Acha ndege `alpha` iwe sambamba na ndege `beta`, mstari `b` ulale kwenye ndege `beta`, nukta `B` iwe kwenye mstari `b`. Ni wazi, umbali kutoka kwa uhakika `B` hadi ndege ya `alpha` ni sawa na umbali kutoka kwa mstari `b` hadi ndege ya `alpha` na ni sawa na umbali kati ya ndege `alpha` na `beta`.
Fikiria mistari miwili inayovuka `a` na `b` . Hebu tuchore ndege kupitia mstari `a` sambamba na mstari `b`. Wacha tuchore ndege kupitia mstari ulionyooka `b`, perpendicular kwa ndege`alpha`, acha mstari wa makutano wa ndege hizi uwe `b_1` (laini hii ni makadirio ya mstari `b` kwenye ndege `alpha`). Hebu tuonyeshe sehemu ya makutano ya mistari `a` na `b_1` kama `A`. Point `A` ni makadirio ya nukta fulani `B` moja kwa moja `b`. Kutokana na ukweli kwamba `AB_|_alpha` inafuata kwamba `AB_|_a` na `AB_|_b_1`; kwa kuongeza `b``||``b_1`, maana yake `AB_|_b` - . Mstari `AB` hukatiza mistari ya skew `a` na `b` na ni sawa kwa zote mbili. Sehemu `AB` inaitwa kawaida perpendicular mistari miwili inayokatiza.
Urefu wa perpendicular ya kawaida ya mistari ya kuingiliana ni sawa na umbali kutoka kwa hatua yoyote kwenye mstari`b` kwa ndege`alpha`.
* Umbali kati ya mistari ya kuvuka sawa na urefu wa perpendicular yao ya kawaida. Acha mstari ulionyooka `l_1` utolewe katika nafasi yenye vekta ya mwelekeo inayojulikana `veca_1` ( mwongozo wa vector mstari ulionyooka ni vekta isiyo na sufuri sambamba na mstari huu mnyoofu), mstari ulionyooka `l_2` wenye vekta ya mwelekeo inayojulikana `veca_2`, pointi `A_1` na `A_2` zikiwa kwenye `l_1` na `l_2` mtawalia, kwa kuongeza, vekta `vec( A_1A_2)=vecr`. Acha sehemu ya `P_1P_2` iwe ya kawaida kwa `l_1` na `l_2` (ona Mchoro 9). Kazi ni kupata urefu wa sehemu hii. Hebu tuwakilishe vekta `vec(P_1P_2)` kama jumla `vec(P_1A_1)+vec(A_1A_2)+vec(A_2P_2)`. Kisha, kwa kutumia collinearity ya vekta `vec(P_1A_1)` na `veca_1`, `vec(A_2P_2)` na `veca_2`, tunapata kwa vekta `vec(P_1P_2)` kiwakilishi `vec(P_1P_2)=xveca_1 +yveca_2+vecr`, ambapo `x` na `y` ni nambari zisizojulikana kwa sasa. Nambari hizi zinaweza kupatikana kutokana na hali ya kuwa vekta `vec(P_1P_2)` ni ya mkato kwa vekta `veca_1` na `veca_2`, yaani kutoka kwa mfumo ufuatao wa milinganyo ya mstari:
x a → 1 + y a → 2 + r → · a → 1 = 0, x a → 1 + y a → 2 + r → · a → 2 = 0. \kushoto\(\anza(safu)(l)\left(x(\overrightarrow a)_1+y(\overrightarrow a)_2+\overrightarrow r\right)\cdot(\overrightarrow a)_1=0,\\\ left(x(\overrightarrow a)_1+y(\overrightarrow a)_2+\overrightarrow r\right)\cdot(\overrightarrow a)_2=0.\end(array)\right.
Baada ya hayo, tunapata urefu wa vekta `vec(P_1P_2):`
`P_1P_2=sqrt((xveca_1+yveca_2+vecr)^2)`.
Kokotoa umbali kati ya vilaza vya kuvuka vya nyuso mbili zinazokaribiana za mchemraba zenye ukingo `a`.
Acha mchemraba `A...D_1` wenye makali `a` itolewe. Hebu tutafute umbali kati ya mistari `AD_1` na `DC_1` (Mchoro 10). Hebu tutambulishe msingi `veca=vec(DA)`, `vecb=vec(DC)`, `vecc=vec(DD_1)`. Kwa mwelekeo wa vekta za mistari `AD_1` na `DC_1` tunaweza kuchukua `vec(AD_1)=vecc-veca` na `vec(DC_1)=vecb+vecc`. Ikiwa `P_1P_2` ni kipenyo cha kawaida kwa mistari inayozingatiwa, basi `vec(P_1P_2)=x(vecc-veca)+y(vecb+vecc)+veca`.
Wacha tuunde mfumo wa milinganyo ili kupata nambari zisizojulikana `x` na `y`:
x c → - a → + y b → + c → + a → · c → - a → = 0, x c → - a → + y b → + c → + a → · b → + c → = 0. \left\(\anza(safu)(l)\left(x\left(\overrightarrow c-\overrightarrow a\right)+y\left(\overrightarrow b+\overrightarrow c\right)+\overrightarrow a\right) \cdot\left(\overrightarrow c-\overrightarrow a\right)=0,\\\left(x\left(\overrightarrow c-\overrightarrow a\right)+y\left(\overrightarrow b+\overrightarrow c\right )+\overrightarrow a\right)\cdot\left(\overrightarrow b+\overrightarrow c\right)=0.\end(array)\right.
Wacha tupunguze mfumo huu kuwa sawa:
2 x + y - 1 = 0, x + 2 y = 0. \kushoto\(\anza(safu)(l)2x+y-1=0,\\x+2y=0.\mwisho(safu)\kulia.
Kutoka hapa tunapata `x=2/3`, `y=-1/3`. Kisha
`vec(P_1P_2)=2/3(vecc-veca)-1/3(vecb+vecc)+veca=1/3veca-1/3vecb+1/3vecc`,
Haikupita hata dakika moja kabla ya kuunda faili mpya ya Verdov na kuendelea kama hii mada ya kuvutia. Unahitaji kunasa wakati wa hali ya kufanya kazi, kwa hivyo hakutakuwa na utangulizi wa sauti. Kutakuwa na kupigwa kwa prosaic =)
Nafasi mbili za moja kwa moja zinaweza:
1) kuzaliana;
2) kuingilia kati kwa uhakika;
3) kuwa sambamba;
4) mechi.
