W artykule przedstawiono najważniejsze informacje teoretyczne i niezbędne rozwiązania specyficzne zadania formuły. Ważne stwierdzenia i właściwości figurek są ułożone na półkach.
Definicja i ważne fakty
Planimetria to gałąź geometrii zajmująca się obiektami na płaskiej, dwuwymiarowej powierzchni. Można zidentyfikować kilka odpowiednich przykładów: kwadrat, okrąg, romb.
Warto między innymi podkreślić punkt i linię prostą. Są to dwie główne koncepcje planimetrii.
Wszystko inne jest na nich zbudowane, na przykład:
Aksjomaty i twierdzenia
Przyjrzyjmy się aksjomatom bardziej szczegółowo. W planimetrii tak jest najważniejsze zasady, nad którym pracuje cała nauka. I nie tylko w nim. A-przeorat, mówimy o o twierdzeniach, które nie wymagają dowodu.
Aksjomaty, które zostaną omówione poniżej, zaliczają się do tzw. geometrii euklidesowej.
- Są dwa punkty. Zawsze możesz przeciągnąć przez nie pojedynczą linię prostą.
- Jeśli istnieje prosta, to istnieją punkty, które na niej leżą, i punkty, które na niej nie leżą.
Te 2 stwierdzenia są zwykle nazywane aksjomatami przynależności, a następujące nazywane są aksjomatami porządku:
- Jeśli na linii prostej znajdują się trzy punkty, to jeden z nich koniecznie znajduje się pomiędzy dwoma pozostałymi.
- Płaszczyzna jest podzielona dowolną linią prostą na dwie części. Kiedy końce segmentu leżą na jednej połowie, wówczas cały obiekt należy do niego. W przeciwnym razie oryginalna linia i odcinek mają punkt przecięcia.
Aksjomaty miar:
- Każdy segment ma długość różną od zera. Jeśli punkt podzieli go na kilka części, wówczas ich suma będzie równa całkowitej długości obiektu.
- Każdy kąt ma pewną miarę stopnia, która nie jest równa zeru. Jeśli złamiesz go belką, wówczas będzie pierwotny kąt równa sumie wykształcony.
Równoległość:
- Na płaszczyźnie jest linia prosta. Przez dowolny punkt, który do niego nie należy, można poprowadzić tylko jedną prostą równoległą do danej.
Twierdzenia w planimetrii nie są już całkowicie fundamentalnymi twierdzeniami. Są one ogólnie akceptowane jako fakt, ale każdy z nich ma dowód oparty na podstawowych koncepcjach wymienionych powyżej. Poza tym jest ich mnóstwo. Całkiem trudno będzie wszystko uporządkować, ale część z nich będzie obecna w prezentowanym materiale.
Z poniższymi dwoma warto zapoznać się wcześniej:
- Suma sąsiadujące rogi równy 180 stopni.
- Kąty pionowe mają tę samą wielkość.
Te dwa twierdzenia mogą być przydatne w rozwiązywaniu problemy geometryczne związany z n-gonami. Są dość proste i intuicyjne. Warto o nich pamiętać.
Trójkąty
Trójkąt to figura geometryczna składająca się z trzech połączonych szeregowo segmentów. Klasyfikuje się je według kilku kryteriów.
Po bokach (proporcje wynikają z nazw):
W rogach:
- ostry kąt;
- prostokątny;
- rozwarty.
Dwa kąty, niezależnie od sytuacji, zawsze będą ostre, a trzeci wyznacza pierwsza część słowa. To jest, trójkąt prostokątny jeden z kątów ma 90 stopni.
Nieruchomości:
- Im większy kąt, tym większa przeciwna strona.
- Suma wszystkich kątów wynosi 180 stopni.
- Pole można obliczyć ze wzoru: S = ½ ⋅ h ⋅ a, gdzie a to bok, h to wysokość do niego narysowana.
- Zawsze możesz wpisać okrąg w trójkąt lub opisać go wokół niego.
Jednym z podstawowych wzorów planimetrii jest twierdzenie Pitagorasa. Działa to wyłącznie dla trójkąta prostokątnego i brzmi tak: kwadrat przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów nóg: AB 2 = AC 2 + BC 2.
