Ikiwa kila mtu nambari ya asili n imepewa baadhi nambari halisi x n , kisha wanasema kuwa imetolewa mlolongo wa nambari
x 1 , x 2 , … x n , …
Nambari x 1 inaitwa mwanachama wa mlolongo na nambari 1 au awamu ya kwanza ya mlolongo, nambari x 2 - mwanachama wa mlolongo na nambari 2 au mjumbe wa pili wa mlolongo, nk. Nambari x n inaitwa mwanachama wa mlolongo na nambari n.
Kuna njia mbili za kutaja mlolongo wa nambari - pamoja na na formula ya kawaida.
Mlolongo kwa kutumia fomula za neno la jumla la mfuatano- hii ni kazi ya mlolongo
x 1 , x 2 , … x n , …
kwa kutumia fomula inayoonyesha utegemezi wa neno x n kwa nambari yake n.
Mfano 1. Mlolongo wa nambari
1, 4, 9, … n 2 , …
iliyotolewa kwa kutumia fomula ya neno la kawaida
x n = n 2 , n = 1, 2, 3, …
Kubainisha mlolongo kwa kutumia fomula inayoonyesha mfuatano wa mfuatano x n kupitia washiriki wa mfuatano wenye nambari zilizotangulia huitwa kubainisha mfuatano kwa kutumia. formula ya kawaida.
x 1 , x 2 , … x n , …
kuitwa katika kuongezeka kwa mlolongo, zaidi mwanachama wa awali.
Kwa maneno mengine, kwa kila mtu n
x n + 1 >x n
Mfano 3. Mlolongo wa nambari za asili
1, 2, 3, … n, …
ni mlolongo wa kupanda.
Ufafanuzi 2. Mlolongo wa nambari
x 1 , x 2 , … x n , …
kuitwa mlolongo wa kushuka ikiwa kila mwanachama wa mlolongo huu kidogo mwanachama wa awali.
Kwa maneno mengine, kwa kila mtu n= 1, 2, 3, … ukosefu wa usawa umeridhika
x n + 1 < x n
Mfano 4. Kufuatia
iliyotolewa na formula
ni mlolongo wa kushuka.
Mfano 5. Mlolongo wa nambari
1, - 1, 1, - 1, …
iliyotolewa na formula
x n = (- 1) n , n = 1, 2, 3, …
sio haziongezeki wala hazipungui mlolongo.
Ufafanuzi 3. Kuongezeka na kupungua kwa mlolongo wa nambari huitwa mlolongo wa monotonic.
Mifuatano yenye mipaka na isiyo na mipaka
Ufafanuzi 4. Mlolongo wa nambari
x 1 , x 2 , … x n , …
kuitwa iliyofungwa juu, ikiwa kuna nambari M ambayo kila mshiriki wa mlolongo huu kidogo namba M.
Kwa maneno mengine, kwa kila mtu n= 1, 2, 3, … ukosefu wa usawa umeridhika
Ufafanuzi 5. Mlolongo wa nambari
x 1 , x 2 , … x n , …
kuitwa imefungwa chini, ikiwa kuna nambari m hivi kwamba kila mshiriki wa mlolongo huu zaidi nambari m.
Kwa maneno mengine, kwa kila mtu n= 1, 2, 3, … ukosefu wa usawa umeridhika
Ufafanuzi 6. Mlolongo wa nambari
x 1 , x 2 , … x n , …
inaitwa mdogo ikiwa ni mdogo juu na chini.
Kwa maneno mengine, kuna nambari M na m kama hiyo kwa wote n= 1, 2, 3, … ukosefu wa usawa umeridhika
m< x n < M
Ufafanuzi 7. Mifuatano ya nambari hiyo sio mdogo, kuitwa mlolongo usio na kikomo.
Mfano 6. Mlolongo wa nambari
1, 4, 9, … n 2 , …
iliyotolewa na formula
x n = n 2 , n = 1, 2, 3, … ,
imefungwa chini, kwa mfano, nambari 0. Hata hivyo, mlolongo huu isiyo na kikomo kutoka juu.
