Ni nini kinachoitwa chaguzi? Tofauti mfululizo

Seti ya maadili ya kigezo kilichosomwa katika jaribio au uchunguzi fulani, iliyowekwa na thamani (ongezeko au kupungua) inaitwa mfululizo wa mabadiliko.

Tuseme tulipima shinikizo la ateri kwa wagonjwa kumi ili kupata kizingiti cha juu cha shinikizo la damu: shinikizo la systolic, i.e. nambari moja tu.

Hebu fikiria kwamba mfululizo wa uchunguzi (seti ya takwimu) ya shinikizo la systolic ya ateri katika uchunguzi 10 ina mtazamo unaofuata(Jedwali 1):

Jedwali 1

Vipengele vya mfululizo wa tofauti huitwa lahaja. Chaguzi zinawakilisha thamani ya nambari ya sifa inayosomwa.

Ujenzi kutoka idadi ya watu wa takwimu uchunguzi wa mfululizo wa mabadiliko ni hatua ya kwanza tu kuelekea kuelewa sifa za watu wote. Ifuatayo, unahitaji kuamua kiwango cha wastani tabia ya upimaji inayosomwa (wastani wa kiwango cha protini ya damu, uzito wa wastani wa wagonjwa, muda wa wastani wa kuanza kwa anesthesia, nk).

Kiwango cha wastani hupimwa kwa kutumia vigezo vinavyoitwa wastani. Thamani ya wastani ni sifa ya jumla ya nambari ya thamani zinazolingana kimaelezo, inayoangazia kwa nambari moja idadi nzima ya takwimu kulingana na kigezo kimoja. Thamani ya wastani inaonyesha kile ambacho ni kawaida kwa sifa katika seti fulani ya uchunguzi.

Kuna aina tatu za wastani katika matumizi ya kawaida: modi (), wastani () na wastani. wingi wa hesabu ().

Kuamua thamani yoyote ya wastani, ni muhimu kutumia matokeo ya uchunguzi wa mtu binafsi, kurekodi kwa namna ya mfululizo wa tofauti (Jedwali 2).

Mitindo- thamani ambayo hutokea mara kwa mara katika mfululizo wa uchunguzi. Katika mfano wetu, mode = 120. Ikiwa hakuna maadili ya kurudia katika mfululizo wa tofauti, basi wanasema kuwa hakuna mode. Ikiwa maadili kadhaa yanarudiwa idadi sawa ya nyakati, basi ndogo kati yao inachukuliwa kama modi.

Wastani- thamani inayogawanya usambazaji katika sehemu mbili sawa, thamani ya kati au wastani ya mfululizo wa uchunguzi uliopangwa kwa utaratibu wa kupanda au kushuka. Kwa hivyo, ikiwa kuna maadili 5 katika safu ya tofauti, basi wastani wake ni sawa na muhula wa tatu wa safu ya tofauti; ikiwa kuna idadi hata ya maneno katika safu, basi wastani ni maana ya hesabu ya mbili zake. uchunguzi wa kati, i.e. ikiwa kuna uchunguzi 10 katika mfululizo, basi wastani ni sawa na maana ya hesabu ya uchunguzi wa 5 na 6. Katika mfano wetu.

Kumbuka kipengele muhimu njia na wapatanishi: maadili yao hayaathiriwi maadili ya nambari chaguo kali.

Maana ya hesabu imehesabiwa kwa formula:

iko wapi thamani inayozingatiwa katika uchunguzi wa -th, na ni idadi ya uchunguzi. Kwa kesi yetu.

Maana ya hesabu ina sifa tatu:

Wastani huchukua nafasi ya kati katika safu ya mabadiliko. Katika safu madhubuti ya ulinganifu.

Wastani ni thamani ya jumla na mabadiliko ya nasibu na tofauti katika data ya mtu binafsi hazionekani nyuma ya wastani. Inaonyesha kile ambacho ni kawaida ya idadi ya watu wote.

Jumla ya kupotoka kwa chaguzi zote kutoka kwa wastani ni sifuri:. Kupotoka kwa chaguo kutoka kwa wastani kunaonyeshwa.

Msururu wa utofautishaji unajumuisha vibadala na masafa yanayolingana. Kati ya maadili kumi yaliyopatikana, nambari 120 ilitokea mara 6, 115 - 3 mara, 125 - 1 wakati. Frequency () - idadi kamili ya anuwai za kibinafsi katika jumla, inayoonyesha ni mara ngapi hutokea chaguo hili katika mfululizo wa mabadiliko.

Mfululizo wa tofauti unaweza kuwa rahisi (frequencies = 1) au kuunganishwa na kufupishwa, na chaguo 3-5. Mfululizo rahisi hutumiwa wakati kuna idadi ndogo ya uchunguzi (), makundi - wakati idadi kubwa uchunguzi ().

Kama matokeo ya kumudu sura hii, mwanafunzi lazima: kujua

  • viashiria vya kutofautiana na uhusiano wao;
  • sheria za msingi za usambazaji wa sifa;
  • kiini cha vigezo vya idhini; kuweza
  • kuhesabu fahirisi za tofauti na vigezo vya wema-fit;
  • kuamua sifa za usambazaji;
  • tathmini kuu sifa za nambari mfululizo wa usambazaji wa takwimu;

mwenyewe

Viashiria tofauti

Katika utafiti wa takwimu sifa za aggregates mbalimbali za takwimu, utafiti wa tofauti katika sifa za mtu binafsi vitengo vya takwimu jumla, pamoja na asili ya usambazaji wa vitengo kwa msingi huu. Tofauti - hizi ni tofauti katika maadili ya mtu binafsi ya tabia kati ya vitengo vya watu wanaosomwa. Utafiti wa tofauti una kubwa umuhimu wa vitendo. Kwa kiwango cha tofauti, mtu anaweza kuhukumu mipaka ya tofauti ya tabia, homogeneity ya idadi ya watu kwa sifa fulani, kawaida ya wastani, na uhusiano wa mambo ambayo huamua tofauti. Viashiria tofauti hutumiwa kuainisha na kupanga idadi ya watu wa takwimu.