Przeciwprostokątna oznacza stronę przeciwną do kąta 90°, a nogi oznaczają sąsiednie.
Czworoboki
Jest ogromna ilość informacji na ten temat. Poniżej znajdują się tylko te najważniejsze.
Niektóre odmiany:
- Równoległobok - przeciwne strony równe i parami równoległe.
- Romb to równoległobok, którego boki mają ta sama długość.
- Prostokąt - równoległobok z czterema kątami prostymi
- Kwadrat jest jednocześnie rombem i prostokątem.
- Trapez - tylko dwa przeciwległe boki są równoległe.
Nieruchomości:
- Suma narożniki wewnętrzne równy 360 stopniom.
- Pole zawsze można obliczyć ze wzoru: S=√(p-a)(p-b)(p-c)(p-d), gdzie p to połowa obwodu, a, b, c, d to boki figury.
- Jeśli okrąg można opisać wokół czworoboku, to nazywam go wypukłym, jeśli nie, niewypukłym.
Kurs wideo „Zdobądź piątkę” obejmuje wszystkie tematy niezbędne do osiągnięcia sukcesu zdanie jednolitego egzaminu państwowego z matematyki na 60-65 punktów. Kompletnie wszystkie zadania 1-13 Profil Ujednolicony egzamin państwowy matematyka. Nadaje się również do zdania podstawowego jednolitego egzaminu państwowego z matematyki. Jeśli chcesz zdać Unified State Exam z 90-100 punktami, musisz rozwiązać część 1 w 30 minut i bez błędów!
Kurs przygotowawczy do Jednolitego Egzaminu Państwowego dla klas 10-11, a także dla nauczycieli. Wszystko, czego potrzebujesz, aby rozwiązać część 1 egzaminu państwowego Unified State Exam z matematyki (pierwsze 12 zadań) i zadanie 13 (trygonometria). A to ponad 70 punktów na egzaminie Unified State Exam i ani 100-punktowy student, ani student nauk humanistycznych nie mogą się bez nich obejść.
Wszystko konieczna teoria. Szybkie sposoby rozwiązania, pułapki i tajemnice Unified State Exam. Przeanalizowano wszystkie aktualne zadania części 1 z Banku Zadań FIPI. Kurs w pełni odpowiada wymogom Unified State Exam 2018.
Kurs zawiera 5 duże tematy, 2,5 godziny każdy. Każdy temat jest podany od podstaw, prosto i przejrzyście.
Setki zadań z egzaminu Unified State Exam. Problemy ze słowami i teoria prawdopodobieństwa. Proste i łatwe do zapamiętania algorytmy rozwiązywania problemów. Geometria. Teoria, materiały referencyjne, analiza wszystkich typów zadań Unified State Examation. Stereometria. Podstępne rozwiązania, przydatne ściągawki, rozwój wyobraźnię przestrzenną. Trygonometria od podstaw do zadania 13. Zrozumienie zamiast wkuwania. Wizualne wyjaśnienie złożone koncepcje. Algebra. Pierwiastki, potęgi i logarytmy, funkcja i pochodna. Podstawa rozwiązania złożone zadania 2 części jednolitego egzaminu państwowego.
Notatka wyjaśniająca
Oferowane bilety przeznaczone są do ustnej teoretyczny przenieść roczny egzamin metodą planimetrii Uczniowie klasy 9 Szkoła średnia, a także klasy 10 i 11 w celu przygotowania do jednolitego egzaminu państwowego. Oferowane materiały są w pełni spójne z programem nauczania matematyki oraz programem kształcenia specjalistycznego.
Bilety składają się z dziesięciu pytań odzwierciedlających główne kierunki kursu geometrii.
Pytania mają na celu sprawdzenie biegłości aparat pojęciowy przedmiotu oraz określenie poziomu znajomości istotnych faktów teoretycznych. Niektóre z nich wymagają zaświadczenia z prezentowanego materiału, wykazania się znajomością podstawowych założeń teoretycznych kursu i umiejętnością ich uzasadnienia.
Te pytania zostały zaczerpnięte z podręczników:
Geometria. Problemy z dowodem. Smirnov V.A., Smirnova I.M.
Geometria. Podręcznik dla klas 7-9. Atanasjan, Butuzow, Kadomcew i inni.
