Utatu wa mraba inaitwa trinomial ya umbo a*x 2 +b*x+c, ambapo a,b,c ni baadhi ya nambari halisi za kiholela, na x ni kigezo. Zaidi ya hayo, nambari a haipaswi kuwa sawa na sifuri.
Nambari a,b,c zinaitwa coefficients. Nambari a inaitwa mgawo unaoongoza, nambari b ni mgawo wa x, na nambari c inaitwa neno la bure.
Mzizi quadratic trinomial a*x 2 +b*x+c ni thamani yoyote ya kigezo x kiasi kwamba utatu wa mraba a*x 2 +b*x+c utatoweka.
Ili kupata mizizi ya trinomial ya quadratic ni muhimu kutatua mlinganyo wa quadratic ya umbo a*x 2 +b*x+c=0.
Jinsi ya kupata mizizi ya trinomial ya quadratic
Ili kutatua hili, unaweza kutumia moja ya njia zinazojulikana.
- 1 njia.
Kupata mizizi ya trinomial ya mraba kwa kutumia fomula.
1. Pata thamani ya kibaguzi kwa kutumia fomula D =b 2 -4*a*c.
2. Kulingana na thamani ya kibaguzi, hesabu mizizi kwa kutumia fomula:
Ikiwa D> 0, basi trinomial ya mraba ina mizizi miwili.
x = -b±√D / 2*a
Ikiwa D< 0, basi trinomial ya mraba ina mzizi mmoja.
Ikiwa kibaguzi ni hasi, basi trinomial ya quadratic haina mizizi.
- Mbinu 2.
Kutafuta mizizi ya trinomial ya quadratic kwa kutenganisha mraba kamili. Wacha tuangalie mfano wa trinomial ya quadratic iliyotolewa. Mlinganyo uliopunguzwa wa quadratic ambao mgawo wake mkuu ni sawa na moja.
Wacha tupate mizizi ya trinomial ya quadratic x 2 +2 * x-3. Ili kufanya hivyo, tunatatua equation ifuatayo ya quadratic: x 2 +2 * x-3 = 0;
Wacha tubadilishe equation hii:
Upande wa kushoto wa equation kuna polynomial x 2 +2*x, ili kuiwakilisha kama mraba wa jumla tunahitaji kuwe na mgawo mwingine sawa na 1. Ongeza na kutoa 1 kutoka kwa usemi huu, tunapata. :
(x 2 +2*x+1) -1=3
Ni nini kinachoweza kuwakilishwa kwenye mabano kama mraba wa binomial
Mlinganyo huu umegawanyika katika hali mbili: ama x+1=2 au x+1=-2.
Katika kesi ya kwanza, tunapata jibu x=1, na katika pili, x=-3.
Jibu: x=1, x=-3.
Kama matokeo ya mabadiliko, tunahitaji kupata mraba wa binomial upande wa kushoto, na nambari fulani upande wa kulia. Upande wa kulia haupaswi kuwa na tofauti.
Utafiti wa kitu kama hicho uchambuzi wa hisabati kama kipengele kina kubwa maana na katika nyanja zingine za sayansi. Kwa mfano, katika uchambuzi wa kiuchumi tabia inahitajika mara kwa mara kutathminiwa kazi faida, yaani kuamua kubwa yake maana na kuandaa mkakati wa kuifanikisha.
Maagizo
Utafiti wa tabia yoyote inapaswa kuanza na utaftaji wa kikoa cha ufafanuzi. Kawaida kwa hali kazi maalum ni muhimu kuamua kubwa zaidi maana kazi ama juu ya eneo hili lote, au kwa muda maalum wake na mipaka iliyo wazi au iliyofungwa.
Kulingana na , kubwa zaidi ni maana kazi y(x0), ambapo kwa nukta yoyote katika kikoa cha ufafanuzi y(x0) ≥ y(x) (x ≠ x0) inashikilia kwa uhakika wowote. Kielelezo, hatua hii itakuwa ya juu zaidi ikiwa maadili ya hoja yamewekwa kando ya mhimili wa abscissa, na kazi yenyewe kwenye mhimili wa kuratibu.
Ili kuamua kubwa zaidi maana kazi, fuata algorithm ya hatua tatu. Tafadhali kumbuka kuwa lazima uweze kufanya kazi na upande mmoja na , pamoja na kuhesabu derivative. Kwa hivyo, acha kazi fulani y(x) itolewe na unahitaji kupata kubwa zaidi maana kwa muda fulani na maadili ya mipaka A na B.
