మొత్తం వ్యక్తీకరణ ఉంది గణిత వ్యక్తీకరణ, కూడిక, తీసివేత మరియు గుణకారం యొక్క కార్యకలాపాలను ఉపయోగించి సంఖ్యలు మరియు అక్షర వేరియబుల్స్‌తో కూడి ఉంటుంది. పూర్ణాంకాలలో సున్నా కాకుండా ఏదైనా సంఖ్యతో భాగించే వ్యక్తీకరణలు కూడా ఉంటాయి.
పాక్షిక హేతుబద్ధ వ్యక్తీకరణ యొక్క భావన
పాక్షిక వ్యక్తీకరణ అనేది గణిత వ్యక్తీకరణ, ఇది సంఖ్యలు మరియు అక్షరాల వేరియబుల్స్‌తో నిర్వహించే సంకలనం, తీసివేత మరియు గుణకారం యొక్క ఆపరేషన్‌లతో పాటు, అలాగే సున్నాకి సమానం కాని సంఖ్యతో భాగించడం, అక్షర వేరియబుల్స్‌తో వ్యక్తీకరణలుగా విభజించడాన్ని కూడా కలిగి ఉంటుంది.
హేతుబద్ధమైన వ్యక్తీకరణలు మొత్తం మరియు పాక్షిక వ్యక్తీకరణలు. హేతుబద్ధ సమీకరణాలు సమీకరణాలు, దీనిలో ఎడమ మరియు కుడి వైపులా హేతుబద్ధమైన వ్యక్తీకరణలు ఉంటాయి. హేతుబద్ధమైన సమీకరణంలో ఎడమ మరియు కుడి భుజాలు పూర్ణాంక వ్యక్తీకరణలు అయితే, అటువంటి హేతుబద్ధ సమీకరణాన్ని పూర్ణాంకం అంటారు.
హేతుబద్ధ సమీకరణంలో ఉంటే ఎడమ లేదా కుడి వైపులా ఉంటాయి పాక్షిక వ్యక్తీకరణలు, అప్పుడు అటువంటి హేతుబద్ధ సమీకరణాన్ని భిన్నం అంటారు.
పాక్షిక హేతుబద్ధ వ్యక్తీకరణల ఉదాహరణలు
1. x-3/x = -6*x+19
2. (x-4)/(2*x+5) = (x+7)/(x-2)
3. (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5))
పాక్షిక హేతుబద్ధ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించే పథకం
1. సమీకరణంలో చేర్చబడిన అన్ని భిన్నాల యొక్క సాధారణ హారం కనుగొనండి.
2. సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా ఒక సాధారణ హారం ద్వారా గుణించండి.
3. ఫలిత మొత్తం సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి.
4. మూలాలను తనిఖీ చేయండి మరియు సాధారణ హారం అదృశ్యమయ్యే వాటిని మినహాయించండి.
మేము పాక్షిక హేతుబద్ధ సమీకరణాలను పరిష్కరిస్తున్నందున, భిన్నాల హారంలో వేరియబుల్స్ ఉంటాయి. అంటే వారు ఉమ్మడిగా ఉంటారని అర్థం. మరియు అల్గోరిథం యొక్క రెండవ పాయింట్‌లో మేము ఒక సాధారణ హారం ద్వారా గుణిస్తాము, అప్పుడు అదనపు మూలాలు కనిపించవచ్చు. దీని కోసం ఉమ్మడి హారం ఉంటుంది సున్నాకి సమానం, అంటే దానితో గుణించడం అర్థరహితం అవుతుంది. అందువల్ల, చివరికి పొందిన మూలాలను తనిఖీ చేయడం అవసరం.
ఒక ఉదాహరణ చూద్దాం:
పాక్షిక హేతుబద్ధ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి: (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5)).
మేము కట్టుబడి ఉంటాము సాధారణ పథకం: ముందుగా అన్ని భిన్నాల ఉమ్మడి హారంని కనుగొందాం. మనకు x*(x-5) వస్తుంది.
ప్రతి భిన్నాన్ని ఒక సాధారణ హారంతో గుణించండి మరియు ఫలిత మొత్తం సమీకరణాన్ని వ్రాయండి.
(x-3)/(x-5) * (x*(x-5))= x*(x+3);
1/x * (x*(x-5)) = (x-5);
(x+5)/(x*(x-5)) * (x*(x-5)) = (x+5);
x*(x+3) + (x-5) = (x+5);
ఫలిత సమీకరణాన్ని సరళీకృతం చేద్దాం. మాకు దొరికింది:
x^2+3*x + x-5 - x - 5 =0;
x^2+3*x-10=0;
మేము సాధారణ తగ్గిన వర్గ సమీకరణాన్ని పొందుతాము. మేము దానిని దేనితోనైనా పరిష్కరిస్తాము తెలిసిన పద్ధతులు, మేము x=-2 మరియు x=5 మూలాలను పొందుతాము.
ఇప్పుడు మేము పొందిన పరిష్కారాలను తనిఖీ చేస్తాము:
సాధారణ హారంలోకి -2 మరియు 5 సంఖ్యలను ప్రత్యామ్నాయం చేయండి. x=-2 వద్ద, సాధారణ హారం x*(x-5) అదృశ్యం కాదు, -2*(-2-5)=14. దీనర్థం -2 అనేది అసలైన పాక్షిక హేతుబద్ధ సమీకరణం యొక్క మూలం.
x=5 అయినప్పుడు సాధారణ హారం x*(x-5) అవుతుంది సున్నాకి సమానం. కాబట్టి, ఈ సంఖ్య అసలైన పాక్షిక హేతుబద్ధ సమీకరణం యొక్క మూలం కాదు, ఎందుకంటే సున్నా ద్వారా విభజన ఉంటుంది.
అతి తక్కువ సాధారణ హారం సరళీకృతం చేయడానికి ఉపయోగించబడుతుంది ఇచ్చిన సమీకరణం. సమీకరణం యొక్క ప్రతి వైపు ఒక హేతుబద్ధ వ్యక్తీకరణతో మీరు ఇచ్చిన సమీకరణాన్ని వ్రాయలేనప్పుడు ఈ పద్ధతి ఉపయోగించబడుతుంది (మరియు గుణకారం యొక్క క్రిస్‌క్రాస్ పద్ధతిని ఉపయోగించండి). మీరు 3 లేదా అంతకంటే ఎక్కువ భిన్నాలతో హేతుబద్ధమైన సమీకరణాన్ని అందించినప్పుడు ఈ పద్ధతి ఉపయోగించబడుతుంది (రెండు భిన్నాల విషయంలో, క్రిస్-క్రాస్ గుణకారం ఉపయోగించడం మంచిది).
భిన్నాల యొక్క అత్యల్ప సాధారణ హారం (లేదా కనీసం సాధారణ బహుళ) కనుగొనండి. NOZ ఉంది అతి చిన్న సంఖ్య, ఇది ప్రతి హారం ద్వారా సమానంగా భాగించబడుతుంది.
- కొన్నిసార్లు NPD అనేది స్పష్టమైన సంఖ్య. ఉదాహరణకు, సమీకరణం ఇచ్చినట్లయితే: x/3 + 1/2 = (3x +1)/6, అప్పుడు 3, 2 మరియు 6 సంఖ్యల యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ గుణకం 6 అని స్పష్టంగా తెలుస్తుంది.
- NCD స్పష్టంగా లేకుంటే, అతిపెద్ద హారం యొక్క గుణిజాలను వ్రాసి, వాటిలో ఇతర హారం యొక్క గుణకారాన్ని కనుగొనండి. తరచుగా రెండు హారంలను గుణించడం ద్వారా NODని కనుగొనవచ్చు. ఉదాహరణకు, సమీకరణానికి x/8 + 2/6 = (x - 3)/9 ఇచ్చినట్లయితే, NOS = 8*9 = 72.
- ఒకటి లేదా అంతకంటే ఎక్కువ హారం వేరియబుల్ కలిగి ఉంటే, ప్రక్రియ కొంత క్లిష్టంగా మారుతుంది (కానీ అసాధ్యం కాదు). ఈ సందర్భంలో, NOC అనేది ప్రతి హారం ద్వారా విభజించబడిన వ్యక్తీకరణ (వేరియబుల్‌ను కలిగి ఉంటుంది). ఉదాహరణకు, సమీకరణం 5/(x-1) = 1/x + 2/(3x) NOZ = 3x(x-1), ఎందుకంటే ఈ వ్యక్తీకరణ ప్రతి హారం ద్వారా విభజించబడింది: 3x(x-1)/(x -1 ) = 3x; 3x(x-1)/3x = (x-1); 3x(x-1)/x = 3(x-1).
ప్రతి భిన్నం యొక్క లవం మరియు హారం రెండింటినీ ప్రతి భిన్నం యొక్క సంబంధిత హారం ద్వారా NOCని విభజించే ఫలితానికి సమానమైన సంఖ్యతో గుణించండి. మీరు న్యూమరేటర్ మరియు హారం రెండింటినీ ఒకే సంఖ్యతో గుణిస్తున్నందున, మీరు భిన్నాన్ని 1 ద్వారా సమర్థవంతంగా గుణిస్తున్నారు (ఉదాహరణకు, 2/2 = 1 లేదా 3/3 = 1).
- కాబట్టి మా ఉదాహరణలో, 2x/6 పొందడానికి x/3ని 2/2తో గుణించండి మరియు 3/6ని పొందడానికి 1/2ని 3/3తో గుణించండి (3x +1/6 భిన్నాన్ని గుణించాల్సిన అవసరం లేదు ఎందుకంటే ఇది హారం 6).
- వేరియబుల్ హారంలో ఉన్నప్పుడు అదేవిధంగా కొనసాగండి. మా రెండవ ఉదాహరణలో, NOZ = 3x(x-1), కాబట్టి 5(3x)/(3x)(x-1)ని పొందడానికి 5/(x-1)ని (3x)/(3x)తో గుణించండి; 1/xని 3(x-1)/3(x-1)తో గుణిస్తే మీకు 3(x-1)/3x(x-1); 2/(3x)ని (x-1)/(x-1)తో గుణిస్తే మీకు 2(x-1)/3x(x-1) వస్తుంది.
xని కనుగొనండి.ఇప్పుడు మీరు భిన్నాలను తగ్గించారు సాధారణ హారం, మీరు హారం నుండి బయటపడవచ్చు. దీన్ని చేయడానికి, సమీకరణం యొక్క ప్రతి వైపు సాధారణ హారంతో గుణించండి. అప్పుడు ఫలిత సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి, అంటే “x”ని కనుగొనండి. దీన్ని చేయడానికి, సమీకరణం యొక్క ఒక వైపున వేరియబుల్‌ను వేరు చేయండి.
