Axiom kuna ukweli ulio wazi usiohitaji uthibitisho.
Nadharia au pendekezo ni ukweli unaohitaji uthibitisho.
Ushahidi ni seti ya hoja inayofanya pendekezo hili kuwa dhahiri.
Uthibitisho unafikia lengo lake wakati, kwa msaada wake, inagunduliwa kwamba pendekezo lililotolewa ni matokeo ya lazima ya axioms au mapendekezo mengine ambayo tayari yamethibitishwa.
Kila uthibitisho unategemea kanuni kwamba, kwa makisio sahihi, hitimisho la uwongo haliwezi kutolewa kutoka kwa sentensi ya kweli.
Muundo wa nadharia. Kila nadharia ina sehemu mbili, a) masharti na b) hitimisho au matokeo.
Hali hiyo wakati mwingine huitwa dhana. Imetolewa na kwa hivyo wakati mwingine hupokea jina lililopewa.
Nadharia ya mazungumzo. Sentensi ambayo hitimisho la nadharia fulani inakuwa hali, na hali inakuwa hitimisho, inaitwa nadharia ya kinyume..
Katika kesi hii, theorem hii inaitwa moja kwa moja.
Nadharia mbili kwa pamoja, moja kwa moja na kinyume, zinaitwa nadharia za kinyume.
Wako kwenye uhusiano wa kuheshimiana hivi kwamba, baada ya kuchagua yoyote kati yao kama moja kwa moja, mtu anaweza kuchukua mwingine kama kinyume.
Katika pendekezo mbili zinazopingana, moja hufuata kama matokeo ya lazima ya nyingine.
Ikiwa katika nadharia tunaashiria hali kwa herufi katika nafasi ya kwanza, na hitimisho kwa herufi katika nafasi ya pili, basi nadharia ya moja kwa moja inaweza kuwakilishwa kwa mpangilio na usemi (Aa), na mazungumzo na usemi (aA). )
Usemi (Aa) kwa mpangilio unawakilisha pendekezo: ikiwa A ndio kesi, basi a ndio kesi.
Ikiwa kwa pendekezo hili(Aa) na theorem (aA) inashikilia, basi nadharia zote mbili (Aa) na (aA) zinaitwa nadharia zinazopingana.
Mfano wa nadharia mbili zinazopingana zinaweza kuwa nadharia zifuatazo:
Nadharia ya kwanza. Katika pembetatu, pembe sawa ziko kinyume na pande sawa.
Nadharia ya pili. Katika pembetatu dhidi pembe sawa uongo pande sawa .
Katika theorem ya kwanza, hali iliyotolewa itakuwa usawa wa pande za pembetatu, na hitimisho itakuwa usawa wa pembe kinyume, na kwa pili, kinyume chake.
Sio kila nadharia ina mazungumzo yake.
Mfano wa sentensi ya hesabu ambayo haina mazungumzo yake ni hii ifuatayo: nadharia. Ikiwa bidhaa mbili zina mambo sawa, basi bidhaa ni sawa..
Dhana ya kinyume si kweli. Hakika, kutokana na ukweli kwamba bidhaa ni sawa, haifuati kwamba mambo ni sawa.
Mfano wa sentensi ya kijiometri ambayo toleo la nyuma hana mahali, anaweza kutumika nadharia: katika kila mraba diagonals ni sawa.
Kinyume cha hii itakuwa: ikiwa diagonals ya quadrilateral ni sawa, basi itakuwa mraba.
Dhana hii si sahihi, kwa sababu diagonal ni sawa katika zaidi ya mraba mmoja.
Kwa kuwa dhana iliyo kinyume sio kweli kila wakati, kila wakati pendekezo la kinyume linahitaji uthibitisho maalum.
Katika nadharia ya uthibitisho wa kijiometri, ni muhimu sana wakati mwingine kujua wakati pendekezo lililopewa linakubali mazungumzo yake.
Ifuatayo inaweza kutumika kusudi hili: kanuni ya urejeshaji. Wakati, kudhani kila kitu kinawezekana na hali tofauti hitimisho zote zinazowezekana na tofauti zinalingana, pendekezo la mazungumzo linashikilia.
Hebu tuangalie hili kama mfano.
Ofa ya moja kwa moja. Ikiwa pembetatu mbili zina pande mbili sawa,basi upande wa tatu utakuwa mkubwa kuliko, sawa na, au chini ya upande wa tatu wa pembetatu nyingine, kulingana na ikiwa pembe kati ya pande sawa ni kubwa, sawa na, au chini ya pembe inayofanana ya pembetatu nyingine.
Katika sentensi hii, mawazo matatu tofauti na yanayowezekana juu ya pembe yanahusiana na hitimisho tatu tofauti na zinazowezekana juu ya upande mwingine, kwa hivyo, kwa mujibu wa sheria ya urejeshaji, nadharia hii inaruhusu. dhana ya nyuma:
Wakati pembetatu mbili zina pande mbili sawa, pembe kati yao itakuwa kubwa kuliko, sawa na, au chini ya pembe inayolingana ya pembetatu nyingine, kulingana na ikiwa upande wa tatu ni mkubwa kuliko, sawa na, au chini ya upande wa tatu. ya pembetatu iliyotolewa.
Mbali na mazungumzo, theorem ya moja kwa moja inaweza kuwa na kinyume chake.
Nadharia inayopingana kuna moja ambayo kukanusha sharti kunamaanisha kukanusha hitimisho.
Nadharia kinyume inaweza kuwa na mazungumzo yake.
Kwa muhtasari wa nadharia hizi zote, tunaziwasilisha kwa mpangilio katika fomu ya jumla ifuatayo:
Nadharia ya moja kwa moja au kuu. Ikiwa hali au mali A inashikilia, basi hitimisho au mali B inashikilia.
Reverse. Ikiwa B hutokea, basi A hutokea.
Kinyume. Ikiwa A haitokei, basi B haitokei.
Reverse kinyume. Ikiwa B haitokei, basi A haitokei.
Mifano ifuatayo inaonyesha uhusiano wa pande zote wa nadharia hizi katika hali fulani:
Nadharia ya moja kwa moja. Ikiwa, wakati mistari miwili iliyotolewa inapita kati ya tatu, pembe zinazofanana ni sawa, basi mistari iliyotolewa ni sawa.
Nadharia ya mazungumzo. Ikiwa mistari miwili ni sawa, basi wakati wanaingiliana na ya tatu, pembe zinazofanana ni sawa.
Kinyume. Ikiwa, wakati mistari miwili inapita kati ya tatu, pembe zinazofanana si sawa, mistari si sawa.
