"ప్రొఫెషనల్ మ్యాథమెటిక్స్ ట్యూటర్" వెబ్‌సైట్ బోధనకు సంబంధించిన పద్దతి కథనాల శ్రేణిని కొనసాగిస్తుంది. నేను నా పని యొక్క పద్ధతుల వివరణలను అత్యంత సంక్లిష్టమైన వాటితో ప్రచురిస్తాను సమస్యాత్మక అంశాలుపాఠశాల పాఠ్యాంశాలు. ఈ పదార్థం 8-11 తరగతుల విద్యార్థులతో పని చేసే గణితంలో ఉపాధ్యాయులు మరియు బోధకులకు ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది సాధారణ కార్యక్రమం, మరియు గణిత తరగతుల కార్యక్రమం ప్రకారం.
పాఠ్యపుస్తకంలో పేలవంగా ప్రదర్శించబడిన విషయాలను గణిత శిక్షకుడు ఎల్లప్పుడూ వివరించలేడు. దురదృష్టవశాత్తూ, ఇటువంటి అంశాలు మరింత ఎక్కువ అవుతున్నాయి మరియు మాన్యువల్‌ల రచయితలను అనుసరించే ప్రెజెంటేషన్ లోపాలు పెద్దఎత్తున తయారు చేయబడుతున్నాయి. ఇది ప్రారంభ గణిత ట్యూటర్లు మరియు పార్ట్‌టైమ్ ట్యూటర్‌లకు (ట్యూటర్లు విద్యార్థులు మరియు యూనివర్సిటీ ట్యూటర్లు) మాత్రమే కాకుండా అనుభవజ్ఞులైన ఉపాధ్యాయులు, ప్రొఫెషనల్ ట్యూటర్లు, అనుభవం మరియు అర్హతలు కలిగిన ట్యూటర్‌లకు కూడా వర్తిస్తుంది. సమర్థ కరుకుదనం సరిచేసేవారి ప్రతిభ పాఠశాల పాఠ్యపుస్తకాలుఅన్ని గణిత బోధకులకు ఇది ఉండదు. ఈ దిద్దుబాట్లు (లేదా చేర్పులు) అవసరమని కూడా అందరూ అర్థం చేసుకోలేరు. పిల్లల ద్వారా దాని గుణాత్మక అవగాహన కోసం పదార్థాన్ని స్వీకరించడంలో కొంతమంది పిల్లలు పాల్గొంటారు. దురదృష్టవశాత్తు, గణిత ఉపాధ్యాయులు, మెథడాలజిస్టులు మరియు ప్రచురణల రచయితలతో కలిసి పాఠ్యపుస్తకంలోని ప్రతి అక్షరాన్ని సామూహికంగా చర్చించే సమయం గడిచిపోయింది. ఇంతకుముందు, పాఠశాలల్లో పాఠ్యపుస్తకాన్ని విడుదల చేయడానికి ముందు, తీవ్రమైన విశ్లేషణలు మరియు అభ్యాస ఫలితాల అధ్యయనాలు నిర్వహించబడ్డాయి. పాఠ్యపుస్తకాలను విశ్వవ్యాప్తం చేయడానికి, వాటిని బలమైన గణిత తరగతుల ప్రమాణాలకు సర్దుబాటు చేయడానికి కృషి చేసే ఔత్సాహికులకు సమయం ఆసన్నమైంది.
సమాచార పరిమాణాన్ని పెంచే రేసు దాని సమీకరణ నాణ్యతలో తగ్గుదలకు దారితీస్తుంది మరియు పర్యవసానంగా, స్థాయి తగ్గుతుంది నిజమైన జ్ఞానంగణితం. అయితే దీన్ని ఎవరూ పట్టించుకోవడం లేదు. మరియు మా పిల్లలు ఇప్పటికే 8వ తరగతిలో ఉన్నారు, మేము ఇన్స్టిట్యూట్‌లో చదివిన వాటిని అధ్యయనం చేయమని బలవంతం చేయబడ్డారు: సంభావ్యత సిద్ధాంతం, సమీకరణాలను పరిష్కరించడం అధిక డిగ్రీలుమరియు ఇంకేదో. పిల్లల యొక్క పూర్తి అవగాహన కోసం పుస్తకాలలో విషయాలను స్వీకరించడం చాలా కోరుకోదగినది, మరియు గణిత బోధకుడు దీన్ని ఎలాగైనా ఎదుర్కోవలసి వస్తుంది.
పెద్దల గణితంలో “బెజౌట్ సిద్ధాంతం మరియు హార్నర్స్ స్కీమ్” అని బాగా తెలిసిన “బహుపదిని బహుపదిని ఒక మూల ద్వారా విభజించడం” వంటి నిర్దిష్ట అంశాన్ని బోధించే పద్దతి గురించి మాట్లాడుదాం. కేవలం కొన్ని సంవత్సరాల క్రితం, గణిత బోధకుడికి ప్రశ్న అంతగా నొక్కలేదు, ఎందుకంటే ఇది ప్రధాన అంశంలో భాగం కాదు. పాఠశాల పాఠ్యాంశాలు. ఇప్పుడు టెల్యకోవ్స్కీచే సవరించబడిన పాఠ్యపుస్తకం యొక్క గౌరవనీయమైన రచయితలు, నా అభిప్రాయం ప్రకారం, ఉత్తమ పాఠ్యపుస్తకం యొక్క తాజా ఎడిషన్‌లో మార్పులు చేసారు మరియు దానిని పూర్తిగా పాడుచేసి, బోధకుడికి అనవసరమైన చింతలను మాత్రమే జోడించారు. గణిత స్థితి లేని పాఠశాలలు మరియు తరగతుల ఉపాధ్యాయులు, రచయితల ఆవిష్కరణలపై దృష్టి సారించి, వారి పాఠాలలో అదనపు పేరాగ్రాఫ్‌లను చేర్చడం ప్రారంభించారు, మరియు పరిశోధనాత్మక పిల్లలు, వారి గణిత పాఠ్య పుస్తకంలోని అందమైన పేజీలను చూస్తూ, ఎక్కువగా అడుగుతారు. బోధకుడు: “ఒక మూల ద్వారా ఈ విభజన ఏమిటి? మనం దీని ద్వారా వెళ్ళబోతున్నామా? ఒక మూలను ఎలా పంచుకోవాలి? ఇకపై ఇలాంటి సూటి ప్రశ్నలకు దాపరికం లేదు. ట్యూటర్ పిల్లవాడికి ఏదో చెప్పాలి.
కానీ ఇలా? పాఠ్యపుస్తకాల్లో సమర్ధవంతంగా సమర్పించబడి ఉంటే, నేను టాపిక్‌తో పని చేసే పద్ధతిని వివరించి ఉండకపోవచ్చు. ప్రతిదీ మనతో ఎలా జరుగుతోంది? పాఠ్యపుస్తకాలను ముద్రించి విక్రయించాలి. మరియు దీని కోసం వారు క్రమం తప్పకుండా నవీకరించబడాలి. విజ్ఞానం మరియు నైపుణ్యాలు లేకుండా పిల్లలు ఖాళీ తలలతో తమ వద్దకు వస్తున్నారని విశ్వవిద్యాలయ ఉపాధ్యాయులు ఫిర్యాదు చేస్తారా? కోసం అవసరాలు గణిత జ్ఞానంపెరుగుతుందా? గొప్ప! కొన్ని వ్యాయామాలను తీసివేసి, బదులుగా ఇతర ప్రోగ్రామ్‌లలో అధ్యయనం చేసిన అంశాలను చొప్పిద్దాం. మన పాఠ్యపుస్తకం ఎందుకు అధ్వాన్నంగా ఉంది? కొన్నింటిని ఆన్ చేద్దాం అదనపు అధ్యాయాలు. మూలను విభజించే నియమం పాఠశాల విద్యార్థులకు తెలియదా? అదే ప్రాథమిక గణితం. "మరింత తెలుసుకోవాలనుకునే వారి కోసం" అనే శీర్షికతో ఈ పేరా ఐచ్ఛికంగా ఉండాలి. దానికి వ్యతిరేకంగా ట్యూటర్లు? సాధారణంగా ట్యూటర్ల గురించి మనం ఎందుకు శ్రద్ధ వహిస్తాము? మెథడాలజిస్టులు మరియు పాఠశాల ఉపాధ్యాయులు కూడా వ్యతిరేకిస్తున్నారా? మేము పదార్థాన్ని క్లిష్టతరం చేయము మరియు దాని సరళమైన భాగాన్ని పరిశీలిస్తాము.