- మా ఉదాహరణలో: 2x/6 + 3/6 = (3x +1)/6. మీరు దీనితో 2 భిన్నాలను జోడించవచ్చు అదే హారం, కాబట్టి సమీకరణాన్ని ఇలా వ్రాయండి: (2x+3)/6=(3x+1)/6. సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 6 ద్వారా గుణించండి మరియు హారం నుండి బయటపడండి: 2x+3 = 3x +1. పరిష్కరించండి మరియు x = 2 పొందండి.
- మా రెండవ ఉదాహరణలో (డినామినేటర్‌లో వేరియబుల్‌తో), సమీకరణం ఇలా కనిపిస్తుంది (సాధారణ హారంకి తగ్గించిన తర్వాత): 5(3x)/(3x)(x-1) = 3(x-1)/3x(x -1) + 2 (x-1)/3x(x-1). సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా N3తో గుణించడం ద్వారా, మీరు హారం నుండి బయటపడతారు మరియు పొందండి: 5(3x) = 3(x-1) + 2(x-1), లేదా 15x = 3x - 3 + 2x -2, లేదా 15x = x - 5 పరిష్కరించండి మరియు పొందండి: x = -5/14.
స్మిర్నోవా అనస్తాసియా యూరివ్నా
పాఠం రకం:కొత్త మెటీరియల్ నేర్చుకునే పాఠం.
సంస్థ యొక్క రూపం విద్యా కార్యకలాపాలు : ఫ్రంటల్, వ్యక్తిగత.
పాఠం యొక్క ఉద్దేశ్యం: కొత్త రకం సమీకరణాలను పరిచయం చేయడానికి - పాక్షిక హేతుబద్ధ సమీకరణాలు, పాక్షిక సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి అల్గోరిథం యొక్క ఆలోచనను అందించడానికి హేతుబద్ధ సమీకరణాలు.
పాఠం లక్ష్యాలు.
విద్యాపరమైన:
- పాక్షిక హేతుబద్ధ సమీకరణం యొక్క భావన ఏర్పడటం;
- భిన్నం సున్నాకి సమానం అనే షరతుతో సహా పాక్షిక హేతుబద్ధ సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి ఒక అల్గారిథమ్‌ను పరిగణించండి;
- అల్గోరిథం ఉపయోగించి పాక్షిక హేతుబద్ధ సమీకరణాలను పరిష్కరించడం నేర్పండి.
అభివృద్ధి:
- సంపాదించిన జ్ఞానాన్ని వర్తింపజేయడంలో నైపుణ్యాలను అభివృద్ధి చేయడానికి పరిస్థితులను సృష్టించండి;
- అభివృద్ధిని ప్రోత్సహిస్తాయి అభిజ్ఞా ఆసక్తివిషయం విద్యార్థులు;
- విశ్లేషించడానికి, సరిపోల్చడానికి మరియు తీర్మానాలను రూపొందించడానికి విద్యార్థుల సామర్థ్యాన్ని అభివృద్ధి చేయడం;
- పరస్పర నియంత్రణ మరియు స్వీయ నియంత్రణ, శ్రద్ధ, జ్ఞాపకశక్తి, మౌఖిక మరియు నైపుణ్యాల అభివృద్ధి రాయడం, స్వాతంత్ర్యం.
విద్య:
- విషయంపై అభిజ్ఞా ఆసక్తిని పెంపొందించడం;
- నిర్ణయం తీసుకోవడంలో స్వతంత్రతను పెంపొందించడం విద్యా పనులు;
- తుది ఫలితాలను సాధించడానికి సంకల్పం మరియు పట్టుదల పెంపొందించడం.
సామగ్రి:పాఠ్యపుస్తకం, బ్లాక్ బోర్డ్, క్రేయాన్స్.
పాఠ్య పుస్తకం "ఆల్జీబ్రా 8". Yu.N. మకరిచెవ్, N.G. మిన్డ్యూక్, K.I. నెష్కోవ్, S.B. సువోరోవా, S.A. టెల్యకోవ్స్కీచే సవరించబడింది. మాస్కో "జ్ఞానోదయం". 2010
పై ఈ అంశంఐదు గంటల సమయం కేటాయించారు. ఇది మొదటి పాఠం. ప్రధాన విషయం ఏమిటంటే, పాక్షిక హేతుబద్ధ సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి అల్గోరిథంను అధ్యయనం చేయడం మరియు వ్యాయామాలలో ఈ అల్గోరిథంను అభ్యసించడం.
తరగతుల సమయంలో
1. సంస్థాగత క్షణం.
హలో మిత్రులారా! ఈ రోజు నేను మా పాఠాన్ని క్వాట్రైన్‌తో ప్రారంభించాలనుకుంటున్నాను:
ప్రతి ఒక్కరికీ జీవితాన్ని సులభతరం చేయడానికి,
ఏది నిర్ణయించబడుతుంది, ఏది సాధ్యమవుతుంది,
చిరునవ్వు, అందరికీ శుభాకాంక్షలు,
తద్వారా ఎటువంటి సమస్యలు ఉండవు,
మేము ఒకరినొకరు నవ్వి, సృష్టించాము మంచి మూడ్మరియు పని ప్రారంభించారు.
బోర్డు మీద సమీకరణాలు వ్రాయబడ్డాయి, వాటిని జాగ్రత్తగా చూడండి. మీరు ఈ సమీకరణాలన్నింటినీ పరిష్కరించగలరా? ఏవి కావు మరియు ఎందుకు?
ఎడమ మరియు కుడి భుజాలు పాక్షిక హేతుబద్ధ వ్యక్తీకరణలుగా ఉండే సమీకరణాలను పాక్షిక హేతుబద్ధ సమీకరణాలు అంటారు. ఈ రోజు మనం తరగతిలో ఏమి చదువుకుంటామని మీరు అనుకుంటున్నారు? పాఠం యొక్క అంశాన్ని రూపొందించండి. కాబట్టి, మీ నోట్‌బుక్‌లను తెరిచి, “పాక్షిక హేతుబద్ధ సమీకరణాలను పరిష్కరించడం” అనే పాఠం యొక్క అంశాన్ని వ్రాయండి.
2. జ్ఞానాన్ని నవీకరించడం. ఫ్రంటల్ సర్వే, నోటి పనితరగతితో.
మరియు ఇప్పుడు మనం అధ్యయనం చేయవలసిన ప్రధాన సైద్ధాంతిక విషయాలను పునరావృతం చేస్తాము కొత్త అంశం. దయచేసి క్రింది ప్రశ్నలకు సమాధానం ఇవ్వండి:
- సమీకరణం అంటే ఏమిటి? ( వేరియబుల్ లేదా వేరియబుల్స్‌తో సమానత్వం.)
- సమీకరణం సంఖ్య 1 పేరు ఏమిటి? ( లీనియర్.) సరళ సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి ఒక పద్ధతి. ( తెలియని వాటితో ప్రతిదీ బదిలీ చేయండి ఎడమ వైపుసమీకరణాలు, అన్ని సంఖ్యలు కుడి వైపున ఉన్నాయి. దారి సారూప్య నిబంధనలు. తెలియని కారకాన్ని కనుగొనండి).
- సమీకరణం సంఖ్య 3 పేరు ఏమిటి? ( చతురస్రం.) వర్గ సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి పద్ధతులు. (పి సూత్రాల గురించి)
- నిష్పత్తి అంటే ఏమిటి? ( రెండు నిష్పత్తుల సమానత్వం.) నిష్పత్తి యొక్క ప్రధాన ఆస్తి. ( నిష్పత్తి సరైనదైతే, దాని తీవ్ర పదాల ఉత్పత్తి మధ్య పదాల ఉత్పత్తికి సమానం.)
- సమీకరణాలను పరిష్కరించేటప్పుడు ఏ లక్షణాలు ఉపయోగించబడతాయి? ( 1. మీరు ఒక సమీకరణంలోని పదాన్ని ఒక భాగం నుండి మరొక భాగానికి తరలించి, దాని గుర్తును మార్చినట్లయితే, మీరు ఇచ్చిన దానికి సమానమైన సమీకరణాన్ని పొందుతారు. 2. సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా ఒకే సున్నా కాని సంఖ్యతో గుణించబడినా లేదా భాగించబడినా, మీరు ఇచ్చిన దానికి సమానమైన సమీకరణాన్ని పొందుతారు.)
- భిన్నం ఎప్పుడు సున్నాకి సమానం అవుతుంది? ( న్యూమరేటర్ సున్నా మరియు హారం సున్నా కానప్పుడు భిన్నం సున్నాకి సమానం..)
3. కొత్త పదార్థం యొక్క వివరణ.
మీ నోట్‌బుక్‌లలో మరియు బోర్డులో సమీకరణ సంఖ్య 2ని పరిష్కరించండి.
సమాధానం: 10.
నిష్పత్తి యొక్క ప్రాథమిక ఆస్తిని ఉపయోగించి మీరు ఏ పాక్షిక హేతుబద్ధ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి ప్రయత్నించవచ్చు? (నం. 5).
(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)
x 2 -4x-2x+8 = x 2 +3x+2x+6
x 2 -6x-x 2 -5x = 6-8
మీ నోట్‌బుక్‌లలో మరియు బోర్డులో సమీకరణ సంఖ్య 4ని పరిష్కరించండి.
సమాధానం: 1,5.
సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా హారం ద్వారా గుణించడం ద్వారా మీరు ఏ పాక్షిక హేతుబద్ధ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి ప్రయత్నించవచ్చు? (నం. 6).
x 2 -7x+12 = 0
D=1›0, x 1 =3, x 2 =4.
