Bu başkalarına da uygulanabilir ama bana uygulanamaz!” Daha sonra aynı değerdeki banknotların farklı banknot numaralarına sahip olduğu, yani aynı unsurlar olarak kabul edilemeyecekleri konusunda bize güvence vermeye başlayacaklar. Tamam, maaşları madeni para cinsinden sayalım - madeni paraların üzerinde rakam yok. Burada matematikçi çılgınca fiziği hatırlamaya başlayacak: farklı madeni paralarda farklı miktarlarçamur, kristal yapısı ve her madeni paradaki atomların düzeni benzersizdir...
Ve şimdi en çok şeye sahibim ilginç soru: Bir çoklu kümenin elemanlarının bir kümenin elemanlarına dönüştüğü ve bunun tersinin de geçerli olduğu çizgi nerede? Böyle bir çizgi yok - her şeye şamanlar karar veriyor, bilim burada yalan söylemeye bile yakın değil.
Buraya bak. Aynı saha alanına sahip futbol stadyumlarını seçiyoruz. Alanların alanları aynıdır; bu da bir çoklu kümeye sahip olduğumuz anlamına gelir. Ancak aynı stadyumların isimlerine baktığımızda çok sayıda isim görüyoruz çünkü isimler farklı. Gördüğünüz gibi aynı eleman kümesi hem bir küme hem de çoklu kümedir. Hangisi doğru? Ve burada matematikçi-şaman-keskinci kolundan bir koz çıkarır ve bize ya bir kümeden ya da bir çoklu kümeden bahsetmeye başlar. Her durumda bizi haklı olduğuna ikna edecektir.
Modern şamanların küme teorisini gerçekliğe bağlayarak nasıl çalıştığını anlamak için bir soruyu yanıtlamak yeterlidir: Bir kümenin öğeleri başka bir kümenin öğelerinden nasıl farklıdır? Size "tek bir bütün olarak düşünülemez" veya "tek bir bütün olarak düşünülemez" olmadan göstereceğim.
18 Mart 2018 Pazar
Bir sayının rakamlarının toplamı, şamanların tef ile dansıdır ve bunun matematikle hiçbir ilgisi yoktur. Evet, matematik derslerinde bize bir sayının rakamlarının toplamını bulmamız ve bunu kullanmamız öğretilir, ancak bu yüzden onlar şamandırlar, nesillerine becerilerini ve bilgeliğini öğretmek için çalışırlar, aksi takdirde şamanlar yok olup giderler.
Kanıta mı ihtiyacınız var? Wikipedia'yı açın ve "Bir sayının rakamlarının toplamı" sayfasını bulmaya çalışın. O yok. Matematikte herhangi bir sayının rakamlarının toplamını bulmak için kullanılabilecek bir formül yoktur. Sonuçta sayılar grafik sembolleri Yardımıyla sayıları yazıyoruz ve matematik dilinde görev şu şekilde geliyor: "Herhangi bir sayıyı temsil eden grafik sembollerin toplamını bulun." Matematikçiler bu problemi çözemezler ama şamanlar bunu kolaylıkla yapabilirler.
Sayıların toplamını bulmak için ne ve nasıl yapacağımızı bulalım. verilen numara. Peki elimizde 12345 sayısı var. Bu sayının rakamlarının toplamını bulmak için ne yapılması gerekiyor? Tüm adımları sırayla ele alalım.
1. Numarayı bir kağıda yazın. Ne yaptık? Sayıyı grafiksel sayı sembolüne dönüştürdük. Bu matematiksel bir işlem değil.
2. Ortaya çıkan bir resmi, ayrı sayılar içeren birkaç resme kesin. Bir resmi kesmek matematiksel bir işlem değildir.
3. Bireysel grafik sembollerini sayılara dönüştürün. Bu matematiksel bir işlem değil.
4. Ortaya çıkan sayıları ekleyin. Şimdi bu matematik.
12345 sayısının rakamlarının toplamı 15'tir. Bunlar matematikçilerin kullandığı şamanların "kesme ve dikme kurslarıdır". Ama hepsi bu değil.
Matematiksel açıdan bakıldığında bir sayıyı hangi sayı sisteminde yazdığımız önemli değildir. Yani, içinde farklı sistemler Matematikte aynı sayının rakamlarının toplamı farklı olacaktır. Matematikte sayı sistemi sayının sağında alt simge olarak gösterilir. İLE çok sayıda 12345 Kafamı kandırmak istemem, ilgili yazıdan 26 sayısına bakalım. Bu sayıyı ikili, sekizli, onlu ve onaltılı sayı sistemlerinde yazalım. Her adıma mikroskop altında bakmayacağız; bunu zaten yaptık. Sonuca bakalım.