మరియు ఇది ఎక్కడ ప్రారంభమవుతుంది. టాపిక్ యొక్క సరళత మరియు దాని సమ్మేళనం యొక్క నాణ్యత, మొదటగా, దాని తర్కాన్ని అర్థం చేసుకోవడంలో ఉంది మరియు పాఠ్యపుస్తక రచయితల సూచనల ప్రకారం, ఒకదానికొకటి స్పష్టంగా సంబంధం లేని నిర్దిష్ట కార్యకలాపాల సమితిని అమలు చేయడంలో కాదు. . లేకపోతే, విద్యార్థి తలలో పొగమంచు ఉంటుంది. రచయితల లెక్కలు సాపేక్షంగా ఆధారపడి ఉంటే బలమైన విద్యార్థులు(కానీ సాధారణ ప్రోగ్రామ్‌లో అధ్యయనం చేయడం), అప్పుడు మీరు అంశాన్ని కమాండ్ రూపంలో ప్రదర్శించకూడదు. పాఠ్య పుస్తకంలో మనం ఏమి చూస్తాము? పిల్లలు, మేము ఈ నియమం ప్రకారం విభజించాలి. కోణం కింద బహుపదిని పొందండి. అందువలన, అసలు బహుపది కారకం చేయబడుతుంది. ఏదేమైనప్పటికీ, మూలలో ఉన్న పదాలు సరిగ్గా ఈ విధంగా ఎందుకు ఎంచుకోబడ్డాయో అర్థం చేసుకోవడం స్పష్టంగా లేదు, వాటిని మూలలో ఉన్న బహుపదితో ఎందుకు గుణించాలి, ఆపై ప్రస్తుత శేషం నుండి తీసివేయాలి. మరియు ముఖ్యంగా, ఎంచుకున్న మోనోమియల్‌లు చివరికి ఎందుకు జోడించబడాలి మరియు ఫలితంగా వచ్చే బ్రాకెట్‌లు అసలు బహుపది యొక్క విస్తరణ ఎందుకు అవుతాయి అనేది స్పష్టంగా తెలియదు. ఏ సమర్థుడైన గణిత శాస్త్రజ్ఞుడైనా చాలు బోల్డ్ గుర్తుపాఠ్యపుస్తకంలో ఇచ్చిన వివరణలపై ప్రశ్న.
నేను సమస్యకు నా పరిష్కారాన్ని ట్యూటర్లు మరియు గణిత ఉపాధ్యాయుల దృష్టికి తీసుకువస్తాను, ఇది పాఠ్యపుస్తకంలో పేర్కొన్న ప్రతిదాన్ని ఆచరణాత్మకంగా విద్యార్థికి స్పష్టంగా తెలియజేస్తుంది. వాస్తవానికి, మేము బెజౌట్ సిద్ధాంతాన్ని నిరూపిస్తాము: సంఖ్య a బహుపది యొక్క మూలం అయితే, ఈ బహుపదిని కారకాలుగా విడదీయవచ్చు, వాటిలో ఒకటి x-a, మరియు రెండవది అసలు ఒకటి నుండి మూడు మార్గాలలో ఒకటిగా పొందబడుతుంది: పరివర్తనల ద్వారా సరళ కారకాన్ని వేరుచేయడం ద్వారా, ఒక మూల ద్వారా విభజించడం ద్వారా లేదా హార్నర్ పథకం ద్వారా. ఈ సూత్రీకరణతోనే గణిత బోధకుడు పని చేయడం సులభం అవుతుంది.
టీచింగ్ మెథడాలజీ అంటే ఏమిటి? అన్నింటిలో మొదటిది, ఇది వివరణలు మరియు ఉదాహరణల క్రమంలో స్పష్టమైన క్రమం, దీని ఆధారంగా గణిత తీర్మానాలు తీసుకోబడతాయి. ఈ అంశంమినహాయింపు కాదు. గణిత బోధకుడు బిడ్డకు బెజౌట్ సిద్ధాంతాన్ని పరిచయం చేయడం చాలా ముఖ్యం ఒక మూలలో విభజించే ముందు. ఇది చాలా ముఖ్యం! అవగాహన సాధించడానికి ఉత్తమ మార్గం నిర్దిష్ట ఉదాహరణ. ఎంచుకున్న రూట్‌తో కొన్ని బహుపదిని తీసుకొని, 7వ తరగతి నుండి పాఠశాల పిల్లలకు తెలిసిన పద్ధతిని ఉపయోగించి దానిని కారకాలుగా మార్చే సాంకేతికతను చూపిద్దాం. గుర్తింపు పరివర్తనలు. గణిత బోధకుని నుండి తగిన వివరణలు, ఉద్ఘాటన మరియు చిట్కాలతో, సాధారణ గణిత గణనలు, ఏకపక్ష గుణకాలు మరియు డిగ్రీలు లేకుండా పదార్థాన్ని తెలియజేయడం చాలా సాధ్యమే.
గణిత బోధకుడికి ముఖ్యమైన సలహా- మొదటి నుండి చివరి వరకు సూచనలను అనుసరించండి మరియు ఈ క్రమాన్ని మార్చవద్దు.
కాబట్టి, మనకు బహుపది ఉందని అనుకుందాం. మేము దాని Xకి బదులుగా సంఖ్య 1ని ప్రత్యామ్నాయం చేస్తే, బహుపది విలువ సున్నాకి సమానంగా ఉంటుంది. కాబట్టి x=1 దాని మూలం. రెండు పదాలుగా కుళ్ళిపోవడానికి ప్రయత్నిద్దాం, తద్వారా వాటిలో ఒకటి ఉత్పత్తి అవుతుంది సరళ వ్యక్తీకరణమరియు కొంత మోనోమియల్, మరియు రెండవది డిగ్రీ కంటే ఒకటి తక్కువగా ఉంటుంది. అంటే, దానిని రూపంలో సూచిస్తాం
మేము రెడ్ ఫీల్డ్ కోసం మోనోమియల్‌ని ఎంచుకుంటాము, తద్వారా లీడింగ్ టర్మ్‌తో గుణించినప్పుడు, అది అసలైన బహుపది యొక్క ప్రముఖ పదంతో పూర్తిగా సమానంగా ఉంటుంది. విద్యార్థి బలహీనుడు కాకపోతే, అతను గణిత బోధకుడికి అవసరమైన వ్యక్తీకరణను చెప్పగల సామర్థ్యం కలిగి ఉంటాడు: . ట్యూటర్‌ని వెంటనే రెడ్ ఫీల్డ్‌లోకి చొప్పించమని అడగాలి మరియు అవి తెరిచినప్పుడు ఏమి జరుగుతుందో చూపించాలి. ఈ వర్చువల్ తాత్కాలిక బహుపదిని బాణాల క్రింద (చిన్న ఫోటో కింద) సంతకం చేయడం ఉత్తమం, దానిని కొంత రంగుతో హైలైట్ చేస్తుంది, ఉదాహరణకు, నీలం. రెడ్ ఫీల్డ్ కోసం ఒక పదాన్ని ఎంచుకోవడానికి ఇది మీకు సహాయం చేస్తుంది, ఎంపికలో మిగిలినది అని పిలుస్తారు. ఈ శేషాన్ని వ్యవకలనం ద్వారా కనుగొనవచ్చని ఇక్కడ సూచించమని నేను ట్యూటర్‌లకు సలహా ఇస్తాను. ఈ ఆపరేషన్ చేయడం ద్వారా మనకు లభిస్తుంది:
ఈ సమానత్వంలో ఒకదానిని ప్రత్యామ్నాయం చేయడం ద్వారా, దాని ఎడమ వైపున (1 అసలైన బహుపది యొక్క మూలం కాబట్టి), మరియు కుడి వైపున, స్పష్టంగా, మేము సున్నాని పొందుతామని గణిత బోధకుడు విద్యార్థి దృష్టిని ఆకర్షించాలి. మొదటి టర్మ్‌ను కూడా సున్నా చేస్తుంది. దీని అర్థం ఎటువంటి ధృవీకరణ లేకుండా మనం "ఆకుపచ్చ శేషం" యొక్క మూలం అని చెప్పవచ్చు.