సమాధానం: 3;4.
కింది పాఠాలలో సమీకరణం సంఖ్య 7 వంటి సమీకరణాలను పరిష్కరించడం గురించి చూద్దాం.
ఇది ఎందుకు జరిగిందో వివరించండి? ఒక సందర్భంలో మూడు మూలాలు మరియు మరొక సందర్భంలో రెండు ఎందుకు ఉన్నాయి? ఈ పాక్షిక హేతుబద్ధ సమీకరణం యొక్క మూలాలు ఏ సంఖ్యలు?
ఇప్పటి వరకు, విద్యార్థులు అదనపు మూల భావనను ఎదుర్కోలేదు; ఇది ఎందుకు జరిగిందో అర్థం చేసుకోవడం వారికి చాలా కష్టం. తరగతిలో ఎవరూ ఈ పరిస్థితికి స్పష్టమైన వివరణ ఇవ్వలేకపోతే, ఉపాధ్యాయుడు ప్రముఖ ప్రశ్నలను అడుగుతాడు.
- నం. 2 మరియు 4 సమీకరణాలు 5 మరియు 6 సమీకరణాల నుండి ఎలా భిన్నంగా ఉంటాయి? ( నం. 2 మరియు 4 సమీకరణాలలో హారంలో సంఖ్యలు ఉన్నాయి, సంఖ్య 5-6 - వేరియబుల్‌తో వ్యక్తీకరణలు.)
- సమీకరణం యొక్క మూలం ఏమిటి? ( సమీకరణం నిజమయ్యే వేరియబుల్ విలువ.)
- ఒక సంఖ్య సమీకరణం యొక్క మూలం కాదా అని ఎలా కనుగొనాలి? ( చెక్ చేయండి.)
పరీక్షిస్తున్నప్పుడు, కొంతమంది విద్యార్థులు సున్నాతో విభజించాలని గమనించారు. 0 మరియు 5 సంఖ్యలు ఈ సమీకరణం యొక్క మూలాలు కాదని వారు నిర్ధారించారు. ప్రశ్న తలెత్తుతుంది: పాక్షిక హేతుబద్ధమైన సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి ఒక మార్గం ఉందా, అది మాకు తొలగించడానికి అనుమతిస్తుంది ఈ లోపం? అవును, ఈ పద్ధతి భిన్నం సున్నాకి సమానం అనే షరతుపై ఆధారపడి ఉంటుంది.
ఈ విధంగా పాక్షిక హేతుబద్ధ సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి అల్గారిథమ్‌ను రూపొందించడానికి ప్రయత్నిద్దాం. పిల్లలు అల్గోరిథంను స్వయంగా రూపొందిస్తారు.
పాక్షిక హేతుబద్ధ సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి అల్గోరిథం:
- ప్రతిదీ ఎడమ వైపుకు తరలించండి.
- భిన్నాలను సాధారణ హారంకు తగ్గించండి.
- వ్యవస్థను సృష్టించండి: లవం సున్నాకి సమానం మరియు హారం సున్నాకి సమానం కానప్పుడు భిన్నం సున్నాకి సమానం.
- సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి.
- అదనపు మూలాలను మినహాయించడానికి అసమానతను తనిఖీ చేయండి.
- సమాధానం రాయండి.
4. కొత్త పదార్థం యొక్క ప్రారంభ గ్రహణశక్తి.
జంటగా పని చేయండి. విద్యార్థులు సమీకరణ రకాన్ని బట్టి సమీకరణాన్ని ఎలా పరిష్కరించాలో ఎంచుకుంటారు. పాఠ్యపుస్తకం "ఆల్జీబ్రా 8" నుండి కేటాయింపులు, యు.ఎన్. మకరిచెవ్, 2007: నం. 600(బి,సి); నం. 601(a,e). ఉపాధ్యాయుడు విధిని పూర్తి చేయడాన్ని పర్యవేక్షిస్తాడు, తలెత్తే ఏవైనా ప్రశ్నలకు సమాధానం ఇస్తాడు మరియు తక్కువ పనితీరు కనబరిచిన విద్యార్థులకు సహాయం అందిస్తాడు. స్వీయ పరీక్ష: సమాధానాలు బోర్డుపై వ్రాయబడ్డాయి.
బి) 2 - అదనపు రూట్. సమాధానం: 3.
సి) 2 - అదనపు రూట్. సమాధానం: 1.5.
ఎ) సమాధానం: -12.5.
5. హోంవర్క్ సెట్ చేయడం.
- పాఠ్యపుస్తకం నుండి పేరా 25 చదవండి, ఉదాహరణలను విశ్లేషించండి 1-3.
- పాక్షిక హేతుబద్ధ సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి అల్గారిథమ్‌ను నేర్చుకోండి.
- నోట్బుక్ల సంఖ్య 600 (d, d) లో పరిష్కరించండి; నం. 601(g,h).
6. పాఠాన్ని సంగ్రహించడం.
కాబట్టి, ఈ రోజు పాఠంలో మనం పాక్షిక హేతుబద్ధ సమీకరణాలతో పరిచయం పొందాము, ఈ సమీకరణాలను ఎలా పరిష్కరించాలో నేర్చుకున్నాము వివిధ మార్గాలు. మీరు పాక్షిక హేతుబద్ధ సమీకరణాలను ఎలా పరిష్కరించాలి అనే దానితో సంబంధం లేకుండా, మీరు ఏమి గుర్తుంచుకోవాలి? పాక్షిక హేతుబద్ధ సమీకరణాల "మోసపూరిత" అంటే ఏమిటి?
అందరికీ ధన్యవాదాలు, పాఠం ముగిసింది.
\(\బుల్లెట్\) హేతుబద్ధ సమీకరణం అనేది \[\dfrac(P(x))(Q(x))=0\] రూపంలో సూచించబడే సమీకరణం, ఇక్కడ \(P(x), \Q(x)\ ) - బహుపదాలు (వివిధ శక్తులలో “X”ల మొత్తం, వివిధ సంఖ్యలతో గుణించబడుతుంది).
సమీకరణం యొక్క ఎడమ వైపున ఉన్న వ్యక్తీకరణను హేతుబద్ధమైన వ్యక్తీకరణ అంటారు.
ODZ (ప్రాంతం ఆమోదయోగ్యమైన విలువలు) హేతుబద్ధ సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలు \(x\) ఉంటాయి, దీని కోసం హారం అదృశ్యం కాదు, అంటే \(Q(x)\ne 0\) .
\(\బుల్లెట్\) ఉదాహరణకు, సమీకరణాలు \[\dfrac(x+2)(x-3)=0,\qquad \dfrac 2(x^2-1)=3, \qquad x^5-3x=2\]హేతుబద్ధ సమీకరణాలు.
మొదటి సమీకరణంలో, ODZ అన్నీ \(x\) అంటే \(x\ne 3\) (వ్రాయండి \(x\in (-\infty;3)\cup(3;+\infty)\)); రెండవ సమీకరణంలో – ఇవన్నీ \(x\) అంటే \(x\ne -1; x\ne 1\) (వ్రాయండి \(x\in (-\infty;-1)\cup(-1;1)\cup(1;+\infty)\)); మరియు మూడవ సమీకరణంలో ODZపై ఎటువంటి పరిమితులు లేవు, అంటే, ODZ మొత్తం \(x\) (వారు \(x\in\mathbb(R)\) అని వ్రాస్తారు). \(\బుల్లెట్\) సిద్ధాంతాలు:
1) రెండు కారకాల యొక్క ఉత్పత్తి సున్నాకి సమానం మరియు వాటిలో ఒకటి సున్నాకి సమానంగా ఉంటే మరియు మరొకటి అర్థాన్ని కోల్పోకపోతే, \(f(x)\cdot g(x)=0\\ ) వ్యవస్థకు సమానం \[\ప్రారంభం(కేసులు) \ఎడమ[ \begin(సేకరించారు)\begin(సమలేఖనం చేయబడింది) &f(x)=0\\ &g(x)=0 \end(సమలేఖనం చేయబడింది) \end(సేకరించారు) \కుడి.\\ \ టెక్స్ట్ (ODZ సమీకరణాలు)\ ముగింపు(కేసులు)\] 2) లవం సున్నాకి సమానం అయితే మరియు హారం సున్నాకి సమానం కానట్లయితే, భిన్నం సున్నాకి సమానం, కాబట్టి, సమీకరణం \(\dfrac(f(x))(g(x))=0\ ) సమీకరణాల వ్యవస్థకు సమానం \[\begin(cases) f(x)=0\\ g(x)\ne 0 \end(cases)\]\(\బుల్లెట్\) కొన్ని ఉదాహరణలను చూద్దాం.
1) \(x+1=\dfrac 2x\) సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. ఈ సమీకరణం యొక్క ODZని కనుగొనండి - ఇది \(x\ne 0\) (\(x\) హారంలో ఉన్నందున).
అంటే ODZని ఈ క్రింది విధంగా వ్రాయవచ్చు: .
అన్ని నిబంధనలను ఒక భాగానికి తరలించి, వాటిని ఒక సాధారణ హారంలోకి తీసుకువద్దాం: \[\dfrac((x+1)\cdot x)x-\dfrac 2x=0\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac(x^2+x-2)x=0\quad\Leftrightarrow\quad \begin( కేసులు) x^2+x-2=0\\x\ne 0\end(కేసులు)\]సిస్టమ్ యొక్క మొదటి సమీకరణానికి పరిష్కారం \(x=-2, x=1\) . రెండు మూలాలు నాన్-జీరో అని మనం చూస్తాము. కాబట్టి, సమాధానం: \(x\in \(-2;1\)\) .
2) సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి \(\ఎడమ(\dfrac4x - 2\కుడి)\cdot (x^2-x)=0\). ఈ సమీకరణం యొక్క ODZని కనుగొనండి. \(x\) యొక్క ఎడమ వైపు అర్ధవంతం కాని ఏకైక విలువ \(x=0\) అని మనం చూస్తాము. కాబట్టి, ODZ ఇలా వ్రాయవచ్చు: \(x\in (-\infty;0)\cup(0;+\infty)\).
