Wacha tutoe maoni kadhaa ya ufafanuzi kuhusu kubainisha chaguo la kukokotoa kwa usemi wa uchanganuzi au fomula inayocheza ndani. uchambuzi wa hisabati jukumu muhimu sana.
1° Kwanza kabisa, ni shughuli gani za uchanganuzi au vitendo vinavyoweza kujumuishwa katika fomula hizi? Katika nafasi ya kwanza hapa kuna shughuli zote zilizosomwa katika algebra ya msingi na trigonometry: shughuli za hesabu, ufafanuzi (na uchimbaji wa mizizi), logarithm, mpito kutoka kwa pembe hadi kwa maadili yao ya trigonometric na nyuma [tazama. chini ya 48 - 51]. Walakini, na hii ni muhimu kusisitiza, wakati habari yetu juu ya uchambuzi inakua, shughuli zingine zitaongezwa kwa idadi yao, kwanza kabisa, kifungu hadi kikomo, ambacho msomaji tayari anafahamu kutoka kwa Sura ya I.
Hivyo, maudhui kamili Neno "usemi wa uchanganuzi" au "fomula" litafichuliwa hatua kwa hatua.
2° Maelezo ya pili yanahusiana na upeo wa kufafanua chaguo za kukokotoa kwa usemi wa uchanganuzi au fomula.
Kila usemi wa uchanganuzi ulio na hoja x una, kwa kusema, upeo wa asili: hii ni seti ya maadili yote ya x ambayo huhifadhi maana yake, ambayo ni, ina thamani iliyofafanuliwa vizuri, yenye mwisho, na halisi. Hebu tueleze hili kwa kutumia mifano rahisi.
Kwa hivyo, kwa usemi, eneo kama hilo litakuwa seti nzima ya nambari halisi. Kwa kujieleza, eneo hili litapunguzwa hadi muda uliofungwa ambapo thamani yake itakoma kuwa halisi. Badala yake, usemi utalazimika kujumuisha muda wazi kama eneo la asili la maombi kwa sababu mwisho wa dhehebu lake hubadilika kuwa 0. Wakati mwingine anuwai ya maadili ambayo usemi huhifadhi maana yake huwa na vipindi vilivyotengwa: kwa hili kutakuwa na vipindi vya - vipindi, nk.
Kama mfano wa mwisho fikiria jumla ya maendeleo ya kijiometri isiyo na kikomo
Ikiwa basi, kama tunavyojua, kikomo hiki kipo na ni muhimu. Wakati kikomo ni sawa au haipo kabisa. Kwa hivyo, kwa usemi uliotolewa wa uchanganuzi, kikoa cha asili cha programu kitakuwa muda wazi
Katika uwasilishaji unaofuata tutalazimika kuzingatia misemo ngumu zaidi na ya jumla ya uchanganuzi, na tutasoma zaidi ya mara moja sifa za kazi zilizoainishwa. usemi unaofanana katika eneo zima ambapo inabaki na maana, yaani, kwa kusoma vifaa vya uchambuzi yenyewe.
Walakini, hali nyingine ya mambo pia inawezekana, ambayo tunaona ni muhimu kuteka umakini wa msomaji mapema. Hebu fikiria kwamba baadhi swali maalum, ambapo kigezo cha x kimsingi kinadhibitiwa na anuwai ya utofauti wa X, ilisababisha kuzingatiwa kwa chaguo za kukokotoa zinazokubali usemi wa uchanganuzi. Ingawa inaweza kutokea kwamba usemi huu una maana nje ya eneo X, ni kweli, bado haiwezekani kwenda zaidi yake. Hapa usemi wa uchanganuzi una jukumu la chini, la msaidizi.
Kwa mfano, ikiwa, kuchunguza kuanguka bure hatua nzito kutoka kwa urefu juu ya uso wa dunia, tutaamua formula
Itakuwa ni upuuzi kuzingatia maadili hasi t au thamani kubwa kuliko, kama inavyoonekana kwa urahisi, kwa uhakika itaanguka tayari chini. Na hii licha ya ukweli kwamba usemi wenyewe huhifadhi maana kwa wote halisi.
3 ° Inaweza kutokea kwamba kipengele cha kukokotoa hakijaamuliwa na fomula sawa kwa maadili yote ya hoja, lakini kwa baadhi - kwa fomula moja, na kwa wengine - na nyingine. Mfano wa chaguo za kukokotoa katika muda ni kazi iliyofafanuliwa na fomula tatu zifuatazo:
na hatimaye, ikiwa.
