MAOU „Liceum Innowacyjnych Technologii”

Kąty wielościenne. Wielościany wypukłe

Opracował uczeń klasy 10B: Aleksiej Burykin

Sprawdzone przez: Dubinskaya I.A.

Chabarowsk

Kąt wielościenny

Kąt wielościenny jest figurą utworzoną z kątów płaskich, przy czym spełnione są następujące warunki:

1) nie ma dwóch kątów punkty wspólne, z wyjątkiem ich wspólnego wierzchołka lub całego boku;

2) dla każdego z tych kątów każdy jego bok jest wspólny z jednym i tylko jednym innym takim kątem;

3) z każdego narożnika można przejść do każdego rogu narożnikami mającymi wspólny bok;

4) nie ma dwóch kątów z wspólna strona nie leżeć w tej samej płaszczyźnie.

• Kąty ASB, BSC,... nazywane są płaskie kąty Lub krawędzie, ich boki SA, SB, ... nazywane są żeberka i wspólny wierzchołek S- szczyt kąt wielościenny.

Twierdzenie 1.

W kącie trójściennym każdy kąt płaski jest mniejszy niż suma pozostałych dwóch kątów płaskich.

Konsekwencja

• / ASC- / ASB/CSB; / ASC- / CSB/ASB.

W kącie trójściennym każdy kąt płaski jest większy niż różnica pozostałych dwóch kątów .

Twierdzenie 2.

• Suma wartości wszystkich trzech kątów płaskich kąta trójściennego jest mniejsza niż 360° .

180°, co oznacza, że ​​α + β + γ " szerokość="640"

Dowód

Oznaczmy

następnie z trójkątów ASC, ASB, BSC mamy

Teraz nierówność przyjmuje postać

180° - α + 180° - β + 180° - γ 180°,

skąd to wynika

α + β + γ

Najprostsze przypadki równości kątów trójściennych

• 1) wzdłuż równego kąta dwuściennego zawartego pomiędzy dwoma odpowiednio równymi i jednakowo oddalonymi od siebie kątami płaskimi lub 2) wzdłuż równego kąta płaszczyzny zawartego pomiędzy dwoma odpowiednio równymi i identycznie położonymi kąty dwuścienne .

Kąt wielościenny wypukły

• Kąt wielościenny nazywa się wypukłym, jeśli znajduje się w całości po jednej stronie płaszczyzny każdej z jego ścian, która jest rozciągana w nieskończoność.

Wielościan.

Wielościan, w przestrzeni trójwymiarowej – kolekcja skończoną liczbą płaskie wielokąty, tak że każdy bok dowolnego z wielokątów jest jednocześnie bokiem innego, zwanego sąsiadującym z pierwszym.

Wielościany wypukłe

Wielościan zwany wypukły, jeśli leży całkowicie po jednej stronie płaszczyzny którejkolwiek ze ścian; wówczas jego krawędzie są również wypukłe.

Wielościan wypukły dzieli przestrzeń na dwie części – zewnętrzną i wewnętrzną. Jego wewnętrzna część to korpus wypukły. I odwrotnie, jeśli powierzchnia ciała wypukłego jest wielościenna, wówczas odpowiadający jej wielościan jest wypukły.

Twierdzenie. Suma wszystkich kątów płaskich kąta wielościennego wypukłego jest mniejsza niż 360 stopni.

Właściwość 1. W wypukłym wielościanie wszystkie ściany są wypukłe wielokąty.

Właściwość2. Każdy wielościan wypukły może składać się z piramid o wspólnym wierzchołku, którego podstawa tworzy powierzchnię wielościanu.

Kąt dwuścienny to figura utworzona przez dwie półpłaszczyzny, których ogranicza wspólna linia prosta. Półpłaszczyzny nazywane są ścianami, a ograniczająca je linia prosta nazywana jest krawędzią kąta dwuściennego.

Rysunek 142 przedstawia kąt dwuścienny z krawędzią a i ścianami a oraz (3.