Gördüğünüz gibi farklı sayı sistemlerinde aynı sayının rakamlarının toplamı farklıdır. Bu sonucun matematikle hiçbir ilgisi yoktur. Tıpkı bir dikdörtgenin alanını metre ve santimetre olarak belirlerseniz tamamen farklı sonuçlar elde etmeniz gibi.
Sıfır tüm sayı sistemlerinde aynı görünür ve rakam toplamı yoktur. Bu, gerçeğin lehine başka bir argümandır. Matematikçilere soru: Matematikte sayı olmayan bir şey nasıl belirlenir? Ne yani, matematikçiler için sayılardan başka hiçbir şey yok mu? Buna şamanlar için izin verebilirim ama bilim adamları için izin veremem. Gerçeklik sadece sayılardan ibaret değildir.
Elde edilen sonuç, sayı sistemlerinin sayıların ölçü birimleri olduğunun kanıtı olarak değerlendirilmelidir. Sonuçta sayıları karşılaştıramayız farklı birimlerölçümler. Aynı niceliğin farklı ölçü birimleriyle yapılan aynı eylemler, karşılaştırıldıktan sonra farklı sonuçlara yol açıyorsa, bunun matematikle hiçbir ilgisi yoktur.
Gerçek matematik nedir? İşte o zaman sonuç matematiksel işlem sayının büyüklüğüne, kullanılan ölçü birimine ve eylemi kimin gerçekleştirdiğine bağlı değildir.
Ah! Burası kadınlar tuvaleti değil mi?
- Genç kadın! Burası, cennete yükselişleri sırasında ruhların ölümsüz kutsallığının incelenmesine yönelik bir laboratuvardır! Halo üstte ve yukarı ok. Başka hangi tuvalet?
Dişi... Üstteki hale ve aşağı ok erkektir.
Böyle bir tasarım sanatı eseri günde birkaç kez gözünüzün önünden geçiyorsa,
O halde arabanızda aniden garip bir simge bulmanız şaşırtıcı değil:
Ben kişisel olarak kaka yapan bir insanda eksi dört dereceyi görmeye çalışıyorum (bir resim) (birkaç resimden oluşan bir kompozisyon: bir eksi işareti, dört rakamı, derecelerin gösterimi). Ve bu kızın aptal olduğunu düşünmüyorum, hayır fizik konusunda bilgili. Sadece basmakalıp bir algı algısı var grafik görseller. Ve matematikçiler bize bunu her zaman öğretiyorlar. İşte bir örnek.
1A “eksi dört derece” veya “bir a” değildir. Bu "kaka yapan adam" veya onaltılık gösterimle "yirmi altı" sayısıdır. Sürekli olarak bu sayı sisteminde çalışan kişiler, sayıyı ve harfi otomatik olarak tek bir grafik sembol olarak algılarlar.
>> Sayı çemberi
7-9. Sınıflar için cebir dersini çalışırken şu ana kadar cebirsel fonksiyonlarla ilgilendik. Kayıtlarında kullandığımız ifadelerle analitik olarak belirtilen fonksiyonlar cebirsel işlemler sayılar ve değişkenler (toplama, çıkarma, çarpma, bölümüs alma, çıkarma karekök). Ancak gerçek durumların matematiksel modelleri genellikle cebirsel değil, farklı türdeki fonksiyonlarla ilişkilendirilir. Bu bölümde cebirsel olmayan fonksiyonlar sınıfının (trigonometrik fonksiyonlar) ilk temsilcileriyle tanışacağız. Lisede trigonometrik fonksiyonları ve diğer cebirsel olmayan fonksiyon türlerini (üstel ve logaritmik) daha ayrıntılı olarak öğreneceksiniz.
Giriş için trigonometrik fonksiyonlar yenisine ihtiyacımız olacak matematiksel model- henüz karşılaşmadığınız ancak sayı doğrusuna çok aşina olduğunuz bir sayı çemberi. Sayı doğrusunun, başlangıç noktası O, ölçeği (birim parçası) ve pozitif yönü verilen düz bir çizgi olduğunu hatırlayın. Herhangi bir gerçek sayıyı bir çizgi üzerindeki bir noktayla karşılaştırabiliriz ve bunun tersi de geçerlidir.
X sayısını kullanarak bir doğru üzerinde karşılık gelen M noktasını nasıl bulabilirim? 0 sayısı O başlangıç noktasına karşılık gelir. Eğer x > 0 ise, 0 noktasından pozitif yönde düz bir çizgi boyunca ilerleyerek n^'inci uzunluktaki x'i geçmeniz gerekir; bu yolun sonu olacak istenilen nokta M(x). eğer x< 0, то, двигаясь по прямой из точки О в отрицательном направлении, нужно пройти путь 1*1; конец этого пути и будет искомой точкой М(х). Число х - координата точки М.