Wacha pia tutaje kazi ya Dirichlet (P. G. Lejeune-Dinchlet), ambayo inafafanuliwa kama ifuatavyo:
Hatimaye, pamoja na Kronecker (L. Kroneckcf), tutazingatia kazi, ambayo aliiita "signum" na kuashiria na
kazi ni mawasiliano kati ya vipengele vya seti mbili, iliyoanzishwa kulingana na sheria kwamba kila kipengele cha seti moja kinahusishwa na kipengele fulani kutoka kwa seti nyingine.
grafu ya kipengele ni locus pointi za ndege, abscissa (x) na kuratibu (y) ambazo zinahusiana na kazi maalum:
hatua iko (au iko) kwenye grafu ya chaguo la kukokotoa ikiwa na tu ikiwa .
Kwa hivyo, kazi inaweza kuelezewa vya kutosha na grafu yake.
Mbinu ya tabular. Moja ya kawaida ni kutaja meza maadili ya mtu binafsi hoja na maadili yanayolingana ya utendakazi. Njia hii ya kufafanua chaguo za kukokotoa hutumika wakati kikoa cha ufafanuzi wa chaguo za kukokotoa ni seti maalum ya kikomo.
Kwa njia ya jedwali ya kutaja kazi, inawezekana kuhesabu takriban maadili ya kazi ambayo haipo kwenye jedwali, inayolingana na maadili ya kati ya hoja. Ili kufanya hivyo, tumia njia ya kutafsiri.
Faida za njia ya tabular ya kutaja kazi ni kwamba inafanya uwezekano wa kuamua moja au nyingine maadili maalum mara moja, bila vipimo vya ziada au mahesabu. Walakini, katika hali zingine, jedwali halifafanui kazi kabisa, lakini tu kwa maadili fulani ya hoja na haitoi uwakilishi wa kuona wa asili ya mabadiliko katika kazi kulingana na mabadiliko katika hoja.
Mbinu ya picha. Grafu ya chaguo za kukokotoa y = f(x) ni seti ya pointi zote kwenye ndege ambayo viwianishi vinakidhi mlinganyo uliotolewa.
Njia ya kielelezo ya kubainisha chaguo za kukokotoa hairuhusu kila wakati kubainisha kwa usahihi maadili ya nambari ya hoja. Hata hivyo, ina faida kubwa juu ya njia nyingine - kujulikana. Katika uhandisi na fizikia, njia ya kielelezo ya kubainisha kazi mara nyingi hutumiwa, na grafu ndiyo njia pekee inayopatikana kwa hili.
Ili mgawo wa picha wa kazi kuwa sahihi kabisa kutoka kwa mtazamo wa hisabati, ni muhimu kuonyesha muundo halisi wa kijiometri wa grafu, ambayo mara nyingi hutajwa na equation. Hii inasababisha njia ifuatayo ya kubainisha chaguo za kukokotoa.
Mbinu ya uchambuzi. Mara nyingi, sheria ambayo huanzisha uhusiano kati ya hoja na utendaji hubainishwa kupitia fomula. Njia hii ya kubainisha kazi inaitwa uchambuzi.
Njia hii hufanya iwezekane kwa kila thamani ya nambari ya hoja x kupata inayolingana thamani ya nambari kazi y haswa au kwa usahihi fulani.
Ikiwa uhusiano kati ya x na y unatolewa na fomula iliyotatuliwa kwa heshima na y, i.e. ina fomu y = f (x), basi tunasema kwamba kazi ya x imetolewa kwa uwazi.
Ikiwa thamani \ x na y zinahusiana na mlinganyo fulani wa fomu F(x,y) = 0, i.e. fomula haijasuluhishwa kwa y, ambayo inamaanisha kuwa chaguo la kukokotoa y = f(x) limetolewa kwa njia isiyo wazi.
Kazi inaweza kufafanuliwa fomula tofauti juu maeneo mbalimbali maeneo ya kazi yako.
Njia ya uchambuzi ni njia ya kawaida ya kubainisha kazi. Ushikamano, ufupi, uwezo wa kukokotoa thamani ya chaguo la kukokotoa wakati thamani ya kiholela hoja kutoka kwa kikoa cha ufafanuzi, uwezekano wa kutumia vifaa vya uchambuzi wa hisabati kwa kazi fulani ni faida kuu za njia ya uchambuzi ya kubainisha kazi. Hasara ni pamoja na ukosefu wa kuonekana, ambayo hulipwa na uwezo wa kujenga grafu na haja ya kufanya wakati mwingine mahesabu magumu sana.