Matokeo ya muhtasari na makundi ya nyenzo uchunguzi wa takwimu, iliyoundwa kwa namna ya mfululizo wa usambazaji wa takwimu, inawakilisha usambazaji ulioamuru wa vitengo vya idadi ya watu vinavyosomwa katika vikundi kulingana na sifa za kambi (tofauti). Ikiwa tabia ya ubora inachukuliwa kama msingi wa kikundi, basi safu kama hiyo ya usambazaji inaitwa sifa(usambazaji kwa taaluma, jinsia, rangi, n.k.). Ikiwa safu ya usambazaji imeundwa kwa msingi wa kiasi, basi safu kama hiyo inaitwa tofauti(mgawanyo kwa urefu, uzito, saizi mshahara na kadhalika.). Kuunda safu tofauti inamaanisha kupanga usambazaji wa idadi ya vitengo vya idadi ya watu kulingana na maadili ya tabia, kuhesabu idadi ya vitengo vya idadi ya watu na maadili haya (masafa), na kupanga matokeo kwenye jedwali.

Badala ya mzunguko wa tofauti, inawezekana kutumia uwiano wake kwa jumla ya kiasi cha uchunguzi, kinachoitwa frequency (frequency jamaa).

Kuna aina mbili za mfululizo wa tofauti: tofauti na muda. Mfululizo wa kipekee- Huu ni mfululizo wa tofauti, ambao ujenzi wake unategemea sifa na mabadiliko yasiyoendelea (sifa tofauti). Mwisho ni pamoja na idadi ya wafanyikazi katika biashara, kitengo cha ushuru, idadi ya watoto katika familia, nk. Mfululizo tofauti tofauti unawakilisha jedwali ambalo lina safu wima mbili. Safu ya kwanza inaonyesha maana maalum tabia, na katika pili - idadi ya vitengo vya idadi ya watu na thamani fulani ishara. Ikiwa tabia ina mabadiliko ya kuendelea (kiasi cha mapato, urefu wa huduma, gharama ya mali ya kudumu ya biashara, nk, ambayo ndani ya mipaka fulani inaweza kuchukua maadili yoyote), basi kwa tabia hii inawezekana kujenga. mfululizo wa mabadiliko ya muda. Wakati wa kuunda mfululizo wa tofauti za muda, meza pia ina safu mbili. Ya kwanza inaonyesha thamani ya sifa katika muda "kutoka - hadi" (chaguo), ya pili inaonyesha idadi ya vitengo vilivyojumuishwa katika muda (frequency). Mzunguko (mzunguko wa kurudia) - idadi ya marudio ya lahaja fulani ya maadili ya sifa. Vipindi vinaweza kufungwa au kufunguliwa. Vipindi vilivyofungwa ni mdogo kwa pande zote mbili, i.e. kuwa na mpaka wa chini ("kutoka") na wa juu ("hadi"). Vipindi vya wazi kuwa na mpaka mmoja: ama juu au chini. Ikiwa chaguzi zimepangwa kwa utaratibu wa kupanda au kushuka, basi safu zinaitwa nafasi.

Kwa mfululizo wa tofauti kuna aina mbili za chaguo sifa za mzunguko: mzunguko wa kusanyiko na mzunguko wa kusanyiko. Masafa yaliyokusanywa yanaonyesha ni uchunguzi ngapi ambao thamani ya tabia ilichukua maadili chini ya ile iliyotolewa. Masafa ya kusanyiko imedhamiriwa kwa muhtasari wa maadili ya frequency ya tabia kwa kikundi fulani na masafa yote ya vikundi vilivyotangulia. frequency kusanyiko sifa mvuto maalum vitengo vya uchunguzi ambavyo maadili ya tabia hayazidi kikomo cha juu cha kikundi cha data. Kwa hivyo, mzunguko uliokusanywa unaonyesha uwiano wa chaguo katika jumla ambazo hazina thamani kubwa kuliko ile iliyotolewa. Mzunguko, mzunguko, msongamano kamili na jamaa, mzunguko wa kusanyiko na mzunguko ni sifa za ukubwa wa lahaja.

Tofauti katika sifa za vitengo vya takwimu vya idadi ya watu, pamoja na asili ya usambazaji, husomwa kwa kutumia viashiria na sifa za safu ya tofauti, ambayo ni pamoja na kiwango cha wastani cha safu, kupotoka kwa wastani, kupotoka kwa kawaida, mtawanyiko. , mgawo wa oscillation, tofauti, asymmetry, kurtosis, nk.

Thamani za wastani hutumiwa kuashiria kituo cha usambazaji. Wastani ni tabia ya jumla ya takwimu ambayo inapokea usemi wa kiasi kiwango cha kawaida cha sifa inayomilikiwa na washiriki wa idadi ya watu wanaosomewa. Hata hivyo, kunaweza kuwa na matukio ambapo wastani wa hesabu hupatana wakati tabia tofauti usambazaji, kwa hivyo kama sifa za takwimu mfululizo wa tofauti, kinachojulikana wastani wa miundo huhesabiwa - mode, wastani, pamoja na quantiles, ambayo hugawanya mfululizo wa usambazaji katika sehemu sawa (quartiles, deciles, percentiles, nk).

Mitindo - Hii ni thamani ya sifa ambayo hutokea katika mfululizo wa usambazaji mara nyingi zaidi kuliko maadili yake mengine. Kwa mfululizo tofauti, hili ndilo chaguo na masafa ya juu zaidi. Katika mfululizo wa mabadiliko ya muda, ili kuamua hali, ni muhimu kwanza kuamua muda ambao iko, kinachojulikana muda wa modal. Katika safu ya mabadiliko na vipindi sawa, muda wa modal huamuliwa na masafa ya juu zaidi, katika safu na vipindi visivyo sawa - lakini msongamano wa juu zaidi usambazaji. Kisha fomula hutumiwa kuamua hali katika safu kwa vipindi sawa

ambapo Mo ni thamani ya mtindo; xMo - kikomo cha chini cha muda wa modal; h- upana wa muda wa modal; / Mo - mzunguko wa muda wa modal; / Mo j ni mzunguko wa muda wa premodal; / Mo+1 ni mzunguko wa muda wa baada ya modal, na kwa mfululizo wenye vipindi visivyo sawa katika fomula hii ya hesabu, badala ya masafa / Mo, / Mo, / Mo, msongamano wa usambazaji unapaswa kutumika. Akili 0 _| , Akili 0> UMO+"

Ikiwa kuna hali moja, basi usambazaji wa uwezekano wa kutofautiana kwa random huitwa unimodal; ikiwa kuna mode zaidi ya moja, inaitwa multimodal (polymodal, multimodal), katika kesi ya modes mbili - bimodal. Kama sheria, multimodality inaonyesha kuwa usambazaji chini ya utafiti hautii sheria usambazaji wa kawaida. Idadi ya watu wenye homogeneous, kama sheria, ina sifa ya usambazaji wa vertex moja. Multivertex pia inaonyesha tofauti ya idadi ya watu inayosomwa. Kuonekana kwa vipeo viwili au zaidi hufanya iwe muhimu kupanga upya data ili kutambua vikundi zaidi vya homogeneous.