Płaszczyzna prostopadła do krawędzi kąta dwuściennego przecina swoje ściany wzdłuż dwóch półprostych. Kąt utworzony przez te półproste nazywa się kątem liniowym kąta dwuściennego. Za miarę kąta dwuściennego przyjmuje się miarę jego odpowiadającego kąt liniowy. Jeśli przez punkt A krawędzi a kąta dwuściennego narysujemy płaszczyznę y prostopadłą do tej krawędzi, to będzie ona przecinała płaszczyzny a i (3 wzdłuż półprostych (rys. 142) – kąt liniowy danego kąta dwuściennego. miara stopnia tego kąta liniowego wynosi miara stopnia kąt dwuścienny. Miara kąta dwuściennego nie zależy od wyboru kąta liniowego.

Kąt trójścienny to figura złożona z trzech kątów płaskich (ryc. 143). Kąty te nazywane są ścianami kąta trójściennego, a ich boki nazywane są krawędziami. Wspólny wierzchołek kątów płaskich nazywa się wierzchołkiem kąta trójściennego. Kąty dwuścienne utworzone przez ściany i ich przedłużenia nazywane są kątami dwuściennymi kąta trójściennego.

Pojęcie kąta wielościennego definiuje się podobnie jak figurę złożoną z kątów płaskich (ryc. 144). W przypadku kąta wielościennego pojęcia ścian, krawędzi i kątów dwuściennych definiuje się w taki sam sposób, jak w przypadku kąta trójściennego.

Wielościan to bryła, której powierzchnia składa się ze skończonej liczby płaskich wielokątów (ryc. 145).

Wielościan nazywa się wypukłym, jeśli znajduje się po jednej stronie płaszczyzny każdego wielokąta na jego powierzchni (ryc. 145, a, b). część wspólna taka płaszczyzna i powierzchnia wypukłego wielościanu nazywana jest ścianą. Ściany wielościanu wypukłego są wielokątami wypukłymi. Boki ścian nazywane są krawędziami wielościanu, a wierzchołki nazywane są wierzchołkami wielościanu.

Kąty wielościenne Kąt wielościenny jest przestrzennym odpowiednikiem wielokąta na płaszczyźnie. Przypomnijmy, że wielokąt na płaszczyźnie to figura utworzona przez prostą zamkniętą linię łamaną tej płaszczyzny i ograniczony przez nią obszar wewnętrzny.

Definicja kąta wielościennego Powierzchnia utworzona przez skończony zbiór kątów płaskich A 1 SA 2, A 2 SA 3, ..., An-1 SAn, An. SA 1 ze wspólnym wierzchołkiem S, w którym sąsiednie kąty nie mają wspólnych punktów, z wyjątkiem punktów wspólnego półprostego, a niesąsiadujące narożniki nie mają wspólnych punktów, z wyjątkiem wspólnego wierzchołka, nazwiemy powierzchnią wielościenną. Figura utworzona przez określoną powierzchnię i jedną z dwóch ograniczonych przez nią części przestrzeni nazywana jest kątem wielościennym. Wspólny wierzchołek S nazywany jest wierzchołkiem kąta wielościennego. Promienie SA 1, ..., SAn nazywane są krawędziami kąta wielościennego, a same kąty płaskie A 1 SA 2, A 2 SA 3, ..., An-1 SAn, An. SA 1 – ściany kąta wielościennego. Kąt wielościenny jest oznaczony literami SA 1...An, wskazującymi wierzchołek i punkty na jego krawędziach.

Rodzaje kątów wielościennych W zależności od liczby ścian, kąty wielościenne są trójścienne, czworościenne, pięciokątne itp.

Ćwiczenie 1 Podaj przykłady wielościanów, których ściany przecinające się w wierzchołkach tworzą tylko: a) kąty trójścienne; b) kąty czworościenne; c) kąty pięciokątne. Odpowiedź: a) czworościan, sześcian, dwunastościan; b) ośmiościan; c) dwudziestościan.