Kesi nambari 1 kimsingi ni tofauti na kesi zingine. Mistari miwili iliyonyooka hukatiza ikiwa haijalala kwenye ndege moja. Inua mkono mmoja juu na upanue mkono mwingine mbele - hapa kuna mfano wa kuvuka mistari. Katika pointi No 2-4 mistari ya moja kwa moja lazima uongo katika ndege moja.
Jinsi ya kujua nafasi za jamaa za mistari kwenye nafasi?
Fikiria nafasi mbili za moja kwa moja:
- mstari wa moja kwa moja unaoelezwa na uhakika na vector ya mwelekeo;
- mstari wa moja kwa moja unaoelezwa na uhakika na vector ya mwelekeo.
Kwa ufahamu bora, wacha tufanye mchoro wa kimkakati: 
Mchoro unaonyesha mistari iliyonyooka inayokatiza kama mfano.
Jinsi ya kukabiliana na mistari hii moja kwa moja?
Kwa kuwa pointi zinajulikana, ni rahisi kupata vector.
Ikiwa moja kwa moja kuchana, kisha vekta sio coplanar(tazama somo Utegemezi wa mstari (usio) wa vekta. Msingi wa vectors), na, kwa hiyo, kibainishi kinachoundwa na kuratibu zao sio sifuri. Au, ambayo kwa kweli ni kitu kimoja, itakuwa sio sifuri: 
.
Katika kesi No 2-4, muundo wetu "huanguka" kwenye ndege moja, wakati vectors coplanar, na bidhaa iliyochanganywa ni ya mstari vekta tegemezi sawa na sifuri: 
.
Hebu kupanua algorithm zaidi. Hebu kujifanya hivyo 
Kwa hiyo, mistari ama inaingiliana, ni sambamba, au sanjari.
Ikiwa veta za mwelekeo colinear, basi mistari ni ama sambamba au sanjari. Kwa msumari wa mwisho, napendekeza mbinu ifuatayo: kuchukua hatua yoyote kwenye mstari mmoja na ubadilishe kuratibu zake katika equation ya mstari wa pili; ikiwa kuratibu "zinafaa," basi mistari inalingana; ikiwa "haifai," basi mistari ni sambamba.
Algorithm ni rahisi, lakini mifano ya vitendo bado haitaumiza:
Mfano 11
Jua msimamo wa jamaa wa mistari miwili
Suluhisho: kama ilivyo katika shida nyingi za jiometri, ni rahisi kuunda suluhisho kwa nukta:
1) Tunachukua vidokezo na viboreshaji vya mwelekeo kutoka kwa hesabu:
2) Tafuta vekta:
Kwa hivyo, vekta ni coplanar, ambayo ina maana kwamba mistari iko kwenye ndege moja na inaweza kuingiliana, kuwa sambamba, au sanjari.
4) Wacha tuangalie vekta za mwelekeo kwa collinearity.
Wacha tuunde mfumo kutoka kwa kuratibu zinazolingana za veta hizi:
Kutoka kila mtu equations ifuatavyo kwamba, kwa hiyo, mfumo ni thabiti, kuratibu sambamba za vectors ni sawia, na vectors ni collinear.
Hitimisho: mistari ni sambamba au sanjari.
5) Wacha tujue ikiwa mistari iliyonyooka inayo pointi za kawaida. Wacha tuchukue hatua ya mstari wa kwanza na tubadilishe kuratibu zake katika hesabu za mstari: 
Kwa hivyo, mistari haina pointi za kawaida, na hawana chaguo ila kuwa sambamba.
Jibu:
Mfano wa kuvutia Kwa uamuzi wa kujitegemea:
Mfano 12
Jua nafasi za jamaa za mistari
Huu ni mfano kwako kutatua peke yako. Tafadhali kumbuka kuwa mstari wa pili una herufi kama kigezo. Mantiki. KATIKA kesi ya jumla- hizi ni mistari miwili tofauti, hivyo kila mstari una parameter yake.
Na tena nakuomba usiruke mifano, kazi ninazopendekeza ni mbali na nasibu ;-)
Matatizo na mstari katika nafasi
Katika sehemu ya mwisho ya somo nitajaribu kuzingatia kiasi cha juu kazi mbalimbali na mistari ya anga. Katika kesi hii, utaratibu wa asili wa hadithi utazingatiwa: kwanza tutazingatia matatizo na mistari ya kuvuka, kisha kwa mistari ya kuingiliana, na mwisho tutazungumzia juu ya mistari inayofanana katika nafasi. Walakini, lazima niseme kwamba kazi zingine za somo hili zinaweza kutengenezwa kwa visa kadhaa vya eneo la mistari mara moja, na katika suala hili, mgawanyiko wa sehemu hiyo katika aya ni ya kiholela. Kuna zaidi mifano rahisi, kuna zaidi mifano tata, na natumai kila mtu atapata anachohitaji.
Kuvuka mistari
Acha nikukumbushe kwamba mistari iliyonyooka hukatiza ikiwa hakuna ndege ambayo wote wawili wamelala. Nilipokuwa nikifikiria mazoezi hayo, tatizo la mnyama mkubwa lilikuja akilini mwangu, na sasa ninafurahi kuwasilisha kwako joka lenye vichwa vinne:
Mfano 13
Imepewa mistari iliyonyooka. Inahitajika:
a) thibitisha kuwa mistari inakatiza;
b) kupata equations ya mstari kupita kwa uhakika perpendicular kwa mistari iliyotolewa;
c) kutunga milinganyo ya mstari ulionyooka ambao una kawaida perpendicular kuvuka mistari;
d) pata umbali kati ya mistari.
Suluhisho: Anayetembea atamiliki barabara:
a) Hebu tuthibitishe kwamba mistari inapishana. Wacha tupate vidokezo na viboreshaji vya mwelekeo wa mistari hii: 
Wacha tupate vekta:
Hebu tuhesabu bidhaa mchanganyiko wa vekta:
Hivyo, vectors sio coplanar, ambayo ina maana kwamba mistari huingiliana, ambayo ndiyo iliyohitajika kuthibitishwa.
Labda kila mtu amegundua kwa muda mrefu kuwa kwa kuvuka mistari algorithm ya uthibitishaji ndio fupi zaidi.
b) Tafuta milinganyo ya mstari unaopita kwenye nukta na ni sawa na mistari. Wacha tufanye mchoro wa kimkakati: 
Kwa mabadiliko nilituma moja kwa moja NYUMA moja kwa moja, angalia jinsi inavyofutwa kidogo kwenye sehemu za kuvuka. Ufugaji mseto? Ndiyo, kwa ujumla, mstari wa moja kwa moja "de" utavuka na mistari ya awali ya moja kwa moja. Ingawa wakati huu hatuna nia nayo bado, tunahitaji tu kujenga mstari wa perpendicular na ndivyo hivyo.