Nasıl karar verdik? ters problem, yani Sayı doğrusunda belirli bir M noktasının x koordinatını nasıl buldunuz? OM segmentinin uzunluğunu bulduk ve M noktasının düz çizgide bulunduğu O noktasının hangi tarafında olduğuna bağlı olarak “+” veya * - “işaretiyle aldık.
Ama içinde gerçek hayat Sadece düz bir çizgide hareket etmek zorunda değilsiniz. Oldukça sık, birlikte hareket daire. Burada somut örnek. Stadyumun koşu parkurunu bir daire olarak düşünelim (aslında bu elbette bir daire değil, ancak unutmayın, spor yorumcularının genellikle söylediği gibi: "koşucu bir daire koştu", "yarım daire kaldı" bitişten önce koşmak” vb.), uzunluğu 400 m'dir. Başlangıç işaretlenmiştir - A noktası (Şek. 97). A noktasından gelen koşucu daire etrafında saat yönünün tersine hareket eder. 200 metre sonra nerede olacak? 400 metrede mi? 800 metrede mi? 1500 m'de mi? 42 km 195 m maraton mesafesini koşuyorsa bitiş çizgisini nereye çizmeli?
200 m sonra, A noktasının taban tabana zıtı olan C noktasında olacaktır (200 m, koşu bandının yarısının uzunluğu, yani yarım dairenin uzunluğudur). 400 m (yani sporcuların deyimiyle “bir tur”) koştuktan sonra A noktasına dönecektir. 800 m (yani “iki tur”) koştuktan sonra kendini tekrar A noktasında bulacaktır. M ? Bu "üç daire" (1200 m) artı başka bir 300 m'dir, yani. 3
Koşu bandı - bu mesafenin bitişi 2. noktada olacaktır) (Şek. 97).
Sadece maratonla uğraşmamız gerekiyor. Sporcu 105 tur koştuktan sonra 105-400 = 42.000 m mesafeyi kat edecektir. 42 km. Bitiş çizgisine 195 m kaldı, yani çevrenin yarısından 5 m daha az. Bu, maraton mesafesinin bitişinin C noktasına yakın M noktasında olacağı anlamına gelir (Şek. 97).
Yorum. Elbette sözleşmeyi anlıyorsunuz son örnek. Hiç kimse stadyumun etrafında maraton mesafesini koşmaz, maksimum 10.000 m'dir, yani. 25 tur.
Stadyum koşu bandı boyunca istediğiniz uzunlukta koşabilir veya yürüyebilirsiniz. Yani herhangi biri pozitif sayı bir noktaya karşılık gelir - “mesafe bitişi”. Üstelik herkes yapabilir negatif sayıçember üzerinde bir noktayı eşleştirin: sadece sporcunun koşmasını sağlamanız yeterli ters yön, yani A noktasından saat yönünün tersine değil, saat yönünde başlayın. O halde stadyum koşu parkuru bir sayı çemberi olarak düşünülebilir.
Prensip olarak, herhangi bir daire sayısal bir daire olarak düşünülebilir, ancak matematikte bu amaç için bir birim daire kullanılması kabul edildi - yarıçapı 1 olan bir daire. Bu bizim "koşu bandımız" olacak. Yarıçapı K olan bir dairenin uzunluğu b aşağıdaki formülle hesaplanır. Şekil 2'de yarım dairenin uzunluğu n ve çeyrek dairenin uzunluğu AB, BC, SB, DA'dır. 98 - eşit Birim çemberin ilk çeyreğine AB yayına, ikinci çeyreğe BC yayına, üçüncü çeyreğe CB yayına, dördüncü çeyreğe DA yayını demeyi kabul edelim (Şekil 98). Aynı zamanda genellikle hakkında konuşuyoruz Açık Ark hakkında, yani. uçları olmayan bir yay hakkında (sayı doğrusundaki aralık gibi bir şey).
Tanım. Bir birim daire verilir ve üzerinde A başlangıç noktası işaretlenir - yatay çapın sağ ucu (Şekil 98). Her birini eşleştirelim gerçek sayı Aşağıdaki kurala göre daireyi işaret ediyorum:
1) eğer x > 0 ise, A noktasından saat yönünün tersine (dairenin pozitif yönü) hareket ederek, uzunluk çemberi boyunca bir yol tanımlayacağız ve bitiş noktası Bu yolun M'si istenilen nokta olacaktır: M = M(x);
2) eğer x< 0, то, двигаясь из точки А в направлении по часовой стрелке (отрицательное направление обхода окружности), опишем по окружности путь длиной и |; конечная точка М этого пути и будет искомой точкой: М = М(1);
A noktasını 0 ile ilişkilendirelim: A = A(0).