Katika mfululizo wa mabadiliko ya muda, modi inaweza kuamuliwa kwa picha kwa kutumia histogram. Ili kufanya hivyo, chora mistari miwili inayoingiliana kutoka sehemu za juu za safu ya juu ya histogram hadi sehemu za juu za safu mbili zilizo karibu. Kisha, kutoka kwa hatua ya makutano yao, perpendicular inashushwa kwenye mhimili wa abscissa. Thamani ya kipengele kwenye mhimili wa x unaolingana na perpendicular ni modi. Katika hali nyingi, wakati wa kuashiria idadi ya watu kama kiashirio cha jumla, upendeleo hutolewa kwa modi badala ya wastani wa hesabu.

wastani - Hii umuhimu wa kati tabia, inamilikiwa na mshiriki mkuu wa safu ya usambazaji iliyoorodheshwa. KATIKA mfululizo tofauti Ili kupata thamani ya wastani, nambari yake ya kawaida huamuliwa kwanza. Ili kufanya hivyo, ikiwa sivyo idadi sawa vitengo, moja huongezwa kwa jumla ya masafa yote, nambari imegawanywa na mbili. Ikiwa kuna idadi sawa ya vitengo katika safu, kutakuwa na vitengo viwili vya wastani, kwa hivyo katika kesi hii wastani hufafanuliwa kama wastani wa maadili ya vitengo viwili vya wastani. Kwa hivyo, wastani katika mfululizo tofauti wa tofauti ni thamani inayogawanya mfululizo katika sehemu mbili zilizo na nambari sawa chaguzi.

Katika safu ya muda, baada ya kuamua nambari ya serial ya wastani, muda wa wastani hupatikana kwa kutumia masafa yaliyokusanywa (masafa), na kisha kutumia fomula ya kuhesabu wastani, thamani ya wastani yenyewe imedhamiriwa:

ambapo Mimi ni thamani ya wastani; x mimi - kikomo cha chini cha muda wa kati; h- upana wa muda wa kati; - jumla ya masafa ya mfululizo wa usambazaji; / D - mzunguko wa kusanyiko wa muda wa kabla ya wastani; / Mimi - mzunguko wa muda wa wastani.

Wastani unaweza kupatikana kwa michoro kwa kutumia mkusanyiko. Ili kufanya hivyo, kwa kiwango cha masafa yaliyokusanywa (masafa), hukusanya kutoka kwa hatua inayolingana na nambari ya serial wastani, mstari wa moja kwa moja huchorwa sambamba na mhimili abscissa, mpaka inaingiliana na mkusanyiko. Ifuatayo, kutoka kwa hatua ya makutano ya mstari ulioonyeshwa na cumulate, perpendicular inashushwa kwa mhimili wa abscissa. Thamani ya sifa kwenye mhimili wa x unaolingana na mpangilio uliochorwa (perpendicular) ni wastani.

Wastani una sifa ya sifa zifuatazo.

  • 1. Haitegemei maadili ya sifa ambazo ziko pande zote mbili zake.
  • 2. Ina sifa ya uchache, ambayo ina maana kwamba jumla ya mikengeuko kamili ya thamani za sifa kutoka wastani inawakilisha thamani ya chini ikilinganishwa na mkengeuko wa thamani za sifa kutoka kwa thamani nyingine yoyote.
  • 3. Wakati wa kuchanganya usambazaji mbili na wapatanishi unaojulikana, haiwezekani kutabiri mapema thamani ya wastani wa usambazaji mpya.

Sifa hizi za wastani hutumiwa sana katika kubuni maeneo ya uhakika. kupanga foleni- shule, kliniki, vituo vya gesi, nguzo za ulaji wa maji, nk. Kwa mfano, ikiwa imepangwa kujenga kliniki katika eneo fulani la jiji, basi itakuwa rahisi zaidi kuipata katika sehemu ya kizuizi ambayo hupunguza urefu wa kizuizi, lakini idadi ya wakazi.

Uwiano wa modi, wastani na wastani wa hesabu unaonyesha asili ya usambazaji wa sifa katika jumla na huturuhusu kutathmini ulinganifu wa usambazaji. Kama x Me basi kuna ulinganifu wa upande wa kulia wa mfululizo. Na usambazaji wa kawaida X - Mimi - Mo.

K. Pearson kulingana na alignment aina mbalimbali mikunjo ilibaini kuwa kwa mgawanyo usiolingana wastani uhusiano ufuatao wa takriban kati ya wastani wa hesabu, wastani na modi ni halali:

ambapo Mimi ni thamani ya wastani; Mo - maana ya mtindo; x hesabu - thamani ya maana ya hesabu.

Ikiwa kuna haja ya kusoma muundo wa safu ya tofauti kwa undani zaidi, basi hesabu maadili ya tabia sawa na wastani. Maadili kama haya hugawanya vitengo vyote vya usambazaji kwa nambari sawa; huitwa quantiles au gradients. Quantiles imegawanywa katika quartiles, deciles, percentiles, nk.

Quartiles hugawanya idadi ya watu katika sehemu nne sawa. Robo ya kwanza imehesabiwa sawa na ya wastani kwa kutumia fomula ya kuhesabu robo ya kwanza, baada ya kuamua hapo awali muda wa robo ya kwanza:

ambapo Qi ni thamani ya quartile ya kwanza; xQ^- kikomo cha chini cha safu ya kwanza ya robo; h- upana wa muda wa robo ya kwanza; /, - masafa ya mfululizo wa muda;

Marudio ya mkusanyiko katika muda unaotangulia muda wa robo ya kwanza; Jq ( - mzunguko wa muda wa robo ya kwanza.

