Zdefiniuj wielokąt wypukły. Koncepcja równoległoboku

Wyznaczanie wypukłości wielokąta.

Algorytm Kirusa – Backa zakłada obecność wypukłego wielokąta użytego jako okno.

Jednak w praktyce bardzo często pojawia się zadanie odcięcia wielokąta i początkowo nie jest podana informacja o tym, czy jest on wypukły, czy nie. W takim przypadku przed rozpoczęciem procedury cięcia należy określić, który wielokąt jest podany - wypukły czy nie.

Podajmy kilka definicji wypukłości wielokąta

Wielokąt uważa się za wypukły, jeżeli spełniony jest jeden z poniższych warunków:

1) w wielokącie wypukłym wszystkie wierzchołki znajdują się po jednej stronie prostej niosącej dowolną krawędź (wzdłuż wewnętrzna strona względem danej krawędzi);

2) wszystkie kąty wewnętrzne wielokąta są mniejsze niż 180°;

3) wszystkie przekątne łączące wierzchołki wielokąta leżą wewnątrz tego wielokąta;

4) wszystkie narożniki wielokąta przebiegają w tym samym kierunku (rys. 3.3-1).

Aby opracować analityczną reprezentację ostatniego kryterium wypukłości, używamy iloczynu wektorowego.

Grafika wektorowa W dwa wektory A I B (Rys. 3.3-2 a) zdefiniowana jako:

A x , a y , a z i b x , b y , b z są rzutami odpowiednio na osie współrzędnych X , Y , Z wektorów czynnikowych A I B,

- I, J, k– wektory jednostkowe wzdłuż osi współrzędnych X, Y, Z.

Ryż.3.3 ‑ 1

Ryż.3.3 ‑ 2

Jeśli rozważymy dwuwymiarową reprezentację wielokąta jako jego reprezentację w płaszczyzna współrzędnych trójwymiarowy układ współrzędnych XY X,Y,Z (ryc. 3.3-2 b), następnie wyrażenie na formację produkt wektorowy wektory U I V, gdzie wektory U I V są sąsiadującymi krawędziami tworzącymi narożnik wielokąta, można zapisać jako wyznacznik:

Wektor iloczynu poprzecznego jest prostopadły do płaszczyzny, w której znajdują się wektory czynnikowe. Kierunek wektora iloczynu jest określony przez regułę świdra lub regułę śruby prawoskrętnej.

Dla przypadku przedstawionego na ryc. 3.3-2 b), wektor W, odpowiadający iloczynowi wektorów V, U, będzie miał ten sam kierunek co kierunek oś współrzędnych Z.

Biorąc pod uwagę, że rzuty wektorów czynnikowych na oś Z w tym przypadku są równe zeru, iloczyn wektorowy można przedstawić jako:

(3.3-1)

Wektor jednostkowy k zawsze dodatnia, stąd znak wektora w iloczyn wektorowy zostanie wyznaczony jedynie przez znak wyznacznika D w powyższym wyrażeniu. Należy pamiętać, że w oparciu o właściwość iloczynu wektorowego podczas zamiany wektorów czynnikowych U I V znak wektorowy w zmieni się na odwrotne.

Wynika z tego, że jeśli jako wektory V I U rozważ dwie sąsiednie krawędzie wielokąta, wówczas kolejność umieszczenia wektorów w iloczynie wektorowym można ustalić zgodnie z przejściem narożnika rozpatrywanego wielokąta lub krawędziami tworzącymi ten kąt. Pozwala to zastosować następującą regułę jako kryterium określania wypukłości wielokąta:

jeżeli dla wszystkich par krawędzi wielokąta spełniony jest warunek:

Jeżeli znaki iloczynów wektorowych dla poszczególnych kątów nie pokrywają się, to wielokąt nie jest wypukły.

Ponieważ krawędzie wielokąta są określone w postaci współrzędnych ich punktów końcowych, wygodniej jest użyć wyznacznika do określenia znaku iloczynu wektorowego.

W tej lekcji zaczniemy nowy temat i wprowadź dla nas nową koncepcję: „wielokąt”. Przyjrzymy się podstawowym pojęciom związanym z wielokątami: bokom, kątom wierzchołkowym, wypukłości i niewypukłości. Wtedy udowodnimy najważniejsze fakty takie jak twierdzenie o sumie narożniki wewnętrzne wielokąt, twierdzenie o sumie narożniki zewnętrzne wielokąt. W rezultacie zbliżymy się do studiowania specjalnych przypadków wielokątów, które zostaną rozważone w dalszych lekcjach.