Ni nini kinachojulikana kuhusu "de" ya moja kwa moja? Hatua ya mali yake inajulikana. Hakuna vekta ya mwongozo ya kutosha.
Kwa mujibu wa hali hiyo, mstari wa moja kwa moja lazima uwe perpendicular kwa mistari ya moja kwa moja, ambayo ina maana kwamba mwelekeo wake vector itakuwa orthogonal kwa vectors mwelekeo. Tayari unajulikana kutoka kwa Mfano wa 9, hebu tupate bidhaa ya vector:
Wacha tutunge hesabu za mstari wa moja kwa moja "de" kwa kutumia nukta na vekta ya mwelekeo:
Tayari. Kimsingi, unaweza kubadilisha ishara katika denominators na kuandika jibu katika fomu 
, lakini hakuna haja ya hii.
Ili kuangalia, unahitaji kubadilisha viwianishi vya uhakika katika milinganyo ya mstari wa moja kwa moja inayosababisha, kisha utumie bidhaa ya scalar ya vekta hakikisha kwamba vekta ni ya orthogonal kwa vekta za mwelekeo "pe moja" na "pe mbili".
Jinsi ya kupata hesabu za mstari ulio na perpendicular ya kawaida?
c) Tatizo hili litakuwa gumu zaidi. Ninapendekeza kwamba wapumbavu waruke hatua hii, sitaki kupunguza huruma yako ya dhati kwa jiometri ya uchambuzi=) Kwa njia, inaweza kuwa bora kwa wasomaji walioandaliwa zaidi kusita pia; ukweli ni kwamba, kwa sababu ya ugumu wake, mfano unapaswa kuwekwa mwisho katika kifungu, lakini kulingana na mantiki ya uwasilishaji, inapaswa kuwa. iko hapa.
Kwa hivyo, unahitaji kupata equations ya mstari ambayo ina perpendicular ya kawaida ya mistari ya skew.
- hii ni sehemu inayounganisha mistari hii na perpendicular kwa mistari hii: 
Hapa kuna mtu wetu mzuri: - perpendicular ya kawaida ya mistari inayoingiliana. Yeye ndiye pekee. Hakuna mwingine kama hayo. Tunahitaji kuunda milinganyo ya mstari ulio na sehemu hii.
Ni nini kinachojulikana kuhusu "um" moja kwa moja? Vekta ya mwelekeo wake inajulikana, inayopatikana ndani aya iliyotangulia. Lakini, kwa bahati mbaya, hatujui hatua moja ya mstari wa moja kwa moja "em", wala hatujui mwisho wa perpendicular - pointi . Je, mstari huu wa pembeni unaingiliana wapi na mistari miwili ya asili? Katika Afrika, katika Antaktika? Kutoka kwa mapitio ya awali na uchambuzi wa hali hiyo, haijulikani kabisa jinsi ya kutatua tatizo ... Lakini kuna hoja gumu, inayohusishwa na matumizi ya usawa wa mstari wa moja kwa moja wa parametric.
Tutaunda hatua kwa hatua:
1) Wacha tuandike tena hesabu za mstari wa kwanza katika fomu ya parametric: 
Hebu tufikirie jambo hilo. Hatujui kuratibu. LAKINI. Ikiwa nukta ni ya mstari uliopeanwa, basi viwianishi vyake vinalingana na , wacha tuiashiria kwa . Kisha kuratibu za uhakika zitaandikwa kwa fomu:
Maisha yanazidi kuwa bora, mtu asiyejulikana bado sio watatu wasiojulikana.
2) Hasira sawa lazima ifanyike kwenye hatua ya pili. Wacha tuandike tena hesabu za mstari wa pili katika fomu ya parametric: 
Ikiwa hatua ni ya mstari fulani, basi yenye maana maalum sana viwianishi vyake lazima vikidhi milinganyo ya parametric:
Au: 
3) Vekta, kama vekta iliyopatikana hapo awali, itakuwa vekta inayoelekeza ya mstari wa moja kwa moja. Jinsi ya kuunda vekta kutoka kwa vidokezo viwili ilijadiliwa ndani zamani za kale kwenye somo Vectors kwa dummies. Sasa tofauti ni kwamba kuratibu za veta zimeandikwa na maadili yasiyojulikana vigezo. Kwa hiyo? Hakuna mtu anayekataza kutoa kuratibu zinazolingana za mwanzo wa vekta kutoka kwa kuratibu za mwisho wa vekta.
Kuna pointi mbili: 
.
Kupata vector:
4) Kwa kuwa vekta za mwelekeo ni collinear, vekta moja inaonyeshwa kwa mstari kupitia nyingine kwa mgawo fulani wa uwiano "lambda":
Au ratibu-kwa-kuratibu: 
Iligeuka kuwa ya kawaida zaidi mfumo wa milinganyo ya mstari na tatu zisizojulikana, ambazo zinaweza kutatuliwa kwa kawaida, kwa mfano, Njia ya Cramer. Lakini hapa inawezekana kuondoka kwa hasara kidogo; kutoka kwa equation ya tatu tutaelezea "lambda" na kuibadilisha katika hesabu za kwanza na za pili:
Hivyo: 
, na hatuhitaji "lambda". Ukweli kwamba maadili ya parameta yaligeuka kuwa sawa ni ajali tu.
5) Anga inasafisha kabisa, wacha tubadilishe maadili yaliyopatikana 
kwa pointi zetu:
Vector ya mwelekeo haihitajiki hasa, kwani mwenzake tayari amepatikana.
Daima inavutia kuangalia baada ya safari ndefu.
:
Usawa sahihi hupatikana.
Wacha tubadilishe viwianishi vya nukta kwenye milinganyo 
:
Usawa sahihi hupatikana.
6) Chord ya mwisho: wacha tuunda hesabu za mstari wa moja kwa moja kwa kutumia nukta (unaweza kuichukua) na vekta ya mwelekeo:
Kimsingi, unaweza kuchagua hatua "nzuri" na kuratibu kamili, lakini hii ni mapambo.
Jinsi ya kupata umbali kati ya mistari inayoingiliana?
d) Tunakata kichwa cha nne cha joka.
Mbinu ya kwanza. Sio hata njia, lakini ndogo kesi maalum. Umbali kati ya mistari ya kuvuka ni sawa na urefu wa perpendicular yao ya kawaida: 
.