కాబట్టి, ఈ సమీకరణం వ్యవస్థకు సమానం:
\[\ప్రారంభం(కేసులు) \ఎడమ[ \begin(సేకరించారు)\begin(సమలేఖనం చేయబడింది) &\dfrac 4x-2=0\\ &x^2-x=0 \end(సమలేఖనం చేయబడింది) \end(సేకరించారు) \కుడి. \\ x\ne 0 \end(కేసులు) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(cases) \left[ \begin(gathered)\begin(aligned) &\dfrac 4x=2\\ &x(x-1)= 0 \end(సమలేఖనం చేయబడింది) \end(సేకరించారు) \కుడి.\\ x\ne 0 \end(కేసులు) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(cases) \left[ \begin(gathered)\begin(aligned) &x =2\\ &x=1\\ &x=0 \end(సమలేఖనం చేయబడింది) \end(సేకరించారు) \కుడి.\\ x\ne 0 \end(కేసులు) \quad \Leftrightarrow \quad \left[ \begin(gathered) \begin(aligned) &x=2\\ &x=1 \end(aligned) \end(gathered) \right.\]నిజానికి, \(x=0\) అనేది రెండవ కారకం యొక్క మూలం అయినప్పటికీ, మీరు \(x=0\)ని అసలు సమీకరణంలోకి ప్రత్యామ్నాయం చేస్తే, అది అర్ధవంతం కాదు, ఎందుకంటే వ్యక్తీకరణ \(\dfrac 40\) నిర్వచించబడలేదు.
ఈ విధంగా, ఈ సమీకరణానికి పరిష్కారం \(x\in \(1;2\)\) .
3) సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి \[\dfrac(x^2+4x)(4x^2-1)=\dfrac(3-x-x^2)(4x^2-1)\]మా సమీకరణంలో \(4x^2-1\ne 0\) , దీని నుండి \((2x-1)(2x+1)\ne 0\) , అంటే \(x\ne -\frac12; \frac12 \) .
అన్ని నిబంధనలను ఎడమ వైపుకు తరలించి, వాటిని సాధారణ హారంలోకి తీసుకువద్దాం:
\(\dfrac(x^2+4x)(4x^2-1)=\dfrac(3-x-x^2)(4x^2-1) \quad \Leftrightarrow \quad \dfrac(x^2+4x- 3+x+x^2)(4x^2-1)=0\quad \Leftrightarrow \quad \dfrac(2x^2+5x-3)(4x^2-1)=0 \quad \Leftrightarrow\)
\(\Leftrightarrow \quad \begin(cases) 2x^2+5x-3=0\\ 4x^2-1\ne 0 \end(cases) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(cases) (2x-1 )(x+3)=0\\ (2x-1)(2x+1)\ne 0 \end(కేసులు) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(cases) \left[ \begin(gathered) \begin( సమలేఖనాలు ఎడమ కుడి బాణం \quad x=-3\)
సమాధానం: \(x\in \(-3\)\) .
వ్యాఖ్య. సమాధానం పరిమిత సంఖ్యలో సంఖ్యలను కలిగి ఉంటే, మునుపటి ఉదాహరణలలో చూపిన విధంగా, వాటిని సెమికోలన్‌లతో వంకర జంట కలుపుల్లో వేరు చేసి వ్రాయవచ్చు.
హేతుబద్ధమైన సమీకరణాలను పరిష్కరించాల్సిన సమస్యలు ప్రతి సంవత్సరం గణితంలో ఏకీకృత రాష్ట్ర పరీక్షలో ఎదురవుతాయి, కాబట్టి సర్టిఫికేషన్ పరీక్షలో ఉత్తీర్ణత సాధించడానికి సిద్ధమవుతున్నప్పుడు, గ్రాడ్యుయేట్లు ఖచ్చితంగా ఈ అంశంపై సిద్ధాంతాన్ని వారి స్వంతంగా పునరావృతం చేయాలి. గ్రాడ్యుయేట్లు ప్రాథమిక మరియు ప్రొఫైల్ స్థాయిపరీక్ష. సిద్ధాంతంపై పట్టు సాధించి డీల్ చేశారు ఆచరణాత్మక వ్యాయామాలు"హేతుబద్ధమైన సమీకరణాలు" అనే అంశంపై, విద్యార్థులు ఎన్ని చర్యలతోనైనా సమస్యలను పరిష్కరించగలరు మరియు ఏకీకృత రాష్ట్ర పరీక్షలో ఉత్తీర్ణత సాధించిన ఫలితాల ఆధారంగా పోటీ స్కోర్‌లను స్వీకరించడాన్ని లెక్కించగలరు.
Shkolkovo ఎడ్యుకేషనల్ పోర్టల్‌ని ఉపయోగించి పరీక్షకు ఎలా సిద్ధం కావాలి?
కొన్నిసార్లు మీరు పరిష్కరించడానికి ప్రాథమిక సిద్ధాంతాన్ని పూర్తిగా అందించే మూలాన్ని కనుగొనవచ్చు గణిత సమస్యలుచాలా కష్టంగా మారుతుంది. పాఠ్యపుస్తకం చేతిలో ఉండకపోవచ్చు. మరియు కనుగొనండి అవసరమైన సూత్రాలుకొన్నిసార్లు ఇది ఇంటర్నెట్‌లో కూడా చాలా కష్టంగా ఉంటుంది.
Shkolkovo ఎడ్యుకేషనల్ పోర్టల్ మీకు శోధించాల్సిన అవసరం నుండి ఉపశమనం కలిగిస్తుంది అవసరమైన పదార్థంమరియు ధృవీకరణ పరీక్షలో ఉత్తీర్ణత సాధించడానికి బాగా సిద్ధం కావడానికి మీకు సహాయం చేస్తుంది.
అన్నీ అవసరమైన సిద్ధాంతం"హేతుబద్ధ సమీకరణాలు" అనే అంశంపై మా నిపుణులు గరిష్టంగా సిద్ధం చేసి అందించారు యాక్సెస్ చేయగల రూపం. సమర్పించిన సమాచారాన్ని అధ్యయనం చేసిన తర్వాత, విద్యార్థులు జ్ఞానంలో ఖాళీలను పూరించగలరు.
కోసం విజయవంతమైన తయారీకు గ్రాడ్యుయేట్లకు ఏకీకృత రాష్ట్ర పరీక్షఇది ప్రాథమికంగా బ్రష్ చేయడమే కాదు సైద్ధాంతిక పదార్థం"హేతుబద్ధమైన సమీకరణాలు" అనే అంశంపై, కానీ టాస్క్‌లను పూర్తి చేయడం సాధన చేయడానికి నిర్దిష్ట ఉదాహరణలు. "కేటలాగ్" విభాగంలో పెద్ద ఎంపిక పనులు ప్రదర్శించబడతాయి.
సైట్‌లోని ప్రతి వ్యాయామం కోసం, మా నిపుణులు పరిష్కార అల్గోరిథం వ్రాసి సరైన సమాధానాన్ని సూచించారు. విద్యార్థులు సమస్యల పరిష్కారాన్ని సాధన చేయవచ్చు వివిధ స్థాయిలలోప్రిపరేషన్ స్థాయిని బట్టి ఇబ్బందులు. సంబంధిత విభాగంలోని పనుల జాబితా నిరంతరం అనుబంధంగా మరియు నవీకరించబడుతుంది.
"హేతుబద్ధ సమీకరణాలు" అనే అంశంపై సైద్ధాంతిక విషయాలను అధ్యయనం చేయండి మరియు సమస్య పరిష్కార నైపుణ్యాలను మెరుగుపరచండి ఏకీకృత రాష్ట్ర పరీక్ష పరీక్షలు, ఆన్‌లైన్‌లో చేయవచ్చు. అవసరమైతే, సమర్పించిన ఏదైనా టాస్క్‌లను "ఇష్టమైనవి" విభాగానికి జోడించవచ్చు. మళ్లీ రిపీట్ అవుతోంది ప్రాథమిక సిద్ధాంతం"హేతుబద్ధమైన సమీకరణాలు" అనే అంశంపై, ఒక ఉన్నత పాఠశాల విద్యార్థి బీజగణిత పాఠంలో ఉపాధ్యాయునితో దాని పరిష్కారం యొక్క పురోగతిని చర్చించడానికి భవిష్యత్తులో సమస్యను తిరిగి పొందగలుగుతారు.
హేతుబద్ధమైన మరియు పాక్షిక హేతుబద్ధమైన సమీకరణాలతో పరిచయం పొందండి, వాటి నిర్వచనాన్ని ఇవ్వండి, ఉదాహరణలను ఇవ్వండి మరియు అత్యంత సాధారణ రకాల సమస్యలను కూడా విశ్లేషిద్దాం.
Yandex.RTB R-A-339285-1
హేతుబద్ధ సమీకరణం: నిర్వచనం మరియు ఉదాహరణలు
హేతుబద్ధమైన వ్యక్తీకరణలతో పరిచయం పాఠశాల యొక్క 8 వ తరగతిలో ప్రారంభమవుతుంది. ఈ సమయంలో, బీజగణిత పాఠాలలో, విద్యార్థులు తమ నోట్స్‌లో హేతుబద్ధమైన వ్యక్తీకరణలను కలిగి ఉన్న సమీకరణలతో అసైన్‌మెంట్‌లను ఎక్కువగా ఎదుర్కొంటారు. అది ఏమిటో మన జ్ఞాపకశక్తిని రిఫ్రెష్ చేద్దాం.
నిర్వచనం 1
హేతుబద్ధ సమీకరణంరెండు వైపులా హేతుబద్ధమైన వ్యక్తీకరణలను కలిగి ఉండే సమీకరణం.
వివిధ మాన్యువల్స్‌లో మీరు మరొక సూత్రీకరణను కనుగొనవచ్చు.
నిర్వచనం 2
హేతుబద్ధ సమీకరణంఎడమవైపు ఉండే సమీకరణం హేతుబద్ధమైన వ్యక్తీకరణ, మరియు సరైనది సున్నా.
