మూడు సంఖ్యల యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ గుణకం. తక్కువ సాధారణ బహుళ (LCM) - నిర్వచనం, ఉదాహరణలు మరియు లక్షణాలు

రెండు సంఖ్యల యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ గుణకం నేరుగా ఆ సంఖ్యల యొక్క గొప్ప సాధారణ భాగానికి సంబంధించినది. ఈ GCD మరియు NOC మధ్య కనెక్షన్కింది సిద్ధాంతం ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది.

సిద్ధాంతం.

a మరియు b అనే రెండు ధన పూర్ణాంకాల యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ గుణకం a మరియు b ల ఉత్పత్తికి సమానం, a మరియు b యొక్క గొప్ప సాధారణ భాగహారంతో విభజించబడింది, అనగా, LCM(a, b)=a b:GCD(a, b).

రుజువు.

వీలు M అనేది a మరియు b సంఖ్యలలో కొంత గుణకం. అంటే, M అనేది aతో భాగించబడుతుంది మరియు భాగస్వామ్య నిర్వచనం ప్రకారం, M=a·k సమానత్వం నిజం అయ్యేలా కొంత పూర్ణాంకం k ఉంటుంది. కానీ M కూడా bతో భాగించబడుతుంది, తర్వాత a·k అనేది bతో భాగించబడుతుంది.

gcd(a, b)ని d గా సూచిస్తాం. అప్పుడు మనం a=a 1 ·d మరియు b=b 1 ·d అనే సమానతలను వ్రాయవచ్చు మరియు a 1 =a:d మరియు b 1 =b:d సాపేక్షంగా ప్రధాన సంఖ్యలుగా ఉంటాయి. పర్యవసానంగా, a · k bతో భాగించబడుతుందని మునుపటి పేరాలో పొందబడిన షరతును ఈ క్రింది విధంగా సంస్కరించవచ్చు: a 1 · d · kని b 1 · d ద్వారా భాగించవచ్చు మరియు ఇది విభజన లక్షణాల కారణంగా, షరతుకు సమానం a 1 · k అనేది b 1 ద్వారా భాగించబడుతుంది.

మీరు పరిగణించబడిన సిద్ధాంతం నుండి రెండు ముఖ్యమైన సహసంబంధాలను కూడా వ్రాయాలి.

రెండు సంఖ్యల సాధారణ గుణిజాలు వాటి అతి తక్కువ సాధారణ గుణకం యొక్క గుణిజాలకు సమానంగా ఉంటాయి.

ఇది వాస్తవంగా జరుగుతుంది, ఎందుకంటే a మరియు b సంఖ్యల యొక్క ఏదైనా సాధారణ గుణకం M=LMK(a, b)·t కొంత పూర్ణాంకం విలువ t కోసం సమానత్వం ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది.

కాప్రైమ్ యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ గుణకం సానుకూల సంఖ్యలు a మరియు b వాటి ఉత్పత్తికి సమానం.

ఈ వాస్తవం యొక్క హేతువు చాలా స్పష్టంగా ఉంది. a మరియు b సాపేక్షంగా ప్రధానమైనవి కాబట్టి, gcd(a, b)=1, కాబట్టి, GCD(a, b)=a b: GCD(a, b)=a b:1=a b.

మూడు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ సంఖ్యల యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ గుణకం

మూడు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ సంఖ్యల యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ గుణకాన్ని కనుగొనడం రెండు సంఖ్యల LCMని వరుసగా కనుగొనడానికి తగ్గించబడుతుంది. ఇది ఎలా జరుగుతుందో క్రింది సిద్ధాంతంలో సూచించబడింది a 1, a 2, ..., a k అనేది m k-1 మరియు a k యొక్క సాధారణ గుణిజాలతో సమానంగా ఉంటుంది, కాబట్టి, m k యొక్క సాధారణ గుణిజాలతో సమానంగా ఉంటుంది. మరియు m k సంఖ్య యొక్క అతిచిన్న ధన గుణకం m k అనే సంఖ్య అయినందున, a 1, a 2, ..., a k అనేది m k సంఖ్యల యొక్క అతి చిన్న సాధారణ గుణకం.

గ్రంథ పట్టిక.

విలెంకిన్ N.Ya. మరియు ఇతరులు గణితం. 6వ తరగతి: సాధారణ విద్యా సంస్థలకు పాఠ్య పుస్తకం.
వినోగ్రాడోవ్ I.M. సంఖ్య సిద్ధాంతం యొక్క ప్రాథమిక అంశాలు.
మిఖెలోవిచ్ Sh.H. సంఖ్య సిద్ధాంతం.
కులికోవ్ L.Ya. మరియు ఇతరులు బీజగణితం మరియు సంఖ్య సిద్ధాంతంలో సమస్యల సేకరణ: ట్యుటోరియల్భౌతిక శాస్త్రం మరియు గణితం విద్యార్థులకు. బోధనా సంస్థల ప్రత్యేకతలు.

ఆన్‌లైన్ కాలిక్యులేటర్ రెండు లేదా మరేదైనా ఇతర సంఖ్యల కోసం గొప్ప సాధారణ విభజనను మరియు తక్కువ సాధారణ గుణకాన్ని త్వరగా కనుగొనడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది.

