Przekraczanie linii prostych. Przykłady problemów z rozwiązaniami i bez rozwiązań

Stereometria

Niezależna praca N 1

opcja 1

1. Narysuj linię prostą A i kropki A,B I C, nie należące do tej linii. Zrób niezbędne notatki.

2. Narysuj płaszczyznę b, punkty MI,F należącej do niej i kropka G, która do niej nie należy. Zrób niezbędne notatki.

3. Narysuj linię prostą A, leżąc w płaszczyźnie a. Dokonaj niezbędnego wpisu.

4. Narysuj dwie przecinające się płaszczyzny a i b. Dokonaj niezbędnego wpisu.

Opcja 2

1. Narysuj dwa przecinające się w jednym punkcie O prosty A I B i kropki A,B,C, i punkt A należy do linii A, B należy do linii B, kropka C nie należy do podanych linii.

2. Narysuj płaszczyznę g i punkty do niej nie należące K.,L i punkt do niego należący M. Zrób niezbędne notatki.

3. Narysuj linię prostą B, przecinając płaszczyznę b w punkcie O. Dokonaj niezbędnego wpisu.

4. Narysuj trzy przecinające się linie A płaszczyzny a, b i g. Dokonaj niezbędnego wpisu.

Niezależna praca N 2

opcja 1

1) Kąty u podstawy trójkąta równoramiennego są równe.

2) Pojedyncza linia prosta przechodzi przez dwa punkty w przestrzeni.

3) Pionowe kąty są równe.

4) Równoległobok to czworokąt, którego przeciwne strony parami równolegle.

2. Zdefiniuj wzajemne porozumienie płaszczyzny a i b, jeśli leży w nich trójkąt ABC. Uzasadnij swoją odpowiedź.

3. Ile samolotów może przejść przez trzy punkty?

4. Znajdź największa liczba linie przechodzące przez różne pary czterech punktów.

Opcja 2

1. Z poniższych zdań wskaż aksjomaty, definicje, twierdzenia:

1) Jeśli dwa samoloty mają wspólny punkt, to przecinają się w linii prostej.

2) Środkowa linia trójkąta to odcinek łączący środki jego dwóch boków.

3) Dla prostych i płaszczyzn w przestrzeni spełnione są aksjomaty planimetrii.

4) Przekątne równoległoboku są podzielone na pół w punkcie przecięcia.

2. Wyznacz względne położenie dwóch płaszczyzn b i g, jeżeli zawierają one punkty B I C. Uzasadnij swoją odpowiedź.

3. Znajdź największą liczbę prostych przechodzących przez różne pary 5 punktów.

4. Znajdź największą liczbę płaszczyzn przechodzących przez różne trójki czterech punktów.

2. Wnioski z aksjomatów stereometrii

opcja 1

1. W płaszczyźnie dwóch przecinających się linii A I B dany punkt C, nienależące do tych linii. Prosty C, leżąca w danej płaszczyźnie, przechodzi przez punkt C C w stosunku do tych linii prostych?

2. Biorąc pod uwagę trzy punkty, które nie należą do tej samej linii. Udowodnić, że wszystkie proste przecinające dwa z trzech odcinków łączących te punkty leżą w tej samej płaszczyźnie.

3. Płaszczyzna jest dana linią prostą C i punkt do niego nie należący C A, różni się od danej linii i nie przechodzi ten punkt.

4. Płaszczyznę wyznaczają dwa przecinające się w jednym punkcie O prosty A I B. Narysuj linię prostą C, która przecina te proste i nie leży w danej płaszczyźnie.

Opcja 2

1. Bezpośrednie D, leżącego w płaszczyźnie trójkąta ABC, przechodzi przez jego bok AB. Jakie może być względne położenie linii? D I PNE.?

2. Na płaszczyźnie a poprowadzono dwie równoległe linie A I B. Udowodnić, że wszystkie proste przecinające te proste leżą w tej samej płaszczyźnie.

3. Płaszczyznę wyznaczają dwa przecinające się w jednym punkcie O prosty M I N. Zbuduj linię prostą w tej płaszczyźnie k, różna od podanych prostych i nieprzechodząca przez punkt O.

4. Płaszczyznę wyznaczają trzy punkty D,MI,F, nie należące do tej samej linii. Narysuj linię prostą A, który przecina boki DE I DF trójkąt OBR i nie leży w tej płaszczyźnie.

3. Figury przestrzenne

opcja 1

1. Narysuj pryzmat pięciokątny i podziel go na czworościany.

2. Określ liczbę wierzchołków, krawędzi i ścian: a) sześcian; b) pryzmat 7-kątny; V) N-piramida węglowa.

3. Określ typ pryzmatu, jeśli ma: a) 10 wierzchołków; b) 21 żeber; c) 5 twarzy.

4. Jak pokolorować ściany 4-kątnego pryzmatu, aby sąsiednie (mające wspólną krawędź) ściany były pokolorowane różne kolory? Który najmniejsza liczba Czy będziesz potrzebować kwiatów?

Opcja 2

1. Narysuj pięciokątną piramidę i podziel ją na czworościany.

2. Określ liczbę wierzchołków, krawędzi i ścian: a) równoległościan prostokątny; b) piramida sześciościenna; V) N- pryzmat węglowy.

3. Określ typ ostrosłupa, jeśli ma: a) 5 wierzchołków; b) 14 żeber; c) 9 twarzy.

4. W jaki sposób można pokolorować ściany ośmiościanu, aby sąsiednie (mające wspólną krawędź) ściany zostały pomalowane różnymi kolorami. Jaka jest najmniejsza liczba potrzebnych kolorów?

4. Modelowanie wielościanów

opcja 1

1. Narysuj kilka siatek sześcianu.

2. Narysuj figurę składającą się z czterech równych trójkątów równobocznych, która nie jest siatką czworościanu foremnego.

3. Narysuj rozwinięcie regularnej czworokątnej piramidy i pokoloruj ją w taki sposób, aby przy sklejaniu sąsiednie ściany miały różne kolory. Jaka jest najmniejsza liczba kolorów, którą musisz wziąć?

4. Narysuj rozwinięcie równoległościanu prostokątnego i pokoloruj go w taki sposób, aby przy sklejaniu sąsiednie ściany miały różne kolory. Jaka jest najmniejsza liczba kolorów, którą musisz wziąć?

Opcja 2

1. Narysuj kilka siatek czworościanu foremnego.

2. Narysuj figurę składającą się z sześciu kwadratów, która nie jest siatką sześcianu.

3. Narysuj rozwinięcie sześcianu i pokoloruj go w taki sposób, aby przy sklejaniu sąsiednie ściany miały różne kolory. Jaka jest najmniejsza liczba kolorów, którą musisz wziąć?

4. Narysuj rozwój regularnej piramidy 6-kątnej i pokoloruj ją w taki sposób, aby przy sklejaniu sąsiednie ściany miały różne kolory. Jaka jest najmniejsza liczba kolorów, którą musisz wziąć?

5. Równoległość linii w przestrzeni

opcja 1

1. Napisz w regularnej 4-kątnej piramidzie SABCD wszystkie pary równoległych krawędzi.

2. W płaszczyźnie dwóch równoległych linii A I B dany punkt C, nienależące do tych linii. Przez punkt C wytyczona została prosta linia C. Jak ustawić linię prostą? C względem linii prostych A I B.

3. Przez punkt nie należący do danej prostej poprowadź linię równoległą do tego punktu.

4. Znajdź umiejscowienie linie przecinające dwie dane linie równoległe.

Opcja 2

1. Zapisz cztery pary równoległych krawędzi sześcianu A...D 1.

2. Biorąc pod uwagę trzy linie A,B I Z. Jak można ustawić te linie proste, aby można było narysować płaszczyznę zawierającą wszystkie te linie proste?

3. Biorąc pod uwagę dwie równoległe linie A I B. Udowodnić, że każda płaszczyzna przecinająca jedną z nich przecina także drugą.

4. Znajdź miejsce prostych równoległych do danej prostej i przecinających inną prostą przecinającą pierwszą.

6. Przekraczanie linii

opcja 1

1. W kostce A...D 1 zapisz krawędzie przecinające krawędź AB.

2. Zapisz pary przecinających się krawędzi piramidy 4-kątnej SABCD.

3. Jak linie są rozmieszczone względem siebie? A I B na rysunku 1? Uzasadnij swoją odpowiedź.

4. Biorąc pod uwagę dwie linie skośne A I B i punkt, który do nich nie należy C. Zbuduj linię prostą C, przechodząc przez punkt C i przecinanie linii A I B.

Opcja 2

1. Zapisz krawędzie przecinające się z krawędzią SA regularna piramida 4-kątna SABCD.

2. Zapisz krawędzie przecinające przekątną B 1D Kuba A...D 1.

C(ryc. 1). Prosty A leży w płaszczyźnie a i przecina prostą C. Czy można narysować linię równoległą do prostej w płaszczyźnie b? A? Uzasadnij swoją odpowiedź.

4. Czy istnieją dwie równoległe linie, z których każda przecina dwie dane linie skośne? Uzasadnij swoją odpowiedź.

7. Równoległość prostej i płaszczyzny

opcja 1

1. Zapisz krawędzie równolegle do płaszczyzny twarzy CC 1D 1D prawidłowy pryzmat ABCDEFA 1B 1C 1D 1mi 1F 1.

2. Bezpośrednie A równolegle do płaszczyzny a; prosty B przecina płaszczyznę a w punkcie B; prosty C, przecinające się linie A I B odpowiednio w punktach mi I F, przecina płaszczyznę a w punkcie C A I B?

3. Płaszczyzny aib przecinają się w linii prostej C. Kropka A należy do płaszczyzny a, punkt B– samolot B. Skonstruuj: a) linię prostą A, leżącego w płaszczyźnie a, przechodzącej przez ten punkt A i równolegle do płaszczyzny b; b) proste B, leżącego w płaszczyźnie b przechodzącej przez ten punkt B i równolegle do płaszczyzny a. Jak linie proste będą ustawione względem siebie? A I B?

4. Punkty A I B należą do sąsiednich bocznych ścian piramidy. Narysuj dwa odcinki równoległe do siebie przez te punkty na tych ścianach.

Opcja 2

1. Zapisz płaszczyzny ścian równoległe do krawędzi CC 1 równoległościan A...D 1.

2. Bezpośrednie A równolegle do płaszczyzny a; prosty B I C, przecinając linię A odpowiednio w punktach B I C, przecinają płaszczyznę a odpowiednio w punktach D I mi. Narysuj coś. Jak można ustawić linie proste względem siebie? A I B?

3. Płaszczyzny aib przecinają się w linii prostej C. Prosty A leży w płaszczyźnie a. Udowodnić, że jeśli: a) A przecina płaszczyznę b w punkcie A, To A należy do linii C; B) A jest równoległa do płaszczyzny b, to jest równoległa do prostej C.

4. Punkty A I B należą do sąsiednich ścian bocznych pryzmatu. Narysuj dwa odcinki równoległe do siebie przez te punkty na tych ścianach.

8. Równoległość dwóch płaszczyzn

opcja 1

1. Zapisz równoległe płaszczyzny równoległościanu A...D 1.

2. Czy stwierdzenia są prawdziwe:

1) Przez punkt nie należący do danej płaszczyzny przechodzi pojedyncza płaszczyzna równoległa do danej.

2) Jeżeli dwie linie leżące w jednej płaszczyźnie są odpowiednio równoległe do dwóch linii leżących w innej płaszczyźnie, to te płaszczyzny są równoległe.

3) Istnieje nieskończenie wiele prostych równoległych do danej płaszczyzny i przechodzących przez punkt nie należący do tej płaszczyzny.

4) Jeżeli jedna z dwóch danych płaszczyzn jest równoległa do dwóch przecinających się linii leżących w drugiej płaszczyźnie, to płaszczyzny te są równoległe.

3. Udowodnij, że dwie płaszczyzny równoległe do tej samej trzeciej płaszczyzny są do siebie równoległe.

4. Segmenty AB I płyta CD leżą odpowiednio w równoległych płaszczyznach a i b (ryc. 2). Jak można ustawić linie proste względem siebie? AC I BD? Czy mogą być równoległe?

Opcja 2

1. W trójkątnej piramidzie SABC narysuj płaszczyznę równoległą do jej podstawy ABC.

2. Czy stwierdzenia są prawdziwe:

1) Jeżeli prosta leżąca w jednej płaszczyźnie jest równoległa do prostej leżącej w innej płaszczyźnie, to płaszczyzny te są równoległe.

2) Jeżeli płaszczyzna przecina dwie dane płaszczyzny wzdłuż linii równoległych, to płaszczyzny te są równoległe.

3) Istnieje nieskończenie wiele płaszczyzn równoległych do danej prostej i przechodzących przez punkt nie należący do tej prostej.

4) Jeśli dwie płaszczyzny są równoległe do tej samej linii, to są równoległe.

3. Udowodnij, że jeśli płaszczyzna przecina jedną z dwóch równoległych płaszczyzn, to przecina także drugą.

4. Segmenty AB I płyta CD leżą odpowiednio w równoległych płaszczyznach a i b (ryc. 3). Jak można ustawić linie proste względem siebie? OGŁOSZENIE I PNE.? Czy mogą się przecinać?

9. Wektory w przestrzeni

opcja 1

1. Za dany wektor skonstruuj wektory: a) -; b) 2; V) -.

2. Ile wektorów wyznaczają wszystkie możliwe pary punktów utworzone z wierzchołków foremnej piramidy czworokątnej?

ABCD .

4. Biorąc pod uwagę równoległościan A...D 1..gif" szerokość="128" wysokość="29 src=">.gif" szerokość="15" wysokość="19 src="> skonstruuj wektory: a) 3; b) -2; V) .

2. Ile wektorów wyznaczają wszystkie możliwe pary punktów utworzone z wierzchołków trójkątnego pryzmatu?

3. Narysuj regularny czworościan ABCD i narysuj wektor: a) ; B) ; V) .

4. Biorąc pod uwagę równoległościan A...D 1..gif" szerokość="133" wysokość="29 src=">.gif" szerokość="15" wysokość="17 src=">, aby uzyskać wektor w tym samym kierunku za pomocą i ||=1.

2. Biorąc pod uwagę dwa przeciwnie skierowane wektory i , i || > ||..gif" szerokość="15" wysokość="19 src=">.

3. Biorąc pod uwagę czworościan ABCD. Zapisz trzy pary jego wierzchołków, które definiują wektory współpłaszczyznowe.

4. Biorąc pod uwagę kostkę A...D 1. Zapisz trójki wektorów niewspółpłaszczyznowych, których początki i końce znajdują się na wierzchołkach.

Opcja 2

1..gif" szerokość="15" wysokość="21">, skierowane przeciwnie z i ||=2.

2..gif" szerokość="15" wysokość="21 src=">.gif" szerokość="15" wysokość="21 src=">|. Znajdź kierunek i długość wektora +.

3. Biorąc pod uwagę czworościan ABCD. Zapisz trzy pary jego wierzchołków, które definiują wektory niewspółpłaszczyznowe.

4. Biorąc pod uwagę kostkę A...D 1. Zapisz trójki wektorów współpłaszczyznowych, których początki i końce znajdują się na wierzchołkach.