Temat: Czworokąty

Lekcja: Wielokąty

Na kursie geometrii badamy właściwości figur geometrycznych i badaliśmy już najprostsze z nich: trójkąty i koła. Jednocześnie omówiliśmy także szczególne przypadki specjalne tych figur, takie jak trójkąty prostokątne, równoramienne i regularne. Teraz czas porozmawiać o bardziej ogólnych i złożone figury - wielokąty.

Ze specjalnym etui wielokąty znamy już - to jest trójkąt (patrz ryc. 1).

Ryż. 1. Trójkąt

Już sama nazwa podkreśla, że jest to figura z trzema kątami. Dlatego w wielokąt może być ich wiele, tj. więcej niż trzy. Narysujmy dla przykładu pięciokąt (patrz ryc. 2), tj. figura z pięcioma narożnikami.

Ryż. 2. Pentagon. Wielokąt wypukły

Definicja.Wielokąt- figura składająca się z kilku punktów (więcej niż dwóch) i odpowiedniej liczby odcinków, które je kolejno łączą. Punkty te nazywane są szczyty wielokąt i segmenty są imprezy. W tym przypadku żadne dwa sąsiednie boki nie leżą na tej samej linii prostej i żadne dwa niesąsiadujące boki nie przecinają się.

Definicja.Regularny wielokąt- Ten wypukły wielokąt, w którym wszystkie boki i kąty są równe.

Każdy wielokąt dzieli płaszczyznę na dwie części: wewnętrzną i zewnętrzną. Obszar wewnętrzny jest również nazywany wielokąt.

Innymi słowy, gdy mówią na przykład o pięciokącie, mają na myśli zarówno cały jego obszar wewnętrzny, jak i jego granicę. A obszar wewnętrzny obejmuje wszystkie punkty leżące wewnątrz wielokąta, tj. punkt odnosi się również do pięciokąta (patrz ryc. 2).

Wielokąty są czasami nazywane n-gonami, aby podkreślić, że rozważany jest ogólny przypadek obecności pewnej nieznanej liczby kątów (n części).

Definicja. Obwód wielokąta- suma długości boków wielokąta.

Teraz musimy zapoznać się z rodzajami wielokątów. Dzielą się na wypukły I nie wypukły. Na przykład wielokąt pokazany na ryc. 2 jest wypukły, a na ryc. 3 niewypukłe.

Ryż. 3. Wielokąt niewypukły

Definicja 1. Wielokąt zwany wypukły, jeśli rysując linię prostą przez którykolwiek z jej boków, całość wielokąt leży tylko po jednej stronie tej prostej. Nie wypukły są wszyscy inni wielokąty.

Łatwo sobie wyobrazić, że rozciągając dowolny bok pięciokąta na ryc. 2 to wszystko będzie po jednej stronie tej prostej, tj. jest wypukły. Ale rysując linię prostą przez czworokąt na ryc. 3 widzimy już, że dzieli go na dwie części, tj. nie jest wypukły.

Ale istnieje inna definicja wypukłości wielokąta.

Definicja 2. Wielokąt zwany wypukły, jeśli wybierając dowolne dwa jego punkty wewnętrzne i łącząc je odcinkiem, wszystkie punkty odcinka są jednocześnie punktami wewnętrznymi wielokąta.

Demonstrację zastosowania tej definicji można zobaczyć na przykładzie konstruowania odcinków na rys. 2 i 3.

Definicja. Przekątna wielokąta jest dowolnym odcinkiem łączącym dwa niesąsiadujące ze sobą wierzchołki.

Aby opisać właściwości wielokątów, istnieją dwa najważniejsze twierdzenia o ich kątach: twierdzenie o sumie kątów wewnętrznych wielokąta wypukłego I twierdzenie o sumie kątów zewnętrznych wielokąta wypukłego. Przyjrzyjmy się im.

Twierdzenie. O sumie kątów wewnętrznych wielokąta wypukłego (N-gon).

Gdzie jest liczba jego kątów (boków).

Dowód 1. Przedstawmy na ryc. 4 wypukły n-gon.