GCD మరియు LCMని కనుగొనడానికి కాలిక్యులేటర్

GCD మరియు LOCని కనుగొనండి

GCD మరియు LOC కనుగొనబడింది: 5806

కాలిక్యులేటర్ ఎలా ఉపయోగించాలి

ఇన్‌పుట్ ఫీల్డ్‌లో సంఖ్యలను నమోదు చేయండి
మీరు తప్పు అక్షరాలను నమోదు చేస్తే, ఇన్‌పుట్ ఫీల్డ్ ఎరుపు రంగులో హైలైట్ చేయబడుతుంది
"GCD మరియు LOCని కనుగొనండి" బటన్‌ను క్లిక్ చేయండి

సంఖ్యలను ఎలా నమోదు చేయాలి

సంఖ్యలు ఖాళీ, వ్యవధి లేదా కామాతో వేరు చేయబడతాయి
నమోదు చేసిన సంఖ్యల పొడవు పరిమితం కాదు, కాబట్టి పెద్ద సంఖ్యల GCD మరియు LCMని కనుగొనడం కష్టం కాదు

GCD మరియు NOC అంటే ఏమిటి?

గొప్ప సాధారణ విభజనఅనేక సంఖ్యలు అతిపెద్ద సహజ పూర్ణాంకం, దీని ద్వారా అన్ని అసలు సంఖ్యలు శేషం లేకుండా భాగించబడతాయి. గొప్ప సాధారణ విభజనను ఇలా సంక్షిప్తీకరించారు GCD.
అతి తక్కువ సాధారణ గుణకంఅనేక సంఖ్యలు అతి చిన్న సంఖ్య, ఇది శేషం లేకుండా ప్రతి అసలు సంఖ్యలచే భాగించబడుతుంది. అతి తక్కువ సాధారణ గుణకం ఇలా సంక్షిప్తీకరించబడింది NOC.

ఒక సంఖ్య శేషం లేకుండా మరొక సంఖ్యతో భాగించబడిందని ఎలా తనిఖీ చేయాలి?

ఒక సంఖ్య శేషం లేకుండా మరొక సంఖ్యతో భాగించబడుతుందో లేదో తెలుసుకోవడానికి, మీరు సంఖ్యల విభజన యొక్క కొన్ని లక్షణాలను ఉపయోగించవచ్చు. అప్పుడు, వాటిని కలపడం ద్వారా, మీరు వాటిలో కొన్ని మరియు వాటి కలయికల విభజనను తనిఖీ చేయవచ్చు.

సంఖ్యల విభజన యొక్క కొన్ని సంకేతాలు

1. 2 ద్వారా సంఖ్య కోసం భాగహారిత పరీక్ష
ఒక సంఖ్యను రెండిటితో భాగించవచ్చో లేదో నిర్ణయించడానికి (అది సమానంగా ఉందా), ఈ సంఖ్య యొక్క చివరి అంకెను చూస్తే సరిపోతుంది: ఇది 0, 2, 4, 6 లేదా 8కి సమానం అయితే, సంఖ్య సమానంగా ఉంటుంది, అంటే అది 2చే భాగించబడుతుంది.
ఉదాహరణ: 34938 సంఖ్య 2చే భాగించబడుతుందో లేదో నిర్ణయించండి.
పరిష్కారం:మేము చివరి అంకెను పరిశీలిస్తాము: 8 - అంటే సంఖ్యను రెండుగా విభజించవచ్చు.

2. 3 ద్వారా సంఖ్య కోసం భాగహారం పరీక్ష
ఒక సంఖ్య దాని అంకెల మొత్తం మూడుచే భాగించబడినప్పుడు అది 3చే భాగించబడుతుంది. ఈ విధంగా, ఒక సంఖ్య 3తో భాగించబడుతుందో లేదో తెలుసుకోవడానికి, మీరు అంకెల మొత్తాన్ని లెక్కించి, అది 3తో భాగించబడుతుందో లేదో తనిఖీ చేయాలి. అంకెల మొత్తం చాలా పెద్దది అయినప్పటికీ, మీరు అదే విధానాన్ని మళ్లీ పునరావృతం చేయవచ్చు.
ఉదాహరణ: 34938 సంఖ్య 3చే భాగించబడుతుందో లేదో నిర్ణయించండి.
పరిష్కారం:మేము సంఖ్యల మొత్తాన్ని లెక్కిస్తాము: 3+4+9+3+8 = 27. 27 అనేది 3చే భాగించబడుతుంది, అంటే సంఖ్య మూడుచే భాగించబడుతుంది.

3. 5 ద్వారా సంఖ్యకు భాగహారం పరీక్ష
ఒక సంఖ్య దాని చివరి అంకె సున్నా లేదా ఐదు అయినప్పుడు 5తో భాగించబడుతుంది.
ఉదాహరణ: 34938 సంఖ్య 5చే భాగించబడుతుందో లేదో నిర్ణయించండి.
పరిష్కారం:చివరి అంకె చూడండి: 8 అంటే సంఖ్య ఐదుతో భాగించబడదు.

4. 9 ద్వారా సంఖ్యకు భాగహారం పరీక్ష
ఈ సంకేతం మూడుచే భాగించబడే సంకేతానికి చాలా పోలి ఉంటుంది: ఒక సంఖ్య దాని అంకెల మొత్తం 9చే భాగించబడినప్పుడు 9చే భాగించబడుతుంది.
ఉదాహరణ: 34938 సంఖ్య 9చే భాగించబడుతుందో లేదో నిర్ణయించండి.
పరిష్కారం:మేము సంఖ్యల మొత్తాన్ని లెక్కిస్తాము: 3+4+9+3+8 = 27. 27 అనేది 9 ద్వారా భాగించబడుతుంది, అంటే సంఖ్య తొమ్మిదితో భాగించబడుతుంది.