హేతుబద్ధమైన సమీకరణాలకు మేము ఇచ్చిన నిర్వచనాలు సమానంగా ఉంటాయి, ఎందుకంటే అవి ఒకే విషయం గురించి మాట్లాడతాయి. ఏదైనా హేతుబద్ధమైన వ్యక్తీకరణల కోసం మా పదాల ఖచ్చితత్వం నిర్ధారించబడింది పిమరియు ప్రసమీకరణాలు P = Qమరియు P - Q = 0సమానమైన వ్యక్తీకరణలు ఉంటాయి.
ఇప్పుడు ఉదాహరణలు చూద్దాం.
ఉదాహరణ 1
హేతుబద్ధ సమీకరణాలు:
x = 1 , 2 x - 12 x 2 y z 3 = 0 , x x 2 + 3 x - 1 = 2 + 2 7 x - a (x + 2) , 1 2 + 3 4 - 12 x - 1 = 3 .
హేతుబద్ధ సమీకరణాలు, ఇతర రకాల సమీకరణాల మాదిరిగానే, 1 నుండి అనేక వేరియబుల్స్‌ని కలిగి ఉండవచ్చు. మొదట మనం పరిశీలిస్తాము సాధారణ ఉదాహరణలు, దీనిలో సమీకరణాలు ఒక వేరియబుల్ మాత్రమే కలిగి ఉంటాయి. ఆపై మేము క్రమంగా పనిని క్లిష్టతరం చేయడం ప్రారంభిస్తాము.
హేతుబద్ధ సమీకరణాలు రెండుగా విభజించబడ్డాయి పెద్ద సమూహాలు: పూర్ణాంకాలు మరియు భిన్నాలు. ప్రతి సమూహానికి ఏ సమీకరణాలు వర్తిస్తాయో చూద్దాం.
నిర్వచనం 3
హేతుబద్ధమైన సమీకరణం దాని ఎడమ మరియు కుడి వైపులా మొత్తం హేతుబద్ధ వ్యక్తీకరణలను కలిగి ఉంటే అది పూర్ణాంకం అవుతుంది.
నిర్వచనం 4
హేతుబద్ధమైన సమీకరణం ఒకటి లేదా రెండు భాగాలు భిన్నాన్ని కలిగి ఉంటే అది పాక్షికంగా ఉంటుంది.
పాక్షిక హేతుబద్ధ సమీకరణాలు తప్పనిసరిగా వేరియబుల్ ద్వారా విభజనను కలిగి ఉంటాయి లేదా వేరియబుల్ హారంలో ఉంటుంది. మొత్తం సమీకరణాల రచనలో అటువంటి విభజన లేదు.
ఉదాహరణ 2
3 x + 2 = 0మరియు (x + y) · (3 · x 2 - 1) + x = - y + 0, 5- మొత్తం హేతుబద్ధ సమీకరణాలు. ఇక్కడ సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా పూర్ణాంక వ్యక్తీకరణల ద్వారా సూచించబడతాయి.
1 x - 1 = x 3 మరియు x: (5 x 3 + y 2) = 3: (x - 1) : 5పాక్షికంగా హేతుబద్ధ సమీకరణాలు.
మొత్తం హేతుబద్ధ సమీకరణాలలో సరళ మరియు వర్గ సమీకరణాలు ఉంటాయి.
మొత్తం సమీకరణాలను పరిష్కరించడం
అటువంటి సమీకరణాలను పరిష్కరించడం సాధారణంగా వాటిని సమానమైన బీజగణిత సమీకరణాలుగా మార్చడానికి వస్తుంది. కింది అల్గోరిథం ప్రకారం సమీకరణాల యొక్క సమానమైన పరివర్తనలను నిర్వహించడం ద్వారా దీనిని సాధించవచ్చు:
- మొదట మనం సమీకరణం యొక్క కుడి వైపున సున్నాని పొందుతాము; దీన్ని చేయడానికి, మనం సమీకరణం యొక్క కుడి వైపున ఉన్న వ్యక్తీకరణను దాని ఎడమ వైపుకు తరలించి, గుర్తును మార్చాలి;
- అప్పుడు మనం సమీకరణం యొక్క ఎడమ వైపున ఉన్న వ్యక్తీకరణను బహుపదిలోకి మారుస్తాము ప్రామాణిక వీక్షణ.
మనం బీజగణిత సమీకరణాన్ని పొందాలి. ఈ సమీకరణం అసలు సమీకరణానికి సమానంగా ఉంటుంది. సులభమైన సందర్భాలు సమస్యను పరిష్కరించడానికి మొత్తం సమీకరణాన్ని సరళ లేదా చతురస్రాకారానికి తగ్గించడానికి మాకు అనుమతిస్తాయి. సాధారణంగా, మేము డిగ్రీ యొక్క బీజగణిత సమీకరణాన్ని పరిష్కరిస్తాము n.
ఉదాహరణ 3
మొత్తం సమీకరణం యొక్క మూలాలను కనుగొనడం అవసరం 3 (x + 1) (x - 3) = x (2 x - 1) - 3.
పరిష్కారం
సమానమైన బీజగణిత సమీకరణాన్ని పొందడం కోసం అసలు వ్యక్తీకరణను మారుద్దాం. దీన్ని చేయడానికి, మేము సమీకరణం యొక్క కుడి వైపున ఉన్న వ్యక్తీకరణను ఎడమ వైపుకు బదిలీ చేస్తాము మరియు వ్యతిరేక చిహ్నంతో గుర్తును భర్తీ చేస్తాము. ఫలితంగా మనకు లభిస్తుంది: 3 (x + 1) (x - 3) - x (2 x - 1) + 3 = 0.
ఇప్పుడు ఎడమ వైపున ఉన్న వ్యక్తీకరణను ప్రామాణిక రూపంలో బహుపదిలోకి మార్చండి మరియు ఉత్పత్తి చేయండి అవసరమైన చర్యలుఈ బహుపదితో:
3 (x + 1) (x - 3) - x (2 x - 1) + 3 = (3 x + 3) (x - 3) - 2 x 2 + x + 3 = = 3 x 2 - 9 x + 3 x - 9 - 2 x 2 + x + 3 = x 2 - 5 x - 6
మేము పరిష్కారాన్ని అసలు సమీకరణానికి పరిష్కారానికి తగ్గించగలిగాము వర్గ సమీకరణంరకం x 2 - 5 x - 6 = 0. ఈ సమీకరణం యొక్క వివక్ష సానుకూలంగా ఉంది: D = (- 5) 2 - 4 · 1 · (- 6) = 25 + 24 = 49 .దీని అర్ధం, నిజమైన మూలాలురెండు ఉంటుంది. వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాల కోసం సూత్రాన్ని ఉపయోగించి వాటిని కనుగొనండి:
x = - - 5 ± 49 2 1,
x 1 = 5 + 7 2 లేదా x 2 = 5 - 7 2,
x 1 = 6 లేదా x 2 = - 1
పరిష్కారం సమయంలో మనం కనుగొన్న సమీకరణం యొక్క మూలాల ఖచ్చితత్వాన్ని తనిఖీ చేద్దాం. దీని కోసం, మేము అందుకున్న సంఖ్యలను అసలు సమీకరణంలోకి మారుస్తాము: 3 (6 + 1) (6 - 3) = 6 (2 6 - 1) - 3మరియు 3 · (- 1 + 1) · (- 1 - 3) = (- 1) · (2 · (- 1) - 1) − 3. మొదటి సందర్భంలో 63 = 63 , రెండవది 0 = 0 . మూలాలు x=6మరియు x = - 1నిజానికి ఉదాహరణ కండిషన్‌లో ఇచ్చిన సమీకరణం యొక్క మూలాలు.
సమాధానం: 6 , − 1 .
"పూర్తి సమీకరణం యొక్క డిగ్రీ" అంటే ఏమిటో చూద్దాం. మేము బీజగణిత రూపంలో మొత్తం సమీకరణాన్ని సూచించాల్సిన సందర్భాలలో ఈ పదాన్ని తరచుగా ఎదుర్కొంటాము. భావనను నిర్వచిద్దాం.
నిర్వచనం 5
మొత్తం సమీకరణం యొక్క డిగ్రీ- ఇది డిగ్రీ బీజగణిత సమీకరణం, అసలు పూర్ణాంక సమీకరణానికి సమానం.
మీరు పై ఉదాహరణ నుండి సమీకరణాలను చూస్తే, మీరు స్థాపించవచ్చు: ఈ మొత్తం సమీకరణం యొక్క డిగ్రీ రెండవది.
మా కోర్సు రెండవ డిగ్రీ యొక్క సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి పరిమితం అయితే, అంశం యొక్క చర్చ అక్కడ ముగియవచ్చు. కానీ అది అంత సులభం కాదు. మూడవ డిగ్రీ యొక్క సమీకరణాలను పరిష్కరించడం ఇబ్బందులతో నిండి ఉంది. మరియు నాల్గవ డిగ్రీ కంటే ఎక్కువ సమీకరణాలకు సంఖ్య లేదు సాధారణ సూత్రాలుమూలాలు. ఈ విషయంలో, మూడవ, నాల్గవ మరియు ఇతర డిగ్రీల యొక్క మొత్తం సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి మేము అనేక ఇతర పద్ధతులు మరియు పద్ధతులను ఉపయోగించాల్సిన అవసరం ఉంది.
మొత్తం హేతుబద్ధ సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి అత్యంత సాధారణంగా ఉపయోగించే విధానం కారకం పద్ధతిపై ఆధారపడి ఉంటుంది. ఈ సందర్భంలో చర్యల అల్గోరిథం క్రింది విధంగా ఉంటుంది:
- మేము వ్యక్తీకరణను కుడి వైపు నుండి ఎడమకు తరలిస్తాము, తద్వారా సున్నా రికార్డ్ యొక్క కుడి వైపున ఉంటుంది;
- మేము ఎడమ వైపున ఉన్న వ్యక్తీకరణను కారకాల ఉత్పత్తిగా సూచిస్తాము, ఆపై అనేక సరళమైన సమీకరణాల సమితికి వెళ్తాము.
సమీకరణానికి పరిష్కారాన్ని కనుగొనండి (x 2 - 1) · (x 2 - 10 · x + 13) = 2 · x · (x 2 - 10 · x + 13) .