అసలు బహుపదితో మనం వ్యవహరించిన విధంగానే, దాని నుండి అదే లీనియర్ ఫ్యాక్టర్‌ను వేరుచేద్దాం. గణిత బోధకుడు విద్యార్థి ముందు రెండు ఫ్రేమ్‌లను గీసి, ఎడమ నుండి కుడికి పూరించమని అడుగుతాడు.
విద్యార్థి ట్యూటర్ కోసం రెడ్ ఫీల్డ్ కోసం మోనోమియల్‌ని ఎంచుకుంటాడు, తద్వారా లీనియర్ ఎక్స్‌ప్రెషన్ యొక్క లీడింగ్ టర్మ్‌తో గుణించినప్పుడు, అది విస్తరిస్తున్న బహుపది యొక్క ప్రధాన పదాన్ని ఇస్తుంది. మేము దానిని ఫ్రేమ్‌లో అమర్చాము, వెంటనే బ్రాకెట్‌ను తెరిచి, మడత నుండి తీసివేయవలసిన వ్యక్తీకరణను నీలం రంగులో హైలైట్ చేస్తాము. ఈ ఆపరేషన్ చేయడం వల్ల మనకు లభిస్తుంది
చివరకు, చివరి మిగిలిన వాటితో కూడా అదే చేయడం
మేము దానిని చివరకు పొందుతాము
ఇప్పుడు వ్యక్తీకరణను బ్రాకెట్ నుండి తీసుకుందాం మరియు అసలు బహుపది యొక్క కుళ్ళిపోవడాన్ని కారకాలుగా చూస్తాము, అందులో ఒకటి "x మైనస్ ఎంచుకున్న రూట్."
చివరి “ఆకుపచ్చ శేషం” అనుకోకుండా అవసరమైన కారకాలుగా కుళ్ళిపోయిందని విద్యార్థి ఆలోచించకుండా నిరోధించడానికి, గణిత శిక్షకుడు సూచించాలి ముఖ్యమైన ఆస్తిఅన్ని ఆకుపచ్చ అవశేషాలలో - వాటిలో ప్రతిదానికి రూట్ 1 ఉంటుంది. ఈ అవశేషాల డిగ్రీలు తగ్గుతాయి కాబట్టి, ప్రారంభ బహుపది యొక్క డిగ్రీ ఏదైనా మనకు అందించబడుతుంది, ముందుగానే లేదా తరువాత, మేము రూట్ 1తో సరళ “ఆకుపచ్చ శేషం” పొందుతాము మరియు కనుక ఇది తప్పనిసరిగా ఉత్పత్తిలో కొంత సంఖ్య మరియు వ్యక్తీకరణగా కుళ్ళిపోతుంది.
దీని తరువాత సన్నాహక పనిఒక మూలలో విభజించినప్పుడు ఏమి జరుగుతుందో విద్యార్థికి వివరించడం గణిత శిక్షకుడికి కష్టం కాదు. సమాన సంకేతాలు లేకుండా మరియు అదే హైలైట్ చేసిన నిబంధనలను తిరిగి వ్రాయకుండా, చిన్న మరియు మరింత కాంపాక్ట్ రూపంలో మాత్రమే ఇదే ప్రక్రియ. సరళ కారకం సంగ్రహించబడిన బహుపది మూలలో ఎడమ వైపున వ్రాయబడుతుంది, ఎంచుకున్న ఎరుపు మోనోమియల్‌లు ఒక కోణంలో సేకరించబడతాయి (అవి ఎందుకు జోడించాలో ఇప్పుడు స్పష్టమవుతుంది), “బ్లూ బహుపది”, “ఎరుపు ” వాటిని తప్పనిసరిగా x-1తో గుణించాలి, ఆపై ప్రస్తుతం ఎంచుకున్న దాని నుండి తీసివేయాలి సాధారణ విభజననిలువు వరుసలోని సంఖ్యలు (ఇక్కడ గతంలో అధ్యయనం చేసిన దానితో సారూప్యత ఉంది). ఫలితంగా "ఆకుపచ్చ అవశేషాలు" కొత్త ఐసోలేషన్ మరియు "రెడ్ మోనోమియల్స్" ఎంపికకు లోబడి ఉంటాయి. మరియు మీరు సున్నా "గ్రీన్ బ్యాలెన్స్" పొందే వరకు. అతి ముఖ్యమైన విషయం ఏమిటంటే విద్యార్థి అర్థం చేసుకుంటాడు మరింత విధికోణం పైన మరియు క్రింద వ్రాసిన బహుపది. సహజంగానే, ఇవి బ్రాకెట్‌లు, దీని ఉత్పత్తి అసలు బహుపదికి సమానం.
