Fikiria PDSC (O, i,j,k) katika nafasi R 3 . Hebu  iwe ndege na vekta  N perpendicular kwa . Hebu turekebishe sehemu ya kiholela M 0 kwenye ndege  na tuchukue hatua ya sasa ya M. Hebu tuashiria ` r =
na` r 0 =
. Kisha
=`r – `r 0 , na uelekeze М ikiwa na tu ikiwa vekta ` N Na
ya orthogonal. Mwisho unawezekana wakati

N .
= 0, yaani N . (`r -`r 0) = 0, (9)

equation hii inaitwa mlinganyo wa vekta ndege. Vekta ` N kuitwa kawaida vekta ya ndege.

Kama ` N =(A, KATIKA, NA), M0 ( X 0 , katika 0 , z 0), M( X, katika, z) , kisha equation (9) itachukua fomu

A( X – X 0) + B( katika – katika 0) + C( z – z 0) = 0, (10).

Equation hii inaitwa equation ya ndege inayopita hatua hii perpendicular kwa vector iliyotolewa.

KWA Kama unavyojua, kupitia alama tatu unaweza kuchora ndege moja. Acha M 1 ( X 1 , katika 1 , z 1), M 3 ( X 2 , katika 2 , z 2), M 3 ( X 3 , katika 3 , z 3) . Wacha tupate equation ya ndege hii. Kwa mujibu wa equation ya vector (9), kuandika equation hii, unahitaji kujua uhakika wa ndege na vector ya kawaida. Tuna uhakika (kwa mfano M 1). Na vekta yoyote ya perpendicular kwa ndege hii inafaa kama vekta ya kawaida. Inajulikana kuwa bidhaa ya vector ya vekta mbili ni perpendicular kwa ndege ambayo vectors hizi ziko. Kwa hiyo, bidhaa ya msalaba wa vectors
Na
inaweza kuchukuliwa kama vekta ya kawaida ya ndege:

` N =


Kisha equation ya ndege  in fomu ya vector inaonekana kama

. (

) =
.
.
= 0.

(kumbuka kuwa tumepata hali ya ushirikiano wa vekta
,
,
).

Kupitia kuratibu za pointi M 1, M 2, M 3 na M, equation hii itaandikwa kama ifuatavyo.

, (11)

na inaitwa equation ya ndege, kupita pointi tatu zilizotolewa M 1 ( X 1 , katika 1 , z 1), M 2 ( X 2 , katika 2 , z 2), M 3 ( X 3 , katika 3 , z 3).

Wacha tuzingatie equation (9) tena na kuibadilisha:

Oh + Wu + Cz +(–Oh 0 – Wu 0 – Cz 0) = 0 ,

Oh + Wu + Cz+D = 0, ambapo D = (- Oh 0 – Wu 0 – Cz 0) .

Mlinganyo

Oh + Wu + Cz+D = 0, (12)

kuitwa mlingano wa jumla ndege. Hapa vektaN = ( A, B, C) - vector ya kawaida ya ndege (yaani vector perpendicular kwa ndege). Nadharia ni kweli:

Nadharia 4.2.

Katika nafasi R3, ndege yoyote inaweza kuelezewa kwa mstari kwa heshima na vigezo x y, z equation na kinyume chake, equation yoyote ya shahada ya kwanza inafafanua ndege fulani.

Wacha tusome eneo la ndege inayohusiana na mfumo wa kuratibu kwa kutumia equation yake ya jumla Oh + Wu + Cz+D = 0 .

Ikiwa mgawo D = 0, basi viwianishi vya nukta O (0, 0, 0) vinakidhi equation. Oh + Wu + Cz= 0, ambayo ina maana hatua hii iko kwenye ndege, i.e. ndege yenye equation Oh + Wu + Cz= 0 hupitia asili.

Ikiwa katika equation ya jumla ya ndege moja haipo ya vigezo (mgawo sambamba ni sifuri), basi ndege ni sambamba na mhimili wa kuratibu wa jina moja. Kwa mfano, equation Oh + Cz + D= 0 inafafanua ndege sambamba na mhimili wa op-amp. Hakika, vector ya kawaida ina kuratibu ` N= (A, 0, C) na ni rahisi kuangalia hilo ` Nj. Lakini ikiwa ndege na vector ni perpendicular kwa vector sawa, basi ni sambamba. Ndege na equation Wu + Cz= 0, katika kesi hii, hupitia mhimili wa OX (yaani mhimili huu upo kwenye ndege)

Kutokuwepo kwa mbili vigezo katika equation ya ndege ina maana kwamba ndege ni sambamba na sambamba kuratibu ndege, kwa mfano, equation ya fomu Oh + D= 0 inafafanua ndege, sambamba na ndege UOZ. Vekta ya kawaida ina kuratibu ` N= (A, 0, 0), ni collinear kwa vekta  i, na, kwa hiyo, ndege ni perpendicular kwa vector  i, au sambamba na ndege УОZ.

Equations ya kuratibu ndege kuwa na fomu: pl. HOU: z= 0, pl. XOZ: y= 0, pl. YOZ: x = 0.

Hakika, ndege ya XOU hupitia asili (D = 0) na vector  k=(0, 0, 1) ni vekta yake ya kawaida. Vile vile, ndege ХОZ na УОZ hupitia asili ya kuratibu (D = 0) na vectors  j=(0, 1, 0) na  i = (1,0,0) - kawaida zao, kwa mtiririko huo.