Robo ya kwanza inaonyesha kuwa 25% ya vitengo vya idadi ya watu ni chini ya thamani yake, na 75% ni zaidi. Quartile ya pili ni sawa na wastani, i.e. Q 2 = Mimi.

Kwa mfano, robo ya tatu imehesabiwa, baada ya kupata kwanza muda wa robo ya tatu:

wapi kikomo cha chini cha safu ya tatu ya robo; h- upana wa muda wa tatu wa quartile; /, - masafa ya mfululizo wa muda; /X" - masafa ya kusanyiko katika muda uliotangulia

G

muda wa robo ya tatu; Jq ni marudio ya muda wa robo tatu.

Robo ya tatu inaonyesha kuwa 75% ya vitengo vya idadi ya watu ni chini ya thamani yake, na 25% ni zaidi.

Tofauti kati ya quartiles ya tatu na ya kwanza ni safu ya interquartile:

ambapo Aq ni thamani ya masafa ya pembetatu; Q 3 - thamani ya robo ya tatu; Q, ni thamani ya robo ya kwanza.

Deciles hugawanya idadi ya watu na 10 sehemu sawa. Decile ni thamani ya sifa katika safu ya usambazaji ambayo inalingana na sehemu ya kumi ya idadi ya watu. Kwa kulinganisha na quartiles, decile ya kwanza inaonyesha kuwa 10% ya vitengo vya idadi ya watu ni chini ya thamani yake, na 90% ni kubwa, na decile ya tisa inaonyesha kuwa 90% ya vitengo vya idadi ya watu ni chini ya thamani yake, na 10% ni. kubwa zaidi. Uwiano wa deciles ya tisa na ya kwanza, i.e. Mgawo wa decile hutumika sana katika utafiti wa upambanuzi wa mapato ili kupima uwiano wa viwango vya mapato vya 10% vilivyo matajiri zaidi na 10% ya watu wasio na uwezo zaidi. Asilimia hugawanya idadi ya watu iliyoorodheshwa katika sehemu 100 sawa. Hesabu, maana, na matumizi ya asilimia ni sawa na deciles.

Quartiles, deciles na wengine sifa za muundo inaweza kuamuliwa kimchoro kwa mlinganisho na wastani kwa kutumia cumulates.

Ili kupima ukubwa wa tofauti, viashiria vifuatavyo vinatumiwa: aina mbalimbali za tofauti, wastani wa kupotoka kwa mstari, kupotoka kwa kawaida, kutawanyika. Ukubwa wa masafa inategemea kabisa unasibu wa usambazaji wa washiriki waliokithiri wa mfululizo. Kiashiria hiki ni cha kupendeza katika hali ambapo ni muhimu kujua ni nini kiwango cha kushuka kwa maadili ya tabia ni:

Wapi R- thamani ya anuwai ya tofauti; x tah - thamani ya juu ishara; x tt - thamani ya chini ishara.

Wakati wa kuhesabu anuwai ya tofauti, thamani ya idadi kubwa ya washiriki wa mfululizo haizingatiwi, wakati tofauti inahusishwa na kila thamani ya mshiriki wa mfululizo. Viashiria ambavyo ni wastani vinavyopatikana kutokana na kupotoka kwa thamani ya mtu binafsi ya tabia kutoka kwa thamani yao ya wastani havina shida hii: kupotoka wastani wa mstari na kupotoka kwa kawaida. Kuna uhusiano wa moja kwa moja kati ya kupotoka kwa mtu binafsi kutoka kwa wastani na kutofautiana kwa sifa fulani. Kadiri mabadiliko yanavyozidi kuwa makali, ndivyo ukubwa kamili wa mikengeuko unavyoongezeka kutoka wastani.

Mkengeuko wa wastani wa mstari ni maana ya hesabu ya maadili kamili ya kupotoka kwa chaguzi za kibinafsi kutoka kwa thamani yao ya wastani.

Mkengeuko Wastani wa Mstari kwa Data Isiyopangwa

ambapo /pr ni thamani ya wastani kupotoka kwa mstari; x, - ni thamani ya sifa; X - P - idadi ya vitengo katika idadi ya watu.

Mkengeuko wastani wa mstari wa mfululizo uliowekwa katika vikundi

wapi / vz - thamani ya kupotoka wastani wa mstari; x, ni thamani ya sifa; X - thamani ya wastani ya tabia kwa idadi ya watu inayosomwa; / - idadi ya vitengo vya idadi ya watu katika kikundi tofauti.

Dalili za kupotoka ndani kwa kesi hii hupuuzwa ndani vinginevyo jumla ya mikengeuko yote itakuwa sawa na sufuri. Mkengeuko wa wastani wa mstari kulingana na upangaji wa data iliyochanganuliwa huhesabiwa kulingana na fomula mbalimbali: Kwa data iliyopangwa na isiyojumuishwa. Mkengeuko wa wastani wa mstari, kwa sababu ya masharti yake, tofauti na viashiria vingine vya tofauti, hutumiwa katika mazoezi mara chache (haswa, kuashiria utimilifu wa majukumu ya kimkataba ya usawa wa utoaji; katika uchanganuzi wa mauzo. biashara ya nje, muundo wa wafanyakazi, rhythm ya uzalishaji, ubora wa bidhaa kwa kuzingatia vipengele vya teknolojia ya uzalishaji, nk).

Mkengeuko wa kawaida unaonyesha ni kiasi gani cha wastani cha kupotoka maadili ya mtu binafsi ya tabia iliyosomwa kutoka kwa thamani ya wastani ya idadi ya watu, na inaonyeshwa katika vitengo vya kipimo cha tabia iliyosomwa. Kupotoka kwa kiwango, kuwa moja ya hatua kuu za kutofautisha, hutumiwa sana katika kutathmini mipaka ya utofauti wa tabia katika idadi ya watu wenye homogeneous, katika kuamua maadili ya kuratibu ya curve ya kawaida ya usambazaji, na pia katika mahesabu yanayohusiana. shirika uchunguzi wa sampuli na kuanzisha usahihi sifa za sampuli. Mkengeuko wa kawaida wa data isiyojumuishwa huhesabiwa kwa kutumia algorithm ifuatayo: kila kupotoka kutoka kwa wastani ni mraba, miraba yote imefupishwa, baada ya hapo jumla ya miraba imegawanywa na idadi ya masharti ya safu na mzizi wa mraba hutolewa kutoka. mgawo:

ambapo iip ni thamani ya wastani kupotoka kwa mraba; Xj- thamani ya sifa; X- thamani ya wastani ya tabia kwa idadi ya watu wanaojifunza; P - idadi ya vitengo katika idadi ya watu.