Ryż. 4. Wypukły n-gon

Z wierzchołka rysujemy wszystkie możliwe przekątne. Dzielą n-gon na trójkąty, ponieważ każdy z boków wielokąta tworzy trójkąt, z wyjątkiem boków przylegających do wierzchołka. Z rysunku łatwo zobaczyć, że suma kątów wszystkich tych trójkątów będzie dokładnie równa sumie kątów wewnętrznych n-gonu. Ponieważ suma kątów dowolnego trójkąta wynosi , to suma kątów wewnętrznych n-kąta wynosi:

co było do okazania

Dowód 2. Możliwy jest inny dowód tego twierdzenia. Narysujmy podobny n-gon na ryc. 5 i połącz dowolny jej punkt wewnętrzny ze wszystkimi wierzchołkami.

Ryż. 5.

Otrzymaliśmy podział n-gonu na n trójkątów (tyle boków, ile jest trójkątów). Suma wszystkich ich kątów jest równa sumie kątów wewnętrznych wielokąta i sumie kątów przy punkt wewnętrzny, a to jest kąt. Mamy:

co było do okazania

Udowodniony.

Zgodnie ze sprawdzonym twierdzeniem jasne jest, że suma kątów n-gonu zależy od liczby jego boków (na n). Na przykład w trójkącie suma kątów wynosi . W czworokącie suma kątów wynosi itp.

Twierdzenie. O sumie kątów zewnętrznych wielokąta wypukłego (N-gon).

Gdzie jest liczba jego kątów (boków), a , … to kąty zewnętrzne.

Dowód. Przedstawmy wypukły n-gon na ryc. 6 i wyznacz jego kąty wewnętrzne i zewnętrzne.

Ryż. 6. N-kąt wypukły z wyznaczonymi kątami zewnętrznymi

Ponieważ Narożnik zewnętrzny łączy się wówczas z narożnikiem wewnętrznym jako sąsiadujący i analogicznie dla pozostałych narożników zewnętrznych. Następnie:

Podczas transformacji wykorzystaliśmy sprawdzone już twierdzenie o sumie kątów wewnętrznych n-kąta.

Udowodniony.

Z udowodnionego twierdzenia wynika interesujący fakt, czyli suma kątów zewnętrznych wypukły n-gon równy na liczbę jego kątów (boków). Nawiasem mówiąc, w przeciwieństwie do sumy kątów wewnętrznych.

Bibliografia

Aleksandrow A.D. i inne Geometria, klasa 8. - M.: Edukacja, 2006.
Butuzow V.F., Kadomtsev S.B., Prasolov V.V. Geometria, klasa 8. - M.: Edukacja, 2011.
Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir S.M. Geometria, klasa 8. - M.: VENTANA-GRAF, 2009.

Profmeter.com.ua ().
Narod.ru ().
Xvatit.com ().

Praca domowa

Te geometryczne kształty otaczają nas wszędzie. Wypukłe wielokąty mogą być naturalne, np. plaster miodu, lub sztuczne (sztuczne). Liczby te są wykorzystywane w produkcji różne rodzaje powłok, w malarstwie, architekturze, dekoracji itp. Wielokąty wypukłe mają tę właściwość, że wszystkie ich punkty znajdują się po jednej stronie prostej przechodzącej przez parę sąsiednich wierzchołków tej figura geometryczna. Istnieją inne definicje. Wielokąt wypukły to taki, który znajduje się w pojedynczej półpłaszczyźnie względem dowolnej linii prostej zawierającej jeden z jego boków.

Ja wiem elementarna geometria są zawsze traktowane wyłącznie proste wielokąty. Aby zrozumieć wszystkie właściwości takich, konieczne jest zrozumienie ich natury. Po pierwsze, powinieneś zrozumieć, że każda linia, której końce się pokrywają, nazywa się zamkniętą. Co więcej, utworzona przez nią figura może mieć różne konfiguracje. Wielokąt jest prostym obiektem zamkniętym linia przerywana, w którym sąsiednie ogniwa nie leżą na tej samej linii prostej. Jego ogniwa i wierzchołki są odpowiednio bokami i wierzchołkami tej figury geometrycznej. Prosta polilinia nie powinna mieć samoprzecięć.

Wierzchołki wielokąta nazywane są sąsiadującymi, jeśli reprezentują końce jednego z jego boków. Figura geometryczna, która ma n-ta liczba szczyty i dlatego n-ta ilość boki nazywa się n-gonem. Sama linia przerywana nazywana jest granicą lub konturem tej figury geometrycznej. Płaszczyzna wielokątna lub płaski wielokąt to skończona część dowolnej płaszczyzny przez nią ograniczonej. Sąsiednie boki tej figury geometrycznej to odcinki linii przerywanej wychodzącej z jednego wierzchołka. Nie będą sąsiadować ze sobą, jeśli pochodzą z różnych wierzchołków wielokąta.