Ikiwa D0, basi tunabadilisha mlinganyo wa jumla kama ifuatavyo

Oh + Wu+C z = –D,
,
.

KUHUSU bosnificant hapa
,
,
, tunapata equation
, (13)

ambayo inaitwa equation ya ndege katika sehemu kwenye shoka. Hapa A, b, c- maadili ya sehemu zilizokatwa na ndege kwenye shoka za kuratibu (Mchoro). Equation hii ni rahisi kutumia kuunda ndege katika mfumo wa kuratibu. Ni rahisi kuthibitisha kwamba pointi ( A, 0, 0), (0. b, 0), (0, 0, Na) lala kwenye ndege. Mistari inayopitia pointi hizi inaitwa athari ndege kwenye ndege za kuratibu.

Kwa mfano, wacha tutengeneze ndege

2X – 3katika + 4z –12 = 0.

Wacha tupunguze equation hii kwa fomu (13), tunayopata

D Ili kuunda ndege katika mfumo wa kuratibu, weka alama (6, 0, 0) kwenye mhimili wa OX, nukta (0, -4, 0) kwenye mhimili wa OU, na (0, 0, 3) kwenye OZ. mhimili, na uwaunganishe na sehemu moja kwa moja ( athari za ndege). Pembetatu inayotokana ni sehemu ya ndege inayotakiwa, iliyofungwa kati ya axes za kuratibu.

Kwa njia hiyo kupata equation ya ndege, inatosha kujua

Ama vekta ya kawaida ya ndege hii na pointi zake zozote (equation (10));

Au pointi tatu ziko kwenye ndege (equation (11)).

Mpangilio wa pande zote wa ndege katika nafasi ni rahisi kusoma kwa msaada wa vekta zao zinazolingana. Ikiwa  ni ndege yenye vector ya kawaida N, basi

.

Utoaji wa formula ni sawa na jinsi ulifanyika kwa mstari wa moja kwa moja kwenye ndege. Fanya mwenyewe.

Equation ya ndege. Jinsi ya kuandika equation ya ndege?
Mpangilio wa pamoja ndege. Kazi

Jiometri ya anga sio ngumu zaidi kuliko jiometri "gorofa", na safari zetu za ndege angani huanza na nakala hii. Ili kutawala mada, unahitaji kuwa na uelewa mzuri wa vekta, kwa kuongeza, ni vyema kuwa na ujuzi wa jiometri ya ndege - kutakuwa na kufanana nyingi, analogies nyingi, hivyo habari itapigwa bora zaidi. Katika mfululizo wa masomo yangu, ulimwengu wa 2D unafungua kwa makala Equation ya mstari wa moja kwa moja kwenye ndege. Lakini sasa Batman ameondoka kwenye skrini bapa ya TV na anazindua kutoka Baikonur Cosmodrome.

Wacha tuanze na michoro na alama. Kwa utaratibu, ndege inaweza kuchora kwa namna ya parallelogram, ambayo inajenga hisia ya nafasi:

Ndege haina mwisho, lakini tunayo fursa ya kuonyesha kipande chake tu. Katika mazoezi, pamoja na parallelogram, mviringo au hata wingu pia hutolewa. Kwa sababu za kiufundi, ni rahisi zaidi kwangu kuonyesha ndege kwa njia hii haswa na kwa nafasi hii haswa. Ndege za kweli ambazo tutazingatia mifano ya vitendo, inaweza kuwekwa kwa njia yoyote - kiakili chukua mchoro mikononi mwako na uizungushe kwenye nafasi, ukitoa ndege mwelekeo wowote, pembe yoyote.

Uteuzi: ndege kawaida huonyeshwa kwa herufi ndogo za Kigiriki, inaonekana ili zisiwachanganye nazo mstari wa moja kwa moja kwenye ndege au na mstari wa moja kwa moja kwenye nafasi. Nimezoea kutumia barua. Katika kuchora ni barua "sigma", na sio shimo kabisa. Ingawa, ndege ya shimo hakika ni ya kuchekesha sana.

Katika baadhi ya matukio, ni rahisi kutumia alama sawa ili kuteua ndege. barua za Kigiriki na usajili, kwa mfano,.

Kwa wazi, ndege imedhamiriwa kipekee na watatu pointi mbalimbali, sio uongo kwenye mstari sawa sawa. Kwa hivyo, majina ya herufi tatu za ndege ni maarufu sana - kwa alama zao, kwa mfano, nk. Mara nyingi barua huwekwa kwenye mabano: , ili usichanganye ndege na takwimu nyingine ya kijiometri.

Kwa wasomaji wenye uzoefu nitatoa menyu ya ufikiaji wa haraka:

• Jinsi ya kuunda equation ya ndege kwa kutumia uhakika na vekta mbili?
• Jinsi ya kuunda equation ya ndege kwa kutumia uhakika na vector ya kawaida?

wala hatutazimia kwa muda mrefu.

Mlinganyo wa jumla wa ndege

Equation ya jumla ya ndege ina fomu , ambapo coefficients si sawa na sifuri kwa wakati mmoja.

Idadi ya mahesabu ya kinadharia na matatizo ya vitendo halali kwa msingi wa kawaida wa kawaida na kwa msingi wa ushirika nafasi (ikiwa mafuta ni mafuta, rudi kwenye somo Utegemezi wa mstari (usio) wa vekta. Msingi wa vectors) Kwa unyenyekevu, tutafikiri kwamba matukio yote hutokea kwa msingi wa kawaida na Cartesian mfumo wa mstatili kuratibu

Sasa tufanye mazoezi kidogo mawazo ya anga. Ni sawa ikiwa yako ni mbaya, sasa tutaiendeleza kidogo. Hata kucheza kwenye mishipa inahitaji mafunzo.