Kwa data iliyochanganuliwa kwa vikundi, mkengeuko wa kawaida wa data huhesabiwa kwa kutumia fomula iliyopimwa

Wapi - thamani ya kawaida ya kupotoka; Xj- thamani ya sifa; X - thamani ya wastani ya tabia kwa idadi ya watu inayosomwa; f x - idadi ya vitengo vya idadi ya watu katika kundi fulani.

Usemi chini ya mzizi katika visa vyote viwili huitwa tofauti. Kwa hivyo, mtawanyiko huhesabiwa kama mraba wa wastani wa mikengeuko ya thamani za sifa kutoka kwa thamani yao ya wastani. Kwa maadili ya sifa isiyo na uzito (rahisi), tofauti imedhamiriwa kama ifuatavyo:

Kwa maadili ya tabia yaliyopimwa

Pia kuna njia maalum iliyorahisishwa ya kuhesabu tofauti: kwa ujumla

kwa maadili yasiyo na uzito (rahisi) ya tabia kwa maadili ya tabia yaliyopimwa
kwa kutumia njia ya sifuri

ambapo 2 ni thamani ya mtawanyiko; x, - ni thamani ya sifa; X - thamani ya wastani ya tabia, h- thamani ya muda wa kikundi, t 1 - uzito (A =

Mtawanyiko una usemi wake katika takwimu na ni mojawapo ya viashirio muhimu vya utofauti. Inapimwa kwa vitengo vinavyolingana na mraba wa vitengo vya kipimo cha tabia inayosomwa.

Mtawanyiko una sifa zifuatazo.

  • 1. Tofauti thamani ya kudumu sawa na sifuri.
  • 2. Kupunguza thamani zote za sifa kwa thamani sawa A haibadilishi thamani ya mtawanyiko. Hii ina maana kwamba mraba wa wastani wa kupotoka unaweza kuhesabiwa si kwa maadili yaliyopewa ishara, lakini kwa kupotoka kwao kutoka kwa idadi fulani ya mara kwa mara.
  • 3. Kupunguza maadili yoyote ya tabia katika k nyakati hupunguza mtawanyiko kwa k Mara 2, na mkengeuko wa kawaida umeingia k nyakati, i.e. maadili yote ya sifa yanaweza kugawanywa katika baadhi nambari ya kudumu(sema, kwa thamani ya muda wa mfululizo), hesabu kupotoka kwa kawaida, na kisha kuzidisha kwa nambari ya mara kwa mara.
  • 4. Tukikokotoa wastani wa mraba wa mikengeuko kutoka kwa thamani yoyote Na inatofautiana kwa digrii moja au nyingine kutoka kwa wastani wa hesabu, basi itakuwa kubwa kila wakati kuliko mraba wa wastani wa mikengeuko inayokokotolewa kutoka kwa wastani wa hesabu. Mraba wa kati katika kesi hii, kutakuwa na kupotoka zaidi kwa kiasi fulani - kwa mraba wa tofauti kati ya wastani na thamani hii iliyochukuliwa kwa kawaida.

Tofauti ya tabia mbadala inajumuisha uwepo au kutokuwepo kwa mali iliyosomwa katika vitengo vya idadi ya watu. Kwa kiasi kikubwa, tofauti ya sifa mbadala inaonyeshwa na maadili mawili: kuwepo kwa kitengo cha mali iliyojifunza inaonyeshwa na moja (1), na kutokuwepo kwake kunaonyeshwa na sifuri (0). Sehemu ya vitengo ambavyo vina mali inayosomewa inaonyeshwa na P, na sehemu ya vitengo ambavyo hazina mali hii inaonyeshwa na G. Kwa hivyo, tofauti ya sifa mbadala ni sawa na bidhaa ya uwiano wa vitengo vinavyomiliki mali hii (P) kwa uwiano wa vitengo visivyo na mali hii. (G). Tofauti kubwa zaidi ya idadi ya watu hupatikana katika hali ambapo sehemu ya idadi ya watu, inayojumuisha 50% ya jumla ya idadi ya watu, ina sifa, na sehemu nyingine ya idadi ya watu, pia ni sawa na 50%, haina tabia hii. na mtawanyiko unafikia thamani ya juu ya 0.25, t.e. P = 0.5, G= 1 - P = 1 - 0.5 = 0.5 na o 2 = 0.5 0.5 = 0.25. Kikomo cha chini cha kiashiria hiki ni sifuri, ambacho kinafanana na hali ambayo hakuna tofauti katika jumla. Matumizi ya vitendo tofauti ya sifa mbadala inajumuisha kujenga vipindi vya kujiamini wakati wa kufanya uchunguzi wa sampuli.

Vipi thamani ndogo tofauti na mchepuko wa kawaida, ndivyo idadi ya watu inavyozidi kuwa sawa na ndivyo wastani utakuwa wa kawaida zaidi. Katika mazoezi ya takwimu, mara nyingi kuna haja ya kulinganisha tofauti ishara mbalimbali. Kwa mfano, ni ya kuvutia kulinganisha tofauti katika umri wa wafanyakazi na sifa zao, urefu wa huduma na mshahara, gharama na faida, urefu wa huduma na tija ya kazi, nk. Kwa kulinganisha vile, viashiria vya kutofautiana kabisa kwa sifa havifaa: haiwezekani kulinganisha kutofautiana kwa uzoefu wa kazi, ulioonyeshwa kwa miaka, na tofauti ya mshahara, iliyoonyeshwa kwa rubles. Kufanya ulinganisho kama huo, pamoja na kulinganisha kwa kutofautisha kwa tabia sawa katika idadi ya watu na wastani tofauti wa hesabu, viashiria vya tofauti hutumiwa - mgawo wa oscillation, mgawo wa mstari tofauti na mgawo wa utofauti, unaoonyesha kiwango ambacho maadili yaliyokithiri hubadilika-badilika karibu na wastani.