Mfano 7. Kufuatia
iliyotolewa na formula
ni mlolongo mdogo , kwa sababu kwa kila mtu n= 1, 2, 3, … ukosefu wa usawa umeridhika
Kwenye tovuti yetu unaweza pia kujijulisha na vifaa vya elimu vilivyotengenezwa na walimu wa kituo cha mafunzo cha Resolventa kwa ajili ya maandalizi ya Mtihani wa Jimbo la Umoja na Mtihani wa Jimbo la Umoja katika hisabati.
Kwa watoto wa shule ambao wanataka kujiandaa vizuri na kupita Mtihani wa Jimbo la Umoja katika hisabati au lugha ya Kirusi juu alama ya juu, Kituo cha elimu"Resolventa" inafanya
| kozi za maandalizi kwa watoto wa shule katika darasa la 10 na 11 |
Vida y= f(x), x KUHUSU N, Wapi N- seti ya nambari za asili (au kazi ya hoja ya asili), iliyoonyeshwa y=f(n) au y 1 ,y 2 ,…, y n,…. Maadili y 1 ,y 2 ,y 3 ,… wanaitwa kwa mtiririko huo wa kwanza, wa pili, wa tatu, ... wanachama wa mlolongo.
Kwa mfano, kwa kazi y= n 2 inaweza kuandikwa:
y 1 = 1 2 = 1;
y 2 = 2 2 = 4;
y 3 = 3 2 = 9;…y n = n 2 ;…
Mbinu za kubainisha mlolongo. Mifuatano inaweza kubainishwa njia tofauti, kati ya hizo tatu ni muhimu hasa: uchambuzi, maelezo na mara kwa mara.
1. Mlolongo hutolewa kwa uchanganuzi ikiwa fomula yake imetolewa n mwanachama th:
y n=f(n).
Mfano. y n= 2n - 1 – mlolongo wa nambari zisizo za kawaida: 1, 3, 5, 7, 9, ...
2. Maelezo njia ya kuweka mlolongo wa nambari ni kwamba inaeleza ni vipengele vipi mfuatano umejengwa.
Mfano 1. "Masharti yote ya mlolongo ni sawa na 1." Hii inamaanisha, tunazungumzia kuhusu mfuatano wa 1, 1, 1, …, 1, ….
Mfano 2. “Mfuatano unajumuisha yote nambari kuu kwa utaratibu wa kupanda". Kwa hivyo, mlolongo uliotolewa ni 2, 3, 5, 7, 11, .... Kwa njia hii ya kubainisha mlolongo katika katika mfano huu ni vigumu kujibu nini, sema, kipengele cha 1000 cha mlolongo ni sawa na.
3. Njia ya mara kwa mara ya kutaja mlolongo ni kutaja sheria ambayo inakuwezesha kuhesabu n Mwanachama wa mfuatano ikiwa washiriki wake wa awali wanajulikana. Njia ya jina inayorudiwa inatoka neno la Kilatini mara kwa mara- kurudi. Mara nyingi, katika hali kama hizi, formula inaonyeshwa ambayo inaruhusu mtu kuelezea n mwanachama wa mlolongo kupitia zile zilizopita, na taja washiriki 1-2 wa mwanzo wa mlolongo.
Mfano 1. y 1 = 3; y n = y n-1 + 4 ikiwa n = 2, 3, 4,….
Hapa y 1 = 3; y 2 = 3 + 4 = 7;y 3 = 7 + 4 = 11; ….
Unaweza kuona kwamba mlolongo uliopatikana katika mfano huu pia unaweza kubainishwa kiuchambuzi: y n= 4n - 1.
Mfano 2. y 1 = 1; y 2 = 1; y n = y n –2 + y n-1 ikiwa n = 3, 4,….