Katika sana kesi ya jumla, wakati nambari sio sifuri, ndege huingiliana na shoka zote tatu za kuratibu. Kwa mfano, kama hii:

Narudia tena kwamba ndege inaendelea kwa muda usiojulikana katika pande zote, na tuna fursa ya kuonyesha sehemu yake tu.

Wacha tuangalie hesabu rahisi zaidi za ndege:

Jinsi ya kuelewa kupewa equation? Fikiria juu yake: "Z" ni sawa na sifuri kila wakati, kwa maadili yoyote ya "X" na "Y". Hii ni equation ya "asili" ya kuratibu ndege. Kwa kweli, equation inaweza kuandikwa tena kama ifuatavyo: , kutoka ambapo unaweza kuona wazi kwamba hatujali ni maadili gani "x" na "y" huchukua, ni muhimu kwamba "z" ni sawa na sifuri.

Vile vile:
- equation ya ndege ya kuratibu;
- equation ya ndege ya kuratibu.

Hebu tufanye shida kidogo, fikiria ndege (hapa na zaidi katika aya tunafikiri kwamba coefficients ya nambari si sawa na sifuri). Hebu tuandike upya equation katika fomu:. Jinsi ya kuielewa? "X" ni DAIMA, kwa maadili yoyote ya "Y" na "Z", sawa na nambari fulani. Ndege hii ni sambamba na ndege ya kuratibu. Kwa mfano, ndege ni sambamba na ndege na hupitia hatua.

Vile vile:
- equation ya ndege ambayo ni sambamba na ndege ya kuratibu;
- equation ya ndege ambayo ni sambamba na ndege ya kuratibu.

Wacha tuongeze wanachama:. Mlinganyo unaweza kuandikwa upya kama ifuatavyo: , yaani, "zet" inaweza kuwa chochote. Ina maana gani? "X" na "Y" zimeunganishwa na uhusiano, ambao huchota mstari fulani wa moja kwa moja kwenye ndege (utagundua equation ya mstari katika ndege?). Kwa kuwa "z" inaweza kuwa chochote, mstari huu wa moja kwa moja "unaigwa" kwa urefu wowote. Kwa hivyo, equation inafafanua ndege inayofanana na mhimili wa kuratibu

Vile vile:
- equation ya ndege ambayo ni sambamba na mhimili wa kuratibu;
- equation ya ndege ambayo iko sambamba na mhimili wa kuratibu.

Ikiwa maneno ya bure ni sifuri, basi ndege zitapita moja kwa moja kupitia axes zinazofanana. Kwa mfano, "usawa wa moja kwa moja" wa kawaida: . Chora mstari wa moja kwa moja kwenye ndege na uizidishe kiakili juu na chini (kwani "Z" ni yoyote). Hitimisho: ndege, iliyotolewa na equation, hupitia mhimili wa kuratibu.

Tunakamilisha ukaguzi: equation ya ndege hupitia asili. Naam, hapa ni dhahiri kabisa kwamba uhakika unakidhi equation hii.

Na hatimaye, kesi iliyoonyeshwa kwenye kuchora: - ndege ni marafiki na kila mtu kuratibu shoka, wakati daima "hupunguza" pembetatu, ambayo inaweza kuwa katika octants yoyote ya nane.

Ukosefu wa usawa katika nafasi

Ili kuelewa habari unahitaji kusoma vizuri usawa wa mstari katika ndege, kwa sababu mambo mengi yatafanana. Aya itakuwa ya muhtasari mfupi wa asili na mifano kadhaa, kwani nyenzo ni nadra sana katika mazoezi.

Ikiwa equation inafafanua ndege, basi usawa
uliza nafasi nusu. Ikiwa usawa sio kali (mbili za mwisho katika orodha), basi suluhisho la usawa, pamoja na nafasi ya nusu, pia linajumuisha ndege yenyewe.

Mfano 5

Pata kitengo cha vector ya kawaida ya ndege .

Suluhisho: Vekta ya kitengo ni vekta ambayo urefu wake ni moja. Hebu kuashiria vector iliyotolewa kupitia. Ni wazi kabisa kuwa vekta ni collinear:

Kwanza, tunaondoa vector ya kawaida kutoka kwa equation ya ndege:.

Jinsi ya kupata vekta ya kitengo? Ili kupata vector ya kitengo, unahitaji kila gawanya uratibu wa vekta kwa urefu wa vekta.

Wacha tuandike tena vekta ya kawaida katika fomu na tupate urefu wake:

Kulingana na hapo juu:

Jibu:

Uthibitishaji: ni nini kilihitajika kuthibitishwa.

Wasomaji ambao walisoma kwa uangalifu aya ya mwisho ya somo labda waligundua hilo kuratibu za vector ya kitengo ni hasa cosines mwelekeo wa vector:

Wacha tuchukue mapumziko kutoka kwa shida iliyopo: unapopewa vekta ya kiholela isiyo ya sifuri, na kulingana na hali inahitajika kupata mwelekeo wake wa cosines (tazama shida za mwisho za somo Bidhaa ya dot ya vekta), basi, kwa kweli, unapata collinear ya vekta kwa hii. Kweli kazi mbili katika chupa moja.