Ćwiczenie 2 Podaj przykłady wielościanów, których ściany przecinające się w wierzchołkach tworzą tylko: a) kąty trójścienne i czworościenne; b) kąty trójścienne i pięciokątne; c) kąty czworościenne i pięciokątne. Odpowiedź: a) czworokątna piramida, trójkątna bipiramida; b) piramida pięciokątna; c) pięciokątna bipiramida.

Nierówność trójkąta W przypadku trójkąta obowiązuje następujące twierdzenie. Twierdzenie (nierówność trójkąta). Każdy bok trójkąta jest mniejszy od sumy dwóch pozostałych boków. Udowodnijmy, że dla kąta trójściennego obowiązuje: analog przestrzenny to twierdzenie. Twierdzenie. Każdy kąt płaski kąta trójściennego jest mniejszy niż suma jego dwóch pozostałych kątów płaskich.

Dowód Rozważmy kąt trójkątny SABC. Niech największym z jego kątów płaskich będzie kąt ASC. Wtedy nierówności ASB ASC są spełnione

Punkt przecięcia dwusiecznych Dla trójkąta obowiązuje następujące twierdzenie. Twierdzenie. Dwusieczne trójkąta przecinają się w jednym punkcie - środku okręgu wpisanego. Udowodnimy, że dla kąta trójściennego obowiązuje następujący przestrzenny odpowiednik tego twierdzenia. Twierdzenie. Płaszczyzny dwusieczne kątów dwuściennych kąta trójściennego przecinają się wzdłuż jednej linii prostej.

Dowód Rozważmy kąt trójkątny SABC. Dwusieczna płaszczyzna SAD kąta dwuściennego SA wynosi umiejscowienie punkty tego kąta są w równej odległości od jego ścian SAB i SAC. Podobnie dwusieczna płaszczyzna SBE kąta dwuściennego SB jest zbiorem punktów tego kąta w równej odległości od jego ścian SAB i SBC. Linia ich przecięcia SO będzie składać się z punktów w jednakowej odległości od wszystkich ścian kąta trójściennego. W rezultacie przejdzie przez nią dwusieczna kąta dwuściennego SC.

Punkt przecięcia dwusiecznych prostopadłych W przypadku trójkąta zachodzi następujące twierdzenie. Twierdzenie. Dwusieczne prostopadłe do boków trójkąta przecinają się w jednym punkcie - środku okręgu opisanego. Udowodnimy, że dla kąta trójściennego obowiązuje następujący przestrzenny odpowiednik tego twierdzenia. Twierdzenie. Płaszczyzny przechodzące przez dwusieczne ścian kąta trójściennego i prostopadłe do tych ścian przecinają się wzdłuż jednej linii prostej.

Dowód Rozważmy kąt trójkątny SABC. Płaszczyzna przechodząca przez dwusieczną SD kąta BSC i prostopadła do jej płaszczyzny składa się z punktów w jednakowej odległości od krawędzi SB i SC kąta trójściennego SABC. Podobnie płaszczyzna przechodząca przez dwusieczną SE kąta ASC i prostopadła do jej płaszczyzny składa się z punktów w jednakowej odległości od krawędzi SA i SC kąta trójściennego SABC. Linia ich przecięcia SO będzie składać się z punktów w jednakowej odległości od wszystkich krawędzi kąta trójściennego. W rezultacie będzie on zawarty w płaszczyźnie przechodzącej przez dwusieczną kąta ASB i prostopadłą do jego płaszczyzny.

Punkt przecięcia środkowych Dla trójkąta obowiązuje następujące twierdzenie. Twierdzenie. Środkowe trójkąta przecinają się w jednym punkcie - środku okręgu wpisanego. Udowodnimy, że dla kąta trójściennego obowiązuje następujący przestrzenny odpowiednik tego twierdzenia. Twierdzenie. Płaszczyzny przechodzące przez krawędzie kąta trójściennego i dwusieczne przeciwległych ścian przecinają się wzdłuż jednej linii prostej.