పరిష్కారం
మేము వ్యక్తీకరణను రికార్డ్ యొక్క కుడి వైపు నుండి ఎడమ వైపుకు తరలిస్తాము వ్యతిరేక చిహ్నం: (x 2 - 1) · (x 2 - 10 · x + 13) - 2 · x · (x 2 - 10 · x + 13) = 0. నాల్గవ డిగ్రీకి బీజగణిత సమీకరణాన్ని అందించడం వల్ల ఎడమ వైపును ప్రామాణిక రూపంలోని బహుపదికి మార్చడం సరికాదు: x 4 - 12 x 3 + 32 x 2 - 16 x - 13 = 0. మార్పిడి సౌలభ్యం అటువంటి సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడంలో అన్ని ఇబ్బందులను సమర్థించదు.
ఇతర మార్గంలో వెళ్లడం చాలా సులభం: బ్రాకెట్ల నుండి దాన్ని తీసుకుందాం సాధారణ గుణకం x 2 - 10 x + 13 .కాబట్టి మేము రూపం యొక్క సమీకరణానికి వస్తాము (x 2 - 10 x + 13) (x 2 - 2 x - 1) = 0. ఇప్పుడు మనం ఫలిత సమీకరణాన్ని రెండు వర్గ సమీకరణాల సమితితో భర్తీ చేస్తాము x 2 - 10 x + 13 = 0మరియు x 2 - 2 x - 1 = 0మరియు వారి మూలాలను వివక్షత ద్వారా కనుగొనండి: 5 + 2 3, 5 - 2 3, 1 + 2, 1 - 2.
సమాధానం: 5 + 2 3, 5 - 2 3, 1 + 2, 1 - 2.
అదే విధంగా, మనం కొత్త వేరియబుల్‌ని పరిచయం చేసే పద్ధతిని ఉపయోగించవచ్చు. అసలు పూర్ణాంక సమీకరణంలోని డిగ్రీల కంటే తక్కువ డిగ్రీలతో సమానమైన సమీకరణాలకు తరలించడానికి ఈ పద్ధతి అనుమతిస్తుంది.
ఉదాహరణ 5
సమీకరణానికి మూలాలు ఉన్నాయా? (x 2 + 3 x + 1) 2 + 10 = - 2 (x 2 + 3 x - 4)?
పరిష్కారం
మనం ఇప్పుడు పూర్తి హేతుబద్ధ సమీకరణాన్ని బీజగణితానికి తగ్గించడానికి ప్రయత్నిస్తే, డిగ్రీ 4 యొక్క సమీకరణాన్ని పొందుతాము, దీనికి సంఖ్య లేదు హేతుబద్ధమైన మూలాలు. అందువల్ల, మేము ఇతర మార్గంలో వెళ్లడం సులభం అవుతుంది: కొత్త వేరియబుల్ yని పరిచయం చేయండి, ఇది సమీకరణంలో వ్యక్తీకరణను భర్తీ చేస్తుంది x 2 + 3 x.
ఇప్పుడు మేము మొత్తం సమీకరణంతో పని చేస్తాము (y + 1) 2 + 10 = - 2 · (y - 4). సమీకరణం యొక్క కుడి వైపును వ్యతిరేక గుర్తుతో ఎడమ వైపుకు తరలించి, అమలు చేద్దాం అవసరమైన పరివర్తనలు. మాకు దొరికింది: y 2 + 4 y + 3 = 0. వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాలను కనుగొనండి: y = - 1మరియు y = - 3.
ఇప్పుడు రివర్స్ రీప్లేస్‌మెంట్ చేద్దాం. మనకు రెండు సమీకరణాలు వస్తాయి x 2 + 3 x = - 1మరియు x 2 + 3 · x = - 3 .వాటిని x 2 + 3 x + 1 = 0 మరియు అని తిరిగి వ్రాస్దాం x 2 + 3 x + 3 = 0. మేము పొందిన వాటి నుండి మొదటి సమీకరణం యొక్క మూలాలను కనుగొనడానికి వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాల కోసం సూత్రాన్ని ఉపయోగిస్తాము: - 3 ± 5 2. రెండవ సమీకరణం యొక్క వివక్ష ప్రతికూలంగా ఉంటుంది. అంటే రెండవ సమీకరణానికి అసలు మూలాలు లేవు.
సమాధానం:- 3 ± 5 2
మొత్తం సమీకరణాలు అధిక డిగ్రీలుచాలా తరచుగా పనులలో వస్తారు. వాటికి భయపడాల్సిన పనిలేదు. మీరు దరఖాస్తు చేయడానికి సిద్ధంగా ఉండాలి ప్రామాణికం కాని పద్ధతిఅనేక కృత్రిమ పరివర్తనలతో సహా వాటి పరిష్కారాలు.
పాక్షిక హేతుబద్ధ సమీకరణాలను పరిష్కరించడం
p (x) q (x) = 0, ఫారమ్ యొక్క పాక్షికంగా హేతుబద్ధమైన సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి అల్గారిథమ్‌తో మేము ఈ ఉపశీర్షిక యొక్క మా పరిశీలనను ప్రారంభిస్తాము. p(x)మరియు q(x)- మొత్తం హేతుబద్ధమైన వ్యక్తీకరణలు. ఇతర పాక్షికంగా హేతుబద్ధమైన సమీకరణాల పరిష్కారం ఎల్లప్పుడూ సూచించిన రకం సమీకరణాల పరిష్కారానికి తగ్గించబడుతుంది.
p (x) q (x) = 0 సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి అత్యంత సాధారణంగా ఉపయోగించే పద్ధతి క్రింది ప్రకటనపై ఆధారపడి ఉంటుంది: సంఖ్యా భిన్నం u v, ఎక్కడ v- ఇది సున్నాకి భిన్నమైన సంఖ్య, భిన్నం యొక్క న్యూమరేటర్ సున్నాకి సమానమైన సందర్భాలలో మాత్రమే సున్నాకి సమానం. పై స్టేట్‌మెంట్ యొక్క లాజిక్‌ను అనుసరించి, p (x) q (x) = 0 సమీకరణానికి పరిష్కారం రెండు షరతులను నెరవేర్చడానికి తగ్గించవచ్చని మేము క్లెయిమ్ చేయవచ్చు: p(x)=0మరియు q(x) ≠ 0. p (x) q (x) = 0 రూపం యొక్క పాక్షిక హేతుబద్ధ సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి అల్గారిథమ్‌ను రూపొందించడానికి ఇది ఆధారం:
- మొత్తం హేతుబద్ధ సమీకరణానికి పరిష్కారాన్ని కనుగొనండి p(x)=0;
- పరిష్కారం సమయంలో కనుగొనబడిన మూలాలకు పరిస్థితి సంతృప్తికరంగా ఉందో లేదో మేము తనిఖీ చేస్తాము q(x) ≠ 0.
ఈ షరతు నెరవేరితే దొరికిన రూటు.. లేకుంటే రూట్ సమస్యకు పరిష్కారం కాదు.
ఉదాహరణ 6
3 · x - 2 5 · x 2 - 2 = 0 సమీకరణం యొక్క మూలాలను కనుగొనండి.
పరిష్కారం
మేము p (x) q (x) = 0 రూపం యొక్క పాక్షిక హేతుబద్ధ సమీకరణంతో వ్యవహరిస్తున్నాము, దీనిలో p (x) = 3 x - 2, q (x) = 5 x 2 - 2 = 0. సరళ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం ప్రారంభిద్దాం 3 x - 2 = 0. ఈ సమీకరణం యొక్క మూలం ఉంటుంది x = 2 3.
ఇది పరిస్థితిని సంతృప్తి పరుస్తుందో లేదో చూడటానికి కనుగొన్న రూట్‌ని తనిఖీ చేద్దాం 5 x 2 − 2 ≠ 0. దీన్ని చేయడానికి, ప్రత్యామ్నాయం చేద్దాం సంఖ్యా విలువవ్యక్తీకరణలోకి. మనకు లభిస్తుంది: 5 · 2 3 2 - 2 = 5 · 4 9 - 2 = 20 9 - 2 = 2 9 ≠ 0.
షరతు నెరవేరింది. దాని అర్థం ఏమిటంటే x = 2 3అసలు సమీకరణం యొక్క మూలం.
సమాధానం: 2 3 .
పాక్షిక హేతుబద్ధ సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి మరొక ఎంపిక ఉంది p (x) q (x) = 0. ఈ సమీకరణం మొత్తం సమీకరణానికి సమానమని గుర్తుంచుకోండి p(x)=0అసలు సమీకరణం యొక్క వేరియబుల్ x యొక్క అనుమతించదగిన విలువల పరిధిపై. ఇది p (x) q (x) = 0 సమీకరణాలను పరిష్కరించడంలో కింది అల్గారిథమ్‌ని ఉపయోగించడానికి అనుమతిస్తుంది:
- సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి p(x)=0;
- వేరియబుల్ x యొక్క అనుమతించదగిన విలువల పరిధిని కనుగొనండి;
- మేము వేరియబుల్ x యొక్క అనుమతించదగిన విలువల పరిధిలో ఉండే మూలాలను అసలైన పాక్షిక హేతుబద్ధ సమీకరణం యొక్క కావలసిన మూలాలుగా తీసుకుంటాము.
x 2 - 2 x - 11 x 2 + 3 x = 0 సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి.
పరిష్కారం
మొదట, చతురస్రాకార సమీకరణాన్ని పరిష్కరిద్దాం x 2 - 2 x - 11 = 0. దాని మూలాలను లెక్కించడానికి, మేము రెండవ గుణకం కోసం మూల సూత్రాన్ని ఉపయోగిస్తాము. మాకు దొరికింది D 1 = (- 1) 2 - 1 · (- 11) = 12, మరియు x = 1 ± 2 3 .
ఇప్పుడు మనం అసలు సమీకరణం కోసం వేరియబుల్ x యొక్క ODZని కనుగొనవచ్చు. ఇవన్నీ దేనికి సంబంధించిన సంఖ్యలు x 2 + 3 x ≠ 0. ఇది అదే x (x + 3) ≠ 0, ఎక్కడ నుండి x ≠ 0, x ≠ − 3.