Haja ya kupata kitengo cha vekta ya kawaida hutokea katika baadhi ya matatizo ya uchambuzi wa hisabati.

Tumegundua jinsi ya kuvua vekta ya kawaida, sasa hebu tujibu swali tofauti:

Jinsi ya kuunda equation ya ndege kwa kutumia uhakika na vector ya kawaida?

Ujenzi huu mgumu wa vekta ya kawaida na sehemu inajulikana sana kwa ubao wa mishale. Tafadhali nyoosha mkono wako mbele na kiakili uchague mahali kiholela katika nafasi, kwa mfano, paka mdogo kwenye ubao wa pembeni. Kwa wazi, kupitia hatua hii unaweza kuteka ndege moja perpendicular kwa mkono wako.

Equation ya ndege inayopita kwa uhakika kwa vekta inaonyeshwa na formula:

Mlinganyo wa uso katika nafasi

Ufafanuzi. Mlinganyo wowote unaohusiana na viwianishi vya x, y, z vya nukta yoyote kwenye uso ni mlingano wa uso huo.

Mlinganyo wa jumla wa ndege

Ufafanuzi. Ndege ni uso pointi zote ambazo zinakidhi equation ya jumla:

Ax + By + Cz + D = 0,

ambapo A, B, C ni viwianishi vya vekta

vector ya kawaida kwa ndege. Kesi maalum zifuatazo zinawezekana:

A = 0 - ndege ni sambamba na mhimili wa Ox

B = 0 - ndege ni sambamba na mhimili wa Oy

C = 0 - ndege ni sambamba na mhimili wa Oz

D = 0 - ndege hupitia asili

A = B = 0 - ndege ni sambamba na ndege ya xOy

A = C = 0 - ndege ni sambamba na ndege ya xOz

B = C = 0 - ndege ni sambamba na ndege ya yOz

A = D = 0 - ndege hupitia mhimili wa Ox

B = D = 0 - ndege hupitia mhimili wa Oy

C = D = 0 - ndege hupitia mhimili wa Oz

A = B = D = 0 - ndege inafanana na ndege ya xOy

A = C = D = 0 - ndege inafanana na ndege ya xOz

B = C = D = 0 - ndege inafanana na ndege ya yOz

Equation ya ndege kupita pointi tatu

Ili ndege moja itolewe kupitia pointi tatu katika nafasi, ni muhimu kwamba pointi hizi hazilala kwenye mstari sawa sawa. Fikiria pointi M1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2), M3(x3, y3, z3) kwa ujumla. Mfumo wa Cartesian kuratibu Ili hatua ya kiholela M (x, y, z) kulala katika ndege moja na pointi M1, M2, M3, ni muhimu kwamba vectors kuwa coplanar.

Hivyo,

Equation ya ndege inayopitia pointi tatu:

Equation ya ndege iliyotolewa pointi mbili na collinear ya vekta kwa ndege

Acha pointi M1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2) na vekta zipewe.

Wacha tuunde mlingano wa ndege inayopitia alama hizi M1 na M2 na sehemu ya kiholela M(x, y, z) sambamba na vekta.

Vectors na vector lazima coplanar, i.e.

Mlinganyo wa ndege:

Mlinganyo wa ndege uliopewa nukta moja na vivekta viwili vya collinear kwa ndege

Wacha vekta mbili zipewe na, ndege za colinear. Halafu kwa nukta ya kiholela M(x, y, z), mali ya ndege, vekta lazima ziwe coplanar. Mlinganyo wa ndege:

Equation ya ndege kwa uhakika na vector ya kawaida

Nadharia. Ikiwa hatua M0 (x0, y0, z0) imetolewa katika nafasi, basi equation ya ndege inayopitia hatua M0 perpendicular kwa vector ya kawaida (A, B, C) ina fomu:

A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0.

Ushahidi. Kwa uhakika wa kiholela M(x, y, z) wa ndege, tunatunga vekta. Kwa sababu vector ni vector ya kawaida, basi ni perpendicular kwa ndege, na, kwa hiyo, perpendicular kwa vector. Kisha bidhaa scalar

Kwa hivyo, tunapata equation ya ndege

Nadharia imethibitishwa.

Inaweza kuonyeshwa kuwa mlingano wowote wa shahada ya kwanza kwa heshima na kuratibu za Cartesian x, y, z inawakilisha mlinganyo wa ndege fulani. Equation hii imeandikwa kama:

Ax+By+Cz+D=0

na inaitwa mlingano wa jumla ndege, na kuratibu A, B, C hapa ni kuratibu za vector ya kawaida ya ndege.

Hebu fikiria kesi maalum mlingano wa jumla. Wacha tujue jinsi ndege iko karibu na mfumo wa kuratibu ikiwa mgawo mmoja au zaidi wa equation inakuwa sifuri.

1. Mwanachama wa bure sawa na sifuri D= 0.

Katika kesi hii, equation ya ndege inachukua fomu Ax+Cy+Bz=0. Kwa sababu nambari x=0, y=0, z=0 kukidhi equation ya ndege, kisha hupitia asili. Vivyo hivyo, ikiwa B= 0, basi ndege ni sambamba na mhimili Oy Na C= 0 - ndege sambamba na mhimili Oz. Kwa hivyo, ikiwa katika equation ya ndege moja ya coefficients katika uratibu wa sasa ni sawa na sifuri, basi ndege ni sawa na mhimili wa kuratibu unaofanana.