Inne definicje wielokątów wypukłych

W geometrii elementarnej istnieje jeszcze kilka definicji o równoważnym znaczeniu, wskazujących, który wielokąt nazywa się wypukłym. Co więcej, wszystkie te preparaty w w tym samym stopniu są prawdziwe. Wielokąt uważa się za wypukły, jeśli:

Każdy odcinek łączący dowolne dwa punkty w nim leży całkowicie w nim;

Wszystkie jego przekątne leżą w nim;

Kąt wewnętrzny nie przekracza 180°.

Wielokąt zawsze dzieli płaszczyznę na 2 części. Jedna z nich jest ograniczona (można ją ująć w okrąg), druga zaś jest nieograniczona. Pierwszy nazywa się obszarem wewnętrznym, a drugi obszarem zewnętrznym tej figury geometrycznej. Ten wielokąt jest przecięciem (innymi słowy wspólnym składnikiem) kilku półpłaszczyzn. Co więcej, każdy odcinek, który kończy się w punktach należących do wielokąta, całkowicie do niego należy.

Odmiany wielokątów wypukłych

Definicja wielokąta wypukłego nie wskazuje, że istnieje wiele typów. Co więcej, każdy z nich ma określone kryteria. Zatem wielokąty wypukłe, które mają kąt wewnętrzny równy 180°, nazywane są słabo wypukłymi. Wypukłą figurę geometryczną, która ma trzy wierzchołki, nazywamy trójkątem, cztery - czworokątem, pięć - pięciokątem itd. Każdy z wypukłych n-kątów spełnia następujący najważniejszy warunek: n musi być równe lub większe od 3. Każdy z n-kątów wypukłych trójkątów jest wypukła. Figura geometryczna tego typu, którego wszystkie wierzchołki leżą na tym samym okręgu, nazywamy wpisanym w okrąg. Wielokąt wypukły nazywa się opisanym, jeśli dotykają go wszystkie jego boki w pobliżu koła. Mówi się, że dwa wielokąty są przystające tylko wtedy, gdy można je połączyć przez superpozycję. Płaski wielokąt to wielokątna płaszczyzna (część płaszczyzny), która jest ograniczona tą figurą geometryczną.

Regularne wielokąty wypukłe

Regularne wielokąty to figury geometryczne z równe kąty i strony. Wewnątrz nich znajduje się punkt 0, który znajduje się w tej samej odległości od każdego z jego wierzchołków. Nazywa się to środkiem tej figury geometrycznej. Odcinki łączące środek z wierzchołkami tej figury geometrycznej nazywane są apotemami, a te, które łączą punkt 0 z bokami, są promieniami.

Regularny czworokąt jest kwadratem. Zwykły trójkąt zwany równobocznym. Dla takich figur obowiązuje następująca zasada: każdy kąt wielokąta wypukłego jest równy 180°*(n-2)/n,

gdzie n jest liczbą wierzchołków tej wypukłej figury geometrycznej.

Obszar dowolny regularny wielokąt określone wzorem:

gdzie p jest równe połowie sumy wszystkich boków danego wielokąta, a h jest równe długości apotema.

Właściwości wielokątów wypukłych

Wielokąty wypukłe mają pewne właściwości. Zatem odcinek łączący dowolne 2 punkty takiej figury geometrycznej koniecznie znajduje się w nim. Dowód:

Załóżmy, że P jest danym wielokątem wypukłym. Weź 2 dowolne punkty, na przykład A, B, które należą do R. Po istniejąca definicja wielokąta wypukłego punkty te znajdują się po jednej stronie prostej, która zawiera dowolny bok P. W związku z tym AB również ma tę własność i jest zawarta w P. Wielokąt wypukły można zawsze podzielić na kilka trójkątów przez absolutnie wszystkie przekątne, które są rysowane z jednego z jego wierzchołków.

Kąty wypukłych kształtów geometrycznych

Kąty wielokąta wypukłego to kąty utworzone przez jego boki. Kąty wewnętrzne znajdują się w obszarze wewnętrznym danej figury geometrycznej. Kąt utworzony przez jego boki stykające się w jednym wierzchołku nazywany jest kątem wielokąta wypukłego. z kątami wewnętrznymi danej figury geometrycznej nazywane są zewnętrznymi. Każdy kąt wielokąta wypukłego znajdującego się w jego wnętrzu jest równy:

gdzie x jest wielkością kąta zewnętrznego. Ten prosta formuła dotyczy wszelkich figur geometrycznych tego typu.