రెండు సంఖ్యల GCD మరియు LCMని ఎలా కనుగొనాలి

రెండు సంఖ్యల gcdని ఎలా కనుగొనాలి

అత్యంత ఒక సాధారణ మార్గంలోరెండు సంఖ్యల యొక్క గొప్ప సాధారణ భాజకాన్ని గణించడం అంటే ఈ సంఖ్యల యొక్క సాధ్యమైన అన్ని భాగహారాలను కనుగొని వాటిలో అతిపెద్దదాన్ని ఎంచుకోవడం.

GCD(28, 36)ని కనుగొనే ఉదాహరణను ఉపయోగించి ఈ పద్ధతిని పరిశీలిద్దాం:

మేము రెండు సంఖ్యలను కారకం చేస్తాము: 28 = 1·2·2·7, 36 = 1·2·2·3·3
మేము కనుగొంటాము సాధారణ కారకాలు, అంటే, రెండు సంఖ్యలు కలిగి ఉన్నవి: 1, 2 మరియు 2.
మేము ఈ కారకాల ఉత్పత్తిని గణిస్తాము: 1 2 2 = 4 - ఇది 28 మరియు 36 సంఖ్యల యొక్క గొప్ప సాధారణ విభజన.

రెండు సంఖ్యల LCMని ఎలా కనుగొనాలి

రెండు సంఖ్యలలో అతి తక్కువ గుణకాన్ని కనుగొనడానికి రెండు సాధారణ మార్గాలు ఉన్నాయి. మొదటి పద్ధతి ఏమిటంటే, మీరు రెండు సంఖ్యల మొదటి గుణిజాలను వ్రాసి, ఆపై వాటిలో రెండు సంఖ్యలకు సాధారణం మరియు అదే సమయంలో అతి చిన్న సంఖ్యను ఎంచుకోవచ్చు. మరియు రెండవది ఈ సంఖ్యల gcdని కనుగొనడం. దానిని మాత్రమే పరిశీలిద్దాం.

LCMని లెక్కించడానికి, మీరు అసలైన సంఖ్యల ఉత్పత్తిని లెక్కించి, ఆపై గతంలో గుర్తించిన GCDతో విభజించాలి. అదే సంఖ్యలు 28 మరియు 36 కోసం LCMని కనుగొనండి:

28 మరియు 36: 28·36 = 1008 సంఖ్యల ఉత్పత్తిని కనుగొనండి
GCD(28, 36), ఇప్పటికే తెలిసినట్లుగా, 4కి సమానం
LCM(28, 36) = 1008 / 4 = 252 .

అనేక సంఖ్యల కోసం GCD మరియు LCMని కనుగొనడం

రెండు సంఖ్యలకు మాత్రమే కాకుండా అనేక సంఖ్యలకు గొప్ప సాధారణ భాగహారాన్ని కనుగొనవచ్చు. ఈ ప్రయోజనం కోసం, గొప్ప సాధారణ విభజన కోసం కనుగొనబడే సంఖ్యలు ప్రధాన కారకాలుగా కారకం చేయబడతాయి, ఆపై సాధారణ కారకాల యొక్క ఉత్పత్తి కనుగొనబడుతుంది ప్రధాన కారకాలుఈ సంఖ్యలు. మీరు అనేక సంఖ్యల gcdని కనుగొనడానికి క్రింది సంబంధాన్ని కూడా ఉపయోగించవచ్చు: GCD(a, b, c) = GCD(GCD(a, b), c).

ఇదే విధమైన సంబంధం అతి తక్కువ సాధారణ గుణకారానికి వర్తిస్తుంది: LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)

ఉదాహరణ: 12, 32 మరియు 36 సంఖ్యల కోసం GCD మరియు LCMని కనుగొనండి.

ముందుగా, సంఖ్యలను కారకం చేద్దాం: 12 = 1·2·2·3, 32 = 1·2·2·2·2·2, 36 = 1·2·2·3·3.
సాధారణ కారకాలను కనుగొనండి: 1, 2 మరియు 2.
వారి ఉత్పత్తి GCDని ఇస్తుంది: 1·2·2 = 4
ఇప్పుడు LCMని కనుగొనండి: దీన్ని చేయడానికి, ముందుగా LCM(12, 32): 12·32 / 4 = 96ని కనుగొనండి.
ప్రతి ఒక్కరి NOCని కనుగొనడానికి మూడు సంఖ్యలు, మీరు GCD(96, 36)ని కనుగొనాలి: 96 = 1·2·2·2·2·2·3 , 36 = 1·2·2·3·3 , GCD = 1·2·2·3 = 12 .
LCM(12, 32, 36) = 96·36 / 12 = 288.

గణిత వ్యక్తీకరణలుమరియు పనులకు అదనపు జ్ఞానం చాలా అవసరం. NOC అనేది ప్రధానమైన వాటిలో ఒకటి, ముఖ్యంగా ఈ అంశం ఉన్నత పాఠశాలలో అధ్యయనం చేయబడుతుంది మరియు శక్తులు మరియు గుణకార పట్టిక గురించి తెలిసిన వ్యక్తికి అవసరమైన సంఖ్యలను గుర్తించడం మరియు కనుగొనడంలో ఇబ్బంది ఉండదు; ఫలితం.

నిర్వచనం

ఒక సాధారణ గుణకం అనేది ఒకే సమయంలో పూర్తిగా రెండు సంఖ్యలుగా విభజించబడే సంఖ్య (a మరియు b). చాలా తరచుగా, ఈ సంఖ్య అసలైన సంఖ్యలను a మరియు b గుణించడం ద్వారా పొందబడుతుంది. సంఖ్య విచలనాలు లేకుండా ఒకేసారి రెండు సంఖ్యలతో భాగించబడాలి.