Hapa: y 1 = 1; y 2 = 1; y 3 = 1 + 1 = 2; y 4 = 1 + 2 = 3; y 5 = 2 + 3 = 5; y 6 = 3 + 5 = 8;
Mlolongo unaojumuisha katika mfano huu unasomwa hasa katika hisabati, kwa kuwa ina idadi ya mali ya kuvutia na maombi. Inaitwa mfuatano wa Fibonacci, uliopewa jina la mwanahisabati wa Kiitaliano wa karne ya 13. Ni rahisi sana kufafanua mlolongo wa Fibonacci mara kwa mara, lakini ni vigumu sana kwa uchanganuzi. n Nambari ya Fibonacci inaonyeshwa kupitia yake nambari ya serial formula ifuatayo.
Kwa mtazamo wa kwanza, formula ya n nambari ya Fibonacci inaonekana kuwa haiwezekani, kwa kuwa fomula inayobainisha mfuatano wa nambari asilia pekee inayo mizizi ya mraba, lakini unaweza kuangalia "kwa mikono" uhalali wa fomula hii kwa chache za kwanza n.
Tabia za mlolongo wa nambari.
Mlolongo wa nambari - kesi maalum kazi ya nambari, kwa hivyo idadi ya sifa za kazi pia huzingatiwa kwa mlolongo.
Ufafanuzi . Kufuatia ( y n} inaitwa kuongezeka ikiwa kila masharti yake (isipokuwa ya kwanza) ni kubwa kuliko ya awali:
y 1 y 2 y 3 y n y n +1
Ufafanuzi.Mfuatano ( y n} inaitwa kupungua ikiwa kila masharti yake (isipokuwa ya kwanza) ni chini ya ile iliyotangulia:
y 1 > y 2 > y 3 > … > y n> y n +1 > … .
Mlolongo wa kuongezeka na kushuka umeunganishwa neno la jumla- mlolongo wa monotonic.
Mfano 1. y 1 = 1; y n= n 2 - kuongezeka kwa mlolongo.
Kwa hivyo, theorem ifuatayo ni kweli (sifa ya tabia ya maendeleo ya hesabu). Mfuatano wa nambari ni wa hesabu ikiwa na tu ikiwa kila masharti yake isipokuwa ya kwanza (na ya mwisho katika kesi hiyo. mlolongo wenye kikomo), ni sawa na maana ya hesabu ya maneno yaliyotangulia na yanayofuata.
Mfano. Kwa thamani gani x nambari 3 x + 2, 5x- 4 na 11 x+ 12 kuunda maendeleo ya hesabu ya mwisho?
Kulingana na mali ya tabia, maneno yaliyotolewa lazima yakidhi uhusiano
5x – 4 = ((3x + 2) + (11x + 12))/2.
Kutatua equation hii inatoa x= –5,5. Kwa thamani hii x maneno yaliyotolewa 3 x + 2, 5x- 4 na 11 x+ 12 chukua, mtawaliwa, maadili -14.5, –31,5, –48,5. Hii - maendeleo ya hesabu, tofauti yake ni -17.
Maendeleo ya kijiometri.
Mfuatano wa nambari, ambao masharti yake yote si sifuri na ambayo kila masharti, kuanzia ya pili, yanapatikana kutoka kwa muhula uliopita kwa kuzidisha kwa nambari sawa. q, kuitwa maendeleo ya kijiometri, na nambari q- denominator ya maendeleo ya kijiometri.
Kwa hivyo, maendeleo ya kijiometri ni mlolongo wa nambari ( b n), hufafanuliwa kwa kujirudia na mahusiano
b 1 = b, b n = b n –1 q (n = 2, 3, 4…).
(b Na q - nambari zilizopewa, b ≠ 0, q ≠ 0).
Mfano 1. 2, 6, 18, 54, ... - kuongeza maendeleo ya kijiometri b = 2, q = 3.
Mfano 2. 2, -2, 2, -2, ... – maendeleo ya kijiometri b= 2,q= –1.
Mfano 3. 8, 8, 8, 8, ... – maendeleo ya kijiometri b= 8, q= 1.
Maendeleo ya kijiometri ni mlolongo unaoongezeka ikiwa b 1 > 0, q> 1, na kupungua kama b 1 > 0, 0 q
Moja ya mali ya wazi ya maendeleo ya kijiometri ni kwamba ikiwa mlolongo ni maendeleo ya kijiometri, basi ni mlolongo wa mraba, i.e.
b 1 2 , b 2 2 , b 3 2 , …, b n 2,... ni maendeleo ya kijiometri ambayo muhula wake wa kwanza ni sawa na b 1 2 , na denominator ni q 2 .