పరిష్కారం యొక్క మొదటి దశలో పొందిన మూలాలు x = 1 ± 2 3 వేరియబుల్ x యొక్క అనుమతించదగిన విలువల పరిధిలో ఉన్నాయో లేదో ఇప్పుడు చూద్దాం. వాళ్ళు లోపలికి రావడం చూస్తున్నాం. దీని అర్థం అసలైన పాక్షిక హేతుబద్ధ సమీకరణం x = 1 ± 2 3 అనే రెండు మూలాలను కలిగి ఉంటుంది.
సమాధానం: x = 1 ± 2 3
రెండవ పరిష్కార పద్ధతి వివరించబడింది మొదటి కంటే సులభంవేరియబుల్ x యొక్క అనుమతించదగిన విలువల పరిధి సులభంగా కనుగొనబడిన సందర్భాలలో మరియు సమీకరణం యొక్క మూలాలు p(x)=0అహేతుకమైన. ఉదాహరణకు, 7 ± 4 · 26 9. మూలాలు హేతుబద్ధంగా ఉండవచ్చు, కానీ పెద్ద సంఖ్య లేదా హారంతో ఉంటాయి. ఉదాహరణకి, 127 1101 మరియు − 31 59 . ఇది పరిస్థితిని తనిఖీ చేయడంలో సమయాన్ని ఆదా చేస్తుంది q(x) ≠ 0: ODZ ప్రకారం సరిపడని మూలాలను మినహాయించడం చాలా సులభం.
సమీకరణం యొక్క మూలాలు ఉన్న సందర్భాలలో p(x)=0పూర్ణాంకాలు, p (x) q (x) = 0 రూపం యొక్క సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి వివరించిన అల్గారిథమ్‌లలో మొదటిదాన్ని ఉపయోగించడం మరింత ప్రయోజనకరం. మొత్తం సమీకరణం యొక్క మూలాలను వేగంగా కనుగొనండి p(x)=0, ఆపై పరిస్థితి వారికి సంతృప్తికరంగా ఉందో లేదో తనిఖీ చేయండి q(x) ≠ 0, ODZని కనుగొనడం కంటే, ఆపై సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం p(x)=0ఈ ODZలో. అటువంటి సందర్భాలలో సాధారణంగా DZని కనుగొనడం కంటే తనిఖీ చేయడం సులభం కావడమే దీనికి కారణం.
ఉదాహరణ 8
సమీకరణం యొక్క మూలాలను కనుగొనండి (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) x 5 - 15 x 4 + 57 x 3 - 13 x 2 + 26 x + 112 = 0.
పరిష్కారం
మొత్తం సమీకరణాన్ని చూడటం ద్వారా ప్రారంభిద్దాం (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) = 0మరియు దాని మూలాలను కనుగొనడం. దీన్ని చేయడానికి, మేము కారకం ద్వారా సమీకరణాలను పరిష్కరించే పద్ధతిని వర్తింపజేస్తాము. అసలు సమీకరణం నాలుగు సమీకరణాల సమితికి సమానం అని తేలింది 2 x - 1 = 0, x - 6 = 0, x 2 - 5 x + 14 = 0, x + 1 = 0, వీటిలో మూడు సరళమైనవి మరియు ఒకటి చతుర్భుజం. మూలాలను కనుగొనడం: మొదటి సమీకరణం నుండి x = 1 2, రెండవ నుండి - x=6, మూడవ నుండి – x = 7 , x = - 2 , నాల్గవ నుండి – x = - 1.
పొందిన మూలాలను తనిఖీ చేద్దాం. ADLని నిర్ణయించండి ఈ విషయంలోఇది మాకు కష్టం, ఎందుకంటే దీని కోసం మనం ఐదవ డిగ్రీ యొక్క బీజగణిత సమీకరణాన్ని పరిష్కరించాలి. సమీకరణం యొక్క ఎడమ వైపున ఉన్న భిన్నం యొక్క హారం సున్నాకి వెళ్లకూడదనే పరిస్థితిని తనిఖీ చేయడం సులభం అవుతుంది.
ఎక్స్‌ప్రెషన్‌లోని వేరియబుల్ x కోసం మూలాలను ప్రత్యామ్నాయం చేద్దాం x 5 - 15 x 4 + 57 x 3 - 13 x 2 + 26 x + 112మరియు దాని విలువను లెక్కించండి:
1 2 5 - 15 1 2 4 + 57 1 2 3 - 13 1 2 2 + 26 1 2 + 112 = = 1 32 - 15 16 + 57 8 − 13 4 + 13 + 220; 13 + 212 ;
6 5 - 15 · 6 4 + 57 · 6 3 - 13 · 6 2 + 26 · 6 + 112 = 448 ≠ 0 ;
7 5 - 15 · 7 4 + 57 · 7 3 - 13 · 7 2 + 26 · 7 + 112 = 0 ;
(− 2) 5 - 15 · (- 2) 4 + 57 · (- 2) 3 - 13 · (- 2) 2 + 26 · (- 2) + 112 = − 720 ≠ 0 ;
(− 1) 5 - 15 · (- 1) 4 + 57 · (- 1) 3 - 13 · (- 1) 2 + 26 · (- 1) + 112 = 0 .
నిర్వహించిన ధృవీకరణ అసలు పాక్షిక హేతుబద్ధ సమీకరణం యొక్క మూలాలు 1 2, 6 మరియు అని నిర్ధారించడానికి అనుమతిస్తుంది. − 2 .
సమాధానం: 1 2 , 6 , - 2
ఉదాహరణ 9
పాక్షిక హేతుబద్ధ సమీకరణం 5 x 2 - 7 x - 1 x - 2 x 2 + 5 x - 14 = 0 మూలాలను కనుగొనండి.
పరిష్కారం
సమీకరణంతో పని ప్రారంభిద్దాం (5 x 2 - 7 x - 1) (x - 2) = 0. దాని మూలాలను కనుక్కోండి. ఈ సమీకరణాన్ని క్వాడ్రాటిక్ మరియు కలయికగా ఊహించడం మాకు సులభం సరళ సమీకరణాలు 5 x 2 - 7 x - 1 = 0మరియు x - 2 = 0.
మూలాలను కనుగొనడానికి మేము వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాల కోసం సూత్రాన్ని ఉపయోగిస్తాము. మేము మొదటి సమీకరణం నుండి x = 7 ± 69 10 అనే రెండు మూలాలను పొందుతాము మరియు రెండవది నుండి x = 2.
పరిస్థితులను తనిఖీ చేయడానికి మూలాల విలువను అసలు సమీకరణంలోకి మార్చడం మాకు చాలా కష్టం. వేరియబుల్ x యొక్క ODZని గుర్తించడం సులభం అవుతుంది. ఈ సందర్భంలో, వేరియబుల్ x యొక్క ODZ అనేది షరతుకు అనుగుణంగా ఉండే అన్ని సంఖ్యలు తప్ప x 2 + 5 x - 14 = 0. మనకు లభిస్తుంది: x ∈ - ∞, - 7 ∪ - 7, 2 ∪ 2, + ∞.
ఇప్పుడు మనం కనుగొన్న మూలాలు వేరియబుల్ x యొక్క అనుమతించదగిన విలువల శ్రేణికి చెందినవో లేదో తనిఖీ చేద్దాం.
మూలాలు x = 7 ± 69 10 చెందినవి, కాబట్టి, అవి అసలు సమీకరణం యొక్క మూలాలు, మరియు x = 2- చెందినది కాదు, కాబట్టి, ఇది అదనపు మూలం.
సమాధానం: x = 7 ± 69 10 .
p (x) q (x) = 0 రూపం యొక్క పాక్షిక హేతుబద్ధ సమీకరణం యొక్క లవం సంఖ్యను కలిగి ఉన్న సందర్భాలను విడిగా పరిశీలిద్దాం. అటువంటి సందర్భాలలో, లవం సున్నా కాకుండా వేరే సంఖ్యను కలిగి ఉంటే, అప్పుడు సమీకరణానికి మూలాలు ఉండవు. ఈ సంఖ్య సున్నాకి సమానం అయితే, సమీకరణం యొక్క మూలం ODZ నుండి ఏదైనా సంఖ్య అవుతుంది.
ఉదాహరణ 10
పాక్షిక హేతుబద్ధ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి - 3, 2 x 3 + 27 = 0.
పరిష్కారం
సమీకరణం యొక్క ఎడమ వైపున ఉన్న భిన్నం యొక్క లవం సున్నా కాని సంఖ్యను కలిగి ఉన్నందున ఈ సమీకరణానికి మూలాలు ఉండవు. దీనర్థం x యొక్క ఏ విలువలోనూ సమస్య ప్రకటనలో ఇవ్వబడిన భిన్నం యొక్క విలువ సున్నాకి సమానంగా ఉండదు.
సమాధానం:మూలాలు లేవు.
ఉదాహరణ 11
0 x 4 + 5 x 3 = 0 సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి.
పరిష్కారం
భిన్నం యొక్క న్యూమరేటర్ సున్నాని కలిగి ఉన్నందున, సమీకరణానికి పరిష్కారం వేరియబుల్ x యొక్క ODZ నుండి ఏదైనా విలువ x అవుతుంది.
ఇప్పుడు ODZని నిర్వచిద్దాం. ఇది x యొక్క అన్ని విలువలను కలిగి ఉంటుంది x 4 + 5 x 3 ≠ 0. సమీకరణానికి పరిష్కారాలు x 4 + 5 x 3 = 0ఉన్నాయి 0 మరియు − 5 , ఈ సమీకరణం సమీకరణానికి సమానం కాబట్టి x 3 (x + 5) = 0, మరియు ఇది రెండు సమీకరణాల కలయికకు సమానం x 3 = 0 మరియు x + 5 = 0, ఈ మూలాలు ఎక్కడ కనిపిస్తాయి. ఆమోదయోగ్యమైన విలువల యొక్క కావలసిన పరిధి ఏదైనా x తప్ప అని మేము నిర్ధారణకు వచ్చాము x = 0మరియు x = - 5.
పాక్షిక హేతుబద్ధ సమీకరణం 0 x 4 + 5 x 3 = 0 కలిగి ఉందని తేలింది అనంతమైన సెట్పరిష్కారాలు, ఇవి సున్నా మరియు - 5 తప్ప ఏవైనా సంఖ్యలు.