Dowód Rozważmy kąt trójkątny SABC. Położymy mu to na żebrach równe segmenty SA = SB = CS. Dwusieczne SD, SE, SF kątów płaskich kąta trójściennego są odpowiednio środkowymi trójkątów SBC, SAB. Dlatego AD, BE, CF są medianami trójkąt ABC. Niech O będzie punktem przecięcia środkowych. Wtedy linia prosta SO będzie linią przecięcia rozważanych płaszczyzn.

Punkt przecięcia wysokości Dla trójkąta obowiązuje następujące twierdzenie. Twierdzenie. Wysokości trójkąta lub ich przedłużenia przecinają się w jednym punkcie. Udowodnimy, że dla kąta trójściennego obowiązuje następujący przestrzenny odpowiednik tego twierdzenia. Twierdzenie. Płaszczyzny przechodzące przez krawędzie kąta trójściennego i prostopadłe do płaszczyzn przeciwległych ścian przecinają się wzdłuż jednej linii prostej.

Dowód Rozważmy kąt trójkątny Sabc. Niech d, e, f będą liniami przecięcia płaszczyzn ścian kąta trójściennego z płaszczyznami przechodzącymi przez krawędzie a, b, c tego kąta i prostopadłymi do odpowiednich płaszczyzn ścian. Wybierzmy jakiś punkt C na krawędzi c. Spuśćmy z niego prostopadłe CD i CE odpowiednio na proste d i e. Oznaczmy przez A i B punkty przecięcia prostych CD i CE odpowiednio z liniami SB i SA. Linia d jest rzut ortogonalny skieruj AD na płaszczyznę BSC. Ponieważ BC jest prostopadła do prostej d, jest także prostopadła do prostej AD. Podobnie linia AC jest prostopadła do linii BE. Niech O będzie punktem przecięcia prostych AD i BE. Linia BC jest prostopadła do płaszczyzny SAD, zatem jest prostopadła do prostej SO. Podobnie prosta AC jest prostopadła do płaszczyzny SBE, a zatem jest prostopadła do prostej SO. Zatem prosta SO jest prostopadła do prostych BC i AC, a zatem prostopadła do płaszczyzny ABC, czyli prostopadła do prostej AB. Z drugiej strony linia CO jest prostopadła do linii AB. Zatem prosta AB jest prostopadła do płaszczyzny SOC. Samolot SAB przelatuje przez linię AB, prostopadle do płaszczyzny SOC jest zatem sam prostopadły do ​​tej płaszczyzny. Oznacza to, że wszystkie trzy rozważane płaszczyzny przecinają się na prostej SO.

Twierdzenie o sumie kątów płaskich. Suma kątów płaskich kąta trójściennego jest mniejsza niż 360°. Dowód. Niech SABC będzie danym kątem trójkątnym. Rozważmy kąt trójścienny z wierzchołkiem A utworzonym przez ściany ABS, ACS i kąt BAC. Ze względu na nierówność trójkąta zachodzi nierówność BAC

Kąty wielościenne wypukłe Kąt wielościenny nazywa się wypukłym, jeśli tak jest wypukła figura, tj. wraz z dowolnymi dwoma swoimi punktami zawiera w całości łączący je odcinek. Rysunek pokazuje przykłady kątów wielościennych wypukłych i niewypukłych. Nieruchomość. Suma wszystkich kątów płaskich kąta wielościennego wypukłego jest mniejsza niż 360°. Dowód jest podobny do dowodu odpowiedniej własności kąta trójściennego.
Ćwiczenie 5 Dwa kąty płaskie kąta trójściennego wynoszą 70° i 80°. Jakie są granice kąta trzeciej płaszczyzny? Odpowiedź: 10 o

Ćwiczenie 6 Kąty płaskie kąta trójściennego wynoszą 45°, 45° i 60°. Znajdź kąt między płaszczyznami kątów płaskich 45°. Odpowiedź: 90 o.

Ćwiczenie 7 W kącie trójściennym dwa kąty płaskie mają miarę 45°; kąt dwuścienny między nimi jest odpowiedni. Znajdź trzeci kąt płaszczyzny. Odpowiedź: 60 o.