Pointi zilizokithiri kawaida perpendicular 
kupatikana katika aya iliyotangulia, na kazi ni ya msingi:
Mbinu ya pili. Katika mazoezi, mara nyingi mwisho wa perpendicular ya kawaida haijulikani, hivyo mbinu tofauti hutumiwa. Ndege sambamba zinaweza kuchorwa kupitia mistari miwili ya moja kwa moja inayokatiza, na umbali kati ya ndege hizi ni sawa na umbali kati ya mistari hii iliyonyooka. Hasa, perpendicular ya kawaida hujitokeza kati ya ndege hizi.
Wakati wa jiometri ya uchanganuzi, kutoka kwa mazingatio hapo juu, fomula hutolewa kwa kupata umbali kati ya mistari iliyonyooka inayokatiza: 
(badala ya vidokezo vyetu "um moja, mbili" unaweza kuchukua pointi holela mistari iliyonyooka).
Mchanganyiko wa bidhaa za vekta tayari imepatikana katika nukta "a": 
.
Bidhaa ya Vector ya vekta kupatikana katika aya "kuwa": 
, wacha tuhesabu urefu wake:
Hivyo:
Wacha tuonyeshe nyara kwa kiburi katika safu moja:
Jibu:
A) 
, ambayo ina maana kwamba mistari iliyonyooka inaingiliana, ambayo ndiyo ilitakiwa kuthibitishwa;
b) 
;
V) 
;
G) 
Nini kingine unaweza kusema kuhusu kuvuka mistari? Kuna pembe iliyofafanuliwa kati yao. Lakini fomula zima Tutazingatia pembe katika aya inayofuata:
Nafasi za kukatiza zilizonyooka lazima ziko kwenye ndege moja: 
Wazo la kwanza ni kuegemea sehemu ya makutano kwa nguvu zako zote. Na mara moja nilifikiri, kwa nini kujikana mwenyewe matamanio sahihi?! Hebu kupata juu yake sasa hivi!
Jinsi ya kupata hatua ya makutano ya mistari ya anga?
Mfano 14
Tafuta mahali pa makutano ya mistari
Suluhisho: Wacha tuandike tena hesabu za mistari katika fomu ya parametric: 
Jukumu hili ilijadiliwa kwa kina katika Mfano Na. 7 wa somo hili (ona. Milinganyo ya mstari katika nafasi) Na kwa njia, nilichukua mistari ya moja kwa moja wenyewe kutoka kwa Mfano Nambari 12. Sitasema uongo, mimi ni wavivu sana kuja na mpya.
Suluhisho ni la kawaida na tayari limepatikana wakati tulipokuwa tukijaribu kubaini hesabu za kipenyo cha kawaida cha mistari inayoingiliana.
Sehemu ya makutano ya mistari ni ya mstari, kwa hivyo kuratibu zake zinakidhi hesabu za parametric za mstari huu, na inalingana nao. kabisa maana maalum kigezo:
Lakini hatua hii pia ni ya mstari wa pili, kwa hivyo: 
Tunalinganisha hesabu zinazolingana na kufanya kurahisisha: 
Imepokelewa mfumo wa tatu milinganyo ya mstari na mbili zisizojulikana. Ikiwa mistari inaingiliana (ambayo imethibitishwa katika Mfano Na. 12), basi mfumo lazima ufanane na una suluhisho la pekee. Inaweza kutatuliwa Njia ya Gaussian, lakini hatutafanya dhambi na uchawi kama huo wa shule ya chekechea, tutafanya rahisi zaidi: kutoka kwa mlinganyo wa kwanza tunaelezea "te sifuri" na kuibadilisha katika milinganyo ya pili na ya tatu: 
Milinganyo miwili ya mwisho iligeuka kuwa sawa, na inafuata kutoka kwao kwamba . Kisha:
Wacha tubadilishe dhamana iliyopatikana ya parameta kwenye hesabu: 
Jibu:
Ili kuangalia, tunabadilisha thamani iliyopatikana ya parameta kwenye milinganyo: 
Kuratibu sawa zilipatikana kama inahitajika kuangaliwa. Wasomaji makini wanaweza kubadilisha viwianishi vya nukta katika milinganyo asilia ya kanuni za mistari.
Kwa njia, iliwezekana kufanya kinyume chake: pata uhakika kupitia "es zero", na uangalie kupitia "te zero".
Ushirikina unaojulikana wa hisabati unasema: ambapo makutano ya mistari yanajadiliwa, daima kuna harufu ya perpendiculars.
Jinsi ya kujenga mstari wa nafasi perpendicular kwa fulani?
(mistari inakatiza)
Mfano 15
a) Andika milinganyo ya mstari unaopita kwenye ncha moja kwa moja hadi kwenye mstari 
(mistari inakatiza).
b) Tafuta umbali kutoka kwa uhakika hadi mstari.
Kumbuka
: kifungu "mistari inakatiza" - muhimu. Kupitia hatua
unaweza kuteka idadi isiyo na kipimo ya mistari ya perpendicular ambayo itaingiliana na mstari wa moja kwa moja "el". Uamuzi pekee hutokea katika kesi wakati, kupitia hatua hii mstari wa moja kwa moja hutolewa perpendicular mbili iliyotolewa na mstari ulionyooka (ona Mfano Na. 13, nukta “b”).
A) Suluhisho: Tunaashiria mstari usiojulikana kwa . Wacha tufanye mchoro wa kimkakati:
Ni nini kinachojulikana kuhusu mstari wa moja kwa moja? Kulingana na hali, hatua inatolewa. Ili kutunga equations ya mstari wa moja kwa moja, ni muhimu kupata vector ya mwelekeo. Vekta inafaa kabisa kama vekta kama hiyo, kwa hivyo tutashughulika nayo. Kwa usahihi zaidi, hebu tuchukue mwisho usiojulikana wa vector kwa scruff ya shingo.
1) Wacha tuchukue vekta ya mwelekeo wake kutoka kwa hesabu za mstari wa moja kwa moja "el", na tuandike tena hesabu zenyewe kwa fomu ya parametric: 
Wengi walidhani kwamba sasa kwa mara ya tatu wakati wa somo mchawi atapata swan mweupe kutoka kwa kofia. Fikiria hoja na viwianishi visivyojulikana. Kwa kuwa uhakika ni , viwianishi vyake vinakidhi hesabu za parametric za mstari wa moja kwa moja "el" na zinalingana na thamani maalum ya parameta:
Au kwa mstari mmoja:
2) Kwa mujibu wa hali hiyo, mistari lazima iwe perpendicular, kwa hiyo, vectors yao ya mwelekeo ni orthogonal. Na ikiwa veta ni za orthogonal, basi zao bidhaa ya scalar sawa na sifuri: 
Nini kimetokea? Rahisi zaidi mlinganyo wa mstari na mtu asiyejulikana: 
3) Thamani ya parameta inajulikana, hebu tupate uhakika:
Na vector ya mwelekeo:
.