సమాధానం: - ∞ , - 5 ∪ (- 5 , 0 ∪ 0 , + ∞
ఇప్పుడు పాక్షిక హేతుబద్ధ సమీకరణాల గురించి మాట్లాడుదాం ఏకపక్ష రకంమరియు వాటిని పరిష్కరించడానికి పద్ధతులు. వాటిని ఇలా వ్రాయవచ్చు r(x) = s(x), ఎక్కడ r(x)మరియు s(x)- హేతుబద్ధమైన వ్యక్తీకరణలు మరియు వాటిలో కనీసం ఒకటి భిన్నమైనది. అటువంటి సమీకరణాలను పరిష్కరించడం p (x) q (x) = 0 రూపం యొక్క సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి తగ్గిస్తుంది.
మనం ఏమి పొందగలమో మాకు ఇప్పటికే తెలుసు సమానమైన సమీకరణంసమీకరణం యొక్క కుడి వైపు నుండి ఎడమ వైపుకు వ్యతిరేక గుర్తుతో వ్యక్తీకరణను బదిలీ చేస్తున్నప్పుడు. అంటే సమీకరణం r(x) = s(x)సమీకరణానికి సమానం r (x) - s (x) = 0. హేతుబద్ధమైన వ్యక్తీకరణను హేతుబద్ధమైన భిన్నంగా మార్చే మార్గాలను కూడా మేము ఇప్పటికే చర్చించాము. దీనికి ధన్యవాదాలు, మేము సమీకరణాన్ని సులభంగా మార్చగలము r (x) - s (x) = 0 p (x) q (x) రూపం యొక్క ఒకేలా హేతుబద్ధమైన భిన్నం.
కాబట్టి మేము అసలు పాక్షిక హేతుబద్ధ సమీకరణం నుండి తరలిస్తాము r(x) = s(x)రూపం p (x) q (x) = 0 యొక్క సమీకరణానికి, మేము ఇప్పటికే పరిష్కరించడం నేర్చుకున్నాము.
నుండి పరివర్తనాలు చేస్తున్నప్పుడు ఇది పరిగణనలోకి తీసుకోవాలి r (x) - s (x) = 0 p(x)q(x) = 0కి ఆపై కు p(x)=0మేము వేరియబుల్ x యొక్క అనుమతించదగిన విలువల పరిధి విస్తరణను పరిగణనలోకి తీసుకోకపోవచ్చు.
ఇది అసలు సమీకరణం చాలా సాధ్యమే r(x) = s(x)మరియు సమీకరణం p(x)=0పరివర్తనల ఫలితంగా అవి సమానమైనవిగా నిలిచిపోతాయి. అప్పుడు సమీకరణానికి పరిష్కారం p(x)=0మాకు విదేశీగా ఉండే మూలాలను ఇవ్వగలదు r(x) = s(x). ఈ విషయంలో, ప్రతి సందర్భంలో పైన వివరించిన ఏదైనా పద్ధతులను ఉపయోగించి ధృవీకరణను నిర్వహించడం అవసరం.
మీరు అంశాన్ని అధ్యయనం చేయడాన్ని సులభతరం చేయడానికి, ఫారమ్ యొక్క పాక్షిక హేతుబద్ధ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి మేము మొత్తం సమాచారాన్ని అల్గారిథమ్‌గా సంగ్రహించాము r(x) = s(x):
- మేము వ్యతిరేక చిహ్నంతో కుడి వైపు నుండి వ్యక్తీకరణను బదిలీ చేస్తాము మరియు కుడి వైపున సున్నాని పొందుతాము;
- అసలైన వ్యక్తీకరణను హేతుబద్ధమైన భిన్నం p (x) q (x)గా మార్చడం, భిన్నాలు మరియు బహుపదాలతో వరుసగా కార్యకలాపాలను నిర్వహించడం;
- సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి p(x)=0;
- మేము ODZకి చెందిన వాటిని తనిఖీ చేయడం ద్వారా లేదా అసలు సమీకరణంలోకి ప్రత్యామ్నాయం చేయడం ద్వారా అదనపు మూలాలను గుర్తిస్తాము.
దృశ్యమానంగా, చర్యల గొలుసు ఇలా కనిపిస్తుంది:
r (x) = s (x) → r (x) - s (x) = 0 → p (x) q (x) = 0 → p (x) = 0 → ఎలిమినేషన్ బాహ్య మూలాలు
ఉదాహరణ 12
పాక్షిక హేతుబద్ధ సమీకరణాన్ని x x + 1 = 1 x + 1 పరిష్కరించండి.
పరిష్కారం
x x + 1 - 1 x + 1 = 0 సమీకరణానికి వెళ్దాం. సమీకరణం యొక్క ఎడమ వైపున ఉన్న పాక్షిక హేతుబద్ధ వ్యక్తీకరణను p (x) q (x) రూపానికి మారుద్దాం.
దీన్ని చేయడానికి మేము తీసుకురావాలి హేతుబద్ధమైన భిన్నాలుఒక సాధారణ హారం మరియు వ్యక్తీకరణను సులభతరం చేయండి:
x x + 1 - 1 x - 1 = x x - 1 (x + 1) - 1 x (x + 1) x (x + 1) = = x 2 - x - 1 - x 2 - x x · (x + 1) = - 2 · x - 1 x · (x + 1)
సమీకరణం యొక్క మూలాలను కనుగొనడానికి - 2 x - 1 x (x + 1) = 0, మనం సమీకరణాన్ని పరిష్కరించాలి − 2 x - 1 = 0. మనకు ఒక రూట్ వస్తుంది x = - 1 2.
మనం చేయాల్సిందల్లా ఏదైనా పద్ధతులను ఉపయోగించి తనిఖీ చేయడం. వారిద్దరినీ చూద్దాం.
ఫలిత విలువను అసలు సమీకరణంలోకి మారుద్దాం. మనకు లభిస్తుంది - 1 2 - 1 2 + 1 = 1 - 1 2 + 1. మేము సరైన నిర్ణయానికి వచ్చాము సంఖ్యా సమానత్వం − 1 = − 1 . దాని అర్థం ఏమిటంటే x = - 1 2అసలు సమీకరణం యొక్క మూలం.
ఇప్పుడు ODZ ద్వారా తనిఖీ చేద్దాం. x వేరియబుల్ యొక్క అనుమతించదగిన విలువల పరిధిని మనం నిర్ధారిద్దాం. ఇది − 1 మరియు 0 (x = - 1 మరియు x = 0 వద్ద, భిన్నాల హారం అదృశ్యమవుతుంది) మినహా మొత్తం సంఖ్యల సమితి అవుతుంది. మేము పొందిన రూట్ x = - 1 2 ODZకి చెందినది. ఇది అసలు సమీకరణానికి మూలం అని అర్థం.
సమాధానం: − 1 2 .
ఉదాహరణ 13
x 1 x + 3 - 1 x = - 2 3 · x సమీకరణం యొక్క మూలాలను కనుగొనండి.
పరిష్కారం
మేము పాక్షిక హేతుబద్ధ సమీకరణంతో వ్యవహరిస్తున్నాము. అందువల్ల, మేము అల్గోరిథం ప్రకారం పని చేస్తాము.
వ్యతిరేక గుర్తుతో వ్యక్తీకరణను కుడి వైపు నుండి ఎడమకు తరలిద్దాం: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = 0
అవసరమైన పరివర్తనలను చేద్దాం: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 · x = x 3 + 2 · x 3 = 3 · x 3 = x.
మేము సమీకరణానికి చేరుకున్నాము x = 0. ఈ సమీకరణం యొక్క మూలం సున్నా.
ఈ మూలం అసలు సమీకరణానికి అతీతమైనదా అని చూద్దాం. అసలు సమీకరణంలో విలువను ప్రత్యామ్నాయం చేద్దాం: 0 1 0 + 3 - 1 0 = - 2 3 · 0. మీరు గమనిస్తే, ఫలిత సమీకరణం అర్ధవంతం కాదు. దీని అర్థం 0 అనేది ఒక అదనపు మూలం, మరియు అసలు పాక్షిక హేతుబద్ధ సమీకరణానికి మూలాలు లేవు.
సమాధానం:మూలాలు లేవు.
మేము అల్గారిథమ్‌లో ఇతర సమానమైన పరివర్తనలను చేర్చకపోతే, వాటిని ఉపయోగించలేమని దీని అర్థం కాదు. అల్గోరిథం సార్వత్రికమైనది, కానీ ఇది సహాయం చేయడానికి రూపొందించబడింది, పరిమితం కాదు.
ఉదాహరణ 14
7 + 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 7 24 సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి
పరిష్కారం
అల్గోరిథం ప్రకారం ఇచ్చిన పాక్షిక హేతుబద్ధ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సులభమయిన మార్గం. కానీ మరొక మార్గం ఉంది. దానిని పరిగణలోకి తీసుకుందాం.
కుడి మరియు ఎడమ వైపుల నుండి 7 తీసివేయి, మనకు లభిస్తుంది: 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 24.
దీని నుండి మనం ఎడమ వైపున ఉన్న హారంలోని వ్యక్తీకరణ తప్పనిసరిగా సంఖ్యకు సమానంగా ఉండాలి అని నిర్ధారించవచ్చు పరస్పర సంఖ్యకుడి వైపు నుండి, అంటే, 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 24 7.
రెండు వైపుల నుండి 3ని తీసివేయండి: 1 2 + 1 5 - x 2 = 3 7. సారూప్యత ద్వారా, 2 + 1 5 - x 2 = 7 3, ఎక్కడ నుండి 1 5 - x 2 = 1 3, ఆపై 5 - x 2 = 3, x 2 = 2, x = ± 2
కనుగొనబడిన మూలాలు అసలు సమీకరణం యొక్క మూలాలు కాదా అని నిర్ధారించడానికి ఒక తనిఖీని చేద్దాం.
సమాధానం: x = ± 2
మీరు టెక్స్ట్‌లో లోపాన్ని గమనించినట్లయితే, దయచేసి దాన్ని హైలైట్ చేసి, Ctrl+Enter నొక్కండి