Mfumo n- muda wa th wa maendeleo ya kijiometri ina fomu
b n= b 1 qn- 1 .
Unaweza kupata fomula kwa jumla ya masharti ya kuendelea kwa kijiometri.
Hebu maendeleo ya kijiometri ya kikomo itolewe
b 1 ,b 2 ,b 3 , …, b n
basi S n - jumla ya wanachama wake, i.e.
S n= b 1 + b 2 + b 3 + … +b n.
Inakubalika kuwa q Nambari 1. Kuamua S n inatumika mapokezi ya bandia: wengine wananyongwa mabadiliko ya kijiometri maneno S n q.
S n q = (b 1 + b 2 + b 3 + … + b n –1 + b n)q = b 2 + b 3 + b 4 + …+ b n+ b n q = S n+ b n q– b 1 .
Hivyo, S n q= S n +b n q – b 1 na kwa hivyo
Hii ndio formula na umma n masharti ya maendeleo ya kijiometri kwa kesi lini q≠ 1.
Katika q= 1 fomula sio lazima itolewe kando; ni dhahiri kuwa katika kesi hii S n= a 1 n.
Uendelezaji unaitwa kijiometri kwa sababu kila neno ndani yake, isipokuwa la kwanza, ni sawa na maana ya kijiometri ya maneno ya awali na yafuatayo. Kwa kweli, tangu
bn=bn- 1 q;
bn = bn+ 1 /q,
hivyo, b n 2=bn- 1 bn+ 1 na nadharia ifuatayo ni kweli (sifa ya tabia ya maendeleo ya kijiometri):
mlolongo wa nambari ni maendeleo ya kijiometri ikiwa na tu ikiwa mraba wa kila masharti yake, isipokuwa ya kwanza (na ya mwisho katika kesi ya mlolongo wa mwisho), sawa na bidhaa wanachama waliotangulia na waliofuata.
Kikomo cha uthabiti.
Wacha kuwe na mlolongo ( c n} = {1/n}. Mlolongo huu unaitwa harmonic, kwa kuwa kila moja ya masharti yake, kuanzia ya pili, ni maana ya harmonic kati ya maneno ya awali na yafuatayo. Wastani nambari za kijiometri a Na b kuna nambari
KATIKA vinginevyo mlolongo huo unaitwa tofauti.
Kulingana na ufafanuzi huu, mtu anaweza, kwa mfano, kuthibitisha kuwepo kwa kikomo A=0 kwa mlolongo wa usawa ( c n} = {1/n) Acha ε iwe ndogo kiholela nambari chanya. Tofauti inazingatiwa
Je, kitu kama hicho kipo? N hiyo ni kwa kila mtu n ≥ N ukosefu wa usawa 1 unashikilia /N ? Ikiwa tutaichukua kama N nambari yoyote asilia kubwa kuliko 1/ε , basi kwa kila mtu n ≥ N ukosefu wa usawa 1 unashikilia /n ≤ 1/N ε , Q.E.D.
Kuthibitisha uwepo wa kikomo kwa mlolongo fulani wakati mwingine inaweza kuwa vigumu sana. Mifuatano inayotokea mara kwa mara imesomwa vizuri na imeorodheshwa katika vitabu vya kumbukumbu. Inapatikana nadharia muhimu, kuruhusu mtu kuteka hitimisho kuhusu kuwepo kwa kikomo kwa mlolongo fulani (na hata kuhesabu), kulingana na mlolongo uliojifunza tayari.
Nadharia 1. Ikiwa mlolongo una kikomo, basi umefungwa.
Nadharia 2. Ikiwa mlolongo ni monotonic na imefungwa, basi ina kikomo.
Nadharia 3. Ikiwa mlolongo ( n} ina kikomo A, kisha mifuatano ( inaweza n}, {n+ c) na (| n|} kuwa na mipaka cA, A +c, |A| ipasavyo (hapa c- nambari ya kiholela).