Geometria. Podręcznik dla klas 7-11 A.V. Pogorelov.
KRYTERIA OCENY ODPOWIEDZI STUDENTÓW
Oceniając odpowiedzi uczniów, możesz się kierować następujące kryteria.
Za pełną i poprawną odpowiedź na wszystkie pytania na bilecie przyznawana jest ocena „5”. Aby uzyskać ocenę „3”, wystarczy odpowiedzieć na osiem pytań znajdujących się na bilecie.
We wszystkich pozostałych przypadkach wynik wynosi „4”.
Próba z planimetrii
opcja 1
Znaki równości trójkątów.
Nieruchomość linia środkowa trójkąt.
Wyznaczanie wysokości trójkąta.
Jakie są promienie okręgów wpisanych i opisanych w trójkącie prostokątnym?
Własności figur podobnych.
Jak mierzy się kąt środkowy?
Własność cięciw okręgu.
Środek okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym.
Właściwość trójkąta prostokątnego, w którym kąt ostry wynosi 30 stopni.
Zdefiniuj dwusieczną prostopadłą.
Opcja 2
Znaki równości trójkątów prostokątnych.
Wyznaczanie środkowej trójkąta.
Twierdzenie Pitagorasa.
Jaka jest suma kwadratów przekątnych równoległoboku?
Wzór na pole regularnego trójkąta.
Powierzchnia trapezu.
Własność kątów wpisanych.
Własność czworoboku opisanego.
Długość łuku.
Sinus, cosinus i tangens kąta 30 stopni.
Opcja 3
Twierdzenie o sumie kątów trójkąta.
Własności środkowych trójkąta.
Wyznaczanie dwusiecznej trójkąta.
Twierdzenie cosinus.
Wzór na dwusieczną trójkąta.
Obszar równoległoboku (3).
Dlaczego równy kątowi pomiędzy dwoma siecznymi przecinającymi się poza okręgiem.
Własność czworoboku wpisanego.
Obwód.
Podstawowe właściwości akordów.
Opcja 4
Właściwości trójkąta równoramiennego.
Własność dwusiecznych prostopadłych.
Wzór na środkowe trójkąta.
Twierdzenie o sinusach.
Jakie są elementy trójkąt równoboczny(wysokość, promień, powierzchnia)?
Właściwości trapezu równoramiennego.
Właściwość linii stycznych i siecznych wychodzących z tego samego punktu.
Jaki jest kąt pomiędzy przecinającymi się cięciwami?
Sinus, cosinus i tangens kąta 60 stopni.
Gdzie znajduje się środek okręgu wpisanego w trójkąt?
Opcja 5
Nierówność trójkąta.
Twierdzenie o wysokościach trójkąta.
Pola podobnych trójkątów.
Wzory na pola trójkąta (6).
Znaki równoległoboku.
Twierdzenie o linii środkowej trapezu.
Wzór Herona na czworokąt.
Jaki jest kąt pomiędzy styczną a cięciwą narysowaną z punktu styczności?
Obszar sektora.
Sinus, cosinus i tangens kąta 45 stopni.
Opcja 6
- Aksjomat 1. Niezależnie od linii istnieją punkty, które do tej linii należą i które do niej nie należą.
- Aksjomat 2. Przez dowolne dwa punkty można poprowadzić linię prostą i tylko jedną.
- Aksjomat 3. Z trzech punktów na linii jeden i tylko jeden leży pomiędzy dwoma pozostałymi.
- Aksjomat 4. Linia prosta leżąca na płaszczyźnie dzieli tę płaszczyznę na dwie półpłaszczyzny. Jeżeli końce odcinka należą do tej samej półpłaszczyzny, to odcinek nie przecina prostej. Jeżeli końce odcinka należą do różnych półpłaszczyzn, to odcinek przecina linię.
- Aksjomat 5. Każdy segment ma określoną długość, większą od zera. Długość odcinka jest równa sumie długości części, na które jest on podzielony przez dowolny z jego punktów.
- Aksjomat 6. Każdy kąt ma miarę stopnia większą od zera. Kąt prosty jest równy. Stopień miary kąta jest równy sumie środki stopnia kąty, na które jest podzielony przez dowolny promień przechodzący między jego bokami.