గణిత బోధకుని పని యొక్క తదుపరి దశ బెజౌట్ సిద్ధాంతం యొక్క సూత్రీకరణ. వాస్తవానికి, ట్యూటర్ యొక్క ఈ విధానంతో దాని సూత్రీకరణ స్పష్టంగా కనిపిస్తుంది: సంఖ్య a బహుపది యొక్క మూలం అయితే, దానిని కారకం చేయవచ్చు, వాటిలో ఒకటి , మరియు మరొకటి అసలు దాని నుండి మూడు మార్గాలలో ఒకటి పొందబడుతుంది. :
- ప్రత్యక్ష కుళ్ళిపోవడం (సమూహ పద్ధతికి సారూప్యంగా)
- ఒక మూల ద్వారా విభజించడం (ఒక నిలువు వరుసలో)
- హార్నర్ సర్క్యూట్ ద్వారా
అన్ని గణిత బోధకులు విద్యార్థులకు హార్నర్ రేఖాచిత్రాన్ని చూపించరని చెప్పాలి మరియు అందరికీ కాదు పాఠశాల ఉపాధ్యాయులు(అదృష్టవశాత్తూ ట్యూటర్ల కోసం) వారు పాఠాల సమయంలో టాపిక్‌లోకి చాలా లోతుగా వెళతారు. అయితే, విద్యార్థి కోసం గణిత తరగతిసుదీర్ఘ విభజనతో ఆపడానికి నాకు ఎటువంటి కారణం కనిపించదు. అంతేకాక, అత్యంత అనుకూలమైన మరియు వేగంగాకుళ్ళిపోయే సాంకేతికత ఖచ్చితంగా హార్నర్ పథకంపై ఆధారపడి ఉంటుంది. ఇది ఎక్కడ నుండి వచ్చిందో పిల్లలకు వివరించడానికి, ఒక మూలలో విభజన యొక్క ఉదాహరణను ఉపయోగించి, ఆకుపచ్చ అవశేషాలలో అధిక కోఎఫీషియంట్స్ యొక్క రూపాన్ని గుర్తించడం సరిపోతుంది. ప్రారంభ బహుపది యొక్క ప్రముఖ గుణకం మొదటి "ఎరుపు మోనోమియల్" యొక్క గుణకంలోకి తీసుకువెళుతుందని మరియు ప్రస్తుత ఎగువ బహుపది యొక్క రెండవ గుణకం నుండి మరింత ముందుకు తీసుకువెళుతుందని స్పష్టమవుతుంది. తీసివేసారు"రెడ్ మోనోమియల్" యొక్క ప్రస్తుత గుణకం ద్వారా గుణించడం యొక్క ఫలితం. అందువల్ల ఇది సాధ్యమవుతుంది జోడించుద్వారా గుణించడం యొక్క ఫలితం. గుణకాలతో చర్యల యొక్క ప్రత్యేకతలపై విద్యార్థి దృష్టిని కేంద్రీకరించిన తర్వాత, గణిత శిక్షకుడు వేరియబుల్స్‌ను రికార్డ్ చేయకుండా సాధారణంగా ఈ చర్యలు ఎలా నిర్వహించబడతాయో చూపగలడు. దీన్ని చేయడానికి, కింది పట్టికలో ప్రాధాన్యత క్రమంలో అసలు బహుపది యొక్క మూలం మరియు గుణకాలను నమోదు చేయడం సౌకర్యంగా ఉంటుంది:
బహుపదిలో ఏదైనా డిగ్రీ లేకుంటే, దాని సున్నా గుణకం పట్టికలోకి బలవంతంగా ఉంటుంది. "రెడ్ బహుపది" యొక్క గుణకాలు "హుక్" నియమం ప్రకారం బాటమ్ లైన్‌లో వ్రాయబడ్డాయి: 
రూట్ చివరి ఎరుపు గుణకంతో గుణించబడుతుంది, ఎగువ లైన్‌లోని తదుపరి గుణకంకి జోడించబడుతుంది మరియు ఫలితం దిగువ రేఖకు వ్రాయబడుతుంది. చివరి కాలమ్‌లో చివరి “ఆకుపచ్చ మిగిలిన”, అంటే సున్నా యొక్క అత్యధిక గుణకాన్ని పొందుతామని మేము హామీ ఇస్తున్నాము. ప్రక్రియ పూర్తయిన తర్వాత, సంఖ్యలు సరిపోలిన రూట్ మరియు సున్నా శేషం మధ్య శాండ్‌విచ్ చేయబడిందిరెండవ (నాన్ లీనియర్) కారకం యొక్క గుణకాలుగా మారతాయి.
మూలం a బాటమ్ లైన్ చివరిలో సున్నాని ఇస్తుంది కాబట్టి, బహుపది యొక్క మూలం యొక్క శీర్షిక కోసం సంఖ్యలను తనిఖీ చేయడానికి హార్నర్ యొక్క పథకం ఉపయోగించబడుతుంది. హేతుబద్ధమైన రూట్ ఎంపికపై ప్రత్యేక సిద్ధాంతం ఉంటే. దీని సహాయంతో పొందిన ఈ శీర్షిక కోసం అభ్యర్థులందరూ ఎడమవైపు నుండి హార్నర్ రేఖాచిత్రంలోకి చొప్పించబడతారు. మేము సున్నాని పొందిన వెంటనే, పరీక్షించిన సంఖ్య రూట్ అవుతుంది మరియు అదే సమయంలో దాని లైన్‌లో అసలు బహుపది యొక్క కారకం యొక్క గుణకాలను పొందుతాము. చాలా సౌకర్యవంతంగా.
ముగింపులో, హార్నర్ యొక్క స్కీమ్‌ను ఖచ్చితంగా పరిచయం చేయడానికి, అలాగే అంశాన్ని ఆచరణాత్మకంగా ఏకీకృతం చేయడానికి, గణిత బోధకుడు తన వద్ద తగినన్ని గంటలను కలిగి ఉండాలని నేను గమనించాలనుకుంటున్నాను. "వారానికి ఒకసారి" పాలనతో పనిచేసే ట్యూటర్ మూలలో విభజనలో పాల్గొనకూడదు. గణితంలో యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామినేషన్‌లో మరియు గణితంలో స్టేట్ అకాడమీ ఆఫ్ మ్యాథమెటిక్స్‌లో, మొదటి భాగంలో మీరు అటువంటి మార్గాల ద్వారా పరిష్కరించగల మూడవ డిగ్రీ యొక్క సమీకరణాన్ని ఎప్పుడైనా ఎదుర్కొనే అవకాశం లేదు. ఒక శిక్షకుడు మాస్కో స్టేట్ యూనివర్శిటీలో గణిత పరీక్ష కోసం పిల్లవాడిని సిద్ధం చేస్తున్నట్లయితే, అంశాన్ని అధ్యయనం చేయడం తప్పనిసరి అవుతుంది. యూనివర్శిటీ ఉపాధ్యాయులు, యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్ యొక్క కంపైలర్ల వలె కాకుండా, దరఖాస్తుదారు యొక్క జ్ఞానం యొక్క లోతును పరీక్షించడానికి నిజంగా ఇష్టపడతారు.
కోల్పకోవ్ అలెగ్జాండర్ నికోలెవిచ్, గణిత బోధకుడు మాస్కో, స్ట్రోగినో
తిరిగి ముందుకు
శ్రద్ధ! స్లయిడ్ ప్రివ్యూలు సమాచార ప్రయోజనాల కోసం మాత్రమే మరియు ప్రదర్శన యొక్క అన్ని లక్షణాలను సూచించకపోవచ్చు. మీకు ఆసక్తి ఉన్నట్లయితే ఈ పని, దయచేసి పూర్తి వెర్షన్‌ను డౌన్‌లోడ్ చేయండి.
పాఠం రకం: ప్రాథమిక జ్ఞానాన్ని మాస్టరింగ్ చేయడం మరియు ఏకీకృతం చేయడంలో ఒక పాఠం.
పాఠం యొక్క ఉద్దేశ్యం:
- బహుపది మూలాల భావనను విద్యార్థులకు పరిచయం చేయండి మరియు వాటిని ఎలా కనుగొనాలో నేర్పండి. శక్తుల ద్వారా బహుపదిని విస్తరించడం మరియు ద్విపద ద్వారా బహుపదిని విభజించడం కోసం హార్నర్ యొక్క పథకాన్ని ఉపయోగించడంలో నైపుణ్యాలను మెరుగుపరచండి.
- హార్నర్ స్కీమ్‌ని ఉపయోగించి సమీకరణం యొక్క మూలాలను కనుగొనడం నేర్చుకోండి.
- నైరూప్య ఆలోచనను అభివృద్ధి చేయండి.
- కంప్యూటింగ్ సంస్కృతిని ప్రోత్సహించండి.
- ఇంటర్ డిసిప్లినరీ కనెక్షన్ల అభివృద్ధి.
తరగతుల సమయంలో
1. సంస్థాగత క్షణం.
పాఠం యొక్క అంశాన్ని తెలియజేయండి, లక్ష్యాలను రూపొందించండి.
2. హోంవర్క్‌ని తనిఖీ చేస్తోంది.
3. కొత్త విషయాలను అధ్యయనం చేయడం.