Birim çember ile yerleşik uyumluluk(Gerçek sayılar ile çemberin noktaları arasında) sayı çemberi olarak adlandırılacaktır.
Örnek 1. Bul sayı dairesi 
Verilen yedi sayıdan ilk altısı pozitif olduğundan çember üzerinde karşılık gelen noktaları bulmak için çember boyunca yürümeniz gerekir. Verilen uzunluk A noktasından pozitif yönde hareket ediyor. şunu dikkate alalım
2 sayısı A noktasına karşılık gelir, çünkü daire boyunca 2 uzunluğunda bir yol geçmiştir, yani. tam olarak bir daire çizersek yine A başlangıç noktasına ulaşacağız. Yani A = A(2) olur.
Ne oldu 
Bu, A noktasından pozitif yönde hareket ederek bir dairenin tamamını geçmeniz gerektiği anlamına gelir.
Yorum. 7. ve 8. sınıftayken çalıştı Sayı doğrusu ile ilgili olarak, konuyu kısaltmak adına "x sayısına karşılık gelen doğru üzerindeki nokta" değil, "x noktası" deme konusunda anlaştık. Sayı çemberiyle çalışırken tamamen aynı anlaşmaya bağlı kalacağız: "f noktası" - bu, çember üzerinde sayıya karşılık gelen bir noktadan bahsettiğimiz anlamına gelir
Örnek 2.
AB'nin ilk çeyreğini K ve P noktalarına göre üç eşit parçaya bölerek şunu elde ederiz: 
Örnek 3. Sayı çemberinde sayılara karşılık gelen noktaları bulun 
Şekil 1'i kullanarak yapılar yapacağız. 99. AM yayını (uzunluğu -) A noktasından beş kez negatif yönde yerleştirirsek, BC yayının ortasını elde ederiz. Bu yüzden,
Yorum. Matematik dilini kullanırken sahip olduğumuz bazı özgürlüklere dikkat edin. AK yayının ve AK yayının uzunluğunun farklı şeyler olduğu açıktır (ilk kavram geometrik şekil ve ikinci kavram sayıdır). Ancak her ikisi de aynı şekilde belirtilir: AK. Ayrıca, A ve K noktaları bir doğru parçasıyla birbirine bağlıysa, o zaman hem ortaya çıkan parça hem de uzunluğu aynı şekilde gösterilir: AK. Tanımlamada hangi anlamın kastedildiği genellikle bağlamdan anlaşılır (yay, yay uzunluğu, parça veya parça uzunluğu).
Bu nedenle iki sayı çemberi düzeni işimize çok yarayacaktır.
İLK DÜZEN
Sayı çemberinin dört çeyreğinin her biri iki eşit parçaya bölünmüştür ve mevcut sekiz noktanın her birinin yanına “isimleri” yazılmıştır (Şekil 100).
İKİNCİ DÜZEN Sayı çemberinin dört çeyreğinin her biri üç eşit parçaya bölünmüştür ve mevcut on iki noktanın her birinin yanına “isimleri” yazılmıştır (Şekil 101).
Her iki düzende de verilen noktalara başka “isimler” atayabileceğimizi lütfen unutmayın.
Analiz edilen tüm yay uzunluğu örneklerinde şunu fark ettiniz mi?
n sayısının bazı kesirleriyle ifade edilir mi? Bu şaşırtıcı değil: Sonuçta birim dairenin uzunluğu 2n'dir ve bir daireyi veya çeyreğini eşit parçalara bölersek, uzunlukları ve sayısının kesirleri olarak ifade edilen yaylar elde ederiz. Birim çember üzerinde AE yayının uzunluğu 1'e eşit olacak bir E noktası bulmanın mümkün olduğunu düşünüyor musunuz? Hadi çözelim:
Benzer şekilde akıl yürüterek, birim çember üzerinde AE = 1 olan Eg noktasını, AEr = 2 olan E2 noktasını ve AE3 = 3 olan E3 noktasını ve E4 noktasını bulabileceğimiz sonucuna varırız. AE4 = 4 olan Eb noktası ve AEb = 5 olan Eb noktası ve AE6 = 6 olan E6 noktası. 102 işaretli (yaklaşık) karşılık gelen noktalar(ve yönlendirme için birim dairenin her çeyreği kısa çizgilerle üç eşit parçaya bölünmüştür).
Örnek 4. Sayı çemberinde -7 sayısına karşılık gelen noktayı bulun.