- Aksjomat 8. Na płaszczyźnie przez punkt nie leżący na danej prostej można poprowadzić co najwyżej jedną prostą równoległą do danej.
- Twierdzenie. Suma kątów sąsiednich jest równa.
- Odblokuj wszystkie ukryte zadania w tym artykule - 299 rubli.
- Odblokuj dostęp do wszystkich ukrytych zadań we wszystkich 99 artykułach podręcznika - 999 rubli.
Wyznaczanie linii środkowej trójkąta.
Twierdzenie o dwusiecznej trójkąta.
Znaki podobieństwa trójkątów.
Twierdzenie cosinus.
Wzór Herona.
Właściwości równoległoboku.
Powierzchnia rombu.
Środek okręgu wpisanego i opisanego w trójkącie.
Zdefiniuj sinus, cosinus, tangens i cotangens kąt ostry trójkąt prostokątny
Średni poziom
Podstawowe aksjomaty planimetrii. Kompleksowy przewodnik (2019)
1. Podstawowe pojęcia planimetrii
Dlaczego wszystko jest na zdjęciach i bez słów? Czy potrzebne są słowa? Wydaje mi się, że na początku nie są one zbyt potrzebne. Właściwie matematycy oczywiście wiedzą, jak wszystko opisać słowami i takie opisy można znaleźć na kolejnych poziomach teorii, ale teraz przejdźmy do obrazków.
Co jeszcze? O tak, musimy nauczyć się mierzyć odcinki i kąty.
Każdy segment ma długość - liczbę przypisaną do tego segmentu (z jakiegoś powodu...). Długość mierzy się najczęściej… linijką oczywiście w centymetrach, milimetrach, metrach, a nawet kilometrach.
A teraz mierzenie kątów. Z jakiegoś powodu kąty są zwykle mierzone w stopniach. Dlaczego? Jest na to coś powodów historycznych, ale nie mamy teraz do czynienia z historią. Dlatego też poniższe porozumienie będziemy musieli po prostu przyjąć za oczywistość.
W rozwiniętym kącie stopni.
Dla zwięzłości piszą: . W tym przypadku oczywiście wielkość wszystkich pozostałych kątów można znaleźć, jeśli dowiesz się, jaka jest część rozwiniętego kąta dany kąt. Narzędzie do pomiaru kątów nazywa się kątomierzem. Myślę, że widziałeś go więcej niż raz w życiu.
2. Dwa podstawowe fakty o kątach
I. Kąty sąsiednie sumują się.
To zupełnie naturalne, prawda? W końcu sąsiednie kąty razem tworzą kąt odwrócony!
II. Kąty pionowe są równe.
Dlaczego? I spójrz:
Co teraz? Cóż, oczywiście, z tego wynika. (Wystarczy na przykład odjąć drugą od pierwszej równości. Ale tak naprawdę możesz po prostu spojrzeć na zdjęcie).
Jaka jest wartość prosty kąt?
Ależ oczywiście, ! Mimo wszystko.
4. Kąt ostry i rozwarty.
To w zasadzie wszystko, co musisz wiedzieć, aby zacząć. Dlaczego nie powiedzieliśmy ani słowa o aksjomatach?
Aksjomaty to zasady działania z podstawowymi przedmiotami planimetrii, pierwsze stwierdzenia dotyczące punktów i linii. Stwierdzenia te traktowane są jako podstawa, a nie udowodnione.
Dlaczego wciąż ich nie formułujemy i nie omawiamy? Widzisz, aksjomaty planimetrii, w pewnym sensie, po prostu opisują intuicyjnie jasne zależności w dość długim języku matematycznym. Jasne zrozumienie aksjomatyki będzie konieczne nieco później, kiedy się do tego przyzwyczaisz koncepcje geometryczne na poziomie zdrowego rozsądku. Następnie – witamy – jest tam dość szczegółowe omówienie aksjomatów. Tymczasem starajcie się postępować jak starożytni Grecy, sprzed czasów Euklidesa – po prostu rozwiązujcie problemy za pomocą zdrowy rozsądek. Zapewniam Cię, że wiele zadań będzie dla Ciebie możliwych!
ŚREDNI POZIOM
Wyobraź sobie, że nagle znajdujesz się na innej planecie lub... w grze komputerowej.