Fn(x)ని అనుమతించండి = a n x n +a n-1 x n-1 +...+ a 1 x +a 0 - డిగ్రీ n యొక్క x కోసం బహుపది, ఇక్కడ a 0 , a 1 ,...,a n లకు సంఖ్యలు ఇవ్వబడతాయి మరియు 0 0కి సమానం కాదు. బహుపది F n (x)ని మిగిలిన దానితో భాగిస్తే ద్విపద x-a, అప్పుడు గుణకం (అసంపూర్ణ గుణకం) అనేది డిగ్రీ n-1 యొక్క బహుపది Q n-1 (x), మిగిలిన R ఒక సంఖ్య, మరియు సమానత్వం నిజం F n (x)=(x-a) Q n-1 (x) +R.బహుపది F n (x) అనేది R=0 విషయంలో మాత్రమే ద్విపద (x-a) ద్వారా భాగించబడుతుంది.
బెజౌట్ సిద్ధాంతం: బహుపది F n (x)ని ద్విపద (x-a)తో భాగిస్తే మిగిలిన R అనేది x=a వద్ద ఉన్న బహుపది F n (x) విలువకు సమానం, అనగా. R=Pn(a).
ఒక చిన్న చరిత్ర. బెజౌట్ యొక్క సిద్ధాంతం, దాని స్పష్టమైన సరళత మరియు స్పష్టత ఉన్నప్పటికీ, వాటిలో ఒకటి ప్రాథమిక సిద్ధాంతాలుబహుపది సిద్ధాంతం. ఈ సిద్ధాంతం బహుపదాల బీజగణిత లక్షణాలను (ఇది బహుపదిలను పూర్ణాంకాలుగా పని చేయడానికి అనుమతిస్తుంది) వాటితో సంబంధం కలిగి ఉంటుంది కార్యాచరణ లక్షణాలు(ఇది బహుపదిలను విధులుగా పరిగణించడానికి అనుమతిస్తుంది). ఉన్నత స్థాయి సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి ఒక మార్గం సమీకరణం యొక్క ఎడమ వైపున ఉన్న బహుపదిని కారకం చేయడం. బహుపది మరియు మిగిలిన గుణకాల గణన హార్నర్ పథకం అని పిలువబడే పట్టిక రూపంలో వ్రాయబడుతుంది.
హార్నర్స్ స్కీమ్ అనేది బహుపదిలను విభజించడానికి ఒక అల్గారిథమ్, గుణకం ద్విపదకు సమానంగా ఉన్నప్పుడు ప్రత్యేక సందర్భం కోసం వ్రాయబడుతుంది. x–a.
హార్నర్ విలియం జార్జ్ (1786 - 1837), ఆంగ్ల గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు. ప్రాథమిక పరిశోధన సిద్ధాంతానికి సంబంధించినది బీజగణిత సమీకరణాలు. ఏదైనా డిగ్రీ యొక్క సమీకరణాల యొక్క ఉజ్జాయింపు పరిష్కారం కోసం ఒక పద్ధతిని అభివృద్ధి చేసింది. 1819లో అతను బీజగణితానికి బహుపదిని x - a (హార్నర్స్ స్కీమ్) ద్వారా విభజించే ముఖ్యమైన పద్ధతిని ప్రవేశపెట్టాడు.
ముగింపు సాధారణ సూత్రంహార్నర్ పథకం కోసం.
బహుపది f(x)ని శేషంతో ద్విపద (x-c)తో భాగించడం అంటే f(x)=(x-c)q(x)+r అనే బహుపది q(x) మరియు r సంఖ్యను కనుగొనడం
ఈ సమానత్వాన్ని వివరంగా వ్రాద్దాం:
f 0 x n + f 1 x n-1 + f 2 x n-2 + ...+f n-1 x + f n =(x-c) (q 0 x n-1 + q 1 x n-2 + q 2 x n-3 +...+ q n-2 x + q n-1)+r
గుణకాలను ఒకే డిగ్రీల వద్ద సమం చేద్దాం:
xn: f 0 = q 0 => q 0 = f 0 xn-1: f 1 = q 1 - c q 0 => q 1 = f 1 + c q 0 xn-2: f 2 = q 2 - c q 1 => q 2 = f 2 + c q 1 ... ... x0: f n = q n - c q n-1 => q n = f n + c q n-1.
ఒక ఉదాహరణను ఉపయోగించి హార్నర్ యొక్క సర్క్యూట్ యొక్క ప్రదర్శన.
వ్యాయామం 1.హార్నర్స్ స్కీమ్‌ని ఉపయోగించి, మేము బహుపది f(x) = x 3 - 5x 2 + 8ని మిగిలిన ద్విపద x-2తో భాగిస్తాము.
| 1 | -5 | 0 | 8 | |
| 2 | 1 | 2*1+(-5)=-3 | 2*(-3)+0=-6 | 2*(-6)+8=-4 |
f(x) = x 3 - 5x 2 + 8 =(x-2)(x 2 -3x-6)-4, ఇక్కడ g(x)= (x 2 -3x-6), r = -4 మిగిలినవి.
ద్విపద అధికారాలలో బహుపది యొక్క విస్తరణ.
హార్నర్స్ స్కీమ్‌ని ఉపయోగించి, మేము ద్విపద (x+2) పవర్‌లలో బహుపది f(x)=x 3 +3x 2 -2x+4ని విస్తరిస్తాము.
ఫలితంగా, మేము విస్తరణ f(x) = x 3 +3x 2 -2x+4 = (x+2)(x 2 +x-4)+12 = (x+2)((x-1) )(x+ 2)-2)+12 = (((1*(x+2)-3)(x+2)-2)(x+2))+12 = (x+2) 3 -3( x+2 ) 2 -2(x+2)+12
మూడవ, నాల్గవ మరియు అధిక డిగ్రీల సమీకరణాలను పరిష్కరించేటప్పుడు, బహుపదిని ద్విపద x-aగా విస్తరించడం సౌకర్యంగా ఉన్నప్పుడు హార్నర్ యొక్క పథకం తరచుగా ఉపయోగించబడుతుంది. సంఖ్య aఅని పిలిచారు బహుపది యొక్క మూలం F n (x) = f 0 x n + f 1 x n-1 + f 2 x n-2 + ...+f n-1 x + f n, వద్ద ఉంటే x=aబహుపది F n (x) విలువ సున్నాకి సమానం: F n (a)=0, అనగా. బహుపది ద్విపద x-a ద్వారా విభజించబడితే.
ఉదాహరణకు, సంఖ్య 2 అనేది F 3 (x)=3x 3 -2x-20 బహుపది యొక్క మూలం, ఎందుకంటే F 3 (2)=0. అంటే. ఈ బహుపది యొక్క కారకం x-2 కారకాన్ని కలిగి ఉంటుంది.
F 3 (x)=3x 3 -2x-20=(x-2)(3x 2 +6x+10).
ఏదైనా బహుపది F n(x) డిగ్రీ n 1 ఎక్కువ ఉండకూడదు nనిజమైన మూలాలు.
ఏదైనా మొత్తం రూట్పూర్ణాంక గుణకాలతో సమీకరణం దాని ఉచిత పదం యొక్క విభజన.
సమీకరణం యొక్క లీడింగ్ కోఎఫీషియంట్ 1 అయితే, సమీకరణం యొక్క అన్ని హేతుబద్ధ మూలాలు, అవి ఉన్నట్లయితే, పూర్ణాంకాలు.
అధ్యయనం చేసిన పదార్థం యొక్క ఏకీకరణ.
కొత్త మెటీరియల్‌ను ఏకీకృతం చేయడానికి, విద్యార్థులు పాఠ్యపుస్తకం 2.41 మరియు 2.42 (p. 65) నుండి సంఖ్యలను పూర్తి చేయడానికి ఆహ్వానించబడ్డారు.