Mbinu ya maneno. Mbinu hii ndiyo hiyo utegemezi wa kazi iliyoonyeshwa kwa maneno.
Mfano 1: chaguo za kukokotoa E(x) ni sehemu kamili ya x. Kwa ujumla, E(x) = [x] inaashiria nambari kamili kubwa zaidi isiyozidi x. Kwa maneno mengine, ikiwa x = r + q, ambapo r ni nambari kamili (inaweza kuwa mbaya) na q ni ya muda = r. Chaguo za kukokotoa E(x) = [x] ni thabiti kwenye muda = r.
Mfano 2: kazi y = (x) - sehemu nambari. Kwa usahihi zaidi, y =(x) = x - [x], ambapo [x] ni sehemu kamili ya nambari x. Chaguo hili la kukokotoa limefafanuliwa kwa zote x. Ikiwa x - nambari ya kiholela, kisha kuiwasilisha katika fomu x = r + q (r = [x]), ambapo r ni nambari kamili na q iko katika muda.
Tunaona kwamba kuongeza n kwa hoja x hakubadilishi thamani ya chaguo la kukokotoa.
Nambari ndogo isiyo ya sifuri katika n ni , kwa hivyo kipindi ni sin 2x .
Thamani ya hoja ambayo kazi ni sawa na 0 inaitwa sufuri (mzizi) kazi.
Chaguo la kukokotoa linaweza kuwa na sufuri nyingi.
Kwa mfano, kazi y = x (x + 1) (x-3) ina sifuri tatu: x = 0, x = - 1, x =3.
Kijiometria, sufuri ya chaguo za kukokotoa ni kizio cha sehemu ya makutano ya grafu ya chaguo za kukokotoa na mhimili. X .
Mchoro wa 7 unaonyesha grafu ya kazi yenye sufuri: x = a, x = b na x = c.
Ikiwa grafu ya chaguo la kukokotoa inakaribia mstari fulani kwa muda usiojulikana inaposogea mbali na asili, basi mstari huu unaitwa. kutokuwa na dalili.
Kitendaji kinyume
Acha chaguo la kukokotoa y=ƒ(x) itolewe pamoja na kikoa cha ufafanuzi D na seti ya thamani E. Ikiwa kila thamani yєE inalingana na thamani moja xєD, basi chaguo za kukokotoa x=φ(y) hufafanuliwa na a. uwanja wa ufafanuzi E na seti ya maadili D (angalia Mchoro 102).
Kitendakazi kama hiki φ(y) kinaitwa kinyume cha chaguo za kukokotoa ƒ(x) na kimeandikwa ndani fomu ifuatayo: x=j(y)=f -1 (y). Vitendaji y=ƒ(x) na x=φ(y) vinasemekana kuwa kinyume. Ili kupata chaguo za kukokotoa x=φ(y), kinyume na chaguo la kukokotoa y=ƒ (x), inatosha kutatua mlinganyo ƒ(x)=y kwa x (ikiwezekana).
1. Kwa kitendakazi y=2x kitendakazi kinyume ni kitendakazi x=y/2;
2. Kwa kitendakazi y=x2 xє kitendakazi kinyume ni x=√y; kumbuka kuwa kwa kazi y=x 2 iliyofafanuliwa kwenye sehemu [-1; 1], inverse haipo, kwani thamani moja ya y inalingana na maadili mawili ya x (kwa hivyo, ikiwa y = 1/4, basi x1 = 1/2, x2 = -1/2).
Kutoka kwa ufafanuzi wa chaguo za kukokotoa kinyume inafuata kwamba chaguo za kukokotoa y=ƒ(x) ina kinyume ikiwa na iwapo tu chaguo la kukokotoa ƒ(x) litabainisha mawasiliano ya moja kwa moja kati ya seti D na E. Inafuata kwamba yoyote madhubuti kazi ya monotonic ina kinyume chake. Zaidi ya hayo, ikiwa kazi huongezeka (hupungua), basi kazi ya inverse pia huongezeka (hupungua).
Kumbuka kuwa chaguo za kukokotoa y=ƒ(x) na kinyume chake x=φ(y) zinaonyeshwa kwa mkunjo sawa, yaani grafu zao sanjari. Ikiwa tunakubali kwamba, kama kawaida, kigezo huru (yaani hoja) kinaonyeshwa na x, na kigezo tegemezi kwa y, basi kitendakazi kinyume cha chaguo za kukokotoa y=ƒ(x) kitaandikwa katika muundo y=φ( x).