A(0) noktasından başlayıp negatif yönde (saat yönünde) ilerleyerek uzunluğu 7 olan bir daire boyunca gitmemiz gerekiyor. Eğer bir daireden geçersek (yaklaşık olarak) 6,28 elde ederiz, bu da şu anlama gelir: yine de (aynı yönde) 0,72 uzunluğunda bir yoldan geçmeniz gerekiyor. Bu nasıl bir yay? Yarım çeyrek daireden biraz daha az, yani. onun uzunluğu daha az sayı -. 
Dolayısıyla, sayı doğrusunda olduğu gibi sayı çemberinde de her gerçek sayı bir noktaya karşılık gelir (sadece elbette onu bir çizgide bulmak çemberde bulmaktan daha kolaydır). Ancak düz bir çizgi için bunun tersi de doğrudur: her nokta, tekil. Bir sayı çemberi için bu ifadenin doğru olmadığını yukarıda defalarca gördük. Sayı çemberi için aşağıdaki ifade doğrudur.
Sayı çemberinin M noktası I sayısına karşılık geliyorsa, bu aynı zamanda I + 2k formundaki bir sayıya da karşılık gelir; burada k herhangi bir tam sayıdır (k e 2).
Aslında 2n, sayısal (birim) dairenin uzunluğu ve |th| tamsayıdır. Çemberin bir yönde veya diğer yönde tam turlarının sayısı olarak düşünülebilir. Örneğin k = 3 ise bu, dairenin pozitif yönde üç turunu yaptığımız anlamına gelir; eğer k = -7 ise bu, dairenin negatif yönde yedi (| k | = | -71 = 7) turunu yaptığımız anlamına gelir. Ancak M(1) noktasındaysak, o zaman | | Çemberin etrafında tam daireler çizersek kendimizi yine M noktasında bulacağız.
A.G. Mordkovich Cebiri 10. sınıf
Ders içeriği ders notları destekleyici çerçeve ders sunumu hızlandırma yöntemleri etkileşimli teknolojiler Pratik görevler ve alıştırmalar kendi kendine test atölyeleri, eğitimler, vakalar, görevler ödev tartışmalı konular retorik sorularöğrencilerden İllüstrasyonlar ses, video klipler ve multimedya fotoğraflar, resimler, grafikler, tablolar, diyagramlar, mizah, anekdotlar, şakalar, çizgi romanlar, benzetmeler, sözler, bulmacalar, alıntılar Eklentiler özetler makaleler meraklı beşikler için püf noktaları ders kitapları temel ve ek terimler sözlüğü diğer Ders kitaplarının ve derslerin iyileştirilmesiDers kitabındaki hataların düzeltilmesi Ders kitabındaki bir parçanın güncellenmesi, dersteki yenilik unsurları, eski bilgilerin yenileriyle değiştirilmesi Sadece öğretmenler için mükemmel dersler takvim planı bir yıl boyunca metodolojik öneriler tartışma programları Entegre DerslerKonuyla ilgili ders ve sunum: "Koordinat düzleminde sayı çemberi"
Ek malzemeler
Sevgili kullanıcılar, yorumlarınızı, yorumlarınızı, dileklerinizi bırakmayı unutmayın! Tüm materyaller antivirüs programı ile kontrol edilmiştir.
1C'den 10. sınıfa yönelik Integral çevrimiçi mağazasındaki kılavuzlar ve simülatörler
Parametrelerle cebirsel problemler, 9-11. Sınıflar
Geometri problemlerini çözüyoruz. 7-10. Sınıflar için etkileşimli inşaat görevleri
Neyi inceleyeceğiz:
1. Tanım.
2. Sayı çemberinin önemli koordinatları.
3. Sayı çemberinin koordinatı nasıl bulunur?
4. Sayı çemberinin ana koordinatlarının tablosu.
5. Problem çözme örnekleri.
Koordinat düzlemindeki sayı çemberinin tanımı
Sayı çemberini içine yerleştirelim koordinat düzlemi böylece dairenin merkezi koordinatların orijini ile çakışacak ve yarıçapı bir birim segment olarak alınacaktır. A sayı çemberinin başlangıç noktası (1;0) noktasıyla birleştirilir.Sayı çemberindeki her noktanın koordinat düzleminde kendi x ve y koordinatları vardır ve:
1) $x > 0$ için, $y > 0$ - ilk çeyrekte;
2) $x 0$ için - ikinci çeyrekte;
3) $x için 4) $x > 0$ için, $y
Sayı çemberi üzerindeki herhangi bir $M(x; y)$ noktası için aşağıdaki eşitsizlikler sağlanır: $-1
Sayı çemberinin denklemini hatırlayın: $x^2 + y^2 = 1$.