Ćwiczenie 8 Kąty płaskie kąta trójściennego wynoszą 60°, 60° i 90°. Na jego krawędziach od wierzchołka ułożone są równe segmenty OA, OB, OC. Znajdź kąt dwuścienny pomiędzy płaszczyzną kąta 90° a płaszczyzną ABC. Odpowiedź: 90 o.

Ćwiczenie 9 Każdy kąt płaski kąta trójściennego ma miarę 60°. Na jednej z jego krawędzi od góry odłożony jest odcinek równy 3 cm, a od jego końca prostopadła jest spuszczana na przeciwną ścianę. Znajdź długość tej prostopadłej. Odpowiedź: zobacz

Definicje. Weźmy kilka kątów (ryc. 37): ASB, BSC, CSD, które sąsiadując kolejno ze sobą, znajdują się w tej samej płaszczyźnie wokół wspólnego wierzchołka S.

Obróćmy płaszczyznę kąta ASB wokół wspólnego boku SB tak, aby płaszczyzna ta tworzyła pewien kąt dwuścienny z płaszczyzną BSC. Następnie, nie zmieniając powstałego kąta dwuściennego, obracamy go wokół prostej SC tak, aby płaszczyzna BSC tworzyła z płaszczyzną CSD pewien kąt dwuścienny. Kontynuujmy ten sekwencyjny obrót wokół każdej wspólnej strony. Jeśli ostatni bok SF pokrywa się z pierwszym bokiem SA, wówczas powstaje figura (ryc. 38), którą nazywa się kąt wielościenny. Kąty ASB, BSC,... nazywane są płaskie kąty Lub krawędzie, ich boki SA, SB, ... nazywane są żeberka i wspólny wierzchołek S- szczyt kąt wielościenny.

Każda krawędź jest także krawędzią pewnego kąta dwuściennego; zatem w kącie wielościennym jest tyle kątów dwuściennych i tyle kątów płaskich, ile jest w nim wszystkich krawędzi. Najmniejsza liczba w kącie wielościennym są trzy ściany; nazywa się ten kąt trójkątny. Mogą występować kąty czworościenne, pięciokątne itp.

Kąt wielościenny oznacza się albo pojedynczą literą S umieszczoną na wierzchołku, albo ciągiem liter SABCDE, z których pierwsza oznacza wierzchołek, a pozostałe krawędzie w kolejności ich położenia.

Kąt wielościenny nazywa się wypukłym, jeśli znajduje się w całości po jednej stronie płaszczyzny każdej z jego ścian, która jest rozciągana w nieskończoność. Jest to np. kąt pokazany na rysunku 38. Przeciwnie, kąta na rysunku 39 nie można nazwać wypukłym, gdyż leży on po obu stronach krawędzi ASB lub BCC.

Jeśli przetniemy wszystkie ściany kąta wielościennego z płaszczyzną, wówczas w przekroju powstanie wielokąt ( abcde ). W wypukłym kącie wielościennym ten wielokąt jest również wypukły.

Rozważymy tylko wypukłe kąty wielościenne.

Twierdzenie. W kącie trójściennym każdy kąt płaski jest mniejszy niż suma pozostałych dwóch kątów płaskich.

Niech największym z kątów płaskich w trójściennym kącie SABC (ryc. 40) będzie kąt ASC.

Narysujmy na tym kącie kąt ASD równy kątowi ASB i narysujmy prostą AC przecinającą SD w pewnym punkcie D. Wykreślmy SB = SD. Łącząc B z A i C, otrzymujemy \(\Delta\)ABC, w którym

AD+DC< АВ + ВС.

Trójkąty ASD i ASB są przystające, ponieważ każdy z nich zawiera równy kąt pomiędzy równe strony: zatem AD = AB. Dlatego jeśli w wyprowadzonej nierówności odrzucimy równe wyrazy AD i AB, otrzymamy DC< ВС.