4) Tutatunga equations ya mstari wa moja kwa moja kwa kutumia uhakika na vector ya mwelekeo 
:
Madhehebu ya sehemu hiyo yaligeuka kuwa ya sehemu, na hii ndio kesi wakati inafaa kuondoa sehemu. Nitazizidisha kwa -2: 
Jibu: 
Kumbuka
: mwisho mkali zaidi wa suluhisho hurasimishwa kama ifuatavyo: wacha tutunge milinganyo ya mstari ulionyooka kwa kutumia nukta na vekta ya mwelekeo. 
. Hakika, ikiwa vector ni vector inayoongoza ya mstari wa moja kwa moja, basi collinear vector , kwa kawaida, pia itakuwa vector inayoongoza ya mstari huu wa moja kwa moja.
Uthibitishaji una hatua mbili:
1) angalia vectors ya mwelekeo wa mistari kwa orthogonality;
2) tunabadilisha kuratibu za nukta katika hesabu za kila mstari, zinapaswa "kutoshea" huko na huko.
Kulikuwa na mazungumzo mengi kuhusu vitendo vya kawaida, kwa hivyo niliangalia rasimu.
Kwa njia, nilisahau hatua nyingine - jenga hatua ya "zyu". hatua ya ulinganifu"en" ni sawa "el". Hata hivyo, kuna "analog ya gorofa" nzuri, ambayo inaweza kupatikana katika makala Matatizo rahisi zaidi na mstari wa moja kwa moja kwenye ndege. Hapa tofauti pekee itakuwa katika uratibu wa ziada wa "Z".
Jinsi ya kupata umbali kutoka kwa uhakika hadi mstari kwenye nafasi?
b) Suluhisho: Hebu tutafute umbali kutoka kwa uhakika hadi mstari.
Mbinu ya kwanza. Umbali huu sawa kabisa na urefu wa perpendicular:. Suluhisho ni dhahiri: ikiwa pointi zinajulikana 
, Hiyo:
Mbinu ya pili. KATIKA matatizo ya vitendo msingi wa perpendicular mara nyingi ni siri iliyofungwa, kwa hiyo ni busara zaidi kutumia formula iliyopangwa tayari.
Umbali kutoka kwa uhakika hadi mstari unaonyeshwa na formula: 
, iko wapi vekta inayoelekeza ya mstari wa moja kwa moja "el", na - bure hatua inayomilikiwa na mstari fulani.
1) Kutoka kwa milinganyo ya mstari 
tunachukua vekta ya mwelekeo na sehemu inayopatikana zaidi.
2) Hoja inajulikana kutoka kwa hali, noa vekta:
3) Hebu tupate bidhaa ya vector na kuhesabu urefu wake: 
4) Kuhesabu urefu wa vekta ya mwongozo:
5) Kwa hivyo, umbali kutoka kwa uhakika hadi mstari:
Jiometri. Daraja la 11
Mada ya somo: Umbali kati ya mistari ya kuvuka
Ter-Ovanesyan G.L., mwalimu kitengo cha juu zaidi, mshindi wa Tuzo ya Soros Foundation
Moscow
Hebu fikiria tatizo la kupata umbali kati ya mistari ya kuvuka. Umbali kati ya mistari ya kuvuka ni urefu wa perpendicular ya kawaida kwa mistari hii.
Wacha tupewe mchemraba ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, makali ambayo ni sawa na kitengo AB = 1. Unahitaji kupata umbali kati ya mistari iliyonyooka AB na DC 1: ρ(AB;DC 1) - ?
Mistari hii miwili iko katika ndege zinazofanana: AB iko kwenye ndege AA 1 B 1 B, DC 1 iko kwenye ndege D 1 DC 1 C. Hebu kwanza tupate perpendicular kwa ndege hizi mbili. Kuna perpendiculars nyingi kama hizo kwenye takwimu. Hii ni sehemu ya BC, B 1 C 1, A 1 D 1 na AD. Kati ya hizi, ni mantiki kuchagua sehemu ambayo sio tu kwa ndege hizi, na kwa hiyo perpendicular kwa mistari yetu ya moja kwa moja AB na DC 1, lakini pia hupitia mistari hii ya moja kwa moja. Sehemu kama hiyo ni AD. Wakati huo huo ni perpendicular kwa mstari wa moja kwa moja AB, kwa sababu ni perpendicular kwa ndege AA 1 B 1 B na kwa mstari wa moja kwa moja DC 1, kwa sababu ni perpendicular kwa ndege D 1 DC 1 C. Hii ina maana kwamba AD ni ya kawaida. pembeni mwa mistari iliyonyooka ya AB na DC 1. Umbali kati ya mistari hii ya moja kwa moja ni urefu wa perpendicular hii, yaani, urefu wa sehemu ya AD. Lakini AD ni makali ya mchemraba. Kwa hivyo umbali ni 1:
ρ(AB;DC 1)=AD=1
Wacha tuchunguze shida nyingine, ngumu zaidi, juu ya kupata umbali kati ya mistari inayoingiliana.
Hebu tena tupewe mchemraba ambao makali yake ni sawa na moja. Unahitaji kupata umbali kati ya diagonals ya nyuso kinyume. Hiyo ni, kwa kupewa mchemraba ABCDA 1 B 1 C 1 D 1. Ukingo AB=1. Unahitaji kupata umbali kati ya mistari iliyonyooka BA 1 na DC 1: ρ(A 1 B; DC 1) - ?
Mistari hii miwili inaingiliana, ambayo inamaanisha umbali ni urefu wa perpendicular ya kawaida. Badala ya kuchora perpendicular ya jumla, unaweza kuunda kwa njia ifuatayo: huu ni urefu wa perpendicular kati ya ndege sambamba, ambayo mistari hii iko. Mstari wa moja kwa moja BA 1 iko katika ndege АВВ 1 А 1, na mstari wa moja kwa moja DC 1 iko kwenye ndege D 1 DCC 1. Zinafanana, ambayo inamaanisha umbali kati yao ni umbali kati ya mistari hii iliyonyooka. Na umbali kati ya nyuso za mchemraba ni urefu wa makali. Kwa mfano, urefu wa ubavu BC. Kwa sababu BC ni sawa kwa ndege АВВ 1 А 1 na ndege DСС 1 D 1. Hii inamaanisha kuwa umbali kati ya mistari iliyonyooka iliyotolewa katika hali ni sawa na umbali kati ya ndege sambamba na ni sawa na 1:
ρ(A 1 B;DC 1)=BC=1
Hebu tuchunguze tatizo lingine kuhusu kutafuta umbali kati ya mistari ya kuvuka.