Hii ina maana kwamba nukta M 1 (x o;y o) ya mkunjo y=ƒ(x) inakuwa nukta M 2 (y o;x o) ya mkunjo y=φ(x). Lakini pointi M 1 na M 2 ni za ulinganifu kwa heshima ya mstari wa moja kwa moja y = x (ona Mchoro 103). Kwa hiyo, grafu ni pande zote utendaji kinyume y=ƒ(x) na y=φ(x) zina ulinganifu kwa heshima na sehemu-mbili ya pembe za kwanza na tatu za kuratibu.
Acha kazi у=ƒ(u) ifafanuliwe kwenye seti D, na kazi u= φ(х) kwenye seti D 1, na kwa x D 1 thamani inayolingana u=φ(х) є D. Kisha kwenye seti ya kazi ya D 1 u=ƒ(φ(x)), ambayo inaitwa kazi changamano ya x (au nafasi ya juu ya kazi zilizotolewa, au kazi ya chaguo la kukokotoa).
Tofauti u=φ(x) inaitwa hoja ya kati ya chaguo za kukokotoa changamano.
Kwa mfano, chaguo la kukokotoa y=sin2x ni nafasi ya juu ya vitendakazi viwili y=sinu na u=2x. Kazi changamano inaweza kuwa na hoja kadhaa za kati.
4. Kazi za msingi za msingi na grafu zao.
Kazi zifuatazo zinaitwa kazi kuu za msingi.
1) Kitendaji cha kipeo y=a x,a>0, a ≠ 1. Katika Mtini. Grafu 104 zimeonyeshwa kazi za kielelezo, sambamba sababu mbalimbali digrii.
2) Kitendaji cha nguvu y=x α, αєR. Mifano ya grafu kazi za nguvu, sambamba viashiria mbalimbali digrii zilizotolewa kwenye picha
3) Kitendaji cha logarithmic y=logi a x, a>0,a≠1;Grafu kazi za logarithmic, sambamba na besi mbalimbali, zinaonyeshwa kwenye Mtini. 106.
4) Vitendaji vya trigonometric y=sinx, y=cosx, y=tgx, y=ctgx; Chati kazi za trigonometric kuwa na fomu iliyoonyeshwa kwenye Mtini. 107.
5) Vitendaji kinyume vya trigonometriki y=arcsinx, y=arccosх, y=arctgx, y=arcctgx. Katika Mtini. 108 inaonyesha grafu za utendakazi kinyume cha trigonometriki.
Chaguo za kukokotoa zinazofafanuliwa kwa fomula moja inayoundwa na msingi kazi za msingi na mara kwa mara kwa msaada nambari ya mwisho shughuli za hesabu(kuongeza, kutoa, kuzidisha, kugawanya) na utendakazi wa kuchukua chaguo la kukokotoa kutoka kwa chaguo la kukokotoa huitwa chaguo msingi.
Mifano ya kazi za kimsingi ni kazi
Mifano ya kazi zisizo za msingi ni majukumu
5. Dhana za kikomo cha mlolongo na kazi. Mali ya mipaka.
Kikomo cha utendakazi (kikomo thamani ya chaguo za kukokotoa) katika hatua fulani, inayowekea kikomo kikoa cha ufafanuzi wa chaguo za kukokotoa, ni thamani ambayo thamani ya chaguo za kukokotoa inayozingatiwa huelekea kwani hoja yake inaelekea kwenye jambo fulani.
Katika hisabati kikomo cha mlolongo vipengele vya nafasi ya metric au nafasi ya topolojia ni kipengele cha nafasi sawa ambayo ina mali ya "kuvutia" vipengele. kupewa mlolongo. Kikomo cha mlolongo wa vipengele vya nafasi ya kitolojia ni hatua ambayo kila kitongoji chake kina vipengele vyote vya mlolongo, kuanzia nambari fulani. Katika nafasi ya metri, vitongoji vinafafanuliwa kupitia kazi ya umbali, hivyo dhana ya kikomo imeundwa kwa lugha ya umbali. Kihistoria, ya kwanza ilikuwa dhana ya kikomo mlolongo wa nambari, ambayo hutokea katika uchambuzi wa hisabati, ambapo hutumika kama msingi wa mfumo wa makadirio na hutumiwa sana katika ujenzi wa calculus tofauti na muhimu.