Nadharia 4. Ikiwa mifuatano ( n} Na ( b n) kuwa na mipaka sawa na A Na B pa n + qbn) ina kikomo pA+ qB.
Nadharia 5. Ikiwa mifuatano ( n) Na ( b n) kuwa na mipaka sawa na A Na B ipasavyo, kisha mlolongo ( n b n) ina kikomo AB.
Nadharia 6. Ikiwa mfuatano ( n} Na ( b n) kuwa na mipaka sawa na A Na B ipasavyo, na, kwa kuongeza, b n ≠ 0 na B≠ 0, kisha mlolongo ( n / b n) ina kikomo A/B.
Anna Chugainova
Ufafanuzi wa mlolongo wa nambari hutolewa. Mifano ya mlolongo unaoongezeka sana, unaofanana na unaotofautiana huzingatiwa. Mlolongo ulio na nambari zote za busara huzingatiwa.
Ufafanuzi.
Mfuatano wa nambari (xn)
ni sheria (kanuni) kulingana na ambayo, kwa kila nambari ya asili n = 1, 2, 3, . . .
nambari fulani x n imepewa.
Sehemu ya x n inaitwa muhula wa nth au kipengele cha mfuatano.
Mfuatano huo umebainishwa kama neno la nth lililoambatanishwa katika viunga vilivyopinda: . Majina yafuatayo pia yanawezekana:. Zinaonyesha wazi kwamba faharisi n ni ya seti ya nambari asilia na mlolongo yenyewe una idadi isiyo na kikomo ya maneno. Hapa kuna mifano ya mlolongo:
,
,
.
Kwa maneno mengine, mfuatano wa nambari ni kazi ambayo uwanja wake wa ufafanuzi ni seti ya nambari asilia. Idadi ya vipengele vya mlolongo haina mwisho. Miongoni mwa vipengele kunaweza pia kuwa na wanachama maadili sawa. Pia, mlolongo unaweza kuzingatiwa kama seti iliyohesabiwa ya nambari inayojumuisha idadi isiyo na kikomo ya washiriki.
Tutapendezwa zaidi na swali la jinsi mlolongo hutenda wakati n inaelekea kutokuwa na mwisho: . Nyenzo hii imewasilishwa katika sehemu Kikomo cha mlolongo - nadharia za msingi na mali. Hapa tutaangalia baadhi ya mifano ya mlolongo.
Mifano ya Mfuatano
Mifano ya mlolongo unaoongezeka sana
Fikiria mlolongo. Mwanachama wa kawaida wa mlolongo huu ni . Hebu tuandike maneno machache ya kwanza:
.
Inaweza kuonekana kuwa nambari n inavyoongezeka, vitu huongezeka kwa muda usiojulikana maadili chanya. Tunaweza kusema kwamba mlolongo huu unaelekea: kwa.
Sasa fikiria mlolongo na neno la kawaida. Hapa kuna washiriki wake wachache wa kwanza:
.
Nambari n inapoongezeka, vipengele vya mlolongo huu huongezeka kwa muda usiojulikana thamani kamili, lakini hawana ishara ya mara kwa mara. Hiyo ni, mlolongo huu unaelekea: saa.
Mifano ya mifuatano inayobadilika kuwa nambari yenye kikomo
Fikiria mlolongo. Mwanachama wake wa kawaida. Masharti ya kwanza yana fomu ifuatayo:
.
Inaweza kuonekana kuwa nambari n inapoongezeka, vipengee vya mlolongo huu vinakaribia thamani yao ya kikomo a = 0
: katika . Kwa hivyo kila neno linalofuata liko karibu na sifuri kuliko lile lililotangulia. Kwa maana fulani, tunaweza kuzingatia kwamba kuna takriban thamani ya nambari a = 0
na makosa. Ni wazi kwamba kadiri n inavyoongezeka, kosa hili huelekea sifuri, ambayo ni, kwa kuchagua n, kosa linaweza kufanywa kuwa ndogo kama unavyotaka. Aidha, kwa kosa lolote ε > 0
unaweza kubainisha nambari N hivi kwamba kwa vipengele vyote vilivyo na nambari kubwa kuliko N:, mkengeuko wa nambari kutoka kwa thamani ya kikomo a hautazidi kosa ε:.