NOC అనేది ఆమోదించబడిన హోదా చిన్న పేరు, మొదటి అక్షరాల నుండి సేకరించబడింది.

సంఖ్యను పొందడానికి మార్గాలు

సంఖ్యలను గుణించే పద్ధతి ఎల్లప్పుడూ LCMని కనుగొనడానికి తగినది కాదు, ఇది సాధారణ సింగిల్-డిజిట్ లేదా రెండు అంకెల సంఖ్యలకు బాగా సరిపోతుంది. పెద్ద సంఖ్యలో కారకాలుగా విభజించడం ఆచారం.

ఉదాహరణ #1

సరళమైన ఉదాహరణ కోసం, పాఠశాలలు సాధారణంగా ప్రధాన, సింగిల్ లేదా రెండు అంకెల సంఖ్యలను ఉపయోగిస్తాయి. ఉదాహరణకు, మీరు నిర్ణయించుకోవాలి తదుపరి పని, 7 మరియు 3 సంఖ్యల యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ గుణకాన్ని కనుగొనండి, పరిష్కారం చాలా సులభం, వాటిని గుణించండి. ఫలితంగా, మనకు 21 సంఖ్య ఉంది, చిన్న సంఖ్యకేవలం లేదు.

ఉదాహరణ సంఖ్య 2

పని యొక్క రెండవ సంస్కరణ చాలా కష్టం. 300 మరియు 1260 సంఖ్యలు ఇవ్వబడ్డాయి, LOCని గుర్తించడం తప్పనిసరి. సమస్యను పరిష్కరించడానికి, క్రింది చర్యలు ఊహించబడతాయి:

మొదటి మరియు రెండవ సంఖ్యలను సాధారణ కారకాలుగా విభజించడం. 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7. మొదటి దశ పూర్తయింది.

రెండవ దశలో ఇప్పటికే పొందిన డేటాతో పనిచేయడం జరుగుతుంది. అందుకున్న ప్రతి సంఖ్యలు తుది ఫలితాన్ని లెక్కించడంలో తప్పనిసరిగా పాల్గొనాలి. ప్రతి గుణకం కోసం, అత్యంత పెద్ద సంఖ్యసంఘటనలు. LCM అనేది సాధారణ సంఖ్య, కాబట్టి సంఖ్యల కారకాలు తప్పనిసరిగా అందులో పునరావృతం కావాలి, ప్రతి ఒక్కటి, ఒక కాపీలో ఉన్నవి కూడా. రెండు ప్రారంభ సంఖ్యలు 2, 3 మరియు 5, in సంఖ్యలను కలిగి ఉంటాయి వివిధ డిగ్రీలు, 7 ఒక సందర్భంలో మాత్రమే ఉంది.

తుది ఫలితాన్ని లెక్కించడానికి, మీరు ప్రతి సంఖ్యను సమీకరణంలో సూచించిన అతిపెద్ద శక్తులలో తీసుకోవాలి. గుణించడం మరియు సమాధానాన్ని సరిగ్గా పూరించడం మాత్రమే మిగిలి ఉంది, వివరణ లేకుండా పని రెండు దశలుగా సరిపోతుంది:

1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.

2) NOC = 6300.

మీరు లెక్కించడానికి ప్రయత్నిస్తే, ఇది మొత్తం సమస్య సరైన సంఖ్యగుణకారం ద్వారా, అప్పుడు సమాధానం ఖచ్చితంగా సరైనది కాదు, ఎందుకంటే 300 * 1260 = 378,000.

పరీక్ష:

6300 / 300 = 21 - సరైనది;

6300 / 1260 = 5 - సరైనది.

పొందిన ఫలితం యొక్క ఖచ్చితత్వం తనిఖీ చేయడం ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది - LCMని రెండు అసలైన సంఖ్యల ద్వారా విభజించడం ద్వారా రెండు సందర్భాల్లోనూ సంఖ్య పూర్ణాంకం అయితే, సమాధానం సరైనది.

గణితంలో NOC అంటే ఏమిటి?

మీకు తెలిసినట్లుగా, గణితంలో ఒక్క పనికిరాని ఫంక్షన్ లేదు, ఇది మినహాయింపు కాదు. ఈ సంఖ్య యొక్క అత్యంత సాధారణ ప్రయోజనం భిన్నాలను తగ్గించడం సాధారణ హారం. సాధారణంగా 5-6 తరగతులలో ఏమి చదువుతారు ఉన్నత పాఠశాల. అదనంగా కూడా ఉంది సాధారణ విభజనఅన్ని గుణిజాలకు, సమస్యలో అటువంటి పరిస్థితులు ఉంటే. ఇలాంటి వ్యక్తీకరణరెండు సంఖ్యల గుణిజాలను మాత్రమే కాకుండా, మరెన్నో సంఖ్యలను కూడా కనుగొనవచ్చు మరింత- మూడు, ఐదు మరియు మొదలైనవి. ఎలా మరిన్ని సంఖ్యలు- ఆ మరింత చర్యపనిలో, కానీ ఇది సంక్లిష్టతను పెంచదు.

ఉదాహరణకు, 250, 600 మరియు 1500 సంఖ్యలు ఇచ్చినట్లయితే, మీరు వారి సాధారణ LCMని కనుగొనాలి:

1) 250 = 25 * 10 = 5 2 *5 * 2 = 5 3 * 2 - ఈ ఉదాహరణ తగ్గింపు లేకుండా కారకాన్ని వివరంగా వివరిస్తుంది.