11. Transfer równoległy

opcja 1

1. Skonstruuj wynikową figurę transfer równoległy prosty A do wektora, jeśli: a) mi należy A, F nie należy A; b) punkty mi I F nie należę A.

2. Określ tłumaczenie równoległe, czyli środek segmentu G.H. tłumaczy się w pewnym sensie M.

3. Zbuduj figurę uzyskaną z kwadratu ABCD równoległe przeniesienie do wektora: a) https://pandia.ru/text/78/221/images/image025_45.gif" szerokość="28" wysokość="24 src=">.

4. Zbuduj figurę otrzymaną z czworościanu ABCD przeniesienie równoległe do wektora.

Opcja 2

1. Skonstruuj figurę otrzymaną przez równoległe przesunięcie okręgu ze środkiem w punkcie O do wektora https://pandia.ru/text/78/221/images/image024_45.gif" szerokość="29" wysokość="24 src=">.gif" szerokość="29" wysokość="24"> .

12. Projekt równoległy

opcja 1

1. Ile punktów zostanie uzyskanych za pomocą projekt równoległy dwa różne punkty przestrzeń? Wykonaj odpowiednie rysunki i uzasadnienie.

2. Wymień właściwości prostokąta zachowane podczas projektowania równoległego.

3. Jak ustawić dwie proste, aby rzutowane były na płaszczyznę na linię prostą i punkt nie należący do tej prostej?

4. Linie równoległe A I B A,B I C pokazano na rysunku 4. Narysuj czwarty punkt D. Uzasadnij swoją odpowiedź.

Opcja 2

1. Ile punktów otrzymasz za zaprojektowanie trzech różnych punktów w przestrzeni? Wykonaj odpowiednie rysunki i uzasadnienie.

2. Wymień właściwości rombu zachowane podczas projektowania równoległego.

3. Jak należy zlokalizować prostą i punkt, aby rzutowano je na płaszczyznę na linię i punkt należący do tej prostej?

4. Przecinające się linie A I B przecinają równoległe płaszczyzny a i b w czterech punktach. Trzech z nich A,B I C pokazano na rysunku 5. Narysuj czwarty punkt D. Uzasadnij swoją odpowiedź.

13. Rzuty równoległe figur płaskich

opcja 1

1. Narysuj rzut równoległy prawego trójkąta równoramiennego leżącego na płaszczyźnie równoległej do płaszczyzny rzutu.

2. Narysuj równoległy rzut trójkąta równobocznego ABC i na nim skonstruuj obrazy prostopadłych wyrzuconych z punktu M– środek boku AB na boki AC I PNE..

ALFABET, przyjmując prostokąt jako oryginalną figurę ABDE.

4. Narysuj równoległy rzut trójkąta równobocznego ABC i skonstruuj na nim obraz prostopadłej poprowadzonej z punktu K– środek odcinka BO(O– środek trójkąta) w bok AB.

Opcja 2

1. Narysuj równoległy rzut trójkąta równobocznego leżącego na płaszczyźnie równoległej do płaszczyzny rzutu.

2. Narysuj równoległy rzut kwadratu ABCD i na nim skonstruuj obraz prostopadłych narysowanych z punktu mi– środek boku PNE. do linii prostych BD I AC.

3. Narysuj rzut równoległy zwykły sześciokąt ALFABET, biorąc za pierwotną figurę trójkąt równoboczny AS.

4. Narysuj rzut równoległy prostokąta ABCD, Który reklama= 2AB. Skonstruuj obraz prostopadłej wyrzuconej z wierzchołka C do przekątnej BD.

14. Obraz figur przestrzennych

opcja 1

1. Narysuj regularną czworokątną piramidę i jej wysokość.

2. Narysuj sześcian, którego dwie ściany są równoległe do płaszczyzny projektowej.

3. Rysunek 6 pokazuje projekcja równoległa Kuba A...D

4. Biorąc pod uwagę czworościan ABCD. Obszar jego twarzy ADC równy S BDC do samolotu ADC w kierunku linii prostej AB.

Opcja 2

1. Narysuj właściwy trójkątna piramida i jego wysokość.

2. Narysuj sześcian, którego ściany nie są równoległe do płaszczyzny projektowej.

3. Rysunek 7 przedstawia rzut równoległy sześcianu A...D 1. Jak położony jest sześcian względem płaszczyzny projektowej?

4. Biorąc pod uwagę czworościan ABCD. Obszar jego twarzy ABD równy Q. Znajdź obszar projekcji jego twarzy BDC do samolotu ADB w kierunku linii prostej CM., Gdzie M– środek żebra AB.

15. Przekroje wielościanów

opcja 1

1. W sześciokątnym pryzmacie A...F 1 (ryc. 8) skonstruuj punkt przecięcia prostej PQ z samolotem ABC, gdzie punkty Q I P należą odpowiednio do bocznych krawędzi pryzmatu nocleg ze śniadaniem 1 i DD 1.

2. Na bocznych żebrach czworokątny pryzmat A...D 1 przyznaje się trzy punkty K.,L,M(ryc. 9). Skonstruuj linię przecięcia płaszczyzny KLM z samolotem ABC.

3. Skonstruuj odcinek sześcianu z płaszczyzną przechodzącą przez punkty X,Y,Z OGŁOSZENIE.AA 1, nocleg ze śniadaniem 1 i takie tam TOPÓR:XD= 1:2, A 1Y:TAK= 2:1, B 1Z:ZB = 1:2.

4. W prawej piramidzie SABCD skonstruuj odcinek przechodzący przez bok podstawy OGŁOSZENIE i okres M, należący do krawędzi bocznej S.B..

Opcja 2

1. Na bocznych żebrach nocleg ze śniadaniem 1 i E.E. 1 pryzmat ABCDEA 1B 1C 1D 1mi Odpowiednio przyznaje się 1 punkt F I G(ryc. 10). Skonstruuj punkt przecięcia prostej FG z samolotem ABC.

2. Biorąc pod uwagę kostkę A...D 1. Na żebrach AA 1, CC 1 i DD 1 przyznaje się odpowiednio trzy punkty X,Y,Z(ryc. 11). Skonstruuj linię przecięcia płaszczyzn XYZ I ABC.

3. W regularnym trójkątnym pryzmacie A...C 1 skonstruuj odcinek przechodzący przez punkty K.,L I M, należące odpowiednio do krawędzi AA 1, AC I nocleg ze śniadaniem 1 i takie, że: AK =K.A. 1; glin:LC= 1:2 i BM =M.B. 1.

4. W prawej piramidzie SABCD skonstruuj odcinek przechodzący przez przekątną AC podstawy i równolegle do krawędzi bocznej SD.

16. Kąt pomiędzy prostymi w przestrzeni. Prostopadłość linii

opcja 1

1. W kostce A...D AB I nocleg ze śniadaniem 1; B) BD I nocleg ze śniadaniem 1; V) AB 1 i CC 1; G) AB 1 i płyta CD 1.

A...C 1 segment płyta CD prostopadle do krawędzi AB płyta CD I AA 1; B) płyta CD I A 1B 1.

3. We właściwy sposób czworokątna piramida SABCD o równych krawędziach znajdź kąt między przekątną AC podstawa i krawędź boczna SC.

4. Znajdź kąt pomiędzy przecinającymi się krawędziami czworościanu foremnego.

Opcja 2

1. W kostce A...D 1 znajdź kąt między liniami: a) PNE. I nocleg ze śniadaniem 1; B) A 1C 1 i OGŁOSZENIE; V) nocleg ze śniadaniem 1 i BD; G) A 1D I PNE. 1.

2. W regularnym trójkątnym pryzmacie A...C 1 JESTEM.– środkowa podstawy ABC. Znajdź kąt między liniami: a) JESTEM. I C 1B 1; B) JESTEM. I A 1C 1.

3. W regularnym czworościanie ABCD kropka M– środek żebra C.B.. Znajdź kąt między liniami JESTEM. I DC.

4. Znajdź kąt między nieprzecinającymi się krawędziami regularnej piramidy trójkątnej.

17. Prostopadłość prostej i płaszczyzny

opcja 1

1. Udowodnij, że linia prostopadle do płaszczyzny, przecina tę płaszczyznę.

2. Przez środek O kwadrat ABCD wytyczona została prosta linia OK, prostopadle do płaszczyzny tego kwadratu. Udowodnij, że linia AK prostopadle do linii prostej BD.

3. Znajdź miejsce punktów należących do prostych przechodzących przez dany punkt i prostopadłych do danej prostej.

4. Punkt M należy do ściany bocznej ABD trójkątna piramida ABCD, w którym AB =BD I AC =płyta CD. Skonstruuj odcinek tej piramidy z płaszczyzną przechodzącą przez ten punkt M i prostopadle do linii OGŁOSZENIE.

Opcja 2

1. Bezpośrednie A, prostopadła do płaszczyzny a, przecina tę płaszczyznę w punkcie A. Udowodnij, że linia B, przechodząc przez punkt A i prostopadle do linii A, leży w płaszczyźnie a.

2. Przez punkt M– środek boku AB trójkąt równoboczny ABC wytyczona została prosta linia M.H., prostopadle do płaszczyzny tego trójkąta. Udowodnić prostopadłość prostych AB I HC.

3. Biorąc pod uwagę linię prostą A i punkt, który do niego nie należy A. Znajdź miejsce linii przechodzących przez punkt A i prostopadle do linii A.

4. W prostokątnym równoległościanie A...D 1 skonstruuj odcinek przechodzący przez punkt K, punkt wewnętrzny przekrój diagonalny AA 1C 1C i prostopadle do linii nocleg ze śniadaniem 1.

18. Prostopadłe i ukośne

opcja 1

1. Biorąc pod uwagę samolot a. Z punktu A dwa skłonne AB= 20 cm i AC= 15 cm Rzut pierwszej nachylonej płaszczyzny na tę płaszczyznę wynosi 16 cm Znajdź rzut drugiej nachylonej płaszczyzny.

2. Z punktu M, nie należące do płaszczyzny g, rysowane są do niej równe nachylone zbocza MAMA,M.B. I MC. Udowodnić, że podstawy nachylonych należą do tego samego okręgu. Znajdź jego środek.

3. Z punktu B do płaszczyzny b poprowadzono dwie równe płaszczyzny nachylone o długości 2 cm. Kąt między nimi wynosi 600, a między ich rzutami 900. Znajdź prostopadłą opuszczoną z punktu B do samolotu b.

4. Biorąc pod uwagę trójkąt o bokach 13 cm, 14 cm i 15 cm, punkt M, nie należąca do płaszczyzny tego trójkąta, znajduje się w odległości 5 cm od boków trójkąta. Znajdź prostopadłą wyrzuconą z punktu M do płaszczyzny danego trójkąta.

Opcja 2

1. Z punktu A ciągnione do płaszczyzny pochyłej AB= 9 cm i prostopadle AO= 6 cm Znajdź rzut tej prostopadłej na daną nachyloną.

2. Znajdź zbiór punktów w przestrzeni jednakowo odległych od wszystkich punktów danego okręgu.

3. Z danego punktu poprowadzono do danej płaszczyzny dwie równo nachylone zbocza, tworząc między sobą kąt 600. Kąt pomiędzy ich rzutami jest linią prostą. Znajdź kąt pomiędzy każdym skośnym a jego rzutem.

4. Punkt M jest usuwany z każdego wierzchołka trójkąta foremnego o cm i z każdej strony o 2 cm. Znajdź prostopadłą opuszczoną z punktu M do płaszczyzny trójkąta.

19. Kąt pomiędzy prostą a płaszczyzną

opcja 1

1. W piramidzie żebra boczne są jednakowo nachylone do płaszczyzny podstawy. W którym punkcie rzutowany jest wierzchołek piramidy?

2. W kostce A...D AA 1 i samolot AB 1D 1.

3. Do płaszczyzny a poprowadzono linię ukośną M.H. (H należy do płaszczyzny a). Udowodnić, że jeśli rzut jest ukośny M.H. tworzy kąty równe z kątami prostymi A.H. I B.H., leżący w płaszczyźnie a, następnie nachylony M.H. tworzy z nimi równe kąty.

4. Poprowadź prostą do danej płaszczyzny przez zadany na niej punkt, tworząc z płaszczyzną kąt 900.

Opcja 2

1. Udowodnij, że w piramidzie regularnej krawędzie boczne są jednakowo nachylone do płaszczyzny podstawy.

2. W kostce A...D 1 znajdź cosinus kąta między krawędziami A 1D 1 i samolot AB 1D 1.

3. Do płaszczyzny b poprowadzono linię ukośną B.P. (P należy do płaszczyzny b), która tworzy kąty równe z kątami prostymi PE I PF, leżąc w płaszczyźnie b. Udowodnić, że kąty utworzone przez linie proste PE I PF z ukośną projekcją B.P. na płaszczyźnie b są równe.

4. Przez punkt nie należący do danej płaszczyzny poprowadź linię prostą tworzącą z płaszczyzną kąt 900.

20. Odległość pomiędzy punktami, liniami i płaszczyznami

opcja 1

1. W trójkącie prostokątnym ABC(DIV_ADBLOCK16">

4. W kostce A...D 1 z żebrem A AB I B 1C 1.

Opcja 2

1. Nogi trójkąta prostokątnego ABC(C= 900) są równe 15 cm i 20 cm od góry C do płaszczyzny trójkąta poprowadzono prostopadłą płyta CD równa 5 cm Znajdź odległość od punktu D do przeciwprostokątnej AB.

2. W kostce jednostkowej A...D 1 znajdź odległość między wierzchołkami D 1 oraz: a) góra B; b) krawędź AB; c) krawędź nocleg ze śniadaniem 1C 1C.

3. Z punktu K prostopadłość długości D i narysowane są dwa nachylone, których kąty z prostopadłą wynoszą 300. Kąt między nachylonymi wynosi 600. Znajdź odległość między podstawami nachylonych.

4. W kostce A...D 1 z żebrem A znajdź odległość pomiędzy przecinającymi się krawędziami DC I nocleg ze śniadaniem 1.

21. Kąt dwuścienny

opcja 1

A. Znajdować rzut ortogonalny jest to nachylone do płaszczyzny, jeśli kąt między nachyloną a płaszczyzną wynosi 300.

2. Na jednej ścianie kąta dwuściennego przyjmuje się dwa punkty A I B. Prostopadłe są w nich pominięte AA 1, nocleg ze śniadaniem 1 na drugą stronę i AA 2, nocleg ze śniadaniem 2 na krawędź kąta dwuściennego. Znajdować nocleg ze śniadaniem 2 jeśli AA 1 = 6 cm, nocleg ze śniadaniem 1 = 3cm, AA 2 = 24cm.

3. Dwa równy prostokąt Posiadać wspólna strona a ich płaszczyzny tworzą kąt 450. Znajdź stosunek pól dwóch figur, na które rzut ortogonalny boku jednego prostokąta dzieli drugi.

4. Udowodnić, że prostopadłe wyprowadzone z punktów danej prostej na płaszczyznę leżą w tej samej płaszczyźnie, a geometrycznym położeniem podstaw tych prostopadłych jest linia przecięcia tych płaszczyzn.

Opcja 2

1. Pochylona linia narysowana do płaszczyzny jest równa A. Znajdź rzut prostopadły tej nachylonej płaszczyzny na płaszczyznę, jeśli kąt między nachyloną a płaszczyzną wynosi 600.