Teraz zauważamy, że w trójkątach SCD i SCB dwa boki jednego są równe dwóm bokom drugiego, ale trzecie boki nie są równe; w tym przypadku większy kąt leży naprzeciwko większego z tych boków; Oznacza,

∠CSD< ∠ CSВ.

Dodając kąt ASD po lewej stronie nierówności i równy mu kąt ASB po prawej stronie, otrzymujemy nierówność, którą należy udowodnić:

∠ASC< ∠ CSB + ∠ ASB.

Udowodniliśmy, że nawet największy kąt płaski jest mniejszy od sumy dwóch pozostałych kątów. Oznacza to, że twierdzenie zostało udowodnione.

Konsekwencja. Od obu stron ostatniej nierówności odejmij kąt ASB lub kąt CSB; otrzymujemy:

∠ASC - ∠ASB< ∠ CSB;

∠ASC - ∠CSB< ∠ ASB.

Rozważając te nierówności od prawej do lewej i biorąc pod uwagę kąt ASC jako największy z nich trzy rogi większa niż różnica pozostałych dwóch kątów, dochodzimy do wniosku, że w kącie trójściennym każdy kąt płaski jest większy niż różnica pozostałych dwóch kątów.

Twierdzenie. W kącie wielościennym wypukłym suma wszystkich kątów płaskich jest mniejsza niż 4d (360°) .

Przekroczmy krawędzie (ryc. 41) kąt wypukły SABCDE jakimś samolotem; z tego otrzymujemy przekrój wypukły N-gon ABCDE.

Stosując udowodnione wcześniej twierdzenie dla każdego z kątów trójściennych, których wierzchołki znajdują się w punktach A, B, C, D i E, pacholym:

∠ABC< ∠ABS + ∠SВC, ∠BCD < ∠BCS + ∠SCD и т. д.

Dodajmy wszystkie te nierówności wyraz po wyrazie. Następnie po lewej stronie otrzymujemy sumę wszystkich kątów wielokąta ABCDE, która jest równa 2 dn - 4D , a po prawej - suma kątów trójkątów ABS, SBC itp., z wyjątkiem kątów leżących w wierzchołku S. Oznaczanie sumy tych ostatnich kątów literą X , po dodaniu otrzymamy:

2dn - 4D < 2dn-x .

Ponieważ w różnicach 2 dn - 4D i 2 dn-x odjemniki są takie same, to aby pierwsza różnica była mniejsza od drugiej, konieczne jest, aby odejmowanie 4 D była większa niż kwota podlegająca odliczeniu X ; to znaczy 4 D > X , tj. X < 4D .

Najprostsze przypadki równości kątów trójściennych

Twierdzenia. Kąty trójścienne są równe, jeśli mają:

1) wzdłuż równego kąta dwuściennego zawartego pomiędzy dwoma odpowiednio równymi i jednakowo oddalonymi od siebie kątami płaskimi, Lub

2) wzdłuż równego kąta płaskiego zawartego pomiędzy dwoma odpowiednio równymi i identycznie rozmieszczonymi kątami dwuściennymi.

1) Niech S i S 1 będą dwoma kątami trójściennymi (rys. 42), dla których ∠ASB = ∠A 1 S 1 B 1, ∠ASC = ∠A 1 S 1 C 1 (i te równe kąty identycznie położony), a kąt dwuścienny AS jest równy kątowi dwuściennemu A 1 S 1 .

Wstawmy kąt S 1 do kąta S tak, aby ich punkty S 1 i S, proste S 1 A 1 i SA oraz płaszczyzny A 1 S 1 B 1 i ASB pokrywały się. Następnie krawędź S 1 B 1 będzie przebiegać wzdłuż SB (ze względu na równość kątów A 1 S 1 B 1 i ASB), płaszczyzna A 1 S 1 C 1 będzie przebiegać wzdłuż ASC (na mocy równości kątów dwuściennych ) i krawędź S 1 C 1 będzie przebiegać wzdłuż krawędzi SC (ze względu na równość kątów A 1 S 1 C 1 i ASC). Zatem kąty trójścienne będą pokrywać się ze wszystkimi ich krawędziami, tj. będą równi.