Şekilde gösterilen sayı çemberi üzerindeki noktaların koordinatlarını nasıl bulacağımızı öğrenmek bizim için önemlidir. 
$\frac(π)(4)$ noktasının koordinatını bulalım
$M(\frac(π)(4))$ noktası ilk çeyreğin ortasıdır. MR dik açısını M noktasından OA düz çizgisine bırakalım ve OMP üçgenini ele alalım. AM yayı AB yayının yarısı olduğundan, $∠MOP=45°$ olur. Yani OMP üçgeni ikizkenardır dik üçgen ve $OP=MP$, yani. M noktasında apsis ve ordinat eşittir: $x = y$.
$M(x;y)$ noktasının koordinatları sayı çemberinin denklemini sağladığından, onları bulmak için denklem sistemini çözmeniz gerekir:
$\begin (durum) x^2 + y^2 = 1, \\ x = y. \end (durumlar)$
Karar verdikten sonra bu sistemşunu elde ederiz: $y = x =\frac(\sqrt(2))(2)$.
Bu şu anlama gelir: M noktasının koordinatları, sayıya karşılık gelen$\frac(π)(4)$, $M(\frac(π)(4))=M(\frac(\sqrt(2))(2);\frac(\sqrt(2)) olacaktır (2))$.
Önceki şekilde gösterilen noktaların koordinatları da benzer şekilde hesaplanır.
Sayı çemberindeki noktaların koordinatları
Örneklere bakalım
Örnek 1.Sayı çemberi üzerindeki bir noktanın koordinatını bulun: $P(45\frac(π)(4))$.
Çözüm:
$45\frac(π)(4) = (10 + \frac(5)(4)) * π = 10π +5\frac(π)(4) = 5\frac(π)(4) + 2π*5 $.
Bu, $45\frac(π)(4)$ sayısının, sayı çemberi üzerinde $\frac(5π)(4)$ sayısıyla aynı noktaya karşılık geldiği anlamına gelir. Tablodaki $\frac(5π)(4)$ noktasının değerine baktığımızda şunu elde ederiz: $P(\frac(45π)(4))=P(-\frac(\sqrt(2))( 2);-\frac (\sqrt(2))(2))$.
Örnek 2.
Sayı çemberi üzerindeki bir noktanın koordinatını bulun: $P(-\frac(37π)(3))$.
Çözüm:
Çünkü k bir tamsayı olmak üzere $t$ ve $t+2π*k$ sayıları sayı çemberi üzerinde aynı noktaya karşılık gelir:
$-\frac(37π)(3) = -(12 + \frac(1)(3))*π = -12π –\frac(π)(3) = -\frac(π)(3) + 2π *(-6)$.
Bu, $-\frac(37π)(3)$ sayısının, sayı çemberi üzerinde $–\frac(π)(3)$ sayısı ve –$\frac(π) sayısıyla aynı noktaya karşılık geldiği anlamına gelir. (3)$, $\frac(5π)(3)$ ile aynı noktaya karşılık gelir. Tablodaki $\frac(5π)(3)$ noktasının değerine baktığımızda şunu elde ederiz:
$P(-\frac(37π)(3))=P(\frac((1))(2);-\frac(\sqrt(3))(2))$.
Örnek 3.
Sayı çemberinde ordinatı $y =\frac(1)(2)$ olan noktaları bulun ve bunların hangi $t$ sayılarına karşılık geldiğini yazın?
Çözüm: 
$y =\frac(1)(2)$ düz çizgisi sayı çemberini M ve P noktalarında keser. M noktası $\frac(π)(6)$ sayısına karşılık gelir (tablo verilerinden). Bu, şu formdaki herhangi bir sayı anlamına gelir: $\frac(π)(6)+2π*k$. P noktası $\frac(5π)(6)$ sayısına ve dolayısıyla $\frac(5π)(6) +2 π*k$ formundaki herhangi bir sayıya karşılık gelir.
Bu gibi durumlarda sıklıkla söylendiği gibi iki değer dizisi aldık:
$\frac(π)(6) +2 π*k$ ve $\frac(5π)(6) +2π*k$.
Cevap: $t=\frac(π)(6) +2 π*k$ ve $t=\frac(5π)(6) +2π*k$.
Örnek 4.
Sayı çemberi üzerinde abscissa $x≥-\frac(\sqrt(2))(2)$ ile noktaları bulun ve bunların hangi sayılara karşılık geldiğini $t$ yazın.