1. Mgawo katika uratibu wa sasa na neno la bure ni sawa na sifuri. Kwa mfano, A=D= 0. Katika kesi hii, equation Na + Cz= 0 inalingana na ndege inayopitia asili ya kuratibu (kulingana na hatua 1). Aidha, kwa kuzingatia nukta 2, kupewa ndege lazima iwe sambamba na mhimili Ng'ombe. Kwa hiyo, ndege hupitia mhimili Ng'ombe.

Vile vile, lini B=D=0 ndege Ax+Cz=0 hupitia mhimili Oy. Katika C=D=0 ndege hupitia mhimili Oz.

1. Coefficients mbili katika kuratibu za sasa za jeraha ni sifuri. Hebu, kwa mfano, A=B=0. Kisha ndege Cz+D=0 kutokana na nukta 2 itakuwa sambamba na shoka Ng'ombe Na Oy, na kwa hiyo sambamba na ndege ya kuratibu xOy, na hupitia hatua kwa kuratibu. Vile vile, milinganyo Ax+D=0 na Na+D=0 inalingana na ndege zinazofanana na kuratibu ndege yOz Na xOz.
2. Coefficients mbili katika kuratibu za sasa na neno la bure ni sawa na sifuri. Hebu, kwa mfano, A=B=D=0. Kisha equation ya ndege ina fomu Cz=0 au z=0. Ndege hii hupitia asili na iko sambamba na shoka Ng'ombe Na Oy, yaani equation inafafanua ndege ya kuratibu xOy. Vile vile, x=0 - equation ya ndege ya kuratibu yOz Na y=0 - ndege xOz.

Mifano.

1. Andika equation kwa ndege sambamba na mhimili Oy, kupitia pointi M 1(1; 0; -1), M 2(-1; 2;0).

Tangu mhimili Oy ni sambamba, basi equation ya ndege Ax+Cy+D=0. Kwa kuzingatia hilo M 1Î α, M 2О α, tunabadilisha kuratibu za pointi hizi kwenye equation na kupata mfumo wa mbili milinganyo ya mstari na watatu wasiojulikana

Kuweka D= 1, wacha tupate A= 1 na C= 2. Kwa hiyo, equation ya ndege ina fomu x+ 2z+1=0.

1. Andika equation kwa ndege inayopita kwenye nukta M(2;3;-4) sambamba na ndege yOz(perpendicular kwa mhimili Ng'ombe).

Kwa sababu yOz||α, basi equation ya ndege itakuwa Ax+D=0. Upande mwingine MО α, kwa hivyo 2A+D=0, D=-2A. Kwa hivyo ndege ina equation x-2=0.

Unaweza kuweka njia tofauti(pointi moja na vector, pointi mbili na vector, pointi tatu, nk). Ni kwa kuzingatia hili kwamba equation ya ndege inaweza kuwa aina tofauti. Pia, kulingana na hali fulani, ndege zinaweza kuwa sambamba, perpendicular, intersecting, nk. Tutazungumza juu ya hili katika makala hii. Tutajifunza jinsi ya kuunda equation ya jumla ya ndege na zaidi.

Aina ya kawaida ya equation

Wacha tuseme kuna nafasi R 3 ambayo ina mfumo wa kuratibu wa XYZ wa mstatili. Hebu tufafanue vector α, ambayo itatolewa kutoka kwa hatua ya awali O. Kupitia mwisho wa vector α tunachora ndege P, ambayo itakuwa perpendicular yake.

Wacha tuonyeshe sehemu ya kiholela kwenye P kama Q = (x, y, z). Wacha tutie saini vekta ya radius ya uhakika Q na herufi p. Katika kesi hii, urefu wa vekta α ni sawa na р=IαI na Ʋ=(cosα,cosβ,cosγ).

Hii ni vekta ya kitengo ambayo imeelekezwa kwa upande, kama vekta α. α, β na γ ni pembe zinazoundwa kati ya vekta Ʋ na maelekezo chanya ya shoka za nafasi x, y, z, mtawalia. Makadirio ya nukta yoyote QϵП kwenye vekta Ʋ ni thamani ya kudumu, ambayo ni sawa na p: (p,Ʋ) = p(p≥0).

Mlinganyo ulio hapo juu unaeleweka wakati p=0. Jambo pekee ni kwamba ndege P katika kesi hii itaingiliana na hatua O (α=0), ambayo ni asili ya kuratibu, na vector ya kitengo Ʋ iliyotolewa kutoka kwa uhakika O itakuwa perpendicular kwa P, licha ya mwelekeo wake, ambayo. inamaanisha kuwa vekta Ʋ imebainishwa kwa usahihi wa ishara. Equation ya awali ni equation ya ndege yetu P, iliyoonyeshwa kwa fomu ya vector. Lakini katika kuratibu itaonekana kama hii:

P hapa ni kubwa kuliko au sawa na 0. Tumepata equation ya ndege katika nafasi katika hali ya kawaida.

Mlinganyo wa jumla

Ikiwa tutazidisha mlinganyo katika viwianishi kwa nambari yoyote ambayo si sawa na sifuri, tunapata mlinganyo sawa na hii, ikifafanua ndege hiyohiyo. Itakuwa kama hii:

Hapa A, B, C ni nambari ambazo ni tofauti kwa wakati mmoja na sifuri. Mlinganyo huu unaitwa mlinganyo wa jumla wa ndege.