2. Na jednej ścianie kąta dwuściennego znajdują się dwa punkty oddalone o 9 cm i 12 cm od jego krawędzi. Odległość pierwszego punktu do drugiej ściany kąta dwuściennego wynosi 20 cm. Znajdź odległość tej ściany do drugi punkt.

3. Dwa Trójkąt równoramienny Posiadać wspólna płaszczyzna, a ich płaszczyzny tworzą kąt 600. Wspólna podstawa ma długość 16 cm, strona jeden trójkąt ma długość 17 cm, a boki drugiego są prostopadłe. Znajdź odległość między wierzchołkami trójkątów leżących naprzeciw wspólnej podstawy.

4. Udowodnij, że punkt przecięcia rzutów ortogonalnych dwóch prostych na płaszczyznę jest rzutem ortogonalnym punktu przecięcia tych prostych na tę samą płaszczyznę.

22. Prostopadłość płaszczyzn

opcja 1

1. Biorąc pod uwagę kostkę A...D 1. Udowodnić prostopadłość płaszczyzn: a) ABD I DCC 1; B) AB 1C 1 i WĄTEK 1.

2. Przez daną linię leżącą w danej płaszczyźnie narysuj płaszczyznę prostopadłą do tej płaszczyzny.

W regularnej trójkątnej piramidzie SABC z górą S kąt między krawędzią boczną a
płaszczyzna podstawy jest równa 60°, bok podstawy jest równy 1 , CII- wysokość piramidy.
Znajdź pole przekroju piramidy przez płaszczyznę przechodzącą przez punkt N
równolegle do żeber SA I PNE..

Podstawą wysokości regularnej piramidy jest środek trójkąta ABC. Najpierw przeprowadzimy
przez punkt N odcinek CZ, równolegle do krawędzi Słońce. Punkty P i T należą do przekroju.

W płaszczyźnie twarzy ACS przez punkt T narysujmy odcinek TK równolegle do krawędzi JAK.

W płaszczyźnie twarzy ABC przez punkt R narysujmy odcinek PL równolegle do krawędzi JAK.

Łączenie kropek DO I L, uzyskujemy żądaną sekcję. Udowodnijmy, że jest to prostokąt.

Segmenty TK I PL nie tylko równoległe (każdy jest równoległy JAK), ale i równe.

Jest to więc czworokąt KLPT- równoległobok na podstawie równoległoboku.
Oprócz, TK ⊥ TR, ponieważ AS⊥CB i boki TK I TR równoległy JAK I C.B..
Udowodnijmy to AS⊥CB. Możesz skorzystać z twierdzenia o trzech prostopadłościach.
JAK- skłonny, OGŁOSZENIE rzut tego skośnego na ABC, AD⊥CB, Oznacza, AS⊥CB.

Aby znaleźć pole prostokąta, musisz znaleźć i pomnożyć jego boki.
Należy pamiętać, że z boku TR wynosi dwie trzecie boku podstawy BC = 1.
Drugi bok prostokąta TK jedna trzecia żebra bocznego JAK.
Możemy znaleźć krawędź boczną trójkąta SAH, gdzie ∠SAH = 60°
(kąt między krawędzią boczną a podstawą) i ∠ASH = 30°, co oznacza AS = 2·AN.

Znajdź długość odcinka JAKIŚ, znając bok podstawy, możesz to zrobić na różne sposoby.
Lepiej obejść się bez formuł i rozważyć trójkąt prostokątny ANF.

Wróćmy do trójkąta SAH i znajdziemy boczne żebro piramidy:

Pozostaje pomnożyć znalezione boki i uzyskać pole przekroju poprzecznego.

§ 2. PRACA SAMODZIELNA

1. Podstawowe pojęcia i aksjomaty stereometrii

Niezależna praca N 1

opcja 1

1. Narysuj linię prostą A i kropki A, B I C, nie należący do tej linii. Zrób niezbędne notatki.

2. Narysuj płaszczyznę b, punkty mi, F, należący do niej, kropka G, która do niej nie należy. Zrób niezbędne notatki.

3. Narysuj linię prostą A, leżąc w płaszczyźnie a. Dokonaj niezbędnego wpisu.

4. Narysuj dwie przecinające się płaszczyzny a i b. Dokonaj niezbędnego wpisu.

Opcja 2

1. Narysuj dwa przecinające się w jednym punkcie O prosty A I B i kropki A, B, C, i punkt A należy do linii A, B należy do linii B, kropka C nie należy do podanych linii.

2. Narysuj płaszczyznę g i punkty do niej nie należące K, L i punkt do niego należący M. Zrób niezbędne notatki.

3. Narysuj linię prostą B, przecinając płaszczyznę b w punkcie O. Dokonaj niezbędnego wpisu.

4. Narysuj trzy przecinające się linie A płaszczyzny a, b i g. Dokonaj niezbędnego wpisu.

Niezależna praca N 2

opcja 1

1) Kąty u podstawy trójkąta równoramiennego są równe.

2) Pojedyncza linia prosta przechodzi przez dwa punkty w przestrzeni.

3) Kąty pionowe są równe.

4) Równoległobok to czworokąt, którego przeciwne boki są równoległe parami.

2. Wyznacz względne położenie płaszczyzn a i b, jeżeli zawierają one trójkąt ABC. Uzasadnij swoją odpowiedź.

3. Ile samolotów może przejść przez trzy punkty?

4. Znajdź największą liczbę prostych przechodzących przez różne pary czterech punktów.

Opcja 2

1. Z poniższych zdań wskaż aksjomaty, definicje, twierdzenia:

1) Jeżeli dwie płaszczyzny mają wspólny punkt, to przecinają się po linii prostej.

2) Linia środkowa trójkąta to odcinek łączący środki jego dwóch boków.

3) Dla prostych i płaszczyzn w przestrzeni spełnione są aksjomaty planimetrii.

4) Przekątne równoległoboku są podzielone na pół w punkcie przecięcia.

2. Wyznacz względne położenie dwóch płaszczyzn b i g, jeżeli zawierają one punkty B I C. Uzasadnij swoją odpowiedź.

3. Znajdź największą liczbę prostych przechodzących przez różne pary 5 punktów.

4. Znajdź największą liczbę płaszczyzn przechodzących przez różne trójki czterech punktów.

2. Wnioski z aksjomatów stereometrii

opcja 1

1. W płaszczyźnie dwóch przecinających się linii A I B dany punkt C, nienależące do tych linii. Prosty C, leżące w danej płaszczyźnie, przechodzi przez punkt C. Jak ustawić linię prostą? C w stosunku do tych linii prostych?

3. Płaszczyzna jest dana linią prostą C i punkt do niego nie należący C A, różną od danej prostej i nieprzechodzącą przez dany punkt.

4. Płaszczyznę wyznaczają dwa przecinające się w jednym punkcie O prosty A I B. Narysuj linię prostą C, która przecina te proste i nie leży w danej płaszczyźnie.

Opcja 2

1. Bezpośrednie D, leżącego w płaszczyźnie trójkąta ABC, przecina jego bok AB. Jakie może być względne położenie linii? D I PNE.?

2. Na płaszczyźnie a poprowadzono dwie równoległe linie A I B. Udowodnić, że wszystkie proste przecinające te proste leżą w tej samej płaszczyźnie.

3. Płaszczyznę wyznaczają dwa przecinające się w jednym punkcie O prosty M I N. Zbuduj linię prostą w tej płaszczyźnie k, różna od podanych prostych i nieprzechodząca przez punkt O.

4. Płaszczyznę wyznaczają trzy punkty D, mi, F, nie należące do tej samej linii. Narysuj linię prostą A, który przecina boki DE I DF trójkąt OBR i nie leży w tej płaszczyźnie.

3. Figury przestrzenne

opcja 1

1. Narysuj pryzmat pięciokątny i podziel go na czworościany.

2. Określ liczbę wierzchołków, krawędzi i ścian: a) sześcian; b) pryzmat 7-kątny; V) N-piramida węglowa.

3. Określ typ pryzmatu, jeśli ma: a) 10 wierzchołków; b) 21 żeber; c) 5 twarzy.

4. W jaki sposób można pokolorować ściany 4-kątnego pryzmatu, aby sąsiednie (mające wspólną krawędź) ściany były pomalowane różnymi kolorami? Jaka jest najmniejsza liczba potrzebnych kolorów?

Opcja 2

1. Narysuj pięciokątną piramidę i podziel ją na czworościany.

2. Określ liczbę wierzchołków, krawędzi i ścian: a) równoległościan prostokątny; b) piramida sześciościenna; V) N- pryzmat węglowy.

3. Określ typ ostrosłupa, jeśli ma: a) 5 wierzchołków; b) 14 żeber; c) 9 twarzy.

4. Modelowanie wielościanów

opcja 1

1. Narysuj kilka siatek sześcianu.

2. Narysuj figurę składającą się z czterech równych trójkątów równobocznych, która nie jest siatką czworościanu foremnego.

Opcja 2

1. Narysuj kilka siatek czworościanu foremnego.

2. Narysuj figurę składającą się z sześciu kwadratów, która nie jest siatką sześcianu.

3. Narysuj rozwinięcie sześcianu i pokoloruj go w taki sposób, aby przy sklejaniu sąsiednie ściany miały różne kolory. Jaka jest najmniejsza liczba kolorów, którą musisz wziąć?

5. Równoległość linii w przestrzeni

opcja 1

1. Napisz w regularnej 4-kątnej piramidzie SABCD wszystkie pary równoległych krawędzi.

3. Przez punkt nie należący do danej prostej poprowadź linię równoległą do tego punktu.

4. Znajdź miejsce prostych przecinających dwie dane proste równoległe.

Opcja 2

1. Zapisz cztery pary równoległych krawędzi sześcianu A… D 1 .

2. Biorąc pod uwagę trzy linie A, B I Z. Jak można ustawić te linie proste, aby można było narysować płaszczyznę zawierającą wszystkie te linie proste?

3. Biorąc pod uwagę dwie równoległe linie A I B. Udowodnić, że każda płaszczyzna przecinająca jedną z nich przecina także drugą.

4. Znajdź miejsce prostych równoległych do danej prostej i przecinających inną prostą przecinającą pierwszą.

6. Przekraczanie linii

opcja 1

1. W kostce A… D 1 zapisz krawędzie przecinające krawędź AB.

2. Zapisz pary przecinających się krawędzi piramidy 4-kątnej SABCD.

3. Jak linie są rozmieszczone względem siebie? A I B na rysunku 1? Uzasadnij swoją odpowiedź.

4. Biorąc pod uwagę dwie linie skośne A I B i punkt, który do nich nie należy C. Zbuduj linię prostą C, przechodząc przez punkt C i przecinanie linii A I B.

Opcja 2

1. Zapisz krawędzie przecinające się z krawędzią SA regularna piramida 4-kątna SABCD.

2. Zapisz krawędzie przecinające przekątną B 1 D Kuba OGŁOSZENIE 1 .

C(ryc. 1). Prosty A leży w płaszczyźnie a i przecina prostą C. Czy można narysować linię równoległą do prostej w płaszczyźnie b? A? Uzasadnij swoją odpowiedź.

4. Czy istnieją dwie równoległe linie, z których każda przecina dwie dane linie skośne? Uzasadnij swoją odpowiedź.

7. Równoległość prostej i płaszczyzny

opcja 1

1. Zapisz krawędzie równolegle do płaszczyzny twarzy CC 1 D 1 D prawidłowy pryzmat ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 mi 1 F 1 .

4. Punkty A I B należą do sąsiednich bocznych ścian piramidy. Narysuj dwa odcinki równoległe do siebie przez te punkty na tych ścianach.

Opcja 2

1. Zapisz płaszczyzny ścian równoległe do krawędzi CC 1 równoległościan A… D 1 .

4. Punkty A I B należą do sąsiednich ścian bocznych pryzmatu. Narysuj dwa odcinki równoległe do siebie przez te punkty na tych ścianach.

8. Równoległość dwóch płaszczyzn

opcja 1

1. Zapisz równoległe płaszczyzny równoległościanu A… D 1 .

2. Czy stwierdzenia są prawdziwe:

1) Przez punkt nie należący do danej płaszczyzny przechodzi pojedyncza płaszczyzna równoległa do danej.

2) Jeżeli dwie linie leżące w jednej płaszczyźnie są odpowiednio równoległe do dwóch linii leżących w innej płaszczyźnie, to te płaszczyzny są równoległe.

3) Istnieje nieskończenie wiele prostych równoległych do danej płaszczyzny i przechodzących przez punkt nie należący do tej płaszczyzny.

4) Jeżeli jedna z dwóch danych płaszczyzn jest równoległa do dwóch przecinających się linii leżących w drugiej płaszczyźnie, to płaszczyzny te są równoległe.

3. Udowodnij, że dwie płaszczyzny równoległe do tej samej trzeciej płaszczyzny są do siebie równoległe.

4. Segmenty AB I płyta CD leżą odpowiednio w równoległych płaszczyznach a i b (ryc. 2). Jak można ustawić linie proste względem siebie? AC I BD? Czy mogą być równoległe?

Opcja 2

1. W trójkątnej piramidzie SABC narysuj płaszczyznę równoległą do jej podstawy ABC.

2. Czy stwierdzenia są prawdziwe:

1) Jeżeli prosta leżąca w jednej płaszczyźnie jest równoległa do prostej leżącej w innej płaszczyźnie, to płaszczyzny te są równoległe.

2) Jeżeli płaszczyzna przecina dwie dane płaszczyzny wzdłuż linii równoległych, to płaszczyzny te są równoległe.

3) Istnieje nieskończenie wiele płaszczyzn równoległych do danej prostej i przechodzących przez punkt nie należący do tej prostej.

4) Jeśli dwie płaszczyzny są równoległe do tej samej linii, to są równoległe.

3. Udowodnij, że jeśli płaszczyzna przecina jedną z dwóch równoległych płaszczyzn, to przecina także drugą.

4. Segmenty AB I płyta CD leżą odpowiednio w równoległych płaszczyznach a i b (ryc. 3). Jak można ustawić linie proste względem siebie? OGŁOSZENIE I PNE.? Czy mogą się przecinać?

9. Wektory w przestrzeni

opcja 1

1. Dla danego wektora
skonstruuj wektory: a) - ; b) 2; V) - .

2. Ile wektorów wyznaczają wszystkie możliwe pary punktów utworzone z wierzchołków foremnej piramidy czworokątnej?

ABCD i narysuj wektor: a)
; B)
; V)
.

4. Biorąc pod uwagę równoległościan A… D
; B)
; V)
.

Opcja 2

1. Dla danego wektora skonstruuj wektory: a) 3 ; b) -2; V) .

2. Ile wektorów wyznaczają wszystkie możliwe pary punktów utworzone z wierzchołków trójkątnego pryzmatu?

3. Narysuj czworościan foremny ABCD i narysuj wektor: a)
; B) ; V)
.

4. Biorąc pod uwagę równoległościan A… D 1. Znajdź sumę wektorów: a)
; B) ; V) .

10. Wektory współliniowe i współpłaszczyznowe

opcja 1

aby uzyskać wektor , identycznie skierowany z i | |=1.