Reverse kinyume. Ikiwa mistari si sambamba, pembe zinazofanana si sawa.
Katika uwasilishaji wa kijiometri wa nadharia, inatosha kuthibitisha mbili tu ya nadharia hizi tatu, basi nadharia mbili zilizobaki ni halali bila uthibitisho.
Uunganisho huu wa nadharia unategemea mbinu ambayo, ili kuthibitisha nadharia ya mazungumzo, mara nyingi mtu hujifunga tu ili kuthibitisha theorem kinyume.
Njia za uthibitisho wa kijiometri
Kwa ushahidi nadharia za kijiometri Kuna njia mbili kuu: sintetiki Na uchambuzi.
Njia hizi wakati mwingine huitwa kwa ufupi usanisi Na uchambuzi.
Usanisi kuna njia ya uthibitisho ambayo pendekezo lililotolewa ni matokeo ya lazima ya mwingine, ambayo tayari imethibitishwa.
Katika usanisi, mlolongo wa ushahidi huanza na sentensi fulani inayojulikana na kuishia na sentensi hii. Wakati wa uthibitisho, sentensi asilia inalinganishwa na axiom au sentensi nyingine inayojulikana tayari. Njia ya syntetisk ni rahisi kupata sentensi mpya ambazo hazijaainishwa mapema. Kwa uthibitisho wa pendekezo hili, inatoa usumbufu mwingi. Haionyeshi: a) ni nadharia gani zinazojulikana lazima ichaguliwe ili pendekezo lithibitishwe kufuata kama matokeo yake muhimu, na b) ni matokeo gani ya pendekezo lililochaguliwa husababisha pendekezo kuthibitishwa.
Kwa hivyo muunganisho unaitwa si mbinu ya kugundua ukweli mpya, bali mbinu ya kuziwasilisha.
Walakini, hata wakati wa kuwasilisha nadharia kwa kutumia njia ya sintetiki, kuna usumbufu kwa maana kwamba haijulikani wazi kwa nini hii na sio pendekezo lingine, au hii na sio matokeo mengine yake, ilichaguliwa kama ukweli wa mwanzo katika safu ya ushahidi. .
Mfano wa njia ya sintetiki ya uthibitisho ni nadharia ifuatayo.
Nadharia. Jumla ya pembe za pembetatu ni sawa na pembe mbili za kulia.
Dan pembetatu ABC(mchoro 224).
Tunahitaji kuthibitisha kwamba A + B + C = 2d.
Ushahidi. Wacha tuchore mstari wa moja kwa moja wa DE sambamba na AC.
Jumla ya pembe zilizolala upande mmoja wa mstari wa moja kwa moja ni sawa na pembe mbili za kulia, kwa hivyo,
α + B + γ = 2d
basi, tukibadilisha pembe α na γ katika usawa uliopita na pembe sawa nao, tunayo:
A + B + C = 2d (CHD).
Hapa, pendekezo la awali katika mlolongo wa uthibitisho ni nadharia juu ya jumla ya pembe zilizolala upande mmoja wa mstari wa moja kwa moja.
Imewekwa katika uhusiano na nadharia juu ya usawa wa pembe za kuvuka kwenye makutano ya zile mbili zinazofanana na za tatu zisizo za moja kwa moja.
Nadharia inayothibitishwa ni tokeo la lazima la nadharia zote zinazopendekezwa na ni hitimisho la mwisho katika mlolongo wa uthibitisho.
Uchambuzi Kuna njia ambayo ni kinyume cha usanisi. Katika uchanganuzi, mlolongo wa hoja huanza na nadharia ya kuthibitishwa na kuishia na ukweli mwingine ambao tayari unajulikana..
Uchambuzi huja kwa namna mbili. Kutoka kwa pendekezo linalothibitishwa, tunaweza kuendelea na pendekezo ambalo hutumika kama msingi wake wa haraka au matokeo yake ya haraka.
Kuhama kutoka kwa pendekezo lililopewa hadi pendekezo ambalo hutumika kama msingi wake wa haraka, tunaangalia pendekezo hili kama matokeo ya lazima.
Kuhama kutoka kwa pendekezo fulani hadi matokeo yake ya haraka, tunaangalia pendekezo hili kama msingi wa mlolongo wa makisio.
Njia ya kwanza ya uchambuzi. Wakifanya uchanganuzi kwa kuhamia msingi, wanatafuta sentensi ya kwanza iliyo karibu zaidi ambayo iliyopewa hufuata kama tokeo la lazima. Ikiwa pendekezo hili lilithibitishwa hapo awali, basi pendekezo hili pia limethibitishwa, lakini ikiwa sivyo, basi tafuta pendekezo la pili, msingi kwa wa kwanza.
Mpito huu wa msingi unapaswa kuendelezwa hadi tufikie pendekezo lililothibitishwa kabisa. Pendekezo hili litaonekana kama tokeo la lazima la pendekezo la mwisho lililothibitishwa.
Kwa kuainisha kila sentensi na herufi na kuiweka mbele au nyuma ya nyingine, kulingana na ikiwa itatumika kama msingi au matokeo ya sentensi nyingine, tunaweza kuelezea kimkakati njia hii ya uchanganuzi katika fomu.
ambapo M ni pendekezo lililotolewa, L ndio msingi wake wa karibu zaidi, na H ni pendekezo lililothibitishwa kabisa. Ikiwa pendekezo H ni kweli, basi pendekezo K ni kweli; ikiwa K ni kweli, basi L ni kweli; ikiwa L ni kweli, basi M pia ni kweli.
Njia ya pili ya uchambuzi inajumuisha mpito kutoka kwa pendekezo fulani hadi matokeo yake. Mbinu hii hutumiwa mara nyingi zaidi kwa sababu ni rahisi kupata matokeo muhimu kuliko kupata msingi wa ukweli fulani. Kwa kutumia njia hii, mtu hupata kutoka kwa pendekezo fulani nadharia ambayo hutumika kama matokeo yake ya haraka. Ikiwa corollary hii ni pendekezo lililothibitishwa hapo awali, basi wanaishia hapo; la sivyo, wanasonga mbele hadi kwenye muhimili unaofuata wa karibu zaidi na kwa ujumla huendeleza utokezaji huu mtawalia wa mifuatano hadi wafikie pendekezo lililothibitishwa kabisa.
Ikiwa sentensi ya mwisho sio kweli, basi hii sio kweli, kwa sababu matokeo yasiyo sahihi hayawezi kupatikana kutoka kwa sentensi sahihi.