2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;

3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;

వ్యక్తీకరణను కంపోజ్ చేయడానికి, అన్ని అంశాలను పేర్కొనడం అవసరం, ఈ సందర్భంలో 2, 5, 3 ఇవ్వబడ్డాయి - ఈ సంఖ్యలన్నింటికీ గరిష్ట స్థాయిని నిర్ణయించడం అవసరం.

శ్రద్ధ: అన్ని కారకాలు సాధ్యమైతే, సింగిల్ డిజిట్‌ల స్థాయికి కుళ్ళిపోయి, పూర్తి సరళీకరణ పాయింట్‌కి తీసుకురావాలి.

పరీక్ష:

1) 3000 / 250 = 12 - సరైనది;

2) 3000 / 600 = 5 - నిజం;

3) 3000 / 1500 = 2 - సరైనది.

ఈ పద్ధతికి ఏ ఉపాయాలు లేదా మేధావి స్థాయి సామర్ధ్యాలు అవసరం లేదు, ప్రతిదీ సరళమైనది మరియు స్పష్టంగా ఉంటుంది.

మరొక మార్గం

గణితంలో, చాలా విషయాలు అనుసంధానించబడి ఉంటాయి, చాలా విషయాలు రెండు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ మార్గాల్లో పరిష్కరించబడతాయి, అతి తక్కువ సాధారణ మల్టిపుల్, LCMని కనుగొనడం కూడా ఇదే. సాధారణ రెండు అంకెల విషయంలో క్రింది పద్ధతిని ఉపయోగించవచ్చు మరియు ఒకే అంకెల సంఖ్యలు. ఒక పట్టిక కంపైల్ చేయబడింది, దీనిలో గుణకం నిలువుగా, గుణకం అడ్డంగా నమోదు చేయబడుతుంది మరియు ఉత్పత్తి నిలువు వరుసలోని ఖండన కణాలలో సూచించబడుతుంది. మీరు పంక్తిని ఉపయోగించి పట్టికను ప్రతిబింబించవచ్చు, ఒక సంఖ్యను తీసుకొని ఈ సంఖ్యను పూర్ణాంకాల ద్వారా గుణించడం యొక్క ఫలితాలను వ్రాయవచ్చు, 1 నుండి అనంతం వరకు, కొన్నిసార్లు 3-5 పాయింట్లు సరిపోతాయి, రెండవ మరియు తదుపరి సంఖ్యలు ఒకే గణన ప్రక్రియకు లోనవుతాయి. సాధారణ గుణకం కనుగొనబడే వరకు ప్రతిదీ జరుగుతుంది.

30, 35, 42 సంఖ్యలను బట్టి, మీరు అన్ని సంఖ్యలను కలుపుతున్న LCMని కనుగొనాలి:

1) 30 యొక్క గుణకాలు: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250, మొదలైనవి.

2) 35 యొక్క గుణకాలు: 70, 105, 140, 175, 210, 245, మొదలైనవి.

3) 42 యొక్క గుణకాలు: 84, 126, 168, 210, 252, మొదలైనవి.

అన్ని సంఖ్యలు చాలా భిన్నంగా ఉండటం గమనించదగినది, వాటిలో సాధారణ సంఖ్య 210, కాబట్టి ఇది NOC అవుతుంది. ఈ గణనలో పాల్గొన్న ప్రక్రియలలో గొప్ప సాధారణ విభజన కూడా ఉంది, ఇది సారూప్య సూత్రాల ప్రకారం లెక్కించబడుతుంది మరియు పొరుగు సమస్యలలో తరచుగా ఎదుర్కొంటుంది. వ్యత్యాసం చిన్నది, కానీ చాలా ముఖ్యమైనది, LCM అనేది ఇచ్చిన అన్ని ప్రారంభ విలువలతో విభజించబడిన సంఖ్యను గణించడం మరియు GCD గణనను కలిగి ఉంటుంది. అత్యధిక విలువదీని ద్వారా అసలు సంఖ్యలు విభజించబడ్డాయి.

గొప్ప సాధారణ విభజన

నిర్వచనం 2

సహజ సంఖ్య a సహజ సంఖ్య $b$తో భాగించబడినట్లయితే, $b$ని $a$ యొక్క భాజకం అంటారు మరియు $a$ని $b$ యొక్క గుణకం అంటారు.

$a$ మరియు $b$ సహజ సంఖ్యలుగా ఉండనివ్వండి. $c$ సంఖ్యను $a$ మరియు $b$ రెండింటి యొక్క సాధారణ విభజన అని పిలుస్తారు.

$a$ మరియు $b$ సంఖ్యల సాధారణ భాగహారాల సమితి పరిమితమైనది, ఎందుకంటే ఈ భాగహారాలు ఏవీ $a$ కంటే ఎక్కువగా ఉండవు. దీనర్థం ఈ విభజనలలో అతిపెద్దది ఒకటి ఉంది, ఇది $a$ మరియు $b$ సంఖ్యల యొక్క గొప్ప సాధారణ విభజన అని పిలువబడుతుంది మరియు క్రింది సంజ్ఞామానం ద్వారా సూచించబడుతుంది:

$GCD\(a;b)\ లేదా \D\(a;b)$

రెండు సంఖ్యల యొక్క గొప్ప సాధారణ విభజనను కనుగొనడానికి మీకు ఇది అవసరం:

దశ 2లో కనుగొనబడిన సంఖ్యల ఉత్పత్తిని కనుగొనండి. ఫలిత సంఖ్య కావలసిన గొప్ప సాధారణ భాగహారం అవుతుంది.