Ifuatayo, fikiria mlolongo. Mwanachama wake wa kawaida. Hapa kuna baadhi ya wanachama wake wa kwanza:
.
Katika mlolongo huu, maneno yenye nambari sawa ni sawa na sifuri. Masharti na odd n ni sawa. Kwa hivyo, n inapoongezeka, maadili yao yanakaribia thamani ya kikomo a = 0
. Hii pia inafuata kutokana na ukweli kwamba
.
Kama tu katika mfano uliopita, tunaweza kubainisha kosa dogo kiholela ε > 0
, ambayo inawezekana kupata nambari N hivi kwamba vipengee vilivyo na nambari kubwa kuliko N vitatoka kwa thamani ya kikomo a = 0
kwa kiasi kisichozidi hitilafu maalum. Kwa hivyo mlolongo huu hubadilika kuwa thamani a = 0
: katika .
Mifano ya mlolongo tofauti
Fikiria mlolongo na istilahi ifuatayo ya kawaida:
Hapa kuna wanachama wake wa kwanza:
.
Inaweza kuonekana kuwa maneno na nambari sawa:
,
ungana kwa thamani a 1 = 0
. Wanachama na nambari zisizo za kawaida:
,
ungana kwa thamani a 2 = 2
. Mlolongo wenyewe, n inapokua, hauunganishi kwa thamani yoyote.
Mlolongo na masharti yaliyosambazwa katika muda (0;1)
Sasa hebu tuangalie mlolongo wa kuvutia zaidi. Wacha tuchukue sehemu kwenye mstari wa nambari. Hebu tugawanye kwa nusu. Tunapata sehemu mbili. Hebu
.
Wacha tugawanye kila sehemu kwa nusu tena. Tunapata sehemu nne. Hebu
.
Wacha tugawanye kila sehemu kwa nusu tena. Hebu tuchukue
.
Nakadhalika.
Kama matokeo, tunapata mlolongo ambao vipengele vyake vinasambazwa ndani muda wazi (0; 1) . Hatua yoyote tunayochukua kutoka kwa muda uliofungwa , tunaweza kupata washiriki wa mlolongo ambao utakuwa karibu kiholela na hatua hii au sanjari nayo.
Kisha kutoka kwa mlolongo wa asili mtu anaweza kuchagua mfuatano ambao utaungana hatua ya kiholela kutoka kwa muda . Hiyo ni, nambari n inapoongezeka, washiriki wa inayofuata watakuja karibu na karibu na hatua iliyochaguliwa hapo awali.
Kwa mfano, kwa uhakika a = 0
unaweza kuchagua ifuatayo:
.
= 0
.
Kwa uhakika a = 1
Wacha tuchague safu ifuatayo:
.
Masharti ya ifuatayo huungana hadi thamani a = 1
.
Kwa kuwa kuna vifurushi vinavyobadilika kwa maana tofauti, basi mlolongo wa asili yenyewe hauunganishi kwa nambari yoyote.
Mfuatano ulio na nambari zote za busara
Sasa wacha tutengeneze mlolongo ambao una nambari zote za busara. Kwa kuongezea, kila nambari ya busara itaonekana katika mlolongo kama huo idadi isiyo na kikomo ya nyakati.
Nambari ya busara r inaweza kuwakilishwa ndani fomu ifuatayo:
,
nambari kamili iko wapi; - asili.
Tunahitaji kuhusisha kila nambari asilia n na jozi ya nambari p na q ili jozi yoyote p na q ijumuishwe katika mlolongo wetu.