(2 విద్యార్థులు బోర్డు వద్ద పరిష్కరిస్తారు, మరియు మిగిలినవారు, నిర్ణయించుకున్న తర్వాత, బోర్డులోని సమాధానాలతో నోట్‌బుక్‌లోని అసైన్‌మెంట్‌లను తనిఖీ చేయండి).
సారాంశం.
హార్నర్ స్కీమ్ యొక్క నిర్మాణం మరియు ఆపరేషన్ సూత్రాన్ని అర్థం చేసుకున్న తరువాత, పూర్ణాంకాలను దశాంశ సంఖ్య వ్యవస్థ నుండి బైనరీ సిస్టమ్‌కు మార్చే సమస్యను పరిగణించినప్పుడు మరియు దీనికి విరుద్ధంగా కంప్యూటర్ సైన్స్ పాఠాలలో కూడా దీనిని ఉపయోగించవచ్చు. ఒక సంఖ్య వ్యవస్థ నుండి మరొకదానికి బదిలీ చేయడానికి ఆధారం క్రింది సాధారణ సిద్ధాంతం
సిద్ధాంతం.పూర్తి సంఖ్యను మార్చడానికి Apనుండి p-ary నంబర్ సిస్టమ్ నుండి బేస్ నంబర్ సిస్టమ్ డిఅవసరమైన Apక్రమానుగతంగా సంఖ్య ద్వారా శేషంతో భాగించండి డి, అదే వ్రాయబడింది p-ary వ్యవస్థ ఫలితంగా వచ్చే భాగం సున్నాకి సమానం అయ్యే వరకు. డివిజన్ నుండి మిగిలినవి ఉంటాయి డి-సంఖ్యా అంకెలు ప్రకటన, చిన్న వర్గం నుండి అత్యంత సీనియర్ వరకు. అన్ని చర్యలు తప్పనిసరిగా చేపట్టాలి p-అరీ సంఖ్య వ్యవస్థ. ఒక వ్యక్తికి, ఈ నియమం ఎప్పుడు సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది p= 10, అనగా. అనువదిస్తున్నప్పుడు నుండిదశాంశ వ్యవస్థ. కంప్యూటర్ విషయానికొస్తే, దీనికి విరుద్ధంగా, గణనలను నిర్వహించడం “మరింత సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది” బైనరీ వ్యవస్థ. కాబట్టి, “2 నుండి 10”కి మార్చడానికి, బైనరీ సిస్టమ్‌లో పది ద్వారా సీక్వెన్షియల్ డివిజన్ ఉపయోగించబడుతుంది మరియు “10 నుండి 2” అనేది పది శక్తులను కలపడం. “10 ఇన్ 2” విధానం యొక్క గణనలను ఆప్టిమైజ్ చేయడానికి, కంప్యూటర్ హార్నర్ యొక్క ఆర్థిక కంప్యూటింగ్ పథకాన్ని ఉపయోగిస్తుంది.
ఇంటి పని. రెండు పనులు పూర్తి చేయాలని సూచించారు.
1వ. హార్నర్ స్కీమ్ ఉపయోగించి, బహుపది f(x)=2x 5 -x 4 -3x 3 +x-3ని ద్విపద (x-3)తో భాగించండి.
2వ. బహుపది f(x)=x 4 -2x 3 +2x 2 -x-6 యొక్క పూర్ణాంక మూలాలను కనుగొనండి. (పూర్ణాంక గుణకాలతో సమీకరణం యొక్క ఏదైనా పూర్ణాంకం మూలం దాని ఉచిత పదం యొక్క భాగహారంగా పరిగణించబడుతుంది)
సాహిత్యం.
- కురోష్ ఎ.జి. "కోర్సు ఆఫ్ హయ్యర్ ఆల్జీబ్రా."
- నికోల్స్కీ S.M., పొటాపోవ్ M.K. మరియు ఇతరులు. గ్రేడ్ 10 "బీజగణితం మరియు గణిత విశ్లేషణ యొక్క ప్రారంభం."
- http://inf.1september.ru/article.php?ID=200600907.
స్లయిడ్ 3
హార్నర్ విలియమ్స్ జార్జ్ (1786-22.9.1837) - ఆంగ్ల గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు. బ్రిస్టల్‌లో జన్మించారు. అతను అక్కడ చదువుకున్నాడు మరియు పనిచేశాడు, తరువాత బాత్‌లోని పాఠశాలల్లో. బీజగణితంపై ప్రాథమిక రచనలు. 1819 లో బహుపది యొక్క వాస్తవ మూలాలను సుమారుగా గణించడానికి ఒక పద్ధతిని ప్రచురించారు, దీనిని ఇప్పుడు రుఫినీ-హార్నర్ పద్ధతి అని పిలుస్తారు (ఈ పద్ధతిని 13వ శతాబ్దంలో చైనీయులకు తెలుసు) ద్విపద x-aతో బహుపదిని విభజించే పథకం పేరు పెట్టబడింది. హార్నర్ తర్వాత.
స్లయిడ్ 4
హార్నర్ పథకం
విభజన పద్ధతి nవ బహుపదిఒక లీనియర్ ద్విపదపై డిగ్రీ - a, అసంపూర్ణ గుణకం యొక్క గుణకాలు మరియు మిగిలినవి విభజించదగిన బహుపది యొక్క గుణకాలు మరియు సూత్రాలతో సంబంధం కలిగి ఉంటాయి అనే వాస్తవం ఆధారంగా:
స్లయిడ్ 5
హార్నర్ పథకం ప్రకారం లెక్కలు పట్టికలో ఉంచబడ్డాయి:
ఉదాహరణ 1. భాగస్వామ్య భాగం x3-x2+3x - 13 మరియు శేషం 42=f(-3).
స్లయిడ్ 6
ఈ పద్ధతి యొక్క ప్రధాన ప్రయోజనం రికార్డింగ్ యొక్క కాంపాక్ట్నెస్ మరియు సామర్ధ్యం వేగవంతమైన విభజనద్విపదకు బహుపది. వాస్తవానికి, హార్నర్స్ స్కీమ్ అనేది గ్రూపింగ్ పద్ధతిని రికార్డ్ చేయడానికి మరొక రూపం, అయితే రెండోది కాకుండా, ఇది పూర్తిగా దృశ్యమానం కాదు. సమాధానం (కారకం) ఇక్కడ స్వయంగా పొందబడుతుంది మరియు దానిని పొందే ప్రక్రియ మనకు కనిపించదు. మేము హార్నర్ యొక్క స్కీమ్ యొక్క కఠినమైన సారూప్యతలో పాల్గొనము, కానీ అది ఎలా పని చేస్తుందో మాత్రమే చూపుతాము.
స్లయిడ్ 7
ఉదాహరణ 2.
P(x)=x4-6x3+7x-392 అనే బహుపది x-7తో భాగించబడుతుందని నిరూపిద్దాం మరియు విభజన యొక్క గుణకాన్ని కనుగొనండి. పరిష్కారం. హార్నర్ స్కీమ్ ఉపయోగించి, మేము P(7)ని కనుగొంటాము: ఇక్కడ నుండి మనం P(7)=0ని పొందుతాము, అనగా. బహుపదిని x-7తో భాగించినప్పుడు మిగిలినవి సున్నాకి సమానంమరియు, కాబట్టి, బహుపది P(x) అనేది (x-7) యొక్క గుణకం. అంతేకాకుండా, పట్టికలోని రెండవ వరుసలోని సంఖ్యలు P(x) యొక్క గుణకం (x-7)తో భాగించబడతాయి అందువలన P(x) = (x-7) (x3+x2+7x+56).
స్లయిడ్ 8
బహుపది x3 – 5x2 – 2x + 16 కారకం.