2. Biorąc pod uwagę dwa przeciwnie skierowane wektory i , i | | > | |. Znajdź kierunek i długość wektora +.

3. Biorąc pod uwagę czworościan ABCD. Zapisz trzy pary jego wierzchołków, które definiują wektory współpłaszczyznowe.

4. Biorąc pod uwagę kostkę A… D 1. Zapisz trójki wektorów niewspółpłaszczyznowych, których początki i końce znajdują się na wierzchołkach.

Opcja 2

1. Przez jaką liczbę należy pomnożyć wektor niezerowy? aby uzyskać wektor , przeciwnie skierowany za pomocą i | |=2.

2. Biorąc pod uwagę dwa przeciwnie skierowane wektory i , i | | |. Znajdź kierunek i długość wektora +.

3. Biorąc pod uwagę czworościan ABCD. Zapisz trzy pary jego wierzchołków, które definiują wektory niewspółpłaszczyznowe.

4. Biorąc pod uwagę kostkę A… D 1. Zapisz trójki wektorów współpłaszczyznowych, których początki i końce znajdują się na wierzchołkach.

11. Transfer równoległy

opcja 1

1. Skonstruuj figurę uzyskaną przez równoległe przesunięcie linii A do wektora
, Jeśli) mi należy A, F nie należy A; b) punkty mi I F nie należę A.

2. Określ tłumaczenie równoległe, czyli środek segmentu G.H. tłumaczy się w pewnym sensie M.

3. Zbuduj figurę uzyskaną z kwadratu ABCD przeniesienie równoległe do wektora: a)
; B)
.

ABCD przeniesienie równoległe do wektora.

Opcja 2

1. Skonstruuj figurę otrzymaną przez równoległe przesunięcie okręgu ze środkiem w punkcie O do wektora
, jeżeli: a) pkt K należy do kręgu; b) punkt K nie należy do kręgu.

2. Określ przesunięcie równoległe, czyli punkt przecięcia O dwie linie proste A I B tłumaczy się w pewnym sensie N.

3. Zbuduj figurę uzyskaną z regularnego trójkąta ABC równoległe przeniesienie na wektor: a) ; B)
, o co chodzi M– środek boku PNE..

4. Zbuduj figurę otrzymaną z czworościanu ABCD przeniesienie równoległe do wektora
.

12. Projekt równoległy

opcja 1

1. Ile punktów uzyskamy poprzez równoległe rzutowanie dwóch różnych punktów w przestrzeni? Wykonaj odpowiednie rysunki i uzasadnienie.

2. Wymień właściwości prostokąta zachowane podczas projektowania równoległego.

3. Jak ustawić dwie proste, aby rzutowane były na płaszczyznę na linię prostą i punkt nie należący do tej prostej?

4. Linie równoległe A I B A, B I C pokazano na rysunku 4. Narysuj czwarty punkt D. Uzasadnij swoją odpowiedź.

Opcja 2

1. Ile punktów otrzymasz za zaprojektowanie trzech różnych punktów w przestrzeni? Wykonaj odpowiednie rysunki i uzasadnienie.

2. Wymień właściwości rombu zachowane podczas projektowania równoległego.

3. Jak należy zlokalizować prostą i punkt, aby rzutowano je na płaszczyznę na linię i punkt należący do tej prostej?

4. Przecinające się linie A I B przecinają równoległe płaszczyzny a i b w czterech punktach. Trzech z nich A, B I C pokazano na rysunku 5. Narysuj czwarty punkt D. Uzasadnij swoją odpowiedź.

13. Rzuty równoległe figur płaskich

opcja 1

1. Narysuj rzut równoległy prawego trójkąta równoramiennego leżącego na płaszczyźnie równoległej do płaszczyzny rzutu.

2. Narysuj równoległy rzut trójkąta równobocznego ABC i na nim skonstruuj obrazy prostopadłych wyrzuconych z punktu M– środek boku AB na boki AC I PNE..

ALFABET, przyjmując prostokąt jako oryginalną figurę ABDE.

4. Narysuj równoległy rzut trójkąta równobocznego ABC i skonstruuj na nim obraz prostopadłej poprowadzonej z punktu K– środek odcinka BO(O– środek trójkąta) w bok AB.

Opcja 2

1. Narysuj równoległy rzut trójkąta równobocznego leżącego na płaszczyźnie równoległej do płaszczyzny rzutu.

2. Narysuj równoległy rzut kwadratu ABCD i na nim skonstruuj obraz prostopadłych narysowanych z punktu mi– środek boku PNE. do linii prostych BD I AC.

3. Narysuj równoległy rzut sześciokąta foremnego ALFABET, przyjmując za figurę początkową trójkąt równoboczny AS.

4. Narysuj rzut równoległy prostokąta ABCD, Który OGŁOSZENIE = 2AB. Skonstruuj obraz prostopadłej wyrzuconej z wierzchołka C do przekątnej BD.

14. Obraz figur przestrzennych

opcja 1

1. Narysuj regularną czworokątną piramidę i jej wysokość.

2. Narysuj sześcian, którego dwie ściany są równoległe do płaszczyzny projektowej.

3. Rysunek 6 przedstawia rzut równoległy sześcianu A… D

4. Biorąc pod uwagę czworościan ABCD. Obszar jego twarzy ADC równy S BDC do samolotu ADC w kierunku linii prostej AB.

Opcja 2

1. Narysuj regularną trójkątną piramidę i jej wysokość.

2. Narysuj sześcian, którego ściany nie są równoległe do płaszczyzny projektowej.

3. Rysunek 7 przedstawia rzut równoległy sześcianu A… D 1. Jak sześcian jest umiejscowiony względem płaszczyzny projektowej?

15. Przekroje wielościanów

opcja 1

1. W sześciokątnym pryzmacie A… F 1 (ryc. 8) skonstruuj punkt przecięcia prostej PQ z samolotem ABC, gdzie punkty Q I P należą odpowiednio do bocznych krawędzi pryzmatu nocleg ze śniadaniem 1 i DD 1 .

2. Na bocznych krawędziach czworokątnego pryzmatu A… D 1 przyznaje się trzy punkty K, L, M(ryc. 9). Skonstruuj linię przecięcia płaszczyzny KLM z samolotem ABC.

3. Skonstruuj odcinek sześcianu z płaszczyzną przechodzącą przez punkty X, Y, Z, należące odpowiednio do krawędzi OGŁOSZENIE, AA 1 , nocleg ze śniadaniem 1 i takie tam TOPÓR:XD = 1:2, A 1 Y:TAK= 2:1, B 1 Z:ZB = 1:2.

4. W prawej piramidzie SABCD skonstruuj odcinek przechodzący przez bok podstawy OGŁOSZENIE i okres M, należący do krawędzi bocznej S.B..

Opcja 2

1. Na bocznych żebrach nocleg ze śniadaniem 1 i E.E. 1 pryzmat ABCDEA 1 B 1 C 1 D 1 mi Odpowiednio przyznaje się 1 punkt F I G(ryc. 10). Skonstruuj punkt przecięcia prostej FG z samolotem ABC.

2. Biorąc pod uwagę kostkę A… D 1. Na żebrach AA 1 , CC 1 i DD 1 przyznaje się odpowiednio trzy punkty X, Y, Z(ryc. 11). Skonstruuj linię przecięcia płaszczyzn XYZ I ABC.

3. W regularnym trójkątnym pryzmacie A… C 1 skonstruuj odcinek przechodzący przez punkty K, L I M, należące odpowiednio do krawędzi AA 1 , AC I nocleg ze śniadaniem 1 i takie, że: AK = K.A. 1 ; glin:L.C. = 1:2 i B.M. = M.B. 1 .

4. W prawej piramidzie SABCD skonstruuj odcinek przechodzący przez przekątną AC podstawy i równolegle do krawędzi bocznej SD.

16. Kąt pomiędzy prostymi w przestrzeni. Prostopadłość linii

opcja 1

1. W kostce A… D AB I nocleg ze śniadaniem 1 ; B) BD I nocleg ze śniadaniem 1 ; V) AB 1 i CC 1 ; G) AB 1 i płyta CD 1 .

A… C 1 segment płyta CD prostopadle do krawędzi AB. Znajdź kąt między liniami: a) płyta CD I AA 1 ; B) płyta CD I A 1 B 1 .

SABCD o równych krawędziach znajdź kąt między przekątną AC podstawa i krawędź boczna SC.

4. Znajdź kąt pomiędzy przecinającymi się krawędziami czworościanu foremnego.

Opcja 2

1. W kostce A… D 1 znajdź kąt między liniami: a) PNE. I nocleg ze śniadaniem 1 ; B) A 1 C 1 I OGŁOSZENIE; V) nocleg ze śniadaniem 1 i BD; G) A 1 D I PNE. 1 .

2. W regularnym trójkątnym pryzmacie A… C 1 JESTEM.– środkowa podstawy ABC. Znajdź kąt między liniami: a) JESTEM. I C 1 B 1 ; B) JESTEM. I A 1 C 1 .

3. W regularnym czworościanie ABCD kropka M– środek żebra C.B.. Znajdź kąt między liniami JESTEM. I DC.

4. Znajdź kąt między nieprzecinającymi się krawędziami regularnej piramidy trójkątnej.

17. Prostopadłość prostej i płaszczyzny

opcja 1

1. Udowodnij, że prosta prostopadła do płaszczyzny przecina tę płaszczyznę.

2. Przez środek O kwadrat ABCD wytyczona została prosta linia OK, prostopadle do płaszczyzny tego kwadratu. Udowodnij, że linia AK prostopadle do linii prostej BD.

3. Znajdź miejsce punktów należących do prostych przechodzących przez dany punkt i prostopadłych do danej prostej.

4. Punkt M należy do ściany bocznej ABD trójkątna piramida ABCD, w którym AB = BD I AC = płyta CD. Skonstruuj odcinek tej piramidy z płaszczyzną przechodzącą przez ten punkt M i prostopadle do linii OGŁOSZENIE.

Opcja 2

1. Bezpośrednie A, prostopadła do płaszczyzny a, przecina tę płaszczyznę w punkcie A. Udowodnij, że linia B, przechodząc przez punkt A i prostopadle do linii A, leży w płaszczyźnie a.

2. Przez punkt M– środek boku AB trójkąt równoboczny ABC wytyczona została prosta linia M.H., prostopadle do płaszczyzny tego trójkąta. Udowodnić prostopadłość prostych AB I HC.

3. Biorąc pod uwagę linię prostą A i punkt, który do niego nie należy A. Znajdź miejsce linii przechodzących przez punkt A i prostopadle do linii A.

4. W prostokątnym równoległościanie A… D 1 skonstruuj odcinek przechodzący przez punkt K, wewnętrzny punkt przekroju ukośnego AA 1 C 1 C i prostopadle do linii nocleg ze śniadaniem 1 .

18. Prostopadłe i ukośne

opcja 1

1. Biorąc pod uwagę samolot a. Z punktu A dwa skłonne AB= 20 cm i AC= 15 cm Rzut pierwszej nachylonej płaszczyzny na tę płaszczyznę wynosi 16 cm Znajdź rzut drugiej nachylonej płaszczyzny.

2. Z punktu M, nie należące do płaszczyzny g, rysowane są do niej równe nachylone zbocza MAMA., M.B. I MC. Udowodnić, że podstawy nachylonych należą do tego samego okręgu. Znajdź jego środek.

3. Z punktu B do płaszczyzny b poprowadzono dwie równe płaszczyzny nachylone o długości 2 cm. Kąt między nimi wynosi 60 0, a między ich występami – 90 0. Znajdź prostopadłą opuszczoną z punktu B do samolotu b.

Opcja 2

1. Z punktu A ciągnione do płaszczyzny pochyłej AB= 9 cm i prostopadle AO= 6 cm Znajdź rzut tej prostopadłej na daną nachyloną.

2. Znajdź zbiór punktów w przestrzeni jednakowo odległych od wszystkich punktów danego okręgu.

3. Z danego punktu poprowadzono do danej płaszczyzny dwie równo nachylone zbocza, tworząc między nimi kąt 60 0. Kąt między ich występami jest prosty. Znajdź kąt pomiędzy każdym skośnym a jego rzutem.

4. Punkt M odległość od każdego wierzchołka regularnego trójkąta o
cm i z każdej strony - 2 cm Znajdź prostopadłą opuszczoną z punktu M do płaszczyzny trójkąta.

19. Kąt pomiędzy prostą a płaszczyzną

opcja 1

1. W piramidzie żebra boczne są jednakowo nachylone do płaszczyzny podstawy. W którym punkcie rzutowany jest wierzchołek piramidy?

2. W kostce A… D AA 1 i samolot AB 1 D 1 .

4. Poprowadź prostą do danej płaszczyzny przez zadany na niej punkt, tworząc z tą płaszczyzną kąt 90 0.

Opcja 2

1. Udowodnij, że w piramidzie regularnej krawędzie boczne są jednakowo nachylone do płaszczyzny podstawy.

2. W kostce A… D 1 znajdź cosinus kąta między krawędziami A 1 D 1 i samolot AB 1 D 1 .

4. Przez punkt nie należący do tej płaszczyzny poprowadź linię prostą tworzącą z płaszczyzną kąt 90 0.

20. Odległość pomiędzy punktami, liniami i płaszczyznami

opcja 1

1. W trójkącie prostokątnym ABC(
C= 90 0) noga AC równa 8 cm od góry B do płaszczyzny tego trójkąta poprowadzono prostopadłą BD. Odległość między punktami A I D równa się 10 cm D do nogi AC.

2. W kostce jednostkowej A… D A oraz: a) góra C 1 ; b) krawędź CC 1 ; c) krawędź nocleg ze śniadaniem 1 C 1 C.

3. Punkt M odległość od wszystkich wierzchołków trójkąta prostokątnego A. Przeciwprostokątna trójkąta jest równa C. Znajdź odległość od punktu M do płaszczyzny danego trójkąta.

4. W kostce A… D 1 z żebrem A AB I B 1 C 1 .

Opcja 2

1. Nogi trójkąta prostokątnego ABC(C= 90 0) są równe 15 cm i 20 cm od góry C do płaszczyzny trójkąta poprowadzono prostopadłą płyta CD równa 5 cm Znajdź odległość od punktu D do przeciwprostokątnej AB.

2. W kostce jednostkowej A… D 1 znajdź odległość między wierzchołkami D 1 oraz: a) góra B; b) krawędź AB; c) krawędź nocleg ze śniadaniem 1 C 1 C.

3. Z punktu K prostopadłość długości D i narysowane są dwa nachylone, których kąty z prostopadłą wynoszą 30 0. Kąt między nachylonymi wynosi 60 0. Znajdź odległość między podstawami nachylonych.

4. W kostce A… D 1 z żebrem A znajdź odległość pomiędzy przecinającymi się krawędziami DC I nocleg ze śniadaniem 1 .

21. Kąt dwuścienny

opcja 1

A. Znajdź rzut prostopadły tej nachylonej płaszczyzny na płaszczyznę, jeśli kąt między nachyloną a płaszczyzną wynosi 30 0.

2. Na jednej ścianie kąta dwuściennego przyjmuje się dwa punkty A I B. Prostopadłe są w nich pominięte AA 1 , nocleg ze śniadaniem 1 na drugą stronę i AA 2 , nocleg ze śniadaniem 2 na krawędź kąta dwuściennego. Znajdować nocleg ze śniadaniem 2 jeśli AA 1 = 6 cm, nocleg ze śniadaniem 1 = 3cm, AA 2 = 24cm.