W przypadek ogólny, dla kątów zewnętrznych istnieje następująca zasada: Każdy kąt wielokąta wypukłego jest równy różnicy między 180° a wielkością kąta wewnętrznego. Może przyjmować wartości z zakresu od -180° do 180°. Dlatego też, gdy kąt wewnętrzny wynosi 120°, kąt zewnętrzny będzie wynosił 60°.

Suma kątów wielokątów wypukłych

Sumę kątów wewnętrznych wielokąta wypukłego określa się ze wzoru:

gdzie n jest liczbą wierzchołków n-kąta.

Sumę kątów wielokąta wypukłego oblicza się po prostu. Rozważ dowolną taką figurę geometryczną. Aby wyznaczyć sumę kątów wewnątrz wielokąta wypukłego, należy połączyć jeden z jego wierzchołków z innymi wierzchołkami. W wyniku tego działania otrzymuje się trójkąty (n-2). Wiadomo, że suma kątów dowolnego trójkąta jest zawsze równa 180°. Ponieważ ich liczba w dowolnym wielokącie wynosi (n-2), suma kątów wewnętrznych takiej figury wynosi 180° x (n-2).

Suma kątów wielokąta wypukłego, czyli dowolnych dwóch kątów wewnętrznych i sąsiadujących ze sobą kątów zewnętrznych, dla danej wypukłej figury geometrycznej będzie zawsze równa 180°. Na tej podstawie możemy wyznaczyć sumę wszystkich jego kątów:

Suma kątów wewnętrznych wynosi 180° * (n-2). Na tej podstawie sumę wszystkich kątów zewnętrznych danej figury wyznacza się ze wzoru:

180° * n-180°-(n-2)= 360°.

Suma kątów zewnętrznych dowolnego wielokąta wypukłego będzie zawsze wynosić 360° (niezależnie od liczby boków).

Kąt zewnętrzny wielokąta wypukłego jest zwykle reprezentowany przez różnicę między 180° a wartością kąta wewnętrznego.

Inne właściwości wielokąta wypukłego

Oprócz podstawowych właściwości tych kształtów geometrycznych, mają one także inne, które powstają podczas manipulacji nimi. Zatem dowolny z wielokątów można podzielić na kilka wypukłych n-kątów. Aby to zrobić, musisz kontynuować każdy z jego boków i wyciąć tę figurę geometryczną wzdłuż tych prostych linii. Można także podzielić dowolny wielokąt na kilka części wypukłych w taki sposób, aby wierzchołki każdego elementu pokrywały się ze wszystkimi jego wierzchołkami. Z takiej figury geometrycznej można w bardzo prosty sposób tworzyć trójkąty, rysując wszystkie przekątne z jednego wierzchołka. Zatem dowolny wielokąt można ostatecznie podzielić na pewną liczbę trójkątów, co okazuje się bardzo przydatne w rozwiązywaniu różne zadania kojarzone z takimi figurami geometrycznymi.

Obwód wielokąta wypukłego

Odcinki linii łamanej, zwane bokami wielokąta, oznacza się najczęściej literami: ab, bc, cd, de, ea. Są to boki figury geometrycznej o wierzchołkach a, b, c, d, e. Suma długości wszystkich boków tego wypukłego wielokąta nazywa się jego obwodem.

Okrąg wielokąta

Wielokąty wypukłe mogą być wpisane lub opisane. Okrąg dotykający wszystkich boków tej figury geometrycznej nazywa się wpisanym w nią. Taki wielokąt nazywa się ograniczonym. Środek okręgu wpisanego w wielokąt to punkt przecięcia dwusiecznych wszystkich kątów danej figury geometrycznej. Pole takiego wielokąta jest równe:

gdzie r jest promieniem okręgu wpisanego, a p jest półobwodem danego wielokąta.

Okrąg zawierający wierzchołki wielokąta nazywa się opisanym na nim. W tym przypadku tę wypukłą figurę geometryczną nazywa się wpisaną. Środek okręgu opisanego wokół takiego wielokąta jest punktem przecięcia tzw. dwusiecznych prostopadłych wszystkich boków.

Przekątne wypukłych kształtów geometrycznych

Przekątne wielokąta wypukłego to odcinki, które się łączą sąsiednie szczyty. Każdy z nich leży wewnątrz tej figury geometrycznej. Liczbę przekątnych takiego n-kąta określa wzór:

N = n (n - 3)/ 2.