ఉదాహరణ 1

$121$ మరియు $132.$ సంఖ్యల gcdని కనుగొనండి

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

ఈ సంఖ్యల విస్తరణలో చేర్చబడిన సంఖ్యలను ఎంచుకోండి

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

దశ 2లో కనుగొనబడిన సంఖ్యల ఉత్పత్తిని కనుగొనండి. ఫలిత సంఖ్య కావలసిన గొప్ప సాధారణ భాగహారం అవుతుంది.

$GCD=2\cdot 11=22$

ఉదాహరణ 2

$63$ మరియు $81$ మోనోమియల్స్ యొక్క gcdని కనుగొనండి.

సమర్పించిన అల్గోరిథం ప్రకారం మేము కనుగొంటాము. దీని కొరకు:

సంఖ్యలను ప్రధాన కారకాలుగా పరిగణిద్దాం

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

మేము ఈ సంఖ్యల విస్తరణలో చేర్చబడిన సంఖ్యలను ఎంచుకుంటాము

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

$GCD=3\cdot 3=9$

మీరు సంఖ్యల విభజనల సమితిని ఉపయోగించి రెండు సంఖ్యల gcdని మరొక విధంగా కనుగొనవచ్చు.

ఉదాహరణ 3

$48$ మరియు $60$ సంఖ్యల gcdని కనుగొనండి.

పరిష్కారం:

$48$: $\ఎడమ$(\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\కుడి$$ సంఖ్య యొక్క విభజనల సమితిని కనుగొనండి

ఇప్పుడు $60$:$\ \left$(\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\కుడి$ సంఖ్య యొక్క భాగహారాల సమితిని కనుగొనండి $

ఈ సెట్‌ల ఖండనను కనుగొనండి: $\left$(\rm 1,2,3,4,6,12)\right$$ - ఈ సెట్ $48$ మరియు $60 సంఖ్యల సాధారణ భాగహారాల సమితిని నిర్ణయిస్తుంది $. ఈ సెట్‌లోని అతిపెద్ద మూలకం $12$. దీనర్థం $48$ మరియు $60$ సంఖ్యల యొక్క గొప్ప సాధారణ విభజన $12$.

NPL యొక్క నిర్వచనం

నిర్వచనం 3

సాధారణ గుణిజాలు సహజ సంఖ్యలు $a$ మరియు $b$ అనేది సహజ సంఖ్య, ఇది $a$ మరియు $b$ రెండింటి గుణకం.

సంఖ్యల యొక్క సాధారణ గుణిజాలు మిగిలిన సంఖ్యలు లేకుండా అసలు సంఖ్యలతో భాగించబడే సంఖ్యలు, ఉదాహరణకు, $25$ మరియు $50$, సాధారణ గుణకాలు $50,100,150,200$, మొదలైనవి.

అతి చిన్న సాధారణ గుణకం అతి తక్కువ సాధారణ గుణకం అని పిలువబడుతుంది మరియు LCM$(a;b)$ లేదా K$(a;b).$ అని సూచించబడుతుంది.

రెండు సంఖ్యల LCMని కనుగొనడానికి, మీరు వీటిని చేయాలి:

కారకం సంఖ్యలను ప్రధాన కారకాలుగా మార్చండి
మొదటి సంఖ్యలో భాగమైన కారకాలను వ్రాసి, రెండవదానిలో భాగమైన మరియు మొదటి సంఖ్యలో భాగం కాని కారకాలను వాటికి జోడించండి.

ఉదాహరణ 4

$99$ మరియు $77$ సంఖ్యల LCMని కనుగొనండి.

సమర్పించిన అల్గోరిథం ప్రకారం మేము కనుగొంటాము. దీని కొరకు

కారకం సంఖ్యలను ప్రధాన కారకాలుగా మార్చండి

$99=3\cdot 3\cdot 11$

మొదటిదానిలో చేర్చబడిన కారకాలను వ్రాయండి

వాటికి రెండవ భాగం మరియు మొదటి భాగం కాకుండా ఉండే గుణకాలను జోడించండి

దశ 2లో కనుగొనబడిన సంఖ్యల ఉత్పత్తిని కనుగొనండి. ఫలిత సంఖ్య కావలసిన కనీస సాధారణ గుణకం అవుతుంది

$NOK=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

సంఖ్యల విభజనల జాబితాలను కంపైల్ చేయడం తరచుగా చాలా శ్రమతో కూడుకున్న పని. యూక్లిడియన్ అల్గోరిథం అని పిలువబడే GCDని కనుగొనడానికి ఒక మార్గం ఉంది.

యూక్లిడియన్ అల్గోరిథం ఆధారంగా రూపొందించబడిన ప్రకటనలు:

$a$ మరియు $b$ సహజ సంఖ్యలు మరియు $a\vdots b$ అయితే, $D(a;b)=b$

$a$ మరియు $b$ సహజ సంఖ్యలు అయితే $b

$D(a;b)= D(a-b;b)$ని ఉపయోగించి, వాటిలో ఒకటి మరొకదానితో భాగించబడే విధంగా ఒక జత సంఖ్యలను చేరుకునే వరకు మనం పరిశీలనలో ఉన్న సంఖ్యలను వరుసగా తగ్గించవచ్చు. అప్పుడు ఈ సంఖ్యలలో చిన్నది $a$ మరియు $b$ సంఖ్యలకు కావలసిన గొప్ప సాధారణ విభజన అవుతుంది.