Jua ikiwa muda huu uko ndani ya wigo wa ufafanuzi kazi. Ili kufanya hivyo, unahitaji kuipata kwa kuzingatia vizuizi vyote vinavyowezekana: uwepo wa sehemu katika usemi, kipeo na kadhalika. Kikoa cha ufafanuzi ni seti ya maadili ya hoja ambayo kazi yake inaeleweka. Amua ikiwa muda uliopewa sehemu yake ndogo. Ikiwa ndio, basi nenda kwa hatua inayofuata.
Tafuta derivative kazi na kutatua mlinganyo unaotokana kwa kusawazisha derivative kwa sifuri. Kwa njia hii utapata maadili ya kinachojulikana kama alama za stationary. Tathmini ikiwa angalau moja kati yao ni ya muda A, B.
Katika hatua ya tatu, fikiria vidokezo hivi na ubadilishe maadili yao kwenye kazi. Kulingana na aina ya muda, fanya hatua zifuatazo za ziada. Ikiwa kuna sehemu ya fomu [A, B], pointi za mpaka zinajumuishwa katika muda; Hesabu Maadili kazi kwa x = A na x = B. Ikiwa muda umefunguliwa (A, B), maadili ya mipaka yamepigwa, i.e. hazijajumuishwa ndani yake. Tatua vikomo vya upande mmoja vya x→A na x→B. Muda wa pamoja wa fomu [A, B) au (A, B), ambayo moja ya mipaka yake ni yake, nyingine haipati kikomo cha upande mmoja kwani x inaelekea thamani iliyochomwa, na ubadilishe nyingine muda usio na kikomo wa pande mbili (-∞, +∞) au vipindi visivyo na mwisho vya upande mmoja wa fomu: , (-∞, B). zisizo na kikomo, tafuta mipaka ya x→-∞ na x→+∞, mtawalia.
Jukumu katika hatua hii
Kwa mtazamo wa vitendo, jambo linalovutia zaidi ni kutumia derivative kupata thamani kubwa na ndogo zaidi za chaguo la kukokotoa. Je, hii inahusiana na nini? Kuongeza faida, kupunguza gharama, kuamua mzigo mzuri wa vifaa ... Kwa maneno mengine, katika maeneo mengi ya maisha tunapaswa kutatua shida za kuongeza vigezo vingine. Na hizi ni kazi za kupata maadili makubwa na madogo ya kazi.
Ikumbukwe kwamba thamani kubwa na ndogo zaidi za chaguo za kukokotoa hutafutwa kwa muda fulani X, ambayo ni kikoa kizima cha kazi au sehemu ya kikoa cha ufafanuzi. Muda X yenyewe inaweza kuwa sehemu, muda wazi 
, muda usio na kikomo.
Katika makala hii tutazungumza juu ya kupata maadili makubwa na madogo kwa uwazi kazi iliyopewa tofauti moja y=f(x) .
Urambazaji wa ukurasa.
Thamani kubwa na ndogo zaidi ya chaguo za kukokotoa - ufafanuzi, vielelezo.
Hebu tuangalie kwa ufupi ufafanuzi mkuu.
Thamani kubwa zaidi ya chaguo za kukokotoa 
hiyo kwa mtu yeyote 
usawa ni kweli.
Thamani ndogo zaidi ya chaguo za kukokotoa y=f(x) kwenye muda X inaitwa thamani kama hiyo 
hiyo kwa mtu yeyote usawa ni kweli.
Ufafanuzi huu ni angavu: thamani kubwa zaidi (ndogo) ya chaguo za kukokotoa ni thamani kubwa zaidi (ndogo) inayokubalika kwa muda unaozingatiwa kwenye abscissa.
Pointi za stationary- hizi ni maadili ya hoja ambayo derivative ya kazi inakuwa sifuri.
Kwa nini tunahitaji alama za stationary wakati wa kupata maadili makubwa na madogo? Jibu la swali hili limetolewa na nadharia ya Fermat. Kutoka kwa nadharia hii inafuata kwamba ikiwa kazi inayoweza kutofautishwa ina upeo (kiwango cha chini cha ndani au kiwango cha juu cha ndani) kwa wakati fulani, basi hatua hii ni ya stationary. Kwa hivyo, chaguo za kukokotoa mara nyingi huchukua thamani yake kubwa zaidi (ndogo) kwenye muda wa X katika mojawapo ya pointi za kusimama kutoka kwa muda huu.
Pia, chaguo la kukokotoa mara nyingi linaweza kuchukua maadili yake makubwa na madogo zaidi katika sehemu ambazo derivative ya kwanza ya kazi hii haipo, na kazi yenyewe inafafanuliwa.