ఈ బహుపది పూర్ణాంక గుణకాలను కలిగి ఉంది. పూర్ణాంకం ఈ బహుపది యొక్క మూలం అయితే, అది 16 యొక్క భాగహారం. కాబట్టి, y అయితే బహుపది ఇచ్చారుమొత్తం మూలాలు ఉన్నాయి, అప్పుడు ఇవి ±1 సంఖ్యలు మాత్రమే కావచ్చు; ± 2; ± 4; ± 8; ±16. ప్రత్యక్ష ధృవీకరణ ద్వారా, ఈ బహుపది యొక్క మూలం 2 అని మేము నమ్ముతున్నాము, అంటే, x3 – 5x2 – 2x + 16 = (x – 2)Q(x), ఇక్కడ Q(x) అనేది రెండవ డిగ్రీ యొక్క బహుపది.
స్లయిడ్ 9
ఫలిత సంఖ్యలు 1, −3, -8 బహుపది యొక్క గుణకాలు, ఇది అసలు బహుపదిని x – 2 ద్వారా విభజించడం ద్వారా పొందబడుతుంది. దీని అర్థం విభజన ఫలితం: 1 x2 + (–3)x + ( –8) = x2 – 3x – 8. విభజన ఫలితంగా ఏర్పడే బహుపది యొక్క డిగ్రీ ఎల్లప్పుడూ అసలు డిగ్రీ కంటే 1 తక్కువగా ఉంటుంది. కాబట్టి: x3 – 5x2 – 2x + 16 = (x – 2)(x2 – 3x – 8).
హార్నర్ యొక్క పథకం - బహుపదిని విభజించే పద్ధతి
$$P_n(x)=\sum\పరిమితులు_(i=0)^(n)a_(i)x^(n-i)=a_(0)x^(n)+a_(1)x^(n-1 )+a_(2)x^(n-2)+\ldots+a_(n-1)x+a_n$$
ద్విపద $x-a$పై. మీరు పట్టికతో పని చేయాల్సి ఉంటుంది, మొదటి వరుసలో ఇచ్చిన బహుపది యొక్క గుణకాలు ఉంటాయి. రెండవ పంక్తి యొక్క మొదటి మూలకం $a$, ద్విపద $x-a$ నుండి తీసుకోబడింది:
nవ డిగ్రీ యొక్క బహుపదిని ద్విపద $x-a$తో విభజించిన తర్వాత, మేము ఒక బహుపదిని పొందుతాము, దీని డిగ్రీ అసలు దాని కంటే ఒకటి తక్కువగా ఉంటుంది, అనగా. $n-1$కి సమానం. హార్నర్ పథకం యొక్క ప్రత్యక్ష అనువర్తనం ఉదాహరణలతో ప్రదర్శించడం చాలా సులభం.
ఉదాహరణ సంఖ్య 1
హార్నర్ స్కీమ్‌ని ఉపయోగించి $5x^4+5x^3+x^2-11$ని $x-1$తో భాగించండి.
రెండు పంక్తుల పట్టికను తయారు చేద్దాం: మొదటి పంక్తిలో $5x^4+5x^3+x^2-11$, వేరియబుల్ $x$ అధికారాల అవరోహణ క్రమంలో అమర్చబడిన బహుపది గుణకాలను వ్రాస్తాము. ఈ బహుపది మొదటి డిగ్రీకి $x$ని కలిగి ఉండదని గమనించండి, అనగా. మొదటి శక్తికి $x$ యొక్క గుణకం 0. మనం $x-1$తో భాగిస్తున్నందున, మేము రెండవ పంక్తిలో ఒకదాన్ని వ్రాస్తాము:
రెండవ లైన్‌లోని ఖాళీ సెల్‌లను పూరించడం ప్రారంభిద్దాం. రెండవ పంక్తి యొక్క రెండవ సెల్‌లో మేము $5$ అనే సంఖ్యను వ్రాస్తాము, దానిని మొదటి పంక్తి యొక్క సంబంధిత సెల్ నుండి తరలించండి:
ఈ సూత్రం ప్రకారం తదుపరి గడిని పూరిద్దాం: $1\cdot 5+5=10$:
రెండవ పంక్తిలోని నాల్గవ గడిని అదే విధంగా పూరిద్దాం: $1\cdot 10+1=11$:
ఐదవ సెల్ కోసం మనకు లభిస్తుంది: $1\cdot 11+0=11$:
చివరకు, చివరి, ఆరవ సెల్ కోసం, మనకు ఇవి ఉన్నాయి: $1\cdot 11+(-11)=0$:
సమస్య పరిష్కరించబడింది, సమాధానం రాయడం మాత్రమే మిగిలి ఉంది:
మీరు చూడగలిగినట్లుగా, రెండవ పంక్తిలో ఉన్న సంఖ్యలు (ఒకటి మరియు సున్నా మధ్య) $5x^4+5x^3+x^2-11$ని $x-1$తో విభజించిన తర్వాత పొందిన బహుపది యొక్క గుణకాలు. సహజంగానే, అసలు బహుపది $5x^4+5x^3+x^2-11$ యొక్క డిగ్రీ నాలుగుకి సమానం కాబట్టి, ఫలితంగా వచ్చిన బహుపది $5x^3+10x^2+11x+11$ డిగ్రీ ఒకటి తక్కువ, అనగా. మూడు సమానం. రెండవ పంక్తిలోని చివరి సంఖ్య (సున్నా) అంటే బహుపది $5x^4+5x^3+x^2-11$ని $x-1$తో భాగించినప్పుడు మిగిలినది. మా విషయంలో, మిగిలినది సున్నా, అనగా. బహుపదాలు సమానంగా విభజించబడతాయి. ఈ ఫలితాన్ని ఈ క్రింది విధంగా కూడా వర్గీకరించవచ్చు: $x=1$ కోసం బహుపది $5x^4+5x^3+x^2-11$ విలువ సున్నాకి సమానం.
ముగింపును ఈ రూపంలో కూడా రూపొందించవచ్చు: $5x^4+5x^3+x^2-11$ విలువ $x=1$ వద్ద సున్నాకి సమానం కాబట్టి, ఏకత్వం అనేది బహుపది యొక్క మూలం. $5x^4+5x^3+ x^2-11$.
ఉదాహరణ సంఖ్య 2
హార్నర్ స్కీమ్‌ని ఉపయోగించి $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ని $x+3$తో భాగించండి.
$x+3$ అనే వ్యక్తీకరణ తప్పనిసరిగా $x-(-3)$ రూపంలో అందించబడాలని వెంటనే నిర్దేశిద్దాం. హార్నర్ యొక్క పథకంలో ఖచ్చితంగా $-3$ ఉంటుంది. అసలైన బహుపది $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ యొక్క డిగ్రీ నాలుగుకి సమానం కాబట్టి, విభజన ఫలితంగా మేము మూడవ డిగ్రీ యొక్క బహుపదిని పొందుతాము:
ఫలితం అంటే
$$x^4+3x^3+4x^2-5x-47=(x+3)(x^3+0\cdot x^2 +4x-17)+4=(x+3)(x^ 3+4x-17)+4$$
ఈ పరిస్థితిలో, $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ని $x+3$తో భాగించినప్పుడు మిగిలినది $4$. లేదా, అదే ఏమిటి, $x=-3$ కోసం బహుపది $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ విలువ $4$కి సమానం. మార్గం ద్వారా, ఇచ్చిన బహుపదిలో $x=-3$ని నేరుగా భర్తీ చేయడం ద్వారా దీన్ని రెండుసార్లు తనిఖీ చేయడం సులభం:
$$x^4+3x^3+4x^2-5x-47=(-3)^4+3 \cdot (-3)^3-5 \cdot (-3)-47=4.$$
ఆ. వద్ద బహుపది విలువను కనుగొనడం అవసరమైతే హార్నర్ యొక్క పథకం ఉపయోగించబడుతుంది సెట్ విలువవేరియబుల్. బహుపది యొక్క అన్ని మూలాలను కనుగొనడం మా లక్ష్యం అయితే, ఉదాహరణ నం. 3లో చర్చించినట్లుగా, మేము అన్ని మూలాలను అయిపోయే వరకు హార్నర్ యొక్క పథకం వరుసగా అనేకసార్లు వర్తించబడుతుంది.