GCD మరియు LCM యొక్క లక్షణాలు

$a$ మరియు $b$ యొక్క ఏదైనా సాధారణ గుణకారం K$(a;b)$తో భాగించబడుతుంది
$a\vdots b$ అయితే, К$(a;b)=a$

K$(a;b)=k$ మరియు $m$ సహజ సంఖ్య అయితే, K$(am;bm)=km$

$d$ అనేది $a$ మరియు $b$లకు సాధారణ విభజన అయితే, K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d ) $

$a\vdots c$ మరియు $b\vdots c$ అయితే, $\frac(ab)(c)$ అనేది $a$ మరియు $b$ యొక్క సాధారణ గుణకం

ఏదైనా సహజ సంఖ్యల కోసం $a$ మరియు $b$ సమానత్వం కలిగి ఉంటుంది

$D(a;b)\cdot К(a;b)=ab$

$a$ మరియు $b$ సంఖ్యల యొక్క ఏదైనా సాధారణ భాగహారం $D(a;b)$ సంఖ్య యొక్క భాగహారం

నిర్వచనం.సంఖ్యలు a మరియు b శేషం లేకుండా విభజించబడిన అతిపెద్ద సహజ సంఖ్య అంటారు గ్రేటెస్ట్ కామన్ డివైజర్ (GCD)ఈ సంఖ్యలు.

24 మరియు 35 సంఖ్యల యొక్క గొప్ప సాధారణ విభజనను కనుగొనండి.
24 యొక్క భాగహారాలు 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 సంఖ్యలు మరియు 35 యొక్క భాగహారాలు 1, 5, 7, 35 సంఖ్యలు.
24 మరియు 35 సంఖ్యలు ఒకే ఒక సాధారణ విభజనను కలిగి ఉన్నాయని మనం చూస్తాము - సంఖ్య 1. అటువంటి సంఖ్యలను అంటారు. పరస్పరం ప్రధానమైనది.

నిర్వచనం.సహజ సంఖ్యలు అంటారు పరస్పరం ప్రధానమైనది, వారి గొప్ప ఉమ్మడి డివైజర్ (GCD) 1 అయితే.

గ్రేటెస్ట్ కామన్ డివైజర్ (GCD)ఇచ్చిన సంఖ్యల యొక్క అన్ని భాగహారాలను వ్రాయకుండానే కనుగొనవచ్చు.

48 మరియు 36 సంఖ్యలను కారకం చేస్తే, మనకు లభిస్తుంది:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
ఈ సంఖ్యలలో మొదటిది విస్తరణలో చేర్చబడిన కారకాల నుండి, రెండవ సంఖ్య (అంటే, రెండు రెండు) యొక్క విస్తరణలో చేర్చబడని వాటిని మేము దాటుతాము.
మిగిలిన కారకాలు 2 * 2 * 3. వాటి ఉత్పత్తి 12కి సమానం. ఈ సంఖ్య 48 మరియు 36 సంఖ్యల యొక్క గొప్ప సాధారణ భాగహారం. మూడు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ సంఖ్యల యొక్క గొప్ప సాధారణ భాగహారం కూడా కనుగొనబడింది.

కనుగొనేందుకు గొప్ప సాధారణ విభజన

2) ఈ సంఖ్యలలో ఒకదాని విస్తరణలో చేర్చబడిన కారకాల నుండి, ఇతర సంఖ్యల విస్తరణలో చేర్చని వాటిని దాటవేయండి;
3) మిగిలిన కారకాల ఉత్పత్తిని కనుగొనండి.

ఇవ్వబడిన అన్ని సంఖ్యలు వాటిలో ఒకదానితో భాగించబడినట్లయితే, ఈ సంఖ్య గొప్ప సాధారణ విభజనఇచ్చిన సంఖ్యలు.
ఉదాహరణకు, 15, 45, 75 మరియు 180 సంఖ్యల యొక్క గొప్ప సాధారణ విభజన సంఖ్య 15, ఎందుకంటే అన్ని ఇతర సంఖ్యలు దీని ద్వారా భాగించబడతాయి: 45, 75 మరియు 180.

తక్కువ సాధారణ బహుళ (LCM)

నిర్వచనం. తక్కువ సాధారణ బహుళ (LCM)సహజ సంఖ్యలు a మరియు b అనేది a మరియు b రెండింటి యొక్క గుణకం అయిన అతి చిన్న సహజ సంఖ్య. 75 మరియు 60 సంఖ్యల యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ గుణకం (LCM) వరుసగా ఈ సంఖ్యల గుణిజాలను వ్రాయకుండానే కనుగొనవచ్చు. దీన్ని చేయడానికి, 75 మరియు 60 లను ప్రధాన కారకాలుగా మారుద్దాం: 75 = 3 * 5 * 5, మరియు 60 = 2 * 2 * 3 * 5.
ఈ సంఖ్యలలో మొదటిది విస్తరణలో చేర్చబడిన కారకాలను వ్రాసి, రెండవ సంఖ్య యొక్క విస్తరణ నుండి తప్పిపోయిన కారకాలు 2 మరియు 2 (అంటే, మేము కారకాలను కలుపుతాము) జోడించండి.
మనకు ఐదు కారకాలు 2 * 2 * 3 * 5 * 5 లభిస్తాయి, దీని ఉత్పత్తి 300. ఈ సంఖ్య 75 మరియు 60 సంఖ్యలలో అతి తక్కువ సాధారణ గుణకం.