Uteuzi:
(inasoma: kikomo cha mfuatano wa x-nth kama en huelekea kutokuwa na ukomo ni a)
Mali ya mlolongo kuwa na kikomo inaitwa muunganiko: ikiwa mlolongo una kikomo, basi inasemwa hivyo kupewa mlolongo huungana; V vinginevyo(ikiwa mfuatano hauna kikomo) wanasema kuwa mfuatano huo inatofautiana. Katika nafasi ya Hausdorff na, haswa, nafasi ya metri, kila mfuatano wa mfuatano wa muunganisho huungana, na kikomo chake kinalingana na kikomo cha mlolongo wa asili. Kwa maneno mengine, mlolongo wa vipengele vya nafasi ya Hausdorff hauwezi kuwa na mipaka miwili tofauti. Inaweza, hata hivyo, kugeuka kuwa mlolongo hauna kikomo, lakini kuna mlolongo (wa mlolongo uliopewa) ambao una kikomo. Ikiwa kutoka kwa mlolongo wowote wa pointi katika nafasi inayofuata inaweza kutambuliwa, basi tunasema hivyo kupewa nafasi ina sifa ya upatanisho wa mfuatano (au, kwa urahisi, ushikamanifu, ikiwa ushikamanifu unafafanuliwa pekee katika suala la mfuatano).
Dhana ya kikomo cha mlolongo inahusiana moja kwa moja na dhana ya hatua ya kikomo (iliyowekwa): ikiwa seti ina kiwango cha kikomo, basi kuna mlolongo wa vipengele vya seti hii inayobadilika hadi hatua hii.
Ufafanuzi
Acha nafasi ya kitolojia na mfuatano itolewe, basi, ikiwa kuna kipengele kama hicho
ambapo ni seti wazi iliyo na , basi inaitwa kikomo cha mlolongo. Ikiwa nafasi ni kipimo, basi kikomo kinaweza kubainishwa kwa kutumia kipimo: ikiwa kuna kipengele kama hicho
Metric iko wapi, inaitwa kikomo.
· Ikiwa nafasi ina vifaa vya topolojia ya anti-discrete, basi kikomo cha mlolongo wowote kitakuwa kipengele chochote cha nafasi.
6. Kikomo cha chaguo la kukokotoa katika hatua moja. Mipaka ya upande mmoja.
Kazi ya kigezo kimoja. Uamuzi wa kikomo cha chaguo za kukokotoa katika hatua kulingana na Cauchy. Nambari b inayoitwa kikomo cha chaguo la kukokotoa katika = f(x) katika X, kujitahidi A(au kwa uhakika A), ikiwa kwa nambari yoyote chanya kuna vile nambari chanya hiyo kwa wote x ≠ a, vile | x – a | < , выполняется неравенство
| f(x) – a | < .
Uamuzi wa kikomo cha chaguo la kukokotoa katika hatua kulingana na Heine. Nambari b inayoitwa kikomo cha chaguo la kukokotoa katika = f(x) katika X, kujitahidi A(au kwa uhakika A), ikiwa kwa mlolongo wowote ( x n), kuungana na A(kulenga kwa A, kuwa na idadi ya kikomo A), na kwa thamani yoyote n x n ≠ A, kufuatia ( y n= f(x n)) huungana na b.
Ufafanuzi huu unadhani kwamba kazi katika = f(x) imefafanuliwa katika eneo fulani la uhakika A, isipokuwa, labda, hatua yenyewe A.
Ufafanuzi wa Cauchy na Heine wa kikomo cha chaguo za kukokotoa katika hatua ni sawa: ikiwa nambari b hutumika kama kikomo kwa mmoja wao, basi hii pia ni kweli kwa pili.
Kikomo maalum kinaonyeshwa kama ifuatavyo:
Kijiometri, kuwepo kwa kikomo cha chaguo la kukokotoa katika sehemu ya Cauchy inamaanisha kuwa kwa nambari yoyote > 0 tunaweza kuelekeza kuratibu ndege mstatili kama huo wenye msingi 2 > 0, urefu 2 na katikati kwa uhakika ( A; b) kwamba alama zote za grafu ya kazi fulani kwenye muda ( A– ; A+ ), isipokuwa uwezekano wa uhakika M(A; f(A)), lala kwenye mstatili huu
Kikomo cha upande mmoja katika uchambuzi wa hisabati, kikomo cha kazi ya nambari, ikimaanisha "inakaribia" hatua ya kikomo kwa upande mmoja. Mipaka kama hiyo inaitwa ipasavyo kikomo cha mkono wa kushoto(au kikomo kwa kushoto) Na kikomo cha mkono wa kulia (kikomo kwa kulia) Wacha kwa kuweka nambari fulani itolewe utendakazi wa nambari na nambari ndio kikomo cha kikoa cha ufafanuzi. Zipo ufafanuzi mbalimbali kwa mipaka ya upande mmoja wa chaguo la kukokotoa kwenye hatua, lakini zote ni sawa.