Ili kufanya hivyo, chora p na q axes kwenye ndege. Tunachora mistari ya gridi kupitia nambari kamili za p na q. Kisha kila nodi ya gridi hii itaambatana nambari ya busara. Seti nzima ya nambari za busara itawakilishwa na seti ya nodi. Tunahitaji kutafuta njia ya kuhesabu nodi zote ili tusikose nodi zozote. Hii ni rahisi kufanya ikiwa unahesabu nodes kwa mraba, vituo ambavyo viko kwenye hatua (0; 0) (tazama picha). Katika kesi hii, sehemu za chini za mraba zilizo na q < 1 hatuhitaji. Kwa hivyo hazionyeshwa kwenye takwimu.
Kwa hivyo, kwa upande wa juu wa mraba wa kwanza tunayo:
.
Ifuatayo tunahesabu sehemu ya juu mraba ufuatao:
.
Tunahesabu sehemu ya juu ya mraba ufuatao:
.
Nakadhalika.
Kwa njia hii tunapata mlolongo ulio na nambari zote za busara. Unaweza kugundua kuwa nambari yoyote ya busara inaonekana katika mlolongo huu idadi isiyo na kikomo ya nyakati. Hakika, pamoja na nodi, mlolongo huu pia utajumuisha nodes, ambapo ni nambari ya asili. Lakini nodi hizi zote zinalingana na nambari sawa ya busara.
Kisha kutoka kwa mlolongo ambao tumeunda, tunaweza kuchagua mfuatano (kuwa na idadi isiyo na kikomo ya vipengee), ambavyo vitu vyote ni sawa na nambari ya busara iliyoamuliwa mapema. Kwa kuwa mlolongo tuliounda una vifuatavyo vinavyobadilika kuwa nambari tofauti, basi mlolongo hauunganishi kwa nambari yoyote.
Hitimisho
Hapa tumetoa ufafanuzi sahihi wa mlolongo wa nambari. Pia tulizungumzia suala la muunganiko wake, kwa kuzingatia mawazo angavu. Ufafanuzi sahihi muunganiko unajadiliwa kwenye ukurasa Kuamua Kikomo cha Mfuatano. Sifa na nadharia zinazohusiana zimeelezwa kwenye ukurasa
Dhana ya mlolongo wa nambari.
Hebu kila nambari ya asili n iendane na nambari n , kisha tunasema kwamba kazi n =f(n) imetolewa, ambayo inaitwa mlolongo wa nambari. Inaonyeshwa na n ,n=1,2,… au (a n ).
Nambari a 1 , a 2 , ... huitwa wajumbe wa mfuatano au vipengele vyake, n ni mwanachama wa jumla wa mfuatano, n ni nambari ya mwanachama n .
Kwa ufafanuzi, mlolongo wowote una seti isiyo na mwisho vipengele.
Mifano ya mlolongo wa nambari.
Hesabu maendeleo - uendelezaji wa nambari ya fomu:
Hiyo ni, mlolongo wa nambari (masharti ya maendeleo), ambayo kila moja, kuanzia ya pili, hupatikana kutoka kwa ile ya awali kwa kuongeza nambari ya mara kwa mara d (hatua au tofauti ya maendeleo): 
.