Mgawo wa oscillation:

Wapi V R - thamani ya mgawo wa oscillation; R- thamani ya anuwai ya tofauti; X -

Mgawo wa mstari wa tofauti".

Wapi Vj- thamani ya mgawo wa mstari wa tofauti; mimi - thamani ya wastani wa kupotoka kwa mstari; X - thamani ya wastani ya sifa kwa idadi ya watu inayosomwa.

Mgawo wa tofauti:

Wapi V a - mgawo wa thamani ya tofauti; a ni thamani ya kupotoka kwa kiwango; X - thamani ya wastani ya sifa kwa idadi ya watu inayosomwa.

Mgawo wa oscillation ni asilimia anuwai ya tofauti hadi thamani ya wastani ya sifa inayochunguzwa, na mgawo wa mstari wa tofauti ni uwiano wa mkengeuko wa wastani wa mstari hadi thamani ya wastani ya sifa inayochunguzwa, inayoonyeshwa kama asilimia. Mgawo wa tofauti ni asilimia ya mkengeuko wa kawaida hadi thamani ya wastani ya sifa inayosomwa. Kama thamani ya jamaa, iliyoonyeshwa kama asilimia, mgawo wa tofauti hutumiwa kulinganisha kiwango cha utofauti wa sifa mbalimbali. Kwa kutumia mgawo wa tofauti, homogeneity ya idadi ya takwimu inatathminiwa. Ikiwa mgawo wa tofauti ni chini ya 33%, basi idadi ya watu chini ya utafiti ni homogeneous na tofauti ni dhaifu. Ikiwa mgawo wa tofauti ni zaidi ya 33%, basi idadi ya watu chini ya utafiti ni tofauti, tofauti ni kali, na thamani ya wastani ni ya kawaida na haiwezi kutumika kama kiashiria cha jumla cha idadi hii. Kwa kuongeza, coefficients ya tofauti hutumiwa kulinganisha kutofautiana kwa sifa moja katika watu tofauti. Kwa mfano, kutathmini tofauti katika urefu wa huduma ya wafanyakazi katika makampuni mawili. Vipi thamani zaidi mgawo, tofauti muhimu zaidi ya tabia.

Kulingana na quartiles zilizohesabiwa, inawezekana pia kuhesabu kiashiria cha jamaa cha kutofautiana kwa robo mwaka kwa kutumia formula

ambapo Q 2 Na

Masafa ya interquartile huamuliwa na fomula

Mkengeuko wa robo hutumika badala ya anuwai ya tofauti ili kuzuia ubaya unaohusishwa na kutumia maadili yaliyokithiri:

Kwa mfululizo wa tofauti wa muda usio sawa, msongamano wa usambazaji pia huhesabiwa. Inafafanuliwa kama mgawo wa masafa yanayolingana au masafa yaliyogawanywa na thamani ya muda. Katika mfululizo wa muda usio na usawa, wiani wa usambazaji kamili na jamaa hutumiwa. Msongamano kabisa usambazaji ni masafa kwa kila urefu wa kitengo cha muda. Msongamano wa usambazaji unaohusiana - marudio kwa urefu wa muda wa kitengo.

Yote hapo juu ni kweli kwa mfululizo wa usambazaji, sheria ya usambazaji ambayo imeelezewa vizuri sheria ya kawaida usambazaji au karibu nayo.

Mfululizo wa usambazaji wa takwimu ni fomu rahisi zaidi vikundi.

Mfululizo wa usambazaji wa takwimu- huu ni usambazaji wa kiasi ulioamriwa wa vitengo vya idadi ya watu vikundi vya homogeneous kwa misingi tofauti (sifa au kiasi).

Kulingana na ishara, kwa msingi wa uundaji wa vikundi, tofauti hufanywa kati ya safu ya usambazaji wa sifa na tofauti.

Sifa huitwa mfululizo wa usambazaji unaojengwa kulingana na sifa za ubora, i.e. ishara ambazo hazina usemi wa nambari. Mfano wa mfululizo wa usambazaji wa sifa ni usambazaji wa idadi ya watu wanaofanya kazi kiuchumi ya Shirikisho la Urusi kwa jinsia mwaka 2010 (Jedwali 3.10).

Jedwali 3.10. Usambazaji wa idadi ya watu wanaofanya kazi kiuchumi ya Shirikisho la Urusi na jinsia mnamo 2010

Tofauti huitwa mfululizo wa usambazaji uliojengwa kwa msingi wa kiasi, i.e. ishara ambayo ina usemi wa nambari.

Msururu wa usambazaji tofauti una vipengele viwili: chaguo na masafa.

Chaguo taja maadili ya kibinafsi ya tabia ambayo inachukua katika safu ya utofauti.

Masafa ni nambari za anuwai za kibinafsi au kila kikundi cha safu ya utofauti. Masafa yanaonyesha ni mara ngapi maadili fulani ya tabia hutokea katika idadi ya watu inayosomwa. Jumla ya masafa yote huamua ukubwa wa idadi ya watu wote, kiasi chake.

Masafa huitwa masafa yaliyoonyeshwa katika sehemu za kitengo au kama asilimia ya jumla. Ipasavyo, jumla ya masafa ni sawa na 1, au 100%.

Kulingana na asili ya tofauti ya sifa kutofautisha kati ya mfululizo wa usambazaji tofauti tofauti na muda.

Usambazaji wa mfululizo wa tofauti tofauti - Huu ni mfululizo wa usambazaji ambao vikundi vinaundwa kulingana na tabia ambayo hubadilika bila kuendelea, i.e. kupitia nambari fulani vitengo, na inakubali nambari kamili pekee. Kwa mfano, usambazaji wa idadi ya vyumba vilivyojengwa ndani Shirikisho la Urusi kwa idadi ya vyumba ndani yake mimi! 2010 (Jedwali 3.11).

Jedwali 3.11. Usambazaji wa idadi ya vyumba vilivyojengwa katika Shirikisho la Urusi na idadi ya vyumba ndani yao mnamo 2010.

Usambazaji wa mfululizo wa tofauti za muda - Huu ni safu ya usambazaji ambayo tabia ya kikundi ambayo ni msingi wa kikundi inaweza kuchukua maadili yoyote katika muda ambayo hutofautiana kutoka kwa kila mmoja kwa kiwango kidogo cha kiholela.