Equations za ndege. Kesi maalum

Equation katika mtazamo wa jumla inaweza kurekebishwa ikiwa inapatikana masharti ya ziada. Hebu tuangalie baadhi yao.

Hebu tuchukulie kwamba mgawo A ni 0. Hii ina maana kwamba ndege hii ni sambamba na mhimili wa Ox uliotolewa. Katika kesi hii, fomu ya equation itabadilika: Ву+Cz+D=0.

Vile vile, fomu ya equation itabadilika chini ya masharti yafuatayo:

• Kwanza, ikiwa B = 0, basi equation itabadilika kuwa Ax + Cz + D = 0, ambayo itaonyesha usawa kwa mhimili wa Oy.
• Pili, ikiwa C=0, basi equation itabadilishwa kuwa Ax+By+D=0, ambayo itaonyesha ulinganifu wa mhimili uliopewa wa Oz.
• Tatu, ikiwa D=0, mlinganyo utaonekana kama Ax+By+Cz=0, ambayo itamaanisha kuwa ndege inakatiza O (asili).
• Nne, ikiwa A=B=0, basi equation itabadilika hadi Cz+D=0, ambayo itathibitika kuwa sambamba na Oxy.
• Tano, ikiwa B=C=0, basi equation inakuwa Ax+D=0, ambayo ina maana kwamba ndege kwenda Oyz ni sambamba.
• Sita, ikiwa A=C=0, basi equation itachukua fomu Ву+D=0, yaani, itaripoti ulinganifu kwa Oxz.

Aina ya equation katika sehemu

Katika kesi wakati nambari A, B, C, D ni tofauti na sifuri, fomu ya equation (0) inaweza kuwa kama ifuatavyo:

x/a + y/b + z/c = 1,

ambamo a = -D/A, b = -D/B, c = -D/C.

Tunapata kama matokeo.Inafaa kukumbuka kuwa ndege hii itakatiza mhimili wa Ox kwa uhakika na kuratibu (a,0,0), Oy - (0,b,0), na Oz - (0,0,c )

Kwa kuzingatia equation x/a + y/b + z/c = 1, si vigumu kuibua kufikiria uwekaji wa ndege kuhusiana na mfumo fulani wa kuratibu.

Kuratibu za vector za kawaida

Vekta ya kawaida n kwa ndege P ina kuratibu ambazo ni coefficients ya equation ya jumla ya ndege hii, yaani, n (A, B, C).

Ili kuamua kuratibu za n ya kawaida, inatosha kujua equation ya jumla ya ndege iliyotolewa.

Wakati wa kutumia equation katika sehemu, ambayo ina fomu x/a + y/b + z/c = 1, kama wakati wa kutumia equation ya jumla, unaweza kuandika kuratibu za vekta yoyote ya kawaida ya ndege fulani: (1/a). + 1/b + 1/ Pamoja).

Ni muhimu kuzingatia kwamba vector ya kawaida husaidia kutatua kazi mbalimbali. Ya kawaida ni pamoja na matatizo ambayo yanahusisha kuthibitisha perpendicularity au usawa wa ndege, matatizo ya kutafuta pembe kati ya ndege au pembe kati ya ndege na mistari ya moja kwa moja.

Aina ya equation ya ndege kulingana na kuratibu za uhakika na vector ya kawaida

Nonzero vekta n perpendicular kwa ndege fulani inaitwa kawaida kwa ndege fulani.

Wacha tufikirie kuwa katika nafasi ya kuratibu (mfumo wa kuratibu wa mstatili) Oxyz wamepewa:

• uhakika Mₒ na viwianishi (xₒ,yₒ,zₒ);
• vekta sifuri n=A*i+B*j+C*k.

Ni muhimu kuunda equation kwa ndege ambayo itapita kwa uhakika Mₒ perpendicular kwa kawaida n.

Tunachagua sehemu yoyote ya kiholela katika nafasi na kuiashiria M (x y, z). Acha vekta ya kipenyo cha sehemu yoyote ya M (x,y,z) iwe r=x*i+y*j+z*k, na vekta ya radius ya uhakika Mₒ (xₒ,yₒ,zₒ) - rₒ=xₒ* i+yₒ *j+zₒ*k. Pointi M itakuwa ya ndege fulani ikiwa vekta MₒM ni ya kawaida kwa vekta n. Wacha tuandike hali ya orthogonality kwa kutumia bidhaa ya scalar:

[MₒM, n] = 0.

Kwa kuwa MₒM = r-rₒ, equation ya vekta ya ndege itaonekana kama hii:

Mlinganyo huu unaweza kuwa na namna nyingine. Kwa kufanya hivyo, mali ya bidhaa ya scalar hutumiwa, na mabadiliko ni upande wa kushoto milinganyo = -. Ikiwa tunaashiria kama c, tunapata equation ifuatayo: - c = 0 au = = c, ambayo inaonyesha uthabiti wa makadirio kwenye vekta ya kawaida ya vekta za radius ya pointi fulani ambazo ni za ndege.

Sasa unaweza kupata mwonekano wa kuratibu wa rekodi mlinganyo wa vekta ndege yetu = 0. Kwa kuwa r-rₒ = (x-xₒ)*i + (y-yₒ)*j + (z-zₒ)*k, na n = A*i+B*j+C*k, sisi tuna:

Inabadilika kuwa tunayo equation ya ndege inayopita kwenye sehemu ya kawaida ya n:

A*(x- xₒ)+B*(y- yₒ)C*(z-zₒ)=0.