3. Dwa równe prostokąty mają wspólny bok, a ich płaszczyzny tworzą kąt 45 0. Znajdź stosunek pól dwóch figur, na które rzut ortogonalny boku jednego prostokąta dzieli drugi.

Opcja 2

1. Pochylona linia narysowana do płaszczyzny jest równa A. Znajdź rzut prostopadły tej nachylonej płaszczyzny na płaszczyznę, jeśli kąt między nachyloną a płaszczyzną wynosi 60 0.

3. Dwa trójkąty równoramienne mają wspólną podstawę, a ich płaszczyzny tworzą kąt 60 0. Wspólna podstawa ma długość 16 cm, bok jednego trójkąta ma długość 17 cm, a boki drugiego są prostopadłe. Znajdź odległość między wierzchołkami trójkątów leżących naprzeciw wspólnej podstawy.

4. Udowodnij, że punkt przecięcia rzutów ortogonalnych dwóch prostych na płaszczyznę jest rzutem ortogonalnym punktu przecięcia tych prostych na tę samą płaszczyznę.

22. Prostopadłość płaszczyzn

opcja 1

1. Biorąc pod uwagę kostkę A… D ABD I DCC 1 ; B) AB 1 C 1 i WĄTEK 1 .

2. Przez daną linię leżącą w danej płaszczyźnie narysuj płaszczyznę prostopadłą do tej płaszczyzny.

3. Dwie prostopadłe płaszczyzny a i b przecinają się na linii prostej AB. Prosty płyta CD leży w płaszczyźnie a, równoległej AB i znajduje się w odległości 60 cm od niego. Kropka mi należy do płaszczyzny b i znajduje się w odległości 91 cm od AB. Znajdź odległość od punktu mi do linii prostej płyta CD.

4. Udowodnij, że linia A i płaszczyzna a, prostopadła do tej samej płaszczyzny b, są równoległe, jeśli linia prosta A nie leży w płaszczyźnie a.

Opcja 2

1. Biorąc pod uwagę kostkę A… D 1. Udowodnić prostopadłość płaszczyzn: a) AA 1 D 1 I D 1 B 1 C 1 ; B) A 1 B 1 D I nocleg ze śniadaniem 1 C 1 .

2. Przez nachyloną płaszczyznę narysuj płaszczyznę prostopadłą do tej płaszczyzny.

3. Segment MN ma końce na dwóch prostopadłych płaszczyznach i tworzy z nimi równe kąty. Udowodnij, że punkty M I N jednakowo odległe od linii przecięcia tych płaszczyzn.

4. Udowodnij, że dwie płaszczyzny a i b są równoległe, jeśli są prostopadłe do płaszczyzny g i przecinają ją wzdłuż prostych równoległych.

23*. Centralny projekt

Niezależna praca N 1

opcja 1

1. Gdzie podczas projektowania centralnego przebiega linia prosta równoległa do płaszczyzny projektowej?

2. Płaska figura leży w płaszczyźnie równoległej do płaszczyzny projektowej i znajduje się pomiędzy środkiem a płaszczyzną projektową. Jak wyznacza się współczynnik podobieństwa figury do jej rzutu?

R. Przez środek wysokości poprowadzono płaszczyznę równoległą do podstawy. Znajdź pole przekroju.

4. W trójkątnej piramidzie ABCD(ryc. 12) przez punkty M I N, należące odpowiednio do twarzy ABD I BCD, narysuj odcinek równoległy do krawędzi AC.

Opcja 2

1. W jakim przypadku centralny rzut dwóch linii będzie dwiema równoległymi liniami?

2. Figura płaska leży w płaszczyźnie równoległej do płaszczyzny projekcji. Płaszczyzna obliczeniowa znajduje się pomiędzy środkiem obliczeniowym a płaszczyzną danej figury. Jak wyznacza się współczynnik podobieństwa figury do jej rzutu?

3. Promień podstawy stożka jest równy R. Przecina ją płaszczyzna równoległa do podstawy i dzieląca wysokość stożka względem siebie M:N, licząc od góry. Znajdź pole przekroju.

4. W trójkątnej piramidzie ABCD(ryc. 13) przez punkt M, należący do wysokości piramidy DO, narysuj przekrój równoległy do twarzy BCD.

Niezależna praca N 2

opcja 1

1. Bezpośrednie MS. Narysuj rzut środkowy części danej linii znajdującej się w tej samej półprzestrzeni co punkt S względem płaszczyzny p.

A… D AA 1 C 1 .

3. Narysuj rzut środkowy regularnego sześciokątnego pryzmatu na płaszczyznę równoległą do jego podstaw.

4. Biorąc pod uwagę regularną czworokątną piramidę SABCD, którego kąt dwuścienny u podstawy jest równy 60 0. Znajdź odległość między liniami AB I SC, Jeśli AB= 1.

Opcja 2

1. Bezpośrednie M przecina płaszczyznę projektową p i nie przechodzi przez środek projektowy S. Narysuj za pomocą punktu rzut środkowy odcinka danej linii znajdującego się w różnych półprzestrzeniach S względem płaszczyzny p.

2. Narysuj rzut środkowy sześcianu A… D 1 na płaszczyźnie równoległej do płaszczyzny AB 1 C 1 .

3. Narysuj rzut środkowy foremnego sześciokątnego pryzmatu na płaszczyznę nierównoległą do jego podstaw.

4. Biorąc pod uwagę regularny trójkątny pryzmat A… C 1, którego wszystkie krawędzie są równe 1. Znajdź odległość między liniami AA 1 i PNE. 1 .

24. Kąty wielościenne

opcja 1

1. Napisz, pod jakimi warunkami kąty a, b i g mogą być kątami płaskimi kąta trójściennego.

2. B kąt trójścienny wszystkie kąty płaskie są kątami prostymi. Na jego krawędziach ułożone są od góry odcinki o długości 2 cm, 4 cm, 6 cm, a przez ich końce przeciąga się płaszczyznę. Znajdź obszar wynikowej sekcji.

3. Na ilu liniach płaszczyzny wszystkich ścian kąta czworościennego przecinają się parami?

Opcja 2

1. Dwa kąty płaskie kąta trójściennego są równe a i b oraz a > b. Zapisz, w jakich granicach możliwe są wartości kąta trzeciej płaszczyzny g danego kąta trójściennego.

2. Wszystko pod kątem trójkątnym kąty dwuścienne- prosty. Z wierzchołka tego kąta w jego obszarze wewnętrznym rysowany jest odcinek, którego rzuty na krawędzie są równe A, B I C. Znajdź ten segment.

3. Na ilu liniach płaszczyzny wszystkich ścian kąta pięciościennego przecinają się parami?

25*. Wielościany wypukłe

opcja 1

N-pryzmat węglowy: a) wypukły; b) niewypukły.

2. Narysuj wielościan wypukły z 5 wierzchołkami.

3. W wielościanie wypukłym znana jest liczba ścian Г, a każda ściana ma taką samą liczbę boków N. Znajdź liczbę: a) kątów płaskich (
); b) krawędzie (P) danego wielościanu. Jak powiązane są liczby i P?

4. Wielościan wypukły ma wierzchołki B, krawędzie P i ściany G. Odcięli go M-kąt fasetowy. Znajdź liczbę wierzchołków, krawędzi i ścian powstałego wielościanu.

Opcja 2

1. Określ liczbę wierzchołków (B), krawędzi (P) i ścian (D) N-piramida węglowa: a) wypukła; b) niewypukły.

2. Narysuj wielościan wypukły z 6 wierzchołkami.

3. W wielościanie wypukłym znana jest liczba wierzchołków B, a na każdym wierzchołku zbiega się taka sama liczba krawędzi M. Znajdź liczbę: a) kątów płaskich (); b) krawędzie danego wielościanu (P). Jak powiązane są liczby i P?

4. Wielościan wypukły ma B wierzchołków, P krawędzi i T ścian. Do jego N- na przodku zbudowano piramidę. Znajdź liczbę wierzchołków, krawędzi i ścian nowego wielościanu.

26*. Twierdzenie Eulera

opcja 1

1. Narysuj wielościan niewypukły, dla którego obowiązuje twierdzenie Eulera.

3. Udowodnić, że w dowolnym wielościanie wypukłym o wierzchołkach B, krawędziach P i ścianach G zachodzi nierówność: 3B – 6 R.

4. Znajdź bok podstawy regularnej trójkątnej piramidy o wysokości H i krawędź boczna B.

Opcja 2

1. Narysuj wielościan niewypukły, dla którego nie obowiązuje twierdzenie Eulera.

2. Udowodnij, że dla dowolnego wielościanu wypukłego zależność jest prawdziwa

3. Udowodnij, że w dowolnym wielościanie wypukłym o wierzchołkach B, krawędziach P i ścianach G zachodzi nierówność: 3G – 6 P.

4. Znajdź wysokość regularnej piramidy trójkątnej wraz z podstawą A i wysokość krawędzi bocznej H.

27. Wielościany regularne

opcja 1

1. Narysuj: a) rozwój czworościanu; b) wielościan podwójny do sześcianu.

2. Skonstruuj odcinek ośmiościanu z płaszczyzną przechodzącą przez jeden z jego wierzchołków oraz środki dwóch równoległych krawędzi, do których ten wierzchołek nie należy. Określ typ sekcji.

3. W czworościan ABCD w regularny graniastosłup trójkątny o równych krawędziach wpisano tak, że wierzchołki jednej z jego podstaw znajdują się na krawędziach bocznych OGŁOSZENIE, BD, płyta CD, a drugi - w samolocie ABC. Krawędź czworościanu jest A. Znajdź krawędź pryzmatu.

4. W czworościanie ABCD M– średniej wysokości DO czworościan, równoległy do płaszczyzny twarzy ADC. Określ typ sekcji.

Opcja 2

1. Narysuj: a) rozwój sześcianu; b) wielościan podwójny do czworościanu.

2. Skonstruuj odcinek ośmiościanu z płaszczyzną przechodzącą przez dwie jego równoległe krawędzie. Określ typ sekcji.

3. W ośmiościan wpisano sześcian w taki sposób, że jego wierzchołki znajdują się na krawędziach ośmiościanu. Krawędź ośmiościanu jest A. Znajdź krawędź sześcianu.

4. W czworościanie ABCD narysuj przekrój płaszczyzną przechodzącą przez ten punkt M, należący do twarzy ABC równolegle do płaszczyzny czoła BCD. Określ typ sekcji.

28*. Półregularne wielościany

opcja 1

1. Znajdź liczbę wierzchołków (B), krawędzi (P) i ścian (D) sześcianu ściętego.

2. Jak uzyskać antygraniastosłup 5-kątny?

3. Narysuj wielościan podwójny do regularnego sześciokątnego pryzmatu.

4. Regularny trójkąt ABC i kolejny trójkąt ADC mają wspólną stronę AC i znajdują się w różnych płaszczyznach, których kąt wynosi 30 0. Wierzchołek D rzutowany prostopadle na płaszczyznę trójkąta ABC do jego centrum. Wysokość regularnego trójkąta wynosi H. Znajdź bok OGŁOSZENIE trójkąt ADC.

Opcja 2

1. Znajdź liczbę wierzchołków (B), krawędzi (P) i ścian (D) ośmiościanu ściętego.

2. Jak uzyskać ośmiokątny antygraniastosłup?

3. Narysuj wielościan podwójny do antygraniastosłupa 6-kątnego.

4. Kwadrat ABCD i trójkąt ABE mają wspólną stronę AB i znajdują się w różnych płaszczyznach, których kąt wynosi 45 0. Wierzchołek mi Trójkąt jest rzutowany prostopadle na płaszczyznę kwadratu w jego środku O. Wysokość E.H. trójkąt jest równy H. Znajdź obszar rzutu ortogonalnego trójkąta na płaszczyznę kwadratu i rzutu ortogonalnego odcinka OE do płaszczyzny trójkąta.

29*. Wielościany gwiazdowe

opcja 1

1. Jak uzyskać gwiazdę Keplera z ośmiościanu?

2. Znajdź liczbę wierzchołków (B), krawędzi (P) i ścian (D) małego dwunastościanu gwiaździstego.

3. Jak z sześcianu otrzymuje się obcięty sześcian? Jaka jest jego krawędź, jeśli krawędź sześcianu jest równa A?

4. Udowodnić, że jeśli płaszczyzna przecina ostrosłup trójkątny i jest równoległa do jego dwóch przecinających się krawędzi, to przekrój będzie równoległobokiem.

Opcja 2

1. Jak uzyskać gwiazdę Keplera z sześcianu?

2. Znajdź liczbę wierzchołków (B), krawędzi (P) i ścian (D) dwunastościanu wielkiego.

3. Jak z sześcianu otrzymuje się prostopadłościan? Jaka jest jego krawędź, jeśli krawędź sześcianu jest równa A?

4. Udowodnij, że czworościan foremny można przeciąć płaszczyzną w taki sposób, że w przekroju będzie kwadrat.

trzydzieści*. Kryształy – naturalne wielościany

opcja 1

1. Narysuj kryształ górski.

2. Narysuj dwunastościan rombowy. Jaka jest liczba jego wierzchołków, krawędzi i ścian?

3. Znajdź sumę wszystkich kątów płaskich islandzkiego kryształu drzewcowego.

4. Znajdź sumę pól wszystkich ścian kryształu diamentu (w postaci prostopadłościanu), jeśli jego krawędź jest równa A.

Opcja 2

1. Narysuj kryształ dźwigara Islandii.

2. Narysuj dwunastościan rombowy. Określ liczbę jego kątów płaskich, kątów dwuściennych; Kąty wielościenne i ich rodzaje.

3. Znajdź sumę wszystkich kątów płaskich kryształu granatu.

4. Znajdź sumę pól wszystkich ścian kryształu diamentu (w postaci ściętego ośmiościanu), jeśli jego krawędź jest równa A.

31. Kula i piłka. Względne położenie kuli i płaszczyzny

opcja 1

1. Kulę o promieniu 10 cm przecina płaszczyzna znajdująca się w odległości 9 cm od środka. Znajdź pole przekroju.

2. Przekroje kuli o promieniu R R 1 i R 2. Znajdź odległość między tymi płaszczyznami, jeśli są one położone wzdłuż różne strony od centrum.

3. Boki trójkąta stykają się z kulą. Znajdź odległość środka kuli od płaszczyzny trójkąta, jeśli promień kuli wynosi 5 cm, a boki trójkąta wynoszą 12 cm, 10 cm, 10 cm.

4. Każdy bok rombu styka się z kulą o promieniu 10 cm. Płaszczyzna rombu znajduje się w odległości 8 cm od środka kuli. Znajdź pole rombu, jeśli jego bok wynosi 12,5 cm.

Opcja 2

1. Poprowadzono prostopadle do niej płaszczyznę przechodzącą przez środek promienia kuli. Jak pole wielkiego koła danej kuli ma się do pola powstałego przekroju?

2. Przekroje kuli o promieniu R dwa płaszczyzny równoległe mieć promienie R 1 i R 2. Znajdź odległość między tymi płaszczyznami, jeśli znajdują się po tej samej stronie środka.

3. Boki rombu stykają się z kulą o promieniu 13 cm.Wyznacz odległość płaszczyzny rombu od środka kuli, jeżeli przekątne rombu wynoszą 30 cm i 40 cm.