Liczba przekątnych wielokąta wypukłego odgrywa ważna rola w elementarnej geometrii. Liczbę trójkątów (K), na które można podzielić każdy wielokąt wypukły, oblicza się ze wzoru:

Liczba przekątnych wielokąta wypukłego zawsze zależy od liczby jego wierzchołków.

Podział wielokąta wypukłego

W niektórych przypadkach do rozwiązania problemy geometryczne konieczne jest podzielenie wypukłego wielokąta na kilka trójkątów o rozłącznych przekątnych. Problem ten można rozwiązać wyprowadzając pewien wzór.

Definicja problemu: nazwijmy poprawnym podziałem wypukłego n-gotu na kilka trójkątów, których przekątne przecinają się tylko w wierzchołkach tej figury geometrycznej.

Rozwiązanie: Załóżmy, że P1, P2, P3..., Pn są wierzchołkami tego n-kąta. Liczba Xn jest liczbą jej przegród. Rozważmy dokładnie otrzymaną przekątną figury geometrycznej Pi Pn. W którymkolwiek prawidłowe partycjeР1 Pn należy do pewnego trójkąta Р1 Pi Pn, który ma 1

Niech i = 2 będzie jedną grupą przegród regularnych, zawsze zawierającą przekątną P2 Pn. Liczba przegród w nim zawartych pokrywa się z liczbą przegród (n-1)-gon P2 P3 P4... Pn. Innymi słowy, jest równy Xn-1.

Jeśli i = 3, to ta druga grupa przegród będzie zawsze zawierać przekątne P3 P1 i P3 Pn. W tym przypadku liczba przegród regularnych zawartych w tej grupie będzie się pokrywać z liczbą przegród (n-2)-gon P3 P4... Pn. Innymi słowy, będzie równy Xn-2.

Niech i = 4, to wśród trójkątów prawidłowy podział z pewnością będzie zawierał trójkąt P1 P4 Pn, który będzie sąsiadował z czworokątem P1 P2 P3 P4, (n-3)-gonem P4 P5... Pn. Liczba regularnych podziałów takiego czworoboku wynosi X4, a liczba podziałów (n-3)-gonu wynosi Xn-3. Na podstawie powyższego możemy powiedzieć, że całkowita liczba regularnych partycji zawartych w tej grupie jest równa Xn-3 X4. Pozostałe grupy, dla których i = 4, 5, 6, 7... będą zawierać partycje regularne Xn-4 X5, Xn-5 X6, Xn-6 X7....

Niech i = n-2, to liczba prawidłowych przegród w tej grupie będzie się pokrywać z liczbą przegród w grupie, dla której i=2 (czyli równa Xn-1).

Ponieważ X1 = X2 = 0, X3=1, X4=2..., to liczba wszystkich przegród wielokąta wypukłego jest równa:

Xn = Xn-1 + Xn-2 + Xn-3 X4 + Xn-4 X5 + ... + X 5 Xn-4 + X4 Xn-3 + Xn-2 + Xn-1.

X5 = X4 + X3 + X4 = 5

X6 = X5 + X4 + X4 + X5 = 14

X7 = X6 + X5 + X4 * X4 + X5 + X6 = 42

X8 = X7 + X6 + X5 * X4 + X4 * X5 + X6 + X7 = 132

Liczba przegród regularnych przecinających się wewnątrz jedną przekątną

Sprawdzając przypadki szczególne, można dojść do założenia, że liczba przekątnych n-kątów wypukłych jest równa iloczynowi wszystkich podziałów tej figury na (n-3).

Dowód tego założenia: wyobraźmy sobie, że P1n = Xn * (n-3), wówczas dowolny n-kąt można podzielić na (n-2)-trójkąty. Ponadto można z nich utworzyć czworokąt (n-3). Oprócz tego każdy czworokąt będzie miał przekątną. Ponieważ na tej wypukłej figurze geometrycznej można narysować dwie przekątne, oznacza to, że w dowolnym (n-3)-czworokącie można narysować dodatkowe (n-3) przekątne. Na tej podstawie możemy stwierdzić, że w dowolnym podziale regularnym można narysować (n-3)-przekątne spełniające warunki tego problemu.