Kazi zinaweza kuwekwa na wengi njia tofauti. Hata hivyo, zinazojulikana zaidi ni njia tatu zifuatazo za kubainisha kazi: uchambuzi, tabular na graphical.
Mbinu ya uchanganuzi ya kubainisha chaguo za kukokotoa. Kwa njia ya uchanganuzi ya kubainisha, kazi imedhamiriwa kwa kutumia usemi wa uchanganuzi, yaani, kwa kutumia fomula inayoonyesha ni hatua gani zinapaswa kufanywa kwa thamani ya hoja ili kupata thamani inayolingana ya chaguo la kukokotoa.
Katika aya ya 2 na 3, tayari tumekumbana na vitendaji vilivyofafanuliwa kwa kutumia fomula, i.e. kwa uchanganuzi. Zaidi ya hayo, katika hatua ya 2 kwa kazi uwanja wa ufafanuzi ) ilianzishwa kwa kuzingatia masuala ya kijiometri, na kwa kazi uwanja wa ufafanuzi ulionyeshwa katika hali hiyo. Katika hatua ya 3 ya chaguo la kukokotoa, kikoa cha ufafanuzi pia kilibainishwa na hali. Walakini, mara nyingi sana chaguo la kukokotoa hubainishwa tu kwa kutumia usemi wa uchanganuzi (formula), bila yoyote masharti ya ziada. Katika hali kama hizi, kwa kikoa cha ufafanuzi wa chaguo la kukokotoa tutaelewa jumla ya maadili yote ya hoja ambayo usemi huu unaeleweka na husababisha maadili halisi ya chaguo la kukokotoa.
Mfano 1. Tafuta kikoa cha kitendakazi
Suluhisho. Kazi imeelezwa tu na formula, uwanja wake wa ufafanuzi haujainishwa na hakuna masharti ya ziada. Kwa hivyo, kwa kikoa cha ufafanuzi wa kazi hii lazima tuelewe jumla ya maadili yote ya hoja ambayo usemi una. maadili halisi. Kwa hili lazima iwepo. Kutatua ukosefu huu wa usawa, tunafikia hitimisho kwamba uwanja wa ufafanuzi wa kazi hii ni sehemu [-1.1].
Mfano 2. Pata kikoa cha ufafanuzi wa kazi.
Suluhisho. Kikoa cha ufafanuzi ni wazi kinajumuisha vipindi viwili visivyo na mwisho, kwani usemi hauna maana wakati na hufafanuliwa kwa maadili mengine yote.
Msomaji sasa anaweza kuona kwa urahisi kuwa kwa kazi kikoa cha ufafanuzi kitakuwa mhimili wote wa nambari, na kwa kazi itakuwa muda usio na kipimo.
Ikumbukwe kwamba haiwezekani kutambua kazi na formula ambayo kazi hii imeelezwa. Kwa kutumia formula sawa, unaweza kuweka kazi mbalimbali. Kwa hakika, katika aya ya 2 tulizingatia chaguo za kukokotoa zenye kikoa cha ufafanuzi; katika aya ya 3 grafu iliundwa kwa ajili ya chaguo za kukokotoa zenye kikoa cha ufafanuzi. Na hatimaye, tumeangalia tu kazi iliyofafanuliwa na fomula bila masharti yoyote ya ziada. Kikoa cha chaguo hili la kukokotoa ni mstari mzima wa nambari. Kazi hizi tatu ni tofauti kutoka kwa kila mmoja kwa sababu zina maeneo mbalimbali ufafanuzi. Lakini zimeainishwa kwa kutumia fomula sawa.
Kesi kinyume pia inawezekana, wakati kazi moja katika sehemu tofauti za uwanja wake wa ufafanuzi inatolewa fomula mbalimbali. Kwa mfano, zingatia chaguo la kukokotoa y lililofafanuliwa kwa thamani zote zisizo hasi kwa njia ifuatayo: saa i.e.
Chaguo hili la kukokotoa linafafanuliwa na misemo miwili ya uchanganuzi ambayo hufanya kazi katika sehemu tofauti za kikoa chake cha ufafanuzi. Grafu ya kazi hii imeonyeshwa kwenye Mtini. 18.