4. Przez koniec promienia kuli poprowadzono płaszczyznę, tworząc z nią 30 0. Znajdź pole przekroju kuli przez tę płaszczyznę, jeśli promień kuli wynosi 6 cm.

32. Wielościany wpisane w kulę

opcja 1

1. Wymień cechy, jakie musi spełniać pryzmat, aby opisać otaczającą go kulę.

2. Rysunek 14 przedstawia trójkątną piramidę ABCD, który ma przewagę D.B. prostopadle do płaszczyzny ABC i kąt ACB równa się 90 0. Znajdź środek kuli opisanej wokół tej piramidy.

3. W regularnej czworokątnej piramidzie SABCD strona podstawowa ABCD równy 4 cm, kąt dwuścienny u podstawy 45 0. Znajdź promień opisanej kuli. Gdzie będzie jego centrum?

4. Promień kuli opisanej na regularnym czworokątnym pryzmacie jest równy R. Znajdź wysokość tego pryzmatu, wiedząc, że jego przekątna tworzy z boczną ścianą kąt a.

Opcja 2

1. Wymień cechy, jakie musi spełniać piramida, aby można było opisać otaczającą ją kulę.

2. Rysunek 15 przedstawia piramidę ABCD, którego kąty ADB, ADC I BDC prosty. Znajdź środek kuli opisanej wokół tej piramidy.

3. W regularnej trójkątnej piramidzie SABCśrodek opisanej kuli dzieli wysokość na części równe 6 cm i 3 cm Znajdź bok podstawy ABC piramidy.

4. W regularnym pryzmacie o 4 kątach przekątna podstawy i przekątna ściany bocznej wynoszą odpowiednio 16 cm i 14 cm Znajdź promień opisanej kuli.

33. Wielościany opisane wokół kuli

opcja 1

1. Czy w piramidę można wpisać kulę, której kąty dwuścienne u podstawy są równe? Wyjaśnij swoją odpowiedź.

2. W pobliżu kuli opisano prosty pryzmat, którego podstawą jest romb o przekątnych 6 cm i 8 cm. Znajdź pole podstawy i wysokość pryzmatu.

3. Bok podstawy regularnej czworokątnej piramidy jest równy A, kąt dwuścienny u podstawy wynosi 60 0. Znajdź promień kuli wpisanej.

4. Boki podstaw regularnej 4-kątnej piramidy ściętej wynoszą 1 cm i 7 cm, a krawędź boczna jest nachylona do podstawy pod kątem 45 0. Znajdź promień opisanej kuli.

Opcja 2

1. Jaką własność musi mieć pryzmat trójkąta prostokątnego, aby można było w niego wpisać kulę?

2. U podstawy piramidy leży trójkąt równoramienny, którego każdy z równych kątów jest równy a, a podstawa jest równa A. Boczne ściany piramidy są nachylone do płaszczyzny podstawy pod kątem b. Znajdź promień kuli wpisanej w tę piramidę.

3. Znajdź promień kuli wpisanej w prawidłowa piramida, którego wysokość jest równa H, a kąt dwuścienny u podstawy wynosi 45 0.

4. W regularnej trójkątnej piramidzie ściętej wysokość wynosi 17 cm, promienie okręgów opisanych wokół podstaw wynoszą 5 cm i 12 cm Znajdź promień opisanej kuli.

34. Cylinder. Stożek

opcja 1

1. W cylindrze o promieniu podstawy wynoszącym 4 cm i wysokości 6 cm narysowano przekrój równoległy do osi. Odległość między przekątną przekroju a osią walca wynosi 2 cm. Znajdź pole przekroju.

2. Przez wierzchołek stożka poprowadzono przekrój pod kątem 60 0 do jego podstawy. Znajdź odległość środka podstawy stożka od płaszczyzny przekroju, jeśli wysokość stożka wynosi 12 cm.

3. Punkt M należy do wysokości stożka. Kropka N należy do płaszczyzny podstawy stożka, ale znajduje się poza tą podstawą. Skonstruuj punkt przecięcia prostej MN z powierzchnią stożka.

4. Przekątne przekrój osiowy stożek ścięty jest prostopadły, wysokość wynosi 2 cm Znajdź pole przekroju poprzecznego stożka ściętego poprowadzonego przez środek wysokości równoległej do podstaw.

Opcja 2

1. Wysokość walca wynosi 15 cm, promień podstawy wynosi 10 cm, biorąc pod uwagę odcinek, którego końce należą do okręgów obu podstaw i którego długość wynosi 3
cm Znajdź odległość między tym odcinkiem a osią cylindra.

2. Przez wierzchołek stożka poprowadzono przekrój pod kątem 30 0 do jego wysokości. Znajdź pole przekroju poprzecznego, jeśli wysokość stożka wynosi 3
cm, a promień podstawy wynosi 5 cm.

3. Przekrój osiowy jest określony w stożku. Zwrotnica K I L należą do dwóch generatorów stożka, które nie znajdują się w tej sekcji. Skonstruuj punkt przecięcia prostej KL z płaszczyzną danego przekroju osiowego.

4. Promienie podstaw stożka ściętego są w stosunku 1:3, tworząca tworzy z płaszczyzną podstawy kąt 45 0, wysokość wynosi H. Znajdź obszar podstaw.

35. Obróć. Dane rotacyjne

opcja 1

1. Narysuj kształt uzyskany poprzez obrót kwadratu ABCD wokół linii prostej A, przechodząc przez wierzchołek B BD.

2. Narysuj figurę uzyskaną poprzez obrót okręgu wokół stycznej.

3. Krzywą podaje równanie y = grzech X, 0 X P. Narysuj kształt, który powstanie po obróceniu tej krzywej wokół osi Oj.

4. Płaszczyzna przechodzi przez oś cylindra, a pole przekroju osiowego cylindra jest powiązane z polem jego podstawy jako 4: p. Znajdź kąt między przekątnymi przekroju osiowego.

Opcja 2

1. Narysuj kształt uzyskany poprzez obrót rombu ABCD wokół linii prostej A, przechodząc przez wierzchołek C i prostopadła przekątna AC.

2. Narysuj figurę uzyskaną poprzez obrót okręgu wokół cięciwy, która nie jest średnicą.

3. Krzywą podaje równanie y =
, 0 X 4. Narysuj kształt, który uzyskasz obracając tę krzywą wokół osi Wół.

4. Wysokość stożka wynosi 20 cm, kąt między nim a tworzącą wynosi 60 0. Znajdź pole przekroju poprzecznego poprowadzone przez dwie wzajemnie prostopadłe tworzące stożka.

36. Cylindry wpisane i opisane

opcja 1

1. Walec wpisano w kulę o promieniu 10 cm, której przekątna przekroju osiowego jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 30 0 . Znajdź wysokość walca i promień jego podstawy.

2. Znajdź promień podstawy walca opisanego na kuli o promieniu R.

R, wpisano regularny trójkątny pryzmat. Znajdź pole przekroju poprzecznego pryzmatu przechodzącego przez oś cylindra i boczną krawędź pryzmatu.

R, opisano regularny czworokątny pryzmat. Znajdź obszar jego ścian.

Opcja 2

1. Walec jest wpisany w kulę, której tworząca wynosi 8 cm, a przekątna przekroju osiowego jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 60 0. Znajdź promienie kuli i podstawę walca.

2. Znajdź tworzącą walca opisanego na kuli o promieniu R.

3. W równoboczny cylinder (wysokość równa średnicy podstawy), którego promień jest równy R, wpisano regularny czworokątny pryzmat. Znajdź pole przekroju poprzecznego pryzmatu przechodzącego przez oś cylindra i boczną krawędź pryzmatu.

4. W pobliżu równobocznego cylindra, którego promień podstawy wynosi R, opisano regularny trójkątny pryzmat. Znajdź obszar jego ścian.

37*. Przekroje walca w płaszczyźnie. Elipsa

opcja 1

1. Narysuj walec i elipsę będącą przecięciem powierzchni bocznej walca z płaszczyzną tworzącą z podstawą walca kąt 45 0.

2. Powierzchnia boczna cylinder przecina płaszczyzna tworząca kąt 30 0 z osią cylindra. Znajdź główną oś elipsy otrzymanej w przekroju, jeśli promień podstawy walca jest równy R.

3. Płaszczyzna przecina boczną powierzchnię cylindra i tworzy z płaszczyzną podstawy kąt 30 0. Znajdź odległość między ogniskami elipsy otrzymanej w przekroju poprzecznym, jeśli promień podstawy walca wynosi 3 cm.

R, przecina płaszczyzna tworząca kąt 45 0 z podstawą walca. Znajdź sumę odległości od punktów elipsy uzyskanych w przekroju do ognisk.

Opcja 2

1. Narysuj walec i elipsę będącą przecięciem powierzchni bocznej walca z płaszczyzną tworzącą z podstawą walca kąt 60 0.

2. Pod jakim kątem do płaszczyzny podstawy walca należy narysować płaszczyznę, aby w przekroju powierzchni bocznej otrzymać elipsę, której oś większa jest dwukrotnie większa od mniejszej?

3. Płaszczyzna przecina boczną powierzchnię cylindra i tworzy z płaszczyzną podstawy kąt 45 0. Znajdź odległość między ogniskami elipsy otrzymanej w przekroju poprzecznym, jeśli promień podstawy walca wynosi 2 cm.

4. Walec, którego promień podstawy wynosi R, przecina płaszczyzna tworząca kąt 30 0 z podstawą walca. Znajdź sumę odległości od punktów elipsy uzyskanych w przekroju do ognisk.

38. Szyszki wpisane i opisane

opcja 1

1. W kulę o promieniu 4 cm wpisano stożek. Znajdź wysokość tego stożka i promień jego podstawy, jeśli kąt przy wierzchołku przekroju osiowego wynosi 60 0 .

2. Promień podstawy stożka jest równy R, tworząca jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 60 0. Znajdź promień kuli wpisanej w stożek.

3. Czy można w stożku zmieścić piramidę 4-kątną, której kąty przy podstawie są powiązane wzorem: a) 1:5:9:7; b) 4:2:5:7?

4. Podstawą piramidy jest trapez równoramienny o podstawach 8 cm i 18 cm; Kąty dwuścienne u podstawy piramidy są równe. W piramidę wpisano stożek. Znajdź promień podstawy stożka i jego wysokość, jeśli mniejsza boczna krawędź ostrosłupa tworzy kąt 60 0 z mniejszym bokiem trapezu.

Opcja 2

1. W stożku tworząca ma 15 cm i tworzy z podstawą kąt 60 0. Znajdź promień opisanej kuli.

2. W stożek wpisano kulę, której promień wynosi R. Znajdź promień podstawy stożka, jeśli kąt przy wierzchołku przekroju osiowego wynosi 60 0 .

3. Czy można opisać piramidę 4-kątną w pobliżu stożka, w której boki podstawy są powiązane w sposób spójny: a) 5:6:8:7; b) 3:10:15:7?

4. Podstawą piramidy jest trójkąt prostokątny; żebra boczne są sobie równe i boczne twarze, przechodząc przez nogi, wykonaj z podstawą kąty 30 0 i 60 0. Wokół piramidy opisano stożek w taki sposób, aby miały one wspólną wysokość. Znajdź promień podstawy stożka, jeśli wysokość piramidy wynosi H.

39*. Przekroje stożkowe

opcja 1

1. Tworząca stożka jest nachylona do płaszczyzny jego podstawy pod kątem 60 0. Promień podstawy stożka jest równy R. Przez środek podstawy poprowadzono płaszczyznę pod kątem 60 0 do płaszczyzny podstawy. Znajdź promień kuli wpisanej w powierzchnię stożkową i stycznej do tej płaszczyzny.

2. Narysuj stożek i płaszczyznę przecinającą powierzchnię stożkową wzdłuż elipsy.

3. Kąt na wierzchołku osiowego odcinka stożka wynosi 90 0. Pod jakim kątem do płaszczyzny podstawy stożka należy narysować płaszczyznę, aby w przekroju powierzchni stożkowej otrzymać: a) elipsę; b) parabola; c) hiperbola?

4. Kąt między osią stożka a jego tworzącą wynosi 45 0. Przez punkt tworzący, oddalony od wierzchołka stożka w pewnej odległości A, płaszczyzna jest rysowana prostopadle do tej tworzącej. Znajdź odległość ogniska od kierownicy paraboli wynikającej z przekroju powierzchni stożkowej przez tę płaszczyznę.

Opcja 2

1. Kąt na wierzchołku osiowego odcinka stożka wynosi 90 0. Przez punkt tworzącej, oddalony od wierzchołka stożka w pewnej odległości A, płaszczyzna jest rysowana prostopadle do tej tworzącej. Znajdź promień kuli wpisanej w powierzchnię stożkową styczną do tej płaszczyzny.

2. Narysuj stożek i płaszczyznę przecinającą powierzchnię stożkową wzdłuż paraboli.

3. Tworząca stożka jest nachylona do płaszczyzny jego podstawy pod kątem 60 0. Pod jakim kątem do płaszczyzny podstawy należy narysować płaszczyznę, aby w przekroju powierzchni stożkowej otrzymać: a) elipsę; b) parabola; c) hiperbola?

4. Kąt przy wierzchołku osiowego odcinka stożka wynosi 30 0 . Przez punkt tworzącej, oddalony od wierzchołka w pewnej odległości B, płaszczyzna jest rysowana prostopadle do tej tworzącej. Znajdź główną oś elipsy wynikającą z przekroju powierzchni stożkowej przez tę płaszczyznę.

40. Symetria figur przestrzennych

opcja 1

1. Znajdź dla dwóch punktów w przestrzeni punkt, względem którego są one centralnie symetryczne.

2. Skonstruuj linię lustrzanie symetryczną względem danej linii względem danej płaszczyzny a. Rozważ różne przypadki.

3. Udowodnij, że przy symetrii osiowej płaszczyzna prostopadła do osi przekształca się w siebie.

4. Znajdź elementy symetrii regularnego trójkątnego pryzmatu.

Opcja 2

1. Znajdź dla dwóch punktów w przestrzeni prostą, względem której są one symetryczne.

2. Zbuduj płaszczyznę centralnie symetryczną do danej płaszczyzny względem punktu O. Rozważ różne przypadki.

3. Udowodnij, że przy symetrii osiowej proste prostopadłe do osi przekształcają się w proste również prostopadłe do osi.

4. Znajdź elementy symetrii regularnej piramidy 6-punktowej.

41. Ruchy

opcja 1

1. Udowodnić, że złożenie dwóch części (ich kolejne wykonanie) jest ruchem.

A Kuba A… D 1 do góry C 1 .

A regularny czworościan ABCD na szczyt C.

4. Jakim rodzajem ruchu jest kompozycja (wykonanie sekwencyjne) dwóch symetrie osiowe z osiami równoległymi?

Opcja 2

1. Udowodnij, że transformacja odwrotna do ruchu jest także ruchem.

2. Znajdź ruchy, które przesuwają górę B 1 kostka A… D 1 do góry D.

3. Znajdź ruchy, które przesuwają górę D regularny czworościan ABCD na szczyt B.

4. Jakiego rodzaju ruchem jest kompozycja (wykonanie sekwencyjne) dwóch centralnych symetrii?

42*. Orientacja powierzchni. Pasek Mobiusa

opcja 1

1. Ile boków ma powierzchnia: a) piramidy; b) pryzmaty; c) dwukrotnie skręcona wstęga Möbiusa?

2. Narysuj wstęgę Mobiusa.

A, B(A b) poprzez sklejenie boków długości A. Jaka jest powierzchnia wstęgi Mobiusa?