Przed Tobą zestaw nieznanych produktów, a Twoim zadaniem jest przygotować z tego zestawu jak najwięcej pysznych dań. Czego będziesz potrzebować? Oczywiście zasady, instrukcje - co można zrobić z określonymi produktami. A co jeśli nagle ugotujesz coś, co można jeść tylko na surowo, lub odwrotnie, do sałatki dodasz coś, co zdecydowanie trzeba ugotować lub usmażyć? Zatem bez instrukcji - nigdzie!
No dobrze, ale po co taki wstęp? Co ma z tym wspólnego geometria? Widzisz, bardzo wiele stwierdzeń na temat wszelkiego rodzaju figur geometrycznych to bardzo wiele „potraw”, których musimy nauczyć się gotować. Ale z czego? Z podstawowych obiektów geometrii! Ale instrukcje dotyczące ich „użytkowania” nazywane są mądrymi słowami „system aksjomatów”.
Więc uważaj!
Podstawowe obiekty i aksjomaty planimetrii.
Punkt i linia
Są to najważniejsze pojęcia planimetrii. Matematycy twierdzą, że są to „pojęcia niedefiniowalne”. Jak to? Ale od czegoś trzeba zacząć.
Teraz pierwsze zasady postępowania z punktami i liniami. Te zasady matematyki nazywane są „aksjomaty”- stwierdzenia, które są podstawą, z której następnie zostanie wywnioskowane wszystko, co podstawowe (pamiętasz, że mamy wielką kulinarną misję „ugotować” geometrię?). Tak więc nazywa się pierwszą serię aksjomatów
I. Aksjomaty przynależności.
Pamiętaj, że ten aksjomat pozwala rysować w następujący sposób:
W ten sposób: były dwa punkty:
A potem znaleziono linię prostą:
Ale ten drugi nie!
Jeśli to wszystko wydaje ci się zbyt oczywiste, pamiętaj, że jesteś na innej planecie i nadal nie wiesz, co zrobić z przedmiotami "kropka" I "prosty".
Promień, odcinek, kąt.
Teraz nauczyliśmy się umieszczać punkty na liniach i rysować linie przez punkty, dzięki czemu możemy już przygotować pierwsze proste „potrawy” -, odcinek,narożnik.
1) BELKA
Tutaj jest,
2) CIĘCIE
A teraz zróbmy porządek. Następna seria aksjomatów nazywa się:
II. Aksjomaty porządku.
Teraz - kolejny poziom. Potrzebujemy instrukcji dot pomiar segmenty i kąty. Te aksjomaty nazywane są
III. Aksjomaty miar odcinków i kątów.
A teraz jest to zupełnie dziwne.
IV. Aksjomaty na istnienie trójkąta równego danemu.
Dwa wnioski z tego aksjomatu są jaśniejsze:
Cóż, ten ostatni jest legendarny aksjomat równoległy!
Ale najpierw definicja:
V. Aksjomat podobieństw.
Cóż, to koniec aksjomaty planimetrii! Czy jest ich za dużo? Ale wyobraźcie sobie, że wszystkie są potrzebne. Dla każdego z nich istnieje przebiegłe, przebiegłe rozumowanie, które pokazuje, że jeśli ten aksjomat zostanie usunięty, wówczas cały gmach geometrii runie! No cóż, albo pozostanie coś zupełnie innego od tego, do czego jesteśmy przyzwyczajeni.
A teraz dwa podstawowe fakty na temat kątów!
Kąty sąsiadujące i pionowe.
Promienie tworzące kąt nazywane są bokami kąta i ich ogólny początek- szczyt
To jest całkowicie proste twierdzenie, Prawda?
Mimo wszystko wspólna strona sąsiednie kąty po prostu dzielą kąt prosty na dwa kąty i dlatego (UWAGA: Aksjomat 3.2 działa!) suma sąsiednich kątów jest równa wielkości rozłożonego, to znaczy.
Łatwiej narysować niż opisać - patrz zdjęcie.
To także łatwe twierdzenie. Upewnić się:
Kąt ostry i rozwarty.
KRÓTKI OPIS I PODSTAWOWE FORMUŁY
Aksjomaty przynależności:
Aksjomaty porządku:
Aksjomaty miar odcinków i kątów:
Aksjomaty na istnienie trójkąta równego danemu:
Aksjomat równoległy:
Podstawowe fakty o kątach:
No cóż, temat się skończył. Jeśli czytasz te słowa, oznacza to, że jesteś bardzo fajny.