Ikiwa sentensi ya mwisho ni ya kweli, basi kuamini ukweli wa sentensi hii kunahitaji kwamba masharti fulani yatimizwe.
Kwa utaratibu, njia hii ya uchambuzi inaweza kuwakilishwa katika fomu
M - N - O - P - Q - R - S
ambapo M ni sentensi iliyotolewa, N ni sentensi ambayo hutumika kama tokeo lake la mara moja, na S ni sentensi ya mwisho ya uhalali ambayo tunasadikishwa kabisa.
Kutoka kwa maazimio mawili R na S, yakisimama katika uhusiano kwamba ikiwa R ni kweli, basi pendekezo S pia ni kweli, sisi, kama inavyojulikana, hatuwezi kuhitimisha kinyume kila wakati kwamba ikiwa S ni kweli, basi pendekezo R pia ni kweli.
Ili hitimisho la mwisho kushikilia, inahitajika kwamba nadharia R na S ziwe mapendekezo yanayolingana.
Kwa hiyo, ili kuthibitisha kwamba nadharia R na S zinasimama katika uhusiano huo kwamba inakidhi mpango wa R - S na mpango wa S - R, inahitajika kuthibitisha kwamba mapendekezo R na S yanafanana.
Kwa hivyo, ili kuweza kuhitimisha kutoka kwa ukweli wa sentensi ya mwisho S kwamba sentensi iliyotolewa M ni kweli, ni muhimu kudhibitisha kwamba kila mbili zinazopakana. ofa zinazofaa R na S, P na R, O na P, N na O, M na N zinakidhi sheria ya urejeshaji.
Ikiwa hii imethibitishwa, basi mlolongo wa mapendekezo unaweza kubadilishwa, na karibu na mpango M - N - O - P - Q - R - S mpango.
S - R - Q - P - O - N - M
ambayo kwayo tuna haki ya kuhitimisha kwamba ikiwa pendekezo S ni kweli, basi pendekezo M pia ni kweli.
Kwa kuwa ni vigumu kuthibitisha ugeuzaji wa sentensi mbili kila wakati, hii inaepukwa kwa kuchanganya mbinu ya uchanganuzi na ile ya sintetiki. Baada ya pendekezo S kutolewa kutoka kwa pendekezo M kama tokeo lake, wanatazamia kuona kama inawezekana kutoa pendekezo la M kama tokeo la lazima la pendekezo S.
Ikiwa usanisi ni njia inayoitwa makato au hitimisho, basi uchambuzi unaweza kuitwa kupunguza(kutupwa, mwongozo).
Mfano njia ya uchambuzi Nadharia ifuatayo inaweza kutumika kama uthibitisho.
Nadharia. Milalo ya parallelogramu hukatiza katikati.
Ushahidi. Ikiwa diagonals zinaingiliana kwa nusu, basi pembetatu AOB na DOC ni sawa (Mchoro 225). Usawa wa pembetatu AOB na DOC ifuatavyo kutokana na ukweli kwamba AB = CD kama pande tofauti parallelogramu na ∠α = ∠γ, ∠β = ∠δ kama pembe zinazolalia.
Kwa hivyo, tunaona kwamba sentensi iliyopewa inabadilishwa mfululizo na nyingine, na uingizwaji kama huo unafanywa hadi tufikie sentensi ambayo tayari imethibitishwa.
Ulinganisho wa awali na uchambuzi. Njia ya uchambuzi kwa usahihi inaongoza kwa uthibitisho wa theorem iliyotolewa, kwa sababu kutoka kwa nadharia fulani ni rahisi zaidi kuendelea na msingi wake wa karibu au corollary.
Ingawa uchanganuzi unaeleza vyema zaidi kuliko mjumuisho kwa nini njia moja au nyingine ilichaguliwa ili kuthibitisha nadharia hiyo, kutokuwa na uhakika katika vithibitisho hakuondolewi kabisa kwa maana kwamba tunapobadilisha sentensi moja na nyingine mfululizo, hatuwezi kufikia kila wakati sentensi tunayoijua. , kwa sababu wakati mwingine haionekani ni matokeo gani au ni ipi kati ya misingi ya pendekezo lililotolewa lazima ichaguliwe ili kuthibitisha. Ugumu huongezeka hata zaidi wakati inahitajika kuchora mistari mpya ya usaidizi kwa uthibitisho. Wakati mwingine ni ngumu kutoa dalili sahihi ni yupi kati yao anayewezesha uthibitisho wa nadharia fulani.
Uchambuzi, kama mbinu zote za kimantiki, hurahisisha tu na kusaidia kupata uthibitisho wa pendekezo fulani, lakini sio lazima kila wakati kusababisha uthibitisho wenyewe.
Mbali na hizi za moja kwa moja, kuna njia isiyo ya moja kwa moja ya uthibitisho, inayojulikana kama uthibitisho kwa kupingana au njia ya kupunguza kwa upuuzi.
Njia ya uthibitisho kwa kupingana Inajumuisha ukweli kwamba ili kudhibitisha pendekezo fulani, mtu ana hakika ya kutowezekana kwa kudhani kinyume chake..
Kwa msingi huu, uthibitisho huu unaitwa uthibitisho kwa kupingana. Inafikia lengo lake wakati wowote kati ya mapendekezo mawili, yaliyotolewa na kinyume, hakika moja hufanyika.
Katika kesi hii, ili kudhibitisha yaliyotolewa, baada ya kukubali pendekezo lililo kinyume, wanapata matokeo kama hayo ambayo yanapingana na axioms au nadharia ambazo tayari zimethibitishwa. Ikiwa moja ya matokeo ya sentensi hii ni ya uwongo, basi sentensi iliyo kinyume ni ya uwongo, na kwa hivyo sentensi iliyotolewa ni kweli.
Mbinu hii mara nyingi hutumiwa kuthibitisha nadharia ambazo ni kinyume au kinyume na data.
Si vigumu kutambua kwamba njia hii ni njia ya pili ya uchambuzi, ambayo mtu huendelea sequentially kutoka kwa pendekezo fulani kwa matokeo yake.
Mfano wa matumizi ya njia hii ni uthibitisho wa nadharia iliyotolewa hapo juu: pande sawa ziko kinyume na pembe sawa katika pembetatu (Theorem 26).
Katika jiometri, njia pia hutumiwa ambayo inategemea yaliyomo katika ukweli wa kijiometri. Ukweli wa kijiometri unahusiana na upanuzi wa kijiometri. Viendelezi hivi vina mali fulani, chini ya hisi za nje. Ugani wa kijiometri unaweza kuzingatiwa kwa ujumla, kupatikana kwa uchunguzi na hisia za nje. Tafakari ya kidunia zaidi pia inachangia ushawishi wa uthibitisho. Haiwezekani kufanya bila hiyo katika jiometri.