4. Czy można skleić jednostronną powierzchnię z sześciokąta?

Opcja 2

1. Ile boków ma powierzchnia: a) stożek; b) cylinder; c) Pasek Mobiusa?

2. Narysuj dwukrotnie skręcony wstęgę Möbiusa.

3. Wstęga Mobiusa otrzymana jest z prostokąta o bokach A, B(A b) poprzez sklejenie boków długości A. Jaka jest długość krawędzi wstęgi Mobiusa?

4. Czy można skleić jednostronną powierzchnię z ośmiokąta?

43. Objętość figur w przestrzeni. Objętość cylindra

opcja 1

1. Przekrój osiowy prawego okrągłego cylindra jest kwadratem o boku 3 cm. Znajdź objętość cylindra.

2. Z kostki A… D 1, którego krawędź jest równa 1, 4 trójkątne graniastosłupy są odcięte płaszczyznami przechodzącymi przez środki sąsiadujących boków ściany ABCD, równolegle do krawędzi AA 1. Znajdź objętość pozostałej części sześcianu.

3. Prawy trójkątny pryzmat przecina płaszczyzna przechodząca przez krawędź boczną i dzieląca obszar przeciwnej powierzchni bocznej względem niej M:N. W jakim stosunku dzieli się objętość pryzmatu?

4. Podstawą prawego równoległościanu jest romb, którego przekątne są w stosunku 5:2. Wiedząc, że przekątne równoległościanu wynoszą 17 dm i 10 dm, znajdź objętość równoległościanu.

Opcja 2

1. Przekątna przekroju osiowego cylindra wynosi 2 cm i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 60 0. Znajdź objętość cylindra.

2. Głośność prawidłowa sześciokątny pryzmat równa się V. Wyznacz objętość pryzmatu, którego wierzchołki są środkami boków podstaw tego pryzmatu.

3. W jakim stosunku objętość prostopadłościanu trójkątnego jest podzielona przez płaszczyznę przechodzącą przez linie środkowe podstaw?

4. Podstawą prawego równoległościanu jest romb, którego przekątne wynoszą 1 dm i 7 dm. Wiedząc, że przekątne równoległościanu mają stosunek 13:17, znajdź objętość równoległościanu.

44. Zasada Cavalieriego

opcja 1

1. Czy prawdą jest, że dwa stożki o jednakowych podstawach i wysokościach mają taką samą wielkość?

1. Znajdź objętość nachylonego pryzmatu, którego powierzchnia podstawy jest równa S i krawędź boczna B nachylony do płaszczyzny podstawy pod kątem 60 0.

3. W nachylonym równoległościanie dwie ściany boczne mają obszary S 1 i S 2, ich wspólna krawędź jest równa A i tworzą między sobą kąt dwuścienny 150 0. Znajdź objętość równoległościanu.

4. W nachylonym trójkątnym pryzmacie powierzchnia jednej ze ścian bocznych jest równa Q, a odległość od niego do przeciwległej krawędzi wynosi D. Znajdź objętość pryzmatu.

Opcja 2

1. Czy to prawda, że dwie piramidy o równych podstawach i równych wysokościach mają taką samą wielkość?

2. Znajdź objętość nachylonego walca, którego promień podstawy wynosi R i krawędź boczna B nachylony do płaszczyzny podstawy pod kątem 45 0.

3. W równoległościanie nachylonym podstawa i ściana boczna są prostokątami, a ich pola wynoszą odpowiednio 20 cm 2 i 24 cm 2. Kąt między ich płaszczyznami wynosi 30 0. Inna ściana równoległościanu ma powierzchnię 15 cm 2. Znajdź objętość równoległościanu.

4. W nachylonym trójkątnym pryzmacie dwie boczne ściany są prostopadłe i mają wspólną krawędź równą A. Pola tych ścian są równe S 1 i S 2. Znajdź objętość pryzmatu.

45. Objętość piramidy

opcja 1

1. Piramida, której objętość jest równa V, a u podstawy leży prostokąt przecięty czterema płaszczyznami, z których każda przechodzi przez wierzchołek piramidy i środki sąsiednich boków podstawy. Znajdź objętość pozostałej części piramidy.

2. Podstawą piramidy jest trójkąt równoboczny o boku równym 1. Dwie jego ściany boczne są prostopadłe do płaszczyzny podstawy, a trzecia tworzy z podstawą kąt 60 0. Znajdź objętość piramidy.

3. U podstawy zawiązka leży trójkąt prostokątny, którego jedna z nóg ma 3 cm, a sąsiednia ostry róg równa się 30 0 . Wszystkie boczne krawędzie piramidy są nachylone do płaszczyzny podstawy pod kątem 60 0. Znajdź objętość piramidy.

4. Środki ścian sześcianu, którego krawędź jest równa 2 A, służą jako wierzchołki ośmiościanu. Znajdź jego objętość.

Opcja 2

1. Znajdź objętość regularnej piramidy czworokątnej, jeśli jej przekątna jest regularnym trójkątem o boku równym 1.

2. Podstawą piramidy jest prostokąt, jedna ściana boczna jest prostopadła do płaszczyzny podstawy, a pozostałe trzy ściany boczne są nachylone do płaszczyzny podstawy pod kątem 60 0. Wysokość piramidy wynosi 3 cm Znajdź objętość piramidy.

3. Boczne ściany piramidy, u podstawy której leży romb, są nachylone do płaszczyzny podstawy pod kątem 30 0. Przekątne rombu wynoszą 10 cm i 24 cm Znajdź objętość piramidy.

4. W sześcian o krawędzi równej A, czworościan foremny wpisano w taki sposób, że jego wierzchołki pokrywają się z czterema wierzchołkami sześcianu. Znajdź objętość czworościanu.

46. Objętość stożka

opcja 1

1. Średnica podstawy stożka wynosi 12 cm, a kąt przy wierzchołku przekroju osiowego wynosi 90 0. Znajdź objętość stożka.

2. Dwa stożki mają wspólną wysokość i podstawy równoległe. Znajdź objętość ich części wspólnej, jeśli objętość każdego stożka jest równa V.

3. W stożek, którego objętość jest równa V, wpisany jest walec. Znajdź objętość walca, jeśli stosunek średnic podstaw stożka i walca wynosi 10:9.

4. Każda krawędź regularnej 4-kątnej piramidy jest równa A. Płaszczyzna równoległa do płaszczyzny podstawy piramidy odcina od niej ściętą piramidę. Znajdź objętość ściętej piramidy, jeśli bok przekroju jest równy B.

Opcja 2

1. Przekrój osiowy stożka to trójkąt prostokątny równoramienny o powierzchni 9 cm 2. Znajdź objętość stożka.

2. W stożek wpisuje się drugi stożek w taki sposób, że środek podstawy stożka wpisanego dzieli wysokość tego stożka w stosunku 3:2, licząc od wierzchołka stożka, i wierzchołka wpisanego stożek znajduje się w środku podstawy tego stożka. Znajdź stosunek objętości podanych i wpisanych stożków.

3. Udowodnij, że jeśli dwa równe stożki mają wspólną wysokość i równoległe płaszczyzny podstawy, to objętość ich części wspólnej jest równa objętości każdego z nich.

4. Promienie podstaw ściętego stożka wynoszą 3 cm i 5 cm Znajdź stosunek objętości części ściętego stożka, na które jest on podzielony przez środkową część.

47. Objętość piłki i jej części

opcja 1

1. Znajdź stosunek objętości kuli do objętości wpisanego w nią sześcianu.

2. Znajdź stosunek objętości kuli do objętości opisanego wokół niej ośmiościanu.

3. W kuli narysowano płaszczyznę prostopadłą do średnicy i dzielącą ją na części równe 3 cm i 9 cm. Znajdź objętości części kuli.

4. Promień sektora sferycznego R, kąt w przekroju osiowym wynosi 120 0. Znajdź objętość sektora kulistego.

Opcja 2

1. Znajdź stosunek objętości kuli do objętości wpisanego w nią ośmiościanu.

2. Znajdź stosunek objętości kuli do objętości sześcianu opisanego wokół niej.

3. W kuli o promieniu 13 cm po przeciwnych stronach środka narysowano dwa równe równoległe odcinki o promieniu 5 cm. Znajdź objętość powstałej warstwy kulistej.

4. Znajdź objętość sektora kulistego, jeśli promień jego okręgu podstawowego wynosi 60 cm, a promień kuli wynosi 75 cm.

48. Powierzchnia

opcja 1

1. Płaszczyzna przechodząca przez bok podstawy regularnego trójkątnego pryzmatu i środek przeciwległej krawędzi tworzy z podstawą kąt 45 0, a bok podstawy jest równy A. Znajdź boczną i całkowitą powierzchnię pryzmatu.

2. Podstawą piramidy jest kwadrat, którego bok jest równy A. Dwie ściany piramidy są prostopadłe do podstawy, a pozostałe dwie ściany boczne są do niej nachylone pod kątem 60 0. Znajdź pole powierzchni bocznej piramidy.

3. W regularnym czworokątnym pryzmacie bok podstawy jest równy B; przekrój poprowadzony przez przeciwległe boki podstaw tworzy kąt j z płaszczyzną podstawy. Znajdź pole powierzchni bocznej walca opisanego wokół danego pryzmatu.

4. Kąt na wierzchołku osiowego odcinka stożka wynosi 60 0; kwadrat wielkie koło, wpisane w ten stożek kuli, jest równe Q

Opcja 2

1. W zwykłym pryzmacie 4-kątnym bok podstawy jest równy A. Płaszczyzna poprowadzona przez przeciwległe boki podstaw tworzy z jedną z nich kąt 60 0. Znajdź boczną i całkowitą powierzchnię pryzmatu.

2. Dwie boczne ściany trójkątnej piramidy są prostopadłe do jej podstawy; wysokość piramidy wynosi H; kąty płaskie w wierzchołku wynoszą 60 0, 60 0 i 90 0. Znajdź pole powierzchni bocznej piramidy.

3. W regularnym trójkątnym pryzmacie krawędź boczna jest równa B; odcinek łączący środek krawędzi bocznej ze środkiem podstawy tworzy z podstawą kąt j. Znajdź pole powierzchni bocznej cylindra wpisanego w ten pryzmat.

4. W stożku tworząca tworzy z podstawą kąt 60 0; Pole wielkiego koła opisanej kuli wynosi Q. Znajdź całkowitą powierzchnię stożka.

49. Powierzchnia kuli i jej części

opcja 1

1. Udowodnić, że całkowita powierzchnia stożka równobocznego (przekrój osiowy to trójkąt równoboczny) jest równa powierzchni kuli o średnicy równej wysokości stożka.

2. Znajdź pole powierzchni kuli wpisanej w równoboczny cylinder (przekrój osiowy jest kwadratem), którego przekątna przekroju osiowego jest równa A.

3. Promienie podstaw pasa kulistego wynoszą 10 cm i 12 cm, a jego wysokość wynosi 11 cm. Znajdź pole powierzchni pasa kulistego.

4. Promień segmentu kuli jest równy R, łuk przekroju osiowego wynosi 90 0. Znajdź całkowitą powierzchnię segmentu.

Opcja 2

1. Udowodnij, że jeśli stożek równoboczny (przekrój osiowy jest trójkątem równobocznym) i półkula mają wspólną podstawę, to pole powierzchni bocznej stożka jest równe polu powierzchni półkuli.

2. Znajdź stosunek pól powierzchni dwóch kul, z których jedna jest wpisana, a druga opisana na równobocznym cylindrze (przekrój osiowy jest kwadratem).

3. Promień kuli wynosi 25 cm Znajdź obszary części, na które powierzchnia kuli jest podzielona przez odcinek o powierzchni 49p cm 2.

4. Wysokość segmentu kuli wynosi H, łuk przekroju osiowego jest równy 120 0. Znajdź całkowitą powierzchnię segmentu.

50. Prostokątny układ współrzędnych w przestrzeni

opcja 1

1. Konstruuj punkty za pomocą współrzędnych: A(1,2,3); B(-2,0,3); C(0,0,-4); D(3,-1,0).

2. Wśród tych punktów K(-6,0,0), L(10,-5,0), M(0,6,0), N(7,-8,0), P(0,0,-20), Q(0,11,-2) znajdź te, które należą do: a) osi Oj; b) osie Oz; c) samolot Oksy; d) samoloty Oj.

3. Znajdź współrzędne podstaw prostopadłych pominiętych w podanych punktach mi(6,-2,8) i F(-3,2,-5) na: a) osi Wół; b) samolot Oxz.

G.H., Jeśli G(2,-3,5), H(4,1,-3).

U(8,0,6), V(20.-14.0) względem: a) płaszczyzny Oj; b) osie Wół.

Opcja 2

1. 1. Konstruuj punkty za pomocą współrzędnych: mi(-1,2,0); F(1,0,-4); G(2,3,-1); H(0,-2,0).

2. Wśród punktów A(0,-1,0), B(0,1,-3), C(4,0,0), D(0,0,-5), mi(-1,0,7), F(0,10,10) znajdź te, które należą do: a) osi Wół; b) osie Oj; c) samolot Oj; d) samoloty Oxz.

3. Znajdź współrzędne podstaw prostopadłych zrzuconych z punktów M(9, -1, -6) i N(-12,5,8) na: a) osi Oz; b) samolot Oksy.

4. Znajdź współrzędne środka odcinka G.H., Jeśli G(3,-2,4), H(5,2,-6).

5. Znajdź współrzędne punktów symetrycznych do punktów P(0,0,5), V(0,-1,-2) względem: a) płaszczyzny Oksy; b) osie Oj.

51. Odległość pomiędzy punktami w przestrzeni

opcja 1

A(2,3,4), B(1,2,3), C(3,4,5) przez wierzchołki trójkąta.

Oz M(-1,-2,0) i N(3,0,4).

C(-2,0,3) oraz: a) promień; b) przechodząc przez punkt K(1,-4,3).

X 2 + 8y + y 2 + z 2 – 6X =0.

5. Kula X 2 + y 2 + z 2 +4X – 2y=0 przecięte płaszczyzną Oj

Opcja 2

1. Ustal, czy punkty są mi(-4,-5,-6), F(-1,-2,-3), G(-2,-3,-4) przez wierzchołki trójkąta.

2. Znajdź współrzędne punktu należącego do osi Oj i jednakowo odległe od punktów K(1,3,0) i L(4,-1,3).

3. Zapisz równanie kuli o środku w punkcie C(0,-5,6) oraz: a) promień 10; b) przechodząc przez punkt H(2,-3,5).

4. Znajdź współrzędne środka i promień kuli podane równaniem X 2 + y 2 + z 2 – 8z - 20 =0.

5. Kula X 2 + y 2 + z 2 +2X – 6z=0 przecięte płaszczyzną Oksy. Znajdź współrzędne środka i promień okręgu leżącego w przekroju.