Muda wowote wa mwendelezo unaweza kuhesabiwa kwa kutumia fomula ya neno la jumla:
Mwanachama yeyote wa maendeleo ya hesabu, kuanzia ya pili, ndio maana ya hesabu ya washiriki waliotangulia na wanaofuata wa mwendelezo: 
Jumla ya masharti n ya kwanza ya maendeleo ya hesabu yanaweza kuonyeshwa na fomula: 
Jumla ya masharti n mfululizo ya maendeleo ya hesabu yanayoanza na neno k: 
Mfano wa jumla ya maendeleo ya hesabu ni jumla ya mfululizo wa nambari asilia hadi n kujumlisha:
Jiometri maendeleo - mlolongo wa nambari 
(wanachama wa mwendelezo), ambapo kila nambari inayofuata, kuanzia ya pili, hupatikana kutoka kwa ile ya awali kwa kuizidisha kwa nambari fulani q (denominator ya mwendelezo), ambapo 
,
:
Neno lolote la maendeleo ya kijiometri linaweza kuhesabiwa kwa kutumia fomula: 
Ikiwa b 1 > 0 na q > 1, mwendelezo ni mlolongo unaoongezeka ikiwa 0 Mwendelezo huo ulipata jina lake kutokana na sifa yake ya tabia: Bidhaa ya masharti n ya kwanza ya maendeleo ya kijiometri inaweza kuhesabiwa kwa kutumia formula: Bidhaa ya masharti ya maendeleo ya kijiometri kuanzia neno la k-th na kuishia na neno la n-th inaweza kuhesabiwa kwa kutumia fomula: Jumla ya masharti n ya kwanza ya maendeleo ya kijiometri: Kama Kikomo cha uthabiti. Mfuatano unaitwa kuongezeka ikiwa kila mwanachama ni mkubwa kuliko wa awali. Mfuatano unaitwa kupungua ikiwa kila mwanachama ni chini ya wa awali. Mfuatano wa x n unaitwa bounded ikiwa kuna nambari m na M hivi kwamba kwa nambari yoyote asili n hali inatosheka. Inaweza kutokea kwamba washiriki wote wa mlolongo ( a n ) wenye ukuaji usio na kikomo wa nambari n watakaribia nambari fulani m. Nambari a inaitwa kikomo cha mfuatano X n ikiwa kwa kila Ε>0 kuna nambari (kulingana na Ε) n 0 =n o (Ε) ili kwa Katika kesi hii, wanaandika Muunganisho wa mlolongo. Mlolongo ambao kikomo chake ni kikomo inasemekana kuungana na kuwa: Ikiwa mlolongo hauna kikomo cha mwisho (kuhesabika), utaitwa tofauti. Maana ya kijiometri. Kama Nadharia 1) Juu ya upekee wa kikomo: Ikiwa mlolongo unaunganishwa, yaani, una kikomo, basi kikomo hiki ni cha pekee. Nadharia 2) Ikiwa mlolongo wa n unabadilika kuwa: Nadharia 3) Sharti kuwepo kwa kikomo. Ikiwa mlolongo unakutana, yaani, una kikomo, basi umefungwa. Uthibitisho: wacha tuchague n> N kama vile: Nadharia 4) Hali ya kutosha kwa kuwepo kwa kikomo. Ikiwa mlolongo ni monotonic na imefungwa, basi ina kikomo. . Nadharia 5) Hebu Nadharia tatu za mlolongo. Kama Mipaka ya Mali. Ikiwa (xn) na (yn) wana mipaka, basi: Kikomo cha uwiano wa polynomials (vipande). Wacha x n na y n ziwe polynomials katika digrii k, mtawaliwa, ambayo ni: x n =P k (n)=a 0 n k +a 1 n k-1 +…+a k , y n =Q m (n)=b 0 n m +b 1 n m-1 +…+b m Kikomo cha uwiano wa polynomials ni sawa na kikomo cha uwiano wa masharti yao ya kuongoza: Ikiwa kiwango cha nambari ni sawa na kiwango cha denominator, basi kikomo ni sawa na uwiano wa coefficients katika digrii za juu. Ikiwa kiwango cha nambari ni chini ya kiwango cha denominator, kikomo ni sifuri. Ikiwa kiwango cha nambari ni kikubwa kuliko kiwango cha denominator, kikomo kinaelekea kutokuwa na mwisho.
yaani, kila neno ni sawa na maana ya kijiometri ya majirani zake.
, basi lini 
, Na
katika 
.
.
ukosefu wa usawa unashikilia 
kwa wote (asili)n>n 0 .
au 
.
, basi washiriki wote wa mlolongo huu, isipokuwa nambari ya mwisho, wataanguka katika kitongoji cha Ε cha uhakika a. Kijiometri, mipaka ya mlolongo inamaanisha kuwa maadili yake yote yapo kwenye sehemu fulani.
, kisha matokeo yake yoyote 
ina kikomo sawa.
∎
na basi sharti x n ≤y n ridhike kwa n yoyote, thena 
na kwa mfuatano x n ,y n ,z n sharti x n ≤y n ≤z n imeridhika, basi kwa 
lazima 
.