Hebu tujibu mara moja moja ya maswali ya kawaida juu ya mada hii: "Je, inawezekana kila wakati kuamua thamani kubwa (ndogo) ya kazi"? Hapana sio kila wakati. Wakati mwingine mipaka ya muda wa X inafanana na mipaka ya kikoa cha ufafanuzi wa kazi, au muda wa X hauna mwisho. Na baadhi ya kazi kwa ukomo na katika mipaka ya kikoa cha ufafanuzi zinaweza kuchukua maadili makubwa na ndogo sana. Katika kesi hizi, hakuna kitu kinachoweza kusema kuhusu thamani kubwa na ndogo zaidi ya kazi.
Kwa uwazi, tutatoa mchoro wa picha. Angalia picha na mengi yatakuwa wazi.
Kwenye sehemu
Katika takwimu ya kwanza, chaguo za kukokotoa huchukua thamani kubwa zaidi (max y) na ndogo zaidi (min y) katika sehemu za stationary ziko ndani ya sehemu [-6;6].
Fikiria kesi iliyoonyeshwa kwenye takwimu ya pili. Wacha tubadilishe sehemu kuwa . Katika mfano huu, thamani ndogo zaidi ya kazi hupatikana kwa hatua ya stationary, na kubwa zaidi - kwa uhakika na abscissa sambamba na mpaka wa kulia wa muda.
Katika Mchoro wa 3, pointi za mipaka ya sehemu [-3;2] ni abscissas ya pointi zinazofanana na thamani kubwa na ndogo zaidi ya kazi.
Kwa muda wazi
Katika takwimu ya nne, kazi inachukua maadili makubwa zaidi (max y) na ndogo zaidi (min y) katika sehemu za stationary ziko ndani. muda wazi (-6;6) .
Kwa muda, hakuna hitimisho linaloweza kutolewa kuhusu thamani kubwa zaidi.
Katika infinity
Katika mfano ulioonyeshwa kwenye takwimu ya saba, kazi inachukua thamani ya juu(max y) katika hatua ya kusimama na abscissa x=1, na thamani ndogo zaidi (min y) hupatikana kwenye mpaka wa kulia wa muda. Katika minus infinity, thamani za chaguo za kukokotoa zinakaribia y=3 bila dalili.
Kwa muda, chaguo za kukokotoa hazifikii thamani ndogo au kubwa zaidi. Kadiri x=2 inavyokaribia kutoka kulia, maadili ya kazi huelekea kuondoa infinity (mstari wa moja kwa moja x=2 ni asymptote ya wima), na kadiri abscissa inavyoelekea kuongeza ukomo, thamani za chaguo za kukokotoa hukaribia y=3 bila dalili. Kielelezo cha picha cha mfano huu kinaonyeshwa kwenye Mchoro 8.
Algorithm ya kupata maadili makubwa na madogo zaidi ya kazi inayoendelea kwenye sehemu.
Wacha tuandike algorithm ambayo inaruhusu sisi kupata maadili makubwa na madogo zaidi ya chaguo la kukokotoa kwenye sehemu.
- Tunapata kikoa cha ufafanuzi wa chaguo za kukokotoa na kuangalia ikiwa ina sehemu nzima.
- Tunapata vidokezo vyote ambavyo derivative ya kwanza haipo na ambayo iko kwenye sehemu (kawaida vidokezo kama hivyo hupatikana katika kazi na hoja chini ya ishara ya modulus na ndani. kazi za nguvu na kipeo cha kimawazo cha sehemu). Ikiwa hakuna pointi hizo, kisha uendelee kwenye hatua inayofuata.
- Tunaamua pointi zote za stationary zinazoanguka ndani ya sehemu. Ili kufanya hivyo, tunalinganisha na sifuri, suluhisha usawa unaosababishwa na uchague mizizi inayofaa. Ikiwa hakuna pointi za kusimama au hakuna hata mmoja wao anayeanguka kwenye sehemu, kisha uendelee kwenye hatua inayofuata.
- Tunahesabu maadili ya kazi katika sehemu zilizochaguliwa za stationary (ikiwa zipo), katika sehemu ambazo derivative ya kwanza haipo (ikiwa ipo), na vile vile kwa x=a na x=b.
- Kutoka kwa maadili yaliyopatikana ya kazi, tunachagua kubwa zaidi na ndogo zaidi - watakuwa maadili makubwa na madogo zaidi ya kazi, mtawaliwa.
Wacha tuchambue algorithm ya kusuluhisha mfano ili kupata maadili makubwa na madogo ya chaguo la kukokotoa kwenye sehemu.
Mfano.
Pata thamani kubwa na ndogo zaidi ya chaguo la kukokotoa
- kwenye sehemu;
- kwenye sehemu [-4;-1] .
Suluhisho.
Kikoa cha chaguo za kukokotoa ni seti nzima nambari za kweli, isipokuwa sifuri, yaani. Sehemu zote mbili ziko ndani ya kikoa cha ufafanuzi.
Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa kwa heshima na: 
Ni wazi, derivative ya chaguo za kukokotoa inapatikana katika sehemu zote za sehemu na [-4;-1].
Tunaamua pointi za stationary kutoka kwa equation. Wa pekee mizizi halisi ni x=2 . Sehemu hii ya kusimama iko katika sehemu ya kwanza.
Kwa kesi ya kwanza, tunahesabu maadili ya kazi katika miisho ya sehemu na mahali pa kusimama, ambayo ni, kwa x=1, x=2 na x=4: 
Kwa hiyo, thamani kubwa zaidi ya kazi 
inafikiwa kwa x=1, na thamani ndogo zaidi 
- kwa x=2.
Kwa kisa cha pili, tunahesabu thamani za chaguo la kukokotoa tu katika miisho ya sehemu [-4;-1] (kwani haina nukta moja ya kusimama): 
Ukurasa wa 1
Ukweli wa kinadharia:
Utatu wa mraba = ax2+ bx + c una thamani ya kupita kiasi ambayo inachukua wakati
Thamani hii ndiyo ndogo zaidi ikiwa > 0, na kubwa zaidi ikiwa a< 0. Если существует y(макс), то y(мин) не существует, и наоборот.
Nambari 1. Panua hii nambari chanya Na kwa maneno mawili ili bidhaa zao ziwe kubwa zaidi.
Suluhisho. Wacha tuonyeshe moja ya masharti yanayohitajika kwa x. Kisha muda wa pili utakuwa sawa na A - x, na bidhaa zao 
au. 
Kwa hivyo, swali lilisababisha kupata thamani ya x ambapo trinomia hii ya quadratic itapokea thamani kubwa zaidi. Kwa mujibu wa Theorem 4, thamani hiyo hakika ipo (kwani hapa mgawo unaoongoza ni sawa na - 1, yaani hasi) na ni sawa na Katika kesi hii, na, kwa hiyo, maneno yote mawili yanapaswa kuwa sawa kwa kila mmoja.
Kwa mfano, nambari 30 inaruhusu upanuzi ufuatao:
Bidhaa zote zilizopokelewa ni chini ya
Nambari 2. Kuna waya wa urefu L. Unahitaji kuinama ili upate mstatili unaopunguza eneo kubwa zaidi linalowezekana.
Suluhisho. Hebu tuonyeshe (Mchoro 1) moja ya pande za mstatili kwa x. Kisha, ni wazi, upande wake mwingine utakuwa eneo 
au 
. Chaguo hili la kukokotoa linachukua thamani yake ya juu, ambayo itakuwa thamani inayotakiwa ya moja ya pande za mstatili. Kisha upande wake mwingine utakuwa , yaani mstatili wetu unageuka kuwa mraba. Suluhisho linalotokana na tatizo linaweza kufupishwa kwa namna ya theorem ifuatayo.
Kati ya mistatili yote ambayo ina mzunguko sawa, mraba una eneo kubwa zaidi.
Maoni.
Tatizo letu pia linaweza kutatuliwa kwa urahisi kwa kutumia matokeo yaliyopatikana wakati wa kutatua Tatizo la 1.
Kwa kweli, tunaona kwamba eneo la mstatili tunalopendezwa nalo Kwa maneno mengine, kuna bidhaa ya mambo mawili x na Lakini jumla ya mambo haya ni 
,T. yaani nambari ambayo haitegemei chaguo la x. Hii ina maana kwamba jambo linakuja kwa kuoza nambari katika masharti mawili ili bidhaa zao ziwe kubwa zaidi. Kama tunavyojua, bidhaa hii itakuwa bora zaidi wakati maneno yote mawili ni sawa, i.e.
Nambari ya 3. Kutoka kwa bodi zilizopo unaweza kujenga uzio wa urefu wa m 200 Unahitaji kuifunga yadi ya mstatili na uzio huu eneo kubwa zaidi, kwa kutumia ukuta wa kiwanda kwa upande mmoja wa yadi.
utendakazi wa derivative ya nadharia ya utatu
Suluhisho. Hebu tuonyeshe (Mchoro 2) moja ya pande za yadi kwa x. Kisha upande wake mwingine utakuwa sawa na eneo lake litakuwa
Kwa mujibu wa nadharia, thamani kubwa zaidi ya kazi hii inapatikana kwa wakati
Kwa hivyo, upande wa yadi perpendicular kwa ukuta wa kiwanda unapaswa kuwa sawa na m 50, kutoka ambapo thamani ya upande unaofanana na ukuta ni 100 m, i.e. yadi inapaswa kuwa na sura ya nusu ya mraba.