Bo tylko 5% ludzi jest w stanie samodzielnie coś opanować. A jeśli przeczytasz do końca, to jesteś w tych 5%!
Teraz najważniejsza rzecz.
Zrozumiełeś teorię na ten temat. I powtarzam, to... to jest po prostu super! Już jesteś lepszy od zdecydowanej większości Twoich rówieśników.
Problem w tym, że to może nie wystarczyć...
Po co?
Dla pomyślne Ujednolicony egzamin państwowy umożliwiający przyjęcie na studia z ograniczonym budżetem i, co NAJWAŻNIEJSZE, na całe życie.
Nie będę Cię do niczego przekonywał, powiem tylko jedno...
Osoby, które otrzymały Dobra edukacja, zarabiają znacznie więcej niż ci, którzy ich nie otrzymali. To jest statystyka.
Ale to nie jest najważniejsze.
Najważniejsze, że są BARDZIEJ SZCZĘŚLIWI (są takie badania). Być może dlatego, że otwiera się przed nimi o wiele więcej możliwości i życie staje się jaśniejsze? nie wiem...
Ale pomyśl samodzielnie...
Czego potrzeba, aby na egzaminie Unified State Exam wypaść lepiej od innych i ostatecznie… być szczęśliwszym?
Zdobądź rękę, rozwiązując problemy z tego tematu.
Podczas egzaminu nie będziesz proszony o zadawanie teorii.
Będziesz potrzebować rozwiązywać problemy z czasem.
A jeśli ich nie rozwiązałeś (DUŻO!), na pewno popełnisz gdzieś głupi błąd lub po prostu nie będziesz miał czasu.
To jak w sporcie – trzeba to powtarzać wiele razy, żeby na pewno wygrać.
Znajdź kolekcję gdziekolwiek chcesz, koniecznie z rozwiązaniami, szczegółowa analiza i decyduj, decyduj, decyduj!
Możesz skorzystać z naszych zadań (opcjonalnie) i oczywiście je polecamy.
Aby lepiej radzić sobie z naszymi zadaniami, musisz pomóc przedłużyć żywotność podręcznika YouClever, który aktualnie czytasz.
Jak? Istnieją dwie opcje:
Tak, w naszym podręczniku mamy 99 takich artykułów i dostęp do wszystkich zadań oraz wszystkich ukrytych w nich tekstów można od razu otworzyć.
W drugim przypadku Damy ci symulator „6000 problemów z rozwiązaniami i odpowiedziami, dla każdego tematu, na wszystkich poziomach złożoności.” To z pewnością wystarczy, aby w pełni opanować rozwiązywanie problemów na dowolny temat.
Tak naprawdę to znacznie więcej niż tylko symulator – cały program przygotowanie. W razie potrzeby możesz także skorzystać z niego BEZPŁATNIE.
Dostęp do wszystkich tekstów i programów zapewniany jest przez CAŁY okres istnienia serwisu.
Podsumowując...
Jeśli nie podobają Ci się nasze zadania, znajdź inne. Tylko nie poprzestawaj na teorii.
„Rozumiem” i „Umiem rozwiązać” to zupełnie różne umiejętności. Potrzebujesz obu.
Znajdź problemy i rozwiąż je!
Na tej stronie znajdują się twierdzenia o planimetrii, które nauczyciel matematyki może wykorzystać, przygotowując zdolnego ucznia do poważnego egzaminu: olimpiady lub egzaminu na Moskiewskim Uniwersytecie Państwowym (w ramach przygotowań do mechaniki i matematyki Moskiewskiego Uniwersytetu Państwowego, VMC), do olimpiady w Szkoła wyższa Ekonomia na olimpiadę Akademia Finansowa oraz w MIPT. Znajomość tych faktów otwiera się przed nauczycielem świetne możliwości w sprawie opracowania zadań konkursowych. Wystarczy „odgrać” niektóre ze wspomnianych twierdzeń o liczbach lub uzupełnić jego elementy prostymi relacjami z innymi obiekty matematyczne, a otrzymasz całkiem przyzwoity problem olimpijski. Wiele właściwości jest obecnych w silnych podręczniki szkolne jako zadania dowodowe i nie są wyraźnie zawarte w nagłówkach i sekcjach akapitów. Starałem się naprawić to niedociągnięcie.