Ujenzi wa mfululizo wa tofauti za muda unapendekezwa hasa kwa mabadiliko ya kuendelea ya tabia (Jedwali 3.12), na pia ikiwa tofauti tofauti ya tabia inajidhihirisha juu ya aina mbalimbali (Jedwali 3.13), i.e. idadi ya vibadala vya sifa tofauti ni kubwa kabisa.

Jedwali 3.12. Usambazaji wa masomo ya Kusini wilaya ya shirikisho Shirikisho la Urusi kwa eneo kutoka Januari 1, 2011

Jedwali 3.13. Usambazaji wa masomo ya Wilaya ya Kati ya Shirikisho la Shirikisho la Urusi kwa nambari taasisi za manispaa elimu kuanzia Januari 1, 2011

Sheria za kuunda safu za usambazaji ni sawa na sheria za kuunda vikundi.

Uchambuzi wa mfululizo wa usambazaji unaweza kufanywa wazi kulingana na wao picha ya mchoro. Kwa kusudi hili, poligoni, histogram, na usambazaji hujengwa.

Poligoni hutumika wakati wa kuonyesha mfululizo tofauti tofauti wa usambazaji. Ili kuijenga ndani mfumo wa mstatili huratibu kando ya mhimili wa abscissa kwa kiwango sawa hupanga maadili yaliyowekwa ya tabia tofauti, na kando ya mhimili wa kuratibu mizani imepangwa kuelezea ukubwa wa masafa. Imepatikana kwenye makutano ya mhimili wa abscissa (X) na shoka za kuratibu (Y) zimeunganishwa na mistari iliyonyooka, na kusababisha mstari uliovunjika, inayoitwa poligoni ya masafa.

Histogram hutumika kuonyesha mfululizo wa mabadiliko ya muda. Wakati wa kuunda histogram, maadili ya vipindi yanapangwa kwenye mhimili wa abscissa, na masafa yanaonyeshwa na mstatili uliojengwa kwenye vipindi vinavyofanana. Urefu wa safu unapaswa kuwa sawia na masafa.

Histogram inaweza kubadilishwa kuwa poligoni ya usambazaji kwa kuunganisha sehemu za kati za pande za juu za mistatili na mistari iliyonyooka.

Wakati wa kujenga histogram ya usambazaji wa mfululizo wa tofauti na vipindi visivyo sawa, sio masafa ambayo yanapangwa pamoja na mhimili wa kuratibu, lakini wiani wa usambazaji wa tabia katika vipindi vinavyofanana. Msongamano wa usambazaji - ni mzunguko unaohesabiwa kwa upana wa muda wa kitengo,

hizo. ni vitengo ngapi katika kila kikundi ni kwa kila kitengo cha thamani ya muda.

Mviringo limbikizi unaweza kutumika kuonyesha mfululizo wa usambazaji tofauti. Kwa kutumia hukusanya onyesha mfululizo wa masafa yaliyokusanywa. Masafa yaliyokusanywa huamuliwa kwa kujumlisha kwa mtiririko wa masafa katika vikundi.

Wakati wa kuunda mkusanyiko wa safu za tofauti za muda kwenye mhimili wa abscissa (X) lahaja za safu zimepangwa, na kando ya mhimili wa kuratibu (Y) kuna masafa yaliyokusanywa, ambayo yamepangwa kwenye uwanja wa grafu kwa njia ya perpendiculars kwa mhimili wa abscissa katika mipaka ya juu vipindi. Kisha perpendiculars hizi zimeunganishwa na mstari uliovunjika unapatikana, i.e. kusanya.

Iwapo, wakati wa kuonyesha kwa michoro mfululizo tofauti wa usambazaji katika mfumo wa mikusanyiko ya mhimili. X na U kubadilishana maeneo, inageuka ogiva.

Safu zilizojengwa kwa misingi ya kiasi, zinaitwa tofauti.

Msururu wa usambazaji unajumuisha chaguzi(maadili ya tabia) na masafa(idadi ya vikundi). Masafa yaliyoonyeshwa kama maadili ya jamaa(hisa, asilimia) huitwa masafa. Jumla ya masafa yote inaitwa kiasi cha mfululizo wa usambazaji.

Kwa aina, mfululizo wa usambazaji umegawanywa katika tofauti(iliyoundwa kwa kuzingatia maadili ya tabia) na muda(imejengwa juu maadili endelevu ishara).

Tofauti mfululizo inawakilisha safu mbili (au safu); moja ambayo hutoa maadili ya mtu binafsi ya tabia tofauti, inayoitwa lahaja na iliyoonyeshwa na X; na katika nyingine - nambari kamili, kuonyesha ni mara ngapi (mara ngapi) kila chaguo hutokea. Viashiria katika safu ya pili huitwa masafa na kwa kawaida huonyeshwa na f. Wacha tuangalie tena kwamba katika safu ya pili zote mbili viashiria vya jamaa, inayoangazia sehemu ya marudio ya anuwai za kibinafsi katika Jumla masafa Viashiria hivi vya jamaa huitwa masafa na huonyeshwa kwa kawaida na ω Jumla ya masafa yote katika kesi hii ni sawa na moja. Walakini, masafa pia yanaweza kuonyeshwa kama asilimia, na kisha jumla ya masafa yote hutoa 100%.

Ikiwa lahaja za mfululizo wa tofauti zinaonyeshwa katika fomu wingi tofauti, basi safu kama hiyo ya tofauti inaitwa tofauti.

Kwa sifa zinazoendelea, mfululizo wa tofauti hujengwa kama muda, yaani, maadili ya sifa ndani yao yanaonyeshwa "kutoka ... hadi ...". Katika kesi hii, maadili ya chini ya tabia katika muda kama huo huitwa kikomo cha chini cha muda, na kiwango cha juu - kikomo cha juu.

Msururu wa mabadiliko ya muda pia huundwa kwa sifa tofauti zinazotofautiana mbalimbali. Mfululizo wa muda inaweza kuwa na sawa Na zisizo sawa kwa vipindi.

Wacha tuangalie jinsi thamani ya vipindi sawa imedhamiriwa. Wacha tuanzishe nukuu ifuatayo:

i- ukubwa wa muda;

- thamani ya juu ya tabia kwa vitengo vya idadi ya watu;

- thamani ya chini ya sifa kwa vitengo vya idadi ya watu;

n - idadi ya vikundi vilivyotengwa.