Aina ya equation ya ndege kulingana na kuratibu za pointi mbili na collinear ya vector kwa ndege

Hebu tufafanue pointi mbili za kiholela M′ (x′,y′,z′) na M″ (x″,y″,z″), pamoja na vekta a (a′,a″,a‴).

Sasa tunaweza kuunda mlinganyo wa ndege fulani ambayo itapitia alama zilizopo M′ na M″, na vile vile nukta yoyote M yenye viwianishi (x, y, z) sambamba na vekta a.

Katika hali hii, vekta M′M=(x-x′;y-y′;z-z′) na M″M=(x″-x′;y″-y′;z″-z′) lazima zilingane na vekta. a=(a′,a″,a‴), ambayo ina maana kwamba (M′M, M″M, a)=0.

Kwa hivyo, equation ya ndege yetu katika nafasi itaonekana kama hii:

Aina ya equation ya ndege inayokatiza pointi tatu

Hebu tuseme tuna pointi tatu: (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴), ambazo si za mstari mmoja. Ni muhimu kuandika equation ya ndege inayopita kwa kupewa pointi tatu. Nadharia ya jiometri inadai kwamba aina hii ya ndege ipo, lakini ndiyo pekee na ya kipekee. Kwa kuwa ndege hii inakatiza nukta (x′,y′,z′), muundo wa mlinganyo wake utakuwa kama ifuatavyo:

Hapa A, B, C ni tofauti na sifuri kwa wakati mmoja. Pia, ndege iliyotolewa huvuka pointi mbili zaidi: (x″,y″,z″) na (x‴,y‴,z‴). Katika suala hili, masharti yafuatayo lazima yakamilishwe:

Sasa tunaweza kutunga mfumo wa homogeneous na wewe haijulikani, v, w:

Katika yetu kesi x,y au z inajitokeza hatua ya kiholela, ambayo inakidhi equation (1). Kwa kuzingatia equation (1) na mfumo wa milinganyo (2) na (3), mfumo wa milinganyo iliyoonyeshwa kwenye takwimu hapo juu inaridhika na vekta N (A,B,C), ambayo sio ndogo. Ndiyo maana kibainishi cha mfumo huu ni sawa na sifuri.

Equation (1) ambayo tumepata ni equation ya ndege. Inapita kwa pointi 3 hasa, na hii ni rahisi kuangalia. Ili kufanya hivyo, tunahitaji kupanua kibainishi chetu katika vipengele katika safu ya kwanza. Kutoka mali zilizopo kiashiria inafuata kwamba ndege yetu inakatiza kwa wakati mmoja pointi tatu zilizotolewa mwanzo (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴). Hiyo ni, tumetatua kazi tuliyopewa.

Pembe ya dihedral kati ya ndege

Pembe ya dihedral inawakilisha anga takwimu ya kijiometri, inayoundwa na nusu-ndege mbili zinazotoka kwenye mstari mmoja wa moja kwa moja. Kwa maneno mengine, hii ni sehemu ya nafasi ambayo imepunguzwa na ndege hizi za nusu.

Wacha tuseme tuna ndege mbili zilizo na hesabu zifuatazo:

Tunajua kwamba vekta N=(A,B,C) na N¹=(A¹,B¹,C¹) ni za pembeni kulingana na kupewa ndege. Katika suala hili, angle φ kati ya vectors N na N¹ ni sawa na angle (dihedral) ambayo iko kati ya ndege hizi. Bidhaa ya Scalar ina fomu:

NN¹=|N||N¹|cos φ,

haswa kwa sababu

cosφ= NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB¹+CC¹)/((√(A²+B²+C²))*(√(A¹)²+(B¹)²+(C¹)²)).

Inatosha kuzingatia kwamba 0≤φ≤π.

Kwa kweli, ndege mbili zinazoingiliana huunda pembe mbili (dihedral): φ 1 na φ2. Jumla yao ni sawa na π (φ 1 + φ 2 = π). Kama kwa cosines, maadili yao kamili ni sawa, lakini yanatofautiana kwa ishara, ambayo ni, cos φ 1 = -cos φ 2. Ikiwa katika equation (0) tunabadilisha A, B na C na nambari -A, -B na -C, mtawaliwa, basi equation tunayopata itaamua ndege sawa, moja pekee, angle φ in. cos equationφ=NN 1 /|N||N 1 | itabadilishwa na π-φ.

Equation ya ndege perpendicular

Ndege kati ya ambayo angle ni digrii 90 huitwa perpendicular. Kutumia nyenzo zilizowasilishwa hapo juu, tunaweza kupata equation ya ndege perpendicular kwa mwingine. Hebu tuseme tuna ndege mbili: Ax+By+Cz+D=0 na A¹x+B¹y+C¹z+D=0. Tunaweza kusema kwamba zitakuwa perpendicular ikiwa cosφ=0. Hii ina maana kwamba NN¹=AA¹+BB¹+CC¹=0.

Mlinganyo wa ndege sambamba

Ndege mbili ambazo hazina pointi za kawaida huitwa sambamba.

Hali (milinganyo yao ni sawa na in aya iliyotangulia) ni kwamba vekta N na N¹, ambazo ni za kawaida kwao, ni collinear. Na hii ina maana kwamba yanatimizwa masharti yafuatayo uwiano:

A/A¹=B/B¹=C/C¹.