Obszar wielokątów wypukłych

Często przy rozwiązywaniu różnych problemów geometrii elementarnej konieczne staje się określenie obszaru wypukłego wielokąta. Załóżmy, że (Xi. Yi), i = 1,2,3... n jest ciągiem współrzędnych wszystkich sąsiednich wierzchołków wielokąta, który nie ma samoprzecięć. W takim przypadku jego powierzchnię oblicza się za pomocą następującego wzoru:

S = ½ (∑ (X ja + X ja + 1) (Y ja + Y ja + 1)),

gdzie (X 1, Y 1) = (X n +1, Y n + 1).

Wypukły zbiór punktów na płaszczyźnie.

Zbiór punktów na płaszczyźnie lub w przestrzeni trójwymiarowej nazywa się wypukły, jeśli dowolne dwa punkty tego zbioru można połączyć odcinkiem leżącym w całości w tym zbiorze.

Twierdzenie 1. Przecięcie skończonej liczby zbiorów wypukłych jest zbiorem wypukłym.

Konsekwencja. Przecięcie skończonej liczby zbiorów wypukłych jest zbiorem wypukłym.

Punkty narożne.

Nazywa się punkt brzegowy zbioru wypukłego kątowy, jeżeli można przez niego przeciągnąć odcinek, którego wszystkie punkty nie należą do danego zbioru.

Zbiory o różnych kształtach mogą mieć skończoną lub nieskończoną liczbę punktów narożnych.

Wielokąt wypukły.

Wielokąt zwany wypukły, jeśli leży po jednej stronie każdej linii przechodzącej przez dwa sąsiednie wierzchołki.

Twierdzenie: Suma kątów wypukłego n-kąta wynosi 180˚ *(n-2)

6) Rozwiązywanie układów m nierówności liniowych z dwiema zmiennymi

Biorąc pod uwagę układ nierówności liniowych z dwiema zmiennymi

Znaki niektórych lub wszystkich nierówności mogą być ≥.

Rozważmy pierwszą nierówność w układzie współrzędnych X1OX2. Zbudujmy linię prostą

która jest linią graniczną.

Ta linia prosta dzieli płaszczyznę na dwie półpłaszczyzny 1 i 2 (ryc. 19.4).

Półpłaszczyzna 1 zawiera początek, półpłaszczyzna 2 nie zawiera początku.

Aby określić, po której stronie linii granicznej znajduje się dana półpłaszczyzna, należy wziąć dowolny punkt na płaszczyźnie (najlepiej początek układu współrzędnych) i podstawić do nierówności współrzędne tego punktu. Jeśli nierówność jest prawdziwa, to półpłaszczyzna jest zwrócona w stronę tego punktu; jeśli nie jest to prawdą, to w kierunku przeciwnym do punktu.

Kierunek półpłaszczyzny pokazano na rysunkach strzałką.

Definicja 15. Rozwiązaniem każdej nierówności układu jest półpłaszczyzna zawierająca linię graniczną i położona po jednej jej stronie.

Definicja 16. Przecięcie półpłaszczyzn, z których każda jest wyznaczona przez odpowiednią nierówność układu, nazywa się dziedziną rozwiązań układu (SO).

Definicja 17. Obszar rozwiązań układu spełniającego warunki nieujemności (xj ≥ 0, j =) nazywany jest obszarem rozwiązań nieujemnych lub dopuszczalnych (ADS).

Jeśli system nierówności jest spójny, wówczas OR i ODR mogą być wielościanem, nieograniczonym obszarem wielościennym lub pojedynczym punktem.

Jeżeli układ nierówności jest niespójny, to OR i ODR są zbiorem pustym.

Przykład 1. Znajdź OR i ODE układu nierówności i określ współrzędne punktów narożnych ODE

Rozwiązanie. Znajdźmy OR pierwszej nierówności: x1 + 3x2 ≥ 3. Skonstruujmy linię graniczną x1 + 3x2 – 3 = 0 (ryc. 19.5). Podstawiamy współrzędne punktu (0,0) do nierówności: 1∙0 + 3∙0 > 3; ponieważ współrzędne punktu (0,0) tego nie spełniają, to rozwiązaniem nierówności (19.1) jest półpłaszczyzna niezawierająca punktu (0,0).

W podobny sposób znajdźmy rozwiązania pozostałych nierówności układu. Otrzymujemy, że OR i ODE układu nierówności jest wielościanem wypukłym ABCD.

Znajdźmy punkty narożne wielościanu. Punkt A definiujemy jako punkt przecięcia prostych

Rozwiązując układ, otrzymujemy A(3/7, 6/7).

Punkt B znajdujemy jako punkt przecięcia prostych

Z systemu otrzymujemy B(5/3, 10/3). Podobnie znajdujemy współrzędne punktów C i D: C(11/4; 9/14), D(3/10; 21/10).