వారు మూడు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ సంఖ్యల యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ గుణింతాన్ని కూడా కనుగొంటారు.

కు కనీసం సాధారణ గుణకాన్ని కనుగొనండిఅనేక సహజ సంఖ్యలు, మీకు అవసరం:
1) వాటిని ప్రధాన కారకాలుగా కారకం;
2) సంఖ్యలలో ఒకదాని విస్తరణలో చేర్చబడిన కారకాలను వ్రాయండి;
3) మిగిలిన సంఖ్యల విస్తరణల నుండి తప్పిపోయిన కారకాలను వాటికి జోడించండి;
4) ఫలిత కారకాల యొక్క ఉత్పత్తిని కనుగొనండి.

ఈ సంఖ్యలలో ఒకటి అన్ని ఇతర సంఖ్యలతో భాగించబడినట్లయితే, ఈ సంఖ్య ఈ సంఖ్యలలో అతి తక్కువ సాధారణ గుణకం అని గుర్తుంచుకోండి.
ఉదాహరణకు, 12, 15, 20 మరియు 60 సంఖ్యల యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ గుణకం 60 ఎందుకంటే ఇది ఆ సంఖ్యలన్నింటితో భాగించబడుతుంది.

పైథాగరస్ (VI శతాబ్దం BC) మరియు అతని విద్యార్థులు సంఖ్యల విభజన ప్రశ్నను అధ్యయనం చేశారు. సంఖ్య, మొత్తానికి సమానంవారు దాని అన్ని భాగహారాలను (సంఖ్య లేకుండా) ఖచ్చితమైన సంఖ్య అని పిలిచారు. ఉదాహరణకు, 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) సంఖ్యలు ఖచ్చితమైనవి. తదుపరి ఖచ్చితమైన సంఖ్యలు 496, 8128, 33,550,336 పైథాగరియన్లకు మొదటి మూడు ఖచ్చితమైన సంఖ్యలు మాత్రమే తెలుసు. నాల్గవది - 8128 - 1వ శతాబ్దంలో ప్రసిద్ధి చెందింది. n. ఇ. ఐదవది - 33,550,336 - 15వ శతాబ్దంలో కనుగొనబడింది. 1983 నాటికి, 27 ఖచ్చితమైన సంఖ్యలు ఇప్పటికే తెలుసు. కానీ శాస్త్రవేత్తలకు ఇంకా బేసి ఉన్నాయా లేదా అనేది తెలియదు ఖచ్చితమైన సంఖ్యలు, అతిపెద్ద ఖచ్చితమైన సంఖ్య ఉందా?
ప్రధాన సంఖ్యలపై ప్రాచీన గణిత శాస్త్రజ్ఞుల ఆసక్తి ఏదైనా సంఖ్య ప్రధానమైనది లేదా ఉత్పత్తిగా సూచించబడుతుందనే వాస్తవం నుండి వచ్చింది. ప్రధాన సంఖ్యలు, అంటే ప్రధాన సంఖ్యలు ఇటుకల వంటివి, దాని నుండి మిగిలిన సహజ సంఖ్యలు నిర్మించబడ్డాయి.
సహజ సంఖ్యల శ్రేణిలోని ప్రధాన సంఖ్యలు అసమానంగా సంభవిస్తాయని మీరు బహుశా గమనించవచ్చు - సిరీస్‌లోని కొన్ని భాగాలలో వాటిలో ఎక్కువ ఉన్నాయి, మరికొన్నింటిలో - తక్కువ. కానీ మేము మరింత ముందుకు వెళ్తాము సంఖ్య సిరీస్, తక్కువ సాధారణ ప్రధాన సంఖ్యలు. ప్రశ్న తలెత్తుతుంది: చివరి (అతిపెద్ద) ప్రధాన సంఖ్య ఉందా? పురాతన గ్రీకు గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు యూక్లిడ్ (క్రీ.పూ. 3వ శతాబ్దం), రెండు వేల సంవత్సరాల పాటు గణిత శాస్త్రానికి ప్రధాన పాఠ్యాంశంగా ఉన్న తన పుస్తకం "మూలకాలు"లో, అనంతమైన అనేక ప్రధాన సంఖ్యలు ఉన్నాయని నిరూపించాడు, అనగా ప్రతి ప్రధాన సంఖ్య వెనుక ఇంకా ఎక్కువ ప్రధాన సంఖ్య ఉంటుంది. సంఖ్య.
ప్రధాన సంఖ్యలను కనుగొనడానికి, అదే సమయంలో మరొక గ్రీకు గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు ఎరాటోస్తనీస్ ఈ పద్ధతిని కనుగొన్నాడు. అతను 1 నుండి కొంత సంఖ్య వరకు అన్ని సంఖ్యలను వ్రాసాడు, ఆపై ఒకదాన్ని దాటాడు, అది ప్రధానమైనది కాదు సంయుక్త సంఖ్య, ఆపై 2 తర్వాత వచ్చే అన్ని సంఖ్యలను ఒకదాని ద్వారా దాటుతుంది (2 యొక్క గుణకాలు, అంటే 4, 6, 8, మొదలైనవి). 2 తర్వాత మిగిలిన మొదటి సంఖ్య 3. ఆ తర్వాత, రెండు తర్వాత, 3 తర్వాత వచ్చే అన్ని సంఖ్యలు (3 యొక్క గుణిజాలు, అంటే 6, 9, 12, మొదలైనవి) దాటబడ్డాయి. చివరికి ప్రధాన సంఖ్యలు మాత్రమే దాటలేదు.