Mbinu ya jedwali ya kubainisha chaguo za kukokotoa. Wakati wa kubainisha chaguo la kukokotoa kwenye jedwali, jedwali linaundwa ambamo idadi ya maadili ya hoja na maadili yanayolingana ya utendaji yanaonyeshwa. Jedwali la logarithmic, jedwali la maadili ya kazi za trigonometric na zingine nyingi zinajulikana sana. Mara nyingi inahitajika kutumia majedwali ya maadili ya kazi yaliyopatikana moja kwa moja kutoka kwa uzoefu. Jedwali hapa chini linaonyesha matokeo yaliyopatikana kutokana na uzoefu. upinzani shaba (katika cm - sentimita) kwa joto tofauti t (katika digrii):
Njia ya mchoro ya kubainisha chaguo za kukokotoa. Katika kazi ya picha grafu ya kazi imetolewa, na maadili yake yanayolingana na maadili fulani ya hoja yanapatikana moja kwa moja kutoka kwa grafu hii. Mara nyingi, grafu kama hizo hutolewa kwa kutumia vifaa vya kurekodi.
Moja ya ufafanuzi wa classical Dhana ya "kazi" inachukuliwa kuwa ufafanuzi kulingana na mawasiliano. Hebu tuwasilishe idadi ya ufafanuzi kama huo.
Ufafanuzi 1
Uhusiano ambao kila thamani ya kutofautiana huru inalingana na thamani moja ya kutofautiana tegemezi inaitwa kazi.
Ufafanuzi 2
Acha seti mbili zisizo tupu $X$ na $Y$ zitolewe. Barua $f$ inayolingana na kila $x\in X$ na $y moja na $y\in Y$ Kila Inaitwa kazi($f:X → Y$).
Ufafanuzi 3
Acha $M$ na $N$ ziwe seti mbili za nambari kiholela. Chaguo za kukokotoa $f$ inasemekana kubainishwa kwenye $M$, ikichukua thamani kutoka $N$, ikiwa kila kipengele $x\in X$ kinahusishwa na kipengele kimoja pekee kutoka $N$.
Ufafanuzi ufuatao unatolewa kupitia dhana ukubwa wa kutofautiana. Kiasi cha kutofautiana ni kiasi ambacho ni utafiti huu inachukua maadili tofauti ya nambari.
Ufafanuzi 4
Acha $M$ iwe seti ya maadili ya tofauti $x$. Kisha, ikiwa kila thamani $x\in M$ inalingana na thamani moja maalum ya kigezo kingine $y$ ni chaguo la kukokotoa la thamani $x$ iliyofafanuliwa kwenye seti $M$.
Ufafanuzi wa 5
Acha $X$ na $Y$ ziwe baadhi seti za nambari. Chaguo za kukokotoa ni seti ya $f$ ya jozi za nambari zilizopangwa $(x,\ y)$ kiasi kwamba $x\katika X$, $y\in Y$ na kila $x$ imejumuishwa katika jozi moja na moja tu ya seti hii, na kila $y$ iko katika angalau jozi moja.
Ufafanuzi 6
Seti yoyote $f=\(\left(x,\ y\right)\)$ ya jozi zilizoagizwa $\left(x,\ y\right)$ kiasi kwamba kwa jozi zozote $\left(x",\y" \kulia)\katika f$ na $\left(x"",\ y""\kulia)\katika f$ kutoka hali $y"≠ y""$ inafuata kwamba $x"≠x""$ ni inayoitwa kazi au onyesho.
Ufafanuzi 7
Kazi $f:X → Y$ ni seti ya $f$ iliyoagizwa jozi $\left(x,\ y\right)\katika X\times Y$ hivi kwamba kwa kipengele chochote $x\katika X$ kuna kipengele cha kipekee $y\in Y$ kiasi kwamba $\left(x,\ y\right)\in f$, yaani, kazi ni nakala ya vitu $\left(f,\ X,\Y\right) $.
Katika ufafanuzi huu
$x$ ni kigezo huru.
$y$ ndio kigezo tegemezi.
Wote maadili iwezekanavyo Tofauti $x$ inaitwa kikoa cha chaguo la kukokotoa, na thamani zote zinazowezekana za tofauti $y$ zinaitwa kikoa cha chaguo la kukokotoa.
Mbinu ya uchanganuzi ya kubainisha chaguo za kukokotoa
Kwa njia hii tunahitaji dhana ya usemi wa uchambuzi.