52. Współrzędne wektora

opcja 1

1. Znajdź współrzędne wektora: a) 2 + 3 - 4 ; b) -5 + 10; c) - + .

2. Znajdź długość wektora: a) (1,-2,10); b) jeśli A(0,-5,1), B(2,0,-8); c) + jeśli (6,2,-6), (2,-2,0).

3. Znajdź współrzędne punktu C, Jeśli)
(-5,6,8), D(0,-1,2); B) D(-13, ,6),
(-5,0,0).

4. Znajdź liczby X, y, z, tak aby zachodziła równość =
, jeśli (5,-2,0), (0,2,-6), (-5,0,-8), (-5,2,-4).

Opcja 2

1. Znajdź współrzędne wektora: a) 3 - 4 + 2 ; b) -2 - ; V) - .

2. Znajdź długość wektora: a) (0,-3,2); b) jeśli M(0,-5,1), N(2,0,-8); c) - jeśli (0,-2,6), (-5,0,3).

3. Znajdź współrzędne punktu mi, jeżeli: a) (0,-3,11), F(5,-1,0); B) F(5,0,-9),
(-2,4,-6).

4. Znajdź liczby ty, w, w, tak że równość =
, jeśli (-30,6, -12), (5, -6,0), (10,-3,2), (0,1,2).

53. Iloczyn skalarny wektorów

opcja 1

1. Zidentyfikuj znak produkt kropkowy wektory i jeśli kąt między nimi spełnia nierówności: a) 0 0

2. Kąt między wektorami i jest równy 90 0. Dlaczego równy kątowi pomiędzy wektorami: a) - i ; zespół ?

+
+
= 0.

4. W regularnym czworościanie ABCD przy krawędzi równej 1 znajdź iloczyn skalarny: a)
; B)
; V)
, Gdzie H I QAC I BD.

Opcja 2

1. Określ, w jakim przedziale znajduje się kąt między wektorami i, jeśli: a) > 0.

2. Kąt między wektorami i
równa się 90 0. Jaki jest kąt między wektorami: a) i - ; zespół - ?

3. Udowodnić równość: a) ; B)
=
.

4. W regularnym czworościanie ABCD z krawędzią równą A, znajdź iloczyn skalarny: a)
; B)
; V)
, Gdzie mi I F– odpowiednio środek żeber PNE. I OGŁOSZENIE.

54. Równanie płaszczyzny w przestrzeni

opcja 1

H(-3,0,7) i prostopadle do wektora o współrzędnych (1,-1,3).

2. Znajdź współrzędne punktu przecięcia płaszczyzny 2 X – y + 3z– 1 = 0 z osią: a) odcięta; b) rzędna.

B(3,-2,2) oraz: a) równolegle do płaszczyzny Oj; b) prostopadle do osi Wół.

M(5,-1,3) i prostopadle do wektora if N(0,-2,1).

Opcja 2

1. Zapisz równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt P(5,-1,0) i prostopadle do wektora o współrzędnych (0,-6,10).

2. Znajdź współrzędne punktu przecięcia płaszczyzny X + 4y - 6z– 7 = 0 z osią: a) rzędna; b) zastosować.

3. Zapisz równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt C(2,-4,-3) oraz: a) równolegle do płaszczyzny Oxz; b) prostopadle do osi Oj.

4. Zapisz równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt mi i prostopadle do wektora (4,-5,0), jeśli F(3,-1,6).

55*. Równanie prostej w przestrzeni

opcja 1

1. Znajdź wartość D, dla którego linia prosta

przecina oś Oz.

aby linia prosta: a) była równoległa do osi Wół; b) leżeć w samolocie Oxz; c) przekroczył oś Oj.

z płaszczyznami współrzędnych.

Opcja 2

1. Znajdź wartości B I D, dla którego linia prosta

przecina płaszczyznę Oksy.

2. Znajdź warunki, jakie muszą spełniać współczynniki w równaniach prostej

aby linia prosta: a) pokrywała się z osią Oz; b) była równoległa do płaszczyzny Oj; c) przeszedł przez początek.

3. Znajdź współrzędne punktów przecięcia prostej

z płaszczyznami współrzędnych.

4. Zapisz równania parametryczne prostej

56. Analityczne przypisywanie figur przestrzennych

opcja 1

X 2 + y 2 +z 2 = 1; B) X 2 = 1; V) xyz = 0.

A)
B)

3. Przyznawane są punkty A(2,5,12), B(1,0,0), C(-1,-5,4) i płaszczyzny
I , dane odpowiednio równaniami 2 X – y + z+1 = 0 i X – 5y –13z+1 = 0. Dla każdej z tych płaszczyzn znajdź spośród podanych punktów te, które leżą po tej samej stronie płaszczyzny co początek.

4. Dana płaszczyzna 3 X – y +4z O(0,0,0) i D(2,1,0); B) mi(1,2,1) i F(5,15,-1)?

Opcja 2

1. Dowiedz się które figura geometryczna układa równanie: a) X 2 + y 2 +(z+1) 2 = 1; B) X 2 – y 2 = 0; V) X 2 = 0.

2. Dowiedz się, jaką figurę geometryczną definiuje system:

A)
B)

3. Przyznawane są punkty mi(-14,22,0), F(1,-5,12), G(0,0,5) i płaszczyzny I , dane odpowiednio przez równania X – 2z+12 = 0 i X + 5y + z+25 = 0. Dla każdej z tych płaszczyzn znajdź spośród podanych punktów te, które leżą po tej samej stronie płaszczyzny co początek.

4. Dana płaszczyzna 3 X – y +4z+1 = 0. Czy punkty leżą po tej samej stronie: a) A(-1,2, -5) i B(-15,1,0); B) K(1,
,5) i L(1,15,-15)?

57*. Wielościany w zagadnieniach optymalizacyjnych

opcja 1

1. Wierzchołki czworościanu mają następujące współrzędne: O(0,0,0), A(1,1,0), B(0,2,0),C(1,5,7). Zapisz nierówności charakteryzujące obszar wewnętrzny tego czworościanu.

2. Znajdź obszar określony następującym układem nierówności:

A)
B)

Wyobraź ją sobie.

3. Zapisz układ nierówności wyznaczający obszar wewnętrzny pryzmatu trójkątnego prostokątnego OABO 1 A 1 B 1 jeśli O(0,0,0), A(0,2,0), B(0,0,2), O 1 (5,0,0). Narysuj go i znajdź jego objętość.

ty = X + y – 2z + 1 na trójkątnym pryzmacie z poprzedniego zadania.

Opcja 2

1. Dane wierzchołki czworościanu A(-1,1,0), B(-2,2,0), C(-2,0,0), D(-1,5,7). Który z punktów M(2,3,-1), N(- , , ), P(0,0,1), H(- , , ) należą do wewnętrznego obszaru tego czworościanu?

2. Znajdź obszar określony następującym układem nierówności: a)
B)

3. Zapisz układ nierówności wyznaczający obszar wewnętrzny czworościanu OABC, Jeśli O(0,0,0), A(5,0,0), B(0,3,0), C(0,0,6). Narysuj go i znajdź jego objętość.

4. Znajdź największe i najmniejsze wartości funkcji liniowej ty= X – y + z – 1 na czworościanie z poprzedniego zadania.

58*. Współrzędne biegunowe na płaszczyźnie

opcja 1

A(2, ), B(1, ), C( , ), D(3, ), mi(4, ), F( , ).

2. Zapisz współrzędne kartezjańskie punktów G(2, ), H( , ), P(5, ), Q(3,- ).

3. Znajdź współrzędne biegunowe wierzchołków i punktów przecięcia przekątnych kwadratu jednostkowego, przyjmując jeden z jego wierzchołków za początek współrzędnych, a bok przechodzący przez wybrany wierzchołek jako oś biegunową.

M(1, ), N(3, ), P( ,- ), Q(, ) względem: a) osi biegunowej; b) początek współrzędnych.

Opcja 2

1. Wciągnij układ polarny współrzędne punktu A(3, ), B(5, ), C( , ), D(6, ), mi(2, ), F( , ).

2. Zapisz współrzędne biegunowe punktów K(0,6), L(-2,0), M(-1,1), N( ,1).

3. Znajdź współrzędne biegunowe wierzchołków sześciokąta foremnego, którego bok jest równy 1, przyjmując jeden z jego wierzchołków za początek, a bok przechodzący przez wybrany wierzchołek jako oś biegunową.

4. Znajdź współrzędne biegunowe punktów symetrycznych do tych punktów G(2, ), H(3, ), R(3,- ), S( , ) względem: a) początku współrzędnych; b) oś biegunowa.

59*. Współrzędne sferyczne w przestrzeni

opcja 1

1. Znajdź współrzędne kartezjańskie następujących punktów w przestrzeni, określone współrzędnymi sferycznymi: (1,45 0 ,60 0), (2,30 0 ,90 0), (1,90 0 , 20 0).

2. Znajdź współrzędne sferyczne następujących punktów w przestrzeni podane we współrzędnych kartezjańskich: A(1,1, ), B(1,0,1), C(0,0,1).

3. Znajdź miejsce geometryczne punktów w przestrzeni, których współrzędne sferyczne spełniają warunki: a) y = 45 0 ; b) j= 60 0 .

R 2; B) R 1, y 0?

Opcja 2

1. Znajdź współrzędne kartezjańskie następujących punktów w przestrzeni, określone współrzędnymi sferycznymi: (1,-45 0,60 0), (2,30 0,-90 0), (3,-90 0, 50 0) .

2. Znajdź współrzędne sferyczne następujących punktów w przestrzeni podane we współrzędnych kartezjańskich: A(2,2 ), B(-1,0,1), C(0,0,-1).

3. Znajdź miejsce geometryczne punktów w przestrzeni, których współrzędne sferyczne spełniają warunki: a) y= 30 0 ; b) jot = 90 0 .

4. Którą figurę w przestrzeni wyznaczają nierówności: a) R 1; B) R 1, - j 0?

60*. Wykorzystanie programu komputerowego „Matematyka” do przedstawiania figur przestrzennych

opcja 1

1. Uzyskaj obraz czworościanu.

2. Wykonaj operację obcięcia czworościanu i otrzymaj ośmiościan.

3. Jak uzyskać gwiazdę Keplera z ośmiościanu?

z = xy.

Opcja 2

1. Uzyskaj obraz sześcianu.

2. Wykonaj operację obcięcia sześcianu i otrzymaj prostopadłościan.

3. Jak uzyskać dwunastościan rombowy z sześcianu?

4. Uzyskaj obraz powierzchni z = sałata X sałata y.

ODPOWIEDZI

Niezależna praca N 2

W 1. 4. 6. B2. 3. 10. 4. 4.

W 1. 2. a) B=8, P=12, D=6; b) V=14, P=21, D=9; c) B= N+1, Р=2 N, Г= N+1. 3. a) 5-gonalny; b) 7-gonalny; c) 3-gonalny. 4. Trzy kolory. O 2. 2. a) B=8, P=12, D=6; b) B=7, P=12, G=7; c) B=2 N, Р=3 N, Г= N+2. 3. a) tetragonalny; b) 7-gonalny; c) ośmiokątny. 4. Dwa kolory.

W 1. 3. 3. 4. 3. B2. 3. 3. 4. 3.

W 1. 3. Krzyżują się. O 2. 3. Nie. 4. Nie.

W 1. 3. Równolegle.

W 1. 2. Stwierdzenia 1), 3), 4) są prawdziwe. 4. Jeśli AB || płyta CD, To AC|| BD; Jeśli AB krzyżuje się z płyta CD, To AC krzyżuje się z BD. O 2. 2. Stwierdzenie 3) jest prawdziwe. 4. Jeśli AB || płyta CD, To OGŁOSZENIE I PNE. przecinać; Jeśli AB I płyta CD krzyżuj zatem OGŁOSZENIE I PNE. krzyżować.

W 1. 2. 26. 3. a) ; B)
; V)
, Gdzie M- środek PNE.. 4.a)
; B) ; V) . O 2. 2. 24. 3. a)
; B)
; V)
, Gdzie M- środek licencjat. 4.a)
; B) ; V) .

W 1. 1.
. 2. Wektor + ma ten sam kierunek co wektor; | + | = | | - | |. O 2. 1.
. 2. Wektor + ma ten sam kierunek co wektor; | + |=| | - | |.

W 1. 1. Po pierwsze, jeśli przechodząca przez nie linia prosta jest równoległa do kierunku projektowego; dwa w W przeciwnym razie. 2. Równoległość i równość przeciwnych stron; dzieląc przekątne w punkcie przecięcia. 3. Linie proste przecinają się i jedna z nich jest równoległa do kierunku obliczeniowego. O 2. 1. Jeden, jeżeli wszystkie punkty należą do jednej prostej równoległej do kierunku projektowego; dwa, jeżeli linia przechodząca przez dowolne dwa z tych punktów jest równoległa do kierunku projektowego, a trzeci punkt nie należy do tej linii; w pozostałych przypadkach trzy. 2. Równoległość i równość przeciwnych stron; dzieląc przekątne w punkcie przecięcia. 3. Linia prosta nie jest równoległa do kierunku projektowego i punkt należy do linii lub płaszczyzny przechodzącej przez ten punkt, a linia jest równoległa do kierunku projektowego.

W 1. 3. Ściany sześcianu nie są równoległe do płaszczyzny projektowej, a kierunek obliczeniowy jest równoległy do przekątnej B.D. 4. . O 2. 1. H=24, P=36, D=14. 4. . 3.Rb; b) i B. 4. a) Tak; b) nie. O 2. 1. a) Kula ze środkiem w punkcie (0,0,-1) i promieniem 1; b) dwie przecinające się płaszczyzny; c) samolot Oj. 2. a) Prostokątny równoległościan; b) dwie przecinające się linie leżące na płaszczyźnie Oksy. 3. Dla: pkt F; za: punkty mi, F, G. 4. a) Tak; b) nie.

W 1. 1.

2. a) Obszar wewnętrzny czworościanu o wierzchołkach (0,0,0), (1,0,0). (0,1,0), (0,0,1); b) obszar wewnętrzny równoległościanu prostokątnego o wierzchołkach (5,5,0), (5,3,0), (7,3,0), (7,5,0), (5,5,10) , (5,3,10), (7,3,10), (7,5,10).

3.
V = 20. 4. 8 – największy; 3 jest najmniejsze.

O 2. 1. Punkty N I H. 2. a) Obszar pomiędzy dwiema równoległymi płaszczyznami; b) obszar wewnętrzny pryzmatu trójkątnego prostokątnego o wierzchołkach (0,0,0), (0,3,0). (0,0,3), (-2,0,0), (-2,3,0), (-2, 0,3).

(); (); (0, stereometria. Podaj przykłady obiektów rzeczywistych... wielościany. Rozwój. Lista podstawowy koncepcje I aksjomaty stereometria. Podaj przykłady obiektów rzeczywistych...

Wytyczne

46 - 2 Wprowadzenie. Przedmiot stereometria. Podstawowy koncepcje I aksjomaty stereometria. Pierwsze wnioski z aksjomatów 2 2 ... i dwudziestościanu) 1 § 3*. Aksjomaty, prawa, zasady 2 9. Aksjomaty stereometria Podstawowy koncepcje stereometria(punkt, linia prosta, płaszczyzna, ...

Program pracy kursu szkoleniowego „Geometria”

Program roboczy

... stereometria. Aksjomaty stereometria. Niektóre wnioski z aksjomatów. Główny Celem jest kształtowanie pomysłów uczniów na temat główny koncepcje I aksjomaty stereometria, ich...