ఉదాహరణ సంఖ్య 3
హార్నర్ స్కీమ్‌ని ఉపయోగించి $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ బహుపది యొక్క అన్ని పూర్ణాంక మూలాలను కనుగొనండి.
పరిశీలనలో ఉన్న బహుపది యొక్క గుణకాలు పూర్ణాంకాలు మరియు ముందు గుణకం సీనియర్ డిగ్రీవేరియబుల్ (అంటే $x^6$ ముందు) ఒకరికి సమానం. ఈ సందర్భంలో, బహుపది యొక్క పూర్ణాంక మూలాలను తప్పనిసరిగా ఉచిత పదం యొక్క విభజనలలో వెతకాలి, అనగా. సంఖ్య 45 యొక్క విభజనలలో. ఇచ్చిన బహుపది కోసం, అటువంటి మూలాలు సంఖ్యలు $45 కావచ్చు; \; 15; \; 9; \; 5; \; 3; \; 1$ మరియు $-45; \; -15; \; -9; \; -5; \; -3; \; -1$. ఉదాహరణకు, $1$ సంఖ్యను తనిఖీ చేద్దాం:
మీరు చూడగలిగినట్లుగా, $x=1$తో ఉన్న బహుపది $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ విలువ $192$కి సమానం (చివరి సంఖ్య రెండవ పంక్తిలో), మరియు $0 $ కాదు, కాబట్టి ఐక్యత ఈ బహుపది యొక్క మూలం కాదు. ఒకదాని కోసం చెక్ విఫలమైనందున, $x=-1$ విలువను తనిఖీ చేద్దాం. కొత్త టేబుల్ఈ ప్రయోజనం కోసం మేము కంపైల్ చేయము, కానీ పట్టికను ఉపయోగించడం కొనసాగిస్తాము. నం. 1, దానికి కొత్త (మూడవ) పంక్తిని జోడించడం. రెండవ పంక్తి, దీనిలో $1$ విలువ తనిఖీ చేయబడింది, ఎరుపు రంగులో హైలైట్ చేయబడుతుంది మరియు తదుపరి చర్చలలో ఉపయోగించబడదు.
మీరు పట్టికను మళ్లీ మళ్లీ వ్రాయవచ్చు, కానీ దాన్ని మానవీయంగా పూరించడానికి చాలా సమయం పడుతుంది. అంతేకాకుండా, ధృవీకరణ విఫలమయ్యే అనేక సంఖ్యలు ఉండవచ్చు మరియు ప్రతిసారీ కొత్త పట్టికను వ్రాయడం కష్టం. "కాగితంపై" లెక్కించేటప్పుడు, ఎరుపు గీతలు కేవలం దాటవచ్చు.
కాబట్టి, బహుపది విలువ $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ వద్ద $x=-1$ సున్నాకి సమానం, అనగా. $-1$ సంఖ్య ఈ బహుపది యొక్క మూలం. బహుపది $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ని $x-(-1)=x+1$తో భాగించిన తర్వాత మనం బహుపది $xని పొందుతాము ^5+x ^4-22x^3+2x^2+69x+45$, వీటిలో గుణకాలు పట్టికలోని మూడవ వరుస నుండి తీసుకోబడ్డాయి. సంఖ్య 2 (ఉదాహరణ సంఖ్య 1 చూడండి). గణనల ఫలితాన్ని ఈ రూపంలో కూడా ప్రదర్శించవచ్చు:
\begin(సమీకరణం)x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)(x^5+x^4-22x^3+2x^2 +69x+45)\ ముగింపు(సమీకరణం)
పూర్ణాంక మూలాల కోసం శోధనను కొనసాగిద్దాం. ఇప్పుడు మనం $x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45$ బహుపది మూలాల కోసం వెతకాలి. మళ్ళీ, ఈ బహుపది యొక్క పూర్ణాంక మూలాలు దాని ఉచిత పదం యొక్క డివైజర్లలో $45$ అనే సంఖ్యలను వెతకాలి. $-1$ సంఖ్యను మళ్లీ తనిఖీ చేయడానికి ప్రయత్నిద్దాం. మేము కొత్త పట్టికను సృష్టించము, కానీ మునుపటి పట్టికను ఉపయోగించడం కొనసాగిస్తాము. నం. 2, అనగా. దానికి మరో పంక్తిని జత చేద్దాం:
కాబట్టి, $-1$ అనేది బహుపది $x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45$ యొక్క మూలం. ఈ ఫలితాన్ని ఇలా వ్రాయవచ్చు:
\begin(సమీకరణం)x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45=(x+1)(x^4-22x^2+24x+45) \end(సమీకరణం)
సమానత్వం (2), సమానత్వం (1)ని ఈ క్రింది రూపంలో తిరిగి వ్రాయవచ్చు:
\begin(సమీకరణం)\begin(aligned) & x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)(x^5+x^4-22x ^2+2x^2+69x+45)=\\ & =(x+1)(x+1)(x^4-22x^2+24x+45)=(x+1)^2(x^ 4-22x^2+24x+45)\ముగింపు(సమలేఖనం చేయబడింది)\ముగింపు(సమీకరణం)
ఇప్పుడు మనం $x^4-22x^2+24x+45$ బహుపది మూలాల కోసం వెతకాలి - సహజంగానే, దాని ఉచిత పదం యొక్క విభజనలలో (సంఖ్యలు $45$). $-1$ సంఖ్యను మళ్లీ తనిఖీ చేద్దాం:
$-1$ అనేది బహుపది $x^4-22x^2+24x+45$ యొక్క మూలం. ఈ ఫలితాన్ని ఇలా వ్రాయవచ్చు:
\begin(సమీకరణం)x^4-22x^2+24x+45=(x+1)(x^3-x^2-21x+45) \end(సమీకరణం)
సమానత్వం (4)ని పరిగణనలోకి తీసుకుని, మేము ఈ క్రింది రూపంలో సమానత్వాన్ని (3) తిరిగి వ్రాస్తాము:
\begin(సమీకరణం)\begin(aligned) & x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)^2(x^4-22x^3 +24x+45)= \\ & =(x+1)^2(x+1)(x^3-x^2-21x+45)=(x+1)^3(x^3-x^ 2-21x+45)\ముగింపు(సమలేఖనం చేయబడింది)\ముగింపు(సమీకరణం)
ఇప్పుడు మనం $x^3-x^2-21x+45$ బహుపది మూలాల కోసం చూస్తున్నాము. $-1$ సంఖ్యను మళ్లీ తనిఖీ చేద్దాం:
తనిఖీ విఫలమైంది. ఆరవ పంక్తిని ఎరుపు రంగులో హైలైట్ చేసి, మరొక సంఖ్యను తనిఖీ చేయడానికి ప్రయత్నిద్దాం, ఉదాహరణకు, $3$:
మిగిలినది సున్నా, కాబట్టి $3$ అనేది ప్రశ్నలోని బహుపది యొక్క మూలం. కాబట్టి, $x^3-x^2-21x+45=(x-3)(x^2+2x-15)$. ఇప్పుడు సమానత్వం (5)ని ఈ క్రింది విధంగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.