Matematyka to rozległy przedmiot, a liczba faktów, które można utożsamić z twierdzeniami, jest nieskończona. Korepetytor matematyki nie jest w stanie fizycznie poznać i zapamiętać wszystkiego. Dlatego niektóre trudne relacje między obiekty geometryczne za każdym razem, gdy ujawniają się one nauczycielowi na nowo. Zebranie ich wszystkich na jednej stronie na raz jest fizycznie niemożliwe. Dlatego będę stopniowo zapełniał stronę w miarę wykorzystywania twierdzeń na lekcjach.
Radzę początkującym korepetytorom matematyki, aby byli ostrożni w korzystaniu z dodatkowych materiały referencyjne, ponieważ uczniowie nie znają większości tych faktów.
Korepetycje z matematyki o właściwościach kształtów geometrycznych
1) Dwusieczna boku trójkąta przecina się z dwusieczną kąta leżącego naprzeciw niego na okręgu opisanym na obwodzie dany trójkąt. Wynika to z równości łuków, na które dwusieczna prostopadła dzieli dolny łuk, oraz z twierdzenia o kącie wpisanym w okrąg.
2)
Jeśli z jednego wierzchołka trójkąta wykreślimy dwusieczną b, środkową m i wysokość h, wówczas dwusieczna będzie leżeć pomiędzy dwoma innymi odcinkami, a długości wszystkich odcinków spełniają podwójną nierówność.
3) 
W dowolny trójkąt odległość dowolnego z jego wierzchołków do ortocentrum (punktu przecięcia wysokości) jest 2 razy większa większy dystans od środka okręgu opisanego wokół tego trójkąta do strony przeciwnej do tego wierzchołka. Aby to udowodnić, możesz narysować linie proste przechodzące przez wierzchołki trójkąta, równolegle do jego wysokości. Następnie wykorzystaj podobieństwo pierwotnego i powstałego trójkąta.
4) 
Punkt przecięcia środkowych M dowolnego trójkąta (jego środek ciężkości) wraz z ortocentrum trójkąta H i środkiem okręgu opisanego (punkt O) leżą na tym samym prima, i . Wynika to z poprzedniej własności oraz z własności punktu przecięcia środkowych.
5) 
Przedłużenie wspólnej cięciwy dwóch przecinających się okręgów dzieli odcinek ich wspólnej stycznej na dwie równe części. Ta właściwość jest prawdziwa niezależnie od charakteru tego przecięcia (to znaczy położenia środków okręgów). Aby to udowodnić, możesz skorzystać z własności kwadratu odcinka stycznego.
6) 
Jeśli trójkąt zawiera dwusieczną swojego kąta, to jego kwadrat jest równy różnicy między iloczynami boków kąta i odcinkami, na które dwusieczna dzieli przeciwny bok.
Oznacza to, że zachodzi następująca równość
7) 
Czy znasz sytuację, gdy wysokość z wierzchołka kąta prostego jest rysowana do przeciwprostokątnej? Z pewnością. Czy wiesz, że wszystkie powstałe trójkąty są podobne? Na pewno wiesz. W takim razie prawdopodobnie nie wiesz, że dowolne elementy odpowiadające tym trójkątom tworzą równość powtarzającą twierdzenie Pitagorasa, czyli np. gdzie i są promieniami okręgów wpisanych w małe trójkąty, a jest promieniem okręgu wpisanego w dużym trójkącie.
8)
Jeśli natkniesz się na losową czwórkę ze wszystkimi znane partie a, b, c i d, wówczas jego pole można łatwo obliczyć korzystając ze wzoru przypominającego wzór Herona:
, gdzie x jest sumą dowolnych dwóch przeciwne rogi czworobok. Jeżeli dany czworokąt wpisano w okrąg, wówczas wzór przyjmuje postać:
i nazywa się Formuła Brahmagupty
9)
Jeśli twój czworobok jest opisany na okręgu (to znaczy wpisany jest w niego okrąg), wówczas obszar czworoboku oblicza się ze wzoru 