2) Drugi znak, podobnie jak pierwszy, udowadnia się poprzez osadzenie.

Symetryczne kąty wielościenne

Jak wiadomo, Pionowe kąty są równe, gdy mówimy o kątach utworzonych przez linie proste lub płaszczyzny. Zobaczmy, czy to stwierdzenie jest prawdziwe w odniesieniu do kątów wielościennych.

Kontynuujmy (ryc. 43) wszystkie krawędzie kąta SABCDE poza wierzchołkiem S, następnie powstaje kolejny kąt wielościenny SA 1 B 1 C 1 D 1 E 1, który można nazwać pionowy względem pierwszego kąta. Łatwo zauważyć, że oba kąty mają odpowiednio równe kąty płaskie i dwuścienne, ale oba znajdują się w Odwrotna kolejność. Rzeczywiście, jeśli wyobrazimy sobie obserwatora patrzącego z zewnątrz kąta wielościennego na jego wierzchołek, to krawędzie SA, SB, SC, SD, SE będą mu się wydawać, że są położone w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, natomiast patrząc na kąt SA 1 B 1 C 1 D 1 E 1, widzi krawędzie SA 1, SB 1, ..., umieszczone w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara.

Kąty wielościenne o odpowiednio równych kątach płaskich i dwuściennych, ale umieszczone w odwrotnej kolejności, generalnie nie mogą być łączone w przypadku zagnieżdżenia; oznacza to, że nie są sobie równi. Takie kąty nazywane są symetryczny(względem wierzchołka S). Symetria figur w przestrzeni zostanie omówiona bardziej szczegółowo poniżej.

Inne materiały

Rozważmy trzy promienie a, b, c, wychodzące z tego samego punktu i nie leżące w tej samej płaszczyźnie. Kąt trójścienny (abc) to figura złożona z trzech kątów płaskich (ab), (bc) i (ac) (ryc. 2. Kąty te nazywane są ścianami kąta trójściennego, a ich boki krawędziami; wspólny wierzchołek kątów płaskich nazywany jest wierzchołkiem kąta trójściennego. Kąty dwuścienne utworzone przez ściany kąta trójściennego nazywane są kątami dwuściennymi kąta trójściennego.

Podobnie definiuje się pojęcie kąta wielościennego (rys. 3).

Wielościan

W stereometrii badane są figury w przestrzeni zwane ciałami. Ciało wizualne (geometryczne) należy sobie wyobrazić jako część zajmowanej przestrzeni ciało fizyczne i ograniczone powierzchnią.

Wielościan to bryła, której powierzchnia składa się ze skończonej liczby płaskich wielokątów (ryc. 4). Wielościan nazywa się wypukłym, jeśli znajduje się po jednej stronie płaszczyzny każdego wielokąta płaskiego na jego powierzchni. Część wspólna takiej płaszczyzny i powierzchnia wielościanu wypukłego nazywana jest ścianą. Ściany wielościanu wypukłego są płaskimi wielokątami wypukłymi. Boki ścian nazywane są krawędziami wielościanu, a wierzchołki nazywane są wierzchołkami wielościanu.

Wyjaśnimy to na przykładzie znanej kostki (rys. 5). Sześcian jest wypukłym wielościanem. Jego powierzchnia składa się z sześciu kwadratów: ABCD, BEFC, .... To są jej ściany. Krawędzie sześcianu to boki tych kwadratów: AB, BC, BE,.... Wierzchołki sześcianu są wierzchołkami kwadratów: A, B, C, D, E, .... Sześcian ma sześć ścian, dwanaście krawędzi i osiem wierzchołków.

Dla najprostszych wielościanów - pryzmatów i piramid, które będą głównym przedmiotem naszych badań - podamy definicje, które w istocie nie wykorzystują pojęcia ciała. Zostaną one zdefiniowane jako figury geometryczne wskazując wszystkie należące do nich punkty w przestrzeni. Pojęcie geometryczne ciało i jego powierzchnia w przypadek ogólny zostanie podane później.