Masharti ya uwiano yakiongezwa - A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD¹,

hii inaashiria kuwa ndege hizi zinaendana. Hii ina maana kwamba milinganyo Ax+By+Cz+D=0 na A¹x+B¹y+C¹z+D¹=0 inaelezea ndege moja.

Umbali kwa ndege kutoka uhakika

Wacha tuseme tuna ndege P, ambayo inatolewa na equation (0). Inahitajika kupata umbali wake kutoka kwa sehemu iliyo na viwianishi (xₒ,yₒ,zₒ)=Qₒ. Ili kufanya hivyo, unahitaji kuleta equation ya ndege P katika fomu ya kawaida:

(ρ,v)=р (р≥0).

KATIKA kwa kesi hiiρ (x,y,z) ni kivekta kipenyo cha nukta yetu Q iliyoko kwenye P, p ni urefu wa P ya perpendicular ambayo ilitolewa kutoka. pointi sifuri, v ni vekta ya kitengo, ambayo iko katika mwelekeo a.

Tofauti ρ-ρº radius vekta ya sehemu fulani Q = (x, y, z), inayomilikiwa na P, na vile vile vekta ya radius ya sehemu fulani Q 0 = (xₒ, yₒ, zₒ) ni vekta kama hiyo, thamani kamili ambao makadirio yake kwenye v ni sawa na umbali d, ambao unahitaji kupatikana kutoka Q 0 = (xₒ,уₒ,zₒ) hadi P:

D=|(ρ-ρ 0 ,v)|, lakini

(ρ-ρ 0 ,v)= (ρ,v)-(ρ 0 ,v) =р-(ρ 0 ,v).

Kwa hiyo inageuka

d=|(ρ 0 ,v)-р|.

Kwa hivyo tutapata thamani kamili usemi unaotokana, yaani, taka d.

Kutumia lugha ya parameta, tunapata dhahiri:

d=|Ахₒ+Вуₒ+Czₒ|/√(А²+В²+С²).

Kama kuweka uhakika Q 0 iko upande wa pili wa ndege P, kama asili ya kuratibu, basi kati ya vekta ρ-ρ 0 na v kwa hivyo iko:

d=-(ρ-ρ 0 ,v)=(ρ 0 ,v)-р>0.

Katika kesi wakati hatua Q 0, pamoja na asili ya kuratibu, iko upande huo huo wa P, basi pembe iliyoundwa ni ya papo hapo, ambayo ni:

d=(ρ-ρ 0 ,v)=р - (ρ 0 , v)>0.

Kama matokeo, inageuka kuwa katika kesi ya kwanza ( ρ 0,v)>р, kwa pili (ρ 0,v)<р.

Ndege ya Tangent na mlinganyo wake

Ndege ya tanjiti kwenye sehemu ya mguso ya Mº ni ndege iliyo na mikondo yote inayowezekana kwa mipinde inayochorwa kupitia sehemu hii kwenye uso.

Na aina hii ya mlinganyo wa uso F(x,y,z)=0, mlinganyo wa ndege ya tanjiti katika hatua ya tanjiti Mº(xº,yº,zº) utaonekana kama hii:

F x (xº,yº,zº)(x- xº)+ F x (xº, yº, zº)(y- yº)+ F x (xº, yº,zº)(z-zº)=0.

Ukibainisha uso katika umbo dhahiri z=f (x,y), basi ndege ya tanjiti itaelezewa na mlinganyo:

z-zº =f(xº, yº)(x- xº)+f(xº, yº)(y-yº).

Makutano ya ndege mbili

Katika mfumo wa kuratibu (mstatili) Oxyz iko, ndege mbili П′ na П″ zinatolewa, ambazo zinaingiliana na hazifanani. Kwa kuwa ndege yoyote iliyo katika mfumo wa kuratibu wa mstatili huamuliwa na mlinganyo wa jumla, tutachukulia kwamba P′ na P″ zimetolewa na milinganyo Ax+B′y+C′z+D′=0 na A″x. +B″y+ С″z+D″=0. Katika hali hii, tuna n′ (A′,B′,C′) ya kawaida ya ndege P′ na n″ ya kawaida (A″,B″,C″) ya ndege P″. Kwa kuwa ndege zetu hazilingani na hazilingani, vekta hizi sio collinear. Kwa kutumia lugha ya hisabati, tunaweza kuandika hali hii kama ifuatavyo: n′≠ n″ ↔ (A′,B′,C′) ≠ (λ*A″,λ*B″,λ*C″), λϵR. Acha mstari ulionyooka ulio kwenye makutano ya P′ na P″ ubainishwe kwa herufi a, katika kesi hii a = P′ ∩ P″.

a ni mstari ulionyooka unaojumuisha seti ya pointi zote za ndege (ya kawaida) P′ na P″. Hii ina maana kwamba viwianishi vya sehemu yoyote ya mstari a lazima vikidhi milinganyo Ax+B′y+Cz+D′=0 na A″x+B″y+C″z+D″=0. . Hii inamaanisha kuwa kuratibu za nukta itakuwa suluhisho la sehemu ya mfumo ufuatao wa hesabu:

Kama matokeo, zinageuka kuwa suluhisho la (jumla) la mfumo huu wa equations litaamua kuratibu za kila moja ya alama za mstari, ambazo zitafanya kama sehemu ya makutano ya P′ na P″, na kuamua mstari wa moja kwa moja. a katika mfumo wa kuratibu wa Oxyz (mstatili) katika nafasi.