Ufafanuzi 8
Usemi wa uchanganuzi inaitwa bidhaa ya yote iwezekanavyo shughuli za hisabati juu ya nambari na vigezo vyovyote.
Njia ya uchanganuzi ya kubainisha chaguo za kukokotoa ni kubainisha kwa kutumia usemi wa uchanganuzi.
Mfano 1
$y=x^2+7x-3$, $y=\frac(x+5)(x+2)$, $y=cos5x$.
Faida:
- Kwa kutumia fomula tunaweza kubainisha thamani ya chaguo za kukokotoa kwa yoyote thamani fulani kutofautiana $x$;
- Kazi zilizofafanuliwa kwa njia hii zinaweza kusomwa kwa kutumia vifaa vya uchambuzi wa hisabati.
Minus:
- Mwonekano mdogo.
- Wakati mwingine unapaswa kufanya mahesabu magumu sana.
Mbinu ya jedwali ya kubainisha chaguo za kukokotoa
Njia hii ya mgawo inajumuisha kuandika maadili ya kutofautisha tegemezi kwa maadili kadhaa ya tofauti huru. Yote hii imeingizwa kwenye meza.
Mfano 2
Picha 1.
Pamoja: Kwa thamani yoyote ya tofauti ya kujitegemea $x$, ambayo imeingizwa kwenye jedwali, thamani inayolingana ya chaguo $y$ inajulikana mara moja.
Minus:
- Mara nyingi, hapana kazi kamili kazi;
- Mwonekano mdogo.
Kazi ni sheria kulingana na ambayo nambari x kutoka seti iliyotolewa X, nambari moja tu y imepewa, andika , wakati x inaitwa hoja ya chaguo la kukokotoa, y inaitwa thamani ya chaguo la kukokotoa.
Zipo njia tofauti kazi za kazi.
1. Njia ya uchambuzi.
Mbinu ya uchambuzi
- Hii ndiyo njia ya kawaida ya kutaja chaguo la kukokotoa.
Inajumuisha ukweli kwamba chaguo la kukokotoa limetolewa na fomula inayobainisha ni shughuli gani zinahitajika kufanywa kwenye x ili kupata y. Kwa mfano .
Hebu tuangalie mfano wa kwanza -. Hapa thamani x = 1 inalingana na , thamani x = 3 inafanana, nk.
Kitendaji kinaweza kuwekwa sehemu mbalimbali huweka X kwa vitendaji tofauti.
Kwa mfano: 
Katika mifano yote iliyotolewa hapo awali ya njia ya uchambuzi wa kuweka, kazi ilielezwa kwa uwazi. Hiyo ni, upande wa kulia kulikuwa na mabadiliko y, na kulia kulikuwa na fomula ya mabadiliko x. Walakini, kwa njia ya uchanganuzi ya kuweka, kazi inaweza pia kubainishwa kwa uwazi.
Kwa mfano . Hapa, ikiwa tunatoa thamani ya x, kisha kupata thamani ya kutofautiana y (thamani ya kazi), tunapaswa kutatua equation. Kwa mfano, kwa kwanza kazi iliyopewa kwa x = 3, tutasuluhisha equation:
. Hiyo ni, thamani ya kazi katika x = 3 ni -4/3.
Kwa njia ya uchambuzi wa kuweka, kazi inaweza kutajwa parametrically - hii ni wakati x na y huonyeshwa kupitia baadhi ya parameter t. Kwa mfano,
Hapa kwa t = 2, x = 2, y = 4. Hiyo ni, thamani ya chaguo la kukokotoa katika x = 2 ni 4.
2. Mbinu ya picha.
Katika kwa picha kuanzishwa mfumo wa mstatili kuratibu na katika mfumo huu wa kuratibu seti ya pointi zilizo na kuratibu (x, y) zimeonyeshwa. Ambapo. Mfano: 
3. Mbinu ya maneno.
Chaguo za kukokotoa hubainishwa kwa kutumia uundaji wa maneno. Mfano wa classic- Kazi ya Dirichlet.
"Kitendaji ni sawa na 1 ikiwa x ni nambari ya busara; kazi ni sawa na 0 ikiwa x ni nambari isiyo na mantiki."
4. Mbinu ya tabular.
Njia ya jedwali ni rahisi zaidi wakati seti ya X ina mwisho. Kwa njia hii, jedwali linaundwa ambalo kila kipengele kutoka kwa seti ya X hupewa nambari Y.
Mfano.