, ikiwa n inajulikana.

Ikiwa idadi ya vikundi vya kutofautishwa ni ngumu kuamua mapema, kisha kuhesabu dhamana bora ya muda na saizi ya kutosha ya idadi ya watu, fomula iliyopendekezwa na Sturgess mnamo 1926 inaweza kupendekezwa:

n = 1+ 3.322 logi N, ambapo N ni idadi ya vitengo katika jumla.

Ukubwa wa vipindi visivyo sawa huamua katika kila kesi ya mtu binafsi, kwa kuzingatia sifa za kitu cha utafiti.

Usambazaji wa sampuli za takwimu piga orodha ya chaguzi na masafa yao yanayolingana (au masafa ya jamaa).

Usambazaji wa takwimu wa sampuli unaweza kutajwa kwa namna ya jedwali, katika safu ya kwanza ambayo chaguzi ziko, na kwa pili - masafa yanayolingana na chaguzi hizi. ni, au masafa ya jamaa Pi .

Usambazaji wa takwimu wa sampuli

Mfululizo wa muda ni safu ya tofauti ambayo maadili ya sifa zinazotokana na malezi yao yanaonyeshwa ndani ya mipaka fulani (vipindi). Masafa katika kesi hii hayarejelei maadili ya mtu binafsi tabia, lakini kwa muda wote.

Msururu wa usambazaji wa muda huundwa kwa kuzingatia sifa za kiasi zinazoendelea, na vile vile sifa tofauti ambazo hutofautiana ndani ya mipaka muhimu.

Msururu wa muda unaweza kuwakilishwa na usambazaji wa takwimu wa sampuli inayoonyesha vipindi na masafa yanayolingana. Katika kesi hii, jumla ya masafa ya lahaja zinazoanguka ndani ya muda huu huchukuliwa kama marudio ya muda.

Wakati wa kuweka kambi kwa sifa zinazoendelea za idadi, kuamua saizi ya muda ni muhimu.

Mbali na wastani wa sampuli na tofauti za sampuli, sifa nyingine za mfululizo wa tofauti pia hutumiwa.

Mitindo Lahaja ambayo ina masafa ya juu zaidi inaitwa.

    Maadili yote ya mali iliyo chini ya utafiti ambayo hutokea kwa idadi ya watu chini ya utafiti huitwa thamani ya sifa (chaguo, chaguo), na mabadiliko katika thamani hii. kwa kutofautiana. Chaguzi zinaonyeshwa kwa herufi ndogo za alfabeti ya Kilatini na fahirisi zinazolingana na nambari ya serial ya kikundi - x i .

    Nambari inayoonyesha ni mara ngapi kila thamani ya sifa hutokea katika idadi ya watu inayochunguzwa masafa na kuashiria f i . Jumla ya masafa yote ya mfululizo ni sawa na kiasi cha idadi ya watu inayosomwa.

    Mara nyingi sana unahitaji kuhesabu masafa ya kusanyiko (S). Marudio yaliyokusanywa kwa kila thamani ya sifa yanaonyesha ni vitengo ngapi vya idadi ya watu vilivyo na thamani ya tabia isiyo kubwa kuliko thamani iliyopewa. Masafa yaliyokusanywa yanahesabiwa kwa kuongeza mlolongo maadili ya sifa zifuatazo kwa mzunguko wa thamani ya kwanza ya ishara ya mzunguko:

Mzunguko wa kusanyiko huanza kuhesabiwa kutoka kwa thamani ya kwanza kabisa ya sifa

Jumla ya masafa daima ni sawa na moja au 100%. Kubadilisha masafa na masafa huruhusu mtu kulinganisha safu tofauti na idadi tofauti za uchunguzi.

Masafa ya mfululizo (f i) katika baadhi ya matukio yanaweza kubadilishwa na masafa (ω i).

Ikiwa safu ya tofauti hutolewa kwa vipindi visivyo sawa, basi kwa wazo sahihi la asili ya usambazaji ni muhimu kuhesabu wiani kamili au jamaa wa usambazaji.

    Msongamano kamili wa usambazaji (uk f ) inawakilisha thamani ya mzunguko kwa ukubwa wa muda wa kitengo kikundi tofauti safu:

R f = f/ i.

    Msongamano wa usambazaji unaohusiana (uk ω ) inawakilisha thamani ya mzunguko kwa kila saizi ya kitengo cha muda wa kikundi tofauti cha safu:

R ω = ω / i.

Kwa safu zilizo na vipindi visivyo sawa, sifa hizi pekee ndizo zinazotoa wazo sahihi zaidi la asili ya usambazaji kuliko frequency na frequency.

    Usambazaji wa sampuli za takwimu taja orodha ya chaguzi (thamani za ishara) na masafa yanayolingana au msongamano wa usambazaji, masafa ya jamaa au msongamano wa jamaa usambazaji.

Mfululizo tofauti wa usambazaji unaonyeshwa na seti tofauti za sifa za frequency:

ndogo - safu ya sifa (frequency, frequency),

kwa zile za kipekee, sifa nne hutumiwa (frequency, frequency, frequency kusanyiko, frequency kusanyiko),

kwa muda - zote tano (frequency, frequency, frequency kusanyiko, frequency kusanyiko, msongamano kamili na jamaa wa usambazaji).

  1. Sheria za kuunda mfululizo wa mabadiliko ya muda

  1. Uwakilishi wa mchoro wa safu tofauti

Hatua ya kwanza ya kusoma mfululizo wa mabadiliko ni kuunda taswira yake ya mchoro. Uwakilishi wa picha wa mfululizo wa utofauti hurahisisha uchanganuzi wao na huruhusu mtu kuhukumu umbo la usambazaji. Ili kuwakilisha mfululizo wa mabadiliko katika takwimu, histogramu, poligoni, na usambazaji wa mkusanyiko huundwa.

Mfululizo tofauti tofauti unaonyeshwa kama kinachojulikana kama poligoni ya masafa.

Ili kuonyesha mfululizo wa muda, poligoni ya usambazaji wa mzunguko na histogram ya mzunguko hutumiwa.

Grafu zinajengwa katika mfumo wa kuratibu wa mstatili.