Miongoni mwa mbinu zinazofanyika katika jiometri ni: njia ya kuweka, njia ya uwiano na njia ya mipaka.
Mbinu ya maombi inajumuisha ukweli kwamba wingi mmoja wa kijiometri umewekwa juu ya mwingine. Kwa njia hii, mtu ana hakika juu ya usawa au usawa wa upanuzi wa kijiometri, kulingana na ikiwa ni pamoja au si pamoja wakati wa juu.
Mbinu ya uwiano inajumuisha kutumia sifa za uwiano kwa upanuzi wa kijiometri. Njia hii inatumika kuthibitisha nadharia zinazohusiana na takwimu zinazofanana na kwa sehemu sawia.
Mbinu ya mipaka inajumuisha ukweli kwamba badala ya upanuzi uliopewa, mali ya upanuzi wa karibu katika mali zao kwa moja iliyotolewa huzingatiwa, na hitimisho lililopatikana kutokana na kuzingatia baadhi hutumiwa kwa upanuzi mwingine sawa.
Njia za kutatua shida za kijiometri
Wakati wa kuamua matatizo ya kijiometri usanisi na uchanganuzi hutumika kwa njia sawa na katika kuthibitisha nadharia.
Wakati wa kusuluhisha shida kwa njia ya syntetisk, huchukua shida nyingine ambayo wanajua jinsi ya kutatua, kisha kutoka kwa suluhisho lake huamua suluhisho la shida inayofuata, kama matokeo yake ya lazima, na hufanya hivi hadi wafikie suluhisho la shida hii.
Njia ya syntetisk ya kutatua shida ina shida zote sawa na njia ya uthibitisho ya syntetisk.
Kwa hiyo, uchambuzi hutumiwa mara nyingi zaidi na kwa mafanikio zaidi kutatua matatizo.
Wakati wa kutatua tatizo, uchambuzi unachukua nafasi kazi hii mpya. Tutaita shida hii mpya kuchukua nafasi.
Ikiwa shida mbili ziko kwenye uhusiano ambao hali ya pili ni matokeo ya lazima ya hali ya kwanza, basi tutaita shida ya kwanza. msingi, na ya pili - derivative.
Kuna njia mbili za kuchambua.
Njia ya kwanza. Shida ya uingizwaji imechaguliwa ili hali ya shida hii ifuate kama matokeo ya lazima ya hali ya shida mpya ya uingizwaji, i.e., katika istilahi zetu, wanahama kutoka kwa shida hii hadi ya kwanza. kazi ya awali. Ikiwa suluhisho la tatizo hili linajulikana, basi suluhisho la tatizo hili linaonekana kama matokeo ya lazima ya ufumbuzi wa tatizo la awali. Ikiwa ufumbuzi wake haujulikani, basi huondoka kutoka kwa tatizo la pili, la tatu la awali na kuendelea kufanya hivyo mpaka wapate tatizo ambalo ufumbuzi wake unajulikana.
Baada ya kusuluhisha shida hii ya mwisho, wanafikia suluhisho la shida hii mfululizo.
Njia ya pili. Inawezekana kuhama kutoka kwa shida fulani hadi nyingine ambayo masharti yake ni matokeo ya hali ya hii, ambayo ni, kutoka kwa shida fulani mtu huhamia kwenye derivative yake.
Kwa kubadilisha tatizo moja mfululizo na lingine la derivatives yake kwa njia hii, tunaweza kufikia tatizo ambalo ufumbuzi wake tayari unajulikana. Kutatua tatizo hili wakati mwingine hufanya iwezekanavyo kutatua tatizo hili pia.
Mpito huu kutoka kwa shida fulani hadi derivative yake hutumiwa mara nyingi zaidi, kwa sababu ni rahisi kuendelea na matokeo kuliko kutafuta msingi wa ukweli fulani.
Katika kesi hii maalum ya uchambuzi, kwa kawaida hufikiriwa kuwa tatizo limetatuliwa, na kutokana na mahusiano haya ya kudhani yanatolewa ambayo hufanya iwezekanavyo kutatua tatizo hili.
Wakati wa kuhama kutoka kwa kazi uliyopewa hadi uingizwaji wake, ni muhimu sana kuzingatia ikiwa kazi hizi mbili zitakuwa na mali ya kubadilika kwa pande zote. Uwiano huu katika hali ya matatizo mawili hutokea wakati kazi moja, kuwa ya awali kwa nyingine, inaweza wakati huo huo kuwa derivative yake; vinginevyo, wakati kazi mbili ziko katika uhusiano ambao hali ya moja inaweza pia kuwa matokeo ya lazima ya nyingine na kinyume chake.
Ikiwa shida mbili, moja ya sasa na mpya, zina mali hizi, basi kazi mpya inachukua nafasi ya hii kabisa. Katika kesi hii, suluhisho zote za moja pia zitakuwa suluhisho za nyingine.
Ikiwa hali za shida mbili hazina mali ya kutobadilika kwa pande zote, basi, tukibadilisha shida hii na mpya, tunaweza kupata suluhisho la ziada au kuwa na suluhisho zingine zilizopotea.
Ikiwa tatizo la uingizwaji ni derivative ya moja iliyotolewa, basi tunaweza kupata ufumbuzi wa ziada; ikiwa ni ya awali kwa ile iliyotolewa, basi tunaweza kupata baadhi ya suluhu zilizopotea.
Kwa kuwa mara nyingi huhama kutoka kwa shida fulani kwenda kwa shida inayotoka, mara nyingi hulazimika kupata suluhisho zisizo za lazima.
Ili kutenganisha suluhisho zisizo za lazima na kupata zilizopotea, suluhisho zote zilizopatikana huangaliwa.
Uthibitishaji kuna njia ya kutenganisha suluhisho za nje (zisizo za lazima).. Inakamilisha uchambuzi.
Suluhisho la uchambuzi wa tatizo linaonyesha ujenzi ambao unahitaji kufanywa ili kutatua tatizo. Wakati wa kufanya ujenzi huu, wanafanya katika kutatua tatizo kwa njia ya kinyume na uchambuzi, yaani, wanatumia njia ya synthetic. Njia hii ya sanisi mara nyingi inaweza kuchukua nafasi ya uthibitishaji halisi wa suluhu zilizopatikana.