Tupewe iliyo sahihi prism ya pembe tatu, ambayo kingo zote zinajulikana. Unahitaji kupata umbali kati ya kingo za besi za juu na za chini. Hiyo ni, tunapewa prism ABCA 1 B 1 C 1. Aidha, AB=3=AA1. Unahitaji kupata umbali kati ya mistari iliyonyooka BC na A 1 C 1: ρ(BC;A 1 C 1) - ?
Kwa kuwa mistari hii inaingiliana, umbali kati yao ni urefu wa perpendicular ya kawaida, au urefu wa perpendicular kwa ndege zinazofanana ambazo zinalala. Wacha tupate ndege hizi zinazofanana.
Jua moja kwa moja liko ndani Ndege ya ABC, na mstari ulionyooka A 1 C 1 upo kwenye ndege A 1 B 1 C 1. Ndege hizi mbili zinafanana kwa sababu ni besi za juu na za chini za prism. Hii ina maana kwamba umbali kati ya mistari yetu iliyonyooka ni umbali kati ya ndege hizi sambamba. Na umbali kati yao ni sawa kabisa na urefu ubavu wa pembeni AA 1, ambayo ni sawa na 3:
ρ(BC;A 1 C 1)=AA 1 =3
Katika hili kazi maalum unaweza kupata sio tu urefu wa perpendicular ya kawaida, lakini pia uijenge. Ili kufanya hivyo, kutoka kwa kingo zote za upande tunachagua moja ambayo ina alama za kawaida na mstari wa moja kwa moja BC na A 1 C 1. Katika takwimu yetu hii ni makali CC 1. Itakuwa perpendicular kwa mstari wa moja kwa moja A 1 C 1, kwa kuwa ni perpendicular kwa ndege ya msingi wa juu, na kwa mstari wa moja kwa moja BC, kwa kuwa ni perpendicular kwa ndege ya msingi wa chini. Kwa hivyo, hatuwezi kupata umbali tu, lakini pia jenga hii ya jumla ya perpendicular.
Leo katika somo tulikumbuka jinsi ya kupata urefu wa perpendicular ya kawaida kati ya mistari inayoingiliana.
Nakala hiyo inalenga kutafuta umbali kati ya mistari ya kuvuka kwa kutumia njia ya kuratibu. Uamuzi wa umbali kati ya mistari hii utazingatiwa, tutapata algorithm kwa msaada ambao tutabadilisha uamuzi wa umbali kati ya mistari ya kuvuka. Wacha tuunganishe mada kwa kutatua mifano kama hiyo.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Kwanza ni muhimu kuthibitisha nadharia ambayo inafafanua uhusiano kati ya mistari iliyotolewa ya kuvuka.
Sura msimamo wa jamaa mistari iliyonyooka katika nafasi inasema kwamba ikiwa mistari miwili iliyonyooka inaitwa kukatiza ikiwa eneo lao haliko kwenye ndege moja.
Nadharia
Kupitia kila jozi ya mistari ya moja kwa moja inayoingiliana kunaweza kupitisha ndege sambamba na ile iliyotolewa, na moja tu.
Ushahidi
Kwa hali, tunapewa mistari ya skew a na b. Ni muhimu kuthibitisha upenyezaji wa ndege moja kupitia mstari b sambamba na mstari uliopewa a. Uthibitisho sawa lazima utumike kwa mstari a, ambao hupitia ndege inayofanana na mstari fulani b.
Kwanza unahitaji kuweka alama Q kwenye mstari b. Ikiwa tunafuata kutoka kwa ufafanuzi wa usawa wa mistari, tunaona kwamba kupitia hatua katika nafasi inawezekana kuteka mstari sambamba na mstari uliopewa, na moja tu. Hii ina maana kwamba mstari mmoja tu hupita kwenye nukta Q, sambamba na mstari a. Wacha tuchukue nukuu a 1 .
Katika sehemu ya njia za kutaja ndege, ilisemekana kuwa kifungu cha ndege moja kinawezekana kupitia mistari miwili inayoingiliana. Hii ina maana kwamba tunapata kwamba mistari b na 1 ni mistari inayokatiza ambayo ndege iliyoashiria χ inapita.
Kulingana na ishara kwamba mstari unafanana na ndege, tunaweza kuhitimisha kwamba mstari wa moja kwa moja uliopewa ni sawa na ndege χ, kwa sababu mstari wa moja kwa moja a ni sawa na mstari wa moja kwa moja wa 1 ulio kwenye ndege χ.
Ndege ya χ ni ya kipekee, kwa kuwa mstari unaopita kwenye mstari uliowekwa kwenye nafasi ni sawa na mstari uliopewa. Hebu tuangalie picha iliyotolewa hapa chini.
Wakati wa kusonga kutoka kwa kuamua umbali kati ya mistari ya moja kwa moja ya kuingiliana, tunaamua umbali kupitia umbali kati ya mstari wa moja kwa moja na ndege inayofanana nayo.
Ufafanuzi 1
Umbali kati ya moja ya mistari inayoingiliana na ndege inayofanana nayo kupita kwenye mstari mwingine inaitwa.
Hiyo ni, umbali kati ya mstari wa moja kwa moja na ndege ni umbali kutoka kwa hatua fulani hadi ndege. Kisha uundaji wa kuamua umbali kati ya mistari ya kuvuka inatumika.
Ufafanuzi 2
Umbali kati ya mistari ya kuvuka piga umbali kutoka kwa sehemu fulani ya mistari inayoingiliana hadi kwa ndege inayopita kwenye mstari mwingine sambamba na mstari wa kwanza.
Tutazalisha kuzingatia kwa kina mistari iliyonyooka a na b. Pointi M 1 iko kwenye mstari a, kupitia mstari b ndege χ inachorwa sambamba na mstari a. Kutoka hatua ya M 1 tunatoa perpendicular M 1 H 1 kwa ndege χ. Urefu wa perpendicular hii ni umbali kati ya mistari ya kuvuka a na b. Hebu tuangalie takwimu hapa chini.
Kutafuta umbali kati ya mistari ya kuvuka - nadharia, mifano, ufumbuzi
Umbali kati ya mistari inayoingiliana hupatikana wakati wa kuunda sehemu. Umbali unaohitajika ni sawa na urefu wa sehemu hii. Kwa mujibu wa hali ya tatizo, urefu wake umedhamiriwa na nadharia ya Pythagorean, kwa ishara za usawa au kufanana kwa pembetatu, au wengine.