Przykład 2. Znajdź OR i ODE układu nierówności

Rozwiązanie. Konstruujmy proste i wyznaczajmy rozwiązania nierówności (19.5)-(19.7). OR i ODR to nieograniczone obszary wielościenne, odpowiednio, ACFM i ABDEKM (ryc. 19.6).

Przykład 3. Znajdź OR i ODE układu nierówności

Rozwiązanie. Znajdźmy rozwiązania nierówności (19.8)-(19.10) (ryc. 19.7). OR reprezentuje nieograniczony obszar wielościenny ABC; ODR – punkt B.

Przykład 4. Znajdź OP i ODP układu nierówności

Rozwiązanie. Konstruując linie proste, znajdziemy rozwiązania nierówności układu. OR i ODR są niekompatybilne (ryc. 19.8).

ĆWICZENIA

Znajdź OR i ODE systemów nierówności

Twierdzenie. Jeśli xn® a, to .

Dowód. Z xn ® a wynika, że . W tym samym czasie:

, tj. , tj. . Twierdzenie zostało udowodnione.

Twierdzenie. Jeśli xn ® a, to ciąg (xn) jest ograniczony.

Należy zauważyć, że stwierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe, tj. ograniczenie ciągu nie oznacza jego zbieżności.

Na przykład kolejność nie ma jednak limitu

Rozwinięcie funkcji w szeregi potęgowe.

Rozwinięcie funkcji w szeregi potęgowe ma ogromne znaczenie przy rozwiązywaniu różnych problemów badania funkcji, różniczkowania, całkowania, rozwiązywania równań różniczkowych, obliczania granic, obliczania przybliżonych wartości funkcji.

Koncepcja wielokąta

Definicja 1

Wielokąt jest figurą geometryczną na płaszczyźnie, która składa się z odcinków połączonych parami, przy czym sąsiednie nie leżą na tej samej prostej.

W tym przypadku segmenty są nazywane boki wielokąta i ich końce - wierzchołki wielokąta.

Definicja 2

$n$-gon to wielokąt z $n$ wierzchołkami.

Rodzaje wielokątów

Definicja 3

Jeśli wielokąt zawsze leży po tej samej stronie dowolnej linii przechodzącej przez jego boki, wówczas nazywa się wielokąt wypukły(ryc. 1).

Rysunek 1. Wielokąt wypukły

Definicja 4

Jeżeli wielokąt leży po przeciwnych stronach co najmniej jednej prostej przechodzącej przez jego boki, wówczas wielokąt ten nazywa się niewypukłym (ryc. 2).

Rysunek 2. Wielokąt niewypukły

Suma kątów wielokąta

Wprowadźmy twierdzenie o sumie kątów trójkąta.

Twierdzenie 1

Sumę kątów trójkąta wypukłego wyznacza się w następujący sposób

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

Dowód.

Otrzymamy wielokąt wypukły $A_1A_2A_3A_4A_5\dots A_n$. Połączmy jego wierzchołek $A_1$ ze wszystkimi pozostałymi wierzchołkami tego wielokąta (rys. 3).

Rysunek 3.

Dzięki temu połączeniu otrzymujemy trójkąty $n-2$. Sumując ich kąty otrzymujemy sumę kątów danego -gon. Ponieważ suma kątów trójkąta jest równa $(180)^0,$ otrzymujemy, że suma kątów trójkąta wypukłego jest określona wzorem

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

Twierdzenie zostało udowodnione.

Pojęcie czworoboku

Korzystając z definicji $2$, łatwo jest wprowadzić definicję czworoboku.

Definicja 5

Czworokąt to wielokąt o wierzchołkach $4$ (ryc. 4).

Rysunek 4. Czworokąt

W przypadku czworoboku pojęcia czworoboku wypukłego i czworoboku niewypukłego są podobnie zdefiniowane. Klasycznymi przykładami czworokątów wypukłych są kwadrat, prostokąt, trapez, romb, równoległobok (ryc. 5).

Rysunek 5. Wypukłe czworoboki

Twierdzenie 2

Suma kątów czworokąta wypukłego wynosi $(360)^0$

Dowód.

Z twierdzenia $1$ wiemy, że suma kątów wypukłego kąta jest określona wzorem

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

Dlatego suma kątów wypukłego czworoboku jest równa

\[\lewo(4-2\prawo)\cdot (180)^0=(360)^0\]

Twierdzenie zostało udowodnione.