Matumizi ya pamoja ya awali na uchambuzi hutoa njia ya kuepuka makosa hayo ambayo yanaweza kutokea wakati wa kutumia moja tu ya njia hizi za ufumbuzi.
Wacha tusuluhishe shida sawa kwa kisanii na kiuchambuzi. Kazi ifuatayo inaweza kutumika kama mfano.
Kazi. Gawanya sehemu hii AB katika uhusiano uliokithiri na wastani.
Suluhisho. Wacha tujenge BO perpendicular kutoka mwisho wa sehemu AB sawa na nusu AB (mchoro 226). Kutoka katikati O tunaelezea mduara na radius BO, kuunganisha kituo cha O na uhakika A na kupanga kwenye sehemu AB sehemu ya AC sawa na AD, kisha sehemu ya AC au AD itakuwa moja inayohitajika.
Ushahidi. Kwa hivyo, mstari wa AB ni tangent kwa duara
ambapo tuna:
(AE - AB)/AB = (AB - AD)/AD
Kwa kuwa DE = AB na AD = AC, basi katika sehemu iliyopita tunayo:
AE - AB = AE - DE = AD = AC
AB - AD = AB - AC = BC
tunapata wapi uwiano
Suluhisho hili ni la syntetisk. Ndani yake tunaanza kutoka kwa nadharia inayojulikana juu ya sifa za mstari wa tangent na suluhisho la shida hii ikifuatiwa kama matokeo ya lazima ya nadharia hii.
Ufumbuzi wa uchambuzi. Hebu tufikiri kwamba tatizo limetatuliwa, na kwa hiyo sehemu ya AC imepatikana, basi
AB/AC = AC/CB (1)
(AB + AC)/AB = (AC + CB)/AC
(AB + AC)/AB = AB/AC (2).
Kutoka kwa sehemu ya mwisho ni wazi kwamba AB ni tangent, AB + AC inapita, AC ni sehemu yake ya nje na AB ni sehemu yake ya ndani.
Inafuata kutoka kwa hii kwamba ujenzi. Inahitajika kuunda perpendicular sawa na ½ AB kutoka mwisho B, chora duara, unganisha O hadi A na uweke sehemu AC = AD kwenye sehemu ya AB.
Katika suluhisho hili la uchanganuzi, tunabadilisha hali hii ya kuridhisha (1) na hali ya kuridhisha ya kazi (2).
Hali (2) pia inaonyesha njia ya kutatua tatizo lenyewe kwa ujenzi.
Kawaida, baada ya kupata suluhisho la shida kwa kutumia njia ya uchambuzi, hufanya ujenzi ambao, kwa kutumia njia ya syntetisk ya kufikiria, wanathibitisha kuwa ujenzi huu unasuluhisha shida na kwa uthibitisho huu wanabadilisha uthibitishaji, ambao umekusudiwa kuondoa. ufumbuzi wa nje.
KATIKA katika mfano huu Kuna urekebishaji kamili kati ya matatizo ambayo yanakidhi masharti (1) na (2), kwa sababu masharti (1) yanajumuisha masharti (2) kama tokeo la lazima na kinyume chake, kwa hivyo hakuna suluhu zilizopotea au zisizo za kawaida hapa.
Utafiti wa mbinu za sekondari na za ziada za kutatua matatizo bado haujafikia kukamilika kamili na kamili katika matibabu yake. Tutaepuka kuzichunguza kwa undani kwa sasa.
Sio tu kila mtoto wa shule, lakini pia kila mtu anayejiheshimu mtu mwenye elimu lazima ujue nadharia na uthibitisho wa nadharia ni nini. Labda dhana kama hizo hazitapatikana ndani maisha halisi, lakini hakika watasaidia kuunda ujuzi mwingi, na pia kufanya hitimisho. Ndio sababu katika nakala hii tutaangalia njia za kudhibitisha nadharia, na pia kufahamiana na nadharia maarufu ya Pythagorean.
Nadharia ni nini?
Ikiwa tutazingatia kozi ya hisabati ya shule, basi mara nyingi kuna vile masharti ya kisayansi, kama nadharia, axiom, ufafanuzi na uthibitisho. Ili kuabiri programu, unahitaji kujijulisha na kila moja ya ufafanuzi huu. Sasa tutaangalia nadharia na uthibitisho wa nadharia ni nini.
Kwa hivyo, nadharia ni kauli fulani inayohitaji uthibitisho. Fikiria dhana hii muhimu kwa sambamba na axiom, kwani mwisho hauhitaji uthibitisho. Ufafanuzi wake tayari ni wa kweli, kwa hiyo unachukuliwa kuwa wa kawaida.
Upeo wa matumizi ya nadharia
Ni makosa kufikiria kuwa nadharia zinatumika tu katika hisabati. Kwa kweli, hii ni mbali na kesi. Kwa mfano, kuna idadi ya ajabu ya nadharia katika fizikia ambayo inaruhusu sisi kuchunguza matukio na dhana fulani kwa undani na kutoka pande zote. Hii ni pamoja na nadharia za Ampere, Steiner na wengine wengi. Uthibitisho wa nadharia kama hizo hukuruhusu kuelewa vizuri wakati wa inertia, statics, mienendo, na dhana zingine nyingi za fizikia.
Kutumia nadharia katika hisabati
Ni ngumu kufikiria sayansi kama hisabati bila nadharia na uthibitisho. Kwa mfano, uthibitisho wa nadharia za pembetatu hukuruhusu kusoma kwa undani mali yote ya takwimu. Ni muhimu sana kuelewa sifa pembetatu ya isosceles na katika mambo mengine mengi.
Uthibitisho wa nadharia ya eneo hukuruhusu kuelewa njia rahisi ya kuhesabu eneo la umbo kulingana na data fulani. Baada ya yote, kama unavyojua, kuna idadi kubwa ya fomula zinazoelezea jinsi ya kupata eneo la pembetatu. Lakini kabla ya kuzitumia, ni muhimu sana kuthibitisha kwamba hii inawezekana na ya busara katika kesi fulani.
Jinsi ya kuthibitisha nadharia
Kila mwanafunzi anapaswa kujua nadharia ni nini na uthibitisho wa nadharia. Kwa kweli, kuthibitisha taarifa yoyote si rahisi sana. Ili kufanya hivyo, unahitaji kufanya kazi na data nyingi na uweze kufanya hitimisho la kimantiki. Bila shaka, ikiwa una ujuzi mzuri wa habari juu ya taaluma fulani ya kisayansi, basi kuthibitisha theorem haitakuwa vigumu kwako. Jambo kuu ni kutekeleza utaratibu wa uthibitisho katika mlolongo fulani wa kimantiki.