Wakati tuna nafasi ya tatu-dimensional na mfumo wa kuratibu O x y z na mistari ya moja kwa moja a na b iliyotolewa ndani yake, basi mahesabu yanapaswa kufanyika kuanzia umbali kati ya wale waliopewa kuvuka kwa kutumia njia ya kuratibu. Hebu tuangalie kwa kina.
Hebu, kwa masharti, χ iwe ndege inayopita kwenye mstari b, ambayo ni sambamba na mstari a. Umbali unaohitajika kati ya mistari ya kuvuka a na b ni sawa na umbali kutoka kwa uhakika M 1 iko kwenye mstari a hadi ndege _ χ. Ili kupata usawa wa kawaida wa ndege ya χ, ni muhimu kuamua kuratibu za uhakika M 1 (x 1, y 1, z 1) iko kwenye mstari wa moja kwa moja a. Kisha tunapata cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0, ambayo ni muhimu kuamua umbali M 1 H 1 kutoka kwa uhakika M 1 x 1, y 1, z 1 hadi ndege χ. . Mahesabu yanafanywa kwa kutumia formula M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p. Umbali unaohitajika ni sawa na umbali unaohitajika kati ya mistari ya kuvuka.
Kazi hii inahusisha kupata kuratibu za uhakika M 1, ambayo iko kwenye mstari wa moja kwa moja a, kutafuta equation ya kawaida ndege χ.
Kuamua kuratibu za uhakika M 1 ni muhimu na inawezekana ikiwa unajua aina za msingi za equations ya mstari wa moja kwa moja katika nafasi. Ili kupata equation ya ndege χ, ni muhimu kuangalia kwa karibu algorithm ya hesabu.
Ikiwa kuratibu x 2, y 2, z 2 imedhamiriwa kwa kutumia hatua ya M 2 ambayo ndege χ inatolewa, tunapata vector ya kawaida ya ndege χ kwa namna ya vector n → = (A, B, C). ) Kufuatia kutoka kwa hili, tunaweza kuandika mlingano wa jumla ndege χ katika umbo A · x - x 2 + B · (y - y 2) + C · (z - z 2) = 0.
Badala ya uhakika M 2, hatua nyingine yoyote ya mstari b inaweza kuchukuliwa, kwa sababu ndege χ inapita ndani yake. Hii ina maana kwamba kuratibu za uhakika M 2 zimepatikana. Ni muhimu kuendelea kutafuta vector ya kawaida ya ndege χ.
Tunayo kwamba ndege χ inapita kwenye mstari b, na inafanana na mstari a. Hii ina maana kwamba vector ya kawaida ya ndege χ ni perpendicular kwa mwelekeo vector ya mstari a, inaashiria →, na kwa mwelekeo vector ya mstari b, inaashiria b →. Vekta n → itakuwa sawa na bidhaa ya vector a → na b →, ambayo ina maana n → = a → × b →. Baada ya kuamua kuratibu a x , a y , a z na b x , b y , b z ya vekta za mwelekeo wa mistari iliyotolewa a na b , tunahesabu.
n → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z
Kutoka hapa tunapata thamani ya kuratibu A, B, C ya vector ya kawaida kwa ndege χ.
Tunajua kwamba mlingano wa jumla wa ndege χ una fomu A · (x - x 2) + B · (y - y 2) + C · (z - z 2) = 0.
Ni muhimu kuleta equation kwa fomu ya kawaida cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0 . Kisha unahitaji kuhesabu umbali unaohitajika kati ya mistari ya kuvuka a na b, kwa kuzingatia formula M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p.
Ili kupata umbali kati ya kuvuka mistari a na b, lazima ufuate algorithm:
- uamuzi wa kuratibu (x 1, y 1, z 1) na x 2, y 2, z 2 ya pointi M 1 na M 2 ziko kwenye mistari ya moja kwa moja a na b, kwa mtiririko huo;
- kupata kuratibu a x , a y , a z na b x , b y , b z mali ya vekta za mwelekeo wa mistari a na b ;
- kutafuta kuratibu A, B, C mali ya vector n → kwenye ndege χ kupita kwenye mstari b iko sambamba na, kwa usawa n → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z;
- kuandika equation ya jumla ya ndege ya χ katika fomu A · x - x 2 + B · (y - y 2) + C · (z - z 2) = 0;
- kuleta mlinganyo unaotokana wa ndege χ kwa mlinganyo wa kawaida aina cosα · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0;
- kuhesabu umbali M 1 H 1 kutoka M 1 x 1, y 1, z 1 hadi ndege χ, kulingana na formula M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - uk.
Kuna mistari miwili ya kukatiza mfumo wa mstatili huratibu nafasi ya O x y z yenye pande tatu. Mstari a umefafanuliwa equation ya parametric mstari katika nafasi x = - 2 y = 1 + 2 λ z = 4 - 3 λ, mstari b ukitumia mlinganyo wa kisheria mstari ulionyooka katika nafasi x 1 = y - 1 - 2 = z + 4 6. Tafuta umbali kati ya mistari inayokatiza.
Suluhisho
Ni wazi kuwa mstari wa moja kwa moja unaingiliana na uhakika M 1 (- 2, 1, 4) na vekta ya mwelekeo a → = (0, 2, - 3), na mstari wa moja kwa moja b unapita hatua M 2 (0, 1, - 4). ) na vector ya mwelekeo b → = (1 , - 2, 6) .
Kwanza, unapaswa kuhesabu vekta za mwelekeo a → = (0, 2, - 3) na b → = (1, - 2, 6) kwa kutumia formula. Kisha tunapata hiyo
a → × b → = i → j → k → 0 2 - 3 1 - 2 6 = 6 i → - 3 j → - 2 k →
Kuanzia hapa tunapata kwamba n → = a → × b → ni vekta ya ndege χ, ambayo hupitia mstari b sambamba na a na kuratibu 6, - 3, - 2. Tunapata:
6 (x - 0) - 3 (y - 1) - 2 (z - (- 4)) = 0 ⇔ 6 x - 3 y - 2 z - 5 = 0
Tunapata sababu ya kawaida ya equation ya jumla ya ndege 6 x - 3 y - 2 z - 5 = 0. Wacha tuhesabu kwa kutumia formula 1 6 2 + - 3 2 + - 2 2 = 1 7. Hii ina maana kwamba equation ya kawaida itachukua fomu 6 7 x - 3 7 y - 2 7 z - 5 7 = 0.