Çözüm:
$x =-\frac(\sqrt(2))(2)$ düz çizgisi sayı çemberini M ve P noktalarında keser. $x≥-\frac(\sqrt(2))(2)$ eşitsizliği şuna karşılık gelir: PM yayının noktalarına. M noktası $3\frac(π)(4)$ sayısına karşılık gelir (tablo verilerinden). Bu, $-\frac(3π)(4) +2π*k$ biçimindeki herhangi bir sayı anlamına gelir. P noktası $-\frac(3π)(4)$ sayısına ve dolayısıyla $-\frac(3π)(4) +2π*k$ biçimindeki herhangi bir sayıya karşılık gelir.
Sonra $-\frac(3π)(4) +2 π*k ≤t≤\frac(3π)(4) +2πk$ elde ederiz.
Cevap: $-\frac(3π)(4) +2 π*k ≤t≤\frac(3π)(4) +2πk$.
Bağımsız olarak çözülmesi gereken sorunlar
1) Sayı çemberi üzerindeki bir noktanın koordinatını bulun: $P(\frac(61π)(6))$.2) Sayı çemberi üzerindeki bir noktanın koordinatını bulun: $P(-\frac(52π)(3))$.
3) Sayı çemberi üzerinde ordinatı $y = -\frac(1)(2)$ olan noktaları bulun ve bunların hangi $t$ sayılarına karşılık geldiğini yazın.
4) Sayı çemberi üzerinde ordinatları $y ≥ -\frac(1)(2)$ olan noktaları bulun ve bunların hangi $t$ sayılarına karşılık geldiğini yazın.
5) Sayı çemberi üzerinde abscissa $x≥-\frac(\sqrt(3))(2)$ ile noktaları bulun ve hangi sayılara $t$ karşılık geldiğini yazın.
Sayı çemberi noktaları belirli reel sayılara karşılık gelen birim çemberdir.
Birim çember yarıçapı 1 olan bir çemberdir.
Sayı çemberinin genel görünümü.
1) Yarıçapı bir ölçü birimi olarak alınır.
2) Yatay ve dikey çaplar sayı çemberini dört parçaya böler. Bunlar sırasıyla birinci, ikinci, üçüncü ve dördüncü çeyrek olarak adlandırılır.
3) Yatay çap AC ile gösterilir; A en uç noktadır Sağ nokta.
Dikey çap BD olarak gösterilir ve B en yüksek noktadır.
Sırasıyla:
ilk çeyrek AB yayı
ikinci çeyrek - yay BC
üçüncü çeyrek - yay CD'si
dördüncü çeyrek - yay DA
4) Sayı çemberinin başlangıç noktası A noktasıdır.
Sayı çemberi boyunca sayma saat yönünde veya saat yönünün tersine yapılabilir.
A noktasından itibaren sayma aykırı saat yönü denir olumlu yön.
A noktasından itibaren sayma İle saat yönünde çağrıldı negatif yön.
Koordinat düzlemindeki sayı çemberi.
Sayı çemberinin yarıçapının merkezi orijine (0 sayısı) karşılık gelir.
Yatay çap eksene karşılık gelir X, dikey eksen sen.
Başlangıç noktası A sayı çemberitee eksendeXve koordinatları vardır (1; 0).
Sayı çemberindeki ana noktaların adları ve konumları:
Sayı çemberi adları nasıl hatırlanır?
Sayı çemberinin temel adlarını kolayca hatırlamanıza yardımcı olacak birkaç basit kalıp vardır.
Başlamadan önce şunu hatırlatalım: Sayma pozitif yönde yani A noktasından (2π) saat yönünün tersine yapılıyor.
1) Şununla başlayalım: uç noktalar koordinat eksenleri üzerinde.
Başlangıç noktası 2π'dir (eksenin en sağdaki noktası) X, 1'e eşit).
Bildiğiniz gibi 2π dairenin çevresidir. Bu, yarım dairenin 1π veya π olduğu anlamına gelir. Eksen X daireyi tam olarak ikiye böler. Buna göre eksenin en sol noktası X-1'e eşit olana π denir.
Eksen üzerindeki en yüksek nokta en 1'e eşit, üst yarım daireyi ikiye böler. Bu, eğer bir yarım daire π ise yarım dairenin yarısı da π/2 olur anlamına gelir.
Aynı zamanda π/2 de dairenin çeyreğidir. Birinciden üçüncüye kadar bu tür üç çeyreği sayalım - ve eksendeki en alt noktaya geleceğiz en, -1'e eşittir. Ancak dörtte üçü içeriyorsa adı 3π/2'dir.
2) Şimdi kalan noktalara geçelim. Lütfen dikkat: tüm zıt noktaların aynı payda- ve bunlar zıt noktalardır ve eksene göredir en, hem eksenlerin merkezine göre hem de eksene göre X. Bu, onları sıkıştırmadan puan değerlerini bilmemize yardımcı olacaktır.