Ili kujifunza jinsi ya kudhibitisha nadharia kwa kutumia vile taaluma za kisayansi, kama vile jiometri na aljebra, unahitaji kuwa na kiasi kizuri cha maarifa, na pia kujua kanuni ya uthibitisho yenyewe. Ikiwa unajua utaratibu huu, basi amua matatizo ya hisabati baadae haitakuwa ngumu kwako.
Unachohitaji kujua juu ya uthibitisho wa nadharia
Ni nini nadharia na uthibitisho wa nadharia? Hili ni swali ambalo linasumbua watu wengi jamii ya kisasa. Ni muhimu sana kujifunza jinsi ya kuthibitisha nadharia za hisabati, hii itakusaidia katika siku zijazo kujenga minyororo ya mantiki na kufikia hitimisho fulani.
Kwa hiyo, ili kuthibitisha theorem kwa usahihi, ni muhimu sana kufanya kuchora sahihi. Inaonyesha data yote ambayo ilikuwa maalum katika hali. Pia ni muhimu sana kuandika habari zote zilizotolewa katika kazi. Hii itakusaidia kuchambua kazi kwa usahihi na kuelewa ni kiasi gani hutolewa ndani yake. Na tu baada ya taratibu hizo tunaweza kuanza uthibitisho yenyewe. Ili kufanya hivyo, unahitaji kujenga mlolongo wa mawazo kwa kutumia nadharia nyingine, axioms au ufafanuzi. Matokeo ya uthibitisho lazima yawe ni matokeo ambayo ukweli wake hauna shaka.
Njia za msingi za kuthibitisha nadharia
KATIKA kozi ya shule Katika hisabati, kuna njia mbili za kuthibitisha nadharia. Mara nyingi, shida hutumia njia ya moja kwa moja, na pia njia ya uthibitisho kwa kupingana. Katika kesi ya kwanza, wao huchambua tu data zilizopo na, kwa kuzingatia wao, hufanya hitimisho sahihi. Njia ya kinyume pia hutumiwa mara nyingi sana. Katika kesi hii, tunadhani kauli iliyo kinyume na kuthibitisha kuwa ni ya uwongo. Kulingana na hili, tunapata matokeo kinyume na kusema kwamba hukumu yetu haikuwa sahihi, ambayo ina maana kwamba taarifa iliyotajwa katika hali ni sahihi.
Kwa kweli, matatizo mengi ya hisabati yanaweza kuwa na suluhisho zaidi ya moja. Kwa mfano, nadharia ya Fermat ina uthibitisho kadhaa. Bila shaka, baadhi huzingatiwa kwa njia moja tu, lakini, kwa mfano, katika theorem ya Pythagorean, kadhaa yao yanaweza kuzingatiwa mara moja.
Nadharia ya Pythagorean ni nini
Bila shaka, kila mtoto wa shule anajua kwamba theorem ya Pythagorean inatumika hasa kwa pembetatu sahihi. Na inasikika kama hii: "Mraba wa hypotenuse sawa na jumla mraba wa miguu." Licha ya jina la nadharia hii, haikugunduliwa na Pythagoras mwenyewe, lakini muda mrefu kabla yake. Kuna njia kadhaa za kuthibitisha kauli hii, na tutaangalia baadhi yao.
Kulingana na data ya kisayansi, mwanzoni pembetatu ya kulia ilizingatiwa. Kisha viwanja vilijengwa pande zake zote. Mraba iliyojengwa juu ya hypotenuse itakuwa na pembetatu nne sawa na kila mmoja. Wakati takwimu zilizojengwa kwa pande zitakuwa na pembetatu mbili tu za sawa. Uthibitisho huu wa theorem ya Pythagorean ndio rahisi zaidi.
Hebu tuchunguze uthibitisho mwingine wa nadharia hii. Inahitaji kutumia ujuzi sio tu kutoka kwa jiometri, lakini pia kutoka kwa algebra. Ili kuthibitisha nadharia hii Kwa njia hii, tunahitaji kuunda pembetatu nne zinazofanana za kulia, na kuweka pande zao kama a, b na c.
Tunahitaji kujenga pembetatu hizi kwa njia ambayo tunaishia na miraba miwili. Ya nje itakuwa na pande (a+b), lakini ya ndani itakuwa na c. Ili kupata eneo la mraba wa ndani, tunahitaji kupata bidhaa c*c. Lakini ili kupata eneo la mraba kubwa, unahitaji kuongeza maeneo ya viwanja vidogo na kuongeza maeneo ya matokeo. pembetatu za kulia. Sasa, baada ya kufanya baadhi shughuli za algebra, unaweza kupata formula ifuatayo:
a 2 + b 2 = c 2
Kwa kweli, kuna idadi kubwa ya njia za kuthibitisha nadharia. Perpendicular, pembetatu, mraba au maumbo mengine yoyote na mali zao zinaweza kuchukuliwa kwa kutumia nadharia mbalimbali na ushahidi. Nadharia ya Pythagorean inathibitisha hili tu.
Badala ya hitimisho
Ni muhimu sana kuwa na uwezo wa kuunda nadharia, na pia kuthibitisha kwa usahihi. Kwa kweli, utaratibu kama huo ni ngumu sana, kwani kutekeleza ni muhimu sio tu kuweza kufanya kazi kiasi kikubwa habari, lakini pia kujenga minyororo ya kimantiki. Hisabati ni nyingi sana sayansi ya kuvutia, ambayo haina mwisho wala makali.
Anza kuisoma, na hutaongeza tu kiwango chako cha akili, lakini pia kupata kiasi kikubwa habari ya kuvutia. Anza na elimu yako leo. Kwa kuelewa kanuni za msingi za uthibitisho wa nadharia, utaweza kutumia wakati wako kwa faida kubwa.
Uthibitisho wa taarifa ya hisabati, kama sheria, ni mlolongo wa hoja sahihi kwa kutumia axioms na theorems, uhalali wake ambao umeanzishwa hapo awali. Hoja inaitwa sahihi ikiwa ukweli wa mambo yote unamaanisha ukweli wa hitimisho. Acha kauli \(A_1,A_2, \lddots,A_n\) ziwe majengo, na kauli \(A\) iwe hitimisho. Hoja inafanywa kulingana na mpango \(\frac(A_1,A_2,\ldets, A_n)(B)\), i.e. kutoka kwa mawazo \(A_1,A_2,\lddots,A_n\) hitimisho \(B\) linafuata. Hoja hii ni sahihi ikiwa fomula \((A_1\Na A_2\Na \ldots\Na A_n)\Mshale B\) sawa sawa, i.e. kweli kwa thamani zozote za ukweli za taarifa zilizojumuishwa ndani yake \(A_1,A_2,\ldets,A_n,B\) .
Kwa mfano, michoro ifuatayo inalingana na hoja sahihi:
\(\frac(A\Rightarrow B,A)(B)\)- kanuni ya ufahamu ( modus ponens);
\(\frac(A\Mshale wa Kulia B,B\Mshale wa Kulia C)(A \Mshale wa Kulia C)\)- kanuni ya syllogism;
\(\frac(A\Mshale B,\lsio B)(\lsio A)\)- kanuni ya kupingana.
Kulingana na mpango wa kwanza na wa tatu, hoja zifuatazo zinaundwa:
- ikiwa nambari ya asili \(n\) inaweza kugawanywa na 4, basi ni sawa. Nambari \(n\) imegawanywa na 4. Kwa hiyo, nambari n ni sawa;
- ikiwa nambari ya asili \(n\) inaweza kugawanywa na 4, basi ni sawa. Nambari \(n\) ni isiyo ya kawaida. Kwa hivyo, nambari \(n\) haiwezi kugawanywa na 4.
Hoja zote mbili ni sahihi kwa nambari zozote asili \(n\) . Kwa kweli, hata na \(n=1\), licha ya kutoendana kwa dhahiri, tunayo hoja sahihi: "ikiwa nambari 1 inaweza kugawanywa na 4, basi nambari 1 inaweza kugawanywa na 4. Kwa hivyo, nambari nambari 1 ni sawa,” kwa kuwa kutoka kwa majengo ya Uongo inaweza kutumika kufanya hitimisho lolote.
Wacha tuangalie mfano wa hoja kulingana na mpango \(\frac(A\Mshale wa Kulia B,B)(A):\)
- ikiwa nambari ya asili \(n\) inaweza kugawanywa na 4, basi ni sawa. Nambari \(\) ni sawa. Kwa hivyo, nambari \(n\) inaweza kugawanywa na 4.
Kwa \(n=6\) na \(n=8\), mtawalia, tunapata:
- ikiwa nambari ya asili 6 imegawanywa na 4, basi ni sawa. Nambari ya 6 ni sawa. Kwa hivyo, nambari ya 6 inaweza kugawanywa na 4;
- ikiwa nambari ya asili 8 imegawanywa na 4, basi ni sawa. Nambari 8 ni sawa. Kwa hivyo, nambari 8 inaweza kugawanywa na 4.
Hoja zote mbili si sahihi, ingawa hitimisho la hoja ya pili ni kweli (nambari 8 kwa kweli inaweza kugawanywa na 4), i.e. mpango \(\frac(A\Rightarrow B,B)(A)\) hailingani na hoja sahihi.
Mara nyingi, badala ya kuthibitisha nadharia ya umbo \(A\Rightarrow B\), wao huthibitisha ukweli wa taarifa nyingine inayolingana na ile ya awali. Aina kama hizo za ushahidi huitwa zisizo za moja kwa moja. Mojawapo ni njia ya uthibitisho kwa kupingana. Ili kuthibitisha ukweli wa taarifa \(A\Rightarrow B\), tunachukulia kuwa taarifa hii ni ya uwongo. Kulingana na dhana hii, tunafikia mkanganyiko, yaani, tunathibitisha kwamba taarifa fulani ni kweli na si kweli kwa wakati mmoja. Kutokana na hili tunahitimisha kuwa dhana hiyo ni ya uwongo na kauli asilia ni kweli.
Kwa kutumia njia iliyoelezwa, tunathibitisha taarifa:
ikiwa \(n\) nambari isiyo ya kawaida, basi nambari \(n^2\) ni isiyo ya kawaida.
Hebu tuchukue kinyume chake, i.e. Acha kuwe na nambari isiyo ya kawaida \(n\) kiasi kwamba nambari \(n^2\) ni sawa. Halafu, kwa upande mmoja, tofauti \(n^2-n\) itakuwa nambari isiyo ya kawaida, na kwa upande mwingine, nambari \(n^2-n=n(n-1)\) ni dhahiri. hata, kama bidhaa ya nambari kamili mbili mfululizo. Ukinzani hupatikana, yaani: nambari \(n^2-n\) ni sawa na isiyo ya kawaida kwa wakati mmoja. Hii inathibitisha kwamba dhana iliyofanywa si sahihi na kwa hiyo taarifa ya awali ni kweli.
Mpango unaozingatiwa wa uthibitisho kwa kupingana sio pekee. Miradi mingine ya uthibitisho kwa kupingana pia hutumiwa:
\(\frac(A,\lsi B)(\lsi A)\) au \(\frac(A,\lnot B)(B)\) .
Mpango mwingine wa uthibitisho usio wa moja kwa moja (kulingana na sheria ya ukiukaji) unatokana na usawa wa taarifa mbili \(A\Rightarrow B\) na \(B\Rightarrow \lnot A\) . Hakika, taarifa hizi ni za kweli au zote mbili ni za uwongo. Kwa mfano, taarifa "ikiwa kunanyesha, basi kuna mawingu mbinguni" na "kama hakuna mawingu mbinguni, basi mvua hainyeshi" zote mbili ni kweli, na kauli "ikiwa mawingu mbinguni, basi mvua inanyesha" na "ikiwa hakuna mvua, basi hakuna mawingu angani" zote mbili ni za uwongo wa kweli.
Katika matatizo mengi, unahitaji kuthibitisha uhalali wa taarifa fulani (formula) kwa yoyote nambari ya asili\(n\) . Uthibitishaji wa moja kwa moja wa taarifa kama hizo kwa kila thamani ya n hauwezekani, kwani seti ya nambari za asili haina kikomo. Ili kudhibitisha kauli kama hizo (formula) tunatumia njia induction ya hisabati , asili yake ni kama ifuatavyo. Hebu iwe muhimu kuthibitisha ukweli wa taarifa \(A(n)\) kwa wote \(n\in \mathbb(N)\) . Ili kufanya hivyo, inatosha kudhibitisha taarifa mbili:
1) taarifa \(A(n)\) ni kweli kwa \(n=1\) . Sehemu hii ya uthibitisho inaitwa msingi wa induction;
2) kwa \(k\) yoyote ya asili kutokana na ukweli kwamba taarifa hiyo ni kweli kwa \(n=k\) (dhana ya kufata neno) inafuata kwamba ni kweli kwa tarehe inayofuata\(n=k+1\) , yaani. \(A(k)\Mshale wa Kulia A(k+1)\) . Sehemu hii ya uthibitisho inaitwa hatua ya kufata neno.
Ikiwa pointi 1, 2 zimethibitishwa, tunaweza kuhitimisha kuwa taarifa \(A(n)\) ni kweli kwa nambari yoyote asili \(n\) .
Kwa kweli, ikiwa taarifa \(A(1)\) ni ya kweli (angalia nukta 1), basi kauli \(A(2)\) pia ni kweli (angalia nukta 2 ya \(n=1\)). Kwa kuwa \(A(2)\) ni kweli, basi \(A(3)\) pia ni kweli (angalia nukta 2 ya \(n=2\)), n.k. Kwa njia hii, unaweza kufikia nambari yoyote asili \(n\) huku ukihakikisha kuwa \(A(n)\) ni kweli.
Kumbuka B.6. Katika idadi ya matukio, inaweza kuwa muhimu kuthibitisha uhalali wa taarifa fulani \(A(n)\) si kwa asili yote \(n\), lakini tu kwa \(n\geqslant p\), i.e. kuanzia nambari fulani isiyobadilika \(p\) . Kisha njia ya induction ya hisabati inarekebishwa kama ifuatavyo:
1) msingi wa induction: thibitisha ukweli wa \(A(p)\) ;
2) hatua ya utangulizi: thibitisha \(A(k)\Rightarrow A(k+1)\) kwa fasta yoyote \(k\geqslant p\) .
Kutoka kwa pointi 1, 2 inafuata kwamba taarifa \(A(n)\) ni kweli kwa nambari zote asili \(n\geqslant p\) .
Mfano B.16. Thibitisha uhalali wa usawa \(1+3+5+\ldets+(2n-1)=n^2\) kwa nambari yoyote asili \(n\) .
Suluhisho. Hebu tuonyeshe jumla ya nambari \(n\) za kwanza zisizo za kawaida kwa \(S_n=1+3+\ldets+(2n-1)\) . Inahitajika kuthibitisha kauli \(A(n):\) "usawa \(S_n=n^2\) ni kweli kwa \(n\in \mathbb(N)\)" yoyote ". Tutatekeleza uthibitisho kwa introduktionsutbildning.
1) Kwa kuwa \(S_1=1=1^2\) , basi kwa \(n=1\) usawa \(S_n=n^2\) ni kweli, i.e. taarifa \(A(1)\) ni kweli. Msingi wa induction umethibitishwa.
2) Hebu \(k\) iwe nambari yoyote asili. Wacha tutekeleze hatua ya utangulizi \(A(k)\Rightarrow A(k+1)\) . Kwa kuchukulia kuwa taarifa \(A(n)\) ni kweli kwa \(n=k\), i.e. \(S_k=k^2\) , tuthibitishe kwamba kauli \(A(n)\) ni kweli kwa nambari asilia inayofuata \(n=k+1\) , yaani, \(S_(k+) 1)=(k +1)^2\) . Kweli,
\(S_(k+1)= \brace ya chini(1+3+5+\ldots+(2k-1))_(S_k)+ \bigl= S_k+2k+1= k^2+2k+1= (k +1)^2.\)
Kwa hivyo \(A(k)\Rightarrow A(k+1)\) na kwa kuzingatia mbinu ya utangulizi wa hisabati tunahitimisha kuwa taarifa \(A(n)\) ni kweli kwa nambari yoyote asilia \(n\) , yaani, fomula \( S_n=n^2\) ni kweli kwa yoyote \(n\in \mathbb(N)\) .
Mfano B.17. Ruhusa ya nambari \(n\) ni seti ya nambari asili \(n\) za kwanza, zinazochukuliwa kwa mpangilio fulani. Thibitisha kwamba wingi vibali mbalimbali ni sawa na \(n!\) . Usemi \(n!\) (soma "\(n\) factorial") ni sawa na \(n!= 1\cdot2 \cdot3\cdot \ldets\cdot (n-1)\cdot n\). Ruhusa mbili \(i_1,i_2,\ldets,i_n)\) na \((j_1,j_2,\ldets,j_n)\) za \(n\) za nambari zinachukuliwa kuwa sawa ikiwa \(i_1=j_1, i_2=j_2,\lddots,i_n=j_n\), na ikiwa angalau moja ya usawa imekiukwa, vibali vinachukuliwa kuwa tofauti.
Suluhisho. Wacha tufanye uthibitisho kwa kutumia njia ya induction ya hisabati.
1) Kwa \(n=1\) kuna ruhusa moja tu \((1)\), i.e. \(1!=1\) na taarifa hiyo ni kweli.
2) Tuseme kwamba kwa \(k\) yoyote idadi ya vibali ni sawa na \(k!\) . Hebu tuthibitishe kwamba idadi ya vibali vya nambari \((k+1)\) ni sawa na \((k+1)!\) . Kwa kweli, wacha turekebishe nambari \((k+1)\) mahali popote katika idhini ya \(k+1)\) nambari, na tuweke nambari asili \(k\) za kwanza katika \ iliyobaki \ (k\) maeneo. Idadi ya vibali hivyo ni sawa na idadi ya vibali vya nambari \(k\) nambari, i.e. \(k!\) kwa nadharia ya kufata neno. Kwa kuwa nambari \((k+1)\) inaweza kuwekwa katika sehemu zozote za (k+1) kwenye ruhusa, tunahitimisha kuwa idadi ya vibali tofauti vya \(k+1)\) nambari ni sawa. hadi \((k+ 1)\cdot(k!)=(k+1)!\) . Kwa hivyo, kwa kudhani kuwa taarifa hiyo ni kweli kwa \(n=k\) , iliwezekana kudhibitisha kuwa ni kweli kwa \(n=k+1\) .
Kutoka kwa pointi 1 na 2 inafuata kwamba taarifa hiyo ni kweli kwa nambari yoyote ya asili \(n\) .
Kumbuka B.7. Mbinu rasmi utokaji wa nadharia kwa kutumia mifumo mingi ya hoja sahihi husomwa katika mantiki ya hisabati. Kama sheria, njia hizi hutoa tu uundaji mpya wa nadharia zinazoonyesha yaliyomo zamani. Kwa hivyo, kwa maendeleo nadharia ya hisabati hazina tija. Hata hivyo, sheria mantiki ya hisabati na mipango ya hoja sahihi lazima izingatiwe wakati wa kusoma yoyote tatizo la hisabati.
Javascript imezimwa kwenye kivinjari chako.Ili kufanya hesabu, lazima uwashe vidhibiti vya ActiveX!