Inahitajika kutumia formula kupata umbali kutoka kwa uhakika M 1 - 2, 1, 4 hadi ndege, iliyotolewa na equation 6 7 x - 3 7 y - 2 7 z - 5 7 = 0 . Tunapata hilo
M 1 H 1 = 6 7 (- 2) - 3 7 1 - 2 7 4 - 5 7 = - 28 7 = 4
Inafuata kwamba umbali unaohitajika ni umbali kati ya mistari uliyopewa ya kuvuka, thamani ni 4.
Jibu: 4 .
Ukiona hitilafu katika maandishi, tafadhali yaangazie na ubonyeze Ctrl+Enter
Nakala hii inaangazia kutafuta umbali kati ya mistari ya kuvuka kwa kutumia njia ya kuratibu. Kwanza, ufafanuzi wa umbali kati ya mistari ya kuingiliana hutolewa. Ifuatayo, algorithm inapatikana ambayo inaruhusu mtu kupata umbali kati ya mistari ya kuvuka. Kwa kumalizia, suluhisho la mfano linachambuliwa kwa undani.
Urambazaji wa ukurasa.
Umbali kati ya mistari ya kuvuka - ufafanuzi.
Kabla ya kutoa ufafanuzi wa umbali kati ya mistari ya skew, hebu tukumbuke ufafanuzi wa mistari ya skew na kuthibitisha nadharia inayohusiana na mistari ya skew.
Ufafanuzi.
- huu ni umbali kati ya moja ya mistari inayoingiliana na ndege inayofanana nayo ikipitia mstari mwingine.
Kwa upande wake, umbali kati ya mstari wa moja kwa moja na ndege inayofanana nayo ni umbali kutoka kwa sehemu fulani ya mstari wa moja kwa moja hadi kwenye ndege. Kisha uundaji wafuatayo wa ufafanuzi wa umbali kati ya mistari ya kuvuka ni halali.
Ufafanuzi.
Umbali kati ya mistari ya kuvuka ni umbali kutoka sehemu fulani ya moja ya mistari inayokatiza hadi kwenye ndege inayopita kwenye mstari mwingine sambamba na mstari wa kwanza.
Fikiria mistari ya kuvuka a na b. Hebu tuweke alama ya uhakika M 1 kwenye mstari a, kuchora ndege sambamba na mstari wa kupitia mstari b, na kutoka kwa uhakika M 1 chini ya perpendicular M 1 H 1 kwa ndege. Urefu wa perpendicular M 1 H 1 ni umbali kati ya mistari ya kuvuka a na b.
Kutafuta umbali kati ya mistari ya kuvuka - nadharia, mifano, ufumbuzi.
Wakati wa kupata umbali kati ya mistari ya kuvuka, ugumu kuu mara nyingi ni kuona au kujenga sehemu ambayo urefu wake ni sawa na umbali unaohitajika. Ikiwa sehemu hiyo imejengwa, basi, kulingana na hali ya tatizo, urefu wake unaweza kupatikana kwa kutumia theorem ya Pythagorean, ishara za usawa au kufanana kwa pembetatu, nk. Hivi ndivyo tunavyofanya tunapopata umbali kati ya mistari inayoingiliana katika masomo ya jiometri katika darasa la 10-11.
Ikiwa ndani nafasi tatu-dimensional Oxyz huletwa na mistari ya kuingiliana a na b hutolewa ndani yake, basi njia ya kuratibu inatuwezesha kukabiliana na kazi ya kuhesabu umbali kati ya mistari iliyopewa ya kuingiliana. Hebu tuangalie kwa undani.
Hebu iwe ndege inayopitia mstari b, sambamba na mstari a. Kisha umbali unaohitajika kati ya mistari ya kuvuka a na b ni, kwa ufafanuzi, sawa na umbali kutoka kwa hatua fulani M 1 iliyo kwenye mstari a hadi ndege. Kwa hivyo, ikiwa tunaamua kuratibu za hatua fulani M 1 iliyo kwenye mstari a, na kupata equation ya kawaida ya ndege katika fomu, basi tunaweza kuhesabu umbali kutoka kwa uhakika. 
kwa ndege kwa kutumia fomula (fomula hii ilipatikana katika kifungu kutafuta umbali kutoka kwa uhakika hadi ndege). Na umbali huu ni sawa na umbali unaohitajika kati ya mistari ya kuvuka.
Sasa kwa undani.
Shida inakuja kupata kuratibu za hatua M 1 iliyo kwenye mstari a na kupata usawa wa kawaida wa ndege.
Hakuna matatizo katika kuamua kuratibu za uhakika M 1 ikiwa unajua vizuri aina za msingi za equations za mstari wa moja kwa moja kwenye nafasi. Lakini inafaa kukaa kwa undani zaidi juu ya kupata equation ya ndege.
Ikiwa tunaamua kuratibu za hatua fulani M 2 ambayo ndege hupita, na pia kupata vector ya kawaida ya ndege katika fomu. 
, basi tunaweza kuandika mlinganyo wa jumla wa ndege kama .
Kama hatua ya M 2, unaweza kuchukua hatua yoyote iliyo kwenye mstari b, kwani ndege hupitia mstari b. Kwa hivyo, kuratibu za uhakika M 2 zinaweza kuzingatiwa kupatikana.
Inabakia kupata kuratibu za vector ya kawaida ya ndege. Hebu tufanye.
Ndege hupitia mstari b na ni sambamba na mstari a. Kwa hivyo, vekta ya kawaida ya ndege ni ya kawaida kwa vekta ya mwelekeo wa mstari a (wacha tuonyeshe) na vekta ya mwelekeo wa mstari b (wacha tuonyeshe). Kisha tunaweza kuchukua na kama vekta, yaani,. Baada ya kuamua kuratibu na vekta za mwelekeo wa mistari ya moja kwa moja a na b na iliyohesabiwa 
, tutapata kuratibu za vector ya kawaida ya ndege.
Kwa hivyo, tunayo usawa wa jumla wa ndege:.
Kinachobaki ni kuleta usawa wa jumla wa ndege kwa fomu ya kawaida na kuhesabu umbali unaohitajika kati ya mistari ya kuvuka a na b kwa kutumia fomula.
Hivyo, kupata umbali kati ya kuvuka mistari a na b unahitaji:
Wacha tuangalie suluhisho la mfano.
Mfano.
Katika nafasi ya tatu-dimensional katika mfumo wa kuratibu wa mstatili Oxyz, mistari miwili ya moja kwa moja inayoingiliana a na b hutolewa. Mstari wa moja kwa moja a umedhamiriwa