Yalnızca ilk çeyreğin noktalarının anlamını hatırlamanız gerekir: π/6, π/4 ve π/3. Ve sonra bazı kalıpları “göreceğiz”:
- Eksene göre en
ikinci çeyreğin noktalarında, birinci çeyreğin noktalarının tersi olarak paylardaki sayılar paydaların büyüklüğünden 1 eksiktir. Örneğin π/6 noktasını alın. Eksene göre karşısındaki nokta en paydasında 6, payında 5 (1 eksik) bulunur. Yani bu noktanın adı: 5π/6. π/4'ün karşısındaki noktanın da paydası 4, payı ise 3'tür (1 4'ten küçük) - yani 3π/4 noktasıdır.
π/3'ün karşısındaki noktanın paydasında 3, payında ise 1 eksiği vardır: 2π/3.
- Koordinat eksenlerinin merkezine göre her şey tam tersi: zıt noktaların paylarındaki sayılar (üçüncü çeyrekte) 1'e kadar daha büyük değer paydalar. Tekrar π/6 noktasını ele alalım. Merkeze göre karşısındaki noktanın paydasında da 6 bulunur ve payda sayı 1 daha fazladır - yani 7π/6'dır.
π/4 noktasının karşısındaki noktanın da paydasında 4 var, payda ise 1 sayı daha var: 5π/4.
π/3 noktasının karşısındaki noktanın da paydasında 3 var, payda ise 1 sayı daha var: 4π/3.
- Eksene göre X(dördüncü çeyrek) mesele daha karmaşıktır. Burada paydanın değerine 1 eksik bir sayı eklemeniz gerekir - bu toplam payın sayısal kısmına eşit olacaktır karşı nokta. Tekrar π/6 ile başlayalım. 6'ya eşit olan payda değerine bu sayıdan 1 eksik olan bir sayı yani 5 ekleyelim. Elde ederiz: 6 + 5 = 11. Bu, eksenin tersi olduğu anlamına gelir X noktanın paydasında 6 ve payında 11 olacaktır - yani 11π/6.
π/4 noktası. Paydanın değerine 1 eksiğini ekliyoruz: 4 + 3 = 7. Bu, eksenin karşısında olduğu anlamına gelir X noktanın paydasında 4 ve payında 7 vardır - yani 7π/4.
π/3 noktası. Payda 3'tür. 3'ü birer birer ekleyin daha küçük sayı- yani 2. 5 elde ederiz. Bu, karşısındaki noktanın payında 5 olduğu anlamına gelir - ve bu da 5π/3 noktasıdır.
3) Çeyreklerin orta noktalarının noktaları için başka bir model. Paydalarının 4 olduğu açıktır. Paylara dikkat edelim. İlk çeyreğin ortasının payı 1π'dir (ancak 1 yazmak alışılmış bir şey değildir). İkinci çeyreğin ortasının payı 3π'dir. Üçüncü çeyreğin ortasının payı 5π'dir. Dördüncü çeyreğin ortasının payı 7π'dir. Orta çeyreklerin paylarının artan sırada ilk dört tek sayıyı içerdiği ortaya çıktı:
(1)π, 3π, 5π, 7π.
Bu aynı zamanda çok basittir. Tüm çeyreklerin orta noktalarının paydası 4 olduğundan bunları zaten biliyoruz. tam isimler: π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4.
Sayı çemberinin özellikleri. Sayı doğrusuyla karşılaştırma.
Bildiğiniz gibi sayı doğrusunda her nokta tek bir sayıya karşılık gelir. Örneğin bir doğru üzerindeki A noktası 3'e eşitse artık başka hiçbir sayıya eşit olamaz.
Sayı çemberinde farklıdır çünkü bu bir çemberdir. Örneğin bir çemberin A noktasından M noktasına gelmek için bunu sanki düz bir çizgi üzerindeymiş gibi (sadece bir yay geçiyormuş gibi) yapabilirsiniz ya da tüm çemberin etrafından dolaşıp M noktasına gelebilirsiniz. Çözüm:
M noktası bir t sayısına eşit olsun. Bildiğimiz gibi dairenin çevresi 2π'dir. Bu, bir çember üzerinde bir t noktasını iki şekilde yazabileceğimiz anlamına gelir: t veya t + 2π. Bunlar eşdeğer değerlerdir.
Yani t = t + 2π. Tek fark, ilk durumda daire çizmeden hemen M noktasına geldiniz, ikinci durumda ise daire yaptınız ama aynı M noktasına ulaştınız. İki, üç veya iki yüz tane yapabilirsiniz. daireler. Daire sayısını harfle belirtirsek N sonra yeni bir ifade elde ederiz:
t = t + 2π N.
Dolayısıyla formül:
